7.3分式的加减(1)A
分式的加减(1) 公开课精品课件
异分母分数如何加减？
异分母 分数相加 减，先通 分,变为同 分母的分
数，再加
1 1 ?, 1 1 ?. 减。
x 2x
x 2x
异分母分式相加 减 ，先通分,变为同分 母的分式,再加减.
a c ad bc ad bc. b d bd bd bd
(3) 2ab2 1 1 2a 2b (4) a 2 2ab b2
(a b)2 (b a)2
a2 b2 b2 a2)如何把分母化为相同的？
小结：注意符号问题
1.先化简，再求值：
x2
1
, 其中x 1.5
x1 1 x
)
×
(
a 1 a
分子相加减
分母不变
把1看作a a
计算:
(1) 5x 3y 2x x2 y2 x2 y2
(2) a 3b a - b ab ab
ac bc
(3)
a2 b2 a2 b2
注意:当分子 是多项式时, 把分子看作一 个整体,先用 括号括起来！
结果要化为 最简分式或
分子相加
减。
1 2 ?, 1 2 ?.
aa
aa
同分母分式相加 减 ，分母不变,把分子 相加减.
ab ab cc c
ab ab cc c
下列运算对吗?如不对,请改正.
(1) 5 2 10 ( × ) xx x
7
x
94 5
(2) aa
(
2a
×
)
5 a
(3)1 1 2 aa
2003年的森林面积增长率是： 2002年的森林面积增长率是：
分式的加减法1-PPT精选
n 2m n 2m n 2m
n 2m
小结：谈谈本节课的收获？
（1）分式加减运算的方法思路：
异分母相 加减
通分 转化为
同分母 相加减
分母不变 转化为
分子（整式） 相加减
（2）分子相加减时，如果分子是一个多项 式，要将分子看成一个整体，先用括号括 起来，再运算，可减少出现符号错误。
分式的加减法(1)
黑猫警长接到举报，A地有坏蛋在搞破坏，经分 析有两条路都可从警察局到A地，每一条路都是 3km，其中第一条是平路，第二条有1km的上坡路， 2km 的 下 坡 路 。 黑 猫 警 长 在 上 坡 路 上 的 速 度 是 v km/h，在平路上的车速是2v km/h，在下坡路上的 车速是3v km/h。
【同分母的分式加减法的法则】同分母的分式相加减， 分母不变,分子相加减.
同分母分式加减法法则 与同分母分数加减法的法则类似
(1)注意分数线有括号的作用，分子相 加减时，要注意添括号．
(2)把分子相加减后，如果所得结果不 是最简分式，要约分．
想一想 会分数的加减，就会分式的加减
1、异分母的分数如何加减？ 如: 53210? 2、你认为异分母的分式应该如何加减? 比如a341a?
n 2m n 2m n 2m
n 2m
小结：谈谈本节课的收获？
（1）分式加减运算的方法思路：
异分母相 加减
通分 转化为
同分母 相加减
分母不变 转化为
分子（整式） 相加减
（2）分子相加减时，如果分子是一个多项 式，要将分子看成一个整体，先用括号括 起来，再运算，可减少出现符号错误。
（3）分式加减运算的结果要约分，化为最 简分式（或整式）。
分式的加减法(一)
第四章分式3．分式的加减法（一）苏红伟总体说明本节安排两课时。
第一节课阐述同分母的分式加减法的运算法则及其应用，分母中只有符号不同的分式加减运算主要。
第二节课则阐述异分母的分式加减法的运算法则及分式的通分。
这样安排，给学生一个简单到复杂的推理过程，由于第一节的铺垫，使学生对分式的掌握并不觉得难，且本节对于第四章分式有着至关重要的作用，起到承上启下。
否则，会面临许多学生根据实际生活问题列出分式方程，却得不出正确答案的窘境，有着功亏一篑的遗憾。
一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在小学时已经学习过同分母分数的加减，异分母分数的加减运算法则，并且经历过用字母表示现实情境中数量关系的过程。
由此类比分式的加减，可以猜想分式的加减运算法则。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生经历过一些从实际问题建模的思想。
如小学的应用题以及七年级数学（上）的一元一次方程的应用。
它还与分数、分解因式、一元一次方程等有密切联系，因此可以加强知识之间的纵向联系。
二、教学任务分析分式是表示具体情境中数量的模型，为了体现这一点，教科书通过几个实际问题的提出，从而激发学生的兴趣，使学生产生解决这些问题的欲望。
它也是为后面一节分式方程作好铺垫。
知识与技能：1、同分母的分式的加减法的运算法则及其应用；2、简单的异分母的分式的加减法的运算；3、经历用字母表示数量关系的过程，发展符号感；4、发展有条理的思考及其语言表达能力。
过程与方法：根据学生已有的经验，通过一些问题的提出。
诱发学生积极思考，或通过合作交流，引导学生自己解决问题，从而总结规律，采用的是启发与探究相结合的方法。
情感与态度：1、经历从现实情境中提出问题，提出“用数学”的意识。
2、结合已有的教学经验，解决新问题，获得成就感以及克服困难的方法和勇气。
三、教学重难点重点：同分母分式的加减法则难点：分母中只有符号不同的分式加减运算中的符号处理。
三、教学过程分析本节课设计了7个教学环节：提出问题——同分母加减——简单异分母加减——练习与提高——解决开始提出问题——课时小结第一环节提出问题活动内容问题一：某人用电脑录入汉字文稿的效率相当于手抄的3倍，设他手抄的速度为a 字/时，那么他录入3000字文稿比手抄少用多少时间？问题二：从甲地到乙地有两条路，每条路都是3 km，其中第一条路是平路，第二条路有1km的上坡路，2 km的下坡路。
《分式的加减(1)》课件
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究二：同分母分式的加减法运算，会把异分母分式相加减转化成同分母 的分式相加减
活动3 计算： 1 - 1
x-3 x3
思考: （1）此题与活动①有什么区别？
（2）此题怎么运算？
先确定最简公分母 , 再进行通分，结果要化为最简分式.
解： 原式
x3 -
x-3
3q2 p
3q
2 2
p p
3q 3q
2
2
p p
3q 3q
4p 4 p2 9q2
【思路点拨】最简公分母为（2p+3q）（2p-3q）.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测 探究三：分式加减法的运算
活动2 提升型例题
练习：
x
1
3
1 x 6 2x
6 x2
（2 a - 3）- 2(a 3) (2a 6) (a 3)(a 3)
2a 6 - 2a 6 2a 6 (a 3)(a 3)
2a 6 (a 3)(a 3)
2 a3
因为原式为正整数且a为整数，所以a=-1或a=-2.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测 探究三：分式加减法的运算
公倍数.
②找字母：凡各分母因式中出现的所有字母都要选取.
③找指数：取分母因式中出现的所有字母中指数最大的.
1 2x2 y3
1 , 3x4 y2
1 , 9xy 2
的最简公分母是18x4y3.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究二：同分母分式的加减法运算，会把异分母分式相加减转化成同分母 的分式相加减
分式的加减法第1课时课件北师大版八年级数学下册
x2
把分子看成一个整体，先用括号括起来
先因式分解再加减 结果化为最简分式或整式
四、典型例题
例1 计算：(3) m 2n 4m n mn mn
(3)原式=
m 2n (4m n) mn
=
3m m
3n n
(4)
x2 x 1
x x
1 1
x x
3 1
(4)原式
x
2
(x 1) (x x1
三、概念剖析
归纳总结 分母互为相反数的分式的加减运算
通常需要添加负号后,变成分母相同的分式,再加减.
四、典型例题
例1 计算：(1) a b a b ab ab
(2) x2 4 x2 x2
解：(1)原式
a
b
(a ab
b)
=
2b 2 ab a
注意事项：
(2)原式
x2 4 x2
= (x 2)(x 2) x2
(2)原式=
m 5n 9m n
6n 9m n
m 9m n
(m
5n) 6n 9m n
m
n 9m n
五、课堂总结
分
同分母分式的加减：分子相加减，分母不变
式
的
加
减
分母互为相反数分式的加减: 添负号,使分母相同
再加减.
