辅导讲义-弧长和扇形的面积,圆锥的侧面积和全面积

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第时弧长及扇形的面积圆锥的侧面积和全面积

第时弧长及扇形的面积圆锥的侧面积和全面积
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目录
CONTENTS
• 弧长与扇形面积基本概念 • 圆锥侧面积计算方法 • 圆锥全面积计算方法 • 弧长、扇形面积在圆锥问题中的应用 • 总结归纳与拓展延伸
01
CHAPTER
弧长与扇形面积基本概念
弧长定义及计算公式
弧长定义
在圆上，任意两点间的弧长是这两点间所夹圆心角的度数与圆的半径的乘积。
利用扇形面积求圆锥底面半径或高
已知圆锥侧面展开后形成的扇形的面积和半径（即圆锥的母线长），可以利用扇形面积公式求出扇形的弧长，进而求出圆锥底面的半径或高。
综合运用弧长和扇形面积解决问题
综合运用弧长和扇形面积
在实际问题中，往往需要综合运用弧长和扇形面积的知识来解决圆锥的相关问题。例如，已知圆锥的底面半径、高和母线长等参数，可以求出圆锥的侧面展开图尺寸、底面周
典型例题分析与解答
例题2：已知圆锥的母线长为8cm，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，求圆锥的全面积。
分析：根据已知条件可以通过三角函数求出底面圆的半径和圆锥的高，再利用圆锥全面积的公式进行计算。
解答：设底面圆的半径为 $r$，则 $2pi r = frac{120}{360} times 2pi times 8$，解得 $r = frac{8}{3}cm$ 。又因为 $cosfrac{pi}{3} = frac{r}{l}$，所以 $h = lsinfrac{pi}{3} = 8 times frac{sqrt{3}}{2} = 4sqrt{3}cm$。所以圆锥的全面积 $S = pi times (frac{8}{3})^2 + pi times frac{8}{3} times 4sqrt{3} = frac{64pi}{9} + frac{32sqrt{3}pi}{3} cm^2$。

弧长、扇形、及圆锥侧面积

弧长、扇形面积及圆锥侧面积教学目标1. 理解弧长和扇形面积公式，并会计算弧长和扇形的面积．2. 经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程，感受转化、类比的数学思想，培养学生的探索能力．3. 了解母线的概念，掌握圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．4. 经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力．5. 通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系．教学重点1. 经历探索弧长及扇形面积、圆锥侧面积计算公式的过程．2. 掌握弧长及扇形面积计算公式，会用公式解决问题．教学难点弧长及扇形面积、圆锥侧面积计算公式的推导过程．教学内容：知识结累：1．弧长的计算公式：．2．扇形面积的计算公式：S 扇形= = 。

课前练习：1.扇形的圆心角为120°，半径为6，扇形的弧长2．一扇形的弧长为π12，圆心角为120°，扇形的面积3. 一个扇形的弧长是π24，面积是π240，扇形的圆心角例题解析：例1．如图，在△ABC 中，CA=CB ，∠ACB=90°，AB=2，点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆心角为90°的扇形DEF ，点C 恰在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为（）A ．B ．C ．D ．过手练习：1．如图，用两根等长的金属丝，各自首尾相接，分别围成正方形ABCD 和扇形A 1D 1C 1，使A 1D 1=AD ，D 1C 1=DC ，正方形面积为P ，扇形面积为Q ，那么P 和Q 的关系是（）A ．P ＜QB ．P=QC ．P ＞QD ．无法确定2．如图，AB为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（）A．πB．2πC．D．4π3．如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为，则图中弓形的面积为（）A．B．C．D．例2．如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．（﹣1）cm2B．（ +1）cm2C．1cm2D．cm2过手练习：=（）1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，则S阴影A．πB．2πC． D．π2．如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（）A．B．C．D．3．如图，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为4，点C在上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为______．课堂检测：1．如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a（）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A．B．C．D．πr2 2．如图，是某公园的一角，∠AOB=90°，的半径OA长是6米，点C是OA 的中点，点D在上，CD∥OB，则图中草坪区（阴影部分）的面积是（）A．（3π+）平方米B．（π+）平方米C．（3π+9）平方米D．（π﹣9）平方米知识结累：圆锥的侧面积公式：S侧面积= 。

弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积压轴题十种模型全攻略(解析版)-初中数学

弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积压轴题十种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【考点一已知圆心角的度数，求弧长】【考点二已知弧长，求圆心角的度数】【考点三求某点的弧形运动路径长度】【考点四已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】【考点五求图形旋转后扫过的面积】【考点六求弓形的面积】【考点七求其他不规则图形的面积】【考点八求圆锥的侧面积与底面半径】【考点九求圆锥侧面展开图的圆心角】【考点十圆锥侧面上最短路径问题】【过关检测】22【典型例题】【考点一已知圆心角的度数，求弧长】1(2023秋·江苏·九年级专题练习)已知扇形的半径为3cm ，圆心角为150°，则该扇形的弧长为cm ．【答案】52π/2.5π【分析】直接利用弧长公式进行计算即可．【详解】解：∵L =n πr180，扇形的半径为3cm ，圆心角为150°，∴扇形的弧长L =150π×3180=52π，故答案为：52π．【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式：L =n πr180是解题的关键．【变式训练】1(2023·浙江湖州·统考一模)一个扇形的半径为4，圆心角为90°，则此扇形的弧长为．【答案】2π【分析】利用弧长公式进行计算即可．【详解】解：弧长为=90180π×4=2π；故答案为：2π【点睛】本题考查求弧长．熟练掌握弧长公式，是解题的关键．2(2023·浙江温州·统考中考真题)若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为．【答案】4π【分析】根据弧长公式l =n πr180即可求解．【详解】解：扇形的圆心角为40°，半径为18，∴它的弧长为40180×18π=4π，故答案为：4π．【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．【考点二已知弧长，求圆心角的度数】1(2023·黑龙江哈尔滨·统考三模)一个扇形的面积为10π，弧长为10π3，则该扇形的圆心角的度数为．【答案】100°/100度【分析】根据弧长和扇形面积关系可得S =12lR ，求出R ，再根据扇形面积公式求解.【详解】∵一个扇形的弧长是10π3，面积是10π，∴S =12lR ，即10π=12×10π3R ，解得：R =6，∴S =10π=n π×62360，解得：n =100°，故答案为：100°．【点睛】本题考查了扇形面积的计算；弧长的计算．熟记公式，理解公式间的关系是关键.【变式训练】1(2023·江苏镇江·统考二模)扇形的弧长为6π，半径是12，该扇形的圆心角为度．【答案】90【分析】设此扇形的圆心角为x °，代入弧长公式计算，得到答案．【详解】解：设此扇形的圆心角为x °，由题意得，12πx180=6π，解得，x =90，故答案为：90．【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式l =n πr180是解题的关键．2(2023·浙江温州·校考三模)若扇形半径为4，弧长为2π，则该扇形的圆心角为．【答案】90°/90度【分析】设扇形圆心角的度数为n ，根据弧长公式即可得出结论．【详解】解：设扇形圆心角的度数为n ，∵扇形的弧长为2π，∴n π×4180°=2π，∴n =90°．故答案为：90°．【点睛】本题考查的是扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式及弧长公式是解答此题的关键．【考点三求某点的弧形运动路径长度】1(2023秋·云南昭通·九年级校联考阶段练习)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为旋转中心，将△AOB 顺时针旋转90°得到△A OB ，其中点A 与点A 对应，点B 与点B 对应．如果A -4,0 ，B -1,2 ．则点A 经过的路径长度为(含π的式子表示)【答案】2π【分析】A 点坐标为已知，求出OA 长度，再利用弧长公式l =n πr180求解即可．【详解】解：∵A -4,0如图，由题意A 点以原点O 旋转中心旋转了90°∴点A 经过的路径AA的长度=90⋅π×4180=2π故答案为：2π．【点睛】本题考查图形的旋转、弧长等知识点，需要熟练掌握弧长计算公式．【变式训练】1(2023·湖南郴州·统考中考真题)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =3cm ，∠B =60°．将△ABC 绕点A 逆时针旋转，得到△AB C ，若点B 的对应点B 恰好落在线段BC 上，则点C 的运动路径长是cm (结果用含π的式子表示)．【答案】3π【分析】由于AC 旋转到AC ，故C 的运动路径长是CC 的圆弧长度，根据弧长公式求解即可．【详解】以A 为圆心作圆弧CC ，如图所示．在直角△ABC 中，∠B =60°，则∠C =30°，则BC =2AB =2×3=6cm ．∴AC =BC 2-AB 2=62-32=33cm ．由旋转性质可知，AB =AB ，又∠B =60°，∴△ABB 是等边三角形．∴∠BAB =60°．由旋转性质知，∠CAC =60°．故弧CC 的长度为：60360×2×π×AC =π3×33=3πcm ；故答案为：3π【点睛】本题考查了含30°角直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、弧长公式等知识点，解题的关键是明确C 点的运动轨迹．2(2023·广东东莞·校考一模)如图，△ABC 和△A B ′C ′是两个完全重合的直角三角板，∠B =30°，斜边长为12cm ．三角板A ′B ′C 绕直角顶点C 顺时针旋转，当点A ′落在AB 边上时，则点A ′所转过的路径长为cm ．【答案】2π【分析】根据三角形内角和和含30度的直角三角形三边的关系得到∠A =60°,AC =12AB =6cm ，再根据旋转的性质得CA ′=CA ，于是可判断△CAA ′为等边三角形，所以∠ACA ′=60°，然后根据弧长公式计算弧AA ′的长度即可．【详解】∵∠ACB =90°，∠B =30°，AB =12cm ，∴∠A =60°,AC =12AB =6cm ，∵三角板A ′B ′C 绕直角顶点C 顺时针旋转，当点A ′落在AB 边上，∴CA ′=CA ，∴△CAA ′为等边三角形，∴∠ACA ′=60°，∴弧AA ′的长度=60°π×6180°=2πcm ，即点A ′所转过的路径长为2πcm ．答案为：2π．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了弧长公式．【考点四已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】1(2023·江苏·九年级假期作业)已知扇形的圆心角为80°，半径为3cm ，则这个扇形的面积是cm 2．【答案】2π【详解】根据扇形的面积公式即可求解．【分析】解：扇形的面积=80π×32360=2πcm 2 ．故答案是：2π．【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．【变式训练】1(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第十七中学校校考模拟预测)一个扇形的弧长是8πcm ，圆心角是144°，则此扇形的面积是．【答案】40π【分析】设该扇形的半径为rcm ，然后根据弧长公式计算半径，然后根据扇形面积公式计算即可．【详解】解：设该扇形的半径为rcm ，由题意得：144πr180=8π，解得：r =10，S 扇形=12lr =12×8π×10=40π，故答案为：40π．【点睛】本题主要考查弧长计算公式及扇形面积计算公式，熟练掌握弧长计算公式和扇形面积计算公式是解题的关键．2(2023·海南海口·海师附中校考三模)如图，正五边形ABCDE 的边长为4，以顶点A 为圆心，AB 长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是．【答案】245π【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．【详解】解：∵正五边形的外角和为360°，∴每一个外角的度数为360°÷5=72°，∴正五边形的每个内角为180°-72°=108°，∵正五边形的边长为4，∴S 阴影=108⋅π×42360=245π，故答案为：245π．【点睛】本题考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正五边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大．【考点五求图形旋转后扫过的面积】1(2023·河南安阳·统考一模)如图，将半径为1，圆心角为60°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转36°，得到扇形OAB，则AB扫过的区域(即图中阴影部分)的面积为．【答案】π10【分析】结合已知条件及旋转性质，根据面积的和差可得S 阴影=S 扇形BAB，然后利用扇形面积公式计算即可．【详解】∵OA =OB =1，∠AOB =60°，∴△AOB 为等边三角形，∴AB =OA =1，由旋转性质可得，∠OAO =∠BAB =36°，S △AOB =S △AO B，则S 阴影=S 扇形BAB+S △AOB -S 扇形AOB +S 扇形AO B-S △AO B，=S 扇形BAB，=36π×12360，=π10，故答案为：π10．【点睛】此题考查了扇形的面积及旋转性质，结合已知条件将阴影部分面积转化为扇形的面积是解题的关键．【变式训练】1(2022春·四川德阳·九年级校考阶段练习)如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转120°得到△A B C ，已知AC =3，BC =2，则线段AB 扫过的图形(阴影部分)的面积为．【答案】5π3/53π【分析】由于将△ABC 绕点C 旋转120°得到△A B C ，可见，阴影部分面积为扇形ACA ′减扇形BCB ′，分别计算两扇形面积，在计算其差即可．【详解】解：从图中可以看出，线段AB 扫过的图形面积为一个环形，环形中的大圆半径是AC ，小圆半径是BC ，圆心角是120°，所以阴影面积=大扇形面积-小扇形面积=120π×32-22 360=53π【点睛】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积，将阴影部分面积转化为两扇形面积的查是解题的关键．2(2022秋·山东烟台·九年级统考期末)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =60°，AB =8，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转到△A B C 的位置，使C 、A 、B 三点在同一条直线上，则直角边BC 扫过的图形面积为．【答案】16π【分析】根据题意可得：AC =AC =4，BC =B C =43，∠B AC =∠B AC =∠CAB =60°，因此直角边BC 扫过的图形面积为S =S △ABC+S 扇形BAB -S 扇形CAC -S △ABC ，因为S △ABC=S △ABC ，因此S =S 扇形BAB-S 扇形CAC ，代入数值即可求得答案．【详解】解：根据题意可得：AC =AC =4，BC =B C =43，∠B AC =∠B AC =∠CAB =60°，△ABC ≌△AB C ，所以直角边BC 扫过的图形面积为S =S △ABC+S 扇形BAB -S 扇形CAC -S △ABC ，由于S △ABC=S △ABC ，所以S =S 扇形BAB -S 扇形CAC =120°×π×82360°-120°×π×42360°=64π3-16π3=16π，故答案为：16π．【点睛】本题考查了轨迹问题，关键是根据旋转的性质，找出BC 扫过的面积构成，利用扇形的面积公式计算即可．【考点六求弓形的面积】1(2023·云南昆明·昆明八中校考模拟预测)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =90°，OA =6，则阴影部分的面积是．【答案】9π-18【分析】利用扇形的面积减去三角形的面积，即可得解．【详解】∵OA =OB =6，∠AOB =90°，∴S 阴=S 扇形OAB -S △AOB =90π×62360-12×6×6=9π-18．故答案为：9π-18．【点睛】本题考查求阴影部分的面积．熟练掌握割补法求面积，是解题的关键．【变式训练】1(2023·山东泰安·统考二模)如图C 、D 在直径AB =4的半圆上，D 为半圆弧的中点，∠BAC =15°，则阴影部分的面积是【答案】23π-3【分析】设AB 的中点为O ，连接OD ,OC ，用扇形COD 的面积减去△COD 的面积即可得出结果．【详解】解：设AB 的中点为O ，连接OD ,OC ，∵C 、D 在直径AB =4的半圆上，D 为半圆弧的中点，∠BAC =15°，∴OD =OC =2，∠DOB =90°,∠COB =2∠BAC =30°，∴∠DOC =∠DOB -∠COB =60°，∴△COD 为等边三角形，∴CD =OD =OC =2，过点O 作OE ⊥CD ，则：CE =12CD =1，∴OE =OC 2-CE 2=3，∴阴影部分的面积=S 扇形COD -S △COD =60π×22360-12×2×3=23π-3；故答案为：23π-3．【点睛】本题考查求弓形的面积，同时考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．将阴影部分的面积转化为扇形的面积减去三角形的面积，是解题的关键．2(2023·河南周口·校联考三模)如图，在△ABC 中，BC =BA =4，∠C =30°，以AB 中点D 为圆心、AD 长为半径作半圆交线段AC 于点E ，则图中阴影部分的面积为．【答案】4π3-3【分析】连接DE ，BE ，然后根据已知条件求出∠ABE =60°，AE =23，从而得到∠ADE =120°，最后结合扇形的面积计算公式求解即可．【详解】解：如图，连接DE ，BE ．∵AB 为直径，∴∠BEA =90°．∵BC =BA ，∴∠BAC =∠BCA =30°，∴∠ABE =60°，BE =12AB =2，AE =3BE =32AB =23，∵BD =DE ，∴△BDE 是等边三角形，∴∠ADE =120°，∴阴影部分的面积=S 扇形DAE -S △ADE=120π×22360-12S △ABE=120π×22360-12×12×23×2=4π3-3=4π3-3．故答案为：4π3-3．【点睛】本题考查阴影部分面积计算问题，涉及到扇形面积计算，等边三角形的判定与性质，直径所对的圆周为直角等，掌握扇形面积计算公式是解题关键．【考点七求其他不规则图形的面积】1(2023春·河南漯河·九年级校考阶段练习)图1是以AB 为直径的半圆形纸片，AB =8，沿着垂直于AB 的半径OC 剪开，将扇形OAC 沿AB 向右平移至扇形O A C ，如图2，其中O 是OB 的中点，O C 交BC于点F ，则图中阴影部分的面积为．【答案】8π3-23【分析】根据题意和图形，利用勾股定理，可以求得O F 的长，再根据图形，可知阴影部分的面积=扇形COB 的面积∽△OO F 的面积-扇形OFC 的面积，计算即可．【详解】解：连接OF ，由题意可得，OB =4，OO =2，∠OO F =90°，∴∠OFO =30°，∴∠O OF =60°，∴O F =23，∴阴影部分的面积是：90π×42360-2×232-30×π×42360=8π3-23，故答案为：8π3-23．【点睛】本题考查扇形面积的计算、平移的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式训练】1(2023·河南信阳·统考一模)如图，正五边形ABCDE 的边长为1，分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点F ，图中阴影部分的面积为．(结果保留π)【答案】32-π15【分析】连接CF ，DF ，由CF =DF =CD =1，得∠FCD =∠FDC =60°，求出∠FCD =∠FDC =60°，根据公式求出S 扇形BCF ，S 正△CFD ，S 扇形CDF ，即可得到阴影面积．【详解】如图，连接CF ，DF ，由题意，得∠BCD =(5-2)×180°5=108°，∵CF =DF =CD =1，∴∠FCD =∠FDC =60°，∴∠BCF =108°-60°=48°，∴S 扇形BCF =48π×12360=2π15，S 正△CFD =34×12=34，S 扇形CDF =60π×12360=π6，∴S 阴影BCF =2π15+34-π6=34-π30，∴S 阴影=34-π30 ×2=32-π15，故答案为：32-π15．【点睛】此题考查了求不规则图形的面积，扇形面积公式，正多边形的性质，正确理解图形面积的计算方法连接辅助线是解题的关键．2(2023·河南南阳·统考模拟预测)如图，在矩形ABCD 中，AD =2，AB =1，以D 为圆心，以AD 长为半径画弧，以C 为圆心，以CD 长为半径画弧，两弧恰好交于BC 上的点E 处，则阴影部分的面积为．【答案】12【分析】如图，连接DE ，根据勾股定理，得DE =2，根据阴影部分的面积S 1为：扇形AED 的面积减去S 2，根据S 2的等于扇形DCE 的面积减去S 3，即可求解．