分式的化简求值和分式方程

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分式的化简及分式方程练习题

分式的化简及分式方程训练题先化简，再求值：1、先化简，再求值：12112---x x ，其中x =－2．2、先化简，再求值：(x －1x －x －2x ＋1)÷2x 2－xx 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－x －1＝0．3、先化简，再求值：211(1)(2)11x x x -÷+-+-，其中x =4、先化简，再求值：2211()11a a a a++÷--，其中a =5、先化简，再求值：221211, 2.111x x x x x x x ⎛⎫-+-+÷= ⎪+-+⎝⎭其中6、先化简，再求值：2121(1)1a a a a++-⋅+，其中a7、先化简分式a 2－9a 2＋6a ＋9 ÷a －3a 2＋3a －a －a 2a 2－1 ，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a 值，代入求值．8、先化简代数式⎪⎭⎫ ⎝⎛-++222a a a÷412-a ，然后选取一个合适．．的a 值，代入求值9、先化简，再求值：112112++-⋅-x x x x ，其中x=2.10、先化简，再求值：2x x1x 2x 4x 4x 4x 22--++÷+--，其中x ＝2－2．11、先化简，再求值：2224441x x xx x x x --+÷-+-，其中32x =．12、化简2228224a a a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭13、11212222--÷+++-+x x x x x x x ，其中23-=x 。

14、化简121a a a a a --⎛⎫÷- ⎪⎝⎭，并任选一个你喜欢的数a 代入求值．15、计算 22()a b ab b a a a--÷-16、化简:35(2)482y y y y -÷+---17、先化简再计算：y x yx y x +---222，其中x =3，y =2．18、先化简，再求值：22332422a a a a a a ++÷---+，其中，a解方程：1、解分式方程：13321++=+x x x x 2、解分式方程： 31.12x x x -=-+3、解分式方程：23211x x x +=+- 4、解分式方程：54145=----x x x5、解分式方程：x x x --=--2122216、解分式方程：0)1(213=-+--x x x x7、解分式方程：22111x x =--- 8、解分式方程：22333x x x -+=--。

分式的化简与求值

分式方程和分式的化简与求值【知识要点】1分式和分式方程的定义。

2、分式的求值通常先把已知条件化成我们需要的等量关系，再代入所求得出结果。

3、注意整体代入的思想方法。

1学会x的应用。

4、学会等比设k 法的应用。

5、x(4)(1 )要使分式A. X1——有意义，则x 1B. xx应满足的条件是(2)(3)A.(2009年吉林省)化简x 2化简B.亠x 2时,C. x分式一1—无意义.x 2xy 2y4x-的结果是(4C. D.3x 22x 5x 6 2 x 4x 3(5)b2bD. x 12 2a b24ab 4b例3. (1)已知1 13，求分式2a 3ab 2b的值。

a b a ab ba2 2ab 3b22，求二2a2 6ab 7b2的值。

例8 .已知a 、 c 满足ab1 _b^ 3，b c1 ca 4‘c a1abc，求分式的值。

例5 .已知ab-b c d例4 .已知：X 1xy 2 2 0，试求丄xyIII1 x 2000 y 2000的值。

的值。

例6. 已知4x(x24)AxBx CC，则A4,B,C2 x例7. 若x1x 3，求4 x2x2 x的值。

12、选择题1•将分式中的x 、y 的值同时扩大2倍，则扩大后分式的值（x y结果是( )a 1A 、x6. 使分式有意义的2x 4=2 工 2 C.x= -27. 下列等式成立的是（a b 的值为 _________________A 、扩大2倍；B 、缩小2倍；C 、保持不变;D 、无法确定;3•计算的正确结果是4.若 x 2 0,则2.3 2 2 .的值等于（（X 2 X ）2 1 3B.C. .3D. .3 或35•某人上山和下山走同一条路，且总路程为 =千米，若他上山的速度为千米/时，下山的速度为千米/时，则他上山和下山的平均速度为a b 2ab A. B.2 aC. b ( aba bD.)2s a bA. (-3 )-2=-9 B. ( -3 )-2=丄 C.912\a )2=a 14已知 a 2 6a9与b 1互为相反数,则式子练习a 2的取值范围是（3 19.方程——的解是 __________________2x x 32x m 10、当m时, 关于 x 的分式万程1无解x 311、若关于x 的方程 x 2 m无解，则m 的值是()x 2x 2=-4 B. m=-2C.m=-4 =212、若关于x 的分式方程 —a -1无解，则a 的值为（）x 1 xA. 1或-2D. 无法确定13. 某服装厂准备加工 400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了 20%结果共用了 18天完成任务，问计划每天加工服装多少套在这个问题中，设计划每天加工 x 套，则根据题意可得方程为二、计算22(x 1) 2x1 1 2.已知丄丄b a(1)2x 2x 31 2x 3(2)x1)2 A.型x400 (1 20%)x 18160 400 160(1 20%) x 18400 16020%x18D.400400 160 (1 20%) x18(3)(4)1x 22 x试求的值;2ab b3.已知x , y , z 均不为0，且满足4x 3y 6z 0 , x 2y 7z0，求尊黑罷2x 5y 7 z 之值。

数学中考北师大版分式方程与分式的化简求值教学设计

数学中考北师大版分式方程与分式的化简求值教学设计梁山初中张粉妮分式方程及化简求值一、教材分析：（一）重要性和地位纵观这几年各省的高考数学试题，中考试题16题不是分式方程，确实是化简求值考题，要紧考查学生分析问题、解决问题的能力和处理问题的能力在试卷中一样是16题，分值约5分题.因此，加强这些试题的命题动向研究，对指导中考复习无疑又十分重要的意义，分式方程与化简与求值是最基础的知识，中考对本部分内容的考察要紧以解答题题的形式显现，因此无形中就提升了分式方程与化简与求值的地位。

