高数A上册3-3
高数上册习题3-4,3-5部分习题解答
x 2 xf ( x )cos f ( t )dt 0
2
2
（4）因为 F ( x ) sin( x t )2 dt
0
x
令 xt u
则t x u
0 x
sin u2 ( 1)du
恒等 x sin u2du ， 0 变形
x 所以 F ( x ) sin u2du sin x 2 . 0
0
（5） F ( x ) tf ( x 2 t 2 )dt .
x 解： （1） F ( x ) 1 t 2 dx 1 x 2 . 0 sin x sin x x （2） F ( x ) cot tdt cot tdt cot tdt x a a
1 1 0 0
解： （1）因为在 0 ,1 上 2 x e x ，所以 2 x dx e x dx . （2）因为在 0 ,1 上 x 2 x 3 ，所以 0 x 2dx 0 x 3dx .
1 1
（3）因为在 1 , 2 上 ln x 1 ，则 ln x (ln x )2 ，所以 1 ln xdx 1 (ln x )2 dx .
习题 3-4
2 2 1 1
定积分的概念与性质
1．等式 ln xdx ln udu 是否成立？为什么？ 解：成立，根据定积分的几何意义， ln xdx 与 ln udu 表示的同一个平面图形面积的代数
1 1 2 2
和。 2．根据定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负. （1） 2 sin xdx ；
（19） sin(ln x )dx ；
高数上册习题3-3部分习题解答
方法二：
x arctan x 1 x2
dx
令 arctan x t 则 x tan t ( t , ) 2 2
t tan t sec2 tdt t tan t sec tdt sec t
（6 ）
x
ln(ln x ) （8） sec3 xdx ； dx ； （7） ln 2 xdx ； x
2
x dx ； (10) 2
（11） e sin xdx ；
x arctan x 1 x2
dx ； （12）
arctan e x dx ； e2 x
解： （1） x sin xdx = xd (cos x ) （2） xe x dx xd (e x ) （3）因为
习题 3-3
1．求下列不定积分：
分部积分法与两种特殊类型函数积分
（1） x sin xdx ； （2 ） xe x dx ； （5） x 2 arctan xdx ； (9)
2 2 x cos
（3） e x sin 2 xdx ； （4） ( x 2 2 x 5)e 2 x dx ；
恒等 1 3 1 (1 x 2 ) 1 2 恒等 1 3 1 1 x arctan x dx x arctan x (1 )dx 2 2 变形 3 6 1 x 变形 3 6 1 x2
x3 1 1 1 x3 1 1 2 arctan x x 2 d (1 x ) arctan x x 2 ln(1 x 2 ) C 2 3 6 6 1 x 3 6 6 x3 1 1 arctan x x 2 ln(1 x 2 ) C . 3 6 6
高等数学A上教材
高等数学A上教材高等数学A是大学本科阶段的必修课程，是数学专业的基础课程之一。
本教材旨在帮助学生打好数学基础，理解和掌握高等数学的基本概念和方法。
下面是对高等数学A上教材的简要介绍和内容概述。
第一章：函数与极限该章节主要涵盖了函数的概念、性质和分类，以及极限的定义、性质和计算方法。
通过学习这一章节，学生将能够理解函数的特征，掌握函数的运算和复合函数的求导法则，以及灵活运用极限的定义和计算方法。
第二章：导数与微分本章介绍导数的定义、性质和计算方法，包括基本导数公式、高阶导数、隐函数求导等内容。
此外，还包括微分的概念和应用，用微分描述函数及其变化。
学生通过学习本章，可以掌握函数的导数运算法则，理解导数的几何意义，并能够运用导数解决实际问题。
第三章：一元函数的微分学应用该章节主要介绍函数的极值与最值、曲线的凹凸性、函数的图形与函数的性质等内容。
学生将通过学习本章，能够求解函数的最值、分析函数的单调性和凹凸性，并能够综合运用相关知识解决实际问题。
第四章：不定积分本章介绍不定积分的概念、性质和基本公式，并讲解常见的积分方法和技巧，如换元积分法、分部积分法等。
