离散数学复习纲要一
离散数学复习提纲
离散数学复习提纲离散数学是一门关于离散对象的数学分支，它主要研究离散结构及其性质，广泛应用于计算机科学、信息技术、密码学等领域。
下面是一个离散数学的复习提纲，包括离散数学的基本概念、离散结构、图论、关系、逻辑以及集合论等内容。
一、离散数学的基本概念1.数学基础：集合、函数、关系、证明方法（数学归纳法、反证法、递归法等）；2.命题逻辑：命题、命题连接词、真值表、逻辑运算、逻辑等价、推理规则等；3.谓词逻辑：谓词、量词、公式、合取范式和析取范式、蕴含、等价、量词的否定规则等；4.证明方法：直接证明、间接证明、归谬证明、证明策略等。
二、离散结构1.图论：图的基本概念、图的表示方法、连通性、路径和回路、图的着色、最小生成树等；2.代数结构：群、环、域的定义、性质及基本例子；3.组合数学：组合基本原理、二项式系数、排列组合、生成函数、递归关系、容斥原理等；4.有限状态自动机：确定性有限状态自动机、非确定性有限状态自动机、正则表达式等。
1.图的基本概念：顶点、边、路径、回路、度等；2.图的表示：邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等；3.图的遍历：深度优先、广度优先；4. 最短路径问题：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法；5. 最小生成树问题：Prim算法、Kruskal算法；6.匹配问题：最大匹配、二分图匹配等。
四、关系1.关系的基本概念：关系矩阵、关系的性质（反自反性、对称性、传递性等）；2.等价关系：等价关系的性质、等价类等；3.偏序关系：偏序关系的性质、偏序集合、哈斯图等；4.传递闭包：传递闭包的定义、传递闭包的计算方法等。
五、逻辑1.命题逻辑：命题的定义、逻辑运算、真值表、逻辑等价、推理规则等；2.谓词逻辑：量词的定义、公式的定义、量词的否定规则、等价变换等；3.命题逻辑与谓词逻辑的转换；4.形式化推理：前向链式推理、后向链式推理、消解法等。
1.集合的基本概念：子集、并集、交集、差集、补集等；2.集合运算：集合的并、交、差、补等运算的性质；3.集合的关系：包含关系、相等关系、等价关系等；4.集合的表示方法：列举法、描述法、元祖法等；5.集合的基数：有限集合的基数、无穷集合的基数、基数的性质。
离散数学复习要点
离散数学复习要点第一章命题逻辑一、典型考查点1、命题的判断方法：陈述句真值唯一，特殊：反问句也是命题。
其它疑问句、祈使句、感叹句、悖论等皆不是。
详见教材P12、联结词运算定律┐∧∨→记住特殊的：1∧1⇔1，0∨0⇔0，1→0⇔0，11⇔1，00⇔1详见P53、命题符号化步骤：A划分原子命题，找准联结词。
特殊自然语言：不但而且，虽然但是用∧，只有P才Q，应为Q→P；除非P否则Q，应为┐P→Q。
B设出原子命题写出符号化公式。
详见P54、公式的分类判定（重言式、矛盾式、可满足式）方法：其一根据所有真值赋值情况，其二根据等价演算来判断。
详见P95、真值表的构造步骤：①命题变元按字典序排列，共有2n个真值赋值。
②对每个指派，以二进制数从小到大或从大到小顺序列出。
③若公式较复杂，可先列出各子公式的真值(若有括号，则应从里层向外层展开)，最后列出所求公式的真值。
详见P8。
6、基本概念：置换规则，P规则，T规则，详见P24；合取范式，析取范式，详见P15；小项详见P16；大项详见P18，最小联结词组详见P157、等价式详见P22表1.6.2 证明方法：①真值表完全相同②用等价演算③利用A⇔B的充要条件是A⇒B且B⇒A。
主要等价式：(1)双否定：⎤⎤A⇔A。
(2)交换律：A∧B⇔B∧A，A∨B⇔B∨A，A↔B⇔B↔A。
3)结合律：(A∧B)∧C⇔A∧(B∧C)，(A∨B)∨C⇔A∨(B∨C)，(A↔B)↔C⇔A↔(B↔C)。
(4) 分配律：A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)，A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)。
(5) 德·摩根律：⎤(A∧B)⎤⇔A∨⎤B，⎤(A∨B)⎤⇔A∧⎤B。
(6) 等幂律：A∧A⇔A，A∨A⇔A。
(7) 同一律：A∧T⇔A，A∨F⇔A。
(8) 零律：A∧F⇔F，A∨T⇔T。
(9) 吸收律：A∧(A∨B)⇔A，A ∨(A∧B)⇔A。
(10) 互补律：A∧⎤A⇔F，(矛盾律)，A∨⎤A⇔T。
离散数学期末复习总要
离散数学期末复习总要离散数学期末复习各个章节要点纲要（及定理）离散数学定义定理1.3.1命题演算的合式公式规定为：（1）单个命题变元本身是一个合式公式。
（2）如果A是合式公式，那么┐A是合式公式。
（3）如果A和B是合式公式，那么（A∨B）、（A∧B）、（A→B）、（A?B）、都是合式公式。
（4）当且仅当有限次地应用（1）（2）（3）所得到的包含命题变元，连接词和圆括号的符号串是合式公式。
1.3.2 设Ai是公式A的一部分，且Ai是一个合式公式，称Ai是A的子公式。
1.3.3 设P为一命题公式，P1,P2,……，Pn为出现在P中的所有命题变元，对P1,P2,……，Pn指定一组真值称为对P的一种指派。
若指定的一种指派，使P的值为真，则称这组指派为成真指派。
若指定的一种指派，使P的值为假，则称这种指派为成假指派。
含n个命题变元的命题公式，共有2n个指派。
1.3.4 给定两个命题公式A和B，设P1,P2,……，Pn为所有出现于A和B中的原子变元，若给P1,P2,……，Pn任一组真值指派，A和B的真值都相同，称A和B是等价的，记做A <=>B。
1.3.5 设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下，其取值均为真，则称A为重言式或永真式。
1.3.6 设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下，其取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
1.3.7设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下至少存在一组成真指派，则称A为可满足式。
1.4.1 设X式合式公式A的子公式，若有Y也是一个合式公式，且X<=>Y，如果将Ａ中的Ｘ用Ｙ置换，得到公式Ｂ，则A<=>B。
1.4.2 设A，B为两个命题公式，A<=>B，当且仅当A ←→B为一个重言式。
P=>Q称做P蕴含Q或蕴含式，又称永真条件式。
蕴含式有下列性质：（1）对任意公式A，又A=>A；（2）对任意公式A，B和C，若A=>B，B=>C，则A=>C；（3）对任意公式A，B和C，若A=>B，A=>C，则A=>(B∧C); （4）对任意公式A，B和C，若A=>C，B=>C，则A∨B=>C.1.4.3设P，Q为任意两个命题公式，P<=>Q的充分必要条件式P=>Q,，Q=>P。
离散数学复习提纲(完整版)解析