针对中考，我设计了本节课。

（二）教学目标：知识与能力1．明白得解分式方程的一样解法和分式方程可能产生增根的缘故，把握解分式方程验根的方法以及分式化简求值的解题技巧。

2．在教学过程中，培养学生动手练习、主动观看、主动摸索、自我发觉的学习能力，连续提高学生的运算能力、培养学生运用公式合理归纳、联想、证明、探究问题的能力。

过程与方法1、了解高考方向，把握知识的脉络，让学生在课堂中积极摸索。

重在把握分式方程与化简与求值的差不多技巧2. 会解分式方程，体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型，进展学生分析问题解决问题的能力，培养应用意识，渗透转化思想。

情感态度与价值观强化用数学的意识，增进同学之间的配合，体验在数学活动中运用知识解决问题的成功体验，树立学好数学的自信心。

增强学习数学的爱好，培养学习的主动性，增强克服困难的勇气。

教学重点1．解分式方程的差不多思路和解法2、化简求值的差不多技巧与方法。

教学难点明白得分式方程可能产生增根的缘故，准确、灵活地使用化简求值。

二、学情分析学生基础不是扎实，学习积极性不是专门高，求知欲、表现不是欲强，但具有一定的独立摸索和探究的能力.三、教法在设计本教学时，要紧贯彻以下两个思想：1、树立以学生进展为本的思想。

通过构建以学习者为中心、有利于学生主体精神、创新能力健康进展的宽松的教学环境，提供学生自主探究和动手操作的机会，鼓舞他们创新摸索，亲身参与概念和方法的形成过程。

分式方程的解法

分式方程的解法分式方程是指含有一个或多个分式的方程。

解分式方程时，我们需要将分式方程中的分数部分化简成整数或变量，以便求得方程的解。

下面将介绍一些解分式方程的常用方法。

一、清除分母法清除分母法是解分式方程的常用方法之一。

当分式方程中含有分母时，我们可以通过两边同乘以除了分母以外的数来消去分母，从而将分式方程转化为代数方程。

例如，考虑下面的分式方程：(2/x) + (3/(x+1)) = 5为了清除该分式方程中的分母，我们可以将两边乘以x(x+1)，得到: 2(x+1) + 3x = 5x(x+1)然后将该代数方程化简为二次方程，解得x的值。

最后，我们需要检查所得解是否满足原方程。

二、倒数法倒数法是解分式方程的另一种方法。

当分式方程中含有倒数时，我们可以通过将分式方程中的分母倒置，从而将分式方程转化为代数方程。

考虑下面的分式方程：(2/x) + (3/(x+1)) = 5我们可以将该方程转化为代数方程：1/2 + 1/(x+1) = 1/5然后，通过整理方程，解得x的值。

最后，我们需要检查所得解是否满足原方程。

三、代换法代换法是解分式方程的一种常用技巧。

当分式方程中的分式难以直接求解时，我们可以通过代入适当的变量来简化方程。

考虑下面的分式方程：(2/x) + (3/(x+1)) = (x+2)/(x(x+1))我们可以令y = x(x+1)，将该方程转化为代数方程：2/y + 3/y = (y+2)/y然后，通过整理方程，解得y的值。

最后，我们求得x的值。

需要注意的是，我们需要检查所得解是否满足原方程。

综上所述，清除分母法、倒数法和代换法是解分式方程的三种常用方法。

通过灵活运用这些方法，我们可以有效地求解各种分式方程，并得到准确的解。

在解分式方程时，我们需要注意化简方程、整理方程以及检查解的步骤，以确保解的正确性。

分式方程及分式化简

分式⽅程及分式化简分式⽅程及分式化简【知识精读】1. 解分式⽅程的基本思想：把分式⽅程转化为整式⽅程。

2. 解分式⽅程的⼀般步骤：（1）在⽅程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式⽅程；（2）解这个整式⽅程；（3）验根：把整式⽅程的根代⼊最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原⽅程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式⽅程，⼀般不要求检验。

3. 列分式⽅程解应⽤题和列整式⽅程解应⽤题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原⽅程的根，以及是否符合题意。

下⾯我们来学习可化为⼀元⼀次⽅程的分式⽅程的解法及其应⽤。

【分类解析】例1. 解⽅程：x x x --+=1211 分析：⾸先要确定各分式分母的最简公分母，在⽅程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：⽅程两边都乘以()()x x +-11，得x x x x x x x x x 22221112123232--=+---=--∴==()()()，即，经检验：是原⽅程的根。

例2. 解⽅程x x x x x x x x +++++=+++++12672356分析：直接去分母，可能出现⾼次⽅程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1，⽽分⼦也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原⽅程两边化为分⼦相等的两个分式，利⽤分式的等值性质求值。

解：原⽅程变形为：x x x x x x x x ++-++=++-++67562312⽅程两边通分，得167123672383692()()()()()()()()x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即经检验：原⽅程的根是x =-92。

例3. 解⽅程：121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+-- 分析：⽅程中的每个分式都相当于⼀个假分数，因此，可化为⼀个整数与⼀个简单的分数式之和。

分式方程的基本运算法则

分式方程的基本运算法则分式方程是以分式形式表示的带有未知数的数学等式。

在解分式方程时，需要遵循一些基本的运算法则。

本文将介绍分式方程的基本运算法则，包括分式的加减乘除运算以及方程的解法。

一、分式的加减法对于分式的加减法，首先需要找到分母的公共倍数，然后将各个分子相加或相减，并保持分母不变即可。

例如，对于分式$\frac{a}{b}\pm \frac{c}{d}$，若b和d互质，则可以将其通分得到$\frac{ad \pm bc}{bd}$。

二、分式的乘法分式的乘法是指两个分式相乘的运算法则。

对于分式$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}$，只需将分子相乘得到ac，分母相乘得到bd，即可得到结果$\frac{ac}{bd}$。

