竞赛振动和波动

合集下载

高二物理竞赛课件：振动和波动

dt
23
t 0 ， v 3 (m / s) ， a 2 / 2(m / s 2 )
2）振动曲线：
x
A
o
t
-A
T
振幅：旋转矢量的模A
圆频率：旋转矢量的角速度位相：旋转矢量与Ox轴的夹角t+
y
M
A
t
M0
P
O
x
x
4．简谐振动的速度和加速度
x Acos(t )
v dx A sin(t ) A cos(t )
dt
2
a dv A 2 cos(t ) A 2 cos(t )
dt
➢ 速度和加速度作与位移同频率的简谐振动
➢ vm A ， am A 2
➢ 速度位相比位移位相超前/2；加速度位相比位移位相超前。
2A ωAA
a v
x
OO
t
A
T
例 9-1 已知某质点的振动曲线如图所示，求：（1）质点的振动表达式；（2） t 0 时质点的速度和加速度。
x(cm)
4
时间按余弦（或正弦）规律随时间变化：
x Acos(t )
则物体的运动为简谐振动。
2．描述简谐振动的物理量
x Acos(t )
2.1 周期和频率
T 2 , 1
T 2
2.2 振幅 A
2.3 位相与初相
t 时刻的位相: t+ 初相:
3．简谐振动的表示
1）振动表达式：x A cos(t )
§9-1 简谐振动的描述 §9-2 简谐振动的动力学特征 §9-3 简谐振动的合成 *§9-4 阻尼振动受迫振动共振
1．简谐振动的定义
1.1 机械振动物体在一定位置附近作来回往复的运动。

高中物理奥林匹克竞赛专题振动和波(共113张PPT)

——简谐振动的运动学方程
也可用复数表示：x(t)Aeit Aeit
计算结果一般取实部
x，q
x,q
t
t
6
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/62021/9/6Monday, September 06, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/62021/9/62021/9/69/6/2021 6:53:21 AM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/62021/9/62021/9/6Sep-216-Sep-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/62021/9/62021/9/6Monday, September 06, 2021
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
8
2. 简谐振动的速度、加速度
由xA cots(), 得
x d d x t A s itn ) ( A c( o t s 2 ) a x d d tx 2 A c o t s) ( 2 A c o t s ()
（B）1：2 ；
（C） 3：1 ；正确答案：（C）
（D） 2：1。
简谐振动的总能量为：E
Ek
Ep
1k 2
A2
当物体的位移为振幅的一半时
其势能为：
Ep
1kx2 1kA2
2
2 2

全国高中物理竞赛专题六机械振动与机械波

专题六机械振动和机械波【基本内容】一、机械振动1、物体在它的平衡位置附近所作的往复运动．如声源的振动、钟摆的摆动等．2、产生振动的条件：有恢复力的作用且所受阻力足够小．3、回复力：物体离开平衡位置时所受到的指向平衡位置的力．二、简谐振动1、简谐振动：如果一个物体振动的位移按余弦（或正弦）函数的规律时间变化,称这种运动为简谐振动．2、周期与频率：物体进行一次全振动（振动物体运动状态完全重复一次）所需要的时间,称为振动的周期T ；单位时间的全振动次数称为频率ν,2π秒内的全振动次数称为圆频率ω．3、振幅A ：质点离开平衡位置的最大位移的绝对值,称为振幅．4、相位：振动方程中的t ωϕ+称为相位．5、简谐振动的振动曲线：振动位移时间的变化关系曲线称为振动曲线．如图所示．6、旋转矢量表示法如图所示,当矢量OM 绕其始点（坐标原点）以角速度ω做匀速转动时,其末端在x 轴上的投影点P 的运动简谐振动．三、简谐振动的能量与共振1、以弹簧振子为例,简谐振动的能量为 222212121kA kx mv E E E P K =+=+=2、阻尼振动：在阻尼作用下振幅逐渐减少的振动称为阻尼振动,其振动方程为0cos()t x A e t βωϕ-=+式中, β为阻尼因子,ω为振动的圆频率,它与固有圆频率0ω和阻尼因子β关系为ω=3、受迫振动：在周期性外力作用下的振动,称为受迫振动,在稳定情况下,受迫振动是简谐振动,振动频率等于外力的频率,与振动系统的固有频率无关,其振幅为22'22'220(2)()h A βωωω=+- 当强迫力的频率等于系统固有频率时,系统将有最大的振动振幅,这种现象称为共振．强迫力的频率偏离系统的固有频率越大,振幅则越小．四、两个简谐振动的合成有如下四种形式的合成：1、同方向、同频率的简谐振动合成,合成的结果仍然是与分振动同方向、同频率的简谐振动,合振动的振幅和相分别为A =11221122sin sin tan cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=+2、同方向、频率相近的简谐振动的合成,合成的结果不再是简谐振动,合振动的振幅随时间缓慢地周期性变化,称为“拍”的频率．拍的频率12ννν=-3、相互垂直的同频率简谐振动的合成,合成运动的轨迹方程是22221212212122cos()sin ()x y xy A A A A ϕϕϕϕ+--=- 4、相互垂直、频率之比为整数比的两简谐振动合成,这时是有一定规律的稳定闭合曲线,形成李萨如图形．五、机械波1、机械振动在弹性媒质中的传播,称为机械波．当质点振动方向和波的传播方向垂直时,称为横波；当振动方向与波的传播方向一致时,称为纵波．2、波的周期（频率）、波长和波速一个完整波通过媒质中某点所需的时间,称为波的周期,在波源和观察（接收）者相对媒质静止时,波的周期就是各媒质元的振动周期,用符号T 表示．单位时间内通过媒质中某点的完整波的数目,称为波的频率,波的频率就是各媒质元的振动频率,用符号ν表示,周期和频率反映了波在时间上的周期性,有关系式 1T ν=．沿波的传播方向上相位差为2π的两点间的距离,一个完整波形的长度,称为波的波长,用符号λ表示,波长反映了波在空间的周期性．单位时间内某振动状态传播的距离,称为波速,又称相速,用符号u 表示,上述各量之间有如下关系u Tλλν==．3、波面和波线波动过程中,介质中振动相位相同的点连成的面称为波阵面,简称波面,而某一时刻,最前面的波面,称为该时刻的波前．沿波的传播方向所作的有向曲线称为波射线,简称波线．六、平面简谐波若波源和波线上各质点都作简谐振动的连续波称为简谐波,简谐波是最基本的波,各种复杂的波都可以看成许多不同频率的简谐波的合成．在波动中,每一个质点都在进行振动,对一个波的完整的描述,应该是给出波动中任一质点的振动方程,这种方程称为波函数,平面简谐在理想的无吸收的均匀无限大介质中传播的波函数表达式为2cos ()cos 2()cos ()x t x y A t A A x ut uT πωϕπϕϕλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦式中,“-”代表沿轴正方向传播的波,“+”代表沿轴反方向传播的波．七、波的能量、能流和能流密度波的能量包括媒质中质元的振动动能和因媒质形变产生的弹性势能,可以采用能量密度表示,即媒质单位体积内的波动能量,称为波的能量密度,用ω表示,有222sin dE x A t dV u ωρωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭考虑一个周期内能量的平均值,称为平均能量,用ω表示,则有220112T dt A T ωωρω==⎰伴随波的传播,波的能量也在传播,将单位时间通过传播方向上单位面积的(平均)能量,称为平均能流密度,又称波的强度．用符号I 表示,有 I u ω= 八、波的干涉和衍射1、惠更斯原理在波的传播过程中,波阵面上的一点都可以看做是发射子波的波源,在其后的任一时刻,这些子波的包迹就成为新的波阵面,这就是惠更斯原理．2、波的叠加原理几列波在同一介质空间相遇时,每一列波都将独立地保持自已原有的特性,并不会因其他波的存在而改变,在它们重叠区域内,一点的振动是各列单独在该点引起振动的矢量和,波的这种性质称为波的叠加原理．3、波的干涉满足相干条件的波在空间相遇叠加时,某些点的振动始终加强,另一些点的振动始终减弱,在空间形成一个稳定的分布,这种现象称为波的干涉,两束相干波的合振幅为A =其中21212()r r πϕϕϕλ∆=---4、波的衍射波在传播中遇到障碍物时改变传播方向,传到障碍“阴影”区域的现象叫做波的衍射．发生明显衍射现象的条件是：障碍物或孔的尺寸比波长小,或者跟波长相差不多．九、驻波由两列同振幅,相向传播的相干波叠加而成的波,称为驻波,相应的驻波方程为 22cos cos 2y A x ππνλ=十、声波弹性媒质中,各质点振动的传播过程称为“声波”,它是一种机械波．起源于发声体的、振动频率在2020000Hz 的声波能引起人的听觉,又称可听声波,频率在41020Hz - 的机械波称为次声波,频率在48210210Hz ⨯⨯ 的机械波称为超声波．1、声波的反射、干涉和衍射声波遇到障碍物而改变原来传播方向的现象称为声波的反射．围绕发生的音叉转一周听到忽强忽弱的声音,这种现象实际上就是声波的干涉．由于声波的波长在17cm 17m 之间,声波很容易绕过障碍物进行传播．我们把这一现象叫声波的衍射．2、声音的共鸣共鸣就声音的共振现象． 3乐音与噪音好听、悦耳的声音叫乐音,是由周期性振动的声源发出的．嘈杂刺耳的声音为噪音,是由非周期性振动的声源产生的．4、音调、响度和音品是乐音的三要素音调：基音频率的高低,基频高则称音调高．响度：声音强弱的主观描述,跟人、声强（单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位面积的能量）等有关．音品：俗称音色,它反映了不同声源发出的声音具有不同的特色,音品由声音所包含的语言的强弱和频率决定．十一、多普勒效应当波源、观察者相对传播波的介质运动时,观察接受到的频率偏离波源频率的现象,称为多普勒现象,有如下关系RR sR u u νννν±=式中,R ν为观察接收的频率,依赖于观察者相对于媒质的速率(R v )和波源相对于媒质的速率(s v ),s v 为波源的频率,u 为波速．【例题】例1 如图所示，弹簧下端固定在水平桌面上，当质量为1m 的A 物体连接在弹簧的上端并保持静止时，弹簧被压缩了长度a 。

