弧长、扇形、圆柱、圆锥
圆锥的侧面积和全面积
2.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥
的侧面展开图扇形的圆心角是( D )
A.60°
B.90° C.120° D.180°
3.已知圆锥的母线长为5，底面半径为3，则圆
锥的表面积为( B )
A.15π
B.24π
C.30π
D.39π
4.如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面 周长为32 m，母线长为7 m，为了防雨，需要在 它的顶部铺上油毡，则所需油毡的面积至少为 多少平方米？
公式二：
S扇形
nR2 360
,
S侧
rR
AR
nR2
rR，
360
nR r 360
n
l nR 360r
h
B
r
O
C
由圆锥的两个侧面积公式推导
出了n、R、r三个量之间的关系
式，即nR=360r.
R
A
填空、根据下列条件求值 . (1) R=2, r=1，则n =___1_8_0_°_.
n
h
l (2) R=9, r=3，则n =__1_2_0_°_ .
圆锥的侧面积为 1 2.40412.28 14.76m2 2
因此,搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡 20×（22.10+14.76）≈738m2
h1 r h2 r
基础巩固
随堂演练
1.圆锥的母线长为13cm，底面半径为5cm，则
此圆锥的高为( D )
A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm
解：连接BC,AO,则AO⊥BC.
∵OA=
1 2
m,∠BAO=45°，
AB
OA2 OB2
2 2
m.
圆有关的计算公式
圆有关的计算公式圆是一个非常重要的几何形状，有着广泛的应用。
在数学中，使用圆的特性和计算公式可以解决许多与圆相关的问题。
本文将介绍与圆有关的一些常见公式，包括圆的面积、周长、弧长、扇形面积、以及圆锥、圆柱和圆球的体积等。
1.圆的面积计算公式：圆的面积公式是圆的半径r的平方乘以π（pi）。
即：A = πr^2 2.圆的周长计算公式：圆的周长公式是圆的直径d乘以π。
即：C=πd也可以使用半径r来计算周长，公式为：C=2πr其中，C表示圆的周长，d表示圆的直径。
3.圆的弧长计算公式：圆的弧长是圆周上两个点之间的弧所对应的圆心角所对应的弧长。
计算圆的弧长公式为：L=s=rθ其中，L表示弧长，s表示弧所对应的弧长，r表示圆的半径，θ表示圆心角的度数（以弧度制表示）。
4.扇形面积计算公式：扇形是圆上由圆心引出的两条半径所夹的角所对应的区域。
计算扇形面积的公式为：S=0.5r^2θ其中，S表示扇形的面积，r表示圆的半径，θ表示圆心角的度数（以弧度制表示）。
5.圆锥的体积计算公式：圆锥是一个以圆为底面，顶点位于圆心上方并与底面相连的三维几何体。
计算圆锥的体积的公式为：V=1/3πr^2h其中，V表示圆锥的体积，r表示圆的半径，h表示圆锥的高。
6.圆柱的体积计算公式：圆柱是一个由两个平行的圆底面和它们之间的侧面组成的三维几何体。
计算圆柱的体积的公式为：V=πr^2h其中，V表示圆柱的体积，r表示圆底面的半径，h表示圆柱的高。
7.圆球的体积计算公式：圆球是一个由所有到圆心距离相等于半径的点组成的三维几何体。
计算圆球的体积的公式为：V=4/3πr^3其中，V表示圆球的体积，r表示圆球的半径。
除了以上介绍的公式，还有许多与圆相关的计算公式，如圆的切线与半径的关系、圆锥的侧面积计算公式、圆柱的侧面积计算公式等。
这些公式在解决具体问题时会有所应用。
总结：圆是一个基本的几何形状，在数学和实际应用中都有着广泛的用途。
使用与圆有关的计算公式，可以准确计算圆的面积、周长、弧长，以及与圆相关的三维几何体（如圆锥、圆柱和圆球）的体积。
圆锥的体积公式
圆锥的体积公式
圆锥的体积公式
圆锥体积公式是V=1/3sh ，其中S是圆柱的底面积，h是圆柱的高，r是圆柱的底面半径。
一、定义
1、解析几何定义
圆锥面和一个截它的平面(满足交线为圆)组成的空间几何图形叫圆锥。
2、立体几何定义
以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
旋转轴叫做圆锥的轴。
二、圆锥组成
圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高;
圆锥母线：圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离。
圆锥的侧面积：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线的长. 圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长×母线/2;没展开时是一个曲面。
圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线，且底面展开图为一圆形，侧面展开图是扇形。
三、圆锥的应用
生活中沙堆、漏斗、帽子、陀螺、斗笠、铅笔头、钻头、铅锤等都可以近似地看作圆锥。
圆锥在日常生活中也是不可或缺的。
弧长的公式、扇形面积公式、圆锥、圆柱、弓形面公式及其应用、四棱台体积公式
[本讲教育信息]一. 教学内容：弧长与扇形的面积圆锥的侧面积二. 教学要求1、了解弧长计算公式与扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。
2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。
三. 重点与难点重点：1、弧长的公式、扇形面积公式与其应用。
2、圆锥的侧面积展开图与圆锥的侧面积、全面积的计算。
难点：1、弧长公式、扇形面积公式的推导。
2、圆锥的侧面积、全面积的计算。
［知识要点］知识点1、弧长公式因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：，说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。
（2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。
知识点2、扇形的面积如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。
又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。
知识点3、弓形的面积（1）弓形的定义：由弦与其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。
（2）弓形的周长＝弦长＋弧长（3）弓形的面积如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。
当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，例：如图所示，⊙O的半径为2，∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是（）（结果用表示）分析：由图可知由圆周角定理可知∠ABC＝∠AOC，所以∠AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以，所以圆周长弧长圆面积扇形面积公式图示面积知识点4、圆锥的侧面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2，圆锥的侧面积，圆锥的全面积说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。
圆的有关计算(例题+练习+详解)
知识框架知识点一：扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：180n Rl π=； （2）扇形面积公式： 213602n R S lR π== n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图2S S S =+侧表底=222rh r ππ+（2）圆柱的体积：2V r h π= 3 .圆锥侧面展开图（1）S S S =+侧表底=2Rr r ππ+ （2）圆锥的体积：213V r h π=知识点二：圆内正多边形的计算（1）正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：::1:3:2OD BD OB =；（2）正四边形S lBAO母线长底面圆周长C 1D 1DCBAB1RrCBAODCBAOECBADOD(B ')A(A ')D 'C 'CBCBDOA 同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::1:1:2OE AE OA =：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::1:3:2AB OB OA =.【例题经典】考点1：圆的周长、弧长中考中对圆的周长及弧长公式的考查内容难度较小，常以填空选择题出现。
