(新课标)2018年高考数学专题069月第三次周考(第三章三角函数)测试卷文

专题06 9月第三次周考（第三章 三角函数）测试时间：120分钟 班级： 姓名： 分数：试题特点：本套试卷重点考查任意角的三角函数的定义、三角函数公式、三角函数的图像及其性质、三角恒等变换、解三角形等．在命题时，注重考查基础知识如第1-9，13-15及17-20题等；注重考查知识的交汇，如第17题考查对三角函数定义、三角恒等变换、平面向量及三角函数的性质等；注重数形结合能力和运算能力的考查，如第13，16，17，20，21题等．讲评建议：评讲试卷时应强调对新定义的理解、三角公式的识记、三角函数的图像及其性质的应用等．关注数形结合数学思想方法的培养（如第11，16，17，21题等），整体思想以及转化与化归思想（如第16，19，21，22题）．试卷中第11，12，17，19，21各题易错，评讲时应重视．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知一圆弧的弧长等于它所在圆的内接正三角形的边长，则这段圆弧所对圆心角的弧度数为（ ）A ．3π B ．23πC ．2【答案】C考点：弧度制的概念．【易错点晴】本题主要考查弧度制的概念，还涉及正弦定理公式．在弧度制的概念中，圆心角的弧度数的公式为l r α=，其中l 为弧长，在正弦定理中有2sin sin sin a b cR A B C===，由于圆的内接正三角形，故每个角都为3π．由正弦定理就可以求出弧长，再除以半径就等于圆心角的弧度数．注意弧度数是一个比值，所以是一个实数．2．00sin20cos10cos160sin10-=（ ）A ．．12- D ．12【答案】D【解析】试题分析：原式1sin20cos10cos20sin10sin302=+==． 考点：三角恒等变换．3．“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：()()cos2sin cos cos sin ααααα=+-，故sin cos cos 20ααα=⇒=，反过来推不出，故选充分不必要条件． 考点：充要条件，二倍角公式． 4．若角α满足2()36k k Z ππα=+∈，则α的终边一定在 A ．第一象限或第二象限或第三象限 B ．第一象限或第二象限或第四象限 C ．第一象限或第二象限或x 轴非正半轴上 D ．第一象限或第二象限或y 轴非正半轴上 【答案】D考点：终边相同的角的概念．5．已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（ ）A ．43-B ．54C ．34-D ．45【答案】D 【解析】试题分析：原式222222sin sin cos 2cos tan tan 24sin cos tan 15θθθθθθθθθ+-+-===++． 考点：三角恒等变换、齐次方程． 6．在ABC ∆中，4ABC π∠=，AB =，3BC =，则sin BAC ∠=（ ）AC【答案】B考点：解三角形、正余弦定理．7．若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】3cos()sin()sin cos cos sin tan tan 1055553sin()sin()sin cos cos sin tan tan55555πππππαααααπππππααααα-+++====----． 考点：三角恒等变换．8．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若2sin a B =，则角A 等于（ ） A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π【答案】D【解析】由正弦定理得2sin sin ,sin 3A B B A A π===． 考点：解三角形、正余弦定理．9．4cos50tan40-=（ ）AC．1【答案】B考点：三角恒等变换．10．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ∆的形状为（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 【答案】A【解析】由于cos cos b C c B a +=，所以sin 1,2A A π==，所以是直角三角形．考点：解三角形、正余弦定理． 11．tan θ和tan()4πθ-是方程20x px q ++=的两根，则,p q 之间的关系是（ ）A ．10p q ++=B ．10p q --=C ．10p q -+=D ．10p q +-= 【答案】C【解析】依题意有tan tan ,tan tan 44p q ππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=⋅- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，化简得2tan 1tan 1p θθ+=-+，2tan tan 1tan q θθθ-=+，故1,10p q p q -=--+=．