整式乘法公式的灵活运用(基础知识)
整式的乘除法
数学受到高度尊崇的另一个原因在于：恰恰是数学，给精密的自然科学提供了无可置疑的可靠保证，没有第一讲 整式的乘法一、课标要求（学习本章节需要达到的目的）1、掌握同底数幂的乘法；2、幂的乘方；3、积的乘方；4、整式的乘法法则及运算规律.教学重点：同底数幂的乘法及幂的乘方、积的乘方运算. 教学难点：整式的乘法. 二、知识疏理知识点1：同底数幂的乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
nm n m a a a +=⋅(m, n 都是正整数)。
例1：计算。
(1)4322⨯ (2)251010⨯(3)54x x ⋅知识点2：幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘。
mnn m a a =)((m, n 都是正整数)注意：nm n m a a ≠)(例2：计算。
(1)(32)3(2)(a m )2(3)―(x m )5(4)(a 2)3·a 5知识点3：积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
(ab )n ＝a n b n(n 为正整数)例3：计算。
(1)(ab )4(2)322)(y x -(3))()(2352xy x -⋅(4)322)(ab (5)22110⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛10数学受到高度尊崇的另一个原因在于：恰恰是数学，给精密的自然科学提供了无可置疑的可靠保证，没有知识点4：单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例4：计算：(1))(3223xy y x -⋅ (2))()(c b b a 23245-⋅- 知识点5：单项式与多项式相乘的乘法法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
ap an am p n m a ++=++)( 例5：计算。
(1))(b a a 53222-(2)))((322532ab ab a --知识点6：多项式相乘的乘法法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得后积相加。
初中数学知识归纳整式的乘法公式
初中数学知识归纳整式的乘法公式在初中数学中，我们学习了很多关于整式的知识，其中包括整式的乘法公式。
整式的乘法公式是指两个整式相乘时所遵循的一些规则和方法。
本文将对初中数学中整式的乘法公式进行归纳总结。
一、单项式和单项式相乘当两个单项式相乘时，我们需要将它们的系数相乘，指数相加。
例如，当我们计算2x和3x的乘积时，可以用如下的方法：2x * 3x = 2 * 3 * x * x = 6x^2在这个例子中，乘积6x^2的系数为2和3的乘积，即6；指数为x 的指数1加x的指数1，即2。
二、单项式和多项式相乘当单项式和多项式相乘时，我们需要将单项式的每一项与多项式的每一项相乘，然后将结果进行合并。
例如，当计算2x与3x^2 + 4x的乘积时，可以按照如下的步骤来进行：2x * (3x^2 + 4x) = 2x * 3x^2 + 2x * 4x = 6x^3 + 8x^2在这个例子中，首先将2x与3x^2相乘得到6x^3，然后将2x与4x 相乘得到8x^2，最后将结果合并得到6x^3 + 8x^2。
三、多项式和多项式相乘当两个多项式相乘时，我们需要将第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘，然后将结果进行合并。
例如，当计算(2x + 3) * (3x - 4)时，可以按照如下的步骤来进行：(2x + 3) * (3x - 4) = 2x * 3x + 2x * (-4) + 3 * 3x + 3 * (-4) = 6x^2 - 8x + 9x - 12在这个例子中，首先将2x与3x相乘得到6x^2，然后将2x与-4相乘得到-8x，接着将3与3x相乘得到9x，最后将3与-4相乘得到-12，将结果合并得到6x^2 - 8x + 9x - 12。
总结：整式的乘法公式可以归纳为以下几个规则：1. 单项式和单项式相乘时，系数相乘，指数相加。
2. 单项式和多项式相乘时，将单项式的每一项与多项式的每一项相乘，然后将结果进行合并。
整式乘除知识点
整式乘除知识点在数学的学习中，整式乘除是一个重要的部分，它不仅是后续学习代数运算的基础，也在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面就让我们一起来深入了解整式乘除的相关知识点。
一、整式的乘法（一）单项式乘以单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例如：3x²y × 5xy³＝ 15x³y⁴（二）单项式乘以多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如：2x(3x² 5x ＋ 1) ＝ 6x³ 10x²＋ 2x（三）多项式乘以多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如：（x ＋ 2)（x 3) ＝ x² 3x ＋ 2x 6 ＝ x² x 6二、整式的除法（一）单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
例如：18x⁴y³z² ÷ 3x²y²z ＝ 6x²yz（二）多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加。
例如：（9x³y 18x²y²＋ 3xy³) ÷ 3xy ＝ 3x² 6xy ＋ y²三、乘法公式（一）平方差公式（a ＋ b)（a b) ＝ a² b²例如：（3x ＋ 2)（3x 2) ＝ 9x² 4（二）完全平方公式（a ＋ b)²＝ a²＋ 2ab ＋ b²（a b)²＝ a² 2ab ＋ b²例如：（x ＋ 5)²＝ x²＋ 10x ＋ 25四、整式乘除的应用（一）几何图形中的应用在求解长方形、正方形等图形的面积和周长时，经常会用到整式的乘除。
整式的乘除知识点归纳
整式的乘除知识点归纳整式的乘除在研究整式的乘除之前，我们需要先了解以下几个概念：1.单项式：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数，所有字母指数和叫单项式的次数。
例如，-2abc的系数为-2，次数为4，单独的一个非零数的次数是1.2.多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
例如，a-2ab+x+1，项有a、-2ab、x、1，二次项为a、-2ab，一次项为x，常数项为1，各项次数分别为2、2、1、0，系数分别为1、-2、1、1，叫二次四项式。
3.整式：单项式和多项式统称整式。
需要注意的是，凡分母含有字母代数式都不是整式，也不是单项式和多项式。
4.多项式按字母的升（降）幂排列：例如，x-2xy+xy-2y-1，按x的升幂排列为-1-2y+xy-2xy+x，按x的降幂排列为x-2xy+xy-2y-1.5.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
需要注意的是，底数可以是多项式或单项式。
例如，(a+b)·(a+b)=(a+b)²。
6.幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
例如，(-3)³=-27.幂的乘方法则可以逆用，即aⁿⁿ=(aᵐ)ⁿ=(aⁿ)ᵐ。
例如，4⁶²=4⁴⁵⁺¹⁷。
7.积的乘方法则：积的乘方，等于各因数乘方的积。
例如，()²=(-2)·x·y·z²=-4x²y²z²。
8.同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
需要注意的是，底数不等于0，指数必须是正整数。
例如，(ab)÷(ab)=ab。
9.零指数和负指数：a⁰=1，即任何不等于零的数的零次方等于1.a⁻ᵖ=1/aᵖ，即一个不等于零的数的负p次方等于这个数的p次方的倒数。
《整式乘除与乘法公式》知识讲解
要点三、多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得
的积相加.即 (a + b)(m + n) = am + an + bm + bn .
