辅导讲义-弧长和扇形的面积,圆锥的侧面积和全面积

13、（2012浙江省义乌市，20，8分）如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,
点E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°.
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC=4时，求劣弧AC的长.
14、（2012年吉林省，第23题、7分．）如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6．将扇形OAB沿过点B的直线折叠．点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积．
8、解析：圆锥的侧面积可由公式来求，这里R=6，l=8π，因此S=24π。答案：24π
点评：本题考查了圆锥的侧面展开及其侧面积的求法，初步考查学生的空间观点，注意本题不要与全面积相混淆。
9、分析：首先连接OB，由矩形的性质可得△BOC是直角三角形，又由OB=ON=2OC，∠BOC的度数，又由圆周角定理求得∠NMB的度数．
例3、（2010广东，14，6分）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（－4，0），⊙P的半径为2，将⊙P沿x轴向右平移4个单位长度得⊙P1．
（1）画出⊙P1，并直接判断⊙P与⊙P1的位置关系；
（2）设⊙P1与x轴正半轴，y轴正半轴的交点分别为A，B，求劣弧AB与弦AB围成的图形的面积（结果保留π）．
7、【解析】根据圆锥的侧面积公式=πrl计算，此圆锥的侧面积=π×2×5=10π【答案】10π
【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：①圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；②圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
【答案】A
【点评】本题着重考查了扇形面积的计算及解直角三角形的知识，以及转化、数形结合思想，有一定综合性，难度中等．
4、【解析】如下图所示，取AB与CD的交点为E，由垂径定理知CE＝ ，而∠COB＝2∠CDB＝60°，所以OC＝ ＝2，OE＝ OC＝1，接下来发现OE＝BE，可证△OCE≌△BED，所以S阴影＝S扇形COB＝ π·22＝ ．
又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°∴ = = ，∠BCD=60°
∴AB=AD=DC，∠DBC=90°又在直角△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC．
∴BC+ BC=15∴BC=6∴此圆的半径为3．
（2）设BC的中点为O，由（1）可知O即为圆心．连接OA，OD，过O作OE⊥AD于E．
10、思路导引：确定路线长度，由于路线是圆弧，因此确定旋转角，与旋转半径是解决问题的关键， ＋ ；
解析：计算斜边长度是2，第一次经过路线长度是 ，
第二次经过路线长度是 ，
第三次经过路线长度与第二次经过路线长度相同，也是 ，
所以当点A三次落在直线l上时，经过的路线长度是
＋2×（ ）= ＋ ＋2× = ＋
5、（2012·湖南省张家界市·14题·3分）已知圆锥的底面直径和母线长都是１０ ，则圆锥的侧面积为________.
6、（2012·哈尔滨，题号16分值 3）一个圆锥的母线长为4，侧面积为8 ，则这个圆锥的底面圆的半径是．
7、（2012江苏省淮安市，17，3分）若圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则此圆锥的侧面积为cm2．
四、同步练习：
1、（2012北海,11，3分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为：（ ）
A．10πB． C． πD．π
2、（2012北海,12，3分）如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了：（ ）
15、（2011甘肃兰州，25，9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C.
（1）请完成如下操作：
①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD.
三、例题讲解：
例1、（2011•德州，11，4分）母线长为2，底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为．
例2、（2011年山东省东营市，21，9分）如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四边形ABCD的周长为15．
（1）求此圆的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
『活动三』扇形面积的另一个计算公式
比较扇形面积计算公式与弧长计算公式，可以发现：可以将扇形面积的计算公式：S= πR2化为S= · R，从面可得扇形面积的另一计算公式：S=.
二、圆锥的侧面积和全面积：
1．圆锥的基本概念：的线段SA、SA1……叫做圆锥的母线，
的线段叫做圆锥的高．
2.圆锥中的各元素与它的侧面展开图——扇形的各元素之间的关系：
【答案】C
【点评】本题最容易出错的地方就是在顶点处的旋转，难度较大。如果学生能动手操作一下，正确答案就出来了。
3、【解析】图中阴影部分的面积等于：三角形AOB面积－扇形AOB面积，不难知道，∆AOB为等边三角形，可求出∆AOB边AB上的高是 ，扇形AOB圆心角∠O＝60°，半径OA＝ ，从而阴影部分的面积是 ×2× － ＝ ，故选A．
专题：几何图形问题．
分析：（1）根据条件可以证得四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=DC，∠DBC=90°，在直角△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC，根据四边形ABCD的周长为15，即可求得BC，即可得到圆的半径；
（2）根据S阴影=S扇形AOD－S△AOD即可求解．
解答：解：（1）∵AD∥BC，∠BAD=120°．∴∠ABC=60°．
解答：解：∵圆锥的底面圆的半径为1，∴圆锥的底面圆的周长=2π×1=2π，
∴圆锥的侧面积= ×2π×2=2π．故答案为：2π．
点评：本题考查了圆锥的侧面积公式：S= ．圆锥侧面展开图为扇形，底面圆的周长等于扇形的弧长，母线长为扇形的半径．
例2、考点：扇形面积的计算；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
解答：解：（1）如图：
∴⊙P与⊙P1的位置关系是外切；
（2）如图：∠BP1A=90°，P1A=P1B=2，
∴S扇形BP1A= =π，S△AP1B= ×2×2=2，
∴劣弧与弦AB围成的图形的面积为：π﹣2．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系以及扇形面积的求解方法．题目难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：
①写出点的坐标：C、D；
②⊙D的半径=（结果保留根号）；
③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为（结果保留π）；
④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由.