[例1]如图,一块边长为8cm 的正方形木板ABCD,在水平桌面上绕点A 按逆时针方向旋转至A ′B ′C ′D ′的位置,则顶点C•从开始到结束所经过的路径长为( ) A.16cm B.162cm C.8πcm D.42πcm[例2] 如图，Rt △ABC 的斜边AB=35，AC=21，点O 在AB 边上，OB=20，一个以O 为圆心的圆，分别切两直角边边BC 、AC 于D 、E 两点，求DE 的长度．【分析】求弧长时，只要分别求出圆心角和半径，特别是求半径时，要综合应用所学知识解题，如此题求半径时，就用到了相似．考点2：扇形及不规则图形的面积求不规则图形的面积一直是历年来中考考查的主要内容，一般方法是运用割补法和整体减局部的方法把不规则图形转化为规则图形，从而利用扇形公式等计算，从而达到考查目的。
圆的有关计算
圆的有关计算考点一1．如果弧长为l，圆心角为n°，圆的半径为r，那么弧长的计算公式为：l＝nπr 180.2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n°，所在圆半径为r，弧长为l，扇形面积为S，则S＝nπr2360，或S＝12lr.考点二1．圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面周长c，宽是圆柱的母线长l，如果圆柱的底面半径是r，则S圆柱侧＝cl＝2πrl.2．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥的底面周长c，半径等于圆锥的母线长l.若圆锥的底面半径为r，这个扇形的圆心角为α，则α＝rl·360°，S圆锥侧＝12cl＝πrl.考点三1．规则图形：按规则图形的面积公式去求．2．不规则图形：采用“转化”的数学思想方法．把不规则图形的面积采用“割补法”、“等积变形法”、“平移法”、“旋转法”等转化为规则图形的面积．(1)(2010·昆明)如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65π cm2，扇形的弧长为10π cm，则圆锥母线长是()A．5 cm B．10 cm C．12 cm D．13 cm(2)(2010·兰州)现有一个圆心角为90°，半径为8 cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面(接缝处忽略不计)．该圆锥底面圆的半径为()A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm(3)(2010·哈尔滨)将一个底面半径为5 cm，母线长为12 cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是________度．(4)(2010·龙岩)如图是圆心角为30°，半径分别是1、3、5、7、……的扇形组成的图形，阴影部分的面积依次记为S1、S2、S3、……，则S50＝________(结果保留π)．例二图(2010·宁波)如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF 与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE＝23，∠DPA＝45°.(1)求⊙O的半径；(2)求图中阴影部分的面积．举一反三1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）(结果保留π)(第1题)(第2题)2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝23，⊙A与BC相切于点D，且交AB、AC于M、N两点，则图中阴影部分的面积是（）(结果保留π)3．一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥母线长与底面半径之比为()A．2∶1B．1∶2C．3∶1D．1∶34．在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示．它的底面半径OB＝6 cm，高OC＝8 cm.则这个圆锥漏斗的侧面积是()A．30 cm2B．30π cm2C．60π cm2D．120 cm2(第4题) (第5题)5．如图，已知菱形ABCD的边长为1.5 cm，B、C两点在扇形AEF的EF上，求BC的长度及扇形ABC的面积．圆的有关计算经典练习弧长的计算公式为：l ＝nπr 180 .扇形面积为S ，则S ＝nπr 2360，或S ＝12lr. S 圆锥侧＝12cl ＝πrl.1．如图，若圆锥底面圆的半径为3，则该圆锥侧面展开图扇形的弧长为( ) A ．2π B ．4π C ．6π D ．9π3图4图1图2．如图，一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是( )A ．1 B.34 C.12 D.133．如图，5个圆的圆心在同一条直线上，且互相相切，若大圆直径是12,4个小圆大小相等，则这5个圆的周长的和为( )A ．48πB ．24πC ．12πD ．6π 4．△ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，作△ABC 的外接圆，如图，若AB 的长为12 cm ，那么AC 的长是( )A ．10 cmB ．9 cmC ．8 cmD ．6 cm5图6图7图5．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ＝8，BC ＝12，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是 ( )A ．64π－127B ．16π－32C ．16π－247D ．16π－1276．如图，已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上，AD ∥BC ，AC 平分∠BCD ，∠ADC ＝120°，四边形ABCD 的周长为10 cm ，则图中阴影部分的面积为 ( )A.32 B.3 C ．2 3 D ．4 37．如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分的包装纸的面积(接缝忽略不计)是( )A ．20 cm 2B ．40 cm 2C ．20π cm 2D ．40π cm 28图9图10图8．如图，A 是半径为2的⊙O 外的一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，点B 是切点，弦BC ∥OA ，连结AC ，则图中阴影部分的面积等于( )A.23πB.83π C ．π D.23π＋ 39．如图，将圆沿AB 折叠后，圆弧恰好经过圆心，则AMB 的度数等于( ) A ．60° B ．90° C ．120° D ．150°10．在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示，它的底面半径OB ＝6 cm ，高OC ＝8 cm ，则这个圆锥漏斗的侧面积是( )A ．30 cm 2B ．30π cm 2C ．60π cm 2D ．120 cm 211．如图，现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40 cm ，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10 cm 的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么剪去的扇形纸片的圆心角为( )11图12图A ．9°B ．18°C ．63°D ．72° 12．如图，圆柱的高线长为10 cm ，轴截面的面积为240 cm 2，则圆柱的侧面积是( ) cm 2. A ．240 B ．240π C ．480 D ．480π 二、填空题13．已知扇形的面积为12π，半径等于6，则它的圆心角等于________度． 14．若一个圆锥的侧面积是18π，侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面圆半径是________．15．如图，在4×4的方格纸中(共有16个小方格)，每个小方格都是边长为1的正方形，O 、A 、B 分别是小正方形的顶点，则扇形OAB 的弧长等于________．(结果保留根号及π)15图16图16．如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，⊙P 与OA 、OB 分别相切于点F 、E ，并且与弧AB 切于点C ，则扇形OAB 的面积与⊙P 的面积比是________．三、解答题17．