2015年浙江省高考数学试卷(理科)
2015年浙江高考数学试卷(理科)
an ； 2 （n N * ） an 1
S 1 1 * （n N ）. n 2(n 2) n 2( n 1)
2 设数列 an 的前 n 项和为 S n , 证明
x2 1 y 2 1 上两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+ 对称． 2 2
求实数 m 的取值范围； 求 AOB 面积的最大值（O 为坐标原点） ．
20、 （本题满分 15 分） 已知数列 an 满足 a1 = (I) (II) 证明：1
1 * 2 且 an 1 = an - an （n N ） 2
1 ， b2 a 2 = c 2 . 2 4
17、 （本题满分 15 分） o. 如图，在三棱柱 C - 11C1 中， BAC= 90 ，AB=AC=2， A1 A=4， A1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点，D 为 B1C1 的中点. （I） （II） 证明： A1 D 平面 A1B C1 ； 求二面角 A1 -BD- B1 的平面角的余弦值.
充分必要
f (sin 2 x) sin x 2 C. f ( x 1) x 1
A.
B. f (sin 2 x) x x
2
D. f ( x 2 x) x 1
2
8、 如图， 已知 ABC ，D 是 AB 的中点， 沿直线 CD 将 ACD 折成 ACD ， 所成二面角 A CD B 的平面角为 ，则（ ） A. ADB B. ADB C. ACB D. ACB
是 是 ． ． 14 、 若实 数 x, y 满 足 x 2 y 2 1 ， 则 2 x y 2 6 x 3 y 的 最 小 值 15 、 已 知 e1 , e2 是 空 间 单 位 向 量 ， e1 e 2
2015年浙江省高考理科数学试卷及答案(word版)
绝密★考试结束前2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式如果事件互斥，那么如果事件相互独立，那么如果事件在一次试验中发生的概率为,那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率台体的体积公式其中,分别表示台体的上、下面积，表示台体的高柱体体积公式其中表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式其中表示锥体的底面积，表示锥体的高球的表面积公式球的体积公式其中表示球的半径2222侧视图俯视图正视图一、选择题：本大题共8小题, 每小题5分, 共40分, 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合P ={x |x 2-2x ≥0}, Q ={x |1<x ≤2}, 则(C R P )Q =( ) A.[0, 1) B.(0, 2] C.(1, 2) D.[1, 2]2.某几何体的三视图如图所示(单位:cm), 则该几何体的体积是( )A.8cm 3B.12cm 3C.cm 3D.cm 33.已知{a n }是等差数列, 公差d 不为零, 前n 项和是S n , 若a 3, a 4, a 8 成等比数列, 则( )A. a 1d >0, dS 4>0B. a 1d <0, dS 4<0C. a 1d >0, dS 4<0D. a 1d <0, dS 4>0 4.命题“ 且f (n )≤n ” 的否定形式是( ) A.且f (n )>n B.或f (n )>n C.且f (n 0)>n 0 D.或f (n 0)>n 05.如图, 设抛物线y 2=4x 的焦点为F , 不经过焦点的直线上有三个不同的点A , B , C , 其中 点A , B 在抛物线上, 点C 在y 轴上, 则△BCF 与△ACF 的面积之比是( ) A.B.C. D.6.设A , B 是有限集, 定义d (A , B )=card(A B )-card(A B ), 其中card(A )表示有限集A 中的元素个数,命题①：对任意有限集A , B , “A ≠B ”是“d (A , B )>0”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A , B , C , d (A , C )≤d (A , B )+ d (B , C ), 则( ) A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立 C.命题①成立, 命题②不成立 D.命题①不成立, 命题②成立 7.存在函数f (x )满足, 对任意x ∈R 都有( )A.f (sin 2x )=sin xB. f (sin 2x )=x 2+xC.f (x 2+1)=|x +1|D.f (x 2+2x )=|x +1|8.如图, 已知△ABC , D 是AB 的中点, 沿直线CD 将△ACD 折 成△, 所成二面角的平面角为, 则( ) A.≤ B.≥ C.≤ D.≥二、填空题：本大题共7小题, 多空题每题6分, 单空题每题4分, 共36分。
2015年浙江高考理科数学试题及解析
2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q=（）A．[0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．[1，2]2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞04．（5分）（2015•浙江）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n05．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A．B．C．D．6．（5分）（2015•浙江）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立7．（5分）（2015•浙江）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f（x2+2x）=|x+1|8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=，f（x）的最小值是．11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a=．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q=（）A．[0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．[1，2]考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．解答：解：由P中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁R P=（0，2），∵Q=（1，2]，∴（∁R P）∩Q=（1，2），故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．解答：解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C．点评：本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，=＜0．故选：B．点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．4．（5分）（2015•浙江）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．解答：解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．解答：解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于E，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，则===，故选：A点评：本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．6．（5分）（2015•浙江）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立考点：复合命题的真假．专题：集合；简易逻辑．分析：命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．解答：解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card（A∪B）＞card （A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命题①成立，命题②，d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）=card（B∪C）﹣card （B∩C），∴d（A，B）+d（B，C）=card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B∩C）=[card（A∪B）+card（B∪C）]﹣[card（A∩B）+card（B∩C）]≥card（A∪C）﹣card（A∩C）=d（A，C），故命题②成立，故选：A点评：本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分）（2015•浙江）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f（x2+2x）=|x+1|考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．解答：解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令|x+1|=t，t≥0，则f（t2﹣1）=t；令t2﹣1=x，则t=；∴；即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；∴该选项正确．故选：D．点评：本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α考点：二面角的平面角及求法．专题：创新题型；空间角．分析：解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．解答：解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α=∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．点评：本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是2，渐近线方程是y=±x．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．解答：解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=0，f（x）的最小值是．考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x≥1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解解答：解：∵f（x）=，∴f（﹣3）=lg10=1，则f（f（﹣3））=f（1）=0，当x≥1时，f（x）=，即最小值，当x＜1时，x2+1≥1，（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，故f（x）的最小值是．故答案为：0；．点评：本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析：由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）+，易得最小正周期，解不等式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间．解答：解：化简可得f（x）=sin2x+sinxcosx+1=（1﹣cos2x）+sin2x+1=sin（2x﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）故答案为：π；[kπ+，kπ+]（k∈Z）点评：本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a=．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接把a代入2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．解答：解：∵a=log43，可知4a=3，即2a=，所以2a+2﹣a=+=．故答案为：．点评：本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC 通过解三角形，求解即可．解答：解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cos∠EMC===．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是3．考点：函数的最值及其几何意义．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：根据所给x，y的范围，可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，再讨论直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．解答：解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，如图直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2+y﹣2|=2x+y﹣2，此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=x﹣2y+4，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，即|2+y﹣2|=﹣（2x+y﹣2），此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=8﹣3x﹣4y，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3．故答案为：3．点评：本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=1，y0=2，|=2．考点：空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算．专题：创新题型；空间向量及应用．分析：由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由已知可解=（，，t），可得|﹣（|2=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意可得当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，由模长公式可得|．解答：解：∵•=||||cos＜•＞=cos＜•＞=，∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m，n，t），则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t），∵﹣（）=（﹣x﹣y，，t），∴|﹣（|2=（﹣x﹣y）2+（）2+t2=x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，此时t2=1，故|==2故答案为：1；2；2点评：本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由余弦定理可得：，已知b2﹣a2=c2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC．可得sinC=，即可得出tanC=．（2）由=×=3，可得c，即可得出b．解答：解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc ﹣c2，又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．点评：本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．解答：（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．则BC=AC=2，A1O==，易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A1D⊥OA1，又∵•=0，∴A1D⊥BC，又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；（2）解：设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（0，，1），∴cos＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．点评：本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论a=b=0以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．解答：解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M（a，b）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|≥|a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，易知|a|+|b|=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．点评：本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用三角不等式变形．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB=，再利用均值不等式即可得出．解答：解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）通过题意易得0＜a n≤（n∈N*），利用a n﹣a n+1=可得≥1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=a n﹣a n+1累加得S n=﹣a n+1，利用数学归纳法可证明≥a n≥（n≥2），从而≥≥，化简即得结论．解答：证明：（1）由题意可知：0＜a n≤（n∈N*），又∵a2=a1﹣=，∴==2，又∵a n﹣a n+1=，∴a n＞a n+1，∴≥1，∴==≤2，∴1≤≤2（n∈N*）；（2）由已知，=a n﹣a n+1，=a n﹣1﹣a n，…，=a1﹣a2，累加，得S n=++…+=a1﹣a n+1=﹣a n+1，易知当n=1时，要证式子显然成立；当n≥2时，=．下面证明：≥a n≥（n≥2）．易知当n=2时成立，假设当n=k时也成立，则a k+1=﹣+，由二次函数单调性知：a n+1≥﹣+=≥，a n+1≤﹣+=≤，∴≤≤，即当n=k+1时仍然成立，故对n≥2，均有≥a n≥，∴=≥≥=，即（n∈N*）．点评：本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。
2015年高考理科数学浙江卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共6页,选择题部分1至2页,非选择题部分3至6页.满分150分,考试时间120分钟. 考生注意:1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答,在本试题卷上作答一律无效. 参考公式:球的表面积公式 锥体的体积公式24S R π= 13V Sh =球的体积公式其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 334V R π=台体的体积公式其中R 表示球的半径121(S )3V h S =柱体的体积公式其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积,V Sh = h 表示台体的高其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高选择题部分（共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合22{|}=0P x x －≥,{}12|Q x x =＜≤,则R ()P Q =ð ( )A .[0,1)B .(0,2]C .(1,2)D .[1,2]2.某几何体的三视图如图所示（单位:cm ）,则该几何体的体积是( ) A .8 cm 3 B .12 cm 3 C .323 cm 3 D .403cm 3 3.已知{}n a 是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是n S .若3a ,4a ,8a 成等比数列,则 ( ) A .10a d >,40dS > B .10a d <,40dS < C .10a d >,40dS <D .10a d <,40dS >4.命题“*n ∀∈N ,()*f n ∈N 且)(f n n ≤”的否定形式是( )A .*n ∀∈N ,()*f n ∉N 且)(f n n >B .*n ∀∈N ,()*f n ∉N 或)(f n n >C .0*n ∃∈N ,0()*f n ∉N 且00)(f n n >D .0*n ∃∈N ,0()*f n ∉N 或00)(f n n >5.如图,设抛物线24y x =的焦点为F ,不经过焦点的直线上有 三个不同的点A ,B ,C ,其中点A ,B 在抛物线上,点C 在y 轴上,则BCF △与A CF △的面积之比是( )A .||1||1BF AF --B .22||1||1BF AF --C .||1||1BF AF ++ D .22||1||1BF AF ++ 6.设A ,B 是有限集,定义:((,))()d A B card AB card AB =－,其中()card A 表示有限集A 中元素的个数.( )命题①:对任意有限集A ,B ,“A B ≠”是“(,)0d A B >”的充分必要条件; 命题②:对任意有限集A ,B ,C ,(,)(,)(,)d A C d A B d B C +≤. A .命题①和命题②都成立 B .命题①和命题②都不成立 C .命题①成立,命题②不成立D .命题①不成立,命题②成立 7.存在函数()f x 满足:对任意x ∈R 都有( )A .(sin 2)sin f x x =B .2(sin 2)f x x x =+C .2(1)|1|f x x +=+D .2(2)|1|f x x x +=+8.如图,已知ABC △,D 是AB 的中点,沿直线CD 将ACD △翻折成A CD '△,所成二面角A CDB '－－的平面角为α,则( )A .A DB α∠'≤ B .A DB α∠'≥C .A CB α∠'≤D .A CB α∠'≥非选择题部分（共110分）二、填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.把答案填在题中的横线上.9.双曲线2212x y -=的焦距是 ,渐近线方程是 .10.已知函数223, 1,()lg(1),1,x x x f x x x ⎧+-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩≥＜,则(())3f f =－ ,)(f x 的最小值是 .11.函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ,单调递减区间是 . 12.若4log 3a =,则22a a +=－ .13.如图,在三棱锥A BCD －中,3AB AC BD CD ====,2AD BC ==,点M ,N 分别是AD ,BC 的中点,则异面直线AN ,CM 所成的角的余弦值是 .14.若实数x ,y 满足221x y +≤,则22|||6|3x y x y +-+--的最小值是 .15.已知e 1,e 2是空间单位向量,e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1=2,b ·e 2=52,且对于任意,x y ∈R ,|b －(x e 1+y e 2)|≥|b －(x 0e 1+y 0e 2)|=1(x 0,y 0∈R ),则x 0= ,y 0= ,|b |= .三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分14分）在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ．已知π4A =,22212b ac -=. （Ⅰ）求tan C 的值;（Ⅱ）若ABC △的面积为3,求b 的值.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共18页） 数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）17.（本小题满分15分）如图,在三棱柱111ABC A B C －中,90BAC ∠=︒,2AB AC ==,14A A =,1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点,D 是11B C 的中点.（Ⅰ）证明:1A D ⊥平面1A BC ;（Ⅱ）求二面角11A BD B －－的平面角的余弦值.18.（本小题满分15分）已知函数2()(,)f x x ax b a b =++∈R ,记(,)M a b 是|()|f x 在区间[]1,1－上的最大值. （Ⅰ）证明:当||2a ≥时,(,)2M a b ≥;（Ⅱ）当a ,b 满足(,)2M a b ≤时,求||||a b +的最大值.19.（本小题满分15分）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A ,B 关于直线12y mx =+对称. （Ⅰ）求实数m 的取值范围;（Ⅱ）求AOB △面积的最大值（O 为坐标原点）.20.（本小题满分15分）已知数列{}n a 满足112a =且21*)(n n n a a a n +-=∈N . （Ⅰ）证明:112(*)nn a n a +∈N ≤≤; （Ⅱ）设数列2{}na 的前n 项和为n S ,证明:11()2(2)2(1)*n S n n n n ∈++N ≤≤.数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页） 数学试卷 第9页（共18页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）答案解析一、选择题 1.【答案】C【解析】由题意得，()(0,2)P =R ð，()(1,2)P Q ∴=R ð，故选C ．【提示】求出P 中不等式的解集确定出P ，求出P 补集与Q 的交集即可 【考点】集合的运算 2.【答案】C【解析】由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，∴体积323132222c m33V =+⨯⨯=，故选C ． 【提示】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可 【考点】三视图 3.【答案】B 【解析】等差数列{}n a ，3a ，4a ，8a 成等比数列，211115(3)(2)(7)3a d a d a d a d ∴+=++⇒=-，4141122()2(3)3S a a a a d d ∴=+=++=-，21503a d d ∴=-<，24203dS d =-<故选B ．【提示】由3a ，4a ，8a 成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断1a d 和4dS 的符号 【考点】等差数列的通项公式及前n 项和，等比数列的概念 4.【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D ． 【提示】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论 【考点】命题的否定5.【答案】A【解析】||1||1BCF B ACF A S x BC BF S AC x AF -===-△△，故选A ． 【提示】根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为||||BC AC 的关系进行求解即可 【考点】抛物线的标准方程及其性质 6.【答案】A【解析】命题①显然正确，通过下面文氏图亦可知(,)d A C 表示的区域不大于(,)(,)d A B d B C +的区域，故命题②也正确，故选A ．第6题图【提示】①命题根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可 【考点】集合的性质 7.