高中物理竞赛-波动

五、简谐振动的能量
以水平弹簧
E
Ek
Ep
1 2
m
dx dt
2
A
1 2
kx 2
1 2
kA2
振子为例： Ek 、Ep 周期为T/2
x A
Ek
Ep
1 4
kA2
T o
t E 1 kA2 2
-A
Ek
Ep
E
Ek A o
x
A
EP t T/2
七、一维简谐振动的合成
1、同方向、同频率的两个简谐振动的合成
S S’
B
vsT
uTS vSTS (u vS )TS
观察
W
u
u
u (u vS )TS u
波源向观察者运动
u
vS
S
者接
R W uv S S
收的频率
u
4、两个同频率简谐振动的相位差：
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
它们的相差为：
(t 2 ) (t 1 ) 2 1
（也可写成 1 2 ）若 2k (k为整), 两质点振动步调相同 (同相)
若 (2k 1) (k为整), 两质点振动步调相反 (反相)
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
x = x1+ x2 =A cos( t+ )
A A12 A22 2A1A2 cos
arctan A1 sin1 A2 sin2 A1 cos 1 A2 cos 2
两种特殊情况：
y
A
ω
A2
A2 sin 2
2
A1
o
1

大学物理竞赛辅导振动与波动-精品

2 m
质点每秒通过原点为 1 2次k 。
m
2020/7/23
二、简谐振动的特征量 xA cos(t)
1、振幅 A ：质点离开平衡位置的最大距离。
A
x
2 0
v
2 0
2
由振动系统的初始状态决定。
2、角频率（圆频率）ω : 2秒内质点的振动数。
2 2 由振动系统本身的性质决定。
T
对弹簧振子：
k, m
由牛二定律：m d d 2 tx 2 k dx td d x t, d d 2 tx 2 m d d x t m kx 0
为方便计，规定： (或 0 2 )
注：角频率ω就是相位的变化速率。
2020/7/23
4、两个同频率简谐振动的相位差：
x1A 1cos(t1)
x2A 2cos(t2)
它们的相差为：
(t2 ) (t1 )2 1
（也可写成 12）若 2k(k为)整 ,两质点振动步调相同 (同相)
若 (2k1)(k为)整 ,两质点振动步调相反 (反相)
ω
1、矢量（A模与振幅等值)以匀角速
度ω(与角频率等值)逆时针旋转。
ωt
A
M (t =0)
2、t
=0时，A 与x
轴正向夹角为
。O
x x0 x
3、t =t 时，A与x 轴正向夹角为(ωt + )。
这样,矢量逆时针匀角速度旋转过程中，其端点M在x 轴上的投影点坐标为：
x = A cos (ωt + )
0.1%0.05%2 n2
解得： n100
同类型的题：(1989.二.1)， (1991.二.12)
2020/7/23