要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于 两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的
【答案】 （1）a4•（3a3）2＋（﹣4a5）2
=a4•9a6＋16a10 =9a10＋16a10 =25a10； （2）（2 ）20•（ ）21．
=（ × ）20•
=1×
=．
例 5、已知 x2m=2，求（2x3m）2﹣（3xm）2 的值． 【答案与解析】解：原式=4x6m﹣9x2m
=4（x2m）3﹣9x2m =4×23﹣9×2 =14．
（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变
化.
【典型例题】
类型一、同底数幂的除法
例 1、计算下列各题：
（1） (x − y)5 (x − y)
【答案与解析】
( ) 解：（1）
−2xn+1 yn
(
−3xy
)
−
1 2
x2
z
( )( ) =
( −2 )
(−3)
−
1 2
xn+1 x x2
yn y z
= −3xn+4 yn+1z
（2） 5a3b (−3b)2 + (−6ab)2 (−ab) − ab3 (−4a)2
= 5a3b 9b2 + 36a2b2 (−ab) − ab3 16a2
整式的乘除(重点、难点、考点复习总结)
整式的乘除（重点、难点、考点复习总结）1．知识系统总结2．重点难点易错点归纳（1）几种幂的运算法则的推广及逆用例1：（1）已知52x=4,5y=3,求(53x)2; 54x+2y-2练习：1. 已知a x=2,a y=3, a z=4求a3x+2y-z（2）46×0.256= （-8）2013×0.1252014 =（2）同底数幂的乘除法：底数互为相反数时如何换底能使计算简便判断是否同底：判断底数是否互为相反数：看成省略加号的和，每一项都相反结果就互为相反数换底常用的两种变形：例2：（1）-x7÷（-x）5·（-x）2 (2)(2a-b)7·（-b+2a）5÷（b-2a）8（3）区分积的乘方与幂的乘方例3：计算（1）（x3）2 (2) (-x3）2 (3)（-2x3）2（4）-（2x3）2（4）比较法：逆用幂的乘方的运算性质求字母的值（或者解复杂的、字母含指数的方程）例4：（1）如果2×8n×16n=28n ,求n的值（2）如果（9n）2=316，求n的值（3）3x=,求x的值（4）（-2）x= -,求x的值（5）利用乘方比较数的大小指数比较法：833，1625, 3219底数比较法：355,444,533乘方比较法：a2=5,b3=12，a>0,b>0,比较a,b的大小比较840与6320的大小（6）分类讨论思想例6：是否存在有理数a，使（│a│-3）a =1成立，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由整式的乘法（1）计算法则明确单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的计算法则，尤其注意符号的问题，结果一定要是最简形式。
单项式乘以多项式、多项式乘以多项式最终都是要转化为单项式乘以单项式，通过省略加号的和巧妙简化符号问题。
【例1】计算：（1）(-3x2y)(-xz4)(-2y3zt) (2)-5x n y n+2(3x n+2y-2x n y n-1+y n) （3）（-x+2）(x3-x2)练一练：先化简再求值：[xy(x2-3y)+3xy2](-2xy)+x3y2(2x-y),其中x=-0.25,y=4(2)利用整式的乘法求字母的值①指数类问题：②系数类问题：【例2】已知-2x3m+1y2n与7x m-6y-3-n的积与x4y是同【例3】在x2+ax+b与2x2-3x-1的积中，x3项项，求m与n的值的系数为—5，x2项的系数为-6，求a,b的值（3）新定义题【例4】现规定一种新运算：a*b=ab+a-b，其中a,b为有理数，则（a*b）+[(b-a)*b]=练一练：现规定一种新运算：a※b=ab+a-b，其中a,b为有理数，计算：[（m+n）※n]+[(n-m)※n] 课后提升：1.（-0.7×104）×（0.4×103）×（-10）=2.若（2x-3）（5-2x）=ax2+bx+c,则a= ,b=3.若（-2x+a）(x-1)的结果不含x的一次项，则a=4.计算：(1)（-5x-6y+z）(3x-6y) (2)-2xy(x2-3y2)- 4xy(2x2+y2)平方差公式（1）公式：（a+b）(a-b)=a2-b2注意：公式中的a,b既可以是具体的数字，也可以是单项式或多项式，只要不是单独的数字或字母，写成平方的差时都要加括号公式的验证：根据面积的不同表达方式是验证整式乘法公式常用的方法(2)平方差公式的不同变化形式【例1】计算下列各式：（1）（-5x+2y）(-2y-5x)= （2）（2a-1）(2a+1)(4a2+1)=（3）20132-2012×2014 =练一练：1、（2y-x-3z）(-x-2y-3z)=2、99×101×10001=3、 3×（22+1）×（24+1）×（28+1）×…×（232+1）+1=（3）平方差公式的逆用【例2】∣x+y-3∣+(x-y+5)2=0,求3x2-3y2的值练一练：已知实数a,b满足a+b=2，a-b=5，求（a+b）3（a-b）3的值.课后提升：1.已知下列式子：①（x-y）（-x-y）；②（-x+y）(x-y)；③（-x-y）（x+y）；④（x-y）（y-x）.其中能利用平方差公式计算的是2.(-a-3)( )=9-a23.如果a2-2k=(a-0.5)（a+0.5），那么k=4.为了美化城市，经统一规划，将一正方形的南北方向增加3米，东西方向缩短3米，将改造后的长方形草坪面积与原来的正方形草坪面积相比（）A.增加6平方米B.增加9平方米C.减少9平方米D.保持不变5.解方程：（3x+4）（3x-4）=9（x-2）26.计算：（2+1）×（22+1）×（24+1）×…×（22014+1）完全平方公式（1）公式：（a±b）2=a2±2ab +b2首平方，尾平方，2倍乘积放中央，同号加，异号减注意：公式中的a,b既可以是具体的数字，也可以是单项式或多项式【例1】计算下列各式：（2x-5y）2 = (-mn+1)2 =(-t2-2)2=（2）完全平方公式的推广应用①直接推广②间接推广【例2】计算（a-2b+3c)2【例3】已知x+y+z=10,xy+xz+yz=8,求x2+y2+z2的值（3）利用完全平方公式求字母的值【例4】两数和的平方的结果是x2+(a-1)x+25,则a的值是（）A.-9B.1C.9或-11D.-9或11（4）利用完全平方公式进行简化计算【例5】计算：（1）1992 （2）3.012（5）完全平方公式的变形应用【例6】（1）已知m+n=7,mn=10,求8m2+8n2的值（2）已知（x+y）2=16,(x-y)2=4,求xy的值课后提升：1.下列展开结果是2mn-m2-n2的式子是（）A.（m+n）2B.(-m+n)2C.-(m-n)2D.-(m+n)22.(x+2y-z)2=3.若∣x+y-7∣+(xy-6)2=0,则3x2+3y2=4.若代数式x2+3x+2可以表示为 (x-1)2+a（x-1）+b的形式，则a+b的值是5.计算：（2x-y）2（2x+y）2整式的除法（1）计算法则整式乘法的逆运算，可以互相验证。
