高中数学竞赛模拟试卷
高中数学竞赛一试试题
高中数学竞赛一试试题高中数学竞赛是一项旨在激发学生对数学的兴趣和提高数学能力的重要活动。
以下是一套模拟的高中数学竞赛一试试题，供参赛者练习使用。
一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. πB. 0.33333...（无限循环）C. √2D. 1/32. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 5，求f(-1)的值。
A. 8B. 10C. 12D. 143. 一个圆的半径为5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 一个等差数列的首项为3，公差为2，第10项是多少？A. 23B. 25C. 27D. 29二、填空题（每题4分，共16分）1. 如果一个三角形的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 =c^2，那么这个三角形是________。
2. 已知一个二次方程x^2 + 4x + 4 = 0，求其判别式Δ。
3. 一个函数y = 3x - 2的斜率是________。
4. 圆心在(1,2)，半径为3的圆的标准方程是________。
三、解答题（共64分）1. （10分）证明：对于任意实数x，不等式\( e^x \geq x + 1 \)成立。
2. （12分）解不等式：\( |x - 1| + |x - 2| < 2 \)。
3. （16分）已知数列{an}的前n项和为S_n，且满足S_n = 2an - 1（n≥2），a1 = 1。
求数列{an}的通项公式。
4. （26分）一个圆与x轴相切于点A(1,0)，圆心在直线y = x上，且此圆经过点B(0,4)。
求这个圆的方程。
结束语：希望这份试题能够帮助参赛者更好地准备即将到来的高中数学竞赛。
通过练习这些题目，不仅可以检验自己的数学知识掌握程度，还能提高解题技巧和速度。
祝所有参赛者取得优异的成绩！。
高中数学竞赛模拟试题
阀 一 ｊ — ｌ
从而ｋ ｋ 寺， 合 ． ‘ ＝ 不 题意
（ ）当 直 线 ＭＮ 的 斜 率 存 在 时 ， ｌＮ Ｙ＝ ２ 设 Ｍ：
＋ｂ Ｍ（ Ｙ ） Ｎ（ ２Ｙ ） 联 立方 程 ， ｘ ， ， ｘ ，２ ，
整得ｍ ＋ 考 √ “＋． 理 ＞ ２ｘ 孝 √ ＋ 一Ｙ ｘ Ｙ
设 ｔ ＋上 则 ｔ ２ 要使 ｍ ＞ ＝ １ ＞ ．
，
１ ＿ 等 １ ，
得 （ ＋３ ＋６ ｂ １ ｋ） ｋｘ＋３ 一３＝ ６ ０，
一
对
所有 ｔ ≥２恒 成 立 ， ｍ ＞—＝＝ — 则 因为
２ ＜ ｍ ＜２ ＋
令、
＝ （ ＞ ） 即 ３ ｔ＋ ， ￡ｔ ０ ， ｋ ＝ ８ 可得
加
综 上所 述 ， 存在 正 数 ｍ ∈（ ， ） 得 ２一 ２＋ 使 对 于任 意 正数 ， Ｙ可使 口 ｂ ｃ为 三角 形 的 ３条 边． ，，
试
一
、
设 Ａ ， ， Ｅ为直线 ｚ ， ｃ Ｄ， 上顺次排列 的 ５ 个点 ， ＝ Ｃ Ｆ为直线 ｚ 的一点 ， 历 Ｂ 外 联结 Ｆ ｃ并延长至点 Ｇ ，
．
１ 设ＡＯ１， ， ０ （， 点Ｍ Ｎ ． ）
大 值．
ｘ＋２ Ｉ 且直线Ａ 直 Ｎ的 之积为 ＞￣ Ｍ 面积的 ｙ＝ 上， Ｍ与 线Ａ 斜率 ÷，．Ａ Ｎ － Ｊ ￣ 最
１． １ 已知 ＞ ， ＞ ， ＝ ｙ ｂ ｏ ｙ ｏ ０ ＋ ， ＝ ，＝ ， ｃ ｍ 问是否存在正数 ｍ使得对于任意正数 ， 可使 Ｙ ａ ｂｃ ，， 为三角形的 ３条边构成三角形． 如果存在 ， 求出 ｍ的值 ； 如果不存在 ， 请说 明理 由．
高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)
高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)高中数学竞赛试题（模拟）一、选择题：共10个小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若f(x)-g(x)=x+9x+12，则f(x)+g(x)=（。
）。
A。
-x+9x-12B。
x+9x-12C。
-x-9x+12D。
x-9x+122.有四个函数：①y=sinx+cosx②y=sinx-cosx③y=sinxcosx④y=（空缺）其中在(x,y)上为单调增函数的是（。
）。
A。
①B。
②C。
①和③D。
②和④3.方程x+x-1=xπ2的解集为A（其中π为无理数，π=3.141…，x为实数），则A中所有元素的平方和等于（。
）。
A。
B。
C。
1D。
44.已知点P(x,y)满足(x-4cosθ)+(y-4sinθ)=4（θ∈R），则点P(x,y)所在区域的面积为（。
）。
A。
36πB。
32πC。
20πD。
16π5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子（每次要把10个球装完），要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为（。
）。
A。
9B。
12C。
15D。
