初中数学弧长和扇形面积圆锥的侧面展开图

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弧长和扇形的面积圆锥的侧面展开图课件

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扇形面积公式的应用
通过具体例题演示扇形面积公式的应用
总结公式中各参数的含义及对结果的影响
强调扇形面积公式在几何、物理等学科中的应用价值
03
圆锥的侧面展开图
圆锥的侧面展开图的引入
圆锥是常见的几何体，其侧面展开图是扇形。
通过探究圆锥的侧面展开图，可以深入了解圆锥的特征和应用。
圆锥的侧面展开图的证明
利用圆的参数方程，推导出弧长公式。
弧长公式的应用
用于计算圆的周长。
用于圆锥的侧面展开图计算。
用于计算扇形的面积。
02
扇形面积公式推导
扇形面积公式的引入
描述扇形在生活中的应用，如滑梯、风车等引出扇形面积公式的重要性
扇形面积公式的证明
通过图形变换，将扇形转化为三角形进行证明
扇形面积公式为：$S= \frac{n\pi r^{2}}{360}$，其中n为扇形的圆心角，r为半径
圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径称为圆锥的母线。
圆锥底面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ周长即为其侧面展开图的弧长。
圆锥的高等于其侧面展开图的中心到顶点的距离。
圆锥的侧面展开图的应用
圆锥的侧面展开图可用于制作圆锥形的物体或建筑物。
圆锥的侧面展开图可以用于计算圆锥的表面积和体积。
通过圆锥的侧面展开图，可以进一步探究其他几何体的性质和应
弧长和扇形的面积圆锥的侧面展开图课件
contents
目录
• 弧长公式推导 • 扇形面积公式推导 • 圆锥的侧面展开图 • 弧长和扇形面积的关系
01
弧长公式推导
弧长公式的引入
01
弧长是圆弧的长度，在几何学中有着重要的应用。

3.93弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解(基础)

3.93弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解（基础）【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；3. 能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n °的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n °的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.要点三、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则圆锥的侧面积，圆锥的全面积.要点诠释：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1．如图（1），AB切⊙O于点B，OA=AB=3，弦BC∥OA，则劣弧 BC的弧长为（）．ABC．πD．32π图（1）【答案】A.【解析】连结OB、OC，如图（2）则0OBA∠︒＝9，A∠︒＝3，0AOB∠︒＝6，由弦BC∥OA得60OBC AOB∠∠=︒＝，所以△OBC为等边三角形，0BOC∠︒＝6.则劣弧 BC，故选A. 图（2）【总结升华】主要考查弧长公式：.举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)【答案】R=40mm ，n=110∴的长==≈76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm ．2．如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）【答案与解析】∵弦AB 和半径OC 互相平分，∴OC ⊥AB ，OM=MC=OC=OA ．∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120° ∴S 扇形=．【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.举一反三：【变式】如图（1），在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（）．A ．449-π B ．849-πC ．489-πD ．889-π的面积是：BC•AD=×4×2=4，类型二、圆锥面积的计算3．小红为了迎接圣诞节而准备做一顶圣诞帽．如图所示，圆锥的母线长为26cm ，高24cm ，求它的底面半径及做这样一顶帽子需要的布料面积(接缝忽略不计)．【答案与解析】如图所示，在Rt △SOA 中，10cm r ==．即圆锥底面半径为10cm ，做这样的圣诞帽需布料πRr=260πcm 2．【总结升华】本题考查的是圆锥母线R ，高h ，底面半径r 三者的关系，及利用圆锥侧面积解决实际问题的方法．根据圆锥母线R ，高h ，底面半径r 的关系，可求r πRr ．类型三、组合图形面积的计算4．如图所示，水平放置的圆柱形油桶的截面半径是R ，油面高为32R ，求截面上有油的弓形(阴影部分)的面积．【答案与解析】如图所示，作OC ⊥AB ，交AB 于D ，交⊙O 于C ． ∵ 12CD R =，12OD R =， ∴ ∠AOB ＝2∠COB ＝120°，AB ＝2BD ＝2R =， ∴ 阴影部分面积为22240112360223R R R ππ⎛+=+ ⎝⎭ ．【总结升华】弓形的面积是扇形面积加上三角形的面积. 【巩固练习】C一、选择题1.一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（）A.5πB. 4πC.3πD.2π2．如图所示，边长为12m的正方形池塘的周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一棵树，且AB＝BC＝CD＝3m．现用长4m的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在( )．A．A处 B．B处 C．C处 D．D处3．劳技课上，王红制作了一顶圆锥形纸帽，已知纸帽底面圆半径为10 cm，母线长为50 cm，则制作一顶这样的纸帽所需纸的面积至少为( )．A．250πcm2 B．500πcm2 C．600πcm2 D．1000πcm24．一圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角是( )．A．120° B．180° C．240° D．300°5．底面圆半径为3cm，高为4cm的圆锥侧面积是( )．A．7.5π cm2 B．12π cm2 C．15πcm2 D．24π cm26．小明要制作一个圆锥形模型，其侧面是由一个半径为9cm，圆心角为240°的扇形纸板制成的，还需用一块圆形纸板作底面，那么这块圆形纸板的直径为( )．A．15cm B．12cm C．10cm D．9cm二、填空题7．已知扇形圆心角是150°，弧长为20πcm，则扇形的面积为________．8．如图，某传送带的一个转动轮的半径为40cm，转动轮转90°传送带上的物品A被传送厘米.第8题图第9题图第11题图9．如图所示，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为________cm2(结果保留π)．10．已知弓形的弦长等于半径R，则此弓形的面积为________．(劣弧为弓形的弧)11．如图所示，把一块∠A＝30°的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A B C''的位置．若BC的长为15cm，求顶点A从开始到结束所经过的路径长．12．如图所示，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于．三、解答题13．如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心， AB是大半圆的弦关与小半圆相切，且AB=24．问：能求出阴影部分的面积吗？若能，求出此面积；若不能，试说明理由．14. 圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD如图所示那样叠放在一起，连接AC、BD．(1)求证：△AOC≌△BOD；(2)若OA＝3cm，OC＝1cm，求阴影部分的面积．15．如图所示，线段AB与⊙O相切于点C，连接OA、OB，OB交⊙0于点D，已知OA＝OB＝6cm，AB＝，求：(1)⊙O的半径；(2)图中阴影部分的面积．16.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形PABC的边长为1，将其沿x轴的正方向连续滚动，即先以顶点A为旋转中心将正方形PABC顺时针旋转90°得到第二个正方形，再以顶点D为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转90°得到第三个正方形，依此方法继续滚动下去得到第四个正方形，…，第n个正方形．设滚动过程中的点P的坐标为（x，y）．（1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点P的坐标；（2）画出点P（x，y）运动的曲线（0≤x≤4），并直接写出该曲线与x轴所围成区域的面积．【答案与解析】一、选择题1.【答案】C .【解析】圆锥的侧面展开图的弧长为2π，圆锥的侧面面积为2π，底面半径为1，圆锥的底面面积为π，则该圆锥的全面积是2π+π=3π. 故选C.2.【答案】B【解析】小羊的活动区域是扇形，或是扇形的组合图形，只要算出每个扇形的面积，即可比较出拴在B 处时活动区域的面积最大．3.【答案】B ；4.【答案】B ；【解析】由22rl r ππ=得2l r =， ∴ 22180n rr ππ=．∴ n ＝180°． 5.【答案】C ；【解析】可求圆锥母线长是5cm ． 6.【答案】B ；【解析】∵24092180r ππ⨯=，∴ r ＝6cm ，2r ＝12cm ．二、填空题7.【答案】240πcm 2；【解析】先由弧长求出扇形的半径，再计算扇形的面积． 8．【答案】20π（cm ）；【解析】904020180180n r l πππ⨯===(cm)． 9．【答案】3π；【解析】由扇形面积公式得2212033360360n R S πππ⨯===扇形(cm 2)． 10．2；【解析】由弓形的弧长等于半径，可得弓形的弧所对的圆心角为60°． 11．【答案】20()cm π；【解析】顶点A 经过的路径是一段弧，弧所在的扇形的圆心角是120°，半径AC=2BC=30cm,1203020()180l cm ππ⨯==.12．【答案】3π；【解析】连接AC ，知AC ＝AB ＝BC ，∴ ∠BAC ＝60°，∴ 弧6011803BC ππ=⨯=．三、解答题13.【答案与解析】将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连OB ，过O 作OC ⊥AB 于C 点，则AC=BC=12， ∵AB 是大半圆的弦且与小半圆相切， ∴OC 为小圆的半径， ∴S 阴影部分=S 大半圆-S 小半圆 =π•OB 2-π•OC 2 =π（OB 2-OC 2） =πAC2=72π．故答案为72π．14.【答案与解析】(1)证明：同圆中的半径相等，即OA ＝OB ，OC ＝OD ．再由∠AOB ＝∠COD ＝90°，得∠1＝∠2，所以△AOC ≌△BOD ．(2)解：22211()(91)2(cm )44S S S OA OC πππ=-=-=-= 阴影扇形AOB 扇形COD． 15.【答案与解析】(1)如图所示，连接OC ，则OC ⊥AB ，∴ OA ＝OB ，∴ AC ＝BC ＝1122AB =⨯=．在Rt △AOC 中，3cm OC===．∴ ⊙O 的半径为3 cm ． (2)∵ OC ＝3cm 12=OB ，∠B ＝30°，∠COD ＝60°． ∴ 扇形OCD 的面积为226033(cm )3602ππ= ． ∴ 阴影部分的面积为 213)22BOC OCD S S OC CB π∆-=-= 扇形．16.【答案与解析】（1）第三个和第四个正方形的位置如图所示：第三个正方形中的点P的坐标为：（3，1）；（2）点P（x，y）运动的曲线（0≤x≤4）如图所示：由图形可知它与x轴所围成区域的面积=++1+=π+1．。

