复习1：二次函数的图像及其性质

AB . OC 又∵S△ABC=8 即 8 2 ∴OC=4 即点C（0,4）
O B
AB=4
设这个函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)
E A
x
把（-1,0）（3,0）（0,4）代入 a-b+c=0
9a+3b+c=0 解得 b=
c=4
4 a= 3 8
3
c=4
所以这个二次函数的解析式为:
13、 已知二次函数 y x 4 x 5的图象与 x 轴交 于A、B两点，与 y 轴交于C点，顶点为D点. （1）求出抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）求出A、B、C的坐标； （3）求△ DAB的面积.
5．若抛物线 y＝ax2 经过点(1，－4)，则它也经 过点( D ) A．(－1,4) B．(－4,1) C．(1,4) D．(－1，－4)
[解析] 图象关于 y 轴对称，则点(1，－4)关于 y 轴对 称的点为(－1，－4)，故选 D.
·新课标
1 2 6．[2011· 玉林、防城港] 已知抛物线 y＝－ x ＋2，当 1≤x≤5 3 时，y 的最大值是( C ) 2 5 7 A．2 B. C. D. 3 3 3 1 [解析] 由抛物线 y＝－ x2＋2 的对称轴是 x＝0，因为抛物线开 3 口向下， 在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而减小， 所以当 x＝1 时， 5 y 值最大，所以 y＝ . 3
二次函数的图象及其性质复习
·新课标
│考点随堂练│
考点1 二次函数的定义
≠0
2.二次函数的表达式： （1 ）二次函数的一般形式:函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0) 注意：它的特殊形式：当b＝0，c＝0时：y＝ax2 当b＝0时： y＝ax2＋c 当c＝0时： y＝ax2＋bx （2）顶点式：y=a(x-h)2+k（a≠0) （3）交点式：y=a(x-x1)(x-x2) （a≠0) ·新课标
1、下列函数中，是二次函数的是 ① ② 2 2
①②③⑦
.
1
y ( x 1) 2 4 y x 4x 1 y 2x 2 4 ⑤ y mx2 nx p ⑥ ④ y 3x y x ⑧ 2 2 ⑦ y ( x 1) x y 3( x 2)(x 1)
观察思考：1、二次函数图象y=x2-2x-3的对称轴是什么？ 2、对称轴的值与x轴的交点A、B的横坐标之间有什么关系？ 3、图象与x轴的两个交点到对称轴的距离有什么关系？ 1、二次函数y=x2-2x-3的对称轴是直 线x=1 2、它是图象与x轴交点（-1,0） 1 3 1 （3,0）横坐标的和的一半即：
y最大 c
x h时 y最大 0
x h时 y最大
b 4ac b2 k x 2a 时，y最大 4a
y y x x
在对称轴左侧，y随x的增大而减小 在对称轴右侧，y随x的增大而增大 在对称轴左侧，y随x的增大而增大
增 减 性
在对称轴右侧，y随x的增大而减小
1 4.对于抛物线 y＝－ (x－5)2＋3，下列说法正确的是( A ) 3 1 A．开口向下，顶点坐标(5,3) [解析] a＝－ <0，开口向下． 3 B．开口向上，顶点坐标(5,3) C．开口向下，顶点坐标(－5,3) D．开口向上，顶点坐标(－5,3)
7、若抛物线y=-x2向左平移2个单位, 再向下平移4个单位所得抛物线的解析式是________
将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平移得 到抛物线y=2(x+2)2-1
·新课标
8． 二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c 的图象如图 15－ 1 所示， 若点 A(1， y1 ) ， B(2， y2)是它图象上的两点， 则 y1 与 y2 的大小关系是 ( C )
2
y
4
3
2
（3，0）
1 3、图象与x轴两个交点到对称轴的距 （-1，0） 离相等 -3 -2 -1 0 1 2 -1 -2 -3
3 x
17． [2011· 玉溪 ]如图 15－ 4， 函数 y＝－ x2＋ bx＋ c 的部分图象与 x 轴、 y 轴的交点分别为 A(1,0)， B(0,3)，对 称轴是 x ＝－ 1 ，在下列结论中，错误的是 ( C ) A．顶点坐标为 (－ 1,4) B．函数的解析式为 y＝－x2－ 2x＋ 3 C．当 x＜ 0 时， y 随 x 的增大而增大 D．抛物线与 x 轴的另一个交点是(－ 3,0) 图 15－4 [解析 ] 因为函数 y＝－ x ＋ bx＋ c 的图象过点 A(1,0)，B(0,3)，则 0＝－1＋b＋ c， 有 解得 b＝－ 2； c＝ 3，则 y＝－x2－2x＋ 3； 3＝ c，
