高中物理中平衡问题求解“八法”

小球受力如图所示,根据平衡 小球受力如图所示,
条件知,小球所受支持力N 条件知,小球所受支持力N′和细线 拉力T的合力F跟重力是一对平衡力, 拉力T的合力F跟重力是一对平衡力, 即 F = G.
根据几何关系知,力三角形FAN′与几何三角形COA 根据几何关系知,力三角形FAN′与几何三角形COA FAN 相似.设滑轮到半球顶点B的距离为h 线长AC为 相似.设滑轮到半球顶点B的距离为h,线长AC为L,则 AC N' G T 由于小球从A点移向B 有 = = . 由于小球从A点移向B点的过程 R h+ R L 均不变, 减小, 大小不变, 减小. 中,G、R、h均不变,L减小,故N′大小不变,T减小. 所以正确答案为C选项. 所以正确答案为C选项. 答案 C
图2
解析
对物体B受力分析如图,建立如图直角坐标系. 对物体B受力分析如图,建立如图直角坐标系.
在y轴上有 Fy合=N+FAsin θ-GB=0, 在x轴上有 Fx合=F-f -FAcos θ=0, 又 f = μ N; ② ③ ①
联立①②③得 联立①②③得F=μGB+FA(cos θ-μsin θ). ①②③ 可见, 不断减小,水平力F将不断增大. 可见,随着θ不断减小,水平力F将不断增大. 答案 不断减小,水平力F 随着θ不断减小,水平力F将不断增大
解析
在整个装置缓慢转动的过程中， 在整个装置缓慢转动的过程中，
可以认为小球在每一位置都是平衡的, 可以认为小球在每一位置都是平衡的,小 球受到三个力的作用,如图所示, 球受到三个力的作用,如图所示,根据拉 T1 T2 G 密原理有 . = = sin β sin α sin θ 由于θ不变、α由90°逐渐变为180°,sin α会逐渐 不变、 90°逐渐变为180° 180 变小直到为零,所以T 逐渐变小直到为零; 变小直到为零,所以T2逐渐变小直到为零;由于β由 钝角变为锐角,sin 先变大后变小，所以T 钝角变为锐角,sin β先变大后变小，所以T1先变大 后变小. 后变小. 答案 先变大后变小 逐渐变小直到为零
图4
A.不断变大 A.不断变大 C.先变大再变小 C.先变大再变小 解析
B.不断变小 B.不断变小 D.先变小再变大 D.先变小再变大
选O点为研究对象,受F、FA、 点为研究对象,
FB三力作用而平衡.此三力构成一封 三力作用而平衡. 闭的动态三角形如图.容易看出,当FB 闭的动态三角形如图.容易看出, =90° 与FA垂直即α+β=90°时,FB取最小 值,所以D选项正确. 所以D选项正确. 答案 D
所受重力G OB给 的弹力F 绳的拉力T处于平衡; 所受重力G、OB给Q的弹力F1,绳的拉力T处于平衡; 环向左移动一小段距离的同时T移至T 位置， P 环向左移动一小段距离的同时T移至T′位置，仍 能平衡， 能平衡，即T竖直分量与G大小相等,T应变小,所以 竖直分量与G大小相等, 应变小, 正确答案为B选项. 正确答案为B选项. 答案 B
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A.F mgcos A.F1=mgcosθ B.F mg/cot B.F1=mg/cotθ C.F mgsin C.F2=mgsinθ D.F2=mg/sinθ D.F mg/sin 解析 根据三力平衡特点, 根据三力平衡特点,任意两 力的合力与第三个力等大反向,可作 力的合力与第三个力等大反向, 出如图矢量图, 出如图矢量图,由三角形知识可得 mg mgcot F1=mgcot θ, F2 = . sin θ 所以正确选项为D. 所以正确选项为D. 答案 D
现将小球缓慢地从A点拉向B 现将小球缓慢地从A点拉向B点,则此过程中小球对半 球的压力大小N 细绳的拉力大小T 球的压力大小N、细绳的拉力大小T的变化情况是 ( A.N不变,T不变 A.N不变, C.N不变, C.N不变,T变小 解析 B.N不变,T变大 B.N不变, D.N变大, D.N变大,T变小 )
解析
采取先“整体” 采取先“整体”后“隔离”的方法.以P、Q 隔离”的方法.