整式的乘法(复习)——多多、乘法公式
整式的乘法（复习）——多×多 乘法公式【知识点复习】【乘法公式的使用技巧】(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础。
例1. 计算：(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例2. 计算：例3. 计算：（三）、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。
（因式分解）例4. 计算：（四）、变用: 题目变形后运用公式解题。
例5. 计算：（五）、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：()()()()()()2222221.22.23.4.a b ab a b ab a b a b a b a b +-=-+=++-=+--==++×))((n m b a 多：多（1）平方差公式：=+)-)((b a b a （2）完全平方公式：①=+2)(b a②=2)-(b a（3）“pq 型”（补充公式）：=++))((q x p x【跟踪练习】 计算：(1)(－2x －y)(2x －y)(2)19982－1998·3994＋199722222211111(3)(1)(1)(1)(1)(1)234910---⋅⋅⋅--（4）化简：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1．（5）计算：(2x －3y －1)(－2x －3y ＋5)（6）已知a ＋b=9，ab=14，求2a 2＋2b 2【乘法公式与几何图形的面积】1、请你观察图中的图形，依据图形面积的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是______________。
2、（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示．用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；②我们知道：同一个长方形的面积是确定的数值．由此，你可以得出的一个等式为：（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图并说明推出的过程．3、图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为：（2）观察图②，三个代数式（m+n）2，（m-n）2，mn之间的等量关系是：（3）若x+y=-6，xy=5，则x-y=（4）观察图③，你能得到怎样的代数恒等式呢？【能力提高】 1、计算;（1）、22()()33m n m n -+-- （2）、2211(3)(3)22y x x y +-（3）、2222(2)(2)x y y x ---（4）、223()32x y -- （3）、(4)(3)x x +-（4）、(23)(23)x y x y +--+（5）、2()()()2a b a b a b a b ++-+-（6）、（a+2）（a 2+4）（a 4+16）（a －2）（7）、（8）、［(x +2y )(x －2y )+4(x －y )2－6x ］6x .（9）、22222(2)(2)(2)(2)x x y x y x y x y -+-+-+（10）、222(3)4(3)(3)3(3)a a a a +-+-+- 2、化简求值：（1）先化简，再求值：2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----，其中13x =-.（2）先化简，再求值：2(1)(2)x x x ++-，其中243x =.（3）已知1582=+x x ，求2)12()1(4)2)(2(++---+x x x x x 的值.3、求值：（1）已知a －b ＝1 ，a 2＋b 2＝25 ，求ab 的值； （2）已知,21=-x x 求221xx +的值； （3）已知,16)(2=+y x 4)(2＝y x - ，求xy 的值； （4）如果a 2＋b 2－2a ＋4b ＋5＝0 ，求a 、b 的值。
整式乘除法的运算技巧
（一）运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a^2-b^2=(a+b)(a-b)a^2+2ab+b^2=(a+b)^2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
（二）平方差公式1．平方差公式（1）式子： a^2-b^2=(a+b)(a-b)（2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
（三）因式分解1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
（四）完全平方公式（1）把乘法公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 和(a-b)^2=a^2-2ab+b^2反过来，就可以得到：a^2+2ab+b^2 =(a+b)^2a^2-2ab+b^2 =(a-b)^2这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。
把a^2+2ab+b^2和a^2-2ab+b^2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
（2）完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
（3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
（4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
（5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
