昌平区第一学期高三年级期末理科数学试题与答案

俯视图侧（左）视图正（主）视图昌平区2015－2016学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷（理科） 2016.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)（1）若集合{}2,1,0,1,2Α=--，{}2|1Βx x =>，则=ΑΒA ．{|11}x x x <->或B ．{}2,2-C ．{}2D ．{0}(2) 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是A．y =B. 1y x =C. 1()2xy = D. 12log y x = (3) 已知两点(0,0),(2,0)O A -，以线段OA 为直径的圆的方程是 A ．22(1)4x y -+= B ．22(1)4x y ++= C ．22(1)1x y -+= D ．22(1)1x y ++=(4) 在ABC ∆中，3,2,3a c B π===，则b =A ．19B ．7C ．D⑸ 某三棱锥的三视图如图所示，则该三 棱锥四个面的面积中最大的是A.B. 3C.D.（6）已知函数 f (x ) 的部分对应值如表所示. 数列{}n a 满足11,a =且对任意*n ∈N ，点1(,)n n a a +都在函数()f x 的图象上，则2016a 的值为A . 1 B.2 C. 3 D. 4⑺ 若,x y 满足0,30,30,y x y kx y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≥⎩且2z x y =+的最大值为4，则k 的值为A ．32-B ． 32C ．23- D ．23（8）某大学进行自主招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示：下列叙述一定正确的是A ．甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前B ．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C ．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D ．乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）在261(2)x x-的展开式中，常数项是 （用数字作答）.PDCBA （10）双曲线22:1916x y C -=的渐近线方程为__________________；某抛物线的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则此抛物线的标准方程为____________.（11）执行如图所示的程序框图， 输出的S 值为_______.（12）将序号为1，2，3，4的四张电影票全部分给3人，每人至少一张. 要求分给同一人的两张电影票连号，那么不同的分法种数为________________.（用数字作答） （13）如图，在矩形ABCD 中，3DP PC =，若,PB mAB nAD =+则m =______;n =_________.（14）已知函数2()|3|,.f x x x x =-∈R 若方程()|1|0f x a x -+=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是_____________________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （15）（本小题满分13分）已知函数2()3sin(π)cos cos f x x x x --．（I ） 求函数()f x 的最小正周期； （II ）求函数()f x 的单调递减区间．P MD CBA1频数（天）步数(千步)23191817小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”, 并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（图1）及相应的消耗能量数据表（表1）如下.图1 表1（Ⅰ）求小王这8天 “健步走”步数的平均数；（Ⅱ）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X ，求X 的分布列.（17）（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ∆为等边三角形,12AB AD CD ==,AB AD ⊥,//AB CD ,点M 是PC 的中点．（I ）求证://MB 平面PAD ； （II ）求二面角P BC D --的余弦值； （III ）在线段PB 上是否存在点N ，使得DN ⊥平面PBC ？若存在,请求出PNPB的值；若不存在,请说明理由.已知函数()()2ln 1f x x =+.（Ⅰ）若函数()f x 在点()()00P x f x ，处的切线方程为2y x =，求切点P 的坐标；（Ⅱ）求证：当[0,e 1]x ∈-时，()22f x x x ≥-；（其中e 2.71828=⋅⋅⋅） （Ⅲ）确定非负实数．．．．a 的取值范围，使得()()220,x f x x a x ∀≥≥-成立.已知椭圆C 2222:1(0)x y a b a b +=>>的离心率为2,点1)2在椭圆C 上．直线l 过点(1,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ．（I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点O 为坐标原点，延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求出此时直线l 的方程，若不能，说明理由．（20）（本小题满分14分）对于任意的*n ∈N ，记集合{1,2,3,,}n E n =⋅⋅⋅，,n n n P x x a E b E ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭.若集合A 满足下列条件：①n A P ⊆；②12,x x A ∀∈，且12x x ≠，不存在*k ∈N ，使212x x k +=，则称A 具有性质Ω.如当2n =时，2{1,2}E =，2{1,P =.122,x x P ∀∈，且12x x ≠，不存在*k ∈N ，使212x x k +=，所以2P 具有性质Ω.(Ⅰ) 写出集合35,P P 中的元素个数，并判断3P 是否具有性质Ω. （Ⅱ）证明：不存在,A B 具有性质Ω，且A B =∅，使15E A B =．（Ⅲ）若存在,A B 具有性质Ω，且A B =∅，使n P A B =，求n 的最大值.昌平区2015－2016学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷参考答案及评分标准 （理科） 2016.1二、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）60 （10）24;203y x y x =±= （11） 52（12）18 （13）1;14- （14） (0,1)(9,)+∞三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) (15)（本小题满分13分） 解：（I ）2()3sin cos cos f x x x x-311sin 2cos 222x x -- π1sin(2)62x --所以 最小正周期2π2ππ.2T ω …………………………..7分(II) 由ππ3π2π22π,,262k x k k ≤≤∈Z得π5πππ,.36k x k k ≤≤∈Z ………………………11分所以函数()f x 的单调递减区间是π5π[π,π],.36k k k ∈Z ……………13分(16)（本小题满分13分）解: (I) 小王这8天 “健步走”步数的平均数为16317218119217.258⨯+⨯+⨯+⨯=（千步）. …………………………..4分（II ）X 的各种取值可能为800，840，880，920.C23261(800)5C P X C ===,1132262(840),5C C P X C ===112312264(880),15C C C P X C +=== 1121262(920),15C C P X C === X 的分布列为：…………………………..13分 （17）（本小题满分14分）（Ⅰ）证明:取PD 中点H ,连结,MH AH . 因为 M 为PC 中点 ,所以 1//,2HM CD HM CD =.因为1//,2AB CD AB CD =. 所以//AB HM 且AB HM =. 所以四边形ABMH 为平行四边形,所以 //BM AH .因为 BM PAD ⊄平面,AH ⊂平面PAD ,所以//BM 平面PAD . …………………………..4分（Ⅱ） 取AD 中点O ,连结.PO因为 PA PD =, 所以PO AD ⊥.因为 平面PAD ⊥平面ABCD , 平面PAD 平面ABCD AD =,PO ⊂平面PAD ,所以PO ABCD ⊥平面.取BC 中点K ,连结OK ,则//.OK AB 以O 为原点,如图建立空间直角坐标系, 设2,AB =则 (1,0,0),(1,2,0),(1,4,0),(1,0,0),A B C D P --(2,2,0),(1,2,BC PB =-=.平面BCD的法向量OP =, 设平面PBC 的法向量(,,)n x y z =,由0,0,BC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得220,20.x y x y -+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩令1x =，则n =.15cos ,||||OP n OP n OP n ⋅<>==. 由图可知，二面角P BC D--是锐二面角， 所以二面角P BC D -- …………………………..9分 （Ⅲ） 不存在. 设点(,,)N x y z ,且,[0,1]PNPBλλ=∈ ,则,PN PB λ=所以(,,(1,2,xy z λ=.则,2,.x y z λλ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以(,2)N λλ, (1,2)DN λλ=+.若 DN PBC ⊥平面,则//DN n , 即12λλ+==，此方程无解, 所以在线段PB 上不存在点N ,使得DN PBC ⊥平面. …………………………..14分（18）（本小题满分13分）（Ⅰ）解：定义域为(1,)-+∞，()2'1f x x =+.由题意，()0'2f x =，所以()00,00x f ==，即切点P 的坐标为(0,0). ………3分 （Ⅱ）证明：当[0,e 1]x ∈-时，()22f x x x ≥-，可转化为 当[0,e 1]x ∈-时，()220f x x x -+≥恒成立.设()2()2g x f x x x =-+，所以原问题转化为当[0,e 1]x ∈-时，()min 0g x ≥恒成立. 所以2242'()2211x g x x x x -=-+=++.令'()0g x =，则1x =（舍），2x =所以()g x ，'()g x 变化如下：因为()(0)000g f =-=，2(e 1)2(e 1)2(e 1)2(e 1)(3e)0g -=--+-=+-->， 所以min ()0g x =.当[0,e 1]x ∈-时，()22f x x x ≥-成立. ………………..8分 （Ⅲ）解：()()20,2x f x a x x ∀≥≥-，可转化为当0x ≥时，()()220f x a x x--≥恒成立.设()()2()2h x f x a x x =--，所以222(1)'()2211ax a h x a ax x x +-=-+=++. ⑴当0a =时，对于任意的0x ≥，2'()01h x x =>+， 所以()h x 在[0,)+∞上为增函数，所以()min ()00h x h ==， 所以命题成立.当0a >时，令'()0h x =，则210ax a +-=，⑵当10a -≥，即01a <≤时，对于任意的0x ≥，'()0h x >， 所以()h x 在[0,)+∞上为增函数，所以()min ()00h x h ==，所以命题成立.⑶当10a -<，即1a >时，则1x =（舍），20x =.