2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高三(上)第六次月考数学试卷(理科) Word版含解析
湖南省长沙市长郡中学2017届高三月考试卷试卷(六)(理)含答案
湖南省长沙市长郡中学2017届高三月考试卷(六)数学(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1.已知复数()51i i z =-(i 为虚数单位),则复数z 的共轭复数为( )A. 2i -B.2i +C. 4i -D.4i +2.在中,“sin sin A B >”是“cos cos A B <”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知33cos ,4522πππ⎛⎫+=≤≤ ⎪⎝⎭αα,则sin 2α=( ) A. 45-B.45C. 725-D.7254.已知等式()()()()432432123412341111x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++,定义映射()()12341234:,,,,,,f a a a a b b b b →,则()4,3,2,1f =( ) A.()1,2,3,4 B. ()0,3,4,0 C. ()0,3,4,1--D.()1,0,2,2--5.若随机变量()()2,0XN μδδ>,则有下列结论:()0.6826,P X μδμδ-<≤+=()()220.9544,330.9974P X P X μδμδμδμδ-<≤+=-<≤+=,高三(1)班有40名同学,一次数学考试的成绩服从正态分布,平均分为120分,方差100,理论上说在130分以上的人数为( ) A. 19B. 12C. 6D. 56.若ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin 2sin b A a B =,且2c b =,则ab=( )A. 2B. 37.如图,12,F F 为双曲线C 的左、右焦点,且122F F =,若双曲线C 的右支上存在点P ,使得12PF PF ⊥,设直线2PF 与y 轴交于点A,且1APF ∆的内切圆半径为12,则双曲线的离心率为( )A. 2B. 4C.D. 8.已知点E ,F ,G 分别是正方体1111ABCD A BC D -的棱111,,AA CC DD 的中点,点M ,N ,P ,Q 分别在线段11,,,DF AG BE C B 上,以M ,N ,P ,Q 为顶点的三棱锥P -MNQ 的俯视图不可能是(注:C 图为正三角形)( )9.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>,对于任意实数k ,下列直线被椭圆所截弦长与直线1y kx =+被截得的弦长不可能相等是是( )A. 0kx y k ++=B. 10kx y --=C. 0kx y k +-=D.20kx y +-=10.《九章算术》是我国古代著名数学名著,其中对勾股定理的论述比西方早一千多年,其中有这样一个问题:“今有元材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”其意为:今有一圆柱形木材,埋在墙中,不知其大小,用锯去锯该材料,锯口深一寸,锯道长一尺.问这块圆柱形木材的直径是多少?长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中,截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知AB =1尺,弓形高CD =1寸,估算该木材镶嵌在墙中的体积约为(注:1丈=10尺=100寸,53.14,sin 22.513π≈≈)( )A. 600立方寸B. 610立方寸C. 633立方寸D. 620立方寸11.若函数()2sin 0y x ωω=>在区间,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上只有一个极值点,则ω的取值范围是( ) A. 312ω≤≤B. 332ω<≤ C. 34ω≤< D.3922ω≤< 12.已知()ln f x x x x =+,若()()2k x f x -<对任意2x >恒成立,则整数k 的最大值是( ) A. 8B. 6C. 5D. 4二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为 .14.如图,点O 为ABC ∆的重心,且,6OA OB AB ⊥=,则A C B C ⋅的值为 .15.直线20x y a -+=与330x y +-=交于第一象限,当点(),P x y 在不等式组20330x y a x y -+≥⎧⎨+-≤⎩表示的区域上运动时,43m x y =+的最大值为8,此时3y n x =+的最大值为 .16.已知函数()()()e ,1,11,1xx f x g x kx f x x ⎧≤⎪==+⎨->⎪⎩,若方程()()0f x g x -=有两个不同的实根,则实数k 的取值范围为 .三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.(本题满分12分)已知在数列{}n a 中,n S 为其前n 项和,若0n a >,且()2421n n n S a a n *=++∈N ,数列{}n b 为等比数列,公比111,q b a >=,且2432,,3b b b 成等差数列. (1)求{}n a 与{}n b 的通项公式; (2)令nn na cb =,若{}nc 的前项和为n T ,求证: 6.n T <18.(本题满分12分)交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通指数为T ,其范围为[]0,10,分为五个级别,[)0,2T ∈畅通;[)2,4T ∈基本畅通;[)4,6T ∈轻度拥堵;[)6,8T ∈中度拥堵;[]8,10T ∈严重拥堵.早高峰时段()3T ≥,从某市交通指挥中心随机选取了三环以内的50个交通路段,依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图.(1)这50个路口为中度拥堵的有多少个?(2)据此估计,早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少?(3)某人上班路上所用的时间若畅通时为20分钟,基本畅通时为30分钟,轻度拥堵时为36分钟,中度拥堵时为42分钟,严重拥堵时为60分钟,求此人所用时间的数学期望.19.(本题满分12分)在直角梯形ABCD 中,//,,3,2,AB CD AD AB DC AB ⊥==1,AD =,1AE EB DF ==,现把EF 它沿折起,得到如图所示的几何体,连接,,DB ABDC ,使DC =(1)求证:平面DBC ⊥平面DFB ;(2)判断在线段DC 上是否存在一点H ,使得二面角E BH C --的余弦值为6-,若存在,确定H 的位置,若不存在,说明理由.20.(本题满分12分)已知离心率为2的椭圆的右焦点F 是圆()2211x y -+=的圆心,过椭圆上的动点P 作圆的两条切线分别交y 轴于M ,N (不与P 重合)两点. (1)求椭圆的方程;(2)求线段MN 长的最大值,并求此时点P 的坐标.21.(本题满分12分) 已知函数()sin ex xf x =的定义域为[]()0,2,g x π为()f x 的导函数. (1)求方程()0g x =的解集; (2)求函数()g x 的最大值和最小值;(3)若函数()()F x f x ax =-在定义域上恰有2个极值点,求实数a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果两题都做,则按照所做的第一题给分;作答时,请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高三第六次月考文数试题 Word版含解析
2017-2018学年 第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若全集U R =,集合{}124xA x =<<,{}10B x x =->,则U AB =ð( )A .{}01x x <≤ B .{}12x x << C .{}01x x << D .{}12x x ≤< 【答案】A考点:集合的交集、补集运算.2. 已知a ,R b ∈,i 是虚数单位,若a i -与2bi +互为共轭复数,则()2a bi +=( ) A .54i - B .54i + C .34i - D .34i + 【答案】D 【解析】试题分析:由已知得,2,1a b ==,即2a bi i +=+,所以22()(2)34,a bi i i +=+=+选D.考点:复数的四则运算,复数的概念.3.已知021x p x ∀≥≥:,;q :若x y >,则22x y >.则下列为真的是( ) A . p q ∧ B .p q ∧⌝ C .p q ⌝∧⌝ D .p q ⌝∨【答案】B 【解析】试题分析:021x p x ∀≥≥:,为真,q :若x y >,则22x y >为假,(如03x y ==-,),故q ⌝为真,则p q ∧⌝为真.故选:B .考点:复合的真假.4. 在区间[]2,4-上随机地抽取一个实数x ,若x 满足2x m ≤的概率为56,则实数m 的值为( )A .2B .3C .4D .9 【答案】D 【解析】 试题分析:如图区间长度是6,区间[24]-,上随机地取一个数x ,若x 满足2x m ≤的概率为56,所以9m =.故选:D .考点:几何概型.5. 已知()f x 在R 上是奇函数,且满足()()4f x f x +=,当()0,2x ∈时,()22f x x =,则()7f =( )A .2B .2-C .98-D . 98 【答案】B考点:1.函数的奇偶性;2.周期性.6. 一个几何体的三视图如图所示,其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形,俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径,则这个几何体的体积为( )A .12 B .6 C .4 D .3【答案】A 【解析】试题分析:由三视图可知几何体为圆锥的14,圆锥的底面半径为1,母线长为2,∴圆锥的高11431212V π=⨯⨯⨯=.故选A . 考点:由三视图求面积、体积.7. 下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入a ,b ,i 的值分别为6,8,0,则输出a 和i 的值分别为( ) A . 0,4 B .0,3 C .2,4 D .2,3【答案】C考点:程序框图.8. 设函数()()2f x g x x =+,曲线()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为21y x =+,则曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率为为( ) A .4 B .14- C .2 D .12- 【答案】A 【解析】试题分析:由题意可知,()()() '12' '2g f x g x x ==+,,所以()()'1'124f g =+=,所以得直线斜率为4. 考点:导数的几何意义. 9. 已知3sin 5ϕ=,且,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,函数()()sin f x x ωϕ=+(0ω>)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2π,则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为( ) A .35-B .45-C .35D .45【答案】B考点:正弦函数的图象.10. 已知ABC ∆的三个顶点A ,B ,C 的坐标分别为()0,1,),()0,2-,O 为坐标原点,动点P 满足1CP =,则OA OB OP ++的最小值是( )A 1B 1C 1D 1 【答案】A 【解析】试题分析:由1CP =及()C 0,2-可得P 的轨迹方程为()2221x y ++=,即cos sin 2x y θθ=⎧⎨=-⎩,∴()2cos ,sin 1OA OB OP θθ++=-,()()222cos sin 1OA OB OP θθ++=+-()222cos sin 2sin 144θθθθθϕ=+++-+=++≥-(cos ϕ=sin ϕ=,∴31OA OB OP ++≥. 考点:1.向量模的几何意义;2.点和圆的位置关系.【一题多解】设(),P x y ,由1CP =,可知()2221x y ++=,所以点P 的轨迹是以()0,2C -为圆心,1为半径的圆上的点,又(OA OB OP x ++=表示点P 与点()1-之间的距离的最小值,由点和圆的位置关系可知,OA OB OP ++的最小值为11=.11. 过双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线,垂足为点A ,与另一条渐近线交于点B ,若2FB FA =,则此双曲线的离心率为( )A .2 D 【答案】C考点:1.直线的斜率、直线的方程;2.双曲线的几何性质. 【一题多解】如图因为2FB FA =,所以A 为线段FB 的中点,∴24∠=∠,又132390∠=∠∠+∠=︒,,所以124223∠=∠+∠=∠=∠.故2390b a∠+∠= ∴22()142b e e a=+=⇒=.故选:C .12. 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,C S 为球O 的直径,且2SC =,则此棱锥的体积为( )A .6 B .6 C .3 D .2【答案】A 【解析】试题分析:取AB 的中点D ,连接SD ED ,,作SE EC ⊥,则,AB SD AB CD ⊥⊥,所以AB ⊥面SDC ,因为SC 为球O 的直径,且2SC =,所以90SBAC SAC ︒∠=∠=,所以SA SB ==SD =CD =SDC 中,222cos 233SD DC SC SDC SD DC +-∠==-⋅所以sin 33SDC ∠=,所以1sin 22SDC S SD DC SDC ∆=⋅⋅⋅∠=,所以棱锥的体积=1=36SDC V S AB ∆⋅⋅.考点:1.棱锥的体积公式;2.三棱锥的外接球.【思路点睛】求椎体的体积,要适当的选择底面和高。
湖南省长沙市长郡中学高三数学第六次月考理科试题
12、(06长沙月考) (x>1,p为正常数), 有相同值域,则P的值为 。
13(06长沙月考)、设A为圆 上动点,PA为圆的切线,且 ,则P点轨迹方程为 。
14、(06长沙月考) 和 分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时, ,且 ,则不等式 的解集为 。
由S□ ,知C到AA1的距离为 ,∠AA1C1=60°,所以△ 是等边三角形,且 。
〔方法1〕(向量法)以AA1之中点D为原点(如图所示),建立空间直角坐标系。
① , , ,
,解得
由于平面ABC∥平面A1B1C1,所以A1B1到平面ABC的距离为
。
〔方法2〕(几何法)
①显然 是 在平面 上的射影,因为 ,由三垂线定理知
(1)求证直线AB过定点;
(2)求点C的轨迹方程。
21、解(1)(2P,0);
(2)设点A的坐标为 ,点B的坐标为 ,则 ,因为OA⊥OB,所以 ,即 ,所以 。
设点C的坐标为(x,y),则 ,因为OC平分∠AOB,所以∠AOC=45°, ,即 ,解得 ,又A,C,B三点共线,当 时 ,即 ,化简得 ,将 代入,并化简得: ,当 时,即 ,得 ,此时点C的坐标为 ,满足上述方程,所以上述方程即为点C的轨迹方程。
②由于 ∥平面ABC,所以 到平面ABC的距离h为点A1到平面ABC的距离,显然,三棱锥 的体积为
即有
因为 ∥AA1所以BC1⊥CC1,已知 即知
在△ABC中,BC边上的高 ,从而得 ,最后得
所以直线 到平面ABC的距离是 。
,故
②设 平面ABC,
19、(06长沙月考)下面玩掷骰子放球游戏,若掷出1点,甲盒中放一球,若掷出2点或3点,乙盒中放一球,若掷出4点、5点或6点,丙盒中放一球,设掷n次后,甲、乙、丙各盒内的球数分别为 。(14分)
湖南省长沙市长郡中学2018届高三上学期月考(六)数学试题 Word版含答案
