2014年高考数学专家讲坛 把脉考向：第11讲 直线与圆(含名师点评)

第十一讲 直线与圆真题试做►———————————————————1．(2013·高考安徽卷)直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( )A ．1B ．2C ．4D ．4 62．(2013·高考天津卷)已知过点P (2，2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2 D.123．(2013·高考江西卷)若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________．考情分析►———————————————————该部分常考内容有直线的倾斜角、斜率、方程、两直线的位置关系及交点坐标的求解，圆的方程的求解以及圆的性质的应用，直线与圆的位置关系的判断和应用，弦长与面积的求法等；大部分为选择题、填空题，突出考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，属于中、低档题．考点一直线的方程直线与直线的方程是高中数学最基础、最重要的知识点之一．重点考查直线的倾斜角与斜率，且往往与导数、直线与曲线的位置关系结合考查．(1)(2013·郑州调研)直线x＋2ay－5＝0与直线ax＋4y＋2＝0平行，则a的值为()A．2B．±2C. 2 D．± 2(2)过点(1，0)且倾斜角是直线x－2y－1＝0的倾斜角的两倍的直线方程是______________．(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)求直线方程就是求出确定直线的几何要素，即直线经过的点和直线的倾斜角，当直线的斜率存在时，只需求出直线的斜率和直线经过的点即可．对于直线的点斜式方程和两点式方程，前者是直线的斜率和直线经过的一点确定直线，后者是两点确定直线．强化训练1(1)m＝－1是直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋3＝0垂直的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，且|P A|＝|PB|，若直线P A的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为________．考点二 圆的方程求圆的方程或已知圆的方程求圆心坐标、半径等是近年来高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题突出了“小而巧”，主要考查圆的标准方程、一般方程；主观题往往在知识交汇处命题．(1)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋(y －73)2＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．(x －32)2＋(y －1)2＝1 (2)已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为__________．【思路点拨】 (1)设圆心坐标为(a ，b )，利用已知条件求出(a ，b )．(2)首先求圆心到直线4x －3y －2＝0的距离，再利用圆的几何性质求得半径．求圆的方程一般有两类方法：(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．其一般步骤是： ①根据题意选择方程的形式：标准形式或一般形式；②利用条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程组；③解出a 、b 、r 或D 、E 、F ，代入标准方程或一般方程．此外，根据条件，要尽量减少参数设方程，这样可减少运算量．强化训练2 (1)圆心在抛物线x 2＝2y (x >0)上，并且与抛物线的准线及y 轴都相切的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－x －2y ＋1＝0B ．x 2＋y 2－2x －y ＋1＝0C ．x 2＋y 2－x －2y ＋14＝0 D ．x 2＋y 2－2x －y ＋14＝0 (2)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1，0)，且被x 轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为__________．考点三 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是高考解析几何试题中的必考点，重点考查直线与圆的位置关系的判断、圆的切线与弦长问题，题型多以选择题与填空题形式出现，与圆有关的最值问题、圆与圆的位置关系问题相对较少出现．如图所示，已知以点A (－1，2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2，0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程；(3)BQ →²BP →是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．【思路点拨】 第(1)问由圆A 与直线l 1相切易求出圆的半径，进而求出圆A 的方程；第(2)问注意直线l 的斜率不存在时也符合题意，以防漏解，另外应注意用好几何法，以减小计算量；第(3)问分两种情况分别计算平面向量的数量积为定值后方可下结论．(1)在解决直线与圆的位置关系问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征，尽可能地简化运算，讨论直线与圆的位置关系时，一般不用Δ>0，Δ＝0，Δ<0，而用圆心到直线的距离d <r 、d ＝r 、d >r ，分别确定相交、相切、相离的位置关系．(2)弦长L ＝2R 2－d 2，其中R 为圆的半径，d 为圆心到弦所在直线的距离．强化训练3 (2013·长春市调研)已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22)思维方法创新型试题的解题技巧——距离和最值的创新解决此类问题的关键是要认真理解题意，透过“现象”把握问题的本质，运用相应的数学思想和方法求解．(2013·高考四川卷)在平面直角坐标系内，到点A (1，2)，B (1，5)，C (3，6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．(1)求一点M 使|MA |＋|MB |＋|MC |＋|MD |最小．(2)若M 为平面内任一点，则|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号；|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号．(3)若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为AC 、BD 的交点．(4)由AC 和BD 的直线方程求M 的坐标．抓信息 寻思路【解析】 ∵k AC ＝6－23－1＝2， ∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①又k BD ＝5－（－1）1－7＝－1，∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y －6＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴要求的点的坐标为(2，4)． 【答案】 (2，4)本题充分体现了数形结合思想、转化与化归思想在解题中的应用，即通过数形结合将问题转化为求直线AC 和BD 交点的坐标，这种以“以形助解”探究解题思路的思想方法在今后学习中应引起重视．跟踪训练1 (2013·高考江西卷)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33 B ．－33C ．±33 D ．