高二物理竞赛振动和波动课件

可以求得波在两介质分界面处反射波的方向问题，即反射角等于入射角
可以求得波在两介质分界面处折射波的方向问题，即得到折射定律。
波的叠加原理
☆
几列波可以保持各自的特点通过同一媒质，好像没有其他波一样；
在它们相重叠的区域内，每一点的振动都是各个波单独在该点产生的振动的矢量和。
波的干涉
☆
波的干涉现象
由频率相同、振动方向相同、相位相同或相位差恒定的两个波源所发出的波，
在空间相遇，出现某些点振动始终加强，某些点振动始终减弱或完全抵消
的现象称为波的干涉现象。
能产生干涉现象的波叫做相干波，相应的波源叫做相干波源。
波的相干条件
频率相同、振动方向相同、相位相同或相位差恒定
反映了能量的传播过程
能量密度单位体积媒质的波动能量
☆
w E 2 A2 sin 2 t x
V
u
在一个周期内的平均值 w 1 T wdt 1 2 A2
叫做平均能量密度
T0
2
平均能流密度
单位时间通过垂直于传播方向的单位面积的平均能流
I u 2 A2 / 2 A2
能流密度是矢量，方向与波速方向相同，它的大小表示波的强度。
y Acost x / u Acos2 t / T x / Acos t 2 x /
“－”表示波沿x 轴正方向传播；“十”表示波x沿轴负方向传播
波函数的物理意义
☆
它描述了波线上所有质点离开自己平衡位置的位移随时间的变化规律。
y(t t, x ut) y(t, x) 表示了波的传播。
波长同一波线上相位差为 2 的两相邻质点之间的距离，
即一个完整波形的长度。它反映波在空间上的周期性。

06物理竞赛讲义——振动和波

第六部分振动和波第一讲基本知识介绍《振动和波》的竞赛考纲和高考要求有很大的不同，必须做一些相对详细的补充。

一、简谐运动1、简谐运动定义：∑F = －k x①凡是所受合力和位移满足①式的质点，均可称之为谐振子，如弹簧振子、小角度单摆等。

谐振子的加速度：a= －mk x2、简谐运动的方程回避高等数学工具，我们可以将简谐运动看成匀速圆周运动在某一条直线上的投影运动（以下均看在x 方向的投影），圆周运动的半径即为简谐运动的振幅A 。

依据：∑F x = －m ω2Acos θ= －m ω2x对于一个给定的匀速圆周运动，m 、ω是恒定不变的，可以令：m ω2 = k这样，以上两式就符合了简谐运动的定义式①。

所以，x方向的位移、速度、加速度就是简谐运动的相关规律。

从图1不难得出——位移方程：x= Acos(ωt + φ) ②速度方程：v= －ωAsin(ωt +φ) ③加速度方程：a= －ω2A cos(ωt +φ) ④ 相关名词：(ωt +φ)称相位，φ称初相。

运动学参量的相互关系：a = －ω2xA =2020)v (x ω+ tg φ= －x v ω 3、简谐运动的合成a 、同方向、同频率振动合成。

两个振动x 1 = A 1cos(ωt +φ1)和x 2 = A 2cos(ωt +φ2) 合成，可令合振动x = Acos(ωt +φ) ，由于x = x 1 + x 2 ，解得A =)cos(A A 2A A 12212221φ-φ++ ，φ= arctg 22112211cos A cos A sin A sin A φ+φφ+φ显然，当φ2－φ1 = 2k π时（k = 0，±1，±2，…），合振幅A 最大，当φ2－φ1 = （2k + 1）π时（k = 0，±1，±2，…），合振幅最小。

b 、方向垂直、同频率振动合成。

当质点同时参与两个垂直的振动x = A 1cos(ωt + φ1)和y = A 2cos(ωt + φ2)时，这两个振动方程事实上已经构成了质点在二维空间运动的轨迹参数方程，消去参数t 后，得一般形式的轨迹方程为212A x +222A y －221A A xy cos(φ2－φ1) = sin 2(φ2－φ1) 显然，当φ2－φ1 = 2k π时（k = 0，±1，±2，…），有y = 12A A x ，轨迹为直线，合运动仍为简谐运动；当φ2－φ1 = （2k + 1）π时（k = 0，±1，±2，…），有212A x +222A y = 1 ，轨迹为椭圆，合运动不再是简谐运动；当φ2－φ1取其它值，轨迹将更为复杂，称“李萨如图形”，不是简谐运动。

高二物理竞赛振动和波动课件

(特别是相位)的物理意义及相互关系。
了解波的衍射。
比位移的相位超前。
加速度的相位比速度的相位超前
，
3．掌握简谐振动的基本特征，
单位时间内振动的次数称为频率。
自由运动的物体所组成的振动系统，
这样的振动称为简谐振动。
绳的上端固定，这样的系统叫做单摆。
10．理解机械波产生的条件。
了解波的能量传播特征及能流、能流密度的概念。
，
并理解其物理意义。
M mgLsin 7．了解不同频、相互垂直的两个简谐振动的合成结果。
能够作简谐振动的物体，称为谐振子。绳的上端固定，这样的系统叫做单摆。
ft
另一端连结一个可以视为质点的
m
理解惠更斯原理和波的叠加原理。
(1)同方向、同频率的两简谐振动的合成，仍为简谐振动。
加速度的相位比速度的相位超前
圆频率 k / m 周期 T 2 / 2 m / k
单摆
一个可以看做质点的小球系于不可伸长、质量可以忽略不计的细绳的下端，
绳的上端固定，这样的系统叫做单摆。
如果物体振动的位移随时间按正(余)弦函数规律变化了解波的衍射。单位时间内振动的次数称为频率。
L T
加速度的相位比速度的相位超前
☆
能够作简谐振动的物体，称为谐振子。
这个物体连同对它施加回复力的物体组成振动系统。
弹簧振子
k
f
一个质量可忽略不计的弹簧一端固定，
m
另一端连结一个可以视为质点的自由运动的物体所组成的振动系统，便是一个弹簧振子。
x
O
x
f
d2x kx ma m
m 2 x
dt2
d2 dt
x
2

