2018年江苏省高一下学期期中考试数学试题6
江苏省镇江市2018-2019学年高一下学期期中数学试题及答案word
高一数学注意事项：1. 本试卷由选择题、填空题和解答题三部分组成，满分150分，考试时间为120分钟.2. 答题前，请您务必将自己的学校、姓名、考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔已填写在答题卡上规定的地方.3. 答题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上用2B 铅笔把正确答案的字母按要求涂黑.1.在平行四边形ABCD 中，AB AD +u u u r u u u r等于（ ）A. AC u u u rB. CA u u u rC. BD u u u rD. DB uuu r2.复数32z i =-（i 是虚数单位）的虚部是（ ） A. 2i -B. 2iC. -2D. 33.在ABC ∆中，3AC =，1AB =，120A ∠=︒，则BC 的长度为（ ）A.B. C. D. 44.下列四个命题中，错误的是（ ） A. 若a b >，c d <，则a c b d ->-； B. 若0a b >>，0c d <<，则ac bd <；C. 若a b >；D. 若a b >，则a b >.5.已知1x >-，则41x x ++的最小值是（ ） A. 1B. 3C. 4D. 56.已知向量()2,0AB =uu u r ，(AC =-u u u r ，则向量BC u u u r 与AC u u u r 夹角为（ ）A.6πB.3π C.23π D.56π 7.不等式26x x -<的解集为（ ） A. RB. ()2,3-C. ()3,2-D. ()1,6-8.如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A. 120kmB. 606kmC. 605kmD. 603km二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置横线上.9.已知()6,2A ，()2,4B --，若AC CB =u u u ru u u r，则点C 的坐标为______. 10.命题“x R ∃∈，320x +=”的否定是______.11.已知复数()()321m m i -+-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围是______. 12.在ABC ∆中，3A π=，12a =，则sin sin sin a b cA B C++=++______.13.与向量()6,8a =r方向相同的单位向量的坐标是______.14.已知()29f x x tx =-+，若对任意[]1,5x ∈，不等式()0f x ≥恒成立，则实数t 的最大值为______.15.已知向量a r ，b r满足1a =r ，6a b -=r r ，)3,1a b +=-r r ，则b =r______.16.已知向量a r表示“向正东方向走10米”，向量b r表示“向东偏南45︒方向走5米”，向量c r表示“向正北方向走20米”，用向量a r ，b r 表示向量c =r______.三、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数z 满足()1243i z i +=+（i 是虚数单位）. 求：（1）z ； （2）2z z -.18.如图，在直角坐标系xOy 中，()1,4A -，()4,1B -，点C 在直线1x =上.（1）求向量AB u u u r的坐标；（2）若A ，B ，C 三点共线，求C 点的坐标； （3）若四边形ABCD 是矩形，求C 点和D 点的坐标.19.（1）已知,x y R ∈，证明：()()244222x y x y+≥+；（2）已知正实数x ，y 满足1x y +=，求2228x y x y+++的最小值. 20.在ABC ∆中，点D 在边AB 上，5CD =，53AC =.（1）若30ACD ∠=︒，求AD 的长； （2）若120BCA ∠=︒，且ABC ∆的面积是34，求ACD ∠的大小； （3）若CD BC ⊥，2BD AD =，求AB 的长.21.如图，在平面四边形ABCD 中，AB 与DC 不平行，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点.（1）已知EF DC AB λμ=+u u u r u u u r u u u r，求实数λ，μ的值；（2）已知4AB =，6CD =，24EF DC ⋅=u u u r u u u r，求线段EF的长度.22.某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC ，其中斜边BC 的长度为400米.为迎接“五一”观光游，欲在边界BC 上选择一点P ，修建观赏小径PM ，PN ，其中M ，N 分别在边界AB ，AC 上，小径PM ，PN 与边界BC 的夹角都为60︒.区域PMB 和区域PNC 内种植郁金香，区域AMPN 内种植月季花.（1）探究：观赏小径PM 与PN 的长度之和是否为定值？请说明理由；（2）为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN ，当P 点在何处时，三条小径(),,PM PN MN 的长度和最小？（3）求郁金香区域面积和的最小值.高一数学注意事项：1. 本试卷由选择题、填空题和解答题三部分组成，满分150分，考试时间为120分钟.2. 答题前，请您务必将自己的学校、姓名、考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔已填写在答题卡上规定的地方.3. 答题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上用2B 铅笔把正确答案的字母按要求涂黑.1.在平行四边形ABCD 中，AB AD +u u u r u u u r 等于（ ）A. AC u u u rB. CA u u u rC. BD u u u rD. DB uuu r【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的平行四边形法则求解即可.【详解】因为ABCD 为平行四边形,故AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r.故选：A【点睛】本题主要考查了向量的平行四边形法则.属于基础题. 2.复数32z i =-（i 是虚数单位）的虚部是（ ） A. 2i - B. 2iC. -2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】根据虚部的定义直接判定即可.【详解】根据虚部的概念可知复数32z i =-的虚部是2-. 故选：C【点睛】本题主要考查了虚部的概念,属于基础题.3.在ABC ∆中，3AC =，1AB =，120A ∠=︒，则BC 的长度为（ ）A.B. C. D. 4【答案】C 【解析】根据余弦定理求解即可.【详解】根据余弦定理有22212cos 9123132BC AC AB AC AB A ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭.故BC 故选：C【点睛】本题主要考查了余弦定理的运用,属于基础题. 4.下列四个命题中，错误的是（ ） A. 若a b >，c d <，则a c b d ->-； B. 若0a b >>，0c d <<，则ac bd <；C. 若a b >；D. 若a b >，则a b >.【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个判定或举反例即可.【详解】对A,因为a b >,c d <,故c d ->-,故a c b d ->-成立.故A 正确.对B,因为0a b >>,0c d <<,故0c d ->->,故ac bd ->-,故ac bd <成立.故B 正确.对C,因为y =,故若a b >,成立.故C 正确.对D,举出反例,当1,2a b ==-时满足a b >,但a b >不成立.故D 错误. 故选：D【点睛】本题主要考查了不等式的性质,属于基础题. 5.已知1x >-，则41x x ++的最小值是（ ） A. 1 B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】配凑出基本不等式求解即可.【详解】因为1x >-,故10x +>,故44111311+=++-≥=++x x x x . 当且仅当411x x +=+,即1x =时取最小值3. 故选：B【点睛】本题主要考查了基本不等式的运用,属于基础题.6.已知向量()2,0AB =uu u r ，(AC =-u u u r ，则向量BC u u u r 与AC u u ur 的夹角为（ ）A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的夹角公式求解即可.【详解】因为(BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r .故向量BC u u u r 与AC u u u r 的夹角θ满足cos BC A C C C A B θ==⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r .又[]0,θπ∈,故6πθ=.故选：A【点睛】本题主要考查了利用向量坐标求解向量夹角的问题,属于基础题. 7.不等式26x x -<的解集为（ ） A. R B. ()2,3- C. ()3,2- D. ()1,6-【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的几何意义求解即可.【详解】26x x -<即266x x -<-<,故()()223206060x x x x x Rx x ⎧⎧-+<--<⇒⎨⎨∈-+>⎩⎩,解得()2,3x ∈-故选：B【点睛】本题主要考查了绝对值不等式与二次不等式的求解.属于基础题.8.如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A. 120kmB. 606kmC. 605kmD. 603km【答案】D 【解析】 【分析】先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF .【详解】取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =,又60DAE ∠=o ,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以60DE km =,60ADE ∠=o , 在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=o ,所以30EDB EBD ∠=∠=o ,所以90ADB ∠=o ,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=,所以BD =,因为9030CBE ∠=+o o 120=o ,30EBD ∠=o ,所以CBD ∠90=o ,所以240CD ===km ,所以cos 2404BD BDC CD ∠===, 因为1360904DF km =⨯=, 所以在三角形BDF 中,222222cos 902904BF BD DF BD DF BDF =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯g 10800=,所以BF =km .故一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B有. 故选D .【点睛】本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置横线上.9.已知()6,2A ，()2,4B --，若AC CB =u u u r u u u r，则点C 的坐标为______. 【答案】()2,1- 【解析】 【分析】设(),C x y 再根据AC CB =u u u r u u u r计算即可.【详解】设(),C x y ,因为AC CB =u u u r u u u r,故()()6,22,4x y x y --=----, 故622241x x x y y y -=--=⎧⎧⇒⎨⎨-=--=-⎩⎩ ,即()2,1C -.故答案为：()2,1-【点睛】本题主要考查了利用向量求解点的坐标,属于基础题. 10.命题“x R ∃∈，320x +=”的否定是______. 【答案】3,20x x R ∀+∈≠ 【解析】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题写出即可.【详解】命题“x R ∃∈,320x +=”的否定是“3,20x x R ∀+∈≠”.故答案为：3,20x x R ∀+∈≠【点睛】本题主要考查了特称命题的否定,属于基础题.11.已知复数()()321m m i -+-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围是______.【答案】2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据复数的几何意义以及对应的点的坐标列式求解即可.【详解】因为复数()()321m m i -+-在复平面内对应的点位于第四象限,故32010m m ->⎧⎨-<⎩.解得213m <<. 故答案为：2,13⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了复数的几何意义,属于基础题. 12.在ABC ∆中，3A π=，12a =，则sin sin sin a b cA B C++=++______.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理求解即可.【详解】设ABC ∆外接圆半径为R ,则根据正弦定理有()2sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin R A B C a b cR A B C A B C++++==++++1212πsin sin 3a A ===?.故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用,属于基础题.13.与向量()6,8a =r方向相同的单位向量的坐标是______.【答案】34,55⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】先求解向量()6,8a =r的模长,再根据同向单位向量的公式求解即可.【详解】因为10a ==r ,故与向量()6,8a =r 方向相同的单位向量坐标是34,55a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭rr .故答案为：34,55⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了同向单位向量的求解,属于基础题.14.已知()29f x x tx =-+，若对任意[]1,5x ∈，不等式()0f x ≥恒成立，则实数t 的最大值为______.【答案】6 【解析】 【分析】参变分离可得9t x x ≤+,再根据基本不等式求9x x+在区间[]1,5x ∈上的最小值即可. 【详解】因为()0f x ≥恒成立,即2990x tx t x x -+≥⇒≤+,又[]1,5x ∈,故96x x +≥=当且仅当9x x=,即3x =时等号成立.故6t ≤,所以实数t 的最大值为6. 故答案为：6【点睛】本题主要考查了函数恒成立中求解参数最值的问题,需要参变分离用基本不等式求解.属于基础题.15.已知向量a r ，b r满足1a =r，a b -=r r，)1a b +=-r r ，则b =r______.【答案】2 【解析】 【分析】将a b -=r r 两边平方,再求)1a b +=-r r平方,消去a b ⋅r r的项再代入1a =r 即可.【详解】因a b -=r r 所以2226a a b b -⋅+=r r r r …①,又)1a b +=-r r ,所以()222+2+14a a b b ⋅+=-=r r rr …②.①+②有2222210514a b b +=⇒=-=r r r ,故2b =r .故答案为：2【点睛】本题主要考查了平面向量数量积与模长的计算等.在遇到有和差等的模长时,经常平方模长进行运算,属于基础题.16.已知向量a r 表示“向正东方向走10米”，向量b r表示“向东偏南45︒方向走5米”，向量c r 表示“向正北方向走20米”，用向量a r ，b r 表示向量c=r______. 【答案】2a -r 【解析】 【分析】画图根据向量的运算法则求解即可.【详解】如图,过c r 的终点A 作a r的平行线AB 交b r的反向延长线OB 于B ,易得OAB ∆为直角三角形.且20,OA AB ==OB =故c OB BA =+r u u u r u u u r. 又5b =r ,故OB =-u u u r ,10a =r ,故2BA a =u u u r r .故2c OB BA a =+=-r u u u r u u u r r .故答案为：242a b -r【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算方法,需要画图利用几何知识构造三角形进行求解.属于基础题.三、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数z 满足()1243i z i +=+（i 是虚数单位）. 求：（1）z ； （2）2z z -.【答案】(1) 2i -；(2) 26【解析】 【分析】 (1)易得4312iz i+=+,再利用复数的除法运算即可. (2)由(1)分别求得2,z z 再计算2z z -求模长即可.【详解】(1)由题()()()()43124310521212125i i i iz i i i i +-+-====-++-.即2z i =- (2)由(1)2z i =-,故()()222215z z i i i -=--+=-,故()2221526z z -=+-=即226z z -=【点睛】本题主要考查了复数的四则运算与模长的计算等.属于基础题. 18.如图，在直角坐标系xOy 中，()1,4A -，()4,1B -，点C 在直线1x =上.（1）求向量AB u u u r的坐标；（2）若A ，B ，C 三点共线，求C 点的坐标； （3）若四边形ABCD 是矩形，求C 点和D 点的坐标. 【答案】(1)()3,3--;(2) ()1,6C ;(3) ()1,4C -,()4,1D - 【解析】 【分析】(1)根据向量坐标的计算求解即可.(2)设()1,C c 再根据三点共线列式求解即可.(3)根据四边形ABCD 是矩形可知AB BC ⊥,即可求得C .再设(),D x y 根据BA CD =u u u r u u u r求解即可.【详解】(1) 因为()1,4A -,()4,1B -,故()()()41,143,3AB =----=--u u u r.(2) 设()1,C c ,因为A ,B ,C 三点共线,故,AB AC R λλ=∈u u u r u u u r,即()()3,32,4c λ--=-,故()3232436c c λλλ⎧=-⎧=-⎪⇒⎨⎨-=-⎩⎪=⎩,故()1,6C(3) 设()1,C c ,因为四边形ABCD 是矩形,故AB BC ⊥u u u r u u u r,即()()3,35,10c --⋅-=,解得4c =-,故()1,4C -.