三、分式的除法分式的除法是指一个分式除以另一个分式的运算法则。

对于分式$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}$，可以转化为乘法的形式，即$\frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$，然后按照乘法法则进行计算，得到结果$\frac{ad}{bc}$。

四、解分式方程解分式方程的基本方法是将方程两边的分式化简，使得方程转化为整式方程，然后按照解整式方程的方法进行计算。

在解法中需要注意保持等式两边的平衡，确保每一步的操作都是合法的。

结论分式方程的基本运算法则包括加减乘除四则运算以及解法。

掌握这些基本法则，能够帮助我们更好地理解和解决分式方程相关的问题。

在学习和应用过程中，需要不断练习，提高自己的计算能力和逻辑思维能力。

希望本文能够对读者有所帮助，谢谢阅读！。

专题复习分式的化简求值

专题复习：求代数式的值教学目标：（1）掌握求代数式的值的技巧，克服分式化简过程中的易错点，熟练准确地进行分式的化简；（2）熟练掌握一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程、一元一次不等式及不等式组的解法、以及整体代入思想，准确地求出代数式的值。

教学重点：熟练准确地进行分式的化简，会利用条件准确求出代数式的值教学难点：克服分式化简过程中的易错点，准确地化简分式。

一、课题引入（2分钟）教师课件展示：学习目标：（1）掌握求代数式的值的技巧，克服分式化简过程中的易错点，熟练准确地进行分式的化简；（2）熟练掌握一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程、一元一次不等式及不等式组的解法、以及整体代入思想，准确地求出代数式的值。

二、知识梳理：（4-5分钟）（教师请学生观察课件展示的题目，学生总结所涉及的知识和方法，教师板书）教师课件展示整理的知识与方法求代数式的值所涉及到的知识与方法有：（1）化简部分：其中有添括号、去括号的方法，因式分解，整式的运算法则；分式的通分、约分，分式的运算法则等。

（2）求值部分：涉及到解一元一次方程，分式方程，二元一次方程组，一元二次方程的解法，一元一次不等式及不等式组的解法与其整数解，整体代入法等 (0的正根。

2x ，其中x是方程x 44x x 4x x )x 2x 2x 1x （4）（2b a 4b a 足2b)，其中a、b满a 2b a 5b (2ab a 9b 6ab a （3）；3x 2x 1，x满足方程2x x 4)2x 12-2-(2)(x 1的最小整数解;3，其中x是不等式x 12x x 2x x )1x 2-x -x 1-x （1）到哪些知识与方法：下列求代数式的值会用222222222=--++-÷--+-⎩⎨⎧=-=+---÷-+-+=+-÷+->-++-÷+；三、典例分析：（8-10分钟）教师用投影仪展示学生的错误解答（2-3名）。

第三章分式的化简求值问题

第三章：分式一、中考要求：1 •经历用字母表示现实情境中数量关系（分式、分式方程）的过程，了解分式、分式方程的概念，体会分式、分式方程的模型思想，进一步发展符号感.2•经历通过观察、归纳、类比、猜想、获得分式的基本性质、分式乘除运算法则、分式加减运算法则的过程，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力.3•熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中分式不超过两个）会检验分式方程的根.4.能解决一些与分式、分式方程有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识.5 •通过学习，能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值.二、中考卷研究（一）中考对知识点的考查：本章多考查分式的意义、性质，运算也是中考热点之一，另外分式方程及其应用也是热点考题.本章还多考查方程思想和转化思想以及学生收集和处理信息的能力，获取新知识的能力、分析问题和解决问题的能力.三、中考命题趋势及复习对策本章内容是中考命题的重要内容之一，在中考中占有一定的比例，命题的形式有填空、选择、计算、解答题，占4〜12分，主要考查学生对概念的理解和运用基础知识、计算、分析判断的能力.针对中考命题趋势，在复习时应夯实基础知识，锻炼计算能力，还应在方程的应用上多下功夫、加大力度，多观察日常生活中的实际问题.★★★ （I ）考点突破★★★考点1：分式的运算、考点讲解：A1.分式：整式A除以整式B，可以表示成g的形式，如果除式B中含有字母，那么称令错误!为分式. 注：（1 ）若B z 0，则错误！有意义；（2）若B=0，则错误！无意义；（2）若A=0且B z0,则错误!=02 .分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.3 .约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分.4 .通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.5 •分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；（2）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.6 •分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.7 .通分注意事项：（1 ）通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系救的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；（2）易把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉.8 .分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.9 .对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值.二、经典考题剖析：【考题1 - 1】（2004、南宁，2分）当x 时，分式错误！有意义.解：z 1点拨：考查分式有意义的条件 1 - x z 0,即X z 1.解：一1【考题1 —2】（2004、青岛）化简: a 2.a24a 4(a 2)【考题1 - 3】（2004、贵阳，8分）先化简，再求 2值：（3x x x 1，其中 x 2 2。

初三复习分式的化简求值与分式方程

分式的化简求值与分式方程一、分式化简技巧1. 在分式的运算中，有整式时，可以把整式看做分母为1的式子，然后再计算。

2. 要注意运算顺序，先乘方、同级运算从左到右依次进行。

3. 如果分式的分子分母是多项式，可先分解因式，再运算。

4. 注意分式化简题不能去分母.类型一、分式化简1、计算：2、化简:类型二、化简求值3、先化简，再求值：⎪⎪⎭⎫⎝⎛--÷-x y xy x x y x 22，其中1,2-==y x 。