力学竞赛内容有哪些

力学竞赛内容有哪些力学竞赛作为一项受到广泛关注和参与的学术竞赛活动，涵盖了多个领域和内容。

无论是在学术界还是在工业界，力学都被认为是一门非常重要的学科，其应用广泛且实用。

下面将介绍一些常见的力学竞赛内容。

1. 静力学静力学是力学的基础部分，是力学的起点。

它主要研究物体在平衡状态下的力学性质，包括力的平衡条件、杠杆原理、浮力和压力等。

在力学竞赛中，常常会涉及到静力学的问题，例如求解物体的受力情况、计算平衡力的大小和方向等。

2. 动力学动力学是力学的另一个重要分支，它研究物体在作用力下的运动规律。

动力学内容较为复杂，涉及到质点的运动学、牛顿第二定律、动量和能量等。

在力学竞赛中，常见的动力学问题包括求解物体的运动轨迹、计算物体的速度和加速度、分析碰撞和爆炸等。

3. 振动与波动振动与波动是力学中的另外两个重要主题。

振动研究物体在受到扰动后的周期性运动规律，包括谐振子、阻尼和驱动力等。

波动研究物体的波动传播和波动特性，包括机械波和电磁波等。

在力学竞赛中，常见的问题可能涉及到求解振动频率、验证波动方程、分析波动的干涉和衍射等。

4. 固体力学固体力学研究物体的变形和应力分布规律，包括材料的弹性、塑性和断裂等。

在力学竞赛中，常见的固体力学问题可能涉及到计算物体的应力应变、分析材料的变形性质、探讨材料的破坏原因等。

5. 流体力学流体力学是研究物体内部和周围流体运动规律的学科，包括理想流体和非理想流体的性质和行为。

在力学竞赛中，常见的流体力学问题可能涉及到计算流体的压强和速度分布、分析流体的粘性和旋转等。

总结力学竞赛内容涵盖了静力学、动力学、振动与波动、固体力学和流体力学等多个领域。

这些内容都是力学中的基础和重要部分，在理论研究和实际应用中都具有重要意义。

通过参与力学竞赛，可以提高对力学知识的掌握和理解能力，培养解决实际问题的能力。

高二物理竞赛课件：振动波动和波动光学

机械振动的原因：物体所受的回复力和物体所具有的惯性。
第11章振动学基础
§11-1 简谐运动的描述 §11-2 简谐运动的动力学特征 §11-3 简谐运动的合成 §11-4 阻尼振动 §11-5 受迫振动共振 §11-6 电磁振荡
§11-1 简谐运动的描述
§11-1 简谐运动的描述
一、简谐运动二、描述简谐振动的基本量三、简谐运动的速度四、简谐运动的加速度五、简谐运动的旋转矢量表示法
第11章振动学基础
振动是普遍存在的一种运动形式： 1. 物体的来回往复运动(弹簧振子、单摆等)。 2. 电流、电压的周期性变化。
振动(vibration)：任何一个物理量(物体的位置、电流强度、电场强度、磁场强度等)在某一定值附近的反复变化。
机械振动(mechanical vibration)：物体在一定位置(中心) 附近作来回往复的运动。
2）相位在 0 ~ 2π 内变化，质点无相同的运动状态；相差 2nπ (n为整数 )质点运动状态全同.（周期性）
3）初相位 (t 0) 描述质点初始时刻的运动状态.
4.常数 A 和的确定
x Acos(t )
v A sin(t )
初始条件 t 0 x x0 v v0
x0 A cos v0 Asin
v dx Asin( t )
dt
vm
cos(tFra bibliotekπ 2
).
vm A v 超前 x 相位
2
四、简谐运动的加速度
am 2 A
a 与 x 反相
a
dv dt
2
A cos(
t
)
am
cos(
t
π
)
A

物理竞赛--振动和波复习

1 cos 0
3
cos
2
1(m)
tan 0
Asin 0 A cos0
3
0 3或4 3 据题意 0 3
27
[解法二] 因为x x1 x2 cos t 3 cos( t 2)
x
12
3
2
1 cos t
12 32123来自32sint
2 1 cos t 3 sin t
0
作t=0时刻矢量图
AArr22
ArAr
20
x2
100
rr AA11
x
x1
x
A A12 A22 2 A1 A2 cos( 20 10 )
tan 0
A s in 0 Acos 0
A1 sin10 A1 cos 10
A2 sin20 A2 cos 20
注意:
Asin0 0
Acos0
0 (0,
xB 5
5cm
2;
5 4
5
Acos(
2
)
Asin
振动方程为: x 5
2
cos(
4
t
5 4
)cm
v x
t 6s
t 4s
5
2
4
sin(4
t
5 4
)
vA v0 5
2
4
sin
5 4
A
B
o
x
5 cm s1
4
t0
t 2s
习题集p50题2. 如图为用余弦函数表示的一质
点作谐振动曲线, 振动圆频率为
E1212kkAx22mEp1022ckoA12s2k2cA(o2s02t(120mt)02 A) 2