（五）分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式．原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m+ n)＝(m +n)•(a +b)．这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．（六）提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式．2. 运用公式x^2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：1．必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数．2．将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：①列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数．3．将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式．（七）分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y＝-(y-x)，(x-y)^2＝(y-x)^2，(x-y)^3＝-(y-x)^3．5．分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的分式之分子分母可直接乘方．6．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减．（八）分数的加减法1．通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来．2．通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变．3．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．4．通分的依据：分式的基本性质．5．通分的关键：确定几个分式的公分母．通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．6.类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．7．同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
整式的乘法与因式分解所有知识点总结
整式的乘法与因式分解所有知识点总结一、整式的乘法1.乘法法则：(1)两个整系数多项式相乘，按照分配律逐项相乘再相加即可。
(2)对于整式的乘幂，将底数相乘，指数相加。
(3)进行乘法时，可以将同类项合并。
2.乘法的性质：(1)乘法交换律：a*b=b*a(2)乘法结合律：(a*b)*c=a*(b*c)(3)乘法的分配律：a*(b+c)=a*b+a*c3.乘法公式：(1) 平方公式：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(2)平方差公式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2(3) 三项平方和公式：a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + ac + bc)4.乘法的运用：(1)计算多项式的立方和高次幂。
(2)将多项式与常数相乘。
(3)将多项式乘以一个多项式。
二、因式分解1.因式分解的定义：因式分解是指将一个多项式表示为几个乘积的形式，其中每个乘积称为因式。
2.因式分解的方法：(1)公因式提取法：将多项式的所有项提取出一个最高公因式，然后将剩余部分因式分解。
(2)公式法：利用数学公式，如平方公式、立方公式等进行因式分解。
(3)分组分解法：将多项式分成若干组，每组提取公因式后进行因式分解。
3.公式法的常见因式分解：(1)平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)(2) 完全平方公式：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2(3) 差平方公式：a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2(4) 立方和公式：a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)(5) 三项平方和公式：a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + ac + bc)4.分组分解法的常见因式分解：(1)将多项式分成两组，每组提取公因式后进行因式分解。
(2)将多项式分成三组，每组提取公因式后进行因式分解。
整式的乘法和因式分解知识点汇总
整式的乘法和因式分解知识点汇总整式乘除与因式分解在研究代数的过程中，整式乘除与因式分解是非常重要的知识点。
下面将对这些知识点进行详细讲解。
一．幂的运算性质幂的运算性质是代数中最基本的知识之一。
其中，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘。
例如，对于表达式(－2a)2(－3a2)3，可以先计算幂的乘方，然后再将同底数幂相乘。
二．乘方的运算乘方的运算也是代数中的基本知识。
根据乘方的运算法则，积的乘方等于各因式乘方的积。
例如，对于表达式(－a5)5，可以将其分解为a的5次方的积，然后再进行乘方运算。
三．同底数幂的除法同底数幂的除法也是代数中的基本知识之一。
根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减。
例如，对于表达式x÷x，可以将其化简为x的0次方，即1.四．零指数幂和负指数幂在代数中，零指数幂和负指数幂也是非常重要的概念。
任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1；任何一个不等于零的数的负指数幂，等于这个数的指数幂的倒数。
例如，对于表达式(2a3b)1，可以通过代数式的运算，求出a和b的取值范围。
五．单项式和多项式的乘法单项式和多项式的乘法也是代数中的基本知识之一。
对于单项式相乘，需要将系数和同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
对于单项式与多项式相乘，需要用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。
对于多项式与多项式相乘，需要先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。
通过对整式乘除与因式分解的研究，可以更好地理解代数的基本概念和运算法则，为后续的研究打下坚实的基础。
