电磁场与电磁波 第7章 时变电磁场

t

S
D dS

S
D J + dS 0 t
J
t
对于静态场，由于电荷分布与时间无关，因此获得电流连续性
原理，即

S
J dS 0
J 0
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2
对于时变电磁场，因电荷随时间变化，不可能根据电荷守恒原理推
出电流连续性原理。但是电荷守恒及电流连续是客观存在的物理现象， 为此必须扩充前述的电流概念。众所周知，随时间变化的时变电流可以
通过真空电容器或理想介质电容器。显然，这种电容器中的电流既不是
由电子运动形成的传导电流或运流电流，而是将要介绍的位移电流。 静电场的高斯定律 D d S q 同样适用于时变电场。考虑到上述
x
exH
z
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在 x = 0 的侧壁上，H x 0
J S ex ezH
z0
sin( t k z z ) e y H
z0
sin( t k z z )
在 x = a 的侧壁上，H x 0
J S e x e z ( H
z0
sin( t k z z )) e y H
D t
) dS
H J E B t
D t

l
E d l
S
B t
dS
磁通连续性原理
高斯定律

S
B dS 0
B 0
D

S
D dS q
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积分形式
微分形式

H dl
l

②
在 y = 0 的内壁上
S e y ( E y ) E y
J S e y (H
x
H z ) e z H
x
exH
z
在 y = b 的内壁上
S e y ( E y ) E y
J S e y (H
x
H z ) ezH
对于各向同性的线性媒质，上式又可表示为 1 H 1 n 2 H 2 n
第三，电位移的法向分量边界条件与媒质特性有关。
在一般情况下，由高斯定律求得
D 2n D 1n
S
en et ,

D2n
或写成矢量形式
e n ( D 2 D1 ) S
S
D1n
式中 s 为边界表面上自由电荷的面密度。
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2. 麦克斯韦方程
静态场中的高斯定理及磁通连续性原理对于时变电磁场仍然成立， 那么，考虑到电磁感应定律及全电流定律，麦克斯韦归纳为四个方程
式，其积分形式和微分形式分别如下：
积分形式 全电流定律 电磁感应定律 微分形式

H dl
l

S
(J
0
，自然不存在位移电流。在时变电场中，
电场变化愈快，产生的位移电流密度也愈大。在电导率较低的媒质中， 位移电流密度有可能大于传导电流密度(如电容器极板之间)。但是，在
良导体中传导电流占主导地位，而位移电流可以忽略不计。
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在时变电场中，由于位移电流存在，麦克斯韦认为位移电流也可产 生磁场，因此前述的安培环路定律中必须增加一项位移电流，即
S
电荷守恒定律，得

S
D J dS 0 t
相应的微分形式为
D J 0 t
全电流连续性原理。
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显然，上式中
D t
具有电流密度量纲，英围物理学家麦克斯韦称它
D t
(J J d ) 0
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对于两种理想介质形成的边界，由于不可能存在表面自由电荷，
因此
D 1n D 2n
此式表明，两种理想介质形成的边界上，电位移的法向分量是连续的。
对于各向同性的线性介质，上式又可写为
1 E 1 n 2 E 2n
第四，磁场强度的切向分量边界条件也与媒质特性有关。 在一般情况下，由于边界上不可能存在表面电流，根据全电流定 律，只要电位移的时间变化率是有限的，采用前述同样方法可得
定位导航系统等，无不利用电磁波作为传播媒体。无线信息高速公 路更使人们能在任何地点、任何时间同任何人取得联系，发送所需 的文本、声音或图象信息。电磁波的传播还能制造一种身在远方的 感觉，形成无线虚拟现实。电磁波获得如此广泛的应用，更使我们 深刻地体会到19世纪的麦克斯韦和赫兹对于人类文明和进步的伟大 贡献。
为位移电流密度，以 Jd 表示，即
那么，求得
Jd