设(),D x y ,则因为BA CD =u u u r u u u r,所以()()3,31,4x y =-+,解得4,1x y ==-.故()4,1D -. 所以()1,4C -,()4,1D -【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算,属于基础题.19.（1）已知,x y R ∈，证明：()()244222x y x y+≥+；（2）已知正实数x ，y 满足1x y +=，求2228x y x y+++的最小值. 【答案】(1)证明见解析；(2)19 【解析】 【分析】(1)利用作差法证明即可.(2)化简2228x y x y+++利用1x y +=构造基本不等式证明即可. 【详解】(1)证明：因为()()()224422442222220x y x y x y x y x y ==+---+≥+.故()()244222x y x y +≥+(2) 因为1x y +=,所以()222828281x y x y x y x y x y x y ⎛⎫+++=+++=+++ ⎪⎝⎭28281111219y x y xx y x y=++≥+⋅=,当且仅当28y x x y = 即2y x =,12,33x y ==时等号成立. 故2228x y x y+++的最小值为19. 【点睛】本题主要考查了利用作差法证明不等式以及基本不等式中“1的变换”方法.属于中档题. 20.在ABC ∆中，点D 在边AB 上，5CD =，53AC =.（1）若30ACD ∠=︒，求AD 的长； （2）若120BCA ∠=︒，且ABC ∆的面积是34，求ACD ∠的大小； （3）若CD BC ⊥，2BD AD =，求AB 的长.【答案】(1) 5AD =；(2) 90ACD ∠=︒或30°；(3) 15AB =【解析】 【分析】(1)在ADC ∆中利用余弦定理求解即可.(2)根据ABC ∆的面积是4即可求得BC =可得ABC ∆为等腰三角形,故30A ∠=︒,再在ADC ∆中利用正弦定理求解ADC ∠,再求ACD ∠即可.(3) 设22BD AD x ==,再根据CD BC ⊥可知5cos 2CDB x ∠=,5cos 2CDA x∠=-, 再在ADC ∆中利用余弦定理求解x 即可.【详解】(1) 在ADC ∆中, 2222cos AD CA CD CA CD ACD =+-⋅∠,即27525252AD =+-=,解得5AD =.(2)因为ABC ∆,故11sin 22AC BC BCA BC ⋅⋅∠=⇒⋅=解得BC =又AC BC ==120BCA ∠=︒.故180120302A ︒-︒∠==︒.在ADC ∆中有sin sin sin sin AC CD AC CAD ADC ADC CAD CD ⋅∠=⇒∠==∠∠. 又()0,180ADC ∠∈︒︒,故60ADC ∠=︒或120ADC =∠︒. 当60ADC ∠=︒时, 180306090ACD ∠=︒-︒-︒=︒, 当120ADC =∠︒时, 1803012030ACD ∠=︒-︒-︒=︒. 故90ACD ∠=︒或30ACD ∠=︒.(3)设22BD AD x ==,因为CD BC ⊥,故5cos 2CDB x ∠=,所以5cos 2CDA x∠=-, 在ADC ∆中有2222cos AC AD CD DA CD ADC =+-⋅∠,即225752510252x x x x ⎛⎫=+-⋅-⇒= ⎪⎝⎭,即5x =.故315AB x ==【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用,需要根据题意分析边角关系,进而利用公式进行求解.属于中档题.21.如图，在平面四边形ABCD 中，AB 与DC 不平行，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点.（1）已知EF DC AB λμ=+u u u r u u u r u u u r，求实数λ，μ的值；（2）已知4AB =，6CD =，24EF DC ⋅=u u u r u u u r，求线段EF 的长度. 【答案】(1) 11,22λμ==；(2) 19【解析】 【分析】(1)根据E ,F 分别是边AD ,BC 的中点有ED EA =-u u u r u u u r ,FC FB =-u u u r u u u r,再用上下两个四边形的向量关系表达EF u u u r相加即可.(2)由(1)有1122EF DC AB =+u u u r u u u r u u u r ,再将24EF DC ⋅=u u u r u u u r 利用,DC AB u u u r u u u r 表达,进而得出12AB DC ⋅=u u u r u u u r ,再平方1122EF DC AB =+u u u r u u u r u u u r 代入12AB DC ⋅=u u u r u u u r与4AB =,6CD =求解即可.【详解】(1)因为E ,F 分别是边AD ,BC 的中点,故ED EA =-u u u r u u u r ,FC FB =-u u ur u u u r .又EF ED DC CF =++u u u r u u u r u u u r u u u r …①, EF EA AB BF =++u u u r u u u r u u u r u u u r…②,①+②可得2EF DC AB =+u u u r u u u r u u u r ,故1122EF DC AB =+u u u r u u u r u u u r .故11,22λμ==.(2) 由(1)有1122EF DC AB =+u u u r u u u r u u u r ,故24EF DC ⋅=u u u r u u u r 有112422DC AB DC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r ,故2112448 22DC ABDC DC AB DC⎛⎫+⋅=⇒+⋅=⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,又6CD=,故12AB DC⋅=u u u r u u u r.又1122EF DC AB=+u u u r u u u r u u u r,故()()222211244EF DC AB DC DC AB AB=+=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r即()213621216=194EF=+⋅+u u u r,故EF长为19.【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算,包括基底向量的用法以及向量数量积与模长的综合运用,属于中档题.22.某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC，其中斜边BC的长度为400米.为迎接“五一”观光游，欲在边界BC上选择一点P，修建观赏小径PM，PN，其中M，N分别在边界AB，AC上，小径PM，PN 与边界BC的夹角都为60︒.区域PMB和区域PNC内种植郁金香，区域AMPN内种植月季花.（1）探究：观赏小径PM与PN的长度之和是否为定值？请说明理由；（2）为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN，当P点在何处时，三条小径(),,PM PN MN的长度和最小？（3）求郁金香区域面积和的最小值.【答案】(1)PM与PN的长度之和为定值)40031；(2)当P点MN的中点位置时,三条小径(),,PM PN MN的长度和最小为)60031；(3) (2000033【解析】【分析】(1)在BPM∆和CPN∆中分别利用正弦定理即可求得PM与PN的长度之和.(2)在PMN∆中利用MN边的余弦定理,再根据两边的积与和的基本不等式求解即可.(3)根据(1)可得)1PM PB =,)1PN PC =,进而表达出BPM S ∆与CPN S ∆,并利用PB PC BC+=为定值,利用基本不等式求解即可.【详解】(1) 在BPM ∆中,易得180456075BMP ∠=︒-︒-︒=︒,故由正弦定理可得sin sin PM PBB BMP=∠∠,即)sin 451sin 75PB PM PB PB ︒⋅===︒.同理)1PN PC =.故)()1PM PN PC PB +=+))14001BC ==为定值.(2) 在PMN ∆中,由余弦定理可得2222cos60MN PM PN PM PN =+-⋅︒ 即()()()2222334PM PN MN PM PN PM PN PM PN +=+-⋅≥+-⨯,所以()224PM PN MN +≥,2PM PNMN +≥.又由(1)有)4001PM PN +=,故)2001MN ≥,当且仅当)2001PM PN ==时等号成立.故当P 点MN 的中点位置时,三条小径(),,PM PN MN的长度和最小为)6001.(3)由(1)有)1PM PB =,故)21sin 6012BPM S PB PM PB ∆=⋅⋅⋅︒=.同理)214CPN S PC ∆=.故)()()22231++244BPM CPN S S PB PC PB PC PB PC ∆∆⎡⎤+=⋅=-⋅⎣⎦()())2222++2+4PB PC PB PC PB PC BC ⎤≥-⋅==⎥⎢⎥⎣⎦(200003=-.当且仅当200PB PC ==时取得最小值(200003【点睛】本题主要考查了解三角形中的面积公式运用,同时也考查了基本不等式在解三角形中的应用,需要根据题意利用边长表达所求的量,再分析和与积的关系选用合适的基本不等式进行求解.属于难题.。
江苏省南京市2017-2018学年高一数学下学期期中试题.pdf
3n 1
．
2
…………… 1 4 分
18．（本题满分 16 分）
解：（ 1） f x sin x cosx 3 cos2 x
1 sin 2x 3 cos2x 3 sin 2 x
3
2
2
2
32
．．．．．．．．．．．．．．．． 4 分
由0 x
得，
2x
4
3
，
sin 2x
1 ．．．．．．．．．．．．． 6 分
2
由 b2
c2
a2
4
=
及
bc=20 、a=3，得
b2+c 2=41，②
2bc
5
…………… 12 分
由①、②及 b＜ c 解得 b=4， c=5．
…………… 14 分
16．（本题满分 14 分）
解：（ 1） a 1 时 log2 ( x2 4x 6) log2 3∴ x2 4 x 6 ≥ 3
∴ x2 4x 3≥ 0 ∴ x
，1 3，
∴不等式 f ( x) ≥ log 2 3 的解集为
，1 3， ；
（ 2） f ( x) 的定义域为 R 即 ax2 4ax 6 0 恒成立
①当 a 0 时，得 a 0 且 △ 16a2 24a 0 ∴ 0 a 3 2
②当 a 0 时 f ( x) log 2 6 ，显然 f ( x) 的定义域为 R 成立
截面面积为 2+ ，设半圆的半径 OC=x ，隧道横截面的周长（即矩形三边 2
长之和）为 f ( x) .
D
（ 1）求函数 f ( x) 的解析式，并求其定义域；
（ 2）问当 x 等于多少时， f (x) 有最小值？并求出最小值．
江苏省徐州市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题
江苏省徐州市2018—2019学年高一下学期期中考试数学试题2019．4一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．已知直线l 过A(1，1)、B(﹣1，3)两点，则直线l 的倾斜角的大小为 A ．6π B ．4π C ．34π D ．23π2．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为 A ．163π B ．323π C ．643π D ．2563π3．如果AC ＜0且BC ＜0，那么直线A x ＋B y ＋C ＝0不经过第几象限A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ，b ，A ＝60°，则B 的大小为 A ．6π B ．4π C ．34π D ．4π或34π5．如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1—BB 1D 1D 的体积为A ．3 B ．13 C ．6 D ．146．已知直线l 1：310ax y ++=与直线l 2：2(1)10x a y +++=互相平行，则实数a 的值为 A ．﹣3 B ．35-C ．2D ．﹣3或27．△ABC 中，∠A ＝30°，AB ，BC ＝1，则△ABC 的面积等于A B C D 8．设m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ； ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ④若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β．其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．49．一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态）．将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面所在的平面与各棱交点E ，F ，F 1，E 1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为A B ．2 C ．2 D ．9410．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 2tanB ＝b 2tanA ，则△ABC 的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形11．直线l 1：240kx y k --+=与x 轴交于点M ，直线l 2：420x ky k +--=与y 轴交于点N ，线段MN 的中点为P ，则点P 的坐标(x ，y )满足的方程为 A ．(25)(2)0x y x y +--= B ．250x y +-= C ．(24)(2)0x y x y +++= D ．240x y +-=12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足22b a ac -=，则11tan A tan B-的取值范围是A ．(1B ．(1)C ．)D ．(1，+∞) 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 13．过直线240x y -+=与50x y -+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线方程是．14．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则圆柱的体积为 ．15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝ m ．16．在△ABC 中，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，BC ＝3，则边AC 的值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本题满分10分）已知直线l 过点P(2，3)，根据下列条件分别求直线l 的方程：（1）直线l 的倾斜角等于23π； （2）直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0．18．（本题满分10分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BC ⊥AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点． （1）求证：B 1C 1∥平面A 1DE ；（2）求证：平面A 1DE ⊥平面ACC 1A 1．19．（本题满分12分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知b sinA ＝a cos(B ﹣6π)． （1）求角B 的大小；（2）设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A ﹣B)的值．20．（本题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝2AD ，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点． （1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：EF ⊥平面PDC ．21．（本题满分12分）如图，矩形ABCD 是一个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形BCDE 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在△ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头．∠MPN 为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方．经测量得知：AD ＝6米，AE ＝6米，AP ＝2米，∠MPN ＝4π．记∠EPM ＝θ(弧度)，监控摄像头的可视区域△PMN 的面积为S 平方米．（1）求S 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；（参考数据：tan 54≈3） （2）求S 的最小值．22．（本题满分14分）如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝6，AD ＝CD ＝4． （1）当四边形ABCD 内接于圆O 时，求四边形ABCD 的面积S ； （2）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线BD 的长．。
最新-【数学】江苏省新海高级中学2018学年高一下学期期中考试 精品