1.计算 (3×10^8)×(-4×10^4) = -1.2×10^132.计算 2x·(-2xy)·(-3) = 12x^2y3.若n为正整数，且x^(2n)=3，则(3x^(3n))^2的值为 274.如果 (anb·abm)^3 = a^9b^15，那么 mn 的值是 55.-[-a^2(2a^3-a)] = 2a^5 - a^36.(-4x^2+6x-8)·(-1/2x) = 2x^3-3x^2+4x7.2n(-1+3mn^2) = -6mn^2+2n8.若 k(2k-5)+2k(1-k) = 32，则 k = 49.(-3x^2)+(2x-3y)(2x-5y)-3y(4x-5y) = -10x^2+31xy-15y^210.在 (ax^2+bx-3)(x^2-x+8) 的结果中不含 x^3 和 x 项，则a = 1/2，b = -311.一个长方体的长为 (a+4)cm，宽为 (a-3)cm，高为(a+5)cm，则它的表面积为 2a^2+22a+32，体积为 (a+4)(a-3)(a+5) = a^3+6a^2-7a-60.若将长方形的长和都扩大了2cm，则面积增大了 8cm^2.12.一个长方形的长是 10cm，宽比长少6cm，则它的面积是 40cm^2.当长和都扩大了2cm时，面积增大了 44cm^2.13.单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式。
七(下)第1章整式的乘除(全章复习与巩固)知识讲解与专项讲练
2023七（下）第1章整式的乘除知识讲解与专项讲练2023.06.12~6.15【学习目标】1.掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2.会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。
【知识要点】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：a m ·a n ＝a m ＋n (m 、n 为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方：(a m )n ＝a mn ＝a nm ＝(a n )m (m 、n 为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方：(ab )n ＝a n b n ，(a x b y )n ＝a nx b ny (n 、x 、y 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：a m ÷a n ＝a m －n (a ≠0，m 、n 为正整数，并且m ＞n ).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即：任何不等于零的数的零次方等于1.6.负整数次幂：p p a a 1=-(a ≠0，p 为正整数），a n 与a －n 互为倒数，n m m n pp a b b a ,a b b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---即：任何一个不等于零的数的－p (p 是正整数)次幂，等于这个数的p 次幂的倒数.特别说明：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.要点二、整式的乘除1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.特别说明：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.特别说明：在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2.完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一、整式的乘除➽➼幂的运算✭✭幂的逆运算1．计算：（1）()3201113823π-⎛⎫⎛⎫-+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()2331233282a a a a -⋅-÷举一反三：【变式1】计算：101|2|(2023667)3π-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭（2）()()223234(6)x y xy ⋅-÷【变式2】计算：(1)22012()272--+-(2)2642135(2)5x x x x x⋅--+÷(1)253()()[()]a b b a a b -⋅-÷--；(2)先化简，再求值：426223225(3)()(2)a a a a a ⎡⎤⋅-÷÷-⎣⎦，其中5a =-．2．（2022春·福建泉州·八年级福建省永春第三中学校联考期中）阅读：已知正整数a 、b 、c ，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂b a 和b c ，当a c >时，则有b b a c >，根据上述材料，回答下列问题(1)比较大小：205______204（填写>、<或=）(2)比较332与223的大小（写出具体过程）(3)已知23a =，86b =求()322a b +的值【答案】(1)>(2)332223<，见分析(3)972【分析】（1）根据同指数，不同底数的两个幂b a 和b c ，当a c >时，则有b b a c >，即可进行解答；（2）将根据幂的乘方的逆运算，将332与223转化为同指数的幂，再比较大小即可；（3）根据同底数幂乘法的逆运算，将()322a b +转化为()3222a b ⨯，再根据积的乘方的逆运算，整理为含有2a 和8b 的性质，进行计算即可．（1）解：∵54>，∴202054>，故答案为：>．（2）∵()1133311228==，()1122211339==，89<，∴332223<．（3）原式()3222a b =⨯()()33222a b =⨯()()32322ba =⨯()2338b =⨯3236=⨯=972．【点拨】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算法则和逆运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则及其逆运算法则．举一反三：【变式1】已知，若实数a 、b 、c 满足等式54a =，56b =，59c =．(1)求25a b +的值；(2)求25b c -的值；(3)求出a 、b 、c 之间的数量关系．【变式2】（2022春·全国·八年级专题练习）按要求解答下列各小题．(1)已知1012m =，103n =，求10m n -的值；(2)如果33a b +=，求327a b ⨯的值；(3)已知682162m m ⨯÷=，求m 的值．类型二、整式的乘除➽➼整式的乘法3．计算：(1)()()()2332ab a a b --- ；(2)()()221a a -+；(3)()()212x x +-．【答案】(1)446a b -(2)3222a a --(3)2232x x --【分析】（1）按照单项式乘以单项式的法则进行运算即可；（2）按照单项式乘以多项式的法则进行运算即可；（3）按照多项式乘以多项式的法则进行运算即可；（1）解：()()()2332ab a a b --- ()2236a b a b =- 44a b =-．