洛阳师范学院学号、专业及指导老师
关于报送2009届毕业生毕业资格及学士学位授予资格审核情况的通知
院教…2009‟41号关于报送2009届毕业生毕业资格及学士学位授予资格审核情况的通知各院（系）：我校2009届学生毕业在即，为了顺利办理及发放学生的学历证书和学位证书，请各院（系）依据《洛阳师范学院学籍管理规定》、《洛阳师范学院学分制学籍管理实施细则》和《洛阳师范学院普通本科教育学士学位管理办法》对毕业生做好全面的毕业资格审核和学士学位授予资格的审核工作，并将审核结果汇总后及时报送教务处。
现将相关事宜通知如下：一、毕业资格审核项目1．审核学生培养方案规定所修课程成绩是否全部合格。
2. 审核学生是否修满培养方案规定学分。
3. 审核学生是否正处于留校察看处分期间。
4. 审核学生毕业论文（设计）是否合格。
二、学士学位资格审核项目1. 审核学生是否符合毕业资格。
2. 审核学生平均学分绩点是否达到2.0。
3. 审核学生所修课程重修门次是否达6门次及以上（单招专业累计7门次及以上）。
4. 审核学生受记过以上（含记过）处分情况。
5. 审核学生在校学习期间是否留、降级。
6. 审核学生CET-4成绩是否达到学校要求（体育、艺术专业的学生参加我校组织的英语考试是否达到学校规定要求；外语专业学生参加第二外语考试是否达到学校规定要求）。
三、审核时间1. 各院（系）毕业资格、学士学位资格审核时间为：5月26日～6月2日。
2. 毕业资格、学士学位资格复审时间为：6月3日～6月7日。
3. 学籍表审核时间为：6月3日～6月5日。
四、结果报送毕业资格及学士学位授予资格审核结果分别填入“洛阳师范学院不毕业学生名单”（见附表1）及“洛阳师范学院拟不授予学士学生名单”（见附表2），审核结果及电子稿经本部门负责人审核后按照规定时间报送教务处。
附件：1、洛阳师范学院不毕业学生名单2、洛阳师范学院拟不授予学士学位学生名单2009年5月26日附件1：洛阳师范学院不毕业学生名单填表人：部门负责人（公章）：日期：备注：未修满学分情况一栏须说明学生何类课程（如公共必修课、专业必修课、专业选修课、公共选修课）未修满学分。
洛阳师范学院2008网络
郭岗讲师(1学时)
逸夫楼A301
1-18周
算法分析与设计
刘维群副教授(2学时)
逸夫楼A306
1-18周
计算机组成原理
智爱娟副教授(1学时)
逸夫楼B607
1-18周
晚上
91011
节
甘文丽硕士(2学时)
东区教学楼A312
1-18周
网络协议分析与编程
郭岗讲师(2学时)
逸夫楼A301
1-18周
计算机组成原理
智爱娟副教授(2学时)
逸夫楼B607
1-18周
78
节
嵌入式系统开发实验
张凡荣讲师(2学时)
逸夫楼A802
1-18周
算法分析与设计实验
刘维群副教授(2学时)
1号楼微机室7
1-18周
1-18周
计算机密码学实验
柳菊霞硕士(2学时单周上课)
1号楼微机室7
1-18周
-------
网络管理实验
安洛生讲师(2学时双周上课)
1号楼微机室7
1-18周
网络协议分析与编程实验
郭岗讲师(2学时)
一号楼601
1-18周
下午
56
节
嵌入式系统开发
张凡荣讲师(2学时)
逸夫楼A802
1-18周
j2EE软件开发技术
1-18周
j2EE软件开发技术实验
甘文丽硕士(2学时)
1号楼微机室1
1-18周
计算机密码学
柳菊霞硕士(2学时)
东区教学楼A312
1-18周
34
节
综合布线技术
匡国防讲师(2学时)
逸夫楼A301
洛阳师范学院的简介
洛阳师范学院的简介洛阳师范学院的简介洛阳师范学院 校徽洛阳师范学院是一所省属普通高等师范本科院校，位于历史文化名城、十三朝古都洛阳市。
其历史可追溯到1916年成立的河洛道师范学校，曾历经洛阳师范专科学校、洛阳师范高等专科学校诸阶段，2000年升格为本科院校。
建校90年来，积累了丰富的办学经验和较为雄厚的办学实力，形成了师范教育和非师范教育并存、特色鲜明、优势互补、协调发展的办学格局。
中文名： 洛阳师范学院外文名： Luoyang Normal University 简称： 洛阳师院主管部门：河南省教育厅现任校长： 时明德所属地河南洛阳校训：敬业奉献，为人师表创办时间：1916年类别：公立大学学校类型：师范区：主要院系：外国语学院，数学科学学院，化学化工学院，教育科学学院，商学院学校地址：河南洛阳市龙门路71号邮政编码：471022目录近年洛阳师范学院录取分数线学校概况学校规模校风：厚德博学、励志笃行教风：德以修己、教以育人学风：勤学善思、知信达贤院系设置美术学院师资力量雄踞河南省高校前列办学规模师资力量教学与科研洛阳师院图书馆校训与校歌1、校训2、校歌杰出校友发展前景洛阳师院贴吧（洛师小窝吧）现任领导新校区建设近年洛阳师范学院录取分数线学校概况学校规模校风：厚德博学、励志笃行教风：德以修己、教以育人学风：勤学善思、知信达贤院系设置美术学院师资力量雄踞河南省高校前列办学规模师资力量教学与科研洛阳师院图书馆校训与校歌1、校训2、校歌杰出校友发展前景洛阳师院贴吧（洛师小窝吧）现任领导新校区建设展开近年洛阳师范学院录取分数线录取分数线专业分数线高考科目：年份最低最高平均投档录取人数录取批次2011 -- 481 468 -- 3 本科二批2010 -- 480 480 -- 1 本科二批2006 462 462 462 -- 1 本科二批2006 428462 438 -- 4 本科二、三批专业大类专业小类专业名称最低最高平均暂无数据编辑本段学校概况洛阳师范学院是一所省属普通高等师范本科院洛阳师范学院本数据来源于百度地图，最终结果以百度地图数据为准。
0-1规划在选择旅游最短路线中的应用
0-1规划在选择旅游最短路线中的应用程淑君数学科学学院数学与应用数学学号：090414125指导老师：庞碧君摘要近年来，旅游逐渐成为一种时尚，越来越多的人喜爱旅游．如何在一定程度上节约时间与费用，是旅游者关心的问题．本文以最短旅游路线为题，运用0-1规划对旅游路线进行建模，并用lingo软件进行求解，最终确定出了最短旅游路线．关键词最短路；0-1规划；lingo软件；旅游路线1 引言旅游是一种使人全身心释放的最好的最轻松的方式，当你决定出发，去向往已久的城市时，你是不是凭着感觉选择旅游路线，你是不是觉得时间太匆忙，旅游时间太短，玩得不够尽兴，你有没有对自己的旅游行程进行规划呢？如何才能最经济的旅游也成为人民考虑的一项重要环节，旅游时间最短，旅游花费最少，旅游路线最短等问题随之出现，如何决策是一个关键问题．如果运用0-1规划和最短路方法，并使用“交互式的线性和通用优化求解器”来解决这一系列的问题，那么这些问题就能迎刃而解．本文随机选择了五个城市作为旅游地点，并查找出两两城市之间的距离，用0-1规划进行数学建模，并列出最短路线的目标函数，最后用lingo软件进行求解，给出旅游最短路线．2 提出问题从河南出发到北京、杭州、西安、重庆、武汉五个城市做旅游，每个城市去且仅去一次，再回到河南，问如何安排旅游线路，使总旅程最短．各城市之间的距离（单位：公里）如下表：表1：城市之间的距离2.1分析问题（1）这是一个求最短路线的问题，题目给出了两两城市之间的距离，而在最短路线中,这些城市有的两个城市是直接相连接的（即紧接着先后到达的关系），有些城市之间就可能没有这种关系，所以给出的两两城市距离中有些在最后的最短路线距离计算中使用到了，有些则没有用．这是一个0-1规划的问题，也是一个线性规划的问题．（2）因为从河南出发，每个城市去且仅去一次，最后再回到河南，所以最终肯定是形成一个圈的结构，这就导致了这六个城市中有的两个城市是直接相连的，也有两个城市是不连接的.这就可以考虑设0-1变量，如果两个城市紧接着去旅游的则为1，否则为0．就如同下图：图1（3）因为每个城市去且只去一次，所以其中的任何一个城市必有且仅有一条进入路线和一条出去路线．（4）为了方便解题，给上面六个城市进行编号，如下表（因为河南是起点，将其标为1）表22.2 假设设变量ij x ．如果1=ij x ,则表示城市i 与城市j 直接相连（即先后紧接到达关系），否则若o x ij =，则表示城市i 与城市j 不相连．2.3 特别说明ij x 和ji x 是同一变量，都表示城市i 与城市j 是否有相连的关系．这里取其中ij x (i j <)的变量．3 最短路模型建立由于这是一个最短路线的问题，且变量已经设好，则可确立目标函数并设置约束条件．3.1 目标函数564645363534262524231615141312115910257908072312155812001936115915915073759485800720min x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++++++++=3.2 约束条件（1）上面目标函数中的变量是表示两个城市是否直接相连接的关系，且最短路线是可以形成圈的，如图1，城市a 和城市b 、城市f 有直接相连接的关系，所以城市a 和城市b ，城市a 和城市f 之间变量为1，而城市a 与城市c 、城市d 、城市e 之间则没有直接相连接的关系，所以它们之间的变量为0．其余的也有同样约束,所以有下面的约束． 条件1变量ij x 为0-1变量．变量)(@ij x bin 为两城市之间的关系．（2）最短旅程路线中，每一个城市都要和其他两个城市相连接，即有一个进入路线和一个出去路线，所以含第i 个城市的所有变量ij x 和ji x 之和为2．所以又有如下的约束.条件2城市1(河南)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为221615141312=++++x x x x x城市2(北京)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为222625242312=++++x x x x x城市3(杭州)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为223635342313=++++x x x x x城市4(西安)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为224645342414=++++x x x x x城市5(重庆)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为225645352515=++++x x x x x城市6(武汉)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为225646362616=++++x x x x x3.3 编制程序!目标函数最小;564645363534262524231615141312*1159*1025*790*807*2312*1558*1200*1936*1159*1591*507*3759*485*800*720min x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++++++++=!变量0-1约束;!城市1(河南)与城市2(北京)之间关系变量12x 的0-1约束;)(@12x bin ;!城市1(河南)与城市3(杭州)之间关系变量13x 的0-1约束;)(@13x bin ;!城市1(河南)与城市4(西安)之间关系变量14x 的0-1约束;)(@14x bin ;!城市1(河南)与城市5(重庆)之间关系变量15x 的0-1约束;)(@15x bin ;!城市1(河南)与城市6(武汉)之间关系变量16x 的0-1约束;)(@16x bin ;!