第五章 分式与分式方程 5.3 分式的加减法 第1课时
一、学习目标
1.能把分母互为相反数的分式转化成同分母分式进行加减运算 2.能应用同分母分式加减运算法则进行分式的加减运算
二、新课导入
小明的妈妈每3天会去店里买60个手工饺子和7袋200g的面粉，如果按平均
来算，小明的妈妈每天购买的手工饺子数与面粉的袋数之差是多少？
分式必考知识点总结(1)(2)
考点卡片1．分式的定义（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是AB的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．（5）分式是一种表达形式，如x+1x+2是分式，如果形式都不是AB的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1=1y仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．2．分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．3．分式的值为零的条件分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．4．分式的值分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．5．约分（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．6．分式的乘除法（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．（5）规律方法总结：①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．7．分式的加减法（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．：说明：①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．8．分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．【规律方法】分式化简求值时需注意的问题1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=…”．2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．9．零指数幂零指数幂：a0=1（a≠0）由a m÷a m=1，a m÷a m=a m﹣m=a0可推出a0=1（a≠0）注意：00≠1．10．解一元一次方程（1）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．（3）在解类似于“ax+bx=c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x=c．使方程逐渐转化为ax=b的最简形式体现化归思想．将ax=b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a 为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．11．分式方程的解求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．12．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．13．分式方程的增根（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．14．分式方程的应用1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．15．一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．。
全国初中数学教材目录大全
人教版初中数学目录：七年级上册第一章有理数1.1 正数和负数1.2 有理数1.3 有理数的加减法1.4 有理数的乘除法1.5 有理数的乘方第二章整式的加减2.1 整式2.2 整式的加减第三章一元一次方程3.1 从算式到方程3.2 解一元一次方程(一)3.3 解一元一次方程(二)3.4 实际问题与一元一次方程第四章图形认识初步4.1 多姿多彩的图形4.2 直线、射线、线段4.3 角4.4 课题学习设计制作长方体形状. 七年级下册第五章相交线与平行线5.1 相交线5.2 平行及其判定5.3 平行线的性质5.4 平移第六章平面直角坐标系6.1 平面直角坐标系6.2 坐标方法的简单应用第七章三角形7.1 与三角形有关的线段7.2 与三角形有关的角7.3 多边形及其内角和7.4 课题学习镶嵌第八章二元一次方程组8.1 二元一次方程组8.2 消元——二元一次方程组的解.8.3 实际问题与二元一次方程组8.4 三元一次方程组的解法举例第九章实际问题与一元一次不等式9.1 不等式9.2 实际问题与一元一次不等式9.3 一元一次不等式组第十章数据的收集、整理与描述10.1 统计调查10.2 直方图10.3 课题学习从数据谈节水八年级上册第11章全等三角形11.1 全等三角形11.2 三角形全等的判定11.3 角的平分线的性质第12章轴对称12.1 轴对称12.2 作轴对称图形12.3 等腰三角形第13章实数13.1 平方根13.2 立六根13.3 实数第14章一次函数14.1 变量与函数14.2 一次函数14.3 用函数观点看方程(组)与不等.14.4 课题学习选择方案第15章整式的乘除与因式分解15.1 整式的乘法15.2 乘法公式15.3 整式的除法15.4 因式分解八年级下册第16章分式16.1 分式16.2 分式的运算16.3 分式方程第17章反比例函数17.1 反比例函数17.2 实际问题与反比例函数第18章勾股定理18.1 勾股定理18.2 勾股定理的逆定理第19章四边形19.1 平行四边形19.2 特殊的平行四边形19.3 梯形19.4 课题学习重心第20章数据的分析20.1 数据的代表20.2 数据的波动20.3 课题学习体质健康测试中的数据分析九年级上册第21章二次根式21.1 二次根式21.2 二次根式的乘除21.3 二次根式的加减第22章一元二次方程22.1 一元二次方程22.2 降次——一元二次方程的解.22.3 再探实际问题与一元二次方程第23章旋转23.1 图形的旋转23.2 中心对称23.3 课题学习图案设计第24章圆24.1 圆24.2 点、直线、圆和圆的位置关系24.3 正多边形和圆24.4 弧长和扇形面积第25章概率初步25.1 随机事件与概率25.2 用列举法求概率25.3 用频率估计概率25.4 课题学习键盘上字母的排列规律九年级下册第26章二次函数26.1 二次函数及其图像26.2 用函数观点看一元二次方程26.3实际问题与二次函数第27章相似27.1 图形的相似27.2 相似三角形27.3 位似第28章锐角三角函数28.1 锐角三角函数28.2 解直角三角形第29章投影与视图29.1 投影29.2 三视图29.3 课题学习制作立体模型北师大版初中数学目录：七年级上册第一章丰富的图形世界1．生活中的立体图形2．展开与折叠3．截一个几何体4．从不同方向看5．生活中的平面图形第二章有理数及其运算1．数怎么不够用了2．数轴3．绝对值4．有理数的加法5．有理数的减法6．有理数的加减混合运算7．水位的变化8．有理数的乘法9．有理数的除法10．有理数的乘方11．有理数的混合运算12．计算器的使用第三章字母表示数1．字母能表示什么2．代数式3．代数式求值4．合并同类项5．去括号6．探索规律第四章平面图形及其位置关系1．线段、射线、直线2．比较线段的长短3．角的度量与表示4．角的比较5．平行6．垂直7．有趣的七巧板8．图案设计第五章一元一次方程1．你今年几岁了2．解方程3．日历中的方程4．我变胖了5．打折销售6．“希望工程”义演7．能追上小明吗8．教育储蓄第六章生活中的数据1．认识100万2．科学记数法3．扇形统计图4．月球上有水吗5．统计图的选择第七章可能性1．一定摸到红球吗2．转盘游戏3．谁转出的四位数大七年级下册第一章整式的运算1．整式2．整式的加减3．同底数幂的乘法4．幂的乘方与积的乘方5．同底数幂的除法6．整式的乘法7．平方差公式8．完全平方公式9．整式的除法第二章平行线与相交线1．台球桌面上的角2．探索直线平行的条件3．平行线的特征4．用尺规作线段和角第三章生活中的数据1．认识百万分之一2．近似数和有效数字3．世界新生儿图第四章概率1．游戏公平吗2．摸到红球的概率3．停留在黑砖上的概率第五章三角形1．认识三角形2．图形的全等3．图案设计4．全等三角形5．探索三角形全等的条件6．作三角形7．利用三角形全等测距离8．探索直角三角形全等的条件第六章变量之间的关系1．小车下滑的时间2．变化中的三角形3．温度的变化4．速度的变化第七章生活中的轴对称1．轴对称现象2．简单的轴对称图形3．探索轴对称的性质4．利用轴对称设计图案5．镜子改变了什么6．镶边与剪纸八年级上册第一章勾股定理1．探索勾股定理2．能得到直角三角形吗3．蚂蚁怎样走最近第二章实数1．数怎么又不够用了2．平方根3．立方根4．公园有多宽5．用计算器开方6．实数第三章图形的平移与旋转1．生活中的平移2．简单的平移作图3．生活中的旋转4．简单的旋转作图5．它们是怎样变过来的6．简单的图案设计第四章四边形性质探索1．平行四边形的性质2．平行四边形的判别3．菱形4．矩形、正方形5．梯形6．探索多边形的内角和与外角和7．