所以()h x ，'()h x 变化如下：因为()min 2()()00h x h x h =<=， 所以，当0x ≥时，命题不成立.综上，非负实数a 的取值范围为[0,1]. …………………………..13分（19）（本小题满分13分）解：（I ）由题意得22222311,4.c e a ab a bc ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得224,1a b ==.所以椭圆C 的方程为22 1.4x y += …………………………..5分（Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形． 法一：（1）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为1x = 满足题意；（2）当直线l 与x 轴不垂直时，设直线:l y kx m =+，显然0,0k m ≠≠.11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．将y kx m =+代入22 1.4x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=，2221228(8)4(41)(44)0,.41kmkm k m x x k -=-+->+=+故1224241M x x kmx k +==-+， 241M M m y kx m k =+=+．于是直线OM 的斜率14M OMM y k x k ==-，即14OM k k ⋅=-． 由直线:l y kx m =+(0,0)k m ≠≠，过点(1,1)，得1m k =-，因此24(1)41M k k x k -=+．OM 的方程为14y x k=-．设点P 的横坐标为P x ． 由221,41,4y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2221641P k x k =+，即P x =． 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =．于是24(1)241k k k -=⨯+．由0k ≠，得35,.88k m ==满足0.> 所以直线l 的方程为3588y x =+时，四边形OAPB 为平行四边形． 综上所述：直线l 的方程为3588y x =+或1x = . ………………………….13分法二：（1）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为1x = 满足题意；（2）当直线l 与x 轴不垂直时，设直线:l y kx m =+，显然0,0k m ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．将y kx m =+代入22 1.4x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=，2221228(8)4(41)(44)0,.41kmkm k m x x k -=-+->+=+故1224241M x x kmx k +==-+， 241M M my kx m k =+=+.四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2,2.P M P Mx x y y =⎧⎨=⎩．则2222()()82114441km m k k -++=+. 由直线:l y kx m =+(0,0)k m ≠≠，过点(1,1)，得1m k =-.则2222(164)(1))1(41k k k +-+=， 则2(41)(83)0k k +-= .则35,.88k m == 满足0.> 所以直线l 的方程为3588y x =+时，四边形OAPB 为平行四边形．综上所述：直线l 的方程为3588y x =+或1x = . …………………………..13分（20）（本小题满分14分）(Ⅰ) 解：集合35,P P 中的元素个数分别为9，23，3P 不具有性质Ω. ……………..6分 （Ⅱ）证明：假设存在,A B 具有性质Ω，且AB =∅，使15E A B =．其中15{1,2,3,,15}E =⋅⋅⋅.因为151E ∈，所以1AB ∈，不妨设1A ∈．因为2132+=，所以3A ∉，3B ∈．同理6A ∈，10B ∈，15A ∈．因为21154+=，这与A 具有性质Ω矛盾．所以假设不成立，即不存在,A B 具有性质Ω，且AB =∅，使15E A B =.…..10分（Ⅲ）因为当15n ≥时，15n E P ⊆，由（Ⅱ）知，不存在,A B 具有性质Ω，且A B =∅，使n P AB =．若14,n =当1b =时，1414x x a E E ⎧⎫=∈=⎨⎬⎩⎭，取{}11,2,4,6,9,11,13A =，{}13,5,7,8,10,12,14B =，则11,A B 具有性质Ω，且11A B =∅，使1411E A B =．当4b =时，集合14x x a E ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭中除整数外，其余的数组成集合为13513{,,,,}2222⋅⋅⋅，令215911{,,,}2222A =，23713{,,}222B =，则22,A B 具有性质Ω，且22A B =∅，使2213513{,,,,}2222A B ⋅⋅⋅=． 当9b =时，集14x x a E ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭中除整数外，其余的数组成集合12457810111314{,,,,,,,,,}3333333333，令31451013{,,,,}33333A =，32781114{,,,,}33333B =．则33,A B 具有性质Ω，且33A B =∅，使3312457810111314{,,,,,,,,,}3333333333A B =． 集合1414,,1,4,9C x x a E b E b ⎧⎫==∈∈≠⎨⎬⎩⎭中的数均为无理数，它与14P 中的任何其他数之和都不是整数，因此，令123A A A A C =，123B B B B =，则A B =∅，且14P AB =．综上，所求n 的最大值为14. ……………..14分。