城市2(北京)与城市3(杭州)之间关系变量23x 的0-1约束;)(@23x bin ;!城市2(北京)与城市4(西安)之间关系变量24x 的0-1约束;)(@24x bin ;!城市2(北京)与城市5(重庆)之间关系变量25x 的0-1约束;)(@25x bin ;!城市2(北京)与城市6(武汉)之间关系变量26x 的0-1约束;)(@26x bin ;!城市3(杭州)与城市4(西安)之间关系变量34x 的0-1约束;)(@34x bin ;!城市3(杭州)与城市5(重庆)之间关系变量35x 的0-1约束;)(@35x bin ;!城市3(杭州)与城市6(武汉)之间关系变量36x 的0-1约束;)(@36x bin ;!城市4(西安)与城市5(重庆)之间关系变量45x 的0-1约束;)(@45x bin ;!城市4(西安)与城市6(武汉)之间关系变量46x 的0-1约束;)(@46x bin ;!城市5(重庆)与城市6(武汉)之间关系变量56x 的0-1约束;)(@56x bin ;!条件约束,即每个城市的连接路线约束;!城市1(河南)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为2;21615141312=++++x x x x x; !城市2(北京)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为2; 22625242312=++++x x x x x ; !城市3(杭州)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为2;23635342313=++++x x x x x; !城市4(西安)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为2; 24645342414=++++x x x x x; !城市5(重庆)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为2; 25645352515=++++x x x x x; !城市6(武汉)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为2; 25646362616=++++x x x x x;3.4 使用LINGO 软件进行求解Lingo 运行结果如下:Global optimal solution found.Objective value: 6295.000Objective bound: 6295.000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostX12 1.000000 720.0000X13 0.000000 800.0000X14 0.000000 485.0000X15 0.000000 3759.000X16 1.000000 507.0000X23 0.000000 1591.000X24 1.000000 1159.000X25 0.000000 1936.000X26 0.000000 1200.000X34 0.000000 1558.000X35 1.000000 2312.000X36 1.000000 807.0000X45 1.000000 790.0000X46 0.000000 1025.000X56 0.000000 1159.000Row Slack or Surplus Dual Price1 6295.000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.0000005 0.000000 0.0000006 0.000000 0.0000007 0.000000 0.000000上面显示旅程最短的距离是6295.可以看出求出的所有变量的值都是0或1，其中112=x ，116=x ，124=x ，135=x ，136=x ，145=x ，这说明了城市1（河南）和城市2（北京）相连接城市1（河南）和城市6（武汉）相连接城市2（北京）和城市4（西安）相连接城市3（杭州）和城市5（重庆）相连接城市3（杭州）和城市6（武汉）相连接城市4（西安）和城市5（重庆）相连接形成的圈是“河南（1）-北京（2）-西安（4）-重庆（5）-杭州（3）-武汉（6）-河南（1）”，如下图:图23.5 最短旅程的旅游线路河南→北京→西安→重庆→杭州→武汉→河南（上图外环线）．或者也可以按这条路线的逆方向旅行，即：河南→武汉→杭州→重庆→西安→北京→河南（上图内环线）．总旅程：720+1159+790+2312+807+507=6295．4结束语一般地，使用lingo软件求解运筹学问题可以分为以下两个步骤来完成：（1）根据实际问题，建立数学模型，即使用数学建模的方法建立优化模型；（2）根据优化模型，利用lingo软件来求解模型．主要是根据lingo软件，把数学模型转译成计算机语言来求解．本文则是将以上两个步骤作为主线来完成的．先提出一个关于旅游路的问题，运用0-1规划进行优化模型建立，优化模型建立之后，用lingo软件来求解模型．最终得到最优解或者满意解．现实生活中有许多事情都是需要优化的，当我们去旅行时，我们会考虑走哪条路线时费用最少；生产物品时，我们要考虑定货批量，以及库存持有成本与定货成本之间的关系，从而找到最佳的定货批量；当我们考虑管道的铺设问题时，我们要考虑如何选择铺设的路线才能使铺设管道用料最少，从而找到最少用料的路线等等．这些问题都需要我们去优化找到比较满意的答案．关于旅行有一句很经典的话，“身体和心灵，必须有一个在旅行的路上．”旅行的意义不在其他，而在自己．有些人喜欢美景，有些人喜欢美食，有些人喜欢放松心灵．我觉得旅行的意义在于洗涤，是在城市喧嚣中重新获得的一份宁静，人生也应该如旅行，我们不断停靠某个站台，又不断往前开去．称之为人生的车厢里，没有人是真正能陪伴你到终点的人，包括父母．伙伴、朋友、知己、爱人都是旅客，有些人会因为目标相同成为你的伙伴，更多人会因为目的地不同而中途下车走向另外的方向．所以旅行，就是感悟人生．而我们为了更好的旅游，就要优化我们的旅行过程，即在旅行之前做一个统筹规划．5 致谢作为一个本科生的毕业论文，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有导师的督促指导，以及一起工作的同学们的支持，想要完成这个论文是难以想象的.在这里首先要感谢我的导师庞碧君.他平日里工作繁多，但在我做毕业论文的每个阶段，从查阅资料，设计草案的确定和修改，中期检查，后期详细设计，装配草图等整个过程中都给予了我悉心的指导.我的论文虽然较为简单，但是庞万里老师仍然细心地纠正论文中的错误.除了敬佩庞碧君老师的专业水平外，她的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作.然后还要感谢大学四年来所有的老师，为我们打下数学专业知识的基础；同时还要感谢所有的同学们，正是因为有了他们的支持和鼓励此次毕业论文才会顺利完成.最后感谢洛阳师范学院四年来对我的大力栽培.参考文献[1]胡运权等．《运筹学基础及应用》[M]（第五版），高等教育出版社，2008.[2]运筹学编写组．《运筹学》[M]（第三版）清华大学出版社，2005.[3]徐玖平，胡知能，王维．《运筹学》[M]（第二版）北京：科学出版社，2004.[4]陈汝栋，于延荣．《数学模型与数学建模》[M]（第二版）国防工业出版社，2009．[5]刘建永．《运筹学算法与编程实践：Delphi 实现》[M]．清华大学出版社，2004.[6]谢金星，薛毅．《建优化模型LINGO\LINDO软件》[M]．清华大学出版社，2005.[7]孙月蓬．关于数学建模的几点思考[J]．北京邮电大学学报（社会科学版），2001年01期．[8]段常喜．浅谈数学模型[J]．山西煤炭管理干部学院学报，2002年03期．The Application of 0-1 Programmingin the Shortest Route Selection in TourismCHENG Shu-junCollege of Mathematics Science No：090414125Tutor: PANG Bi-junAbstract In recent years, tourism has gradually become a kind of fashion, more and more people like to travel. How to save time and cost to a certain extent, is the tourists concerned about. Based on the shortest route problem, the use of 0-1 programming to model the tourist routes, and the use of lingo software in solution, eventually determined the shortest route.Key Words Shortest path; 0-1 programming; LINGO software; Tourism route。
洛阳师范学院
一般项目
2017xjgj056
57
工程教育专业认证背景下食品药品专业天然药物化学课程改革
鞠丰阳
郭文博陈洪
食品与药品学院
一般项目
2017xjgj057
58
中医药文化进师范院校的方法及途径研究
康海霞
押辉远楼新华朱梅鞠丰阳
食品与药品学院
一般项目
2017xjgj058
59
校企协同育人模式下生物科技专业教学内容优化研究
王烁
刘振中李培敬张春梅李雪菲
商学院
一般项目
2017xjgj073
74
社会工作专业实践教学质量监控体系研究
秦永超
李华伟安连朋张小莉季琳
商学院
一般项目
2017xjgj074
75
探究式教学法在《分子生物学》等生物主干课程中的应用研究
马英桃
郑玲刘彦军陈万光李勇慧李会云
生命科学
学院
一般项目
2017xjgj075
76
化工仿真技术在新工科培养体系中的应用研究
刘金强
唐四叶袁巍巍陈海鹏刘丰
化学化工
学院
一般项目
2017xjgj076
77
应用型人才培养背景下《无机化学实验》课程的综合改革
刘新芳
李荣芳王玉芳李晓玲
化学化工ห้องสมุดไป่ตู้
学院
一般项目
2017xjgj077
洛阳师范学院2017年校级教师教育教改立项项目一览表
序号
项目名称
主持人
一般项目
2017xjgj022
23
国际化旅游人才培养模式创新研究
毛峰
秦艳培苏小燕范会珍蒋琳鲁娟
国土与旅游学院
洛阳师范学院毕业论文格式
洛阳师范学院毕业论文格式史类样张（上边距30mm,下边距25mm，左边距30mm,右边距20mm）论孙中山利用外资的思想（二号,黑体，居中，与姓名行之间空一行）杨飞（政法学院思想政治教育专业学号：020314071 指导教师:王大洞副教授）（小四号，仿宋GB_2312，词与词之间空两格，姓名行与学号行之间不空行,学号行与摘要之间空一行）摘要:（小四号黑体，顶格）伟大的民主革命先行者孙中山在领导辛亥革命的同时创造性地提出了确保主权、利用外资、发展实业的经济思想，为救国救民设计了一条富强之路。
本文试从孙中山利用外资的动因，基本内容即外资的用途，利用外资的原则、方法，进而揭示其外资思想对中国社会所产生的巨大影响，以资能对我们今天的现代化建设和全面建设小康社会以启发和借鉴。
