对策与决策模型

a1n ⎤ a2 n ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ amn ⎥ ⎦
2、可转化为零和对策的对策 局中人B 1 局中人A 1 2 3 4 (8, 2) (4, 6) (2, 8) (6, 4) 2 (1, 9) (9, 1) (6, 4) (4, 6) 3 (7, 3) (3, 7) (8, 2) (6, 4)
A之所得并非为B之所失，但双方赢得数之和为一常数。
（1）局中人。参加决策的各方被称为决策问题的局中人， 一个决策总是可以包含两名局中人（如棋类比赛、人与大自 然作斗争等），也可以包含多于两名局中人（如大多数商业 中的竞争、政治派别间的斗争）。局中人必须要拥用可供其 选择并影响最终结局的策略，
（2）策略:局中人能采取的可行方案称为策略，所谓策略是指
1 ⎤ 0.58⎥ ⎦
。
易求得
μ = max min aij = 0.82 ， ν = − min max aij = −1
i j j i
由于μ+ν≠0，矩阵R不存在鞍点，应当求最佳混合策略。
现设A以概率x1取策略 α 1、概率x2取策略 α 2； B以概率y1取策略 β 1、概率y2取策略 β 2。
对策问题的特征是参与者为利益相互冲突的各方，其结局 不取决于其中任意一方的努力而是各方所采取的策略的综合 结果。
例 （囚犯的困惑） 警察同时逮捕了两人并分开关押，逮捕的原因是他们持有大 量伪币，警方怀疑他们伪造钱币，但没有找到充分证据，希 望他们能自己供认，。将嫌疑犯A、B被判刑的几种可能情况 列表如下：
在整个竞争过程中对付他方的完整方法，并非指竞争过程中某步所采取 的具体局部办法。
（3）策略集合:每一局中人可采取的全部策略称为此局中人 的策略集合。记局中人i的策略集合为Si。 对策问题中，对应于每一局中人存在着一个策略 集合，而每一策略集合中至少要有两个策略，否则该 局中人可从此对策问题中删去，因为对他来讲，不存 在选择策略的余地。 (4)局势:当对策问题各方都从各自的策略集合中选定了一个 策略后，各方采取的策略全体可用一矢量表示，称之为一个 纯局势（简称局势）。对策问题的全体纯局势构成的集合S称 为此对策问题的局势集合， s = s1 × s2 × × sn
综上所述，一个对策模型由局中人、策略集合和赢 得函数三部分组成。记局中人集合为I = {1,…,k}， 对每一i∈I，有一策略集合Si，当I中每一局中人i选 定策略后得一个局势s；将s代入赢得函数F，即得一 矢量F(s) = ( F1(s),…,Fk(s))，其中Fi(s)为在局势s下 局中人i的赢得（或支付）。
例：给定G = { SA, SB, R}，
⎡ 3 −4 2 ⎤ ⎢ −1 4 −2 ⎥ ⎥ R=⎢ ⎢ −3 1 3 ⎥ ⎢ ⎥ 1 −1 1 ⎦ ⎣
考察赢得矩阵R。若双方都采取保守的max min原则， 将会出现纯局势 （ 4, 1）或（ 4, 3）。 但如果局中人A适当改换策略，他可以增加收入。例如，如果B采用策略 1，而A改换策略 1，则A可收益 3。但此时若B改换策略 2，又会使A输 掉4，……。 这时，局中人均应根据某种概率来选用各种策略，即采用混合策略的办 法，使自己的期望收益尽可能大。
解：双方可选择的策略集分别为 SA = { α 1,
α2}, α 1：轰炸机 I 装炸弹， II 护航 α 2：轰炸机 II 装炸弹，I 护航
β 2}, β 1：阻击轰炸机 I β 2：阻击轰炸机 II
SA = { β 1,
赢得矩阵R=（aij）2×2，由题意可计算出： R = ⎡0.82 ⎢
⎣ 1
对策与决策模型 对策与决策模型
对策与决策模型
对策与决策是人们生活和工作中经常会遇到的择 优活动。人们在处理一个问题时，往往会面临几种 情况，同时又存在几种可行方案可供选择，要求根 据自己的行动目的选定一种方案，以期获得最佳的 结果。
例 （田忌赛马） 田忌赛马是大多数人都熟知的故事，传说战国时期齐王欲与 大将田忌赛马，双方约定每人挑选上、中、下三个等级的马 各一匹进行比赛，每局赌金为一千金。齐王同等级的马均比 田忌的马略胜一筹，似乎必胜无疑。田忌的朋友孙膑给他出 了一个主意，让他用下等马比齐王的上等马，上等马对齐王 的中等马，中等马对齐王的下等马，结果田忌二胜一败，反 而赢了一千金。
三、非零和对策（双矩阵对策）
除了零和对策外，还存在着另一类对策问题，局中人获利之和并非常数。 例 现有一对策问题，双方获利情况见下表。 B方 A方 1 2 3 4 （8,2） （3,4） （1,6） （4,2） （0,9） （9,0） （6,2） （4,6） （7,3） （2,7） （8,1） （5,1） 1 2 3
（2）可交换性。若（ α i1, β j1）、（ α i2 , β j2）均为对策G的解， 则（ α i1 , β j2）和（ α i2 , β j1）也必为G的解。
