高中数学竞赛模拟试卷

高中数学竞赛模拟试卷

【说明】解答本试卷不得使用计算器

一、填空（前4小题每小题7分，后4小题每小题8分，供60分） 1．计算：0!

1!

2!

100!

i +i +i ++i

= ．（i 表示虚数单位）

2．设θ是某三角形的最大内角，且满足sin 8sin 2θθ=，则θ可能值构成的集合

是 ．（用列举法表示）

3．一个九宫格如图，每个小方格内都填一个复数，它的每行、每列及对角线上三个格内的复数和都相等，则x 表示的复数是 ．

4．如图，正四面体ABCD 的棱长为6cm ，在棱AB 、CD 上各有一点E 、F ，若1AE =cm ，

2CF =cm ，则线段EF 的长为 cm ．

5．若关于x 的方程4(3)250x x

a ++⋅+=至少有一个实根在区间[1,2]内，则实数a 的取值范围为 ．

6．a 、b 、c 、d 、e 是从集合{}1,2,3,4,5中任取的5个元素（允许重复），则abcd e +为奇数的概率为

．

7．对任意实数x 、y ，函数()f x 满足()()()1f x f y f x y xy +=+--，若(1)1f =，则对负整数n ，()f n 的表达式

．

8．实数x 、y 、z 满足0

x y z ++=，且2221x y z ++=，记m 为2

x 、2

y 、2

z 中最大者，

则m 的最小值为 ． 二、（本题满分14分）

设()f x =

a 的值：至少有一个正数

b ，使()f x 的

定义域和值域相同．

i x 1

A B F

D

E

三、（本题满分14分）

已知双曲线22221x y a b

-=（a 、b ∈+R ）的半焦距为c ，且2

b a

c =．,P Q 是双曲线上

任意两点，M 为PQ 的中点，当PQ 与OM 的斜率PQ k 、OM k 都存在时，求PQ OM k k ⋅的值． 四、（本题满分16分）

设[]x 表示不超过实数x 的最大整数．求集合2|,12004,2005k n n k k ⎧⎫⎡⎤⎪⎪

=≤≤∈⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭

N 的元素个数．

五、（本题满分16分）

数列{}n f

的通项公式为1122n n

n f ⎡⎤⎛⎛⎢⎥=- ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣

⎦，n ∈+Z ． 记1212C +C +C n

n n n n n S f f f =，求所有的正整数n ，使得n S 能被8整除．