《离散数学》期末复习大纲（完整版）（含例题和考试说明）一、命题逻辑[复习知识点]1、命题与联结词（否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价↔），复合命题2、命题公式与赋值（成真、成假），真值表，公式类型（重言、矛盾、可满足），公式的基本等值式3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）5、命题逻辑的推理理论本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、（主）析取范式与（主）合取范式、公式类型的判定、命题逻辑的推理[复习要求]1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。
2、理解公式与赋值的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简其它公式，公式在解释下的真值。
3、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。
4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。
5、掌握命题逻辑的推理理论。
[疑难解析]1、公式类型的判定判定公式的类型，包括判定公式是重言的、矛盾的或是可满足的。
具体方法有两种，一是真值表法，二是等值演算法。
2、范式求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。
关键有两点：一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和互补律（排中律、矛盾律），结果的前一步适当使用幂等律，使相同的短语（或子句）只保留一个。
3、逻辑推理掌握逻辑推理时，要理解并掌握12个（除第10，11）推理规则和3种证明法（直接证明法、附加前提证明法和归谬法）。
例1.试求下列公式的主析取范式：（1）))()((P Q Q P P ⌝∨⌝⌝∧→→；（2）)))((R Q Q P P →⌝∨→⌝∨（))()(())()((:)1P Q Q P Q P P P Q Q P P ∧∧∨∧∧⌝∨⌝=∧∧∨⌝∨⌝=原式解 Q P P P Q P P Q P ∨⌝=∨⌝∧∨⌝=∧∨⌝=)()()())(())((Q P P Q Q P ∧∨⌝∨∨⌝∧⌝=)()()(Q P Q P Q P ∧∨∧⌝∨⌝∧⌝=)))((()))(((:)2R Q Q P P R Q Q P P ∨∨∨∨=→⌝∨→⌝∨解)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧⌝∧∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝=∨∨=)()()(R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨⌝∧⌝∧∨）2．用真值表判断下列公式是恒真？恒假？可满足？（1）（P ∧⌝P ）↔Q（2）⌝（P →Q ）∧Q（3）（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）解：（1） 真值表因此公式（1）为可满足。
离散数学复习提纲
离散数学复习提纲第一章1、集合的三种表示法：①穷举列表法；例A={a,b,c}；B={1,2,3,……,200}；②特性刻划法；例A={x|x∈I并且I<0}；③由计算规则定义；例设a1=1,a2=2,ai+1=ai+ai-1 S={ak|k>0}。
2、没有元素的的集合称为空集。
3、设A和B是两个集合，A B，表示A中的每个元素都可以在B中找到，称A是B 的一个子集(A被B包含)，如果A中至少有一个元素不属于B，则A B。
4、幂集ρ(s)就是S的所有子集组成的集合(共2S个)，例：S={1,{2,3}}，则ρ(s)={{1},{{2,3}},{1,{2,3}},φ}5、文氏图是一种集合的图形表示。
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C| 第二章1、笛卡尔积A×B={(a,b)|a∈A,b∈B}，即A到B的所有有序偶构成的集合。
2、(a,b)称为有序偶，若(a,b)= (c,d)，当且仅当a=c，b=d，通常(a,b)≠(b,a)，除非a=b。
3、A到B的二元关系R是A×B的一个子集，R A×B，若R= A×B，称R为全关系，R=φ称为空关系。
4、两个元素的有序偶(x,y)∈R，称x和y具有关系R，例：A上的小于关系定义为：L={(a1,a2)| a1,a2∈A∩a1<a2}。
5、对于每个x∈A，有(x,x)∈R，称R是A上的自反关系；对于每个x,y∈A，如有(x,y)∈R，有(y,x)∈R，则称R是A上的对称关系；对于每个x,y,z∈A，如有(x,y)∈R，并且(y,z)∈R，便有(x,z)∈R，则称R是A上的传递关系；例：A={1,2,3}，R1={(1,1),(2,2),(3,3),…}，R2={(1,2),(2,1),(3,3)}，R3={(1,2),(2,3),(1,3)}，则R1是自反的，R2是对称的，R3是传递的。
离散数学复习提纲(1-457章)
离散数学复习提纲第一章 命题逻辑1．（P ∨Q ）→（⌝Q ∧R ）的主合取范式和主析取范式。
2．试求下列公式的主析取范式：（1）))()((P Q Q P P ⌝∨⌝⌝∧→→；（2）)))((R Q Q P P →⌝∨→⌝∨（an: ))()(())()((:)1P Q Q P Q P P P Q Q P P ∧∧∨∧∧⌝∨⌝=∧∧∨⌝∨⌝=原式解 Q P P P Q P P Q P ∨⌝=∨⌝∧∨⌝=∧∨⌝=)()()())(())((Q P P Q Q P ∧∨⌝∨∨⌝∧⌝=)()()(Q P Q P Q P ∧∨∧⌝∨⌝∧⌝=)))((()))(((:)2R Q Q P P R Q Q P P ∨∨∨∨=→⌝∨→⌝∨解)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧⌝∧∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝=∨∨=)()()(R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨⌝∧⌝∧∨）3．用真值表判断下列公式是恒真？恒假？可满足？（1）（P ∧⌝P ）↔Q（2）⌝（P →Q ）∧Q（3）（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）(an: 解：（1）真值表)（2因此公式（2）为恒假。
（3因此公式（3）为恒真。
4．┐Q ∧（P →Q ）蕴涵 ┐P法1：真值表法2：若┐Q ∧（P →Q ）为真，则 ┐Q ，P →Q 为真，所以Q 为假，P 为假，所以┐P 为真。
法3：若┐P 为假，则P 为真，再分二种情况：①若Q 为真，则┐QÙ（P →Q ）为假②若Q 为假，则P →Q 为假，则┐Q ∧（P →Q ）为假根据① ②，所以 ┐Q ∧（P →Q ）蕴涵 ┐P 。
）5．利用基本等价式证明下列命题公式为恒真公式。