江苏省新海高级中学2018-2018学年第二学期期中考试高一年级数学试卷(必修)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分，共70分,请把答案直接填在答题纸的相应位置上)1. 函数232sin 3)(-⎪⎭⎫⎝⎛+=πx x f 的最小正周期为 . 2. ︒300tan = .3. 下图给出了一个算法的流程图,如果输出的结果y 是4,那么输入的x 值为 .4.已知扇形的周长为cm 324π+,其半径为cm 2,则该扇形的圆心角的弧度数为 . 5.︒︒-︒︒45cos 15cos 45sin 15sin 的值是 .6.若0cos sin >⋅αα,且0tan cos <⋅αα,则角α的终边落在第 象限.7．在ABC ∆中,设)3,2(=AB ,),,1(k AC =A ∠为直角,则实数k 的值为 .8.若向量a ，b 满足12a b == ，且a 与b 的夹角为32π，则a b += .9. 在ABC ∆中,已知D 是AB 边上的一点,若DB AD 3=,CB CA CD λ+=41则λ= .10．若向量b a ,满足:22,21,27,5=⎪⎭⎫ ⎝⎛==-b a b a ,则a 与b 的数量积为 . 11.把函数334cos 2-⎪⎭⎫⎝⎛+=πx y 的图象向左平移ϕ个单位，所得的图象对应的函数为偶函数，则ϕ的最小正值为 .开始 结束否 是 x>0y ←x+3输入xy ←x-3输出yxy OP 2PP12.若2010tan 1tan 1=-+x x ,则x x2tan 2cos 1+= .13.如图，点P 是单位圆上的一个动点，它从初始位置0P 开始沿单 位圆按逆时针方向运动角α（02πα<<）到达点1P ，然后沿单位圆逆时针方向运动6π到达点2P ，若点2P 的纵坐标为31，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-322c o s πα的值等于 . 14.函数()215sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πwx x f 的图象与直线21-=y 的交点中最近两点间的距离为3π,则函数)(x f 的最小正周期为 .二 解答题（本大题共6小题, 满分为90分,请把解答过程写在答题卡的相应位置上）15. 已知α的终边落在直线()0043≥=+x y x 上，求αsin ,cos α，tan α的值.16. 已知向量()()2,1,2,3-==b a ,).1,1(=c(1)求c b a 23-+;(2)若()b c k a //+,求实数k ;(3)设),(y x d =满足()()b acd +⊥-且5=-c d 求d .17.已知),0(),2,0(,135)cos(,552cos πβπββ∈∈-=+=a a ,求βsin 和αcos ．18.已知向量()()()1,cos ,1,sin 3,sin ,cos 2x c x b x x a ==-=,R x ∈,设()21+⋅=b a x f ,()21+⋅=c a x g ,直线()R t t x ∈=与函数()()x g x f ,的图象分别交于M 、N 两点.(Ⅰ)当c a ⊥时,求x 的集合; (2)当2π=t 时,求MN 的值;ADB C(3)求MN 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πt 时的最大值,并求取最大值时t 的值.19.某校话剧社团准备在校广场演出,广场的一端是一面墙，他们用一根长度为l 的绳子与墙围出一个等腰梯形作演出场地（如图，AB ，BC ，CD 的总长度为l ）（1）如果要求围出的演出场地中AB 与墙的夹角为给定的锐角α，问AB 的长度为何值时，围成的面积ABCD S 最大？（2）记与给定α相对应的最大面积为()S α，问α为何值时，()S α最大？20.在ABC ∆中,满足:AC AB ⊥,D 是BC 的中点.(1)若AC AB =,求AC AB 2+与AC AB +2的夹角的余弦值;(2)若O 是线段AD 上任意一点,且4,3==AC AB ,求OA OC OB OA ⋅+⋅的最小值; (3)若点P 是BC 边上一点,且2,1,2==⋅=⋅AP AB AP AC AP ,求AP AC AB ++的最小值.江苏省新海高级中学2018－2018学年度第二学期期中考试高一数学试卷答案一、填空题：（满分70分,每小题5分）1、2;2、3-；3、7；4、32π；5、21-；6、三；7、32-； 8、3； 9、43； 10、-6； 11、32π； 12、2018； 13、97-； 14、π。
江苏省常熟市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题(附解析)
江苏省常熟市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题（解析版）一、填空题：请把答案填写在答题卷相应的位置上.1.直线的倾斜角为________.【答案】【解析】【分析】将直线方程化为斜截式，利用直线斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】因为，所以，设直线的倾斜角为，则，，故答案为.【点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.2.若扇形的弧长为，圆心角为，则此扇形的半径是________.【答案】2【解析】【分析】设扇形的半径为，利用弧长公式列方程求解即可.【详解】设扇形的半径为，因为扇形的弧长为，圆心角为，所以故答案为.【点睛】本题主要考查弧长公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于简单题.3.正方体中，异面直线和所成角的余弦值是________.【答案】【解析】【分析】由，可得异面直线和所成的角，利用直角三角形的性质可得结果.【详解】因为，所以异面直线和所成角，设正方体的棱长为，则直角三角形中，，，故答案为.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题题.求异面直线所成的角的角，先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.4.两平行直线与之间的距离为________.【答案】【解析】【分析】化为，利用平行线的距离公式可得结果.【详解】化为，由平行线的距离公式可得，两平行直线与之间的距离为，故答案为.【点睛】本题主要考查两平行线的距离公式，属于基础题.利用两平行线的距离公式解题时，一定要注意两直线方程中的系数分别相等.5.过点且在两坐标轴上的截距互为倒数的直线方程为________.【答案】【解析】【分析】设直线方程为，将点代入所设方程，求出的值即可得结果.【详解】因为两坐标轴上的截距互为倒数，所以截距不为零，可设直线方程为，因为过点，所以，解得，所以，所求直线方程为，化为，故答案为.【点睛】本题主要考查直线的截距式方程及其应用，属于基础题.利用截距式方程解题时，一定要注意讨论截距是否为零.6.若将边长为的正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，则所得圆柱的侧面积为________. 【答案】【解析】【分析】由圆柱的定义可得所得圆柱的高与底面半径都是2,利用圆柱的侧面积公式可得结果.【详解】将边长为的正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的高与底面半径都是2，所以其侧面积为，故答案为.【点睛】本题主要考查圆柱的定义与侧面积公式，属于基础题.圆柱的侧面积公式为.7.已知三个不同的点，，在同一条直线上，则的值是________.【答案】【解析】【分析】由求得，利用二倍角的余弦公式可得结果.【详解】因为三个不同的点，，在同一条直线上，所以，解得，所以，故答案为.【点睛】本题主要考查三点共线的性质，以及二倍角公式的应用，属于中档题.三点共线的性质：若共线，则.8.将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的值为________.【答案】【解析】【分析】利用三角函数图象的平移变换法则求得函数的解析式，将代入即可得结果.【详解】函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数,所以,故答案为,【点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.9.在中，角，，所对的边分别为，，，，，当的面积等于时，________. 【答案】【解析】【分析】由的面积等于求得，再利用余弦定理可得结果.【详解】因为的面积等于，所以，由余弦定理可得，故答案为.【点睛】本题主要考查三角形面积公式、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.10.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，有如下四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中真命题为________（填所有真命题的序号）.【答案】①③【解析】分析：①，根据线面垂直的性质和面面平行的定义判断命题正确；②，根据线面、面面垂直的定义与性质判断命题错误；③，根据线面平行的性质与面面垂直的定义判断命题正确；④，根据线面、面面平行与垂直的性质判断命题错误．详解：对于①，当l⊥α，l⊥β时，根据线面垂直的性质和面面平行的定义知α∥β，①正确；对于②，l⊥α，α⊥β时，有l∥β或l⊂β，∴②错误；对于③，l∥α，l⊥β时，根据线面平行的性质与面面垂直的定义知α⊥β，∴③正确；对于④，l∥α，α⊥β时，有l⊥β或l∥β或l⊂β或l与β相交，∴④错误．综上，以上真命题为①③．故答案为：①③点睛：（1）本题主要考查空间线面位置关系的判断证明，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力. (2)类似这种位置关系的判断题，可以举反例或者简单证明，这两种方法要灵活选择.11.点到直线的距离的最大值为________.【答案】【解析】【分析】先判断过定点，可得点到直线的距离的最大值就是点与点的距离，从而可得结果.【详解】化简可得，由，所以过定点，点到直线的距离的最大值就是点与点的距离为，故答案为.【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两点间距离公式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题.转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本解法将求最大值的问题转化成了两点间的距离的问题来解决，转化巧妙.12.如图，在边长为2的正方体中，为楼的中点，则二面角的正切值是________.【答案】【解析】【分析】作与连接，可证明，就是二面角的平面角，利用直角三角形的性质可得结果.【详解】作与，可得，连接，因为平面，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以，就是二面角的平面角，，故答案为.【点睛】求线面角的两种方法：1、传统法，根据图形正确作出线面角是解决问题的关键，但这要求学生必须具有较强的空间想象能力，同时还应写出必要的作、证、算过程；2、向量法，对于特殊的几何体，如长方体、正方体等当比较容易建立空间直角坐标系时，也可采用向量法求解.13.在正三楼柱中，，，点为侧棱上的一个动点，当最小时，三棱锥的体积为________.【答案】【解析】【分析】将平面与平面展开到一个平面（），连接交于，则此时最小，判断为的中点，利用结合棱锥的体积公式可得结果.【详解】将平面与平面展开到一个平面（），如图连接交于，则此时最小，由，可得是的中点，因为是正三棱柱，所以平面平面，所以到的距离就是到平面的距离，即到平面的距离为，所以，故答案为,【点睛】解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，空间几何体的性质与平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法解答.14.已知关于的方程在区间上共有个互不相同的实数根，当取得最小值时，实数的取值集合为________.【答案】【解析】分析】画出在的图象，设，则，作出的图象，分类讨论，分别根据图象判断解的情况，求出每种情况下不同实数根和的值，从而可得结果.【详解】原式化为，画出在的图象，如图，设，则，作出的图象如图，由图象可知，，当时，，由的图象可知的两个解关于对称，；当时，在上有两个解，分别有两个关于对称的两个根，；当时，或，有的解，的解为，当时，在上只有一个解，有4个解，关于对称，；当时，，有的解，，综上所述，取得最小值时，，实数的为或2，故答案为.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质、简单的三角方程，考查了数形结合思想以及分类讨论思想的应用，属于难题. 分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，位置的变化需要分类讨论的.二、解答题：请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15.如图，在斜三棱柱中，，，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）若，求证：.【答案】（1）见证明；（2）见证明【解析】【分析】（1）连结，，由三角形中位线定理可得，根据线面平行的判定定理可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得，结合由线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的性质可得结论.【详解】（1）连结，，因为斜三棱柱，所以四边形为平行四边形，由平行四边形性质得点也是中点，因为点是的中点，所以，又平面，平面，所以平面.（2）连结，因为，点是的中点，所以，又，，平面，平面，所以平面，因为平面，所以.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质，属于中档题.证明线面平行的常见方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.16.已知在中，内角，，.所对的边分别为，，，且满足. （1）求的值；（2）若，，求值.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）由，利用正弦定理可得，再利用余弦定理可得，从而可得结果；（2）由，利用同角三角函数的关系求得的值，结合（1）利用诱导公式以及两角和的正弦公式可求得的值，再由正弦定理可得结果.【详解】（1）因为，所以由正弦定理，可得，即有，在中，由余弦定理得，将代入上式，得，因为，所以.（2）由，，得，所以，所以由正弦定理得.【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．17.已知函数（其中），且.（1）求的值，并求在上的值域；（2）若在上有且只有一个零点，，求的取值范围.【答案】（1）；值域为（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，由可得，利用正弦函数的图象与性质可得结果；（2）求得，利用，解不等式可得结果.【详解】（1），所以，当时，，，所以的值域为.（2），当时，，要使函数有且只有一个零点，则，解得.【点睛】三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．18.如图，平面平面，四边形是边长为4的正方形，，是的中点.（1）在图中作出并指明平面和平面交线；（2）求证：；（3）当时，求与平面所成角的正切值.【答案】（1）见解析；（2）见证明；（3）.【解析】【分析】（1）延长与交于点，连接，直线即为所求交线；（2）由正方形的性质可得，由面面垂直的性质可得，平面，再由线面垂直的性质可得结果；（3）过点作于点，连接，由面面垂直的性质可得平面.则即为与平面所成的角，利用直角三角形的性质可得结果.【详解】（1）如图1，延长与交于点，连接，直线即为所求交线.（2）因为四边形是正方形，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.（3）如图2，过点作于点，连接，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面.所以即为与平面所成的角，在中，，，，所以，，从而，，在中，，所以.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质，以及面面垂直的性质，线面角的求法，属于中档题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.19.国家边防安全条例规定：当外轮与我国海岸线的距离小于或等于海里时，就会被警告.如图，设，是海岸线上距离海里的两个观察站，满足，一艘外轮在点满足，.（1），满足什么关系时，就该向外轮发出警告令其退出我国海域？（2）当时，间处于什么范围内可以避免使外轮进入被警告区域？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设外轮到我国海岸线的距离为海里，先由正弦定理求得，再利用直角三角形的性质可得，根据即可得结果；（2）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，然后解不等式，进而可得结果.【详解】（1）设外轮到我国海岸线的距离为海里，在中，，由正弦定理得，所以，在中，，当，即时，就该向外轮发出警告，今其退出我国海域.（2）当时，，要使不被警告，则，即，解得，所以，即，又因为，所以.当时可以避免使外轮进入被警告区域.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用以及二倍角公式与辅助角公式的应用，属于综合题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下四种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.20.已知直线，，，记，，.（1）当时，求原点关于直线的对称点坐标；（2）在中，求边上中线长的最小值；（3）求面积的取值范围.【答案】（1）（2）最小值为.（3）【解析】【分析】（1）当时，直线，设原点关于的对称点为，利用斜率与中点坐标公式列方程求解即可；（2）先证明，可得为直角三角形，则中线长为，再求得与的交点，与的交点，利用两点间的距离公式，结合二次函数的性质可得结果；（3）求得与交点的坐标，可得，再求得点到距离，则三角形面积，分类讨论，利用基本不等式可得结果.【详解】（1）当时，直线，设原点关于的对称点为，则解得故所求点的坐标为.（2）法一：由，得，故为直角三角形，且为斜边，中线长为，由，得与的交点，由，得与的交点，故中线长，即当时，中线长有最小值为.法二：因为点是轴上动点，所以当垂直轴时最短，此时中线长最小值为.（3）由，得与交点，由两点间距离公式得，点到距离，三角形面积，当时，；当时；当时.所以，，.【点睛】本题主要考查直线的交点、点到直线距离公式与三角形面积公式的应用，考查了对称问题以及分类讨论思想的应用，属于综合题.解析几何中点对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且点在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.。
