山东省聊城四中高二数学3.3.2简单的线性规划问题一学案新必修5
高二数学人教A版必修5教学教案3-3-2简单的线性规划问题(7)
《简单的线性规划问题》教学设计一、教学内容解析线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，是辅助人们进行科学管理的数学方法，为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出最优决策。
本节的教学重点是线性规划问题的图解法。
数形结合和化归思想是研究线性约束条件下求线性目标函数的最值问题的数学理论和方法，本节课重点体现了这一数学思想，将目标函数与直线的截距、斜率、两点距离联系起来，这样就能使学生对数形结合思想的理解和应用更透彻，为以后解析几何的学习和研究奠定了基础，使学生从更深层次地理解“以形助数”的作用。
二、教学目标设置（1）知识与技能：使学生了解线性规划的意义，利用数形结合及化归的数学方法，理解并掌握非线性目标函数及非线性约束条件下目标函数的最值求法；（2）过程与方法：在实验探究的过程中，培养学生的数据分析能力、探究能力、合情推理能力；在应用图解法解题的过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力；（3）情态、态度与价值观：激发学生动手操作、勇于探索的精神，培养学生发现问题、分析问题及解决问题的能力，体会数学活动充满着探索与创造。
三、教学重点难点教学重点：求非线性目标函数的最值；教学难点：能将代数问题转化为斜率或距离等几何问题；四、学情分析本节课学生在学习了简单线性规划问题的基础上，会画出平面区域，并且会计算简单线性目标函数的最值。
从数学知识上看，学生在此基础上还学习过直线的斜率，两点距离问题，直线与圆的位置关系，具备本节课所需知识要素。
从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这成了学生学习的困难。
五、教学方法本课以例题为载体，以学生为主体，以数学实验为手段，以问题解决为目的，激发学生动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。
注重引导帮助学生充分体验“从具体到一般”的抽象过程。
应用“数形结合”的思想方法，培养学生学会分析问题，解决问题的能力。
六、教学过程。
人教版高二数学必修5第一章3.3.2简单的线性规划问题学案
2019-2020年秋季学期人教版高二数学必修5第一章3.3简单的线性规划问题学案一、学习目标1. 了解线性规划的意义，了解线性规划的基本概念；2. 掌握线性规划问题的图解法.3. 能用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，提高学生解决实际问题的能力.二、学习内容一、线性规划的有关概念： 1.线性约束条件：如果两个变量x 、y 满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．2.线性目标函数：关于x 、y 的一次式(,)z f x y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．3.线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． 4.可行解、可行域和最优解： 在线性规划问题中，①满足线性约束条件的解(,)x y 叫可行解； ①由所有可行解组成的集合叫做可行域；①使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.线性规划问题，就是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题. 二、线性规划的应用1.线性规划也是求值的一种,是求在某种限制范围之下的最大值或最小值的问题,其关键是列出所有的限制条件,不能有遗漏的部分,如有时变量要求为正实数或自然数,其次是准确找到目标函数,如果数量关系多而杂,可以用列表等方法把关系理清.2.线性规划的理论和方法经常被用于两类问题中:一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用其完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能用最少的人力、物力、资金等资源来完成这项任务.在生产和生活中，常用于下料问题；优化安排活动问题；优化运营问题等. 三、确定线性规划中的最优解对于只有两个变量的线性规划(即简单的线性规划)问题，可以用图解法求解．其基本的解决步骤是： ① 设变量，建立线性约束条件及线性目标函数； ① 画出可行域；① 求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)； ①作答．确定最优解的思维过程：线性目标函数z Ax By C =++（A,B 不全为0）中，当0B ≠时，A z Cy x B B-=-+，这样线性目标函数可看成斜率为AB-，且随z 变化的一组平行线，则把求z 的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点，直线在y 轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线Ay x B=-，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解.特别注意，当B>0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而增大；当B<0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而减小.通常情况可以利用可行域边界直线的斜率来判断.对于求整点最优解，如果作图非常准确可用平移求解法，也可以取出目标函数可能取得最值的可行域内的所有整点，依次代入目标函数验证，从而选出最优解，最优解一般在可行域的定点处取得，若要求最优整解，则必须满足x ，y 均为整数，一般在不是整解的最优解的附近找出所有可能取得最值的整点，然后将整点分别代入目标函数验证选出最优整解.上述求整点最优解的方法可归纳为三步：找整点---验证--- 选最优解三、典型例题分析题型一：求目标函数的最大值和最小值.【例1】. 若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤1,1y y x x y 且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m－n ＝( )A ．5B ． 6C ． 7D ．8【答案】B【思路点拨】 首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示，然后根据图像可得: 目标函数z=2x+y 过点B （2，-1）时取得最大值，过点A （-1，-1）时取得最小值. 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ，平移直线y ＝－2x ＋z ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A ， 直线y ＝－2x ＋z 的截距最小，此时z 最小，由⎩⎨⎧=-=x y y 1，解得⎩⎨⎧-=-=11y x ，即A(－1，－1)，此时z ＝－2－1＝－3，此时n ＝－3，平移直线y ＝－2x ＋z ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点，B ， 直线y ＝－2x ＋z 的截距最大，此时z 最大，由⎩⎨⎧=+-=11y x y ，解得⎩⎨⎧-==12y x ，即B(2，－1)，此时z ＝2×2－1＝3，即m ＝3， 则m －n ＝3－(－3)＝6， 故选：B ．【总结升华】1.本题的切入点是赋予“z ”恰当的几何意义：纵截距或横截距；2.线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；3.线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个，此时目标函数的图象一定与区域中的一条边界直线平行．【变式训练】：【变式1】求35z x y =+的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件5315153x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≥⎩.【答案】不等式组所表示的平面区域如图所示：从图示可知，直线35z x y =+在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点(2,1)B --的直线所对应的z 最小，以经过点35(,)22A 的直线所对应的z 最大.所以min 3(2)5(1)11z =⨯-+⨯-=-，max 35351722z =⨯+⨯=.【变式2】设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）40【答案】如图所示，阴影部分即为线性规划的可行域，当直线166zy x =-+经过点A （0，3）时，z 取得最大值18. 故选: C 。