（2）()()221a a -+3222a a =--；（3）()()212x x +-2242x x x =-+-2232x x =--．【点拨】本题考查的是单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，掌握“整式的乘法运算的运算法则”是解本题的关键．举一反三：【变式1】计算：(1)()()202024311202323π-⎛⎫-+-+-- ⎪⎝⎭（2）()()()222x y x y x x y -++--【变式2】（2022春·河南周口·七年级校联考期中）如图，把8张长为a ，宽为b 的小长方形纸片摆放在一个大长方形纸盒内，空白部分分别用A ，B 表示，两个摆放小纸片的长方形（阴影）公共的部分边长为m ，（用a ，b ，m 分别表示周长和面积）(1)填空：①空白部分A 的周长A P =__________，面积A S =_____________，②空白部分B 的周长B P =______________，面积B S =________________；(2)若5a b =，求A B P P -，A B S S -的代数式．类型三、整式的乘除➽➼平方差公式✭✭完全平方公式4．（2022春·山西大同·八年级大同一中校考阶段练习）化简下列多项式：(1)()()()214121x x x +---；（2）()()223223a b a b +--+.【答案】(1)72x -(2)2244129a b b -+-【分析】（1）先计算乘法，再合并同类项，即可求解；（2）利用平方差公式计算，即可求解．（1）解：()()()214121x x x +---22441441x x x x x =-+--+-72x =-（2）解：()()223223a b a b +--+()()223223a b a b =+---⎡⎤⎣⎦()()22223a b =--2244129a b b =-+-【点拨】本题主要考查了整式的混合运算，灵活利用乘法公式计算是解题的关键．举一反三：【变式1】（2022春·重庆·八年级重庆市育才中学校考阶段练习）计算：(1)()()()y x y x y x y +--+;(2)()()224x x x ++-【变式2】运用公式进行简便计算：(1)210.210.2 2.4 1.44-⨯+；(2)2222111111112342022⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．5．（2022春·四川内江·八年级校考阶段练习）（1）已知实数x ，y 满足2296x y -=，8x y -=，求x y +的值．（2）已知实数a 、b 满足()23a b +=，()227a b -=，求22a b ab ++的值．【答案】（1）12x y +=；（2）229a b ab ++=．【分析】（1）利用平方差公式，化简求解即可；（2）利用完全平方公式进行化简，分别求得22a b +和ab 的值，即可求解．解：（1）∵2296x y -=，∴()()96x y x y +-=，∵8x y -=，∴12x y +=；（2）∵()23a b +=，()227a b -=，∴2223a ab b ++=，22227a ab b -+=，∴222a 2b 30+=，424ab =-，∴22a b 15+=，6ab =-，∴()221569a b ab ++=+-=．【点拨】此题考查了完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．举一反三：【变式1】已知5a b +=，3ab =．求下列各式的值：(1)22a b +；(2)()2a b -；(3)()()()()1111a b a b ++--．【变式2】已知：221x x +=，将()()()()2(1)3331x x x x x --+----先化简，再求它的值．类型四、整式的乘除➽➼整体的除法6．（2022春·八年级课时练习）计算下列各题：(1)()()322432714x y xy x y ⋅-÷；(2)()()222x y x y y x ⎡⎤+-+÷．【变式1】先化简，再求值：()()()21242x y x y x y y ⎡⎤+--+÷⎣⎦，其中1x =，2y =．【变式2】已知24750a a -+=，求代数式()2232(21)a a a a -÷--的值．类型五、整式的乘除➽➼图形问题7．（2021春·陕西延安·八年级陕西延安中学校考阶段练习）如图所示，两个长方形用不同形式拼成图1和图2两个图形．(1)若图1中的阴影部分面积为22a b -；则图2中的阴影部分面积为_________．（用含字母a ，b 的式子且不同于图1的方式表示）(2)由（1）你可以得到乘法公式____________．(3)根据你所得到的乘法公式解决下面的问题：计算：①10397⨯；②()()22a b c a b c +---．【变式1】图a 是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b 的形状拼成一个正方形．(1)你认为图b 中的阴影部分的正方形的边长等于多少？(2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．方法1：方法2：(3)观察图b 你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：()()22,,m n m n mn+-(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若75a b ab +==，，则2()a b -=．（请直接写出计算结果）【变式2】（2022春·八年级课时练习）如图，在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a b >），把余下的部分剪拼成一个矩形．(1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：_________A ．()2222a ab b a b -+=-B ．()()22a b a b a b -=+-C ．()2a ab a a b +=+D ．()222a b a b -=-(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知：3a b -=，2221a b -=，求a b +的值；②计算：22222111111111123420202021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【中考真题专练】【1】（2022·江苏常州）计算：(1)201(3)3---+π；(2)2(1)(1)(1)+--+x x x ．【2】（2022·广西·统考）先化简，再求值()()()22x y x y xy xy x +-+-÷，其中11,2x y ==．