【答案】D【解析】A ：取0x =，可知(sin0)sin0f =，即(0)0f =，再取π2x =，可知π(sin π)sin 2f =，即(0)1f =，矛盾，∴A 错误；同理可知B 错误，C ：取1x =，可知(2)2f =，再取1x =-，可知(2)f =，矛盾，∴C 错误，D ：令|1|(t x t =+≥，2(1)(0)()f t t t f x ∴-=≥⇔=D ．【提示】利用x 取特殊值，通过函数的定义判断正误即可 【考点】函数的概念 8.【答案】B【解析】根据折叠过程可知A CB '∠与α的大小关系是不确定的，而根据二面角的定义易得A DB α'∠≥，当且仅当AC BC =时，等号成立，故选B ．【提示】解：画出图形，分AC BC =，AC BC ≠两种情况讨论即可 【考点】立体几何中的动态问题 二、填空题9.【答案】2y x =±【解析】由题意得：a =1b =，c ===焦距为2c =线方程2b y x x a =±=± 【提示】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程 【考点】双曲线的标准方程及其性质 10.【答案】0，3【解析】[(3)](1)0f f f -==，当1x ≥时，()3f x ≥，当且仅当x =立，当1x <时，()0f x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，故()f x最小值为3 【提示】根据已知函数可先求(3)1f -=，然后代入可求[(3)]f f -；由于1x ≥时，2()3f x x x=+-，当1x <时，2()lg(1)f x x =+，分别求出每段函数的取值范围，即可求解【考点】分段函数11.【答案】π，3π7ππ,π88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ， 【解析】π3()s i n 2242f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故最小正周期为π，单调递减区间为3π7ππ,π88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，【提示】由三角函数公式化简可得π3()2242f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，易得最小正周期，解不等式ππ3π2π22π242k x k +≤-≤+可得函数的单调递减区间 【考点】三角恒等变形，三角函数的性质 12.【解析】4log 3a =Q，432a a ∴=⇒22a a-∴+==【提示】直接把a 代入22a a -+，然后利用对数的运算性质得答案 【考点】对数的计算 13.【答案】78【解析】如下图，连结DN，取DN中点P，连结PM，PC，则可知PMC∠即为异面直线AN，CM所成角（或其补角）易得：12P M A==，PC==，CM=，7cos8PMC∴∠==，即异面直线AN，CM所成角的余弦值为78第13题图【提示】连结ND，取ND的中点为E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是EMC∠通过解三角形，求解即可【考点】异面直线的夹角14.【答案】3【解析】221x y+≤表示圆221x y+=及其内部，易得直线63x y--与圆相离，故|63|63x y x y--=--，当220x y+-≥时，|22||63|24x y x y x y+-+--=-+，如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数24z x y=-+，则可知当35x=，45y=时，min3z=，当220x y+-<时，|22||63|834x y x y x y+-+--=--，可行域为大的弓形内部，目标函数834z x y=--，同理可知当35x=，45y=时，min3z=，综上所述，|22||63|x y x y+-+--的最小值为3.第14题图【提示】根据所给x，y的范围，可得|22||63|x y x y+-+--，再讨论直线220x y+-=将圆221x y+=分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值【考点】线性规划的运用，分类讨论的数学思想，直线与圆的位置关系15.【答案】12【解析】问题等价于12()||b xe ye-+r u r u r当且仅当x x=，y y=时，取得最小值1，两边平方，即22245b x y x y xy++--+r，在x x=，y y=时，取得最小值1，2222222224345(4)5(2)724yb x y x y xy x y x y y b x y b-⎛⎫++--+=+-+-+=++--+⎪⎝⎭r r r，0024012202||71yx xy ybb-⎧+=⎧⎪=⎪⎪∴-=⇒=⎨⎨⎪⎪=-+=⎩⎪⎩rr【提示】由题意和数量积的运算可得12π3e e=u r u rg，不妨设112e⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭u r，2(1,0,0)e=u r，由已知可解52b t⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭r，可得2222143||(2()24)b xe yeyx y t-⎛⎫=++-+⎪⎝⎭-+r u r u r，由题意可得当1x x==，2y y==时，22243(2)24yx y t-⎛⎫++-+⎪⎝⎭取最小值1，由模长公式可得||br【考点】平面向量的模长，函数值的最值三、解答题16.【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）3【解析】（Ⅰ）由22212b a c-=及正弦定理得2211sin sin22B C-=，2cos2sinB C∴-=，又由π4A=，即3π4B C+=，得cos2sin22sin cosB C C C-==，解得tan2C=；（Ⅱ）由tan2C=，(0,π)C∈，得sin C=cos C=又πsin sin()sin4B AC C⎛⎫=+=+⎪⎝⎭Q，sin B∴=，由正弦定理得c=，又π4A=Q，1sin72bc A=，bc∴=故3b=【提示】（Ⅰ）由正弦定理可得：2211sin sin22B C-=，已知22212b a c-=．由π4A=．可得cos2sin22sin cosB C C C-==，即可得出答案．（Ⅱ）由πsin sin()sin4B AC C⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，可得c，即可得出b【考点】正弦定理17.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）18-【解析】（Ⅰ）设E为BC中点，由题意得1A E⊥平面ABC，1A E AE∴⊥，AB AC=Q，AE BC∴⊥，故AE⊥平面1A BC，由D，E分别为11B C，BC的中点，得1DE B B∥且1DE B B=，从而1DE A A∥，所以四边形1A AED为平行四边形，故1A D AE∥，又Q AE⊥平面1A BC，数学试卷第10页（共18页）数学试卷第11页（共18页）数学试卷第12页（共18页）数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页） 数学试卷 第15页（共18页）∴1A D ⊥平面1A BC ．（Ⅱ）作1A F BD ⊥，且1A FBD F =，连结1B F ，由AE EB ==1190A EA A EB ∠=∠=︒， 得114A B A A ==，由11A D B D =，11A B B B =， 得11A DB B DB △≌△， 由1A F BD ⊥，得1B F BD ⊥，因此11A FB ∠为二面角11A BD B --的平面角，由1143A FB F ==，且112A B =， 由余弦定理得，111cos 8A FB ∠=-第17题图【提示】（Ⅰ）设E 为BC 中点，解得四边形1A AED 为平行四边形，故1A D AE ∥，又AE ⊥平面1A BC ，∴1A D ⊥平面1A BC（Ⅱ）所求值即为平面A 1BD 的法向量与平面B 1BD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可【考点】线面垂直的判定与性质，二面角的求解 18.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）3【解析】（Ⅰ）由22()24a a f x x b ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，得对称轴为直线2a x =-，由||2a ≥得2a-≥1，故()f x 在[]1,1-上单调，∴(,)max{|(1)|,|(1)|}M a b f f =-，当2a ≥时，由(1)(1)24f f a --=≥， 得max{|(1)|,|(1)|}2f f -≥，即(,)2M a b ≥； 当2a ≤-时，由(1)(1)24f f a --=-≥， 得max{|(1)|,|(1)|}2f f --≥，即(,)2M a b ≥， 综上，当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（Ⅱ）由(,)2M a b ≥，得|1|(1)2a b f ++=≤，|1|(1)2a b f -+=-≤， 故||3a b +≤，||3a b -≤由||0||||||0a b ab a b a b ab +≥⎧+=⎨-<⎩，，，得||||3a b +≤， 当2a =，1b =-时，||||3a b +=，且221||x x +-在[]1,1-上的最大值为2，即(2,1)2M -=，所以||||a b +的最大值为3．【提示】（Ⅰ）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a 的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（Ⅱ）讨论0a b ==以及分析(,)2M a b ≤得到31a b -≤+≤且31b a -≤-≤，进一步求出||||a b +的求值【考点】二次函数的性质，分类讨论的思想19.【答案】（Ⅰ）m <m >（Ⅱ）2【解析】（Ⅰ）由题知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m =-+，由22121x y y x b m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222112102bx x b m m ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， Q 直线1y x b m =-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点， 224220b m∴∆=-++>①将AB 中点2222,22mb m b M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入直线方程12y mx =+解得2222m b m +=-②由①②得m <m >；（Ⅱ）令160,22tm ⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2||2AB t +，且O 到直线AB 的距离为212d=设AOB △的面积为()S t ，1()||2S t AB d ∴=≤g 212t =时，等号成立， 故AOB △面积的最大值为2【提示】（Ⅰ）由题意，可设直线AB 的方程为1y x b m =-+，代入椭圆方程可得222112102b x x b m m ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，将AB 中点2222,22mb m b M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入直线方程，解出答案． （Ⅱ）令160,t m ⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且O 到直线AB 的距离为21t d +=设△AOB 的面积为()S t ，即可得出答案【考点】直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离公式，求函数最值 20.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由题意得，21n n n a a a +-=-≤0，即1n n a a +≤，12n a ≤， 由11(1)n n n a a a --=-，得1211(1)(1)(1)0n n n a a a a a --=--->，由102n a ≤≤，得211[1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--， 即112nn a a +≤≤； （Ⅱ）由题意得21n n n a a a +=-，11n n S a a +∴=-①，数学试卷 第16页（共18页） 数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）由1111n n n n a a a a ++-=和112n n a a +≤≤，得11112n na a +≤-≤， 1112n nn n a a +∴≤-≤，因此()111()212n a n n n *+≤≤∈++N ②， 由①②得112(2)2(1)n S n n n ≤≤++【提示】（Ⅰ）通过题意易得102n a ≤≤()n *∈N ，利用21n n n a a a +=-可得11n n a a +≥，利用21121n n n n n na a a a a a +==≤--，即得结论； （2）通过21n n n a a a +=-累加得112n n S a +∴=-，利用数学归纳法可证明11(2)12n a n n n≥≥≥+，从而11111122(1)222n a n n n n n+---++≥≥，化简即得结论【考点】数列与不等式结合综合题。
2015年高考浙江理科数学试题及答案解析
2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2015年浙江，理1】已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q =（ ） （A ）[0,1) （B ）(0,2] （C ）(1,2) （D ）[1,2] 【答案】C【解析】(][),02,P =-∞+∞，()0,2R P =，()()1,2R P Q ∴=，故选C ．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （2）【2015年浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的体积是（ ）（A ）38cm （B ）312cm （C ）332cm 3 （D ）340cm 3【答案】C【解析】图像为正四棱锥与正方体的组合体，由俯视图知：正方体棱长为2，正四棱锥底面边长2，高为2，所以该几何体的体积3213222233V =+⨯⨯=，故选C ．【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力． （3）【2015年浙江，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ）（A ）10,0n a d dS >> （B ）10,0n a d dS << （C ）10,0n a d dS >< （D ）10,0n a d dS <>【答案】B【解析】因为245,,a a a 成等比数列，所以()()()211134a d a d a d +=++，化简得2150a d d =-<，()224114646140dS d a d a d d d =+=+=-<，故选B ．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，是基础题． （4）【2015年浙江，理4】命题“**,()n N f n N ∀∈∈ 且()f n n ≤的否定形式是（ ）（A ）**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > （B ）**,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >（C ）**00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n > （D ）**00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n > 【答案】D【解析】全称命题:p x M ∀∈，()p x 的否定是0:p x M ⌝∃∈，()0p x ⌝，所以命题的否定为：*0n N ∃∈，()*0f n N ∉或()00f n n >，故选D ．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． （5）【2015年浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则n a 与ACF ∆的面积之比是（ ） （A ）11BF AF --（B ）2211BF AF --（C ）11BF AF ++（D ）2211BF AF ++【答案】A【解析】如图所示，抛物线的准线DE 的方程为1x =-，又由抛物线定义知BF BD =，AF AE =，11BM BD BF ∴=-=-，11AN AE AF =-=-，11BCF ACF BMBF S BC S AC AN AF ∆∆-∴===-，故选A ． 【点评】本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．（6）【2015年浙江，理6】设,A B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =-，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数（ ）命题①：对任意有限集,A B ，“A B ≠”是“(,)0d A B >”的充分必要条件；命题②：对任意有限集,,A B C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+．（A ）命题①和命题②都成立 （B ）命题①和命题②都不成立 （C ）命题①成立，命题②不成立 （D ）命题①不成立，命题②成立 【答案】A【解析】由题意，()()()(),20d A B card A card B card A B =+-≥，命题①：()()(),0A B card AB card AB d A B =⇔=⇔=，(),0A B d A B ∴≠⇔>，命题①成立．命题②：由维恩图易知命题②成立，下面给出严格证明：()()(),,,d A C d A B d B C ≤+()()()()()()()()()222card A card C card A C card A card B card AB card B cardC card BC ⇔+-≤+-++-()()()()card A C card A B card B C card B ⇔≥+-()()()()card AC card AC B card A B C card B ⇔≥--⎡⎤⎣⎦，因为()0card A C ≥且()()()0card A C B card ABC card B --≤⎡⎤⎣⎦，故命题②成立，故选A ．【点评】本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．（7）【2015年浙江，理7】存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ）（A ）(sin 2)sin f x x = （B ）2(sin 2)f x x x =+ （C ）2(1)1f x x +=+ （D ）2(2)1f x x x +=+ 【答案】D【解析】选项A ：当4x π=时，()212f =；当54x π=时，()212f =-； 选项B ：当4x π=时，()21164f ππ=+；当54x π=时，()22551164f ππ=+； 选项C ：当1x =-时，()20f =；当1x =时，()22f =；或()21f x +为偶函数，然而1y x =+并不是偶函数；选项D ：()()222111f x x f x x +=+-=+，令1t x =+得()21f t t -=，0t ≥，再令21t m -=，则1t m =+，()1f m m =+，故函数()1f x x =+可以满足要求，故选D ．【点评】本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．（8）【2015年浙江，理8】如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）（A ）A DB α'∠≤ （B ）A DB α'∠≥ （C ）A CB α'∠≤ （D ）A CB α'∠≤ 【答案】B【解析】解法一：考查特殊值，用排除法，若CA CB ≠，则当απ=时，A CB π'∠<，排除D ，当0α=时， 0A CB '∠>，0A DB '∠>，排除A ，C ，故选B ． 解法二：①当AC BC =时，A DB α'∠=； ②当AC BC ≠时，如图，点A '投影在AE 上，A OE α'=∠，连接AA '，易得ADA AOA ''∠<∠，A DB A OE ''∴∠>∠，即A DB α'∠>． 综上所述，A DB α'∠≥，故选B ．【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．（9）【2015年浙江，理9】双曲线2212x y -=的焦距是 ，渐近线方程是 ．【答案】23；22y x =±【解析】2a =，1b =，焦距223c a b =+=，∴焦距为23，渐近线22b y x x a =±=±．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．（10）【2015年浙江，理10】已知函数221,1()2lg(1),1x x f x x x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是 ． 【答案】0；223-【解析】()()((3))log1011230f f f f -===+-=；当1x ≥时，()23223f x x x=+-≥-（当2x =时取最小值）当2x =时取最小值，当1x <时，()()2log 1log10f x x =+≥=，2230-<，()f x ∴的最小值为223-．【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题． （11）【2015年浙江，理11】函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．【答案】π；37,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】()21cos 2123sin sin cos 1sin 21sin 222242x f x x x x x x π-⎛⎫=++=++=-+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期T π=； 单调递减区间：3222242k x k πππππ+≤-≤+，化简得3788k x k ππππ+≤≤+， ∴单调递减区间：37,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．【点评】本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题． （12）【2015年浙江，理12】若2log 3a =，则22a a -+= ． 【答案】433【解析】由2log 3a =可知43a =，即23a =，所以14322333a a -+=+=． 【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题． （13）【2015年浙江，理13】如图，三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，2AD BC ==，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是 __．【答案】78【解析】取ND 的中点E ，因为//ME AN ，则EMC ∠为异面直线AN ，CM 所成的角．22AN =，2ME NE ∴==，22MC =，又EN NC ⊥，223EC EN NC ∴=+=，2837cos 82222EMC +-∴∠==⨯⨯．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力． （14）【2015年浙江，理14】若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是 ．【答案】3【解析】221x y +≤，630x y ∴-->，即6363x y x y --=--，如图，直线220x y +-=将直线221x y +=分成了两部分：①在阴影区域内的(),x y 满足220x y +-≥，即2222x y x y +-=+-， 此时()()2263226324x y x y x y x y x y +-+--=+-+--=-+，利用线性规划可知在34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭处取得最小值3；②在阴影区域外的(),x y 满足220x y +-≤，即()2222x y x y +-=-+-， 此时()()22632263834x y x y x y x y x y +-+--=-+-+--=--，利用线性规划可知在34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭处取得最小值3．综上，当35x =，45y =时，2263x y x y +-+--的最小值为3．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．（15）【2015年浙江，理15】已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x = ，0y = ，b = ． 【答案】01x =，02y =，22b ==． 【解析】121212121cos ,cos ,2e e e e e e e e ⋅===，12,3e e π∴=，不妨设113,,022e ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()21,0,0e =，(),,b m n t =，则由题意知113222b e m n ⋅=+=，252b e m ⋅==，解得52m =，32n =，53,,22b t ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭， ()125133,,2222b xe ye x y x t ⎛⎫-+=--- ⎪ ⎪⎝⎭，()22221251332222b xe ye x y x t ⎛⎫⎛⎫∴-+=--+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222243457224y x xy y x y t x y t -⎛⎫=++--++=++-+ ⎪⎝⎭，由题意，当1e x x ==，2e y y ==时，()22243224y x y t -⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭取到最小值1，此时21t =，故2225382222b t ⎛⎫⎛⎫=++== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点评】本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）【2015年浙江，理16】（本小题满分14分）在()nf n n ≤中，内角**,()n N f n N ∀∈∉所对边分别为**,()n N f n N ∀∈∉．已知4A π=，22212b ac -=-． （Ⅰ）求tan C 的值；（Ⅱ）若()nf n n ≤的面积为7，求b 的值．解：（Ⅰ）由22212b a c -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=，故2cos2sin B C -=．又由4A π=，即34B C π+=， 得cos2sin22sin cos B C C C -==，解得tan 2C =．（Ⅱ）由tan 2C =得25sin 5C =，5cos 5C =，又()sin sin sin 4B A C C π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故310sin 10B =，由正弦定理得223c b =，又4A π=，1sin 32bc A =，故62bc =，故3b =．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（17）【2015年浙江，理17】（本小题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点．（Ⅰ）证明：1A D ⊥平面1A BC ；（Ⅱ）求二面角11A BD B --的平面角的余弦值． 