山东省聊城四中高二数学3.3.1.2二元一次不等式表示区域2学案新必修5
教学过程:复习:如何确定不等式(组)表示的平面区域?新课:例1要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格得小钢板的块数如下表所示：今需要A、B、C三种规格的成品分别为15,18,27块，用数学关系式和图形表示上述要求.例2.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t,生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15 t,现库存磷酸盐10t，硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料，列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。
例3.△ABC中，A(3,-1),B(-1,1) ,C(1,3)写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组.变式：如右图,写出表示平面区域的不等式组。
例4.（1）求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3006x y x y x 表示的平面区域的面积（2）画出不等式组121002-≥≥-≤-⎪⎩⎪⎨⎧x y y x x 表示的平面区域并求此不等式组的整数解。
作业：1.完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x 人，瓦工y 人，用不等式表示请工人的范围是（ ）A.50x+40y=2000B. 50x+40y ≤2000C. 50x+40y ≥2000D.40x+50y ≤20002.在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+20202x y x y x 表示的平面区域的面积是（ ）A 24 B. 4 C. 22 D. 23.如右图,阴影部分可用不等式______________________表示4.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+>>123400y x y x 表示的平面区域内的整点共有_______个.5.求由不等式组⎩⎨⎧≤+≤4|2|5||y x x 围成的平面区域的面积6.设D 是不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≥≥+≤+40132102x y y x y x 表示的平面区域，则D 中的点P （x,y ）到直线x+y=10距离的最大值是7.实数x,y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥02200y x y x x ，求11+-=x y k 的取值范围.8.一个小型家具厂计划生产两种类型的桌子A 和B ，每类桌子都要经过打磨，着色，上漆三道工序，桌子A 需要10分钟打磨，6分钟着色，6分钟上漆；桌子B 需要5分钟打磨，12分钟着色，9分钟上漆。
高中数学 3.3.2《简单的线性规划问题》(2)教案 新人教A版必修5
湖南省蓝山二中高一数学人教A版必修5：3.3.2《简单的线性规划问题》（2）教案一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第三章不等式第三节简单的线性规划问题第二课时。
简单的线性规划问题是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
一方面,简单的线性规划问题与直线方程密不可分；另一方面,学习简单的线性规划问题也为进一步学习解析几何等内容做好准备。
二、学生学习情况分析本节课学生很容易在以下一个地方产生错误：1. 线性约束条件的最优整数解的问题三、教学目标(1)知识和技能：能够运用线性规划的图解法解决一些生活中的简单最优问题(2)过程与方法：将实际问题中错综复杂的条件列出目标函数和约束条件对学生而言是一个难点，若要突破这个难点，教师在讲授中要根据学生的认知情况，引导学生建立数学模型；同时，要给学生正确的示范，利用精确的图形并结合推理计算求解(3)情感与价值：培养学生学数学、用数学的意识，并进一步提高解决问题的的能力四、教学重点与难点重点：把实际问题转化成线性规划问题，即建立数学模型，并相应给出正确的解答难点：建立数学模型，并利用图解法找最优解五、教学过程(一).复习引入问题1: 什么是线性规划问题？在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题．问题2:线性规划问题由几部分组成?线性规划问题的模型由目标函数和可行域组成，其中可行域是可行解的集合，可行解是满足约束条件的解．使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解．(二).例题讲解（1）效益最佳问题例1、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪.1kg的食物A含有0.105kg的碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花费28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg?探究:（1）如果设食用A食物xkg、食用B食物ykg，则目标函数是什么？（2）总成本z随A、B食物的含量变化而变化，是否任意变化，受什么因素制约？列出约束条件（3）能画出它的可行性区域吗？（4）能求出它的最优解吗？（5）你能总结出解线性规划应用题的一般步骤吗？ 例题总结解线性规划应用题的一般步骤： （1）设出所求的未知数； （2）列出约束条件； （3）建立目标函数； （4）作出可行域；（5）运用平移法求出最优解。
人教高中数学必修五 《3.3.2简单的线性规划问题》教案-教育文档
课题名称：简单的线性规划问题 (教案)
三维教学目标
知识与技能：①了解线性规划的意义以及约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等相关的基本概念；
②在巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，能从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；③掌握对一些实际优化问题建立线性规划数学模型并运用图解法进行求解的基本方法和步骤。
过程与方法：①培养学生的形象思维能力、绘图能力和探究能力；②强化数形结合的数学思想方法；
③提高学生构建（不等关系）数学模型、解决简单实际优化问题的能力。
情感、态度与价值观：①在感受现实生产、生活中的各种优化、决策问题中体验应用数学的快乐；②在运用求解线性规划问题的图解方法中，感受动态几何的魅力；③在探究性练习中，感受多角度思考、探究问题并收获探究成果的乐趣。
教学重点及应对策略
1、教学重点：根据实际优化问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；
教学难点：①借助线性目标函数的几何含义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z最值之间的关系；②用数学语言表述运用图解法求解线性规划问题的过程。
教学过程设计。
高中数学 3.3.2简单的线性规划问题(二)导学案新人教版必修5