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苏州市2018～2018学年度第二学期高一期终考试2018.6数 学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．满分150分．考试时间120分钟．2. 请将第Ⅰ卷的答案填涂在答题卡上，第Ⅱ卷的解答写在答题卷上，在本试卷上答题无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知98a p =，则角a 的终边所在的象限是(A ) 第一象限 (B ) 第二象限 (C ) 第三象限 (D ) 第四象限2. cos75cos15⋅的值是(A )12 (B ) 14(C (D 3. 与向量(12,5)=a 平行的单位向量为 (A ) 125(,)1313-(B ) 125(,)1313-- (C ) 125(,)1313或125(,)1313--(D ) 125(,)1313-或125(,)1313-4. 若cos()x p -=[0,2]x p ∈，则x 等于 (A )6p (B ) 3p (C ) 6p 或116p (D )3p 或53p5. 下列函数中，在区间(0,2)p 上为增函数且以p 为同期的函数是 (A ) sin 2xy = (B ) sin y x = (C ) tan y x =-(D ) cos 2y x =-6. 若向量(1,1)=a ，(1,1)=-b ，(1,2)=--c ，则=c (A ) 1322--a b(B ) 1322-+a b(C ) 3122-a b(D ) 3122-+a b7. 已知,x y ∈+R ，且满足20x y +=，则lg lg x y +的最大值是 (A ) 40(B ) 10(C ) 4(D ) 28. 设OA =a ，OB =b ，OC =c ，当l m =+c a b (,)l m ∈R ，且1l m +=时，点C 在 (A ) 线段AB 上(B ) 直线AB 上(C ) 直线AB 上，但除去A 点 (D ) 直线AB 上，但除去B 点9. 已知向量a 、b 的夹角为60，||1=a ，||2=b ，若()()m +⊥-a b a b ，则m 的值为(A )52(B ) 52-(C )32 (D ) 32-10. 已知0a <，10b -<<，那么(A ) a aa b b -<<(B ) a aa b b -<<(C ) a aa b b<-<(D )a a ab b<<- 11. 把函数sin 2y x =的图象按向量a 平移后得到函数sin(2)36y x p=++的图象，则向量a 是(A ) (,3)6p (B ) (,3)6p - (C ) (,3)12p -- (D ) (,3)12p -12. 已知函数2sin()y x w q =+为偶函数(0)q p <<，其图象与直线2y =的交点的横坐标为12,x x ．若12||x x -的最小值为p ，则(A ) 2w =，2p q =(B ) 2w =，4p q = (C ) 12w =，4p q = (D ) 12w =，2p q = 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卷相应的横线上． 13. 在ABC △中，已知0AB AC ⋅>，154ABC S =△，||3,||5AB AC ==，则BAC ∠= ▲ ． 14. 已知3cos 5q =-，且32p q p <<，则tan()4pq -= ▲ ．15. 要做一个长方体无盖的箱子，其容积为48 m 3，高为3 m ，如果这个箱子的箱底每1 m 2的造价为200元，箱子的壁每1 m 2的造价为100元，拼接等其它材料是箱底和箱壁总造价的10％，则这个箱子的最低造价为 ▲ 元．16. 如下图，一个人在地面上某处用测量仪测得一铁塔顶的仰角为q ，由此处向铁塔的方向前进30 m ，测得铁塔顶的仰角为2q ，再向铁塔的方向前进，又测得铁塔顶的仰角为4q ．如图测量仪的高为三．解答题：本大题共6小题，共74分．请把解答写在答题卷规定的答题框内．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. (本小题满分12分)已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin )a a b b ==a b ． (Ⅰ) 求(2)⋅+a a b 的取值范围； (Ⅱ) 若3pa b -=，求|2|+a b ．18. (本小题满分12分)已知ABC △的顶点坐标为(1,0),(5,8),(7,4)A B C -，在边AB 上有一点P ，其横坐标为4． (Ⅰ) 设AP AB l =，求实数l ；(Ⅱ) 在边AC 上求一点Q ，使线段PQ 把ABC △分成面积相等的两部分．19. (本小题满分12分)已知34OA =-i j ，5OB =-i j ，(5)(3)OC m m =--+i j ()m ∈R ，其中,i j 分别是直角坐标系内x 轴和y 轴正方向上的单位向量．(Ⅰ) 若ABC △是以A ∠为直角的直角三角形，求m 的值； (Ⅱ) 若点,,A B C 能构成三角形，求m 应满足的条件．20. (本小题满分12分)设函数()sin()(0,)22f x x p pw j w j =+>-<<，给出下列三个论断： (1)()f x 的图象关于直线6x p=-对称； (2)()f x 的周期为p ；(3) ()f x 的图象关于点(,0)12p对称．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并对该命题加以证明．21. (本小题满分12分)已知tan ,tan a b 是方程2430x px --= (p 为常数) 的两个根． (Ⅰ) 求tan()a b +；(Ⅱ) 求22cos2cos22sin ()a b a b +-．22. (本小题满分14分)定义在非零实数集上的奇函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，且(3)0f -=．(Ⅰ) 求(3)f 的值；(Ⅱ) 求满足()0f x >的x 的集合；(Ⅲ) 若3()cos()1(),[,2]42g x x a a x p pp ++-∈∈R ．是否存在实数a ，使得[()]0f g x >恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．苏州市2018～2018学年度第二学期高一期终考试数学参考答案和评分标准说明：1．本解答仅给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容对照评分标准制订相应的评分细则．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．选择题和填空题不给中间分． 一．选择题：每小题5分，满分60分．解析：1. 因为988pa p p ==+，所以角a 的终边在第三象限．2. 11cos75cos15sin15cos15sin3024⋅=⋅==．3. 与向量(12,5)=a 平行的向量有两个，它们是：125(,)||1313=a a 或125(,)||1313-=--a a ．4. 对cos()x p -=应用诱导公式，可得cos x =．又因为[0,2]x p ∈，所以6x p=或116x p=． 5. 在四个函数中，周期为p 的函数是tan y x =-与cos 2y x =-，其中在区间(0,2)p 上为增函数的只有cos 2y x =-．6. 一般方法：设x y =+c a b ，则(,)(1,2)x y x y +-=--，解之得31,22x y =-=．特殊方法：131(1,2)(1,0)(0,2)()()222=--=--=-+--=-+c a b a b a b ．7. 由基本不等式可得，2lg lg lg lg()22x y x y xy ++==…，当且仅当10x y ==时取等号．因此，lg lg x y +的最大值是2．8. 由已知可得，(1)OC OA OB m m =-+，即()OC OA OB OA m -=-，即AC AB m =，即AC与AB 共线．因此，点C 在直线AB 上．9. 首先，由向量a 、b 的夹角为60，||1=a ，||2=b ，可得221,4,1==⋅=a b a b ；再由()()m +⊥-a b a b ，可得22()()(1)250m m m m +⋅-=+-⋅-=-=a b a b a a b b ，即52m =． 10. 首先，由0a <，10b -<<，知0,0,0a a a b b >-<<．而11b->，两边同乘以负数a 得a a b -<．因此，a aa b b-<<． 11. 函数sin(2)36y x p =++可改写为3sin 2()12y x p -=+，所以(,3)12p=-a ．12. 由函数2sin()y x w q =+为偶函数(0)q p <<，知2pq =；由12||x x -的最小值为p ，知2sin()y x w q =+的最小正周期为p ，所以2w =．因此，2w =，2p q =． 二．填空题：每小题4分，满分16分．13．30； 14．17； 15．8800； 16．16.5．解析： 13. 把154ABC S =△，||3,||5AB AC ==代入三角形面积公式1||||sin 2ABC S AB AC A =⋅△，得1sin 2A =；再由0AB AC ⋅>知角A 为锐角．因此，30A ∠=． 14. 由3cos 5q =-，且32p q p <<，得4sin 5q =-，4tan 3q =．所以tan 11tan()41tan 7p q q q --==+．15. 设这个箱子的箱底的长为x m ，则宽为16xm ，设箱子的总造价为()f x 元．根据题意，得 3216()[200161003(2)]110%660()3520f x x x x x=⨯+⨯+⨯=++． 当且仅当4x =时，()f x 取最小值8800．16. 在ADE △中，2,4ADE AED AED q q ∠=∠=∠=，30,AD DE AE ===角形得230q =，460q =，所以sin 6015AC AE ==，15 1.516.5+=．因此，铁塔的高为16.5 m ． 三．解答题：17. 本小题满分12分．解：(Ⅰ)2(2)212(cos cos sin cos )a b a b ⋅+=+⋅=++a a b a a b …………………………… 2分12cos()a b =+-． ………………………………………………………………… 3分 ∵1cos()1a b --剟，……………………………………………………………… 4分∴(2)⋅+a a b 的取值范围是[1,3]-． ……………………………………………… 6分 (Ⅱ) 222|2|4454cos()a b +=+⋅+=+-a b a a b b ， …………………………………… 9分∵3p a b -=，∴1cos()2a b -=． ………………………………………………… 11分 ∴2|2|7+=a b，即|2|+a b 12分 18. 本小题满分12分．解：(Ⅰ)设(4,)P b ，则(3,),(4,8)AP b AB ==．…………………………………………… 2分∵AP AB l =，则(3,)(4,8)b l =，∴34l =．……………………………………… 4分 (Ⅱ)设(0)AQ AC m m =>．∵||||31||||42APQ ABCS AP AQ S AB AC l m m ====△△，……………………………………………… 6分∴23m =．………………………………………………………………………………8分 设(,)Q Q Q x y ，则2(1,)(6,4)3Q Q x y -=-．………………………………………… 10分∴85,3Q Q x y ==-．∴8(5,)3Q -．………………………………………………… 12分19. 本小题满分12分．解：(Ⅰ)由题意A ∠为直角，∴0AB AC ⋅=． ……………………………………………… 1分∵23AB OB OA =-=+i j ，(2)(1)AC OC OA m m =-=-+-i j ，…………………3分 ∴(23)[(2)(1)]0m m +⋅-+-=i j i j ．…………………………………………………4分 ∴2(2)3(1)0m m -+-=．………………………………………………………… 5分 解得75m =．……………………………………………………………………………6分 (Ⅱ)若AB 与AC 共线，则存在实数l ，使得AC AB l =，…………………………… 8分即(2)(1)(23)m m l -+-=+i j i j ．∴22,13.m m l l -=⎧⎨-=⎩∴4m =．……………………………………………………………10分∵点,,A B C 能构成三角形，∴AB 与AC 不共线．……………………………… 11分 又点,B C 不重合，故实数m 应满足的条件为4m ≠．…………………………… 12分20. 本小题满分12分．解：正确命题为：(1)(2)⇒(3).(或(2)(3) ⇒ (1)) ……………………………………… 2分下面证明(1)(2)⇒(3)的正确性．∵()sin()f x x w j =+的周期为p ，∴2pp w=．∴2w =．………………………………4分 又∵()f x 的图象关于直线6x p =-对称，∴2()(62k k p pj p ⨯-+=+∈Z)．………… 6分 ∴5()6k k pj p =+∈Z ．……………………………………………………………………7分 ∵22p p j -<<，∴1k =-，∴6pj =-．…………………………………………………9分 ∴()sin(2)6f x x p=-．……………………………………………………………………10分当12x p=时，0y =， 即()f x 的图象关于点(,0)12p对称． …………………………………………………… 12分注：(2)(3) ⇒ (1)证法类上，可解得()sin(2)6f x x p=-．21. 本小题满分12分．解：(Ⅰ)∵tan ,tan a b 是方程2430x px --= 的两个根，∴tan tan 4,tan tan 3p a b a b +==-．………………………………………………2分∴tan tan 4tan()1tan tan 1(3)pp a b a b a b ++===---．……………………………………… 5分 (Ⅱ) 22cos2cos22sin ()a b a b +-2cos2cos21cos2()a b a b =+-- ………………………………………………… 6分 cos 2cos 2sin 2sin 21a b a b =-+…………………………………………………… 7分 cos 2()1a b =++ …………………………………………………………………… 8分22cos ()a b =+．…………………………………………………………………… 9分 ∵tan()p a b +=，∴sin()cos()p a b a b +=+．∴222222sin ()cos (),1cos ()cos ()p p a b a b a b a b +=+-+=+． 即221cos ()1p a b +=+．…………………………………………………………… 11分 ∴2222cos 2cos 22sin ()1p a b a b +-=+． ……………………………………… 12分 22. 本小题满分14分．解：(Ⅰ)∵()f x 是奇函数，∴(3)(3)f f -=-．∵(3)0f -=，∴(3)0f =．………………………………………………………… 2分(Ⅱ)∵奇函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，∴()f x 在(0,)∞上也是减函数． ……… 3分当0x <时，由()0(3)f x f >=-，得3x <-；…………………………………… 4分 当0x >时，由()0(3)f x f >=，得03x <<．…………………………………… 5分 ∴当()0f x >时，有3x <-或03x <<． ………………………………………… 6分 因此，满足()0f x >的x 的集合为{|x 3x <-或03x <<}． (Ⅲ)由(Ⅱ)知，要使[()]0f g x >在3[,2]2x pp ∈上恒成立， 即只要使()3g x <-或0()3g x <<在3[,2]2x pp ∈上恒成立．…………………… 7分∵())1]14g x a x p=+-+，令)14t x p=+-，则()1g x at =+．∵3[,2]2x p p ∈，∴79[,]444x p p p+∈，cos()4x p +∈．∴1]t ∈．…………………………………………………………………… 9分①当0a ?时，()g x 在3[,2]2x pp ∈上的最大值是1)1a +，最小值是1． 要使()3g x <-或0()3g x <<在3[,2]2x pp ∈上恒成立，只要1)13a +<，即02a <…．…………………………………… 11分②当a <0时，()g x 在3[,2]2x pp ∈上的最大值是1，最小值是1)1a +． 要使()3g x <-或0()3g x <<在3[,2]2x pp ∈上恒成立，只要1)10a +>，即10a <<．…………………………………… 13分综合①②知，实数a 的取值范围(1,1)．……………………………14分。
最新-江苏省仪征中学2018学年度高一数学下学期期中考试 精品
江苏省仪征中学2018-2018年度第二学期期中考试高 一 数 学 试卷本试卷分为第Ⅰ卷（填空题）和第Ⅱ卷（解答题）两部分，满分160分，时间120分钟.一.填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分，请将答案填在答案纸相应位置．)1．等差数列1，-1，-3，-5，．．．，-89的项数是 ▲2．已知数列}{n a 是等差数列，且1713a a a π++=-，则7sin a ＝ ▲ .3．若不等式022>++bx ax 的解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，则a －b 值是 ▲ ．4．求值：0000tan 20tan 4020tan 40+= ▲ ．5．若实数列1，a ，b ，c ，4是等比数列，则b 的值为 ▲ ．6．设00sin14cos14a =+，00sin16cos16b =+，c =，则,,a b c 大小关系 ▲ ．7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a 则 ▲ ．8．在△ABC 中，若cos cos ,a A b B =则△ABC 的形状是 ▲ ．9．等比数列{}n a 中，其前n 项和是n S ，当333S a =时，公比q = ▲ ．10．在等差数列{}n a 中，公差1d =，前100项的和100100S =，则99531...a a a a ++++=▲ ．11．已知数列{}n a 中，()12121,2,,3,n n n a a a a a n N n +--===-∈≥则2011a = ▲ ．12．在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，若a ，b ，c 成等比数列，==cB b A sin ,60则 ▲ ．13．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行()4n ≥从左向右的第4个数为 ▲ ．14．某人2018年7月1日在银行存入一年定期存款a 元，以后每年7月1日到银行将原来存款的本金与利息转为新一年的定期存款，并再新存入一年定期存款a 元。
【高一数学试题精选】2018年高一下学期数学期中考试题(带答案)
2018年高一下学期数学期中考试题（带答案）
5 考生注意
1答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
2第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
第I卷选择题（共50分）
—、选择题 (本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合，集合B为函数的定义域，则A∩B＝（）