2、4、先化简，再求值：21121222+---÷+++x xx x x x x ，其中x=23-．2228224a a a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭35(2)482y y y y -÷+---5、先化简，再求代数式的值．22+2(+)+111a a a a a ÷-+，其中2012(1)tan 60a =-+︒类型三、化简求值与不等式组6、先化简再求值：，其中x 是不等式组的整数解．类型四、化简求值，整体代入7、已知11)a b a b+=≠，求()()a b b a b a a b ---的值。

8、先化简，再求值：(x －1x －x －2x ＋1)÷2x 2－x x 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－x －1＝0．二、分式方程技巧：解分式方程的步骤：1、去分母，化分式方程为整式方程两边同乘以最简公分母2、解整式方程-------去括号、移项、合并同类项、系数化为13、检验-------带入最简公分母，若为零，则为増根，应舍去。

1、解方程：22333xx x -+=--2、解分式方程：163104245--+=--x x x x3、解方程：．课后练习1、解分式方程：212111xx x -=--2、化简，：，12111xx x -=--2211()22x yx y x x y x +--++3、在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，到A 地的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走了 200 m 到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图 6－5－7)，由此可知，B、C 两地相距多少米。

分式化简与分式方程

1解方程：
32223=-++x x x 2先化简，再求值：a
a a a a a 112112÷+---+，其中21-=a . 3先化简：2211112-÷⎪⎭⎫
⎝⎛+--x x x x ，然后从2，1，–1中选择一个你认为合适的数作为x 的值代入求值. 4已知A=21-x ，B=4
22-x ，C=2+x x .将它们组合成（A －B ）÷C 或A －B ÷C 的形式，请你从中任选一种进行计算.先化简，再求值，其中3=x . 5先化简1
4411122-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x ，然后从－2≤x ≤2的范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值. 6先化简⎪⎭⎫ ⎝
⎛-÷-+-x x x x x x 424
422，然后从55<<-x 的范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值． 7解方程：
01122=-++x x x 8已知M=222y x xy
-，N=222
2y x y x -+，用“＋”或“－”连接M 、N 有三种不同的形式：M ＋N ，M －N ，N －M ，请你任选取其中一种形式进
行化简计算，并求值，其中x ﹕y =2﹕1. 9先化简：2
142
2++--a a a ，化简后请你为a 任选一个适当的数代入求值. 10先化简1
121221222-+--÷+++a a a a a a ，然后对a 选取一个你认为合适的数代入求值. 11先化简，再求值：4
44312122++⨯--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x x x ，其中x =－1. 12先化简，再求值：242122--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛
--
+x x x x ，其中-=5x 4.。

分式知识点题型总结

分式知识点题型总结分式是数学中的一个重要概念，在代数运算和实际问题中都有广泛的应用。

以下是对分式相关知识点和常见题型的总结。

一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。

其中 A 叫做分子，B 叫做分母。

需要注意的是，分母 B 不能为 0，否则分式无意义。

例如：1/x，（x ＋ 2)／（x 1) 都是分式，而 1/2 就不是分式，因为它的分母 2 是常数。

二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为 0。

即对于分式 A/B，当B ≠ 0 时，分式有意义。

例如：对于分式 1/（x 3)，当x 3 ≠ 0，即x ≠ 3 时，分式有意义。

三、分式值为 0 的条件分式值为 0 的条件是分子为 0，且分母不为 0。

即对于分式 A/B，当 A ＝ 0 且B ≠ 0 时，分式的值为 0。

例如：对于分式（x 1)／（x ＋ 2)，当 x 1 ＝ 0 且 x ＋2 ≠ 0，即 x ＝ 1 时，分式的值为 0。

四、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。

即：A/B ＝（A×C)／（B×C) ，A/B ＝（A÷C)／（B÷C)（C 为不为 0 的整式）例如：将分式 2/3 的分子分母同时乘以 2，得到 4/6，分式的值不变。

五、约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。

约分的关键是确定分子和分母的公因式。

例如：对分式（6x²y)／（9xy²)进行约分，分子分母的公因式是 3xy，约分后得到 2x/3y。

六、通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做通分。

通分的关键是确定几个分式的最简公分母。

例如：将分式 1/2x 和 1/3y 通分，最简公分母是 6xy，通分后分别为3y/6xy 和 2x/6xy 。

七、分式的运算1、分式的乘除法分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

分式与分式方程知识点

分式与分式方程知识点一、分式的定义1. 分式（Fraction）：形如 A/B 的代数表达式，其中 A 是分子，B 是分母，B ≠ 0。

2. 有理表达式（Rational Expression）：包含分式的代数表达式。

二、分式的基本性质1. 等值变换：分式可以通过乘以或除以相同的非零表达式进行等值变换。

例如：(2/3) * (4/5) = (2*4)/(3*5) = 8/152. 分式的加减法：只有当分母相同时，才能直接进行加减运算。

例如：(2/5) + (3/5) = (2+3)/5 = 5/5 = 13. 分式的乘除法：分子乘分子，分母乘分母。

例如：(2/3) * (4/5) = (2*4)/(3*5) = 8/154. 分式的化简：通过约分，将分子和分母中的公因数相除，得到最简分式。

例如：(12/16) -> (12÷4)/(16÷4) = 3/4三、分式方程1. 分式方程（Fractional Equation）：含有分式的方程。

2. 解分式方程的基本原则：将分式方程转化为整式方程进行求解。

3. 去分母：通过将方程两边同时乘以所有分母的最简公分母，消除分母。

例如：(2/x) + (3/y) = 5 => 2y + 3x = 5xy (假设 x, y > 0) 4. 检验解：将求得的整式解代入最简公分母中，确保不会得到零。