平面图形的密铺8．中心对称图形第五章位置的确定1．确定位置2．平面直角坐标系3．变化的鱼第六章一次函数1．函数2．一次函数3．一次函数的图象4．确定一次函数表达式5．一次函数图象的应用第七章二元一次方程组1．谁的包裹多2．解二元一次方程组3．鸡兔同笼4．增收节支5．里程碑上的数6．二元一次方程与一次函数第八章数据的代表1．平均数2．中位数与众数3．利用计算器求平均数八年级上册第一章一元一次不等式和一元一次不等式组1．不等关系2．不等式的基本性质3．不等式的解集4．一元一次不等式5．一元一次不等式与一次函数6．一元一次不等式组第二章分解因式1．分解因式2．提公因式法3．运用公式法第三章分式1．分式2．分式的乘除法3．分式的加减法4．分式方程第四章相似图形1．线段的比2．黄金分割3．形状相同的图形4．相似多边形5．相似三角形6．探索三角形相似的条件7．测量旗杆的高度8．相似多边形的性质9．图形的放大与缩小第五章数据的收集与处理1．每周干家务活的时间2．数据的收集3．频数与频率4．数据的波动第六章证明(一)1．你能肯定吗2．定义与命题3．为什么它们平行4．如果两条直线平行5．三角形内角和定理的证明6．关注三角形的外角九年级上册第一章证明(二)1．你能证明它们吗2．直角三角形3．线段的垂直平分线4．角平分线第二章一元二次方程1．花边有多宽2．配方法3．公式法4．分解因式法5．为什么是0.618第三章证明(三)1．平行四边形2．特殊平行四边形第四章视图与投影1．视图2．太阳光与影子3．灯光与影子第五章反比例函数1．反比例函数2．反比例函数的图象与性质3．反比例函数的应用第六章频率与概率1．频率与概率2．投针实验3．生日相同的概率4．池塘里有多少条鱼九年级下册第一章直角三角形的边角关系1．从梯子的倾斜程度谈起2．30º，45º，60º角的三角函数值3．三角函数的有关计算4．船有触礁的危险吗第二章二次函数1．二次函数所描述的关系2．结识抛物线3．刹车距离与二次函数4．二次函数y=ax2+bx+c 的图象5．用三种方式表示二次函数6．何时获得最大利润7．最大面积是多少8．二次函数与一元二次方程第三章圆1.车轮为什么做成圆形2.圆的对称性3.圆周角和圆心角的关系4.确定圆的条件5.直线和圆的位置关系6.圆和圆的位置关系7.弧长及扇形的面积8.圆锥的侧面积第四章统计与概率1.50年的变化2.哪种方式更合算3.游戏公平吗浙教版初中数学目录：七年级上册第1章从自然数到有理数1.1 从自然数到分数1.2 有理数1.3 数轴1.4 绝对值1.5 有理数大小比较第2章有理数的运算2.1 有理数的加法2.2 有理数的减法2.3 有理数的乘法2.4 有理数的除法2.5 有理数的乘方2.6 有理数的混合运算2.7 准确数和近似数2.8 计算器的使用第3章实数3.1 平方根3.2 实数3.3 立方根3.4 用计算器进行数的开方3.5 实数的运算第4章代数式4.1 用字母表示数4.2 代数式4.3 代数式的值4.4 整式4.5 合并同类项4.6 整式的加减第5章一元一次方程5.1 一元一次方程5.2 解一元一次方程的方法和步骤5.3 一元一次方程的应用5.4 问题解决的基本步骤第6章数据和图表6.1 数据的收集和整理6.2 统计表6.3 条形统计图和折线形统计图6.4 扇形统计图第7章图形的初步知识7.1 几何图形7.2 线段射线和直线7.3 线段的长短比较7.4 角和角的度量7.5 角的大小比较7.6 余角和补角7.7 相交线7.8 平行线七年级下册第1章三角形的初步认识1.1 认识三角形1.2 三角形的角平分线和中线1.3 三角形的高线1.4 全等三角形1.5 三角全等的条件1.6 作三角形第2章图形和变换2.1 轴对称图形2.2 轴对称变换2.3 平移变换2.4 旋转变换2.5 相似变换2.6 图形变换的简单应用第3章事件的可能性3.1 认识事件的可能性3.2 可能性的大小3.3 可能性和概率第4章二元一次方程4.1 二元一次方程4.2 二元一次方程组4.3 解二元一次方程组4.4 二元一次方程组的应用第5章整式的乘除5.1 同底数幂的乘法5.2 单项式的乘法5.3 多项式的乘法5.4 乘法公式5.5 整式的化简5.6 同底数幂的除法5.7 整式的除法第6章因式分解6.1 因式分解6.2 提取公因式6.3 用乘法公式分解因式6.4 因式分解的简单应用第7章分式7.1 分式7.2 分式的乘除7.3 分式的加减7.4 分式方程八年级上册第1章平行线1.1 同位角内错角同旁内角1.2 平行线的判定1.3 平行线的性质1.4 平行线之间的距离第2章特殊三角形2.1 等腰三角形2.2 等腰三角形的性质2.3 等腰三角形的判定2.4 等边三角形2.5 直角三角形2.6 探索勾股定理2.7直角三角形的全等判定第3章直棱柱3.1 认识直棱柱3.2 直棱柱的表面展开图3.3 三视图3.4 由三视图描述几何体第4章样本与数据的分析初步4.1 抽样4.2 平均数4.3中位数和众数4.4 方差和标准差4.5 统计量的选择和应用第5章一元一次不等式5.1 认识一元一次不等式5.2 不等式的基本性质5.3 一元一次不等式5.4 一元一次不等式组第6章图形与坐标6.1 探索确定位置的方法6.2 平面直角坐标系6.3 坐标平面内的图形变换第7章一次函数7.1 常量和变量7.2 认识函数7.3 一次函数7.4 一次函数的图象7.5 一次函数的简单应用八年级下册第1章二次根式1.1 二次根式1.2 二次根式的性质1.3 二次根式的运算第2章一元二次方程2.1 一元二次方程2.2 一元二次方程的解法2.3 一元二次方程的应用第3章频数及其分布3.1 频数与频率3.2 频数分布直方图3.3 频数分布折线图第4章命题与证明4.1 定义与命题4.2 证明4.3 反例与证明4.4 反证法第5章平行四边形5.1 多边形5.2 平行四边形5.3 平行四边形的性质5.4 中心对称5.5 平行四边形的判定5.6 三角形的中位线5.7 逆命题和逆定理第6章特殊平行四边形与梯形6.1 矩形6.2 菱形6.3 正方形6.4 梯形九年级上册第一章反比例函数1.1反比例函数1.2反比例函数的图象和性质1.3反比例函数的应用第二章二次函数2.1 二次函数2.2 二次函数的图象2.3 二次函数的性质2.4 二次函数的应用第三章圆的基本性质3.1 圆3.2 圆的轴对称3.3 圆心角3.4 圆周角3.5 弧长及扇形的面积3.6 圆锥的侧面积和全面积第四章相似三角形4.1 比例线段4.2 相似三角形4.3 两个三角形相似的判定4.4 相似三角形的性质及应用4.5 相似多边形4.6 图形的位似九年级下册第一章解直角三角形1.1 锐角三角函数1.2 有关三角函数的计算1.3 解直角三角形第二章简单事件的概率2.1 简单事件的概率2.2 估计概率2.3 概率的简单应用第三章直线与圆、圆与圆的基本性质3.1 直线与圆的位置关系3.2 三角形的内切圆3.3 圆与圆的位置关系第四章投影与三视图4.1 视角与盲区4.2 投影4.3 简单物体的三视图湘教版初中数学目录：七年级上册第一章有理数1．1具有相反意义的量1．2 数轴，相反数与绝对值1．3有理数大小的比较1．4有理数的加法1．5 有理数的减法1．6有理数的乘法1．7有理数的除法1．8有理数的乘方1．9有理数的混合运算1．10用计算器计算第二章代数式2．1用字母表示数2．2列代数式2．3代数式的值2．4一类代数式的加法第三章图形欣赏人与操作3．1图形欣赏3．2平面图形与空间图形3．3观察物体3．4图形操作3．5视图第四章一元一次方程模型与算法4．1 一元一次方程模型4．2 解一元一次方程的算法4．3 一元一次方程的应用第五章一元一次不等式5．1 不等式的基本性质5．2 一元一次不等式的解法5．3 一元一次不等式的应用第六章数据的收集与描述6．1 数据的收集6．2 统计图6．3 平均数、中位数和众数七年级下册第一章一元一次不等式组1.1 一元一次不等式组1.2 一元一次不等式组的解法1.3 一元一次不等式组的应用第二章二元一次方程组2.1 二元一次方程组2.2 二元一次方程组的解法2.3 二元一次方程组的应用第三章平面上直线的位置关系和度量3.1 线段、直线、射线3.2 角3.3 平面直线的位置关系3.4 图形的平移3.5 平行线的性质与判定3.6 垂线的性质与判定第四章多项式4.1 多项式4.2 多项式的加减4.3 多项式的乘法4.4 乘法公式第五章轴对称图形5.1 轴反射与轴对称图形5.2 线段的垂直平分线5.3 三角形5.4 三角形的内角和5.5 角平分线的性质5.6 等腰三角形5.7 等边三角形第六章数据的分析与比较6.1 加权平均数6.2 极差、方差6.3 两组数据的比较八年级上册第一章实数1．1 平方根1．2 立方根1．3 实数1．4 平面直角坐标系第二章一次函数2．1 函数和它的表示法2．2 一次函数和它的图象3．3 建立一次函数模型第三章全等三角形3．1 旋转3．2 图案设计3．3 全等三角形及其性质3．4 全等三角形的判定定理3．5 直角三角形3．6 勾股定理3．7 作三角形第四章频数与频率4．1 频数与频率4．