（小四号，仿宋_GB2312，摘要与关键词之间空一行）【一定是文章内容的概要】关键词：（小四号黑体,顶格）孙中山;利用外资；开放主义（小四号，仿宋GB_2312,词与词之用分号隔开，最后一个关键词后不打标点符号,关键词与正文之间空一行，)利用外资思想①是孙中山先生经济思想中的重要组成部分,同时也是中国近代对外开放思想的重要内容之一.特别是他提出的在确保国家主权的前提下利用外资并且要用于生产等基本原则对我们今天的经济建设和早日实现现代化仍具有重要的意义和借鉴作用。
（正文,宋体,小四号，1.5倍行距)一、孙中山利用外资思想形成的动因(黑体，小四号，标题居中）（一）利用外资是实现民生主义的必要条件（黑体,小四号，括号后面没有顿号）孙中山认为，辛亥革命后，“民族，民权，两层已经达到。
今日所急则在民生。
”[1]孙中山的民生主义概言之包括土地问题，资本问题及实业问题。
其中振兴实业，是中国摆脱贫困，走向富强的关键所在。
辛亥革命以后，中国百废待兴,发展实业需要大量的启动资金，而当时的中国在世界上是最穷最弱的国家，大部分百姓生活拮据,朝不保夕，从国家到民间都无法筹集到足够的发展资金。
2010-2011-1课表
78
管理学 原理 宋文献 副教授
12
星期二 34 56
大学英 语 （一） 杨燕1
78
思想道 德修养 与法律 于慧芳 副教授
12
微积分 （一） 廖开方 助教
星期三 34 56
大学计 算机基 础实验 张伟锋 讲师
78
专业引 导 陈蔚 讲师 (2学时)
(2学时 (2学时) (2学时) 单周上) 东区教 学楼 D305 1-17周 宏观经 济学 许婕 讲师 (2学时 双周上) 东区教 学楼 D305 1-17周 东区教 学楼 B109 1-17周 东区教 学楼 D303 1-17周 线性代 数 刘万里 副教授 (2学时) 东区教 学楼 B108 1-17周
(2学时) (2学时) 东区教 学楼 D305 8-17周 东区教 学楼 D303 8-17周
(2学时) (2学时) 东区阶 东区阶 梯楼206 梯楼204 8-17周 8-17周
(2学时) (2学时) (2学时) 东区阶 东区阶 梯楼204 梯楼204 8-17周 8-17周 东区教 学楼 D305 8-17周
12
形势与 政策 第二组
星期四 34 56
大学体 育 （一） 王劲松1
78
12
大学英 语 （一） 杨燕1
星期五 34 56
微积分 （一） 廖开方 助教
78
2010级 国际经 济与贸 易班
(2学时) (2学时) (1学时) 东区阶 梯楼307 5-17周 管理学 原理 刘谋升 讲师 东区教 学楼 B109 5-17周 大学计 算机基 础 宋铭利 副教授 东区教 学楼 B109 5-17周 思想道 德修养 与法律 于慧芳 副教授
洛阳师范学院招生计划录取人数及招生专业目录(文科理科).doc
2019年洛阳师范学院招生计划录取人数及招生专业目录(文科理科)洛阳师范学院招生计划录取人数及招生专业目录(文科理科)2019年洛阳师范学院招生计划录取人数及招生专业目录(文科理科)选择可以说在很大程度上影响着考生后半生的生活方向和轨迹，很多考生因为高考填志愿时没有足够重视，要么浪费了不少分数；要么学了不喜欢的专业，在大学里感觉“痛不欲生”。
俗话说“七分考，三分报”，正是说明志愿填报的重要性。
那么如何填报志愿，填报志愿时选大学应主要考虑哪些指标？其中一个重要指标就是大学招生计划人数和招生专业。
今日将带你一起了解关于洛阳师范学院招生计划和招生人数、洛阳师范学院招生专业目录等相关知识。
注：2019年洛阳师范学院招生专业和招生计划人数截至发稿前官方暂未公布，所以小编先整理了2018年洛阳师范学院的招生计划专业的信息。
考生务必以官方发布的信息为准，本文只作参考！2018年洛阳师范学院招生计划人数和招生专业在河南招生计划专业名称计划类型层次科类计划数新闻学非定向本科文史24旅游管理非定向本科文史30翻译非定向本科文史10英语((师范))(师范)非定向本科文史90汉语国际教育((师范))(师范)非定向本科文史26历史学((师范))(师范)非定向本科文史39预科班((学制5年))非定向本科文史100应用心理学非定向本科文史15文化产业管理非定向本科文史13汉语言文学((师范))(师范)非定向本科文史78旅游管理((酒店服务与营销方向))非定向本科文史22会计学非定向本科文史50日语((师范))(师范)非定向本科文史20小学教育((师范))(师范)非定向本科文史20旅游管理((涉外旅游方向))非定向本科文史35历史学((文物鉴定与修复方向))非定向本科文史30思想政治教育((师范))(师范)非定向本科文史49社会工作非定向本科文史23法学非定向本科文史23土地资源管理非定向本科文史25电子商务非定向本科文史90市场营销非定向本科文史30工商管理非定向本科文史40国际经济与贸易非定向本科文史35学前教育((师范))(师范)非定向本科文史54新闻学((新媒体方向))非定向本科文史30物流管理非定向本科文史40教育学((师范))(师范)非定向本科文史40商务英语非定向本科文史34物理学((师范))(师范)非定向本科理工75应用统计学非定向本科理工22文化产业管理非定向本科理工10通信工程非定向本科理工40应用化学非定向本科理工37生物科学((师范))(师范)非定向本科理工74物流管理非定向本科理工20电子信息科学与技术非定向本科理工62数学与应用数学((师范))(师范)非定向本科理工126电子商务非定向本科理工68电气工程及其自动化((过程控制方向))非定向本科理工40应用心理学非定向本科理工30化学((师范))(师范)非定向本科理工91金融数学非定向本科理工41生物技术((功能食品方向))非定向本科理工60信息与计算科学非定向本科理工42国际经济与贸易非定向本科理工25会计学非定向本科理工30工商管理非定向本科理工25旅游管理((涉外旅游方向))非定向本科理工25化学工程与工艺非定向本科理工65土地资源管理非定向本科理工15翻译非定向本科理工8光电信息科学与工程非定向本科理工40计算机科学与技术((师范))(师范)非定向本科理工22应用生物科学非定向本科理工40网络工程非定向本科理工40旅游管理((酒店服务与营销方向))非定向本科理工20预科班((学制5年))非定向本科理工50生物技术非定向本科理工28地理信息科学非定向本科理工35物联网工程非定向本科理工40应用化学((药用化妆品方向))非定向本科理工70电气工程及其自动化非定向本科理工84小学教育((师范))(师范)非定向本科理工18市场营销非定向本科理工13旅游管理非定向本科理工11酒店管理非定向()理工150数学教育((师范))(师范)非定向高职(专科)理工245。
正定矩阵的性质及推广论文
LUOYANG NORMAL UNIVERSITY 2012届本科毕业论文正定矩阵的性质及推广院（系）名称数学科学学院专业名称数学与应用数学学生姓名李俊霞学号080414076指导教师黄盛讲师完成时间2012.5正定矩阵的性质及推广李俊霞数学科学学院 数学与应用数学专业 学号： 080414076指导教师：黄盛摘要：正定矩阵是一类比较重要且应用广泛的矩阵，作为一种特殊的矩阵，当然有许多与其它矩阵不同的性质，本文首先给出了正定矩阵的若干性质. 其次，给出了正定矩阵在证明不等式、求函数的极值、多项式因式分解等方面的具体应用. 最后对正定矩阵作了进一步的推广，得到了广义正定矩阵的一些性质，并给出了相应的证明.关键词：正定矩阵；广义正定矩阵；正对角矩阵；实对称矩阵1 关于正定矩阵的定义本科阶段学习的正定矩阵局限于实对称矩阵，它的常规定义为定义[]11 n 阶实对称矩阵A 称为正定的，如果对∀0≠=X ()12n ,, ... ,Tx x x ∈n 1R ⨯ ,都有0T X AX >.这种正定矩阵的全体记作S P .1970年，Johnson R C ..首先提出了较广义的正定矩阵的定义，即定义[]22 设A ∈n n R ⨯，如果对∀0≠=X ()12n ,, ... ,Tx x x ∈n 1R ⨯ ，都有0T X AX >,则称A 为正定矩阵,这种正定矩阵的全体记作l P .1984年，佟文廷把这种矩阵推广为定义[]33 设A ∈n n R ⨯，如果对∀0≠=X ()12n ,, ... ,Tx x x ∈n 1R ⨯,都有正对角矩阵D =X D ，使得0T X X D AX >，则称A 为广义的正定矩阵，记为A ∈X D P ，若X D 与X 无关，则记为A ∈D P .1988年，夏长富对这种正定矩阵作进一步推广如下定义[]44 设A ∈n n R ⨯，如果对∀0≠=X ()12n ,, ... ,Tx x x ∈n 1R ⨯,都存在S =X S ∈S P ,使得T X AX S X 0>,称A 为广义正定矩阵，这种广义正定矩阵的集合记为xS P +，若X S 与X无关，则把这样的广义正定矩阵的集合记作+S P .2 正定矩阵的判定定理定理[]1,5,122.1 设A 是n 阶实对称矩阵，则下列命题等价 )1 A ∈S P ；2) 对∀0≠=X ()12n ,, ... ,x Tx x ∈n 1R ⨯，都有0T X AX >； 3) A 的正惯性指数为n ，负惯性指数为0； 4) A 的各阶顺序主子式都大于0；5) 存在n 阶可逆矩阵P ，使T P AP E =()n E 为阶单位阵； 6) 存在n 阶可逆矩阵Q ，使A =Q Q T ； 7) A 的各阶主子式都大于0； )8 存在正定矩阵Q ，使2A Q =； 9) 所有与A 合同的矩阵是正定矩阵； 10) A 的特征值都大于0； 11) A 半正定且0A ≠；12) 设1223TA A A A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A 和13212T A A A A --是正定矩阵. 13) 存在对角元素全大于零的上()下三角矩阵T ，使T A T T =. 证明 )1等价于8)因为A 是实对称矩阵，所以A 可对角化，即存在正交矩阵P ，使{}112,,,n P AP diag λλλ-=，其中()1,2,,i i n λ=是A 的特征值，i λ>0，所以{}{}{}2112111212,,,,,,n nn A PdiagPPdiag P Pdiag P λλλλλλλλλ---= =令Q =P {}12,,n diagλλλ1P -,则Q 是正定矩阵且A =2Q .反之，因为Q 是正定矩阵，所以2Q 是正定矩阵，即A 是正定矩阵. )1等价于9)设T B AB 是与A 合同的矩阵，A 正定，下证T B AB 正定，对∀0≠=X ()12n ,, ... ,Tx x x ∈n 1R ⨯，作非退化线性替换Y BX =，则()T T X B AB X T Y AY =，因为A 是正定矩阵，所以0T Y AY >，即()T T X B AB X 0>，所以T B AB 是正定矩阵.反之，令T C B AB =是正定矩阵，则()()1111TTA B C B BC B ----==，因为C 是正定矩阵，A 与C 合同，由上面的证明可知，A 是正定矩阵. )1等价于12)1223TA A A A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是正定矩阵等价于TP AP 是正定矩阵， 1120E A A P E -⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦,1132120T T A P A P A A A A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，等价于1A 和13212T A A A A --是正定矩阵.