绳为整体研究对象,受重力、AO给 绳为整体研究对象,受重力、AO给 的向上弹力、OB给的水平向左弹 的向上弹力、OB给的水平向左弹 力.由整体处于平衡状态知AO给P 由整体处于平衡状态知AO给 AO 向右静摩擦力与OB给的水平向左 向右静摩擦力与OB给的水平向左 OB 弹力大小相等;AO给的竖直向上弹 弹力大小相等;AO给的竖直向上弹 力与整体重力大小相等. 力与整体重力大小相等.当P环左移 一段距离后,整体重力不变,AO给的竖直向上弹力也 一段距离后,整体重力不变,AO给的竖直向上弹力也 不变.再以Q环为隔离研究对象,受力如图所示， 不变.再以Q环为隔离研究对象,受力如图所示，Q环
图6
解析
取O点为研究对象，O点受灯的 点为研究对象，
拉力F 大小等于电灯重力G 拉力F(大小等于电灯重力G)、OA绳的 OA绳的 拉力T OB绳的拉力 如右图所示. 绳的拉力T 拉力T1、OB绳的拉力T2,如右图所示. 因为三力平衡,所以T 的合力G 因为三力平衡,所以T1、T2的合力G′ 与G等大反向.由正弦定理得 等大反向.
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六 正弦定理法 正弦定理：在同一个三角形中, 正弦定理：在同一个三角形中,三 角形的边长与所对角的正弦比值相 AB BC AC 在图6 等;在图6中有 = = . sin C sin A sin B 同样, 同样,在力的三角形中也满足上述关 系,即力的大小与所对角的正弦比值相等. 即力的大小与所对角的正弦比值相等. 【例6】不可伸长的轻细绳AO、BO 不可伸长的轻细绳AO、 AO 的结点为O 的结点为O,在O点悬吊电灯L,OA绳 点悬吊电灯L OA绳 处于水平,电灯L静止,如图7所示. 处于水平,电灯L静止,如图7所示.保 持O点位置不变,改变OA的长度使A 点位置不变,改变OA的长度使A OA的长度使 点逐渐上升至C 点逐渐上升至C点,在此过程中绳OA 在此过程中绳OA 的拉力大小如何变化？ 的拉力大小如何变化？ 图7
一 二
力的合成法 正交分解法 整体法与隔离法 三角形法 相似三角形法 正弦定理法 拉密原理法 对称法
平衡问题 求解“八法” 求解“八法”
三 四 五 六 七 八
自我总结后请练练
一
力的合成法 物体在三个共点力的作用下处于平衡状态, 物体在三个共点力的作用下处于平衡状态,则任意
两个力的合力一定与第三个力大小相等,方向相反, 两个力的合力一定与第三个力大小相等,方向相反, “力的合成法”是解决三力平衡问题的基本方法. 力的合成法”是解决三力平衡问题的基本方法. 【例1】如图1所示,重物的质量为m, 如图1所示,重物的质量为m 轻细绳AO和BO的 轻细绳AO和BO的A端、B端是固定 AO 的,平衡时AO水平,BO与水平面的 平衡时AO水平,BO与水平面的 AO水平 AO的拉力 的拉力F BO的拉力 夹角为θ,AO的拉力F1和BO的拉力 F2的大小是 ( ) 图1
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五
相似三角形法 物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态， 物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，画
出其中任意两个力的合力与第三个力等值反向的平行 四边形, 四边形,其中可能有力三角形与题设图中的几何三角 形相似,进而力三角形与几何三角形对应成比例， 形相似,进而力三角形与几何三角形对应成比例，根 据比值便可计算出未知力的大小与方向. 据比值便可计算出未知力的大小与方向. 【例5】固定在水平面上的光滑半球半 径为R,球心O的正上方C处固定一个 径为R 球心O的正上方C 小定滑轮, 小定滑轮,细绳一端拴一小球置于半 球面上的A 球面上的A点,另一端绕过定滑轮,如 另一端绕过定滑轮, 图5所示. 所示. 图5
T G G sin θ = , 即T1 = , sin θ sin α sin α
不变, 由小变大,所以据T 式知T 由图知θ不变,α由小变大,所以据T1式知T1先变小 =90° 有最小值. 后变大, 后变大,当α=90°时,T1有最小值. 答案 见解析