A．(1,2) B．[1,2] c．[1,2) D．(1,2]
2．已知向量，，，则=（）
A -12
B -6 c 6 D 12
3．（）
A． B． c． D．
4 函数的零点必落在区间（）
A B c D(1,2)
5 等差数列中，，则数列的前9项的和等于（）
A 96
B 99 c 144 D 198
6 等比数列各项为正数，且，则（）
A．12 B．10 c．8 D．
7 已知a、b为非零实数，且a＜b，则下列不等式成立的是（）
A． B． c． D．
8 已知中， ,AB、Bc分别是，的等差中项与等比中项，则的面积等于（）
A． B． c．或 D．或。
江苏省南通市如皋市2018学年高一下学期期中数学试卷 含解析
2018-2018学年江苏省南通市如皋市高一（下）期中数学试卷一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应位置上1．在△ABC中，已知a=8，B=60°，A=45°，则b等于．2．若点A（4，3），B（5，a），C（6，5）三点共线，则a的值为．3．已知数列{a n}为等比数列，且a7=1，a9=4，则a8=．4．直线l过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0垂直，则直线l的方程是．5．若x＞0，y＞0，x+4y=40，则lgx+lgy的最大值为．6．已知两直线l1：（3+m）x+4y+3m+5=0，l2：2x+（5+m）y+2=0，当l1∥l2时，m 的值为．7．若k，﹣1，b三个数成等差数列，则直线y=kx+b必经过定点．8．设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为．9．函数y=（x＞1）的最小值是．10．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，并且S10＞0，S11＜0，关于数列{a n}有下列命题：（1）公差d＜0，首项a1＞0；（2）S6最大；（3）a3＞0；（4）a6＞0上述命题正确的是．11．已知x，y满足，则z=2x﹣y的最小值．12．已知实数a，b，c成等比数列，若a，x，b和b，y，c都成等差数列，则+ =．13．已知数列{a n}满足a1=﹣1，a2＞a1，||=2n（n∈N*），若数列{a2n}单调﹣1递减，数列{a2n}单调递增，则数列{a n}的通项公式为a n=．14．若钝角△ABC的三边a，b，c成等差数列且a＜b＜c，则的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共90分。
请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知asinA+csinC﹣asinC=bsinB，（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．16．过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程．17．过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点．（1）|OA|•|OB|最小时，求直线l的方程；（2）2|OA|+|OB|最小时，求直线l的方程．18．在△ABC中，内角A，B，C的对边满足a＜b＜c，a2﹣c2=b2﹣，a=3，△ABC的面积为6．（1）求角A的正弦值；（2）求边b，c；（2）设D为△ABC内任一点，点D到边BC、AC的距离分别为x，y，求|2x﹣y|的取值范围．19．如图是一个面积为1的三角形，现进行如下操作．第一次操作：分别连结这个三角形三边的中点，构成4个三角形，挖去中间一个三角形（如图①中阴影部分所示），并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”；第二次操作：连结剩余的三个三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形（如图②中阴影部分所示），同时在挖去的3个三角形上都贴上数字标签“2”；第三次操作：连结剩余的各三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形，同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”；…，如此下去．记第n次操作中挖去的三角形个数为a n．如a1=1，a2=3．（1）求a n；（2）求第n次操作后，挖去的所有三角形面积之和P n？（3）求第n次操作后，挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和Q n．20．在公差不为0的等差数列{a n}中，a2、a4、a8成公比为a2的等比数列，又数列{b n}满足b n=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和为T n；（3）令c n=（n∈N*），求使得c n＞10成立的n的取值范围．2018-2018学年江苏省南通市如皋市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分。
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江苏省震泽中学2018－2018学年度第二学期高一数学期中试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1、)619cos(π-的值是―――――――――――――――――――（ ）（A ）21 （B ）21- (C) 23 (D)23- 2、已知1715sin =α，α是第二象限角，则αtan 等于――――――（ ） （A ）815± （B ）158- (C) 815- (D) 8153、下列命题：（1）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量 （2）若=++CA BC AB 0,则C B A ,,为一个三角形的三个顶点 （3）若，均为非零向量，且方向相反，则||||||+=- （4）b a //是存在唯一的实数λ，使得b a λ=的充要条件其中真命题的序号是――――――――――――――――― （ ） （A ）（1）（3） （B ） （1）（4） (C) （3）（4） (D) （2）(3) 4、当22ππ≤≤-x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的――――――（ ）（A ）最大值是1 ，最小值是－1 （B ）最大值是2 ，最小值是－2 (C) 最大值是1， 最小值是21- (D) 最大值是2 ， 最小值是－1 5、先将函数)36sin(5x y +=π的图像上的点横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将图像向右平移3π个单位，则所得的图像的解析式是――――――（ ） （A ）)323sin(5π-=x y （B ）)623sin(5π-=x y(C) )3223sin(5π+=x y (D) )223sin(5π+=x y(第1页，共8页)6、若13e =，15e -=，且||||=，则四边形ABCD 是（ ）（A ）平行四边形 （B ）菱形 (C)等腰梯形 (D)不等腰梯形7、已知两点A (－2，4)， B （6，0），点C 在直线AB 上，且||21||=,则C 点 坐标是――――――――――――――――――――――――－（ ） （A ）（2，2） （B ）（－6，6） (C) （2，2）或（－6，6） (D)（2，8）或)38, 32(8、下列函数中，既是以π为最小正周期的偶函数，又是在)4, 0(π内单调递增的函数是（A ）x y tan =（B ）|2|sin x y = (C) xy 2cos )21(= (D)x y 2cos = （ ）9、适合31sin -=x ，]23,[ππ∈x 的角x 是―――――――――――――（ ） （A ）)31arcsin(- （B ）31arcsin - (C) )31arcsin(2-+π (D))31arcsin(--π10、若向量)sin , (cos αα=，)sin ,(cos ββ=，则与满足―――（ ）（A ）b a // （B ）b a ⊥ (C) )()(-⊥+ (D)a 与b 的夹角为βα-11、如图，⊙O 中弦AB ⊥弦CD 于点P ，则PD PC PB PA +++等于（ ） （A ） （B ）2 (C) 2 (D) 412、若关于x 的方程0sin cos 2=+-a x x 在20π≤<x 内有解，则a 的取值范围是（ ）（A ）11≤≤-a （B ） 11≤<-a(C) 01<<-a (D) 45-≤a(第2页，共8页)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13、已知：2||=，2||=，与的夹角为︒45，要使-λ与垂直，则=λ________14、函数)1sin 2(log 21-=x y 的单调递增区间为____________________________________15、如图是函数)sin(ϕω+=x A y )|| , 0 , 0(πϕω<>>A 的一部分图像，则此函数的解析式为_________________________16、给出下列命题：① 函数)232cos(π+=x y 是奇函数 ② 存在实数α，使23cos sin =+αα③ 若α，β使第一象限角，且βα<，则βαtan tan < ④ 8π=x 是函数)452sin(π+=x y 的一条对称轴方程 ⑤ 函数)32sin(π+=x y 的图像关于点)0,12(π成中心对称图形其中正确命题的序号是_________________(第3页，共8页)三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程演算步骤）17、（本小题满分12分）已知向量2123e e --=，214e e +=，其中) 0 , 1 (1=e ) 1 , 0 (2=e 求（1）b a ⋅ ， ||b a +的值 （2）与的夹角 18、（本小题满分12分） 不查表求值：︒︒︒︒︒+++40cos 170sin )10tan 31(50sin 40cos(第4页，共8页)如图所示，OADB 是以向量=，=为边的平行四边形，又BC BM 31=CD CN 31=,试用，表示,,O(第5页，共8页)已知函数21cos cos sin 3)(2+-⋅=x x x x f ，R x ∈ （1）求)(x f 的最大值和最小值，并求取得最值时的x 的值（2）把函数)(x f y =的图像按) 0 , (ϕ=（0>ϕ）平移后，图像关于y 轴对称，求ϕ的最小值(第6页，共8页)已知向量)cos , sin 3(x x ωω=，)cos , (cos x x ωω=（0>ω） 记函数x f ⋅=)(，已知)(x f 的最小正周期为π （1）求ω （2）当30π≤<x ，试求)(x f 的值域(第7页，共8页)如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地，现在开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的矩形停车场PQCR，设PQCR的面积为S，∠PAB＝α.（1）求PQCR的面积S关于α的函数关系式，并写出α的取值范围；（2）当点P在弧ST上什么位置时，PQCR的面积S最大，并求此最大值.(第8页，共8页)高一数学期中试卷(答案)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）DCACA CCCDC BB二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13、 2=λ14、 ]652,22[ππππ++k k )(Z k ∈15、 )62s i n (2π+=x y 16①④三、解答题（本大题共6小题，共74分）17、解：（1）)2,3(--= ，)1,4(=（2分） 141)2(43-⨯-+⨯-=⋅∴＝（2分）()21714213||＝＋-⨯+===+b a （3分）（2）22122114171314cos -=⋅-==θ （3分）22122114arccos－πθ=∴（2分） 18、解：原式＝︒︒︒︒︒︒+++40cos 170sin )10cos 10sin 31(50sin 40cos ―――――――――2分＝︒︒︒︒︒︒︒+++40cos 170sin 10cos )3010sin(250sin 40cos︒︒︒+=20cos 270sin 140cos 2――――――――――――――――8分＝20cos 220cos 222︒＝2―――――――――――――――――――――――12分19、解：b a BA -=BM OM 656161+=+=+=∴ （4分） +=+=323232+==∴ （4分） OM MN 6121-=-= （4分）20、解：（1）)62sin(2122cos 12sin 23)(π-=++-=x x x x f （2分） 当)(3Z k k x ∈+=ππ时 1m a x =y (2分) 当)(65Z k k x ∈+=ππ 1m i n -=y （2分） （2）把函数)(x f y =的图像按) 0 , (ϕ=（0>ϕ）平移后得到)622s i n (πϕ--=x y （2分）图像关于y 轴对称，1)62sin(±=--∴πϕ，即)(262Z k k ∈+=--πππϕ32ππϕ--=∴k （2分） 0>ϕ 6min πϕ=∴ （2分）π21、解：(1)22cos 12sin 23cos cos sin 3)(2xx x x x x f ωωωωω++=+⋅=21)62sin(++=πωx （4分） πωπ==22T 1=∴ω （2分） (2)21)62sin()(++=πx x f30π≤<x πππ65626≤+<∴x 1)62s i n (21≤+≤πx （4分） ∴值域为]231[， （2分）22、解：（1）)cos sin 81cos 90sin 90100(100αααα+--=S （5分）)2 , 0(πα∈ （1分）（2）令t =+ααcos sin 则22cos sin 2-=t αα]218190100[1002-⋅+-=∴t t S950)910(40502+-=t 其中]2,1[∈t2=∴t 时，290001405max -=S （7分）∴当点P 在弧ST 的中点时，面积最大 （1分）。
江苏省徐州市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)
2018-2019学年度第二学期期中考试高一年级数学试题参考答案一、选择题： 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B C B B A D C D D B A二、填空题：13. 082=−+y x 14. π43 15. 6100 16. 723 三、解答题：17.解：（1）设直线l 的斜率为k ，由题意得332tan −==πk ..................1分 又直线l 过点)3,2(P ，由直线的点斜式方程可得l ：)2(33−−=−x y ....3分 即直线l 的方程为：0)323(3=+−+y x ..........................4分(2）设直线l 在x 轴、y 轴上的截距分别为b a ,，由题意得0=+b a ，即a b −= ①若0=−=a b 时，则直线l 又过点)0,0(，可得直线l 的方程为：023=−y x ....6分 ②若0≠−=a b 时， 则直线l 的方程为：1=−+a y a x 将)3,2(P 代入得：132=−+aa ，即1−=a ................................8分 直线l 的方程为：01=+−y x .......................................9分 所以直线l 的方程为：023=−y x 或01=+−y x .............................10分18.证明:(1)在ABC ∆中因为D ,E 分别是AB ,AC 的中点，所以BC DE //........1分又由三棱柱111C B A ABC −可得：11//C B BC ..............2分所以DE C B //11........................................3分又⊄11C B 平面1A DE ，⊂DE 平面1A DE ,所以11B C ∥平面1A DE ；....5分（2）由（1）知BC DE //，又BC AC ⊥，所以AC DE ⊥ .......6分由直三棱柱111C B A ABC −可得：⊥1CC 平面ABC ,又⊂DE 平面ABC , 所以DE CC ⊥1.............................................7分A B C A 1 B 1 C 1 D E第18题图又因为C CC AC =1Ι,⊂AC 平面11ACC A ,⊂1CC 平面11ACC A ;所以⊥DE 平面11ACC A ..........................................9分 又⊂DE 平面DE A 1,所以平面1A DE ⊥平面11ACC A ....................10分19.解：（1）在△ABC 中，由正弦定理得：sin sin a b A B =，即：sin sin b A a B =，....1分 又由πsin cos()6b A a B =−，得πsin cos()6a B a B =−，................2分 即πsin cos(6B B =−，即6sin sin 6cos cos sin ππB B B +=可得tan B =．......................................4分又因为(0π)B ∈，，可得B =π3..............................6分 （2）解：在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有2222cos 7b a c ac B =+−=，故b..................8分由πsin cos(6b A a B =−，可得sin A =．因为a <c ，故cos A =．因此sin 22sin cos A A A ==21cos 22cos 17A A =−= ..................10分所以，sin(2)sin 2cos cos 2sin A B A B A B −=−=1127−=.......12分20. 证明：（1）连结AC ，在矩形ABCD 中,F 是BD 的中点，则F 是AC 的中点，又E 是PC 的中点， 所以在CPA ∆中有PA EF //………………………2分又PA ⊂平面PAD ，⊄EF 平面PAD ，∴//EF 平面PAD ……………………………5分(2)因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD AD =，⊂CD 平面ABCD ，又由矩形ABCD 得AD CD ⊥，所以⊂CD ⊥平面PAD ， ……………………………7分又⊂PA 平面PAD ，∴PA CD ⊥ ，因为PA EF //， ∴EF CD ⊥………………8分又AD PD PA 22==，所以PAD ∆是等腰直角三角形，且2π=∠APD ，即PD PA ⊥ 又PA EF //， ∴EF PD ⊥ …………………………………………9分 而D PD CD =Ι，⊂CD 平面PDC ，⊂PD 平面PDC所以EF ⊥平面PDC ……………………………………………………………12分21.