要证)1等价于13)，需先证明一个引理.引理1.2 设A 为一个n 级实矩阵，且0A ≠，则A 可以分解成A QT =，其中Q 是正交矩阵，T 是一上三角矩阵. 证明 设()12,,,n A ααα=，其中()1,2,,i i n α=是A 的列向量，因为0A ≠，所以12,,,n ααα线性无关，可作为n 维线性空间的一组基，将其化为标准正交基，令11βα=，()()2122111,,αββαβββ=-⨯，()()()()323133212211,,,,αβαββαββββββ=-⨯-⨯，则()12,,,n ααα=()12,,,n βββ()()()()()()2111111222,,1,,,01,01n n αβαβββββαβββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，将1β，2β，,n β标准化，令()1111,βηββ=，()2222,βηββ=，(),nn n n βηββ=，则()12,,,n ααα()()()()()()()()()()2111111112122222,,,,,,,,,0,,0,n n n n n αβαβββββββαβηηηββββββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 12,,,n ηηη是一组标准正交基，令()12,,,n Q ηηη=，()()()()()()()()()21111111122222,,,,,,0,,0,n n n n T αβαβββββββαβββββββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则Q 是正交矩阵，T 是一上三角矩阵，且对角元素大于零. 下面证明)1等价于13)A 是正定矩阵等价于存在可逆矩阵P ，使()TTA P P QT QT ==()2.1由引理可知T T T T Q QT T T ==，T 是上三角矩阵且对角元素大于0，同样的方法可证明下三角矩阵的情况. 其余等价命题参考文献[]1.3 正定矩阵的性质性质1.3 若A 是正定矩阵，则T A 、1-A 、*A 、aA ()0>a 也是正定矩阵. 证明 因为A 是正定矩阵，所以存在n 阶可逆矩阵Q ，使A =T Q Q ，则()TT T T T A QQ Q Q ==所以T A 是正定矩阵.另外，A 的特征值i λ()1,2,,i n =都大于0，所以1i λ-都大于0，即1-A 的特征值都大于0，所以1-A 也是正定矩阵.对于任意的()12n X ,, 0x x x =≠，T T X aAX aX AX =>0，所以aA 是正定矩阵. 因为*A =A 1-A ，所以*A 是正定矩阵.性质[]62.3 设A ，B 是n 阶正定实对称矩阵，且满足AB BA =,则AB 也是正定实对称矩阵.证明 因为()TT T AB B A BA AB ===，所以AB 是实对称矩阵，设λ是AB 的一个特征值，ξ是对应于λ的特征向量，则AB ξλξ=,1ξλξ-=B A ，1T T B A ξξλξξ-=，因为A ,B 是正定矩阵，所以ξξ>0T B ，10ξξ->T A ，所以λ>0，即AB 的特征值都大于0，所以AB 也是正定实对称矩阵.由性质2.3的证明过程可知，正定矩阵乘积的特征值大于0. 性质3.3 若A 、B 都是正定矩阵，则+A B 是正定矩阵. 证明 显然+A B 是实对称矩阵，对于任意的()12n X ,, ... ,0Tx x x =≠，有()T TT X A BX XA X X BX +=+>0， 所以+A B 是正定矩阵.推论1.3 若A 、B 都是正定矩阵，则aA bB +()0a b >>，0是正定矩阵. 性质[]74.3 若A 、B 都是正定矩阵，则A B A B +≤+.证明 因为A 是正定矩阵，所以存在可逆矩阵P ,使得T P AP E = ，显然T P BP 是对称矩阵，则T P BP 可对角化，所以存在正交矩阵Q ,使()T T Q P BP Q =100n λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦因为()T T Q P BP Q 是正定矩阵，所以i λ>0()i=12,n ，，，令S PQ =，则T S AS E =T S BS =1n λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦()T S A B S +==11001n λλ+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦分别对上式两边求行列式得，21SA =，212n SB λλλ=，()()()212n +111SA B λλλ=+++12n +1λλλ≥，所以222++SA SB S A B ≤，因为2S >0，所以A B A B +≤+.此性质说明了对任意一个正定矩阵A 和一个实对称矩阵B (B 不一定是正定的),存在可逆矩阵T ，使T T AT 和T T BT 都为对角矩阵.性质5.3 A 为n 阶正定矩阵，则A 的元素的绝对值最大者，一定在主对角元上. 证明 因为A 正定，从而A 的一切二阶主子式都大于0，当i j ≠时2i i i ji i j j i j ijj ja a a a a a a=->0. 移项后，开方即得，ij a <()12ii jj a a (),,1,2,,i j i j n ≠=，设A 的主对角元上最大元素为kk a ，再由上式，得，ij a <()12ii jj a a ≤()122kka =kk a ()i j ≠，此即证ij a ≤kk a (),1,2,,i j n =.即A 的元素的绝对值最大者，一定在主对角元上. 性质[]66.3 A 为n 阶正定矩阵，则1122nn A a a a ≤，其中ii a ()1,2,,i n =为A 的主对角元素.证明 设1Tnn A A a αα⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中1A 为A 的n -1阶顺序主子式， ()121,,,,Tn n n na a a α-= 因为A 正定，所以1A 正定，11A -存在，于是11111110101n n TT nn A E E A a A αααα----⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦=11100T nn A a A αα-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， 两边取行列式得，A =1A ()11T nn a A αα--，因为1A 正定，所以11A -正定，所以11T A αα-0≥，1A 0>.所以A ≤1A nn a ，同理1A ≤2A 1,1n n a --，这样继续下去，可得A ≤1A nn a ≤2A 1,1n n nn a a --≤1122nn a a a ≤.性质7.3 若A 是正定矩阵，则()k A k 是正整数也是正定矩阵.证明 因为A 是正定矩阵，所以A 的特征值()1,2,,0i i n λ=>，那么()1,2,,0k i i n λ=>， 即k A 的特征值都大于0，所以()k A k 是正整数是正定矩阵.4 正定矩阵的应用[]94.1 证明不等式实对称矩阵A 称为正定矩阵，是指如果实二次型T X AX 正定，()12,,,=Tn X x x x ，而二次型T X AX 正定是指对任意()000012,,,Tn X x x x =0≠ ，恒有00T X AX >0，所以可用实对称矩阵中的正定矩阵来证明不等式.例 求证44+xy xz <222564x y z ++()x y z 、、为不全为零的实数. 证明 设二次型f (),,x y z =222564x y z ---+44+xy xz ，则f 的矩阵A =522260204-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦， A 的各阶顺序主子式11a =-50<，5226-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=26>0，522260204-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=-800< 所以A 是负定矩阵，则f 0<，即44+xy xz <222564x y z ++.2.4 求函数的极值定义[]81.2.4 假定(),f x y 具有二阶连续偏导数，并记()()()()()000000xxxy xx xy f yxyy yx yy P f f f P f P H P f f f P f P ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 它称为f 在0P 的黑赛()Hesse 矩阵.定理[]81.2.4 设二元函数f 在点()000,P x y 的某邻域()0P 内具有二阶连续偏导数，且0P 是f 的稳定点.则当()0f H P 是正定矩阵时，f 在0P 取得极小值；当()0f H P 是负定矩阵时，f 在0P 取得极大值；当()0f H P 是不定矩阵时，f 在0P 不取极值.例 求函数()22,2f x y x xy y x y =-+-+的极值点. 解 由方程组220210x yf x y f x y =--=⎧⎪⎨=-++=⎪⎩得f 的稳定点为()01,0P ，()0xx f P =2，()01xy f P =-，()01yx f P =-，()02yy f P =，那么()()()()()000002112xx xy f yx yy f P f P H P f P f P ⎡⎤-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦， 是正定矩阵，所以()01,0P 是f 的极小值点，()1,01f =-. 多元函数的情形： 定义2.2.4 假设()12,,,n f x x x 具有二阶连续偏导数，并记()()()()()()()()()()1112121222120000000000n n n n n n x x x x x x x x x x x x f x x x x x x f P f P f P f P f P f P H P f P f P f P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，它称为f 在0P 的黑赛()Hesse 矩阵.定理2.2.4 设多元函数()12,,,n f x x x 在点()000012,,,n P x x x 的某邻域()0P 内具有二阶连续偏导数，且0P 是f 的稳定点()00f P 在点的一阶偏导数全为. 则当()0f H P 是正定矩阵时，f 在0P 取得极小值；当()0f H P 是负定矩阵时，f 在0P 取得极大值；当()0f H P 是不定矩阵时，f 在0P 不取极值.例 求函数()321232231321212,,x x x x x x x x x f ++++=的极值.