（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）（（P ∨Q ）∧⌝（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ）））∨（⌝P ∧⌝Q ）∨（⌝P ∧⌝R ）（an: 1、证明：（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）=（（⌝P ∨Q ）∧（⌝Q ∨R ））→（⌝P ∨R ）=⌝（（⌝P ∨Q ）∧（⌝Q ∨R ））∨（⌝P ∨R ）=（P ∧⌝Q ）∨（Q ∧⌝R ）∨⌝P ∨R=（（P ∧⌝Q ）∨⌝P ）∨（（Q ∧⌝R ）∨R ）=（1∧（⌝Q ∨⌝P ））∨（（Q ∨R ）∧1）= ⌝Q ∨⌝P ∨Q ∨R=（⌝Q ∨Q ） ∨⌝P ∨R= 1 ∨⌝P ∨R= 1（（P ∨Q ）∧⌝（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ）））∨（⌝P ∧⌝Q ）∨（⌝P ∧⌝R ）=（（P ∨Q ）∧（P ∨（Q ∧R ）））∨（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ））=（P ∨（Q ∧ Q ∧R ））∨（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ））=（P ∨（Q ∧R ））∨⌝（P ∨（Q ∧R ））=1）6．用形式演绎法证明：{S R R Q Q P →∨⌝∨⌝,,}蕴涵S P →(an: 证明：2006年12月离散数学复习提纲 3（1）Q P ∨⌝ 规则P（2）Q P → 规则Q （1）（3）R Q ∨⌝ 规则P（4）R Q → 规则Q （3）（5）R P → 规则Q （2）（4）（6）R →S 规则P（7）P →S 规则Q （5）（6） )7．用形式演绎法证明：（E F D D C B A →∨∧→∨)(),()蕴涵A E →（an: 、证明：(改()()(),()F D F D B A B A ∨∧∨∧为为)（1）A 规则D（2）A ∨B 规则Q （1）（3）)()(D C B A ∧→∨ 规则P（4）D C ∧ 规则Q （2）（3）（5）D 规则Q （4）（6）F D ∨ 规则Q （5）（7）E F D →∨)( 规则P（8）E 规则Q （6）（7）（9）E A → 规则Q （1）（8））8．┐（P ∧┐Q ），┐Q ∨R ，┐R 蕴涵 ┐P（an: （1）┐Q ∨R（2）┐R（3）┐Q（4）┐（P ∧┐Q ）（5）┐P ∨Q（6）┐P ）9．某案涉及甲、乙、丙、丁四个，根据已有线索，已知：（1） 若甲、乙均未作案，则丙、丁也均未作案；（2） 若丙、丁均未作案，则甲、乙也均未作案；（3） 若甲与乙同时作案，则丙与丁有一人且只有一人作案；（4） 若乙与丙同时作案，则甲与丁同时作案或同未作案。
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《离散数学》期末复习大纲（完整版）（含例题和考试说明)一、命题逻辑[复习知识点］1、命题与联结词(否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价↔）,复合命题2、命题公式与赋值(成真、成假）,真值表,公式类型（重言、矛盾、可满足),公式的基本等值式3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）5、命题逻辑的推理理论本章重点内容:命题与联结词、公式与解释、(主)析取范式与（主)合取范式、公式类型的判定、命题逻辑的推理［复习要求]1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法.2、理解公式与赋值的概念;掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简其它公式，公式在解释下的真值。
3、了解析取(合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取(合取）范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取)范式的方法.4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。
5、掌握命题逻辑的推理理论。
[疑难解析］1、公式类型的判定判定公式的类型,包括判定公式是重言的、矛盾的或是可满足的。
具体方法有两种，一是真值表法,二是等值演算法。
2、范式求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。
关键有两点:一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和互补律（排中律、矛盾律）,结果的前一步适当使用幂等律，使相同的短语(或子句）只保留一个.3、逻辑推理掌握逻辑推理时，要理解并掌握12个（除第10，11）推理规则和3种证明法(直接证明法、附加前提证明法和归谬法）. 例1.试求下列公式的主析取范式:(1）))()((P Q Q P P ⌝∨⌝⌝∧→→；（2）)))((R Q Q P P →⌝∨→⌝∨（))()(())()((:)1P Q Q P Q P P P Q Q P P ∧∧∨∧∧⌝∨⌝=∧∧∨⌝∨⌝=原式解Q P P P Q P P Q P ∨⌝=∨⌝∧∨⌝=∧∨⌝=)()()())(())((Q P P Q Q P ∧∨⌝∨∨⌝∧⌝=)()()(Q P Q P Q P ∧∨∧⌝∨⌝∧⌝=)))((()))(((:)2R Q Q P P R Q Q P P ∨∨∨∨=→⌝∨→⌝∨解)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧⌝∧∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝=∨∨=)()()(R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨⌝∧⌝∧∨）2．用真值表判断下列公式是恒真?恒假？可满足？（1)（PP ）Q （2)（P Q)Q （3）（（P Q)(Q R ））（P R) 解：（1） 真值表 P QP P P （P P)Q 0 01 0 1 0 11 0 0 1 00 0 1 1 1 0 0 0因此公式(1)为可满足.（2） 真值表P Q P Q （P Q) （P Q）Q0 0 1 0 00 1 1 0 01 00 1 01 1 1 0 0因此公式（2）为恒假。
离散数学-复习提纲
第4.1节 代数系统
定义：设(A,*)是代数系统，如果对于A中任意 元素a和b，都有a*b = c∈A，则称二元运算*对 于A是封闭的，简称*为封闭运算。 例：
(R，＋)、(R，－)、(R，×)、(R，÷)是封闭 的 (Z，＋)、(Z，－)、(Z，×)是封闭的
(Z，÷)是不封闭的
第4.1节 代数系统
<R, × >, <Q, × > 是群?