初中数学《弧长及扇形的面积》公开课课件

（1）要求扇子外围的弧长，需要知道哪些量？
（2）怎样求这把扇子一面用纸的面积？
圆心角度数，半径长度
大扇形面积—小扇形面积
弧长和扇形的面积公式
如果扇形的半径为r，圆心角为n°，那么

=

扇形 =

1
扇形 =
2
探求新知3——求弓形的面积
A
S阴影= S扇形-S△
B
S阴影=
2.观察该公式，它与我们学过的哪一个公式很类似？
弧长和扇形的面积公式
如果扇形的半径为r，圆心角为n°，那么

=

扇形 =

1
扇形 =
2
练习2
1. 已知扇形的圆心角为120°，半径为20，则该扇形的面积____.

2.已知扇形面积为
3
，圆心角为60°，则这个扇形的半径R=___.
探索新知1——弧长公式
例1：制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，
试计算图中所示管道的展直长度 l (结果保留，单位：mm)
思考：
展直长度指的是谁的长？
探求新知1——弧长公式
练习1
1.一个扇形半径是3，圆心角是240°，这个扇形的弧长是( C )
A. 2π
B. π
C. 4π
D. 12π
：
（2）说一说你是如何计算每一个弧长的。
圆心角的度数n°
360°
180°90°ຫໍສະໝຸດ 60°1°n°
计算过程
扇形的弧长 l
探索新知1——弧长公式
活动（1）已知扇形半径为r，请计算不同圆心角度数所对的弧长，并填表。
：
（2）说一说你是如何计算每一个弧长的。

2013届北师大版初中数学全程复习方略配套课件第二十九讲弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积

)
(D) 6 cm
【解析】选A.由扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2π cm，
即n=60，l=2π,根据弧长公式 l R=6 cm.
60R nR ,得 2 , 即 180 180
3.(2012·珠海中考)如果一个扇形的半径是1，弧长是 ,那
3
么此扇形的圆心角的大小为(
(A)30° (B)45°
知识点睛
在三个量l，n，R中，若已知其中两个量，就可以求出第三个量.
特别提醒
1.n表示该圆弧所对的圆心角的度数，其本身无单位； 2.在计算过程中，l与R单位要统一.
【例1】(2012·广安中考)如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上， AC= 3 ，∠ACB=90°，∠A=30°，若Rt△ABC由现在的位置向
2
以把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看作是底边，R看成是底边l上的高. 2.圆锥和其侧面展开图(扇形)之间的等量关系： (1)h2＋r2＝l2.
(2) BC 的长＝⊙O周长＝
nl 2 (3)S扇形ABC= =πrl. 360
nl . 180
弧长公式
◆中考指数：★★★★☆
180l 对于弧长公式 l nR ，可变形为： n 180 R 180l 或 R ， n
第二十九讲弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积
1.掌握：弧长公式、扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积公式； 2.会：计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积，借助分割的方法和转化的思想求阴影部分的面积.
一、圆周长和弧长公式 2π R 为圆的半径). 1.圆周长公式：C=_____(R 2.弧长公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l
(A)
5

