九年级数学高质量课件-43弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解(基础)
辅导讲义：弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积
辅导：弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积一、弧长和扇形的面积：『活动一』因为360°的圆心角所对弧长就是圆周长C =2πR ，所以1°的圆心角所对的弧长是 .这样，在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l = . 『活动二』类比弧长的计算公式可知：在半径为R 的圆中，圆心角为n °的扇形面积的计算公式为：S = . 『活动三』扇形面积的另一个计算公式比较扇形面积计算公式与弧长计算公式，可以发现：可以将扇形面积的计算公式：S =360nπR 2化为S =180R n ·21R ，从面可得扇形面积的另一计算公式：S = . 二、圆锥的侧面积和全面积：1．圆锥的基本概念： 的线段SA 、SA 1……叫做圆锥的母线，的线段叫做圆锥的高．2.圆锥中的各元素与它的侧面展开图——扇形的各元素之间的关系：将圆锥的侧面沿母线l 剪开，展开成平面图形，可以得到一个扇形，设圆锥的底面半径为r ，这个扇形的半径等于 ，扇形弧长等于 ． 3．圆锥侧面积计算公式圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长， 这样，S 圆锥侧=S 扇形=21·2πr · l = πrl 4．圆锥全面积计算公式S 圆锥全=S 圆锥侧＋S 圆锥底面= πr l ＋πr 2=πr （l ＋r ）三、例题讲解：例1、（2011•德州，11，4分）母线长为2，底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为 ． 例2、（2011年山东省东营市，21，9分）如图，已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠BAD =120°，四边形ABCD 的周长为15．A1（1）求此圆的半径；（2）求图中阴影部分的面积．例3、（2010广东，14，6分）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（－4，0），⊙P 的半径为2，将⊙P 沿x 轴向右平移4个单位长度得⊙P 1． （1）画出⊙P 1，并直接判断⊙P 与⊙P 1的位置关系；（2）设⊙P 1与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，求劣弧AB 与弦AB 围成的图形的面积（结果保留π）．y x－3 O 12312 3 －3－2 －1－1 －2 －4 －5 －6A BCDEF（第3题）O四、同步练习：1、（2012北海,11，3分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为： （ ）A ．10πB ．10C ．10πD ．π2、（2012北海,12，3分）如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，则⊙O 自转了：（ ）A ．2周B ．3周C ．4周D ．5周3、（2012湖北咸宁，7，3分）如图，⊙O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）．A ．-3π2B ．-32π3C ．-32π2D ．-322π34、（2012四川内江，8，3分）如图2，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝23，则阴影部分图形的面积为（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π35、（2012·湖南省张家界市·14题·3分）已知圆锥的底面直径和母线长都是１０cm ，则圆锥的侧面积为________.6、（2012·哈尔滨，题号16分值 3）一个圆锥的母线长为4，侧面积为8π，则这个圆锥的底面圆的半径是 ．ABD CO图2ABC 第1题图A OD第2题图 第9题第11题7、（2012江苏省淮安市，17，3分）若圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则此圆锥的侧面积为 cm 2．8、（2012四川达州，11，3分）已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面积是 .（不取近似值）9、（2012年广西玉林市，16，3）如图，矩形OABC 内接于扇形MON ，当CN =CO 时，∠NMB10、(2012广安中考试题第15题，3分)如图6，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC =3，∠ACB =90o，∠A =30o，若△RtABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线上l 时，点A 所经过的路线的长为________________（结果用含л的式子表示）．11、（2011•丹东，14，3分）如图，将半径为3cm 的圆形纸片剪掉三分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ．12、（2012贵州贵阳，23，10分）如图，在⊙O 中，直径AB =2，CA 切⊙O 于A ，BC 交⊙O 于D ，若∠C =45°，则（1）BD 的长是 ；（5分） （2）求阴影部分的面积. （5分）第12题图AC13、（2012浙江省义乌市，20，8分）如图,已知AB 是⊙O 的直径,点C 、D 在⊙O 上,点E 在⊙O 外,∠EAC =∠D =60°. （1）求∠ABC 的度数； （2）求证：AE 是⊙O 的切线； （3）当BC =4时，求劣弧AC 的长.14、（2012年吉林省，第23题、7分．）如图，在扇形OAB 中，∠AOB =90°，半径OA =6．将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠．点O 恰好落在弧AB 上点D 处，折痕交OA 于点C ，求整个阴影部分的周长和面积．O BCDE15、（2011甘肃兰州，25，9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C.（1）请完成如下操作：①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD.（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①写出点的坐标：C、D；②⊙D的半径= （结果保留根号）；③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为（结果保留π）；④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由.参考答案例1、考点：圆锥的计算。
弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解(基础)
弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解（基础）【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；3. 能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n°的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.要点三、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r ，侧面展开图中的扇形圆心角为n °，则圆锥的侧面积2360l S rl ππ=扇n =， 圆锥的全面积.要点诠释：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1．如图（1），AB 切⊙O 于点B ，OA=AB=3，弦BC∥OA，则劣弧BC 的弧长为（ ）．A．3 B．2C ．πD ．32π图（1）【答案】A.【解析】连结OB 、OC ，如图（2）则0OBA ∠︒＝9，，0A ∠︒＝3，0AOB ∠︒＝6，由弦BC ∥OA 得60OBC AOB ∠∠=︒＝，所以△OBC 为等边三角形，0BOC ∠︒＝6.则劣弧BC，故选A. 图（2） 【总结升华】主要考查弧长公式：.举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)。
弧长和扇形的面积圆锥的侧面展开图课件
THANK YOU
扇形面积公式的应用
通过具体例题演示扇形面积公式 的应用
总结公式中各参数的含义及对结 果的影响
强调扇形面积公式在几何、物理 等学科中的应用价值
03
圆锥的侧面展开图
圆锥的侧面展开图的引入
圆锥是常见的几何体，其侧面展开图是扇形。
通过探究圆锥的侧面展开图，可以深入了解圆锥的特征和应用。
圆锥的侧面展开图的证明
利用圆的参数方程，推导出弧长公式 。
弧长公式的应用
用于计算圆的周长。
用于圆锥的侧面展开 图计算。
用于计算扇形的面积 。
02
扇形面积公式推导
扇形面积公式的引入
描述扇形在生活中的应用，如滑梯、风车等 引出扇形面积公式的重要性
扇形面积公式的证明
通过图形变换，将扇形转化为三角形进行证明
扇形面积公式为：$S= \frac{n\pi r^{2}}{360}$，其中n为扇形的圆心角，r为半径
圆锥的侧面展开图是一个扇形 ，这个扇形的半径称为圆锥的 母线。
圆锥底面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ周长即为其侧面展 开图的弧长。
圆锥的高等于其侧面展开图的 中心到顶点的距离。
圆锥的侧面展开图的应用
圆锥的侧面展开图可用于制作圆 锥形的物体或建筑物。
圆锥的侧面展开图可以用于计算 圆锥的表面积和体积。
通过圆锥的侧面展开图，可以进 一步探究其他几何体的性质和应
弧长和扇形的面积圆锥的侧 面展开图课件
contents
目录
• 弧长公式推导 • 扇形面积公式推导 • 圆锥的侧面展开图 • 弧长和扇形面积的关系
01
弧长公式推导
弧长公式的引入
01
弧长是圆弧的长度，在几何学中 有着重要的应用。
九年级数学下册第3章圆3.4弧长和扇形的面积圆锥的侧面展开图3.4.1弧长和扇形的面积教学课件湘教版
【探究】
如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形面积的
计算公式为S扇形=
n πR 2
36.0
比较扇形面积公式与弧长公式，你能用弧长表
示扇形的面积吗？ S扇形= 12lR
l n R
180
第十二页，编辑于星期六：七点 一分。
【例题】
例2.扇形AOB的半径为12cm，∠AOB=120°，求 A B 的长(结 果精确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2).