第4.3节 群
对于(Nk,k)，情况特别。 ⑴(Nk,k)不是群。因为1是幺元，0没有逆 元。 ⑵k为偶数时，(Nk-{0},k)不一定是群。如 k=6，364=0。 ⑶k为奇数时，(Nk-{0},k)不一定是群。如 k=9，396=0。 ⑷k为素数时，(Nk-{0},k)一定是群。
第3.2节 特殊函数
定义：设f是A到B的映射， 若对任意的x,y∈A,x≠y时， 均有 f(x)≠ f(y)，则称f为A到B的单射。 若f(A)=B，则称f是A到B上的满射。 若f既是满射又是单射，则称f为A到B的双射, 或1––1映射，或一一对应。
例：设集合A={1,2,3},B={1,2,3,4},那么在A 到B中，可以定义多少种不同的单射函数？ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 4 第一行固定， 第二行从B中4个元素取3个做排列，P34。
第4.2节 半群与独异点
定义：设(A,*)是代数系统，且*满足： ⑴运算*对于A是封闭的 ⑵运算*是可结合的 ⑶(A,*)含有幺元 则称(A,*)为独异点。
例：代数系统(R,＋)、(Q,＋)、(Z,＋)都是独 异点，即含幺元0的半群。
第4.2节 半群与独异点
定义：设(A,*)是独异点，B是A的子集，如果 (B,*)也是独异点，且(A,*)中的幺元也属于 (B,*)。则称(B,*)为(A,*)的子独异点。
离散数学期末复习大纲
代数系统的定义
由非空集合及定义在该集 合上的一组运算构成的数 学结构。
代数系统的性质
封闭性、结合律、交换律、 分配律、吸收律等。
同态与同构
保持运算的映射关系，探 讨不同代数系统之间的结 构与性质相似性。
群、环、域等代数结构介绍
STEP 02
STEP 03
域的定义及性质
每个非零元素都有乘法逆 元的交换环，具有更丰富 的数学性质。
集合间关系与运算
集合间的关系
子集、真子集、相等集合等概念及其性质。
集合的运算
并集、交集、差集、补集等运算的定义、性 质及计算方法。
集合运算的优先级
括号>补集>交集>并集，在运算中应注意运 算优先级。
笛卡尔积与幂集
01
笛卡尔积的定义
设A和B为任意两个集合，则所有 有序对(a,b)的集合，其中a∈A， b∈B，称为A和B的笛卡尔积， 记作A×B。
形式语言与自动机
运用代数方法研究形式语言的语 法和语义，以及自动机的结构和 性质。
自动机理论
将计算过程抽象为状态转移的过 程，利用代数系统描述和分析自 动机的行为。
Part
07
总结与展望
关键知识点回顾与总结
命题逻辑
谓词逻辑
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
集合论
图论
代数系统
掌握命题、联结词、真 值表、逻辑等价、范式 等基本概念和性质，能 够运用推理规则进行逻 辑推理和证明。
Part
04
逻辑初步
命题逻辑基本概念及公式化简方法
命题逻辑基本概念
命题、联结词、真值表、命题公式、重言式、矛盾式 等。
公式化简方法
利用逻辑等价公式进行化简，如德摩根定律、分配律 等。
离散数学辅导大纲
离散数学期末复习提纲一、基本概念:1.数理逻辑中使用哪8条推理规则?其中哪几条规则的使用是有条件限制的?2.把实际问题符号化时,全称量词对应哪个逻辑连接词?存在量词对应哪个逻辑连接词?3.一个谓词公式一经量化就是一个确定的命题,假设个体域为S={1，2，3，⋯}如何确定(∀x)A(x)和（∃x）A(x)的真值？4.何为极小项(极大项)?极小项(极大项)一定是基本积(基本和)吗?5.何为判定问题?解决判定问题的途径是什麽?6.对偶式和对偶原理相同吗?7.一个谓词公式的前束范式具有什麽样的结构?8.⎨⌝,∧,∨⎬是最小功能完备集吗？为什麽？9.设A和B为任意两个集合，A⨯B一定是二元关系吗？10.一个关系可能具有哪些性质？每种性质的形式化描述如何？11.如何从一个关系的关系矩阵来判断其性质？在关系上可以进行哪些运算？12.R*和R+的意义各是什麽？13.我们都介绍了哪些特种关系？它们的形式化定义是什麽？14.划分和什麽关系相对应？覆盖和什麽关系相对应？15.盖复和覆盖是同一个概念吗？什麽关系使用哈斯图？画哈斯图时用到什麽概念？16.极大员、极小员、最大员、最小员和上界、下界、上确界、下确界定义的根本区别在哪里？17.是关系一定是函数，是函数一定是关系这两句话哪一句是正确的？18.一个关系若存在，则其逆关系一定存在；一个函数若存在，则其反函数一定存在这两句话哪一句是正确？19.我们介绍了哪些特种函数？20.当一个函数满足什麽条件时，就是运算？一个零元运算又叫集合X中的特异元素，我们介绍了哪些特异元素？21.两个无限集通过什麽方法比较大小？22.何为两个代数系统的同态，同构？23.何为同余关系？一个同余关系会造成一个集合的商集，一个商集一定是原集合的覆盖吗？24.何为群？寻找子群的Laglangre定理？25.何为格？何为布尔代数？一个元素的补元唯一吗？如果存在一个元素没有补元，还能构成格吗？26.何为图（指图的抽象数学定义）？图的度？d度正则图指的是有向图还是无向图?何为路径?从V i到Vj可达，从Vj到V i一定可达吗？强连通，单向连通，弱连通是指有向图还是指无向图而言？何为一个结点的可达集？设图的邻接矩阵为A，A中行上1的个数，列上1的个数各代表什麽含义？A²和A'²'中的元素含义各是什麽？何为欧拉图？何为哈密顿图？是哈密顿路一定是欧拉路，是欧拉路一定是哈密顿路，这两句话哪一句正确？二元树和二叉树的概念相同吗？什麽是叶加权最优二叉树？公式∑W(V)∙L(v)中各参数的含义是什麽？v∈V27.遍历二叉树有几种方法？二．能够熟练解决以下问题：1．命题逻辑中通过求主范式进行判定的问题。