【3】（2022·河北·统考）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，()()22212110++-=为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m ，n ，请论证“发现”中的结论正确．a+，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵【4】（2022·浙江金华）如图1，将长为23爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．(2)当3a=时，该小正方形的面积是多少？2023七（下）第1章整式的乘除知识讲解与专项讲练2023.06.12~6.15【学习目标】1.掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2.会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。
整式的乘法与因式分解知识点
整式的乘法与因式分解知识点整式的乘法和因式分解是初中数学中的重要知识点，也是后续学习代数、方程和不等式的基础。
本文将详细介绍整式的乘法和因式分解的定义、性质和方法。
一、整式的乘法整式是由常数和单项式相加（减）得到的代数式，其中单项式是指只包含一个变量的项。
整式的乘法是指将两个或多个整式相乘的运算。
1.单项式的乘法：单项式的乘法遵循以下运算法则：-同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
例如，a^m*a^n=a^(m+n)。
-不同底数幂相乘，指数相乘。
例如，a^m*b^n=a^m*b^n。
- 系数相乘。
例如，k * t = kt。
2.多项式的乘法：多项式的乘法通过将每一项都与另一个多项式的每一项相乘，并将结果相加得到。
例如，(a+b+c)(x+y+z) = ax+ay+az+bx+by+bz+cx+cy+cz。
这个过程通常称为“分配律”。
二、整式的因式分解整式的因式分解是指将一个整式表示成几个单项式的乘积的运算。
因式分解的基本思路是找到整式的公因式，然后使用“提公因式法”将整式表示为公因式与其余部分的乘积。
1.提公因式法：假设整式ax+bx有一个公因式x，则可以将其改写为x(a+b)。
这个过程是因式分解中最基本的方法。
根据此原理，我们可以使用提公因式法因式分解更复杂的整式。
2.完全平方公式的因式分解：完全平方公式是指一个二次三项式（即一元二次多项式）的平方可以被因式分解成两个平方的和或差。
例如，a^2+2ab+b^2可以因式分解为(a+b)^2，而a^2-2ab+b^2可以因式分解为(a-b)^23.完全立方公式的因式分解：完全立方公式是指一个三次三项式（即一元三次多项式）的立方可以被因式分解成两个立方的和或差。
例如，a^3+3a^2b+3ab^2+b^3可以因式分解为(a+b)^3，而a^3-3a^2b+3ab^2-b^3可以因式分解为(a-b)^34.分组分解法：分组分解法是指根据整式中各项之间的关系将整式进行分组，以便使用提公因式法进行因式分解。
整式的乘法主要知识点解读
《整式的乘法》主要知识点解读1．同底数幂的乘法：法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
公式： (,)m n m n a a a m n +=g 为正整数。
解读：（1）法则的条件必须是底数相同的幂相乘（幂的个数不限），而不是相加，法则的结论是底数不变，指数相加，要注意指数是相加而不是相乘。
（2）底数不同的幂相乘，不能用此法则；不要忽视指数是1的因数，如606c c c +≠g 。
（3）底数是和、差或其他形式的幂相乘，应将这些和或差看成一个整体，勿犯232233()()()()x y x y x y x y ++=++g g 的错误。
2．幂的乘方：法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
公式：()(,)m n mn a a m n =为正整数解读：（1）幂的乘方的底数指的是幂的底数，而不是乘方的底数，法则中的结论“指数相乘”是指幂的指数与乘方的指数相乘。
（2）不要把幂的乘方的性质与同底数幂的乘法性质混淆。
幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算（底数不变）；同底数幂的乘法是转化为指数的加法运算（底数不变）。
3．积的乘方：法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
公式：()().m m m ab a b m =g为正整数 解读：（1）法则中的积里的每一个因式是指组成积的所有因式，不能漏掉，且各自乘方后还是乘法运算。
（2）三个或三个以上的积的乘方也具有同样的性质，即().m m m m abc a b c =gg （3）幂的以上三种运算性质都可以逆用，并且逆用之后解决问题往往会很方便，请大家在学习中体会。
一、整式的乘法：1．单项式乘以单项式：法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
解读：（1）单项式的乘法可分为三步：①把它们的系数相乘，包括符号的计算；②同底数幂相乘；③单独字母的处理。
三部分的乘积作为计算的结果。
乘法公式的灵活运用
乘法公式的灵活运用一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，x y y x x 2y 2② 符号变化，x y x y x 2y 2 x 2y 2③ 指数变化，x 2y 2x 2y 2x 4y 4④ 系数变化，2ab 2ab 4a2b 2 ⑤ 换式变化，xy z mxyz mxy 2z m 2x 2y 2z mz mx 2y 2z 2zm zm m 2x 2y 2z 22zm m 2⑥ 增项变化，x y z x y z x y 2z 2 x yx yz 2x 2xy xy y 2z 2 x 22xy y 2z 2⑦ 连用公式变化，x y x y x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 4y 4⑧ 逆用公式变化，x y z2x y z2x y zx y z x y z x y z2x 2y2z4xy4xz例1．已知2=+ba ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+ba ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a=-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+ba ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1） =19992-（19992-12）=+1 =1例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。