扇形面积= π.
2. 一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πc㎡，则该扇 形的圆心角为 150o .
3.已知扇形的圆心角为120o，半径为6，则扇形的弧长是
A. 3π B.4π C.5π D.6π
（B ）
第十四页，编辑于星期六：七点 一分。
4.如图的五个半圆，邻近的两个半圆相切，两只小虫同时
出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿
ADA1.A1EA2.
路线爬行，乙虫沿 路线爬行，则下列结
A2FA3.A3GB
ACB
论正确的是（ ）
C
A.甲先到B点
B.乙先到B点
C.甲乙同时到B点
答案:C
D.无法确定
DE F G A A1 A2 A3 B
第十五页，编辑于星期六：七点 一分。
1.（常德·中考）如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇
A. 2 π B.
C.2 π
D.2π2 2 1 π
2
4
O
AC
O1
B O2
第十页，编辑于星期六：七点 一分。
【想一想】
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上栓着一条长3m的绳子，绳子的另
人教版数学九年级上册弧长和扇形面积圆锥的侧面积和全面积精品课件PPT
圆锥的侧面积和全面积
S侧 S扇形 rl
S全S侧S底 rlr2
人教版数学九年级（上册）24.4弧长 和Байду номын сангаас形 面积 圆锥的侧面积和全面积课件
人教版数学九年级（上册）24.4弧长 和扇形 面积 圆锥的侧面积和全面积课件
例2 、 已知圆锥的底面半径r=2，母线长为8。
（1）求它的侧面展开图的圆心角和全面积； （2）若一甲虫从圆锥底面圆上A点出发，沿 着圆锥侧面爬行一周后又回到A点，它所走的 最短路线是多少？
点击概念
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的,它的底 面是一个圆，侧面是一个曲面.
1.圆锥的高h 连结顶点与底面圆心的线段.
h
l l 2.圆锥的母线 把连结圆锥顶点和底面圆周上的任 意一点的线段叫做圆锥的母线。
Or
思考：圆锥的母线有几条？ 3.底面半径r
人教版数学九年级（上册）24.4弧长 和扇形 面积 圆锥的侧面积和全面积课件
l
h
Or
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二.知识讲解：探究新知 准备好的圆锥模型沿着母线剪开，观察圆锥 的侧面展开图．
l
h Or
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图23.3.7
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一.导入
圆锥知多少
• 认识圆锥
人教版数学九年级（上册）24.4弧长 和扇形 面积 圆锥的侧面积和全面积课件
中考复习弧长和扇形面积公式知识精讲
初三数学弧长和扇形面积公式知识精讲一. 本周教学内容：弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积教学目的1. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥及其特征，使学生掌握圆锥的轴截面图及其特点。
2. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥侧面展开图的画法及侧面积计算公式。
3. 使学生比较熟练地应用弧长和扇形面积公式、圆锥的基本性质和轴截面解决有关圆锥表面积的计算问题。
4. 培养学生空间观念及空间图形与平面图形的相互转化思想，培养学生空间想象能力和计算能力。
教学重点和难点：教学重点是弧长和扇形面积公式，圆锥及其特征，圆锥的侧面积计算难点是圆锥侧面展开图（扇形）中各元素与圆锥各元素之间的关系教学过程1. 圆周长：r2Cπ=圆面积：2r Sπ=2. 圆的面积C与半径R之间存在关系R2Cπ=，即360°的圆心角所对的弧长，因此，1°的圆心角所对的弧长就是360R2π。
n °的圆心角所对的弧长是180Rn π 180Rn π=∴l P 120*这里的180、n 在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。
3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。
发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。
4. 在半径是R 的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积2R S π=，所以圆心角为n °的扇形面积是： R 21360R n S 2l =π=扇形（n 也是1°的倍数，无单位）5. 圆锥的概念观察模型可以发现：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。
其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。
如图，从点S 向底面引垂线，垂足是底面的圆心O ，垂线段SO 的长叫做圆锥的高，点S 叫做圆锥的顶点。
锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。
也就是说，把直角三角形SOA绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。
《弧长和扇形面积》PPT课件 人教版九年级数学
B
弧
O
圆心角
扇形
A
O
A
探究新知
判一判
下列图形是扇形吗？
×
×
×
√
√
探究新知
2
问题1 半径为r的圆,面积是多少？ S = r
问题2 ①360°的圆心角所对扇形的面积是多少？
②1°的圆心角所对扇形的面积是多少？
③n°的圆心角所对扇形的面积是多少？
r
O
问题3 下页图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，
∴=360°×
l
=288°
α
∴S=
πl2=2000π（cm2）
360°
解法二:
1
1
S= ×2πr·l= ×2π×40×50=2000π（cm2）.