参考答案
例1、考点：圆锥的计算。专题：计算题。
分析：先计算出底面圆的周长，它等于圆锥侧面展开图扇形的弧长，而母线长为扇形的半径，然后根据扇形的面积公式计算即可．
辅导：弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积
一、弧长和扇形的面积：
『活动一』因为360°的圆心角所对弧长就是圆周长C=2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是.这样，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l=.
『活动二』类比弧长的计算公式可知：在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积的计算公式为：S=.
将圆锥的侧面沿母线l剪开，展开成平面图形，可以得到一个扇形，设圆锥的底面半径为r，这个扇形的半径等于，扇形弧长等于．
3．圆锥侧面积计算公式
圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长，
这样，S圆锥侧=S扇形= ·2πr · l=πrl
4．圆锥全面积计算公式
S圆锥全=S圆锥侧＋S圆锥底面=πr l＋πr2=πr（l＋r）
解答：解：连接OB，∵CN=CO，∴OB=ON=2OC，∵四边形OABC是矩形，∴∠BCO=90°，∴cos∠BOC= ，∴∠BOC=60°，∴∠NMB= ∠BOC=30°．故答案为：30°．
点评：此题考查了圆周角定理、矩形的性质以及特殊角的三角函数值．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
【点评】圆锥的侧面积S侧= ·2πr·l=πrl（其中r是圆锥底面圆的半径，l是母线的长）.
6、【解析】本题考查圆锥展开图及侧面积计算公式.设半径为r，圆锥侧面积即展开图扇形的面积，根据S扇= lR,即8π= ×2π×4，得r=2.【答案】2
【点评】在解决圆锥的计算问题时，要把握好两个相等关系：圆锥侧面展开图（扇形）的半径R等于圆锥的母线长，扇形的弧长 等于圆锥的底面周长 ．几乎所有圆锥计算问题都是从这两个对应关系入手解决的．
【答案】D
【点评】圆的有关性质是中考高频考点，而图形面积也是多数地方必考之处，将它们结合可谓珠联璧合．解答此题需在多处转化：一是将阴影面积转化为扇形面积问题解决；二是由圆周角度数求出圆心角度数；三是发现图中存在的全等三角形，这一点是解题关键．
5、【分析】S侧=πrl=π· ×10=50π.【解答】50π
四、
1、【解析】△ABC绕点C顺时针旋转60°，顶点A经过的路径是以C为圆心AC为半径，圆心角为60°的弧，根据弧长公式 ，可求路径长为
【答案】C
【点评】考查的知识点有网格中的勾股定理（求AC），图形的旋转，弧长公式 。中等难度的题型。
2、【解析】三角形的周长恰好是圆周长的三倍，但是圆在点A、B、C处分别旋转了一个角度，没有滚动，在三个顶点处旋转的角度之和是三角形的外角和360°。所以⊙O自转了4圈。
A．2周B．3周C．4周D．5周
3、（2012湖北咸宁，7，3分）如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
4、（2012四川内江，8，3分）如图2，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2 ，则阴影部分图形的面积为（ ）
A．4πB．2πC．πD．
点评：解答旋转问题，确定旋转中心、旋转半径以及旋转角度是前提，另外计算连续的弧长问题，注意旋转规律，进行多次循环旋转的有关弧长之和的计算.
11、考点：圆锥的计算。专题：计算题。
分析：算出围成圆锥的扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，利用勾股定理即可求得圆锥的高．
解答：解：围成圆锥的弧长为 =4πcm，∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2cm，∴圆锥的高为 =1cm．故答案为1cm．wenku.baidu.com
8、（2012四川达州，11，3分）已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面积是.（不取近似值）
9、（2012年广西玉林市，16，3）如图，矩形OABC内接于扇形MON，当CN=CO时，∠NMB的度数是.
10、(2012广安中考试题第15题，3分)如图6，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC= ，∠ACB=90o，∠A=30o，若△RtABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线上l时，点A所经过的路线的长为________________（结果用含л的式子表示）．
在直角△AOE中，∠AOE=30°∴OE=OA•cos30°= S△AOD= ×3× = ．
∴
点评：本题主要考查了扇形的面积的计算，正确证得四边形ABCD是等腰梯形，是解题的关键．
例3、考点：圆与圆的位置关系；坐标与图形性质；扇形面积的计算
分析：（1）根据题意作图即可求得答案，注意圆的半径为2；
（2）首先根据题意求得扇形BP1A与△BP1A的面积，再作差即可求得劣弧错误！未找到引用源。与弦AB围成的图形的面积．
11、（2011•丹东，14，3分）如图，将半径为3cm的圆形纸片剪掉三分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是．
12、（2012贵州贵阳，23，10分）如图，在⊙O中，直径AB=2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C=45°，则
（1）BD的长是；（5分）
（2）求阴影部分的面积. （5分）
点评：考查圆锥的计算；得到圆锥的底面半径是解决本题的突破点；用到的知识点为：圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长．
12、解析：（1）由CA切⊙O于A，得∠A=90°，再结合∠C=45°，得∠B=45°.连接AD，则由直径AB=2，得∠ADB=90°.故BD=AB×cos45°=2×cos45°= ；（2）运用代换得到阴影部分的面积等于△ACD的面积.