最新北师大版九年级下册数学第三章第八节：圆锥的侧面积课件

即: S S 最新北师大版全初中数学精侧品 S底 rl r2
例1 、已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它
的侧面积为_1_2___
例2 、用一个半径为6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径
为_3_c_m__
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圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果精确到0.1cm2）
A
j
6
P
A B
P
B
O
C
C
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A
j
6
P
B
A
P
C
B
O
C
解：设圆锥底面半径为 r ，母线为 l ，展开后圆心角度
数为 n ，则底面圆的周长为 2 r，侧面展开图的弧长
为 n l ，
180
∴ 2 r nl
180
∵轴截面△ABC为等边三角形 ∴AB=BC 即 l 2r 6 r 3
S圆锥侧

rl

1 2
58 22.03

633.87cm2
638.87 20 12777.4cm2
所以，至少需要12777.4cm2的纸
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例：如图，一个圆锥形烟囱帽的底面直径是80cm，母线长50cm，要加工这样一个烟囱帽，需要多少铁皮？工匠师傅怎样从一个圆形铁皮中将其剪下来？
180ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∴从圆形铁皮上剪下一个圆心角为2880的扇形即可
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24.4 第1课时弧长和扇形面积初中数学人教版九年级上册教学课件

解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，
垂足为＝0.3 m， ∴ OD＝OC- DC＝0.3 m. ∴ OD＝DC. 又 AD ⊥DC，
O.
AD
B
C (3)
∴AD是线段OC的垂直平分线.
∴AC＝AO＝OC.
∴ ∠AOD＝60˚，∠AOB=120˚.
弧圆心角 O
A
B
扇形 O
A
判一判下列图形是扇形吗？
×
×
√
× √
合作探究
问题1 半径为r的圆,面积是多少？
r
S πr2
O
问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢?
r
180°
O
r 90°
O
r 45°
O
n°
r
O
圆心角占周角的比例
180 360 90 360
45 360
n 360
知识要点
弧长公式
l n 2πR nπR
360
180
注意用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义：n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
算一算已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧长为_43__π_.
例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长
度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度L.
扇形面积占圆面积的比例
180 360
＝
1 2
90 360
＝
1 4
45 360
＝1
8
n
360
扇形的面积
1 πr 2 2
1 πr 2 4 1 πr2 8
n πr2 360
知识要点扇形面积公式半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积

圆弧长和扇形的面积圆锥的侧面展开图

2023圆弧长和扇形的面积圆锥的侧面展开图CATALOGUE 目录•圆弧长和扇形的面积•圆锥的侧面展开图•从圆弧长和扇形的面积看圆锥的侧面展开图01圆弧长和扇形的面积圆弧长的正投影长度等于圆心角的大小根据圆的周长公式 C=2πr，圆弧长的公式为 L=C/θ，其中θ为圆心角的大小若已知圆弧所在圆的半径为r，则圆弧长的计算公式为 L=θr扇形的面积是指扇形所占圆心角大小和半径平方的比值若已知扇形的半径为r，圆心角的大小为θ，则扇形的面积计算公式为 S=1/2θr^2若已知扇形的半径为r，则扇形的面积计算公式为S=πr^2/360°•圆弧长和扇形的面积有着密切的联系，若已知扇形的半径为r，圆心角的大小为θ，则扇形的面积与圆弧长的关系为 S=1/2θr^2=1/2Lr，其中L为圆弧长圆弧长和扇形面积的关系02圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图由一个圆心角和弧长组成圆心角是扇形的角度，弧长是扇形的半径圆锥的侧面展开图定义圆锥的侧面展开图的画法确定圆锥的母线和圆心角画出扇形的弧长标注出扇形的角度和弧长计算圆锥的表面积求圆锥的侧面积圆锥的侧面展开图的应用03从圆弧长和扇形的面积看圆锥的侧面展开图圆锥侧面展开图是扇形，其圆弧长度等于圆锥底面圆的周长。