186.已知数列{an}为等差数列，且S5=28，S10=36，则S15等于（。
）。
A。
807.已知曲线C：y=-x2-2x与直线l:x+y-m=0有两个交点，则m的取值范围是（。
）。
A。
(-2-1,2)B。
(-2,2-1)C。
[,2-1)D。
(,2-1)8.过正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则Smax/Smin的值为（。
）。
A。
B。
C。
D。
9.设x=.82,y=sin1,z=log2237，则x、y、z的大小关系为（。
）。
A。
x<y<zB。
y<z<xC。
z<x<yD。
z<y<x10.如果一元二次方程x-2(a-3)x-b+9=0中，a、b分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P=（。
高中数学竞赛模拟题(十六套)
高中数学竞赛模拟题(十六套)高中数学竞赛模拟题(十六套)第一套：代数高中数学竞赛中，代数是一个重要的考察内容。
在这个模拟题的第一套中，我们将考察代数的基本概念和运算技巧。
请同学们认真阅读并解答以下题目。
1. 已知函数 $f(x) = ax^2 + 3x + b$，且函数 $f(x)$ 的图像经过点 $(-2, -1)$ 和 $(1, 4)$。
求常数 $a$ 和 $b$ 的值。
2. 某数列的前3项依次为 $a_1 = 2$，$a_2 = 5$，$a_3 = 9$。
已知数列满足递推式 $a_{n+1} = 2a_n - a_{n-1} + 1$，其中 $n \geq 2$。
求数列的第 $n$ 项 $a_n$ 的表达式。
3. 解方程组：$\begin{cases}2x - 3y = 5 \\4x + 2y = 10\end{cases}$第二套：几何几何在高中数学竞赛中也占据重要的位置。
在这个模拟题的第二套中，我们将考察几何的基本概念和解题技巧。
请认真阅读并解答以下题目。
1. 在平面直角坐标系中，直线 $l$ 过点 $A(3, 2)$，且与直线 $x - 3y - 1 = 0$ 平行。
求直线 $l$ 方程。
2. 在三角形 $ABC$ 中，已知 $\angle BAC = 30^\circ$，点 $D$ 在边$AC$ 上，且 $\angle BDC = 90^\circ$。
若 $BD = 2$，$DC = 4$，求三角形 $ABC$ 的面积。
3. 已知四边形 $ABCD$ 中，$AB = AD$，$BC = CD$，$AC$ 为对角线，且 $\angle ACB = 70^\circ$。
求 $\angle BAC$ 的度数。
第三套：数列与数表数列与数表也是高中数学竞赛的考察内容之一。
在这个模拟题的第三套中，我们将考察数列与数表的基本性质和求解能力。
请认真阅读并解答以下题目。
1. 求限制条件为 $a_n < 100$ 的等差数列 $\{a_n\}$ 的第 $n$ 项的表达式，已知数列的公差为 5。
高考高中数学竞赛模拟试题四 试题
智才艺州攀枝花市创界学校全国初中数学竞赛模拟试题〔四〕一、选择题〔此题总分值是30分，每一小题5分〕1．99个连续自然数之和等于abcd ．假设a 、b 、c 、d 皆为质数，那么a ＋b ＋c ＋d 的最小值等于 〔〕〔A 〕63 〔B 〕70 〔C 〕86 〔D 〕97 2．设P 、Q 分别是单位正方形BC 、CD 边上的点，且△APQ 是正三角形，那么正三角形的边长为 〔〕〔A 〕26－ 〔B 〕326＋ 〔C 〕25－ 〔D 〕325＋ 3．实数a 、b 、c 两两不等，且三点的坐标分别为：A 〔a ＋b ，c 〕，B 〔b ＋c ，a 〕，C 〔c ＋a ，b 〕，那么这三点的位置关系是〔〕 〔A 〕组成钝角三角形〔B 〕组成直角三角形 〔C 〕组成等边三角形 〔D 〕三点一共线4．对任意给定的△ABC ，设它的周长为l ，外接圆半径为R ，内切圆的半径为r ，那么〔〕 〔A 〕l ＞R ＋r 〔B 〕l ≤R ＋r 〔C 〕6l ＜R ＋r ＜6l 〔D 〕以上均不对5．平面上有P 、Q 两点，以P 为外心、Q 为内心的三角形的数量为 〔〕〔A 〕只能画出一个 〔B 〕可以画出2个 〔C 〕最多画出3个〔D 〕能画无数个 6．如图，假设将正方形分成k 个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排假设干个，那么k 的值是 〔〕〔A 〕6〔B 〕8〔C 〕10〔D 〕12二、填空题〔此题总分值是30分，每一小题5分〕1．如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DC ∶AB ＝1∶2，MN ∥BD 且平分AC ．假设梯形ABCD 的面积等于ab ，S △AMN ＝ba ，那么ab ＋ba ＝__________． 2 1 3 4…… BCD N2．不等式｜x ＋7｜－｜x －2｜＜3的解是____________．3．假设自然数n 能使［n ］整除n ，那么n 的所有表达式为_____________．4．小李用5000元买了一年期的某种债券，到期后从本利和中支取2000元用于购物，把剩下的钱又买了这种一年期债券，假设这种债券的利率不变，到期后得本利和为3498元，那么这种债券的年利率是__________．