2 数据的分布八年级下册第一章因式分解1.1 多项式的因式分解1.2 提公因式法1.3 公式法第二章分式2.1 分式和它的基本性质2.2 分式的乘除法2.3 整数指数幂2.4 分式的加减法2.5 分式方程第三章四边形3.1 平行四边形与中心对称图形3.2 菱形3.3 矩形3.4 正方形3.5 梯形3.6 多边形的内角和与外角和第四章二次根式4.1 二次根式和它的化简4.2 二次根式的乘除法4.3 二次根式的加、减法第五章概率的概念5.1 概率的概念5.2 概率的含义九年级上册第一章一元二次方程1.1 建立一元二次方程模型1.2 一元二次方程的算法1.3 一元二次方程的应用第二章定义命题公理与证明2.1 定义2.2 命题2.3 公理与定理2.4 证明第三章相似形3.1 相似的图形3.2 比与比例3.3 相似三角形的性质和判定3.4 相似多边形及性质3.5 图形的放大与缩小、位似变换第四章解直角三角形4.1 正弦和余弦4.2 正切4.3 直角三角形及其应用第五章概率的计算5.1 用频率估计概率5.2 用列举法计算概率九年级下册第一章反比例函数1.1 建立反比例函数模型1.2 反比例函数的图像与性质1.3 实际生活中的反比例函数第二章二次函数2.1 建立二次函数模型2.2 二次函数的图像与性质2.3 二次函数的应用第三章圆3.1 圆3.2 点、直线与圆的位置关系，圆3.3 圆与圆的位置关系3.4 弧长和扇形的面积，圆锥的侧面积3.5 平行投影和中心投影第四章统计估计4.1 总体与样本4.2 用样本估计总体华师大版初中数学目录：七年级上册第一章走进数学世界1.1 与数学交朋友1.2 让我们来做数学第二章有理数2.1 正数和负数2.2 数轴2.3 相反数2.4 绝对值2.5 有理数的大小比较2.6 有理数的加法2.7 有理数的减法2.8 有理数加减混合运算2.9 有理数的乘法2.10 有理数的除法2.11 有理数的乘方2.12 科学记数法2.13 有理数的混合运算2.14 近似数和有效数字2.15 用计算器进行数的简单运算第三章整式的加减3.1 列代数式3.2 代数式的值3.3 整式3.4 整式的加减第四章图形的初步认识4.1 生活中的立体图形4.2 画立体图形4.3 立体图形的展开图4.4 平面图形4.5 最基本的图形——点和线4.6 角4.7 相交线4.8 平行线第五章数据的收集与表示5.1 数据的收集5.2 数据的表示七年级下册第六章一元一次方程6.1 从实际问题到方程6.2 解一元一次方程6.3 实践与探索第七章二元一次方程组7.1 二元一次方程组和它的解7.2 二元一次方程组的解法7.3 实践与探索第八章一元一次不等式8.1 认识不等式8.2 解一元一次不等式8.3 一元一次不等式组第九章多边形9.1 三角形9.2 多边形的内角和与外角和9.3 用正多边形拼地板第十章轴对称10.1 生活中的轴对称10.2 轴对称的认识10.3 等腰三角形第十一章体验不确定现象11.1 可能还是确定11.2 机会的均等与不等11.3 在反复实验中观察不确定现象八年级上册第12章数的开方12.1 平方根与立方根12.2 实数与数轴第13章整式的乘除13.1 幂的运算13.2 整式的乘法13.3 乘法公式13.4 整式的除法13.5 因式分解第14章勾股定理14.1 勾股定理14.2 勾股定理的应用第15章平移与旋转15.1 平移15.2 旋转15.3 中心对称15.4 图形的全等第16章平行四边形的认识16.1 平行四边形的性质16.2 矩形、菱形与正方形的性质16.3 梯形的性质八年级下册第17章分式17.1 分式及其基本性质17.2 分式的运算17.3 可化为一元一次方程的分式方程17.4 零指数幂与负整指数幂第18章函数及其图像18.1 变量与函数18.2 函数的图象18.3 一次函数18.4 反比例函数18.5 实践与探索第19章全等三角形19.1 命题与定理19.2 三角形全等的判定19.3 尺规作图19.4 逆命题与逆定理课题学习图形中的趣题第20章平行四边形的判定20.1 平行四边形的判定20.2 矩形的判定20.3 菱形的判定20.4 正方形的判定20.5 等腰梯形的判定第21章数据的整理与初步处理21.1 算术平均数与加权平均数21.2 平均数、中位数和众数的选用21.3 极差、方差和标准差课题学习心率与年龄九年级上册第22章二次根式22.1 二次根式22.2 二次根式的乘除法22.3 二次根式的加减法第23章一元二次方程23.1 一元二次方程23.2 一元二次方程的解法23.3 实践与探索第24章图形的相似24.1 相似的图形24.2 相似图形的性质24.3 相似三角形24.4 中位线24.5 画相似图形24.6 图形与坐标第25章解直角三角形25.1 测量25.2 锐角三角函数25.3 解直角三角形课题学习高度的测量第26章随机事件的概率26.1 概率的预测26.2 模拟实验课题学习通讯录的设计九年级下册第27章二次函数27.1 二次函数27.2 二次函数的图象与性质27.3 实践与探索第28章圆28.1 圆的认识28.2 与圆有关的位置关系28.3 圆中的计算问题第29章几何的回顾29.1 几何问题的处理方法29.2 反证法阅读材料《几何原本》第30章样本与总体30.1 抽样调查的意义30.2 用样本估计总体30.3 借助调查作决策苏科版初中数学目录：七年级上册第一章我们与数学同行1.1 生活数学1.2 活动思考第二章有理数2.1 比0小的数2.2 数轴2.3 绝对值与相反数2.4 有理数的加法与减法2.5 有理数的乘法与除法2.6 有理数的乘方2.7 有理数的混合运算第三章用字母表示数3.1 字母表示数3.2 代数式3.3 代数式的值3.4 合并同类项3.5 去括号第四章一元一次方程4.1 从问题到方程4.2 解一元一次方程4.3 用方程解决问题第五章走进图形世界5.1 丰富的图形世界5.2 图形的变化5.3 展开与折叠5.4 从三个方向看第六章平面图形的认识(一)6.1 线段射线直线6.2 角6.3 余角补角对顶角6.4 平行6.5 垂直七年级下册第七章平面图形的认识(二)7.1 探索直线平行的条件7.2 探索平行线的性质7.3 图形的平移7.4 认识三角形7.5 三角形的内角和第八章幂的运算8.1 同底数幂的乘法8.2 幂的乘方与积的乘方8.3 同底数幂的除法第九章从面积到乘法公式9.1 单项式乘单项式9.2 单项式乘多项式9.3 多项式乘多项式9.4 乘法公式9.5 单项式乘多项式法则的再认识——因式分解（一）9.6 乘法公式的再认识——因式分解（二）第十章二元一次方程10.1 二元一次方程10.2 二元一次方程组10.3 解二元一次方程组10.4 用方程组解决问题第十一章图形的全等11.1 全等图形11.2 全等三角形11.3 探索三角形全等的条件第十二章数据在我们周围12.1 普查与抽样调查12.2 统计图的选用12.3 频数分布表和频数分布直方图第十三章感受概率13.1 确定与不确定13.2 可能性八年级上册第一章轴对称图形1.1 轴对称与轴对称图形1.2 轴对称的性质1.3 设计轴对称图案1.4 线段、角的轴对称性1.5 等腰三角形的轴对称性1.6 等腰梯形的轴对称性数学活动剪纸第二章勾股定理与平方根2.1 勾股定理2.2 神秘的数组2.3 平方根2.4 立方根2.5 实数2.6 近似数与有效数字2.7 勾股定理的应用数学活动关于勾股定理的研究第三章中心对称图形(一)3．1 图形的旋转3．2 中心对称与中心对称图形3．3 设计中心对称图案3．4 平行四边形3．5 矩形、菱形、正方形3．6 三角形、梯形的中位线数学活动镶嵌小结与思考第四章数量、位置的变化4.1 数量的变化4.2 位置的变化4.3 平面直角坐标系数学活动：确定藏宝地第五章一次函数5．1 函数5．2 一次函数5．3 一次函数的图象5．4 一次函数的应用5．5 二元一次方程组的图象解法数学活动温度计上的一次函数第六章数据的集中程度6.1 平均数6.2 中位数与众数6.3 用计算器求平均数全章复习与测试数学活动你是“普通”学生吗八年级下册第七章一元一次不等式7.1 生活中的不等式7.2 不等式的解集7.3 不等式的性质7.4 解一元一次不等式7.5 用一元一次不等式解决问题7.6 一元一次不等式组7.7 一元一次不等式与一元一次方方程、一次函数第八章分式8.1 分式8.2 分式的基本性质8.3 分式的加减8.4 分式的乘除8.5 分式方程第九章反比例函数9.1 反比例函数9.2 反比例函数的图象与性质9.3 反比例函数的应用第十章图形的相似10.1 图上距离与实际距离10.2 黄金分割10.3 相似图形10.4 探索三角形相似的条件10.5 相似三角形的性质10.6 图形的位似10.7 相似三角形的应用第十一章图形的证明(一)11.1 你的判断对吗11.2 说理11.3 证明11.4 互逆命题第十二章认识概率12.1 等可能性12.2 等可能条件下的概率(一)12.3 等可能条件下的概率(二)课题学习：游戏公平吗？九年级上册第一章图形与证明(二)1．1 等腰三角形的性质与判定1．2 直角三角形全等的判定1．3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定1．4 等腰梯形的性质和判定1．5 中位线第二章数据的离散程度2．1 极差2．2 方差与标准差2．3 用计算器求标准差的方差第三章二次根式3．1 二次根式3．2 二次根式的乘除3．3 二次根式的加减。
7.3(2)OK
1.作业本7.3（ 1.作业本7.3（2） 作业本7.3 2.课后作业题 、 必做) 2.课后作业题 A组(必做) B组(选做) 鼓励大部分同学去做 选做)
。 。 。 。
异分母的分式 异分母的分式相加减法则 分式相加减法则 先通分，把异分母分式 通分， 化为同分母的分式， 化为同分母的分式， 同分母的分式 然后再按同分母分式的 加减法法则进行计算。 加减法法则进行计算。
小明认为, 只要把异分母的分式化成同分母的分式, 小明认为, 只要把异分母的分式化成同分母的分式, 异分母的分式的问题就变 成了同分母分式的加减问题. 小亮同意小明的这种看法, 成了同分母分式的加减问题. 小亮同意小明的这种看法, 但他俩的具体做法不同：
【什么叫分式的通分】 什么叫分式的通分 通分】 根据分式的基本性质 , 把异分母的分式化为同分母的 分式 , 这一过程叫做 分式的通分 . 为了计算方便, 异分母的分式通分时, 为了计算方便, 异分母的分式通分时, 通常 取最简单的公分母 (简称最简公分母), 简称最简公分母), 作为它们的共同分母. 作为它们的共同分母.