考点：三角恒等变换，根与系数关系．【思路点晴】一元二次方程20x px q ++=的根与系数关系为1212x x px x q+=-⎧⎨⋅=⎩，也称为韦达定理．另外要注意的是一元二次方程没有实数根的时候，也有根与系数关系，此时方程有虚根，并且虚根成对，互为共轭复数．本题还考查了两角差的正切公式，即()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=-．利用公式将,p q 表示出来并化简后，两式作差，含有θ的式子会被约掉，从而得出结果． 12．若对任意(,0)a ∈-∞，存在0x R ∈，使0cos a x a ≤成立，则0cos()6x π-=（ ）A ．2-．12- C ．12 D ．2【答案】D【解析】由于(,0)a ∈-∞，故0c o s a x a≤等价于0c o s 1x ≥，故00cos 1,2x x k π==，0cos()cos(2)cos 6662x k ππππ-=-==． 考点：三角恒等变换．【思路点晴】本题主要考查不等式的基本性质，三角函数的值域，特殊角的三角函数．由a 是负数，所以不等式两边同时除以一个负数，不等要的方向要改变，即化简0cos a x a ≤时，应化简为0cos 1x ≥．对于三角函数cos y x =，它的值域是[]1,1-故得到00cos 1,2x x k π==，2k π是余弦函数的周期，由此求第II 卷二、填空题（每题5分，满分20分）13．已知θ为第二象限角，且(p x 为其终边上一点，若cos x θ=，则x 的值为 ．【答案】考点：三角函数概念，同角三角函数关系． 14．在ABC ∆中，4,5,6a b c ===，则sin 2sin AC= ． 【答案】1【解析】根据余弦定理，有2536163cos 0,sin 25644A A +-==>==⋅⋅，sin 22sin cos A A A ==1cos ,sin 8C C ==，故sin 21sin A C =． 考点：解三角形、正余弦定理．15．设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+= ．【答案】考点：三角恒等变换，同角三角函数关系．【思路点晴】本题主要考查三角恒等变换，同角三角函数关系．先根据1tan()42πθ+=，利用两角和的正切公式展开后，可求得1tan 3θ=-，利用同脚三角函数关系式有22sin 1cos 3sin cos 1θθθθ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，联立方程组可求求得sin θθ==，由此求得sin cos θθ+=．在求解过程中，要注意角的终边在第二象限，故正弦为正数，余弦为负数，这是一个易错点． 16．给出下列说法:①终边在y 轴上的角的集合是{|,}2k k Z παα=∈； ②若1sin 5x cosx +=，则1tan tan x x +的值为1225-；③函数()3sin(2)3f x x π=-+在区间5[,]1212ππ-内是减函数； ④若函数()sin 2tan 2f x a x b x =++，且(3)5f -=，则(3)f 的值为1-；⑤函数ln 1y x =-的图像与函数()2cos 24y x x π=--≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于6． 其中正确的说法是 ．（写出所有正确说法的序号） 【答案】③④⑤【解析】①终边在y 轴上的角的集合是{|,}2k k Z παα=∈是错误的，当2k =时απ=，终边在x 轴上； ②由143s i n s i n ,555x c o s xx c o s x +=⇒==-或34sin =-=55x cosx ，，故4-3tanx=或3-4tanx=则1tan tan x x +的值为2512-，故 ②错； ③函数()3sin(2)3sin(2)33f x x x ππ=-+=--的单调递减区间是5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ 当0k =时即为5[,]1212ππ-，所以③正确；④注意到函数()s i n 2t a f x a x b x=+为奇函数，则(3)sin 2(3)tan(3)25sin 23tan33sin 23tan33f a b a b a b -=⋅-+-+=⇒-⋅-=⇒⋅+=-则(3)sin 23tan32321f a b =⋅++=-+=- ，故④正确；⑤在同一坐标系中作出ln 1y x =-与2cos ,(24)y x x π=--≤≤的图像如图，又2cos ,(24)y x x π=--≤≤的周期为2，两图象都关于直线x=1对称，且共有6个交点，由中点坐标公式可得：A B D C E F x x 2x x 2x x 6+=-+=+=，，，故所有交点的横坐标之和为6，故⑤正确考点：终边在y 轴上的角的集合，同角三角函数基本关系式，奇函数，正弦函数的单调区间，函数图像的对称性，中点坐标公式三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于,A B 两点．