(10分)如图，线段AB与⊙O相切于点C，连结OA、OB，OB交⊙O于点D，已知OA＝OB＝6 cm，AB＝6 3 cm.求：(1)⊙O的半径；(2)图中阴影部分的面积．19．(10分)如图所示，AC与⊙O相切于点C，线段AO交⊙O于点B.过点B作BD∥AC 交⊙O于点D，连结CD、OC，且OC交DB于点E.若∠CDB＝30°，DB＝5 3 cm.(1)求⊙O的半径长；(2)求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．(结果保留π)20．(12分)如图，PA、PB是半径为1的⊙O的两条切线，点A、B分别为切点，∠APB ＝60°，OP与弦AB交于点C，与⊙O交于点D.(1)在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有的全等三角形；(2)求阴影部分的面积．(结果保留π)圆的有关计算例一答案【解答】(1)∵12lr ＝S 扇形，∴12×10π×r ＝65π，∴r ＝13，故选D.(2)∵2πr ＝90180π×8，∴r ＝2，故选C.(3)∵nπ360×122＝π×5×12，∴n ＝150(4)设每个扇形大圆半径为R ，小圆半径为r ，则R 1＝3，R 2＝7，R 3＝11，……，R n ＝4n －1，r 1＝1，r 2＝5，r 3＝9，……，r n ＝4n －3.则当n ＝50时，S 50＝30360π(R 250－r 250)＝π12×[(4×50－1)2－(4×50－3)2]＝66π. 例二、【解答】(1)∵直径AB ⊥DE ，∴CE ＝12DE ＝ 3.∵DE 平分AO ，∴CO ＝12AO ＝12OE.又∵∠OCE ＝90°，∴∠CEO ＝30°.在Rt △COE 中，OE ＝CEcos30°＝ 3 32＝2.∴⊙O 的半径为2.(2)连结OF ，如图所示．在Rt △DCP 中，∵∠DPC ＝45°， ∴∠D ＝90°－45°＝45°， ∴∠EOF ＝2∠D ＝90°.∵S 扇形OEF ＝90360×π×22＝π，S △OEF ＝12×OE ×OF ＝12×2×2＝2.∴S 阴影＝S 扇形OEF －S △OEF ＝π－2. 举一反三答案： 1、52π－4.2、3－π3.3、A 4、C 5、BC 的长为π2 cm ，S 扇形ABC ＝38π cm 2练习1-12 CCBCD ＢＣＡＣＣ BB 5、【解析】由题意可知，该图形关于直线AD 成轴对称，所以AD ⊥BC ，BD ＝DC.因为BC ＝12，所以BD ＝6，在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝82－62＝27，所以S △ABD ＝12AD·BD ＝12×27×6＝67.由于阴影部分的面积即为半圆ADB 的面积减去△ABD 面积的2倍，所以S 阴影＝2×(12π×42－S △ABD )＝2(8π－67)＝16π－127.6、【解析】设圆心为O ，由题意得∠B ＝60°，∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝90°.∴BC 为⊙O 的直径，连结OA 、OD ，则S 阴影＝S 等边△OAD ＝34×22＝ 3. 9、【解析】由圆的轴对称性得，过O 作OC ⊥AB 于C ，连结OA ，则OC ＝12OA ，∴∠OAB ＝30°，∴∠AOB＝120°，∴AMB 的度数是120°.11、【解析】设剩下的纸片的圆心角为n°，则nπ180×40＝2π×10，∴n ＝90，∴剪去的圆心角为360°×30%－90°＝108°－90°＝18°.13、【解析】∵nπ×62360＝12π，∴n ＝120.14、【解析】设圆锥的底面圆的半径是r 1，圆锥母线长为l ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧πrl ＝18π，2πr ＝12×2πl.∵r 、l 都是正数，∴r ＝3，l ＝6.15、【解析】易知∠AOB ＝90°，则扇形OAB 的弧长为14圆周长，扇形OAB 的半径r ＝22＋22＝2 2.即扇形OAB 的弧长为14×2πr ＝14×2π×22＝2π.16、【解析】设⊙O 半径为R ，则扇形的半径为(1＋2)R ，则扇形OAB 的面积与⊙P 的面积比为14π(1＋2)2R 2：πR 2＝3＋224.18、解：(1)连结OC ，则OC ⊥AB ，∵OA ＝OB ，∴BC ＝12AB ＝12×63＝3 3 cm.在Rt △OCB 中，OC ＝OB 2－BC 2＝62－(33)2＝3，即⊙O 的半径为3 cm.(2)在Rt △OCB 中，sin ∠COB ＝BC OB ＝336＝32，∴∠COB ＝60°，∴S 阴影＝S △OBC －S 扇形COD ＝12×OC ×BC －nπr 2360＝12×3×33－60π×32360＝923－32π.即图中阴影部分的面积为(923－32π)cm 2.19、解：(1)∵AC 与⊙O 相切于点C ，则OC ⊥AC ，∴BD ∥AC ，∴OE ⊥DB ，则EB ＝12BD ＝523cm.∵∠CDB ＝30°，∴∠O ＝60°，在Rt △OEB 中，sinO ＝EB OB ，∴OB ＝EBsinO ＝523sin60°＝5 (cm)．即⊙O 的半径长为5 cm.(2)在Rt △OEB 中，OE ＝OB 2－EB 2＝52，∴CE ＝5－52＝52，即CE ＝OE.又∵∠CED ＝∠OEB ，ED ＝EB ，∴△CED ≌△OEB ，∴S 阴影＝S 扇形BOC ＝60π×52360＝256π (cm 2)．20、解：(1)△ACO ≌△BCO ，△APC ≌△BPC ，△PAO ≌△PBO. (2)∵PA 、PB 为⊙O 的切线，∴PO 平分∠APB ，PA ＝PB ， ∠PAO ＝90°，∠PBO ＝90°，PO ⊥AB.于是由圆的对称性可知：S 阴影＝S 扇形AOD .∵在Rt △PAO 中，∠APO ＝12∠APB ＝12×60°＝30°，∴∠AOP ＝90°－∠APO ＝90°－30°＝60°. ∴S 阴影＝S 扇形AOD ＝60×π×12360＝π6.。
初三数学弧长和扇形面积公式知识精讲
初三数学弧长和扇形面积公式知识精讲一. 本周教学内容：弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积 教学目的1. 使学生学会弧长和扇形面积公式、圆锥及其特征，使学生掌握圆锥的轴截面图及其特点。
2. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥侧面展开图的画法及侧面积计算公式。
3. 使学生比较熟练地应用弧长和扇形面积公式、圆锥的基本性质和轴截面解决有关圆锥表面积的计算问题。
4. 培养学生空间观念及空间图形与平面图形的相互转化思想，培养学生空间想象能力和计算能力。
教学重点和难点：教学重点是弧长和扇形面积公式，圆锥及其特征，圆锥的侧面积计算难点是圆锥侧面展开图（扇形）中各元素与圆锥各元素之间的关系 教学过程1. 圆周长：r 2C π= 圆面积：2r S π=2. 圆的面积C 与半径R 之间存在关系R 2C π=，即360°的圆心角所对的弧长，因此，1°的圆心角所对的弧长就是360R2π。
n °的圆心角所对的弧长是180Rn π 180Rn π=∴lP 120*这里的180、n 在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。
3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。
发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。
4. 在半径是R 的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积2R S π=，所以圆心角为n °的扇形面积是： R 21360R n S 2l =π=扇形（n 也是1°的倍数，无单位）5. 圆锥的概念观察模型可以发现：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。
其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。
如图，从点S 向底面引垂线，垂足是底面的圆心O ，垂线段SO 的长叫做圆锥的高，点S 叫做圆锥的顶点。
锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。
也就是说，把直角三角形SOA 绕直线SO 旋转一周得到的图形就是圆锥。
2中考复习：圆弧,圆锥,扇形相关计算