美德·美才大联考长部中学2018届高三月考试卷(六)数学(理科)长郡中学高三理科数学备课组组稿第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数12z i =-,2()z m i m R =+∈,若动12z z ⋅为纯虚数,则12z z ⋅=( ) A .52i B . 52C . 2i -D .-2 2. 下列判断正确的是( )A .若命题p 为真命题,命题q 为假命题,则命题“p 且q ”为真命题B .命题“若0xy =,则0x =”的否命题为“若0xy =.则0x ≠”C .“1sin 2α=”是“6πα=”的充分不必要条件 D .命题“对任意x R ∈,20x>成立”的否定是“存在0x R ∈.使020x ≤成立”3. 等差数列{}n a 有两项m a 和()k a m k ≠,满足1m a k =,1k a m=,则该数列前mk 项之和为( ) A .12mk - B .2mk C . 12mk + D . 12mk+ 4. 一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .403B .803C. 40 D .80 5. 在OAB ∆中,OA a = ,OB b = ,OD 是AB 边上的高,若AD AB λ=,则实数λ等于( )A .2()a b a a b⋅-- B .2()a a b a b⋅-- C.()a b a a b ⋅-- D .()a ab a b⋅--6. 若152a -=,125b -=,1cos 220c xdx π=⎰,则实数a ,b ,c 的大小关系是( )A .a b c <<B .b a c << C. c b a << D .b c a << 7. 已知函数()sin 2cos 2(,)f x a x b x a b R =+∈的图象过点(,2)12π,且点(,)6π-0是其对称中心,将函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()y g x =的图象,则函数()g x 的解析式为( )A .()2sin 2g x x =B .()2cos 2g x x = C.()2sin(2)6g x x π=+D .()2sin(2)6g x x π=-8. 执行如图所示的程序框图,输出S 的值为( ) A .1939 B .2143C. 2245 D .20419. 已知以原点为中心,实轴在x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为34y x =,焦点到渐近线的距离为6,则此双曲线的标准方程为( )A .221169x y -= B . 221916x y -= C. 2216436x y -= D .2213664x y -= 10. 求形如()()g x y f x =的函数的导数,我们常采用以下做法:先两边同取自然对数得:ln ()ln ()y g x f x =,再两边同时求导得11()ln ()()()()y g x f x g x f x y f x '''=+,于是得到:()1()()ln ()()()()g x y f x g x f x g x f x f x ⎡⎤'''=+⎢⎥⎣⎦,运用此方法求得函数1xy x =的一个单调递增区间是( )A .(,4)eB .(36),C. (0)e , D .(2),3 11. 已知递减的等比数列{}n a ,各项均为正数,且满足123123269111132a a a a a a ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩,则数列{}n a 的公比q 的值为( )A .12 B .13 C. 23 D .3412. 设点P 在曲线112xy e =⋅+上,点Q 在曲线ln(22)y x =-上,则PQ 的最小值为( )A .2ln 2- Bln 2)- C. 2+ln 2 D2)第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中对应题号的横线上.13.)(0)naa x>展开式中,若第三项中228x ,则此展开式中的第六项为 .14. 使关于x 的不等式1x k x ++<;有解的实数k 的取值范围是 .15. 已如1F ,2F 是双曲线221:13y C x -=与椭圆2C 的公共集点,点A 是1C ,2C 在第一象限的公共点,若121F F F A =,则2C 的离心率是 .16. 已知两个正数a ,b ,可按规则c ab a b =++扩充为一个新数c ,在,,a b c 三数中取两个较大的数,按上规则扩充得到一个新数,依次下去,将每扩充一次得到一个数称为一次操作.若0p q >>,经过6次操作后扩充所得的数为(1)(1)1m n q p ++-(m ,n 为正整数),则m n +的值为 .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为,,,a b c 且sin cos 0a B b A -=. (Ⅰ)求角A 的大小:(Ⅱ)若a =2b =.求ABC ∆的面积.18. 为振兴旅游业,香港计划向内陆地区发行总量为2000万张的紫荆卡,其中向内陆人士(广东户籍除外)发行的是紫荆金卡(简称金卡),向广东籍人士发行的是紫荆银卡(简称银卡).某旅游公司组织了一个有36名内陆游客的旅游团到香港名胜旅游,其中34是非广东籍内陆游客,其余是广东籍游客.在非广东新游客中有13持金卡,在广东籍游客中有23持银卡.(Ⅰ)在该团中随机采访3名游客,求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率; (Ⅱ)在该团的广东籍游客中随机采访3名游客,设其中持银卡人数为随机变量ξ,求ξ的分布列及数学期望E ξ.19. 如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形,//AD CB ,90ADC ∠=︒,平面PAD ⊥底面ABCD ,Q 为AD 的中点,M 是棱PC 上的点,2PA PD ==,112BC AD ==,CD =. (Ⅰ)求证:平面PQB ⊥平面PAD ; (Ⅱ)若异面直线AP 与BMPM PC的值.20. 已知椭圆:22210259tan 2(tan 1)2x y a a a π⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭+,当椭圆形状最圆时为椭圆C . (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设过椭圆C 左焦点的两条弦MN 、PQ 斜率分别为1k 、2k ,当121k k =时,是否存在1t ≥使11t MN PQ+=成立,若存在,求出满足条件的t ;若不存在,请说明理由.。
湖南省长沙市长郡中学2017届高三月考数学试卷(六)(理)
湖南省长沙市长郡中学2017届高三月考试卷(六)数学(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1.已知复数()51i i z =-(i 为虚数单位),则复数z 的共轭复数为( )A. 2i -B.2i +C. 4i -D.4i +2.在中,“sin sin A B >”是“cos cos A B <”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知33cos ,4522πππ⎛⎫+=≤≤ ⎪⎝⎭αα,则sin 2α=( ) A. 45-B.45C. 725-D.7254.已知等式()()()()432432123412341111x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++,定义映射()()12341234:,,,,,,f a a a a b b b b →,则()4,3,2,1f =( ) A.()1,2,3,4 B. ()0,3,4,0 C. ()0,3,4,1--D.()1,0,2,2--5.若随机变量()()2,0XN μδδ>,则有下列结论:()0.6826,P X μδμδ-<≤+=()()220.9544,330.9974P X P X μδμδμδμδ-<≤+=-<≤+=,高三(1)班有40名同学,一次数学考试的成绩服从正态分布,平均分为120分,方差100,理论上说在130分以上的人数为( ) A. 19B. 12C. 6D. 56.若ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin 2sin b A a B =,且2c b =,则ab=( )A. 2B. 37.如图,12,F F 为双曲线C 的左、右焦点,且122F F =,若双曲线C 的右支上存在点P ,使得12PF PF ⊥,设直线2PF 与y 轴交于点A,且1APF ∆的内切圆半径为12,则双曲线的离心率为( )A. 2B. 4C.D. 8.已知点E ,F ,G 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱111,,AA CC DD 的中点,点M ,N ,P ,Q 分别在线段11,,,DF AG BE C B 上,以M ,N ,P ,Q 为顶点的三棱锥P -MNQ 的俯视图不可能是(注:C 图为正三角形)( )9.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>,对于任意实数k ,下列直线被椭圆所截弦长与直线1y kx =+被截得的弦长不可能相等是是( )A. 0kx y k ++=B. 10kx y --=C. 0kx y k +-=D.20kx y +-=10.《九章算术》是我国古代著名数学名著,其中对勾股定理的论述比西方早一千多年,其中有这样一个问题:“今有元材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”其意为:今有一圆柱形木材,埋在墙中,不知其大小,用锯去锯该材料,锯口深一寸,锯道长一尺.问这块圆柱形木材的直径是多少?长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中,截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知AB =1尺,弓形高CD =1寸,估算该木材镶嵌在墙中的体积约为(注:1丈=10尺=100寸,53.14,sin 22.513π≈≈)( )A. 600立方寸B. 610立方寸C. 633立方寸D. 620立方寸11.若函数()2sin 0y x ωω=>在区间,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上只有一个极值点,则ω的取值范围是( ) A. 312ω≤≤B. 332ω<≤ C. 34ω≤< D.3922ω≤< 12.已知()ln f x x x x =+,若()()2k x f x -<对任意2x >恒成立,则整数k 的最大值是( ) A. 8B. 6C. 5D. 4二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为 .14.如图,点O 为ABC ∆的重心,且,6OA OB AB ⊥=,则AC B C ⋅的值为 .15.直线20x y a -+=与330x y +-=交于第一象限,当点(),P x y 在不等式组20330x y a x y -+≥⎧⎨+-≤⎩表示的区域上运动时,43m x y =+的最大值为8,此时3yn x =+的最大值为 .16.已知函数()()()e ,1,11,1x x f x g x kx f x x ⎧≤⎪==+⎨->⎪⎩,若方程()()0f x g x -=有两个不同的实根,则实数k 的取值范围为 .三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.(本题满分12分)已知在数列{}n a 中,n S 为其前n 项和,若0n a >,且()2421n n n S a a n *=++∈N ,数列{}n b 为等比数列,公比111,q b a >=,且2432,,3b b b 成等差数列. (1)求{}n a 与{}n b 的通项公式; (2)令nn na cb =,若{}nc 的前项和为n T ,求证: 6.n T <18.(本题满分12分)交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通指数为T ,其范围为[]0,10,分为五个级别,[)0,2T ∈畅通;[)2,4T ∈基本畅通;[)4,6T ∈轻度拥堵;[)6,8T ∈中度拥堵;[]8,10T ∈严重拥堵.早高峰时段()3T ≥,从某市交通指挥中心随机选取了三环以内的50个交通路段,依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图.(1)这50个路口为中度拥堵的有多少个?(2)据此估计,早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少? (3)某人上班路上所用的时间若畅通时为20分钟,基本畅通时为30分钟,轻度拥堵时为36分钟,中度拥堵时为42分钟,严重拥堵时为60分钟,求此人所用时间的数学期望.19.(本题满分12分)在直角梯形ABCD 中,//,,3,2,AB CD AD AB DC AB ⊥==1,AD =,1AE EB DF ==,现把EF 它沿折起,得到如图所示的几何体,连接,,DB ABDC ,使DC =(1)求证:平面DBC ⊥平面DFB ;(2)判断在线段DC 上是否存在一点H ,使得二面角E BH C --的余弦值为,若存在,确定H 的位置,若不存在,说明理由.20.(本题满分12分)的椭圆的右焦点F 是圆()2211x y -+=的圆心,过椭圆上的动点P 作圆的两条切线分别交y 轴于M ,N (不与P 重合)两点. (1)求椭圆的方程;(2)求线段MN 长的最大值,并求此时点P 的坐标.21.(本题满分12分) 已知函数()sin ex xf x =的定义域为[]()0,2,g x π为()f x 的导函数. (1)求方程()0g x =的解集; (2)求函数()g x 的最大值和最小值;(3)若函数()()F x f x ax =-在定义域上恰有2个极值点,求实数a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果两题都做,则按照所做的第一题给分;作答时,请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
湖南省长沙市长郡中学2017届高三月考试卷六(理科数学答案)