竞赛振动和波动

振动和波动☆【知识梳理】☆前面我们已经分别讨论了受力平衡的物体（静止或做匀速运动），受恒力作用的物体（做匀变速直线运动或抛体运动），受到一个和运动方向垂直的大小不变的力的物体（做圆周运动）．现在我们来讨论一种更加复杂的、受力大小和方向每时每刻都在变化的物体，即做简谐振动的物体．一、简谐运动 1．简谐运动的方程如果一个物体受到的恢复力F ∑与它偏离平衡位置的位移x 大小成正比，方向相反，即满足F ∑ = － k x的关系，那么这个物体的运动就定义为简谐运动．根据牛顿第二定律，物体的加速度F k a x m m==- ．因此，如果一个物体的加速度和它偏离平衡位置的位移大小成正比，方向相反，那么这个物体做的就是简谐运动．让我们来分析一个做匀速圆周运动的物体在一直径上的投影的运动．当t = 0时刻，一个物体m 从x 轴上的A 点开始做匀速圆周运动，角速度为ω．经过时间t ，物体m 到了B 位置（图1）．此时它的向心加速度在x 方向上的投影（即它在x 轴上的投影的加速度）的大小为a x = ω2R cosωt ①它在x 轴上的投影离O 点的距离是x = R cos ωt ②即 a x = ω2x ．因为x a 的方向和x的方向相反，所以有x a =－ω2x ．式中ω2是一个定值，因此m 在x 轴上的投影做的是简谐运动，ω叫做简谐运动的圆频率．从图1中同样可以看出，物体在x 轴上的投影的速度x v=－ωR sin ωt ③①、②、③三式叫做简谐运动的方程．不难看出，如果t = 0时，物体和O 点的连线与x图1轴成φ0角，那么振动方程成为x= R cos ( ωt + φ0 ) ①′ v=－ωR sin ( ωt + φ0 ) ②′ a=－ω2R cos ( ωt + φ0 ) ③′式中的R 是简谐运动的振幅，ω是简谐运动的圆频率，φ0叫初相位，很明显，简谐运动的频率f =ω /2π ．因为x a =－ω2x ，即F ∑ =－ω2m x ．将此式与简谐运动的定义F ∑ = － k x比较，可知ω =k /m ．式中k 是F ∑ 和x的比例系数，m 是振子的质量．让我们来看这样一个问题：如图2所示，有一个弹簧振子质量为m ，放在光滑水平面上，平衡位置为O 点，其圆频率为0.5 π / s ．另一个质量也是m 的滑块由h = 0.20 m 高的A 点由静止滑下，质点滑到曲面底部B 需时t AB = 1.5 s ，OB 间距l = 6.0 m ．现将弹簧振子向左压缩到x 0 = 2.0 m 处释放，同时释放A 处的滑块，两个物体碰撞后粘在一起．若从碰撞时开始计时，求系统的振动方程．（不计摩擦）从释放两个物体时开始计时，到t 1时刻两物体相撞，那么根据题意可得（振动方程向左为正）v 2 ( t 1－1.5 ) + [ 2 －2cos ω1t 1 ] = 8 ①根据机械能守恒可得v 2 = 2 gh = 2 ×10 ×0.2 m / s = 2.0 m / s ．代入方程①，有2t 1 －2cos (0.5πt 1) =9 ．这个方程不易求解，可以用作图法来解（这是一种有效而有普遍意义的方法）．作出图2112129,2cos(0.5).x t x t π=-⎧⎨=⎩两条曲线（图3）交于t 1 = 4.8 s 处，即t 1 = 4.8 s 为方程的解．由x =2cos ( 0.5 πt 1) = 0.61 m 可知，碰撞发生在O 点左边0.61 m 处；根据v 1 = －2×0.5 π×sin (0.5πt 1)m / s =－3.0 m / s，可知发生碰撞前振子的速度为3.0 m / s，方向向右．根据动量守恒定律（忽略碰撞过程中弹簧的作用力）－3m ＋2m =2mv ，可得 v =－0.5 m / s．根据振动方程x= A cos ( ωt + φ0 )， v =－A ωsin ( ωt + φ0 ) ．令t =0 ，便有x= A cos φ0 ② v =－A ωsin φ0 ③将②、③式平方相加，可得A =x 2+ v 2/ ω2 ．③÷②，可得tan φ0 = －v / x ω ．碰撞前的弹簧振子ω = k / m = 0.5 π rad / s ．碰撞后的弹簧振子ω′=k2m = ω 2 = 0.5 2π rad /s ．根据碰撞后的x、v 、ω′，可知碰撞后A =x 2 +v 2ω2=0.612 +2×0.52 0.52π2 m = 0.76 m，φ0 = tan －1(－ vx ω ) = tan －1(－－0.52 0.61×0.5π) rad= 0.64 rad ．所以碰撞后的振动方程为（向左为正）x '= 0.76 cos ( 1.11t + 0.64 ) m ，图3v '=－0.84sin ( 1.11t + 0.64 ) m / s ， a '=－0.93cos ( 1.11t + 0.64 ) m / s 2．2、简谐运动的能量一个弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成，即E ∑=1 2mv2 + 1 2kx 2 = 12kA 2．简谐运动的动能E K 、势能E P 和总能量E ∑随位移x 变化的图线如图4所示．很明显，在振动过程中，系统的总能量是守恒的．在上面讨论的一个问题中，两物体碰撞结束后的能量为E ∑= 12kx 2 + 12(2m )v 2=m2( 0.25 π2×0.612 + 2×0.52) = 0.71 m ．在位移最大处的能量为′E '∑ = 1 2kx 2max = 1 2×0.25 π2m ×0.762 = 0.71 m ．在平衡位置时的能量为E ''∑ = 1 2(2m )v 2 max = 1 2×2m ×0.842 = 0.71 m ．有E ∑=E ′ =E ′′的结论是必然的．3．简谐运动的周期如果能证明一个物体受的合外力F ∑ = － k x ．那么这个物体一定做简谐运动，而且振动的周期T=2π ω= 2πm k．式中的m 是振动物体的质量．有一粗细均匀的U 形管中装有一定量的水，水柱的总长度为l ．受扰动后水在管内振动，如果忽略管壁对水运动的阻力，求振动的周期．考查右管水面升高了x 的某一瞬间：左右两管水面的高度差是2x （图5），因此使水柱运动的合外力F ∑=ρg 2xS = 2mgxl．（比例系数k =2mgl）因为F ∑和x 成正比，所以水柱做简谐运动，振动周期T= 2πmk= 2πl2g．这个问题也可以从能量的角度来考虑：当系统处于平衡位置时势能最低，可设为0．如果系统偏离平衡位置x 时，系统具有的势能为k ′ x 22（其中k ′ 相当于弹簧的劲度系数），那么系统受的回复力必然是弹性回复力，即系统做简谐运动．振动的周期T= 2πm k ′．当右边的水面升高x 时，系统增加的势能E P =ρgxSx =mg lx 2，即 k ′ =2mgl ．所以 T= 2πm k ′= 2π l2g．二、弹簧振子1．恒力对弹簧振子的作用比较一个在光滑水平面上振动的和另一个竖直悬挂振动的弹簧振子，如果m 和k 都相同（图6），则它们的振动周期T 是相同的．这就是说，一个振动方向上的恒力一般不会改变振动的周期．如果在电梯中竖直悬挂一个弹簧振子，弹簧原长l 0 ，振子质量为m =1.0 kg ，电梯静止时弹簧伸长△l = 0.10 m ．从t = 0时开始电梯以 g2 的加速度加速下降t = πs，然后又以 g2的加速度减速下降直至停止．