3.3.2 简单的线性规划问题(二)学习目标准确利用线性规划知识求解目标函数的最值；掌握线性规划实际问题中的两种常见类型．预习篇(1)分析并将已知数据列出表格；(2)确定线性约束条件；(3)确定线性目标函数；(4)画出可行域；(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．课堂篇探究点 线性规划中的最优整数解问题问题1 设变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y≤11，3x ＋2y≤10，x>0，y>0，求z ＝5x ＋4y 的最大值及最优解．问题2 当变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y≤11，3x ＋2y≤10，x>0，y>0，x ∈Z ，y ∈Z 时，求z ＝5x ＋4y 的最大值及最优解．典型例题例1 某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？例2 要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？跟踪训练 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －11y≥－22，2x ＋3y≥9，2x≤11，则z ＝10x ＋10y 的最大值是________．巩固篇1．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5>0，2x ＋y －7>0，x≥0，y≥0且x ，y 为整数．则3x ＋4y 的最小值是 ( )A ．14B ．16C ．17D ．192．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 ( )A ．2 000元B ．2 200元C ．2 400元D ．2 800元。
高中数学 3.3.2《简单的线性规划问题(3)》导学案 新人教A版必修5
【学习目标】1． 从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决；2． 体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题.【重点难点】教学重点：利用图解法求得线性规划问题的最优解；教学难点：把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。
【知识链接】复习1：已知1260,1536,a a b a b b<<<<-求及的取值范围复习2：已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤，求9a b -的取值范围.【学习过程】※ 学习探究课本第91页的“阅读与思考”——错在哪里？若实数x ，y 满足1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，求4x +2y 的取值范围． 错解：由①、②同向相加可求得：024x ≤≤即 048x ≤≤ ③由②得 11y x -≤-≤将上式与①同向相加得024y ≤≤ ④③十④得 04212x y ≤+≤以上解法正确吗?为什么?上述解法中，确定的0≤4x ≤8及0≤2y ≤4是对的，但用x 的最大(小)值及y 的最大(小)值来确定4x 十2y 的最大(小)值却是不合理的．x 取得最大（小）值时，y 并不能同时取得最大（小）值.由于忽略了x 和 y 的相互制约关系，故这种解法不正确．此例有没有更好的解法?怎样求解?※ 典型例题例1 若实数x ，y 满足1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩ ，求4x +2y 的取值范围．变式：设2()f x ax bx =+且1(1)2f -≤-≤，2(1)4f ≤≤，求(2)f -的取值范围※ 动手试试练1. 设2z x y =+，式中变量x 、y 满足 4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值与最小值.练2. 求z x y =-的最大值、最小值，使x 、y 满足条件200x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩.【学习反思】※ 学习小结1．线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.2．线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个． ※ 知识拓展求解线性规划规划问题的基本程序：作可行域，画平行线，解方程组，求最值.目标函数的一般形式为z Ax By C =++，变形为1A C y x z B B B =-+-，所以1C z B B-可以看作直线1A C y x z B B B=-+-在y 轴上的截距. 当0B >时，1C z B B -最大，z 取得最大值，1C z B B-最小，z 取得最小值； 当0B <时，1C z B B -最大，z 取得最小值，1C z B B-最小，z 取得最大值. 【基础达标】※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 若0x ≥，0y ≥且1x y +≤，则z x y =-的最大值为（ ）.A ．-1B ．1C ．2D ．-22. 在ABC ∆中，三顶点分别为A （2，4），B （-1，2），C （1，0），点(,)P x y 在ABC ∆内部及其边界上运动，则的取值范围为（ ）.A ．[1，3]B ．[-1，3]C ．[-3，1]D ．[-3，-1]3. (2007北京)若不等式组5002x y y a x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（ ）.A ．5a <B ．7a ≥C ．57a ≤<D ．5a <或7a ≥4. (2004全国)设x 、y 满足约束条件021x x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则32z x y =+的最大值是 . 5.（2004上海） 设x 、y 满足约束条件2438x y x y ≤≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则32k x y =-的最大值是 .【拓展提升】1. 画出(21)(3)0x y x y +--+>表示的平面区域.2. 甲、乙两个粮库要向A 、B 两镇运送大米，已知甲库可调出100t 大米，乙库可调出80t 大米，A 镇需70t 大米，B 镇需110t 大米.两库到两镇的路程和运费如下表:路程/km 运费/(元11t km --)甲库 乙库 甲库 乙库A 镇 20 15 12 12B 镇 25 20 10 8(1) 这两个粮库各运往A 、B 两镇多少t 大米，才能使总运费最省?此时总运费是多少?(2) 最不合理的调运方案是什么?它使国家造成的损失是多少?。
《简单的线性规划问题》学案
人教版高中数学必修五§3.3.2《简单的线性规划问题》第一课时学案一、学习目标：了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行解和最优解的概念；会利用图解法求线性目标函数的最优解.在合作交流和探索的过程中，体验数形结合的数学思想，达到解决实际问题的目的.二、引入新知：在约束条件410,4320,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩下，如何探求目标函数P=2x+y的最大值？1）画出约束条件所表示的平面区域：4）点（1,1）对应的P值为多少？还有哪些点所对应的P值与之相同？在图中标出这些点的位置，观察这些点的位置特点._____________________________________________________________________________ 5)当P取3的时候，等式3=2x+y的几何意义是什么？表示什么几何图形？那么P=4或者5呢？它们相互之间有联系吗？y=-2x+P是一组什么几何图形？P在其中的意义如何解释？P=2x+y可以转化为_________，它表示_________（图形）P的意义_________当_________越大，P越大.6)如何求出P的最大值？观察、计算，当（x,y）取_________时，P最大为_________ 概念：____________________________________________________三、尝试演练：例1 、若实数x,y满足不等式组1,0,0.x yxy+≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩分别求下列函数的最大值.1）z= 2x+y 2）z= x-y 3）z= x+y例2、已知实数x,y满足约束条件08,04,,.xyx y Z⎨⎪⎪∈⎪⎩＜＜＜＜求z=x+y的最大值和最小值.五、习后作业：1、求z=2x+y的最大值和最小值，其中实数x,y满足约束条件20,2,2.x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩2、已知实数x,y 满足43,3525,1.x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若目标函数z=ax+y 仅在点（5,2）处取得最大值，求a的取值范围.3、若实数x,y 满足10,0,y 2.x y x -+≤⎧⎪⎨⎪≤⎩＞求yx 的取值范围.。