扇形的半径等于圆锥母线长，扇形的圆心角等于圆锥底面圆的圆心角。

圆锥的侧面展开图与圆弧长的关系圆锥侧面展开图面积等于扇形面积，即 S=1/2 × 圆弧长 × 半径。

当圆锥母线长和底面圆半径确定时，圆锥侧面展开图面积与底面圆周长成正比。

圆锥的侧面展开图与扇形面积的关系圆锥的侧面展开图的应用实例展示制作圆锥通过圆锥的侧面展开图，可以制作圆锥，只需要将扇形分成若干份，然后按照顺序折叠即可。

计算圆锥体积和表面积通过圆锥的侧面展开图，可以计算出圆锥的表面积和体积，只需要将扇形面积相加即可。

设计旋转体通过圆锥的侧面展开图，可以设计旋转体，只需要将扇形分成若干份，然后按照顺序旋转即可。

圆锥的侧面展开图

在认识圆锥的侧面积展开图时，应知道圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长。圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径，这样在计算侧面积和全面积时才能做到熟练、准确。
一、教师个人介绍省份：山东省学校：青州市谭坊初级中学姓名：郝素珍职称：二级教师电话： 3841370 电子邮件：794295686@ 通讯地址：青州市谭坊初级中学郝素珍，女，中学二级教师，1997 年毕业于昌潍师范师范专科学校数学教育专业，2000 年毕业于青岛海洋大学数学与应用数学专业。毕业后一直从事初中数学课的教育教学，并历年担任班主任。在校领导和同事的大力支持和帮助下，通过自己的不懈努力，取得了一定的成绩。曾获青州市优质课称号，论文多次获奖，连续多年获得镇优秀教师和优秀班主任称号，青州市优秀教师和青州市教坛新秀称号！我会一直坚持自己的教育理念：在平凡的岗位上努力做出最大的贡献，努力争做学生喜欢的老师和家长满意教师！教育无止境，在教与学中不断充实，完善自己，争取更好！
图 23.3.7
（三）应用与拓展：应用与拓展：例１、一个圆锥形零件的母线长为 a，底面的半径为 r，求这个圆锥形零件的侧面积和全面积．解圆锥的侧面展开后是一个扇形，该扇形的半径为 a ，扇形的弧长为 2 πr ，所以
1 S 侧＝ 2 ×2πr×a＝πra；
S 底＝πr2；
A
S＝πra＋πr2．
四。教学方法本节课内容较为抽象，所以在这节课学习上我采取学生自学，小组合作探究，教师答疑的方法进行，在授课过程中充分利用教具导学，以期达到让学生更好理解的目的。授课过程中通过讲解让学生充分明确侧面展开图与立体图中元素的对应关系，把握好二者的联系。通过例题和练习让学生进一步熟悉侧面展开图面积的计算，从而达到学以致用的目的，培养学生动手，动脑以及空间想象能力，进一步让学生体会数学与人类生活的联系！五．教学过程：（一）情境探究：由具体的模型认识圆锥的侧面展开图，认识圆锥各个部分的名称把一个

2022年初中数学《圆锥的侧面展开图》精品导学案

24.7 弧长与扇形面积第2课时圆锥的侧面展开图［学习目标］1．了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式.2．理解圆锥全面积的计算方法，并会应用公式解决问题.［学法指导］通过设置情景和复习扇形面积的计算方法探索圆锥侧面积和全面积的计算公式以及应用它解决现实生活中的一些实际问题.［学习流程］一、导学自习〔教材P55-56〕学生学习的最大敌人是依赖、被动！〔一〕知识链接〔约分钟〕1．什么是n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并请讲讲它们的异同点。

2．一种太空囊的示意图如下列图，•太空囊的外外表须作特别处理，以承受重返地球大气层时与空气摩擦后产生的高热，那么该太空囊要接受防高热处理的面积应由几局部组成的．〔二〕自主学习〔约分钟〕自学教材，思考以下问题：1．什么是圆锥的母线？2．圆锥的侧面展开图是什么图形？如何计算圆锥的侧面积？如何计算圆锥的全面积？假设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么圆锥的侧面积可表示为，圆锥的全面积为。

3．圆柱的侧面展开图是什么图形？假设圆柱底面圆的半径为r，圆柱的高为h，那么圆柱的侧面积可表示为，全面积可表示为。

二、研习展评〔亮出你的观点，秀出你的个性，展示你的风采！〕〔约分钟〕例1：蒙古包可以类似的看成由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为35m2，高为3.5m，外围高1.5m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡？〔结果取整数〕例2：扇形的圆心角为120°，面积为300 cm2．〔1〕求扇形的弧长；〔2〕假设将此扇形卷成一个圆锥，那么这个圆锥的轴截面面积为多少？［课堂小结］〔约分钟〕〔把你所学的知识整理一下吧，可别偷懒哦！〕［当堂达标］〔约分钟〕〔这里是你展示才情的舞台！〕1．P56练习。

2．圆锥的底面半径为1cm，母线长为3cm，那么其全面积为〔〕A．πB．3πC．4πD．7π3．用半径为30cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，•那么圆锥的底面半径为〔〕A．10cm B．30cm C．45cm D．300cm4．如图，圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，那么该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为〔〕A．60B．90C．120D．180〔第4题〕［分层作业］1．矩形ABCD的边AB=5cm，AD=8cm，以直线AD为轴旋转一周，•所得圆柱体的外表积是_________2．将一个底面半径为3cm，高为4cm圆锥形纸筒沿一条母线剪开，所得的侧面展开图的面积为__________。

初中数学圆的弧长及扇形面积公式 (含答案)

弧长及扇形面积第一部分知识梳理（一）、圆的弧长及扇形面积公式在半径为R 的圆中,n °的圆心角所对的弧长为C 1,以n °为圆心角的扇形面积为S 1弧长公式：弧长C 1＝180n R π 扇形面积公式： S 1＝2360n R π＝12C 1R注意：计算不规则图形的面积时，要转化成规则图形的面积进行计算。