解 由方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=∂∂=+=∂∂=+=∂∂02201220123331222211x x fx x x fx x x f得f 的稳定点为()1,0,01-=A ，()1,144,242--=A ，又f 的二阶偏导数为12126x x f=∂∂，12212=∂∂x x f ，2222=∂∂x f ，0322=∂∂x x f ，2232=∂∂x f ，0312=∂∂x x f. 所以()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200021201201A H f ， 其顺序主子式分别为0，0144212120<-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡，028820002120120<-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡，所以()1A H f 是不定矩阵，f 在1A 点处不取极值.()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20002120121442A H f ， 其顺序主子式分别为0144>，014421212144>=⎥⎦⎤⎢⎣⎡，02882000212012144>=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡，所以()2A H f 是正定矩阵，由定理2.2.4可知，f 在2A 点处取极小值，极小值为()69131,144,24-=--f .3.4 多项式因式分解定理[]91.3.4 一个实二次型可以分解为两个实系数的一次齐次多项式乘积的充要条件是它的秩等于2且符号差为0，或秩等于1.该定理为利用二次型进行二次多项式因式分解提供了理论依据，同时给出了判断能否分解的方法，并且可以很快得到分解式.例 试判断下列多项式在R 上能否进行因式分解，若能，分解之.()1 ()22121221,2231f x x x x x x =++++ ()2 ()221212212,3241f x x x x x x x =--+-+解 ()1 令()2221231223133,,223g x x x x x x x x x x =++++，则()12,f x x =()12,,1g x x ，只需考虑()123,,g x x x 的秩和符号差，g 所对应的矩阵为31020213112⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦0≠，所以()123,,g x x x 的秩为3，故()123,,g x x x 不能分解,所以()12,f x x 不能分解.()2 令()2221231223123,,324g x x x x x x x x x x =--+-+，则()12,f x x =()12,,1g x x ，只需考虑()123,,g x x x 的秩和符号差，作非退化线性替换112223332y x x y x x y x=+⎧⎪=+⎨⎪=⎩即11222333=2+2=x y y yx y y x y-⎧⎪-⎨⎪=⎩得，()123,,g x x x =2221y y -, 其秩为2，符号差为0，所以能因式分解，()12,f x x =()12,,1g x x =2221y y -=()()2121y y y y +-=()()1212131x x x x --+++. []14.4 最小二乘法问题最小二乘法问题：线性方程组1111221211222221122000s s s s n n ns s n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++-=⎧⎪+++-=⎪⎨⎪⎪+++-=⎩可能无解. 即任何一组数s x x x ,,,21 都可能使()211221ni i is s i i ax a x a x b =+++-∑不等于零. 我们设法找00012,,,s x x x 使其最小，这样的00012,,,s x x x 称为方程组的最小二乘解. 这种问题就叫做最小二乘法问题.定理1.4.4 令111212122212s s n n ns a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12n b b B b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12s x x X x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则方程组的最小二乘解满足()0T A B AX -=，或T T A AX A B =.[]95.4 判断二次曲线的形状可通过非退化线性替换将二次型化为标准型，从而判断二次曲线的形状. 例 判断二次曲线0222422=-+-+x xy y x 的形状.解 设()=y x f ,222422-+-+x xy y x ，令()z xz xy y x z y x g 2224,,22-+-+=，则()()1,,,y x g y x f =，对()z y x g ,,作非退化线性替换，令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-=zz z y y zy x x 1113 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-+=111111334z z z y y z y x x 则()2121213103,,z y x z y x g -+=， 从而()()1,,,y x g y x f =031032121=-+=y x ， 即11091032121=+y x ， 所以曲线0222422=-+-+x xy y x 表示椭圆.6.4 在112=∑=ni i x 的条件下求二次型()j i n i nj ij n x x a x x x f ∑∑===1121,,, 的最值.定理1.6.4 设n 元二次型()j i n i n j ij n x x a x x x f ∑∑===1121,,, ，则f 在条件112=∑=ni i x 下的最大()小值恰为矩阵A 的最大()小特征值，其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211. 证明 令()Tn x x x X ,,,21 =,则()AX X x x x f T n =,,,21 ,作非退化线性替TY X =,其中T 是由A 的特征向量正交化得到的矩阵，故有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n T AT T λλλ 21， 其中()n i i ,,2,1 =λ是A 的特征值. 所以()∑==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡===n i i i n T T T T n y Y Y ATY T Y AX X x x x f 122121,,λλλλ记M λ是()n i i ,,2,1 =λ中的最大值，m λ是()n i i ,,2,1 =λ中的最小值，又()()111112=====---=∑X X X TT X X T X T Y Y y T TT Tni T i ,所以()M n m x x x f λλ≤≤,,,21 ，即f 在条件112=∑=ni i x 下的最大()小值恰为矩阵A 的最大()小特征值.例 已知实数y x ,满足122=+y x ，求()xy y x y x f 22,22-+=的最大值和最小值. 解 f 的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2111A ， ()()01212111=---=----=-λλλλλA E ， 解得A 的特征值为2531+=λ，2532-=λ，由定理1.6.4得，()y x f ,的最大值为253+，最小值为253-. 5 正定矩阵的推广定义[]25 设A ∈n n R ⨯，如果对∀0≠=X ()12n ,, ... ,Tx x x ∈n 1R ⨯, 都存在=X S S l P ∈,使得T X AX S X >0,则称A 为更广义正定矩阵，这种更广义正定矩阵的集合记为xL P +，若X S 与X 无关，则把这样的广义正定矩阵的集合记作+L P .定义[]26 设A ∈n n R ⨯，如果对∀0≠=X ()12n ,, ... ,Tx x x ∈n 1R ⨯，都存在X B B =D P ∈,使得T X X B AX >0，则称A 为更广义正定矩阵，这种更广义正定矩阵的集合记为XD P +，若X B 与X 无关，则把这样的广义正定矩阵的集合记作D P +. 各种定义有如下关系：S l D S L D P P P P P P +++⊆⊆⊆⊆⊆ 证明 ()1 显然S l P P ⊆；()2 对∀l A P ∈，有0T X AX>，即0T X EAX >，E 为n 阶单位矩阵，当然是正对角矩阵，所以D A P ∈，所以l D P P ⊆；()3 对∀D A P ∈，存在正对角矩阵D ，使0T X DAX >，显然S D P ∈，所以SA P +∈，所以D S P P +⊆；()4 对∀SA P +∈，存在S ∈S P ,使得0T X SAX >，当然l S P ∈，所以L A P +∈，所以 S L P P ++⊆；()5 对∀L A P +∈，存在S ∈l P ,使得0T X SAX >，因为l D P P ⊆，所以D S P ∈，所以D A P +∈，所以L D P P ++⊆.6 广义正定矩阵的一些性质定理1.6 若∈D A P ，则A >0.证明 因为D A P ∈，则存在正对角矩阵D ，使T X DAX >0，所以DA l P ∈，所以DA >0，因为D >0，所以A >0.定理6.2 S A P +∈、L A P +∈、D A P +∈都有A >0. 其证明方法都类似于定理1.6，在这里就不再一一写出. 定理[]113.6 S S A P B P +∈∃∈等价于，∈l C P ，使或==A BC A CB . 证明 必要性因为S A P +∈,所以S D P ∃∈,使T X DAX 0>则l DA P ∈，1S D P -∈,令C =DA ,B =1D -,所以A =1D -DA =BC SB P ∈，lC P ∈，或者，将0>DAX X T 改写为()()1TDX AD DX ->0,令C =1AD -∈l P ,B =D ∈S P ,所以A =1AD -D =CB .充分性不妨设∃S B P ∈,l C P ∈，使A B C =，则C =1B A -，因为l C P ∈,所以对∀1n X R⨯∈0≠， 有T X CX >0,即1T X B AX ->0,因为1B -S P ∈,所以S A P +∈.定理3.6说明，对称正定矩阵和实正定矩阵之积为广义实正定矩阵，这也可作为广义正定矩阵的定义和判定定理.定理[]104.6 设A ∈S P +,则存在正交矩阵Q ，使得T D Q AQ P ∈.证明 因为A ∈S P +，所以存在S S P ∈, 使得l SA P ∈，因为S S P ∈，所以存在正交矩阵Q ，使T Q SQ 为正对角矩阵，又T Q S A Q =T SQ T Q AQ ，因为T Q SAQ l P ∈，所以对∀1n X R ⨯∈0≠，有T T X Q SAQX >0,即()()T T T X Q SQ Q AQ X >0,因为T Q SQ 为正对角矩阵，所以T D Q AQ P ∈.7 结束语通过本文的写作，使我对正定矩阵有了更加深入的认识，并且利用正定矩阵解决了代数中的一些问题. 