炎德 英才大联考长郡中学#$"%届高三月考试卷!六"数学!理科"参考答案一#选择题$本题共 小题%每小题 分%在每小题给出的四个选项中%只有一项是符合题目要求的!题号!""!#"!&"!'"!("!)"!%"!*"!+"!"$"!"""!"#"答案,-.--//-.-,.!*"-!&解析'在底面"#$%上考察%&#'#(#)四点在俯视图中它们分别在#$#$%#%"#"#上%先考察形状%再考察俯视图中的实虚线%可判断-不可能(因为正三角形且当中无虚线%说明有两个顶点投到底面上重合了%只能是)#(投射到点"或者'#(投射到点%%此时俯视图不可能是正三角形!!""",!&解析'结合题意%函数唯一的极值点只能是 *0 #%所以有 &1 "#! )1 #! $%&#得&#' (&!!"#".!&解析'由题意知$)*"#%+'*2*34**!#%设右边为 !*"%则 ,!*"0*!#34*!'*!"!##由于!*!#34*!'",*0"!#*"$%于是 ,!*"有唯一零点*$*!*%"$"%从而 !*"的极小值%亦为最小值 !*$"0*$2*$34*$*$!#0*$2*$ "#!*$!'"*$!#0*$#*!'%("%于是+的最大值为'!二#填空题!每题(分%满分#$分"!"&"+!!"'"%#!!"("&'!!")"5!"#%!""+!"%5!")三#解答题!本大题共)小题%共%$分!解答应写出文字说明#证明过程或演算步骤!"!"%"&解析'! "-.0#.!"!.* ,"&分 /.0#.!"!.* ,")分 ! "由! "得0.0#.!"#.!"%1.0"#$2&#"2(##2 2#.!"#.!"% 6"#1.0"#"2&##2(#&2 2#.!&#.!"2#.!"#.% ! 得%"#1.0"2##"2###2 2##.!"!#.!"#.0&!#.2&#.%61.0)!#.2&#.!"')!"#分 !"*"&解析'! "!$!#2$!")"1"1($0"*%这($个路段为中度拥堵的有"*个!'分 ! "设事件"*一个路段严重拥堵+%则&!""0$!"%事件#至少一个路段严重拥堵+%则&!-#"0!"!&!"""&0$!%#+%&!#"0"!&!-#"0$!#%"%所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是$!#%"!*分! "分布列如下表$2&$&)'#)$&$7"$7''$7&)$7"320&+!+)!此人经过该路段所用时间的数学期望是&+!+)分钟!"#分!"+"&解析'! "8%40"%4$0#%%$槡0(%6%4#24$#0%$#%6%4.4$%又%4/"3%%40"3%6四边形"34%为平行四边形!6"%/34%又"%."3%634.%4%6%4.平面3#$4%%4.#$%在直角03#4中%#3#234#0"2"0#4#%经计算#$#0#%4$#0#4#2#$#%6#$.#4%6#$.平面#%4%故平面%#$.平面%4#!(分 ! "分别以34%4$%4%为*%5%6轴建立空间直角坐标系4!*56%3!"%$%$"%%!$%$%""%#!"%"%$"%$!$%#%$"%设12$70 12$%!$( (""%7!*%5%6"%所以!*%5!#%6"0 !$%!#%""%67!$%#!# % "%12370!!"%#!# % "%12#70!!"%"!# %"%12#$0!!"%"%$"%设平面3#7的法向量为 0!*"%5"%6""%平面#7$的法向量为 0!*#%5#%6#"% 12370$% 12#7,0$3!*"2!#!# "5"2 6"0$%!*"2!"!# "5"2 6"0$,%可得 0! %$%""! 12#$0$% 12#7,0$3!*#25#0$%!*#2!"!# "5#2 6#0$,%可得 0!"%"%#"%由 4 44 40槡&$)%得 2#"2"2#槡# #槡2"0槡&$)%解得 0"#%当7为$%的中点时%满足条件!"#分 !#$"&解析'! "圆心坐标!"%$"%所以00"%又0-0槡##%6-槡0#故/0"%故椭圆方程为*##25#0"!'分 ! "设&!*$%5$"%'!$%8"%(!$%."*##25#0"!*!""#25#$%&0"3*槡0#!#%*槡0#2#!舍去"6*$*-槡!#%$"+!$%槡#!#"!)分 直线&'的方程5!805$!8*$*3!5$!8"*!*$528*$0$%645$!82*$84!5$!8"#2*槡#$0"3!*$!#"8#2#5$8!*$0$%同理!*$!#".#2#5$.!*$0$%68%.是方程!*$!#"9#2#5$9!*$0$的两实根%由韦达定理$82.0!#5$*$!#%8.0!*$*$!#+分 4'(4048!.40!82."#!'槡8.0'*#$2'5#$!**$!*$!#"槡#%8*#$#25#$!"0"0#!'!*$!#"槡#""分 令:!*"0#!'*!#%**-槡!#!#%!#"+!!#%槡!#"显然由:!*"的单调性知:!*"9:;0#!'1!槡!#!#"!#64'(49:;槡槡0##!"%此时*$槡0!#故&点坐标为!槡!#%$"%即椭圆左顶点!"#分 !#""&解析'! "因为:!",*0!<=4*5*2>?<*5*%"分 令;!"*0>?<*5*!<=4*5*0$%解得*0 '或*0( '.&分 ! "因为;!",*0!>?<*5*!<=4*5*2<=4*5*!>?<*5*0!#>?<*5*%'分 令;!",*0$%解得*0 #或*0& #%(分 *$$% !"## #%&!"#&#& #%#!" #;!",*!$2$!;!"*"5!5!#65!7!#所以;!"*的最大值为;!"$0"%;!"*的最小值为; !"#0!"5 #!%分 ! "因为!"4,*0!<=4*5*2>?<*5*!-0;!"*!-%所以函数!"4*0:!"*!-*在定义域上恰有#个极值点%等价于;!"*!-0$在定义域上恰有#个零点且在零点处异号%即50;!"*与50-的图象恰有两个交点!*分 由! "知4,!"$0;!"$!-0"!-%4, !"#0; !"#!-0!5! #!-%4,& !"#0;&!"#!-05!&#!-%4,#!" 0;#!" !-05!#!-%若4, !"##$%则4,& !"#"4, !"#"$%所以!"4,*0$至多只有"个零点%不成立%+分 所以只有4, !"#'$.若4,& !"#'$%则4,#!"'$%所以!"4,*0$只有"个零点%不成立%"$分 所以4,& !"##$若4,& !"#0$%即-05!& #%在*0& #处同号%不成立.若4,#!" ($%则!"4,*0$有&个零点%不成立%""分 所以只有4,#!""$!所以满足的条件为$4, !"#0; !"#!-0!5! #!-'$4,#!" 0;#!" !-05!#!-"$%&$%解得!5!#'-'5!# !"#分 注$利用图像直接得出!5!#'-'5!# 扣#分!!##"&解析'! "$"$*!"2'#25!"!�"%$#$*#)'25#+0"$"为圆心是!'%!"&%半径是"的圆%$#为中心是坐标原点%焦点在*轴%长半轴长是*%短半轴长是&的椭圆!(分 ! "当90 #时%&!'%!"'%)*>?< %&<=4!" %故'!#2'>?< %#2&#<=4!"$&的普通方程为*!#5!%0$%'到$&的距离<0槡(('>?< !&<=4 !"&所以当>?< 0'(%<=4 0!&(时%<取得最小值槡*((!"$分 !#&"&解析'! "当-0&时%:!"*0*!&!#*!"0!*!"%*#!"&!&*2(%"'*'!"&*2"%*(!"$%&"所以当*0"时%函数:!"*取得最大值#!(分 ! "由:!"*#$%得*!-##*!"%两边平方%得*!!"-##'*!"!"#即&*#2#-!"!'*2'!-#($%得*!#!!"-)-&*!#2!"-)-($%所以当-""时%不等式的解集为#!-%#2--)&.当-0"时%不等式的解集为*4*,/0".当-'"时%不等式的解集为#2-&%#!-)-!"$分。
湖南省长沙市长郡中学2018届高三上学期开学摸底测试理数试题 含解析
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合2{|230}A x x x =--≤,{|ln(2)}B x y x ==-,则A B = ( )A .(1,3)B .(1,3]C . [1,2)-D .(1,2)- 【答案】C考点:集合交集.【易错点晴】集合的三要素是:确定性、互异性和无序性.研究一个集合,我们首先要看清楚它的研究对象,是实数还是点的坐标还是其它的一些元素,这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式,我们首先用十字相乘法分解因式,求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中,要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系,集合与集合间有包含关系.2.已知2016z =(i 是虚数单位),则z 等于( ) A .-1 B .1 C .0 D .i 【答案】B 【解析】试题分析:()22,1i i =--=,即504201641⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.考点:复数概念及运算.3.设变量,x y 满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩,则1y x s x -=+的取值范围是( )A .3[1,]4B .1[,1]2C .1[,2]2D .1[,1]2-【答案】D 【解析】试题分析:画出可行域如下图所示,分别将,,A B C 三点坐标代入1y xs x -=+,可得最小值为12-,最大值为1.考点:线性规划.4.等比数列{}n a 中,182,4a a ==,函数128()()()()f x x x a x a x a =--- ,则'(0)f =( )A .62 B .92 C .122 D .152 【答案】C考点:等比数列的基本概念.5.已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π,且其图像向左平移3π个单位后得到函数()cos g x x ω=的图象,则函数()f x 的图象( ) A .关于直线12x π=对称 B .关于直线512x π=对称 C .关于点(,0)12π对称 D .关于点5(,0)12π对称 【答案】C 【解析】考点:三角函数图象与性质.6. 已知边长为ABCD 中,60BAD ∠=,沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120的四面体ABCD ,则四面体的外接球的表面积为( )A .25πB .26πC .27πD .28π 【答案】D 【解析】试题分析:如图所示,设两三角形外心分别为23,O O ,球心为O ,1120AO C ∠= ,故132,OO OO ==OC ==28π.考点:几何体外接球.7.执行如图所示的程序框图,若输出k的值为8,则判断框内可填入的条件是()A.11?12S≤ B.3?4S≤C.25?24S≤D.137?120S≤【答案】A考点:算法.8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .3D【答案】B 【解析】试题分析:由三视图可知,该几何体是由正三棱柱截取一部分所得,故体积为21122224V =⋅⋅⋅=考点:三视图.9.已知221)a ex dx π-=⎰,若2016220160122016(1)()ax b b x b x b x x R -=++++∈ ,则20161222016222b b b +++ 的值为( ) A .0 B .-1 C .1 D .e 【答案】B 【解析】试题分析:()2222-211111)422a ex dx ex dx πππππ-==-=⋅⋅=⎰⎰⎰.即2016(12)x -.令0x =,得01b =,令12x =,得20161222016011222b b b +++=-=- . 考点:定积分.10.一个不透明的袋子装有4个完全相同的小球,球上分别标有数字为0,1,2,2,现甲从中摸出一个球后便放回,乙再从中摸出一个球,若摸出的球上数字大即获胜(若数字相同则为平局),则在甲获胜的条件下,乙摸1号球的概率为( ) A .516 B .916 C .15D .25【答案】D考点:1.古典概型;2.条件概型.11.已知直线980x y --=与曲线32:3C y x px x =-+相交于,A B ,且曲线C 在,A B 处的切线平行,则实数p 的值为( )A .4B .4或-3C .-3或-1D .-3 【答案】B 【解析】试题分析:'2323y x px =-+,设()()1122,,,A x y B x y ,切线平行,即斜率相等,即可令221122323323x px x px m -+=-+=,12,x x 是方程23230x px m -+-=的两个根,则1223x x p +=,下证线段AB的中点在曲线C上,因为32323111222332227x px x x px x p p -++-+=-,而3231212122322227x x x x x x p p p +++⎛⎫⎛⎫-+⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以线段AB 的中点在曲线C 上,由1223x x p +=知,线段的中点为111,8393p p ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以381292727p p p -+=-,解得1,3,4p =--,经验证,1p =-时,不符合题意,故选B.考点:导数与切线.【思路点晴】本题考察利用导数研究曲线上某点的切线方程,求解该题的关键是利用AB 中点的坐标相等,关键是证明AB 中点在曲线C 上.求函数切线的步骤如下:第一先求函数的导数,然后求出在该点的导数,接着求出切点,然后利用点斜式()()()'000y f x f x x x -=-,即可得到切线方程.读题时要注意是“在某点的切线”,还是“过某点的切线”. 12.数列{}n a 满足143a =,*11(1)()n n n a a a n N +-=-∈且12111n nS a a a =+++ ,则n S 的整数部分的所有可能值构成的集合是( )A .{0,1,2}B .{0,1,2,3}C .{1,2}D .{0,2} 【答案】A 考点:数列.【思路点晴】这个是递推数列求通项的问题,首先由11(1)n n n a a a +-=-两边取倒数,得111111n n n a a a +-=--,累加得1111113111n n n S a a a ++=-=----,然后通过列举123413133,,3981a a a ===,和211(1)0,n n n n n a a a a a ++-=-≥≥,n a 为单调递增数列,判断出可以取0,1,由于11331n n S a +=-<-,故不能取3,根据选项可有A 正确.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题,每题5分,满分20分.) 13.已知03sin m xdx π=⎰,则二项式(23)m a b c +-的展开式中23m ab c -的系数为 .【答案】6480-考点:二项式定理.14.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足350,5S S ==,数列21211{}n n a a -+的前2018项的和为 . 【答案】20164031- 【解析】 试题分析:111330,5105,1,1,2n a d a d a d a n +=+==-==-,()()2121112321n n a a n n -+=⋅-⋅- ()()11122321n n ⎡⎤=-⎢⎥--⎣⎦,故201611140322016124031*********S ⎛⎫=--=-⋅=- ⎪⎝⎭. 考点:裂项求和法.15.已知AD 是ABC ∆的中线,(,)AD AB AC R λμλμ=+∈ ,0120,2A AB AC ∠=∙=- ,则||AD的最小值是 .【答案】1 【解析】 试题分析:c o sA BACb c ⋅==-,4bc =,()()()222211142242AD AB AC c b bc ⎡⎤=+=+-≥-⎢⎥⎣⎦1=.考点:向量运算.【思路点晴】AD 是ABC ∆的中线,则1122AD AB AC =+,这个公式可以作为一个常用的结论记忆下来.利用两个向量数量积的概念,可将cos1202,4AB AC bc bc ⋅==-=,要求的是||AD的最小值,要能够运算,必须先对其进行平方,化为()()222211424AD AB AC c b ⎡⎤=+=+-⎢⎥⎣⎦,然后考虑基本不等式,有()()221142142c b bc +-≥-=,最后两边开方.16.已知函数1()3(3)ln f x mx m x x=--+,若对任意的(4,5)m ∈,12,[1,3]x x ∈,恒有12(ln3)3ln3|()()|a m f x f x -->-成立,则实数a 的取值范围是 .【答案】37,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭考点:函数导数.【思路点晴】恒成立问题主要解题思路是划归与转化的思想.本题中,任意的(4,5)m ∈,12,[1,3]x x ∈,恒有12(ln3)3ln3|()()|a m f x f x -->-成立,等价于()()max min (ln3)3ln3a m f x f x -->-.经过划归之后,问题就转化为求函数()f x 的最大值和最小值问题,可以通过导数来解决.在问题的最后,还需要用分离常数的方法来计算.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分12分)已知ABC ∆中,(01)BD BC λλ=<< ,3cos 5C =,cos 10ADC ∠=.(1)若5,7AC BC ==,求AB 的大小; (2)若7,10AC BD ==,求ABC ∆的面积.【答案】(1)(2)42.考点:解三角形. 18.(本小题满分12分)长郡中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查,如下表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟)将学生日均课外体育运动时间在[40,60)上的学生评价为“课外体育达标”.(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面22 列联表,并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关?(2)将上述调查所得到的频率视为概率,现在从该校高三学生中,抽取3名学生,记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为X,若每次抽取的结果是相互独立的,求X的数学期望和方差.参考公式:22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++,其中n a b c d=+++.