解：解法一：（Ⅰ）设E 为BC 的中点，连1,A E AE ．由题1A E ⊥平面ABC ，故1A E AE ⊥．因AB AC =，故AE BC ⊥， 从而AE ⊥平面1A BC ．由,D E 分别11,B C BC 的中点，得1//DE B B 且1DE B B =， 从而1//DE A A ，且1DE A A =，所以1A AED 为平行四边形，故1//A D AE ．又AE ⊥平面1A BC ， 故1A D ⊥平面1A BC ．（Ⅱ）作1A F BD ⊥于F ，连1B F ，由题2AE EB ==，01190A EA A EB ∠=∠=，得114A B A A ==．由11A D B D =，11A B B B =，得11A DB B DB ∆≅∆．由1A F BD ⊥，得1B F BD ⊥，因此11A FB ∠ 为二面角11A BD B --的平面角．由12A D =，14A B =，0190DA B ∠=，得32BD =，1143A F B F ==，由余弦定理得111cos 8A FB =-．解法二：（Ⅰ）如图，以BC 中点为原点O ，CB 方向为x 轴正方向，OA 为y 轴正方向，1OA 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系．2BC =，22AC =，221114AO AA AO =+=，易知 ()10,0,14A ，()2,0,0B，()2,0,0C -，()0,2,0A ，()0,2,14D -，()12,2,14B -， ()10,2,0A D =-，()2,2,14BD =--，()12,0,0B D =-，()22,0,0BC =-， ()10,0,14OA =，110A D OA ∴⋅=，11A D OA ∴⊥，又10A D BC ⋅=，1A D BC ∴⊥，又1OA BC O =，1A D ∴⊥平面1A BC ．（Ⅱ）设平面1A BD 的法向量为()1111,,n x y z =，知11120n A D y ⋅=-=，111122140n BD x y z ⋅=--+=，则取()17,0,1n =，设平面1B BD 的法向量为()2222,,n x y z =，则2122222140n B D x y z ⋅=--+=，2220n BD x ⋅=-=，则取()20,7,1n =，12121211cos ,82222n n n n n n ⋅∴===⨯⋅，又知该二面角为钝角，所以其平面角的余弦值为18-．【点评】本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题． （18）【2015年浙江，理18】（本小题满分15分）已知函数()()2,f x x ax b a b R =++∈，记(),M a b 是()||f x 在区间[]1,1-上的最大值．（Ⅰ）证明：当||2a ≥时，(),2M a b ≥；（Ⅱ）当,a b 满足(),2M a b ≤，求||||a b +的最大值．解：（Ⅰ）由()2224a a f x x b ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，得对称轴为直线2a x =-，由||2a ≥，得||12a -≥，故()f x 在[]1,1-上单调，因此()()(){},max |1|,|1|M a b f f =-．当2a ≥时，()()1124f f a --=≥，故()()4|1||1|f f ≤+-，()(){}max |1|,|1|2f f ∴-≥，即(),2M a b ≥；当2a ≤-时，()()1124f f a --=-≥，故()()4|1||1|f f ≤-+，()(){}max |1|,|1|2f f ∴-≥，即(),2M a b ≥．综上，当||2a ≥时，(),2M a b ≥．（Ⅱ）由(),2M a b ≤得()|1||1|2a b f ++=≤，()|1||1|2a b f -+=-≤，故||3a b +≤，||3a b -≤，由()()||0||||||0a b ab a b a b ab ⎧+≥⎪+=⎨-<⎪⎩，得||||3a b +≤．当2a =，1b =-时，||||3a b +=，且2|21|x x +-在[]1,1-的最大值为2，即()2,12M -=，故||||a b +的最大值为3．【点评】本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解(),M a b 是()f x 在区间[]1,1-上的最大值，以及利用三角不等式变形．（19）【2015年浙江，理19】（本小题满分15分）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称． （Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）． 解：（Ⅰ）由题知0m ≠，可设直线AB ：1y x b m=-+，代入椭圆方程并整理得()()222224210m x mbx m b +-+-=． 因直线AB 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点，故()2222820m m m b ∆=+-> ①．将AB 中点2222,22mb m b M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入直线方程12y mx =+得2222m b m +=-②．由①②得m <m > （Ⅱ）令2130,2t m ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则||AB =，且O 到AB的距离为1t d +=，故AOB ∆的面积()1||2S t AB d =⋅≤，当且仅当12t =时，等号成立，故AOB ∆． 【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（20）【2015年浙江，理20】（本小题满分15分）已知数列{}n a 满足112a =且()21n n n a a a n N ++=-∈，数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明：（Ⅰ）()112n n an N a ++≤≤∈；（Ⅱ）()()()112221n S n N n n n +≤≤∈++． 解：（Ⅰ）由题210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，故12n a ≤． 由()111n n n a a a --=-得()()()12111110n n n a a a a a --=--->，故102n a <≤，从而(]111,21n n n a a a +=∈-，即112n n a a +≤≤． （Ⅱ）由题21n n n a a a +=-，故11n n S a a +=- ①．由1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +≤≤得，11112n na a +≤-≤，故11112n n n a a +≤-≤，因此()()111212n a n N n n ++≤≤∈++ ②， 由①②得()()()112221n S n N n n n +≤≤∈++． 【点评】本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。
2015年高考理科数学浙江卷及答案
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共6页,选择题部分1至2页,非选择题部分3至6页.满分150分,考试时间120分钟. 考生注意:1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答,在本试题卷上作答一律无效. 参考公式:球的表面积公式锥体的体积公式24S R π= 13V Sh =球的体积公式其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 334V R π=台体的体积公式其中R 表示球的半径121(S )3V h S =+柱体的体积公式 其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积, V Sh =h 表示台体的高其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高选择题部分（共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合22{|}=0P x x －≥,{}12|Q x x =＜≤,则R ()P Q =ð ( ) A .[0,1)B .(0,2]C .(1,2)D .[1,2]2.某几何体的三视图如图所示（单位:cm ）,则该几何体的体积是( ) A .8 cm 3 B .12 cm 3 C .323 cm 3 D .403cm 3 3.已知{}n a 是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是n S .若3a ,4a ,8a 成等比数列,则 ( )A .10a d >,40dS >B .10a d <,40dS <C .10a d >,40dS <D .10a d <,40dS >4.命题“*n ∀∈N ,()*f n ∈N 且)(f n n ≤”的否定形式是( )A .*n ∀∈N ,()*f n ∉N 且)(f n n >B .*n ∀∈N ,()*f n ∉N 或)(f n n >C .0*n ∃∈N ,0()*f n ∉N 且00)(f n n >D .0*n ∃∈N ,0()*f n ∉N 或00)(f n n >5.如图,设抛物线24y x =的焦点为F ,不经过焦点的直线上有 三个不同的点A ,B ,C ,其中点A ,B 在抛物线上,点C 在y 轴上,则BCF △与A CF △的面积之比是( )A .||1||1BF AF --B .22||1||1BF AF -- C .||1||1BF AF ++ D .22||1||1BF AF ++ 6.设A ,B 是有限集,定义:((,))()d A B card AB card AB =－,其中()card A 表示有限集A 中元素的个数.( )命题①:对任意有限集A ,B ,“A B ≠”是“(,)0d A B >”的充分必要条件; 命题②:对任意有限集A ,B ,C ,(,)(,)(,)d A C d A B d B C +≤. A .命题①和命题②都成立B .命题①和命题②都不成立C .命题①成立,命题②不成立D .命题①不成立,命题②成立 7.存在函数()f x 满足:对任意x ∈R 都有( )A .(sin 2)sin f x x =B .2(sin 2)f x x x =+C .2(1)|1|f x x +=+D .2(2)|1|f x x x +=+8.如图,已知ABC △,D 是AB 的中点,沿直线CD 将ACD △翻折成A CD '△,所成二面角A CDB '－－的平面角为α,则( )A .A DB α∠'≤ B .A DB α∠'≥C .A CB α∠'≤D .A CB α∠'≥非选择题部分（共110分）二、填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.把答案填在题中的横线上.9.双曲线2212x y -=的焦距是 ,渐近线方程是 .10.已知函数223, 1,()lg(1),1,x x x f x x x ⎧+-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩≥＜,则(())3f f =－ ,)(f x 的最小值是 .11.函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ,单调递减区间是 . 12.若4log 3a =,则22a a +=－ .13.如图,在三棱锥A BCD －中,3AB AC BD CD ====,2AD BC ==,点M ,N 分别是AD ,BC 的中点,则异面直线AN ,CM 所成的角的余弦值是 .14.若实数x ,y 满足221x y +≤,则22|||6|3x y x y +-+--的最小值是 .15.已知e 1,e 2是空间单位向量,e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1=2,b ·e 2=52,且对于任意,x y ∈R ,|b －(x e 1+y e 2)|≥|b －(x 0e 1+y 0e 2)|=1(x 0,y 0∈R ),则x 0= ,y 0= , |b |= .三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分14分）在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ．已知π4A =,22212b ac -=. （Ⅰ）求tan C 的值;（Ⅱ）若ABC △的面积为3,求b 的值.17.（本小题满分15分）姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共18页） 数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）如图,在三棱柱111ABC A B C －中,90BAC ∠=︒,2AB AC ==,14A A =,1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点,D 是11B C 的中点.（Ⅰ）证明:1A D ⊥平面1A BC ;（Ⅱ）求二面角11A BD B －－的平面角的余弦值.18.（本小题满分15分）已知函数2()(,)f x x ax b a b =++∈R ,记(,)M a b 是|()|f x 在区间[]1,1－上的最大值. （Ⅰ）证明:当||2a ≥时,(,)2M a b ≥;（Ⅱ）当a ,b 满足(,)2M a b ≤时,求||||a b +的最大值.19.（本小题满分15分） 已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A ,B 关于直线12y mx =+对称. （Ⅰ）求实数m 的取值范围;（Ⅱ）求AOB △面积的最大值（O 为坐标原点）.20.（本小题满分15分）已知数列{}n a 满足112a =且21*)(n n n a a a n +-=∈N . （Ⅰ）证明:112(*)nn a n a +∈N ≤≤; （Ⅱ）设数列2{}na 的前n 项和为n S ,证明:11()2(2)2(1)*n S n n n n ∈++N ≤≤.数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页） 数学试卷 第9页（共18页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）答案解析)(1,2)Q =，求出P 补集与【考点】抛物线的标准方程及其性质 6.【答案】A【解析】命题①显然正确，通过下面文氏图亦可知(,)d A C 表示的区域不大于(,)(,)d A B d B C +的区域，故命题②也正确，故选A ．第6题图【提示】①命题根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的。
2015年浙江省高考数学试题(理科)与答案解析
2015年浙江省高考数学试题(理科)与答案解析2015年浙江省高考数学试题（理科）与答案解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1.（5分）已知集合P={x|x-2x≥0}，Q={x|1<x≤2}，则（∁R P）∩Q=（）A。
[0，1） B。
（，2] C。
（1，2） D。
[1，2]2.（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A。
8cm³ B。
12cm³ C。
16cm³ D。
18cm³3.（5分）已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A。
a1d＞，dS4 B。
a1d＜，dS4 C。
a1d＞，dS4 D。
a1d＜，dS44.（5分）命题“∀n∈N，f（n）∈N且f（n）≤n”的否定形式是（）A。
∀n∈N，f（n）∉N且f（n）＞n B。
∀n∈N，f（n）∉N或f（n）＞nC。
∃n∈N，f（n）∉N且f（n）＞n D。
∃n∈N，f（n）∉N或f（n）＞n5.（5分）如图，设抛物线y=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A。
1:2 B。
2:1 C。
1:3 D。
3:16.（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）-card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A。
命题①和命题②都成立 B。
命题①和命题②都不成立C。
命题①成立，命题②不成立 D。
命题①不成立，命题②成立7.（5分）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A。
f(sin2x)=sinx B。
f（sin2x）=fx+1C。
2015高考试题——数学理(浙江卷)Word版含答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合2{20},{12}P x x x Q x x =-≥=<≤，则()R P Q =ð （ ）A.[0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2]2.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的体积是（ ） A.38cm B. 312cm C.3323cm D. 3403cm3.已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等 比数列，则（ ）A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>4.命题“**,()n N f n N ∀∈∈ 且()nf n n ≤的否定形式是（ ）A. **,()n N f n N ∀∈∉，且()f n n > B. **,()n N f n N ∀∈∉或()f n n > C. **00,()n N f n N ∃∈∉且00()f n n > D. **00,()n N f n N ∃∈∉或00()f n n > 5.如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A.11BF AF -- B.2211BF AF -- C.11BF AF ++ D.2211BF AF ++6.设,A B 是有限集，定义：(,)()()d A B card A B card A B =-，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集,A B ，“A B ≠”是“ (,)0d A B >”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集,,A B C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+， A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立 C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立 7.存在函数()f x 满足，对于任意x R ∈都有（ ） A. (sin 2)sin f x x = B. 2(sin 2)f x x x =+ C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+8.如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆翻折成A CD '∆，所成二面角A CDB '--的平面角为α，则（ ）A. A DB α'∠≤B. A DB α'∠≥C. A CB α'∠≤D. 'ACB α∠≥二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
2015年浙江省高考数学试卷(理科)附详细解析
2015年浙江省高考数学试卷(理科)附详细解析2015年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q=（）A．[0，1） B．（0，2]C．（1，2）D．[1，2]2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则（ ）A ． a 1d ＞0，dS 4＞0B ． a 1d ＜0，dS 4＜0C ． a 1d ＞0，dS 4＜0D ． a 1d ＜0，dS 4＞04．（5分）（2015•浙江）命题“∀n ∈N *，f （n ）∈N *且f （n ）≤n ”的否定形式是（ ） A ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *且f （n ）＞n B ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *或f （n ）＞n C ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *且f （n 0）＞n 0 D ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *或f （n 0）＞n 05．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（5分）（2015•浙江）设A ，B 是有限集，定义：d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），其中card （A ）表示有限集A 中的元素个数（ ）命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d （A ，B ）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d （A ，C ）≤d （A ，B ）+d （B ，C ）A ． 命题①和命题②都成立B ． 命题①和命题②都不成立 C ． 命题①成立，命题②不成立 D ． 命题①不成立，命题②成立7．（5分）（2015•浙江）存在函数f （x ）满足，对任意x ∈R 都有（ ）A ． f （sin2x ）=sinxB ． f （sin2x ）=x 2+xC ． f （x 2+1）=|x+1|D ． f （x 2+2x ）=|x+1|8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D 是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A ．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=，f（x）的最小值是．11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a=．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N 分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM 所成的角的余弦值是．14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b 2﹣a 2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC ﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b （a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x 2﹣2x ≥0}，Q={x|1＜x ≤2}，则（∁R P ）∩Q=（ ） A ． [0，1） B ． （0，2] C ． （1，2） D ． [1，2] 考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析： 求出P 中不等式的解集确定出P ，求出P 补集与Q 的交集即可．解答： 解：由P 中不等式变形得：x （x ﹣2）≥0， 解得：x ≤0或x ≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁R P=（0，2）， ∵Q=（1，2]，∴（∁R P ）∩Q=（1，2）， 故选：C ． 点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ． 8cm 3B ． 12cm 3C ．D ．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析： 判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．解解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2答： 的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C ． 点评： 本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则（ ）A ． a 1d ＞0，dS 4＞0B ． a 1d ＜0，dS 4＜0C ． a 1d ＞0，dS 4＜0D ． a 1d ＜0，dS 4＞0考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列． 分析： 由a 3，a 4，a 8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a 1d 和dS 4的符号． 解答： 解：设等差数列{a n }的首项为a 1，则a 3=a 1+2d ，a 4=a 1+3d ，a 8=a 1+7d ，由a 3，a 4，a 8成等比数列，得，整理得：．∵d ≠0，∴，∴，=＜0．故选：B ．点评： 本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，是基础题．4．（5分）（2015•浙江）命题“∀n ∈N *，f （n ）∈N *且f （n ）≤n ”的否定形式是（ ） A ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *且f （n ）＞n B ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *或f （n ）＞n C ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *且f （n 0）＞n 0 D ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *或f （n 0）＞n 0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分根据全称命题的否定是特称命题即可得到析： 结论． 解答： 解：命题为全称命题， 则命题的否定为：∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *或f（n 0）＞n 0， 故选：D ． 点评： 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：直线与圆锥曲线的关系．专圆锥曲线的定义、性质与方程．题： 分析：根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可． 解答： 解：如图所示，抛物线的准线DE 的方程为x=﹣1，过A ，B 分别作AE ⊥DE 于E ，交y 轴于N ，BD ⊥DE 于E ，交y 轴于M ， 由抛物线的定义知BF=BD ，AF=AE ， 则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1， |AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1， 则===，故选：A点评： 本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．6．（5分）（2015•浙江）设A ，B 是有限集，定义：d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），其中card （A ）表示有限集A 中的元素个数（ ）命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d （A ，B ）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d （A ，C ）≤d （A ，B ）+d （B ，C ）A ． 命题①和命题②都成立B ． 命题①和命题②都不成立 C ． 命题①成立，命题②不成立 D ． 命题①不成立，命题②成立考点：复合命题的真假．专题：集合；简易逻辑．分析： 命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可． 