（I ）如果,A B 两点的纵坐标分别为412,513，求cos α和sin β； （II ）在（I ）的条件下，求()cos βα-的值；（III ）已知点(C -，求函数()f OA OC α=⋅的值域．【答案】【分析】（I ）三角函数定义，（II ）两角和公式求得，（III ）()f OA OC α=⋅，化简求函数的值域．18．（本小题满分12分）已知函数sin 2cos 21()2cos x x f x x++=．（I ）求函数()f x 的定义域；（II ）若()4f πα+=，求cos α的值． 【答案】（I ）{|,}2x R x k k Z ππ∈≠+∈；（II ）35． 【解析】试题分析：（I ）分数的分步不为零，即cos 0x ≠，也即,2x k k Z ππ≠+∈；（II ）先化简()f x ，得到())4f x x π=+，然后将4πα+代入，可得3cos sin()25παα=+=． 试题解析：（I ）由c o s 0x ≠，得,2x k k Z ππ≠+∈，所以函数()f x 的定义域为{|,}2x R x k k Z ππ∈≠+∈；（II ）2sin 2cos 212sin cos 2cos 11()sin cos 2cos 2cos x x x x x f x x x x x+++-+===+)4x π=+因为()45f πα+=，所以3cos sin()25παα=+=．考点：定义域，三角恒等变换，辅助角公式．19．（本小题满分12分）ABC ∆的三个内角为,,A B C ，若7t an()12π=-，求2c o s s i n 2B C +的最大值．【答案】32．考点：三角恒等变换，辅助角公式，三角函数值域．20．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且a c >，已知2BA BC ∙=，1cos 3B =，3b =，求：（I ）a 和c 的值； （II ）cos()B C -的值． 【答案】（I ）3,2a c ==；（II ）2327．考点：解三角形、正余弦定理、三角恒等变换．21．（本小题满分12分）如图是函数ππ()2sin()(0,)22f x x=+>-<<w j w j的部分图象，直线3π7π,88x x==是其两条对称轴．（I ）求函数()f x 的解析式和单调增区间；（II ）若6()5f α=，且π3π88<<a ，求π()8f +a 的值． 【答案】(1) π()2sin(2)4f x x =- ，函数()f x 的单调增区间为π3π[π,π]()88k k k -+∈Z ；(2)257．考点：1．三角函数的图像和解析式；2．三角恒等变换．【方法点睛】根据()ϕω+=x A y sin ()0,0>>ωA 的图像求函数的解析式，有三个量需要确定，一根据最值求A ，二根据周期求ω，ωπ2=T ，根据图像所给的图像可以求周期，三根据五点法求ϕ，一般函数会给出最值点或是函数的零点，这些点就是五点法中的点，所以一般代入其中的一个点，比如此题，当π83=x 时，Z k k ∈+=+⨯,2283ππϕπω，求ϕ，再根据ϕ的范围确定k 的具体值得到确定的ϕ．22．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222a b c +=．（I ）求C ；（II ）设cos cos 5A B =，2cos()cos()cos 5A B ααα++=，求tan α的值． 【答案】（I ）34C π=；（II ）tan 1α=或tan 4α=．试题解析：（I ）因为222a b c +=，由余弦定理有222cos 222a b c C ab ab +-===- 故34C π=．（II ）由题意得：2(sin sin cos cos )(sin sin cos cos )cos 5A AB B ααααα--=因此(tan sin cos )(tan sin cos )A A B B αα--=2tan sin sin tan (sin cos cos sin )cos cos A B A B A B A B αα-++=考点：解三角形、正余弦定理、三角恒等变换．【方法点晴】题目第一问是很常见的题型，即利用余弦定理转化已知边的表达式为角，在转化222C<，+=的过程中，注意到ab对应的角是C，故转化为角C的余弦定理，由于求得cos0 a b c故为钝角，这个是一个易错点，在求解有关三角函数值的题目中，要注意角的终边所在象限对三角函数值的影响．第二问主要是三角恒等变换，要化简一个比较复杂的式子，要注意运算的准确性．。