5．圆内接凸四边形ABCD 的边AB ∶BC ∶CD ∶DA ＝1∶9∶9∶8，AC 交BD 于P ，那么S △PAB ∶S △PBC ∶S △PCD ∶S △PDA ＝____________．6．销售某种商品，假设单价上涨m %，那么售出的数量就将减少150m ．为了使该商品的销售总金额最大，那么m 的值应该确定为____________．三、解答题〔此题总分值是60分，每一小题20分〕1．如图，∠CAB ＝∠ABD ＝90º，AB ＝AC ＋BD ，AD 交BC 于P ，作⊙P 使其与AB 相切．试问：以AB 为直径作出的⊙O 与⊙P 是相交？是内切？还是内含？请作出判断并加以证明． 2x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根，且α2＋β2＜4，试求整数对〔a ，b 〕的所有可能3．a 、b 、c 为互不相等的数，假设以下三个等式中有任意两个等式成立，求证：第三个等式也成立． (b 2＋bc ＋c 2)x 2－bc (b ＋c )x ＋b 2c 2＝0； (c 2＋ca ＋a 2)x 2－ca (c ＋a )x ＋c 2a 2＝0； (a 2＋ab ＋b 2)x 2－ab (a ＋b )x ＋a 2b 2＝0． D。
高中数学竞赛模拟题(十六套)
模拟试题一2010年全国高中数学联赛模拟试题武钢三中岑爱国一试一、填空题（每小题８分，共６４分）1．方程2．如图，在=，则m+2n的值为３．4．单位正方体这八个面截这个单位正方体，则含正方体中心的那一部分的体积为.５．设数列6．已知实数x，y，z满足xyz=32，x+y+z=4，则|x|+|y|+|z|的最小值为7．若8．空间有100个点，任4点不共面，用若干条线段连结这些点，如果不存在三角形，最多可连条线段．二、解答题（共５６分）9．（16分）设之和为21，第2项、第3项、第4项之和为33．（1）求数列的通项公式；（2）设集合，求证：．10．（20分）过抛物线的距离均不为整数．11．（20分）已知二次函数有两个非整数实根，且两根不在相邻两整数之间．试求a，b满足的条件，使得一定存在整数k，有成立．二试一．（40分）如图，已知求证：二．（40分）设．三. （50分）已知n 个四元集合，试求n 的最大值．这里四．（50分）设为正整数的二进制表示数的各位数字之和，为数列的前n项和. 若存在无穷多个正整数n，满足，且m，则称是“好数”.试问：（1）2，3，5是否都是好数？（2）是否都是好数？模拟试题二全国高中数学联赛模拟试题江苏省盐城中学陈健第一试一、填空题：（每小题7分，共计56分）1. 若函数)(x f y =图象经过点（2，4），则)22(x f y -=的反函数必过点__________ 2.a 、b 、c 是从集合{}54321，，，，中任意选取的3个不重复的数，则c ab +为奇数的概率为___________3. 已知数列{}n a 的通项公式是1)1(1)1(2244++++++=n n n n a n ，则数列{}n a 的前n 项和n S =_____ 4. 抛物线281x y -=的准线与y轴交于点A ，过A 作直线交抛物线于点M、N，点B在抛物线对称轴上，且MN⊥+)2(的取值范围是____________5. 已知,R αβ∈，直线1sin sin sin cos x y αβαβ+=++与1cos sin cos cos x yαβαβ+=++的交点在直线y x =-上，则cos sin c in s s o ααββ+++=6. 如图，四面体ABCD 中，ADB ∆为等腰直角三角形，090=∠ADB ，1=AD ，且060=∠=∠ADC BDC ，则异面直线AB 与CD 的距离为______________7. 已知点)2,2(A 、),(y x P ，且y x ,满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+≥+≤<21122,0yx y x y x ，则PA 长的取值范围是________ 8. 将一个44⨯棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有_ 不同的染法.（用数字作答）二、解答题：（三题共计44分）ABCD9. （本题14分）已知二次函数()()210,f x ax bx a b =++>∈R ，设方程()f x x = 有两个实数根12,x x ．①如果1224x x <<<，设函数()f x 的对称轴为0x x =，求证：01x >-； ②如果102x <<，且()f x x =的两实根的差为2，求实数b 的取值范围.10．（本题15分）数列}{n a 满足：.,236457,1210N n a a a a n n n ∈-+==+证明：（1）对任意n a N n ,∈为正整数；(2)对任意1,1-∈+n n a a N n 为完全平方数11.（本题15分）用纸板裁剪出两个半径不同的圆，每个圆再分成200个相等的扇形，且将每个圆的100个扇形涂成白色，另100个扇形涂成黑色.将小圆叠放在大圆的上面，使得它们的圆心重合.求证：总可以旋转小圆，使得这两个圆的扇形上下对齐，且小圆至少有100个扇形位于大圆的同色扇形上.第二试1.