中考复习：圆弧，圆锥，扇形相关计算一．基本公式：1.弧长的计算：半径为R ，圆心角为n°的弧长公式为：180n Rl π= 2扇形的面积：①如果扇形的半径为R ，圆心角为n ︒，那么扇形面积的计算公式为：2360n R S π=扇形. ②如果扇形所对的弧长为l ，扇形的半径为R ，那么扇形面积的计算公式为：12S lR =扇形. 3.圆锥的侧面积和全面积①沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线长， 如图24.4-3所示，若圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ， 那么这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2r π， 因此圆锥的侧面积S =侧122r l rl ππ⨯⋅=. ②圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积：所以()2S S S .rl r r l r πππ=+=+=+侧全底4.多边形的有关计算:设正多边形的边数为n ，边长为n a ，半径为n R ，边心距为n r ，中心角为α，周长为n P ，面积为n S ，则求：中心角00360180;2sin n a R n n α==边长；边心距nR r n 0180cos =，周长n n na P =，面积n n n P r S ⋅=21二．常见习题分类：（1）.基本公式的应用和推广方法：一般情况下，先看问题，列出相关公式。
然后将已知条件中的量带入公式中，未知量即可求出。
例如弧长公式，l ，R ，n 三个未知量，知道其中两个，另一个即可求出。
例题：①半径为1的圆的周长等于060的圆心角所对的弧长，则该弧所在圆的半径是__________. ②弧长为24,cm π半径为180cm 的弧所对的圆心角的度数为__________.图③如果一条弧的弧长等于l ，它的圆心角等于0,n 那么它的半径R =______,如果圆心角增加01，那么它的弧长增加_________.④秋千拉绳长3米，静止时踩板离地面0.5米，其小朋友荡该秋千时，秋千在最高处踩板离地面2米（左右对称），则该秋千所汤过的圆弧长为（ ） A. π B. 2π C.43π D.32π⑤已知一个扇形的半径为30,cm 圆心角为0120，若用它做一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径是_____.⑥弧长为6π的弧所对的圆心角为60，则弧所在的圆的半径为 （ ） （A ）6 （B ）62 （C ）12 （D ）18⑦已知圆锥的底面半径是3，高是4，则这个圆锥侧面展开图的面积是 （ ） （A ）12π （B ）15π （C ）30π （D ）24π⑧一个形如圆锥的冰淇淋纸筒，其底面直径为6厘米，母线长为5厘米，围成这样的冰淇淋纸筒所需纸片的面积是 （ ）（A ）66π平方厘米 （B ）30π平方厘米 （C ）28π平方厘米 （D ）15π平方厘米 ⑨将一张长80厘米、宽40厘米的矩形铁皮卷成一个高为40厘米的圆柱形水桶的侧面，（接口损耗不计），则桶底的面积为 （ ） （A ）π1600平方厘米 （B ）1600π平方厘米（C ）π6400平方厘米 （D ）6400π平方厘米⑩如图，以圆柱的下底面为底面，上底面圆心为顶点的圆锥的母线长为4，高线长为3，则圆柱的侧面积为 （ ）（A ）30π （B ）76π （C ）20π （D ）74π（2）阴影面积：中考必考知识3%方法：将给出的已知图形利用割，补，凑或等量转化变成我们所熟知的图形，再根据相关图形公式计算。
关于圆锥扇形的所有公式
关于圆锥扇形的所有公式
以下是圆锥和扇形的部分公式：
1. 弧长公式：n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为L=nπr/180 。
2. 扇形面积公式：其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。
S=﹙n/360﹚πR2=1/2×lR 。
3. 圆锥的侧面积：其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。
S=1/2×l×2πr=πrl 。
4. 弦切角定理：弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。
弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。
5. 圆的直径D=2×R。
6. 圆的周长C=2×π()×R。
7. 圆的面积S=π()×R²。
以上信息仅供参考，如果还有疑问，建议查阅数学书籍或咨询数学老师。
扇形、圆柱、圆锥面积公式及计算
扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图［学习目标］1. 掌握基本概念：正多边形，正多边形的中心角、半径、边心距以及平面镶嵌等。
2. 扇形面积公式：n是圆心角度数，R是扇形半径，l是扇形中弧长。
3. 圆柱是由矩形绕一边旋转360°形成的几何体，侧面展开是矩形，长为底面圆周长，宽为圆柱的高r底面半径h圆柱高4. 圆锥侧面积圆锥是由直角三角形绕一直角边旋转360°形成的几何体。
侧面展开是扇形，扇形半径是圆锥的母线，弧长是底面圆周长。
5. 了解圆柱由两平行圆面和一曲面围成，明确圆柱的高和母线，它们相等。
6. 了解圆锥由一个曲面和一个底面圆围成，明确圆锥的高和母线，知道可以通过解高、母线、底面半径所围直角三角形，解决圆锥的有关问题。
7. 圆柱圆柱的侧面展开图是两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面周长的矩形。
圆柱的侧面积等于底面周长乘以圆柱的高。
如图所示，若圆柱的底面半径为r，高为h，则：，。
8. 圆锥圆锥是由一个底面和一个侧面组成的。
圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，这个曲面在一个平面上展开后是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥底面的周长。
因此，圆锥的侧面积是圆锥的母线与底面周长积的一半。
如图所示，若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则。
［重点、难点］扇形面积公式及圆柱、圆锥侧面积公式的理解和灵活应用。
【典型例题】例1. 已知如图1，矩形ABCD中，AB＝1cm，BC＝2cm，以B为圆心，BC为半径作圆弧交AD于F，交BA延长线于E，求扇形BCE被矩形所截剩余部分的面积。
图1解：∵AB＝1，BC＝2，F点在以B为圆心，BC为半径的圆上，∴BF＝2，∴在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，∠ABF＝60°∴例2. 已知扇形的圆心角150°，弧长为，则扇形的面积为____________。
解：设扇形的面积为S，弧长为l，所在圆的半径为R，由弧长公式，得：∴由扇形面积公式，，故填。
九年级数学第二十四章 第4节 弧长和扇形面积人教实验版知识精讲
九年级数学第二十四章 第4节 弧长和扇形面积人教实验版【本讲教育信息】一、教学内容：弧长和扇形面积 1. 弧长和扇形面积.2. 圆锥的侧面积和全面积.二、知识要点：1. 弧长和扇形面积（1）圆的周长公式C ＝2πR ，n °的圆心角所对的弧长l ＝n πR180.（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.（3）圆的面积公式S ＝πR 2，圆心角为n °的扇形的面积公式S 扇形＝n πR 2360. 当扇形所对的弧长为l 时，S 扇形＝12l R.2. 弓形面积（1）由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.（2）当弓形所含的弧是劣弧时，S 弓形＝S 扇形－S △；当弓形所含的弧是优弧时，S 弓形＝ S 扇形＋S △.3. 圆锥的侧面积和全面积连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线，圆锥的母线都相等. 如果把圆锥的侧面沿它的一条母线剪开，展开在一个平面上，那么它的展开图是一个扇形. 如图所示，这个扇形的半径是圆锥的母线长SA ，弧长是圆锥底面圆的周长.如图中，高SO ＝h ，底面圆的半径OA ＝r ，母线SA ＝l ，则有h 2＋r 2＝l 2，侧面展开图中，扇形的半径为1，弧长︵AC 为2πr .圆锥的侧面积S 侧＝12l ·2πr ＝πrl ；全面积S 全＝S 侧＋S 底＝πrl ＋πr 2.r三、重点难点：本节课的重点是计算弧长和扇形面积以及圆锥的侧面积和全面积. 难点是对弧长和扇形面积公式的理解和公式变形后的灵活运用.四、考点分析：圆的有关性质与圆的有关计算是近几年各地中考命题考查的重点内容，题型以填空题、选择题和解答题为主，也有以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型，分值一般为6~12分. 考查内容主要包括：圆的有关性质的应用；直线和圆、圆和圆位置关系的判定及应用；弧长、扇形面积、圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算；圆与相似、三角函数的综合运用.