（二）、圆锥的侧面积：注意：圆锥的侧面展开图是一个扇形其中：（1）h 是圆锥的高,r 是底面半径；（2）l 是圆锥的母线,其长为侧面展开后所得扇形的半径R ；（3）圆锥的侧面展开图是半径等于 l ,弧长等于圆锥底面周长C 的扇形.即： ①l =R ②180n Rπ=2πr ③h 2+r 2=l 2圆锥的侧面积 S 侧面积＝ πrl圆锥的全面积 S 全面积＝ πrl ＋πr 2第二部分中考链接一、有关弧长计算（一）、选择题1、（2018•淄博）如图，⊙O 的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC 的长为（）A 、2π B. 83π C 34π D. 43π1题图2题图 3题图 4题图 5题图2、（2018•黄石）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 为⊙O 上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则的长为（）A ．23πB ．43πC ．2πD ．83π3、（2018•沈阳）如图，正方形ABCD 内接于O ，AB=2，则的长是（）A ．πB ．πC ．2πD ．π4、（2018•陵城区二模）一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B 点从开始至结束所走过的路径长度为（）A ．B ．C ．4D ．2+5、（2018•明光市二模）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，OA=2，∠OAB=30°，弦BC ∥OA ，则劣弧的长是（）A ．B ．C ．D ．6、（2019青岛）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（）A．π B．2π C．2π D．4π6题图 7题图 8题图7、（2019烟台）如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝，CE＝3，则的长为（）A．B．πC．πD．π8、（2019泰安）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π（二）、填空题1、（2018•潍坊）如图，点A1的坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线l：y=x于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；…．按此作法进行下去，则的长是．．1题图 3题图 4题图5题图8题图2、（2018•连云港）一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为cm．3、（2018•永州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，则的长为．4、（2018•盐城）如图，图1是由若干个相同的图形（图2）组成的美丽图案的一部分，图2中，图形的相关数据：半径OA=2cm，∠AOB=120°．则图2的周长为cm（结果保留π）．5、（2018常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，的长是，则⊙O的半径是．6、（2018•温州）已知扇形的弧长为2π，圆心角为60°，则它的半径为．．7、（2018•白银）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为．8．（2019泰州）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为cm．（三）、解答题1．（2018•湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．二、、有关扇形面积计算（一）、选择题1、（2018•德州）如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（）A．2B．C．πm2 D．2πm21题图2题图 3题图4题图2、（2018•广安）如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（）A．π﹣2B．π﹣C．π﹣2D．π﹣3、（2018•成都）如图，在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．6π4、（2018•绵阳）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（）A．（30+5）πm2B．40πm2C．（30+5）πm2D．55πm25．（2018•十堰）如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（）A．12π+18B．12π+36C．6D．66、（2018•山西）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣85题图6题图7题图8题图7、（2018•广西）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）A．B．C．2 D．28、（2018•威海）如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是（）A．18+36πB．24+18πC．18+18πD．12+18π9题图10题图11题图12题图13题图9、（2019枣庄）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A．8﹣πB．16﹣2πC．8﹣2πD．8﹣12π10、（2019临沂）如图，⊙O中，＝，∠ACB＝75°，BC＝2，则阴影部分的面积是（）A．2+πB．2++πC．4+πD．2+π11、（2019宿迁）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（）A．63﹣πB．63﹣2πC．63+πD．63+2π12. （2019四川南充）如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A. 6π B. 33π C. 23π D. 2π13.（2019四川资阳）如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（）A. 5πB. 6πC. 20πD. 24π（二）、填空题1、（2018青岛）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是．1题图2题图3题图4题图2、（2018•安顺）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为cm2．3、（2018•荆门）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D=30°，CD=4，以AB为直径的⊙O 交BC于点E，则阴影部分的面积为．4、（2018•重庆）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）5、（2018•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是（结果保留π）．5题图6题图8题图9题图10题图6．（2018•香坊区）如图，点A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB=40°，阴影部分的面积为2π，则此扇形的半径为．7、（2018•哈尔滨）一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是cm2．8、(2019日照)如图，已知动点A 在函数4(0y x x=＞）的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，延长CA 交以A 为圆心AB 长为半径的圆弧于点E ，延长BA 交以A 为圆心AC 长为半径的圆弧于点F ，直线EF 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，当NF ＝4EM 时，图中阴影部分的面积等于．9、（2019泰安）如图，∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，以点O 为圆心，OA 为半径作弧交AB 于点A 、点C ，交OB于点D ，若OA ＝3，则阴影都分的面积为．10、（2019德州）如图，O 为Rt △ABC 直角边AC 上一点，以OC 为半径的⊙O 与斜边AB 相切于点D ，交OA 于点E ，已知BC ＝，AC ＝3．则图中阴影部分的面积是．11、(2019无锡市)如图，在△ABC 中，AC ：BC ：AB ＝5：12：13，⊙O 在△ABC 内自由移动，若⊙O 的半径为1，且圆心O 在△ABC 内所能到达的区域的面积为103，则△ABC 的周长为． A BABCOOCOOI HF GED11题图 12题图 12、（2019四川内江）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＜AD ，∠A ＝150°，CD ＝4，以CD 为直径的⊙O 交AD 于点E ，则图中阴影部分的面积为．（三）、解答题1、（2019东营）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是AB 延长线上的一点，点C 在⊙O 上，且AC ＝CD ，∠ACD ＝120°．（1）求证：CD 是⊙O 的切线，（2）若⊙O 的半径为3，求图中阴影部分的面积．