（本题50分）凸四边形ABCD 中，AB 是最长边，点N M ,分别在边BC AB ,上，且线段CM AN ,平分四边形ABCD 的面积，求证：线段MN 平分对角线BD .2. （本题50分）定义))()(())((),,(x z z y y x z y x zx yz xy z y x f +++++++=，其中z y x ,,为正实数，求),,(z y x f 的值域.3.（本题50分）已知一个给定的平面点集中，任意三点都可被一个半径为1的圆覆盖，求证：这个点集能被一个半径为1的圆覆盖.4.（本题50分）设n 是一个固定的正整数，证明：对任何非负整数k ，下述不定方程2333231...+=+++k n y x x x 有无穷多个正整数解);,...,,(21y x x x n .模拟试题三 全国高中数学联赛模拟试卷福州一中 危志刚第一试一，填空题（每小题7分，共56分）1、设()f x 适合等式1()2(),f x f x x-=则()f x 的值域是2、若对所有正数,,x y a 的最小值是3、等差数列3，10，17，…，2005与3，8，13，…，2003中，值相同的项有 个.4、在平面直角坐标系中，定义点()11,y x P、()22,y x Q 之间的“直角距离”为.),(2121y y x x Q P d -+-=若()y x C ,到点()3,1A 、()9,6B 的“直角距离”相等，其中实数x 、y 满足100≤≤x 、100≤≤y ，则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和为．5、将一个44⨯棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有 种不同的染法.（用数字作答）6、若69222n ++为一个平方数，则正整数n =7、甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 8、设函数1463)(23+++=x x x x f ，且1)(=a f ，19)(=b f ，则=+b a二、解答题（第9题14分，第10，11题各15分）9．已知抛物线22(0)y px p =>，其焦点为F ，一条过θ(0)θπ<<的直线交抛物线于A ，B 两点，连接AO （O准线于点B '，连接BO ，交准线于点A '，求四边形ABB A ''10．数列{}n a 定义如下：11a =，且当2n ≥时，211,1,n n n a n a n a -+⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩当为偶数时，当为奇数时． 已知3019na =，求正整数n ．11．对一个边长互不相等的凸(3)n n ≥边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？第二试 （每题50分，共200分）1、已知，A 、B 、C 、D 是圆上顺次四点，且AB AD <，BC CD >，BAD ∠的平分线交圆于X ，BCD ∠的平分线交圆于Y ，在由这六个点构成的六边形中，如果有四条边的长度相等，那么BD 必为圆的直径．2、设]1,0[,∈b a ，求)1)(1(11b a abb a S --++++=的最大值和最小值．3、求所有满足方程组xy z x y xz y x z yz x y z =--⎧⎪=--⎨⎪=--⎩的三元实数组(,,)x y z ．4、将8个车放到如图的9×9棋盘中，使得这8个车互不攻击且所在小方格颜色相同，问共有多少种不同的方法．（两车互不攻击是指这两个车不同在任何一行或任何一列）模拟试题四 全国高中数学联赛模拟试题东北育才学校 张雷一试一、填空题（共56分，每题7分）1、函数x x f sin log )(21=的单调递增区间是_______________________．2、将数字3，4，5，6，7排成一行，使得相邻两个数都互质，则 可能的排列方法共有______ 种.3、过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为______________. ○1三角形 ○2正方形 ○3梯形 ○4五边形 ○5六边形4、已知ba（其中b a ,是大于1的正整数，且b a ,互质）化为最简二次根式后是pn m 形式，其中p n m ,,是大于1的正整数，且p m ,互质，如果9=++p n m ，则b a +的最小可能值是________.5、若关于x的方程142)6(22222=+-+++-+-b a b a x b b a x 的两个实数根21,x x 满足,1021≤≤≤x x 则4422+++a b a 的最小值与最大值的积是_________.6、我们定义运算42242b b a a b a +-=⊗，如1653525354224=+⨯⨯-=⊗，=⊗⊗2532522162553254224=⊗=⊗+⨯⨯-，用整数1，2，3，4和三个⊗ 号组成一个算式，则这个算式的最大值是_________.7、平面上满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+≥01002y x y x x 的点),(y x 形成的区域为D ，区域D 关于直线x y 2=对称的区域为E ，则区域D 和区域E中距离最近的两点的距离为___________.8、令)(n p 表示正整数n 的所有数字的和，如6)123(,5)50(,4)4(===p p p ，则)2009()2008()3()2()1(p p p p p +++++ 的值是_____________.二、解答题（共44分）9、（14分） 已知圆1C 和圆2C 的两条外公切线为x 轴及直线)0(:>=m mx y l，若两个圆的一个交点为)6,9(，且两圆半径长度之积为68，求圆心1C 和2C 所在直线的方程和m .10、（15分）已知函数()f x =，求()1f x ax =+的解集中元素的个数。