在此基础上，将正定矩阵作了进一步的推广，得到了广义正定矩阵.8 致谢本论文在选题及写作过程中得到黄盛老师的悉心指导，黄老师多次询问写作进程，并为我指点迷津，帮助我开拓研究思路，精心点拨、热忱鼓励. 黄老师一丝不苟的作风，严谨求实的态度，踏踏实实的精神，深深地感染和激励着我. 正是由于他在百忙之中多次审阅全文，对细节进行修改，并为本文的撰写提供了许多中肯而且宝贵的意见，本文才得以成型. 在此对黄老师表示由衷的感谢！同时，也感谢大学里各位老师的教导以及班级同学的帮助和支持！参考文献[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数[M]. 第三版. 北京：高等教育出版社，2003: 162-226.[2]戴泽俭，凌灯荣，夏徐林. 关于正定矩阵的进一步推广[J]. 安庆师范学院学报，2006,12（2）：23-24.[3]佟文廷. 广义正定矩阵[J]. 数学学报, 1984(27): 810-810.[4]夏长富．钜阵正定性的进一步推广[J]．数学研究与评论, 1988, 8(4)：499-504.[5]吴亚敏. 正定矩阵的性质[J]. 数学学习与研究, 2011: 110-111.[6]钱吉林. 高等代数题解精粹[M]. 第二版. 北京：中央民族大学出版社，2010:112-224.[7]岳贵鑫. 正定矩阵及其应用[J]. 辽宁省交通高等专科学校学报,2008,10(5):30-33.[8]华东师范大学数学系. 数学分析[M]. 第三版. 北京：高等教育出版社, 2008:136-139.[9]薛蓉华. 二次型性质的若干应用[J]. 福建工程学院学报, 2011, 9(3): 273-275.[10]何春羚. 关于广义正定矩阵性质的讨论[J]. 重庆文理学院学报，2007, 26(4): 15-17.[11]沈光星. 广义正定矩阵及其性质[J]. 高等学校计算数学学报, 2002（2）：186-192.[12]史秀英. 正定矩阵的等价命题及其应用[J]. 赤峰教育学院学报, 2000, 2: 44-46.The Properties of Positive Definite Matrix and PromotionLI Jun-xiaCollege of Mathematics Science No：080414076Tutor: HUANG ShengAbstract:Positive definite matrices is a kind of more important and widespread matrix, as a kind of special matrix, of course, there are many different properties with other matrix, this paper gives some properties of positive definite matrix. Secondly, given the positive definite matrix inequalities in proof, let the function extreme value, polynomial of factoring decomposition specific application on the positive definite matrix was further promotion, get some properties of the generalized positive definite matrix, and the correspondi- ng proof.Key words: positive definite matrix; generalized positive definite matrix; positive diagonal matrix; real symmetric matrices。
洛阳师范学院毕业论文(设计)各类文档附件合集
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洛阳师范学院学生学业成绩管理规定
洛阳师范学院学生学业成绩管理规定（校政教〔2014〕188号2014年8月31日印发）学业成绩是评价学生学习质量的基本标准，也是反映教师教学水平的重要信息。
为进一步加强学生学业成绩的管理，依据《洛阳师范学院学籍管理规定》及《洛阳师范学院本科学分制实施方案》，特制定本规定。
第一条教务处、各教学部门、任课教师共同承担成绩管理责任。
各责任人应以高度负责的态度对待学生的学业成绩，作到客观、公正、科学、规范，共同维护成绩的权威性、严肃性。
第二条评定、登记、审查学生成绩要有客观的依据，坚持实事求是，不徇私情，杜绝主观臆造。
合分、登分、成绩录入、查询等各个环节，都应严格执行复核制度和审查制度，杜绝错误、漏洞或者成绩缺失等现象的发生。
第三条学生学业成绩的管理模式实行教务处和各教学部门两级管理。
（一）教务处职责：负责全校学生成绩的总体管理，包括制定成绩管理规范、程序和标准；检查、监督和指导各教学部做好学生成绩管理工作以及网上成绩库的管理和维护。
（二）教学部门职责：负责本部门教师所授课程成绩的录入与管理。
包括受理学生对成绩的查询和异议处理,以及出具学生所需的成绩证明。
第四条学生在校学习期间，应当参加学校教育教学计划规定的课程和各种教育教学环节的考核。
考核成绩及学分输入学生成绩库，并归入本人学籍档案。
第五条考试课程成绩原则上由平时成绩（含期中考试、课堂讨论、作业、论文、出勤等）和期末考试成绩综合评定，其中，平时成绩在总成绩中所占的比例原则上不超过50％。
平时成绩的评定要有依据，依据的主要项目为：1.平时作业；2.课堂讨论和提问；3.阶段性测试；4.实验；5.小论文或综合作业；6.考勤。
第六条考查课程应当以学生平时完成实验、实习、课外作业、专题论文、习题课和课堂讨论等情况及平时测验成绩综合确定该课程成绩。
考查课程的考核原则上应当在学期期末停课前完成。
第七条课程以学期为单位计算。
凡一门课程分学期讲授的，每学期均按一门课程考核；单独开设的实践教学环节单独考核。
线性变换的核和值域的若干性质的讨论(3)(1)
LUOYANG NORMAL UNIVERSITY2010届本科毕业论文线性变换的核和值域的若干性质的讨论院（系）名称数学科学学院专业名称数学与应用数学学生姓名高远晓学号060414047指导教师周慧倩讲师完成时间2010.5线性变换的核和值域的若干性质的讨论高远晓数学科学学院数学与应用数学学号：060414047指导教师：周慧倩摘要：本文给出了在什么样的特殊线性变换下,线性变换的核和值域的直和是整个线性空间；线性变换为可逆线性变换；线性变换的核和值域互为正交补.关键词：线性变换的核和值域；逆变换；直和；正交补0 引言线性变换是高等代数中的一个重要的知识点,在线性空间中有举足轻重的地位,不管是在理论研究中还是在实际应用中都有极其重要的地位.这也就要求我们必须在线性变换这方面多多思考,认真学习.在对课本上的知识学习外有必要多看看其他相关的书籍和文献,对自己将来的研究或工作都是有益的.线性变换的核和值域是线性空间的一个重要概念,除了基本的性质之外,特殊的线性变换还具备一些特殊的性质,同时一些具有特殊性质的线性变换的核和值域的关系也反映了一些特殊的线性变换.文献[1]中已经给出了线性变换相应的性质,我们可以在此基础上,思考线性变换的核和值域的特殊性质.如什么样情况下其直和为整个空间；核和值域还有那些特别的性质；什么情况下其直和互为正交补.并对一些不满足的情况给出了反例.1基本概念和基本定理定义1.1 线性变换的核和值域的概念[]2设σ是数域上P的线性空间V的一个线性变换,σ的全体象组成的集合称为σ表示,所有被σ变成零向量的向量组成的集合称为σ的核,用σ的值域,用()V()10σ-表示.σ的核()10σ-又记作()Ker σ,σ的值域()V σ又记作Im()σ.即(){}()0,Ker V σζσζζ==∈,(){}Im()V σσζζ=∀∈.定义1.2 直和的概念[]1设1V ,2V 是线性空间V 的子空间,如果和12V V +中每个向量α的分解式 12=+ααα, 1122,V V αα∈∈ ,是唯一的,这个和就称为直和,记为12V V ⊕.定义1.3 欧氏空间正交补的概念[]1子空间2V 称为子空间1V 的一个正交补,如果1V ⊥2V ,并且12V V V +=.定理1.1 （维数公式） 如果1V ,2V 是线性空间V 的两个子空间,那么 ()()()()121212dim dim dim dim V V V V V V +=++⋂.定理1.2 设1V ,2V 是V 的子空间,令12W V V =+,则12W V V =⊕的充分必要条件为()()()12dim dim dim W V V =+.2 线性变换的核和值域的直和是整个线性空间的条件定理2.1 设σ是数域F 上线性空间V 的一个线性变换,在V 是有限维向量空间的情形,我们有σ的核()Ker σ与σ的值域Im()σ的维数之和等于V 的维数,即：dimIm()dim ()Ker n σσ+= .证明：参考文献[1].应该指出,虽然子空间()Im σ与()Ker σ的维数之和为n ,但是Im()()Ker σσ+并不一定是整个空间.例 1 设是三维向量空间V 是实数域R 上的线性空间,σ为三维线性空间的一个线性变换.相性无关的三个向量1α,2α,3α为V 的一组基,分别为()11,0,0α=,()20,1,0α=,()30,0,1α=.其中()()10,0,0σα=,()()20,0,0σα=, ()()30,1,0σα=.证明：由题可知dimIm()dim ()3Ker σσ+=,但是Im()()Ker σσ+不是整个三维空间.因为Im()()Ker σσ+只有两个线性无关的向量()11,0,0α=和()20,1,0α=,这与三维线性空间为三维空间相矛盾.对于一般的线性变换虽然有性质2.1知满足性质()()dimIm dim Ker n σσ+=.但是很多的线性变换是不满足()()dimIm dim V Ker σσ=+这个性质的,由例1知空间V 不一定等于()()Im Ker σσ+.那么一般来说空间V 不是线性变换的核和值域的直和,即()()Im V Ker σσ=⊕不一定成立.如：设[]n F x 表示数域F 上所有次数不大于n 的多项式及零多项式所成的向量空间,令()()':f x f x σ→,则()[]1Im n F x σ-=,()Ker F σ=,满足()()dimIm dim Ker n σσ+=,但()(){}Im 0Ker F σσ⋂=≠,()()Im V Ker σσ≠⊕.下面我们讨论什么样的情况下有Im()()V Ker σσ=⊕.引理 ()()Im V Ker σσ=+的充分条件为()(){}Im 0Ker σσ⋂= . 证明 由定理2.1知dimIm()dim ()Ker n σσ+=,因,()(){}Im 0Ker σσ⋂= ,由维数公式知()()()dim Im dimIm()dim ()Ker Ker n σσσσ+=+=.因此可得()()Im V Ker σσ=+.定理2.2 ()()Im V Ker σσ=⊕的一个充分条件为2σσ=.证明：任取()()Im Ker ασσ∈⋂,由()Ker ασ∈得()0σα= .由()Im ασ∈知存在V ξ∈使()σξα=,则()()20ασξσξ=== .所以()(){}Im 0Ker ασσ∈⋂= . 