S
(J J d ) dS 0
由此可见，引入位移电流概念以后，时变电流仍然是连续的。由于
此时包括了传导电流，运流电流及位移电流，因此，上式称为全电流连
续性原理。 可见，位移电流密度是电位移的时间变化率，或者说是电场的时间变化
D t
率。在静电场中，由于
9. 麦克斯韦方程的复数形式 10. 位函数的复数形式 11. 能量密度与能流密度矢量 的复数形式
1. 位移电流 位移电流不是电荷的运动，而是一种人为定义的概念，但是这种
人为定义的电流对于分析与描述时变电磁场特性是非常有益的。
前述的电荷守恒原理表明
I

S
J dS
t
q
E t D t H t B t 0
那么，上述麦克斯韦方程变为前述的静电场方程和恒定磁场方程，电
场与磁场不再相关，彼此独立。
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处于信息时代的今天，从婴儿监控器到各种遥控设备、从雷达到
微波炉、从地面广播电视到太空卫星广播电视、从地面移动通信到
宇宙星际通信、从室外无线局域网到室内蓝牙技术、以及全球卫星
(J
S
D t dS
) dS
H J E B t
D t
l
E dl
B
S
t
B dS
S
0
B 0
D

D dS q
S
由微分形式的麦克斯韦方程式可见，时变电场是有旋有散的，时 变磁场是有旋无散的。但是，时变电磁场中的电场与磁场是不可分割 的，因此，时变电磁场是有旋有散场。但是在电荷及电流均不存在的 无源区中，时变电磁场是有旋无散的。电场线与磁场线相互交链，自 行闭合，从而在空间形成电磁波。此外，时变电场的方向与时变磁场 的方向处处相互垂直。
H
l
dl

S
(J J d ) dS
) dS H J D t
即

H dl
l

(J
S
D t
上两式称为全电流定律。它表明，时变磁场是由传导电流，运流电流以 及位移电流共同产生的。已知位移电流是由时变电场形成的，由此可见， 时变电场可以产生时变磁场。电磁感应定律表明，时变磁场可以产生时 变电场，因此，麦克斯韦引入位移电流概念以后，认为时变电场与时变 磁场相互转化的特性可能会在空间形成电磁波。这一预见，后来在1888 年被德国学者赫兹的实验所证实。
即可获得上面结果。
E dl
l

B
S
t
dS
D1t D2t
对于各向同性的线性媒质，上式又可写为
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1

2
第二, 在任何边界上，磁感应强度的法向分量是连续的。
由磁通连续性原理，即可证明
B1 n B 2n
或写成矢量形式
e n ( B 2 B1 ) 0
H 1t H 2 t
或写成矢量形式
en (H 2 H 1) 0
此式表明，在一般边界上，磁场强度的切向分量是连续的。但是 在理想导电体表面上可以形成表面电流，此时磁场强度的切向分量是 不连续的。
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设边界由理想介质与理想导电体形成，已知在理想导电体内部不
可能存在电场，否则将会导致无限大的电流，因此，理想导电体内 部也不可能存在时变磁场，否则这种时变磁场在理想导电体内部会
y
H
b a z x
x
H
x0
H
z
H
z0
其坐标如图示。试求波导中的位移电流分布和波导内壁上的电荷及
电流分布。波导内部为真空。
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解
①
由前式求得位移电流为
Jd D t
π e y E y 0 sin x sin( t k z z ) a
E B t t
代入，整理后得
H 2H t
2
J
若对电磁感应定律两边取旋度，再将全电流定律代入，整理后得
E 2E t 2 J t
利用矢量恒等式 A A 2 A ，同时考到 B 0 及
z0
sin( t k z z )
在 x = 0 及 x = a 的侧壁上，因 E y 0 ，所以 S 0 。 根据这些结果绘出的矩形波导
y
内壁电流分布如左图示。
z x 2012-10-13 18
内壁电流
作业：7-2；7-3；7-4
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4. 标量位与矢量位
设媒质是线性均匀且各向同性的，那么对微分形式的麦克斯韦方 程 中 全 电 流 定 律 H J D 两 边 取 旋 度 ， 再 将 电 磁 感 应 定 律