四、特殊类型的分式方程1. 一元一次分式方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为一的分式方程。

2. 二元一次分式方程：含有两个未知数，且每个未知数的最高次数为一的分式方程。

3. 高次分式方程：含有未知数的最高次数大于一的分式方程。

五、解分式方程的步骤1. 确定最简公分母。

2. 去分母，将分式方程转化为整式方程。

3. 解整式方程，求得未知数的值。

4. 检验解的有效性。

5. 写出最终解。

六、应用题1. 理解题意，找出等量关系。

2. 列出分式方程。

八年级数学上册《分式的化简求值》教案、教学设计

1.对分式性质的灵活运用不够熟练，容易在化简过程中出错。
2.分式运算中，特别是乘除法和加减法的混合运算，学生容易混淆，导致计算错误。
3.在解分式方程时，对等式性质的掌握不够牢固，可能难以找到解题的关键步骤。
针对以上情况，教学中应注重以下几点：
1.注重启发式教学，引导学生发现分式性质和运算法则，提高他们的观察力和思维能力。
八年级数学上册《分式的化简求值》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解分式的概念，掌握分式的基本性质，如约分、通分等，并能够灵活运用这些性质对分式进行化简。
2.掌握分式的乘除法、加减法法则，能够正确进行分式的四则运算，解决实际问题。
3.学会解分式方程，理解分式方程的解的意义，并能将其应用于解决实际问题。
2.教学过程：
-采用任务驱动法，设计一系列具有梯度的问题和练习，引导学生逐步掌握分式化简的方法和技巧。
-结合具体例题，讲解分式乘除法和加减法的运算规则，强调运算顺序和运算法则的重要性。
-通过小组合作和讨论，让学生在解决分式方程的过程中，学会转化问题和找到解题关键步骤。
-设计课堂互动环节，鼓励学生提问和分享解题心得，培养他们的表达能力和团队合作精神。
4.能够运用所学的分式知识，解决数学问题，提高解决问题的能力和逻辑思维能力。
（二）过程与方法
在教学过程中，采用以下方法：
1.通过实际问题的引入，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究分式的化简求值方法。
2.采用讲解、示范、讨论、练习等多种教学手段，帮助学生掌握分式的性质、运算法则和解方程的方法。
3.设计具有梯度、层次的练习题，让学生在解决问题的过程中，逐步提高分析问题、解决问题的能力。
3.分式的乘除法与加减法：介绍分式乘除法和加减法的运算规则，结合具体例题进行讲解。

初中数学(初二)考点：分式的化简求值

1、考点名称:分式的化简求值5年考试次数:327考点内容:(1) 先把分式化简后,再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.(2) 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.(3) 化简的最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要化成最简分式或整式.规律方法：分式化简求值时需注意的问题：1.化简求值,一般是先化简为最简分式或整式,再代入求值.化简时不能跨度太大,而缺少必要的步骤,代入求值的模式一般为“当…时,原式=…”.2.代入求值时,有直接代入法,整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时,所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义,且除数不能为0.2、考点名称:解分式方程5年考试次数:247考点内容:(1)解分式方程的步骤:①去分母;②求出整式方程的解;③检验;④得出结论.(2)解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应如下检验:①将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解.②将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分式方程的解. 所以解分式方程时,一定要检验.3、考点名称:分式方程的应用5年考试次数:151考点内容:1、列分式方程解应用题的一般步骤:设、列、解、验、答.必须严格按照这5步进行做题,规范解题步骤,另外还要注意完整性:如设和答叙述要完整,要写出单位等.2、要掌握常见问题中的基本关系,如行程问题:速度=路程时间;工作量问题:工作效率=工作量工作时间等等.列分式方程解应用题一定要审清题意,找相等关系是着眼点,要学会分析题意,提高理解能力. 4、考点名称:待定系数法求一次函数解析式5年考试次数:76考点内容:待定系数法求一次函数解析式一般步骤是:(1)先设出函数的一般形式,如求一次函数的解析式时,先设y=kx+b;(2)将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式,得到关于待定系数的方程或方程组;(3)解方程或方程组,求出待定系数的值,进而写出函数解析式.注意:求正比例函数,只要一对x,y的值就可以,因为它只有一个待定系数;而求一次函数y=kx+b,则需要两组x,y的值.5、考点名称:三角形内角和定理5年考试次数:106考点内容:(1)三角形内角的概念:三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角,且每个内角均大于0°且小于180°.(2)三角形内角和定理:三角形内角和是180°.(3)三角形内角和定理的证明证明方法,不唯一,但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起,组合成一个平角.在转化中借助平行线.(4)三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角;②依据三角形中角的关系,用代数方法求三个角;③在直角三角形中,已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角6、考点名称:全等三角形的判定5年考试次数:136考点内容:(1)判定定理1:SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等.(2)判定定理2:SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.(3)判定定理3:ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.(4)判定定理4:AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5)判定定理5:HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等.方法指引:全等三角形的5种判定方法中,选用哪一种方法,取决于题目中的已知条件,若已知两边对应相等,则找它们的夹角或第三边;若已知两角对应相等,则必须再找一组对边对应相等,且要是两角的夹边,若已知一边一角,则找另一组角,或找这个角的另一组对应邻边.7、考点名称:等腰三角形的判定5年考试次数:44考点内容:判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.简称:等边对等角说明:①等腰三角形是一个轴对称图形,它的定义既作为性质,又可作为判定办法.②等腰三角形的判定和性质互逆;③在判定定理的证明中,可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线,但不能作未来底边的中线;④判定定理在同一个三角形中才能适用.8、考点名称:勾股定理5年考试次数:760考点内容:(1)勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.(3)勾股定理公式a2+b2=c2的变形有:、及(4)由于a2+b2=c2>a2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.9、考点名称:三角形中位线定理5年考试次数:229考点内容:(1)三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.(2)几何语言: 如图,∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC,DE=BC.10、考点名称:平行四边形的判定5年考试次数:102考点内容:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB∥DC,AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形.(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB=DC,AD=BC∴四边行ABCD是平行四边形.(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB∥DC,AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形.(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵∠ABC=∠ADC,∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形.(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.符号语言:∵OA=OC,OB=OD∴四边行ABCD是平行四边形.。