此外，还包括简单的定积分和定积分的计算方法。
学生通过学习本章，可以掌握不定积分的计算方法，理解积分的几何意义，以及积分在实际问题中的应用。
第五章：定积分及其应用该章节主要介绍定积分的概念和性质，讲解定积分的计算方法，包括定积分的性质、变量替换法、分段函数的积分等内容。
此外，还包括定积分的应用，如求曲线与坐标轴围成的面积、物理问题中的应用等。
学生通过学习本章，可以掌握定积分的计算方法，理解积分的几何意义和物理意义，并能够应用积分解决实际问题。
第六章：微分方程本章介绍微分方程的基本概念和分类，讲解常微分方程的解法和应用。
学生将通过学习本章，理解微分方程的概念和基本理论，掌握一阶和二阶常微分方程的基本解法，并能够应用微分方程解决实际问题。
第七章：多元函数微分学该章节主要涵盖多元函数的偏导数、全微分和多元函数的极值等内容。
南开大学2009经济类高数3-3A卷11
南开大学2006级经济类高等数学（3-3）统考试卷 （A 卷） 2009年6月30日一、(本题21分,每小题7分)求下列方程的通解(1)243412--=+-++x y y y x x x(2)0cos )cos (=+-dy xyx dx x y y x经济类（3-3）A7—1(3)0cos )sin sin (=+++ydy dx y x x二、(本题20分,每小题10分)求下列方程的实值通解(1)t e x dt dxdtx d dt x d t cos 2432233+=-+-(2)112322+=++t e x dt dx dt x d经济类（3-3）A7—2三、(本题10分)已知方程t ce bx dt dxa dtx d =++22的一个特解为t t e t e x )1(2++=, 求:（1）a ,b ,c ;（2）该方程的通解.经济类（3-3）A7—3四、(本题12分)求下列方程组的实值通解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x dt dz dt dy dt dx 401110001经济类（3-3）A7—4max 2168x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥≤+≤+≤+2,1 ,0)(183 )(2432)(3035212121i x c x x b x x a x x i(1)求该问题的最优解和最优值；(2)做出对目标函数中81=c 的灵敏度分析； (3)做出约束条件)(a 的右端项301=b 的灵敏度分析.经济类（3-3）A7—5max 32122520x x x z ++=⎪⎩⎪⎨⎧=≥≥++≥++3,2,1,0353435321321i x x x x x x x i试求该问题的最优解和最优值.经济类（3-3）A7—6七、(本题7分)设)(t X 是一阶常系数线性常微分方程组)()(t Ax dtt dx =的一个基解矩阵,且I X =)0(,(其中I 为n 阶单位矩阵,A 为n 阶常数矩阵).试证对任何t ,s ,均有下述等式成立)()()(s X t X s t X =+.经济类（3-3）A7—7。
高等数学a上册教材
高等数学a上册教材高等数学A上册教材是大学数学专业学生必修的一门课程，主要涉及微积分、数列、级数等内容。
本教材的目标是帮助学生掌握高等数学的基本概念、理论和方法，培养其分析问题和解决问题的能力。
下面将从教材的结构和内容两个方面进行介绍。
一、教材结构高等数学A上册教材总共分为若干章节，每个章节涵盖了特定的数学概念和方法。
下面是各章节的简要介绍：1. 函数与极限：介绍函数的基本概念、性质和分类，以及极限的定义、性质和运算法则。
2. 导数与微分：讲解导数的定义、性质和运算规则，以及微分中值定理和导数应用等内容。
3. 微分中值定理与导数应用：探讨微分中值定理的变形和应用，以及导数与函数图形的关系。
4. 不定积分：系统介绍不定积分的定义、性质和基本积分公式，以及不定积分的简单应用。
5. 定积分及其应用：讨论定积分的概念、性质和计算方法，以及定积分在几何和物理中的应用。
6. 微分方程：介绍一阶微分方程的基本概念、解法和应用。
二、教材内容1. 函数与极限：本章节首先介绍了函数的定义和性质，包括奇偶性、周期性、单调性等。
然后引入极限的概念，包括数列的极限、函数的极限以及无穷小与无穷大。
最后讨论了极限的运算法则和极限不存在的情况。