2
2
解法三:
S=πr·
l= π×40×50=2000π （cm2）.
已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为
20cm，则这个圆锥的侧面积为
2
384
n r 2
S扇形 =
360
注意
①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它
是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过
程记忆）.
探究新知
问题 扇形的面积与哪些因素有关？
A
E
B
C
A
C
O
D
●
F
B
O●
D
圆心角大小不变时，对应
圆的 半径 不变时，扇形面
的扇形面积与 半径 有关，
积与 圆心角 有关，圆心角越
圆锥有无数条母线，它们都相等．
圆锥的高
S
பைடு நூலகம்
弧长、扇形面积、圆锥侧面积 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
On
①圆锥的侧面展开图是 扇形 . ll
2πr
②圆锥侧面积：S ＝ πrl
侧
A
rB
③圆锥的全面积：S ＝ πr2＋πrl
总
圆锥展开图扇形的圆心角的度数为 n=r/l .360
目标检测2
1 .已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则
它的侧面积为_1_2___.
2. 圆锥的高为3cm，母线长为5cm，其表面积
为____3_6__c_m_2__.
3. 用一个半径为6cm的半圆 围成一个圆锥的侧面，则此
圆锥的底面半径为__3_c_m___.
4. 如图，是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开
口圆的直径EF长为10cm，母线OE（OF）长为10cm，在
母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一
只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂
360
弧长和扇形面积的关系
（扇形面积公式2） ：
S扇形
n R2
360
1 2
n R R
180
1 lR 2
目标检测1
1.已知一条弧的半径为9，弧长为 8π，那么 这条弧所对的圆心角为__1_6_0_°。
2.钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过
40分钟,分针针端转过的弧长是( B )
A. 10 cm
中考复习专项训练
学习目标
1、理解弧长、扇形面积、圆锥的 侧面积公式；
2、灵活运用弧长、扇形面积、圆 锥的侧面积公式进行计算；
3、体会转化的数学思想，培养学 生利用内涵获取外延的能力。
考点1：弧长及扇形面积
1.弧长公式： l n 2R n R
360
180
2.扇形的面积公式：S 扇形
人教版九年级上册数学弧长和扇形面积——计算圆锥的侧面积和全面积PPT
圆锥的侧面展开图.gsp究：圆锥的侧面积
和圆锥全的面侧积面积就是弧长为圆锥底面的周
长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面
积.
圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面积.
P
A
人教版九年级上册数学24.4 弧长和扇形面积——计算圆锥的侧面 积和全 面积( 共17张P PT)
a h Or B
人教版九年级上册数学24.4 弧长和扇形面积——计算圆锥的侧面 积和全 面积( 共17张P PT)
智(勇)者.
约为3023.1m2.
人教版九年级上册数学24.4 弧长和扇形面积——计算圆锥的侧面 积和全 面积( 共17张P PT)
驶向胜利 的彼岸
人教版九年级上册数学24.4 弧长和扇形面积——计算圆锥的侧面 积和全 面积( 共17张什么收获?