人教A版高中数学必修五聊城四中简单的线性规划问题三学案新
简单的线性规划（三）【学习目标】1、能用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，会求正整数最优解。
2、会解决与线性规划问题有关的其它最值（范围）问题。
一、【知识填空】 1、对于变量y x ,的约束条件，都是关于y x ,的一次不等式，称为 ，),(y x f z =是欲达到最大值或最小值所涉及的变量y x ,的解析式，叫做 ，当),(y x f 是y x ,的一次解析式时，),(y x f z =叫做 。
2、求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，称为 问题。
满足线性约束条件的解),(y x 叫做 ，由所有可行解组成的集合叫做 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做 。
3、在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力，物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力，物力资源最小。
4、解线性规划实际问题的一般步骤是：第一，写出线性约束条件及线性目标函数；第二，由线性约束条件画出可行域；第三，令目标函数中的z 为0得到直线0l ，平移0l ；第四，找出最优解（有时为正整数解）；第五，把最优解代入目标函数，求出z 的最值作答。
二、【典例分析】例1、要将两种大小不同的钢板截面A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格得小钢今需要A 、B 、C 三种规格得成品分别为15,18,27块，求：各截这种钢板多少张可得所需A 、B 、C 三种规格成品，且使用钢板张数最少？变式：设变量y x ,满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>∈≤+<+0,0,1141023y x Z y x y x y x ， y x s 45+=的最大值。
例2、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+033042022y x y x y x ，当y x ,取何值时，22y x +取得最大值、最小值？分别是多少？变式：若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+0530103y x y x y x ，设,kx y =求k 的取值范围。
人教A版高中数学必修五聊城四中简单的线性规划问题二学案新
【复习】线性规划的有关概念问题一．【新课】类型之一：给定一定数量的人力物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，受到的收益最大。
一个化肥厂生产甲.乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t。
现库存磷酸盐10t，硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元。
那么分别生产甲，乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？练习：某厂拟生产甲，乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元，2000元。
甲，乙产品都需要在A,B两种设备上加工，在每台A,B设备上加工1件甲设备所需工时分别为1h,2h，加工1件乙设备所需工时分别为2h,1h，A,B两种设备每月有效使用台时数分别为400h和500h，如何安排生产可使收入最大？类型之二：给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力物力资源最小。
营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪。
1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪，花费21元。
为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 多少kg ？练习：某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元。
在满足需要的条件下，最少要花费 元。
小结：解线性规划（上述二类问题）的基本步骤是作业：1..在ABC ∆中，三顶点分别为A ()4,2，B ()2,1-，C )0,1(，点P ()y x ,在ABC ∆内部及边界上运动，则x y m -=的取值范围（ ）A.[]3,1 B.[]1,3- C.[]3,1- D.[]1,3--2.某厂生产甲产品每千克需要用原料A 和原料B 分别为11,b a 千克，生产乙产品每千克需要用原料A 和原料B 分别为22,b a 千克，甲，乙产品每千克可获利润分别为21,d d 元。
高中数学 3.3.2简单线性规划问题教学设计 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学教案
3.3.2 简单线性规划问题从容说课本节课先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出简单线性规划问题的一些基本概念，由二元一次不等式组的解集可以表示为直角坐标平面上的区域引出问题：在直角坐标系内，如何用二元一次不等式（组）的解集来解决直角坐标平面上的区域求解问题？再从一个具体的二元一次不等式（组）入手，来研究一元二次不等式表示的区域及确定的方法，作出其平面区域，并通过直线方程的知识得出最值.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生更深刻地理解一元二次不等式表示的区域的概念，有利于二元一次不等式（组）与平面区域的知识的巩固.“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新大纲》对数学知识应用的重视.线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经营管理等许多方面的实际问题.中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力.依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为了解层次.本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材.本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力.教学重点重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域.教学难点难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化.课时安排3课时三维目标一、知识与技能1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.二、过程与方法1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力;2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.三、情感态度与价值观1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力;2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.