专题10 分式方程(解析版)

专题10分式方程【考查题型】【知识要点】解分式方程的一般步骤：1）去分母(方程两边同乘最简公分母，约去分母，把分式方程化成整式方程)。

2）解整式方程。

3）验根(把整式方程的解代入最简公分母，情况一：最简公分母为0，则该根不是分式方程的解，这个根叫原分式方程的增根；情况二：若最简公分母不为0，则该根是分式方程的解。

分式的化简求值：1）分式通过化简后，代入适当的值解决问题，注意代入的值要使分式的分母不为0；2）灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分，一般要先分解因式；3）化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分式有意义。

分式方程解决实际问题的步骤：1）根据题意找等量关系2）设未知数3）列出方程4）解方程，并验根（对解分式方程尤为重要）5）写答案考查题型一解分式方程题型1．（2022·辽宁营口·中考真题）分式方程322x x =-的解是（）A ．2x =B ．6x =-C ．6x =D ．2x =-【答案】C【分析】先去分母，去括号，移项，合并同类项得出答案，最后检验即可．题型1-1．（2022·海南·中考真题）分式方程101x -=-的解是（）A ．1x =B ．2x =-C ．3x =D ．3x =-题型1-2．（2022·山东济南·中考真题）代数式2x +与代数式1x -的值相等，则x ＝______．()()3122x x -=+，去括号号3324x x -=+，解得7x =，检验：当7x =时，()()210x x +-≠，∴分式方程的解为7x =．故答案为：7．【名师点拨】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．题型1-3．（2022·四川内江·中考真题）对于非零实数a ，b ，规定a ⊕b ＝11a b-，若（2x ﹣1）⊕2＝1，则x的值为_____．题型1-4．（2022·湖南永州·中考真题）解分式方程01x x -=去分母时，方程两边同乘的最简公分母是______．故答案为：x (x +1)．【名师点拨】题目主要考查解分式方程中确定公分母的方法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键．题型1-5．（2022·湖南常德·中考真题）方程()21522xx x x+=-的解为________．【答案】4x =【提示】根据方程两边同时乘以()22x x -，化为整式方程，进而进行计算即可求解，最后注意检验．【详解】解：方程两边同时乘以()22x x -，()()222252x x ⨯-+=⨯-482510x x -+=-解得4x =经检验，4x =是原方程的解故答案为：4x =【名师点拨】本题考查了解分式方程，解分式方程一定要注意检验．题型1-6．（2022·浙江台州·中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是____．先化简，再求值：314xx -+-，其中x =解：原式3(4)(4)4xx x x -=⋅-+--34x x =-+-1=-题型1-7．（2022·四川泸州·中考真题）若方程33122x x x-+=--的解使关于x 的不等式()230-->a x 成立，则实数a 的取值范围是________．题型1-8．（2022·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，ba b a ⊗=+．若21(1)++⊗=x x x x，则x 的值为___________．【答案】12-##0.5-题型1-9．（2022·青海西宁·中考真题）解方程：220x x x x-=+-．【答案】7x =【提示】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：方程两边同乘()()11x x x +-，得()()41310x x --+=，解得7x =，检验：当7x =时，()()110x x x +-≠，所以，原分式方程的解为7x =．【名师点拨】本题主要考查了解分式方程，掌握求解的方法是解题的关键，注意解分式方程一定要验根．题型1-10．（2022·广西梧州·中考真题）解方程：24133x x -=题型1-11．（2022·青海·中考真题）解分式方程：21244x x x -=．方程两边乘2(2)x -得：2(2)(2)4x x x ---=，解得：x =4，检验：当x =4时，220x ≠（﹣）．所以原方程的解为x =4．【名师点拨】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．考查题型二根据分式方程解的情况求值题型2．（2022·四川德阳·中考真题）关于x 的方程211x ax +=-的解是正数，则a 的取值范围是（）A ．a ＞－1B ．a ＞－1且a ≠0C ．a ＜－1D ．a ＜－1且a ≠－2题型2-1．（2022·内蒙古通辽·中考真题）若关于x 的分式方程：222x x--=--的解为正数，则k 的取值范围为（）A ．2k <B ．2k <且0k ≠C ．1k >-D ．1k >-且0k ≠∴2k ＜，∵分母不能为0，∴2x ≠，∴22k -≠，解得0k ≠，综上所述：2k ＜且0k ≠，故选：B ．【名师点拨】本题考查解分式方程，求不等式的解集，能够熟练地解分式方程式解决本题的关键．题型2-2．（2022·黑龙江·中考真题）已知关于x 的分式方程23111x m x x--=--的解是正数，则m 的取值范围是（）A ．4m >B ．4m <C ．4m >且5m ≠D ．4m <且1m ≠题型2-3．（2022·重庆·中考真题）关于x 的分式方程133x a x x x-++=--的解为正数，且关于y 的不等式组92(2)213y y y a +≤+⎧⎪-⎨>⎪⎩的解集为5y ≥，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．13B ．15C ．18D ．20【答案】A【提示】先通过分式方程求出a 的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a 的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到a 的有限个整数解．题型2-4．（2022·重庆·中考真题）若关于x 的一元一次不等式组1351x x a-⎧-≥⎪⎨⎪-⎩＜的解集为2x ≤-，且关于y 的分式方程1211y ay y -=-++的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．－26B ．－24C ．－15D ．－13题型2-5．（2022·湖北黄石·中考真题）已知关于x 的方程1(1)x ax x x x +=++的解为负数，则a 的取值范围是__________．考查题型三分式方程无解的情况题型3．（2022·四川遂宁·中考真题）若关于x 的方程221mx x =+无解，则m 的值为（）A ．0B ．4或6C ．6D ．0或4【答案】D【提示】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当40m -=时，当40m -≠时，0x =或210x +=，进行计算即可．【详解】方程两边同乘(21)x x +，得2(21)x mx +=，整理得(4)2m x -=，题型3-1．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）若关于x 的分式方程233x x++=--无解，则a 的值为（）A ．3B ．0C ．1-D ．0或3题型3-2．（2021·四川宜宾·中考真题）若关于x 的分式方程322x x -=--有增根，则m 的值是（）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2【答案】C【提示】先把分式方程化为整式方程，再把增根x =2代入整式方程，即可求解．题型3-3．（2021·西藏·中考真题）若关于x的分式方程1x-﹣1＝1x-无解，则m＝___．考查题型四列分式方程题型4．（2022·辽宁阜新·中考真题）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x万人，根据题意，所列方程正确的是（）A．3030201.2x x-=B．3030 1.220x x-=-C．3030201.2x x-=D．3030 1.220x x-=-【答案】A1.2题型4-1．（2022·山东淄博·中考真题）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是（）A．2000020000(115%)10x x⨯-=-B．2000020000(115%)10x x⨯-=-C．2000020000(115%)10x x⨯-=D．2000020000(115%)10x x⨯-=题型4-2．（2022·辽宁朝阳·中考真题）八年一班学生周末乘车去红色教育基地参观学习，基地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，出发30min后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车每小时行驶x km，根据题意，所列方程正确的是（）A．60x﹣601.5x＝3060B．601.5x﹣60x＝3060C．60x﹣601.5x＝30D．601.5x﹣60x＝30【答案】A，根据基地距学校题型4-3．（2022·贵州黔西·中考真题）某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作．每天平均耕作旱地的亩数比耕作水田的亩数多4亩．该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水田的亩数．设平均每天耕作水田x 亩，则可以得到的方程为（）A ．363024x x=⨯B ．363024x x=⨯C ．