然而，在实际遇到的零和对策中更典型的是μ+ν≠0的情况。由于赢得 矩阵中不存在鞍点，至少存在一名局中人，在他单方面改变策略的情况 下，有可能改善自己的收益。
, j=1, 2, …, n (即Ej≤Ek)
∑x
i =1
m
i
=1
的解。
xi≥0, i =1,2,…,m
同理，Y 应为线性规划
max ν S.t
∑
yi = 1
n
i =1
a ij y i ≥ ν
, i=1, 2, …, m
∑
n
j =1
yj≥0, i =1,2,…,n
的解。
为了此例中A方的最优混合策略，求解线性规划 min u S.t 0.82x1 + x2 ≤u x1 + 0.58x2 ≤u x1 + x2 = 1 x1 , x2 ≥0 可得最优混合策略x1 =0.7, x2 =0.3。类似求解线性规划 max υ S.t 0.82y1 +y2 ≤υ y1 +0.58y2 ≥υ y1 +y2 =1 y1 , y2 ≥0 可得B方最优混合策略：y1 =0.7, y2 =0.3。
α （ α i* , β j*）相对应的 ai* j* 称为赢得矩阵的鞍点， i* 与 β j* 分别称为局中人
A与B的最优策略。 给定一个对策G，如何判断它是否具有鞍点呢？为了回答这一问题，先引 入下面的极大极小原理。
极大极小原理：设G = { SA, SB, R }，记 μ = max min(aij ) ，
定义 对于两人对策G = { SA, SB, R}，若有 ）使得 ，则称G具有稳定解，并称VG为对策G的值。若纯局势（ α i* , β j*
max min aij = min max aij
i j j i
VG
min ai* j = max aij* = VG
j j
，则称（α i* , β j* ）为对策G的鞍点或（稳定）解，赢得矩阵中与
例如，若一对策中包含A、B两名局中人，其策略集合分别为 SA = { α 1,…, α m}，SB = { β 1,…, β n}。若A选择策略α i而B选策
α 略 β j，则（ i, β j）就构成此对策的一个纯局势。显然，SA与
SB一共可构成m×n个纯局势。
（5）赢得函数（或称支付函数）:对策的结果用矢量表示， 称之为赢得函数。赢得函数F为定义在局势集合S上的矢值函 数，对于S中的每一纯局势S，F（S）指出了每一局中人在此 对策结果下应赢得（或支付）的值。
其中最好的可能为max {－22,2,－10}=2。如果A采取策略 α2，无论B采 取什么策略，A的赢得均不会少于2.
min {－6, 0, －10, 16} = －10
3、稳定点（鞍点）
只要对方不改变策略，任一局中人都不可能通过变换策略来 增大赢得或减小损失，称这样的局势为对策的一个稳定点或 稳定解，（也被称为鞍点）
从R中可以看出，若A希望获得最大赢利30，需采取策略
α 1，但此时若B采
取策略 β 4，A非但得不到30，反而会失去22。为了稳妥，双方都应考虑到 对方有使自己损失最大的动机，在最坏的可能中争取最好的结果。局中 人A采取策略
α α α1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2、 3时，最坏的赢得结果分别为
min { 12, －6, 30, －22 } = －22 min { 14, 2, 18, 10} =2
Y ）为混合策略对策问题的鞍点。此时，
X ，Y 为使 X T R 和
RY
各分量相等的取值。
定理 （Von Neumann）任意混合策略对策问题必存在鞍点，即必存在概率向 量和，使得： T RY X
= max min X T RY = min max X T RY
y x x y
（证明从略）。
例 A、B为作战双方，A方拟派两架轰炸机I和II去轰炸B方 的指挥部，轰炸机I在前面飞行，II随后。两架轰炸机中只 有一架带有炸弹，而另一架仅为护航。轰炸机飞至B方上 空，受到B方战斗机的阻击。若战斗机阻击后面的轰炸机 II，它仅受II的射击，被击中的概率为0.3（I来不及返回 击它）。若战斗机阻击I，它将同时受到两架轰炸机的射 击，被击中的概率为0.7。一旦战斗机未被击落，它将以 0.6的概率击毁其选中的轰炸机。请为A、B双方各选择一个 最优策略，即：对于A方应选择哪一架轰炸机装载炸弹？对 于B方战斗机应阻击哪一架轰炸机？
此时，若将各人赢得数减去两人的平均赢得数，即可将赢得表化为零和 赢得表。对策转化为零和对策后，具有赢得矩阵
例
给定G = { SA, SB, R}，其中SA = {α1, α 2, α 3}，SB = { β 1, β2, β 3, β4}
β1
β2
β3
β4
⎡12 −6 30 −22 ⎤ α1 R = ⎢14 2 18 10 ⎥ α 2 ⎢ ⎥ ⎢ −6 0 −10 16 ⎥ α 3 ⎣ ⎦
ν = − min max(aij )