【详解】解：连接DE ，如图：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC =∠BCD =90°，AB =DC =1，∵EC =DC =1，∴∠CDE =45°，∴∠ADE =45°，∴扇形DAE 的面积为：45π×2 2360=π4，∵S 2=S 扇形DCE -S 3=90π×12360-12×1×1=π4-12，∴阴影部分的面积为：S 1=S 扇形ADE -S 2=π4-π4-12 =12．故答案为：12．【点睛】本题考查矩形的性质，扇形的面积，三角形面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式，矩形的性质．【考点八求圆锥的侧面积与底面半径】1(2023·全国·九年级专题练习)若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是．(结果保留π)【答案】10π【分析】根据圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．【详解】解：根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×5=10π，故答案为：10π．【点睛】本题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．【变式训练】1(2023春·云南昭通·九年级统考期中)若圆雉的侧面积为12π，底面圆半径为3，则该圆雉的母线长是．【答案】4【分析】根据圆锥的侧面积=πrl，列出方程求解即可．【详解】解：∵圆锥的侧面积为12π，底面半径为3，3πl=12π．解得：l=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，解题关键是熟记圆锥的侧面积公式，列出方程进行求解．2(2023·广东梅州·统考一模)若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为cm2．(结果保留π)【答案】12π【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可．【详解】解：∵圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，∴圆锥的侧面积为12×2×3π×4=12πcm2．故答案为：12π．【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积，属于简单题，熟练掌握扇形面积公式是解题关键．3(2023·江苏·九年级假期作业)已知圆锥侧面展开图圆心角的度数是120°，母线长为3，则圆锥的底面圆的半径是．【答案】1【分析】设该圆锥的底面半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr=120×π×3180，然后解关于r的方程即可．【详解】设该圆锥的底面半径为r，根据题意得2πr=120×π×3180，解得r=1．故答案为1．【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．4(2023·浙江衢州·统考二模)某个圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的底面半径为cm．【答案】2【分析】把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．【详解】解：设此圆锥的底面半径为rcm，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=120π×6180，r=2故答案为2．【点睛】此题考查了圆的周长和圆弧长的计算，熟练掌握它们的计算公式是解题的关键．【考点九求圆锥侧面展开图的圆心角】1(2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习)已知圆锥的底面圆半径是2，母线长是4，则圆锥侧面展开的扇形圆心角是．【答案】180°/180度【分析】根据圆锥的底面周长，就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图的角度，把相关数值代入即可求解．【详解】解：∵圆锥底面半径是2，∴圆锥的底面周长为4π，设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为n°，∴nπ×4180=4π，解得：n=180，∴圆锥侧面展开的扇形圆心角是180°．故答案为：180°．【点睛】本题考查求圆锥侧面展开图的圆心角．掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长是解题的关键．【变式训练】1(2023·江苏·九年级假期作业)已知圆锥的母线长5，底面半径为3，则圆锥的侧面积为，圆锥侧面展开图形的圆心角是度．【答案】15π216【分析】根据圆锥的侧面积公式S侧=πrl即可求解该圆锥的侧面积；结合弧长公式求出圆锥侧面展开图形的圆心角即可．【详解】解：圆锥的侧面积S侧=π×3×5=15π，圆锥的底面周长L=2π×3=6π，扇形圆心角=180×6ππ×5=216°．故答案为：15π，216．【点睛】本题主要考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．2(2023·江苏·九年级假期作业)若要制作一个母线长为9cm，底面圆的半径为4cm的圆锥，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是．【答案】160°/160度【分析】利用圆锥侧面展开图，扇形圆心角与母线和底面圆半径的关系计算，即可求解．【详解】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是n，根据题意得：2π×4=n π×9180，解得n =160，即这个圆锥的侧面展开图的圆心角是160°，故答案为：160°．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图，扇形圆心角与母线和底面圆半径的关系，明确圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长是解答本题的关键．【考点十圆锥侧面上最短路径问题】1(2023秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末)如图，已知圆锥底面半径为20cm ，母线长为60cm ，一只蚂蚁从A 处出发绕圆锥侧面一周(回到原来的位置A )所爬行的最短路径为cm ．(结果保留根号)【答案】603【分析】把圆锥的侧面展开得到圆心角为120°，半径为60的扇形，求出扇形中120°的圆心角所对的弦长即为最短路径．【详解】解：圆锥的侧面展开如图：过S 作SC ⊥AB ,∴AC =BC设∠ASB =n °，即：2π×20=n π×60180，得：n =120，∴∠ASC =60°∴AC =AS ×sin ∠ASC =60×32=303∴AB =2AC =603，故答案为：603．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，特殊角的锐角三角函数值，将圆锥中的数据对应到展开图中是解题的关键．【变式训练】1(2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校联考期中)如图，AB 是圆锥底面的直径，AB =6cm ，母线PB=9cm ．点C 为PB 的中点，若一只蚂蚁从A 点处出发，沿圆锥的侧面爬行到C 点处，则蚂蚁爬行的最短路程为．【答案】932/923【分析】先画出圆锥侧面展开图(见解析)，再利用弧长公式求出圆心角∠APA 的度数，然后利用等边三角形的判定与性质、勾股定理可得AC =932，最后根据两点之间线段最短即可得．【详解】画出圆锥侧面展开图如下：如图，连接AB 、AC ，设圆锥侧面展开图的圆心角∠APA 的度数为n °，因为圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于母线长，所以n π×9180=2π×3，解得n =120，则∠APB =12APA =60°，又∵AP =BP =9，∴△ABP 是等边三角形，∵点C 为PB 的中点，∴AC ⊥BP ，CP =12BP =92，在Rt △ACP 中，AC =AP 2-CP 2=932，由两点之间线段最短可知，蚂蚁爬行的最短路程为AC =932，故答案为：932．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图、弧长公式、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆锥侧面展开图是解题关键．2(2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期中)如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A ，将圆锥沿母线OA 剪开，其侧面展开图如图2所示，若∠AOA =120°，OA =3，则蚂蚁爬行的最短距离是．【答案】3【分析】连接AA ′，作OB ⊥AA ′于点B ，根据题意，结合两点之间线段最短，得出AA ′即为蚂蚁爬行的最短距离，再根据三角形的内角和定理得出∠OAB =30°，再根据直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半，得出OB =32，再根据勾股定理，得出AB =32，再根据三线合一的性质，得出AB =A ′B ，再根据线段之间的数量关系，得出AA ′=3即可解答．【详解】解：如图，连接AA ′，作OB ⊥AA ′于点B ，∴AA ′即为蚂蚁爬行的最短距离，∵OA =OA ′，∠AOA ′=120°，∴∠OAB =30°，在△OAB 中，OB ⊥AA ′，∠OAB =30°，∴OB =12OA =12×3=32，∴AB =OA 2-OB 2=3 2-32 2=32，在△AOA ′中，OA =OA ′，OB ⊥AA ′，∴AB =A ′B ，∴AA ′=2AB =2×32=3．∴蚂蚁爬行的最短距离为3．故答案为：3【点睛】本题考查了圆锥侧面上最短路径问题、三角形的内角和定理、直角三角形的特征、勾股定理、三线合一的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形和直角三角形是解题的关键．【过关检测】一、单选题1(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学校考模拟预测)一个扇形的半径是4cm ，圆心角是45°，则此扇形的弧长是()A.πcmB.2πcmC.4πcmD.8πcm 【答案】A【分析】根据弧长公式进行计算即可．【详解】解：由题意得，扇形的半径为4cm，圆心角为45°，故此扇形的弧长为45π×4180=πcm，故选：A．【点睛】此题考查了扇形弧长的计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握弧长计算公式，难度一般．2(2023·浙江温州·校联考三模)已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积为() A.8π B.10π C.12π D.20π【答案】D【分析】圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相关数值代入即可求解．【详解】解：根据题意可得：圆锥的侧面积为：π×4×5=20π，故选：D．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长．3(2023秋·江苏·九年级专题练习)如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A B C的位置．若BC的长为7.5cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为()A.10πcmB.103πcmC.15πcmD.20πcm【答案】A【分析】顶点A从开始到结束所经过的路径是一段弧长是以点C为圆心，AC为半径的圆弧，旋转的角度是180°-60°=120°，所以根据弧长公式可得．【详解】解：在含有30°角的直角三角板ABC中，∠ACB=60°，BC=7.5cm，∴∠ACA =120°，AC=2BC=15cm，∴120π×15180=10πcm，故选：A．【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是弄准弧长的半径和圆心角的度数．4(2023秋·江苏·九年级专题练习)如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，半径OA=3，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，使点O恰好落在AB上的点D处，折痕为BC，则阴影部分的面积为()A.3π-332B.9π4-33 C.π-34D.3π-34【答案】B【分析】连接OD ，由折叠的性质可得CD =CO ，BD =BO ，∠DBC =∠OBC ，从而得到△OBD 为等边三角形，再求出∠CBO =30°，从而得出OC =3，进行得出S △BOC =332，最后由△BOC 与△BDC 面积相等及S 阴影=S 扇形AOB -S △BOC -S △BDC ，进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，连接OD ，，根据折叠的性质，CD =CO ，BD =BO ，∠DBC =∠OBC ，∴OB =BD =OD ，∴△OBD 为等边三角形，∴∠DBO =60°，∴∠CBO =12∠DBO =30°，∵∠AOB =90°，∴OC =OB ⋅tan ∠CBO =3×33=3，∴S △BOC =12OB ⋅OC =332，∵△BOC 与△BDC 面积相等，∴S 阴影=S 扇形AOB -S △BOC -S △BDC =14π×32-332-332=94π-33，故选：B ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、折叠的性质、扇形面积的计算-求不规则图形的面积，添加适当的辅助线，得到S 阴影=S 扇形AOB -S △BOC -S △BDC 是解题的关键．5(2023·辽宁抚顺·统考一模)如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宜传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O 为圆心，OA ,OB 长分别为半径，圆心角∠O =120°形成的扇面，若OA =3m ,OB =1.5m ，则阴影部分的面愁为()A.4.25πm 2B.25πm 2C.3πm 2D.2.25πm 2【答案】D【分析】根据S 阴影=S 扇形DOA -S 扇形BOC 计算即可．【详解】S 阴影=S 扇形DOA -S 扇形BOC =120π×9360-120π×94360=2.25πm 2故选：D ．【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S =n πR 2360是解题的关键．二、填空题6(2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测)圆锥母线长l =8，底面圆半径r =2，则圆锥侧面展开图的圆心角θ是．【答案】90°/90度【分析】根据弧长公式，弧长与圆锥底面圆的周长相等，建立等式计算即可．【详解】∵圆锥母线长l =8，底面圆半径r =2，圆锥侧面展开图的圆心角θ，∴2πr =θπl180，∴θ=360×2×π8π=90°，故答案为：90°．【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开，弧长公式，熟练掌握展开的特点，牢记弧长公式是解题的关键．7(2023秋·河北唐山·九年级统考期末)如图，半圆O 的直径AB =6，弦CD =3，AD的长为34π，则BC的长为．【答案】5π4【分析】由题意可知：△OCD 是等边三角形，从而可求出弧CD 的长度，再求出半圆弧的长度后，即可求出弧BC 的长度．【详解】解：连接OD 、OC ，∵CD =OC =OD =3，∴△CDO 是等边三角形，∴∠COD =60°，∴CD 的长=60⋅π×3180=π，又∵半圆弧的长度为：12×6π=3π，∴BC =3π-π-3π4=5π4．故答案为：5π4【点睛】本题考查圆了弧长的计算，等边三角形的性质等知识，属于中等题型．8(2023·江苏扬州·统考中考真题)用半径为24cm ，面积为120πcm 2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为cm ．【答案】5【分析】应为圆锥侧面母线的长就是侧面展开扇形的半径，利用圆锥侧面面积公式：S =π⋅r ⋅l ，就可以求出圆锥的底面圆的半径．【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r ，l =24，由扇形的面积：S =π⋅r ⋅l =120π，得：r =5故答案为：5【点睛】本题考查了圆锥侧面面积的相关计算，熟练掌握圆锥侧面面积的计算公式是解题的关键，注意用扇形围成的圆锥，扇形的半径就是圆锥的母线．9(2023·吉林长春·校联考二模)如图，AB 是⊙O 的直径，AB =4，点C 在⊙O 上(点C 不与A 、B 重合)，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，连接AC ．若∠D =45°，则BC的长度是(结果保留π)【答案】π2/12π【分析】连接OC ，根据切线的性质，得出∠OCD =90°，再根据三角形的内角和定理，得出∠DOC =45°，即∠BOC =45°，再根据圆的基本概念，得出OB =2，再根据弧长公式，计算即可．【详解】解：如图，连接OC ，∵CD 是⊙O 的切线，∴CD ⊥OC ，。