2. 导数与微分：本章节主要介绍了导数的定义和计算方法，包括基本初等函数的导数、导数的四则运算、复合函数的导数等。
同时阐述了导数的几何意义和物理应用，如切线斜率和速度等。
此外，还介绍了微分的概念和微分的计算方法。
3. 微分中值定理与导数应用：本章节首先介绍了拉格朗日中值定理和柯西中值定理的形式和应用场景。
然后讨论了导数与函数图形的关系，包括函数的单调性、极值和凹凸性等。
最后介绍了泰勒展开式及其应用领域。
4. 不定积分：本章节系统介绍了不定积分的定义、性质和基本积分公式，包括常数积分、幂函数积分、三角函数积分和指数函数积分等。
同时介绍了换元积分法和分部积分法，并通过例题演示了不定积分的求解方法。
高数3-3隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数
在t =
π
2
处的法线方程
____. ____.
x = e cos t dy 4 .设 ,则 = ____, t dx y = e sin t
t
dy dx
t=
π
3
= ___ .
x+ y
5 . 设 xy = e
dy ,则 = _____ . dx
二、 求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶
所以 当
dy (cos t − sin 2t )(e t − t sin x ) = dx − xe t − cos x dy x = 0 时, t = π = eπ 从而 x=0 dx
四、小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导 对数求导法: 对方程两边取对数, 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函 数的求导法则求导; 数的求导法则求导; 参数方程求导: 参数方程求导: 实质上是利用复合函数 求导法则; 求导法则 相关变化率: 相关变化率: 通过函数关系确定两个相 互依赖的变化率; 解法: 互依赖的变化率; 解法: 通过建立两者 之间的关系, 用链式求导法求解. 之间的关系, 用链式求导法求解.
具有单调连续的反函数
∴ y = ψ [ϕ −1 ( x )]
t = ϕ −1 ( x ),
都可导, 再设函数 x = ϕ ( t ), y = ψ ( t ) 都可导 且ϕ ′( t ) ≠ 0 , 由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dy 1 ψ ′( t ) = = ⋅ = ⋅ dx dt dx dt dx ϕ ′( t ) dt dy
第三节 隐函数和参数式函数求导法
一、隐函数求导 二、对数求导法 三、由参数方程所确定的函数的导数 四、小结
高中数学人教A版必修3第三章-3.3.1 几何概型课件课件PPT
m A m
1 3
2.面积问题：如右下图所示的单位圆,假 设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分 别计算它落到阴影部分的概率.
解：由题意可得
设 “豆子落在第一个图形的阴影部分”为事件A， “豆子落在第二个图形的阴影部分”为事件B。
从而：基本事件的全体 对应的几何区域为面积为１的单位圆 事件A对应的几何区域为第一个图形的阴影部分面积１／２ 事件B对应的几何区域为第二个图形的阴影部分面积３／８
故几何概型的知识可知，事件A、B发生的概率分别为：
p(
A)
m A m
1 2
p(B)
mB m
3 8
3.体积问题：有一杯1升的水,其中含有1 个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1 升,求小杯水中含有这个细菌的概率.
解：由题意可得
设 “取出的0.1升水中含有细菌”为事件A。
则：基本事件的全体 对应的几何区域为体积为1升的水 事件A对应的几何区域为体积为0.1升的水
例2：一海豚在水池中自由游弋，水 池长30m，宽20m的长方形，求此刻 海豚嘴尖离岸小于2m的概率．
30m
20m
2m
解：设事件A“海豚嘴尖离岸边小于2m”（见 阴影部分）
P（A）＝
30
20 26 30 20
16
184 600
0.31
答:海豚嘴尖离岸小于2m的概率约为0.31.