参考数据:【答案】(1)列联表见解析,不能;在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关;(2)13()344E X=⨯=,139()34416D X=⨯⨯=.【解析】试题分析:(1)计算22200(60203090)2006.060 6.635150509011033K⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯,故所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关;(2)X为二项分布,且X~1(3,)4B,故13()344E X=⨯=,139()34416D X=⨯⨯=.试题解析:(1)22200(60203090)2006.060 6.635150509011033K⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关. (2)由表中数据可得,抽到“课外体育达标”学生的频率为0.25,将频率视为概率,∴X~1 (3,)4 B,∴13()344E X=⨯=,139()34416D X=⨯⨯=.考点:1.独立性检验;2.二项分布.19.(本小题满分12分)在四棱锥P ABCD -中,设底面ABCD 是边长为1的正方形,PA ⊥面ABCD . (1)求证:PC BD ⊥;(2)过BD 且与直线PC 垂直的平面与PC 交于点E ,当三棱锥E BCD -的体积最大时,求二面角E BD C --的大小.【答案】(1)证明见解析;(2)4π.(2)设PA x =,三棱锥E BCD -的底面积为定值,求得它的高22xh x =+,考点:空间向量与立体几何. 20.(本小题满分12分)已知点C 为圆22(1)8x y ++=的圆心,P 是圆上的动点,点Q 在圆的半径CP 上,且有点(1,0)A 和AP上的点M ,满足0MQ AP ∙=, 2AP AM = .(1)当点P 在圆上运动时,求点Q 的轨迹方程;(2)若斜率为k 的直线l 与圆221x y +=相切,直线l 与(1)中所求点Q 的轨迹交于不同的两点F ,H ,O 是坐标原点,且3445OF OH ≤∙≤时,求k 的取值范围.【答案】(1)2212x y +=;(2||2k ≤≤. 【解析】试题分析:(1)由题意知:MQ 中线段AP 的垂直平分线,所以||||||||||||2CP QC QP QC QA CA =+=+=>=,所以点Q 的轨迹是以点,C A 为焦点,焦距为2,长轴为Q 的轨迹方程是2212x y +=;(2)设出直线方程,联立直线方程和椭圆方程,写出根与系数关系,代入求得22112k OF OH k +⋅=+ ,22231411412532k k k +≤≤⇔≤≤+,||32k ≤≤.||3223k k ⇒≤≤⇒-≤≤-或32k ≤≤为所求. 考点:直线与圆锥曲线位置关系.【方法点晴】解析几何解答题一般为试卷两个压轴题之一,“多考想,少考算”,但不是“不计算”.常用的解析几何题目中的简化运算的技巧有:利用圆锥曲线的概念简化运算,条件等价转化简化运算,用形助数简化运算,设而不求简化运算.圆锥曲线题目运算量较大时,要合理利用圆锥曲线的几何特征将所求的问题代数化. 21.(本小题满分12分) 已知函数ln ()(0)1x xf x a a x =-<-. (1)当(0,1)x ∈时,求()f x 的单调性;(2)若2()()()h x x x f x =-,且方程()h x m =有两个不相等的实数根12,x x ,求证:121x x +>.【答案】(1)()f x 在(0,1)上单调递增;(2)证明见解析.试题解析: (1)'21ln ()(1)x x f x x --=-,设()1ln g x x x =--,则'1()1g x x =-, ∴当(0,1)x ∈时,'()0g x <,∴()(1)0g x g >=,∴'()0f x >,∴()f x 在(0,1)上单调递增.(2)22()ln (0)h x x x ax ax a =-+<,∴'()2ln 2h x x x x ax a =+-+, ∴''()2ln 23h x x a =-+,∴''()h x 在(0,)+∞上单调递增,考点:函数导数.【方法点晴】极点偏移是16年全国乙卷压轴题考核的内容.本题就是基于极点偏移来命制的.极点偏移题目在10年天津卷第一次出现,当时题目是已知()xf x xe =,如果12x x ≠,且()()12f x f x =,求证122x x +>.16年全国乙卷压轴题正是由这个题改编而成.在求解此类问题中,主要利用极值点,和单调性来完成,对运算能力有较高的要求.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,四边形ABCD 外接于圆,AC 是圆周角BAD ∠的角平分线,过点C 的切线与AD 延长线交于点E ,AC 交BD 于点F .(1)求证://BD CE ;(2)若AB 是圆的直径,4,1AB DE ==,求AD 的长.【答案】(1)证明见解析;(2)2.(2)由(1)知,ECD BAC ∠=∠,CED ADB ∠=∠,∵AB 是圆的直径,∴90ACB ADB ∠=∠=,∴90CED ACB ∠=∠=, ∴Rt CED ∆~Rt ACB ∆,∴DE DCBC BA=. ∵EAC DBC ∠=∠,由(1)知,EAC BDC ∠=∠,∴DBC BDC ∠=∠,∴DC BC =,∴DE DC BC BC BA AB==,则24BC AB DE =∙=,∴2BC =. ∴在Rt ABC ∆中,12BC AB =,∴30BAC ∠= ,∴60BAD ∠=,∴在Rt ABD ∆中,30ABD ∠=,所以122AD AB ==.考点:几何证明选讲.23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点P 的直角坐标为(1,2),点M的极坐标为(3,)2π,若直线l 过点P ,且倾斜角为6π,圆C 以M 为圆心,3为半径. (1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程; (2)设直线l 与圆C 相交于,A B 两点,求||||PA PB .【答案】(1)直线l的参数方程为12122x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),圆的极坐标方程为6sin ρθ=;(2)7.考点:坐标系与参数方程.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲(1)设函数5()||||,2f x x x a x R =-+-∈,若关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立,求实数a 的最大 值;(2)已知正数,,x y z 满足231x y z ++=,求321x y z++的最小值.【答案】(1)54;(2)16+考点:不等式选讲.。
2017-2018长郡中学高三理科数学期末试卷
炎德·英才大联考长郡中学2018届高三期末试卷数学(理科)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数12z i =-,2()z m i m R =+∈,若动12z z ⋅为纯虚数,则12z z ⋅=( ) A .52i B . 52C . 2i -D .-2 2. 下列判断正确的是( )A .若命题p 为真命题,命题q 为假命题,则命题“p 且q ”为真命题B .命题“若0xy =,则0x =”的否命题为“若0xy =.则0x ≠”C .“1sin 2α=”是“6πα=”的充分不必要条件 D .命题“对任意x R ∈,20x >成立”的否定是“存在0x R ∈.使020x ≤成立”3. 等差数列{}n a 有两项m a 和()k a m k ≠,满足1m a k =,1k a m=,则该数列前mk 项之和为( ) A .12mk - B .2mk C . 12mk + D . 12mk +4. 一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .403 B .803C. 40 D .80 5. 在OAB ∆中,OA a =,OB b =,OD 是AB 边上的高,若AD AB λ=,则实数λ等于( ) A .2()a b a a b⋅-- B .2()a a b a b⋅-- C.()a b a a b ⋅-- D .()a ab a b⋅--6. 若152a -=,125b -=,1cos 220c xdx π=⎰,则实数a ,b ,c 的大小关系是( )A .a b c <<B .b a c << C. c b a << D .b c a << 7. 已知函数()sin 2cos 2(,)f x a x b x a b R =+∈的图象过点(,2)12π,且点(,)6π-0是其对称中心,将函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()y g x =的图象,则函数()g x 的解析式为( ) A .()2sin 2g x x = B .()2cos 2g x x = C.()2sin(2)6g x x π=+D .()2sin(2)6g x x π=-8. 执行如图所示的程序框图,输出S 的值为( ) A .1939 B .2143C. 2245 D .20419. 已知以原点为中心,实轴在x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为34y x =,焦点到渐近线的距离为6,则此双曲线的标准方程为( )A .221169x y -=B . 221916x y -= C. 2216436x y -= D .2213664x y -= 10. 求形如()()g x y f x =的函数的导数,我们常采用以下做法:先两边同取自然对数得:ln ()ln ()y g x f x =,再两边同时求导得11()ln ()()()()y g x f x g x f x y f x '''=+,于是得到:()1()()ln ()()()()g x y f x g x f x g x f x f x ⎡⎤'''=+⎢⎥⎣⎦,运用此方法求得函数1x y x =的一个单调递增区间是( )A .(,4)eB .(36), C. (0)e , D .(2),311. 已知递减的等比数列{}n a ,各项均为正数,且满足123123269111132a a a a a a ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩,则数列{}n a 的公比q 的值为( )A .12 B .13 C. 23 D .3412. 设点P 在曲线112x y e =⋅+上,点Q 在曲线ln(22)y x =-上,则PQ 的最小值为( )A .2ln 2- Bln 2)- C. 2+ln2 Dln 2)第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中对应题号的横线上.13.)(0)n a a x>展开式中,若第三项中228x ,则此展开式中的第六项为 . 14. 使关于x 的不等式1x k x ++<;有解的实数k 的取值范围是 .15. 已如1F ,2F 是双曲线221:13y C x -=与椭圆2C 的公共集点,点A 是1C ,2C 在第一象限的公共点,若121F F F A =,则2C 的离心率是 .16. 已知两个正数a ,b ,可按规则c ab a b =++扩充为一个新数c ,在,,a b c 三数中取两个较大的数,按上规则扩充得到一个新数,依次下去,将每扩充一次得到一个数称为一次操作.若0p q >>,经过6次操作后扩充所得的数为(1)(1)1mnq p ++-(m ,n 为正整数),则m n +的值为 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为,,,a b c 且sin cos 0a B b A -=. (Ⅰ)求角A 的大小:(Ⅱ)若a =2b =.求ABC ∆的面积.18. 为振兴旅游业,香港计划向内陆地区发行总量为2000万张的紫荆卡,其中向内陆人士(广东户籍除外)发行的是紫荆金卡(简称金卡),向广东籍人士发行的是紫荆银卡(简称银卡).某旅游公司组织了一个有36名内陆游客的旅游团到香港名胜旅游,其中34是非广东籍内陆游客,其余是广东籍游客.在非广东新游客中有13持金卡,在广东籍游客中有23持银卡. (Ⅰ)在该团中随机采访3名游客,求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率;(Ⅱ)在该团的广东籍游客中随机采访3名游客,设其中持银卡人数为随机变量ξ,求ξ的分布列及数学期望E ξ.19. 如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形,//AD CB ,90ADC ∠=︒,平面PAD ⊥底面ABCD ,Q 为AD 的中点,M 是棱PC 上的点,2PA PD ==,112BC AD ==,CD =(Ⅰ)求证:平面PQB ⊥平面PAD ; (Ⅱ)若异面直线AP 与BMPMPC的值.20. 已知椭圆:22210259tan 2(tan 1)2x y a a a π⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭+,当椭圆形状最圆时为椭圆C.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设过椭圆C 左焦点的两条弦MN 、PQ 斜率分别为1k 、2k ,当121k k =时,是否存在1t ≥使11t MN PQ+=成立,若存在,求出满足条件的t ;若不存在,请说明理由.21. 关于x 的函数2()ln af x x ax x=+-. (Ⅰ)若()f x 为单调函数,试求实数a 的取值范围; (Ⅱ)讨论()f x 的零点个数.请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈,曲线C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数). (Ⅰ)写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程:(Ⅱ)过点M 平行于直线l 的直线与曲线C 交于A 、B 两点,若3MA MB ⋅=,求点M 轨迹的直角坐标方程.23.选修4-5:不等式选讲已知函数()223f x x a x =-++,()12g x x =-+. (Ⅰ)解不等式()5g x <;(Ⅱ)若对任意的1x R ∈,都有2x R ∈,使得12()()f x g x =成立,求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: ADCAB 6-10: DADCC 11、12:BB 二、填空题 13.356x 14. (,1)-∞- 15. 23 16.21 三、解答题17. (Ⅰ)在ABC ∆中,由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A -=. 即sin (sin cos )0B A A -=, 又角B 为三角形内角,sin 0B ≠所以sin cos 0A A -=04A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,又因为(0,)A π∈,所以4A π=.(Ⅱ)方法一:在ABC ∆中,由余弦定理得:2222cos a b c bc A =+-⋅,则220442c c ⎛⎫=+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭.即2160c -=.解得c =-c =又1sin 2S bc A =,所以12422S =⨯⨯=.方法二:∵a =2b =,由(Ⅰ)知4A π=,∴由sin sin a bA B=得2sin sin b A B a ===,∵sin sin B A =<=,∴B为锐角,∴cos B =,∴3sin sin sin )4C B B B π⎛⎫=-=+== ⎪⎝⎭∴11sin 2422ABC S ab C ∆==⋅=18.(Ⅰ)由题意得,非广东籍游客有27人,其中9人持金卡:广东籍游客有9人,其中6人持银卡,设事件B 为“采访该团3人中,恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”, 事件1A 为“采访该团3人中,1人持金卡,0人持银卡”, 事件2A 为“采访该团3人中,1人持金卡,1人持银卡”.1211192196211233363692736()()+()3417085C C C C C P B P A P A C C ==+=+=, 所以在该团中随机来访3人,恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是3685. (Ⅱ)ξ的可能取值为0,1,2,3.33391(0)84C P C ξ===,1263393(1)14C C P C ξ===, 21633915(2)28C C P C ξ===,36395(3)21C P C ξ===, 所以ξ的分布列为所以()0123284142821E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.