教学过程第1课时导入新课师前面我们学习了二元一次不等式A x+B y+C＞0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法，请同学们回忆一下.（生回答）推进新课［合作探究］师在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.例如，某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？设甲、乙两种产品分别生产x、y件，应如何列式？生由已知条件可得二元一次不等式组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤≤+.0,0,124,164,82y x y x y x师如何将上述不等式组表示成平面上的区域？生（板演）师对照课本98页图3.39，图中阴影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排，即当点P （x,y ）在上述平面区域中时，所安排的生产任务x 、y 才有意义. 进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得利润为z ，则如何表示它们的关系？ 生则z=2x+3y.师这样，上述问题就转化为：当x 、y 满足上述不等式组并且为非负整数时，z 的最大值是多少？［教师精讲］师把z=2x+3y 变形为z x y 3132+-=,这是斜率为32-，在y 轴上的截距为31z 的直线.当z 变化时可以得到什么样的图形？在上图中表示出来.生当z 变化时可以得到一组互相平行的直线.（板演）师由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点〔例如（1，2）〕，就能确定一条直线z x y 3132+-=，这说明，截距z[]3可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.可以看到直线z x y 3132+-=与表示不等式组的区域的交点坐标满足不等式组，而且当截距3z 最大时，z 取最大值，因此，问题转化为当直线z x y 3132+-=与不等式组确定的区域有公共点时，可以在区域内找一个点P ，使直线经过P 时截距3z 最大. 由图可以看出，当直线z x y 3132+-=经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M （4，2）时，截距3z 最大，最大值为314.此时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元.［知识拓展］再看下面的问题：分别作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，先找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封闭区域）,再作直线l 0:2x+y=0.然后，作一组与直线l 0平行的直线：l:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线l 0），从而观察t 值的变化：t=2x+y∈［3,12］.若设t=2x+y ，式中变量x 、y 满足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-.1,2553,34x y x y x 求t 的最大值和最小值.分析：从变量x 、y 所满足的条件来看，变量x 、y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC . 作一组与直线l 0平行的直线：l:2x+y=t ,t∈R（或平行移动直线l 0），从而观察t 值的变化：t=2x+y∈［3,12］.(1)从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，t=2x+y=0.点（0，0）在直线l 0：2x+y=0上.作一组与直线l 0平行的直线（或平行移动直线l 0)l:2x+y=t,t∈R. 可知，当l 在l 0的右上方时，直线l 上的点（x,y)满足2x+y ＞0,即t ＞0.而且，直线l 往右平移时，t 随之增大（引导学生一起观察此规律）.在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点B （5，2）的直线l 2所对应的t 最大，以经过点A （1，1）的直线l 1所对应的t 最小.所以t m a x =2×5+2=12,t min =2×1+3=3.(2)(3)［合作探究］师诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题.那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.课堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设t=0，画出直线l0.3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.布置作业1.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本 1 000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6 000元，运费不超过2 000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？分析：将已知数据列成下表：甲原料（吨） 乙原料（吨） 费用限额 成本1 000 1 500 6 000 运费500 400 2 000 产品 90 100解：设此工厂每月甲、乙两种原料各x 吨、y 吨，生产z 千克产品，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥,2000400500,600015001000,0,0y x y x y x z=90x+100y.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如右图：由⎩⎨⎧=+=+.2045,1232y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.720,712y x 令90x+100y=t ，作直线:90x+100y=0，即9x+10y=0的平行线90x+100y=t ，当90x+100y=t过点M （712,720）时，直线90x+100y=t 中的截距最大. 由此得出t 的值也最大，z m a x =90×712+100×720=440. 答：工厂每月生产440千克产品.2.某工厂家具车间造A 、B 型两类桌子，每X 桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一X A 、B 型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一X A 、B 型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一X A 、B 型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A 、B 型桌子各多少X ，才能获得利润最大？解：设每天生产A 型桌子xX ，B 型桌子yX ，则⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,93,82y x y x y x目标函数为z=2x+3y.作出可行域：把直线l ：2x+3y=0向右上方平移至l′的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z=2x+3y 取得最大值.解方程⎩⎨⎧=+=+,93,82y x y x 得M 的坐标为（2，3）. 答：每天应生产A 型桌子2X ，B 型桌子3X 才能获得最大利润.3.课本106页习题3.3A 组 2.第2课时导入新课 师前面我们学习了目标函数、线性目标函数、线性规划问题、可行解、可行域、最优解等概念.师同学们回忆一下用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤.生（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）;（2）设t=0，画出直线l 0;(3)观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解; (4)最后求得目标函数的最大值及最小值.推进新课 师【例1】 已知x 、y 满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,0,0,2502,3002y x y x y x 试求z=300x+900y 的最大值时的整点的坐标及相应的z 的最大值. 师分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z=300x+900y 取最大值时的整点. 解：如图所示平面区域A O BC ，点A （0，125），点B （150，0），点C 的坐标由方程组⇒⎩⎨⎧=+=+25023002y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,3200,3350y x 得C （3350,3200）， 令t=300x+900y ， 即,90031t x y +-=, 欲求z=300x+900y 的最大值，即转化为求截距t[]900的最大值，从而可求t 的最大值，因直线90031t x y +-=与直线x y 31-=平行，故作x y 31-=的平行线，当过点A （0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A 使z 取最大值，z m a x =300×0+900×125=112 500. 师【例2】 求z=600x+300y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件3x+y≤300，x+2y≤250， x≥0,y≥0的整数值.师分析：画出约束条件表示的平面区域即可行域再解.解：可行域如图所示.四边形A O BC ，易求点A （0，126），B （100，0）,由方程组⇒⎩⎨⎧=+=+25223003y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.5191,5369y x 得点C 的坐标为（5369,5191).因题设条件要求整点（x,y)使z=600x+300y 取最大值，将点（69，91），（70，90）代入z=600x+300y ，可知当x=70,y=90时，z 取最大值为z m a x =600×70+300×900=69 000. 师【例3】 已知x 、y 满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+≥+,0,0,12,22y x y x y x 求z=3x+y 的最小值.师分析：可先找出可行域，平行移动直线l 0:3x+y=0找出可行解，进而求出目标函数的最小值.解：不等式x+2y≥2表示直线x+2y=2上及其右上方的点的集合；不等式2x+y ≥1表示直线2x+y=1上及其右上方的点的集合.可行域如右图所示.作直线l 0:3x+y=0，作一组与直线l 0平行的直线l:3x+y=t(t∈R).∵x、y 是上面不等式组表示的区域内的点的坐标.由图可知：当直线l:3x+y=t 通过P （0，1）时，t 取到最小值1，即z min =1.师评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.师课堂练习：请同学们通过完成练习来掌握图解法解决简单的线性规划问题.（1）求z=2x+y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y （2）求z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x［教师精讲］师（1）求z=2x+y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y解：不等式组表示的平面区域如右图所示：当x=0,y=0时，z=2x+y=0，点（0，0）在直线l 0:2x+y=0上.作一组与直线l 0平行的直线l:2x+y=t,t∈R.可知在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点A （2，-1）的直线所对应的t 最大.所以z m a x =2×2-1=3.（2）求z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x解：不等式组所表示的平面区域如右图所示.从图示可知直线3x+5y=t 在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t 最小，以经过点（89,817）的直线所对应的t 最大. 所以z min =3×(-2)+５×(-1)=-11,z m a x =3×89+5×817=14.［知识拓展］某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t ，需耗A 种矿石10 t 、B 种矿石5 t 、煤 4 t ；生产乙种产品需耗A 种矿石4 t 、B 种矿石4 t 、煤9 t.每1 t 甲种产品的利润是600元，每1 t 乙种产品的利润是1 000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过360 t 、B 种矿石不超过200 t 、煤不超过300 t ，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t ），能使利润总额达到最大？ 师分析：将已知数据列成下表： 消耗量产品 资源甲产品（1 t ）乙产品(1 t) 资源限额（t ）A 种矿石（t ） 10 4 300B 种矿石(t)5 4 200 煤(t) 利润（元）4 9 3606001 000解：设生产甲、乙两种产品分别为x t 、y t ，利润总额为z 元，那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+;0,0,36094,20045,300410y x y x y x y x目标函数为z=600x+1 000y.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.作直线l:600x+1 000y=0,即直线:3x+5y=0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z=600x+1 000y 取最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+,36094,20045y x y x得M 的坐标为x=29360≈12.4,y=291000≈34.4. 答：应生产甲产品约12.4 t ，乙产品34.4 t ，能使利润总额达到最大.课堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）. （2）设t=0，画出直线l 0.（3）观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解. （4）最后求得目标函数的最大值及最小值.以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解. 当然也要注意问题的实际意义布置作业课本第105页习题3.3A 组3、4.第3课时导入新课师前面我们已经学习了用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤以及以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤.这节课我们继续来看它们的实际应用问题.推进新课师【例5】 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪.1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元.为了满足营养学家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 各多少克？ 师分析：将已知数据列成下表：食物/kg 碳水化合物/kg蛋白质/kg 脂肪/kg A 0.105 0.07 0.14 B0.1050.140.07若设每天食用x kg 食物A ，y kg 食物B ，总成本为z ，如何列式？