第十二节课弧长及扇形的面积圆锥的侧面积和全面积

海豚教育个性化简案学生姓名：年级：科目：授课日期：月日上课时间：时分------ 时分合计：小时教学目标1、熟悉弧长、扇形面积的计算公式2、学会立体图形的展开重难点导航1、立体图形的展开图2、圆锥的侧面积的全面积教学简案：1、弧长及扇形的面积知识点1：弧长知识点2：扇形的面积2、圆锥的侧面积和全面积知识点1：圆锥的侧面展开图知识点2：圆锥的侧面积3、圆锥与圆柱的比较授课教师评价：□准时上课：无迟到和早退现象（今日学生课堂表□今天所学知识点全部掌握：教师任意抽查一知识点，学生能完全掌握现符合共项）□上课态度认真：上课期间认真听讲，无任何不配合老师的情况（大写）□海豚作业完成达标：全部按时按量完成所布置的作业，无少做漏做现象审核人签字：学生签字：教师签字：备注：请交至行政前台处登记、存档保留，隔日无效（可另附教案内页）大写：壹贰叁肆签章：海豚教育个性化教案（真题演练）真题演练:1、.如图，圆锥底面半径为r ，母线长为3r ，底面圆周上有一蚂蚁位于A 点，它从A 点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径.A2、如图，等腰Rt △ABC 中斜边AB =4，O 是AB 的中点，以O 为圆心的半圆分别与两腰相切于点D 、E ，图中阴影部分的面积是多少？请你把它求出来.(结果用π表示)ABC D OEF3、铅球比赛要求运动员在一固定圆圈内投掷，推出的铅球必须落在40°角的扇形区域内(以投掷圈的中心为圆心).如果运动员最多可投7 m ，那么这一比赛的安全区域的面积至少应是多少？(结果精确到0.1 m 2)4、如图，有一直径是1 m 的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形CAB .(1)被剪掉的阴影部分的面积是多少？(2)若用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？(结果可用根号表示)ABCO5、现有总长为8 m 的建筑材料，用这些建筑材料围成一个扇形的花坛(如图)，当这个扇形的半径为多少时，可以使这个扇形花坛的面积最大？并求最大面积.A BO6、如图，正三角形ABC 的中心恰好为扇形ODE 的圆心，且点B 在扇形内，要使扇形ODE 绕点O 无论怎样转动，△ABC 与扇形重叠部分的面积总等于△ABC 的面积的31，扇形的圆心角应为多少度？说明你的理由.海豚教育个性化教案（内页）（一）、知识框架圆与圆有关的位置关系圆的定义,弧、弦等概念基本性质垂径定理及其推论圆的对称性弧、弦、弦心距、圆心角关系定理及其推论圆周角定理及其推论确定圆的条件不共线的三点确定一个圆三角形的外接圆点和圆的位置关系点在圆上d r⇔=点在圆外d r⇔>点在圆内d r⇔<直线与圆的位置关系相交d r⇔<相切d r⇔=相离d r⇔>判定性质切线长定理三角形的内切圆圆与圆的位置关系相交相切相离外离d R r⇔>+内含d R r⇔<+外切d R r⇔=+内切d R r⇔=-相切的两圆的连心线过切点相交R r d R r⇔-<<+相交的两圆的连心线垂直平分相交弦正多边形与圆正多边形和圆正多边形的有关计算圆内接正多边形作法----等份圆扇形的弧长、面积圆锥圆内接正多边形正多边形的半径、边心距、正多边形的内角、中心角、外角、正多边形的周长、正三、六、十二边形正四、八边形180n Rlπ=213602n RS lRπ==扇形其中l为弧长，R为半径S S=侧展开的扇形S S S=+侧全底侧面积全面积轴截面1、弧长及扇形的面积知识点1：弧长在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为：l ＝180πRn 。

3.93弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解(基础)