⑴方法一：在PME ∆中，EPM θ∠=，4=−=AP AE PE 米，4PEM π∠=，34PME πθ∠=−， 由正弦定理得sin sin PM PE PEM PME =∠∠，所以sin 4sin sin cos sin()4PE PEM PM PME θθθ×∠===∠+−，.................2分 同理在PNE ∆中，4PEM π∠=,θπ−=∠2PNE ,4=PE 由正弦定理得sin sin PN PE PEN PNE =∠∠，所以sin sin sin()2PE PEN PN PNE θ×∠===∠−分 所以∆PMN 的面积S 1sin 2PM PN MPN =××∠24cos sin cos θθθ=+.............6分当M 与E 重合时，0θ=；当N 与D 重合时，tan 3APD ∠=,即54APD ∠=，3544πθ=−， 所以35044πθ≤≤−. 综上可得：S θθθcos sin cos 42+=,350,44πθ ∈− . ............8分 方法二：在∆PME 中，EPM θ∠=，4=−=AP AE PE 米，4PEM π∠=，34PME πθ∠=−， 由正弦定理可知：sin sin ME PE PMEθ=∠，所以sin 4sin 3sin sin()4PE ME PME θθπθ×===∠− ............2分 在∆PNE 中，由正弦定理可知：sin sin NE PE EPN PNE =∠∠，所以sin()4sin()44cos sin()2PE NE ππθθπθθ×++===−，............4分所以MN NE ME =−=, 又点P 到DE的距离为4sin 4d π==，所以∆PMN 的面积S=22cos sin cos 2221212×+×=×θθθd MN θθθcos sin cos 42+= .........................6分 当M 与E 重合时，0θ=；当N 与D 重合时，tan 3APD ∠=,即54APD ∠=，3544πθ=−， 所以35044πθ≤≤−. 综上可得：S θθθcos sin cos 42+=,350,44πθ ∈−. ............8分 ⑵由（1）得S θθθcos sin cos 42+= 41cos 21sin 222θθ=++88sin 2cos 2)4πθθθ==++1++1， .........10分 又350,44πθ ∈−当242ππθ+=即350,844ππθ =∈− 时，S1)=......11分 答：可视区域∆PMN面积的最小值为1)−平方米. ................12分22.解：（1）连接BD ，由余弦定理得A A AD AB AD AB BD cos 42242cos 222222⋅⋅−+=⋅−+=C C CD BC CD BC BD cos 64264cos 222222⋅⋅−+=⋅−+=即C A cos 4852cos 1620−=−............................2分又四边形ABCD 内接于圆O ，则又π=+C A所以)cos(4852cos 1620A A −−=−π 化简得21cos −=A .又),0(π∈A 所以,32π=A 同时有3π=C ..................4分 所以383sin 642132sin 4221=⋅⋅+⋅⋅⋅=+=∆∆ππBCD ABD S S S ...........6分 (2) 设四边形ABCD 的面积为S ，则C CD BC A AD AB S S S BCD ABD sin 21sin 21⋅⋅+⋅⋅⋅=+=∆∆ A AD AB AD AB BD cos 2222⋅−+=C CD BC CD BC cos 222⋅−+=.........8分 即⋅⋅−+=⋅⋅−+⋅⋅+⋅⋅=C A C A S cos 64264cos 42242sin 6421sin 42212222 −=+=AC C A S cos cos 32sin 3sin 4 平方相加得：C A C A S cos cos 6sin sin 6104162−+=+ 即)cos(66162C A S +−= ......................10分 又)2,0(π∈+C A当π=+C A 时，162S 有最大值，即S 有最大值. 此时，C A −=π,代入A C cos cos 32−=中得21cos =C 又),0(π∈C ，可得3π=C ...................................12分在BCD ∆中283cos 64264cos 222222=⋅⋅−+=⋅−+=πC CD BC CD BC BD 所以72=BD ..............................................14分。
江苏省泰州中学2018学年度数学第二学期高一期中试卷苏
江苏省泰州中学2018-2018学年度第二学期高一数学期中试卷(总分160分,考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1．不等式022≤--x x 的整数解共有 ▲ 个．2．在ABC ∆中，如果4:3:2::=c b a ，那么C cos = ▲ ． 3．在等差数列}{n a 中，当292=+a a 时，它的前10项和10S = ▲ ．4．在A B C ∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ，已知1,3,3===b a A π，则AB C ∆的形状是 ▲ ．5．海上有B A ,两个小岛相距n 210mile ，从A 岛望C 岛和B 岛所成的视角为060，从B 岛望C 岛和A 岛所成的视角为075，则B 岛和C 岛之间的距离BC = ▲ n mile ．6．若n S 为等比数列}{n a 的前n 项的和，0852=+a a ，则36S S = ▲ ． 7．设关于x 的不等式342+≤+-x m x x 的解集为A ，且A A ∉∈2,0，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 8．若x x f 6sin)(π=，则=++++)2011()5()3()1(f f f f ▲ ．9．已知等比数列{}n a 满足0n a >，n =l ，2，…，且()252523nn a a n -⋅=≥，则当3n ≥时，212223221log log log log n a a a a -++++= ▲ ．10．在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ，若222b c +-=，且ba=则C ∠= ▲ ．11．设{}n a 是正项数列，它的前n 项和n S 满足：()()314+⋅-=n n n a a S ，则=1005a ▲ ．12．已知1,100=≤<<<ab c a b ，则cb a b a 122+-+的最小值是 ▲ ．13．洛萨⋅科拉茨（Lothar Collatz, 1910．7．6-1990．9．26）是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n ）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即13+n ），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为3，按照上述变换规则，我们得到一个数列：3，10，5，16，8，4，2，1．对洛萨⋅科拉茨（Lothar Collatz ）猜想，目前谁也不能证明，更不能否定．现在请你研究：如果对正整数n （n 为首项）按照上述规则施行变换后的第六项为1（注：1可以多次出现），则n 的所有可能的取值为 ▲ ．14．我们知道，如果定义在某区间上的函数()f x 满足对该区间上的任意两个数1x 、2x ，总有不等式1212()()()22f x f x x xf ++≤成立，则称函数()f x 为该区间上的向上凸函数（简称上凸）. 类比上述定义，对于数列{}n a ，如果对任意正整数n ，总有不等式：212n n n a a a +++≤成立，则称数列{}n a 为向上凸数列（简称上凸数列）. 现有数列{}n a 满足如下两个条件：（1）数列{}n a 为上凸数列，且1101,28a a ==；（2）对正整数n （*,101N n n ∈<≤），都有20n n a b -≤，其中2610n b n n =-+. 则数列{}n a 中的第五项5a 的取值范围为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)设函数)0(3)2()(2≠+-+=a x b ax x f ，若不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-．（Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）若函数)(x f 在]1,[m x ∈上的最小值为1，求实数m 的值．16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ． （Ⅰ）用余弦定理证明：当C ∠为钝角时，222c b a <+；（Ⅱ）当钝角△ABC 的三边,,a b c 是三个连续整数时，求ABC ∆外接圆的半径．17．(本小题满分15分)在ABC∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c，不等式06sin 4cos 2≥++C x C x 对一切实数x 恒成立．（Ⅰ）求C cos 的取值范围；（Ⅱ）当C ∠取最大值，且2=c 时，求ABC ∆面积的最大值并指出取最大值时ABC ∆的形状．18．(本小题满分15分)设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，3S ，9S ，6S 成等差数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的公比q ；（Ⅱ）求证：3a ，9a ，6a 成等差数列；（Ⅲ）当m a ，s a ，t a []()互不相等t s m t s m ,,,10,1,,∈成等差数列时，求t s m ++的值．19．(本小题满分16分)某企业去年年底给全部的800名员工共发放2000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a 人． （Ⅰ）若9=a ，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？ （Ⅱ）为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？20．(本小题满分16分)将数列}{n a 中的所有项按第一排三项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：记表中的第一列数 ,,,841a a a 构成的数列为}{n b ，已知：①在数列}{n b 中，11=b ，对于任何*N n ∈，都有0)1(1=-++n n nb b n ； ②表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为)0(>q q 的等比数列； ③5266=a ．请解答以下问题： （Ⅰ）求数列}{nb 的通项公式；（Ⅱ）求上表中第)(*N k k ∈行所有项的和)(k S ；（Ⅲ）若关于x 的不等式x x k k S 211)(->+在]201,2001[∈x 上有解，求正整数k 的取值范围．江苏省泰州中学2018-2018学年度第二学期高一数学期中试卷参考答案121110987654321a a a a a a a a a a a a一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1． 4 2． 41- 3． 10 4．直角三角形 5． 310 6． 7- 7． [)1,3-- 8． 23 9． ()21n n - 10． 0010515或11．2011 12．102201+ 13． 32,5,4 14． []13,25二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分) 解：（Ⅰ）由条件得()()()()⎩⎨⎧⎩⎨⎧=+-+=+--⇒==-032390320301b a b a f f ， 4分解得：4,1=-=b a ． 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得32)(2++-=x x x f ， 8分()x f y = 的对称轴方程为1=x ，)(x f ∴在]1,[m x ∈上单调递增， 10分m x =∴时，()()132,2min =++-∴=m m m f x f ， 12分解得31±=m ．31,1-=∴<m m ． 14分 16．(本小题满分14分)解：（Ⅰ）当C ∠为钝角时，0cos <C ， 2分由余弦定理得：22222cos 2b a C ab b a c +>⋅-+=， 5分 即：222c b a <+． 6分 （Ⅱ）设ABC ∆的三边分别为()Z n n n n n ∈≥+-,21,,1，ABC ∆是钝角三角形，不妨设C ∠为钝角，由（Ⅰ）得()()4004112222<<⇒<-⇒+<+-n n n n n n ， 9分3,2,,2==∴∈≥n n Z n n ，当2=n 时，不能构成三角形，舍去，当3=n 时，ABC ∆三边长分别为4,3,2， 11分415sin 41322432cos 222=⇒-=⨯⨯-+=C C ， 13分 ABC ∆外接圆的半径1515841524sin 2=⨯==CcR ． 14分 17．(本小题满分15分) 解：（Ⅰ）由已知得：()⎩⎨⎧≥-+⇒≤->02cos 3cos 20cos 24sin 40cos 22C C C C C ， 4分 ()舍去或2cos 21cos -≤≥∴C C ． 5分 1cos 21<≤∴C 6分 （Ⅱ）,21cos ,0≥<<C C π∴当C ∠取最大值时，3π=∠C ． 8分由余弦定理得：ab ab ab ab b a ab b a =-≥-+=⇒⋅-+=243cos2222222π，3433sin 21≤=⋅=∴∆ab ab S ABC π， 12分 当且仅当b a =时取等号，此时()3max =∆ABC S ， 13分 由3,π=∠=C b a 可得ABC ∆为等边三角形． 15分18．(本小题满分15分)解：（Ⅰ）当1=q 时，133a S =，199a S =，166a S =，6392S S S +≠ ，∴3S ，9S ，6S 不成等差数列，与已知矛盾，1≠∴q ． 2分 由6392S S S +=得：()()()qq a q q a q q a --+--=--⋅1111112613191， 4分 即()()()012111236639=--⇒-+-=-q qq q q，332121-=⇒-=∴q q ，113=⇒=q q （舍去），243-=∴q 6分 （Ⅱ）()012223621512181639=--=--=--q q q a q a q a q a a a a ，6392a a a +=∴，∴3a ，9a ，6a 成等差数列． 9分（Ⅲ）3S ，9S ，6S 成等差数列1471316136362212012a a a a q a q a q q q q +=⇔+=⇔+=⇔=--⇔， GP a a a 成471,,∴或GP a a a 成174,,，则12=++t s m ， 11分同理：GP a a a 成582,,或GP a a a 成285,,，则15=++t s m ，GP a a a 成693,,或GP a a a 成396,,，则18=++t s m ，GP a a a 成7104,,或GP a a a 成4107,,，则21=++t s m ，t s m ++∴的值为21,181512，，． 15分 19．(本小题满分16分)解：（Ⅰ）设从今年起的第x 年（今年为第1年）该企业人均发放年终奖为y 万元．则)101,(800602000*≤≤∈++=x N x axxy ； 4分解法1：由题意，有310800602000≥++xx， 5分 解得，10340>≥x ． 7分 所以，该企业在10年内不能实现人均至少3万元年终奖的目标． 8分 解法2：由于101,*≤≤∈x N x ，所以01080040030310800602000<+-=-++xx x x 7分所以，该企业在10年内不能实现人均至少3万元年终奖的目标． 8分 （Ⅱ）解法1：设10121≤<≤x x ，则=-)()(12x f x f 22800602000ax x ++11800602000ax x ++-0)800)(800())(200080060(1212>++--⨯=ax ax x x a ，13分所以，020*******>-⨯a ，得24<a ． 15分所以，为使人均发放的年终奖年年有增长，该企业员工每年的净增量不能超过23人．16分解法2：)808060200060(1)800(8006080060602000800602000a x a a a x a a a x axxy +⋅-+=+⋅-⋅++=++=13分由题意，得0800602000<⋅-a，解得24<a ． 15分 所以，为使人均发放的年终奖年年有增长，该企业员工每年的净增量不能超过23人． 16分20．(本小题满分16分)解：（Ⅰ）由0)1(1=-++n n nb b n ，得数列}{n nb 为常数列。
江苏省海门中学2018学年高一数学下学期期中考试苏教版精品
（ 3）已知点 P 满足 OP a1OA1 a2 OA2
1 an OAn （ n N * ），其中 a1 1023 ， a1 , a 2, , an
成等比数列，公比为 2．若点 P 在直线 l 上，求 n 的值．
8. 如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多 19 km，那么在 8天内它的行程就超过 2200 km，如 果它每天行驶的路程比原来少 12 km，那么它行驶同样的路程得花 9天多的时间，这辆汽车
原来每天行驶的路程 (km) 范围是 ▲ ．
9. 已知 an 是首项为 1的等比数列， sn 是 an 的前 n项和，且 9s3
18．（本题满分 15分） 某单位要建一座八边形的休闲区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形
ABCD 和
EFGH 构成的面积为 200 m2 的十字型地域，计划在正方形 MNPQ 上建一座“观景花坛”，造
价为 4200元 / m2 ，在四个相同的矩形上 ( 图中阴影部分 ) 铺花岗岩地坪，造价为 210元 / m2 , 再
▲．
14. 设点 A( a, b) ， B(1,0) ．若 0 b 1 a , 且关于 x 的不等式 (x b)2 ＞ ( ax) 2 的解集中的整
数 恰有 3个，则直线 AB 斜率的取值范围为
▲．
二、解答题：本大题共 6小题，共计 90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说 明、证明或演算步骤 . 15．（本题满分 14分）
m[ （ 2）已知实数Leabharlann 3 3 , 3 1]3
，求直线 AB的倾斜角
的取值范围 .