注:所以即为作答,否则扣1分. 19.(Ⅰ)证明:∵//AD BC ,12BC AD =,Q 为AD 的中点, ∴四边形BCDQ 为平行四边形,∴//CD BQ . ∵90ADC ∠=︒,∴90AQB ∠=︒,即QB AD ⊥. 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ,且平面PAD 平面ABCD AD =.∵BQ ⊥平面PAD .∵BQ ⊂平面PQB ,∴平面PQB ⊥平面PAD . (Ⅱ)∵PA PD =,Q 为AD 的中点,∴PQ AD ⊥. ∵平面PAD ⊥平面ABCD ,且平面PAD 平面ABCD AD =.∴PQ ⊥平面ABCD .如图,以Q 为原点建立空间直角坐标系,则(0,0,0)Q ,(1,0,0)A,(0,0,P,(0,0)B,(1,0)C -,设000(,,)M x y z ,∴(1,0AP =-,(1,PC =-,000(,,,PM x y z =. 由M 是PC 上的点,设(01)PM tPC t =≤≤,化简得(,M t --+. 设异面直线AP 与BM 所成角为θ,则cos cos ,7AP BM AP BMAP BMθ⋅====12t =或1114,故12PM PC =或1114. 注:若只算出一个答案,扣1分;算出两个t 值即得满分.20.(Ⅰ)∵2225259272(tan 1)9tan tan 0222525a αα⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭,∴225(tan 1)9tan 2aa +>. ∴45c e a ====≥, 当且仅当tan 1a =时等号成立,此时椭圆形状最圆,故椭圆C 的方程为221259x y +=. (Ⅱ)由题设知,1(4,0)F -,则1:(4)MN y k x =+,2:(4)PQ y k x =+,将MN 与C 的方程联立消y 得:2222111(259)2004002550k x k x k +++-=.“*”设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则1x 、2x 是“*”的两根,则211221211221200259400225259kx xkkx x⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩.则MN====212190(1)259kk+=+.同理:222290(1)259kPQk+=+.∵121k k=,∴22122212111190(1)90(1)259259k kMN PQk k+=+++++222222222 1212211212 222222212121112 259259(259)(1)(259)(1)18343450() 90(1)90(1)90(1)(1)901() k k k k k k k k k k k k k k k k k k++++++++++=+==+++++⎡⎤+++⎣⎦2212221268343490(2)k kk k++=++[)2212221234(2)171,90(2)45k kk k++==∉+∞++.∴不存在满足题设条件的t使题设成立.21.(Ⅰ)()f x的定义域为(0)+∞,,32212()2a ax x af x axx x x-+-'=--=①0a≤时,()0f x'>恒成立,故()f x为单调递增函数.②0a>时,令3()2(0)g x ax x a x=-+->,2()616g x ax a x x⎛'=-+=-⎝.当0x <<时,()0g x '>, 当x >()0g x '<. ∴()g x 在0⎛⎝上单调递增,在+⎫∞⎪⎭上单调递减. ∴x =()g x 的极大值点,也是(0)∞,+上的最大值点.若20g a =--≤,得3a ≥∴a ≥时,()0g x ≤,则()0f x '≤,∴()f x 在(0)+∞,上单调递减. 综上,若()f x 为单调函数,实数a 的取值范围是(]32,0+3⎡⎫-∞∞⎪⎢⎪⎣⎭,. 若使用变量分离法,参照标准给分.(Ⅱ)由题设知,(1)0f =,①由(Ⅰ)知,0a ≤或3a ≥时,()f x 单调,故()f x 只一个零点. ②若()0f x '=得(1)310g a =-+=得13a =,则33211111()(231)(1)333322g x x x x x x x x ⎛⎫⎛-+=-+-=--+=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当102x -+<<或1x >时()0g x <,即()0f x '<,1x <<时()0g x >.即()0f x '>.()f x 在0⎛ ⎝⎭和(1)+∞,上单调递减,在1⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增,∴()f x 的极小值点x =1x =.又1(1)02f f ⎛⎫-<= ⎪ ⎪⎝⎭, 根据函数的增长速度,0x →时()+f x →∞,x →+∞时()f x →-∞,∴()f x有两个零点,一个在区间102⎛-+ ⎝⎭,,另一个为1x =. ③103a <<或13a <<时,有0g >. 又()g x在0⎛⎝上单调递增,在+⎫∞⎪⎭上单调递减, 且(0)0g a =-<,x →+∞时3()2g x ax x a =-+-→-∞,故必存在不为1的1x ,2x ,使得12()()0g x g x ==,故12(0,)(,+)x x x ∈∞时,()0g x <,则()0f x '<;12(,)x x x ∈时,()0g x >,则()0f x '>.∴()f x 在1(0)x ,和2(,+)x ∞上单调递减,在12(,)x x 上单调递增. )1103a <<时,(1)310g a =-+>,故1201x x <<<,由12()(1)0()f x f f x <=<及0x →时()+f x →∞,x →+∞时()f x →-∞知,()f x 有三个零点.)1233a <<时, ∵23222211()101a e ae a e a e a f a e e e e e-+---⎛⎫=-+-⋅==< ⎪⎝⎭. 1(1)313103g a =-+<-⨯+=,即(1)0f '<, ∴必有1201x x <<<且1()0f x <,2()(1)0f x f >=.又0x →时()+f x →∞,x →+∞时()f x →-∞,故()f x 有三个零点.综上,0a ≤或3a ≥等时,()f x 只一个零点;13a =时,()f x 有两个零点;103a <<或13a <<时,()f x 有三个零点. 请考生在(22)、(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(Ⅰ)直线l 的极坐标方程为4πθ=,所以直线斜率为1,直线:l y x =. 曲线C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数),消去参数θ,可得曲线22:1C x y +=. (Ⅱ)设点00(,)M x y 及过点M的直线为010:2x x L y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).由直线1L 与曲线C 相交可得:2220000)10t x y t x y +++-=. 因为3MA MB ⋅=,所以220013x y +-=,即:22004x y +=. 222222201y x m x mx m x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩,由0m ∆>⇒<<.故点M 的轨迹的直角坐标方程为:224x y +=(夹在两直线y x =±之间的两段圆弧).23.(Ⅰ)由125x -+<,得5125x -<-+<, ∴713x -<-<,得不等式的解为24x -<<(2)因为任意1x R ∈,都有2x R ∈,使得12()()f x g x =成立, 所以{}{}()()y y f x y y g x =⊆=, 又()()()2232233f x x a x x a x a =-++≥--+=+, ()122g x x =-+≥,所以32a +≥,解得1a ≥-或5a ≤-,所以实数a 的取值范围为1a ≥-或5a ≤-.。
2017-2018学年湖南省长沙市高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年湖南省长沙市高三(上)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知复数,则下列结论正确的是()A.z的虚部为i B.|z|=2C.z2为纯虚数D.z的共轭复数2.(5分)已知命题p:∃x0>0,x0+a﹣1=0,若p为假命题,则a的取值范围是()A.(﹣∞,1)B.(﹣∞,1]C.(1,+∞)D.[1,+∞)3.(5分)已知18x=2y=3,则=()A.1B.2C.﹣1D.﹣24.(5分)在△AOB中,OA=OB=1,OA⊥OB,点C在AB边上,且AB=4AC,则=()A.B.C.D.5.(5分)已知某二棱锥的三视图如图所示,其中俯视图由直角三角形和斜边上的中线组成,则该几何体的外接球的体积为()A.B.C.4πD.12π6.(5分)已知,且2sin2α<0,则的值为()A.7B.﹣7C.D.7.(5分)若正整数N除以正整数m后的余数为r,则记为N=r(modm),例如10=2(mod4).下列程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的“中国剩余定理”,则执行该程序框图输出的i等于()A.3B.9C.27D.818.(5分)设函数,已知f(x)的最小正周期为4π,且当时,f(x)取得最大值.将函数f(x)的图象向左平移个单位得函数g(x)的图象,则下列结论正确的是()A.g(x)是奇函数,且在[0,2π]内单调递增B.g(x)是奇函数,且在[0,2π]内单调递减C.g(x)是偶函数,且在[0,2π]内单调递增D.g(x)是偶函数,且在[0,2π]内单调递减9.(5分)如图,有一直角墙角BA和BC,两边的长度足够长.拟在点P处栽一棵桂花树,使之与两墙的距离分别为a(0<a<12)和4(单位:m),同时用16米长的篱笆,利用墙角围成一个矩形护栏ABCD,使得P处的桂花树围在护栏内(包括边界).设矩形ABCD 的面积为S(m2),S的最大值为f(a),则函数y=f(a)的大致图象是()A.B.C.D.10.(5分)已知双曲线C:(a>0,b>0),点A,B在双曲线C的左支上,0为坐标原点,直线B0与双曲线C的右支交于点M.若直线AB的斜率为3,直线AM的斜率为1,则双曲线C的离心率为()A.B.2C.3D.411.(5分)已知直线l经过不等式组表示的平面区域,且与圆O:x2+y2=25相交于A,B两点,则当|AB|最短时,直线l的方程是()A.2x+y﹣10=0B.2x﹣y﹣6=0C.x+2y﹣8=0D.2x+y﹣8=0 12.(5分)将正整数n表示为,其中a1=1,当0≤i ≤k﹣1时,a1为0或1.记k(n)为上述表示式中a1为0的个数(例如),则k(3×210)+k (218﹣3)=()A.9B.10C.11D.12二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上.13.(5分)在8的展开式中x3的系数是.14.(5分)某种活性细胞的存活率y(%)与存放温度x(℃)之间具有线性相关关系,样本数据如表所示:经计算得回归直线的斜率为﹣3.2.若存放温度为6℃,则这种细胞存活率的预报值为%.15.(5分)如图,在△ABC中,D为BC边上一点,已知AB=6,AD=5,CD=1,B=30°,∠ADB为锐角,则AC边的长为.16.(5分)过抛物线x2=8y的焦点F作倾斜角为锐角的直线l,与抛物线相交于A,B两点,M为线段AB的中点,O为坐标原点,则直线OM的斜率的取值范围是.三、解答题:本大题共7个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)设数列{a n}的各项均为正数,其前n项和为S n,已知a1=1,4S n=a2n+1﹣4n ﹣1(n∈N*).(I)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设与,数列{b n}的前n项和为T n,求使T n>成立的正整数n的最小值.18.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,P A⊥底面ABCD,AB=,AD=,AP=2,∠ABC=60°.(I)证明:平面PCA⊥平面PCD;(Ⅱ)设E为侧棱PD上一点,若直线CE分别与平面ABCD、平面PBC所成的角相等,求的值.19.(12分)某科研所共有30位科研员,其中60%的人爱好体育锻炼.经体检调查,这30位科研员的健康指数(百分制)如下茎叶图所示.体检评价标准指出:健康指数不低于70者为身体状况好,健康指数低于70者为身体状况一般.(I)根据以上资料完成下面的2×2列联表,并判断有多大把握认为“身体状况好与爱好体育锻炼有关系”?(Ⅱ)现将30位科研员的健康指数分为如下5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100),其频率分布直方图如图所示.计算该所科研员健康指数的平均数,由茎叶图得到的真实值记为,由频率分布直方图得到的估计值记为(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),求与的误差值;(Ⅲ)从该科研所健康指数高于90的5人中随机选取2人介绍养生之道,求这2人中爱好体育锻炼的人数的分布列和数学期望.附:K2=.30位科研员健康指数的和x i=2288.20.(12分)已知椭圆C的两焦点分别为F1(,0),F2(,0),点E在椭圆C 上,且∠F1EF2=60°,.(I)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)过x轴正半轴上一点M作直线l,交椭圆C于AB两点.问:是否存在定点M,使当直线l绕点M任意转动时,为定值?若存在,求出定点M的坐标;若不存在,说明理由.21.(12分)已知函数,其中“a>0为常数.(I)若f(x)在区间(0,3]内单调递减,求a的取值范围;(Ⅱ)若f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点x0,记[x0]表示不超过x0的最大整数,求[x0]的值.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为(θ为参数).(Ⅰ)以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线C的极坐标方程;(Ⅱ)设A、B为曲线C上两动点,且OA丄OB,求|AB|的取值范围.[选修4-5:不等式选讲]23.设函数f(x)=|x+3|+|x﹣2|的最小值为m.(Ⅰ)求不等式|2x﹣1|+x<m的解集;(Ⅱ)已知|a|<,|b|<,证明:|4ab﹣1|>2|a﹣b|.2017-2018学年湖南省长沙市高三(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【解答】解:∵=,∴z的虚部为1,|z|=,z2=2i为纯虚数,,∴正确的结论是C.故选:C.2.【解答】解:∵p为假命题,∴¬p为真命题,即:∀x>0,x+a﹣1≠0,即x≠1﹣a,∴1﹣a≤0,则a≥1.∴a的取值范围是[1,+∞).故选:D.3.【解答】解:∵18x=2y=3,∴x=log183,y=log23,∴=log318,=log32,∴﹣﹣=log318﹣log32=log39=2,故选:B.4.【解答】解:法一:∵OA=OB=1,OA⊥OB,∴AB=,∠OAB=45°∴<>=135°,∵C在AB边上,且AB=4AC,∴AC=,则=()===法二:由已知可设=(1,0),=(0,1),则==4,∴==(),∴=﹣=.故选:A.5.【解答】解:由已知可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥P﹣ABC,顶点P在底面ABC内的射影O是BC的中点,且AB=2,AC=2,OP=M因为AB⊥AC则BC==,设其外接球半径为R,球心为:O,R=故此三棱锥的外接球的体积为:V=πR3=4π,故选:A.6.