高考数学题型全归纳：数列的概念知识总结及例题讲解(含答案)
数列高考知识点归纳(非常全!) - 含答案
数列高考知识点大扫描第一节等差数列的概念、性质及前n 项和例1．等差数列{a n }中，69121520a a a a +++=，求S 20 [思路]等差数列前n 项和公式11()(1)22n n a a n n n S na d +-==+： 1、 由已知直接求a 1，公差d.2、 利用性质q p n m a a a a q p n m +=+⇒+=+[解题 ] 由69121520a a a a +++=，615912120a a a a a a +=+=+，得1202()20a a +=，12010a a ∴+=，120()201002n a a S +⨯∴==。
[收获] 灵活应用通项性质可使运算过程简化。
练习：1.等差数列{a n }满足121010a a a +++= ，则有（）A 、11010a a +> B 、21000a a +< C 、3990a a += D 、5151a =2.等差数列中,a 3+a 7-a 10=8,a 11-a 4=4,求13S 。
3.等差数列{a n }共10项，123420a a a a +++=，12360n n n n a a a a ---+++=，求S n. [思路] 已知数列前四项和与后四项和，结合通项性质，联想S n 公式推导方法。
[解题] 已知123420a a a a +++=，12360n n n n a a a a ---+++=，又14()80n a a +=，得120n a a +=，1()201010022n n a a n S +⨯∴==⨯=，[收获] 1、重视倒加法的应用，恰当运用通项性质：q p n m a a a a q p n m +=+⇒+=+，快捷准确；1、 求出1n a a +后运用“整体代换”手段巧妙解决问题。
4.等差数列{a n }前n 项和为18 ，若1S =3, 123n n n a a a --++=, 求项数n .第2变已知前n 项和及前m 项和，如何求前n+m 项和[变题2] 在等差数列{a n }中，S n =a,S m =b,(m>n)，求S n+m 的值。
数列知识点总结及题型归纳---含答案
数列一、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。
例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a 题型二、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。
例：1.已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，==+等于（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．642.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）6703.等差数列12,12+-=-=n b n a n n ，则n a 为 n b 为 （填“递增数列”或“递减数列”）题型三、等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。
其中2a bA += a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=即：212+++=n n n a a a （m n m n n a a a +-+=2） 例：1．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= （ ）A ．120B ．105C ．90D ．752.设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ） A ．1 B.2 C.4 D.8题型四、等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； 题型五、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+n da ）（2n 2112-+=。
新高考数列知识点总结归纳
新高考数列知识点总结归纳数列是数学中重要的概念之一，它是由一系列按特定规律排列的数按一定的次序形成的有序集合。
而在新高考数学考试中，数列作为一个重要的知识点，经常出现在试卷中。
本文将对新高考数列相关的知识点进行总结归纳，以期帮助同学们更好地掌握数列的概念和相关的解题方法。
一、数列的基本概念数列由一系列按特定规律排列的数按照一定的次序形成，通常用{a₁，a₂，a₃，...，aₙ}表示。
其中，a₁表示数列的第一个数，aₙ表示数列的第n个数。
数列中相邻两项之间的差称为公差，通常用d表示。
若给定数列的第一项和公差，可以通过an = a₁ + (n-1)d来计算数列的第n项。
二、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差恒定的数列。
在新高考数学中，等差数列是最常见的数列类型之一。
1. 等差数列的通项公式对于等差数列{a₁，a₂，a₃，...，aₙ}，如果其公差为d，首项为a₁，那么它的通项公式为an = a₁ + (n-1)d。
2. 等差数列的和等差数列的和可以通过求和公式Sn = n/2[2a₁ + (n-1)d]来计算，其中Sn表示等差数列的前n项和。
3. 等差数列的性质等差数列具有以下性质：- 等差数列的相邻两项的和相等；- 等差数列的前n项和与n成正比；- 等差数列的对称轴为前后两项和的平均值。
三、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比恒定的数列。
在新高考数学中，等比数列也是常见的数列类型之一。
1. 等比数列的通项公式对于等比数列{a₁，a₂，a₃，...，aₙ}，如果其公比为q，首项为a₁，那么它的通项公式为an = a₁ * q^(n-1)。
2. 等比数列的和等比数列的和可以通过求和公式Sn = a₁ * (1 - q^n)/(1 - q)来计算，其中Sn表示等比数列的前n项和。
3. 等比数列的性质等比数列具有以下性质：- 等比数列的相邻两项的比相等；- 等比数列的前n项和与n无关；- 等比数列的对数轴为前后两项比的平均值的对数。
数列题有关知识点总结归纳
数列题有关知识点总结归纳数列题是高中数学中一个重要的知识点，涉及到数列的定义、性质、通项公式、求和公式等内容。
下面是对数列题相关知识点的总结归纳。
一、数列的定义和性质数列是按照一定规律排列的一组数的集合。
常用的表示数列的方法有两种：通项公式和递归式。
通项公式是由数列的第一项和公差（或公比）组成的公式，可以直接计算数列的任意一项。
递归式是通过给出数列的前几项和递推关系来给出整个数列。
数列有很多重要性质，下面是一些常见的性质：1. 数列的项与项之间可以进行运算，如加减乘除。
2. 数列的同一位置的项组成的新数列，称为数列的子列。
3. 数列的子列可以是有限的，也可以是无限的。
4. 数列中的数称为项，数列的项数称为无限项数列的项数为正无穷。
5. 数列可以按照项数的奇偶性进行分类，得到奇数项数列和偶数项数列。
二、等差数列等差数列是指数列中任意两项之间的差都相等的数列。
等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1)d$。
其中，$a_n$表示第n项，$a_1$表示首项，d表示公差。
等差数列常见的问题类型包括：已知首项和公差，求第n项；已知首项和第n项，求公差；已知首项和末项，求项数等。
三、等比数列等比数列是指数列中任意两项之间的比都相等的数列。
等比数列的通项公式为：$a_n = a_1 \times r^{(n-1)}$。
其中，$a_n$表示第n项，$a_1$表示首项，r表示公比。
等比数列常见的问题类型包括：已知首项和公比，求第n项；已知首项和第n项，求公比；已知首项和末项，求项数等。
四、数列求和公式数列求和是指根据数列中的项数，计算数列的部分项或全部项之和。
常用的数列求和公式包括等差数列的求和公式和等比数列的求和公式。
等差数列求和公式为：$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，其中，$S_n$表示数列的前n项和。
等比数列求和公式为：$S_n = \frac{a_1 \times (1 - r^n)}{1 - r}$，其中，$S_n$表示数列的前n项和。
高中数列知识点归纳总结及例题
高中数列知识点归纳总结及例题数列是高中数学中的一个重要概念，它在许多数学问题中都起着至关重要的作用。
通过学习数列的定义、性质和求解方法，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
本文将对高中数列知识点进行归纳总结，并附上相关例题供读者练习。
1. 数列的定义与性质数列是按照一定顺序排列的一组数。
其中，每一个数称为数列的项，位置称为项数，用字母a表示数列的通项。
数列的性质包括等差数列和等比数列两种常见情况：1.1 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
设数列为{an}，公差为d，则有如下性质：（1）通项公式：an = a1 + (n-1)d（2）前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2（3）项数公式：n = (an - a1) / d + 1例题1：已知等差数列{an}的首项是3，公差是4，求第10项的值。
解析：根据等差数列的通项公式，代入a1 = 3，d = 4，n = 10，求得a10 = 3 + (10-1) * 4 = 39。
1.2 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
设数列为{an}，公比为q，则有如下性质：（1）通项公式：an = a1 * q^(n-1)（2）前n项和公式：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)（3）项数公式：n = logq(an / a1) + 1例题2：已知等比数列{an}的首项是2，公比是3，求第5项的值。
解析：根据等比数列的通项公式，代入a1 = 2，q = 3，n = 5，求得a5 = 2 * 3^(5-1) = 162。
2. 数列的求和数列的求和是数学中常见的问题之一，通过找到数列的规律和应用对应的公式，可以快速求解数列的和。
下面分别介绍等差数列和等比数列的求和公式。
2.1 等差数列的求和对于等差数列{an}，前n项和的计算公式为Sn = (a1 + an) * n / 2。
其中，a1为首项，an为末项，n为项数。
高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)
数列一、 知识梳理概念1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n=.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n na a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式①n na a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n .5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n)1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=.3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法 ⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.5.等差数列的常用性质⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n)(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列；⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a a S S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. 等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数列，常数q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式：11-=n nq a a ，1a 为首项，q 为公比 .⑵前n 项和公式：①当1=q时，1na S n =②当1≠q 时，qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11.3.等比中项如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项. 即：G 是a 与b 的等差中项⇔a ，A ，b 成等差数列⇒b a G ⋅=2.4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列； ⑵中项法：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列.5.等比数列的常用性质⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列；⑵在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列，公比为kq .⑶),(+-∈⋅=N m n q a a m n m n⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；⑸若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列.二、典型例题A 、求值类的计算题（多关于等差等比数列） 1）根据基本量求解（方程的思想） 1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==nS a a ，求n ；2、等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，求数列{}n a 前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.2）根据数列的性质求解（整体思想） 1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S nn，则=55b a . 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（ ）4、等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n T n =+,则n na b =（ ） 5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .6、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。
(完整版)数列题型及解题方法归纳总结
(完整版)数列题型及解题方法归纳总结数列是数学中一个重要的概念，也是数学中常见的题型之一。
数列题目通常会给出一定的条件和规律，要求我们找出数列的通项公式、前n项和等相关内容。
下面对数列题型及解题方法进行归纳总结。
一、数列的基本概念1. 数列的定义：数列是按照一定规律排列的一列数，用通项公式a_n表示。
2. 首项和公差：对于等差数列，首项是指数列的第一个数，公差是指相邻两项之间的差值。
通常用a1表示首项，d表示公差。
3. 首项和公比：对于等比数列，首项是指数列的第一个数，公比是指相邻两项之间的比值。
通常用a1表示首项，r表示公比。
二、等差数列的常见题型及解题思路1. 找通项公式：（1）已知首项和公差，求第n项的值。
使用通项公式a_n = a1 + (n-1)d。
（2）已知相邻两项的值，求公差。
根据 a_(n+1) - a_n = d，解方程即可。