2024年全国高中数学联赛模拟练习试题(一试)
2024年全国高中数学联赛模拟练习试题（一试）一、填空题1．设非空集合{}1,2,,9A ⊆L 满足a A ∀∈，10a A -∈，则这样的A 的个数为． 2．在锐角三角形 ABC 中，边 2BC =，2B A =，则边 AC 的取值范围是．3．设 ,R a b ∈，函数() f x ax b =+满足() 1f x ≤对任意[] 0,1?x ∈都成立，则 ab 的最大值为．4．P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆2210210x y x +++=和2210240x y x +-+=上的点，则||||PM PN -的最大值为．5．已知向量1,2a b r r ==，且a r 和b r 的夹角为2π3，若a tb +r r 与ta b +r r 的夹角为钝角，则 t 的取值范围为．6．甲、乙两人玩游戏，规则如下：第奇数局，甲赢的概率为 34；第偶数局，乙赢的概率为 34．每一局没有平局．规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多两次时游戏结束．则游戏结束时，甲、乙两人玩的局数的数学期望为．7．若 X 是棱长为 ABCD 内一点，以 X 在四面体 ABCD 的四个面上的射影为顶点的新四面体的体积的最大值为．8．一个平台的俯视图为一个3×3的方格表，初始时在中心的方格 O 处有一只电子瓢虫，每过一秒钟，该瓢虫都会随机选择平行于平台边界的四个方向之一移动一个单位．如果瓢虫跌落平台就会“死亡”，那么在2023秒后，该瓢虫仍然“存活”的概率是．二、解答题9．已知复数列{}n z 满足：()()111i 1n n n z z z z n +==+≥，求2024z ．10．设非负实数 ,,?x y z 满足22210x y z ++=.值.11．已知点()() 3,00M m m ->， N 、 P 两点分别在 y 轴、 x 轴上运动，且满足·0MN NQ =u u u u r u u u r ，1 2NP PQ =u u u r u u u r ． (1)求Q 的轨迹方程；(2)若一正方形的三个顶点在点Q的轨迹上，求其面积的最小值．。
高中数学联赛模拟试题(含详细解答)
高中数学联赛模拟试题(1)一试一、选择题（本大题36 分，每小题6分）1．在复平面上，非零复数ｚ１，ｚ２在以i 对应的点为圆心，1 为半径的圆上，ｚ１·ｚ２的实部为零，arg ｚ１＝π／6，则ｚ２＝（）．Ａ．－／2＋（3／2）i Ｂ．／2－（3／2）ｉＣ．－3／2＋（／2）ｉＤ．3／2－（／2）ｉ2．已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇａ（ａｘ２－ｘ＋1／2）在［1，2］上恒正，则实数ａ的取值范围是（）．Ａ．（1／2，5／8）Ｂ．（3／2，＋∞）Ｃ．（（1／2，（5／8）∪（（3／2，＋∞）Ｄ．（1／2，＋∞）3．已知双曲线过点Ｍ（－2，4）、Ｎ（4，4），它的一个焦点为Ｆ１（1，0），则另一个焦点Ｆ２的轨迹方程是（）．Ａ．（ｘ－1）２／25＋（ｙ－4）２／16＝1（ｙ≠0）或ｘ＝1（ｙ≠0）Ｂ．（ｘ－1）２／16＋（ｙ－4）２／25＝1（ｘ≠0）或ｘ＝1（ｙ≠0）Ｃ．（ｘ－4）２／25＋（ｙ－1）２／16＝1（ｙ≠0）或ｙ＝1（ｘ≠0）Ｄ．（ｘ－4）２／16＋（ｙ－1）２／25＝1（ｘ≠0）或ｙ＝1（ｘ≠0）4．已知正实数ａ、ｂ满足ａ＋ｂ＝1，则Ｍ＝的整数部分是（）．Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．45．一条笔直的大街宽是40 米，一条人行道穿过这条大街，并与大街成某一角度，人行道的宽度是15 米，长度是50 米，则人行道间的距离是（）．Ａ．9 米Ｂ．10 米Ｃ．12 米Ｄ．15 米6．一条铁路原有ｍ个车站，为适应客运需要新增加ｎ个车站（ｎ＞1），则客运车票增加了58 种（注：从甲站到乙站和从乙站到甲站需要两种不同的车票），那么原有车站的个数是（）．Ａ．12 Ｂ．13 Ｃ．14 Ｄ．15二、填空题（本大题54 分，每小题9 分）1．长方形ＡＢＣＤ的长ＡＢ是宽ＢＣ的2 倍，把它折成无底的正三棱柱，使ＡＤ与ＢＣ重合，折痕线ＥＦ、ＧH 分别交原对角线ＡＣ于Ｍ、Ｎ，则折后截面ＡＭＮ与底面ＡＦH 所成的角是．2．在△ＡＢＣ中，ａ、ｂ、ｃ是角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边，且满足ａ２＋ｂ２＝2 ｃ２，则角Ｃ的最大值是．3．