2、（2019无锡市）一次函数b kx y +=的图像与x 轴的负半轴相交于点A ，与y 轴的正半轴相交于点B ，且sin ∠ABO 3OAB 的外接圆的圆心M 的横坐标为﹣3．（1）求一次函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积．xy M BAO3．（2019·武汉）已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，DC 与⊙O 相切于点E ，分别交AM 、BN于D 、C 两点（1）如图1，求证：AB 2＝4AD ·BC（2）如图2，连接OE 并延长交AM 于点F ，连接CF ．若∠ADE ＝2∠OFC ，AD ＝1，求图中阴影部分的面积ODEMF EMO图1 图2 4．（2019·衡阳）如图，点A 、B 、C 在半径为8的⊙O 上，过点B 作BD ∥AC ，交OA 延长线于点D ，连接BC ，且∠BCA ＝∠OAC ＝30°．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）求图中阴影部分的面积．DAOCB三、圆锥（一）、选择题2、（2018•自贡）已知圆锥的侧面积是8πcm 2，若圆锥底面半径为R （cm ），母线长为l （cm ），则R 关于l 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．3、（2018•遵义）若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一个底面和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为（）A．60πB．65πC．78πD．120π4、（2018•遂宁）已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120°，则该扇形的面积是（）A．4πB．8πC．12πD．16π5、（2018•东阳市模拟）已知一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为10cm，则这个圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．50πcm2C．60πcm2D．3πcm26、（2019东营）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（）A．3B．C．3 D．3（二）、填空题1、（2018烟台）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON 的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1：r2=．1题图2题图3题图7题图8题图2、（2018徐州）如图，扇形的半径为6，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为．3、（2018•郴州）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为cm．（结果用π表示）4、（2018•聊城）用一块圆心角为216°的扇形铁皮，做一个高为40cm的圆锥形工件（接缝忽略不计），那么这个扇形铁皮的半径是cm．5、（2018•黑龙江）用一块半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的高为．6、（2018•扬州）用半径为10cm ，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为cm．7、（2018•苏州）如图，8×8的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD，点O，A，B，C，D 均在格点上．若用扇形OAB围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r1；若用扇形OCD围成另个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r2，则12rr的值为8、（2019聊城）如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位：cm），计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为．9．（2019无锡市）已知圆锥的母线成为5cm，侧面积为15πcm 2，则这个圆锥的底面圆半径为cm ．答案与提示：一、弧长计算（一）、选择题1、D2、D3、A4、B5、B6、B7、D8、C1、解：如图，连接CO，∵∠BAC=50°，AO=CO=3，∴∠ACO=50°，∴∠AOC=80°，∴劣弧AC的长为=，故选：D．1题图2题图3题图6题图8题图2、解：连接OD，∵∠ABD=30°，∴∠AOD=2∠ABD=60°，∴∠BOD=120°，∴的长==，故选：D．3、解：连接OA、OB，∵正方形ABCD内接于O，∴AB=BC=DC=AD，∴===，∴∠AOB=×360°=90°，在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（2）2，解得：AO=2，∴的长为=π，故选：A．4、BC=AB=AC=1，∠BCB′=120°，∴B点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′=2×12014=1803ππ⨯故选B．5、连接OB，OC，∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°，在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，则劣弧长为6011= 1803ππ⨯．6、解：连接OC、OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD，∵∠A＝45°，∴∠AOC＝45°，∴AC＝OC＝4，∵AC＝BD＝4，OC＝OD＝4，∴OD＝BD，∴∠BOD＝45°，∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴的长度为：＝2π，故选：B．7、解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，∴△ADC∽△CEB，∴＝，即＝，∵tan∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，∵直线DE与⊙O相切于点C，∴∠ACD＝∠ABC＝30°∴AC＝2AD＝2，∴AB＝4，∴⊙O的半径为2，∴的长为：＝π，故选：D．8、解：连接OA．OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，∴的长＝＝2π，故选：C．（二）、填空题1、201923π2、2π3、24π4、83π5、26、67、πa8、6π1、解：直线y=x，点A1坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1可知B1点的坐标为（2，2），以原O为圆心，OB1长为半径画弧x轴于点A2，OA2=OB1，OA2==4，点A2的坐标为（4，0），这种方法可求得B2的坐标为（4，4），故点A3的坐标为（8，0），B3（8，8）以此类推便可求出点A2019的坐标为（22019，0），则的长是=．故答案为：．2、1203=2 180ππ⨯3、解：∵点A（1，1），∴OA==，点A在第一象限的角平分线上，∵以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，∴∠AOB=45°，∴的长为=．故答案为．4、解：由图1得：的长+的长=的长 ∵半径OA=2cm ，∠AOB=120°则图2的周长为：=故答案为：．5、连接OB.OC ，由∠BAC=60°得∠BOC=120°，1204=1803r ππ⨯ 得：r=26、解：设半径为r ，60=2180rππ⨯，解得：r=6，故答案为：6 7、解：如图．∵△ABC 是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a ， ∴的长=的长=的长==，∴勒洛三角形的周长为×3=πa ．故答案为πa ．(三)、解答题1、证明：（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°， ∵OC ∥BD ，∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC ⊥AD ，∴AE=ED ；（2）∵OC ⊥AD ，∴，∴∠ABC=∠CBD=36°，∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，∴．二、有关扇形面积计算1、A2、C3、C4、A5、C6、A7、D8、C9、C 10、A 11、A 12、A 13、A 1、解：连接AC ，∵从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC=90°， ∴AC 为直径，即AC=2m ，AB=BC ，∵AB 2+BC 2=22，∴AB=BC=m ，∴阴影部分的面积是=（m 2），故选：A ．2、解：连接OB 和AC 交于点D ，如图所示：∵圆的半径为2，∴OB=OA=OC=2，又四边形OABC 是菱形，∴OB ⊥AC ，OD=OB=1，在Rt △COD 中利用勾股定理可知：CD==，AC=2CD=2，∵sin ∠COD==，∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，∴S 菱形ABCO =OB ×AC=×2×2=2，S 扇形AOC ==，则图中阴影部分面积为S 菱形ABCO ﹣S 扇形AOC =π﹣2，故选：C ．