[解析] y＝3x2－2 的顶点为(0，－2)，y＝3x2 的顶点为(0,0)， 所以将 y＝3x2 的图象向下平移 2 个单位就得到 y＝3x2－2， 顶点为(0，－2)，对称轴是 y 轴．
·新课标
11． [2011· 舟山 ]如图 15－2，已知二次函数 y＝ x2＋ bx＋ c 的图象经过点 (－1,0)， (1， － 2)， 当 y 随 x 的增大而增大时， x 的取值范围是
[解析] 将(1,0)代入二次函数解析式，求得 c＝－8，再代入配 方求出顶点． 10 ．抛物线 y ＝3x2－ 2 的图象可由抛物线 y ＝ 3x2 的图象向 下 平移______ ，－2) ， ______ _________ 2 个单位得到，它的顶点坐标是 (0 对称轴是 _______ y轴 ．
对称轴
直线 x h 直线 x h
直线
x
b 2a
最 值
2 x 0时， x h时x h时 x 0时， b 4 ac b a>0 x 时，y最小 y最小 0 y最小 k y最小 0 y最小 c 2a 4a
a<0 a>0 a<0
x 0时 x 0时 y最大 0
b2 – 4ac= 0
b2 – 4ac< 0
(3)没有交点
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
·新课标
一、探究
探究1、求二次函数图象y=x2-2x-3与x轴的交点 A、B的坐标。 解：∵A、B在轴上， ∴它们的纵坐标为0， ∴令y=0，则x2-2x-3=0 解得：x1=3，x2=-1； ∴A（3，0） ， B（-1，0） 你发现方程 x2-2x-3=0 的解x1、x2与A、B的 坐标有什么联系？
1 x> ______________. 2
[解析 ]把点 (－1,0)，(1，－ 2)代入 y＝ x2＋ bx＋ c， 图 15－2 1－ b＋ c＝0， b＝－1， 得 解得 1＋ b＋ c＝－ 2. c＝－ 2. －1 b 1 2 ∴ y＝ x －x－ 2.∴二次函数的对称轴为 x＝－ ＝－ ＝ . 2 2 2a 1 ∴当 y 随 x 的增大而增大时， x 的取值范围是 x＞ . 2
15．如图 15－ 7 所示，一个二次函数的图象经过点 A， C， B 三点，点 A 的坐标为 (－1,0)，点 B 的坐标为(4,0)，点 C 在 y 轴 的正半轴上，且 AB＝ OC. (1)求点 C 的坐标； (2)求这个二次函数的解析式，并求出该函数的最大值．
解： (1)∵ A(－ 1,0)， B(4,0)， ∴ AO＝ 1, OB＝ 4， 即 AB＝ AO＋ OB＝ 1＋ 4＝ 5. ∴ OC＝ 5，即点 C 的坐标为 (0,5)． (2)设图象经过 A， C， B 三点的二次函数的解析式为 y＝ a(x－ 4)(x＋ 1)， 图 15－7 ∵点 C(0,5)在图象上． 5 ∴ 5＝a(0－ 4)(0＋1)，即 a＝－ . 4 5 ∴ 所求的二次函数解析式为 y＝－ (x－4)(x＋ 1)． 4 4ac－ b2 125 5 2 15 即 y＝－ x ＋ x＋5， y 最大＝ ＝ . 4 4 16 4a
·新课标
·新课标
考点4
a,b,c符号的意义
y=ax² +bx+c 的图象是一条抛物线，
对称轴是直线x=
b 2 4ac b 2 二次函数 y a( x 2a ) 4a (
a≠0)
顶点坐标是 （
2
b 2a 4ac b 2 b 2 a ， 4a ）
b 4ac b2 y a x 2a 4a
[解析] 由抛物线的图象 a<0，b>0，c>0，对称轴为直线 x＝1. 就可以判断①②③④是正确的．
·新课标
考点5 二次函数与一元二次方程的关系
二次函数图象与x轴交点的横坐标即是相应一元二次方程的根
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: (1)有两个交点 (2)有一个交点 b2 – 4ac > 0
2
y A
(1)直线 x = 2，（2，-9）
B x
O
(2) A（－1，0） B（5，0） C（0，－5）
C D
(3) 27
·新课标
14．已知二次函数 y＝－ x2＋ bx＋ c 的图象如图 15－ 6 所示，它与 x 轴的一个交点坐标为 (－ 1,0)，与 y 轴的交点坐标为 (0,3)． (1)求出 b， c 的值，并写出此二次函数的解析式； (2)根据图象，写出函数值 y 为负数时，自变量 x 的取值范围．
·新课标
判断正负性
例、如图，二次函数y=ax2+bx+c
则a 0, b a+b+c b2-4ac 0, c 0, 0 0,
－1 1 1 － 1
a－b+c 0,
练习：判断下列抛物线中a,b,c的符号 y y y
0
x
0