（3）已知首项和第n项的值，求公差。
根据 a_n = a1 + (n-1)d，解方程即可。
2. 找前n项和：（1）已知首项、公差和项数，求前n项和。
使用公式S_n= (n/2)(a1 + a_n)。
（2）已知首项、末项和项数，求公差。
由于S_n =(n/2)(a1 + a_n)，可以列方程求解。
（3）已知首项、公差和前n项和，求项数。
可以列方程并解出项数。
3. 找满足条件的项数：（1）已知首项、公差和条件，求满足条件的项数。
可以列方程，并解出项数。
三、等比数列的常见题型及解题思路1. 找通项公式：（1）已知首项和公比，求第n项的值。
使用通项公式a_n = a1 * r^(n-1)。
（2）已知相邻两项的值，求公比。
根据 a_n / a_(n-1) = r，解方程即可。
（3）已知首项和第n项的值，求公比。
根据 a_n = a1 * r^(n-1)，解方程即可。
2. 找前n项和：（1）已知首项、公比和项数，求前n项和。
使用公式S_n = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)。
数列知识点总结高考
数列知识点总结高考一、数列的概念数列是指有限或无限个数的有序排列，以逗号分隔，记作{an}。
其中an称为数列的通项。
常见的数列有等差数列、等比数列等。
二、等差数列1. 等差数列的定义若一个数列中任意两项之间的差都相等，则这个数列称为等差数列。
其中，差值称为公差，记作d。
2. 等差数列的通项公式设等差数列的首项为a1，公差为d，则等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d3. 等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式为：Sn = (a1 + an) * n / 24. 等差数列中的常见问题等差数列中的常见问题包括求首项、公差、通项、前n项和以及数列的性质等。
三、等比数列1. 等比数列的定义若一个数列中任意两项之间的比值都相等，则这个数列称为等比数列。
其中，比值称为公比，记作q。
2. 等比数列的通项公式设等比数列的首项为a1，公比为q，则等比数列的通项公式为：an = a1 * q^(n-1)3. 等比数列的前n项和公式等比数列的前n项和公式为：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)4. 等比数列中的常见问题等比数列中的常见问题包括求首项、公比、通项、前n项和以及数列的性质等。
四、数列的性质1. 有限数列的性质有限数列的性质包括首项、末项、公差或公比、前n项和等。
2. 无限数列的性质无限数列的性质包括首项、公差或公比、极限等。
3. 数列的通项公式数列的通项公式是数列的重要性质，通过通项公式可以求得数列的任意项。
五、利用数列解决实际问题数列在实际问题中的应用十分广泛，例如等差数列可以用来描述等距离的运动过程，等比数列可以用来描述成倍增加的现象等。
总结：通过学习数列的知识，我们可以得到多种数学问题的解决方法，通过分析数列的性质和通项公式，可以更好地理解数学问题的本质。
因此，数列是数学学习中一个重要的基础知识。
以上就是数列的相关知识点总结，希望对你的学习有所帮助。
最基础最全面的数列题型总结(附答案)
1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
如（1）已知，则在数列的最大项为__（答：）；（2）数列的通项为，其中均为正数，则与的大小关系为___（答：）；（3）已知数列中，，且是递增数列，求实数的取值范围（答：）；2.等差数列的有关概念：（1）等差数列的判断方法：定义法或。
如设是等差数列，求证：以b n=为通项公式的数列为等差数列。
（2）等差数列的通项：或。
如(1)等差数列中，，，则通项（答：）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：）（3）等差数列的前和：，。
如（1）数列中，，，前n项和，则＝＿，＝＿（答：，）；（2）已知数列的前n项和，求数列的前项和（答：。
（4）等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。
提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；偶数个数成等差，可设为…，,…（公差为2）3.等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。
（3）当时,则有，特别地，当时，则有。
如（1）等差数列中，，则＝____（答：27）；（2）在等差数列中，，且，是其前项和，则A、都小于0，都大于0 B、都小于0，都大于0 C、都小于0，都大于0 D、都小于0，都大于0 （答：B）(4) 若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、、，…也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列。
如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。
高中数列知识点归纳及习题附答案
第五章 数列5.1数列基础 5.1.1数列的概念一、知识点1. 定义：按照一定顺序排列的一列数成为数列。
2. 项：数列中的每一个数都称为这个数列的项,各项依次称为这个数列的第1项(或首项) ,第2项,…,第n 项 ,n a a a a ,......,,321，-1a 首项。
3. 通项：因为数列从首项起,每一项都与正整数对应,所以数列的一般形式可以写成n a a a a ,......,,321…,其中n a 表示数列的第n 项(也称n 为n a 的序号,其中n 为正整数,即n ∈N+),n a 称为数列的通项.此时,一般将整个数列简记为{an} ,这里的小写字母a 也可以换成其他小写英文字母.4. 通项公式：一般地,如果数列的第n 项n a 与n 之间的关系可以用 n a =f(n) 来表示,其中f (n)是关于n 的不含其他未知数的表达式,则称上述关系式为这个数列的一个通项公式 .不是所有的数列都能写出通项公式,如果数列有通项公式,那么通项公式的表达式不一定唯一.5. 与函数的关系：数列{n a }可以看成定义域为正整数集的子集的函数,数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式.数列也可以用平面直角坐标系中的点来直观地表示.6. 分类：1）有穷数列：项数有限个2）无穷数列：项数无限个3）增数列：从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列 4）减数列：从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列 5）常数列：各项都相等6）摆动数列：时而增大时而减小二、典型题典型题一 数列定义的理解1.有下面四个结论,其中正确的为( ) ①数列的通项公式是唯一的;②数列可以看成是一个定义在正整数集或其子集上的函数; ③若用图像表示数列,则其图像是一群孤立的点; ④每个数列都有通项公式. A.①② B.②③ C.③④ D.①④2.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中,x 等于( ) A.11B.12C.13D.143.(2020甘肃兰州高二期中)下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( ) A.-1,-2,-3,-4,…B.-1,-,…C.-1,-2,-4,-8,…D.1,,…,典型题二 求数列的通项公式4.若数列{a n }的前4项依次是2,0,2,0,则这个数列的通项公式不可能是( ) A.a n =1+(-1)n+1B.a n =1-cos nπC.a n =2sin2D.a n =1+(-1)n-1+(n-1)(n-2)5.已知数列{a n }的通项公式为n n a n -=2，则下列各数中不是数列中的项是（ ）A.2B.40C.56D.906.(2020辽宁沈阳东北育才学校高二期中)如图是谢尔宾斯基三角形,在所给的四个三角形图案中,黑色的小三角形个数依次构成数列{a n }的前4项,则{a n }的通项公式可以是( )A.a n =3n-1B.a n =2n-1C.a n =3nD.a n =2n-17.已知数列{a n }的通项公式为13+=n na n ，那么这个数列是（ ） A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列 8.写出下列数列的一个通项公式.(1)-,…;(2),…;(3)7,77,777,7 777,….典型题三 数列的单调性9.在数列{a n }中,a n =n 2-kn(n ∈N +),且{a n }是递增数列,求实数k 的取值范围.10.(2020北京第十一中学高三一模)数列{a n }的一个通项公式为a n =|n-c|(n ∈N +),则“c<2”是“{a n }为递增数列”的( ) A.必要不充分条件 B.充要条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 11.数列{a n }的通项公式为nan a n +=。
高中数列知识点总结(附例题)
高中数列知识点总结（附例题）知识点1：等差数列及其前n 项 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d .3．等差中项如果 A ＝a ＋b2 ，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋（n-m ）d ，(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn ，(A 、B 为常数)．7．等差数列的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最 大 值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最 小 值．[难点正本 疑点清源] 1．等差数列的判定(1)定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2)； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.2．等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (2)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (3)S 2n －1＝(2n －1)a n .(4)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝n2d . 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．例1（等差数列的判定或证明）：已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．(1)证明 ∵a n ＝2－1a n －1 (n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1.∴n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝1⎝⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1.∴数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)解 由(1)知，b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n＝1＋22n －7，设函数f (x )＝1＋22x －7，易知f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72和⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞内为减函数． ∴当n ＝3时，a n 取得最小值－1；当n ＝4时，a n 取得最大值3.例2（等差数列的基本量的计算）设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1 (2)求d 的取值范围．解 (1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8.所以⎩⎨⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7. (2)方法一 ∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0.因为关于a 1的一元二次方程有解，所以 Δ＝81d 2－8(10d 2＋1)＝d 2－8≥0，解得d ≤－22或d ≥2 2. 方法二 ∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0， 9da 1＋10d 2＋1＝0.故(4a 1＋9d )2＝d 2－8.所以d 2≥8.故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.例3（前n 项和及综合应用）(1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值； (2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和．解 方法一 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.∴a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653.∴a 13＝0，即当n ≤12时，a n >0，n ≥14时，a n <0，∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 13＝S 12＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130.方法二 同方法一求得d ＝－53.∴S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. (2)∵a n ＝4n －25，a n ＋1＝4(n ＋1)－25， ∴a n ＋1－a n ＝4＝d ，又a 1＝4×1－25＝－21.所以数列{a n }是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列． 令⎩⎨⎧a n ＝4n －25<0， ①a n ＋1＝4(n ＋1)－25≥0， ②由①得n <614；由②得n ≥514，所以n ＝6. 即数列{|a n |}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列， 而|a 7|＝a 7＝4×7－24＝3. 设{|a n |}的前n 项和为T n ，则T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧21n ＋n (n －1)2×(－4) (n ≤6)66＋3(n －6)＋(n －6)(n －7)2×4 (n ≥7)＝⎩⎨⎧－2n 2＋23n (n ≤6)，2n 2－23n ＋132 (n ≥7).例4，已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 3例5等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为{},{}n n S T ，且7453n nS n T n,则使得n na b 为正整数的正整数n 的个数是 3 . （先求an/bn n=5,13,35）已知递推关系求通项：这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有三常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“a n+1=pa n+q ”这种形式通常转化为an +1+λ=p (an +λ),由待定系数法求出,再化为等比数列； (3)逐差累加或累乘法.