本节课我们认识了圆锥的侧面展开 图,学会计算圆锥的侧面积和全面积, 在认识圆锥的侧面积展开图时,应知 道圆锥的底面周长就是其侧面展开图 扇形的弧长.圆锥的母线就是其侧面 展开图扇形的半径,这样在计算侧面 积和全面积时才能做到熟练、准确.
圆锥的侧面积和全面积
如图:设圆锥的母线长为a,底面
半径为r.则圆锥的侧面积
公式为：
P
S侧 = 1 2r2ara A
全面积公式为：
l 2r
ha
O r
B
S全 S侧 S底
人教版九年级上册数学24.4 弧长和扇形面积——计算圆锥的侧面 积和全 面积( 共17张P PT)
= πra ＋2πr
人教版九年级上册数学24.4 弧长和扇形面积——计算圆锥的侧面 积和全 面积( 共17张P PT)
人教版九年级上册数学24.4 弧长和扇形面积——计算圆锥的侧面 积和全 面积( 共17张P PT)
九年级数学下册第3章圆3.4弧长和扇形的面积圆锥的侧面展开图3.4.1弧长和扇形的面积课件湘教版20
【总结提升】求与弧长相关的计算的两个步骤
知识点 2 扇形的面积公式及应用 【例2】如图，点A，B，C在半径为2的 ⊙O上，∠BAC=30°，求阴影部分弓形 的面积. 【思路点拨】连结OB，OC，得△OBC为 等边三角形，根据阴影部分的面积=扇 形的面积-等边三角形的面积去计算.
【解析】∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10， ∴扇形的半径为5，∴阴影部分的面积= 9052 25．
360 4
答案：2 5
4
4.已知扇形的半径为3，扇形的面积为3π,则该扇形的圆心角
为_______，弧长为________.
【解析】把r=3,S=3π代入S n 中r 2 得,
360 3 n 9 , n 120,
2
2
∴r=5.
2.如图，正方形OABC的边长为2，OA为⊙O
的半径，则扇形OAC的面积为( )
A. B. 2
C. 3 D.2 2
【解析】选B.∵四边形OABC为正方形，边长为2， ∴OA=OC=2，∠AOC=90 °S，扇形OAC9036022 .
3.(2013·凉山州中考)如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆⊙A， ⊙B外切，那么图中两个扇形(即阴影部 分)的面积之和为______.
其中 CD,DE,EF的圆心依次是A,B,C，如果 AB＝1，那么曲线CDEF的长是_____.
【解析】 CD 的 长 是 12012,
180 3
DE的 长 是 ： 12024,EF的 长 是 ： 12032,
180 3
180
则 曲 线 CDEF的 长 是 ： 2424. 33
答案：4π
5.如图所示，在Rt△ABC中，斜边AB= 2 2 ， ∠A=45°，把△ABC绕点B顺时针旋转60°
数学：3.4弧长和扇形的面积,圆锥的侧面展开图-3.4.1弧长和扇形的面积(1)课件(湘教版九年级下)
如图，对于茶叶罐的密封盖上的这个图案． 作出上部圆弧的圆心； 量出上部圆弧的半径； 量出上部圆弧所对的圆心角的度数； 求出上部圆弧的弧长．
练习
如图是一个闹钟正面的内、外轮廓线．内轮廓线由 一段圆弧和一条弦AB组成，圆心为O，半径为3.2cm， 圆心角∠AOB＝83°，求内轮廓线的圆弧长度．
277 π 3.2 277 3.14 3.2 解： l (cm) 180 180
A
O ·
B
已知一个半径为r的圆,如何求它的一段圆弧的长度呢? 我知道圆周长c=2r,其中 r是圆的半径,求圆弧长 我还不会.
1.由于在同一个圆中,相等的圆心角所对的弧相等,因此:1° 的圆心角所对弧长为
1 2 πr 360
2.从第1小题的结论可以得出:n°的圆心角所对的弧长l为
O
·
1°
l
1 2 πr 360 n _______ .