离散数学复习提纲
离散数学复习提纲集合论一、基本概念集合(set)：做为整体识别的、确定的、互相区别的一些对象的总体。
规定集合的三种方式：列举法、描述法、归纳法集合论的三大基本原理外延公理：两个集合A和B相等当且仅当它们具有相同的元素（无序性）概括公理：对于任意个体域U，任一谓词公式P都确定一个以该域中的对象为元素的集合S（确定性）正规公理：不存在集合A1,A2,A3,…使得…∈A3∈A2∈A1（有限可分，集合不能是自己的元素）注意：隶属、包含的判断（有时两者兼有）定理1：对于任意集合A和B，A=B当且仅当A ? B且B ? A传递性，对全集、空集的?关系等定理5：空集是唯一的子集、真子集、子集个数等运算：并、交、补、差、幂集，及一些运算性质、公式幂集：对任意集合A，ρ(A)称作A的幂集，定义为：ρ(A)={x|x?A}，所有子集的集合设A,B为任意集合，A A B当且仅当ρ(A) ?ρ(B)集合族：如果集合C中的每个元素都是集合，称C为集合族集合族的标志集：如果集合族C可以表示为某种下标的形，C={Sd|d∈D}，那么这些下标组成的集合称作集合族C的标志集广义并、广义交，及相关运算性质、公式归纳定义：基础条款：规定某些元素为待定义集合成员，集合其它元素可以从基本元素出发逐步确定归纳条款：规定由已确定的集合元素去进一步确定其它元素的规则终极条款：规定待定义集合只含有基础条款和归纳条款所确定的成员基础条款和归纳条款称作“完备性条款”，必须保证毫无遗漏产生集合中所有成员终极条款又称“纯粹性条款”，保证集合中仅包含满足完备性条款的那些对象例：自然数的归纳定义、数学归纳法等……（建议看一下课件例子了解一下思路）二、关系有序组（二元）：设a,b为任意对象，称集合族{{a},{a,b}}为二元有序组，简记为称a为的第一分量，b为第二分量递归定义：n=2时，={{a1},{a1,a2}}n>2时，=<< a1,…,an-1>, an>集合的笛卡儿积：对任意集合A,A2,…,A，A1×A2称作集合A1，A2的笛卡儿积，定义如下：A1×A2 = { | u∈A1,v∈A2}A1×A2×…×An =(A1×A2×…×An-1) ×An定理：对于任意有限集合A1,…,An，有|A1×…×An|=|A1|*…*|An|一些运算性质关系是各个对象之间的联系和对应R称为集合A1,A2,…,An-1到An的n元关系，如果R是A1×A2×…×An的一个子集。
离散数学复习提纲
一、数理逻辑（第1章、第2章）·命题定义、联结词（与、或、非、单条件、双条件）·命题公式、真值、真值表、符号化·谓词、量词（全称、存在）、谓词公式·一阶逻辑符号化（所有的。
是。
，、和有些。
是。
特性谓词）·谓词公式求真值（在某种解释下）·命题公式的等值（等价）演算（十大定律）·命题公式的主范式·谓词公式的前束范式·命题逻辑应用·命题逻辑推理（推理定律、推理规则：P，T，CP）·谓词逻辑推理（推理定律、推理规则：P，T，CP，UI，EI,UG,EG）····························二、集合论（第3章）·集合的定义与表示方法（解析法、枚举法、文氏图法）·集合间的相互关系（定义，符号：⊆⊂ =）·集合的运算定义与图示（⋂⋃ - ~⊕⨯ P / ）——入集条件·集合定律（十大定律）·集合恒等式的证明法一：直接利用定律及已证等式法二：利用集合相等的定义（①左⊆右∧右⊆左②x∈左⇔ x∈右）·集合的元素计数与应用（包容排斥原理）·································三、关系论（第4章）·二元关系的定义及其表示（解析法、集合法、图示法、矩阵法）·关系的运算（集合的所有运算+左复合、求逆、求闭包）·关系的性质（定义、关系图特点、矩阵的特点、证明）·等价关系（定义、等价类、上集、划分）·偏序关系与偏序集（定义、哈斯图）·全序集（线序集、定义、最元、极元、界元、确界）·································四、函数论（第4章）·定义（唯一性）·A到B的函数（唯一性、良定性）·特殊函数（常、恒等、单增、单减、特征、自然映射）·BA的计数·函数的性质（单、满、双，判断）·函数的复合（左复合）·反函数（只有双设才有）·······························五、代数系统（第5章、第6章）·二元运算（定义，封闭性）、运算表·各种定律（交换、结合、幂等、分配、吸收、消去、幺元、零元、逆元）·代数系统、子代数、积代数（定义、特殊元素、代数常数）·同态与同构（同态等式、证明）·半群、独异点·群、子群、阿贝尔群、生成子群、元素的阶（周期）、循环群（定义与证明）·环、含幺环、零因子、无零因子环、整环、除环与域·格（两种定义）、分配格、有界格、布尔格（判断）·······························六、图论（第7张、第8张、第9张）·无向图、有向图、零图、平凡图、完全图、子图、生成子图、补图·第一握手定理、度数序列·通路、回路、简单。