试画出弹簧的伸长△l 随时间t 变化的图线．由于弹簧振子是相对电梯做简谐运动，而电梯是一个加速度的非惯性系，因此要考虑弹簧振子受到的惯性力f ．在匀变速运动中，惯性力是一个恒力，不会改变振子的振动周期．振动周期T=2πω=2π km．因为k =mg△l，所以T= 2π△l g= 0.2π (s) ．因此在电梯向下加速或减速运动的过程中，振动的次数都为n= tT = π0.2π= 5（次）．当电梯向下加速运动时，振子受到向上的惯性力 mg2 ，在此力和重力mg 的共同作用下，振子的平衡位置在△l 1= 1 2mg k =△l2．同样，当电梯向下减速运动时，振子的平衡位置在△l 2= 3 2mgk =3△l2．在电梯向下加速运动期间，振子正好完成5次全振动，因此两个阶段内振子的振幅都是△l2．弹簧的伸长随时间变化的规律如图7所示．读者可以思考一下，如果电梯第二阶段的匀减速运动不是从5T 时刻而是从4.5T 时刻开始的，那么△l ～t 图线将是怎样的？2．多弹簧系统设有几个劲度系数分别为k 1 、k 2 、… 、k n 的轻弹簧串联起来，组成一个新弹簧组．当这个新弹簧组在F 力作用下伸长时，各弹簧的伸长为x i ，那么总伸长x=1ni i x =∑．各弹簧受的拉力是F ，所以有x i =Fk i．故 x=11ni iFk =∑．根据劲度系数的定义，弹簧组的劲度系数k =Fx．即得1k=11niik =∑．如果上述几个弹簧并联在一起构成一个新的弹簧组，那么各弹簧的伸长是相同的．要使各弹簧都伸长x ，需要的外力F=1n ii k x =∑=1nii x k =∑．根据劲度系数的义，弹簧组的劲度系数k=F x=1nii k=∑．导出了弹簧串、并联的等效劲度系数后，在解题中要灵活地应用．如图8所示的一个振动装置，两根弹簧到底是并联还是串联？这里我们必须抓住弹簧串并联的本质特征：串联的本质特征是每根弹簧受力相同；并联的本质特征是每根弹簧形变相同．由此可见图8中两根弹簧是串联．当m 向下偏离平衡位置△x 时，弹簧组伸长了2△x ，增加的弹力为F =2△xk =2△xk 1k 2k 1 + k 2．m 受到的合外力（弹簧和动滑轮质量都忽略）F ∑= 2×2△xk 1k 2 k 1 + k 2 = 4k 1k2k 1 + k 2△x ．所以m 的振动周期T =2πm ( k 1 + k 2 ) 4k 1k 2=πm ( k 1 + k 2 ) k 1k 2．再看如图9所示的装置．当弹簧1由平衡状态伸长△l 1时，弹簧2由平衡位置伸长了△l 2，那么由杆的平衡条件一定有（忽略杆的质量）k 1△l 1a= k 2△l 2b ， △l 2= k 1 k 2 · ab·△l 1．由于弹簧2的伸长，使弹簧1悬点下降了△x ′ =△l 2 ab = k 1 k 2 · a 2b2·△l 1．因此物体m 总的由平衡位置下降了△x 1 =△l 1+△x ′ = (k 1 k 2 · a 2 b2 + 1)△l 1．此时m 受的合外力F ∑= k 1△l 1=k 1k 2b 2k 1a 2 + k 2b 2 △x 1．系统等效的劲度系数就是k1k2b 2k 1a 2 + k 2b 2，所以系统振动的周期T= 2πm ( k 1a 2+ k 2b 2) k 1k 2b 2．3．多振子系统如果在一个振动系统中有不止一个振子，那么我们一般是要找振动系统的等效质量．如图10所示的振动系统，如果弹簧的倔强系数为k，静止时弹簧伸长△x 0 ，那么当弹簧再伸长△x 时，分别对m 1和m 2用牛顿第二定律k (△x 0 +△x ) + m 1g －T = m 1a ① 2T －m 2g= m 2(a2) ② 由①、②二式消去T ，可有2k(△x 0 +△x ) +2m 1g－m 2g = a (2m 1+m 22) ③ 因为在系统平衡时有2k △x 0 = m 2g －2m 1g ④将④式的△x 0代入③式，可得k △x = a (m 1+m 24)．可见系统的等效质量M =m 1+m 24，因此振动周期 T= 2π4m 1+ m 24k．因为a =kM ·x ，所以a= 4kx 4m 1+ m 2．由于m 2向下加速靠的是重力，所以须有 a2＜g ，即2kx4m 1+ m 2＜g ．对m 2的振幅的限制A 2≤g (4m 1+ m 2)2k4．悬点不固定的弹簧振子如果弹簧振子的悬点是有加速度的，那么在研究振子的运动时应加上惯性力．如图11所示的振动系统，如果弹簧的倔强系数为k=mgl，m A =2m ，m B = m C =m，弹簧原长l ．使弹簧保持原长由静止释放，C 相对B 的运动规律是怎样的呢？【解答】设A 、B 相对地的加速度大小为a ，C 相对B 的加速大小为a r ，分别对A 、B 、C 三个物体用牛顿第二定律（A 、B 以地为参照物，C 以B 为参照物）22(1)(2)(3)r T mg ma mg F T ma mg F ma ma-=⎧⎪+-=⎨⎪--=⎩F =mg ·△l 0 + xl（4）由以上四式可解得ma r =－4mgx3l．由此可见C 相对于B 做简谐振动，规律为x = A sin ( ωt + x )， v r =－A ωcos (ωt + α ) ．其中ω =4g 3l ，当t = 0时，x 0= －△l 0 ，v r = 0，因此A = l ，α =－ π2．振动方程为x = l ·sin(4g 3l ·t － π2)．三、单摆单摆的运动在摆角小于5°时可近似地看作是一个简谐运动，振动的周期为T =2π lg．在一些“异型单摆”中，l 和g 的含意及值会发生变化．1．等效重力加速度g ′如果在一节车厢中悬挂一个摆长为l 的单摆，车厢以加速度a 在水平地面上运动（图12）．由于小球m 相对车厢受到一个惯性力f = ma ，所以它可以“平衡”在OA 位置，tan α =ag，此单摆可以在车厢中以OA 为中心做简谐运动，但因为它受到的恒力是 mg ' =mg+ma所以它的周期T=2πlg ′．其中g ′ = g 2 + a 2 ． 2．等效摆长有些摆的悬点不易确定，因此需要寻找等效的摆长．如图13所示的三角架，可绕着AB 边转动，边长都是L，三角架重量忽略，AB 边和竖直方向成α角．在这个摆中，g 和l 同时发生了异化．当m 做小角度摆动时，实际上是围绕AB 的中点D 运动，所以等效摆长应是l ′ =L cos30°=3l 2．正因为m 围绕D 点摆动，所以它受的有效的恒力是mg ′ = F 1 = mgsin α，因此此异型摆的周期T=2πl ′g ′=2π 3L 2g sin α．再看如图14所示的装置，支架光滑，顶角为α ，求小球在支架平面内左、右振动时的等效摆长．当小球向左偏时（图15），小球受到重力和两根绳子的拉力大小相同．因为一根绳上张力相同，所以角A 和角B 的平分线O ′A 和O ′B 应垂直于支架（O ′为三角形ABC 的内心），AC 和BC 对小球的合力的方向沿CO ′ ．我们可以用数学方法证明C 、O ′、O 三点共线，即C 小球受两绳的合力方向每时每刻都过O 点．这样即可认为O 点是等效悬点，CO 是等效摆长．3．悬点不固定的单摆一个质量为M 的车厢放在水平光滑地面上，厢中悬有一个摆长为l 、摆球质量为m 的单摆．很明显，当摆球来回摆动时，车厢也将做往复运动．这是一种特殊的摆．