从盛满ａ升（ａ＞1）纯酒精的容器里倒出1 升，然后填满水，再倒出1 升混合溶液后又用水填满，如此继续下去．则第ｎ次操作后溶液的浓度是．4．已知函数ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）的定义域均为非负实数集，对任意的ｘ≥0，规定ｆ（ｘ）＊ｇ（ｘ）＝ｍｉｎ｛ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）｝．若ｆ（ｘ）＝3－ｘ，ｇ（ｘ）＝，则ｆ（ｘ）＊ｇ（ｘ）的最大值为．5．从1 到100 的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则可有种不同的取法．6．若实数ａ＞0，则满足ａ5－ａ3＋ａ＝2 的ａ值属于区间：①（0，）；②（，）；③（，＋∞）；④（0，）．其中正确的是．三、（本大题20 分）求证：经过正方体中心的任一截面的面积不小于正方体一个侧面的面积．四、（本大题20 分）直线Ａｘ＋Ｂｘ＋Ｃ＝0（Ａ·Ｂ·Ｃ≠0）与椭圆ｂ２ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２相交于P 和Q 两点，O 为坐标原点，且OP⊥ＯＱ，求证：ａ２ｂ２／ｃ２＝（ａ２＋ｂ２）／（Ａ２＋Ｂ２）．五、（本大题20 分）某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190 名售货员，计划全商场日营业额（指每日卖出商品所收到的总金额）为60 万元，根据经验，各部商品每1 万元营业额所需售货员人数如表1，每1 万元营业额所得利润情况如表2．商场将计划日营业额分配给三个经营部，同时适当安排各部的营业员人数，若商场预计每日的总利润为ｃ（万元）且满足19≤ｃ≤19．7，又已知商场分配给经营部的日营业额均为正整数万元，问这个商场怎样分配日营业额给三个部?各部分别安排多少名售货员?表1 各部每1 万元营业额所需人数表部门人数百货部 5服装部 4家电部 2部门利润百货部0．3 万元服装部0．5 万元家电部0．2 万元加试一、（本大题 50 分）矩形ＡＢＣＤ的边ＡＤ＝λ·ＡＢ，以ＡＢ为直径在矩形之外作半圆，在半圆上任取不同于Ａ、Ｂ的一点 P，连 P Ｃ，ＰＤ交ＡＢ于Ｅ、Ｆ，若ＡＥ２＋ＢＦ２＝ＡＢ２，试求正实数λ的值．二、（本大题 50 分）若ａｉ∈Ｒ＋（ｉ＝1，2，…，ｎ），Ｓ＝，且2≤ｎ∈Ｎ，求证：三、（本大题 50 分）无穷数列｛ｃｎ｝可由如下法则定义：ｃｎ＋1＝│1－│1－2 ｃｎ││，而0≤ｃ１≤1．（1）证明：仅当ｃ１是有理数时，数列自某一项开始成为周期数列．（2）存在多少个不同的ｃ１值，使得数列自某项之后以 T 为周期（对于每个Ｔ＝2，3，…）？参考答案一试一、选择题1．选Ａ．如图1 所示，设复数ｚ１对应的点为Ｚ１，则图 1│ＯＺ１│＝2 ｓｉｎ（π／6）＝1，∴ｚ１＝＝（／2）＋（1／2）ｉ．再设ｚ２＝ｘ＋ｙｉ（ｘ，ｙ∈Ｒ），由│ｚ２－ｉ│＝1，得ｘ２＋（ｙ－1）２＝1．①∵（／2－（1／2）ｉ）（ｘ＋ｙｉ）的实部为零，∴ｘ＋ｙ＝0．②联立①与②，解出ｘ＝0，（舍去）ｘ＝－／2，ｙ＝ｙ＝3／2．0．故ｚ２＝－／2＋（3／2）ｉ．2．选Ｃ．设ｇ（ｘ）＝ａｘ２－ｘ＋1／2．首先由ａｘ２－ｘ＋1／2＞0，得ａ＞（ｘ－1／2）／ｘ２＝－（1／2 ｘ２）＋1／ｘ．当1≤ｘ≤2时，（－（1／2 ｘ２）＋1／ｘ）ｍａｘ＝1／2，从而ａ＞1／2．在ａ＞1／2 的前提下，易知函数ｇ（ｘ）＝ａｘ２－ｘ＋（1／2）的对称轴ｘ＝（1／2）ａ在区间［1，2］的左边，从而ｇ（ｘ）在［1，2］上是递增函数．当ａ＞1 时，ｆ（ｘ）在［1，2］上是增函数，有ｆ（1）＝ｌｏｇａ（ａ－1＋1／2）＞0，∴ａ＞3／2．当（1／2＜ａ＜1 时，ｆ（ｘ）在［1，2］上是减函数，有ｆ（2）＝ｌｏｇａ（4 ａ－2＋1／2）＞0，∴1／2＜ａ＜5／8．综上，1／2＜ａ＜5／8 或ａ＞3／2．3．选Ａ．易知│ＭＦ１│＝│ＮＦ１│＝5，而││ＭＦ１│－│ＭＦ２││＝││ＮＦ１│－│ＮＦ２││，即│5－│ＭＦ２││＝│5－│ＮＦ２││．当5－│ＭＦ２│＝5－│ＮＦ2│，即│ＭＦ２│＝│ＮＦ２│时，点Ｆ２的轨迹是线段Ｍ N 的中垂线，其方程为ｘ＝1（ｙ≠0）．ｎｎ 当 5－│ＭＦ２│＝－（5－│ＮＦ２│），即│ＭＦ２│＋│ＮＦ２│＝10 时，点Ｆ２的轨迹是以Ｍ、Ｎ为焦点，长轴长为 10 的椭圆，其方程为 （ｘ－1）２／25＋（ｙ－4）２／16＝1（ｙ≠0）．4．选Ｂ． 一方面Ｍ＞ ＋ ＝2，另一方面Ｍ＜ ＝1＋ａ＋1＋ｂ＝2＋（ａ＋ｂ）＝3，即有 2＜Ｍ＜3．5．选Ｃ． 如图 2，人行横道的面积 S ＝15×40＝600，图 2∴Ｓ＝50 ｘ＝600，解得ｘ＝12．6．选Ｃ． 新增的ｎ个车站之间需要Ｐ２ 种车票，新增的ｎ个车站与原来的ｍ个车站之间需要 2 ｍｎ种车票，从而Ｐ２ ＋2 ｍｎ＝58，即 ｎ（ｎ－1＋2 ｍ）＝58．∵ｍ、ｎ是非负数（ｎ＞1），且 58 只能分解为 1×58，和2×29，ｎ＝2， 或 ｎ＝29， 解 出 ｎ＝2，∴ ｎ － 1 ＋ 2 ｍ ＝ 29 ｎ － 1 ＋ 2 ｍ 2．ｍ＝14． 二、填空题1．填 π／6． 