1题图 2题图 5题图 7题图 8题图3、解：∵在□ABCD 中，∠B=60°，⊙C 的半径为3，∴∠C=120°， ∴图中阴影部分的面积是：=3π，故选：C ．4、解：设底面圆的半径为R ，则πR 2=25π，解得R=5，圆锥的母线长==，所以圆锥的侧面积=•2π•5•=5π；圆柱的侧面积=2π•5•3=30π，所以需要毛毡的面积=（30π+5π）m 2．故选：A ．5、解：如图，连接OD ，AD ，∵点C 为OA 的中点，∴OC=OA=OD ， ∵CD ⊥OA ，∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，∴△ADO 为等边三角形，OD=OA=12，OC=CA=6，∴CD=，6，∴S 扇形AOD ==24π，∴S 阴影=S 扇形AOB ﹣S 扇形COE ﹣（S 扇形AOD ﹣S △COD ）=﹣﹣（24π﹣×6×6）=18+6π．故选：C ．6、解：利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF 的面积﹣△ABD 的面积=﹣×4×2=4π﹣4，故选：A ． 7、解：过A 作AD ⊥BC 于D ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵AD ⊥BC ，∴BD=CD=1，AD=BD=， ∴△ABC 的面积为=，S 扇形BAC ==π，∴莱洛三角形的面积S=3×π﹣2×=2π﹣2，故选：D ．8、解：作FH ⊥BC 于H ，连接FH ，如图，∵点E 为BC 的中点，点F 为半圆的中点，∴BE=CE=CH=FH=6， 226+125Rt △ABE ≌△EHF ，∴∠AEB=∠EFH ，而∠EFH+∠FEH=90°，∴∠AEB+∠FEH=90°，∴∠AEF=90°，∴图中阴影部分的面积=S正方形ABCD +S半圆﹣S△ABE﹣S△AEF=12×12+12•π•62﹣12×12×6﹣12•65×65 =18+18π．故选：C．9、解：S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE＝×4×4﹣＝8﹣2π，故选：C．10、解：∵＝，∴AB＝AC，∵∠ACB＝75°，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴OA＝OB＝OC＝BC＝2，作AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴AD经过圆心O，∴OD＝OB＝，∴AD＝2+，∴S△ABC＝BC•AD＝2+，S△BOC＝BC•OD＝，∴S阴影＝S△ABC+S扇形BOC﹣S△BOC＝2++﹣＝2+π，故选：A．12.连接OA、OB，则S阴=S扇形OAB=2606360π⨯=6π故选A13、圆所扫过的图形面积=长方形的面积+圆的面积=2π×2+π=5π二、填空题1、734-23π2、4π3、40π4、14π5、43π﹣36、8﹣2π7、6﹣π8、3 9、6π10、2.5π 11、34π 12、 13、25 14、233π+解：∵∠B=90°，∠C=30°，∴∠A=60°，∵OA=OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠COF=120°，∵OA=2，∴扇形OGF的面积为：=∵OA为半径的圆与CB相切于点E，∴∠OEC=90°，∴OC=2OE=4，∴AC=OC+OA=6，∴AB=AC=3，∴由勾股定理可知：BC=3∴△ABC的面积为：×3×3=∵△OAF的面积为：×2×=，∴阴影部分面积为：﹣﹣π=﹣π故答案为：﹣π1题图 3题图 8题图2、解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC 绕圆心O 逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O ，∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，∴∠B′OB=120°， ∵AB=2cm ，∴OB=1cm ，OC′=，∴B′C′=，∴S 扇形B′OB ==π，S 扇形C′OC ==，∴阴影部分面积=S 扇形B′OB +S △B′C′O ﹣S △BCO ﹣S 扇形C′OC =S 扇形B′OB ﹣S 扇形C′OC =π﹣=π；3、解：连接OE 、AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=4，∠B=∠D=30°，∴AE=AB=2，BE==2，∵OA=OB=OE ，∴∠B=∠OEB=30°，∴∠BOE=120°，∴S 阴影=S 扇形OBE ﹣S △BOE ，=﹣×，=﹣，=﹣，4、解：S 阴=S △ABD ﹣S 扇形BAE =×4×4﹣=8﹣2π，故答案为8﹣2π．5、解：∵矩形ABCD ，∴AD=2，∴S 阴影=S 矩形﹣S 四分之一圆=2×3﹣π×22=6﹣π，6、解：∵在⊙O 上，∠ACB=40°，∴∠AOB=2∠ACB=80°， ∴此扇形的半径为：=3．故答案为：3．7、解：设扇形的半径为Rcm ，∵扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm ， ∴=3π，解得：R=4，所以此扇形的面积为=6π（cm 2），故答案为：6π．8．解：作DF ⊥y 轴于点D ，EG ⊥x 轴于G ，∴△GEM ∽△DNF ，∵NF ＝4EM ，∴＝＝4，设GM ＝t ，则DF ＝4t ，∴A （4t ，），由AC ＝AF ，AE ＝AB ，∴AF ＝4t ，AE ＝，EG ＝， ∵△AEF ∽△GME ，∴AF ：EG ＝AE ：GM ，即4t ：＝：t ，即4t 2＝，∴t 2＝，图中阴影部分的面积＝+＝2π+π＝2.5π，11、解：连接OC ，作CH ⊥OB 于H ，∵∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，∴∠OAB ＝60°，AB ＝2OA ＝6，由勾股定理得，OB ＝＝3，∵OA ＝OC ，∠OAB ＝60°，∴△AOC 为等边三角形，∴∠AOC ＝60°，∴∠COB ＝30°， ∴CO ＝CB ，CH ＝OC ＝， ∴阴影都分的面积＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π，故答案为：π．11题图12题图 13题图解：在Rt △ABC 中，∵BC ＝，AC ＝3．∴AB ＝＝2，∵BC ⊥OC ，∴BC 是圆的切线，∵⊙O 与斜边AB 相切于点D ，∴BD ＝BC ，∴AD ＝AB ﹣BD ＝2﹣＝，在Rt △ABC 中，∵sinA ＝＝＝，∴∠A ＝30°，∵⊙O 与斜边AB 相切于点D ，∴OD ⊥AB ，∴∠AOD ＝90°﹣∠A ＝60°， ∵＝tanA ＝tan30°，∴＝，∴OD ＝1，∴S 阴影＝＝．故答案是：．13、如图，圆心O 在△ABC 内所能到达的区域是△O 1O 2O 3，∵△O 1O 2O 3三边向外扩大1得到△ACB ，∴它的三边之比也是5∶12∶13， ∵△O 1O 2O 3的面积=103，∴O 1O 2=53，O 2O 3=4，O 1O 3=133，连接AO 1 与CO 2，并延长相交于I ，过I 作ID ⊥AC 于D ，交O 1O 2于E ，过I 作IG ⊥BC 于G 交O 3O 2于F ，则I 是Rt △ABC 与Rt△O 1O 2O 3的公共内心，四边形IEO 2F 四边形IDCG 都是正方形，∴IE =IF = 1223122313O O O O O O O O O O ⨯++ =23，ED =1，∴ID =IE +ED =53，设△ACB 的三边分别为5m 、12m 、13m ，则有ID =AC BC AC BC AB ⨯++=2m =53，解得m =56，△ABC 的周长=30m =25.14、连接OE,则S 阴=S 扇形OEC +S △OED =260212123336023ππ⨯+⨯⨯=（三）、解答题 1、（1）证明：连接OC ．∵AC ＝CD ，∠ACD ＝120°∴∠A ＝∠D ＝30°．∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A ＝30°．∴∠OCD ＝∠ACD ﹣∠ACO ＝90°．即OC ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线．（2）解：∵∠A ＝30°，∴∠COB ＝2∠A ＝60°．∴S 扇形BOC ＝，在Rt △OCD 中，CD ＝OC ，∴，∴，∴图中阴影部分的面积为．2、作MN ⊥OB,垂足为N,连接OM,则MN=12OA=3,OA=6 ,A(-6,0)由sin ∠ABO 3则∠A=60°tan ∠BAO=OBOA∴3 ∴B （0，3）设直线AB:y=kx+b,将A,B 点的坐标代入得：3,b=3∴3x+3 S 阴=S 扇形MAO -S △MAO 2120(23)1634332ππ⨯-⨯-3、证明：（1）如图1，连接OD ，OC ，OE ．∵AD ，BC ，CD 是⊙O 的切线， ∴OA ⊥AD ，OB ⊥BC ，OE ⊥CD ，AD ＝ED ，BC ＝EC ，∠ODE ＝12∠ADC ，∠OCE ＝12∠BCD ∴AD //BC ，∴∠ODE ＋∠OCE ＝12（∠ADC ＋∠BCD ）＝90°， ∵∠ODE ＋∠DOE ＝90°，∴∠DOE ＝∠OCE ．又∵∠OED ＝∠CEO ＝90°，∴△ODE ∽△COE ．∴OE ECED OE=，OE 2＝ED ·EC ∴4OE 2＝4AD ·BC ，∴AB 2＝4AD ·BC （2）解：如图2，由（1）知∠ADE ＝∠BOE ，∵∠ADE ＝2∠OFC ，∠BOE ＝∠2COF ，∴∠COF ＝∠OFC ，∴△COF 等腰三角形。