【解答】解:∵已知=﹣sinα,∴sinα=﹣,∵2sin2α=2sinαcosα<0,∴cosα>0,∴cosα==,tanα==﹣,则==,故选:D.7.【解答】解:模拟程序的运行,可得N=11,i=1i=3,N=14满足条件“N=2(mod 3)“,不满足条件“N=1(mod 7)“,i=9,N=23,满足条件“N=2(mod 3)“,不满足条件“N=1(mod 7)”,i=27,N=50满足条件“N=2(mod 3)“,满足条件“N=1(mod 7)“,退出循环,输出i的值为27.故选:C.8.【解答】解:∵函数,已知f(x)的最小正周期为=4π,∴ω=.∵当时,f(x)取得最大值,∴×+φ=,∴φ=,∴f(x)=sin(+).将函数f(x)的图象向左平移个单位得函数g(x)=f(x+)=sin(+)=cos的图象,故g(x)是偶函数,且在[0,2π]内单调递减,故选:D.9.【解答】解:由题意,设AD=x,可得CD=16﹣x,则,可得a≤a≤12,那么S=x(16﹣x)=﹣(x﹣8)2+64,当0<a≤8时,f(a)=S(8)=64;当8<a<12时,f(a)=S(a)=a(16﹣a);由此判断函数y=f(a)的大致图象是D.故选:D.10.【解答】解:设点A(x1,y1),B(x2,y2),据题意,点B,M关于坐标原点对称,则点M(﹣x2,﹣y2),由已知,k AB==3,k AM==1,两式相乘,得=3,因为点A,B在双曲线上,则,,两式相减,得,即,所以=3,则e2=4,所以e=2,故选:B.11.【解答】解:不等式组表示的区域如图阴影部分,其中AB的中点为P,则AP⊥OP,所以|OP|最长时,AB最小,因为最小l经过可行域;由图形可知点点P为直线x﹣y﹣2=0与y﹣2=0的交点(4,2)时,|OP|最长,因为k OP=,则直线l的方程为:y﹣2=﹣2(x﹣4),即2x+y﹣10=0.故选:A.12.【解答】解:因为3×2n=2n+1+2n=2n+1+2n+0×2n﹣1+0×2n﹣2+…+0×20,则k×(3×2n)=n,所以k×(3×2n)=10,因为2n﹣3=2n﹣4+1==2n﹣1+2n﹣2+…+23+22+0×21+20,则k(2n﹣3)=1,所以k(218﹣3)=1,即k(3×210)+k(218﹣3)=11,故选:C.二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上.13.【解答】解:由于8的通项公式为T r+1=•28﹣r•x4﹣r,令4﹣r=3,求得r=1,可得展开式中x3的系数为•27=1024,故答案为:1024.14.【解答】解:由题意,设回归方程为=﹣3.2+a,由表中数据可得:=1,=50;带入回归方程可得a=53.2.当x=6时,可得y=﹣3.2×6+53.2=34故答案为:3415.【解答】解:在△ABD中,由正弦定理可得:==10,则:sin∠ADB=,因为:∠ADB为锐角,则cos∠ADB=,在△ACD中,由余弦定理可得:AC2=25+1﹣2×5×1×(﹣)=18,解得:AC=.故答案为:.16.【解答】解:抛物线x2=8y的焦点F(0,2),由题意设直线l的斜率为k,则k>0,直线方程为y=kx+2,与抛物线x2=8y联立,可得x2﹣8kx﹣16=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),可得x1+x2=8k,M为线段AB的中点,O为坐标原点,可得M的横坐标为=4k,纵坐标为4k2+2,则直线OM的斜率为:=k+≥2=当且仅当k=,即k=±等号成立.直线OM的斜率的取值范围是[,+∞).故答案为:[,+∞).三、解答题:本大题共7个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.【解答】解:(Ⅰ)数列{a n}的各项均为正数,其前n项和为S n,已知a1=1,4S n=a2n+1﹣4n﹣1①,当n≥2时,4S n﹣1=a2n﹣4(n﹣1)﹣1②①﹣②整理得:a n+1﹣a n=2,所以:数列{a n}是以a1=1为首项,2为公差的等差数列.解得:a n=2n﹣1.(Ⅱ)=,则①,②,①﹣②得:,解得:T n=.由于T n=>,解得:2n>60,故n的最小值为6.18.【解答】证明:(Ⅰ)连结AC,∵AB=1,BC=2,∠ABC=60°,∴AC==3,∴CD2+AC2=AD2,∴CD⊥AC,即CD⊥平面P AC,∴CD⊂平面PCD,∴平面PCA⊥平面PCD;解:(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系,则P(0,0,2),B(,0,0),C(0,3,0),,,设为平面PBC的法向量,则,⇒.设,则.∴==(﹣,3λ﹣3,2﹣2λ),∵P A⊥底面ABCD,则=(0,0,2)是面ABCD的法向量.∵直线CE分别与平面ABCD、平面PBC所成的角相等,∴=,∵,,=5,=2,∴=|2﹣2λ|,解得,或(舍去).∴的值为..19.【解答】解:(I)根据题意填写2×2列联表如下,计算K2==10>7.879,所以有99.5%把握认为“身体状况好与爱好体育锻炼有关系”;(Ⅱ)由茎叶图知,各组数据的频数分别为3、7、7、8、5,则=55×+65×+75×+85×+95×=×(165+455+525+680+475)=,=x i=,∴﹣===0.4,∴与的误差值为0.4;(Ⅲ)设这2人中爱好体育锻炼的人数为ξ,则ξ的可能取值为0,1,2,其中P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,∴随机变量ξ的分布列为:数学期望为Eξ=0×+1×+2×=.20.【解答】解:(Ⅰ)在△F1EF2中,由余弦定理得|MF1|2+|MF2|2﹣2|MF1||MF2|cos60°=|F1F2|2,∴(|MF1|+|MF2|)2﹣3|MF1||MF2|cos60°=4,∴|MF1|MF2|=8,又|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=4,则4a2﹣24=48,∴a2=18,∵c=2,∴b2=a2﹣c2=6,∴椭圆C的标准方程为=1.(Ⅱ)设点M(m,0),(m>0),A(x1,y1),B(x2,y2),(1)当直线l与x轴不重合时,设l的方程为x=ty+m,代入椭圆方程,得:(ty+m)2+3y2=18,即(t2+3)y2+2tmy+m2﹣18=0,∴y1+y2=﹣,y1y2=,∴===()=•==•[()2﹣]=•[()2﹣]=•=,令=1,解得m2=9,即m=3,此时,=为定值.(2)当直线l与x轴重合时,点A(﹣3,0),B(3,0),M(3,0),则===为定值.综上,存在点M(3,0),使当直线l绕点M任意转动时,为定值.21.【解答】解:(Ⅰ)f′(x)=(x>0).∵f(x)在区间(0,3]内单调递减,则当x∈(0,3]时,f′(x)≤0恒成立.即x3﹣3ax﹣3≤0,∴a≥在(0,3]上恒成立.令y=,得y=在(0,3]内单调递增,当x=3时,.∴a的取值范围为[,+∞);(Ⅱ)设g(x)=x3﹣3ax﹣3(x≥0),则g′(x)=3x2﹣3a.∵a>0,由g′(x)<0,得0<x<,由g′(x)>0,得x>.∴g(x)在(0,)内单调递减,在(,+∞)内单调递增.∵g(0)=﹣3<0,g(a+2)=(a+2)3﹣3a(a+2)﹣3=a3+3a2+6a+5>0.∴g(x)在(0,+∞)内有唯一零点.设x=m为g(x)的零点,则当0<x<m时,g(x)<0,从而f′(x)<0;当x>m,g(x)>0,从而f′(x)>0.∴f(x)在(0,m)内单调递减,在(m,+∞)内单调递增.∵f(x)在(0,+∞)内仅有一个零点x0,由<0,得m>>1.又f(1)=>0,当x充分大时,f(x)>0,∴x0=m.由f(x0)=0,得,即.又g(x0)=g(m)=0,则,即,代入上式得:,即.设h(x)=(),则x0为函数h(x)的零点.∵2<e<3,则ln2<1,ln3>1,从而h(2)=,h(3)=<0.∵h(x)=在(,+∞)内单调递减,则x0∈(2,3),∴[x0]=2.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.【解答】解:(Ⅰ)∵曲线C的参数方程为(θ为参数).∴曲线C的参数方程消去参数θ,得曲线C的直角坐标方程为3x2+y2=1,∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴曲线C的极坐标方程为ρ2(3cos2θ+sin2θ)=1,即.(Ⅱ)∵OA⊥OB,在极坐标中,设A(ρ1,θ),B(ρ2,90°+θ),∴|AB|2=|OA|2+|OB|2====.∵0≤sin22θ≤1,∴∈[1,],∴|AB|∈[1,].[选修4-5:不等式选讲]23.【解答】解:(Ⅰ)|x+3|+|x﹣2|≥|(x+3)﹣(x﹣2)|=5,当(x+3)(x﹣2)≤2时取“=”,则f(x)的最小值是5,故m=5,由|2x﹣1|+x<5,得或,即﹣4<x<或≤x<2,即﹣4<x<2,故不等式的解集是(﹣4,2);(Ⅱ)证明:(4ab﹣1)2﹣4(a﹣b)2=4a2(4b2﹣1)﹣(4b2﹣1),=(4a2﹣1)(4b2﹣1),∵m=5,则|a|<,得a2<,即4a2<1,同理4b2<1,故(4a2﹣1)(4b2﹣1)>0,从而(4ab﹣1)2﹣4(a﹣b)2>0,∴|4ab﹣1|>2|a﹣b|.。
湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高三上学期第四次月考数学试卷(理科) Word版含解析
湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高三上学期第四次月考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)若复数是纯虚数(i是虚数单位),则a的值为()A.﹣2 B.2C.1D.﹣12.(5分)若S n是等差数列{a n}的前n项和,且S8﹣S3=10,则S11的值为()A.12 B.18 C.22 D.443.(5分)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.2π+2B.4π+2C.2π+D.4π+4.(5分)设若f(x)=,f(f(1))=1,则a的值是()A.﹣1 B.2C.1D.﹣25.(5分)已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.(5分)△ABC中,锐角A满足sin4A﹣cos4A≤sinA﹣cosA,则()A.0<A≤B.0<A≤C.≤A≤D.≤A≤7.(5分)斜率为的直线l与椭圆交与不同的两点,且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.8.(5分)已知等边△ABC中,点P在线段AB上,且=,若••,则实数λ的值为()A.2B.C.D.9.(5分)已知方程kx+3﹣2k=有两个不同的解,则实数k的取值范围是()A.B.C.D.10.(5分)考察正方体6个面的中心,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点种任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于()A.B.C.D.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11.(5分)的展开式中的常数项为.12.(5分)已知等比数列{a n}的公比为正数,且a5•a7=4a42,a2=1,则a1=.13.(5分)由l,2,3,4,5,6,7这七个数字构成的七位正整数中,有且仅有两个偶数相邻的个数是.14.(5分)存在x<0使得不等式x2<2﹣|x﹣t|成立,则实数t的取值范围是.15.(5分)已知圆O:x2+y2=1与x轴交于点A和B,在线段AB上取一点D(x,0),作DC⊥AB 与圆O的一个交点为C,若线段AD、BD、CD可作为一个锐角三角形的三边长,则x的取值范围为.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(12分)已知函数(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)当时,求的最大值和最小值.17.(12分)如图,在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=l,E是PD的中点.(1)求AB与平面AEC所成角的正弦值;(2)若点F在线段PD上,二面角E﹣AC﹣F所成的角为θ,且tan,求的值.18.(12分)已知定理:“若a,b为常数,g(x)满足g(a+x)+g(a﹣x)=2b,则函数y=g (x)的图象关于点(a,b)中心对称”.设函数,定义域为A.(1)试证明y=f(x)的图象关于点(a,﹣1)成中心对称;(2)当x∈时,求证:;(3)对于给定的x1∈A,设计构造过程:x2=f(x1),x3=f(x2),…,x n+1=f(x n).如果x i∈A (i=2,3,4…),构造过程将继续下去;如果x i∉A,构造过程将停止.若对任意x1∈A,构造过程都可以无限进行下去,求a的值.19.(13分)已知数列{a n}中,a1=1,且当x=时,函数f(x)=a n•x2+(2﹣n﹣a n+1)•x取得极值.(1)若b n=2n﹣1•a n,求数列{b n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n;(3)试证明:n>3(n∈N*)时,S n>.20.(13分)如图,已知两点A(﹣,0)、B(,0),△ABC的内切圆的圆心在直线x=2上移动.(Ⅰ)求点C的轨迹方程;(Ⅱ)过点M(2,0)作两条射线,分别交(Ⅰ)中所求轨迹于P、Q两点,且=0,求证:直线PQ必过定点.21.(13分)已知函数f(x)=a(x﹣)﹣2lnx(a∈R).(1)若a=2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)设函数g(x)=﹣.若至少存在一个x0∈,使得f(x0)>g(x0)成立,求实数a的取值范围.湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高三上学期第四次月考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)若复数是纯虚数(i是虚数单位),则a的值为()A.﹣2 B.2C.1D.﹣1考点:复数代数形式的乘除运算.专题:计算题.分析:由复数的运算,化简可得复数为,由纯虚数的定义可得答案.解答:解:∵==,因为为纯虚数,故2﹣a=0且a+2≠0,解得a=2,故选B点评:本题考查纯虚数的概念,涉及复数代数形式的乘除运算,属基础题.2.(5分)若S n是等差数列{a n}的前n项和,且S8﹣S3=10,则S11的值为()A.12 B.18 C.22 D.44考点:等差数列的前n项和.专题:计算题.分析:设公差为d,由S8﹣S3=10 可得a1+5d=2,代入S11=11a1+=11(a1+5d )运算求得结果.解答:解:设公差为d,由S8﹣S3=10 可得,8a1+﹣3a1﹣=10,故有a1+5d=2,∴S11=11a1+=11(a1+5d )=22,故选C.点评:本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用,求出a1+5d=2,是解题的关键,属于中档题.3.(5分)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.2π+2B.4π+2C.2π+D.4π+考点:由三视图求面积、体积.专题:立体几何.分析:由三视图及题设条件知,此几何体为一个上部是四棱锥,下部是圆柱其高已知,底面是半径为1的圆,故分别求出两个几何体的体积,再相加即得组合体的体积.解答:解:此几何体为一个上部是正四棱锥,下部是圆柱由于圆柱的底面半径为1,其高为2,故其体积为π×12×2=2π棱锥底面是对角线为2的正方形,故其边长为,其底面积为2,又母线长为2,故其高为由此知其体积为=故组合体的体积为2π+故选C点评:本题考点是由三视图求几何体的面积、体积,考查对三视图的理解与应用,主要考查三视图与实物图之间的关系,用三视图中的数据还原出实物图的数据,再根据相关的公式求表面积与体积,本题求的是组合体的体积,其方法是分部来求,再求总体积.三视图的投影规则是:“主视、俯视长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视宽相等”.三视图是2017-2018学年高考的新增考点,不时出现在2017-2018学年高考试题中,应予以重视.4.(5分)设若f(x)=,f(f(1))=1,则a的值是()A.﹣1 B.2C.1D.