－ 3 跟踪训练2 (2013·浙江省名校联考)设圆C ：(x －3)2＋(y －5)2＝5，过圆心C 作直线l 交圆于A 、B 两点，交y 轴于点P ，若A 恰好为线段BP 的中点，则直线l 的方程为________．_体验真题·把脉考向_1．【解析】选C.圆的方程可化为C ：(x －1)2＋(y －2)2＝5，其圆心为C (1，2)，半径R ＝ 5.如图所示，取弦AB 的中点P ，连接CP ，则CP ⊥AB ，圆心C 到直线AB 的距离d ＝|CP |＝|1＋4－5＋5|12＋22＝1.在Rt △ACP 中，|AP |＝R 2－d 2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB |＝4.2．【解析】选C.由题意知圆心为(1，0)，由圆的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为x ＋ay ＋c ＝0，由切线x ＋ay ＋c ＝0过点P (2，2)，∴c ＝－2－2a ， ∴|1－2－2a |1＋a 2＝5，解得a ＝2. 3．【解析】因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0，0)和(4，0)，所以设圆心为(2，m )．又因为圆与直线y ＝1相切，所以（4－2）2＋（0－m ）2＝|1－m |，所以m 2＋4＝m 2－2m ＋1，解得m ＝－32，所以圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 【答案】(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254 _典例展示·解密高考_【例1】【解析】(1)依题意得－a 4＝－12a 且52a ≠－12， 由此得a ＝±2，故选D.(2)设直线x －2y －1＝0的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.又由已知得tan α＝12， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2³121－（12）2＝43， ∴所求直线方程为y －0＝43(x －1)， 即4x －3y －4＝0.【答案】(1)D (2)4x －3y －4＝0[强化训练1]【解析】(1)由两直线垂直得3m ＋(2m －1)m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1.而当m ＝－1时可得两直线垂直．所以m ＝－1是直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋3＝0垂直的充分不必要条件．(2)因为k P A ＝1，则k PB ＝－1.又A 点坐标为(－1，0)，点P 的横坐标为2，则B 点坐标为(5，0)，直线PB 的方程为x ＋y －5＝0.【答案】(1)A (2)x ＋y －5＝0【例2】【解析】(1)设圆心C (a ，b )(a >0，b >0)，由题意可得b ＝1.又圆心C 到直线4x －3y ＝0的距离d ＝|4a －3|5＝1， 解得a ＝2或a ＝－12(舍)． 所以该圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.(2)设所求圆的半径是r ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1，0)，则圆C 的圆心坐标是(0，1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4³0－3³1－2|42＋（－3）2＝1，则r 2＝d 2＋(|AB |2)2＝10，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.【答案】(1)B (2)x 2＋(y －1)2＝10[强化训练2]【解析】(1)设圆心坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，x 202(x 0>0)． ∵抛物线x 2＝2y 的准线方程为y ＝－12， 由题意知，x 0＝x 202＋12⇒x 0＝1， ∴所求圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫1，12，半径为1. ∴所求圆的方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1， 化为一般式为x 2＋y 2－2x －y ＋14＝0. (2)∵圆C 关于y 轴对称，∴圆C 的圆心C 在y 轴上，可设C (0，b )．设圆C 的半径为r .则圆C 的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2.依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋（－b ）2＝r 2|b |＝12r ，解之得⎩⎨⎧r 2＝43b ＝±33 . ∴圆C 的方程为x 2＋(y ±33)2＝43. 【答案】(1)D (2)x 2＋(y ±33)2＝43【例3】【解】(1)设圆A 的半径为R .∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5. ∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＝0.连接AQ (图略)，则AQ ⊥MN .∵|MN |＝219，∴|AQ |＝20－19＝1，由|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34. ∴直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0，∴所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.(3)∵AQ ⊥BP ，∴AQ →²BP →＝0，∴BQ →²BP →＝(BA →＋AQ →)·BP →＝BA →²BP →＋AQ →²BP →＝BA →²BP →.当直线l 与x 轴垂直时，得P ⎝⎛⎭⎫－2，－52，则BP →＝⎝⎛⎭⎫0，－52，又BA →＝(1，2)． ∴BQ →²BP →＝BA →²BP →＝－5.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x ＋2y ＋7＝0，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －71＋2k ，－5k 1＋2k . ∴BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋2k ，－5k 1＋2k . ∴BQ →²BP →＝BA →²BP →＝－51＋2k －10k 1＋2k＝－5， 综上所述，BQ →²BP →是定值，且BQ →²BP →＝－5.[强化训练3]【解析】选C.当|OA →＋OB →|＝33|AB →|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，此时k ＝2；当k >2时，|OA →＋OB→|>33|AB →|，又直线与圆x 2＋y 2＝4存在两交点，故k <22，综上，k 的取值范围为[2，22)，故选C._名师讲坛·精彩推荐_[跟踪训练1]【解析】选B.由于y ＝1－x 2，即x 2＋y 2＝1(y ≥0)，直线l 与x 2＋y 2＝1(y ≥0)交于A ，B 两点，如图所示，S△AOB＝12²sin∠AOB≤12，且当∠AOB＝90°时，S△AOB取得最大值，此时AB＝2，点O到直线l的距离为22，则∠OCB＝30°，所以直线l的倾斜角为150°，则斜率为－33.[跟踪训练2]【解析】如图，A为PB的中点，而C为AB的中点，因此，C为PB的四等分点．而C(3，5)，P点的横坐标为0，因此，A、B的横坐标分别为2、4，将A的横坐标代入圆的方程中，可得A(2，3)或A(2，7)，根据直线的两点式得到直线l的方程为2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0.【答案】2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0。