初中数学人教版九年级上册计算圆锥的侧面积和全面积

用草毡搭建20个底面积为4π m2,高为3.3 m，
外围高1.8 m的粮仓,至少需要多少m2的草毡? (π取3.14，结果取整数).
h1 r
h2
r
生活中的圆锥侧面积计算
• 小刚用一张半径为24cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（A ）
l
r
n=360×
R
即时训练综合评价
圆锥母线底面半径圆锥高扇形圆心角圆锥侧面积圆锥全面积
R
r
h
n
s侧
s全
8
2 2 15 90° 16π 20π
6 2 4 2 120° 12π 16π
5 3 4 216° 15π 24π
学以致用，解决问题
例3.粮仓可以近似地看成由圆锥和圆柱组成的. 它的顶子(圆锥部分)是用草毡搭建的,如果想
A
1、通过本节课的学习你收获了哪些知识？哪些解题方法？ 2、本节课高？
作必做题 116页第9题,124页 14题.
业选做题《课时练》86页提能抢分练，第8、9题。
24.4 弧长和扇形面积
第2课时圆锥的侧面积和全面积
蔚县代王城中学薛文国
回忆圆和扇形的相关内容完成下表：
图形周长（弧长）
面积
C=2πr
O r
S=πr²
l n
R
l n 2R nR
360
180
s n R2
360
s 1 lR
2
生活中的
说说你对圆锥的一些认识：
圆锥的相关概念思考：圆锥的母线有几条？
圆锥展开扇形和

弧长和扇形面积第二课时初中数学原创课件

24.4 弧长和扇形面积(2)
复习回顾
1. 半径为 3 的圆中，圆心角为 120 的弧长是 2 ，扇形面积是 3 .
l nR 120 3 2 180 180
S扇形 =
nR2 360
120 32 360
3
复习回顾
2. 半径为 6 的圆中，扇形面积为 9π，则它的弧长为 3 .
S扇形 =
h2 r2 l2.
B
O r A 圆锥的母线长都相等.
圆锥的侧面积和全面积
做一做：沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，观察圆锥的侧面展开图.
圆锥的侧面展开图是扇形.
圆锥的侧面积和全面积
想一想：圆锥的侧面展开图是扇形，那扇形的半径与圆锥中哪一条线段相等，扇形的弧长与谁相等？
圆锥的侧面积和全面积
A 多少 cm？
过圆锥轴（高）的截面，即△ABC
B
C
分析：
曲面平面. 圆锥侧面扇形.
垂线段最短 BD.
BAC 1 BAB '. 2
A
B A
B
D
C
C B'
例题
解：设圆锥侧面展开图的圆心角为 n ，
nl 2r , n r 360 10 360 120.
180
l
30
BAC 60 .
根据垂线段最短，
A
当 BD AC 时 BD 最短.
BD 15 3(cm).
B
B'
D
∴它爬行的最短路线长是15 3 cm. C
练习
3. 已知圆锥底面半径为 10 cm，母线长为 40 cm. 若一甲虫从圆锥底面圆上一点 A 出发，沿着圆锥侧面绕行到母线 PA 的中点 B ，它所走的最短路程长是多少 cm？

九年级数学下册 24.7 弧长与扇形的面积 24.7.2 弧长与扇形面积课件

初中数学 (chūzhōng) 九年级(下册)
24.7.2 弧长与扇形的面积 (shàn xínɡ)
2021/12/11
第一页，共二十三页。
圆锥知多少 (yuánzhuī)
• 认识圆锥 (rèn shi)
2021/12/11
第二页，共二十三页。
2021/12/11
第三页，共二十三页。
点击概念 (diǎn jī)
中的哪一条线段相等？
母线
2021/12/11
图23.3.7
第七页，共二十三页。
2021/12/11
第八页，共二十三页。
圆锥及侧面展开图的相关(xiāngguān)概念
2021/12/11
第九页，共二十三页。
圆锥(yuánzhuī)的侧面积和全面积
圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线(mǔxiàn)的长的扇形面积.
l
h Or
2021/12/11
图23.3.7
第六页，共二十三页。
探究(tànjiū)新知
问题1:
1.沿着圆锥的母线，把一个(yī ɡè)圆锥的侧面展开，得
到一个(yī ɡè)扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什
么问关题系2：？
相等
(xiāngděng)
2.圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥
Image
12/11/2021
第二十三页，共二十三页。
圆锥的侧面展开图是一个半圆第十五页，共二十三页。
根据下列条件求圆锥侧面积展开图的圆心角（r、
h、θ分别是圆l 锥的底面半径(bànjìng)、高线、母线长）
（1） l = 2，r = 1 则 =θ____1_8_0_°_

初中数学人教九年级上册第二十四章圆圆锥PPT

2.把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线
3.连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高
图中L是圆锥的母线,而h就是圆锥的高
问题：圆锥的母线有几条？底面圆的半径R
L
h
R
圆锥的认识 4.圆锥的形成过程
圆锥的底面半径、高线、
母线长三者之间的关系:
探究
L2 h2 R2
5．把圆锥模型沿着母线剪开，
A
B
C
观察圆锥的侧面展开图．
L
h
R
探究 5.圆锥的侧面积和全面积
问题: 1、沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？相等 2、圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？母线
探究圆锥的侧面积和全面积
圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长，圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。
C 900.AB 13cm, BC 5cm
求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。
解：过C点作CD AB，垂足为D点
A
所以 CD AC BC 512120
D
C
13 13
所以S全面积
1 2
120
13
1 2
1 2
120
13
5
B
1020 (cm)2
则 =__________
ha
r
4、若圆锥的底面半径r =4cm，高线h =3cm，
则它的侧面展开图中扇形的圆心角是 —— 度。288
5.如图，若圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个展开图的圆心角是_1_8_0度；
圆锥底半径 r与母线a的比r ： a = _1_:_2 .