例6 已知数列{}n a 中，113a =，当2≥n 时，其前n 项和n S 满足2221nn n S a S =-，则数列{}n a 的通项公式为例7在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n+=++，则n a = .知识点2：等比数列及其n 项和 1．等比数列的定义 2．等比数列的通项公式 3．等比中项若G 2＝a ·b (ab ≠0)，那么G 叫做a 与b 的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a n q n－m，(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n . (3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，21221nn n n S S S S --=-1.21n S n ⇒=+1111122(2)n n n n n n S S S S n S S ---⇒-=⇒-=≥()()21132214n n a n n ⎧=⎪=⎨⎪-⎩≥13211221, 2.≥n n n n n a a a a a a n a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅2ln n+⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍是等比数列．5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q(q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .7. 等比数列的单调性【难点】1．等比数列的特征从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非常数． 2．等比数列中的函数观点利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小． 3．等比数列的前n 项和S n(1)等比数列的前n 项和S n 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．(2)等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1及前n 项和公式S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q(q ≠1)共涉及五个量a 1，a n ，q ，n ，S n ，知三求二，体现了方程的思想的应用．(3)在使用等比数列的前n 项和公式时，如果不确定q 与1的关系，一般要用分类讨论的思想，分公比q ＝1和q ≠1两种情况．例1：(1)在等比数列{a n }中，已知a 6－a 4＝24，a 3a 5＝64，求{a n }的前8项和S 8； (2)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，它的前n 项和为40，前2n 项和为3 280，且前n 项中数值最大的项为27，求数列的第2n 项． (1)设数列{a n }的公比为q ，由通项公式a n ＝a 1q n －1及已知条件得： ⎩⎨⎧a 6－a 4＝a 1q 3(q 2－1)＝24， ①a 3·a 5＝(a 1q 3)2＝64. ②由②得a 1q 3＝±8.将a 1q 3＝－8代入①式，得q 2＝－2，无解将a 1q 3＝8代入①式，得q 2＝4，∴q ＝±2.，故舍去．当q ＝2时，a 1＝1，∴S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝255；当q ＝－2时，a 1＝－1，∴S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝85.(2)若q ＝1，则na 1＝40,2na 1＝3 280，矛盾．∴q ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q ＝40， ①a 1(1－q 2n )1－q ＝3 280， ②②①得：1＋q n ＝82，∴q n＝81， ③ 将③代入①得q ＝1＋2a 1. ④又∵q >0，∴q >1，∴a 1>0，{a n }为递增数列． ∴a n ＝a 1q n －1＝27， ⑤ 由③、④、⑤得q ＝3，a 1＝1，n ＝4. ∴a 2n ＝a 8＝1×37＝2 187.例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1 (n ≥2)，且a n ＋S n ＝n.(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式． 1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ， ① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1. ②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12，∴{a n －1}是等比数列． ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1，∴a 1＝12，∴c 1＝－12，公比q ＝12. 又c n ＝a n －1，∴{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)解 由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . ∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.又b 1＝a 1＝12代入上式也符合，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .例3 在等比数列{a n }中，(1)若已知a 2＝4，a 5＝－12，求a n ；(2)若已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．解 (1)设公比为q ，则a 5a 2＝q 3，即q 3＝－18，∴q ＝－12，∴a n ＝a 5·q n －5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －4.(2)∵a 3a 4a 5＝8，又a 3a 5＝a 24，∴a 34＝8，a 4＝2.∴a 2a 3a 4a 5a 6＝a 54＝25＝32.例4已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *. (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式． 规范解答(1)证明 b 1＝a 2－a 1＝1， [1分]当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1， [5分]∴{b n }是首项为1，公比为－12的等比数列． [6分](2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1， [8分]当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) [10分]＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－1＝1＝a 1， ∴a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1 (n ∈N *)． [14分]例4 （07 重庆11）设11a a -+是和的等比中项，则a +3b 的最大值为 2 .（三角函数）例5 若数列1, 2cos θ, 22cos 2θ,23cos 3θ, … ,前100项之和为0, 则θ的值为（ ）例 6 △ABC 的三内角成等差数列, 三边成等比数列,则三角形的形状为__等边三角形__________.【综合应用】例7.已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项． (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；22,Z 3k k ππ±∈(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013.解 (1)由已知有a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ， ∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )．解得d ＝2 (∵d >0). ∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，∴数列{b n }的公比为3， ∴b n ＝3·3n －2＝3n －1.2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n＝a n ＋1得当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n －1b n －1＝a n .两式相减得：n ≥2时，c nb n＝a n ＋1－a n ＝2.∴c n ＝2b n ＝2·3n －1 (n ≥2)．又当n ＝1时，c 1b 1＝a 2，∴c 1＝3.∴c n ＝⎩⎨⎧3 (n ＝1)2·3n －1 (n ≥2).∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013＝3＋6－2×32 0131－3＝3＋(－3＋32 013)＝32 013.知识点3：数列的基本知识1，1-1)1(n n n n n S S n S a S a -==或的关系：与例1：设{}n a 数列的前n 项和2n S n =，则8a 的值为 15 .2，数列的递推公式及应用：利用数列的递推公式求数列的通项公式，一般有三种方法：累加法，累积法，构造法①对形如q pa a a a n n +==+11;的递推公式()1.≠p q p 为常数且，可令()λλ+=++n n a p a 1，整理得()λλλ+=+=+n n a p a p q1,1-，所以是{}λ+n a 等比数列②对形如q pa a a n n n +=+1的递推公式，两边取倒数后换元转化为nn a qp a +=+11，再求出⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1即可例2：已知数列{}n a 满足n a a a n n 2-,3311==+，则na n的最小值为 10.5。
数列高考知识点大全总结
数列高考知识点大全总结一、数列的概念1. 数列的定义数列是由一系列有限或无限个数按照一定的顺序排列组成的。
用数学语言描述就是一个由实数构成的序列。
一般用字母或符号表示，如{an}、{bn}等。
2. 数列中的相关概念（1）通项公式：数列中的第n个数的一般表达式，通常用an表示。
（2）前n项和：数列前n项的和，通常用Sn表示。
3. 数列的分类（1）等差数列：若数列中相邻两项的差恒定，称其为等差数列。
其通项公式为an=a1+(n-1)d。
（2）等比数列：若数列中相邻两项的比恒定，称其为等比数列。
其通项公式为an=a1*q^(n-1)。
（3）常数数列：数列中的每一项都相等的数列称为常数数列。
二、数列的性质1. 数列的有界性（1）有界数列：当数列中的数有上界和下界时，称其为有界数列。
（2）无界数列：当数列中的数没有上界和下界时，称其为无界数列。
2. 数列的单调性若数列中的每一项都满足an≤an+1或者an≥an+1时，称其为单调递增数列或者单调递减数列。
3. 数列的性质（1）数列的线性组合：若an和bn是两个数列，k和m是任意常数，那么k*an+m*bn 也是一个数列。
（2）数列的绝对值：若an是一个数列，那么|an|也是一个数列。
三、常见数列1. 等差数列（1）性质：等差数列的前n项和Sn=a1*n+n(n-1)d/2。
（2）求通项公式：an=a1+(n−1)d。
（3）常用公式：Sn=n/2(a1+an)。
2. 等比数列（1）性质：等比数列的前n项和Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)，|q|>1。
（2）求通项公式：an=a1*q^(n-1)。
（3）常用公式：Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)。
3. 斐波那契数列（1）定义：斐波那契数列是一个典型的递推数列，前两项都为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
（2）通项公式：an=f(n)=f(n-1)+f(n-2)。
（3）性质：斐波那契数列是一个无界数列。
4.1 数列的概念(精讲)(解析版)
4.1数列的概念一、数列的概念及表示方式1、数列的有关概念数列按一定次序排列的一列数叫做数列项数列中的每一个数叫做这个数列的项首项数列的第1项常称为首项通项数列中的第n 项叫做数列的通项2、数列的表示（1）一般形式：1a ，2a ，3a ，…，n a ，…（2）字母表示：上面的数列也可以记为{}n a 注：n a 是数列的第n 项，也叫通项。
3、数列的通项公式（1）通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成()n a f n =，那个这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．（2）递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.二、数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列1n n a a +>其中n ∈N +递减数列1n n a a +<常数列1n na a +=摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列三、数列的函数性质1、数列可以看成以正整数集N ＋(或它的有限子集{1，2，…，n })为定义域的函数()n a f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.2、数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有列举法、图像法和解析法。