离散数学重点难点复习提纲
第一部分数理逻辑第一章命题逻辑重点：●熟练掌握联结词的定义；●掌握数理逻辑中命题的翻译及命题公式的定义；●熟记基本的等价公式和蕴涵公式；●利用真值表技术和公式法求公式的主析取范式和主合取范式；●熟练掌握应用基本推理方法完成命题逻辑推理：1.直接证法2.反证法3.CP规则难点：●如何正确地掌握对语言的翻译；●如何利用推理方法正确的完成命题推理。
第二章谓词逻辑重点：●谓词、量词、个体域的概念；●谓词逻辑中带量词命题的符号化；●熟记基本的谓词等价公式；●求公式的前束范式；●掌握谓词逻辑的推理规则以及能够熟练地完成一阶逻辑推理；难点：●谓词逻辑中带量词命题的符号化；●如何利用推理方法正确地完成一阶逻辑推理。
第二部分集合论第三章集合与关系重点：●掌握集合的五种基本运算和集合相等的证明方法；●幂集的概念以及和子集的关系；●序偶和笛卡尔积的概念；●关系定义及其和笛卡尔积之间的联系；●关系的复合；●关系的五种性质及其判断和证明；●关系的闭包；●等价关系定义、证明及其与等价类、集合的划分间的关系；●偏序关系的定义和证明，哈斯图；●偏序关系中的特殊元素；难点：●如何正确证明集合之间包含和相等关系；●如何正确地理解和判断关系的性质；●非常重要的关系性质的证明方法——按定义证明法；●如何正确地掌握等价关系及相应的等价类与集合划分之间的关系；●如何正确地理解和判断偏序关系中的八种特殊元素。
第四章函数重点：●能够判定某个二元关系是否是函数；●几种特殊的函数：满射，单射，双射；难点：●如何正确地判断三种特殊函数。
第三部分代数结构重点：●理解代数结构的构成和研究方法；●代数结构中运算的性质以及特殊元素；●广群⇒半群⇒独异点⇒群；●群的定义与性质；●环与域的判断和证明；●格的两种定义；●特殊格：分配格、有界格、有补格、有补分配格；●有补分配格与布尔代数之间的联系；难点：●循环群的判断和证明；●如何正确理解由偏序关系定义的格与由代数系统定义格之间的关系和区别；●如何正确理解布尔代数的概念。
离散数学复习要点
《离散数学》复习大纲本说明包括以下部分：考核说明及实施要求考核内容和要求第一部分集合论第二部分数理逻辑第三部分图论第四部分代数结构第一部分集合论（集合和二元关系）一、集合[考核知识点]集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集集合的交、并、差、补等运算及其运算律（交换律、结合律、分配律、吸收律、 De Morgan律等），文氏（Venn）图序偶与迪卡尔积[考核要求]理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。
掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补等基本运算。
掌握集合运算基本规律，证明集合等式的方法。
了解序偶与迪卡尔积的概念，掌握迪卡尔积的运算。
二、二元关系[考核知识点]关系、关系矩阵与关系图复合关系与逆关系关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性）关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）等价关系与等价类[考核要求]理解关系的概念：二元关系、空关系、全关系、恒等关系；掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图、关系的运算。
掌握求复合关系与逆关系的方法。
理解关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性），掌握其判别方法（定义、矩阵、图） 掌握求关系的闭包 （自反闭包、对称闭包、传递闭包）的方法。
理解等价关系的概念，掌握等价类的求法。
理解单射、满射、双射等概念，掌握其判别方法。
三、 典型题第一章 集合1. 设A=∅, B={∅,a,{a}},求P(A)和P(B).2. 设A={1,2,3,4} , B={a,b,c}, 求A ⨯B 和B ⨯A.3. P21: 84. P22: 125.证明：B A B A =-6.思考题 P29： 15， 16第二章 关系1. 设A=｛1，2，3，4｝，A 上的关系R={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,4),(3,4)}, S=={(2,1), (1,2), (2,3), (1,4), (2,2), (2,4),(4,4)}, 求（1） R 和S 的关系图和关系矩阵（2） R-S（3） S R 1-（4） S R ⊕（5） A 上的恒等关系I A2. 设A=｛a ，b ，c ｝，R 是A 上的关系R=｛(a,a),(a,c),(c,b)｝, 求 ∞=1n n R3. 设R 是A 上的关系，请叙述R 具有自反性，反自反性，对称性，反对称性和传递性的含义4. 设A=｛1，2，3，4，5｝，A 上的关系R=｛(a,b)|a-b 是偶数｝，求R ，判断R 具有的性质。
《离散数学》辅导纲要
《离散数学》辅导纲要第一章 命题逻辑一. 主要内容1. 命题公式及其真值表。
2. 命题演算的基本等价式和蕴含式。
3. 命题公式的范式。
4. 推理理论。