解答： 解：命题①：对任意有限集A ，B ，若“A ≠B ”，则A ∪B ≠A ∩B ，则card （A ∪B ）＞card （A ∩B ），故“d （A ，B ）＞0”成立，若d （A ，B ）＞0”，则card （A ∪B ）＞card （A ∩B ），则A ∪B ≠A ∩B ，故A ≠B 成立，故命题①成立，命题②，d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），d （B ，C ）=card （B ∪C ）﹣card （B ∩C ），∴d （A ，B ）+d （B ，C ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ）+card （B ∪C ）﹣card （B ∩C ）=[card （A ∪B ）+card （B ∪C ）]﹣[card （A ∩B ）+card （B ∩C ）]≥card （A ∪C ）﹣card （A ∩C ）=d （A ，C ），故命题②成立， 故选：A 点评： 本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分）（2015•浙江）存在函数f （x ）满足，对任意x ∈R 都有（ ）A ． f （sin2x ）=sinxB ． f （sin2x ）=x 2+xC ． f （x 2+1）=|x+1|D ． f （x 2+2x ）=|x+1|考点：函数解析式的求解及常用方法．专题： 函数的性质及应用．分析： 利用x 取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．解答： 解：A ．取x=0，则sin2x=0，∴f （0）=0； 取x=，则sin2x=0，∴f （0）=1；∴f （0）=0，和1，不符合函数的定义； ∴不存在函数f （x ），对任意x ∈R 都有f （sin2x ）=sinx ；B ．取x=0，则f （0）=0； 取x=π，则f （0）=π2+π；∴f （0）有两个值，不符合函数的定义； ∴该选项错误；C ．取x=1，则f （2）=2，取x=﹣1，则f （2）=0；这样f （2）有两个值，不符合函数的定义； ∴该选项错误；D ．令|x+1|=t ，t ≥0，则f （t 2﹣1）=t ； 令t 2﹣1=x ，则t=；∴；即存在函数f （x ）=，对任意x ∈R ，都有f （x 2+2x ）=|x+1|； ∴该选项正确． 故选：D ． 点评： 本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 折成△A ′CD ，所成二面角A ′﹣CD ﹣B 的平面角为α，则（ ）A ． ∠A ′DB ≤α B ． ∠A ′D B ≥αC ． ∠A ′C B ≤αD ． ∠A ′C B ≥α考点：二面角的平面角及求法．专题：创新题型；空间角．分析： 解：画出图形，分AC=BC ，AC ≠BC 两种情况讨论即可．解答： 解：①当AC=BC 时，∠A ′DB=α； ②当AC ≠BC 时，如图，点A ′投影在AE上，α=∠A ′OE ，连结AA ′， 易得∠ADA ′＜∠AOA ′，∴∠A ′DB ＞∠A ′OE ，即∠A ′DB ＞α 综上所述，∠A ′DB ≥α， 故选：B ．点评： 本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是2 ，渐近线方程是 y=±x ． 考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．解答：解：双曲线=1中，a=，b=1，c=， ∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x ．故答案为：2；y=±x ． 点评： 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f （x ）=，则f （f （﹣3））= 0 ，f （x ）的最小值是 ．考函数的值．点： 专题：计算题；函数的性质及应用． 分析：根据已知函数可先求f （﹣3）=1，然后代入可求f （f （﹣3））；由于x ≥1时，f （x ）=，当x ＜1时，f （x ）=lg （x 2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解 解答：解：∵f （x ）=，∴f （﹣3）=lg10=1，则f （f （﹣3））=f （1）=0， 当x ≥1时，f （x ）=，即最小值，当x ＜1时，x 2+1≥1，（x ）=lg （x 2+1）≥0最小值0，故f （x ）的最小值是． 故答案为：0；．点评： 本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．11．（6分）（2015•浙江）函数f （x ）=sin 2x+sinxcosx+1的最小正周期是 π ，单调递减区间是 [k π+，k π+]（k ∈Z ） ． 考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析： 由三角函数公式化简可得f （x ）=sin （2x ﹣）+，易得最小正周期，解不等式2k π+≤2x ﹣≤2k π+可得函数的单调递减区间． 解答： 解：化简可得f （x ）=sin 2x+sinxcosx+1 =（1﹣cos2x ）+sin2x+1=sin （2x ﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π， 由2k π+≤2x ﹣≤2k π+可得k π+≤x ≤k π+，∴函数的单调递减区间为[k π+，k π+]（k ∈Z ）故答案为：π；[k π+，k π+]（k ∈Z ） 点本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的评： 周期性和单调性，属基础题．12．（4分）（2015•浙江）若a=log 43，则2a +2﹣a = ．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析： 直接把a 代入2a +2﹣a ，然后利用对数的运算性质得答案．解答： 解：∵a=log 43，可知4a =3， 即2a =，所以2a +2﹣a =+=．故答案为：．点评： 本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A ﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M ，N分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析： 连结ND ，取ND 的中点为：E ，连结ME 说明异面直线AN ，CM 所成的角就是∠EMC 通过解三角形，求解即可． 解答： 解：连结ND ，取ND 的中点为：E ，连结ME ，则ME ∥AN ，异面直线AN ，CM 所成的角就是∠EMC ， ∵AN=2，∴ME==EN ，MC=2， 又∵EN ⊥NC ，∴EC==，∴cos ∠EMC===．故答案为：．点评： 本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（4分）（2015•浙江）若实数x ，y 满足x 2+y 2≤1，则|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|的最小值是 3 ． 考点：函数的最值及其几何意义．专题：不等式的解法及应用；直线与圆． 分析： 根据所给x ，y 的范围，可得|6﹣x ﹣3y|=6﹣x ﹣3y ，再讨论直线2x+y ﹣2=0将圆x 2+y 2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值． 解答： 解：由x 2+y 2≤1，可得6﹣x ﹣3y ＞0，即|6﹣x ﹣3y|=6﹣x ﹣3y ， 如图直线2x+y ﹣2=0将圆x 2+y 2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y ﹣2≥0，即|2+y ﹣2|=2x+y ﹣2，此时|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|=（2x+y ﹣2）+（6﹣x ﹣3y ）=x ﹣2y+4，利用线性规划可得在A （，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y ﹣2≤0， 即|2+y ﹣2|=﹣（2x+y ﹣2），此时|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|=﹣（2x+y ﹣2）+（6﹣x ﹣3y ）=8﹣3x ﹣4y ，利用线性规划可得在A （，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|的最小值为3． 故答案为：3．点评： 本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x ，y ∈R ，，则x 0=1 ，y 0=2 ，|= 2 ． 考点： 空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算．专题：创新题型；空间向量及应用．分析：由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由已知可解=（，，t ），可得|﹣（|2=（x+）2+（y ﹣2）2+t 2，由题意可得当x=x 0=1，y=y 0=2时，（x+）2+（y ﹣2）2+t 2取最小值1，由模长公式可得|．解答： 解：∵•=||||cos ＜•＞=cos ＜•＞=，∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m ，n ，t ）， 则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t ）， ∵﹣（）=（﹣x ﹣y ，，t ）， ∴|﹣（|2=（﹣x ﹣y ）2+（）2+t 2 =x 2+xy+y 2﹣4x ﹣5y+t 2+7=（x+）2+（y ﹣2）2+t 2，由题意当x=x 0=1，y=y 0=2时，（x+）2+（y ﹣2）2+t 2取最小值1， 此时t 2=1，故|==2故答案为：1；2；2 点评： 本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分）（2015•浙江）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A=，b 2﹣a 2=c 2．（1）求tanC 的值；（2）若△ABC 的面积为3，求b 的值．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析： （1）由余弦定理可得：，已知b 2﹣a 2=c 2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC ．可得sinC=，即可得出tanC=． （2）由=×=3，可得c ，即可得出b ． 解答：解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b 2﹣a 2=bc ﹣c 2， 又b 2﹣a 2=c 2．∴bc ﹣c 2=c 2．∴b=c ．可得，∴a 2=b 2﹣=，即a=． ∴cosC===．∵C ∈（0，π）， ∴sinC==． ∴tanC==2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．点评： 本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A 1A=4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点．（1）证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；（2）求二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值．考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析： （1）以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A 1BD 的法向量与平面B 1BD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可． 解答： （1）证明：如图，以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建系．则BC=AC=2，A 1O==，易知A 1（0，0，），B （，0，0），C （﹣，0，0），A （0，，0），D （0，﹣，），B 1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A 1D ⊥OA 1， 又∵•=0，∴A 1D ⊥BC ，又∵OA 1∩BC=O ，∴A 1D ⊥平面A 1BC ； （2）解：设平面A 1BD 的法向量为=（x ，y ，z ），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B 1BD 的法向量为=（x ，y ，z ）， 由，得，取z=1，得=（0，，1）， ∴cos ＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值为﹣．点评： 本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f （x ）=x 2+ax+b （a ，b ∈R ），记M （a ，b ）是|f （x ）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M （a ，b ）≥2； （2）当a ，b 满足M （a ，b ）≤2时，求|a|+|b|的最大值． 考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析： （1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a 的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明； （2）讨论a=b=0以及分析M （a ，b ）≤2得到﹣3≤a+b ≤1且﹣3≤b ﹣a ≤1，进一步求出|a|+|b|的求值． 解答： 解：（1）由已知可得f （1）=1+a+b ，f （﹣1）=1﹣a+b ，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f （x ）在[﹣1，1]上单调， 所以M （a ，b ）=max{|f （1），|f （﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M （a ，b ）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b ）﹣（1﹣a+b ）|≥|2a|≥|a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x ∈[﹣1，1]．有﹣2≤x 2+ax+b ≤2得到﹣3≤a+b ≤1且﹣3≤b ﹣a ≤1，易知|a|+|b|=max{|a ﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3． 点评： 本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M （a ，b ）是|f（x ）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用三角不等式变形．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A ，B 关于直线y=mx+对称． （1）求实数m 的取值范围；（2）求△AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析： （1）由题意，可设直线AB 的方程为x=﹣my+n ，代入椭圆方程可得（m 2+2）y 2﹣2mny+n 2﹣2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．可得△＞0，设线段AB 的中点P （x 0，y 0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P ，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB 与x 轴交点横坐标为n ，可得S △OAB =，再利用均值不等式即可得出．解答： 解：（1）由题意，可设直线AB 的方程为x=﹣my+n ，代入椭圆方程，可得（m 2+2）y 2﹣2mny+n 2﹣2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由题意，△=4m 2n 2﹣4（m 2+2）（n 2﹣2）=8（m 2﹣n 2+2）＞0， 设线段AB 的中点P （x 0，y 0），则．x 0=﹣m ×+n=， 由于点P 在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m 4+4m 2﹣4＞0， 解得m 2，∴或m ．（2）直线AB 与x 轴交点横坐标为n ，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n 2（m 2﹣n 2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n 2=m 2﹣n 2+2，即2n 2=m 2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n }满足a 1=且a n+1=a n ﹣a n 2（n ∈N *） （1）证明：1≤≤2（n ∈N *）；（2）设数列{a n 2}的前n 项和为S n ，证明（n ∈N *）．考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法． 分析： （1）通过题意易得0＜a n ≤（n ∈N *），利用a n ﹣a n+1=可得≥1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=a n ﹣a n+1累加得S n =﹣a n+1，利用数学归纳法可证明≥a n ≥（n ≥2），从而≥≥，化简即得结论．解答：证明：（1）由题意可知：0＜a n ≤（n ∈N *），又∵a 2=a1﹣=，∴==2，又∵a n﹣a n+1=，∴a n＞a n+1，∴≥1，∴==≤2，∴1≤≤2（n∈N*）；（2）由已知，=a n﹣a n+1，=a n﹣1﹣a n，…，=a 1﹣a2，累加，得S n=++…+=a1﹣a n+1=﹣a n+1，易知当n=1时，要证式子显然成立；当n≥2时，=．下面证明：≥a n≥（n≥2）．易知当n=2时成立，假设当n=k时也成立，则a k+1=﹣+，由二次函数单调性知：a n+1≥﹣+=≥，a n+1≤﹣+=≤，∴≤≤，即当n=k+1时仍然成立，故对n≥2，均有≥a n≥，∴=≥≥=，即（n ∈N *）．点评： 本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。
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S 1S 2 n绝密★考试结束前2015 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共 5 页，选择题部分 1 至 3 页，非选择题部分 4 至 5 页。
满分 150 分，考试时间 120 分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共 50 分）注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式如果事件 A , B 互斥 ，那么P ( A + B ) = P ( A ) + P (B )如果事件 A , B 相互独立，那么P ( A • B ) = P ( A ) • P (B )如果事件 A 在一次试验中发生的概率为 P ,那么 n 次独立重复试验中事件 A P n (k ) = C k p k (1- p )n -k (k = 0,1, 2,..., n ) 恰好发生 k 次的概率台体的体积公式V = 1h (S + + S )3 12其中 S 1 , S 2 分别表示台体的上、下面积， h 表示台体的高柱体体积公式V = Sh 其中 S 表示柱体的底面积， h 表示柱体的高1锥体的体积公式V = Sh 3其中 S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高球的表面积公式 S = 4R 2球的体积公式V =4R 3 其中 R 表示球的半径3一、选择题：本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 P ={x |x 2-2x ≥0}, Q ={x |1<x ≤2}, 则(C R P ) Q =( )A.[0, 1)B.(0, 2]C.(1, 2)D.[1, 2]2. 某几何体的三视图如图所示(单位:cm), 则该几何体的体积是()32 40A.8cm 3 B.12cm 3 C. cm 3 D. cm 3 3 33. 已知{a n }是等差数列, 公差 d 不为零, 前 n 项和是 S n , 若 a 3, a 4, a 8 成等比数列, 则( ) A. a 1d >0, dS 4>0 B. a 1d <0, dS 4<0 C. a 1d >0, dS 4<0 D. a 1d <0, dS 4>04. 命题“ ∀n ∈ N *, f (n ) ∈ N * 且 f (n )≤n ” 的否定形式是()A. ∀n ∈ N *, f (n ) ∉ N * 且 f (n )>nB. ∀n ∈ N *, f (n ) ∉ N * 或 f (n )>nC. ∃n 0 ∈ N *, f (n 0 ) ∉ N * 且 f (n 0)>n 0D. ∃n 0 ∈ N *, f (n 0 ) ∉ N * 或 f (n 0)>n 05. 如图, 设抛物线 y 2=4x 的焦点为 F , 不经过焦点的直线上有三个不同的点 A , B , C , 其中点 A , B 在抛物线上, 点 C 在 y 轴上, 则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )| BF | -1 | AF | -1C.| BF | +1 | AF | +1| BF |2 -1 B.| AF |2 -1| BF |2 +1 D.| AF |2+16. 设 A , B 是有限集, 定义 d (A , B )=card(A B )-card(A B ),其中 card(A )表示有限集 A 中的元素个数, 命题①：对任意有限集 A , B , “A ≠B ”是“d (A , B )>0”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集 A , B , C , d (A , C )≤d (A , B )+ d (B , C ), 则( ) A. 命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立 C.命题①成立, 命题②不成立 D.命题①不成立, 命题②成立 7. 存在函数 f (x )满足, 对任意 x ∈R 都有( ) A.f (sin 2x )=sin x B. f (sin 2x )=x 2+x C.f (x 2+1)=|x +1| D.f (x 2+2x )=|x +1|8. 如图, 已知△ABC , D 是 AB 的中点, 沿直线 CD 将△ACD 折 成△ A 'CD , 所成二面角 A ' - CD - B 的平面角为, 则( )A.∠A 'DB ≤ C. ∠A 'CB ≤ B. ∠A 'DB ≥ D. ∠A 'CB ≥二、填空题：本大题共 7 小题, 多空题每题 6 分, 单空题每题 4 分, 共 36 分。
2015年浙江省高考数学试卷(理科)试题与解析
2015年浙江省高考数学试卷（理科)及答案解析版一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）22．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）D3．（5分）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，**5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）C D6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=，f （x）的最小值是．11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）若a=log43，则2a+2﹣a=．13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．14．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）22．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）D+3．（5分）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，成等比数列，得．，∴∴=**5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）C D根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．==，6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；x=t=∴=8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线=1的焦距是2，渐近线方程是y=±x．解：双曲线，c=，渐近线方程是±；±10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=0，f（x）的最小值是．，=）的最小值是；11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．sin），易得最小正周期，解不等式+﹣可得函数的单调递减区间．（sin2x+1sin），T==≤+≤，+]，]12．（4分）若a=log43，则2a+2﹣a=．，+=故答案为：13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．，=EN MC=2EC===．故答案为：．14．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是3．，）处取得最小值，）处取得最小值x=y=15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=1，y0=2，|=2．由题意和数量积的运算可得＜•，不妨设=（，，，，由已知可解（，|﹣（|）（x+）（由模长公式可得解：∵=|||＞＜＞，•＞，不妨设（，，，=n=2，，解得n=，∴=，∵﹣（）（﹣∴|﹣（|﹣x（）（）（，故=2三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．由余弦定理可得：=可得sinC=，即可得出tanC=）由=×A=，由余弦定理可得：bc=．∴=．∴c．可得﹣cosC=．==2）∵×c=2∴=317．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．•==0AC=2，=）（，，，﹣，，﹣，，，（﹣，﹣）（﹣，=∵•又∵•的法向量为，得，得=的法向量为，得，得=，，＞=，的平面角的余弦值为﹣．18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．﹣，所以或≥||2a|19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．y=mx+可得=，代入椭圆方程，可得，则×+n=上，∴+∴2，∴===，AOB=，又∵取得最大值为20．（15分）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．≤可得通过利用数学归纳法可证明（≥（﹣，∴=，∴∴≤）由已知，=a++=下面证明：≥（﹣，+=，﹣=≤∴≤，均有≥∴=≥，（。
2015年浙江省高考数学试卷(理科)答案与解析