本节课你的收获是什么？ 本节课你的收获是什么？
（1）分式加减运算的方法思路： ）分式加减运算的方法思路：
异分母 相加减
通分 转化为
பைடு நூலகம்
同分母 相加减
分母不变 转化为
分子（整式） 分子（整式）
相加减
（2）分子相加减时，如果分子是一个多项 ）分子相加减时， 要将分子看成一个整体，先用括号括起来， 式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来， 再运算，可减少出现符号错误。 再运算，可减少出现符号错误。 （3）分式加减运算的结果要约分，化为最 ）分式加减运算的结果要约分， 简分式（或整式）。 简分式（或整式）。
分式的加减法练习分式的加减运算
分式的加减法练习分式的加减运算分式是数学中的一种运算形式，可以进行加法、减法、乘法和除法等运算。
本文将着重练习分式的加法和减法运算。
一、分式的加法对于分式的加法，我们需要满足分母相同的条件下进行运算。
下面将通过例子来详细说明：例1：计算1/4 + 3/4。
解：由于两个分数的分母相同，可以直接将分子相加，分母保持不变。
1/4 + 3/4 = (1 + 3)/4 = 4/4 = 1例2：计算2/3 + 1/5。
解：这里分母不同，我们需要先找到它们的最小公倍数（LCM），然后对分子进行相应的放大。
最小公倍数(LCM) = 3 * 5 = 15将分母为3的分数2/3转化为分母为15的分数：(2/3) * (5/5) = 10/15将分母为5的分数1/5转化为分母为15的分数：(1/5) * (3/3) = 3/15现在两个分数的分母相同，可以直接将分子相加。
10/15 + 3/15 = 13/15二、分式的减法对于分式的减法，也需要满足分母相同的条件下进行运算。
下面继续通过例子来说明：例3：计算5/8 - 1/8。
解：由于两个分数的分母相同，可以直接将分子相减，分母保持不变。
5/8 - 1/8 = (5 - 1)/8 = 4/8 = 1/2例4：计算2/3 - 1/5。
解：同样，这里分母不同，我们需要先找到它们的最小公倍数（LCM），然后对分子进行相应的放大。
最小公倍数(LCM) = 3 * 5 = 15将分母为3的分数2/3转化为分母为15的分数：(2/3) * (5/5) = 10/15将分母为5的分数1/5转化为分母为15的分数：(1/5) * (3/3) = 3/15现在两个分数的分母相同，可以直接将分子相减。
10/15 - 3/15 = 7/15三、总结通过以上例子，我们可以总结出分式的加法和减法规则：1. 加法规则：分母相同，直接将分子相加，分母保持不变。
2. 减法规则：分母相同，直接将分子相减，分母保持不变。
探究活动的意义及实施
课题学习：
第2章 美妙的镶嵌
——体现阅读理解，探索尝试，动手实践。某种程 度上也属于过程引导型的探究活动，但课题学习的问题 相对大一些。
5
2.6 图形变换的简单应用（P.63）： 本问题首先让学生感受我国具有悠久历史的传统蓝印花工艺，体会悠久
的历史文化，以及其中蕴涵的数学思想——将图形进行适当的轴对称、平移 和旋转等变换，可以设计美丽的图案。然后让学生以合作的方式，动手实践， 设计图案并在班上交流。
教学时，要让学生充分利用图形变换的思想分析图案的形成，体会图形变换 思想的运用。在此基础上进行设计创作。在班上交流，让学生体验成功，并互相 启发，经验共享。交流时让学生自己说一说设计的思考和图案的形成过程。
魔方的体积的表示方法，体会幂的乘方的自然应用，寻找运算法则的实际意义。
大魔方的体积，可以用幂的乘方直接求得：(3 3)3 (32 )3 36
9
5.5 整式的化简（P.133）： 本活动属于阅读思考型的探究活动。先给出末位是5的一
些数的平方，让学生观察其中的规律，然后尝试用得到的规律 计算末位数是5的两位数的平方，再用完全平方公式解释可以 按此规律计算的原因。目的在于让学生进一步体会完全平方公 式的应用。
“探究活动”：
期望通过动手活动、观察、分析、尝试、讨论、 综合等，发现一般性的规律，引导学生学会问题解 决的策略、思想和方法，以培养学生能力为目的， 为学生提供更大的学习和发展的空间，实现不同的 人在数学上得到不同的发展。
7.3 分式的加减(1)
1 a + 2 a
b + c a
3 x
−
1 x
1 x −1
2 x
b c + a a
3 2 − x −1 x −1
3 a
想一想: 想一想:你又是如何从右边找到自己的
好朋友的？谁能说说理由呢？ 好朋友的？谁能说说理由呢？
自主探索 你能定义同分母分式相加减的法则吗？ 你能定义同分母分式相加减的法则吗？
y x （3） − x− y x− y
＝－1 ＝－
计算： a + 3b a − b 例 1 计算： （1 ） + a+b a+b
3x x+ y （ 2） − 2x − y 2x − y
a a − （3） x− y y−x
2xy +1 1 + 2x y （） 4 − 2 2 (x − y) ( y − x)
2 2
2
课本P163
作业题3，4
台风中心距A市 千米 正以b千米 千米， 千米/时 台风中心距 市s千米，正以 千米 时 的速度向A市移动 救援车队从B市出发 市移动. 市出发， 的速度向 市移动 救援车队从 市出发， 倍于台风中心移动的速度向A市前进 以4倍于台风中心移动的速度向 市前进 倍于台风中心移动的速度向 市前进. 已知A、 两地的路程为 千米， 两地的路程为3s千米 已知 、B两地的路程为 千米，问救援 车队能否在台风中心到来前赶到A市. 车队能否在台风中心到来前赶到 市
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 2
练一练
2
计算： 计算：
2
a b 1 − （） a −b a −b 4 x+2 + 3 （） x−2 2− x
分式的加减-【帮课堂】2022-2023学年七年级数学下册同步精品讲义(浙教版)
专题5.4 分式的加减1、掌握分式的加减运算和其实际应用；2、掌握分式化简求值计算；3、零指数幂与负整数幂的运算；【知识点】分式的加减运算加减法法则：① 同分母的分式相加减：分母不变，分子相加减．② 异分母的分式相加减：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．注意：（1）分式加减运算的运算法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．（2）异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母求最简公分母的方法是：①将各个分母分解因式；②找各分母系数的最小公倍数；③找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足②③的因式之积即为各分式的最简公分母．知识点01 分式的加减运算【典型例题】（2022秋·山东临沂·八年级统考期末）1. 化简222x x x -++的结果是（ ）A.2242x x ++ B.42x + C. 284x x - D.3222824x x x x ----（2023春·八年级单元测试）2. 已知122b a -=，则234436a ab b ab a b+--+的值为______．（2022秋·八年级课时练习）的3. 计算：（1）2223ax y axy ；（2）211y yx x -++；（3）a b a b b a+--．【即学即练】（2021春·安徽合肥·七年级统考期末）4. 已知11a a=+则2-a a 的值为（ ）A. 0B.1- C. 1 D. 2（2022·山西·九年级专题练习）5. 化简24242+--a a a 的结果是（ ）A. 12a + B. 22a + C.22a - D. 24a -（2023春·江苏·八年级专题练习）6. 计算： 2a b b a b++=-______．（2021·湖北武汉·统考一模）7. 计算221688164x x x x-+-+-的结果是______．（2023春·江苏·八年级专题练习）8. 计算（1）22311a a a a ---++；（2）21424x x x ---；（3）211x x x ---．知识点02 分式的化简求值【典型例题】（2023春·江苏·八年级专题练习）9. 若113-=a b ，则分式2322a ab b a ab b+---的值为（ ）A.35B. 35- C.53D. 53-（2023·四川广元·统考一模）10. 已知2610m m --=，则22126m m m -+的值为______．（2023·广东深圳·深圳市南山外国语学校校联考二模）11. 先化简，再求值；22691122a a a a a -+⎛⎫÷- ⎪--⎝⎭，其中5a =【即学即练】（2023·广东东莞·模拟预测）12. 若2m n +=，则代数式2n m nm m m ⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭的值为（ ）A. 2B. 2- C.12D. 12-（2023春·北京顺义·九年级校考阶段练习）13. 如果23a a -=，那么代数式211a a a a ⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭的值为（ ）A. 6B. 3C. 1D. 3-（2022·黑龙江绥化·校考模拟预测）14. 当2022a =时代数式21691224a a a a -+⎛⎫-÷⎪--⎝⎭的值是 _____．（2023春·广西南宁·八年级南宁市第二十六中学校考阶段练习）15. 若实数x ，y 满足115x y-=，则分式323x xy yx xy y --+-的值等于______．（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）16. 先将代数式22361113x x x x x x x -+--÷--化简，并从03x ≤≤中选取合适的整数代入求值．知识点03 分式加减的实际应用【典型例题】（2021秋·重庆巫溪·八年级统考期末）17. 从甲地到乙地的距离是s 千米，一辆汽车以a 千米/时的速度从甲地开往乙地，然后立即以b 千米/时的速度从乙地返回甲地，则汽车往返所需的时间是（调头时间忽略不计）（ ）A.2sa b-小时 B.2sa b +小时 C. s s a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭小时D.2sb小时（2023春·江苏南京·八年级南京外国语学校校考期中）18. 甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距50千米，一艘轮船在静水中的速度为a 千米/时，水流的速度为b 千米/时()b a <，轮船往返两个港口一次共需______小时.（2022春·广东佛山·八年级校考阶段练习）19. （1）已知0b a >>，分式ab 的分子分母都加上1，说明所得分式11a b ++的值是增大了还是减少了？（2）甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m 元/千克，第二次的价格为n 元/千克，（m ，n 是正数，且m n ≠）甲每次购买800千克；乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．①甲、乙所购饲料的平均单价是多少元？②谁的购买方式平均单价较低？【即学即练】（2023春·江苏·八年级专题练习）20. 小强上山和下山的路程都是S 千米，上山的速度为1v 千米时，下山的速度为2v 千米时，则小强上山和下山的平均速度为（ ）A. 122s v v +千米/时B. 122s v v +千垙时C. 12ss s v v +千时D. 12122v v v v +千米/时21. 已知分式252639a a P a a -+=+--，1Q a=，当1a >时，P 与Q 的大小关系是（ ）A. P Q> B. P Q = C. P Q< D. 无法确定（2023春·江苏常州·八年级期中）22. 中国首例商用磁悬浮列车平均速度为km /h a ，计划提速20km /h ，已知从A 地到B 地路程为360km ，那么提速后从A 地到B 地节约的时间为________________．（2023春·八年级课时练习）23. 学校倡导全校师生开展“全科阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a 天读完b 页的书，如果要提前m 天读完，那么平均每天比原计划要多读__________页．（2021秋·山东威海·八年级统考期中）24. 【阅读材料】我们可以将一些只含有一个字母，且分子、分母的次数都为一次的分式进行变形，转化为整数与新的分式和的形式，其中新分式的分子不含字母．如：()14341111m m m m m -++==+---；()2132132111m m m m m +--==-++-；……【问题解决】利用上述材料中的方法，解决下列问题：（1）将21m m -+变形为满足以上结果要求的形式：21m m -=+____；（2）将321m m --变形为满足以上结果要求的形式：321m m -=-____；（3）若521m m +-为整数，且m 也为整数，求m 的值．知识点04 零指数幂、负整数指数幂【典型例题】25. 若()2211tt --=，则t 可以取的值有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个（2023春·江苏扬州·七年级高邮市城北中学校考阶段练习）26. 已知()0100a π=-+，()110b -=-，213c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，312d -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则最大值和最小值的和为__．