3、判断数列的单调性的方法（1）作差比较法：10n n a a +->⇔数列{}n a 是递增数列；10n n a a +-<⇔数列{}n a 是递减数列；10n n a a +-=⇔数列{}n a 是常数列．（2）作商比较法：ⅰ.当0n a >时，则11n na a +>⇔数列{}n a 是递增数列；11n na a +<⇔数列{}n a 是递减数列；11n na a +=⇔数列{}n a 是常数列；ⅱ.当0n a <时，则11n na a +>⇔数列{}n a 是递减数列；11n na a +<⇔数列{}n a 是递增数列；11n na a +=⇔数列{}n a 是常数列．（3）结合相应函数的图象直观判断：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．四、求数列最大(小)项的方法（1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项．（2）利用11n n nn a a a a +-≥⎧⎨≥⎩，求数列中的最大项n a ；利用11n n n n a a a a +-≤⎧⎨≤⎩，求数列中的最小项n a .当解不唯一时，比较各解大小即可确定．五、由数列的前几项求数列的通项公式（1）各项的符号特征，通过()1n-或()11n +-来调节正负项．（2）考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系．（3）相邻项(或其绝对值)的变化特征．（4）拆项、添项后的特征．（5）通过通分等方法变化后，观察是否有规律．【注意】根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法，蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的.六、数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系11,1=,2n n n S n a S S n -=⎧⎨-≥⎩①当1n =时，a 1若适合1n n S S --，则1n =的情况可并入2n ≥时的通项n a ；②当1n =时，a 1若不适合1n n S S --，则用分段函数的形式表示.题型一数列的概念及分类【例1】现有下列说法：①元素有三个以上的数集就是一个数列；②数列1，1，1，1，…是无穷数列；③每个数列都有通项公式；④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．其中正确的有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确；对于②，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，②正确；对于③，不是每个数列都有通项，0.1,0.01,0.001,0.0001,得到的不足近似值，依次排成一列得到的数列没有通项公式，③不正确；对于④，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为1,N n a n =∈，cos 2π,N n b n n *=∈等，即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，④不正确；对于⑤，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，⑤不正确，所以说法正确的个数是1.故选：B 【变式1-1】下列有关数列的说法正确的是（）A．同一数列的任意两项均不可能相同B．数列2-，0，2与数列2，0，2-是同一个数列C．数列2，4，6，8可表示为{}2,4,6,8D．数列中的每一项都与它的序号有关【答案】D【解析】对于A 中，常数列中任意两项都是相等的，所以A 不正确；对于B 中，数列2-，0，2与2，0，2-中数字的排列顺序不同，不是同一个数列，所以B 不正确；对于C 中，{}2,4,6,8表示一个集合，不是数列，所以C 不正确；对于D 中，根据数列的定义知，数列中的每一项与它的序号是有关的，所以D 正确.【变式1-2】下列数列既是递增数列，又是无穷数列的是（）A．1，2，3，…，20B．-1，-2，-3，…，-n ，…C．1，2，3，2，5，6，…D．-1，0，1，2，…，100，…【答案】D【解析】由递增数列和无穷数列的定义知D 项正确.答案：D 【变式1-3】下列命题中错误的是（）A．()()21f n n n N +=-∈是数列的一个通项公式B．数列通项公式是一个函数关系式C．任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示D．数列中有无穷多项的数列叫作无穷数列【答案】C【解析】数列的通项公式的概念：将数列{} n a 的第n 项用一个具体式子（含有参数n ）表示出来，称作该数列的通项公式，故任意一个定义域为正整数集合的或者是其从1开始的一个子集的函数都可以是数列的通项公式，它是一个函数关系，即对于任意给定的数列，各项的值是由n 唯一确定的，故AB 正确；并不是所有的数列中的项都可以用一个通项公式来表示，比如所有的质数从小到大排在一起构成的数列，至今没有发现统一可行的公式表示，圆周率的各位数字构成的数列也没有一个通项公式可以表达，还有很多规律性不强的数列也找不到通项公式，故C 是错误的；根据无穷数列的概念，可知D 是正确的.故选:C.题型二由数列的前几项写通项【例2】（1）数列12，34，78，1516，…的一个通项公式为n a =______；（2）数列13-，16，19-，112，…的一个通项公式为n a =______；（3）数列1，11，111，1111，…的一个通项公式为n a =______．【答案】（1）212n n -；（2）()13nn-；（3）()11019n -【解析】（1）所给数列的前4项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为12，22，32，42（分式中应分别考虑分子、分母的特征），所以数列的一个通项公式为212n n n a -=．（2）所给数列可写成()13111-⨯⨯，()23112-⨯⨯，()33113-⨯⨯，()43114-⨯⨯，…，所以数列的一个通项公式为()()11133nnn a n n-=-⨯=⨯．（3）所给数列可写成()11019-，()110019-，()1100019-，()11000019-，…，所以数列的一个通项公式为()11019nn a =-．故答案为：212n n -；()13nn-；()11019n -．【变式2-1】按一定规律排列的单项式：a ，2a -，3a ，4a -，5a ，6a -，…，第n 个单项式是（）A．n a B．na -C．()11n na +-D．()1nna -【答案】C【解析】因为前6项为：a ，2a -，3a ，4a -，5a ，6a -，所以第n 项为()11n n a +-.故选：C.【变式2-2】数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是n a =（）A．()11019n -B．()11013n -C．111310n ⎛⎫- ⎪⎝⎭D．()310110n -【答案】C【解析】数列9，99，999，9999，…的一个通项公式是101nn b =-，则数列0.9，0.99，0.999，0.9999，…的一个通项公式是()1110111010n n n n c =⨯-=-，则数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是111310n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选：C．【变式2-3】数列2，0，2，0，…的通项公式可以为（）A．()11nn a =-+B．()1221n n a +=-⨯-C．()12cos2n n a π-=D．()12cos 2n n a π-=【答案】D【解析】A.当1n =时，10a =，不符；B.当1n =时，10a =，不符；C.当3n =时，32a =-，不符；D.当2,n k k Z =∈时，()212cos 2cos 2cos 0222n k a k ππππ-⎛⎫==-== ⎪⎝⎭，当21,n k k Z =+∈时，()2112cos2cos 22n k a k ππ+-===，符合.故选：D.题型三写出或判断数列中的项【例3】已知数列{}n a 的通项公式为()1*11,N 2n n a n -+-=∈，则该数列的前4项依次为（）A．1，0，1，0B．0，1，0，1C．12，0，12，0D．2，0，2，0【答案】A【解析】由通项公式可知：1234111111111,0,1,02222a a a a +-+-========，故选：A 【变式3-1】已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足122n n n a a +=+，则此数列的第3项是（）A．4B．12C．24D．32【答案】B【解析】由题意，121224a a =+=，2322212a a =+=故选：B【变式3-2】若一数列为1，73，143，213，…，则983是这个数列的（）．A．不在此数列中B．第13项C．第14项D．第15项【答案】D【解析】因707711472217313,33,33,33⨯⨯⨯⨯====，因此符合题意的一个通项公式为7(1)3n n a -=，由7(1)9833n -=解得：15n =，所以983是这个数列的第15项.故选：D【变式3-3】已知数列{}n a 的通项公式为12n n a +=，则下列不是数列{}n a 的项的是（）A．2B．4C．8D．16【答案】A【解析】由于数列{}n a 的通项公式为12n n a +=，故令122n n a +==，则0n =，与N n *∈不符，故2不是数列{}n a 的项；令124,1n n +==，令128,2n n +==，令1216,3n n +==，即4，8，16是数列{}n a 的项，故选:A【变式3-4】已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则57是数列中的（）A．第58项B．第59项C．第60项D．第61项【答案】C【解析】对该数列进行重新分组：1:1p 212:,21p 3123:,,321p 41:4p ，23，32，41，⋅⋅⋅12:,,,11n np n n ⋅⋅⋅-，则57出现在1112345:,,,,,1110987p ⋅⋅⋅，其项数是12345678910560++++++++++=，故选：C题型四根据递推关系求数列通项【例4】已知数列{}n a 满足11a =，对任意的n *∈N 都有11n n a a n +=++，则10a =（）A．36B．45C．55D．66【答案】C【解析】由11n n a a n +=++得：11n n a a n +-=+，1n n a a n -∴-=，121n n a a n ---=-，232n n a a n ---=-，…，212a a -=，各式作和得：()()112232n n n a a n -+-=++⋅⋅⋅+=，()()1212n n n a -+∴=+，109121552a⨯∴=+=.故选：C.【变式4-1】在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)1n n a a n n n+=+++，则n a 等于（）A．2ln n n +B．2(1)ln n n n +-C．2ln n n n +D．1ln n n n ++【答案】C 【解析】因11ln(1)1n n a a n n n +=+++，则有1(1)ln 1ln n n a n n a nn +-=+-+，于是得，当2n ≥时，23111223(()()1121n n n a a a a n an a a a n -++++=----()()()2ln 2ln1ln 3ln 2ln ln 12ln n n n ⎡⎤=+-+-++--=+⎣⎦，因此，2ln n a n n n =+，显然，12a =满足上式，所以2ln n a n n n =+.故选：C【变式4-2】已知11a =，()()1n n n a n a a n ++=-∈N ，则数列{}n a 的通项公式是n a =（）A．21n -B．11n n n ++⎛⎫⎪⎝⎭C．2n D．n【答案】D【解析】由()1+=-n n n a n a a ，得()11n n n a na ++=，即11n n a n a n ++=，则11nn a n a n -=-，1212n n a n a n ---=-，2323n n a n a n ---=-，…，21221a n a =≥，，由累乘法可得1na n a =，所以2n a n n =≥，，又11a =，符合上式，所以n a n =.故选：D．【变式4-3】已知数列{}n a 满足11n na n a n ++=，13a =，则数列{}n a 的通项公式是（）A．3n a n =B．2n a n =+C．21n a n =+D．23n a n =【答案】A 【解析】由题意得11n n a a n n +=+，即1213121n n a a a an n +=====+L 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以131a =首项为的常数列，则3n a n =，得3n a n =.故选：A【变式4-4】数列{}n a 满足()()*111n n na n a n N +=++∈，且11a =，则2022a =（）A．4043B．4044C．2021D．2022【答案】A【解析】因为()()*111n n na n a n N +=++∈，所以()1111111n n n aaan n n n n n n +=+=+-+++，所以11111n n a a n n n n ++=+++，即1n a n n ⎧⎫+⎨⎩⎭为常数列，又11a =，所以111211n a a n n +=+=，所以20221220222022a +=，解得20224043a =，故选：A.【变式4-5】已知数列{}n a 满足()()()12123n a a a n n n ⋅⋅⋅=+++，则19a a ⋅=（）A．32B．489C．1320D．291320【答案】A【解析】当1n =时，123424a =⨯⨯=，当2n ≥时，由()()()12123n a a a n n n ⋅⋅⋅=+++，可得()()12112n a a a n n n -⋅⋅⋅=++，两式相除可得(1)(2)(3)3(1)(2)n n n n n a n n n n++++==++，所以993124993a +===，所以19424323a a ⋅=⨯=，故选：A 题型五由数列的前n 项和求通项【例5】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()12nn n a S +=，则2020a =（）．A．2018B．2019C．2020D．2021【答案】C【解析】因为11a =，()12nn n a S +=，所以当2n ≥时，()11122nn n n n n a na a S S --+=-=-，化为11n n a a n n -=-，从而1211121n n a a a an n -==⋅⋅⋅===-，所以n a n =．适合1n =.所以n a n =.故20202020a =．故选：C【变式5-1】已知数列{}n a 的前n 项和为2223n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式n a =_________.【答案】3,144,2n n n =⎧⎨-≥⎩【解析】2223n S n n =-+Q ,故当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()2121212n S n n -=---+，144n n n a S S n -∴=-=-113a S ==不适合上式，3,144,2n n a n n =⎧∴=⎨-≥⎩，故答案为：3,144,2n n n =⎧⎨-≥⎩.【变式5-2】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()ln 12n S n +=+，则数列{}n a 的通项公式为______．【答案】()31e 1,1e 1e ,2n n n a n +⎧-=⎪=⎨-≥⎪⎩【解析】因为()ln 12n S n +=+，所以21e n n S ++=，即2e 1n n S +=-．当1n =时，311e 1a S ==-，当2n ≥时，()()()2111e 1e 1e 1e n n n n n n a S S +++-=-=---=-，显然31e 1a =-不满足上式.所以()31e 1,1e 1e ,2n n n a n +⎧-=⎪=⎨-≥⎪⎩．故答案为：()31e 1,1e 1e ,2n n n a n +⎧-=⎪=⎨-≥⎪⎩.【变式5-3】若数列{}n b 满足()1233721n n b b b b n ++++-=，则数列{}n b 的通项公式为（）A．2n b n =B．2nn b =C．42n nb =D．121n n b =-【答案】D【解析】因为()1233721n n b b b b n ++++-=①，当1n =时，11b =，当2n ≥时()1123137211n n b b b b n --++++-=-②，①-②得()211nn b -=，所以121n n b =-，当1n =时121n n b =-也成立，所以121n n b =-；故选：D【变式5-4】已知在数列{}n a 中，12a =，3211223nn a a a a a n+++++=-，则n a =__________．