【典型例题】例1. 已知扇形的圆心角为270°，弧长为12π. 求扇形的面积.分析：根据扇形面积计算公式S ＝n πr 2360＝12lr . 已知n ＝270，l ＝12π. 不管用哪一个公式都必须先求出r ，可借助弧长公式l ＝n πr180求出r .解法一：设扇形半径为r .因为l ＝n πr 180，所以r ＝180l n π＝180×12π270×π＝8.所以S 扇形＝n πr 2360＝270×π×82360＝48π.解法二：设扇形半径为r . 由解法一知r ＝8.所以S 扇形＝12lr ＝12×12π×8＝48π.评析：扇形面积计算公式有两个，解题时要灵活选用. 特别是题目条件中弧长已知时，用S ＝12lr 计算较简便.例2. 如图所示，当半径为30cm 的圆（轮）转动过120°角时，传送带上的A 物体平移的距离为__________cm .分析：A 物体平移的距离相当于圆上的120°的圆心角所对的弧长. ∵R ＝30cm ，n ＝120，∴l ＝120·π·30180＝20π（cm ）.解：20π评析：关键是找出A 物体平移的距离与圆弧长的关系，也可以通过实验操作，或想象圆转动来确立. 在填答案时，由于没有确定精确度，故可以保留π.例3. （1）如图①所示，⊙A 、⊙B 、⊙C 两两不相交，且半径都是1，则图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为（ ）A. π12B. π8C. π6D. π2（2）如图②所示，有一圆锥形粮堆，从正面看它是一个边长为6m 的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路线长是__________m . （结果不取近似值）BB②③分析：（1）∵S 扇1＝n 1πR 2360，S 扇2＝n 2πR 2360，S 扇3＝n 3πR 2360. ∴S 阴＝S 扇1＋S 扇2＋S 扇3＝n 1πR 2360＋n 2πR 2360＋n 3πR 2360＝πR 2360（n 1＋n 2＋n 3）＝πR 2360×180＝π2，故正确答案为D. （2）设展开后扇形的圆心角为n °，则n π×6180＝π×6，解得n ＝180. 所以圆锥侧面展开后为半圆，且AB⊥AC. 在R t △ABP 中，AB ＝6，AP ＝3，则BP ＝35（m ）.解：（1）D （2）3 5例4. 如图所示，在R t △ABC 中，已知∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝6cm ，把△ABC 以点B 为中心逆时针旋转，使点C 旋转到AB 边的延长线上的点C ’处，那么AC 边扫过的图形（图中阴影部分）的面积是__________cm 2. （不取近似值）A分析：图中的阴影部分可以看成是由△A ’BC ’与扇形ABA ’的和减去△ABC 与扇形CBC ’，由旋转得S △ABC ＝S △A ’BC ’，∠ABA ’＝180°－∠A ’BC ’＝180°－60°＝120°，AB ＝6cm ，又扇形CBC ’中，∠CBC ’＝∠ABA ’＝120°（旋转角），BC ＝12AB ＝12×6＝3（cm ），因此S 扇形ABA ’＝120×π×62360＝12π（cm 2），S 扇形CBC ’＝120×π×32360＝3π（cm 2），∴S 阴影部分＝S 扇形ABA ’－S 扇形CBC ’＝12π－3π＝9π（cm 2）.解：9π评析：组合图形（不规则图形）面积，通常将其转化成规则图形的面积或规则图形面积的和差.例5. 如图所示，已知R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝20cm ，BC ＝15cm ，以直线AB 为轴旋转一周，得到一个锥体，求这个几何体的表面积.分析：这个几何体的表面积是两个圆锥侧面积的和. 其中AB 为旋转轴，OC 为旋转半径，OC 就是△ABC 的高，可用面积法求得OC. 旋转结果为两个共底的圆锥，这两个圆锥的母线分别为AC 和BC.ACO解：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝20，BC ＝15. AB ＝AC 2＋BC 2＝202＋152＝25. ∵AB 为旋转轴，∴旋转半径OC ＝AC ·BC AB ＝20×1525＝12，且旋转结果为两个共底的圆锥.S 上＝12×2π×OC ×AC ＝π×12×20＝240π（cm 2），S 下＝12×2π×OC ×BC ＝π×12×15＝180π（cm 2），∴这个几何体的表面积S ＝240π＋180π＝420πcm 2. 答：这个几何体的表面积是420πcm 2.评析：本题考查学生的空间想像能力，对旋转体概念理解能力，对旋转体表面积的计算能力.【方法总结】1. 本课是关于圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、以及圆锥侧面积的计算，我们应该熟记它们的计算公式.2. 把不规则图形的面积通过“和差法”、“割补法”、“等积代换法”等方法转化成规则图形面积来解决.【预习导学案】（随机事件和概率）一、预习前知1. 随意地向上抛一枚硬币，落地后有几种可能？2. 在做“锤子、剪刀、布”的游戏时，你知道获胜的把握有多大吗？二、预习导学1. 必然事件是指__________，不可能事件是指__________，随机事件是指__________.2. 下列事件： （1）任意三角形内角和都是180°；（2）任意选择电视的某一频道，它正在播放新闻；（3）两条线段可以组成一个三角形，其中__________是必然事件，__________是不可能事件，__________是随机事件.3. 若一袋中装有大小、质地等完全相同的5个黑球、8个白球，在看不到球的情况下，随机摸出一球，摸到__________球的可能性大. 若想让摸到另一种颜色的球的可能性大，应如何设计__________.4. 概率是指事件发生的__________稳定在某个__________附近，则这个__________就叫做这个事件的概率. 如抛掷硬币时，“正面向上”的频率约为0.5，则说此事件发生的概率约为__________. 反思：（1）如何划分事件发生的可能性？（2）如何理解试验频率与概率的关系？ （3）影响概率大小的因素有哪些？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 如图，已知⊙O 的半径OA ＝6，∠AOB ＝90°，则∠AOB 所对的弧AB 的长为（ ） A. 2π B. 3π C. 6π D. 12πAB2. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm ，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是（ ）A. 10π3cmB. 20π3cmC. 25π3cmD. 50π3cm3. 若扇形的圆心角是150°，扇形的面积是240πcm 2，则扇形的弧长是（ ） A. 5πcm B. 20πcm C. 40πcm D. 10πcm4. 如图所示，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 互不相交，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE ，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（ ）A. ππ C. 2ππ*5. 如图所示，正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的有（ ） A. （1）（2）（3） B. （2）（3）（4） C. （1）（3）（4） D. （1）（2）（3）（4）(1)(2)(3)(4)6. 如图，︵AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为︵AD 上任意一点，若AC ＝5，则四边形ACBP 周长的最大值是（ ）A. 15B. 20C. 15＋5 2D. 15＋5 5ABD*7. 如图，用两道绳子捆扎着三瓶直径均为8cm 的酱油瓶，若不计绳子接头（π取3），则捆绳总长是（ ）A. 24cmB. 48cmC. 96cmD. 192cm**8. 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角是（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 180°二、填空题1. 一条弧所对的圆心角为90°，半径为3，那么这条弧长为__________.2. 已知R t △ABC ，斜边AB ＝13 cm ，以直线BC 为轴旋转一周，得到一个侧面积为65πcm 2的圆锥，则这个圆锥的高等于__________.3. 如图所示为一弯形管道，其中心线上一段圆弧AB. 