（2023·广东珠海·校考一模）27. 先化简，再求值：2214411x x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，其中 1120232x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【即学即练】（2023春·浙江·七年级期中）28. 如果0(2023)a =-，1110b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，253c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，那么它们的大小关系为（ ）A.a b c>> B. a c b >> C. c b a >> D. c a b>>（2023秋·四川绵阳·八年级统考期末）29. 0(2)-的值是（ ）A. 1B. 0C. 12-D. 2-（2023春·福建泉州·八年级校考阶段练习）30. 计算：2032023-+=________．（2023秋·上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）31. 将233x y --写成只含有正整数指数幂的形式：233x y --=________．（2023·新疆阿克苏·统考一模）32. 计算：)()1202313112-⎛⎫-+--+- ⎪⎝⎭．知识点05 用科学记数法表示绝对值小于1的数【典型例题】（2023·河南南阳·统考一模）33. 今年春节前后的一段时间，甲型流感在全国多地高发，已知甲型流感病毒的直径约110纳米，1纳米910-=米，则110纳米可用科学记数法表示为（ ）A. 911010-⨯米B. 81110-⨯米C. 71.110-⨯米D. 111.110-⨯米（2023春·江苏无锡·七年级校联考期中）34. “碧玉妆成一树高，万条垂下绿丝绦”．每到春天，人们流连于柳绿桃红之间的同时也被漫天飞舞的柳絮所烦扰．据测定，柳絮纤维的直径约为0.0000105m ，该数值用科学记数法表示为_____．（2023春·全国·七年级专题练习）35. 请观察下列各式：110.11010-==，22110.011010010-===，33110.00110100010-===，⋯一般地，10的n -（n 为正整数）次幂等于0.0001=⋯（小数点后面有n 位），所以可以利用这种方法表示一些很小的数，例如：40.000536 5.360.0001 5.3610-=⨯=⨯；80.00000007287.280.000000017.2810--=-⨯=-⨯．像上面这样，把一个绝对值小于1的数表示成10n a -⨯的形式（其中1||10a < ，n 是正整数），使用的也是科学记数法．请阅读上述材料，完成下列各题：（1）下列选项中，正确使用科学记数法表示的数是______A.537.510⨯ B.94.8310--⨯C.80.25810-⨯D.1290.610-⨯（2）已知1米等于910纳米，一微型电子元件的直径约50000纳米，用科学记数法可以表示成______米．题组A 基础过关练（2023年天津市东丽区中考一模数学试题）36. 计算23111b b ba a a +-+++的结果是（ ）A. 0B.61b a + C. ()3361b a -+ D. 1b a -+（2023春·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期中）37. 碳纳米管是一种一维量子材料，与传统金属、高分子材料相比，碳纳米管的电、热力学性能优异，凭借突出性能，碳纳米管逐渐成为场发射电子源中最常用的纳米材料，我国已具备研制直径为0.0000000049米的碳纳米管．数据0.0000000049用科学记数法表示为（ ）A. 90.4910-⨯ B. 94.910-⨯ C. 80.4910-⨯ D. 104.910-⨯（2023·山东济南·统考一模）38. 如果2210a a --=，那么代数式242aa a a ⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭的值是（ ）A. 3-B.1- C. 1 D. 3（2023春·全国·八年级专题练习）39. 已知244A x =-，1122B x x=++-，其中2x ≠±，下列说法正确的是（ ）A. A B= B. A ，B 互为倒数C. A ，B 互为相反数D. 以上均不正确（2023春·全国·八年级专题练习）40. 化简22m n mn n m m m ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭的结果为______．（2023·上海浦东新·统考二模）41. 计算12x x+=_____．（2023春·全国·八年级专题练习）42. 化简分式2422x x x ---的结果为______．（2023春·江苏盐城·七年级景山中学校考阶段练习）43. 如果()21x --有意义，则x 满足的条件是________．（2023·浙江·模拟预测）44. 以下是圆圆计算111x x --的解答过程．解：11111x x x x -=--=--．圆圆的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．（2023春·江苏·八年级期中）45. 先化简，再求值： 221111x x x x ⎛⎫÷+- ⎪-+⎝⎭；从1,012-,,中任选一个代入求值题组B 能力提升练（2023年天津市和平区中考二模数学试题）46. 计算312112a a a a++--的结果是（ ）A. 1B.1- C.2121a a +- D.4121a a +-（2023春·陕西西安·七年级高新一中校考期中）47. 在科幻小说《三体》中，制造太空电梯的材料是由科学家汪淼发明的一种只有头发丝110粗细的超高强度纳米丝“飞刃”．已知正常的头发丝直径为0.0009dm ，则“飞刃”的直径（dm ）用科学记数法表示为（ ）A. 4910-⨯ B. 5910-⨯ C. 40.910-⨯ D. 30.910-⨯（2023·天津西青·统考一模）48. 计算211a a a a ++++的结果是（ ）A.1a a + B.21a a ++ C. 3 D. 2（2023·河北保定·统考模拟预测）49. 分式2411÷--x xx x 的值可能等于（ ）A. 0B. 1C. 2D. 4（2023·四川成都·统考二模）50. 我们常用一个大写字母来表示一个代数式，已知21x A x x -=-，1x B x-=，则化简A B ÷的结果为______．（2023春·江苏南京·八年级南京外国语学校校考期中）51. 若3m n -=，则代数式222m n m nm m-+÷的值是______.（2023·广东佛山·校考模拟预测）52. 分式化简：22424422x x xx x x x ⎛⎫---÷= ⎪-++-⎝⎭___．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考阶段练习）53. 当34a b ab +==，时，代数式b aa b+的值为________．（2023春·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期中）54. 先化简，再求值：()22111m m mm m --÷++，其中3m =．（2023·宁夏银川·校考一模）55. 以下是某同学化简分式2113422x x x x +⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭的部分运算过程：解：原式112(2)(2)23x x x x x ⎡⎤+-=-⋅⎢⎥+-+⎣⎦．．．．．．．．．．第一步122(2)(2)(2)(2)3x x x x x x x ⎡⎤+--=-⋅⎢⎥+-+-⎣⎦．．．．．．．．．．第二步122(2)(2)3x x x x x +---=⋅+-．．．．．．．．．．第三步任务一：填空（1）以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．（2）第______步开始出现错误，错误的原因是______．任务二：（3）直接写出该分式化简后的正确结果．题组C 培优拔尖练（2023·山东济宁·统考一模）56. 分式23111x x x x -⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭化简结果是（ ）A. 12x -+ B.12x + C. 12x -- D.12x -（2023春·江苏·八年级专题练习）57. 分式22121433a a a a a a-+-÷--化简的最终结果是（ ）A. 212a a - B. 21221a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭- C. 21a a - D. 21124a a -（2023春·江苏·八年级专题练习）58. 并联电路中两个电阻的阻值分别为1R 、2R ，电路的总电阻R 和1R 、2R 满足12111R R R =+，已知R 和2R ，则1R 的值为（ ）A. 22R R RR - B. 22RR R R - C. 22RR R R - D. 22R R RR -（2023春·浙江·七年级专题练习）59. 有甲，乙两块边长为a 米()7a >的正方形试验田．负责试验田的杨师傅将试验田的形状进行了调整（如图）：沿甲试验田的一边在试验田内修了1米宽的水池，又在邻边增加了1米宽的田地；沿乙试验田的一组邻边在试验田内均修了1米宽的小路．杨师傅在调整后的试验田上种植了某种小麦，其中甲试验田收获了180千克小麦，乙试验田收获了130千克小麦，对于这两块试验田的单位面积产量，下列说法正确的是（）A. 甲试验田的单位面积产量高B. 乙试验田的单位面积产量高C. 两块试验田的单位面积产量一样D. 无法判断哪块试验田的单位面积产量高（2023秋·四川绵阳·八年级统考期末）60. 若13x x -+=，则()222x x --=______．（2023春·浙江·七年级期中）61. 已知2203,3,3a b c -===，比较a ，b ，c 的大小关系，用“<”号连接为___________．（2023年湖北恩施市中考一模数学试卷）62. 对于正数x ，规定()1f x x x =+，例如：()221223f ==+，()333134f ==+，111212312f ⎛⎫== ⎪⎝⎭+，111313413f ⎛⎫== ⎪⎝⎭+…利用以上的规律计算：()()()()()1111122021202220232023202220212f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭_______．（2022秋·天津和平·八年级校考期末）63. 甲、乙二人两次同时在一家粮店购买大米，两次的价格分别为每千克a 元和b 元()a b ≠．甲每次买100 千克大米，乙每次买100元大米．若甲两次购买大米的平均单价为每千克1Q 元，乙两次购买大米的平均单价为每千克2Q 元，则：1Q =___________，2Q =___________．（用含a 、b 的式子表示）综合考虑，甲、乙二人谁买的更合算___________．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）64. 化简代数式22421211m m m m m m -+⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭，然后从1-，0，1中选取一个合适的m 的值代入求值．（2023春·江苏南京·八年级南京外国语学校校考期中）65. 阅读下列材料，并解答问题：将分式231x x x -++拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母x ＋1，可设23(1)()x x x x a b -+=+++；则2223(1)()(1)x x x x a b x ax x a b x a x a b -+=+++=++++=++++．∵对于任意x 上述等式成立，113a a b +=-⎧⎨+=⎩解得：25a b =-⎧⎨=⎩，∴23(1)(2)552111x x x x x x x x -++-+==-++++．这样，分式231x x x -++就拆分成一个整式x －2与一个分式51x +的和的形式．（1）将分式2631+--x x x 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为______；（2）已知整数x 使分式225203+--x x x 的值为整数，求满足条件的整数x 的值．专题5.4 分式的加减1、掌握分式的加减运算和其实际应用；2、掌握分式的化简求值计算；3、零指数幂与负整数幂的运算；【知识点】分式的加减运算加减法法则：① 同分母的分式相加减：分母不变，分子相加减．② 异分母的分式相加减：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．注意：（1）分式加减运算的运算法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．（2）异分母分式通分依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母求最简公分母的方法是：①将各个分母分解因式；②找各分母系数的最小公倍数；③找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足②③的因式之积即为各分式的最简公分母．