当堂检测：
1.在区间［1,3］上任取一数,则这个数大于1.5的概率为 ( )D A.0.25 B.0.5 C.0.6 D.0.75
3.3.1 几何概型
复习 1.古典概型
（1）所有可能出现的基本事件只有有限个(有限性)
（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性） 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型， 简称古典概型.
高数上A版知识点
高数上A版知识点写一篇文章高等数学是大学阶段的一门重要的数学课程，对于理工科和计算机科学专业的学生来说尤为重要。
本文将按照步骤思维的方式，介绍高数上A版的一些重要知识点。
第一步：导数与微分导数与微分是高等数学中的一个重要概念。
导数表示函数变化的速率，而微分则表示函数在某一点的近似线性变化。
导数的计算可以通过求解极限来实现，而微分则是导数的一个应用。
第二步：常微分方程常微分方程是数学中一个重要的研究领域。
它描述了未知函数的导数与函数自身的关系。
常微分方程可以分为线性和非线性两种类型，求解常微分方程需要使用不同的方法，如变量分离法、齐次方程、特殊变量替换等等。
第三步：多元函数与偏导数多元函数是高等数学中另一个重要的概念。
与一元函数不同，多元函数有多个自变量。
在多元函数中，偏导数表示函数在某一自变量上的变化率。
求解多元函数的偏导数需要应用链式法则和各类导数的运算规则。
第四步：曲线积分与曲面积分曲线积分和曲面积分是高等数学中重要的积分概念。
曲线积分计算的是曲线上的某个物理量，例如弧长、质量、电量等，而曲面积分则计算的是曲面上的某个物理量，例如面积、质量、电通量等。
计算曲线积分和曲面积分需要使用参数方程、向量场、面积元等概念。
第五步：级数级数是高等数学中的一种数列的和的概念。
级数可以分为收敛和发散两种情况。
收敛的级数可以求和，发散的级数则无法求和。
求解级数需要使用各类级数的判别法，如比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
第六步：空间解析几何空间解析几何是高等数学中的一个重要分支，研究的是空间中的点、直线、平面等几何图形。
空间解析几何可以通过向量和坐标的方法来描述和计算。
通过学习空间解析几何可以更好地理解空间中的几何关系和变换。
通过以上的步骤思维，我们可以对高数上A版的知识点进行了解和学习。
掌握这些知识点，能够帮助我们更好地理解和应用数学在实际问题中的解决方法。
高等数学作为一门基础学科，为我们打下了扎实的数学基础，也为我们未来的学习和工作提供了重要的支持。
人教A版高中数学必修第一册3.3幂函数【课件】
α
∴f(2)=,∴2 =,解得 α=-2,
∴f(x)=x-2.
f(x)的图象如图所示.
f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),单调递减区间为(0,+∞),单调递
增区间为(-∞,0).
反思感悟
1.幂函数的图象一定出现在第一象限内,一定不会出现在第四
象限内,图象最多只能同时出现在两个象限内,至于是否在第
(2)y= 的图象位于第一象限,因为函数为增函数,所以函数图
象是上升的,函数 y= -1 的图象可看作由 y= 的图象向下平
移 1 个单位长度得到(如选项 A 中的图象所示),将 y= -1 的图
象关于 x 轴对称后即为选项 B 中的图象.
答案:(1)B (2)B
探究二 幂函数的性质及其应用
对称,且在区间(0,+∞)内单调递减,求满足(2a-1) <(3-a) 的实
数 a 的取值范围.
解:∵函数 f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,∴3m-9<0,解得 m<3.
又 m∈N*,∴m=1,2.
又函数图象关于 y 轴对称,∴3m-9 为偶数,故 m=1,Leabharlann -
-
-
∴有(2a-1) <(3-a) .∵y= 在区间(-∞,0),(0,+∞)内均单调递减,
【例2】 比较下列各组数的大小:
(1)1.13,1.23;
(2)4.8-3,4.9-3;
(3) -
-
, -
-
.