已知半径OA ＝60㎝，∠AOB ＝ 108，则管道的长度（即弧AB 的长）为__________cm （结果保留π）4. 某校校园里修了一个面积为16平方米的正方形花坛（如图所示），学校准备将阴影部分种上花，其余部分种草，则种花的面积是__________平方米.*5. 如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为__________（结果保留π）6. 小红要过生日了，为了筹备生日聚会，她准备自己动手用纸板制作圆锥形的生日礼帽. 如图所示，圆锥帽底面半径为9cm，母线长为36cm，请你帮助她计算制作一个这样的生日礼帽需要纸板的面积为__________.36cm9cm三、解答题1. 如图所示，圆锥底面半径为r，母线长为3r，底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A 点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径.*2. 如图所示，等腰R t△ABC中斜边AB＝4，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两腰相切于点D、E，图中阴影部分的面积是多少？请你把它求出来. （结果用π表示）3. 如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，若直角三角形ABC绕AB旋转所得的圆锥的侧面积和矩形ABCD绕AB旋转所得到的圆柱的侧面积相等，求BC的长.ADB C**4. 如图所示，一只狗用皮带系在10×10的正方形狗窝的一角上，皮带长为14，在狗窝外面狗能活动的X围面积是多少？【试题答案】一、选择题1. B2. B3. B4. B5. C6. C7. C8. D二、填空题1. 32π2. 12cm3. 36π4. 85. 38π 6. 324πcm 2三、解答题1. 将圆锥沿过A 点的母线展开，爬行最短路径是从展开扇形弧的一端沿直线爬行到另一端. 这一长度是33r .2. 连接OE ，则△OEB 是等腰直角三角形，且面积为1. 扇形OEF 的面积为14π，阴影部分面积为2－12π3. 根据题意12×2π×BC ×AC ＝2π×BC ，即AC ＝2，在R t △ABC 中，BC ＝AC 2－AB 2＝ 3.4. 活动X 围由3部分（图中阴影部分）组成：半径为14、圆心角为270°的扇形一个，半径为14－10＝4、圆心角为90°的扇形两个. 狗的活动面积是：270π×142360＋2×90π×42360＝155π。
中考圆知识点总结复习
中考圆知识点总结复习只要知道其中一个结论，就能推出其他三个结论。
首先，圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合。
圆的外部是到定点的距离大于定长的点的集合，圆的内部是到定点的距离小于定长的点的集合。
另外，圆也可以看作是到定点的距离等于定长的点的轨迹，以定点为圆心、定长为半径的圆。
除了圆，还有其他轨迹形式的概念，如垂直平分线、角的平分线等。
垂直平分线是到线段两端距离相等的点的轨迹，也叫中垂线。
角的平分线是到角两边距离相等的点的轨迹。
还有到直线的距离相等的点的轨迹，是平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线。
到两条平行线距离相等的点的轨迹是平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
点与圆的位置关系分为三种情况：点在圆内、点在圆上、点在圆外。
直线与圆的位置关系也有三种情况：相离、相切、相交。
相交时有两个交点，相切时有一个交点，相离时没有交点。
圆与圆的位置关系有五种情况：外离、外切、相交、内切、内含。
垂径定理是指垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论包括平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
以上共四个定理，简称2推3定理。
圆心角定理是指同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
这个定理也称1推3定理，因为只要知道其中一个结论，就能推出其他三个结论。
例如，圆的两条平行弦所夹的弧相等。
的两部分的几何平均数。
即：在⊙O中，∵AB是弦且与直径OD垂直相交于点PPA PB(OD/2)²2、切线弦定理：圆外一点的切线与这点到圆心的连线所夹的弦相乘等于切点到圆心距离的平方。
即：在⊙O中，∵XXX是切线，OP是半径，且PA与弦AB相交于点PPA PB OP²3、圆幂定理：圆外一点的两条切线所夹的弦的乘积等于这点到圆心距离的平方。
即：在⊙O中，∵XXX、PB是切线，OP是半径PA PB OP²1、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如右图）。
弧长扇形面积圆锥,圆柱侧面展开图
24.4弧长和扇形面积一．弧长：公式： .探究：如图，用一根铁丝能弯成一个半径为9cm ，圆心角为︒100的圆弧，求铁丝的长相关思路：⑴︒360圆心角的圆的周长公式为 ；⑵︒1的圆心角所对的弧长为 ；⑶︒n 的圆心角所对的弧长为 .解答：二．练习：1．已知扇形的圆心角为︒120，半径为6，则扇形的弧长是（ ）A ．π3B ．π4C ．π5D ．π62.已知一条弧长为l ，它所对圆心角的度数为︒n ，则这条弦所在圆的半径为（ ）． Ａ．180ln π Ｂ．πn l 180 Ｃ．πn l 360 Ｄ．n lπ1803.一条弧所对的圆心角是︒90，半径是R ，则这条弧的长是 ．4.︒75的圆心角所对的弧长是π5.2cm ，则此弧所在圆的半径为 cm .5． 如图，两个大小一样的传送轮连接着一条传送带，求这条传送带的长三．扇形面积：探究：如图，在半径为为9cm 的圆中剪去一个圆心角为︒100的扇形，求此扇形的面积.相关思路：⑴︒360圆心角的圆的面积公式为 ；⑵︒1的圆心角的扇形面积为 ；⑶︒n 的圆心角的扇形面积为 ；⑷︒n 的圆心角的扇形面积可用其弧长、半径表示为 .解答：四．练习：1．半径为3，圆心角为︒120的扇形的面积为 .2.扇形的圆心角为︒210，弧长是π28，则扇形的面积为 ．3．扇形的弧长为6π，面积为12π，则此扇形的半径为 .4．扇形的面积为π32，半径为2，则此扇形的圆心角为 .5．若扇形的圆心角为︒120，弧长为π6cm ，则这个扇形的面积为 ．6．一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍，且面积相等．则这个扇形的圆心角为 ．7.一个扇形的弧长为π20cm ，面积为π2402cm ，则此扇形的圆心角为.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是m 6.0，其中水面高m 3.0.求截面上有水部分的面积.8．如图，已知在扇形AOB 中，若︒=∠45AOB ，cm AD 4=，弧π3=CD cm ，求图中阴影部分的面积．1．（2013•佛山）如图，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线AB 与高AO 的夹角．参考公式：圆锥的侧面积S=πrl，其中r 为底面半径，l 为母线长．2．（2011•陕西）一天，数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些坑道对河道的影响，如图是同学们选择（确保测量过程中无安全隐患）的测量对象，测量方案如下：①先测出沙坑坑沿的圆周长34.54米；②甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于B 时恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上一点A 看到坑底S （甲同学的视线起点C 与点A ，点S 三点共线），经测量：AB=1.2米，BC=1.6米．根据以上测量数据，求圆锥形坑的深度（圆锥的高）．（π取3.14，结果精确到0.1米）3．（2011•杭州）在△ABC中，AB= 3，AC= 2，BC=1．（1）求证：∠A≠30°；（2）将△ABC绕BC所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积．4．（2009•青海）如图，一个圆锥的高为33cm，侧面展开图是半圆．求：（1）圆锥的母线长与底面半径之比；（2）求∠BAC的度数；（3）圆锥的侧面积（结果保留π）．5．（2008•庆阳）附加题：对于本试卷第19题：“图中△ABC外接圆的圆心坐标是”．请再求：（1）该圆圆心到弦AC的距离；（2）以BC为旋转轴，将△ABC旋转一周所得几何体的全面积．（所有表面面积之和）6．（2008•南通）铁匠王老五要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）请你帮助他算一算可以吗？