﹣2考点:定积分;分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值.专题:计算题.分析:求出f(1)的值,然后利用f(f(1))=1,通过积分求解a的值.解答:解:f(1)=lg1=0,又f(f(1))=1,所以0+=1,a3=1,解得a=1.故选C.点评:本题考查定积分,分段函数的解析式求法及其图象的作法,函数的值的求法,考查计算能力.5.(5分)已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点:必要条件;空间中直线与平面之间的位置关系.专题:空间位置关系与距离;简易逻辑.分析:判充要条件就是看谁能推出谁.由m⊥β,m为平面α内的一条直线,可得α⊥β;反之,α⊥β时,若m平行于α和β的交线,则m∥β,所以不一定能得到m⊥β.解答:解:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线,且m⊥β,则α⊥β,反之,α⊥β时,若m平行于α和β的交线,则m∥β,所以不一定能得到m⊥β,所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件.故选B.点评:本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题,属基本题.6.(5分)△ABC中,锐角A满足sin4A﹣cos4A≤sinA﹣cosA,则()A.0<A≤B.0<A≤C.≤A≤D.≤A≤考点:三角函数的化简求值.专题:三角函数的求值.分析:原不等式转化为:sin2A﹣cos2A=(sinA﹣cosA)(sinA+cosA)≤sinA﹣cosA,依题意,可求得sinA+cosA∈(1,],继而可得sinA﹣cosA≤0,于是可得答案.解答:解:∵sin4A﹣cos4A=(sin2A﹣cos2A)(sin2A+cos2A)=sin2A﹣cos2A,∴原不等式转化为:sin2A﹣cos2A=(sinA﹣cosA)(sinA+cosA)≤sinA﹣cosA,∴(sinA﹣cosA)≤0.又A∈(0,),A+∈(,),∴sinA+cosA=sin(A+)∈(1,],∴sinA+cosA﹣1≥0,∴sinA﹣cosA≤0,∴0<A≤.故选:B.点评:本题考查三角函数的化简求值,考察因式分解与辅助角公式的应用,求得sinA+cosA∈(1,]是关键,考查运算求解能力,是中档题.7.(5分)斜率为的直线l与椭圆交与不同的两点,且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.考点:椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题.专题:计算题.分析:先根据题意表示出两个焦点的交点坐标,代入椭圆方程,两边乘2a2b2,求得关于的方程求得e.解答:解:两个交点横坐标是﹣c,c所以两个交点分别为(﹣c,﹣c)(c,c)代入椭圆=1两边乘2a2b2则c2(2b2+a2)=2a2b2∵b2=a2﹣c2c2(3a2﹣2c2)=2a^4﹣2a2c22a^4﹣5a2c2+2c^4=0(2a2﹣c2)(a2﹣2c2)=0=2,或∵0<e<1所以e==故选A点评:本题主要考查了椭圆的简单性质.考查了椭圆方程中a,b和c的关系.8.(5分)已知等边△ABC中,点P在线段AB上,且=,若••,则实数λ的值为()A.2B.C.D.考点:平面向量数量积的运算.专题:平面向量及应用.分析:将••利用已知三角形的三边对于向量表示,然后得到关于λ的等式解之.解答:解:因为等边△ABC中,点P在线段AB上,且=,由••,得()=﹣λ,所以﹣+=﹣λ×,所以,解得λ=,由点P在线段AB上,且=,得λ>0,所以λ=;故选C.点评:本题考查了向量的数量积运算,考查学生的运算能力.9.(5分)已知方程kx+3﹣2k=有两个不同的解,则实数k的取值范围是()A.B.C.D.考点:直线与圆的位置关系.专题:计算题;直线与圆.分析:如图,当直线在AC位置时,斜率k==,当直线和半圆相切时,由半径2=解得k值,即得实数k的取值范围.解答:解:由题意得,半圆y=和直线y=kx﹣2k+3有两个交点,又直线y=kx﹣2k+3过定点C(2,3),如图:当直线在AC位置时,斜率k==.当直线和半圆相切时,由半径2=,解得k=,故实数k的取值范围是(,],故选:C.点评:本题考查方程有两个实数解的条件,直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用,求出直线在AC位置时的斜率k值及切线CD的斜率,是解题的关键.10.(5分)考察正方体6个面的中心,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点种任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于()A.B.C.D.考点:古典概型及其概率计算公式.专题:计算题;压轴题.分析:先用组合数公式求出甲乙从这6个点中任意选两个点连成直线的条数共有C62,再用分步计数原理求出甲乙从中任选一条共有225种,利用正八面体找出相互平行但不重合共有共12对,代入古典概型的概率公式求解.解答:解:甲从这6个点中任意选两个点连成直线,共有C62=15条,乙也从这6个点中任意选两个点连成直线,共有C62=15条,甲乙从中任选一条共有15×15=225种不同取法,因正方体6个面的中心构成一个正八面体,有六对相互平行但不重合的直线,则甲乙两人所得直线相互平行但不重合共有12对,这是一个古典概型,所以所求概率为=,故选D.点评:本题的考点是古典概型,利用组合数公式和分步计数原理求出所有基本事件的总数,再通过正方体6个面的中心构成一个正八面体求出相互平行但不重合的对数,代入公式求解.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11.(5分)的展开式中的常数项为15.考点:二项式定理.专题:计算题.分析:先写出二项式的展开式的通项,整理出最简形式,根据要求展开式的常数项,只要使得变量的指数等于0,求出r的值,代入系数求出结果.解答:解:∵的展开式的通项是=要求展开式中的常数项只要使得5﹣5r=0,即r=1∴常数项是C51×3=15,故答案为:15点评:本题考查二项式定理,本题解题的关键是写出展开式的通项,这是解决二项式定理有关题目的通法,本题是一个基础题.12.(5分)已知等比数列{a n}的公比为正数,且a5•a7=4a42,a2=1,则a1=.考点:等比数列的通项公式.专题:计算题.分析:利用等比数列的推广的通项公式将a4,a5,a7利用a2及公比表示,列出关于公比q 的方程,求出公比q,再利用通项公式求出首项.解答:解:设公比为q∵a5=a2q3,a4=a2q2,a7=a2q5又a5•a7=4a42,a2=1∴q8=4q4∵等比数列{a n}的公比为正数∴q=∴故答案为:.点评:解决等比数列、等差数列问题一般的思路是围绕通项及前n项和公式列出方程组,求解.即基本量法.13.(5分)由l,2,3,4,5,6,7这七个数字构成的七位正整数中,有且仅有两个偶数相邻的个数是2880.考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率.专题:排列组合.分析:选两个偶数,并把这两个偶数捆绑在一起看做一个复合元素,再将这个复合元素和另外一个偶数插入到1,3,5,7进行全排列形成5个间隔中,根据分步计数原理可得答案解答:解:先选两个偶数,并把这两个偶数捆绑在一起看做一个复合元素,再将这个复合元素和另外一个偶数插入到1,3,5,7进行全排列形成5个间隔中,故有且仅有两个偶数相邻的个数有=2880故答案为:2880点评:本题主要考查了分步计数原理,以及相邻问题用捆绑,不相邻问题用插空,属于中档题14.(5分)存在x<0使得不等式x2<2﹣|x﹣t|成立,则实数t的取值范围是(﹣,2).考点:绝对值不等式.专题:计算题.分析:本题利用纯代数讨论是很繁琐的,要用数形结合.原不等式x2<2﹣|x﹣t|,即|x﹣t|<2﹣x2,分别画出函数y1=|x﹣t|,y2=2﹣x2,这个很明确,是一个开口向下,关于y轴对称,最大值为2的抛物线;要存在x<0使不等式|x﹣t|<2﹣x2成立,则y1的图象应该在第二象限(x<0)和y2的图象有交点,再分两种临界讲座情况,当t≤0时,y1的右半部分和y2在第二象限相切;当t>0时,要使y1和y2在第二象限有交点,最后综上得出实数t的取值范围.解答:解:不等式x2<2﹣|x﹣t|,即|x﹣t|<2﹣x2,令y1=|x﹣t|,y1的图象是关于x=t对称的一个V字形图形,其象位于第一、二象限;y2=2﹣x2,是一个开口向下,关于y轴对称,最大值为2的抛物线;要存在x<0,使不等式|x﹣t|<2﹣x2成立,则y1的图象应该在第二象限和y2的图象有交点,两种临界情况,①当t≤0时,y1的右半部分和y2在第二象限相切:y1的右半部分即y1=x﹣t,联列方程y=x﹣t,y=2﹣x2,只有一个解;即x﹣t=2﹣x2,即x2+x﹣t﹣2=0,△=1+4t+8=0,得:t=﹣;此时y1恒大于等于y2,所以t=﹣取不到;所以﹣<t≤0;②当t>0时,要使y1和y2在第二象限有交点,即y1的左半部分和y2的交点的位于第二象限;无需联列方程,只要y1与y轴的交点小于2即可;y1=t﹣x与y轴的交点为(0,t),所以t<2,又因为t>0,所以0<t<2;综上,实数t的取值范围是:﹣<t<2;故答案为:(﹣,2).点评:本小题主要考查函数图象的应用、二次函数、绝对值不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.15.(5分)已知圆O:x2+y2=1与x轴交于点A和B,在线段AB上取一点D(x,0),作DC⊥AB 与圆O的一个交点为C,若线段AD、BD、CD可作为一个锐角三角形的三边长,则x的取值范围为;.考点:圆方程的综合应用.专题:计算题.分析:本题考查的是如何判断三角形的形状,由圆O:x2+y2=1与x轴交于点A和B,在线段AB上取一点D(x,0),作DC⊥AB与圆O的一个交点为C,我们可以将线段AD、BD、CD都用变量x表示,再根据判断三角形形状的方法,构造不等式,解不等式即可得到x的取值范围解答:解:由已知易得A(﹣1,0),B(1,0),若在线段AB上取一点D(x,0),作DC⊥AB与圆O的一个交点为C则﹣1<x<1,则AD=x+1,BD=x﹣1,CD=当x<0时,BD为最大边,此时若线段AD、BD、CD可作为一个锐角三角形的三边长,则BD2<AD2+CD2即:(x﹣1)2<(x+1)2+(1﹣x2)解得:同理可求:当x>0时,又∵x=0时,AD=BD=CD=1,也满足要求综上x的取值范围为故答案为:点评:要判断三角形的形状,我们要先判断出三角形的最大边C,如果①c2<a2+b2,则三角形为锐角三角形;②c2=a2+b2,则三角形为直角三角形;③c2>a2+b2,则三角形为钝角三角形;三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(12分)已知函数(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)当时,求的最大值和最小值.考点:三角函数中的恒等变换应用;复合三角函数的单调性.专题:计算题;三角函数的求值;三角函数的图像与性质.分析:(1)利用二倍角的三角函数公式和诱导公式,对f(x)的分子分母进行化简整理,约分可得f(x)=2cos2x,由此即可算出的值;(2)由(1)的结论,得,再根据x的取值范围,结合正弦函数的图象与性质,即可得到g(x)的最大值为,最小值为1.解答:解:(Ⅰ)∵cos2x=,cos22x=,sin()=cos()∴=…(4分)因此,…(6分)(Ⅱ)∵f(x)=2cos2x,∴…(8分),可得…(10分)∴当时,,当x=0时.g min(x)=1即的最大值为,最小值为1.…(12分)点评:本题给出三角函数表达式,要求我们将其化简成最简形式并求函数g(x)的最大、最小值.着重考查了三角函数的诱导公式、二倍角的三角函数公式和三角函数的图象与性质等知识,属于中档题.17.(12分)如图,在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=l,E是PD的中点.(1)求AB与平面AEC所成角的正弦值;(2)若点F在线段PD上,二面角E﹣AC﹣F所成的角为θ,且tan,求的值.考点:用空间向量求平面间的夹角;用空间向量求直线与平面的夹角.专题:空间向量及应用.分析:(1)建立空间直角坐标系O﹣xyz,平面AEC的一个法向量=(x,y,z),利用向量垂直的性质求出一个法向量,利用法向量与AB的夹角解答;(2)设,),=(0,),平面AFC的一个法向量为=(a,b,c),利用法向量与平面内向量的垂直关系,得到关于λ的等式解之.解答:解:(1)如图建立空间直角坐标系O﹣xyz,如图则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),E(0,,1),=(2,1,0),=(0,,1),=(2,0,0),设AB与平面AEC所成的角为α,平面AEC的一个法向量=(x,y,z),则,所以,取y=﹣2,=(1,﹣2,1),sinα=|cos<>|=;(2)设,则F(0,),=(0,),令平面AFC的一个法向量为=(a,b,c),则,即,取b=﹣2,得=(1,﹣2,λ),由tanθ=得cosθ==|cos<>|=,所以3λ2﹣10λ﹣5=0,所以λ=,又λ>0,所以λ=,即.点评:本题考查了空间向量的运用解答线面角和面面角的有关问题,关键是适当的建立坐标系,正确写出所需向量的坐标,利用线面角、面面角的三角函数与平面的法向量夹角的关系解答,属于中档题.18.(12分)已知定理:“若a,b为常数,g(x)满足g(a+x)+g(a﹣x)=2b,则函数y=g (x)的图象关于点(a,b)中心对称”.设函数,定义域为A.(1)试证明y=f(x)的图象关于点(a,﹣1)成中心对称;(2)当x∈时,求证:;(3)对于给定的x1∈A,设计构造过程:x2=f(x1),x3=f(x2),…,x n+1=f(x n).如果x i∈A (i=2,3,4…),构造过程将继续下去;如果x i∉A,构造过程将停止.若对任意x1∈A,构造过程都可以无限进行下去,求a的值.考点:函数的值域;函数单调性的判断与证明.专题:计算题.分析:本题的要求较高,需要理解新的定理,第(1)小问是对函数对称性的考查,第(2)小问是对函数值域求法的考查,相对比较容易,对于第(3)问要求理解构造的一个新数列的各项不会出现函数定义域A之外的元素,构造过程才可以继续,这就转化为恒成立的问题,进而分类讨论求出a.解答:(1)∵,∴.由已知定理,得y=f(x)的图象关于点(a,﹣1)成中心对称.(3分)(2)先证明f(x)在上是增函数,只要证明f(x)在(﹣∞,a)上是增函数.设﹣∞<x1<x2<a,则,∴f(x)在(﹣∞,a)上是增函数.再由f(x)在上是增函数,得当x∈时,f(x)∈,即.(7分)(3)∵构造过程可以无限进行下去,∴对任意x∈A恒成立.∴方程无解,即方程(a+1)x=a2+a﹣1无解或有唯一解x=a.∴或由此得到a=﹣1(13分)点评:本例考查的数学知识点有,函数的对称性,函数的定义域和值域的求法;数学思想有极限思想,方程思想;是一道函数综合题.19.(13分)已知数列{a n}中,a1=1,且当x=时,函数f(x)=a n•x2+(2﹣n﹣a n+1)•x取得极值.(1)若b n=2n﹣1•a n,求数列{b n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n;(3)试证明:n>3(n∈N*)时,S n>.考点:数列与不等式的综合.专题:计算题;证明题;导数的综合应用;不等式的解法及应用.分析:(1)求出导数,由极值的定义,得f′()=0,得a n+1=a n+2﹣n,由b n=2n﹣1•a n,则b n+1﹣b n=1,由等差数列的通项公式即可得到;(2)运用错位相减法求数列的和,注意解题步骤,运用等比数列求和公式即可得到;(3)运用二项式定理,展开2n=(1+1)n,即可得证.解答:(1)解:f′(x)=a n x+2﹣n﹣a n+1,由题意得f′()=0,得a n+1=a n+2﹣n,由a n+1=a n+2﹣n,得2n a n+1﹣2n﹣1•a n=1,由b n=2n﹣1•a n,则b n+1﹣b n=1,则数列{b n}的通项公式b n=b1+(n﹣1)×1=1+n﹣1=n;(2)解:由(1)得,a n=n•21﹣n,则S n=1•21﹣1+2×21﹣2+3×21﹣3+…+(n﹣1)×21﹣(n﹣1)+n•21﹣n,2S n=1×2+2×21﹣1+3×21﹣2+…+n•22﹣n,两式相减得,S n=1×2+1×21﹣1+1×21﹣2+1×21﹣3+…+1×21﹣(n﹣1)﹣n•21﹣n=﹣n•21﹣n=4﹣;(3)证明:由S n=4﹣=4﹣=4﹣n>3时,S n>4﹣=4﹣=4﹣=.