363024x x =⨯D ．363024x x =⨯题型4-4．（2022·山东潍坊·中考真题）观察我国原油进口月度走势图，2022年4月原油进口量比2021年4月增加267万吨，当月增速为6.6%（计算方法：267100% 6.6%4036⨯≈）．2022年3月当月增速为14.0%-，设2021年3月原油进口量为x 万吨，下列算法正确的是（）A ．4271100%14.0%4271x -⨯=-B ．4271100%14.0%4271x-⨯=-C ．4271100%14.0%x x-⨯=-D ．4271100%14.0%xx-⨯=-题型4-5．（2022·湖北恩施·中考真题）一艘轮船在静水中的速度为30km/h ，它沿江顺流航行144km 与逆流航行96km 所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为v km/h ，则符合题意的方程是（）A ．144963030v v =+-B ．1449630v v=-C ．144963030v v=D ．1449630v v=题型4-6．（2022·广西·中考真题）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x 米，根据题意可列方程（）A ．1.482.413x x -=-B ．1.482.413x x +=+C ．1.4282.4213x x -=-D ．1.4282.4213x x +=+【答案】D(2.4+2题型4-7．（2022·湖北荆州·中考真题）“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3:4，结果甲比乙提前20min．．．到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3x km/h．．．．，则依题意可列方程为（）A．6110334x x+=B．6102034x x+=C．6101343x x-=D．6102034x x-=题型4-8．（2022·四川广元·中考真题）某药店在今年3月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同，其中一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元，那么一次性医用外科口罩的单价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为x元，则列方程正确的是（）A．960010x-＝1600xB．960010x+＝1600xC．9600x＝160010x-D．9600x＝1600x+10【答案】B【提示】设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是x元，则购进N95口罩的单价是（x+10）元，利用数量=总价÷单价，结合购进两种口罩的只数相同，即可得出关于x的分式方程．【详解】解：设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是x元，则购进N95口罩的单价是（x+10）元，题型4-9．（2022·山东临沂·中考真题）将5kg 浓度为98%的酒精，稀释为75%的酒精．设需要加水kg x ，根据题意可列方程为（）A ．0.9850.75x ⨯=B ．0.9850.755x ⨯=+C ．0.7550.98x ⨯=D ．0.7550.985x⨯=-题型4-10（2022·浙江丽水·中考真题）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程50004000302x x=-，则方程中x 表示（）A ．足球的单价B ．篮球的单价C ．足球的数量D ．篮球的数量题型4-11（2022·湖北襄阳·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x 天，则可列方程为（）A．900900213x x=⨯+-B．900900213x x⨯=+-C．900900213x x=⨯-+D．900900213x x⨯=-+题型4-12．（2022·山东青岛·中考真题）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程．设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为__________．考查题型五分式方程的实际应用题型5．（2022·重庆·中考真题）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5:6:7，需香樟数量之比为4:3:9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2:3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_________．题型5-1．（2022·西藏·中考真题）某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中，给学生发放笔记本2元，用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同．(1)笔记本和钢笔的单价各多少元？(2)若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品，要使购买纪念品的总费用不超过540元，最多可以购买多少本笔记本？解得：x＝10，经检验：x＝10是原方程的解，故笔记本的单价为：10+2＝12（元），答：笔记本每本12元，钢笔每支10元．（2）设购买y本笔记本，则购买钢笔（50﹣y）支，依题意得：12y+10（50﹣y）≤540，解得：y≤20，故最多购买笔记本20本．【名师点拨】本题考查了用分式方程和一元一次不等式解决问题，找到题目中的等量关系并列出关于未知数的方程或不等式，仔细计算是本题的解题关键．题型5-2．（2022·宁夏·中考真题）某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多30元．已知330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．(1)篮球和排球的单价各是多少元？(2)现要购买篮球和排球共20个，总费用不超过1800元．篮球最多购买多少个？题型5-3．（2022·山东东营·中考真题）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？由题意得：()()()6485150450y a a a =-+--=-+，∵－1＜0，∴y 随a 的增大而减小，∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，∴()2150a a -≥，解得：100a ≥，∴当100a =时，y 取最大值，此时100450350y =-+=，15050a -=，答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．【名师点拨】本题考查了分式方程的应用，一次函数与一元一次不等式的应用，正确理解题意，找出合适的等量关系列出方程和解析式是解题的关键．题型5-4．（2022·贵州安顺·中考真题）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，A 块种植杂交水稻，B 块种植普通水稻，A 块试验田比B 块试验田少4亩．(1)A 块试验田收获水稻9600千克、B 块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？(2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的B 块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700题型5-5．（2022·贵州铜仁·中考真题）科学规范戴口罩是阻断新冠病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了40%．结果刚好提前2天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多少万个口罩？题型5-6．（2022·湖南益阳·中考真题）在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%．(1)甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？(2)某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？题型5-7．（2022·吉林长春·中考真题）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？【名师点拨】本题考查了分式方程的应用，明确题意列出分式方程是解答本题的关键．题型5-8．（2022·山东聊城·中考真题）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．(1)求实际施工时，每天改造管网的长度；(2)施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？题型5-9．（2022·重庆·中考真题）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．题型5-10．（2022·山西·中考真题）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．【答案】这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元．元，则燃油车平均每公里的充电费为题型5-11．（2022·四川自贡·中考真题）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．。