知识点01 分式的加减运算【典型例题】（2022秋·山东临沂·八年级统考期末）【1题答案】【答案】B【解析】【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【详解】解：222x x x -++2(2)2x x x =--+的2(2)(2)22x x x x x +-=-++22422x x x x -=-++42x =+，故选：B ．【点睛】本题考查了分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．（2023春·八年级单元测试）【2题答案】【答案】72-【解析】【分析】根据已知条件得出22a b ab -=，代入分式进行计算即可求解．【详解】解：∵122b a -=，∴22a b ab-=即22a b ab -=，∴()()223234437436432462a b ab a ab b ab ab ab a b ab a b ab ab -++-+===--+---，故答案为：72-．【点睛】本题考查了分式的加减以及分式的求值，得出22a b ab -=是解题的关键．（2022秋·八年级课时练习）【3题答案】【答案】（1）23x y （2）1y x + （3）1【解析】【分析】（1）根据分式的基本性质：分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，进行约分即可；（2）根据分式的加减法运算法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，进行计算即可；（3）根据分式的加减法运算法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减，即可得出结果．【小问1详解】解：2222222333ax y ax y axy x axy axy axy y÷==÷；【小问2详解】解：221111y y y y y x x x x --==++++；【小问3详解】解：a b a b b a +--()a b a b b a -=+---a b a b a b=---a b a b-=-1=．【点睛】本题考查了分式的基本性质、分式的加减法，解本题的关键在熟练掌握分式的加减法法则．【即学即练】（2021春·安徽合肥·七年级统考期末）【4题答案】【答案】C 【解析】【分析】对11a a=+进行恒等变换得到2-a a 的值．【详解】∵11a a =+∴0a ≠∴11a a-=211a a-=∴21a a -=，即21a a -=．故答案选：C ．【点睛】本题是对代数式的恒等变换．通过变换得到所求代数式是本题解题的关键．（2022·山西·九年级专题练习）【5题答案】【答案】B【解析】【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可求解．【详解】解：24242+--a a a ()()42222a a a a =-+--()()()()()2242222a a a a a a +=-+-+-()()42422a a a a --=+-()()()2222a a a -=+-22a =+．故选：B ．【点睛】本题主要考查了分式的加减混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．（2023春·江苏·八年级专题练习）【答案】2-a a b【解析】【分析】根据分式的运算求解即可．【详解】解：原式2()()a b a b b a b a b-+=+--222a b b a b-+=-2a a b=-．故答案为：2-a a b．【点睛】此题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的有关运算法则．（2021·湖北武汉·统考一模）【7题答案】【答案】1【解析】【分析】先化简，再进行分式的加减即可．【详解】解：221688164x x x x-+-+-()()()244844x x x x +-=---4844x x x +=---44x x -=-1=．【点睛】本题考查了分式的加减，解题关键是熟练运用分式加减法则进行准确计算．（2023春·江苏·八年级专题练习）【答案】（1）11a a --+； （2）124x +； （3）11x -．【解析】【分析】（1）分式22311a a a a --++、的分母相同，直接相减进行计算；（2）分式21424x x x --、的公分母为()()222x x +-，先通分，在进行计算；（3）直接进行通分，在进行计算．【小问1详解】解：22311a a a a ---++2231a a a --+=+11a a -=-+；【小问2详解】解：21424x x x ---()()()12222x x x x =-+--()()()22222x x x x -+=+-()()22222x x x x --=+-()()2222x x x -=+-()122x =+124x =+；【小问3详解】解：211x x x ---()()2111x x x x x ----=-2211x x x x x -+-+=-11x =-．【点睛】本题主要考查了分式的加减，找公分母，通分是解题的关键．知识点02 分式的化简求值【典型例题】（2023春·江苏·八年级专题练习）【9题答案】【答案】A【解析】【分析】先将113-=a b变形为3a b ab -=-，再代入分式进行计算即可．【详解】解：∵113-=a b ，∴0a ≠，0b ≠，∴3b a ab -=，∴3a b ab -=-，∴2322a ab ba ab b+---()()232a b ab a b ab-+=--6332ab abab ab-+=--35ab ab -=-35=．故选：A ．【点睛】本题考查分式的化简求值，运用了整体代入的思想．掌握分式混合运算的法则是解题的关键．（2023·四川广元·统考一模）【10题答案】【答案】39【解析】【分析】由已知得到16m m -=和22261m m m -=+，再整体代入，利用完全平方公式化简即可求解．【详解】解：将2610m m --=，两边同时除以m ，得：16m m-=，由2610m m --=，可得：22261m m m -=+，所以22126m m m -+2211m m =++2112m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭=+-+2162=++39=．故答案为：39．【点睛】本题考查了分式的加减以及完全平方公式的运用，解题关键是正确将已知变形．（2023·广东深圳·深圳市南山外国语学校校联考二模）【11题答案】【答案】3a a-，25．【解析】【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．【详解】解：22691122a a a a a -+⎛⎫÷- ⎪--⎝⎭()()2321222a a a a a a --⎛⎫=÷- ⎪---⎝⎭()()23223a a a a a --=⋅--3a a-=，当5a =时，原式53255-==．【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解，注意：代入的数值要使分式有意义．【即学即练】（2023·广东东莞·模拟预测）【12题答案】【答案】B 【解析】【分析】先根据分式的混合运算化简，再整体代入即可作答．【详解】2n m n m m m ⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭22·n m m m m m n⎛⎫=- ⎪-⎝⎭22·n m m m m n-=-()()·n m n m m mm n+-=-()n m =-+n m =--，∵2m n +=，∴原式2n m =--=-，故选：B ．【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键．（2023春·北京顺义·九年级校考阶段练习）【13题答案】【答案】B【解析】【分析】原式先将括号内的进行通分，因式分解后进行约分得到2-a a ，代入条件可得结论．【详解】解：∵23a a -=，∴211a a a a ⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭=2211a a a a -+ =()()2111a a a aa +-+ =()1a a -=2-a a=3故选：B 【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的运算法则．（2022·黑龙江绥化·校考模拟预测）【14题答案】【答案】22019【解析】【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将a 的值代入原式即可求出答案．【详解】解：原式2212(2)2(3)a a a a ---=⋅--22(3)(3)a a -=-23a =-，当2022a =时，原式220223=-22019=，故答案为：22019．【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，准确计算．（2023春·广西南宁·八年级南宁市第二十六中学校考阶段练习）【15题答案】【答案】174【解析】【分析】根据分式的性质，分子分母同时除以xy ，进而将115x y-=代入进行计算即可求解．【详解】解：∵115x y-=∴323x xy y x xy y --+-1133322111111x y y x y x x y ⎛⎫----- ⎪⎝⎭==⎛⎫+---+ ⎪⎝⎭35217514-⨯-==-+故答案为：174．【点睛】本题考查了分式的性质，求分式的值，整体代入是解题的关键．（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）【16题答案】【答案】231x x --；1【解析】【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件以及x 的取值范围确定x 的值，代入计算即可．【详解】解：22361113x x x x x x x-+--÷--()()()()3231111x x x x x x x x --+=-⋅-+-231x x -=-，由题意得：103x ≠，，，当2x =时，原式1=．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则，以及根据分式有意义的条件以及x 的取值范围确定x 的值，是解题的关键．知识点03 分式加减的实际应用【典型例题】（2021秋·重庆巫溪·八年级统考期末）【17题答案】【答案】C【解析】【分析】根据时间=路程÷速度，计算出去的时间和返回的时间，再根据往返所需的时间=去的时间+返回的时间，列出式子计算即可．【详解】解：由题意，得往返所需的时间为：s s a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭小时，故选：C ．【点睛】本题考查分式加法的应用，掌握往返所需的时间=去的时间+返回的时间是解题的关键．（2023春·江苏南京·八年级南京外国语学校校考期中）【18题答案】【答案】22100a a b -【解析】【分析】分别求出顺流和逆流时的速度，利用路程、时间、速度之间的关系即可列式求解．【详解】解： 轮船在静水中的速度为a 千米/时，水流的速度为b 千米/时()b a <，∴顺流速度为()a b +千米/时，逆流速度为()a b -千米/时，甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距50千米，∴轮船往返两个港口一次共需时间为：()()()()2250505050100a b a b a a b a b a b a b a b -+++==+-+--，故答案为：22100a a b -．【点睛】本题考查分式加减的应用，解题的关键是计算出轮船顺流和逆流时的速度，根据路程、时间、速度之间的关系列出分式．（2022春·广东佛山·八年级校考阶段练习）【19题答案】【答案】（1）增大了，理由见解析（2）①甲的平均价格是2m n +元；乙的平均价格是2mn m n +元②乙的购买方式平均单价较低，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意列出算式式11aa b b +-+，计算求解判断正负即可；（2）①根据题意列式求解即可；②作差求解判断正负即可．【详解】（1）根据题意得，11a ab b +-+()()()()1=111a b b b b b a b ++-++()=1ab a ab bb b +--+()=1ab a ab bb b +--+()=1a bb b -+∵0b a >>∴<0a b -，()1>0b b +∴()<01a b b b -+∴所得分式11a b ++的值是增大了；（2）①甲的平均价格是80080016002m n m n ++=元，乙的平均价格是16002800800mn m n m n=++元；②作差得()()22222422()2m n m n mn m n mn mn m nm n m n -+++--==+++，因为m n ≠，故()()2>02m n m n -+，所以乙较合算．【点睛】本题考查的是分式的混合运算，解题时首先正确理解题意，然后利用题目的数量关系两次平均价格，接着利用分式的混合运算法则计算即可解决问题．