生由题设条件列出约束条件①⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0,y 0,x 0.06,0.07y 0.14x 0.06,0.14y 0.07x 0.075,0.105y 105x .0其目标函数z=28x+21y.二元一次不等式组①等价于②⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+.0,0,6714,6147,577y x y x y x y x师作出二元一次不等式组②所表示的平面区域，即可行域.请同学们在草稿纸上完成，再与课本上的对照.生考虑z=28x+21y,将它变形为2834z x y +-=,这是斜率为34－、随z 变化的一族平行直线.28z 是直线在y 轴上的截距，当28z取得最小值时，z 的值最小.当然直线与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=28x+21y 取得最小值.由图可见，当直线z=28x+21y 经过可行域上的点M 时，截距z[]28最小，即z 最小. 解方程组⎩⎨⎧=+=+6714,577y x y x 得点M(71,74)，因此，当71=x ,74=y 时，z=28x+21y 取最小值，最小值为16.由此可知每天食用食物A 约143克，食物B 约571克，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.师【例6】 在上一节课本的例题（课本95页例3）中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1 600元，高中每人每年可收取学费2 700元.那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最多？学段 班级学生数配备教师数硬件建设/万元教师年薪/万元初中 45 2 26/班 2/人 高中40354/班2/人师由前面内容知若设开设初中班x 个，高中班y 个，收取的学费总额为z 万元, 此时，目标函数z=0.16×45x+0.27×40y,可行域如下图把z=7.2x+10.8y 变形为54532z x y +-=，得到斜率为-32－，在y 轴上截距为545z，随z 变化的一组平行直线.由图可以看出，当直线z=7.2x+10.8y 经过可行域上的点M 时，截距545z最大，即z 最大. 解方程组⎩⎨⎧=+=+402,30y x y x 得点M （20,10），因此，当x=20,y=10时，z=7.2x+10.8y 取最大值，最大值为252.由此可知开设20个初中班和10个高中班时，每年收取的学费总额最多，为252万元. 师【例7】 在上一节例4中（课本96页例4），若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元，若生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？生若设生产x 车皮甲种肥料，y 车皮乙种肥料，能够产生的利润z 万元.目标函数z=x+0.5y,可行域如下图：把z=x+0.5y 变形为y=-2x+2z,得到斜率为-2，在y 轴上截距为2z,随z 变化的一组平行直线.由图可以看出，当直线y=-2x+2z 经过可行域上的点M 时，截距2z 最大，即z 最大. 解方程组⎩⎨⎧=+=+104,661518y x y x 得点M(2,2),因此当x=2,y=2时，z=x+0.5y 取最大值，最大值为3.由此可见，生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大的利润，最大利润为3万元. ［教师精讲］师以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解. 当然也要注意问题的实际意义. 课堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）； （2）设t=0，画出直线l 0；（3）观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解；（4）最后求得目标函数的最大值及最小值.以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.当然也要注意问题的实际意义.布置作业课本第105页习题3.3B组1、2、3板书设计第1课时简单线性规划问题图1课堂小结线性规划问题的相关概念图2第2课时简单线性规划问题例1课堂小结例3例2第3课时简单线性规划问题例5课堂小结例7例6习题详解（课本第104页练习）1.(1)目标函数为z=2x+y，可行域如图所示，作出直线y=-2x+z,可知z要取最大值，即直线经过点C时，解方程组⎩⎨⎧-==+,1,1y y x 得C （2，-1），所以z m a x =2x+y=3.（2）目标函数为z=3x+5y,可行域如图所示，作出直线z=3x+5y,可知直线经过点B 时，z 取得最大值;直线经过点A 时，z 取得最小值. 解方程组⎩⎨⎧=-+=35,1y x x y 和⎩⎨⎧=++=.1535,1y x x y 可得点A （-2，-1）和点B （1.5,2.5）. 所以z m a x =17， z min =-11.2.设每月生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，每月收入为z ，目标函数为z=3x+2y ，需要满足的条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,0,0,5002,4002y x y x y x 作直线z=3x+2y ，当直线经过点A 时，z 取得最大值. 解方程组⎩⎨⎧=+=+,5002,4002y x y x 可得点A （200，100）,z 的最大值为800.(课本第106页习题3.3)A组1.画图求解二元一次不等式：（1）x+y≤2;(2)2x-y＞2;(3)y≤-2;(4)x≥3.2.3.解：设每周播放连续剧甲x次，播放乙连续剧y次，目标函数z=60x+20y,所以题目中包含的限制条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≤+,0,0,6,3204080y x y x y x 解方程组⎩⎨⎧=+=+6,3204080y x y x 得（2，4）.所以z 的最大值为200（万）.4.解：设每周生产空调器x 台、彩电y 台，则生产冰箱12-x-y 台，产值为z ，目标函数为z=4x+3y+2(120-x-y)=2x+y+240,所以题目中包含的限制条件为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥--≤--++,0,0,20120,40)120(413121y x y x y x y x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,100,1203y x y x y x 可行域如图，解方程组⎩⎨⎧=+=+,100,1203y x y x 得M 点坐标为（10，90）.所以每周应生产空调器10台，彩电90台，冰箱20台，才能使产值最高，最高产值是1 050千元.B 组1.2.3.解：设甲粮库要向A 镇运送大米x 吨、向B 镇运送大米y 吨，总运费为z ，则乙粮库要向A 镇运送大米（70-x ）吨、向B 镇运送大米（110-y ）吨，目标函数（总运费）为z=12×20×x+25×10×y+15×12×(70-x)+20×8×(110-y)=60x+90y+30 200.所以题目中包含的限制条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤-+-≤+.0,700,80)110()70(,100y x y x y x 所以当x=70,y=30时，总运费最省,z min =37 100（元）， 所以当x=0,y=100时，总运费最不合理,z m a x =39 200（元）. 使国家造成不该有的损失2 100元.答：甲粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米30吨，乙粮库要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米80吨，此时总运费最省，为37 100元.最不合理的调运方案是甲粮库要向A 镇运送大米0吨、向B 镇运送大米100吨，乙粮库要向A 镇运送大米70吨、向B 镇运送大米10吨，此时总运费为39 200元，使国家造成损失2 100元.备课资料备用习题1.