折叠后，仍有ＡＦ＝ＦＨ＝ＨＢ（或 H Ａ，折叠后Ａ点和Ｂ点重合），ＡＭ＝ＭＮ＝ＮＣ，且它们的长度没有改变，仍等于折叠前的长度，但对角线ＡＣ由直线段变成了折线段，Ａ，Ｍ，N 三点由原来共线（如图 3（1））变成现在Ａ， Ｍ，N 三点构成三角形（如图 3（2））．图 3设ＡＤ＝ａ，则ＡＢ＝2 ａ．图3（1）为折前长方形，有ＡＣ＝ａ，ＡＭ＝ＭＮ＝ａ／3，ＡＦ＝ＦＨ＝ＨＢ＝2 ａ／3，ＭＦ＝ａ／3，ＨＮ＝2 ａ／3．设平面ＡＭN 与平面ＡＦH 的夹角为θ（如图3（2）），由Ｓ△ＡＦＨ＝1／2×2ａ／3×2ａ／3×ｓｉｎ60°＝ａ2／3．在Ｒｔ△ＮＨＡ中，ＡＮ＝＝4 ａ／3．取ＡN 的中点P，∵ＡＭ＝ＭＮＭＰ⊥ＡＮ．在Ｒｔ△ＭＰＡ中，ＭＰ＝＝ａ，∴Ｓ△ＡＭＮ＝ａ／2·4ａ／3＝2 ａ2／3．∴ｃｏｓθ＝Ｓ△ＡＦＨ／Ｓ△ＡＭＮ＝／2，∴θ＝π／6．2．填π／3．因为ａ２＋ｂ２＝2 ｃ２，所以ｃｏｓＣ＝（ａ２＋ｂ２－ｃ２）／2 ａｂ＝（ａ２＋ｂ２－（ａ２＋ｂ２）／2）／2 ａｂ＝（ａ２＋ｂ２）／4 ａｂ，所以ａ２－4 ａｂｃｏｓＣ＋ｂ２＝0．即（ａ／ｂ）２－（4 ｃｏｓＣ）（ａ／ｂ）＋1＝0（因为ｂ≠0）．因为ａ／ｂ是正实数，所以Δ ＝（－4 ｃｏｓＣ）２－4≥0，ｃｏｓ２Ｃ≥1／4，4 ｃｏｓＣ＞0 ｃｏｓＣ＞0．故ｃｏｓＣ≥1／2，所以Ｃ≤π／3．因此角Ｃ的最大值是π／3．3．填（1－（1／ａ））ｎ．开始的浓度为 1，操作一次后溶液的浓度是ａ１＝1－（1／ａ）．设操作ｎ次后溶液的浓度为ａｎ，则操作ｎ＋1 次后溶液的浓度为ａｎ＋1＝ａｎ（1－（1／ａ））．∴｛ａｎ｝是首项和公比均为ａ１＝1－（1／ａ）的等比数列，∴ａｎ＝ａ１ｑｎ－1＝（1－（1／ａ））ｎ，4．填2 －1．∵ｘ≥0，令3－ｘ＞，解得0≤ｘ＜4－2 ．∴ｆ（ｘ）＊ｇ（ｘ）＝，0≤ｘ＜4－2 ，3－ｘ，ｘ≥4－2 ．∵3－ｘ在R 上单调递减，故当ｘ≥4－2 时，ｆ（ｘ）＊ｇ（ｘ）≤ｆ（4－2 ）＊ｇ（4－2 ）＝3－（4－2 ）＝2 －1．当0≤x≤4－2 时，单调递增，故当x∈［0，4－2 ］时，f（x）＊g（x）＜＝2 －1．综上知，f（x）＊g（x）的最大值为2 －1．5．填2500．以1 为被加数，则1＋100＝101＞100，有1 种取法．以2 为被加数，则2＋100＝102＞100，2＋99＝101＞100，有 2 种取法．依次可得，被加数为ｎ（ｎ∈Ｎ，ｎ≤50）时，有ｎ种取法．但51 为被加数时，则扣除前面已取过的，只能取 52，53， (100)有49 种取法，同理 52 为被加数时，有 48 种取法，依次可得当被加数ｎ（ｎ∈Ｎ，51≤ｎ≤100）时，有 100－ｎ种取法．所以不同的取法有（1＋2＋3＋...＋50）＋（49＋48＋ (1)＝2500．6．填③④．∵ａ６＋1＝（ａ２＋1）（ａ４－ａ２＋1）＝（ａ２＋1）／ａ·（ａ５－ａ３＋ａ）＝2（ａ＋1／ａ），（ａ≠0）∵ａ＞0，且ａ≠1，∴ａ６＋1＞4，∴ａ６＞3，即ａ＞．又ａ５－ａ３＋ａ＝2，∴2／（ａ３＋1）＝ａ２＋（1／ａ２）＞2，∴ａ３＜2，即ａ＜，综合知应填③④．三、显然，所作截面是一个中心对称的凸多边形，它是一个四边形或一个六边形如果截面是一个四边形，那么它一定没有截到立方体的某一组对面，故截面的面积不小于正方体一个侧面的面积．图 4如果截面是一个六边形，那么它一定截到立方体的六个面．将立方体展开在一个平面上（如图 4）．设截面的周长为ｌ，正方体的棱长为ａ，则ｌ≥│ＡＢ│＝＝3 ａ．由于正方体的中心是其内切球的球心，所以截面内含有半径为ａ／2 的圆．从而有Ｓ截面≥（1／2）·（ａ／2）ｌ≥（3 ／4）ａ２＞ａ２．四、将Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝0，变形为 1＝－（Ａｘ＋Ｂｙ）／Ｃ代入椭圆方程，得ｂ２ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２（－（Ａｘ＋Ｂｙ）／Ｃ）２，整理得（ａ２ｂ２Ｂ２－ａ２Ｃ２）ｙ２＋2 ＡＢａ２ｂ２ｘｙ＋（ａ２ｂ２Ａ２－ｂ２Ｃ２）ｘ２＝0，（1）当ｘ＝0 时，显然成立；（2）当ｘ≠0时，同除以ｘ2 得（ａ２ｂ２Ｂ２－ａ２Ｃ２）（（ｙ／ｘ）２＋2 ＡＢａ２ｂ２（ｙ／ｘ）＋（ａ２ｂ２Ａ２－ｂ２Ｃ２）＝0，则方程的两根为ＯＰ、OQ 的斜率．因为ＯＰ⊥ＯＱ，所以－1＝（ａ２ｂ２Ａ２－ｂ２Ｃ２）／（ａ２ｂ２Ｂ２－ａ２Ｃ２），即ａ２ｂ２／Ｃ２＝（ａ２＋ｂ２）／（Ａ２＋Ｂ２）．五、设商场分配给百货、服装、家电营业额分别为ｘ，ｙ，ｚ（万元）（ｘ，ｙ，ｚ是正整数），则ｘ＋ｙ＋ｚ＝60，①5 ｘ＋4 ｙ＋2 ｚ＝190，②ｃ＝0．3 ｘ＋0．5 ｙ＋0．2 ｚ，③19≤ｃ≤19．7．④由① ，②ｙ＝35－（3／2）ｘ，得ｚ＝25＋（ｘ／2），∴ｃ＝0．3＋0．5（35－（3 ｘ／2））＋0．2（25＋（ｘ／2））＝22．5－0．35 ｘ．代入④得8≤ｘ≤10．∵ｘ，ｙ，ｚ必为正整数，ｘ＝8，ｘ＝10，或5 ｘ＝40，5 ｘ＝或50，4 ｙ＝ｙ＝23，ｙ＝20， 4 ｙ＝92，∴∴ｚ＝29 ｚ＝30． 2 ｚ＝58 80，2 ｚ＝60．加试一、解法 1（三角法）：如图 5，过 P 作ＰＧ⊥ＡＢ，垂足为Ｇ．不失一般性，设ＡＢ＝2，则ＡＤ＝2λ．再设 P Ｇ＝ｈ，∠ＰＤＡ＝α，∠ＰＣＢ＝β，则图 5ＡＥ＝ＡＢ－ＢＥ＝2－2λ ｔｇβ，ＢＦ＝ＡＢ－ＡＦ＝2－2λ ｔｇα．