【即学即练】（2023春·江苏·八年级专题练习）【20题答案】【答案】D【解析】【分析】先表示出上山时间与下山时间，然后根据总路程除以总时间，即可求解．【详解】解：依题意，上山所用时间为：1S v ，下山所用时间为：2S v ，∴小强上山和下山的平均速度为()1212121212222v v SS S S v v S v v v v v v ==+++，故选：D ．【点睛】本题考查了列代数式，分式的加减运算，根据题意列出代数式是解题的关键．（2022秋·湖南永州·八年级校考期中）【21题答案】【答案】A【解析】【分析】根据分式的加减法法则化简P Q -，再根据1a >判断P Q -的正负即可得．【详解】解：因为252639a a P a a -+=+--，1Q a =，所以2526139a a a a P a Q --++---=52(3)13(3)(3)a a a a a a -+=+--+-52133a a a a-=+---11a=-1a a-=，因为1a >，所以10a a ->，所以0P Q ->，即P Q >，故选：A ．【点睛】本题考查了分式加减法的应用，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．（2023春·江苏常州·八年级期中）【22题答案】【答案】2720020a a+【解析】【分析】直接根据题意表示出提速前和提速后所用时间，进而得出答案．【详解】解∶由题意可得，27200360360720020(20)20a aa a a a =++-=+故答案为∶2720020a a+．【点睛】此题主要考查了列代数式，分式的减法运算，正确表示出行驶时间是解题关键．（2023春·八年级课时练习）【23题答案】【答案】()mb a a m -【解析】【分析】平均每天比原计划要多读的页数=新工作效率-原工作效率．【详解】解：按原计划每天读b a 页，实际每天读b a m -页，故每天比原计划多读的页数是：()b b mb a m a a a m -=--，故答案为：()mb a a m -．【点睛】此题考查分式加减的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的关系．（2021秋·山东威海·八年级统考期中）【24题答案】【答案】（1）311m -+ （2）131m +- （3）2,0,8,6m =-【解析】【分析】（1）先变形得出21m m -+＝131m m +-+，再求出答案即可；（2）先变形得出321m m -=-3(1)11m m -+-，再求出答案即可；（3）先变形得出525(1)775111m m m m m +-+==+---，根据已知条件得出11m -=±，m －1＝7±，再求出答案即可．【小问1详解】解：21m m -+＝131m m +-+＝1－31m +；故答案为：1－31m +【小问2详解】解：321m m -=-3(1)11311m m m -+=+--；故答案为：131m +-【小问3详解】解：由题意可得525(1)775111m m m m m +-+==+---，∵521m m +-为整数，且m 也为整数，∴11m -=±，17m -=±，∴2,0,8,6m =-．【点睛】本题考查了分式的加减，能灵活运用分式的加减法则进行计算是解此题的关键．知识点04 零指数幂、负整数指数幂【典型例题】（2022春·浙江宁波·七年级校考期末）【25题答案】【答案】B【解析】【分析】根据任何非0数的零指数幂等于1，1的任何次幂等于1，1-的偶次幂等于1分别求解即可．【详解】当220t -=且10t -≠时，无解，不符合题意，舍去；当11t -=时，2t =，符合题意；当11t -=-且22t -是偶数时，0=t ，符合题意；综上所述，t 可以取的值有2个．故选B ．【点睛】本题考查了零指数幂，有理数的乘方，列举出所有乘方等于1的数的情况进行分类讨论是解题的关键．（2023春·江苏扬州·七年级高邮市城北中学校考阶段练习）【26题答案】【答案】7【解析】【分析】根据零指数幂，负整数指数幂、有理数的乘方的运算法则分别计算，再求最大值和最小值的和即可．【详解】解：()01001a π=-+=-，()111010b -=-=-，21139c ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，331282d -⎛⎫=== ⎪⎝⎭．∵1118109-<-<<，∴最大值和最小值的和为()817+-=．故答案为：7．【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂、有理数的乘方和加法运算、有理数的大小比较等，熟练掌握这些知识是解题的关键．（2023·广东珠海·校考一模）【27题答案】【答案】2x x -，3【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出x 的值，代入计算即可求出值．【详解】解：2214411x x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭()()221111x x x x x ---=÷--()()21212x x x x x --=⨯--2x x =-，∵10120232x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴10120231223x - =⎛⎫=+⎪+⎭=⎝，∴原式3132==-．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．【即学即练】（2023春·浙江·七年级期中）【28题答案】【答案】D【解析】【分析】先分别计算0(2023)a =-，1110b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，253c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再比较大小即可．【详解】解：∵0(2023)a =-，1110b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，253c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴1a =，10b =-，259c =，而251019-<<，∴b a c <<，即c a b >>，故选D ．【点睛】本题考查的是乘方运算，零次幂，负整数指数幂的含义，熟记零次幂与负整数指数幂的含义是解本题的关键．（2023秋·四川绵阳·八年级统考期末）【29题答案】【答案】A【解析】【分析】根据非0数的零指数幂等于1即可求解．【详解】解：0(2)-1=故选：A ．【点睛】本题考查了零指数幂，熟练掌握零指数幂的运算法则是解题的关键．（2023春·福建泉州·八年级校考阶段练习）【30题答案】【答案】109##119【解析】【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的计算法则求解即可．【详解】解：2032023-+119=+109=，故答案为：109．【点睛】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键，注意非零底数的零次幂结果为1．（2023秋·上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）【31题答案】【答案】323y x-【解析】【分析】根据负整数指数幂的意义化简即可．【详解】解：3233221333y x y y x x --=-⨯⨯=-．故答案为：323y x-．【点睛】本题考查了负整数指数幂的运算，任何不等于0的数的－p （p 是正整数）次幂，等于这个数的p 次幂的倒数．（2023·新疆阿克苏·统考一模）【32题答案】【答案】1【解析】【分析】根据化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方进行计算即可求解．【详解】解：)()1020*******-⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭3121=+--1=．【点睛】本题考查了化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．知识点05 用科学记数法表示绝对值小于1的数【典型例题】（2023·河南南阳·统考一模）【33题答案】【答案】C【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：110910-⨯=71.110-⨯．则110纳米可用科学记数法表示为71.110-⨯米．故选：C ．。
分式 知识点及典型例题
分式知识点及典型例题一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。
其中 A 叫做分子，B 叫做分母。
需要注意的是，分式的分母不能为 0，因为分母为 0 时，分式没有意义。
例如：＼（＼frac{x}｛y}＼），＼（＼frac{a ＋ b}｛c}＼）都是分式，而\（＼frac{3}｛5}＼）（分母不含有字母）就不是分式。
二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为 0。
即：对于分式\（＼frac{A}｛B}＼），当\（B ≠ 0\）时，分式有意义。
例如：对于分式\（＼frac{x ＋ 1}｛x 2}＼），要使其有意义，则\（x 2 ≠ 0\），即\（x ≠ 2\）。
三、分式的值为 0 的条件分式的值为 0 时，要同时满足两个条件：1、分子为 0，即\（A ＝ 0\）；2、分母不为 0，即\（B ≠ 0\）。
例如：若分式\（＼frac{x 3}｛x ＋ 5}＼）的值为 0，则\（x 3 ＝ 0\）且\（x ＋5 ≠ 0\），解得\（x ＝ 3\）。
四、分式的基本性质分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。
用式子表示为：＼（＼frac{A}｛B} ＝＼frac{A×C}｛B×C}＼），＼（＼frac{A}｛B} ＝＼frac{A÷C}｛B÷C}＼）（＼（C ≠ 0\））例如：＼（＼frac{2}｛3} ＝＼frac{2×2}｛3×2} ＝＼frac{4}｛6}＼），＼（＼frac{6}｛9} ＝＼frac{6÷3}｛9÷3} ＝＼frac{2}｛3}＼）五、约分把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
约分的关键是确定分子与分母的公因式。
例如：对分式\（＼frac{6x}｛9x^2}＼）进行约分，分子分母的公因式为\（3x\），约分后为\（＼frac{2}｛3x}＼）六、通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
分式的加减
2m 5m2n
3n 10mn2
2x 5y2z
3y 4 xz 2
例3：计算
12 x3 3 x
解：原式= 1 2 x3 x3
3 x3
（分母互为相反数）
练习3
x2 y2 xy yx
小结
1.同分母分式相加减法则 2.异分母分式加减法法则
P140
作业：P146 4 5（1）(2)
2 x
5 x
7 x
a
b
ab
mn mn mn
41 3 1 3n 3n 3n n
例1：计算
x2 4x 4 x2 x2
x 2 x 1 x 1 x 1
最后答案约分 化成最简分式 或整式
分子相减减 去一个多项 式要加括号
（同分母的分式相加减，分母不变,分子相加减）
练习1
a2
a b2
a2
b b2
bc bc aa
x2 2xy y2 xy xy yx
异分母分数如何加减呢？
3 1 33 1 9 1 10 5 4 12 43 12 12 12 12 6
若把分母中的4用字母a来代替该如何进行加减呢？
3 a
1 3a
33 1
a 3 3a
91 3a 3a
10 3a
异分母分式加减法，先通分，把异分母的分式化为同分母的分式。 然后按照同分母分式的加减法则来计算
回顾：如何通分？
3
通分 2a2b
与
a ab2c
abc 2 2
1:找最简公分母 2
3 2a2b
3 bc 2a2b bc
3bc 2a2b2c
a a 2a 2a2 ab2c ab2c 2a 2a2b2c
人教版八年级数学上册1
=
1
+2
=
2
+2
+
1
+2
当a=3时，原式=
2
3+2
=
2
5
课堂小结
本节课我们学习了什么？你有什么收获呢？
分式的加减法法则.
1、同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
2、分母互为相反数的分式加减法，应先通过分式的符号法则变成同
分母后，再加减；
3、异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
S1，S2，S3，2012年与2011年相比,森林面积增长率提高了多少?
s3 − s2
s2
答:2012年的森林面积增长率是___________,
s2 − s1
2011年的森林面积增长率是__________,
s1
2012年与2011年相比,森林面积增长率提高了
s3 − s2
s2 − s1
−
_____________________.
C.
−3
+3
D.
+3
−3
3
+1
归纳总结
分母相同，而分子是多项式，分子相加减时
要把分子看作一个整体，先用括号括起来，再进行
加减，能分解因式的要分解因式，最后结果要进行
约分化简；两个分式的分母互为相反数时，可通过
添加负号把两个分式变为同分母的分式，再按照同
分母的分式相加减的法则进行计算．
探究新知
± =
例题解析
例1 计算：
5+3
2 − 2
（1）
−
2
2 − 2