解:(1)设f(x)=x3,因为f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,
新教材人教版高中数学必修第一册 3-3 幂函数 教学课件
可以发现，这些函数的表达式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，
幂的指数都是常数.分别是1，2，3，0.5，-1；它们都是形如
的函数.
一般地，函数
叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数.
第四页，共二十九页。
1 幂函数的概念
【1】在函数①
⑤
⑥
②
③
题④
第二十五页，共二十九页。
题⑤
第二十六页，共二十九页。
题⑥ 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.
第二十七页，共二十九页。
题⑥ 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.
第二十八页，共二十九页。
第二十九页，共二十九页。
新教材人教版高中数学必修第一册 3.3 幂函数 教学课件
科 目：数学 适用版本：新教材人教版 适用范围：【教师教学】
第3章 函数的概念与性质
3.3 幂函数
第一页，共二十九页。
01 幂函数的概念 02 幂函数的特征 03 幂函数的图像
04 幂函数的性质
05
幂函数奇偶性的判断方法
06 幂函数增减性的证明
比较大小用作差法.由的大小，比较自变量的大小.
第十六页，共二十九页。
5
第十七页，共二十九页。
5
奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 非奇非偶函数
第十八页，共二十九页。
6 幂函数增减性的证明
第十九页，共二十九页。
6 幂函数增减性的证明
【例题】证明幂函数
，
，又
两个连续的正整数相乘，其结果必为正偶数，所以
为正奇数，所以函数的定义域为R.
高等数学电子教案：3-3
x0 )n1
(2在x0与1之间)
如此下去,经过(n 1)次后,得
Rn( x) ( x x0 )n1
R(n1) n
(
)
n 1!
(在x0与
之间
n
,也在
x0 与x
之间)
P (n1) n
(
x)
0,
R ( n1) n
(
x
)
f (n1) ( x)
则由上式得
Rn( x)
f (n1) ( )
n 1! ( x
(n
Rn (1 ) 1)(1
x0
)n
(在x0与x之间)
两函数 Rn ( x) 及(n 1)( x x0 )n 在以 x0 及1为端点
的区间上满足柯西中值定理的条件,得
Rn (1 ) (n 1)(1
x0 )n
Rn (1 ) Rn ( x0 ) (n 1)(1 x0 )n
0
n(n
Rn(2 ) 1)(2
f (n1) ( )
n 1!
(
x
x0 )n1
(在x0与x之间)
拉格朗日形式的余项
Rn ( x)
f (n1) ( )
n 1!
(
x
x0 )n1
nM 1!( x x0 )n1
及
lim
x x0
Rn( x) ( x x0 )n
0
即 Rn( x) o[(x x0 )n ].
皮亚诺形式的余项
f
(x)
y
近
似 程
Pn ( x0 ) f ( x0 )
度 越
2.若有相同的切线
来 越
Pn( x0 ) f ( x0 )
高数上册目录
高数上册目录第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质1.1.1 函数的定义1.1.2 函数的性质1.1.3 反函数与复合函数1.2 极限的概念与性质1.2.1 极限的定义1.2.2 极限的性质1.2.3 极限的运算法则1.3 无穷小与无穷大1.3.1 无穷小的性质1.3.2 无穷大的性质1.4 极限的运算法则1.4.1 极限的四则运算法则1.4.2 极限的复合运算法则1.5 极限存在准则及两个重要极限1.5.1 极限存在准则1.5.2 两个重要极限公式第二章导数与微分2.1 导数的概念2.1.1 导数的定义2.1.2 导数的几何意义2.2 函数的求导法则2.2.1 基本初等函数的导数2.2.2 导数的四则运算法则2.2.3 复合函数的导数2.3 高阶导数2.3.1 高阶导数的定义2.3.2 高阶导数的计算2.4 微分2.4.1 微分的定义2.4.2 微分的计算第三章微分中值定理3.1 微分中值定理3.1.1 罗尔定理3.1.2 拉格朗日中值定理3.1.3 