2017届浙江省宁波市镇海中学高三五月模拟文科数学试题及答案

镇海中学高考模拟考试 数学（文科）试卷本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 满分150分, 考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B ).柱体的体积公式 V Sh =，其中S 表示底面积，h 表示柱体的高. 锥体的体积公式 13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.球的表面积公式 24S R π=， 球的体积公式 343V R π=，其中R 表示球的半径.第Ⅰ卷（选择题部分 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合A={0，2，x }，B={x 2}，A B=A ，则满足条件的实数x 有（ ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2．已知复数21iz =-+，则 （ ）A ．||2z =B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为﹣1D ．z 的共轭复数为1+i3. 已知,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，且l ∥α，则下列命题正确的是A.若l ∥m ，则m ∥αB.若m ∥α，则l ∥mC.若l m ⊥，则m α⊥D.若m α⊥，则l m ⊥4. 运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为( ) A. 1007 B. 1008 C. 2017 D. 20175.已知函数()sin 2f x x =向左平移6π个单位后，得到函数()y g x =，下列关于()y g x =的说法正确的是（ ）A.图象关于点(,0)3π-中心对称 B.图象关于6x π=-轴对称C.在区间5[,]126ππ--单调递增 D.在[,]63ππ-单调递减6. 函数13y x x =-的图象大致为 （ ）7．定义：()00>>=y ,x y )y ,x (F x ，已知数列{}n a 满足：()()n ,F ,n F an22=()n *∈N ，若对任意正整数n ，都有k n a a ≥()k *∈N 成立，则k a 的值为（ ） A ．12B ．2C ．89D ．988．如图，将︒45的直角三角板ADC 和︒30的直角三角板ABC 拼在一起组成平面四边形ABCD ，其中︒45的直角三角板的斜边AC 与︒30的直角三角板的︒30所对的直角边重合，若DB xDA yDC =+u u u r u u u r u u u r，则x ，y 分别等于（ ）A,1 B,1 C．2, D 31,39．设F 1，F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-= (a>0，b>0)的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交 双曲线某条渐近线于M 、N 两点，且满足∠MAN=120o ， 则该双曲线的离心率为 （ ）A.3 B. 73C. 3D.310．已知函数2()4,0f x x x x =-+≤⎪⎩，若()1f x ax ≥-恒成立，则实数a 的取值范围 是 （ ）A.(],6-∞-B.[]6,0-C.(],1-∞-D.[]1,0-第Ⅱ卷（非选择题部分 共100分)二、填空题：本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．11.如图是容量为100的样本的频率分布直方图,试根据图形中的数据填空, 样本数据落在范围[10,14]内的频数为________ ； 12.已知1sin()cos 62παα+-=，则sin()6πα-的值是 ；13. 已知条件2:(43)1p x -≤,条件0)1()12(:2≤+++-a a x a x q .若p是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________；14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何 体的体积是 ；15. 圆心为椭圆22143x y +=的右焦点，且与直线5x y +=相切的圆方程是 ________；频率16．在平面直角坐标系中，若不等式组10,10,(10,x y x a ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩为常数)，所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为 ；17．设M 是△ABC 内一点，AB·30AC BAC =∠=，定义()(,,),f M m n p = 其中,,m n p 分别是△MBC ，△MAC ，△MAB 的面积，若114()(,,),2f M x y a x y =+=，则22a a+的取值范围是 .三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18. （本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C 上．(1)求角C 的值；(2)若1c =，且△ABC 为锐角三角形，求△ABC 的面积的最大值．19．（本小题满分14分）设{}n a 是公差大于零的等差数列，已知12a =，23210a a =-. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是以1为首项，以3为公比的等比数列，求数列{}n n a b -的前n 项和n S .20.(本小题满分15分）已知在四棱锥P ABCD-中，//AD BC ,AD CD ⊥,22PA PD AD BC CD ====，,E F 分别是,AD PC 的中点.(Ⅰ)求证AD PBE ⊥平面； (Ⅱ)求证//PA BEF 平面；(Ⅲ)若PB AD =，求二面角F BE C --的大小.21．（本小题满分15分）设函数2()2(4)ln f x ax a x x =+++． （Ⅰ）若()f x 在x=41处的切线与直线4x+y=0平行，求a 的值；（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）若函数()y f x =的图象与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明0()0f x '<．22. (本题满分14分)若A、B是抛物线x2 上的不同两点，弦ABy4（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P 的一条“相关弦”.；（I）求点)0,4(P的“相关弦”的中点的横坐标；(II)求点)0,4(P的所有“相关弦”的弦长的最大值。