2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q=（）A．[0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．[1，2]2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞04．（5分）（2015•浙江）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0 5．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A．B．C．D．6．（5分）（2015•浙江）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立7．（5分）（2015•浙江）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f（x2+2x）=|x+1| 8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=，f（x）的最小值是．11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a=．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．答案：1、解：由P中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁R P=（0，2），∵Q=（1，2]，∴（∁R P）∩Q=（1，2），故选：C．2、解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C．3、解：设等差数列{a n}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，=＜0．故选：B．4、解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．5、解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于E，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，则===，故选：A6、解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card（A∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命题①成立，命题②，d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）=card（B∪C）﹣card （B∩C），∴d（A，B）+d（B，C）=card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B∩C）=[card（A∪B）+card（B∪C）]﹣[card（A∩B）+card（B∩C）]≥card（A∪C）﹣card（A∩C）=d（A，C），故命题②成立，故选：A7、解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令|x+1|=t，t≥0，则f（t2﹣1）=t；令t2﹣1=x，则t=；∴；即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；∴该选项正确．故选：D．8、解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α=∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．9、解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．10、解：∵f（x）=，∴f（﹣3）=lg10=1，则f（f（﹣3））=f（1）=0，当x≥1时，f（x）=，即最小值，当x＜1时，x2+1≥1，（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，故f（x ）的最小值是．故答案为：0；．11、解：化简可得f（x）=sin2x+sinxcosx+1=（1﹣cos2x）+sin2x+1=sin（2x ﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π，由2kπ+≤2x ﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）故答案为：π；[kπ+，kπ+]（k∈Z）12、解：∵a=log43，可知4a=3，即2a =，所以2a+2﹣a =+=．故答案为：．13、解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cos∠EMC===．故答案为：．14、15、解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，如图直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2+y﹣2|=2x+y﹣2，此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=x﹣2y+4，利用线性规划可得在A （，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，即|2+y﹣2|=﹣（2x+y﹣2），此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=8﹣3x﹣4y，利用线性规划可得在A （，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3．故答案为：3．解：∵•=||||cos ＜•＞=cos ＜•＞=，∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m，n，t），则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t），∵﹣（）=（﹣x﹣y ，，t），∴|﹣（|2=（﹣x﹣y）2+（）2+t2=x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，此时t2=1，故|==2故答案为：1；2；216、解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc ﹣c2，又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c ．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．17、（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．则BC=AC=2，A1O==，易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A1D⊥OA1，又∵•=0，∴A1D⊥BC，又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；（2）解：设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（0，，1），∴cos＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．18、解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M（a，b）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|≥|a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，易知|a|+|b|=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．19、解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．20、证明：（1）由题意可知：0＜a n≤（n∈N*），又∵a2=a1﹣=，∴==2，又∵a n﹣a n+1=，∴a n＞a n+1，∴≥1，∴==≤2，∴1≤≤2（n∈N*）；（2）由已知，=a n﹣a n+1，=a n﹣1﹣a n，…，=a1﹣a2，累加，得S n=++…+=a1﹣a n+1=﹣a n+1，易知当n=1时，要证式子显然成立；当n≥2时，=．下面证明：≥a n≥（n≥2）．易知当n=2时成立，假设当n=k时也成立，则a k+1=﹣+，由二次函数单调性知：a n+1≥﹣+=≥，a n+1≤﹣+=≤，∴≤≤，即当n=k+1时仍然成立，故对n≥2，均有≥a n≥，∴=≥≥=，即（n∈N*）．。
2015年浙江省高考数学试卷(理科)
2015年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q=（）A．[0，1）B．（0，2] C．（1，2）D．[1，2]2．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．3．（5分）已知{an }是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞04．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nD．∃n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A．B．C． D．6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立7．（5分）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f （x2+2x）=|x+1|8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线﹣y2=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））= ，f （x）的最小值是．11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）若a=log43，则2a+2﹣a= ．13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．14．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，=1（x0，y∈R），则x=，y= ，|= ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）已知数列{an }满足a1=且an+1=an﹣an2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{an 2}的前n项和为Sn，证明（n∈N*）．2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）P）∩Q=（）1．（5分）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁RA．[0，1）B．（0，2] C．（1，2）D．[1，2]【分析】求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．【解答】解：由P中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），P=（0，2），∴∁R∵Q=（1，2]，P）∩Q=（1，2），∴（∁R故选：C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C．【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）已知{an }是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0【分析】由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．【解答】解：设等差数列{an }的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，=＜0．故选：B．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．4．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nD．∃n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A．B．C． D．【分析】根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．【解答】解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于D，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，则===，故选：A．【点评】本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立【分析】命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．【解答】解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card （A∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B 成立，故命题①成立，命题②，d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）=card（B∪C）﹣card（B∩C），∴d（A，B）+d（B，C）=card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B ∩C）=[card（A∪B）+card（B∪C）]﹣[card（A∩B）+card（B∩C）]≥card（A∪C）﹣card（A∩C）=d（A，C），故命题②成立，故选：A．【点评】本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f （x2+2x）=|x+1|【分析】利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．【解答】解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令x+1=t，则f（x2+2x）=|x+1|，化为f（t2﹣1）=|t|；令t2﹣1=x，则t=±；∴；即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；∴该选项正确．故选：D．【点评】本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α【分析】解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．【解答】解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α=∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线﹣y2=1的焦距是2，渐近线方程是y=±x ．【分析】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．【解答】解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））= 0 ，f（x）的最小值是．【分析】根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x≥1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣3）=lg10=1，则f（f（﹣3））=f（1）=0，当x≥1时，f（x）=，即最小值，当x＜1时，x2+1≥1，f（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，故f（x）的最小值是．故答案为：0；．【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）+，易得最小正周期，解不等式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间．【解答】解：化简可得f（x）=sin2x+sinxcosx+1=（1﹣cos2x）+sin2x+1=sin（2x﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）故答案为：π；[kπ+，kπ+]（k∈Z）【点评】本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．12．（4分）若a=log3，则2a+2﹣a= ．4【分析】直接把a代入2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．3，可知4a=3，【解答】解：∵a=log4即2a=，所以2a+2﹣a=+=．故答案为：．【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．【分析】连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC通过解三角形，求解即可．【解答】解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cos∠EMC===．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是 3 ．14．【分析】根据所给x，y的范围，可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，再讨论直线2x+y ﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．【解答】解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，如图直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2x+y﹣2|=2x+y﹣2，此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=x﹣2y+4，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，即|2x+y﹣2|=﹣（2x+y﹣2），此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=8﹣3x﹣4y，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3．故答案为：3．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，=1（x0，y∈R），则x= 1 ，y= 2 ，|= 2．【分析】由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由已知可解=（，，t），可得|﹣（|2=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意可得当x=x0=1，y=y=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，由模长公式可得．【解答】解：∵•=||||cos＜•＞=cos＜•＞=，∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m，n，t），则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t），∵﹣（）=（﹣x﹣y，，t），∴|﹣（）|2=（﹣x﹣y）2+（）2+t2=x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意当x=x0=1，y=y=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，此时t2=1，故==2故答案为：1；2；2【点评】本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．【分析】（1）由余弦定理可得：，已知b2﹣a2=c2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC．可得sinC=，即可得出tanC=．（2）由=×=3，可得c，即可得出b．【解答】解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2．或由A=，b2﹣a2=c2．可得：sin2B﹣sin2A=sin2C，∴sin2B﹣=sin2C，∴﹣cos2B=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴sin2C=sin2C，∴tanC=2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．【分析】（1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．【解答】（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．则BC=AC=2，A1O==，易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A1D⊥OA1，又∵•=0，∴A1D⊥BC，又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；（2）解：设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（0，，1），∴cos＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．【点评】本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．【分析】（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论a=b=0以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．【解答】解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M（a，b）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|=|a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2，得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，﹣2≤≤2，易知（|a|+|b|）max=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．【点评】本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用绝对值不等式变形．19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．【分析】（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB=，再利用均值不等式即可得出．【解答】解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y），则．x=﹣m×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）已知数列{an }满足a1=且an+1=an﹣an2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{an 2}的前n项和为Sn，证明（n∈N*）．【分析】（1）通过题意易得0＜an ≤（n∈N*），利用an﹣an+1=可得＞1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=an ﹣an+1累加得Sn=a1﹣an+1，对an+1=an﹣an2两边同除以an+1an采用累积法可求出an+1的范围，从而得出结论．【解答】证明：（1）由题意可知：an+1﹣an=﹣an2≤0，即an+1≤an，故an≤，1≤．由an =（1﹣an﹣1）an﹣1得an=（1﹣an﹣1）（1﹣an﹣2）…（1﹣a1）a1＞0．所以0＜an≤（n∈N*），又∵a2=a1﹣=，∴==2，又∵an ﹣an+1=，∴an＞an+1，∴＞1，∴==≤2，∴1≤≤2（n∈N*），综上所述，1＜≤2（n∈N*）；（2）由已知，=an ﹣an+1，=an﹣1﹣an，…，=a1﹣a2，累加，得Sn =++…+=a1﹣an+1，①由an+1=an﹣an2两边同除以an+1an得，和1≤≤2，得1≤≤2，累加得1+1+...1≤+﹣+...+﹣≤2+2+ (2)所以n≤﹣≤2n，≤（n∈N*）②，因此≤an+1由①②得≤（n∈N*）．【点评】本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。
最新2015年高考浙江理科数学试题及答案解析
12015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）1 数学（理科）2 第Ⅰ卷（选择题 共40分）3 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一4 项符合题目要求．5 （1）【2015年浙江，理1】已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q =（ ）6 （A ）[0,1) （B ）(0,2] （C ）(1,2) （D ）[1,2]7 【答案】C8 【解析】(][),02,P =-∞+∞，()0,2R P =，()()1,2R P Q ∴=，故选C ．9 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10 （2）【2015年浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的11 体积是（ ）12（A ）38cm （B ）312cm （C ）332cm 3 （D ）340cm 313 【答案】C14 【解析】图像为正四棱锥与正方体的组合体，由俯视图知：正方体棱长为2，正四棱15 锥底面边长2，高为2，所以该几何体的体积3213222233V =+⨯⨯=，故选C ． 16【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能17 力．18 （3）【2015年浙江，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成192等比数列，20 则（ ） 21 （A ）10,0n a d dS >>（B ）10,0n a d dS <<（C ）10,0n a d dS >< （D ）10,0n a d dS <>22 【答案】B23 【解析】因为245,,a a a 成等比数列，所以()()()211134a d a d a d +=++，化简得2150a d d =-<，24 ()224114646140dS d a d a d d d =+=+=-<，故选B ．25 【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，是基础题． 26 （4）【2015年浙江，理4】命题“**,()n N f n N ∀∈∈ 且()f n n ≤的否定形式是（ ） 27 （A ）**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > （B ）**,()n N f n N ∀∈∈或()f n n > 28 （C ）**00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n > （D ）**00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n > 29 【答案】D30 【解析】全称命题:p x M ∀∈，()p x 的否定是0:p x M ⌝∃∈，()0p x ⌝，所以命题31 的否定为：*0n N ∃∈，()*0f n N ∉ 或()00f n n >，故选D ．32 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．33 （5）【2015年浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不34 同的35 点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则n a 与ACF ∆的面积之比是（ ）36（A ）11BF AF --（B ）2211BF AF --（C ）11BF AF ++（D ）2211BF AF ++373【答案】A38 【解析】如图所示，抛物线的准线DE 的方程为1x =-，又由抛物线定义知39 BF BD =，AF AE =，11BM BD BF ∴=-=-，11AN AE AF =-=-，40 11BCF ACF BMBF S BC S AC AN AF ∆∆-∴===-，故选A ． 41【点评】本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键． 42 （6）【2015年浙江，理6】设,A B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =-，其中()card A 43 表示有限44 集A 中的元素个数（ ）45 命题①：对任意有限集,A B ，“A B ≠”是“(,)0d A B >”的充分必要条件；46 命题②：对任意有限集,,A B C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+．