3.93弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解（基础）【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；3. 能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n °的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n °的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.要点三、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则圆锥的侧面积，圆锥的全面积.要点诠释：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1．如图（1），AB切⊙O于点B，OA=AB=3，弦BC∥OA，则劣弧 BC的弧长为（）．ABC．πD．32π图（1）【答案】A.【解析】连结OB、OC，如图（2）则0OBA∠︒＝9，A∠︒＝3，0AOB∠︒＝6，由弦BC∥OA得60OBC AOB∠∠=︒＝，所以△OBC为等边三角形，0BOC∠︒＝6.则劣弧 BC，故选A. 图（2）【总结升华】主要考查弧长公式：.举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)【答案】R=40mm ，n=110∴的长==≈76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm ．2．如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）【答案与解析】∵弦AB 和半径OC 互相平分，∴OC ⊥AB ，OM=MC=OC=OA ．∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120° ∴S 扇形=．【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.举一反三：【变式】如图（1），在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（）．A ．449-π B ．849-πC ．489-πD ．889-π的面积是：BC•AD=×4×2=4，类型二、圆锥面积的计算3．小红为了迎接圣诞节而准备做一顶圣诞帽．如图所示，圆锥的母线长为26cm ，高24cm ，求它的底面半径及做这样一顶帽子需要的布料面积(接缝忽略不计)．【答案与解析】如图所示，在Rt △SOA 中，10cm r ==．即圆锥底面半径为10cm ，做这样的圣诞帽需布料πRr=260πcm 2．【总结升华】本题考查的是圆锥母线R ，高h ，底面半径r 三者的关系，及利用圆锥侧面积解决实际问题的方法．根据圆锥母线R ，高h ，底面半径r 的关系，可求r πRr ．类型三、组合图形面积的计算4．如图所示，水平放置的圆柱形油桶的截面半径是R ，油面高为32R ，求截面上有油的弓形(阴影部分)的面积．【答案与解析】如图所示，作OC ⊥AB ，交AB 于D ，交⊙O 于C ． ∵ 12CD R =，12OD R =， ∴ ∠AOB ＝2∠COB ＝120°，AB ＝2BD ＝2R =， ∴ 阴影部分面积为22240112360223R R R ππ⎛+=+ ⎝⎭ ．【总结升华】弓形的面积是扇形面积加上三角形的面积. 【巩固练习】C一、选择题1.一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（）A.5πB. 4πC.3πD.2π2．如图所示，边长为12m的正方形池塘的周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一棵树，且AB＝BC＝CD＝3m．现用长4m的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在( )．A．A处 B．B处 C．C处 D．D处3．劳技课上，王红制作了一顶圆锥形纸帽，已知纸帽底面圆半径为10 cm，母线长为50 cm，则制作一顶这样的纸帽所需纸的面积至少为( )．A．250πcm2 B．500πcm2 C．600πcm2 D．1000πcm24．一圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角是( )．A．120° B．180° C．240° D．300°5．底面圆半径为3cm，高为4cm的圆锥侧面积是( )．A．7.5π cm2 B．12π cm2 C．15πcm2 D．24π cm26．小明要制作一个圆锥形模型，其侧面是由一个半径为9cm，圆心角为240°的扇形纸板制成的，还需用一块圆形纸板作底面，那么这块圆形纸板的直径为( )．A．15cm B．12cm C．10cm D．9cm二、填空题7．已知扇形圆心角是150°，弧长为20πcm，则扇形的面积为________．8．如图，某传送带的一个转动轮的半径为40cm，转动轮转90°传送带上的物品A被传送厘米.第8题图第9题图第11题图9．如图所示，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为________cm2(结果保留π)．10．已知弓形的弦长等于半径R，则此弓形的面积为________．(劣弧为弓形的弧)11．如图所示，把一块∠A＝30°的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A B C''的位置．若BC的长为15cm，求顶点A从开始到结束所经过的路径长．12．如图所示，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于．三、解答题13．如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心， AB是大半圆的弦关与小半圆相切，且AB=24．问：能求出阴影部分的面积吗？若能，求出此面积；若不能，试说明理由．14. 圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD如图所示那样叠放在一起，连接AC、BD．(1)求证：△AOC≌△BOD；(2)若OA＝3cm，OC＝1cm，求阴影部分的面积．15．如图所示，线段AB与⊙O相切于点C，连接OA、OB，OB交⊙0于点D，已知OA＝OB＝6cm，AB＝，求：(1)⊙O的半径；(2)图中阴影部分的面积．16.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形PABC的边长为1，将其沿x轴的正方向连续滚动，即先以顶点A为旋转中心将正方形PABC顺时针旋转90°得到第二个正方形，再以顶点D为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转90°得到第三个正方形，依此方法继续滚动下去得到第四个正方形，…，第n个正方形．设滚动过程中的点P的坐标为（x，y）．（1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点P的坐标；（2）画出点P（x，y）运动的曲线（0≤x≤4），并直接写出该曲线与x轴所围成区域的面积．【答案与解析】一、选择题1.【答案】C .【解析】圆锥的侧面展开图的弧长为2π，圆锥的侧面面积为2π，底面半径为1，圆锥的底面面积为π，则该圆锥的全面积是2π+π=3π. 故选C.2.【答案】B【解析】小羊的活动区域是扇形，或是扇形的组合图形，只要算出每个扇形的面积，即可比较出拴在B 处时活动区域的面积最大．3.【答案】B ；4.【答案】B ；【解析】由22rl r ππ=得2l r =， ∴ 22180n rr ππ=．∴ n ＝180°． 5.【答案】C ；【解析】可求圆锥母线长是5cm ． 6.【答案】B ；【解析】∵24092180r ππ⨯=，∴ r ＝6cm ，2r ＝12cm ．二、填空题7.【答案】240πcm 2；【解析】先由弧长求出扇形的半径，再计算扇形的面积． 8．【答案】20π（cm ）；【解析】904020180180n r l πππ⨯===(cm)． 9．【答案】3π；【解析】由扇形面积公式得2212033360360n R S πππ⨯===扇形(cm 2)． 10．2；【解析】由弓形的弧长等于半径，可得弓形的弧所对的圆心角为60°． 11．【答案】20()cm π；【解析】顶点A 经过的路径是一段弧，弧所在的扇形的圆心角是120°，半径AC=2BC=30cm,1203020()180l cm ππ⨯==.12．【答案】3π；【解析】连接AC ，知AC ＝AB ＝BC ，∴ ∠BAC ＝60°，∴ 弧6011803BC ππ=⨯=．三、解答题13.【答案与解析】将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连OB ，过O 作OC ⊥AB 于C 点，则AC=BC=12， ∵AB 是大半圆的弦且与小半圆相切， ∴OC 为小圆的半径， ∴S 阴影部分=S 大半圆-S 小半圆 =π•OB 2-π•OC 2 =π（OB 2-OC 2） =πAC2=72π．故答案为72π．14.【答案与解析】(1)证明：同圆中的半径相等，即OA ＝OB ，OC ＝OD ．再由∠AOB ＝∠COD ＝90°，得∠1＝∠2，所以△AOC ≌△BOD ．(2)解：22211()(91)2(cm )44S S S OA OC πππ=-=-=-= 阴影扇形AOB 扇形COD． 15.【答案与解析】(1)如图所示，连接OC ，则OC ⊥AB ，∴ OA ＝OB ，∴ AC ＝BC ＝1122AB =⨯=．在Rt △AOC 中，3cm OC===．∴ ⊙O 的半径为3 cm ． (2)∵ OC ＝3cm 12=OB ，∠B ＝30°，∠COD ＝60°． ∴ 扇形OCD 的面积为226033(cm )3602ππ= ． ∴ 阴影部分的面积为 213)22BOC OCD S S OC CB π∆-=-= 扇形．16.【答案与解析】（1）第三个和第四个正方形的位置如图所示：第三个正方形中的点P的坐标为：（3，1）；（2）点P（x，y）运动的曲线（0≤x≤4）如图所示：由图形可知它与x轴所围成区域的面积=++1+=π+1．。

初三数学弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积知识精讲人教实验版

初三数学弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积知识精讲人教实验版一. 本周教学内容：弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积教学目的1. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥及其特征，使学生掌握圆锥的轴截面图及其特点。

2. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥侧面展开图的画法及侧面积计算公式。

3. 使学生比较熟练地应用弧长和扇形面积公式、圆锥的基本性质和轴截面解决有关圆锥表面积的计算问题。

4. 培养学生空间观念及空间图形与平面图形的相互转化思想，培养学生空间想象能力和计算能力。

教学重点和难点：教学重点是弧长和扇形面积公式，圆锥及其特征，圆锥的侧面积计算难点是圆锥侧面展开图（扇形）中各元素与圆锥各元素之间的关系教学过程1. 圆周长：r 2C π= 圆面积：2r S π=2. 圆的面积C 与半径R 之间存在关系R 2C π=，即360°的圆心角所对的弧长，因此，1°的圆心角所对的弧长就是360R2π。

n °的圆心角所对的弧长是180Rn π180Rn π=∴l P 120*这里的180、n 在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。

3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。

发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。

4. 在半径是R 的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积2R S π=，所以圆心角为n °的扇形面积是： R 21360R n S 2l =π=扇形（n 也是1°的倍数，无单位）5. 圆锥的概念观察模型可以发现：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。

其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。

如图，从点S 向底面引垂线，垂足是底面的圆心O ，垂线段SO 的长叫做圆锥的高，点S 叫做圆锥的顶点。

锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。

辅导讲义：弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积

辅导:弧长与扇形得面积、圆锥得侧面积与全面积一、弧长与扇形得面积:『活动一』因为3６０°得圆心角所对弧长就就就是圆周长C ＝2πR ,所以1°得圆心角所对得弧长就就是、这样,在半径为Ｒ得圆中,n °得圆心角所对得弧长l= 、『活动二』类比弧长得计算公式可知:在半径为R 得圆中,圆心角为ｎ°得扇形面积得计算公式为:Ｓ＝、『活动三』扇形面积得另一个计算公式比较扇形面积计算公式与弧长计算公式,可以发现：可以将扇形面积得计算公式：Ｓ=πＲ２化为S =·R ，从面可得扇形面积得另一计算公式:S ＝、二、圆锥得侧面积与全面积：1、圆锥得基本概念:得线段SA 、SA 1……叫做圆锥得母线,得线段叫做圆锥得高、2、圆锥中得各元素与它得侧面展开图——扇形得各元素之间得关系：将圆锥得侧面沿母线l 剪开，展开成平面图形,可以得到一个扇形，设圆锥得底面半径为r ,这个扇形得半径等于，扇形弧长等于、３、圆锥侧面积计算公式圆锥得母线即为扇形得半径,而圆锥底面得周长就就是扇形得弧长,这样,S 圆锥侧=S 扇形＝·2πr · ｌ = πrl4、圆锥全面积计算公式S 圆锥全=Ｓ圆锥侧+S 圆锥底面= πr l +πｒ 2=πｒ(ｌ +r )三、例题讲解:例１、(2011•德州,1１,4分)母线长为2,底面圆得半径为1得圆锥得侧面积为、A1A B C D E F (第3题)O 例2、(2０11年山东省东营市，2１,9分）如图,已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上,A Ｄ∥BC ,B Ｄ平分∠ＡBC ,∠BAD =12０°，四边形ABCD 得周长为1５、 (1)求此圆得半径;ﻫ(２)求图中阴影部分得面积、例３、(2０1０广东,1４,6分)如图,在平面直角坐标系中,点P 得坐标为(－４,0),⊙P 得半径为2,将⊙P 沿x 轴向右平移4个单位长度得⊙Ｐ１、(1)画出⊙P 1，并直接判断⊙Ｐ与⊙P 1得位置关系；(2)设⊙P 1与x 轴正半轴,y 轴正半轴得交点分别为Ａ，B ,求劣弧AB 与弦A Ｂ围成得图形得面积(结果保留π)、四、同步练习:１、（2０12北海，11,３分)如图,在边长为1得正方形组成得网格中,△AB Ｃ得顶点都在格点上,将△ＡBC 绕点Ｃ顺时针旋转60°,则顶点A 所经过得路径长为：ﻩ( )A 、10π ﻩＢ、ﻩ ﻩＣ、π ﻩ Ｄ、π２、（２01２北海,12，3分)如图,等边△ABC 得周长为6π，半径就就是1得⊙Ｏ从与AB 相切于点D 得位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动,又回到与AB 相切于点D 得位置,则⊙O 自转了: ﻩ( ) Ａ、２周ﻩﻩ Ｂ、3周ﻩﻩ C 、4周 ﻩD 、5周A BC第1题图第2题图3、（20１2湖北咸宁,7，3分)如图,⊙O 得外切正六边形ABCDEF 得边长为2,则图中阴影部分得面积为（ )、A 、错误!ﻩB 、错误!C 、错误!D 、错误!4、(2012四川内江,8，3分)如图2,AB 就就是⊙Ｏ得直径,弦CD ⊥A Ｂ，∠CDB =3０°，CD =2,则阴影部分图形得面积为（ )Ａ、４π ﻩ Ｂ、2πﻩ ﻩＣ、πﻩD 、５、(2012·湖南省张家界市·14题·３分)已知圆锥得底面直径与母线长都就就是１0,则圆锥得侧面积为＿＿_＿＿___、6、(2０12·哈尔滨,题号１6分值 3)一个圆锥得母线长为4,侧面积为8，则这个圆锥得底面圆得半径就就是、７、（2０１2江苏省淮安市,１7,3分）若圆锥得底面半径为２cm ,母线长为5cm ,则此圆锥得侧面积为ｃm ２、8、(２0１2四川达州,11，3分）已知圆锥得底面半径为4，母线长为6,则它得侧面积就就是、(不取近似值)9、(２012年广西玉林市,1６,3）如图，矩形ＯＡB Ｃ内接于扇形ＭON ,当C Ｎ=CO 时,∠ＮM10、(20１2广安中考试题第１5题,3分)如图6,Rt △ＡＢC 得边ＢC 位于直线l 上,A Ｃ=,∠AC Ｂ＝90o ,∠A =30o ,若△RtA ＢC 由现在得位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线上l 时，点A 所经过得路线得长为_________＿＿_____(结果用含л得式子表示)、1１、12、Ｄ,(1)BD 得长就就是；(5分) B图2 第12题图AC 第9题第11题（2)求阴影部分得面积、 (5分)13、(2012浙江省义乌市,20,8分)如图，已知AB 就就是⊙Ｏ得直径,点C 、Ｄ在⊙O 上,点E 在⊙O 外,∠ＥAC =∠D =６0°、(１)求∠ABC 得度数;(2)求证:AE 就就是⊙O 得切线;(3）当BC =4时，求劣弧AC 得长、１4、(2012年吉林省,第23题、7分、)如图，在扇形OAB 中,∠AOB =９0°,半径ＯA ＝6、将扇形O ＡB 沿过点B 得直线折叠、点O 恰好落在弧A Ｂ上点D 处,折痕交ＯA 于点Ｃ,求整个阴影部分得周长与面积、15、（2011甘肃兰州,2５，９分）如图,在单位长度为1得正方形网格中,一段圆弧经过网格得交点A 、Ｂ、C 、（1)请完成如下操作:①以点O 为原点、竖直与水平方向所在得直线为坐标轴、网格边长为单位长,建立平面直角坐标系;②用直尺与圆规画出该圆弧所在圆得圆心D 得位置(不用写作法，保留作图痕迹),并连结A Ｄ、CD 、(2)请在(１)得基础上,完成下列问题：①写出点得坐标:C 、D ;②⊙D 得半径= (结果保留根号）;③若扇形AD Ｃ就就是一个圆锥得侧面展开图,则该圆锥得底面面积为 (结果保留π);④若E (7，０),试判断直线EC 与⊙D 得位置关系并说明您得理由、参考答案例1、考点：圆锥得计算。