义务教育课程标准实验教科书 SHUຫໍສະໝຸດ UE 九年级下湖南教育出版社
3.4
弧长和扇形的面积,圆锥的侧面展开图
3.4 .1 弧长和扇形的面积
说一说
在同一个圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧相等吗?
相等
这是根据圆的什么对称性得出的结论?
根据圆的旋转对称性
探究
如图,这是茶叶罐的密封盖上的一个图案. 这个图案的上部和下部都是圆弧你能想办法求出上部圆弧的长度吗?
n°
R
半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长l为：
n nπr l 2 πr 360 180
在求弧长的公式中，关键是根据圆的什么对称性？
已知圆O的半径为30cm，求40°的圆心角所对的弧长 （精确到0.1cm）
中考复习弧长和扇形面积公式知识精讲
初三数学弧长和扇形面积公式知识精讲一. 本周教学内容：弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积 教学目的1. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥及其特征，使学生掌握圆锥的轴截面图及其特点。
2. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥侧面展开图的画法及侧面积计算公式。
3. 使学生比较熟练地应用弧长和扇形面积公式、圆锥的基本性质和轴截面解决有关圆锥表面积的计算问题。
4. 培养学生空间观念及空间图形与平面图形的相互转化思想，培养学生空间想象能力和计算能力。
教学重点和难点：教学重点是弧长和扇形面积公式，圆锥及其特征，圆锥的侧面积计算难点是圆锥侧面展开图（扇形）中各元素与圆锥各元素之间的关系 教学过程1. 圆周长：r 2C π= 圆面积：2r S π=2. 圆的面积C 与半径R 之间存在关系R 2C π=，即360°的圆心角所对的弧长，因此，1°的圆心角所对的弧长就是360R2π。
n °的圆心角所对的弧长是180Rn π 180Rn π=∴l P 120*这里的180、n 在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。
3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。
发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。
4. 在半径是R 的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积2R S π=，所以圆心角为n °的扇形面积是：R 21360R n S 2l =π=扇形（n 也是1°的倍数，无单位）5. 圆锥的概念观察模型可以发现：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。
其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。
如图，从点S 向底面引垂线，垂足是底面的圆心O ，垂线段SO 的长叫做圆锥的高，点S 叫做圆锥的顶点。
锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。
也就是说，把直角三角形SOA 绕直线SO 旋转一周得到的图形就是圆锥。
课件_人教版数学九上弧长和扇形面积PPT课件_优秀版
lR
1 2
2rR
rR
B Or C
公式： S侧 rR
知识讲解
难点突破
圆锥的全面积 圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面积.
R A
n
h
S全 =S侧 +S底
l
rR r 2
B
r
O
C
课堂练习
难点巩固
●1.已知圆锥的母线长为5，底面半径为3，则
圆锥的表面积为( B )
●A.15π
B.24π
C.30π
D.39π
A
圆锥可以看做是一个直角三
角形绕它的一条直角边旋转
一周所成的图形.
C
O
B
5
知识讲解
圆锥知识知多少?
难点突破
连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 圆锥与侧面展开图之间的主要关系 侧面展开图扇形的弧长=底面周长 7cm,求这个烟囱帽的面积.
高
连结圆锥顶点与底面圆心的线段 叫做圆锥的高.
已知圆锥的母线长为5，底面半径为3，则圆锥的表面积为( )
圆锥的底面周长=扇形的弧长 这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？
(母线有无数条,母线都是相等的 )
r 圆锥的底面半径、高、母线长三 难点名称：探索圆锥的侧面积和全面积公式并应用它解决现实生活中的一些实际问题
了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式. 请你举例说一说生活中还有哪些圆锥？
圆锥的底面半径、高、母线长三者之间的关系:
圆锥的侧面展开图是什么图形？如何计算圆锥的侧面积？如何计算圆锥的全面积？
母线 圆锥的底面周长=扇形的弧长 连接圆锥顶点和底面圆周上任意 7cm,求这个烟囱帽的面积.