【答案】2n 【解析】因为3211223n n a a a a a n +++++=-，当2n ≥时，31212231n n aa a a a n -++++=--，则1n n n a a a n +=-，即有11n n a a n n +=+，当1n =时，122a a =-，得24a =，2121a a =满足上式，N n *∈，11n n a a n n +=+，因此数列{}n a n 是常数列，即121n a an ==，所以2n a n =.故答案为：2n题型六数列的单调性的判断【例6】已知数列{}n a 的通项公式是342n na n =+，则{}n a （）A．不是单调数列B．是递减数列C．是递增数列D．是常数列【答案】C【解析】因为1n n a a +-()()3336046424642n n n n n n +=-=>++++，所以{}n a 是递增数列.故选：C.【变式6-1】已知数列{}n a 的通项公式为()10111nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则该数列为（）A．递增数列B．递减数列C．摇摆数列D．先增后减数列【答案】D【解析】因为()10111nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()()1110109102111111111n n nn n n n n a a ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+，易知：100111n⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以当9n ≤时，10n n a a +-≥，9n >时，10n n a a +-<，故该数列{}n a 为先增后减数列，故选：D.【变式6-2】函数()y f x =的图象在下列图中并且对任意()10,1a ∈，由关系式()1n n a f a +=得到的数列{}n a 满足1n n a a +>，则该函数的图象是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】已知()1n n n a f a a +=>，故()f x 满足()f x x >，即()f x 的图象在y x =的图象上方，故A 项正确.故选：A.【变式6-3】在数列{}n a 中，13a =，n a =，则（）A．数列{}n a 单调递减B．数列{}n a 单调递增C．数列{}n a 先递减后递增D．数列{}n a 先递增后递减【答案】A【解析】由13a =，n a =2a =，3a =，且可知0n a >．再由n a 212n n a a -=+①，则212n n a a +=+②，②﹣①得：2211n n n n a a a a +--=-，∴111(n n n n n n a a a a a a ++--+﹣＝)()，∵0n a >，∴1n n a a +-与1n n a a -﹣同号,由210a a -<，可知，10n n a a -<﹣，即1n n a a <﹣，可知数列{}n a 单调递减．故选：A．【变式6-4】已知数列{}n b 的通项公式为()2*3n b n n n N λ=--∈，且数列{}n b 是递增数列，则实数λ的取值范围是（）A．(),2-∞B．(],2-∞C．(),3-∞D．(],3-∞【答案】C【解析】由()()()()2211133210n n b b n n n n n λλλ+-=+-+----=+->，∴21n λ<+，即是λ小于2n +1的最小值，∴3λ<，故选：C题型七求数列的最大（小）项【例7】已知数列{}n a 满足26n na n =+，n 为正整数，则该数列的最大值是（）A．12B．15C．16D．531【答案】B【解析】由26n n a n =+，得117a =，215a =，315a =，4211a =，5531a =．又16n a n n =+，*N n ∈，又因为16y x x=+在(上单调递增，在)+∞上单调递减，所以{}n a 的最大值为2315a a ==．故选：B．【变式7-1】已知数列{}n a 的通项公式为5051nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭{}n a 中的最大项为（）A．第6项B．第12项C．第24项D．第36项【答案】C【解析】因为0n a >令11n n a a +>1>，解得22250123.85150n <-≈-．所以当123n ≤≤时，1n n a a +>，即2423221a a a a >>>>，当24n ≥时，1n n a a +>，即242526a a a >>>，因此当24n =时，n a 最大．故选：C.【变式7-2】已知数列{}n a 满足()102113nn a n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的最大项为（）．A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项【答案】D【解析】假设第n 项最大（2n ≥），有()()()()()11111010232121131332010102121231313n n n n n n n n n n n n n a a a a n n n n n --++⎧⎛⎫⎛⎫⎧+≥-⎪≤ ⎪ ⎪⎪≥⎧⎪⎝⎭⎝⎭⎪⇒⇒⎨⎨⎨≥⎩⎛⎫⎛⎫⎪⎪≥+≥++ ⎪ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎝⎭⎩，又n *∈N ，所以7n =，即数列{}n a 的最大项为第7项.故选：D.【变式7-3】已知)*n a n =∈N ，则数列{}n a 的前50项中，最小项和最大项分别是（）A．1a ，50a B．1a ，44a C．45a ，50a D．44a ，45a 【答案】D【解析】1n a ==，∵2441936=，2452025=，∴当44n ≤时，数列{}n a 单调递减，且1n a <；当45n ≥时，数列{}n a 单调递减，且1n a >.∴在数列{}n a 的前50项中，最小项和最大项分别是44a ，45a .故选：D.【变式7-4】若数列{}n a 满足123111142321n na a a na n +++⋯+=+，若2n a λ恒成立，则λ的最大值（）A．34B．38C．32D．3【答案】C【解析】由于123111142321n n a a a na n +++⋯+=+，当1n =时，1143a =，即134a =，当2n 时，12111144...2(1)21n n a a n a n --+++=--，又123111142321nna a a na n +++⋯+=+，以上两式相减可得214444212141nn n na n n n -=-=+--，得14n a n n =-，上式对1n =也成立，所以2na λ 恒成立即为12()4n nλ- 恒成立，由12()4n n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为递增数列，得12(4n n -的最小值为132(1)42⨯-=，所以32λ，即λ的最大值为32.故选：C.题型八与周期有关的数列问题【例8】在数列{}n a 中，12a =，()1112n n a n a -=-≥，则2022a 等于（）．A．12-B．12C．1-D．2【答案】C【解析】由12a =，()1112n n a n a -=-≥可得：23452341111111111,12,122a a a a a a a a =-==-=-=-==-=，故数列{}n a 为周期性数列，每3项为一循环，而20223674=⨯，故202231a a ==-，故选：C【变式8-1】数列{}n a满足()1121,2,3,2n na a n a +===-，则123420222021a a a a a a ++++++=（）A．2022B．2020C．2022+D．2020+【答案】C【解析】由题意，12222a a==+3a ==4222a===51a a =，故{}n a 的周期为4.又1234224a a a a =++=+，故123420222021a a a a a a ++++++=()4212315052022a a a a a a +++++=+故选：C【变式8-2】在数列{}n a 中，11a =，23a =，35a =，31n n a a +=，则515252022log log log a a a +++=（）A．0B．1C．5log 3D．5log 15【答案】A【解析】由31n n a a +=，得361n n a a ++=，两式相除可得6n n a a +=，所以数列{}n a 是以6为周期的周期数列，又1234561425361a a a a a a a a a a a a =⋅⋅=，所以()()337515252022512202251265log log log log log log 10a a a a a a a a a +++====．故选：A．【变式8-3】已知函数()11,22121,121,1x x f x x x x x ⎧+≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，若数列{}n a 满足173a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则2022a =（）A．73B．43C．56D．13【答案】D【解析】由题意知，173a =，27433a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则34133a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，41536a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，55263a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，62133a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，71536a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，…，所以数列{}n a 从第三项起构成周期为3的数列，故20226743313a a a ⨯===．故选：D．【变式8-4】已知数列{}n a 满足13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-（n 为正整数），则308a =___________【答案】6【解析】123214325436543,6,3,3,6,3a a a a a a a a a a a a a a ===-==-=-=-=-=-=-7658763,6a a a a a a =-==-=即7182,a a a a ==,所以{}n a 是周期为6的数列因为3086512=⨯+所以30826a a ==.。
高考数学数列知识点归纳
高考数学数列知识点归纳在高考数学中，数列是一个重要的概念，无论是在选择题还是解答题中，数列都是经常出现的考点之一。
为了帮助同学们更好地复习和应对高考数学考试，下面将对数列的相关知识点进行归纳和总结。
一、数列的基本概念和性质1. 数列的定义：数列是按一定顺序排列的一列数，根据数的规律可以分为等差数列、等比数列等。
2. 数列的通项公式和递推公式：通项公式表示数列中任意一项的公式；递推公式表示数列中每一项与其前一项之间的关系。
3. 数列的前n项和公式：前n项和公式是指数列前n项的和，对于等差数列和等比数列，都有相应的求和公式。
二、等差数列的相关知识点1. 等差数列的通项公式：对于等差数列an，其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 等差数列的前n项和公式：对于等差数列an，其前n项和Sn = (a1 + an) * n / 2。
三、等比数列的相关知识点1. 等比数列的通项公式：对于等比数列an，其通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
2. 等比数列的前n项和公式：对于等比数列an，其前n项和Sn = a1(1 - q^n) / (1 - q)，其中q不等于1。
四、数列的应用题1. 求等差数列或等比数列的未知项：通过数列的已知项和数列的性质，可以求解等差数列或等比数列中的未知项。
2. 求等差数列或等比数列的和：通过数列的已知项和数列的性质，可以求解等差数列或等比数列的前n项和。
五、数列的题型分类1. 判断题：根据数列的定义、性质和公式，判断给定的数列是等差数列还是等比数列。
2. 填空题：根据数列的定义和给定的条件，填写数列中的未知项或求数列的和。
3. 选择题：根据数列的定义、性质和公式，选择与给定数列相应的特征或关系。
总而言之，在高考数学中，数列是一个必须掌握的知识点，它既有一定的规律性，又有一定的计算性。
在复习数列的过程中，同学们应该牢记数列的定义、通项公式、递推公式和前n项和公式，并通过大量的练习题加深对数列的理解和运用能力。
数列知识点归纳总结高考
数列知识点归纳总结高考一、数列的概念与性质1.1 数列的概念数列是指由一组有规律的数按照一定的顺序排列而成的序列。
数列中的每一个数称为这个数列的项，第一个数称为首项，最后一个数称为末项。
1.2 数列的表示方法常用的表示数列的方法有两种：一种是用通项公式表示数列中的每一项，另一种是用递推公式表示数列中的每一项。
例如，等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，递推公式为an=an-1+d。
1.3 数列的性质数列的性质包括有限数列和无限数列两种情况。
有限数列是指数列中的项数是有限个，无限数列是指数列中的项数是无限个。
同时，数列中的项有时也会按照一定的规律进行排列。
二、常见的数列类型2.1 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差是一个常数的数列。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
例如，1, 3, 5, 7, 9就是一个公差为2的等差数列。
等差数列的性质包括求和公式、前n项和等。
2.2 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比是一个常数的数列。
等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
例如，2, 6, 18, 54就是一个公比为3的等比数列。
等比数列的性质包括求和公式、前n项和等。
2.3 负数与零的数列负数与零的数列是指数列中的项是负数或者零的数列。
这种数列作为一种特殊类型，在实际问题中也有其应用。
2.4 斐波那契数列斐波那契数列是指数列中的每一项是前两项之和的数列。
其通项公式为an=an-1+an-2，其中a1=1，a2=1。
斐波那契数列在自然界中有着广泛的应用，如植物的生长规律、金融交易中的波动规律等都可以用斐波那契数列来进行描述。
2.5 等差-等比数列等差-等比数列是指数列中相邻两项之间的差是一个常数，而相邻两项之间的比也是一个常数的数列。
这种数列既包含了等差数列的性质，也包含了等比数列的性质。
2.6 其他特殊数列还有一些特殊的数列形式，如等差等比混合数列、递推数列等。
高考数学题型全归纳：数列要点讲解含答案
得 n≤ 21 , 4
故当 n≤5 时，a n ≥0,
当 n≥6 时， an
0
当 n≤5 时,T n =S n =-2n 2 +19n 当 n≥6 时,T n =2S5-S n =24】 已知等差数列 a n 的第 2 项是 8，前 10 项和是 185，从数列 an 中依次取出第 2 项，第
3.熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质。等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用非
常广泛，且十分灵活，主动发现题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁优美.如 a2a4 2a3a5 a4a6 25 ， 可以利用等比数列的性质进行转化：从而有 a32 2a3a5 a52 25 ，即 (a3 a5 )2 25 .