初三数学弧长和扇形面积公式知识精讲

初三数学弧长和扇形面积公式知识精讲一. 本周教学内容：弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积教学目的1. 使学生学会弧长和扇形面积公式、圆锥及其特征，使学生掌握圆锥的轴截面图及其特点。

2. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥侧面展开图的画法及侧面积计算公式。

3. 使学生比较熟练地应用弧长和扇形面积公式、圆锥的基本性质和轴截面解决有关圆锥表面积的计算问题。

4. 培养学生空间观念及空间图形与平面图形的相互转化思想，培养学生空间想象能力和计算能力。

n °的圆心角所对的弧长是180Rn π 180Rn π=∴lP 120*这里的180、n 在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。

3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。

发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。

其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。

如图，从点S 向底面引垂线，垂足是底面的圆心O ，垂线段SO 的长叫做圆锥的高，点S 叫做圆锥的顶点。

锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。

也就是说，把直角三角形SOA 绕直线SO 旋转一周得到的图形就是圆锥。

【人教版】数学九年级弧长和扇形面积圆锥的侧面积和全面积PPT课件

圆锥的侧面积和全面积
如图:设圆锥的母线长为L,底面半径为r.则圆锥的侧面积公式为：
S侧
=
1 2
2πr
l.
= πrl
P
L=2πr
hl
全面积公式为：
A
O r
B
S全 = S侧+ S底
人教版数学九年级弧长和扇形面积圆锥的侧面积和全面积课件示范-精品课件p pt(实用版)
= πr l ＋πr2
人教版数学九年级弧长和扇形面积圆锥的侧面积和全面积课件示范-精品课件p pt(实用版)
人教版数学九年级弧长和扇形面积圆锥的侧面积和全面积课件示范-精品课件p pt(实用版)
人教版数学九年级弧长和扇形面积圆锥的侧面积和全面积课件示范-精品课件p pt(实用版)
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人教版数学九年级弧长和扇形面积圆锥的侧面积和全面积课件示范-精品课件p pt(实用版)
S侧 S扇形 rl
S全S侧S底 rlr2
人教版数学九年级弧长和扇形面积圆锥的侧面积和全面积课件示范-精品课件p pt(实用版)
人教版数学九年级弧长和扇形面积圆锥的侧面积和全面积课件示范-精品课件p pt(实用版)
例2 、已知圆锥的底面半径r=2，母线长为8。
（1）求它的侧面展开图的圆心角和全面积；（2）若一甲虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面爬行一周后又回到A点，它所走的最短路线是多少？
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人教版数学九年级弧长和扇形面积圆锥的侧面积和全面积课件示范-精品课件p pt(实用版)
二.知识讲解：探究新知准备好的圆锥模型沿着母线剪开，观察圆锥的侧面展开图．
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第37讲弧长、扇形面积、圆锥的侧面积与全面积

燕
图３
（３）圆的面积公式
Ｓ一本讲内容与生活联系比较紧密，此是中因
（）径为，圆心角为。４半．，的扇形面积Ｓ一自，半
考的一个热点内容．题型以填空和选择为主，
（）剩下的三块余料中，否从第 ③ 块２在能
图６１ — 图６２ —
余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由；（）ｏｏ的半径Ｒ（３当Ｒ＞Ｏ为任意值时，）
、
图形的面积．而这个不规则图形的面积又等于
中点，
’ ．．
Ａ
’ Ｌ且
以ｃ为圆心的÷个圆的面积减去△ＤＤ的面０
．
ＥＦ是弓形的高．
２
一
ＡＥ— ｌＡＢ
．ＥＦ
ｏ
积．ＲｔＤ中，在 △ ＣｏＯＤ一４ＯＣ一２ＤＣ一，，
的面积为：ｃｎ．ｒＺ
分析：结ＯＢ，点。作ＯＥ上ＡＢ，足连过垂
为Ｅ，ＡＢ于Ｆ，图７３交如 — ．
由垂径定理，知：可一Ｆ－分橛：。ｉ阴影部分面积等于以０为圆Ｂ心Ｄ为Ｅ是Ａ中点，ＢＦ是．一，一／一■ 弧的扇形面积减去￣Ｄ、ＤＯ－Ｏ、Ｅ围成的禾规则－Ｅ
・
．
半径是１是底面圆周上一点，点Ａ出发绕一从

弧长、扇形、弓形的面积及侧面积

弧长、扇形面积及圆锥侧面积【知识要点】1．弧长公式：半径为R 的圆，其周长是R π2，将圆周分成360份，每一份弧就是1o的弧，1o弧的弧长应是圆周长的3601，而为1803602R R ππ=，因此，on 的弧的弧长就是180R n π，于是得到公式：)(180代表弧长l Rn l π=。

2．（1）扇形的定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形（如图）。

（2）扇形的周长：（3）扇形的面积：如图，阴影部分的面积即为扇形OAB 的面积。

S 扇形=)(3602为扇形圆心角的度数为半径，n R R n π 由上面两公式可知S 扇形=213602n R lR π=．可据已知条件灵活选用公式。

3．弓形的面积（1）由弦及其所对的劣弧组成的图形，S 弓形=S 扇形-S △OAB 。

（2）由弦及其所对的优弧组成的弓形，S 弓形=S 扇形+S △OAB 。

4．圆锥的有关概念:圆锥可以看做是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形,另一条直角边旋转而成的面叫圆锥的底面,斜边旋转而成的面叫圆锥的侧面. 5．圆锥的侧面展开图:圆锥的侧面展开图是一个扇形,如果圆锥的母线长l ,底面半径为,那么这个扇形的半径为,弧长为,因此可得圆锥的侧面积: 圆锥的侧面积。