这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？
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弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解（基础）
【学习目标】
1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积
的计算公式，并应用这些公式解决问题；
2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；
3. 能准确计算组合图形的面积.
【要点梳理】
要点一、弧长公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)
要点诠释：
(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
要点二、扇形面积公式
1.扇形的定义
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
n°的圆心角所对的扇形面积公式：
要点诠释：
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S 、扇形半径R 、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点
类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
要点三、圆锥的侧面积和全面积
连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥的母线长为，底面半径为r ，侧面展开图中的扇形圆心角为n °，则
圆锥的侧面积2
360
l S rl ππ=扇n =， 圆锥的全面积.
要点诠释：
扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
【典型例题】
类型一、弧长和扇形的有关计算
1．如图（1），AB 切⊙O 于点B ，OA=，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧BC 的弧长为（ ）． A ．
B ．
C ．
D ．
图（1） 【答案】A.
【解析】连结OB 、OC ，如图（2） 233π3
ππ3
2
πC
B
A
O
则，
OB=，，， 由弦BC ∥OA 得， 所以△OBC 为等边三角形，. 则劣弧BC 的弧长为
，故选A. 图（2） 【总结升华】主要考查弧长公式：.
举一反三：
【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即
的长(结果精确到0.1mm)
【答案】R=40mm ，n=110
∴的长==≈76.8(mm)
因此，管道的展直长度约为76.8mm ．
2．如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）
【答案与解析】∵弦AB 和半径OC 互相平分，
∴OC ⊥AB ， OM=MC=OC=OA ．
∴∠B=∠A=30°，
∴∠AOB=120°
0OBA ∠︒＝930A ∠︒＝30AOB ∠︒＝660OBC AOB ∠∠=︒＝0BOC ∠︒＝66033
=ππ
∴S 扇形=．
【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.
举一反三：
【变式】如图（1），在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，
交AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
图（1）
【答案】连结AD ，则AD ⊥BC ，
△ABC 的面积是：BC•AD=×4×2=4， ∠A=2∠EPF=80°．
则扇形EAF 的面积是：
故阴影部分的面积=△ABC 的面积-扇形EAF 的面积=． 图（2） 故选B ．
类型二、圆锥面积的计算
3．（2014秋•广东期末）如图，一个圆锥的高为cm ，侧面展开图是半圆，求：
（1）圆锥的底面半径r 与母线R 之比； （2）圆锥的全面积． 449-
π849
-π489-π8
89-π28028
=.3609
ππ⨯8
4-9
πA
E
B C
F
P
【思路点拨】（1）设出圆锥的底面半径及圆锥的母线长，利用底面周长等于圆锥的弧长得到圆锥的母线与底面的半径之比即可；
（2）首先求得圆锥的底面半径和圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积的计算方法求得其侧面积即可．【答案与解析】
解：（1）由题意可知
∴，R=2r（3分）r：R=r：2r=1：2；
（2）在Rt∴AOC中，
∴R2=r2+h2
∴，
4r2=r2+27r2=9，
r=±3
∴r＞0
∴r=3，R=6.
∴S侧=πRr=18π（cm2）（cm2）
∴S全=S侧+S底=18π+9π=27π（cm2）．
【总结升华】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记有关的公式．
类型三、组合图形面积的计算
4．（2015•槐荫区三模）如图，AB是∴O的直径，弦CD∴AB，垂足为E，∴CDB=30°，CD=2，求图中阴影部分的面积．
【答案与解析】
解：∴AB是∴O的直径，弦CD∴AB，
∴CE=．
∴∴CDB=30°，
∴∴COE=60°，
在Rt∴OEC中，OC==2，
∴CE=DE，
∴COE=∴DBE=60°
∴Rt∴COE∴Rt∴DBE，
∴S阴影=S扇形OBC=π×OC2=π×4=π．
【总结升华】本题考查了垂径定理，扇形的面积等，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．。