∵（2λ＋ｈ）ｔｇα＋（2λ＋ｈ）ｔｇβ＝2，∴ｔｇα＋ｔｇβ＝2／（2λ＋ｈ），①又（2λ＋ｈ）ｔｇα（2λ＋ｈ）ｔｇβ＝ｈ２，∴ｔｇα·ｔｇβ＝ｈ２／（2λ＋ｈ）２．②∵ＡＥ２＋ＢＦ２＝（2－2λ ｔｇβ）２＋（2－2λ ｔｇα）２＝ＡＢ２，∴8－8λ（ｔｇα＋ｔｇβ）＋4λ ２（ｔｇ２α＋ｔｇ２β）＝4．即λ ２（ｔｇα＋ｔｇβ）２－2λ ２ｔｇα ｔｇβ－2λ（ｔｇα＋ｔｇβ）＋1＝0，①、②代入得（4λ ２－2λ ２ｈ２）／（2λ＋ｈ）２－（4λ）／（2λ＋ｈ）＋1＝0．∴ｈ２（1－2λ ２）＝0，∵ｈ≠0，∴1－2λ ２＝0，即λ＝／2．解法2（代数法）：如图5，不失一般性，设ＡＢ＝2，则ＡＤ＝2λ，并令ＡＦ＝ｘ，ＢＥ＝ｙ，因为△ＰＧＥ∽△ＣＢＥ，于是有ＰＧ／ＢＣ＝ＢＥ／ＢＥ，即ＰＧ／2λ＝ＧＥ／ｙ．所以，ＧＥ＝（ＰＧ·ｙ）／2λ．①同理，ＧＦ＝（ＰＧ·ｘ）／2λ．②①＋②，得ＥＦ＝（ｘ＋ｙ）·（ＰＧ）／2λ，即ＰＧ＝（ＥＦ·2λ）／（ｘ＋ｙ）＝（2λ（2－ｘ－ｙ））／（ｘ＋ｙ）．③由①、②、③得ＧＥ＝（ＰＧ·ｙ）／2λ＝（2λ（2－ｘ－ｙ）／ｘ＋ｙ·ｙ·（1／2）λ＝［（2－ｘ－ｙ）／（ｘ＋ｙ）］·ｙ，ＧＦ＝（ＰＧ·ｘ）／2λ＝［（2－ｘ－ｙ）／（ｘ＋ｙ）］·ｘ．∴ＢＧ＝ＧＥ＋ｙ＝2 ｙ／（ｘ＋ｙ），④同理ＡＧ＝2 ｘ／（ｘ＋ｙ）．⑤又ＰＧ2＝ＡＧ·ＢＧ，综合③④⑤，得4λ2（（2－ｘ－ｙ）／（ｘ＋ｙ））２＝4 ｘｙ／（ｘ＋ｙ）２，化简得λ2（2－ｘ－ｙ）２＝ｘｙ，⑥又∵ＡＥ２＋ＢＦ２＝ＡＢ２，∴（2－ｘ）２＋（2－ｙ）２＝4，即4－4（ｘ＋ｙ）＋ｘ２＋ｙ２＝0，∴4－4（ｘ＋ｙ）＋（ｘ＋ｙ）２＝2 ｘｙ．⑦将⑥代入⑦得4－4（ｘ＋ｙ）＋（ｘ＋ｙ）２＝2λ ２（2－ｘ－ｙ）２．即（2－ｘ－ｙ）２＝2λ ２（2－ｘ－ｙ）２．∵x＋y≠2，∴2λ ２＝1．解得λ＝／2．二、由柯西不等式，得故原不等式得证．三、易知题中的递推关系式即为ｃｎ＋１＝2 ｃｎ，若0≤ｃｎ＜（1／2），①2－2 ｃｎ，若（1／2）≤ｃｎ≤1．（1）若ｃ１为有理数，即ｃ１＝ｐ／ｑ，其中（ｐ，ｑ）＝1 时，对一切ｎ，均有ｃｎ＝（ｐｎ／ｑ，其中ｐｎ∈｛0，1，…，ｑ｝，故有ｎ１＜ｎ２，使得ｐｎ1＝ｐｎ2．从而ｃｎ1＝ｃｎ2．于是，由①式可知｛ｃｎ｝自第ｎ１项之后呈周期变化．假设数列自第ｎ１项开始成为周期为 T 的，我们记ｃｎ1＝ａｋ·2－ｋ，即用二进制表示c ｎ1，其中ａｋ＝0 或1，并记ａｋ＝1－ａｋ，ｋ∈Ｎ，②由此并结合归纳法，即知此即表明ｃｎ 1 为二进制循环小数，故为有理数．当ａ１＋…＋ａＴ≡1（ｍｏｄ2）时，由于ｃｎ 1＋Ｔ＝ｃｎ 1 得ａｋ＝ａｋ＋Ｔ＝1－ａｋ＋Ｔ，ｋ∈Ｎ．③由于③ 式亦表明ａｋ＋Ｔ＝ａｋ＋2 Ｔ，ｋ∈Ｎ，所以，ａｋ＝1－ａｋ＋Ｔ＝1－ａｋ＋2 Ｔ＝1－（1－ａｋ＋2 Ｔ）＝ａｋ＋2 Ｔ，（ｋ∈Ｎ）．故ｃｎ 1 亦为有理数．再由递推式①知ｃｎ１是由 c １经ｎ１－1 步有理运算得出的，所以，ｃ1 也必为有理数．（2）如果分别取④则可使｛ｃｎ｝分别以T＝2 和Ｔ＝ｍ，ｍ≥3 为周期，又易见，只要将ｃ１取为④中的1／2 ｋ，ｋ∈Ｎ，都可使数列最终以相应的T 为周期．从而，对每个T＝2，3，…都有无穷多个c １使得数列自某项之后以T 为周期变化．。
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高中数学竞赛模拟试卷
题号 一 二 三 四 五 总分
得分
评卷
复核
【说明】解答本试卷不得使用计算器
一、填空（前4小题每小题7分，后4小题每小题8分，供60分）
1．计算：0!1!2!100!i+i+i++i ．（i表示虚数单位）
2．设是某三角形的最大内角，且满足sin8sin2，则可能值构成的集合
是 ．（用列举法表示）
3．一个九宫格如图，每个小方格内都填一个复数，它的每行、每列及对角线上三个格内的
复数和都相等，则x表示的复数是 ．
4．如图，正四面体ABCD的棱长为6cm，在棱AB、CD上各有一点E、F，若1AEcm，
2CFcm，则线段EF
的长为 cm．
5．若关于x的方程4(3)250xxa至少有一个实根在区间[1,2]内，则实数a的取值
范围为 ．
6．a、b、c、d、e是从集合1,2,3,4,5中任取的5个元素（允许重复），则abcde为
奇数的概率为 ．
7．对任意实数x、y，函数()fx满足()()()1fxfyfxyxy，若(1)1f，则
对负整数n，()fn的表达式 ．
8．实数x、y、z满足0xyz，且2221xyz，记m为2x、2y、2z中最大者，
则m的最小值为 ．
二、（本题满分14分）
设2()fxaxbx，求满足下列条件的实数a的值：至少有一个正数b，使()fx的
定义域和值域相同．
i
x
1
A
B
C
F
D
E
2
三、（本题满分14分）
已知双曲线22221xyab（a、b+R）的半焦距为c，且2bac．,PQ是双曲线上
任意两点，M为PQ的中点，当PQ与OM的斜率PQk、OMk都存在时，求PQOMkk的值．
四、（本题满分16分）
设x表示不超过实数x的最大整数．求集合2|,12004,2005knnkkN的
元素个数．
五、（本题满分16分）
数列nf的通项公式为11515225nnnf，n+Z．
记1212C+C+CnnnnnnSfff，求所有的正整数n，使得nS能被8整除．