47 （A ）命题①和命题②都成立 （B ）命题①和命题②都不成立 48 （C ）命题①成立，命题②不成立 （D ）命题①不成立，命题②成立 49 【答案】A50 【解析】由题意，()()()(),20d A B card A card B card A B =+-≥，命题①：51 ()()(),0A B card AB card AB d A B =⇔=⇔=，(),0A B d A B ∴≠⇔>，命题①成立．52 命题②：由维恩图易知命题②成立，下面给出严格证明：53 ()()(),,,d A C d A B d B C ≤+54()()()()()()()()()222card A card C card A C card A card B card AB card B cardC card BC ⇔+-≤+-++-55 ()()()()card A C card A B card B C card B ⇔≥+-56 ()()()()card AC card AC B card ABC card B ⇔≥--⎡⎤⎣⎦，因为574()0card A C ≥且()()()0card A C B card ABC card B --≤⎡⎤⎣⎦，故命题②成立，故选A ．58 【点评】本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各59 集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合60 的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题． 61 （7）【2015年浙江，理7】存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ）62 （A ）(sin 2)sin f x x = （B ）2(sin 2)f x x x =+ （C ）2(1)1f x x +=+ （D ）2(2)1f x x x +=+ 63 【答案】D64【解析】选项A ：当4x π=时，()21f =；当54x π=时，()21f =-； 65 选项B ：当4x π=时，()21164f ππ=+；当54x π=时，()22551164f ππ=+； 66选项C ：当1x =-时，()20f =；当1x =时，()22f =；或()21f x +为偶函数，然而1y x =+67 并不是偶函数；68 选项D ：()()222111f x x f x x +=+-=+，令1t x =+得()21f t t -=，0t ≥，再令21t m -=，69 则1t m =+，()1f m m =+，故函数()1f x x =+可以满足要求，故选D ． 70 【点评】本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解71 决问题的方法比较难．72 （8）【2015年浙江，理8】如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆73 折成A CD '∆，74 所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）75 （A ）A DB α'∠≤ （B ）A DB α'∠≥ （C ）A CB α'∠≤ （D ）A CB α'∠≤765【答案】B 77 【解析】解法一：78 考查特殊值，用排除法，若CA CB ≠，则当απ=时，A CB π'∠<，排除D ，当0α=79 时，80 0A CB '∠>，0A DB '∠>，排除A ，C ，故选B ．81 解法二：82 ①当AC BC =时，A DB α'∠=；83 ②当AC BC ≠时，如图，点A '投影在AE 上，A OE α'=∠，连接AA '，易得ADA AOA ''∠<∠，84 A DB A OE ''∴∠>∠，即A DB α'∠>．85 综上所述，A DB α'∠≥，故选B ．86 【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．87 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）88 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．89（9）【2015年浙江，理9】双曲线2212x y -=的焦距是 ，渐近线方程是 ．90【答案】23；22y x =±91 【解析】2a =，1b =，焦距223c a b =+=，∴焦距为23，渐近线2b y x x a=±=±． 92 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．936（10）【2015年浙江，理10】已知函数221,1()2lg(1),1x x f x x x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小94值是 ． 95 【答案】0；396【解析】()()((3))log1011230f f f f -===+-=；当1x ≥时，()233f x x x=+-≥97（当x =时取最小值）当x =时取最小值，当1x <时，()()2log 1log10f x x =+≥=，98 2230-<，()fx ∴的最小值为3．99 【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．100 （11）【2015年浙江，理11】函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调101 递减区间是 ． 102【答案】π；37,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦103【解析】()21cos 213sin sin cos 1sin 2122242x f x x x x x x π-⎛⎫=++=++-+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期T π=； 104 单调递减区间：3222242k x k πππππ+≤-≤+，化简得3788k x k ππππ+≤≤+， 105 ∴单调递减区间：37,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．106【点评】本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题． 107 （12）【2015年浙江，理12】若2log 3a =，则22a a -+= ．1081097【解析】由2log 3a =可知43a =，即23a =，所以432233a a -+=+=． 110【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．111 （13）【2015年浙江，理13】如图，三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，2AD BC ==，112 点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是 __．113【答案】78114 【解析】取ND 的中点E ，因为//ME AN ，则EMC ∠为异面直线AN ，CM 所115 成的角．22AN =，2ME NE ∴==，22MC =，又EN NC ⊥，116 223EC EN NC ∴=+=，7cos 82222EMC ∴∠==⨯⨯． 117【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．118 （14）【2015年浙江，理14】若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值119 是 ． 120 【答案】3121 【解析】221x y +≤，630x y ∴-->，即6363x y x y --=--，122 如图，直线220x y +-=将直线221x y +=分成了两部分：123 ①在阴影区域内的(),x y 满足220x y +-≥，即2222x y x y +-=+-， 124 此时()()2263226324x y x y x y x y x y +-+--=+-+--=-+，125利用线性规划可知在34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭处取得最小值3；1268②在阴影区域外的(),x y 满足220x y +-≤，即()2222x y x y +-=-+-， 127 此时()()22632263834x y x y x y x y x y +-+--=-+-+--=--，128利用线性规划可知在34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭处取得最小值3． 129综上，当35x =，45y =时，2263x y x y +-+--的最小值为3．130 【点评】本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方131 法，属于中档题．132（15）【2015年浙江，理15】已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足133 1252,2b e b e ⋅=⋅=，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x = ，134 0y = ，b = ．135【答案】01x =，02y =，22b ==．136【解析】121212121cos ,cos ,2e e e e e e e e⋅===，12,3e e π∴=，不妨设11,2e ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()21,0,0e =，137(),,b m n t =，则由题意知1122be m ⋅=+=，252b e m ⋅==，解得52m =，n，53,2b t ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭， 138()1251,22b xe yex y t ⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭，139()2222125122b xe ye x y t ⎫⎛⎫∴-+=--++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭140 ()22222243457224y x xy y x y t x y t -⎛⎫=++--++=++-+ ⎪⎝⎭，由题意，当1e x x ==，2e y y ==时，141()22243224y x y t -⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭取到最小值1，此时21t =，故252b ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 1429【点评】本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．143 三、解答题：本大题共5题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．144 （16）【2015年浙江，理16】（本小题满分14分）在()nf n n ≤中，内角**,()n N f n N ∀∈∉145 所对边分别为**,()n N f n N ∀∈∉．已知4A π=，22212b ac -=-．146（Ⅰ）求tan C 的值；147 （Ⅱ）若()nf n n ≤的面积为7，求b 的值．148 解：（Ⅰ）由22212b ac -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=，故2cos2sin B C -=．又由4A π=，即34B C π+=，149得cos2sin22sin cos B C C C -==，解得tan 2C =．150 （Ⅱ）由tan 2C =得25sin C =，5cos C =，又()sin sin sin 4B AC C π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故310sin B =，151 由正弦定理得22c b =，又4A π=，1sin 32bc A =，故62bc =，故3b =．152【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公153 式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．154 （17）【2015年浙江，理17】（本小题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，155 090BAC ∠=，2AB AC ==，156 14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点．157（Ⅰ）证明：1A D ⊥平面1A BC ；158 （Ⅱ）求二面角11A BD B --的平面角的余弦值．15910解：解法一：160 （Ⅰ）设E 为BC 的中点，连1,A E AE ．由题1A E ⊥平面ABC ，故1A E AE ⊥．因AB AC =，故161 AE BC ⊥， 从而AE ⊥平面1A BC ．由,D E 分别11,B C BC 的中点，得1//DE B B 且162 1DE B B =，163 从而1//DE A A ，且1DE A A =，所以1A AED 为平行四边形，故1//A D AE ．又AE ⊥平164 面1A BC ，165 故1A D ⊥平面1A BC ．166 （Ⅱ）作1A F BD ⊥于F ，连1B F ，由题2AE EB ==，01190A EA A EB ∠=∠=，得114A B A A ==．167 由11A D B D =，11A B B B =，得11A DB B DB ∆≅∆．由1A F BD ⊥，得1B F BD ⊥，因此11A FB ∠ 168 为二面角11A BD B --的平面角．由12A D =，14A B =，0190DA B ∠=，得32BD =，1691143A F B F ==，由余弦定理得111cos 8A FB =-． 170解法二：171 （Ⅰ）如图，以BC 中点为原点O ，CB 方向为x 轴正方向，OA 为y 轴正方向，1OA 为172 z 轴正方173 向，建立空间直角坐标系．2BC =，22AC =，221114AO AA AO =+=，易知 174 ()10,0,14A ，()2,0,0B，()2,0,0C -，()0,2,0A ，()0,2,14D -，()12,2,14B -，175()10,2,0A D =-，()2,2,14BD =--，()12,0,0B D =-，()22,0,0BC =-，176()10,0,14OA =，110A D OA ∴⋅=，11A D OA ∴⊥，又10A D BC ⋅=，1A D BC ∴⊥，又177111OA BC O =，1A D ∴⊥平面1A BC ．178 （Ⅱ）设平面1A BD 的法向量为()1111,,n x y z =，知11120n A D ⋅=-=，111120n BD ⋅=--+=，179 则180 取()17,0,1n =，设平面1B BD 的法向量为()2222,,n xy z =，则2122220n B D ⋅=-+=，1812220n BD ⋅=-=，则取()20,n =，1212121cos ,82n n n n n n ⋅∴===⋅，182又知该二面角为钝角，所以其平面角的余弦值为18-．183 【点评】本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法184 的积累，属于中档题．185 （18）【2015年浙江，理18】（本小题满分15分）已知函数()()2,f x x ax b a b R =++∈，记186 (),M a b 是()||f x 在区间[]1,1-上的最大值．187 （Ⅰ）证明：当||2a ≥时，(),2M a b ≥；188 （Ⅱ）当,a b 满足(),2M a b ≤，求||||a b +的最大值．189解：（Ⅰ）由()2224a a f x x b ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，得对称轴为直线2a x =-，由||2a ≥，得||12a -≥，190故()f x 在[]1,1-上单调，因此()()(){},max |1|,|1|M a b f f =-．191 当2a ≥时，()()1124f f a --=≥，故()()4|1||1|f f ≤+-，()(){}max |1|,|1|2f f ∴-≥，即192 (),2M a b ≥；当2a ≤-时，()()1124f f a --=-≥，故()()4|1||1|f f ≤-+，193 ()(){}max |1|,|1|2f f ∴-≥，即(),2M a b ≥．综上，当||2a ≥时，(),2M a b ≥．19412（Ⅱ）由(),2M a b ≤得()|1||1|2a b f ++=≤，()|1||1|2a b f -+=-≤，故||3a b +≤，||3a b -≤，195 由()()||0||||||0a b ab a b a b ab ⎧+≥⎪+=⎨-<⎪⎩，得||||3a b +≤．当2a =，1b =-时，||||3a b +=，且2|21|x x +-在196 []1,1-197 的最大值为2，即()2,12M -=，故||||a b +的最大值为3．198 【点评】本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解199 (),M a b 是()f x 在区间[]1,1-上的最大值，以及利用三角不等式变形．200（19）【2015年浙江，理19】（本小题满分15分）已知椭圆2212x y +=上两201 个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称．202（Ⅰ）求实数m 的取值范围；203 （Ⅱ）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．204 解：（Ⅰ）由题知0m ≠，可设直线AB ：1y x b m=-+，代入椭圆方程并整理得205 ()()222224210m x mbx m b +-+-=． 因直线AB 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点，故206 ()2222820m m m b ∆=+-> ①．将AB 中点2222,22mb m b M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入直线方程12y mx =+得2072222m b m+=- ②．由①②得6m <-或6m >． 208（Ⅱ）令2130,2t m ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则21886||t t t AB +⋅-++=，且O 到AB 的距离为121t d t +=+，故AOB ∆209的面积()21112||22222S t AB d t ⎛⎫=⋅=--+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当12t =时，等号成立，故AOB ∆面积的最大21013． 211 【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程212 联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、213 弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．214（20）【2015年浙江，理20】（本小题满分15分）已知数列{}n a 满足112a =且215 ()21n n n a a a n N ++=-∈，数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明：216（Ⅰ）()112nn a n N a ++≤≤∈； 217 （Ⅱ）()()()112221n S n N n n n +≤≤∈++． 218 解：（Ⅰ）由题210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，故12n a ≤．219由()111n n n a a a --=-得()()()12111110n n n a a a a a --=--->， 220故102n a <≤，从而(]111,21n n n a a a +=∈-，即112n n aa +≤≤． 221（Ⅱ）由题21n n n a a a +=-，故11n n S a a +=- ①．由1111=n n nn a a a a ++-和112n n aa +≤≤得，11112n na a +≤-≤，222故11112n n n a a +≤-≤，因此()()111212n a n N n n ++≤≤∈++ ②， 223由①②得()()()112221n S n N n n n +≤≤∈++． 224 【点评】本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形225 是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．226。
2015年浙江省高考数学【理】(含解析版)
2015年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）2（）2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）．．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）5．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）．．．．6．（5分）（2015•浙江）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f （x ）=，则f （f （﹣3））=，f （x ）的最小值是． 11．（6分）（2015•浙江）函数f （x ）=sin 2x+sinxcosx+1的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．12．（4分）（2015•浙江）若a=log 43，则2a +2﹣a = ．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A ﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是 ．14．（4分）（2015•浙江）若实数x ，y 满足x 2+y 2≤1，则|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|的最小值是 ．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x ，y ∈R ，，则x 0= ，y 0= ，|= ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A=，b 2﹣a 2=c 2． （1）求tanC 的值；（2）若△ABC 的面积为3，求b 的值． 17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A 1A=4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点． （1）证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；（2）求二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f （x ）=x 2+ax+b （a ，b ∈R ），记M （a ，b ）是|f （x ）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M （a ，b ）≥2；（2）当a ，b 满足M （a ，b ）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A ，B 关于直线y=mx+对称．（1）求实数m 的取值范围；（2）求△AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n }满足a 1=且a n+1=a n ﹣a n 2（n ∈N *）（1）证明：1≤≤2（n ∈N *）；（2）设数列{a n 2}的前n 项和为S n ，证明（n ∈N *）．2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C ．解：设等差数列{a n }的首项为a 1，则a 3=a 1+2d ，a 4=a 1+3d ，a 8=a 1+7d ， 由a 3，a 4，a 8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴， ∴，=＜0．故选：B ．本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，是基础题． 根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可． 解：如图所示，抛物线的准线DE 的方程为x=﹣1，则===，故选：A本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令|x+1|=t，t≥0，则f（t2﹣1）=t；令t2﹣1=x，则t=；∴；即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；∴该选项正确．故选：D．本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α=∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x≥1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解解：∵f（x）=，∴f（﹣3）=lg10=1，则f（f（﹣3））=f（1）=0，当x≥1时，f（x）=，即最小值，当x＜1时，x2+1≥1，（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，故f（x）的最小值是．故答案为：0；．本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）+，易得最小正周期，解不等式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间．解：化简可得f（x）=sin2x+sinxcosx+1 =（1﹣cos2x）+sin2x+1=sin（2x﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）故答案为：π；[kπ+，kπ+]（k∈Z）本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．解：∵a=log43，可知4a=3，即2a=，所以2a+2﹣a=+=．故答案为：．本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．通过解三角形，求解即可．解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cos∠EMC===．故答案为：．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，如图直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2+y﹣2|=2x+y﹣2，此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=x﹣2y+4，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，即|2+y﹣2|=﹣（2x+y﹣2），此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=8﹣3x﹣4y，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3．故答案为：3．由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由已知可解=（，，t），可得|﹣（|2=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意可得当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，由模长公式可得|．解：∵•=||||cos＜•＞=cos＜•＞=，∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m，n，t），则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t），∵﹣（）=（﹣x﹣y，，t），∴|﹣（|2=（﹣x﹣y）2+（）2+t2=x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，此时t2=1，故|==2故答案为：1；2；2本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（1）由余弦定理可得：，已知b2﹣a2=c2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC．可得sinC=，即可得出tanC=．（2）由=×=3，可得c，即可得出b．解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理（1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．则BC=AC=2，A1O==，易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A1D⊥OA1，又∵•=0，∴A1D⊥BC，又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；（2）解：设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（0，，1），∴cos＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．18．（15分）求值．解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M（a，b）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，易知|a|+|b|=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解19．（15分）（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB=，再利用均值不等式即可得出．解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点纵坐标为n，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系（1）通过题意易得0＜a n≤（n∈N*），利用a n﹣a n+1=可得≥1，利用= =≤2，即得结论；（2）通过=a n﹣a n+1累加得S n=﹣a n+1，利用数学归纳法可证明≥a n≥（n≥2），从而≥≥，化简即得结论．证明：（1）由题意可知：0＜a n≤（n∈N*），又∵a2=a1﹣=，∴==2，又∵a n﹣a n+1=，∴a n＞a n+1，∴≥1，∴==≤2，∴1≤≤2（n∈N*）；（2）由已知，=a n﹣a n+1，=a n﹣1﹣a n，…，=a1﹣a2，累加，得S n=++…+=a1﹣a n+1=﹣a n+1，易知当n=1时，要证式子显然成立；当n≥2时，=．下面证明：≥a n≥（n≥2）．易知当n=2时成立，假设当n=k时也成立，则a k+1=﹣+，由二次函数单调性知：a n+1≥﹣+=≥，a n+1≤﹣+=≤，∴≤≤，即当n=k+1时仍然成立，故对n≥2，均有≥a n≥，∴=≥≥=，即（n∈N*）．本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的祝福语祝你考试成功!。