当摆线与竖直方向的夹角为θ时，摆球受到重力mg 、摆线拉力T 和惯性力ma M （图16）．分析摆球：T =mg cos θ－ma M sinθ（忽略摆球向心力） ① 回复力T = mg sin θ + ma M cos θ ②分析车厢：Tsin θ= Ma M ③因为θ很小，所以可以认为sin θ =θ ，sin 2θ = 0．这样由①、③式可以得到a M = mM④④代入②得F=mg(1+mM)θ．因为摆球偏竖直线的距离△x=θl，所以F=mg(M+m)Ml△x．因此摆球做的是简谐运动，振动周期T=2πMl(M+m) g．由以上表达式可以看出，当M m时，T=2πlg．这是不难想象的，因为此时M基本不动．一般情况下，T＜2πlg．四、机械波1．波动方程如果有一列波沿x方向传播，振源的振动方程为y=A cosωt，波的传播速度为v，那么在离振源x远处一个质点的振动方程便是y=A cos[ω(t－xv)]．在此方程中有两个自变量：t和x．当t不变时，这个方程描写某一时刻波上各点相对平衡位置的位移；当x不变时，这个方程就是波中某一点的振动方程．2．波的干涉（1）波的叠加几列波在同一媒质中传播时，在它们相遇的区域内，每列波都将保持各自原有的频率、波长和传播方向，并不相互干扰．波的这种性质叫做波的独立性．因此在几列波重叠的区域内，每个媒质质点都将同时参与几列波引起的振动，每个质点的振动都是由几个分振动合成的．故在任一时刻，每个质点的位移都是几列波各自的分振动引起的位移的矢量和．这种现象称为波的叠加．（2）波的干涉两列频率相同、振动方向相同、相位差恒定的波叫做相干波．两列相干波传到同一个区域，可使某些位置的质点振动加强，某些位置的质点振动减弱，而且振动加强和振动减弱的区域相互间隔，这种现象叫做波的干涉．设有S1和S2两个波源（图17），振动方程分别为y1 =A1cosωt，y2 =A2cosωt．如果P点到S1、S2的距离分别为r1和r2，那么两列波传播到P点时引起的两个分振动分别为y1′=A1cos[ω(t－r1v)]，y2′=A2cos[ω(t－r2v)]．根据波的叠加原理，P点处质点的振动即是上述两个分振动的合振动，合振动的振幅取决于两个分振动的相差△φ=[ω(t－r1v)]－[ ω(t－r2v)]=ωv( r2－r1)=2πλ( r2－r1)．由此可见，△φ是由S1、S2到P点的距离差( r2－r1)决定的．①当r2－r1=±nλ时（n=0，1，2，…）两列波互相加强，P点的振幅为A1+A2；②当r2－r1=±(2n+1) λ2时（n=0，1，2，…）两列波相互减弱，P点振幅为|A1－A2|．3．多普勒效应当波源或者接收者相对媒质运动时，接收者会发现波的频率发生了变化，这种现象叫多普勒效应．下面分别加以说明：（1）波源S不动，接收者R以速度v2向着S运动设当接收者R位于A处时开始计时，经过时间t后，R向着S运动了v2t．如果波速为v，则波背着S传播了vt（图18）．对于R来说，通过他的波的个数（即R感觉到的波的频率）为f′=vt+ v2tλt=v+v2λ=v+v2vf=(1+v2v)f．上式表明，当R向着S运动时，R接收的频率f′为原来频率f的(1+v2v)倍，f′＞f ；如果R远离S运动，则v2可取负值，f′＜f．（2）接收者R不动，波源S以速度v1向着R运动因为波的传播速度与波源的运动无关，而S每发出一个波后向右移动了v1T，所以对R 来说，波长缩短了v1T（图19），即λ′=λ－v1T．在t时间内，通过R向右传播的距离仍为vt，但由于波长的缩短，R感觉到波的频率为f′=vtλ′t=vλ－v1T=vvf－v1f=(vv－v1)f．上式表明，当S向着R运动时，R接收的频率f′为原来频率f的vv－v1倍，f′＞f ；如果S远离R运动，则v1可取负值，f′＜f．如果一个观察者在铁路近旁，当火车迎面驶来时，他听到的汽笛声频率为f 1 =440 Hz，当火车驶过他身旁后，他听到的汽笛声的频率f 2降为392Hz．如果知道大气中声速约为330 m/s，即可求出火车的速度u．当火车驶近时f 1 =vv－uf．当火车远离时f 2 =vv+uf．可解得u=(f1－f2)vf1+f2=(440－392)×330440+392m/s=19m/s．☆【测试题】☆1．广阔的海水中浮着一座金字塔形（正四棱锥）的冰山，平衡时塔顶离水面的高度为h，若冰的密度为ρ1 ，海水的密度为ρ2 ，求冰山做竖直方向的小振幅振动的周期．2．在自然界，有些湖泊会产生一种叫做“湖震”的奇异现象，发生这种现象的湖泊通常是长而浅的．为建立此模型，如图20所示选取一个长为L，宽为d，水深为h的容器．当它受到扰动后，水将整体在L方向上发生震荡．现假设水面始终为一个平面，求其振动周期．x3．在水平光滑细直角槽中嵌入两个质量相同的小物体A和B，它们的上表面用长为l、质量可忽略的刚性细杆铰接处，铰链在A、B滑动时可自由转动（图21）．已知当细杆与x轴的夹角为α0时，A有一个沿负x方向的速度v AO ．（1）试证明细杆的中点C将做圆周运动；（2）试证明A、B各自做简谐运动，且用l、α0 、v AO来表述周期T．4．一个质量为m2的光滑滑轮由劲度系数为k的轻弹簧吊在天花板上，一根轻绳一端悬挂一个质量为m1的重物，另一端竖直固定在地板上（图22）．试证明重物沿竖直方向的振动是简谐运动，并求其周期．5．如图23所示，由质量相同的A、B两小球组成的弹簧振子用细线悬挂起来，悬点离地面1m．静止时弹簧伸长3cm．今将细线烧断，假设B与地面发生完全非弹性碰撞，而且碰撞的瞬间弹簧的伸长也是3cm．求原弹簧相对其自由长度的最大压缩量．（g =10 m/s2）6．质量各为m和M的两物块用橡皮筋相连后放在水平台面上．橡皮筋原长为a，伸长时的作用力符合胡克定律，物块和台面之间的摩擦因数为μ．现将两物块拉开至b（b＞a）后释放，求两物块从释放到相遇的时间以及相遇时两者的相对速度（假设μ较小，因而两者能相遇）．7．平均深度为6m的某海峡的潮汐涨落可看成由太阳和月亮引起的潮汐的合成．设太阳潮的振幅为1.5m，周期为12hr；月亮潮的振幅为2.5m，周期为12.5hr．求该海峡的潮汐涨落与时间的关系．8．质量为m的一系列小物块用劲度系数为k的小弹簧等间隔（间隔为d）地连接成一排（图26），当左端物块做角频率为ω的左右简谐运动时，此振动将自左至右逐渐传播，使各物块相继做同频率、同幅度的振动，求传播速度．（设ω≤km）9．一平面简谐波沿x轴正方向传播，表达式为y=Acos(ωt－kx＋φ)．t=0时，x=0处的质点由平衡位置向上振动，波在x=34λ处的反射面上发生全反射（图27）．求：（1）反射波的函数；（2）合成波的函数以及波节的位置．10．如图28所示，在一个劲度系数为k的轻质弹簧两端分别拴着一个质量为m的小球A 和质量为2m的小球B．A用细线拴住悬挂起来，系统处于静止状态时弹簧长度为l．现将细线烧断，并以此时为计时零点，取一相对地面静止的、竖直向下为正方向的坐标轴Ox，原点O与原来A球的位置重合．试求任意时刻两球的坐标和运动情况．11．两辆汽车A与B，在t=0时从十字路口O处分别以速度v A和v B沿水平的、相互正交的公路匀速前进，如图29所示．汽车A持续地以固定的频率v0鸣笛，求在任意时刻t汽车B 的司机所检测到的笛声频率．已知声速为u，且有u＞v A 、v B．总黄酮生物总黄酮是指黄酮类化合物，是一大类天然产物，广泛存在于植物界，是许多中草药的有效成分。