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七 拉密原理法 拉密原理:如果在三个共点力作用 拉密原理: 下物体处于平衡状态, 下物体处于平衡状态,那么各力的大 小分别与另外两个力所夹角的正弦 成正比.在图8所示情况下, 成正比.在图8所示情况下,原理表达 F1 F2 F3 式为 = = . sin θ1 sin θ 2 sin θ 3 如图9所示装置, 【例7】如图9所示装置,两根细绳拉住 一个小球,保持两绳之间夹角θ不变; 一个小球, 不变; 若把整个装置顺时针缓慢转动90° 若把整个装置顺时针缓慢转动90°, 90 则在转动过程中,CA绳拉力T 则在转动过程中,CA绳拉力T1大小 绳拉力 的变化情况是__________,CB绳拉力 的变化情况是__________,CB绳拉力 __________,CB 大小的变化情况是________. FT2大小的变化情况是________. 图9 图8
【例3】有一直角支架AOB,AO水平 有一直角支架AOB,AO水平 AOB 放置,表面粗糙;OB竖直向下,表面 放置,表面粗糙;OB竖直向下, 竖直向下 光滑.AO上套有小环P OB上套有小 光滑.AO上套有小环P,OB上套有小 上套有小环 环Q,两环质量均为m.两环间由一根 两环质量均为m 质量可忽略且不可伸长的细绳相连, 质量可忽略且不可伸长的细绳相连, 图3 并在某一位置平衡,如图3所示.现将P 并在某一位置平衡,如图3所示.现将P环向左移一小 段距离,两环再次达到平衡, 段距离,两环再次达到平衡,将移动后的平衡状态和 原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力N 原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力N和细 杆对 绳上的拉力F 绳上的拉力FT的变化情况是 A.N不变, A.N不变,T变大 C.N变大, C.N变大,T变大 B.N不变, B.N不变,T变小 D.N变大, D.N变大,T变小 ( )
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二
正交分解法 物体受到三个或三个以上力的作用时,常用正交分 物体受到三个或三个以上力的作用时,
解法列平衡方程求解: =0,F =0.为方便计算 为方便计算, 解法列平衡方程求解:Fx合=0,Fy合=0.为方便计算,建 立坐标系时以尽可能多的力落在坐标轴上为原则. 立坐标系时以尽可能多的力落在坐标轴上为原则. 如图2所示，不计滑轮摩擦, 【例2】如图2所示，不计滑轮摩擦,A、B两物体均处 于静止状态. 现加一水平力F作用在B上使B 于静止状态. 现加一水平力F作用在B上使B缓慢右 移,试分析B所受力F的变化情况. 试分析B所受力F的变化情况.
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三
整体法与隔离法 整体法是把两个或两个以上物体组成的系统作为
一个整体来研究的分析方法; 一个整体来研究的分析方法;当只涉及研究系统而不 涉及系统内部某些物体的受力和运动时, 涉及系统内部某些物体的受力和运动时,一般可采用 整体法. 整体法. 隔离法是将所确定的研究对象从周围物体(连接体) 隔离法是将所确定的研究对象从周围物体(连接体) 系统中隔离出来进行分析的方法, 系统中隔离出来进行分析的方法,其目的是便于进一 步对该物体进行受力分析，得出与之关联的力. 步对该物体进行受力分析，得出与之关联的力.为了 研究系统(连接体)内某个物体的受力和运动情况时, 研究系统(连接体)内某个物体的受力和运动情况时, 通常可采用隔离法.一般情况下， 通常可采用隔离法.一般情况下，整体法和隔离法是 结合在一起使用的. 结合在一起使用的.
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四 三角形法 对受三力作用而平衡的物体, 对受三力作用而平衡的物体,将力矢量图平移使三 力组成一个首尾依次相接的封闭力三角形, 力组成一个首尾依次相接的封闭力三角形,进而处理 物体平衡问题的方法叫三角形法; 物体平衡问题的方法叫三角形法;力三角形法在处理 动态平衡问题时方便、直观,容易判断. 动态平衡问题时方便、直观,容易判断. 如图4,细绳AO BO等长且共同悬一物 4,细绳AO、 等长且共同悬一物, 【例4】如图4,细绳AO、BO等长且共同悬一物,A点 固定不动,在手持B点沿圆弧向C点缓慢移动过程中, 固定不动,在手持B点沿圆弧向C点缓慢移动过程中, 绳BO的张力将 BO的张力将 ( )