为底面圆半径为母线长，侧)(221r l rl r l S ππ=⋅=圆锥的表面积。

为底面圆半径为母线长，（底侧表))(r S S r l l r S +=+=π 【典型例题】例1如果一段弧的长度等于半径，则这段弧所对的圆心角的度数一定（）A 、小于60oB 、等于60oC 、大于60oD 、无法确定 AB AB l R l OB OA +=++2·O AB · A BO m· AB Om例2如图，在ABC △中，12023AB AC A BC =∠==，°，，A ⊙与BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、两点，则图中阴影部分的面积是（保留π）．例3 已知扇形的圆心角为120°，弧长为cm π20，这个扇形的面积是多少？例4 已知：如图所示，⊙O 中AB 的长度为4cm π，它所对的圆心角为120°，求弦AB 的长．例5 圆锥的母线长为5cm ，高为3cm ，在它的侧面展开图中，扇形的圆心角是多少度？例6 已知：圆锥的底面半径为r ，母线长为R ，侧面展开图的圆心角为︒n ，求证：︒n =︒⋅360Rr.例7如图，已知△ABC ，AC ＝BC ＝6，∠C ＝90°．O 是AB 的中点，⊙O 与AC 相切于点D 、与BC 相切于点E ．设⊙O 交OB 于F ，连DF 并延长交CB 的延长线于G ．（1）∠BFG 与∠BGF 是否相等？为什么？（2）求由DG 、GE 和弧ED 围成图形的面积（阴影部分）．A·O BA BC DEFGO ANCD BM例8.如图，圆心角都是90º的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，连结AC ，BD ．（1）求证：AC=BD ；（2）若图中阴影部分的面积是243cm π，OA=2cm ，求OC 的长．例9．图中的粗线CD 表示某条公路的一段，其中AmB 是一段圆弧，AC .BD 是线段，且AC .BD 分别与圆弧 AmB 相切于点A .B ，线段AB =180m ，∠ABD =150°．（1）画出圆弧 AmB 的圆心O ；（2）求A 到B 这段弧形公路的长．例10．如图，PA .PB 是半径为1的O ⊙的两条切线，点A .B 分别为切点，60APB OP AB C O D ∠=°，与弦交于点，与⊙交于点．（1）在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有的全等三角形；（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．PAOBDCEFOA BC21OAB ClD 例11．如图，一个圆锥的高为33cm ，侧面展开图是半圆．求：（1）圆锥的母线长与底面半径之比；（2）求BAC ∠的度数；（3）圆锥的侧面积（结果保留π）．【经典练习】1、已知圆锥的底面半径是3cm ，母线长为6cm ，则侧面积为________cm 2．（结果保留π） 2.一个扇形的圆心角为90°．半径为2，则这个扇形的弧长为________． (结果保留π) 3．已知扇形的圆心角为120°，半径为15cm ，则扇形的弧长为 cm （结果保留π）．4. 如图，扇形OAB ，∠AOB=90︒，⊙P 与OA 、OB 分别相切于点F 、E ，并且与弧AB 切于点C ，则扇形OAB的面积与⊙P 的面积比是．5．如图，正方形ABCD 边长为4，以BC 为直径的半圆O 交对角线BD 于E ．则直线CD 与⊙O 的位置关系是，阴影部分面积为(结果保留π) ．6．如图，菱形ABCD 中，AB =2 ，∠C =60°,菱形ABCD 在直线l 上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长为．(结果保留π) A BO ChlrABCDOE（第15题）AB OABOA ’O ’图(十三)图(十四)Ｐ7.如图，四边形OABC 为菱形，点B 、C 在以点O 为圆心的⌒EF 上，若OA =1，∠1=∠2，则扇形OEF 的面积为（） A.6π B. 4π C. 3π D. 32π8.（2010年台湾省）如图(十三)，扇形AOB 中，OA =10， ∠AOB =36︒。

九年级数学第二十四章第4节弧长和扇形面积人教实验版知识精讲

九年级数学第二十四章第4节弧长和扇形面积人教实验版【本讲教育信息】一、教学内容：弧长和扇形面积 1. 弧长和扇形面积.2. 圆锥的侧面积和全面积.二、知识要点：1. 弧长和扇形面积（1）圆的周长公式C ＝2πR ，n °的圆心角所对的弧长l ＝n πR180.（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.（3）圆的面积公式S ＝πR 2，圆心角为n °的扇形的面积公式S 扇形＝n πR 2360. 当扇形所对的弧长为l 时，S 扇形＝12l R.2. 弓形面积（1）由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.（2）当弓形所含的弧是劣弧时，S 弓形＝S 扇形－S △；当弓形所含的弧是优弧时，S 弓形＝ S 扇形＋S △.3. 圆锥的侧面积和全面积连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线，圆锥的母线都相等. 如果把圆锥的侧面沿它的一条母线剪开，展开在一个平面上，那么它的展开图是一个扇形. 如图所示，这个扇形的半径是圆锥的母线长SA ，弧长是圆锥底面圆的周长.如图中，高SO ＝h ，底面圆的半径OA ＝r ，母线SA ＝l ，则有h 2＋r 2＝l 2，侧面展开图中，扇形的半径为1，弧长︵AC 为2πr .圆锥的侧面积S 侧＝12l ·2πr ＝πrl ；全面积S 全＝S 侧＋S 底＝πrl ＋πr 2.r三、重点难点：本节课的重点是计算弧长和扇形面积以及圆锥的侧面积和全面积. 难点是对弧长和扇形面积公式的理解和公式变形后的灵活运用.四、考点分析：圆的有关性质与圆的有关计算是近几年各地中考命题考查的重点内容，题型以填空题、选择题和解答题为主，也有以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型，分值一般为6~12分. 考查内容主要包括：圆的有关性质的应用；直线和圆、圆和圆位置关系的判定及应用；弧长、扇形面积、圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算；圆与相似、三角函数的综合运用.【典型例题】例1. 已知扇形的圆心角为270°，弧长为12π. 求扇形的面积.分析：根据扇形面积计算公式S ＝n πr 2360＝12lr . 已知n ＝270，l ＝12π. 不管用哪一个公式都必须先求出r ，可借助弧长公式l ＝n πr180求出r .解法一：设扇形半径为r .因为l ＝n πr 180，所以r ＝180l n π＝180×12π270×π＝8.所以S 扇形＝n πr 2360＝270×π×82360＝48π.解法二：设扇形半径为r . 由解法一知r ＝8.所以S 扇形＝12lr ＝12×12π×8＝48π.评析：扇形面积计算公式有两个，解题时要灵活选用. 特别是题目条件中弧长已知时，用S ＝12lr 计算较简便.例2. 如图所示，当半径为30cm 的圆（轮）转动过120°角时，传送带上的A 物体平移的距离为__________cm .分析：A 物体平移的距离相当于圆上的120°的圆心角所对的弧长. ∵R ＝30cm ，n ＝120，∴l ＝120·π·30180＝20π（cm ）.解：20π评析：关键是找出A 物体平移的距离与圆弧长的关系，也可以通过实验操作，或想象圆转动来确立. 在填答案时，由于没有确定精确度，故可以保留π.例3. （1）如图①所示，⊙A 、⊙B 、⊙C 两两不相交，且半径都是1，则图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为（）A. π12B. π8C. π6D. π2（2）如图②所示，有一圆锥形粮堆，从正面看它是一个边长为6m 的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路线长是__________m . （结果不取近似值）BB②③分析：（1）∵S 扇1＝n 1πR 2360，S 扇2＝n 2πR 2360，S 扇3＝n 3πR 2360. ∴S 阴＝S 扇1＋S 扇2＋S 扇3＝n 1πR 2360＋n 2πR 2360＋n 3πR 2360＝πR 2360（n 1＋n 2＋n 3）＝πR 2360×180＝π2，故正确答案为D. （2）设展开后扇形的圆心角为n °，则n π×6180＝π×6，解得n ＝180. 所以圆锥侧面展开后为半圆，且AB⊥AC. 在R t △ABP 中，AB ＝6，AP ＝3，则BP ＝35（m ）.解：（1）D （2）3 5例4. 如图所示，在R t △ABC 中，已知∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝6cm ，把△ABC 以点B 为中心逆时针旋转，使点C 旋转到AB 边的延长线上的点C ’处，那么AC 边扫过的图形（图中阴影部分）的面积是__________cm 2. （不取近似值）A分析：图中的阴影部分可以看成是由△A ’BC ’与扇形ABA ’的和减去△ABC 与扇形CBC ’，由旋转得S △ABC ＝S △A ’BC ’，∠ABA ’＝180°－∠A ’BC ’＝180°－60°＝120°，AB ＝6cm ，又扇形CBC ’中，∠CBC ’＝∠ABA ’＝120°（旋转角），BC ＝12AB ＝12×6＝3（cm ），因此S 扇形ABA ’＝120×π×62360＝12π（cm 2），S 扇形CBC ’＝120×π×32360＝3π（cm 2），∴S 阴影部分＝S 扇形ABA ’－S 扇形CBC ’＝12π－3π＝9π（cm 2）.解：9π评析：组合图形（不规则图形）面积，通常将其转化成规则图形的面积或规则图形面积的和差.例5. 如图所示，已知R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝20cm ，BC ＝15cm ，以直线AB 为轴旋转一周，得到一个锥体，求这个几何体的表面积.分析：这个几何体的表面积是两个圆锥侧面积的和. 其中AB 为旋转轴，OC 为旋转半径，OC 就是△ABC 的高，可用面积法求得OC. 旋转结果为两个共底的圆锥，这两个圆锥的母线分别为AC 和BC.ACO解：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝20，BC ＝15. AB ＝AC 2＋BC 2＝202＋152＝25. ∵AB 为旋转轴，∴旋转半径OC ＝AC ·BC AB ＝20×1525＝12，且旋转结果为两个共底的圆锥.S 上＝12×2π×OC ×AC ＝π×12×20＝240π（cm 2），S 下＝12×2π×OC ×BC ＝π×12×15＝180π（cm 2），∴这个几何体的表面积S ＝240π＋180π＝420πcm 2. 答：这个几何体的表面积是420πcm 2.评析：本题考查学生的空间想像能力，对旋转体概念理解能力，对旋转体表面积的计算能力.【方法总结】1. 本课是关于圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、以及圆锥侧面积的计算，我们应该熟记它们的计算公式.2. 把不规则图形的面积通过“和差法”、“割补法”、“等积代换法”等方法转化成规则图形面积来解决.【预习导学案】（随机事件和概率）一、预习前知1. 随意地向上抛一枚硬币，落地后有几种可能？2. 在做“锤子、剪刀、布”的游戏时，你知道获胜的把握有多大吗？二、预习导学1. 必然事件是指__________，不可能事件是指__________，随机事件是指__________.2. 下列事件：（1）任意三角形内角和都是180°；（2）任意选择电视的某一频道，它正在播放新闻；（3）两条线段可以组成一个三角形，其中__________是必然事件，__________是不可能事件，__________是随机事件.3. 若一袋中装有大小、质地等完全相同的5个黑球、8个白球，在看不到球的情况下，随机摸出一球，摸到__________球的可能性大. 若想让摸到另一种颜色的球的可能性大，应如何设计__________.4. 概率是指事件发生的__________稳定在某个__________附近，则这个__________就叫做这个事件的概率. 如抛掷硬币时，“正面向上”的频率约为0.5，则说此事件发生的概率约为__________. 反思：（1）如何划分事件发生的可能性？（2）如何理解试验频率与概率的关系？（3）影响概率大小的因素有哪些？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 如图，已知⊙O 的半径OA ＝6，∠AOB ＝90°，则∠AOB 所对的弧AB 的长为（） A. 2π B. 3π C. 6π D. 12πAB2. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm ，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是（）A. 10π3cmB. 20π3cmC. 25π3cmD. 50π3cm3. 若扇形的圆心角是150°，扇形的面积是240πcm 2，则扇形的弧长是（） A. 5πcm B. 20πcm C. 40πcm D. 10πcm4. 如图所示，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 互不相交，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE ，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（）A. ππ C. 2ππ*5. 如图所示，正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的有（） A. （1）（2）（3） B. （2）（3）（4） C. （1）（3）（4） D. （1）（2）（3）（4）(1)(2)(3)(4)6. 如图，︵AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为︵AD 上任意一点，若AC ＝5，则四边形ACBP 周长的最大值是（）A. 15B. 20C. 15＋5 2D. 15＋5 5ABD*7. 如图，用两道绳子捆扎着三瓶直径均为8cm 的酱油瓶，若不计绳子接头（π取3），则捆绳总长是（）A. 24cmB. 48cmC. 96cmD. 192cm**8. 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角是（） A. 60° B. 90° C. 120° D. 180°二、填空题1. 一条弧所对的圆心角为90°，半径为3，那么这条弧长为__________.2. 已知R t △ABC ，斜边AB ＝13 cm ，以直线BC 为轴旋转一周，得到一个侧面积为65πcm 2的圆锥，则这个圆锥的高等于__________.3. 如图所示为一弯形管道，其中心线上一段圆弧AB. 已知半径OA ＝60㎝，∠AOB ＝ 108，则管道的长度（即弧AB 的长）为__________cm （结果保留π）4. 某校校园里修了一个面积为16平方米的正方形花坛（如图所示），学校准备将阴影部分种上花，其余部分种草，则种花的面积是__________平方米.*5. 如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为__________（结果保留π）6. 小红要过生日了，为了筹备生日聚会，她准备自己动手用纸板制作圆锥形的生日礼帽. 如图所示，圆锥帽底面半径为9cm，母线长为36cm，请你帮助她计算制作一个这样的生日礼帽需要纸板的面积为__________.36cm9cm三、解答题1. 如图所示，圆锥底面半径为r，母线长为3r，底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A 点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径.*2. 如图所示，等腰R t△ABC中斜边AB＝4，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两腰相切于点D、E，图中阴影部分的面积是多少？请你把它求出来. （结果用π表示）3. 如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，若直角三角形ABC绕AB旋转所得的圆锥的侧面积和矩形ABCD绕AB旋转所得到的圆柱的侧面积相等，求BC的长.ADB C**4. 如图所示，一只狗用皮带系在10×10的正方形狗窝的一角上，皮带长为14，在狗窝外面狗能活动的X围面积是多少？【试题答案】一、选择题1. B2. B3. B4. B5. C6. C7. C8. D二、填空题1. 32π2. 12cm3. 36π4. 85. 38π 6. 324πcm 2三、解答题1. 将圆锥沿过A 点的母线展开，爬行最短路径是从展开扇形弧的一端沿直线爬行到另一端. 这一长度是33r .2. 连接OE ，则△OEB 是等腰直角三角形，且面积为1. 扇形OEF 的面积为14π，阴影部分面积为2－12π3. 根据题意12×2π×BC ×AC ＝2π×BC ，即AC ＝2，在R t △ABC 中，BC ＝AC 2－AB 2＝ 3.4. 活动X 围由3部分（图中阴影部分）组成：半径为14、圆心角为270°的扇形一个，半径为14－10＝4、圆心角为90°的扇形两个. 狗的活动面积是：270π×142360＋2×90π×42360＝155π。