17．（本题满分 15分）
已知公差大于零的等差数列 { an} 的前 n 项和 Sn ，且满足： a2 a4 65， a1 a5 18． （ 1）求数列 { an} 的通项公式 an ； （ 2）若 1 i 21 , a1, ai ,a21 是某等比数列的连续三项，求 i 值； （ 3）若数列 { Sn kn} 为等差数列，求常数 k 的值．
江苏省南京市六校联合体2018-2019学年高一下学期期中联考数学试题(解析版)
南京市六校联合体2018级高一第二学期期中联考数学试题一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1.若角，，（，），则角与的终边的位置关系是（）A. 重合B. 关于原点对称C. 关于轴对称D. 关于轴对称【答案】D【解析】【分析】根据终边相同的角的特点，判断出终边位置，从而得到对称关系.【详解】与终边相同与终边相同又，即终边关于轴对称与终边关于轴对称本题正确选项：【点睛】本题考查角的终边的位置关系，根据终边相同的角的特点得到结果，属于基础题.2.已知角的终边经过点，则的正切值为（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数定义即可得到结果.【详解】由正切定义可知：本题正确选项：【点睛】本题考查任意角三角函数的定义，属于基础题.3.化简得（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】 【分析】根据两角和差公式将原式整理为，再利用诱导公式求值即可.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查利用两角和差正弦公式求值问题，属于基础题. 4.在中，已知，，，则角的度数为（ ）.A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】 根据正弦定理求得，根据三角形中大边对大角的关系确定的度数.【详解】由正弦定理得：本题正确选项： 【点睛】本题考查正弦定理解三角形问题，易错点是忽略三角形大边对大角的特点，造成求解错误.5.已知直线，，和平面，下列命题中正确的是（ ）.A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，，，则D. 若，，则【答案】B 【解析】 【分析】通过正方体可以找到选项的反例，从而得到正确.【详解】在如下图所示的正方体中：，面，此时面，可知错误；面，，，此时面，可知错误；，，此时，可知错误；根据一条直线垂直于两条平行直线中的一条，必垂直于另一条，可知正确. 本题正确选项：【点睛】本题考查空间中直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系，属于基础题.6.已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）.A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形面积公式代入求解即可. 【详解】根据扇形面积公式： 本题正确选项：【点睛】本题考查扇形面积公式的应用，属于基础题. 7.将函数的图象向右平移个的单位长度，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为（ ）.A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数相位平移和周期变换特点得到函数解析式.【详解】向右平移个单位长度得：所有点横坐标变为原来倍得：本题正确选项：【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换和伸缩变换，属于基础题.8.在中，已知，则此三角形的形状为（）.A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】根据余弦定理将代入等式，整理可得边之间的关系，从而得到三角形形状.【详解】由余弦定理可得：整理可得：，即则为等腰三角形本题正确选项：【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形形状的问题，关键是能够通过余弦定理将边角关系式变成边长之间的关系.9.若，则的值为（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二倍角公式可求得，利用诱导公式可知，从而得到结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键在于能够通过诱导公式将所求三角函数变为已知角的二倍角的形式.10.已知函数，给出下列四个结论：①函数的最小正周期为；②函数图象关于直线对称；③函数图象关于点对称；④函数在上是单调增函数．其中正确结论的个数是（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据的图象与性质，依次判断各个选项，从而得到正确结果.【详解】①函数最小正周期为：，可知①正确；②当时，；又不是对称轴，可知②错误；③当时，；又不是对称中心，可知③错误；④当时，；当时，为单调增函数，可知④正确综上所述，①④正确本题正确选项：【点睛】本题考查图象与性质，主要考查了最小正周期、对称轴与对称中心、单调区间的问题，解决问题的主要方法是整体对应法.11.已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为和，侧棱长为，则该棱台的侧面积为（）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据长度关系求解出棱台每个侧面的面积，加和可得棱台的侧面积.【详解】由题意可知，该棱台的侧面为上下底边长为和，腰长为的等腰梯形等腰梯形的高为：等腰梯形的面积为：棱台的侧面积为：本题正确选项：【点睛】本题考查空间几何体侧面积的求解问题，属于基础题.12.在三棱锥中，，是边长为的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据面面垂直关系得到面，通过长度关系可求得外接圆圆心到四个顶点的距离相等，可知即为外接球的球心，从而可得外接球半径，进而求得表面积.【详解】由题意可得图形如下图所示：其中为中点，为外接圆圆心为边长为的等边三角形在上，且，又为以为斜边的等腰直角三角形，所以面面，面面，面面即为三棱锥外接球的球心，且外接球半径三棱锥外接球表面积本题正确选项：【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积求解的问题，关键是能够通过长度关系确定外接球球心的位置.二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．13.如图，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成角的大小为_____.【答案】【解析】【分析】根据三角形中位线将问题转变为求解与所成角，根据边长关系可求得结果.【详解】连接，为中点则与所成角即为与所成角在中，，可知为等边三角形本题正确结果：【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成角的求解，关键是通过平移找到所成角，并将所成角放入三角形中来求解，属于基础题.14.如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，，，是的中点，则三棱锥的体积为____.【答案】【解析】【分析】取中点，通过三角形中位线可判断出面，从而将所求三棱锥体积利用切割的方式变为，分别求解体积得到结果.【详解】取中点，连接为中点且又面面本题正确结果：【点睛】本题考查三棱锥体积的求解问题，关键是通过切割的方式将所求体积变为高易于求解的椎体体积的求解问题. 15.化简得_____.【答案】2 【解析】【分析】将正切化弦，通分后利用辅助角、二倍角公式化简整理可将原式变为，根据互余的角的特点，化简得到结果.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简求值的问题，涉及到切化弦和辅助角公式、二倍角公式的应用. 16.在中，已知，，角的平分线交边于点，的面积为，则的长为_____. 【答案】【解析】【分析】根据余弦定理和三角形面积公式可求得，利用构造关于的方程，解方程求得结果.【详解】由余弦定理可得：则又本题正确结果：【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式的应用，关键是能够通过面积桥的方式构造出关于的方程.三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据同角三角函数关系和的范围求得；（2）利用同角三角函数关系求得，再利用二倍角公式求得和，通过两角和差余弦公式求得结果.【详解】（1），，又（2），，【点睛】本题考查同角三角函数关系、二倍角公式和两角和差公式的应用，属于常规题型.18.如图，在正方体中，，分别为，的中点.（1）求证：；（2）求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）通过三角形中位线证得，再根据线面平行的判定定理证得结论；（2）根据线面垂直的判定定理证得面，根据线面垂直的性质得到，再根据（1）中的证得结论.【详解】（1）连结分别是的中点又面，面面（2）面，面正方形又，面，面面又面由（1）知【点睛】本题考查线面平行关系的证明、线线垂直关系的证明.在立体几何证明问题时，若证明结论为线线垂直，则通常采用先证线面垂直，再利用线面垂直的性质得到结论的方法.19.在中，内角，，所对的边分别为，，，，且.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理化简边角关系式，得到，从而求得；（2）根据求得，根据正弦定理求得结果.【详解】（1）由正弦定理可知：（2）由正弦定理得：【点睛】本题考查正弦定理解三角形的问题，其中涉及到同角三角函数的求解、三角形内角和关系、两角和差公式的应用，属于常规题型.20.如图，在四棱锥中，，，，，.（1）求证：；（2）若为棱上一点，且，求的值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据面面垂直性质可得面，再利用线面垂直性质得到；又，根据线面垂直的判定定理得到面，通过面面垂直判定定理得到结论；（2）根据线面平行的性质定理证得，从而将所求比例变为求解，再根据平行关系可知，根据长度关系得到结果.【详解】（1）面面，面面，，面面，又面又，面面面面（2）连结交于，连接面，面，面面又【点睛】本题考查面面垂直关系的证明、根据线面平行求解长度关系的问题，其中涉及到线面垂直的判定与性质、面面垂直的性质、线面平行的性质的应用.21.已知函数，.（1）求函数的单调增区间；（2）若≤对任意的恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将整理为，将整体对应的单调增区间，求出的范围即可；（2）将问题转化为，通过还原将问题转化为，；根据单调性求得，从而得到结果.【详解】（1）由得：单调增区间为：（2）由得：当时，令，则，又在单调递增【点睛】本题考查的单调区间的求解、与三角函数有关的恒成立问题.解决恒成立问题的关键是通过分离变量的方式将问题转化为变量与函数最值之间的关系，需要注意的是自变量的取值范围.22.如图，有一个三角形的停车场，其中，两边，足够长，在上的处安装一个可旋转监控探头，米，探头监控视角始终为，（，都在上，且＞），设.（1）若，求的面积；（2）当监控探头旋转时，请用表示监控区域的面积，并求当为多大时，监控区域的面积取最小值.【答案】（1）150；（2），面积最小【解析】【分析】（1）根据角度关系可知为等腰直角三角形，解出，从而求得面积；（2）根据正弦定理，分别用表示出，根据三角形面积公式进行整理化简，根据积化和差公式整理出，从而确定当时，取最小值，从而得到.【详解】（1）为等腰直角三角形（2）中，由正弦定理得：中，由正弦定理得：又当，即当时，监控区域的面积取最小值【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，重点考查面积最值的求解.关键是能够利用正弦定理将所求面积表示为变量的函数，根据积化和差公式进行整理化简，从而确定将问题转化为正弦函数最值的求解.。
江苏省南京市秦淮区2018-2019学年高一下学期期中数学试卷及解析
江苏省南京市秦淮区2018-2019学年高一下学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设04x ≤≤=（ ）.A.2sin xB.2cos xC.2sin x -D.2cos x -2.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则△ABC 的形状为（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形3.已知α，β，γ为平面，l ，m ，n 为直线，则下列哪个条件能推出l β⊥（ ）. A.αβ⊥，n αβ=，l n ⊥B.αγ⊥，βγ⊥，l α⊥C.m α⊥，m β⊥，l α⊥D.αγ⊥，l αγ=，βγ⊥4.，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A ．3πB ．4πC ．D ．6π第II 卷（非选择题）二、填空题5.sin14cos16cos14sin16︒︒+的值是_______.6.在ABC ∆中，角A , B , C 的对边分别为,,a b c ，若222b c a +-=，则A 等于____7.在正方体1111ABCD A B C D -的各条棱中，与直线1AA 异面的棱有_________条. 8.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8a =，5b =，60C ︒=，则ABC 的面积为_______.9.已知某圆锥底面直径为2，侧面展开图扇形的圆心角为23π，则该圆锥体积为_______. 10.在ABC 中，4cos 5A =，1tan 7B =，则C 的值是_______.11.已知sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_______.12.一个正六棱锥的体积是2，则该六棱锥的侧面积是_______. 13.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若32a b =，则22cos cos 2sin A BA-=______. 14.在ABC 中，若sin 2cos cos C A B =，则tan tan A B 的取值范围为________.三、解答题15.在中，角，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知3a =，1b =，60C ︒=. （1）求c ； （2）求sin A .16.如图，在正三棱锥P -ABC 中，E ，F ，G 分别为线段P A ，PB ，BC 的中点.（1）求证：//EF 平面ABC ； （2）求证：BC ⊥平面P AG . 17.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=. （1）求sin 2α的值； （2）求cos 24πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 18.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ，11A B 的中点.（1）求证：1AD B C ⊥； （2）求证：1//B C 平面1AEC .19.（1）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，证明余弦定理：2222cos a b c bc A =+-；（2）长江某地南北岸平行，如图所示，江面宽度1km d =，一艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度110km /h V =，水流速度24km /h V =，设1V 和2V 的夹角为θ（0180θ︒︒<<），北岸的点1A 在点A 的正北方向.①当cos θ多大时，游船能到达1A 处，需要航行多少时间？②当120θ︒=时，判断游船航行到达北岸的位置在1A 的左侧还是右侧，并说明理由. 20.如图，在ABC 中，已知4AB =，4A π=，D 是线段AC 延长线上一点，4CBD π∠=，设ABC ∠的大小为θ，记BCD 的面积关于θ的函数为()f θ.（1）求()f θ解析式和定义域； （2）求()f θ最小值.参考答案1.B【解析】1.先根据平方关系和二倍角的正弦公式化简式子，再根据x 的范围，判断sin x 和cos x 的大小，去绝对值即可.因为sin 22sin cos x x x =，22sin cos 1x x +=，|sin cos ||sin cos |x x x x =++-， 因为04x π≤≤，所以cos sin 0x x ≥≥，sin cos cos sin 2cos x x x x x =++-=. 故选：B 2.B【解析】2.试题由已知及余弦定理可解得b=c ，即可判断得解． 解：∵，∴由余弦定理可得：，∴整理可得：b=c ． 故选B ． 3.C【解析】3.根据线线、线面和面面平行和垂直的有关定理，对选项逐一分析即可. 对于A ，未说明l α⊂，故错误；对于B ，垂直于同一平面的各平面位置情况不确定，故错误；对于C ，因为m α⊥，m β⊥，所以//αβ，又l α⊥，则l β⊥，故正确； 对于D ，垂直于同一平面的各平面位置情况不确定，故错误. 故选：C4.A【解析】4.试题分析：正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，通过正方体的对角线的长度就是外接球的直径，求出球的表面积．由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1，所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为：22443R πππ=⨯=，故选A. 5.12【解析】5.逆用正弦的两角和公式求解即可.1sin14cos16cos14sin16sin(1416)sin 302︒︒︒︒︒︒︒=++==. 故答案为：126.6π【解析】6.由已知．在ABC ∆中， 222cos 2b c a A bc +-==， 6A π=．7.4【解析】7.与棱AA 1异面的有：BC ，CD ，C 1D 1，B 1C 1 故答案为：4．8.【解析】8.根据三角形的面积公式求解即可.11sin 85222S ab C ==⨯⨯⨯=故答案为：9.3【解析】9.已知底面直径和圆锥侧面展开图扇形的圆心角，利用扇形的弧长公式解得圆锥母线l 的长，再求出扇形的高h ，最后利用圆锥体积公式求解即可.因为底面直径为2，所以底面半径1r =，底面积S π=，底面周长2C π=， 又侧面圆心角23πα=，C l α=⋅，所以该圆锥母线3l =，高h ==133V Sh ==.故答案为：310.34π【解析】10.由平方关系求得sin A ，由商关系和平方关系求得sin B 和cos B ，在 ABC 中，A B C π++=，所以利用cos cos()C A B =-+求得cos C ，从而求得C 的值.因为4cos 5A =，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5A ==， 因为1tan 7B =，所以0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22sin 1sin cos 7sin cos 1cos 10B B B B B B ⎧⎧=⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+==⎩⎪⎩，在 ABC 中，A B C π++=，所以()()cos =cos -cos C A B A B π⎡⎤+=-+⎣⎦，所以34cos cos()sin sin cos cos 5105102C A B A B A B =-+=-=⨯-⨯=-， 即34C π=. 