由引理和()()Im Ker V σσ+⊆可知()()Im V Ker σσ=⊕.对此题的条件2σσ=给以推广可得：定理2.3 设σ是n 维向量空间V 的线性变换,则V ()()Im Ker σσ=⊕的充要条件是()()2dimIm dimIm σσ=.证明 （充分性） 设2dim Im()dim Im()σσ=,则22dim Im()dim ()dim Im()dim ()Ker Ker n σσσσ+=+=.因2dim Im()dim Im()σσ=,于是2dim ()dim ()Ker Ker σσ=.但2()()Ker Ker σσ⊆,于是2()()Ker Ker σσ=.再证{}Im()()0Ker σσ⋂=.因为Im()()Ker βσσ∀∈⋂,V γ∃∈,使()βσγ=,且()0σβ=,所以()()20σγσβ==,2()()Ker Ker γσσ∈=.故()0βσγ==.即证{}Im()()0Ker σσ⋂=.由dimIm()dim ()Ker n σσ+=,{}Im()()0Ker σσ⋂=,可得Im()()V Ker σσ=⊕.（必要性） 设Im()()V Ker σσ=⊕,因为()2Im()Im()Im()σσσσ=⊆,且Im()βσ∀∈,V α∃∈,使()βσα=.于是可设12ααα=+,其中12Im(),()Ker ασασ∈∈.则()()()()()()2212Im()βσασασασσδσδσ==+==∈.即2Im()Im()σσ⊆.由2Im()Im()σσ⊆,2Im()Im()σσ⊆可得,2Im()Im()σσ=,故2dim Im()dim Im()σσ=.我们上面讨论的所有线性变换都是随线性空间施加一次线性变换后核和值域的关系,那么当对一个线性空间连续施加相同的线性变换后,线性空间的核和值域有什么样的关系呢？线性空间的核和值域的直和是否是整个线性空间呢？下面我们来讨论这个问题.定理2.4 设T 是n 线性空间V 上线性变换, T 的核记为()Ker T ,T 的象记为Im()T ,则（1） {}20k KerT KerT KerT ⊆⊆⊆⋅⋅⋅⊆⊆⋅⋅⋅，2Im Im Im k T T T V ⋅⋅⋅⊆⊆⋅⋅⋅⊆⊆⊆.（2）存在正整数k,使得1k k KerT KerT +=并且,对一切t 1≥的整数有k k t KerT KerT +=.同时有Im k k V T KerT =⊕.证明 （1）显然{}0KerT ∈ .要证{}20k KerT KerT KerT ⊆⊆⊆⋅⋅⋅⊆⊆⋅⋅⋅ 只要证明1m m KerT KerT +⊆ ()1,2,m =⋅⋅⋅即可.m KerT α∀∈,则()0mT α= ,所以有()()()()100m m T T T T αα+=== . 故1m KerT α+∈,此即1m m KerT KerT +⊆()1,2,m =⋅⋅⋅成立,从而{}20k KerT KerT KerT ⊆⊆⊆⋅⋅⋅⊆⊆⋅⋅⋅ 成立.要证2Im Im Im k T T T V ⋅⋅⋅⊆⊆⋅⋅⋅⊆⊆⊆式,只需证明1Im Im s s T T +⊆,()1,2,s =⋅⋅⋅.即可.1Im s T β+∀∈,则存在V δ∈,使()()()1Im s s s T T T T βδδ+==∈.从而1Im Im s s T T +⊆,()1,2,s =⋅⋅⋅成立,所以2Im Im Im k T T T V ⋅⋅⋅⊆⊆⋅⋅⋅⊆⊆⊆成立.（2）由上面{}20k KerT KerT KerT ⊆⊆⊆⋅⋅⋅⊆⊆⋅⋅⋅ 有2dim dim dim s KerT KerT KerT ≤≤⋅⋅⋅≤≤⋅⋅⋅由于V 是n 维线性空间, dim KerT 是常数,且维数不能为负,因此上式不能为无限不等下去,从而一定存在正整数k,使1dim dim k k KerT KerT +=.但1k k KerT KerT +⊆.有1dim dim k k KerT KerT +=,1k k KerT KerT +⊆即证1k k KerT KerT +=成立.再用数学归纳法证明k k t KerT KerT +=,显然1t =时结论成立.归纳假设结论对1s -成立,即()1k s k KerT KerT +-=.再证s 时结论成立,有s k s k k KerT KerT KerT +-+⊆=)1(.k s KerT β+∀∈,则()()()10k s k s T T T ββ+-+==,即()()1k s k T KerT KerT β+-∈=.所以10k T β+=,()11k s k k KerT KerT KerT β+-+∈==,此即k s k KerT KerT +⊆.由()1k s k k s KerT KerT KerT +-+⊆⊆,k s k KerT KerT +⊆得证k s k KerT KerT +=.即对s 也成立,从而k k t KerT KerT +=对一切正整数 t 成立.再证{}Im 0k k T KerT ⋂=.其中k 满足k k t KerT KerT +=.Im k k T KerT α∀∈⋂,则()k T αβ=,V β∈,且()0k T α=.所以()()220k K k k T T KerT KerT αββ==⇒∈=.从而()0k T αβ==,即证{}Im 0k k T KerT ⋂=.由于k T 是V 的线性变换,因此有维数公式可知()()()dim dim Im dim dim Im k k k k V n T KerT T KerT ==+=⊕.但Im k k T KerT V ⊕⊆.由()()()dim dim Im dim dim Im k k k k V n T KerT T KerT ==+=⊕,Im k k T KerT V ⊕⊆即证Im k k V T KerT =⊕成立.3 线性变换可逆时核和值域的性质我们知道一般的线性变换不一定是可逆的线性变换,那么当什么样的情况下线性变换是可逆的线性变换呢？具有可逆性质的线性变换来说,它的核和值域有什么样的特殊性质吗？下面我们来讨论这个问题.定理3.1 设σ是数域P 上的线性空间V 的一个线性变换,若(){}0Ker σ= ,则σ是单变换.证明 对于,V ξη∀∈,若()()σξση=,则有()()0σξση-=,即()0σξη-=,于是()Ker ξησ-∈.又因()0Ker σ=,则有0ξη-=,即ξη=,故σ是单变换.定理3.2 设V 是数域P 上的有限维线性空间,σ是V 的一个线性变换,若(){}Ker =0σ,则σ是满变换.证明 已知V 是数域P 上有限维线性空间,故设V 的维数是n,且12,,,n ααα⋅⋅⋅是V 的一组基. 先证()()()12n ,,,σασασα⋅⋅⋅是V 的一组基.设12,,,n k k k ⋅⋅⋅是数域P 中的任意n 个数,使得()()()1122n 0n k k k σασασα++⋅⋅⋅+=,则有()1122n 0n k k k σααα++⋅⋅⋅+=.即()1122n n k k k Ker ααασ++⋅⋅⋅+∈,而()0Ker σ=,于是1122n 0n k k k ααα++⋅⋅⋅+=.因为12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关,则120n k k k ==⋅⋅⋅==,则()()()12n ,,,σασασα⋅⋅⋅线性无关,即()()()12n ,,,σασασα⋅⋅⋅也是V 的一组基.再证 σ是满变换,V β∀∈,设()()()1122n =t n t t βσασασα++⋅⋅⋅+ ,其中12t ,,,n t t p ⋅⋅⋅∈,则()1122n t n t t βσααα=++⋅⋅⋅+ .取1122n =t n t t αααα++⋅⋅⋅+,则V α∈,且()σαβ=,于是对()V βσ∀∈都存在V α∈使得()σαβ=,因此σ为满变换.定理3.3 对于有限维线性空间的线性变换,它是单射的充要条件是它是满射.证明 显然当且仅当()Ker V σ=,即()Im σ的维数为n 时,σ为满射；另外,当且仅当(){}0Ker σ= ,即σ的核空间的维数为0时,σ是单射,于是由定理2.1即可得出结论.定理3.4 设V 是数域P 上的有限维线性空间, σ是V 的一个线性变换,则σ是可逆变换的充要条件为(){}0Ker σ=.证明 由定理3.1、定理3.2和定理3.3综合可得.4 欧式空间线性变换的核空间和值域空间互为正交补的条件欧式空间是对一般的线性空间中加入了内积的定义,引出了正交补的概念,那么对于特殊的子空间核空间和值域空间来说它们满足正交补吗？在欧式空间中什么样的线性变换满足核空间和值域空间互为正交补呢？这是我们下面要讨论的问题.定理4.1 设σ使n 维欧氏空间的V 的一个线性变换,则σ的核()Ker σ与σ的值域()Im σ互为正交补的充要条件是()Ker σ⊥()Im σ.证明 （必要性）由正交补空间的定义,若()Ker σ和()Im σ互为正交补,则()Ker σ⊥()Im σ.（充分性）若()Ker σ⊥()Im σ,要证()Ker σ与()Im σ互为正交补,只需证明()()=+Im V Ker σσ.由()Ker σ⊥()Im σ及只有零向量与它自身正交知()(){}Im 0Ker σσ⋂=. 于是有维数公式()()()()()dim Im dim dimIm Ker Ker σσσσ+=+.而有性质2.1知,dimIm()dim ()Ker n σσ+=.因此()()()()dim Im dim Ker n V σσ+==.又()()+Im Ker σσ是V 的子空间,所以V =()Ker σ⊥()Im σ.由命题6的结论的推广：推论1 设σ是n 维欧氏空间V 的线性变换,若σ的核()Ker σ与σ的值域()Im σ互为正交补,则()()=Im V Ker σσ⊕.推论2 若σ是n 维欧氏空间V 的对称变换,则()Ker σ与()Im σ互为正交补.证明 任取()Ker ασ∈,()Im βσ∈,则()0σα= .于是由σ是对称变换得()()()()()00ασβσαββ=== ，，，.由α,β的任意性知()Ker σ⊥()Im σ.从而由命题6可知()Ker σ与()Im σ互为正交补.5 结束语通过对线性空间的核和值域的关系的讨论,我们得到了线性变换和核和值域的直和为整个空间的条件；对一线性空间连续进行线性变换后,线性变换的核和值域的关系；线性变换为单变换的充分条件和线性变换为可逆变换的充要条件；线性变换的核和值域互为正交补的一个充要条件和充分条件.通过这些讨论可以使我们对线性变换有更深刻完整的认识，关于这些问题有机会我们还可以做更深入的研究。
抽屉原理论文
( i ≠ j ) ,满足 xi − x j
证明
≤
1 . 10
如图（1）, 将实数轴上介于 0 与 1 那段（连同端点）等分为 10 小段（亦可
称为区间, 即鸽巣）, 每小段长为
1 11 . 由鸽巣原理,11 个点中至少有 = 2 个点落在 10 10 1 . 10
同一条小线段上, 设为 xi , x j ( i ≠ j ) , 这两点相应的数之差的绝对值 xi − x j ≤
形划分成四个边长为 1 的小三角形. 由鸽巣原理, 5 个点中至少有两个点落如同一个小 三角形里, 而这两个点之间的距离一定小于等于 1. 〈方法二〉 如图 （2） 所示, 以正三角形三顶点为中心, 分别作半径为 1 的圆弧, 把 正三角形划分为四块 S1 , S2 , S3 , S 4 . 由鸽巣原理, 5 个点中至少有两个点落如同一个小三 角形里, 两个点之间的距离一定小于等于 1.
1
洛阳师范学院本科毕业论文
“信箱”看作鸽巣, 可以得到鸽巣原理最简单的表达形式.