整式的乘法与因式分解知识点总结
整式的乘法与因式分解知识点总结整式是由整数、变量和运算符号相结合，通过加、减、乘、除等运算符号连接而成的代数式。
整式的乘法是指对两个或多个整式进行相乘的操作。
一、整式的乘法1.乘法运算的简便性：相同指数的变量相乘，可以将指数相加。
例如，a^2*a^3=a^(2+3)=a^52.简单常数的乘法：整数与整式相乘，只需将整数与整式中的每一项依次相乘。
3.分配律的运用：对于多项式的乘法，可以采用分配律以简化计算过程。
例如：(x+2)(x+3)=x*x+x*3+2*x+2*3=x^2+3x+2x+6=x^2+5x+64.合并同类项：在整式的乘法中，应合并同类项，即将指数相同的项进行合并。
例如，2x*3x=6x^25.乘法的交换律：整式在乘法中满足交换律。
例如，a*b=b*a。
二、因式分解因式分解是将一个整式拆分成多个因式的乘积的过程。
因式分解的目的是将复杂的整式转化为简单的乘法形式，方便计算与研究。
1.提公因式法：通过提取公因式的方法进行因式分解。
提公因式法的步骤如下：(1)将各项中的公因式提取出来；(2)原式中的每一项除以公因式，得到一个新的因式分解。
例如：6x^2+12x=6x(x+2)2.公式法：根据一些特定的公式进行因式分解。
例如：a^2-b^2=(a-b)(a+b)x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)(x+y) = (x+y)^23.分组分解法：根据整式中存在的属于同一类别的项的相似性，将其进行分组并提取公因式。
例如：ab + ac + bd + bc = a(b+c) + b(d+c) = (b+c)(a+d)4.公因式分解法：在整式中找出各项的公因式，并将其提取出来，得到一个新的因式分解。
例如：2a^2b^2 + 4ab^3 = 2ab^2(a + 2b)5.平方差公式：根据平方差公式进行因式分解。
例如：a^2-b^2=(a-b)(a+b)6.根据特定条件进行因式分解：对于特定形式的整式，可以根据一些特定的条件进行因式分解。
整式分式复习资料
整式乘除与因式分解一、重点难点：重点是整式的乘法运算，因式分解运算．难点是乘法公式的灵活运用和分解因式的方法。
二、知识要点【知识点一】幂的运算（1）同底数幂的乘法:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.即 n m n m a a a +=⋅(m ,n 都是正整数)（2）幂的乘方:幂的乘方:底数不变, 指数相乘.即 mn n m a a =)((m ,n 都是正整数)（3）积的乘方:先把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的结果相乘.即n n n b a ab =)((n 是正整数)（4）同底数幂的除法:同底数幂相除,底数不变,指数相减.（这个也可以看做分式的运算）即n m n m a a a -=÷(a ≠0, m ,n 都是正整数，且m ＞n )① 零指数幂:不等于零的数的零次幂等于1. 即=0a 1(a ≠0).推导过程：1a 0-===÷a a a m m m m （这里面注意：a ≠0，因为分母中有a ）②负整数指数幂: 不等于零的数的负整数次幂等于这个数的正整数次幂的倒数.即 =-p a p a 1 (a ≠0,p 是正整数).例1. 计算a a a ⋅+2433)(2)(3解:a a a ⋅+2433)(2)(3=9998952323a a a a a a =+=⋅+点评:在整式运算中同样应遵循有括号先算括号（先小括号，再中括号，后大括号，），然后算乘方、再算乘除、最后算加减的原则.例2：0. 252009×42009－8100×0. 5300．解： 0. 252009×42009－8100×0. 5300＝（0. 25×4）2009－（23）100×0. 5300＝12009－（2×0. 5）300＝1－1300＝0【知识点二】整式乘法(1) 单项式乘单项式单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因数.即：3a 2b 4c ×2x 3bc 6=(3×2)(b 4×b)(c ×c 6)×a 2×x 3=6a 2x 3b 5c 7(2)单项式乘多项式单项式与多项式相乘,就是根据乘法对加法的分配律,用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加.即：a(m+n)=am+an （单项式计算部分与上面原理相同）(3)多项式乘多项式多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.（就是反复多用几次乘法分配律）。
整式的乘法公式的实际应用
整式的乘法公式的实际应用1. 引言整式的乘法公式是数学中重要的基础知识之一。
它是解决多项式的乘法运算的基本方法，广泛应用于实际生活中的问题解决中。
本文将介绍整式的乘法公式的定义和运用，并通过实际问题引入多项式的乘法运算。
2. 整式的乘法公式整式是指由常系数与未知数的乘积相加或相减而组成的代数表达式。
整式的乘法公式是指两个整式相乘时所遵循的运算规律。
根据乘法公式，若有两个整式相乘，首先将每一个整式中的每一项分别与另一个整式中的每一项相乘，然后将所得的乘积相加。
这样，就得到了两个整式的乘积。
例如，对于多项式(a+b)(c+d)，根据整式的乘法公式，我们可以用分配律展开运算，得到ac+ad+bc+bd。
这个展开式就是两个整式相乘的结果。
3. 实际应用举例整式的乘法公式在实际生活中有着广泛的应用。
以下将通过几个实际问题引入整式的乘法公式的应用。
3.1. 面积计算假设有一个矩形的长为x+2厘米，宽为3x厘米。
我们可以用整式的乘法公式计算出这个矩形的面积。
根据矩形的面积公式 $S = l \\times w$，其中l代表矩形的长，w代表矩形的宽。
将给定的整式代入公式，可以得到：$S = (x+2) \\times (3x) = 3x^2 + 6x$因此，这个矩形的面积可以表示为3x2+6x平方厘米。
3.2. 物体数量计算假设有一个班级，班上有x+5个男生，每个男生身上带着3x个铅笔。
我们可以用整式的乘法公式计算出班级男生所有铅笔的总数。
根据每个男生带着的铅笔数量，我们可以得到班级男生所有铅笔的总数为$(x+5) \\times (3x)$。
使用乘法公式进行展开运算，可以得到：3x2+15x因此，班级男生所有铅笔的总数可以表示为3x2+15x支。
3.3. 代数式的化简根据整式的乘法公式，我们可以将代数式进行化简，简化计算过程。
假设有一个代数式2(x+3)(x−4)，我们可以使用乘法公式进行展开运算，得到：2(x+3)(x−4)=2(x2−4x+3x−12)=2(x2−x−12)通过乘法公式的运算，我们将一个复杂的代数式化简为一个简单的整式。