2015年高考理科数学浙江卷
数学试卷 第1页（共6页） 数学试卷 第2页（共6页） 数学试卷 第3页（共6页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共6页,选择题部分1至2页,非选择题部分3至6页.满分150分,考试时间120分钟. 考生注意:1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答,在本试题卷上作答一律无效. 参考公式:球的表面积公式 锥体的体积公式24S R π=13V Sh =球的体积公式其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 334V R π=台体的体积公式其中R 表示球的半径121(S )3V h S =+柱体的体积公式 其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积, V Sh =h 表示台体的高其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高选择题部分（共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合22{|}=0P x x －≥,{}12|Q x x =＜≤,则R ()P Q = ( ) A .[0,1)B .(0,2]C .(1,2)D .[1,2]2.某几何体的三视图如图所示（单位:cm ）,则该几何体的体积是( ) A .8 cm 3 B .12 cm 3 C .323 cm 3 D .403cm 3 3.已知{}n a 是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是n S .若3a ,4a ,8a 成等比数列,则 ( ) A .10a d >,40dS > B .10a d <,40dS < C .10a d >,40dS <D .10a d <,40dS >4.命题“*n ∀∈N ,()*f n ∈N 且)(f n n ≤”的否定形式是( )A .*n ∀∈N ,()*f n ∉N 且)(f n n >B .*n ∀∈N ,()*f n ∉N 或)(f n n >C .0*n ∃∈N ,0()*f n ∉N 且00)(f n n >D .0*n ∃∈N ,0()*f n ∉N 或00)(f n n >5.如图,设抛物线24y x =的焦点为F ,不经过焦点的直线上有 三个不同的点A ,B ,C ,其中点A ,B 在抛物线上,点C 在y 轴上,则BCF △与A CF △的面积之比是( )A .||1||1BF AF --B .22||1||1BF AF --C .||1||1BF AF ++ D .22||1||1BF AF ++ 6.设A ,B 是有限集,定义:((,))()d A B card A B card A B = －,其中()card A 表示有限集A 中元素的个数. ( )命题①:对任意有限集A ,B ,“A B ≠”是“(,)0d A B >”的充分必要条件; 命题②:对任意有限集A ,B ,C ,(,)(,)(,)d A C d A B d B C +≤. A .命题①和命题②都成立 B .命题①和命题②都不成立 C .命题①成立,命题②不成立D .命题①不成立,命题②成立 7.存在函数()f x 满足:对任意x ∈R 都有( )A .(sin 2)sin f x x =B .2(sin 2)f x x x =+C .2(1)|1|f x x +=+D .2(2)|1|f x x x +=+8.如图,已知ABC △,D 是AB 的中点,沿直线CD 将ACD △翻折成A CD '△,所成二面角A CDB '－－的平面角为α,则( )A .A DB α∠'≤ B .A DB α∠'≥C .A CB α∠'≤D .A CB α∠'≥非选择题部分（共110分）二、填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.把答案填在题中的横线上.9.双曲线2212x y -=的焦距是 ,渐近线方程是 .10.已知函数223, 1,()lg(1),1,x x x f x x x ⎧+-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩≥＜,则(())3f f =－ ,)(f x 的最小值是 .11.函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ,单调递减区间是 .12.若4log 3a =,则22a a +=－ .13.如图,在三棱锥A BCD －中,3AB AC BD CD ====,2AD BC ==,点M ,N 分别是AD ,BC 的中点,则异面直线AN ,CM 所成的角的余弦值是 .14.若实数x ,y 满足221x y +≤,则22|||6|3x y x y +-+--的最小值是 .15.已知e 1,e 2是空间单位向量,e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1=2,b ·e 2=52,且对于任意,x y ∈R ,|b －(x e 1+y e 2)|≥|b －(x 0e 1+y 0e 2)|=1(x 0,y 0∈R ),则x 0= ,y 0= ,|b |= .三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分14分）在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ．已知π4A =,22212b ac -=. （Ⅰ）求tan C 的值;（Ⅱ）若ABC △的面积为3,求b 的值.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效-------------- 姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共6页） 数学试卷 第5页（共6页） 数学试卷 第6页（共6页）17.（本小题满分15分）如图,在三棱柱111ABC A B C －中,90BAC ∠=︒,2AB AC ==,14A A =,1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点,D 是11B C 的中点.（Ⅰ）证明:1A D ⊥平面1A BC ;（Ⅱ）求二面角11A BD B －－的平面角的余弦值.18.（本小题满分15分）已知函数2()(,)f x x ax b a b =++∈R ,记(,)M a b 是|()|f x 在区间[]1,1－上的最大值. （Ⅰ）证明:当||2a ≥时,(,)2M a b ≥;（Ⅱ）当a ,b 满足(,)2M a b ≤时,求||||a b +的最大值.19.（本小题满分15分）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A ,B 关于直线12y mx =+对称. （Ⅰ）求实数m 的取值范围;（Ⅱ）求AOB △面积的最大值（O 为坐标原点）.20.（本小题满分15分）已知数列{}n a 满足112a =且21*)(n n n a a a n +-=∈N . （Ⅰ）证明:112(*)nn a n a +∈N ≤≤; （Ⅱ）设数列2{}n a 的前n 项和为n S ,证明:11()2(2)2(1)*n S n n n n ∈++N ≤≤.。
2015浙江高考数学试题及答案解析(理科)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学解析（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合2{20},{12}P x x x Q x x =-≥=<≤，则()R P Q =ð （ ）A.[0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2]解析：由[)(]0,,2∞-⋃+∞=P ，(]2,1=Q ，则()(]()2,12,12,0)(=⋂=⋂Q P C R ，故答案C 2、某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的体积是（ ） A.38cm B. 312cm C.3323cm D. 3403cm 解析：从三视图不难看出，其组合体的结构特征为正方体上面放一个正四棱锥，则体积为：33222231222=⨯⨯⨯+⨯⨯=V ，故答案C3、已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ）A.10,0n a d dS >>B. 10,0n a d dS <<C. 10,0n a d dS ><D. 10,0n a d dS <>解析：由843,,a a a 成等比，得到0355321218324<-=⇔+⇔=d d a d d a a a a 设239921332)835(5,3221nn dS n n n n S a d n n -=⇒-=-+-=⇒-==4、命题“**,()n N f n N ∀∈∈ 且()f n n ≤的否定形式是（ ）A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n >B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n >D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n > 解析：这是考查命题的否定与否命题的区别，否命题是指结论条件全否，而命题的否定则只否定其结论，但要注意量词的变化，“任意”和“存在”互为否定，故选D5、如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）AA. 11BF AF -- B. 2211BF AF -- C. 11BF AF ++ D. 2211BF AF ++ 解析：假设x BF ⊥轴，则通过抛物线定义即可解决问题通过三角形相似解决，ACBCS S ACF BCF =∆∆，过B A ,点分别作y 轴的垂线段BH AG ,，则CB H ∆∽CAG ∆所以11--==AF BF AG BH AC BC ，故答案A 6.设,A B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =-，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数（）A命题①：对任意有限集,A B ，“A B ≠”是“ (,)0d A B >”的充分必要条件；命题②：对任意有限集,,A B C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+，A. 命题①和命题②都成立B. 命题①和命题②都不成立C. 命题①成立，命题②不成立D. 命题①不成立，命题②成立 解析：此题出自必修1教材的阅读拓展材料，通过维恩图就可以解决 7、存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ）DA. (sin 2)sin f x x =B. 2(sin 2)f x x x =+C. 2(1)1f x x +=+D. 2(2)1f x x x +=+解析：D x x f t t f x t x x x f +=⇒=-⇒+=+=+1)()1(1,1)2(22 8、如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）BA. A DB α'∠≤B. A DB α'∠≥C. A CB α'∠≤D. A CB α'∠≤ 解析：借助立方体模型想象便知答案二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
浙江省高考数学试卷(理科)试题与解析
2015年浙江省高考数学试卷（理科)及答案解析版一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）22．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）3．（5分）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，**5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）B6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card （A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=，f （x）的最小值是．11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）若a=log43，则2a+2﹣a=．13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．14．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）22．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）+3．（5分）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，成等比数列，得．，∴，=**5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）B根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．==，6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card （A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；x=t==8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线=1的焦距是2，渐近线方程是y=±x．解：双曲线，c=，渐近线方程是±；±10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=0，f（x）的最小值是．，=）的最小值是；11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．sin）++可得函数的单调递减区间．（sin2x+1sin），=≤+≤，，]，]12．（4分）若a=log43，则2a+2﹣a=．，+=故答案为：13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．AN=2ME=MC=2，EC==，EMC===故答案为：．14．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是3．，）处取得最小值，）处取得最小值x=y=15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=1，y0=2，|=2．由题意和数量积的运算可得＜•，不妨设=（，，，=，由已知可解（，|﹣（|）（x+）（由模长公式可得解：∵=||||cos•＜•=•＞，不妨设（，，==n=2，=m=，m=n=∴（，﹣（）（﹣，|﹣（|﹣x）（）（，故=2三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．由余弦定理可得：c可得sinC=，即可得出tanC=）由=×A=，∴由余弦定理可得：=．∴c b=．可得，﹣，即cosC=．=tanC=）∵=×c=2=317．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．•==0AC=2，=）（，，，﹣，，﹣，），，（﹣，﹣）（﹣，，=••=0的法向量为，得，得=的法向量为，得，得=，，＞==．18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．﹣，所以或≥||2a|19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．，可得=，代入椭圆方程，可得，则×+n=上，∴+2，∴m=|n|=，AOB=，又∵．20．（15分）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．≤可得通过﹣≥（≥，化简即得结论．（﹣，∴=2，∴≤）由已知，=a++=下面证明：≥（﹣，+=，﹣=≤≤，即当，均有≥=≥，（。
2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(浙江卷)
2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（浙江卷）一、选择题（题型注释） 1．已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则（ ）A.[0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.[1,2]2．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A.38cmB.312cmC.3323cmD.3403cm 3．已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ）A.140,0a d dS >>B.140,0a d dS <<C.140,0a d dS ><D.140,0a d dS <>4．命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（ ）A.**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n >B.**,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >C.**00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n >D.**00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >5．如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A.11BF AF -- B.2211BF AF -- C.11BF AF ++ D.2211BF AF ++6．设A ，B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =-，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集A ，B ，“A B ≠”是“ (,)0d A B >”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+，（ ）A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立，命题②不成立D.命题①不成立，命题②成立7．存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ）A.(sin 2)sin f x x =B.2(sin 2)f x x x =+ C.2(1)1f x x +=+ D.2(2)1f x x x +=+8．如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）A.A DB α'∠≤B.A DB α'∠≥C.A CB α'∠≤D.A CB α'∠≤第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）9．双曲线2212x y -=的焦距是 ，渐近线方程是 ． 10．已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3)f f -= ，()f x 的最小值是 ． 11．函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．12．若4log 3a =，则22a a -+= ．13．如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是 ．14．若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是 ．15．已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=，且对于任意,x yR ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x = ，0y = ，b = ．三、解答题（题型注释）16．（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c .（1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为7，求b 的值.17．（本题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C --中，90BAC ∠=，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.（1）证明：1A D ⊥平面1A B C ；（2）求二面角1A -BD-1B 的平面角的余弦值.18．（本题满分15分）已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]-上的最大值.（1）证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值.19．（本题满分15分）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A ，B 关于直线12y mx =+对称．（1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．20．（本题满分15分）已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ） （1）证明：112n n a a +≤≤（n ∈*N ）； （2）设数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）.参考答案1．C.【解析】由题意得，)2,0(=P C R ，∴，故选C.考点：1.解一元二次不等式；2.集合的运算.2．C.【解析】由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，如下图所示，∴体积3322231223=⨯⨯+=V ， 故选C.考点：1.三视图；2.空间几何体的体积计算.3．B.【解析】∵等差数列}{n a ，3a ，4a ，8a 成等比数列，∴d a d a d a d a 35)7)(2()3(11121-=⇒++=+， ∴d d a a a a S 32)3(2)(211414-=++=+=，∴03521<-=d d a ，03224<-=d dS ，故选B.考点：1.等差数列的通项公式及其前n 项和；2.等比数列的概念4．D.【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.考点：命题的否定5．A.【解析】11--===∆∆AF BF x x AC BC S S A B ACF BCF ，故选A. 考点：抛物线的标准方程及其性质6．A.【解析】命题①显然正确，通过如下文氏图亦可知),(C A d 表示的区域不大于),(),(C B d B A d +的区域，故命题②也正确，故选A.考点：集合的性质7．D.【解析】A ：取0=x ，可知0sin )0(sin =f ，即0)0(=f ，再取2π=x ，可知2sin )(sin ππ=f ，即1)0(=f ，矛盾，∴A 错误；同理可知B 错误，C ：取1=x ，可知2)2(=f ，再取1-=x ，可知0)2(=f ，矛盾，∴C 错误，D ：令)0(|1|≥+=t x t ， ∴1)()0()1(2+=⇔≥=-x x f t t t f ，符合题意，故选D.考点：函数的概念8．B.【解析】设ADC θ∠=，设2AB =，则由题意1AD BD ==，在空间图形中，设A B t '=， 在A CB '∆中，2222222112cos 22112A D DB AB t t A DB A D DB '+-+--'∠==='⨯⨯⨯， 在空间图形中，过A '作AN DC ⊥，过B 作BM DC ⊥，垂足分别为N ，M ， 过N 作//NP MB ，连结A P '，∴NP DC ⊥，则A NP '∠就是二面角A CD B '--的平面角，∴A NP α'∠=，在Rt A ND '∆中，cos cos DN A D A DC θ''=∠=，sin sin A N A D A DC θ'''=∠=， 同理，sin BM PN θ==，cos DM θ=，故2cos BP MN θ==，显然BP ⊥面A NP '，故BP A P '⊥，在Rt A BP '∆中，2222222(2cos )4cos A P A B BP t t θθ''=-=-=-，在A NP '∆中，222c o s c o s 2A N N P A N P A N N P α''+-'=∠='⨯2222s in si n (4c o s 2s i ns i n t θθθθθ+--=⨯222222222222cos 2cos 1cos cos 2sin 2sin sin sin sin t t A DB θθθθθθθθ+--'==+=∠+， ∵210sin θ>，22cos 0sin θθ≥，∴cos cos A DB α'≥∠（当2πθ=时取等号）， ∵α，[0,]A DB π'∠∈，而cos y x =在[0,]π上为递减函数，∴A DB α'≤∠，故选B.考点：立体几何中的动态问题9．32，x y 22±=. 【解析】 由题意得：2=a ，1=b ，31222=+=+=b a c ，∴焦距为322=c ， 渐近线方程为x x a b y 22±=±=. 