柯西中值定理3.2 洛必达法则3.2.1 洛必达法则的形式3.2.2 洛必达法则的应用第四章不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.1.1 不定积分的定义4.1.2 不定积分的性质4.2 不定积分的计算4.2.1 基本积分公式4.2.2 换元积分法4.2.3 分部积分法第五章定积分5.1 定积分的概念与性质5.1.1 定积分的定义5.1.2 定积分的性质5.2 定积分的计算5.2.1 定积分的计算方法5.2.2 定积分的几何意义5.3 定积分的应用5.3.1 定积分在几何学中的应用5.3.2 定积分在物理学中的应用第六章微分方程6.1 微分方程的基本概念6.1.1 微分方程的定义6.1.2 微分方程的阶6.2 一阶微分方程6.2.1 可分离变量的微分方程6.2.2 一阶线性微分方程6.3 高阶微分方程6.3.1 高阶微分方程的解法6.3.2 线性微分方程第七章空间解析几何7.1 向量及其运算7.1.1 向量的概念7.1.2 向量的运算7.2 平面与直线7.2.1 平面的方程7.2.2 直线的方程7.3 曲面与空间曲线7.3.1 曲面的方程7.3.2 空间曲线的方程第八章多元函数微分8.1 多元函数的概念8.1.1 多元函数的定义8.1.2 多元函数的性质8.2 偏导数8.2.1 偏导数的定义8.2.2 偏导数的计算8.3 全微分8.3.1 全微分的定义8.3.2 全微分的计算8.4 多元函数的极值8.4.1 极值的定义8.4.2 极值的求法。
高数习题3答案
高数习题3答案高数习题3答案在学习高等数学的过程中，习题是非常重要的一环。
通过解答习题，我们可以巩固所学的知识，提高自己的思维能力和解题能力。
在这篇文章中，我将为大家提供高数习题3的答案，并对其中的一些难点进行解析。
1. 题目：计算极限lim(x->0) (sinx/x)解析：这是一个非常经典的极限题目，也是高数中最基础的极限之一。
我们可以通过泰勒展开公式来解答这个问题。
根据泰勒展开公式，我们可以将sinx展开为x-x^3/3!+x^5/5!-...，然后将其代入lim(x->0) (sinx/x)中，得到lim(x->0) (1-x^2/3!+x^4/5!-...)。
显然，当x趋近于0时，x^n(n为正整数)的幂次越高，其值越接近于0。
因此，我们可以得到lim(x->0) (1-0+0-...)，即极限的值为1。
2. 题目：求函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1的极值点。
解析：要求函数的极值点，我们需要先求出函数的导数，然后令导数等于0，解得的x值即为函数的极值点。
对于给定的函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1，我们可以求出其导数f'(x)=3x^2-6x+2。
将f'(x)=0代入解方程，我们可以得到x=1和x=2两个解。
将这两个解代入原函数f(x)中，我们可以得到f(1)=-1和f(2)=-3。
因此，函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1的极值点为(1,-1)和(2,-3)。
3. 题目：计算定积分∫(0,1) x^2 dx。
解析：计算定积分需要先求出被积函数的不定积分，然后将上下限代入求差即可。
对于给定的被积函数f(x)=x^2，我们可以求出其不定积分F(x)=(1/3)x^3。
将上下限0和1代入不定积分F(x)中，我们可以得到∫(0,1) x^2 dx = F(1) - F(0) = (1/3) - (0/3) = 1/3。
4. 题目：求函数f(x)=e^x的反函数。
新课标高中数学A版必修3-3.3 .2几何概型 优质课件 .ppt
学习目标 1.掌握利用计算机(计算器)产生均匀随机数的方法，并学 会利用随机模拟方法估计未知量. 2.通过例2理解随机模拟的基本思想是用频率估计概率.
2019年7月1日星期一4时30分20秒 云在漫步
【例2】假设您家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30— 7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早 上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为 事件A)的概率是多少?