物理竞赛讲义·《振动》

简谐振动的判断和周期的计算以下运动是否简谐运动，若是，请求出其周期。

1．质点沿（1）隧道1：沿地球直径（2）隧道2：沿某一弦2．力心A、B相距l，质量为m的质点受到（1）与距离平方反比有心引力作用（2）与距离平方反比有心斥力作用，平衡于两点连线上的O点，若将质点稍稍偏离平衡位置。

3．将一粗细均匀、两边开口的U型管固定，其中装有一定量的水银，汞柱总长为L 。

当水银受到一个初始的扰动后，开始在管中振动。

4．密度为ρ，总长为l，弯折管之两段与水平夹角为α、β。

对液体平衡状态加一扰动，分析其振动。

1 2ABαβ5．匀质杆ρ，ρ<ρ水，使杆在水面上下浮动。

6．匀质板，放在柱形滚轮上。

主要参数如图。

木板放置时，重心不在两滚轮的正中央。

试证明木板做简谐运动，并求木板运动的周期。

7．三根长度均为L地质量均匀直杆，构成一正三角形框架ABC，C点悬挂在一光滑水平轴上，整个框架可绕转轴C转动。

杆AB是一导轨，一电动松鼠可在导轨上运动。

现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试讨论松鼠的运动是一种什么样的运动。

μμ8．质量为m的质点固定在长为l的细弦A、B的中点上，细弦水平张紧，其张力为G，忽略弦的质量。

使质点在被垂直纸面向外拉动一小段位移，分析其运动。

9．弹簧10．一个简谐振动系统如图，不计一切摩擦，绳不可伸长，m 1、m 2及弹簧的劲度系数k 已知。

求整个系统的周期。

11．如图，质量为m 的小球用轻杆悬挂，两侧用劲度系数为k 的弹簧连接。

杆自由下垂时，弹簧无形变，图中a 、l 已知，求摆杆做简谐振动的周期。

12．一轻质刚性杆，长为l ，下端固结质量为m 的质点，构成单摆，同时与劲度系数为k 的水平弹簧相连，求系统振动的周期。

m 1 m2 k M m 1 m 213．如图所示，有一个均质的细圆环，借助一些质量不计的辐条，将一个与环等质量的小球固定于环心处，然后用三根竖直的、长度均为L且不可伸长的轻绳将这个物体悬挂在天花板上，环上三个结点之间的距离相等。

高二物理竞赛波动学基础PPT(课件)

纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.
类 ❖机械波的传播需电磁波的传播可不需介质.
（波具有时间的周期性）
波有传播振动的介质; 波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播. 的机械波的传播需有传播振动的介质;
两类波的
不同
❖电磁波的传播可
之不需介质.
共同特
处
征
能量传播反射折射干涉衍射
同时，介质发生弹性形变，因而具有弹性势能.
K 体积模量当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在其平衡位置附近振动，因而具有振动动能.
3 若均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波）. 波速：波动过程中，某一振动状态（即振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）.
液、气体 u （波具有空间的周期性）
横波纵波
343 m s 空气，常温
如声音的传播速度
4000 m s 左右，混凝土
§10.2 平面简谐波
用数学表达式描述波线上每一质点在每一时刻的位移，
称为行波的波动方程。
y f (x,t)
yy(x,t)
➢ 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐运动时，在介质中所形成的波.
➢ 平面简谐波：波面为平面的简谐波.
以速度u
沿 x 轴正向
传播的平面简谐波：
点O 的振动方程
t x u
yO Acos(t 0 )
点P
点P 振动方程
yAcos(t
-
x )
u
y A
u
x
O
-A
点 O 振动方程 yOAcots()
波函数
yAcos([t-x)]
u
yAcos([tx)]

高三物理竞赛第10章振动与波动-波动 (共122张PPT)

一、波的动能、势能和能量
在波动过程中，振源的能量通过弹性介
质传播出去，介质中各质点在平衡位置附近振动，介质中各部分具有动能，同时介质因形变而具有势能。
•波动的过程实际是能量传递的过程。
1.波动的动能
弹性介质中取一体积元 dV，质元振动速
度为 v ，质量
dm dV
dm dV
dV
波函数
u
y A cos (t x / u )
u
V体 S u 与功率相同
P wuS 1 A 2 2uS
2 2.平均能流密度----波强
单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位面积上的平均能量。
I P wu 1 A 2 2u
S
2
单位：J•s1•m2 ， W •m2
例：一球面波源的功率为 100W，则距波源 10m 处，波的平均能流密度 I 是多少？
二、波函数
任意时刻任意位置处的质点的振动位移为波函数。
1.波源的振动方程
y A cos(t )
2.距波源为 x 处质点的振动方程
o·······x·······P·············u······x
u
o···············P··················x
x
P 点的振动比振源落后一段时间 t ,
t
x 200
/
2
800
T 2 2 1 s 800 400
1 /T 400 Hz
uT 200 / 400 0.5m
③. x 5m 质点振动与波源的相位差。
2 x 2 5 20 0.5
例3：如图所示为t=0时的波形，平面简谐波向右移动速度 u =0.08 m/s，求：①.振源的振动方程；②.波函数；③. P 点的振动方程；④. a、b 两点振动方向。

竞赛振动和波动

高二物理竞赛课件：振动和波动

高中物理奥林匹克竞赛专题振动和波(共113张PPT)

全国高中物理竞赛专题六 机械振动与机械波

高中物理竞赛-波动

大学物理竞赛辅导振动与波动-精品

高二物理竞赛振动和波动课件

06物理竞赛讲义——振动和波

高二物理竞赛振动和波动课件

力学竞赛内容有哪些

高二物理竞赛课件：振动波动和波动光学

物理竞赛--振动和波复习

竞赛振动和波动

物理竞赛讲义·《振动》

高二物理竞赛波动学基础PPT(课件)

高三物理竞赛 第10章振动与波动-波动 (共122张PPT)

全国高中物理竞赛专题六机械振动与机械波

高三物理竞赛第10章振动与波动-波动 (共122张PPT)