考点：双曲线的标准方程及其性质10．0，3-22.【解析】0)1())3((==-f f f ，当1≥x 时，322)(-≥x f ，当且仅当2=x 时，等号成立，当1<x 时，0)(≥x f ，当且仅当0=x 时，等号成立，故)(x f 最小值为322-. 考点：分段函数11．π，]87,83[ππππk k ++，Z k ∈. 【解析】1cos 2sin 23()1)2242x x f x x π-=++=-+，故最小正周期为π，单调递减区间为 ]87,83[ππππk k ++，Z k ∈. 考点：1.三角恒等变形；2.三角函数的性质12．334. 【解析】∵3log 4=a ，∴3234=⇒=a a ，∴33431322=+=+-a a . 考点：对数的计算13．87. 【解析】如下图，连结DN ，取DN 中点P ，连结PM ，PC ，则可知PMC ∠即为异面直 线AN ，CM 所成角（或其补角）易得221==AN PM ， 31222=+=+=CN PN PC ，2222=-=AM AC CM ， ∴872222328cos =⨯⨯-+=∠PMC ，即异面直线AN ，CM 所成角的余弦值为87.考点：异面直线的夹角.14．3.【解析】122≤+y x 表示圆122=+y x 及其内部，易得直线y x 36--与圆相离，故 y x y x 36|36|--=--，当022≥-+y x 时，2263=24x y x y x y +-+---+， 如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数42+-=y x z ，则可知当53=x ，54=y 时， 3min =z ，当022<-+y x 时，2263=834x y x y x y +-+----，可行域为大的弓形 内部，目标函数y x z 438--=，同理可知当53=x ，54=y 时，3min =z ，综上所述， |36||22|y x y x --+-+.考点：1.线性规划的运用；2.分类讨论的数学思想；3.直线与圆的位置关系 15．1，2，22.【解析】问题等价于12()b xe ye -+当且仅当0x x =，0y y =时取到最小值1，两边平方即 xy y x y x |b |+--++5422在0x x =，0y y =时，取到最小值1，2245|b|x y x y xy ++--+22(4)5||x y x y b =+--+22243()(2)7||24y x y b -=++--+，∴⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-=-+22||211||702024002000y x y y x . 考点：1.平面向量的模长；2.函数的最值 16．（1）2；（2）3b =. 【解析】（1）根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系，再将式子作三角恒等变形即可求解；（2）根据条件首先求得sin B 的值，再结合正弦定理以及三角 形面积的计算公式即可求解.试题解析：（1）由22212b a c -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=， ∴2cos 2sin B C -=，又由4A π=，即34B C π+=，得co s 2s i n 22s i n c o s B C C C-==，解得tan 2C =；（2）由tan 2C =，(0,)C π∈得sin C =cos C =， 又∵sin sin()sin()4B AC C π=+=+，∴sin B =，由正弦定理得c =， 又∵4A π=，1sin 32bcA =，∴bc =，故3b =.考点：1.三角恒等变形；2.正弦定理. 17．（1）详见解析；（2）18-. 【解析】（1）根据条件首先证得AE ⊥平面1A BC ，再证明1//A D AE ，即可得证；（2） 作1A F BD ⊥，且1A FBD F =，可证明11A FB ∠为二面角11A BD B --的平面角，再由余弦定理即可求得111cos 8A FB ∠=-，从而求解. 试题解析：（1）设E 为BC 的中点，由题意得1A E ⊥平面ABC ，∴1A E A E ⊥，∵AB AC =，∴AE BC ⊥，故AE ⊥平面1A BC ，由D ，E 分别11B C ，BC 的中点，得1//DE B B 且1DE B B =，从而1//DE A A ，∴四边形1A AED 为平行四边形，故1//A D AE ，又∵AE ⊥平面11A BC ，∴1A D ⊥平面11A BC ；（2）作1A F BD ⊥，且1A F BD F =，连结1B F ，由AE EB ==1190A EA A EB ∠=∠=，得114AB A A ==，由11A D B D =， 11A B B B =，得11A DB B DB ∆≅∆，由1A F BD ⊥，得1B F BD ⊥，因此11A FB ∠为二面角11A BD B --的平面角，由1A D =14A B =，190DA B ∠=，得BD =1143A F B F ==，由余弦定理得，111cos 8A FB ∠=-.考点：1.线面垂直的判定与性质；2.二面角的求解 18．（1）详见解析；（2）3. 【解析】（1）分析题意可知()f x 在[1,1]-上单调，从而可知(,)max{|(1)|,|(1)|}M a b f f =-，分类讨论a 的取值范围即可求解.；（2）分析题意可知 ||,0||||||,0a b ab a b a b ab +≥⎧+=⎨-<⎩，再由(,)2M a b ≤可得|1||(1)|2a b f ++=≤， |1||(1)|2a b f -+=-≤，即可得证.试题解析：（1）由22()()24a a f x x b =++-，得对称轴为直线2ax =-，由||2a ≥，得||12a-≥，故()f x 在[1,1]-上单调，∴(,)max{|(1)|,|(1)|}M a b f f =-，当2a ≥时，由 (1)(1)24f f a --=≥，得max{(1),(1)}2f f -≥，即(,)2M a b ≥，当2a ≤-时，由(1)(1)24f f a --=-≥，得m a x {(1),(1)}2f f--≥，即(,)2M ab ≥，综上，当||2a ≥时， (,)2M a b ≥；（2）由(,)2M a b ≤得|1||(1)|2a b f ++=≤，|1||(1)|2a b f -+=-≤，故||3a b +≤，||3a b -≤，由||,0||||||,0a b a b a b a b ab +≥⎧+=⎨-<⎩，得||||3a b +≤，当2a =，1b =-时，||||3a b +=，且2|21|x x +-在[1,1]-上的最大值为2，即(2,1)2M -=，∴||||a b +的最大值为3..考点：1.二次函数的性质；2.分类讨论的数学思想. 19．（1）m <m >（2.【解析】（1）可设直线AB 的方程为1y x b m =-+，从而可知22121x y y x bm ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩有两个不同的解，再由AB 中点也在直线上，即可得到关于m 的不等式，从而求解；（2）令1t m=，可 将AOB ∆表示为t 的函数，从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值，从而求解.试题解析：（1）由题意知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m =-+，由22121x y y x bm ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222112()102b x x b m m +-+-=，∵直线1y x b m =-+与椭圆2212x y +=有两 个不同的交点，∴224220b m ∆=-++>，①，将AB 中点2222(,)22mb m b M m m ++代入直线 方程12y mx =+解得2222m b m +=-，②。
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2015年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P＝{x|x2﹣2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q＝（）A．[0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．[1，2]2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞04．（5分）（2015•浙江）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nB．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n05．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A．B．C．D．6．（5分）（2015•浙江）设A，B是有限集，定义：d（A，B）＝card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立7．（5分）（2015•浙江）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）＝sin x B．f（sin2x）＝x2+xC．f（x2+1）＝|x+1|D．f（x2+2x）＝|x+1|8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线﹣y2＝1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）＝，则f（f（﹣3））＝，f（x）的最小值是．11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）＝sin2x+sin x cos x+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）（2015•浙江）若a＝log43，则2a+2﹣a＝．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，＝1（x0，y0∈R），则x0＝，y0＝，|＝．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝，b2﹣a2＝c2．（1）求tan C的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y＝mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n}满足a1＝且a n+1＝a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P＝{x|x2﹣2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q＝（）A．[0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．[1，2]【分析】求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．【解答】解：由P中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P＝（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁R P＝（0，2），∵Q＝（1，2]，∴（∁R P）∩Q＝（1，2），故选：C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2＝．故选：C．【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞0【分析】由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，则a3＝a1+2d，a4＝a1+3d，a8＝a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，＝＜0．故选：B．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．4．（5分）（2015•浙江）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nB．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A．B．C．D．【分析】根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．【解答】解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x＝﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于D，交y轴于M，由抛物线的定义知BF＝BD，AF＝AE，则|BM|＝|BD|﹣1＝|BF|﹣1，|AN|＝|AE|﹣1＝|AF|﹣1，则＝＝＝，故选：A．【点评】本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．6．（5分）（2015•浙江）设A，B是有限集，定义：d（A，B）＝card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立【分析】命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．【解答】解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card（A ∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命题①成立，命题②，d（A，B）＝card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）＝card（B∪C）﹣card （B∩C），∴d（A，B）+d（B，C）＝card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B∩C）＝[card（A∪B）+card（B∪C）]﹣[card（A∩B）+card（B∩C）]≥card（A∪C）﹣card（A∩C）＝d（A，C），故命题②成立，故选：A．【点评】本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分）（2015•浙江）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）＝sin x B．f（sin2x）＝x2+xC．f（x2+1）＝|x+1|D．f（x2+2x）＝|x+1|【分析】利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．【解答】解：A．取x＝0，则sin2x＝0，∴f（0）＝0；取x＝，则sin2x＝0，∴f（0）＝1；∴f（0）＝0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）＝sin x；B．取x＝0，则f（0）＝0；取x＝π，则f（0）＝π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x＝1，则f（2）＝2，取x＝﹣1，则f（2）＝0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令x+1＝t，则f（x2+2x）＝|x+1|，化为f（t2﹣1）＝|t|；令t2﹣1＝x，则t＝±；∴；即存在函数f（x）＝，对任意x∈R，都有f（x2+2x）＝|x+1|；∴该选项正确．故选：D．【点评】本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α【分析】解：画出图形，分AC＝BC，AC≠BC两种情况讨论即可．【解答】解：①当AC＝BC时，∠A′DB＝α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α＝∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线﹣y2＝1的焦距是2，渐近线方程是y＝±x．【分析】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．【解答】解：双曲线＝1中，a＝，b＝1，c＝，∴焦距是2c＝2，渐近线方程是y＝±x．故答案为：2；y＝±x．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）＝，则f（f（﹣3））＝0，f（x）的最小值是．【分析】根据已知函数可先求f（﹣3）＝1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x≥1时，f（x）＝，当x＜1时，f（x）＝lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解【解答】解：∵f（x）＝，∴f（﹣3）＝lg10＝1，则f（f（﹣3））＝f（1）＝0，当x≥1时，f（x）＝，即最小值，当x＜1时，x2+1≥1，f（x）＝lg（x2+1）≥0最小值0，故f（x）的最小值是．故答案为：0；．【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）＝sin2x+sin x cos x+1的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）＝sin（2x﹣）+，易得最小正周期，解不等式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间．【解答】解：化简可得f（x）＝sin2x+sin x cos x+1＝（1﹣cos2x）+sin2x+1＝sin（2x﹣）+，∴原函数的最小正周期为T＝＝π，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）故答案为：π；[kπ+，kπ+]（k∈Z）【点评】本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．12．（4分）（2015•浙江）若a＝log43，则2a+2﹣a＝．【分析】直接把a代入2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．【解答】解：∵a＝log43，可知4a＝3，即2a＝，所以2a+2﹣a＝+＝．故答案为：．【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．【分析】连结ND，取ND的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC通过解三角形，求解即可．【解答】解：连结ND，取ND的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM 所成的角就是∠EMC，∵AN＝2，∴ME＝＝EN，MC＝2，又∵EN⊥NC，∴EC＝＝，∴cos∠EMC＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是3．【分析】根据所给x，y的范围，可得|6﹣x﹣3y|＝6﹣x﹣3y，再讨论直线2x+y﹣2＝0将圆x2+y2＝1分成两部分，分别去绝对值，运用平移即可得到最小值．【解答】解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|＝6﹣x﹣3y，如图直线2x+y﹣2＝0将圆x2+y2＝1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2x+y﹣2|＝2x+y﹣2，此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|＝（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）＝x﹣2y+4，利用平移可得在A（，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，即|2x+y﹣2|＝﹣（2x+y﹣2），此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|＝﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）＝8﹣3x﹣4y，利用平移可得在A（，）处取得最小值3．综上可得，当x＝，y＝时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3．故答案为：3．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，＝1（x0，y0∈R），则x0＝1，y0＝2，|＝2．【分析】由题意和数量积的运算可得＜•＞＝，不妨设＝（，，0），＝（1，0，0），由已知可解＝（，，t），可得|﹣（|2＝（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意可得当x＝x0＝1，y＝y0＝2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，由模长公式可得．【解答】解：∵•＝||||cos＜•＞＝cos＜•＞＝，∴＜•＞＝，不妨设＝（，，0），＝（1，0，0），＝（m，n，t），则由题意可知＝m+n＝2，＝m＝，解得m＝，n＝，∴＝（，，t），∵﹣（）＝（﹣x﹣y，，t），∴|﹣（）|2＝（﹣x﹣y）2+（）2+t2＝x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7＝（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意当x＝x0＝1，y＝y0＝2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，此时t2＝1，故＝＝2故答案为：1；2；2【点评】本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝，b2﹣a2＝c2．（1）求tan C的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．【分析】（1）由余弦定理可得：，已知b2﹣a2＝c2．可得，a＝．利用余弦定理可得cos C．可得sin C＝，即可得出tan C ＝．（2）由＝×＝3，可得c，即可得出b．【解答】解：（1）∵A＝，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2＝bc﹣c2，又b2﹣a2＝c2．∴bc﹣c2＝c2．∴b＝c．可得，∴a2＝b2﹣＝，即a＝．∴cos C＝＝＝．∵C∈（0，π），∴sin C＝＝．∴tan C＝＝2．或由A＝，b2﹣a2＝c2．可得：sin2B﹣sin2A＝sin2C，∴sin2B﹣＝sin2C，∴﹣cos2B＝sin2C，∴﹣sin＝sin2C，∴﹣sin＝sin2C，∴sin2C＝sin2C，sin C≠0，cos C≠0．∴tan C＝2．（2）∵＝×＝3，解得c＝2．∴＝3．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．【分析】（1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过•＝•＝0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．【解答】（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．则BC＝AC＝2，A1O＝＝，易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），＝（0，﹣，0），＝（﹣，﹣，），＝（﹣，0，0），＝（﹣2，0，0），＝（0，0，），∵•＝0，∴A1D⊥OA1，又∵•＝0，∴A1D⊥BC，又∵OA1∩BC＝O，∴A1D⊥平面A1BC；（2）解：设平面A1BD的法向量为＝（x，y，z），由，得，取z＝1，得＝（，0，1），设平面B1BD的法向量为＝（x，y，z），由，得，取z＝1，得＝（0，，1），∴cos＜，＞＝＝＝，又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．【点评】本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．【分析】（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论a＝b＝0以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．【解答】解：（1）由已知可得f（1）＝1+a+b，f（﹣1）＝1﹣a+b，对称轴为x＝﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，所以M（a，b）＝max{|f（1），|f（﹣1）|}＝max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M（a，b）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|＝|a|≥2；（2）当a＝b＝0时，|a|+|b|＝0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2，得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，﹣2≤≤2，易知（|a|+|b|）max＝max{|a﹣b|，|a+b|}＝3，在b＝﹣1，a＝2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．【点评】本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用绝对值不等式变形．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y＝mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．【分析】（1）由题意，可设直线AB的方程为x＝﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y＝mx+，可得，代入△＞0，即可解出．＝，再利用均值不等（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB式即可得出．【解答】解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x＝﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△＝4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）＝8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0＝﹣m×+n＝，由于点P在直线y＝mx+上，∴＝+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，＝＝|n|•＝，∴S△OAB由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）＝，＝，当且仅当n2＝m2﹣n2+2，即2n2＝m2+2，又∵，∴S△AOB解得m＝，取得最大值为．当且仅当m＝时，S△AOB【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n}满足a1＝且a n+1＝a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．【分析】（1）通过题意易得0＜a n≤（n∈N*），利用a n﹣a n+1＝可得＞1，利用＝＝≤2，即得结论；（2）通过＝a n﹣a n+1累加得S n＝a1﹣a n+1，对a n+1＝a n﹣a n2两边同除以a n+1a n采用累积法可求出a n+1的范围，从而得出结论．【解答】证明：（1）由题意可知：a n+1﹣a n＝﹣a n2≤0，即a n+1≤a n，故a n≤，1≤．由a n＝（1﹣a n﹣1）a n﹣1得a n＝（1﹣a n﹣1）（1﹣a n﹣2）…（1﹣a1）a1＞0．所以0＜a n≤（n∈N*），又∵a2＝a1﹣＝，∴＝＝2，又∵a n﹣a n+1＝，∴a n＞a n+1，∴＞1，∴＝＝≤2，∴1≤≤2（n∈N*），综上所述，1＜≤2（n∈N*）；（2）由已知，＝a n﹣a n+1，＝a n﹣1﹣a n，…，＝a1﹣a2，累加，得S n＝++…+＝a1﹣a n+1，①由a n+1＝a n﹣a n2两边同除以a n+1a n得，和1≤≤2，得1≤≤2，累加得1+1+...1≤+﹣+...+﹣≤2+2+ (2)所以n≤﹣≤2n，因此≤a n+1≤（n∈N*）②，由①②得≤（n∈N*）．【点评】本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。