某糖果厂生产A 、B 两种糖果，A 种糖果每箱获利润40元，B 种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间：（单位：分钟）混合 烹调 包装 A 1 5 3 B241 每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12小时，烹调的设备至多只能用30小时，包装的设备只能用15小时，试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？ 分析：找约束条件，建立目标函数.解：设生产A 种糖果x 箱，B 种糖果y 箱，可获得利润z 元，则此问题的数学模式在约束条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,0,9003,180045,7202y x y x y x y x 下，求目标函数z=40x+50y 的最大值，作出可行域，其边界O A ：y=0，AB ：3x+y-900=0，BC ：5x+4y- 1 800=0，C D ：x+2y-720=0，DO ：x=0.由z=40x+50y,得5054z x y +-=，它表示斜率为54-，截距为z[]50的平行直线系，50z 越大，z 越大，从而可知过C 点时截距最大，z 取得了最大值.解方程组⇒⎩⎨⎧=+=+1800457202y x y x C (120,300). ∴z m a x =40×120+50×300=19 800,即生产A 种糖果120箱，生产B 种糖果300箱，可得最大利润19 800元.点评：由于生产A 种糖果120箱，生产B 种糖果300箱，就使得两种糖果共计使用的混合时间为120＋2×300＝720（分），烹调时间5×120＋4×300＝1 800（分），包装时间3×120＋300＝660（分），这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间，但对包装设备却有240分钟的包装时间未加利用，这种“过剩”问题构成了该问题的“松弛”部分，有待于改进研究.2.甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表：甲 乙 丙 维生素A （单位/千克）600 700 400维生素B （单位/千克）800 400 500 成本（元/千克） 11 9 4 某食物营养研究所想用x 千克甲种食物，y 千克乙种食物，z 千克丙种食物配成100千克的混合食物，并使混合食物至少含56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B .（1）用x 、y 表示混合食物成本C ；（2）确定x 、y 、z 的值，使成本最低.分析:找到线性约束条件及目标函数，用平行线移动法求最优解.解:（1）依题意x 、y 、z 满足x+y+z=100z=100-x-y.∴成本C =11x+9y+4z=7x+5y+400（元）.（2）依题意⎩⎨⎧≥++≥++,63000500400800,56000400700600z y x z y x∵z=100-x-y,∴⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥-≥+.0,0,1303,16032y x y x y x作出不等式组所对应的可行域，如右图所示.联立⇒⎩⎨⎧=+=-160321303y x y x 交点A (50,20).作直线7x+5y+400=C ，则易知该直线截距越小，C 越小，所以该直线过A (50,20)时，直线在y 轴截距最小，从而C 最小，此时7×50＋5×20＋400＝C ＝850元.∴x=50千克，z=30千克时成本最低.。
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设2z x y =+
(1) 画出(,)p x y 表示的平面区域
(2) 作出直线 2z x y =+能作出几条直线?z 有无几何意义?z 什么时候最大,最大值是什
么? z 什么时候最小,最小值是什么?
上述关于z 的最值的研究问题就是本节课要学习的内容. 二、新课
例1、某工厂用A,B 两种配件生产甲、乙两种商品，每生产一件甲产品使用4个A 配件，耗时1h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件，耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8h 计算， ● 该厂所有可能的日生产安排是什么？ ● 若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润
最大？并求出最大利润
归纳出定义： 在上述问题中，不等式组中关于变量,x y 的约束条件都是关于,x y 的_______________,所以又称______________条件。
我们把要求最大值的函数23z x y =+称为_____________,又因这里
的23z x y =+是关于变量,x y 的________________,所以又称________________,目标函数中的变量要满足的线性约束条件除了用一次不等式外，有时也用________________表示，一般，在线性约束条件下，求_____________________统称为线性规划问题。
满足线性约束条件的解（,x y ）叫做_________________.
由所有可行解组成的集合叫做____________________
其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的________________
【探究】：
（1） 在上述问题中，如果每生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2
万元，又应当如何安排生产才能获得最大利润？再换几组数据试试。
（2） 由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？
练习：求35z x y =+的最大值和最小值，使,x y 满足约束条件5315153x y y x x y +≤⎧⎪
≤+⎨⎪-≤⎩
作业：
1．若0,0x y ≥≥,且1,x y +≤则z x y =-的最大值为( ) A. 1- B. 1 C. 2 D. 2-
2．已知,x y 满足约束条件5003x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则24z x y =+的最小值为（ ）
A 、 5
B 、 6-
C 、 10
D 、10-
3．若010221x y y x ≤≤⎧⎪
≤≤⎨⎪-≥⎩
，则224z y x =-+的最小值为（ ）
A 、 2
B 、 3
C 、 4
D 、5
4．线性目标函数z x y =-在2102101x y x y x y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪+≤⎩
，的线性约束条件下,取得最大值的可 行
解为( ）
A 、 (0,1)
B 、 (1,1--)
C 、 (1,0)
D 、11(,)22
5．已知平面区域图3.3-12,(0)z mx y m =+>在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个,则m 的值为 ( )
A 、 720-
B 、 720
C 、 12
D 、不存在 图3. 3-12
6．如图3.3-13所表示的可行域内(阴影部分包括边界),目标函数z x ay =+取得最小值的最优解有无数个,则a 的一个可能值为 ( )
A 、 3-
B 、
1
3
C 、 1-
D 、 1
图3.3-13
7．若,x y 满足条件3
2x y y x +≤⎧⎨
≤⎩
则 34z x y =+的最大值是______________
8．设2z x y =+式中变量,x y 满足条件43
35251x y x y x -≤-⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，求z 的最大值与最小值。
9．已知15x y ≤+≤，13x y -≤-≤，求23z x y =-的取值范围
10某工厂生产甲、乙两种产品，生产1t甲种产品需要A种原料4t、B种原料12t，产生的利润为2万元；生产1t乙种产品需要A种原料1t、B种原料9t，产生的利润为1万元。
现有库存A种原料10t、B种原料60t，如何安排生产才能使利润最大？
为理解题意，可以将已知数据整理成下表:。