故答案为：34π 11.35【解析】11.将sin 6πα⎛⎫-⎪⎝⎭变形为sin 262ππα⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，然后利用诱导公式和二倍角公式求解即可. 23sin 2sin 2cos 212sin 662665πππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.12.【解析】12.由底面边长求得底面正六边形的面积，再由棱锥的体积公式求得高，再计算侧面上高，最后求侧面积即可.根据题意，底面边长为2a =，底面积2s ==体积13V sh ==，所以高2h =，所以侧棱长l ==1h ===所以侧面积11166222S ah =⨯⨯=⨯⨯=.故答案为： 13.72【解析】13.将2cos A 变形成21sin A -，由二倍角公式展开cos2B ，再由正弦定理和32a b =化简即可.22cos 1sin A A =-，2cos 212sin B B =-，所以22222cos cos 22sin sin sin sin A B B A A A --=， 由正弦定理，2222222sin sin 2sin B A b a A a--=， 又32a b =，所以22222292274=2a ab a a a ⨯--=. 故答案为：7214.(0,1]【解析】14.利用诱导公式得sin sin()C A B =+，再化简等式得到tan tan 2A B +=，代入到tan tan A B 中，整理成关于tan A 的一元二次函数的形式，再由tan A 的范围求得tan tan A B 的值域.在 ABC 中，A B C π++=，所以sin sin()C A B =+，所以2cos cos sin sin()sin cos cos sin A B C A B A B A B ==+=+， 等式两边同时除以cos cos A B ，得tan tan 2A B +=， 因为A 和B 均为锐角，所以tan (0,2)A ∈，所以2tan tan tan (2tan )(tan (0,1)1]1A B A A A =-=--+∈， 当tan tan 1A B ==时取最大值， 故答案为：(0,1] 15.（1；（2）14；【解析】15.（1）已知两边夹一角，直接运用余弦定理求解即可； （2）利用正弦定理求解即可.（1）余弦定理得，2222191cos 226a b c c C ab +-+-===，解得c =（2）正弦定理得，sin sin a c A C=，所以3sin sin 14a C A c ⨯===. 16.（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】16.（1）由中位线定理得//EF AB ，再由线面平行的判定定理证明即可；（2）根据等腰三角形的底边中线与底边垂直，得到BC AG ⊥和BC PG ⊥，再根据线面垂直的判定定理证明即可.（1）在PAB △中，由中位线可知//EF AB ， 又EF ⊄平面ABC ，AB平面ABC ，所以//EF 平面ABC ；（2）由正三棱锥可知，ABC 为等边三角形，PAB △为等腰三角形， 因为G 为中点，所以BC AG ⊥，BC PG ⊥，且AG PG G ⋂=，AG ⊂平面PAG ，PG ⊂平面PAG ，所以BC ⊥平面PAG .17.（1）2425；（2）50【解析】17. （1）由3sin 5α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得cos α，再利用二倍角的正弦公式求解即可；（2）由3sin 52α=<可以得到0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，20,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，进而求解出cos2α，再利用两角差的余弦公式展开求解即可.（1）由3sin 5α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5α==， 所以24sin 22sin cos 25ααα==；（2）因为3sin sin 54πα=<=且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，20,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以27cos 212sin 25αα=-=，所以724cos 2cos cos 2sin sin 24442525πππααα⎛⎫-=+==⎪⎝⎭. 18.（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】18.（1）要证明1AD B C ⊥，先证明AD ⊥平面11BCC B ，又因为1B C ⊂平面11BCC B ，即可证明1AD B C ⊥；（2）连1A C 交1AC 于O ，连OE ，由中位线定理得1//B C OE ，再根据线面平行的判定定理证明即可.（1）由正三梭柱可知，1BB ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，所以1BB AD ⊥， 在等边ABC 中，D 为BC 中点，所以BC AD ⊥，且1BCBB B =，BC ⊂平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，所以AD ⊥平面11BCC B ，又1B C ⊂平面11BCC B ，所以1AD B C ⊥；（2）连1A C 交1AC 于O ，连OE ，在ABC 中，由中位线定理可知1//B C OE ，且1B C ⊄平面1AEC ，OE ⊂平面1AEC ，所以1//B C 平面1AEC .19.（1）证明见解析；（2）①2cos 5θ=-时，需要航行t =；②左侧，理由见解析【解析】19.（1）利用||||BC AC AB =-，两边平方即可证明；（2）①游船能到1A 处，则游船在水平方向上的速度和水流速度大小相等，得到()21cos 180v v θ︒=-，从而解出cos θ，再解出游船垂直江岸方向的速度，即可求得所需时间；②判断游船水平方向上速度向左，即可判断游船到达1A 的左侧. （1）利用向量法证明余弦定理： 在ABC 中，||||BC AC AB =-，两边平方可得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅， 即2222cos a b c bc A =+-， 余弦定理得证；（2）①若游船能到1A 处，则游船在水平方向上的速度和水流速度大小相等，则有()21cos 180v v θ︒=-，得()2cos 1805θ︒-=-， 所以()2cos cos 1805θθ︒=--=-，因为0180θ︒︒<<，所以sin 5θ==，此时游船垂直江岸方向的速度1sin /h v v θ==，时间h 42d t v ==，即当2cos 5θ=-时，游船能到达1A处，需要航行h 42t =； ②120θ︒=时，游船水平方向的速度大小为()12cos 1801km /h v v θ︒--=， 方向水平向左，故最终到达北岸时游船在1A 点的左侧. 20.（1）8()214f θπθ=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）8- 【解析】20.（1）根据三角形内角和为π，分别表示出ACB ∠、DCB ∠和BDC ∠，也可求出θ得取值范围，即定义域，再根据正弦定理和三角形面积公式表示出()f θ，再由二倍角公式和辅助角公式化简()f θ即可；（2）求()f θ214πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭得最大值，再求解()f θ得最小值即可.（1）由题意可知：34ACB A ππθθ∠=--=-， 4DCB ACB ππθ∠=-∠=+，2BDC DBC DCB ππθ∠=-∠-∠=-， 根据题意，3040402πθπθππθπ⎧<<⎪⎪⎪<+<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得02πθ<<， 在ABC 中，由正弦定理得：sin sin sin 4AB A BC ACB θ⋅==∠- ⎪⎝⎭，sin 443sin sin sin sin sin 4242BC DCB BD BDC ππθθππππθθθθ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⋅∠⎝⎭⎝⎭====∠⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由三角形面积公式，218()sin 22sin cos 2cos sin 44f BC BD θθθθθπ=⋅=+- ⎪⎝⎭=， 由二倍角公式和辅助角公式，整理得88()sin 2cos 21214f θπθθθ==++⎛⎫++ ⎪⎝⎭，其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； （2）要求()f θ214πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭得最大值， 当sin 214πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即8θπ=214πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭1， ()f θ8=； 即()f θ最小值为8-.。
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高一下学期期中考试数学试题注意事项：1．本试卷包含填空题（第1题～第14题，共14题）、解答题（第15题～第20题，共6题），总分160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上．3．请用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔在答题卡纸的指定位置答题，在其它位置作答一律无效．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
1. 经过点(4,3)-且在y 轴上截距为2的直线的方程为___▲___．2. 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+,0,0,32,42y x y x y x 的目标函数y x z +=的最小值为___▲___．3. 在ABC ∆中,ABC B BC ∆==,32,1π面积3=S ,则边AC 长为___▲___． 4. 若直线052:1=-++m y mx l 与01)2(3:2=+-+y m x l 平行，则实数m 的值为___▲___．5．在等比数列}{n a 中，已知11=a ,243=k a ，3=q ，则数列}{n a 的前k 项的和k S 等于___▲___．6. 设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且2=a ，41cos -=C ，B A sin 2sin 3=，则=c ___▲___．7. 设n S 是首项不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且1S ，2S ，4S 成等比数列，则21a a的值为___▲___．Y8. 点)0,4(P 关于直线02145=++y x 的对称点的坐标是___▲___．9. 已知二次函数)(,1)2()(2Z a x a ax x f ∈++-=，且函数)(x f 在)1,2(--上恰有一个零点，则不等式1)(>x f 的解集为___▲___．10. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若27S =，121n n a S +=+，*n N ∈，则5S = ___▲___． 11. 如果函数(]()210,1()311,ax x f x ax x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，2()log g x x =，关于x 的不等式()()0f x g x ⋅≥ 对于任意(0, )x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是___▲___．12. 已知数列{}n a ，对任意的*k ∈N ，当3n k =时，3n n a a =；当3n k ≠时，n a n =，那么该数列中的第10个2是该数列的第___▲___项．13. 已知ABC ∆的三边长,,a b c 依次成等差数列，22221a b c ++=，则b 的取值范围是___▲___． 14. 已知21=xy ，)1,0(,∈y x ，则yx -+-1112的最小值为___▲___． 二、解答题：本大题共6小题，共90分。
请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （本题满分14分） 在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知3b =，2c =．（1）若2cos 3a C =，求a 的值； （2）若cos 1cos c Cb B=+，求cos C 的值．16. （本题满分14分）根据所给条件求直线的方程：(1) 直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2) 直线过点(-2,1)，且到原点的距离为2.17. （本题满分15分）某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产x 件．，需另投入成本为)(x C ，当年产量不足80件时，x x x C 1031)(2+=（万元）.当年产量不小于80件时，14501000051)(-+=xx x C （万元）.每件．．商品售价为50万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润)(x L （万元）关于年产量x （千件．．）的函数解析式； （2）年产量为多少件．时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？18.（本题满分15分） 已知数列}{n a 的前n 项和为n S , 且1751=+a a .(1) 若}{n a 还同时满足: ①}{n a 为等比数列；②1642=a a ；③对任意的正整数n ,222+<n n a a ,试求数列}{n a 的通项公式. (2) 若}{n a 为等差数列, 且568=S .① 求该等差数列的公差d ；② 设数列}{n b 满足n n n a b ⋅=3,则当n 为何值时, n b 最大？请说明理由；19. （本题满分16分）已知二次函数32)(2--=x mx x f ． （1）若)2()1(-≤≤f n f ，求n m +2的最小值；（2）关于实数x 的不等式()0f x ≤的解集为],1[b -．当0a >时，解关于x 的不等式：ax x m b ax 2)1(12++>++；（3）是否存在实数()0,1a ∈，使得关于x 的函数()[]()131,2x x y f a a x +=-∈的最小值为-5？若存在，求实数a 的值；若不存在，说明理由．20. （本题满分16分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且，N *(1) 求数列}{n a 的通项公式； (2) 已知 (N *)，记(且)，是否存在这样的常数，使得数列是常数列，若存在，求出的值；若不存在,请说明理由。
(3) 若数列，对于任意的正整数，均有成立，求数列的通项公式。
第二学期期中考试高一数学答案1. 5x+4y-8=0；2.37； 3. 21=S ； 4.-1 ；5. 364 ；6. 4 ；7. 1或3 ；8. (-6，-8)； 9． (－1,0) ； 10. 202； 11. ]21,31[；12. 932⨯； 13.]7,6(； 14. 1015.解：（1）由余弦定理，222232a b c a ab +-=，将3b =，2c =代入，解得：2a =．……6分（2）由正弦定理，sin cos sin 1cos C CB B=+，由正弦定理可得，sin sin 2sin cos b c bB C C C==， 将3b =，2c =代入解得3cos 4C =．…………………14分 16. 解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13. 故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4).即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0. ………7分(2)当斜率不存在时，所求直线方程为x －2＝0；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －1＝k (x +2)，即kx －y ＋(1+2k )＝0. 由点线距离公式，得21|21|2=++k k ，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋10＝0.综上知，所求直线方程为x －2＝0或3x －4y ＋10＝0. …………………14分注：第（2）问解出一条直线得4分。
17.解：产量为100件时，利润最大为为1000万元. …………………15分18.解: (1)因为}{n a 是等比数列,则165142==a a a a ,又1751=+a a ,所以⎩⎨⎧==16151a a 或⎩⎨⎧==11651a a …………3分 从而12-=n n a 或1)2(--=n n a 或1)21(16-⨯=n n a 或1)21(16--⨯=n n a .由③得，12-=n n a 或1)21(16--⨯=n na …………7分 （注：第1步四个解中，算出一个得1分，算出四个得4分；第2步中2个解写出1个得1分，写出2个得3分。
）(2)①由题意,得11241782856a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得1d =-……………………9分②由①知1212a =,所以232n a n =-,则2333()2n n n n b a n =⋅=⋅-因为1121233()3()22n n n n b b n n ++-=⋅--⋅-21233[3()()]23[10]22n n n n n =⋅---=⨯⋅- ………………………… 12分所以1110b b =,且当10n ≤时,{}n b 单调递增,当11n ≥时,{}n b 单调递减,故当10n =或11n =时, n b 最大…………………………………… 15分 19. （1）线性规划或待定系数法求得最小值为：-11 …………… 5分 第（2）问6分；第（3）问5分。
④当1a >时，原不等式化为()220x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭且22a >，解得2x a <或2x >；．．．．．．．．6分综上所述，当01a <≤时，原不等式的解集为2|2x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或；当1a >时，原不等式的解集为2|2x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8分20. 解：(1),所以由得时,两式相减得,,数列是以2为首项,公比为的等比数列,所以() ………………5分(2)由于数列是常数列=为常数,只有;解得,此时………………10分(3)……①,,其中,所以当时,……②②式两边同时乘以得,③①式减去③得,,所以且所以数列是以为首项,公差为的等差数列.所以83+-=n b n ………………16分。