6.选定I1，键入“=H1＊2/10”，表示根据前10次试验得到阴影 部分面积的估计值，类似地，可以得到根据前20次、50次、 100次、500次和1000次试验得到阴影部分面积的估计值．
2019年7月1日星期一4时30分20秒 云在漫步
2019年7月1日星期一4时30分20秒 云在漫步
2019年7月1日星期一4时30分20秒 云在漫步
3.选定D1，键入“=power(A1，2)+power(B1，2)”，再选 定D1，按“ctrl+C”，选定D2~D1000，按“ctrl+V”，则D 列表示A2+B2．
2019年7月1日星期一4时30分 Nhomakorabea0秒 云在漫步
4.选定F1,键入“=IF(D1>1，1，0)”，再选定F1，按 “ctrl+C”,选定F2~F1000，按“ctrl+V”．则如果D列中 A2+B2>1，F列中的值为1，否则F列中的值为0．
3.选定D1，键入“=B1－power(A1，2)”，再选定D1，按 “ctrl+C”,选定D2~D1000，按“ctrl+V”，则D列表示B－ A2.
2019年7月1日星期一4时30分20秒 云在漫步
高中数学人教A版必修第一册3.3幂函数课件-
4
时，
y
4
x3
是偶函数.综上，实数
m
的值是
4，
故选 A.
C 7.在同一坐标系内，函数 y xa (a 0) 和 y ax 1 的图象可能为( ) a
A.
B.
C.
D.
解析：若 a 0 ，则 y xa 在 (0, ) 上是增函数， y ax 1 在 R 上是增函数且其图象 a
与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上，选项 C 可能，选项 B 不可能；若 a 0 ，则 y xa 在
所以 m 5 ，则 f (x) x5 .
（2）
f
(x)
x5
1 x5
， 要使函数有意义，则 x 0 ，
即定义域为 (,0) (0, ) ，其关于原点对称.
f
(x)
1 (x)5
1 x5
f
(x) ，
该幂函数为奇函数.
当 x 0 时，根据幂函数的性质可知 f (x) x5 在 (0, ) 上为减函数，
1 3
D.2
解析：因为函数 f (x) (m2 5m 7)xm1(m R) 是幂函数，所以 m2 5m 7 1 ，
解得 m 2 或 m 3 .当 m 2 时， f (x) x3 是奇函数，不符合题意，舍去；当 m 3 时，
f (x) x4 是偶函数，符合题意.故由 f (2a 1) f (a) 得， f ( 2a 1) f ( a ) ，又因为
A 5.如图，下列 3 个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是( )
A.①
y
x1
，②
y
1
x2
，③
y
1
x3
C.①
y
1
x3
数学人教A版必修第一册3.3幂函数课件
3 3
3 3
∴( )4 > ( )2
2
4
3
2
1 = 1.
课堂练习
变3.比较下列各题中两个幂的值的大小.
1
−2
1
−2
(1)1.1 与0.9 ；
(2)3
3
−4
1 3
与( )4 .
2
课堂练习
变3.比较下列各题中两个幂的值的大小.
1
−2
1
−2
(1)1.1 与0.9 ；
(2)3
−
3
−4
1
2
1 3
与( )4 .
）.
. > > >
=
=
=
. > > >
. > > >
例题讲授
例 证明幂函数() = 是增函数.
证明：函数的定义域是[0, +∞).
∀1 , 2 ∈ [0, +∞),且1 < 2 ,有
(1 ) − (2 ) = 1 − 2 =
例题讲授
题型二：幂函数的图象及应用
例2.若点(
, )在幂函数()的图象上，点(−, )在幂函数()的图象上，问
当为何值时，(1)() > (); ()() = (); ()() < ().
f ( x), f ( x) g ( x)
变式： 定义 h( x)
(2)函数y＝x，y＝x3，y＝x－1是奇函数，函数y＝x2是 偶函数；
1
2
(3)在区间(0,＋∞)上,函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ x 单调递增 ,函数y＝x－1 单调递减 ；
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1 1 取 x 1，得 e 1 1 2! n!