分式的化简和分式方程

分式的化简和分式方程① ■教学内容知识点1.分式1. 两个整数不能整除时，出现了分数；类似地,当两个整式不能整除时，就出现了分式.整式A 除以整式B,可以表示成△的形式.如果除式B 中含有字母,那么称-BB为分式,对于任意一个分式，分母都不能为零.整式2. 整式和分式统称为有理式，即有：有理式丿八亠分式-3. 进行分数的化简与运算时，常要进行约分和通分，其主要依据是分数的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.A A M A A" M ,（M =0）B B MBB- M4. 一个分式的分子分母有公因式时，可以运用分式的基本性质，把这个分式的分子分母同时除以它的们的公因式，也就是把分子、分母的公因式约去，这叫做约分. 知识点2.分式的乘除1. 分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘A C AC A _ A D _ A D BDBD ，BDB CB C3.分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式一..知识点3.分式的加减法1.分式与分数类似，也可以通分.根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分..一. 2. 分式的加减法：分式的加减法与分数的加减法一样，分为同分母的分式相加减与异分母的2.分式乘方，把分子、分母分别乘方（n 为正整数）逆向运用 A2 B 7即：A nB nA nB ，当 n 为整数时，仍然有成立.B n分式相加减.A B A + B（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则用式子表示是:-C C C最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幕的积，如果分母是多项式，则首先对多项式进行因式分解知识点4.分式方程1.解分式方程的一般步骤： ①在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；②解这个整式方程； ③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公母为零的根是原方程的增根必须舍去.2. 列分式方程解应用题的一般步骤：① 审清题意；②设未知数；③根据题意找相等关系，列出（分式）方程；④解方程，并验根；⑤写出答案.② .教学辅助练习（或探究训练）知识点1.分式（2）异号分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减;上述法则用式子表示是 A C AD BC AD _ BC:B D BD BD BD3.概念内涵：通分的关键是确定最简分母，其方法如下：最简公分母的系数，取各分母系数的例1、在下列代数式中：①害；②普：③总；④学：硯/：苴中是分式的是C 埴序号）练习1、1、下列代数式中:__ 1x 1 、a -b x 2 —y 2x y，x —y ，，，"二 2. a b x y x_y是分式的有:知识点2.分式的运算例2、答案：点评:木题是一道分式的化简计算，运算顺序，光算括号，再算集除，最后算加减一=x _1 (x +2)(x _2)2x-2 (x -1) x 2x-1'5分x 2「5 2 1当x - -5时，原式= -------- = --------- =—............................................... 8分X-1 -5-1 23 — a 5 ..1、先化简再求值： (a • 2 ),其中a = -12a —4 a —22、先化简，再求值： a —12a —1-：(a - )，并任选一个你喜欢的数 a 代入求值.a a X 2— 2X + 1,其中x =— 5.【答案】21 、 x -2x1 解：(1 )亠X 2 -4 2x - 2 1 . (X -1)2 x - 2 (x 2)(x -2)1 + ———+ —(2M2山茶省聊城，⑸3分)计皐I 八-4丿a(fi + IMd -2)例3、先化简，再求值:3先化简（器+务卜;^,然后选取一个使原式有意义的（兀一2一一）壬上二丄,其中x = ^2-3. x+ 2 2x+4知识点3.分式方程例4:解方程：检验：把x=5代入x-5，得x-5工0所以，x=5是原方程的解.x -2 _ 16 x 2—2 —x 2 x -4 x -2 x的值代入求值.4、(1) 1x-5 1 4 -x x -4解:1 口x —41x —4方程两边同乘以''I ,• •.I 一:解：方程两边同乘以，得」；'■ •- 1 J. ' -■ • ■.■ 1 , 二！」.检验：把x=2代入x 2—4,得x2—4=0。