（1）请说明方案一不可行的理由；（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由7．（2007•庆阳）如图，一个直角三角形两条直角边分别为3cm 和4cm ，以斜边AB 所在直线为轴旋转一周得到一个几何体，在虚线框内画出这个几何体的草图，求这个几何体的表面积．8．（2006•芜湖）在一次科学探究实验中，小明将半径为5cm 的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形．（1）取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线OB 长为6cm ，开口圆的直径为6cm ．当滤纸片重叠部分三层，且每层为41圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明；（2）假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为6cm ，开口圆的直径为7.2cm ，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？9．（2006•攀枝花）如图，圆锥的底面半径r=3cm ，高h=4cm ．求这个圆锥的表面积．（π取3.14）10．（2005•山西）下图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥．该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB．经测量，纸杯上开口圆的直径为6cm，下底面直径为4cm，母线长EF=8cm．求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积．（面积计算结果用π表示）．11．（2003•宁波）已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm2．（1）求扇形的弧长；（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？12．（2003•淮安）如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为6cm．（1）请用尺规作出扇形的对称轴（不写作法，但应保留作图痕迹）；（2）若将此扇形围成一个圆锥的侧面（不计接缝），求圆锥的高．1．（2008•庆阳）下图是某几何体的展开图．（1）这个几何体的名称是；（2）画出这个几何体的三视图；（3）求这个几何体的体积．（π取3.14）2．（2006•烟台）如图1，O 为圆柱形木块底面的圆心，过底面的一条弦AD ，沿母线AB 剖开，得剖面矩形ABCD ，AD=24cm ，AB=25cm ．若弧AmD 的长为底面周长的32，如图2所示． （1）求⊙O 的半径；（2）求这个圆柱形木块的表面积．（结果可保留π和根号）3．（2006•丽水）如下示意图，是我市香菇培植场常见的半地下室栽培棚，它由两部分组成，地上部分为半圆柱形四周封闭的塑料薄膜保温棚；地下部分为长方体的培植室，室内长30米，宽1.2米的地面上存放菌棒培育香菇．（1）地下培植室内按标准排放菌棒，宽排放8袋，长每米排放4排，求能排放多少袋香菇菌棒？（2）要建这样的保温棚约需多少平方米的塑料薄膜？（不计余料及埋在土里的塑料薄膜，结果精确到0.1平方米）4．（2006•安徽）附加题：如图是某工件的二视图，按图中尺寸求工件的表面积．5．（2004•宁波）如图，矩形ABCD 中，AB=1，若直角三角形ABC 绕AB 旋转所得圆锥的侧面积和矩形ABCD 绕AB 旋转所得圆柱的侧面积相等，求BC 的长．9．（2002•安徽）如图，是一个几何体的二视图，求该几何体的体积．（π取3.14）6．（2004•杭州）要在如图所示的一个机器零件（尺寸单位：mm ）表面涂上防锈漆，请你帮助计算一下这个零件的表面积．3．（2010•宜宾）将半径为5的圆（如图1）剪去一个圆心角为n °的扇形后围成如图2所示的圆锥，则n 的值等于 ．11．（2006•安徽）如图是某工件的三视图，求此工件的全面积．4．（2009•永州）问题探究：（1）如图①所示是一个半径为23，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，AB 是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B 点，求蚂蚁爬行的最短路程．（探究思路：将圆柱的侧面沿母线AB 剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形ABB ′A ′，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段AB ′的长）；（2）如图②所示是一个底面半径为32，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，PA 是它的一条母线，一只蚂蚁从A 点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A 点，求蚂蚁爬行的最短路程；（3）如图③所示，在②的条件下，一只蚂蚁从A 点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA 上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程．6．（2007•庆阳）如图，一个直角三角形两条直角边分别为3cm 和4cm ，以斜边AB 所在直线为轴旋转一周得到一个几何体，在虚线框内画出这个几何体的草图，求这个几何体的表面积．7．（2007•荆州）如图，不透明圆锥体DEC 放在水平面上，在A 处灯光照射下形成影子．设BP 过底面圆的圆心，已知圆锥体的高为23m ，底面半径为2m ，BE=4m ．（1）求∠B 的度数；（2）若∠ACP=2∠B ，求光源A 距水平面的高度．（答案用含根号的式子表示）10．（2006•贵阳）如图，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径AB=12cm ，高BC=8cm ，求这个零件的表面积．（结果保留π）。
九年级数学扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图人教版知识精讲
九年级数学扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图［学习目标］1. 掌握基本概念：正多边形，正多边形的中心角、半径、边心距以及平面镶嵌等。
2. 扇形面积公式：S n R lR 扇==π236012n 是圆心角度数，R 是扇形半径，l 是扇形中弧长。
3. 圆柱是由矩形绕一边旋转360°形成的几何体，侧面展开是矩形，长为底面圆周长，宽为圆柱的高S rh 圆柱侧=2π r 底面半径 h 圆柱高4. 圆锥侧面积圆锥是由直角三角形绕一直角边旋转360°形成的几何体。
侧面展开是扇形，扇形半径是圆锥的母线，弧长是底面圆周长。
5. 了解圆柱由两平行圆面和一曲面围成，明确圆柱的高和母线，它们相等。
6. 了解圆锥由一个曲面和一个底面圆围成，明确圆锥的高和母线，知道可以通过解高、母线、底面半径所围直角三角形，解决圆锥的有关问题。
7. 圆柱圆柱的侧面展开图是两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面周长的矩形。
圆柱的侧面积等于底面周长乘以圆柱的高。
如图所示，若圆柱的底面半径为r ，高为h ，则：S rh 侧=2π，S S S rh r r h r 表侧底=+=+=+22222πππ()。
8. 圆锥圆锥是由一个底面和一个侧面组成的。
圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，这个曲面在一个平面上展开后是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥底面的周长。
因此，圆锥的侧面积是圆锥的母线与底面周长积的一半。
如图所示，若圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则S l r rl 侧·，==122ππ S S S rl r r l r 表侧底=+=+=+πππ2()。
［重点、难点］扇形面积公式及圆柱、圆锥侧面积公式的理解和灵活应用。
【典型例题】例1. 已知如图1，矩形ABCD 中，AB ＝1cm ，BC ＝2cm ，以B 为圆心，BC 为半径作14圆弧交AD 于F ，交BA 延长线于E ，求扇形BCE 被矩形所截剩余部分的面积。
弧形、扇形公式解说和运用
弧形、扇形公式解说和运用知识点1、弧长公式因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：，说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。