1.鸽巣原理 1. 1.1 鸽巣原理的简单形式 定理 1 的物体. 证明 假设这 n 个盒子中的每一个都至多含有一个物体, 则物体的总数最多是 n , 把 n + 1 个物体放入 n 个盒子里, 则至少有一个盒子里含有两个或两个以上
2.4 按余数分类构造鸽巣
涉及自然数的问题, 有时常用对模同余分类法, 构造 n 个鸽巣, 以 n 为模, 可以将 全体自然数分为｛余数为 0 的自然数｝,｛余数为 1 的自然数｝,…,｛余数为 n − 1 的自 然数｝, 共 n 个鸽巣. 例6 证明 任取 4 个自然数, 其中必有两个数的差是 3 的倍数. 任意一个自然数被 3 除所得的余数只能是 0,1, 2 三种, 根据所得余数, 可以
基于计算机的“架空输电线路设计”课程教学改革与探索
Science and Technology &Innovation ┃科技与创新2020年第24期·93·文章编号：2095－6835（2020）24－0093－02基于计算机的“架空输电线路设计”课程教学改革与探索＊陈菲，刘亚琳，张莹文（洛阳师范学院，河南洛阳471934）摘要：“架空输电线路设计”是电气工程及其自动化专业的一门专业拓展课，通过这门课的学习，学生要掌握架空输电线路的基本理论，理解架空输电线路设计的步骤，毕业后具有从事相关领域工作的基本能力，因此此课程的学习需要将理论与实践有效结合起来，才能达到较好的教学效果。
针对目前教学中存在的一些问题及不足，基于计算机应用软件对课程进行了相关的改革与探索，不仅提升了教学质量，而且为其他工科专业课程提供借鉴。
关键词：“架空输电线路设计”；计算机应用软件；教学改革；教学质量中图分类号：G642文献标志码：ADOI ：10.15913/ki.kjycx.2020.24.031随着中国经济的不断发展，高压、超高压、特高压输电线路建设速度加快，电力行业急需大量输电线路设计专业技术人才。
洛阳师范学院电气工程及其自动化从2017年开设了“架空输电线路设计”课程，该课程不仅涉及线路工程中的基础知识，同时还为输电线路施工提供了理论支持[1]。
为了能够让学生学好“架空输电线路设计”这门课程，有效提高教学质量和教学效果，加强学生的工程应用能力，针对“架空输电线路设计”课程教学中存在的问题展开研究，提出基于计算机的“架空输电线路设计”课程教学改革，激发学生对“架空输电线路设计”的学习兴趣，重点培养学生的理论联系实际的工程思想。
1“架空输电线路设计”课程教学中存在的问题“架空输电线路设计”针对实际输电线路工程的设计任务，教授的内容从基本的设计原理到实际的设计方法，具体包括架空输电线路基本知识、设计用气象条件、架空线的机械物理特性和比载、架空线的各种计算、架空线的振动和防振、路径选择和杆塔定位等多方面知识。
洛阳师范学院毕业论文工作手册(09年修订)
撰写规范(一)内容要求１、题目论文题目应该简洁、明确、概括性强。
读者通过题目，能大致了解论文的内容、专业的特点和学科的范畴。
但字数要适当，一般不宜超过20字。
必要时可加副标题。
２、摘要与关键词（1)摘要摘要应概括地反映出毕业论文(设计)的目的、内容、方法、成果和结论。
摘要中不宜使用图表，不标注引用文献编号。
摘要篇幅大小一般限制其字数不超过论文字数的５%。
例如，对于６０00字的一篇论文,其摘要篇幅一般不超出３０0字。
(２)关键词关键词是提供检索用的主题词条，应采用能覆盖论文主要内容的通用技术词条（参照相应的技术术语标准）。
关键词一般为3~5个，按词条的外延层次排列(外延大的排在前面）。
3、正文论文正文是毕业论文 (设计）的主体和核心部分，一般应包括引言、论文主体及结论等部分。
各院（系)根据专业特点，可在此框架内制定本专业的统一格式。
(１)引言引言应包括:毕业论文（设计)的目的及意义;国内外研究的历史与现状;本课题的研究方法和手段;论文（设计）构成、研究内容和取得的成果等。
（２）论文主体论文主体是毕业论文（设计)的主要部分，应该结构合理，层次清楚，重点突出,文字简练、通顺。
论文主体的内容应包括以下各方面：①毕业论文(设计)总体方案设计与选择的论证。
②毕业论文 (设计)各部分（包括硬件与软件）的设计计算。
ﻩ③试验方案设计的可行性、可操作性以及试验数据的处理及分析。
④对本研究内容及成果应进行较全面、客观的理论阐述,应着重指出本研究内容中的创新、改进与实际应用之处。
理论分析中，应将他人研究成果单独书写，并注明出处,不得将其与本人提出的理论分析混淆在一起。
对于将其他领域的理论、结果引用到本研究领域者，应说明该理论的出处。
⑤理工类的论文应推理正确，结论清晰,无科学性错误。
⑥文史类的论文应包括对研究问题的论述及系统分析，比较研究,模型或方案设计,案例论证或实证分析，模型运行的结果分析或建议、改进措施等。
（3)结论结论要求精炼、准确地阐述自己的创造性工作或新的见解及其意义和作用,还可进一步提出需要讨论的问题和建议。
角色游戏对幼儿同伴交往能力的影响
洛阳师范学院学前教育学院学位论文诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的学士学位论文《角色游戏对幼儿同伴交往能力影响的研究》是在论文指导教师卫丽军副教授的指导下独立完成。
论文无抄袭剽窃现象,愿意承担因抄袭剽窃带来的一切后果。
学生签名：杨朋日期：2016年04月29日目录摘要(1) 引言(1) 一、概念界定(1) （一）幼儿同伴交往能力(1) （二）幼儿同伴交往能力影响因素(2) （三）角色游戏(3) 二、角色游戏促进幼儿同伴交往能力的提高(3) （一）同伴交往能力的结构维度(3) （二）角色游戏对幼儿同伴交往能力的影响(4)1.角色游戏可以有效改善幼儿的社交障碍(5)2.角色游戏可促进幼儿语言和非语言能力的提高(5)3.角色游戏可以促进幼儿亲社会性的发展(6)4.角色游戏可以提高幼儿的社交主动性(7)三、教师的指导策略(7) （一）丰富幼儿的生活经验，拓宽角色游戏的主题和情节(7) （二）创设良好的游戏环境，投放适宜的游戏材料(7) （三）认真观察幼儿游戏，适时适度介入指导(7) （四）给予幼儿发展性评价、正向评价，鼓励进行幼儿自我评价(8) 参考文献(9)角色游戏对幼儿同伴交往能力影响的研究杨朋（学前教育学院学前教育专业学号：141412022 指导教师：卫丽军副教授）摘要：同伴交往既是幼儿社会性发展的重要内容，又是影响幼儿社会性发展的重要因素。
因此，同伴交往能力在幼儿的成长和发展过程中占据十分重要的地位。
角色游戏中包含很多社会性因素，如主题、情节、规则、语言、行为等，都含有同伴交往的成分。
不仅能够为幼儿提供更多同伴交往的机会，而且可以起到很好的示范作用。
同时，角色游戏也深受幼儿的欢迎，是提高幼儿同伴交往能力的一个切入点。
关键词：角色游戏；幼儿；同伴交往引言《幼儿园教育指导纲要（试行）》中明确指出：教师要引导幼儿参加各种集体活动，体验与教师、同伴等共同生活的乐趣，帮助他们正确认识自己和他人，养成对他人、社会亲近、合作的态度，学习初步的人际交往技能。
洛阳师范学院学生证补办申请存根
洛阳师范学院学生证补办申请存根
（院系保存,每学期放假前装订后送交学生处）第号
院系：年级：班级：学号：
姓名：性别：申请补办日期：年月日
身份证号：□□□□□□□□□□□□□□□□□□
家庭住址：省市区县乡镇村
……8＜……裁剪线………8＜……………8＜………（骑裁剪线盖院系公章处）……8＜……
洛阳师范学院学生证补办申请书
（学生处留档）第号
补办须知：
1、申请人应当认真学习《洛阳师范学院学生证、校徽管理办法》（院政学〔2006〕278号文件）；
2、时间：每周四下午3点—5点，由学生本人到学生事务咨询服务大厅办理；
3、本申请书中照片要加盖院系骑缝章，随此申请另交1寸正面免冠近照1张(彩色黑白均可)；
4、经办老师应当认真核对学生所填信息，确保真实准确；涉及签字的地方一律是本人亲自填写；
5、申请人应到院系学生工作办公室领取学生证补办申请书，并且使用黑色水笔填写；
6、如弄虚作假，则按照《洛阳师范学院学生纪律处分管理办法》第二十四条“办理假证件、伪造、涂改票证、
转借证件者，视情节及造成的后果严重程度给予相应的纪律处分：严重警告、记过、留校察看处分”处理。
我的学生证因，现申请补办，有关信息如下：
学号：，姓名：，性别：，年级：
院系：，专业：，入学年月：年月
家庭住址：省市区县乡镇村
身份证号：□□□□□□□□□□□□□□□□□□
乘车区间：洛阳—是否需要乘车优惠卡：是☐否☐
贴一寸近期
免冠照片
盖骑缝章申请人签字：
贴身份证复印件正面
请使用固体胶粘贴照片和身份证复印件盖院系
公章处
签字日期：年月日辅导员审核签字：
申请人联系手机：签字日期：年月日。
数字媒体艺术(数字游戏设计方向)
据 2007 召开的 SMIA 首届高端数字媒体人才双选会上显示，我国数字 创意和 CG、游戏人才缺口达 80 万，兼通艺术和电脑技术的复合型人才严 重不足，已经成为制约企业发展的瓶颈问题。目前，网络游戏和 CG 人才 也已经被纳入国家计划，被国家紧缺人才办公室列为紧缺人才项目。
2000 年教育部批准设置目录外新专业中，增加了数字媒体艺术，这正是为了解 决当前数字媒体艺术人才急需的矛盾。自 2000 年中国传媒大学开办数字媒体艺术专 业以来，到 2012 年秋季，全国开设“数字媒体艺术”专业的院校将达到 56 所，从 地域上看江苏、山东各开设了 7 所、北京开设了 6 所、浙江、广东、四川、湖北、 福建各开设了 4 所，这 8 个省份共开设 40 所，占所开院校的三分之二以上，这也印 证上述区域的发达与人才需求的旺盛，而河南省还没有开设，和当前中原经济区建 设、文化强省战略形成了明显反差。由于各校办学规模的限制，每年培养的数字媒 体人才远远不能满足市场的巨大需求。
工学/文学
学校举办本科 教育的年份
学校招生面向
拟首次招生时间 及招生数
2000 全国 2013 年/60 人
现有本科专业 （个）
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本校已设的相近 本、专科专业及开
设年份
艺术设计专业数码设计方向 2003，计算机科学与技术 2000、 动漫设计与制作 2009、教育技 术 2000、美术学 2000、广播电