二. 重点掌握1. 能正确的画出给定命题公式的真值表，并能判断其类型(重言式、矛盾式、可满足式)。
2. 能将给定的一个命题进行符号化。
3. 证明两个命题公式等价。
4. 运用基本等价式化简命题公式。
5. 会用等价演算法和真值表法求一个命题公式的各种范式(析取范式、合取范式、主析取范式、主合取范式)。
6. 运用推理理论证明蕴含式。
三. 典型题举例例1. 证明等价式：()()()Q R P Q R Q P →∨=→∧→。
证明：()()()()Q R Q P Q R Q P ∨⌝∧∨⌝=→∧→()()Q R P Q R P ∨∨⌝=∨⌝∧⌝= ()Q R P →∨=例2．用推理规则证明：()()()()S R S R B A B A P P D C D C ∨⇒∨→⌝∧⌝∧→⌝⌝→∨∨ , , ,证明：(1) D C ∨ P(2) ()P D C ⌝→∨ P(3) P ⌝ T (1)(2)I (4) ()B A P ⌝∧→⌝ P (5) B A ⌝∧ T (3)(4)I (6) ()()S R B A ∨→⌝∧ P (7) S R ∨ T (5)(6)I例3．证明等价式：()()()()C Q P A C Q P A C A Q P →↔∧=∨∨→∧→∧∧证明：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()CQ P A C Q P Q P A C Q P Q P A C Q P Q P A C Q P Q P A C Q P A Q P A C Q P A C Q P A C Q P A C A Q P C Q P A C A Q P →↔∧=→⌝∧⌝∨∧∧=→∨∧⌝∨⌝⌝∧=→∨∧⌝∨⌝∨⌝⌝=∨∨∧⌝∨⌝∨⌝=∨∨∨⌝∧⌝∨⌝∨⌝=∨∨∨⌝∧∨⌝∨⌝∨⌝=∨∨∨⌝∧∨∧∧⌝=∨∨→∧→∧∧例4．用推理规则证明：()C B E D A E D C B A ∨⇒∨→∨∨→ , , 证明：(1) () C B A ∨→ P (2) A E D →∨ P (3) C B E D ∨→∨ T (1)(2)I (4) E D ∨ P(5) C B ∨ T (3)(4)I例5．用推理规则证明：()()S Q S R Q P P →⇒∧→→ , 。
广工离散数学复习纲要
复习方法：1针对精简的PPT复习(涵盖了全部的教学和考试内容)2作业（认真把做过的作业温习一遍，做到真正弄懂）3结合本复习大纲有针对性的复习，特别是大纲中文字加粗部分的内容。
复习大纲：1第一章1.1与集合相关的概念和特殊集合：集合的定义、集合的表示、属于和不属于、子集、真子集、包含和真包含、幂集、空集、全集、基数、有限集、无限集等；1.2与集合运算相关的概念和定理：集合的交、并、差、补和对称差等五种运算的定义及相关定理。
1.3代表性习题：7, 13, 24, 292第二章2.1容斥原理和鸽笼原理的基本概念及正确使用。
2.2代表性习题：18, 193第三章3.1命题的概念、表示、分类、5种基本联接词的定义与使用、命题的正确符号化。
3.2命题变元、命题公式的概念及公式的正确翻译。
3.3等价关系及蕴含关系的概念、常用的等价关系以及蕴涵关系、等价关系和蕴涵关系之间的关系。
3.4文字、短语、子句、析取范式、合取范式、极小项、极大项、主析取范式、主合取范式的概念。
3.5求范式、主范式的方法、公式类型与主范式之间的关系, 主析取和主合取范式之间的转换。
3.6命题演算的推理方法——真值表技术、直接证明方法（规则P、规则T、规则CP），间接证明方法（反证法）。
（PPT上第五章）3.7代表性习题：3, 7, 11, 18,4第四章4.1谓词、量词、个体域和个体的概念；4.2原子谓词公式的概念，谓词演算的合式公式的概念，谓词公式的翻译；4.3自由变元，约束变元，辖域的概念，约束变元的改名规则和自由变元的代入规则；4.4谓词公式分为三类：逻辑有效公式、矛盾公式和可满足公式；4.5谓词演算的永真公式、等价关系的概念，常用的谓词演算的等价关系；4.6谓词逻辑的推理理论——直接证明方法和间接证明方法，用于消去量词的全称特指规则和存在特指规则，用于添加量词的全称推广规则和存在推广规则及应用。
（PPT上第五章）4.7代表性习题：7, 10, 16, 195.1序偶和笛卡儿积的概念5.2二元关系的概念和表示（特别是关系图和关系矩阵）5.3关系的交、并、补、差运算、复合运算和逆运算5.4关系性质的定义、关系性质的判定、关系性质的证明；5.5关系的自反、对称、和传递闭包的概念及计算。
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201209学期《离散数学》复习纲要一
一、单项选择题
1．下列语句中是真命题的是（ ）。
A.我正在说谎
B.严禁吸烟
C.如果1+2=3，那么雪是黑的
D.如果1+2=5，那么雪是黑的
2．将命题“若m 是奇数，则2m 是偶数”符号化为（ ），设O():x x 是奇数，E ():x x 是
偶数。
A.O(m)(2)E m
B.O(m)(2)E m ⌝→
C.O(m)(2)E m
D.O(m)(2)E m → 3．命题公式A 与B 是等价的，是指（ ）。
A.A 与B 有相同的原子变元
B.A 与B 是可满足的
C.当A 的真值为真时，B 的真值也为真
D.A 与B 有相同的真值