（2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。
知识点2、扇形的面积如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。
又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。
知识点3、弓形的面积（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。
（2）弓形的周长＝弦长＋弧长（3）弓形的面积如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。
当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，例：如图所示，⊙O的半径为2，∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是（）（结果用表示）分析：由图可知由圆周角定理可知∠ABC＝∠AOC，所以∠AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以，所以圆周长弧长圆面积扇形面积公式（2）扇形与弓形的联系与区别图示面积知识点4、圆锥的侧面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2，圆锥的侧面积，圆锥的全面积说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。
扇形圆柱圆锥面积公式
扇形圆柱圆锥面积公式1.扇形的面积公式：扇形是由一个圆心和圆上的两个点及其所夹的弧组成的图形。
扇形的面积可以通过它所对应的圆的半径和所夹的弧长来计算。
假设扇形的圆心角为α，圆的半径为r，则扇形的面积S可以通过以下公式计算：S=(α/360)*π*r²这个公式的推导可以通过以下步骤来进行：首先将扇形分成n个小的三角形，每个三角形都可以看作是一个半径为r的圆的弧所对应的扇形。
然后计算每个小扇形的面积，再将它们相加即可得到总的扇形面积。
当n足够大时，求和项会趋近于圆心角所对应的扇形面积。
2.圆柱的表面积公式：圆柱是由一个圆和与圆平行的两个底面相连而成的图形。
圆柱的表面积可以通过底面的面积和侧面的面积之和来计算。
假设圆柱的底面半径为r，高度为h，则圆柱的表面积S可以通过以下公式计算：S = 2πr² + 2πrh其中，2πr²表示底面的面积，2πrh表示侧面的面积。
这个公式的推导可以通过将圆柱展开为一个矩形来进行：首先将圆柱展开为一个长方形，它的宽度是底面圆的周长2πr，长度是圆柱的高度h。
然后计算矩形的面积即可得到总的表面积。
3.圆锥的表面积公式：圆锥是由一个圆锥面和一个底面圆相连而成的图形。
圆锥的表面积可以通过圆锥面的面积和底面的面积之和来计算。
假设圆锥的底面半径为r，斜高（即圆锥的高度）为l，则圆锥的表面积S可以通过以下公式计算：S=πr(r+l)其中，πr²表示底面的面积，πrl表示圆锥面的面积。
这个公式的推导可以通过以下步骤来进行：首先将圆锥展开为一个扇形和一个扇形所对应的圆锥积薄片相连而成的图形。
然后计算扇形的面积和圆锥积薄片的面积，再将它们相加即可得到总的表面积。
综上所述，扇形的面积可以通过圆心角和半径计算，圆柱的表面积可以通过底面和侧面的面积计算，圆锥的表面积可以通过底面和圆锥面的面积计算。
这些公式在几何学中有着广泛的应用，在实际问题中可以帮助我们计算各种形状的面积。
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三角形外接圆、弧长、扇学、圆柱、圆锥
1．下列命题中正确的为（ ）
（A ）三点确定一个圆
（B ）圆有切只有一个内接三角形
（C ）三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点
（D ）面积相等的三角形的外接圆是等圆
2．钝角三角形的外心在（ ）
（A ）三角形的内部 （B ）三角形的外部
（C ）三角形的钝角所对的边上 （D ）以上都有可能
3．己知命题：(1)三角形中最少有一个内角不小于60°；(2)三角形的外心到三角形各边的距离都相等. 下面判断中正确的是（ ）
（A ）命题(1)(2)都正确 （B ）命题(1)正确，(2)不正确
（C ）命题(1)不正确，(2)正确 （D ）命题(1)(2)都不正确
4．下列条件，可以画出圆的是（）
A ．已知圆心
B ．已知半径
C ．已知三个点
D ．已知直径
5．三角形的外心是（）
A ．三条中线的交点
B ．三条中垂线的交点
C ．三条高的交点
D ．三条角平分线的交点
6．若三角形的外心在三角形内，则三角形的形状是（）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．形状无法确定
7．在下列三角形中，外心在它一条边上的三角形是（）
A ．边长分别为cm 2、cm 2、cm 3
B ．三角形的边长都等于cm 5
C ．三角形的边长分别为cm 5、2cm 1、3cm 1
D ．三角形的边长为cm 4、cm 6、cm 8
8．下列说法正确的是（ ）．
A ．三点决定一个圆
B ．三角形的中心就是三角形的外心
C ．三角形的外心就是三条中线的交点
D ． Rt 斜边的中点就是这个三角形的外心．
9．下列说法中，正确的是（ ）．
A ．三点决定一个圆
B ．过一点不能作圆
C ．过两点不能作圆
D ．一个圆的圆心决定这个圆的位置，这个圆的半径决定这个圆的大小
10．下列命题：(1)经过三点一定可以作圆；(2)任一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；(3)任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；(4)三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
1 已知：弧长为l ，它所对应的圆心角为120°，求这条弧所对应的弦长．
例 已知扇形的圆心角150°，弧长为π20cm ，则扇形的面积为_______.
例 如图，已知扇形AOB 的中心角为直角，若cm 4=OA ，以AB 为直径作半圆，求圆中阴影部分的面积
.
例 （1）已知扇形的半径为10cm ，弧长为π5cm ，则扇形的面积为______cm 2.
（2）一个扇形的半径等于一个圆的半径的
3倍，且面积相等，则这个扇形的圆心角等于________度.
（3）如图，已知半圆的直径︒=∠==35,,cm 10ACD AD AB BC ，则图中阴影部分的面积等于_________.
A B
O H R
例1. 如图，圆心角为600的扇形的半径为10cm ，求这个扇形的面积和周长.
变式题：若一个扇形的半径等于一个圆的半径的3倍，且它们的面积相等，则这个扇形的圆心角为 度.
例2. 如图，是某工件形状，圆弧BC 的度数为600，AB=6 cm ，点B 到点C 的距离等于
AB ，∠BAC=300，求工件的面积.
例1. （1）圆锥底面圆的半径为5 cm ，母线长为8 cm ，则它的侧面积为 .（用含π
的式子表示）
（2）如图，圆锥底面圆的直径为6 cm ，高为4 cm ，则它的全面积为 cm 2.
变式题：（1）已知圆锥的底面半径为40cm ，母线长为90 cm ，则它的侧面展开图的圆心角为 .
（2）亮亮想制作一个圆锥模型，模型的侧面是用一个半径为9 cm ，圆心角为2400的扇形
铁皮制作的，再用一块圆形铁皮做底，请你帮他计算这块铁皮的半径为 cm.
例2. 如图，在ABC Rt ∆中，∠C ＝900，AB=13 cm ，BC=5 cm ，求以AB 为轴旋转一周
所得到的几何体的全面积.
O
A B A C
B C A
例3. 如图，矩形ABCD 中，AB=18 cm ，AD ＝12 cm ，以AB 上一点O 为圆心，OB 长为半径画弧BF
恰与DC 边相切，交AD 于F 点，连结OF.若将这个扇形OBF 围成一个圆锥，求这个圆锥的底面积S.
例2. 如图所示，圆锥的底面圆的半径为3 cm ，母线长为12 cm ，在底面圆周上有一蜘
蛛从点A 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A ，求它爬行的最短路线的长.
例2. 如图，圆锥的轴截面是边长为6cm 的正三角形ABC ，P 是母线AC 的中点.求在圆锥
的侧面上从B 点到P 点的最短路线的长.
3. 如图，有一直径为1 m 的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是900的扇形ABC ，
求：（1）被剪掉阴影部分的面积；（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？（结果用根号表示）
F
C。