参考答案 一、 选择题：1-5 B C D A C 6-10 A C B C B 二、 填空题：11、36 12、12 13、1[0,]2 14、22(1)8x y -+= 16、3 17、163[,)9+∞三、解答题： 18. (1)3c π=（2）62A ππ<<12sin sin())2436S ab C ab A A A ππ===-=-max S =19. （1）2n a n = （2）1123,2311.322n n n n n nn b a b n S n n --=-=-=++-20. (Ⅰ) 证明:由已知得//ED BC ED BC =，， 故BCDE 是平行四边形，所以//BE CD BE CD =，， 因为AD CD ⊥，所以BE AD ⊥, 由PA=PD 及E 是AD 的中点，得PE AD ⊥, 又因为BE PE E = ,所以D BE A P ⊥平面. (Ⅱ) 证明:连接AC 交EB 于G ,再连接FG ,由E 是AD 的中点及//BE CD ，知G 是BF的中点，又F 是PC 的中点，故//FG PA ， 又因为,FG BEF PA BEF ⊂⊄平面平面， 所以PA//BEF 平面.(Ⅲ)解：设PA=PD=AD=2BC=2CD 2a =, 则PF =，又2PB AD a ==，EB CD a ==， 故222PB PE BE =+即PE BE ⊥， 又因为BE AD ⊥，AD PE E = ，所以BE PAD ⊥平面，得BE PA ⊥，故BE FG ⊥， 取CD 中点H ，连接,FH GH ,可知//GH AD ,因此GH BE ⊥, 综上可知FGH ∠为二面角F-BE-C 的平面角. 可知111=,,222FG PA a FH PD a GH AD a =====， 故=60FGH ∠ ,所以二面角F-BE-C 等于60 . 21. 解析：（I ）由题知f(x)=2ax 2+(a+4)x+lnx 的定义域为(0，+∞)， 且xx a axx f 1)4(4)(2+++='．又∵f(x)的图象在x=14处的切线与直线4x+y=0平行， ∴1()44f '=-，解得a=-6． （Ⅱ）xax x x x a axx f )1)(14(1)4(4)(2++=+++='，由x>0，知xx 14+>0．①当a ≥0时，对任意x>0，)(x f '>0，∴此时函数f(x)的单调递增区间为(0，+∞)．②当a<0时，令)(x f '=0，解得1x a=-，当10x a<<-时，)(x f '>0，当1x a>-时，)(x f '<0，此时，函数f(x)的单调递增区间为(0，a1-)，单调递减区间为(a1-，+∞)．（Ⅲ）不妨设A(1x ，0)，B(2x ，0)，且120xx <<，由（Ⅱ）知0a <，于是要证()'0f x <0成立，只需证：01x a>-即1212x x a+>-． ∵()21111()24ln 0f x ax a x x =+++=， ①()22222()24ln 0f x ax a x x =+++=， ②①-②得2212111222()()2(4)ln 2(4)ln 0f x f x ax a x x ax a x x -=+++--+-=， 即2212121212(22)4()ln ln 0a x x x x x x x x -+-+-+-=，∴22112211222214ln 4ln x x x x a x x x x +---=+--，故只需证2212112211222224ln 4ln x x x x x x x x x x ++-->+--，即证明()()221212121122()[4ln ln ]4242x x x x x x x x x x +-+-<+--， 即证明12121222ln ln x x x x x x --<+，变形为11212222ln 1x x x x x x ⋅-<+， 设12xt x =(01)t <<，令22()ln 1t g t t t -=-+， 则214()(1)g t t t '=-+22(1)(1)t t t -=+，显然当t>0时，)(t g '≥0，当且仅当t=1时，)(t g '=0， ∴g(t)在(0，+∞)上是增函数． 又∵g(1)=0，∴当t ∈(0，1)时，g(t)<0总成立，命题得证． 22.解：（I ）设AB 为点)0,4(P 的任意一条“相关弦”，且点),(11y x A ，),(22y x B ,则1214x y =，2224x y =弦AB 的垂直平分线方程为)2(221212121x x x y y x x y y y +----=+-， 由题它与x 轴相交于点)0,4(P 令⇒=0y 22421212121x x x x y y y y ++--+=所以，222242)(2)(442121212121=+⇒++=⇒++--=x x x x x x x x x x(Ⅱ)由(Ⅰ)可设中点为),2(m y ，这里221y y y m += 直线AB 的斜率m y y y y y y y x x y y k 2444212221212121=+=--=--=，所以 弦AB 所在直线的方程是)4(2)2(2mm m m m y y x y y x y y y -+=⇒-=-，代入24y x =中，整理得0)4(1640)4(1642222222=-+-⇒=-+-mm m m m m m y y y x x y y x y x y （*） 则12x x 、是方程（*）的两个实根，且421=+x x ，4)4(2221mm m y y y x x -=设点)0,4(P 的“相关弦” AB 的弦长为，则2221212()()l x x y y =-+-])4(16)[41(]4))[(41())(41(22221221222122mm m m m m y y y y x x x x y x x y l --+=-++=-+=所以，36)2(32422242+--=++-=m m m y y y l ，所以，6min =l。