4．在公式()(()(,))()(,)x P z Q x z z R x z ∀→∧∃中，z ∃的辖域是（ ）。
A.()P z
B.(,)Q x z
C.()(,)P z Q x z →
D.(,)R x z
5．在合式公式()()(),x R x P x z ∀∧中，x ∀的辖域是（ ）。
A.(),P x z
B.()R x
C.()(),R x P x z ∧
D.()()x R x ∀
6．设A= {1,2,4},B={1,3,{2}},下列各式成立的是（ ）。
A.{}2A ∈
B.{}2B ∈
C.{}2B ⊆
D.A φ∈ 7．设{}A φ=,则()P A =（ ）。
A.φ
B.{}φ
C.{}{},φφ
D.{}{}φ
8．前提(),,W Q Q R R ⌝∧⌝⌝∨⌝的结论是（ ）。
A.Q ⌝
B.R ⌝
C.W
D.W ⌝
9．整数集合Z 上的关系≠的传递闭包是关系（ ）。
A.<
B.>
C.全域关系z
D.≠
10．设{}1,2,3A =,则A 上不同的等价关系总共有（ ）。
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个 11．数的加法在下列集合上封闭的是（ ）。
A.{}0,1A =
B.{}1,1B =-
C.{}
,C b a b z =∈
D.{}D x x =是奇数
12．设{}G=23,m n m n I ⨯∈,*为普通乘法，则代数系统,*G 的幺元为（ ）。
A.不存在 B.0023e =⨯ C.23e =⨯
D.1123e --=⨯
13．完全图K 3的不同构的生成子图的个数为（ ）。
A.3
B.4
C.5
D.6
14．设,A ≤是一个有界格，它也是有补格，只要满足（ ）。
A.每个元素都有一个补元
B.每个元素都至少有一个补元
C.每个元素都无补元
D.每个元素都有多个补元
15．具有如下定义的代数系统,*G ，（ ）不构成群。
A.G={1，10},*是模11乘
B.G={1，3，4，5，9},*同是模11乘
C.G=Q(有理数),*是普通加法
D.G=Q(有理数),*是普通乘法
16．在自然数集合N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A.()max ,x y x y *= B.2x y x y *=+ C.2
2
x y x y *=+
D.x y x y *=-
17．连通无向图G 有6个顶点9条边，T 为G 的一棵生成树，对应T 的基本回路的数目为（ ）。
A.4 B.5 C.6
D.7
18．一棵树有2个4度顶点，3个3度顶点，其余是树叶，则该树中树叶的个数是（ ）。
A.8
B.9
C.10
D.11 19．K 33是（ ）。
A.欧拉图
B.哈密顿图
C.平面图
D.完全图
20．给定下列序列，（ ）可以构成无向简单图的结点次数序列。
A.（1，1，2，2，3）
B.（1，1，2，2，2）
C.（0，1，3，3，3）
D.（1，3，4，4，5）
二、判断题（正确填“T ”，错误填“F ”）
1．自然数 N = {1，2，3，．．．．．} + { 0 }。
( ) 2．设A,B 为任意命题，则()A B A B →∧⌝⇒⌝。
( ) 3．联结词集合{}7,→是功能完备集。
( ) 4．设A,B 为任意集合，则A B A ⊆ 。
( )
5．G （n ，m ）图的每一棵生成树都有 n-1 条树枝。
( )
6．设个体域是自然数集合，p 代表 ∀x ∀y 彐z F （x －y = z ），则 p 是真命题。
( ) 7．自然数 N 与其上的普通加法 + 构成的代数系统 〈N ，+〉 是群。
( ) 三、填空题
1．谓词公式()()()x P x P x ∀⌝→⌝是______，()()xP x xP x ∀→∃是______。
（填逻辑有效
式或矛盾式）
2．公式()()()x R x Q y ∀→中，x 是______出现，y 是______出现。
3．若函数g 和f 是入射，则g f 是______；若g 和f 是满射的，则g f 是______；若g 和
f 是双射的，则
g f 是______。
四、证明题
证明：（1）在6个结点12条边的连通平面简单图中，每个面由3条边围成。
（2）当每个结点的度数大于等于3时，不存在有7条边的简单连通平面图。
201209学期《离散数学》复习纲要一 答案
一、单项选择题
DDDDB BCDDC CBCBD ABBCB
二、判断题（正确填“T ”，错误填“F ”）
FFTTT FF
三、填空题
四、证明题 证明：
（1）因图中结点数和边数分别为6n =，12m =，根据欧拉公式2n m k -+=，得8k =。
又deg()224i v m ==∑，而简单连通平面图的每个面至少由3条边围成，所以在6个结点12条边的连通平面简单图中，每个面由3条边围成。
（2）设(,)n m 图为简单连通平面图，有k 个面。
（用反证法）
若7m =，由欧拉公式知29n k m +=+=，而每个面至少由3条边围成，有32k m ≤，则
21433k m ≤=，且k 是整数，所以4k ≤；又对任结点v V ∈，deg()3v ≥，有32n m ≤，故21433
n m ≤
=
，且n 是整数，所以4n ≤。
这样就有448n k +≤+=，与9n k +=矛盾，所
以结论正确。