其误差
3 e . Rn ( n 1)! ( n 2.718281. 2! 9!
3 误差 10 6. 10 !
常用函数的麦克劳林公式
f ( n1) ( ) ( n 1) ! x x0
n1
(在 x0 与 x 之间)
如果在 x0 的某邻域内 f ( n1) ( x ) M , M n1 则 Rn ( x ) x x0 . ( n 1) !
泰勒公式的应用： 用多项式近似表示函数.
在泰勒公式中若取 x0 0 , 则有
( n 1) !
例 求 f ( x ) e 的 n 阶麦克劳林公式.
x
解:
f ( x ) f ( x ) f ( n ) ( x ) e x , f (0) f (0) f (0) f ( n ) (0) 1
代入公式得
e
x
x2 xn e 1 x x n1 2! n! (n 1)! （在0与x之间）
f ( n1) ( ) n1 其中Rn ( x ) ( x x0 ) （ 在x0与x之间） ( n 1)!
称为f ( x )在x x0处的n阶泰勒公式 .
f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) f ( n1) ( ) n n 1
f (0) 2 f ( n ) ( 0) n x x f ( x ) f (0) f (0) x 2! n!
f ( n1) ( ) n1 x ( n 1) !
（在0与x之间）
称为麦克劳林公式. （即f ( x )在x 0处的泰勒公式） 由此得近似公式
( n) (0) 2 f f ( 0) n f ( x ) f (0) f (0) x x x 2! n! f ( n1) ( ) n1 误差 Rn ( x ) x
x3 x5 x 2 n 1 sinx x (1)n R2 n ( x ) 3! 5! ( 2n 1)!
x2 x4 x6 x 2n cos x 1 (1)n R2n1 ( x ) 2! 4! 6! (2n)!
x2 x3 xn ln( x ) x 1 ( 1)n1 Rn ( x ) 2 3 n
微分近似公式
所以泰勒公式是两者的共同推广.
一般的, 可用关于( x x0 )的n次多项式近似 ( x ), 即 f f ( n ) ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) n n!
误差 Rn ( x )
(1 x ) 1 x Rn ( x )
( 1)
2!
x
2
( 1)( n 1)
n!
xn
有关泰勒公式的更多相关知识见第十一章 第四节“函数展开成幂级数”.
要点:
第三节 泰勒公式
泰勒公式: 将函数展开为一个多项式与一个余项的和. f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! (n) f ( x0 ) ( x x0 ) n Rn (x) n! f ( n1) ( ) Rn ( x) ( x x0 ) n1 ( 在 x0 与 x 之间) 其中余项 (n 1) ! 当 x0 0 时为麦克劳林公式. 泰勒公式的应用: 用多项式近似表示函数.
第三章
第三节 泰勒公式
以前介绍的可微函数的局部线性化指的是 任何一个可微函数在小范围内都可用一个 线性函数去近似. 为了提高精确度，可考虑用多项式去近似 表示函数.
泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x ) 在含有 x0 的某个开区间 (a , b ) 内具有直到 ( n 1) 阶的导数,则 当 x 在 (a , b ) 内时, f ( x ) 可以表示为( x x 0 ) 的一个 n 次多项式与一个余项 Rn ( x ) 之和: f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) n!
f ( x ) f (0) f (0) x
f
( n)
( 0) n f ( ) n1 x x n! ( n 1) !
( n 1)
x2 xn 由公式可知 e x 1 x 2! n!
x e e n 1 x n1 误差 Rn ( x ) x ( n 1)! (n 1)!
n! ( x x0 ) ( n 1) ! ( x x0 )
特例: (1)当n = 0时,泰勒公式变为
( 在 x0 与x 之间）
f ( x ) f ( x0 ) f ( )( x x0 )
(2)当n = 1 时, 泰勒公式变为
拉格朗日中值定理
f ( ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2!