解：设公差为
d，则
aa11
2d 122d
30 30
或
aa11
2d 122d
30 30
或
aa11
2d 122d
30 30
或
aa11
2d 122d
30 30
解得： da1030 a33 = 30 与已知矛盾
在复习时应给予重视。近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、 基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。 四、典型例题
【例 1】 已知由正数组成的等比数列 an ，若前 2n 项之和等于它前 2n 项中的偶数项之和的 11 倍，第 3 项与第 4 项之和为第 2 项与第 4 项之积的 11 倍，求数列 an 的通项公式.
解：∵q=1 时 S2n 2na1 ， S偶数项 na1
又 a1 0 显然 2na1 11na1 ，q≠1
高考数学题型全归纳：数列的概念知识总结及例题讲解(含答案)
§1.1.1 数列的概念本小节重点：了解数列概念、分类、通项公式；及通项公式的求法。
一、基本概念1. 数列的概念○1按一定次序排列的一列数叫数列。
注：数列的另一定义：数列也可以看做是一个定义域为正整数集、当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
○2数列中的每一个数按顺序1、2、3、…、都有一个序号、叫作项数、每一个序号也对应着一个数、这个数叫作数列中的项、例如第4个数、叫作第4项、第n个数、叫作第n项、记作;○3数列的一般形式为、、、…、、…简单记为、其中表示数列的通项. ○4通项公式：如果一个数列的第n项与项数n之间的函数关系可以用一个公式表示时、我们称这个公式为这个数列的通项公式。
特别提示：a) 数列的通项公式不是唯一的、例如：-1、1、-1、1、…通项公式可表示为或;b) 不是所有的数列都有通项公式、例如：3、3.1、3.14、3.141、3.1415、…就没有通项公式.○5递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项）、且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系式可以用一个公式来表示、则这个公式就叫作递推公式。
2. 数列的表示方法○1列表法、指列出表格来表示数列的第n项与序号n之间的关系.○2图像法、指在坐标平面中用点表示.○3解析法、指用一数学式子表示来。
例如：常用的通项公式.3. 数列的分类○1按数列中项数的多少来分：有穷数列和无穷数列.○2按数列中相邻两项间的大小关系来分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列.○3按照任何一项的绝对值是否都大于某一正数来分：有界数列和无界数列.二、例题讲解例1. 根据数列的前几项、写出下列各数列的一个通项公式：(1) 、、、、… (2) 1,3,6,10,15,…(3) ,,,,… (4) 6,66,666,…(5),,,,…(6) ,,,,,,…或特别提示：在此种题型当中一些常用的数列为：1) 1、0、1、0、…; 2)-1,1,-1,1,…; 3)1,11,111,1111,…例2. 已知数列,(1) 求数列的第10项(2) 是否为该数列的项、为什么？(3) 求证：数列中各项都在区间内；(4) 在区间内有无数列中的项？例3. 利用递推公式写出下列各题通项公式(1)(可用两种方法)(2)已知数列满足求(3)(插项法和叠加法组合)(4)在数列中,已知,(5)设是首项为1的正数数列、且,求它的通项公式.（累乘法）(6)已知数列中、、数列中、,当时、,求例4. 求下列数列中某一项(1) 已知数列满足,求(2) 已知数列对任意,有,若、求(3) 在数列中、,求(4) 已知数列满足,求例5. 利用数列的单调性解答(1)若数列的通项公式,数列的最大项为第x项、最小项为第y项、则x+y=(2)设数列的通项公式为,若数列是单调递增数列、求实数k的取值范围.(3)设,又知数列的通项满足,1)试求数列的通项公式;2)判断数列的增减性.(4)设是定义在正整数集上的函数、且满足,如果,则=例6. 和之间的关系注：数列的通项与前n项和的相互关系是：;(1) 已知数列的前n项和,求数列的通项公式.(2) 已知求(3) 已知,又数列中、、这个数列的前n项和的公式、对所有大于1的自然数n都有.1) 求数列的通项公式.2) 若, 求的值特别提示：请同学自行归纳出求通项公式的基本方法.。
高考数列的概念专题及答案百度文库
一、数列的概念选择题1．定义：在数列{}n a 中，若满足211n n n na a d a a +++-=（ *,n N d ∈为常数），称{}n a 为“等差比数列”，已知在“等差比数列”{}n a 中，1231,3a a a ===，则20202018a a 等于（ ） A ．4×20162－1B ．4×20172－1C ．4×20182－1D ．4×201822．已知数列{}n a 满足1221n n n a a a ++=+，n *∈N ，若1102a <<，则（ ） A ．8972a a a +< B ．91082a a a +> C ．6978a a a a +>+D ．71089a a a a +>+3．数列{}n a 的通项公式是276n a n n =-+，4a =（ ）A ．2B ．6-C ．2-D ．14．数列{}n a 满足111n na a +=-，12a =，则2a 的值为（ ） A ．1B ．-1C ．13D ．13-5．已知数列{}n a 满足11a =，()*11nn n a a n N a +=∈+，则2020a =（ ） A ．12018B ．12019 C ．12020D ．120216．已知数列{}n a 满足()()*622,6,6n n p n n a n pn -⎧--≤=∈⎨>⎩N ，且对任意的*n ∈N 都有1n n a a +>，则实数p 的取值范围是（ ）A ．71,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101,7⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,2D ．10,27⎛⎫⎪⎝⎭7．数列{}n a 的前n 项和记为n S ，()*11N ,2n n n a a a n n ++=-∈≥，12018a =，22017a =，则100S =（ ）A ．2016B ．2017C ．2018D ．20198．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．174B ．184C ．188D ．1609．已知数列{}n a 中，11a =，23a =且对*n N ∈，总有21n n n a a a ++=-，则2019a =（ ） A ．1B ．3C ．2D ．3-10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*1n S n N n =∈，，则2a =（ ） A ．12-B ．16-C ．16D ．1211．数列{}n a 前n 项和为n S ，若21n n S a =+，则72019a S +的值为（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-12．已知数列{}n a 满足：11a =，145n n a a +=+，则n a =（ ） A ．85233n⨯- B ．185233n -⨯- C ．85433n⨯-D ．185433n -⨯- 13．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第40项为（ ）． A ．648B ．722C ．800D ．88214．已知数列{}n a 满足112n a +=+112a =，则该数列前2016项的和为（ ） A ．2015 B ．2016 C ．1512 D ．3025215．数列12，16，112，120，…的一个通项公式是（ ） A ．()11n a n n =-B ．()1221n a n n =-C ．111n a n n =-+ D ．11n a n=-16．数列{}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...,n F 成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数{}n F 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．201920212S F =+B ．201920211S F =-C ．201920202S F =+D ．201920201S F =-17．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…满足21(1),n n n a a a n ++=+≥那么24620201a a a a +++++=（ ）A ．2021aB ．2022aC ．2023aD ．2024a18．数列{}n a 满足：12a =，111nn na a a ++=-()*n N ∈其前n 项积为n T ，则2018T =（ ） A ．6-B ．16-C ．16D ．619．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13n n S +=，则34a a +=（ ）A ．81B ．243C ．324D ．21620．设n a 表示421167n n +的个位数字，则数列{}n a 的第38项至第69项之和383969a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．180B ．160C ．150D ．140二、多选题21．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68S a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++= D ．2222123202020202021a a a a a a ++++=22．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 23．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T24．已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有（ ）A ．数列{}n a 的公差d <0B ．数列{}n a 中S n 的最大项为S 10C ．S 10>0D ．S 11>025．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前n 项和为n S ，则（ ） A ．4619a a a a >B ．130S >，140S <，则78a a >C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12SD ．若2n S n n a =-+，则0a =26．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（ ） A ．0d <B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为827．已知数列{}2nna n +是首项为1，公差为d 的等差数列，则下列判断正确的是（ ） A ．a 1＝3 B ．若d ＝1，则a n ＝n 2+2n C ．a 2可能为6D ．a 1，a 2，a 3可能成等差数列28．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ） A ．59823a a S +=B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =29．（多选题）在数列{}n a 中，若221n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则{}2n a 是等方差数列B ．(){}1n-是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 30．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且3201911111a a e e +≤++，则（ ） A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥ B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤ C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T > D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T <31．在数列{}n a 中，若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}()*,kn a k Nk ∈为常数)也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列32．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <33．数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n = C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =- D ．数列{}n a 为递减数列34．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（ ）A ．若59S S =，则必有14S =0B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有78S S >D ．若67S S >，则必有56S S >35．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ）A ．2n S n =B ．223n S n n =-C ．21n a n =-D ．35n a n =-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题 1．C 解析：C 【分析】根据“等差比”数列的定义，得到数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，再利用202020202019201820192019a a a a a a =⨯求解. 【详解】 由题意可得：323a a =，211a a = ，32211a a a a -=， 根据“等差比数列”的定义可知数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首先为1，公差为2的等差数列，则()111221n na n n a +=+-⨯=-， 所以20202019220191220181a a =⨯-=⨯+，20192018220181aa =⨯-， 所以()()2202020202019201820192019220181220181420181a a a a a a =⨯=⨯+⨯-=⨯-. 故选：C 【点睛】本题考查数列新定义，等差数列，重点考查理解题意，转化思想，计算能力，属于中档题型.2．C解析：C 【分析】 由递推公式1221n n n a a a ++=+得出25445n n n a a a ++=+，计算出25,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用递推公式推导得出()0,1n a ∈（n 为正奇数），1n a >（n 为正偶数），利用定义判断出数列{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性，进而可得出结论.【详解】()()113212132221212221n n n n n n a a a a a a ++++===++++，110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，25,24a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭， ()()121259245221545944221454544452121n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++-+++=====-+++++⨯++，且()2241544545n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++，()212122121n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++. 110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则101a <<，则()()3590,14445n a a =-∈+， 如此继续可得知()()210,1n a n N *-∈∈，则()22121212141=045n n n n a aa a -+---->+，所以，数列{}()21n a n N *-∈单调递增；同理可知，()21na n N *>∈，数列{}()2na n N *∈单调递减.