人教版九年级上册数学教学课件第二十四章弧长和扇形面积第2课时圆锥的侧面积和全面积

圆锥的侧面积和全
面积
圆锥的侧面积
圆锥的全面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形，它的半径是母线长l,弧长是2πr 圆锥的侧面积S侧面=πrl
圆锥的侧面积S=S侧面+S底面=π(r+l)
课程讲授
1 圆锥的侧面展开图
练一练：一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，
则这个圆锥的底面半径为（ D ）
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
课程讲授
2 圆锥的侧面积
问题1：根据圆锥的展开图，如何计算圆锥的侧面积？
ll
O O
r
设圆锥的母线长为l，底面半径为r，
2πr 那么这个扇形的半径
为__l_，扇形的弧长为 2_π_r_，因此扇形的侧面积为__π_rl____
h1 r
h2
课程讲授
3 圆锥的全面积
侧面展开扇形的弧长为 2π×1.954≈12.28（m2），
圆锥的侧面积为
1 2
×2.404×12.28≈14.76（m2），
搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡
20×（22.10+14.76）≈738（m2）.
h1 r
h2
课程讲授
3 圆锥的全面积
练一练：如图，圆锥底面圆的直径为6 cm，高为4 cm
课程讲授
3 圆锥的全面积
解如图是一个蒙古包示意图．根据题意，下部圆柱的底面积为 12m2，高h2为1.8m；上部圆锥的高为h1=3.2－1.8=1.4（m）．圆柱的底面积半径为
r 12 1.954 m
π 侧面积为2π×1.954×1.8≈22.10（m2），圆锥的母线长为
l 1.9542 1.42 2.404m

中考数学第二十九讲弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积配套课件北师大版

的三点，∠BAC=36°，则劣弧的长是( ) BC
(A)
(B)
(C)
(D)
2
3
4
5
5
5
5
第十四页，共45页。
【解析】选B.连接OB，OC，根据(gēnjù)圆周角定理可知∠BOC=72°，
所以劣弧 B的C长为
72 1 2 .
180
5
第十五页，共45页。
2.(2012·湛江中考)一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧
nl
BC
.
180
nl 2
360
第九页，共45页。
弧长公式(gōngshì)
◆中考指数：★★★★☆
知识点睛
对于弧长公式 l nR ，可变形为：n 180l
180
R
或R 180l ，
n
在三个量l，n，R中，若已知其中两个量，就可以求
出第三个量.
特别提醒
1.n表示该圆弧所对的圆心角的度数，其本身无单位；
特
别
公式
l
nR 180
和S=πrl中的l不要混淆，前者表示弧长，后
提者表示圆锥的母线长.
醒
第二十八页，共45页。
【例3】(2012·成都中考(zhōnɡ kǎo)) 一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，则该几何体的全面积(即表面积)为____ (结果保留π).
第二十九页，共45页。
【思路点拨】该几何体的表面积分三部分 → 由圆锥(yuánzhuī)的高和底面半径求母线 → 计算圆锥(yuánzhuī) 侧面积 → 计算圆柱侧面积 → 计算圆柱的底面积 → 求和
π×42=16π.所以，全面积为20π+32π+16π=68π. 答案：68π

弧长和扇形面积及圆锥的计算

弧长和扇形面积及圆锥的计算一、弧长和扇形面积的计算1.弧长的计算弧长是圆弧上的一段弧线的长度，计算弧长的公式是：L=2πr*(θ/360°)，其中L表示弧长，r表示圆的半径，θ表示圆心角的度数。

假设圆的半径为2cm，圆心角为60°，则计算弧长的公式为：L = 2π*2 * (60/360) = 2π cm。

可以看出，在半径一定的情况下，圆心角越大，弧长也会越大，反之亦然。

2.扇形面积的计算扇形是由圆弧和两条半径构成的图形。

计算扇形面积的公式是：A=(πr²*θ)/360°，其中A表示扇形的面积，r表示圆的半径，θ表示圆心角的度数。

假设圆的半径为3cm，圆心角为90°，则计算扇形面积的公式为：A = (π*3² * 90) / 360 = π cm²。

可以看出，在半径一定的情况下，圆心角越大，扇形的面积也会越大，反之亦然。

二、圆锥的体积和表面积的计算1.圆锥的体积的计算圆锥是由一个圆形底面和一个顶点连接圆周形成的图形。

计算圆锥的体积的公式是：V=(1/3)*πr²h，其中V表示圆锥的体积，r表示圆锥底面的半径，h表示圆锥的高。

假设圆锥的底面半径为4cm，高为6cm，则计算圆锥的体积的公式为：V = (1/3) * π*4² * 6 = 32π cm³。

2.圆锥的表面积的计算圆锥的表面积包括底面积和侧面积两部分。

底面积的计算公式和圆的面积计算方法相同，即：A底=πr²，其中A底表示底面积。

圆锥的侧面积的计算公式是：A侧= πrl，其中l表示圆锥的母线，l的计算公式为：l = √(r² + h²)，其中r表示圆锥底面的半径，h表示圆锥的高。

假设圆锥的底面半径为4cm，高为6cm，则计算圆锥的侧面积的公式为：l = √(4² + 6²) = √52 cm，A侧= π*4*√52 = 20π cm²。

24.4 弧长和扇形面积第2课时圆锥的侧面积和全面积课件2

∴OD=OC-DC=0.3m.
O
∴OD=DC.
D
A
B
又AD⊥DC,
∴AD是线段OC的垂直平分线.
C
∴AC=AO=OC.
从而∠AOD=60°，∠AOB=120°.
0.62 - 1 0.6 3 0.3 0.22m2 .
有水部分的面积S=S扇形-S△OAB= 120
360
2
当堂训练
1.已知扇形的圆心角为120°，半径为6,则扇形的弧
B
B
弧
O
圆心角
扇形
A
O
A
讲授新知
思考
(1)半径为R的圆,面积是多少？
（2）圆心角为1°的扇形的面积是多少?
S=πR2
R
2
360
（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形
n倍
的面积的多少倍？
（4）圆心角为n°的扇形的面积是多少?
n R
360
2
讲授新知
要点归纳
扇形面积公式
若设⊙O半径为R，圆心角为
的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
2.在弧长公式中，l、n、R三个量做到知二推一
算一算已知弧所对的圆心角为90°，半径是4，则弧长为____.
2
扇形的周长公式：C扇形 = 2R+ = 2 +

180
.
范例应用
例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下
料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)
解： 3000 2 90 1000 6142 mm .
180
答：图中管道的展直长度约为6142mm.

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