对于A 选项，78a a <且79a a <，8972a a a ∴+>，A 选项错误； 对于B 选项，89a a >且108a a <，则91082a a a +<，B 选项错误；对于C 选项，68a a >，97a a >，则6978a a a a +>+，C 选项正确； 对于D 选项，79a a <，108a a <，则71098a a a a +<+，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查数列不等式的判断，涉及数列递推公式的应用，解题的关键就是推导出数列{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性，考查推理能力，属于难题.3．B解析：B 【分析】 令4n = 代入即解 【详解】令4n =，2447466a =-⨯+=-故选：B. 【点睛】数列通项公式n a 是第n 项与序号n 之间的函数关系，求某项值代入求解.4．B解析：B 【分析】根据数列的递推公式，代入计算可得选项. 【详解】 因为111n n a a +=-，12a =，所以21111112a a ===---， 故选：B. 【点睛】本题考查由数列递推式求数列中的项，属于基础题.5．C解析：C 【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化，构造等差数列，结合等差数列的性质求出通项公式即可． 【详解】 解：11nn n a a a +=+， ∴两边同时取倒数得11111n n n na a a a ++==+， 即1111n na a ，即数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差1d =的等差数列，首项为111a ．则11(1)1nn n a =+-⨯=， 得1n a n=， 则202012020a =， 故选：C 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，结合数列递推关系，利用取倒数法以及构造法构造等差数列是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力，属于基础题．6．D解析：D 【分析】根据题意，得到数列是增数列，结合通项公式，列出不等式组求解，即可得出结果. 【详解】因为对任意的*n ∈N 都有1n n a a +>， 则数列{}n a 单调递增；又()()*622,6,6n n p n n a n p n -⎧--≤=∈⎨>⎩N ， 所以只需67201p p a a ->⎧⎪>⎨⎪<⎩，即21106p p p p<⎧⎪>⎨⎪-<⎩，解得1027p <<. 故选：D. 【点睛】本题主要考查由数列的单调性求参数，属于基础题型.7．A解析：A 【分析】根据题意，由数列的递推公式求出数列的前8项，分析可得数列{}n a 是周期为6的数列，且1234560a a a a a a +++++=，进而可得1001234S a a a a =+++，计算即可得答案． 【详解】解：因为12018a =，22017a =，()*11N ,2n n n a a a n n +-=-∈≥，则321201720181a a a =-=-=-， 432(1)20172018a a a =-=--=-，543(2018)(1)2017a a a =-=---=-，654(2017)(2018)1a a a =-=---=，76511(2017)2018a a a a =-=--==， 8762201812017a a a a =-=-==，…，所以数列{}n a 是周期数列，周期为6， 因为12560a a a a ++⋅⋅⋅++=，所以()100125697989910016S a a a a a a a a =++⋅⋅⋅++++++12342016a a a a =+++=．故选：A ． 【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，关键是分析数列各项变化的规律，属于基础题．8．A解析：A 【分析】根据已知条件求得11n n n a a -=--，利用累加法求得19a . 【详解】 依题意：3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,所以11n n n a a -=--（2n ≥），且13a =，所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()12213n n =-+-++++()()()11113322n n n n -+--=+=+.所以19191831742a ⨯=+=. 故选：A 【点睛】本小题主要考查累加法，属于中档题.9．C解析：C 【分析】根据数列{}n a 的前两项及递推公式,可求得数列的前几项,判断出数列为周期数列,即可求得2019a 的值.【详解】数列{}n a 中,11a =,23a =且对*n N ∈,总有21n n n a a a ++=- 当1n =时,321322a a a =-=-= 当2n =时,432231a a a =-=-=- 当3n =时,543123a a a =-=--=- 当4n =时,()654312a a a =-=---=- 当5n =时,()765231a a a =-=---= 当6n =时,()876123a a a =-=--= 由以上可知,数列{}n a 为周期数列,周期为6T = 而201933663=⨯+ 所以201932a a == 故选:C 【点睛】本题考查了数列递推公式的简单应用,周期数列的简单应用,属于基础题.10．A解析：A 【分析】令1n =得11a =，令2n =得21212S a a =+=可解得2a . 【详解】 因为1n S n =，所以11111a S ===， 因为21212S a a =+=，所以211122a =-=-. 故选：A11．A解析：A 【分析】根据21n n S a =+，求出1a ，2a ，3a ，4a ，⋯⋯，寻找规律，即可求得答案. 【详解】21n n S a =+当1n =，1121a a =+，解得：11a = 当2n =，122221a a a +=+，解得：21a =- 当3n =，32132221a a a a ++=+，解得：31a = 当4n =，4321422221a a a a a +++=+，解得：41a =-⋯⋯当n 奇数时，1n a = 当n 偶数时，1n a =-∴71a =，20191S =故720192a S += 故选：A. 【点睛】本题主要考查了根据递推公式求数列值，解题关键是掌握数列的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12．D解析：D 【分析】 取特殊值即可求解. 【详解】当1n =时，11a =，显然AC 不正确，当2n =时，21459a a =+=，显然B 不符合，D 符合 故选：D13．C解析：C 【分析】由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：222n a n =，即可得出． 【详解】由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50…，可得偶数项的通项公式：222n a n =．则此数列第40项为2220800⨯=． 故选：C14．C解析：C 【分析】通过计算出数列的前几项确定数列{}n a 是以2为周期的周期数列，进而计算可得结论． 【详解】 依题意，112a =，211122a =，3111222a =+=， ⋯从而数列{}n a 是以2为周期的周期数列， 于是所求值为20161(1)151222⨯+=， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是联想到数列的周期性并找到数列的周期.15．C解析：C 【分析】根据选项进行逐一验证，可得答案. 【详解】 选项A. ()11n a n n =-,当1n =时，无意义.所以A 不正确.选项B. ()1221n a n n =-,当2n =时，()211122221126a ==≠⨯⨯⨯-，故B 不正确. 选项C.11122=-，111162323==-⨯，1111123434==-⨯，1111204545==-⨯ 所以111n a n n =-+满足.故C 正确. 选项D. 11n a n =-,当1n =时, 1111012a =-=≠,故D 不正确. 故选：C16．B解析：B 【分析】利用迭代法可得21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，可得21n n F S +=+，代入2019n =即可求解.【详解】由题意可得该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和， 则211112n n n n n n n n n n F F F F F F F F F F ++----=+=++=+++1211232n n n n n n n n n F F F F F F F F F -------=+++=++++=123211n n n n F F F F F F ---=+++++++，所以21n n F S +=+，令2019n =，可得201920211S F =-，故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解数列新定义的含义得出21n n n F F F ++=+，利用迭代法得出21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，进而得出21n n F S +=+.17．A解析：A 【分析】根据数列的递推关系式即可求解. 【详解】由21(1),n n n a a a n ++=+≥ 则2462020246210201a a a a a a a a a +++++++++=+3462020562020201920202021a a a a a a a a a a =+++=+++=+=.故选：A18．A解析：A 【分析】根据递推公式推导出()4n n a a n N *+=∈，且有12341a a a a=，再利用数列的周期性可计算出2018T 的值. 【详解】12a =，()*111++=∈-nn n a a n N a ，212312a +∴==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，()4n n a a n N *+∴=∈，且()12341123123a a a a ⎛⎫=⨯-⨯-⨯= ⎪⎝⎭，201845042=⨯+，因此，()5042018450421211236T T a a ⨯+==⨯=⨯⨯-=-.故选：A. 【点睛】本题考查数列递推公式的应用，涉及数列周期性的应用，考查计算能力，属于中等题.19．D解析：D 【分析】利用项和关系，1n n n a S S -=-代入即得解. 【详解】利用项和关系，1332443=54=162n n n a S S a S S a S S -=-∴=-=-，34216a a ∴+=故选：D【点睛】本题考查了数列的项和关系，考查了学生转化与划归，数学运算能力，属于基础题.20．B解析：B 【分析】根据题意可得n a 为421167n n +的个位数为27n n +的个位数，而2n 的个位是以2,4,8,6为周期，7n 的个位数是以7,9,3,1为周期，即可求和. 【详解】由n a 为421167n n +的个位数， 可得n a 为27n n +的个位数， 而2n 的个位是以2,4,8,6为周期，7n 的个位数是以7,9,3,1为周期，所以27n n +的个位数是以9,3,1,7为周期， 即421167n n +的个位数是以9,3,1,7为周期， 第38项至第69项共32项，共8个周期， 所以383969a a a ++⋅⋅⋅+=8(9317)160⨯+++=. 故选：B二、多选题 21．BCD 【分析】根据题意写出，，，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】对A ，，，故A 不正确； 对B ，，故B 正确； 对C ，由，，解析：BCD 【分析】根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】对A ，821a =，620S =，故A 不正确； 对B ，761333S S =+=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-， ()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-， 故2222123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故D 正确．故选：BCD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形.22．ABD 【分析】根据，，，计算可知正确；根据，，，，，，累加可知不正确；根据，，，，，，累加可知正确. 【详解】依题意可知，，，， ，，，，故正确； ，所以，故正确； 由，，，，，， 可得，故不解析：ABD 【分析】根据11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，累加可知C 不正确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，累加可知D 正确. 【详解】依题意可知，11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确； 7565813a a a =+=+=，所以712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，可得13572019a a a a a +++++=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =，故C 不正确；2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，所以2222212342019a a a a a +++++122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =，所以22212201920202019a a a a a +++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题.23．AD 【分析】分类讨论大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】 ①, 与题设矛盾. ②符合题意. ③与题设矛盾. ④ 与题设矛盾. 得，则的最大值为. B ，C ，错误. 故选：AD. 【点睛】解析：AD 【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意.③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .∴B ，C ，错误.【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1*1n n a a qn N -=∈.24．AC 【分析】由，可得，且，然后逐个分析判断即可得答案 【详解】解：因为，所以，且，所以数列的公差，且数列中Sn 的最大项为S5，所以A 正确，B 错误， 所以，，所以C 正确，D 错误， 故选：AC解析：AC 【分析】由564S S S >>，可得650,0a a ，且650a a +>，然后逐个分析判断即可得答案 【详解】解：因为564S S S >>，所以650,0a a ，且650a a +>，所以数列的公差0d <，且数列{}n a 中S n 的最大项为S 5，所以A 正确，B 错误， 所以110105610()5()02a a S a a +==+>，11111611()1102a a S a +==<， 所以C 正确，D 错误， 故选：AC25．AD 【分析】对于，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于，根据等差数列的前项和公式得到和， 进而可得，由此可知，故不正确； 对于，由得到，，然后分类讨论的符号可得答案； 对于，由求出及解析：AD 【分析】对于A ，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于B ，根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<， 进而可得80a <，由此可知78||||a a <，故B 不正确；对于C ，由915S S =得到，12130a a +=，然后分类讨论d 的符号可得答案； 对于D ，由n S 求出n a 及1a ，根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =.对于A ，因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =，且0d ≠，所以24619150a a a a d -=>，所以4619a a a a >，故A 正确；对于B ，因为130S >，140S <，所以77713()1302a a a +=>，即70a >，787814()7()02a a a a +=+<，即780a a +<，因为70a >，所以80a <，所以7878||||0a a a a -=+<，即78||||a a <，故B 不正确；对于C ，因为915S S =，所以101114150a a a a ++++=，所以12133()0a a +=，即12130a a +=，当0d >时，等差数列{}n a 递增，则12130,0a a <>，所以n S 中的最小值是12S ，无最大值；当0d <时，等差数列{}n a 递减，则12130,0a a ><，所以n S 中的最大值是12S ，无最小值，故C 不正确；对于D ，若2n S n n a =-+，则11a S a ==，2n ≥时，221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-，因为数列{}n a 为等差数列，所以12120a a =⨯-==，故D 正确. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键.26．BD 【分析】由题意可知，由已知条件可得出，可判断出AB 选项的正误，求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】由于等差数列是递增数列，则，A 选项错误解析：BD 【分析】由题意可知0d >，由已知条件753a a =可得出13a d =-，可判断出AB 选项的正误，求出n S 关于d 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】由于等差数列{}n a 是递增数列，则0d >，A 选项错误；753a a =，则()11634a d a d +=+，可得130a d =-<，B 选项正确；()()()22171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -⎡⎤--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当3n =或4时，n S 最小，C 选项错误；令0n S >，可得270n n ->，解得0n <或7n >.n N *∈，所以，满足0n S >时n 的最小值为8，D 选项正确.故选：BD.27．ACD 【分析】利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解 【详解】因为，，所以a1＝3，an ＝[1+(n-1)d](n+2n).若d ＝1，则an ＝n(n+2n)；若d ＝0，则a2＝解析：ACD 【分析】利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解 【详解】 因为1112a =+，1(1)2n n a n d n =+-+，所以a 1＝3，a n ＝[1+(n -1)d ](n +2n ).若d ＝1，则a n ＝n (n +2n )；若d ＝0，则a 2＝6.因为a 2＝6+6d ，a 3＝11+22d ，所以若a 1，a 2，a 3成等差数列，则a 1+a 3＝a 2，即14+22d ＝12+12d ，解得15d =-. 故选ACD28．BD 【分析】设等差数列的公差为，根据条件、、成等差数列可求得与的等量关系，可得出、的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列的公差为，则，， 因为、、成等差数列，则，即， 解得，，解析：BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+， 因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S d -⨯==-，A 选项错误； 对于B 选项，()2229272d Sd -⨯==-，()2779772d Sd -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误； 对于D 选项，50a =，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.29．BCD 【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项，取，则不是常数，则不是等方差数列，A 选项中的结论错误； 对于B 选项，为常数，则是等方差数列，B 选项中的结论正解析：BCD 【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项，取n a n =，则()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++不是常数，则{}2n a 不是等方差数列，A 选项中的结论错误；对于B 选项，()()22111110n n+⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数，则(){}1n-是等方差数列，B 选项中的结论正确；对于C 选项，若{}n a 是等方差数列，则存在常数p R ∈，使得221n n a a p +-=，则数列{}2na 为等差数列，所以()221kn k n a a kp +-=，则数列{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列，C 选项中的结论正确；对于D 选项，若数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则存在m R ∈，使得n a dn m =+，则()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++，由于数列{}n a 也为等方差数列，所以，存在实数p ，使得221n n a a p +-=，则()222d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立，则()2202d m d d p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得0p d ==，此时，数列{}n a 为常数列，D 选项正确.故选BCD. 【点睛】本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题.30．AC 【分析】将变形为，构造函数，利用函数单调性可得，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项 【详解】 由，可得，令， ，所以是奇函数，且在上单调递减，所以， 所以当数列为等差数列时，；解析：AC 【分析】 将3201911111a a e e +≤++变形为32019111101212a a e e -+-≤++，构造函数()1112xf x e =-+，利用函数单调性可得320190a a +≥，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项 【详解】 由3201911111a a e e +≤++，可得32019111101212a a e e -+-≤++，令()1112x f x e =-+， ()()1111101111x x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++，所以()1112xf x e =-+是奇函数，且在R 上单调递减，所以320190a a +≥， 所以当数列{}n a 为等差数列时，()320192*********a a S +=≥；当数列{}n a 为等比数列时，且3a ，1011a ，2019a 同号，所以3a ，1011a ，2019a 均大于零，故()2021202110110T a =>.故选：AC 【点睛】本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题31．BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误； 对于B ，数列中，是常数， 是等方差数解析：BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}n a 不是等方差数列，故A 错误； 对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ，数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，，()()()()2222222212132221k k k k k k k k aa a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加得()()()()2222222212132221k kk k k k k k aa a a a a a a kp +++++--+-+-++-=，222k k a a kp ∴-=，()221kn k n a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确； 对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题.32．AD 【分析】由已知得到,进而得到,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为，可知不一定成立，从而判定C 错误. 【详解】 由已知得：,结合等差数列的性质可知，,该等差解析：AD 【分析】由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=，可知不一定成立，从而判定C 错误. 【详解】由已知得：780,0a a ><,结合等差数列的性质可知，0d <,该等差数列是单调递减的数列， ∴A 正确，B 错误，D 正确，310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=，即160a d +=,这在已知条件中是没有的，故C 错误. 故选:AD. 【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系.33．ABD 【分析】首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可. 【详解】对选项A ，因为，， 所以，即所以是以首项为，公差为的等差数列，故A 正确. 对选项B ，由A 知：解析：ABD 【分析】 首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=，从而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为121nn n a a a +=+，11a =， 所以121112n n n n a a a a ++==+，即1112n na a +-= 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确.对选项B ，由A 知：112121nn n a数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21212n n n S n +-==，故B 正确.对选项C ，因为121n n a =-，所以121n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为121n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题.34．ABC 【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案. 【详解】解：对于A.，若，则，所以，所以，故A 选项正确；对于B 选项，若，则，由于，公差，故，故，所以是中最大的项；故B 选项正确； C. 若解析：ABC 【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案. 【详解】解：对于A.，若59S S =，则67890a a a a +++=，所以781140a a a a +=+=，所以()114141402a a S +==，故A 选项正确； 对于B 选项，若59S S =，则780+=a a ，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故780,0a a ><，所以7S 是n S 中最大的项；故B 选项正确；C. 若67S S >，则70a <，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故80a <，6a 的符号不定，故必有78S S >，56S S >无法确定；故C 正确，D 错误． 故选：ABC ． 【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题．35．AC 【分析】利用等差数列的前项和公式、通项公式列出方程组，求出，，由此能求出与． 【详解】等差数列的前项和为．，， ， 解得，， ．故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公解析：AC 【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ． 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =，∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得11a =，2d =，1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．()21212n n n S n +-==故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．。
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§1.1.1 数列的概念
本小节重点：了解数列概念、分类、通项公式；及通项公式的求法。
一、基本概念
1. 数列的概念
○1按一定次序排列的一列数叫数列。
注：数列的另一定义：数列也可以看做是一个定义域为正整数集，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
○2数列中的每一个数按顺序1，2，3，…，都有一个序号，叫作项数，每一个序号也对应着一个数，这个数叫作数列中的项，例如第4个数，叫作第4项，第n个数，叫作第n项，记作;
○3数列的一般形式为，，，…，，…简单记为，其中表示数列的通项. ○4通项公式：如果一个数列的第n项与项数n之间的函数关系可以用一个公式表示时，我们称这个公式为这个数列的通项公式。
特别提示：a) 数列的通项公式不是唯一的，例如：-1，1，-1，1，…通项公式可表示为
或;
b) 不是所有的数列都有通项公式，例如：3，3.1，3.14，3.141，3.1415，…就没有通项公式.
○5递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系式可以用一个公式来表示，则这个公式就叫
作递推公式。
2. 数列的表示方法
○1列表法，指列出表格来表示数列的第n项与序号n之间的关系.
○2图像法，指在坐标平面中用点表示.
○3解析法，指用一数学式子表示来。
例如：常用的通项公式.
3. 数列的分类
○1按数列中项数的多少来分：有穷数列和无穷数列.
○2按数列中相邻两项间的大小关系来分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列.
○3按照任何一项的绝对值是否都大于某一正数来分：有界数列和无界数列.
二、例题讲解
例1. 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1) ，，，，… (2) 1,3,6,10,15,…
(3) ,,,,… (4) 6,66,666,…
(5),,,,…
(6) ,,,,,,…或
特别提示：在此种题型当中一些常用的数列为：
1) 1，0，1，0，…; 2)-1,1,-1,1,…; 3)1,11,111,1111,…
例2. 已知数列,
(1) 求数列的第10项
(2) 是否为该数列的项，为什么？
(3) 求证：数列中各项都在区间内；
(4) 在区间内有无数列中的项？
例3. 利用递推公式写出下列各题通项公式
(1)(可用两种方法)
(2)已知数列满足求
(3)(插项法和叠加法组合)
(4)在数列中,已知,
(5)设是首项为1的正数数列，且,
求它的通项公式.（累乘法）
(6)已知数列中，，数列中，,当时，
,求
例4. 求下列数列中某一项
(1) 已知数列满足,求
(2) 已知数列对任意,有,若，求
(3) 在数列中，,求
(4) 已知数列满足,求
例5. 利用数列的单调性解答
(1)若数列的通项公式,数列的最大项为第x项，最
小项为第y项，则x+y=
(2)设数列的通项公式为,若数列是单调递增数列，
求实数k的取值范围.
(3)设,又知数列的通项满足
,
1)试求数列的通项公式;
2)判断数列的增减性.
(4)设是定义在正整数集上的函数，且满足,如果
,则=
例6. 和之间的关系
注：数列的通项与前n项和的相互关系是：;
(1) 已知数列的前n项和,求数列的通项公式.
(2) 已知求
(3) 已知,又数列中，，这个数列的
前n项和的公式，对所有大于1的自然数n都有.
1) 求数列的通项公式.
2) 若, 求的值
特别提示：请同学自行归纳出求通项公式的基本方法.。