点评:本题考查导数的运用:求极值,考查数列的通项公式的求法,注意构造数列,运用等差数列的通项公式和等比数列求和公式,考查错位相减求和,以及二项式定理用于证明不等式的方法,属于中档题和易错题.20.(13分)如图,已知两点A(﹣,0)、B(,0),△ABC的内切圆的圆心在直线x=2上移动.(Ⅰ)求点C的轨迹方程;(Ⅱ)过点M(2,0)作两条射线,分别交(Ⅰ)中所求轨迹于P、Q两点,且=0,求证:直线PQ必过定点.考点:圆锥曲线的轨迹问题;直线与圆锥曲线的综合问题.专题:综合题.分析:(Ⅰ)由题意,根据平面几何知识可知C的轨迹是以A、B为焦点,实轴长为4的双曲线的右支(不含右顶点),由|CA|﹣|CB|=|AD|﹣|BD|求出实半轴,结合b2=c2﹣a2求出b2,则C点的轨迹可求;(Ⅱ)设出直线PQ与x轴的交点,由此写出直线PQ所在直线方程,和双曲线方程联立后化为关于y的一元二次方程,利用根与系数关系得到P,Q两点的纵坐标的和与积,结合=0列式求出PQ与x轴交点的横坐标为定值.解答:解:(Ⅰ)设△ABC内切圆切AB边于点D,则.∴点C的轨迹是以A、B为焦点,实轴长为4的双曲线的右支(不含右顶点),由a=2,c=,得.所以点C的方程为;(Ⅱ)设PQ:x=my+a(a>2),代入,得(m2﹣4)y2+2amy+a2﹣4=0设P(x1,y1),Q(x2,y2),则.∵=.∴.化简,得3a2﹣16a+20=0,解得a=2(舍去)或.故直线PQ必过定点.点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用,直线与曲线联立,利用方程的根与系数的关系是处理这类问题的最为常用的方法,但圆锥曲线的特点是计算量比较大,要求考生具备较强的运算推理的能力,是难题.21.(13分)已知函数f(x)=a(x﹣)﹣2lnx(a∈R).(1)若a=2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)设函数g(x)=﹣.若至少存在一个x0∈,使得f(x0)>g(x0)成立,求实数a的取值范围.考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;函数的最值及其几何意义;利用导数研究函数的单调性.专题:导数的综合应用.分析:(1)当a=2时求出f(1),切线斜率k=f′(1),利用点斜式即可求得切线方程;(2)求出函数定义域,分①当a≤0,②当a>0两种情况讨论解不等式f'(x)>0,f'(x)<0即可;(3)存在一个x0∈使得f(x0)>g(x0),则ax0>2lnx0,等价于,令,等价于“当x∈时,a>F(x)min”.利用导数易求其最小值.解答:解:函数的定义域为(0,+∞),.(1)当a=2时,函数,f′(x)=,因为f(1)=0,f'(1)=2.所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y﹣0=2(x﹣1),即2x﹣y﹣2=0.(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞).①当a≤0时,h(x)=ax2﹣2x+a<0在(0,+∞)上恒成立,则f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,此时f(x)在(0,+∞)上单调递减.②当a>0时,△=4﹣4a2,(ⅰ)若0<a<1,由f'(x)>0,即h(x)>0,得或;由f'(x)<0,即h(x)<0,得.所以函数f(x)的单调递增区间为和,单调递减区间为.(ⅱ)若a≥1,h(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,则f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,此时f(x)在(0,+∞)上单调递增.(3))因为存在一个x0∈使得f(x0)>g(x0),则ax0>2lnx0,等价于.令,等价于“当x∈时,a>F(x)min”.对F(x)求导,得.因为当x∈时,F'(x)≥0,所以F(x)在上单调递增.所以F(x)min=F(1)=0,因此a>0.点评:本题考查导数的几何意义、导数研究函数单调性及求函数的最值问题,考查学生分析问题解决问题的能力,对于“能成立”问题及“恒成立”问题往往转化为函数最值解决.。
湖南省长沙市长郡中学2017届高三月考试卷(三)数学理.doc
长郡中学2017届高三月考试卷(三)数学理科一、选择题:本大题共12小题,每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知i 是虚数单位,且集合*i -1|,N i 1nM z z n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭,则集合M 的非空子集的个数为( )(A )16(B )15 (C) 8 (D)7(2)在正项等比数列{}n a 中,1321,,22a a a 成等差数列,则91078a a a a ++=( )(A)1+(B)1(C) 3+(D)3-(3)已知命题()000:,0,34x x p x ∃∈-∞<;命题:0,,tan 2q x x x π⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭.则下列命题中为真命题的是( )(A )p q ∧(B )()p q ⌝∨(C) ()p q ⌝∧(D)()p q ⌝∧(4)若tan 34πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则222sin cos θθ-=( )(A )65-(B )75-(C)65(D)75(5)已知+,R a b ∈,且直线60ax by +-=与直线2(3)50x b y +-+=互相平行,则23a b +的最小值为( )(A )12(B )25(C) 13+(D)12+(6)对于常数k 定义()(),(),()k f x f x kf x k f x k ≥⎧=⎨<⎩,若()ln f x x x =-,则()()32f f e =( )(A )3(B )e+1(C)e(D)e-1(7)已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ,椭圆C 上的点A 满足212AF F F ⊥.若点P 是椭圆C 上的动点,则12F P F A的最大值为( )(A(B(C)94(D)154(8)已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形,如图所示,则该几何体的体积为( )(A )16(B )13(C) 23(D)56(9)已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -,()(),00B m m >,若圆C 上存在点P ,使得90APB ∠= ,则实数m 的取值范围是( )(A )[]5,7(B )[]4,6(C) []4,7(D)[]3,5(10)已知实数,x y 满足约束条件()000x x y a x y a ≥⎧⎪-≤>⎨⎪+≤⎩,若z x ay =+的最大值为2,则2m m >的最小值为( )(A(B)(C) (D)6(11)在△ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且2cos 2c B a b =+ ,若△ABC 的,则ab 的最小值为( ) (A )12(B )13(C) 16(D)3(12)已知函数2ln ,0()41,0x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++≤⎪⎩,若关于x 的方程2()()0f x bf x c -+=(),R b c ∈有8个不同的实数根,则b c +的取值范围是( )(A )()1,3(B )()2,3 (C)()0,2(D)()0,3二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.(13)在△ABC 中,N 是AC 边上一点,且12AN NC =,P 是BN 上的一点,若29AP mAB AC =+,则实数m 的值为_____________.(14)设函数()y f x =在其图象上任意一点00(,)x y 处的切线方程为0y y -=()20036x x -()0x x -,且(3)0f =,则不等式10()x f x -≥的解集为_____________. 俯视图侧视图正视图(15)已知双曲线()222:410x C y a a -=>,抛物线2:2E y px =的焦点与双曲线C 的右焦点重合,则抛物线E 上的动点M 到直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-的距离之和的最小值为_____________.(16)已知()f n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数,例如:9的因数有1,3,9,则(9)9f =;10的因数有1,2,5,10,则(10)5f =,那么()2016(1)(2)(3)21f f f f ++++- =_____________.三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)若函数()21()sin cos 02f x ax ax ax a =-> 的图象与直线y b =相切,并且切点的横坐标依次成公差为2π的等差数列.(I )求,a b 的值;(II )若00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,且0x 是()y f x =的零点,求函数()f x 在区间00,2x x π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间.(18)(本小题满分12分) 已知*N n ∈,数列{}n d 满足()312nn d +-=,数列{}n a 满足1232n n a d d d d =++++ ;又在数列{}n b 中12b =,且对*,N m n ∀∈,m n n mb b =. (I )求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(II )将数列{}n b 中的第1a 项、第2a 项、第3a 项、…、第n a 项删去后,剩余的项按从小到大的顺序排列成新的数列{}n c ,求数列{}n c 的前2016项的和2016T .(19)(本小题满分12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,2PA AB AD ===,四边形ABCD 满足AB AD ⊥,//BC AD ,4BC =,点M 为PC 的中点,点E 为BC 上的动点,且BEECλ=. (I )求证:平面ADM ⊥平面PBC ;(II )是否存在实数λ,使得二面角P DE B --的余弦值为23?若存在,求出实数λ的值;若不存在,说明理由.(20)(本小题满分12分)如图,曲线L 由曲线()22122:10,0,0x y C a b y a b +=>>≤和曲线()22222:10x y C y a b-=>组成,其中12,F F 为曲线1C 所在圆锥曲线的焦点,34,F F 为曲线2C 所在圆锥曲线的焦点. (I )若()()232,0,6,0F F -,求曲线L 的方程;(II )如图,作直线l 平行于曲线2C 的渐近线,交曲线1C 于点,A B ,求证:弦AB 的中点M 必在曲线2C 的另一条渐近线上;(III )对于(I )中的曲线L ,若直线1l 过点4F 交曲线1C 于点,C D ,求△1CDF 的面积的最大值.PME DCBA(21)(本小题满分12分)设函数()()e ,()1()x g x f x g x a g x λλλ==⎡+-⎤-⎣⎦,其中,a λ为常数,且01λ<< (I )求函数()f x 的极值;(II )证明:对R ,R a x ++∀∈∃∈,使得不等式()11g x a x--<成立; (III )设12,R λλ+∈,且121λλ+=,证明:对12,R ,a a +∀∈都有12121122a a a a λλλλ≤+.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题记分. (22)(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为2142x t y t =-⎧⎨=--⎩(t 为参数),以原点O 为极点,以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为21cos ρθ=-.(I )求曲线2C 的直角坐标系方程;(II )设1M 是曲线1C 上的点,2M 是曲线2C 上的点,求12M M 的最小值.(23)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知,,a b c 为非零实数.(I )若存在实数,,n p q 满足:2222222a b c n p q ++=++=,求证:4442222n p q a b c ++≥; (II )设函数2()f x ax bx c =++,若{}1,0,1x ∈-时,()1f x ≤,求证:[]1,1x ∈-时,2ax b +≤.。
2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学实验班高三(上)选拔考试数学试卷(理科)
2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学实验班高三(上)选拔考试数学试卷(理科)一、选择题(本大题共12小题,毎小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(5分)若复数z=(其中a∈R,i为虚数单位)的虚部为1,则|z|=()A.1 B.2 C.D.2.(5分)已知集合A={x|x2+2x﹣3≤0,x∈Z},集合B={x|lnx<2},则A∩B=()A.{0}B.{1}C.{0,1}D.∅3.(5分)长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的3位男教师和2名女教师中,任选2人参加说课比赛,则选取的2人恰为一男一女的概率为()A.B.C.D.4.(5分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若a4+a12﹣a8=8,a10﹣a6=4,则S23=()A.23 B.96 C.224 D.2765.(5分)已知F为双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的一个焦点,其关于双曲线C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上,则双曲线C的离心率为()A.B.C.2 D.6.(5分)下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是()A.f(x)=sinx B.f(x)=x3+1C.f(x)=log2(+x)D.f(x)=7.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入i=1,S=0,则输出的结果为()A.7 B.9 C.10 D.118.(5分)若二项式(x2+)7展开式的各项系数之和为﹣1,则含x2项的系数为()A.560 B.﹣560 C.280 D.﹣2809.(5分)某几何体的三视图如图,其俯视图中的曲线部分为半圆,则该几何体的体积是()A.192+96πB.256+96π C.192+100πD.256+100π10.(5分)已知椭圆C:+=1,若直线l经过M(0,1),与椭圆交于A、B两点,且=﹣,则直线l的方程为()A.y=±x+1 B.y=±x+1 C.y=±x+1 D.y=±x+111.(5分)已知三棱锥S﹣ABC的每个顶点都在球O的表面上,SA⊥底面ABC,AB=AC=4,BC=2,且二面角S﹣BC﹣A的正切值为4,则球O的表面积为()A.240πB.248πC.252πD.272π12.(5分)已知函数f(x)=x2﹣xlnx﹣k(x+2)+2在区间[,+∞)上有两个零点,则实数k的取值范围为()A.B.C.D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13.(5分)若实数x,y满足,则z=3x+y的最小值为.14.(5分)设=(,m),=(m,),且•=1,则||=.15.(5分)已知cos(﹣α)+sin(π﹣α)=﹣,﹣<α<0,则cos(2α+)=.16.(5分)在数列{a n}中,首项不为零,且a n=a n﹣1(n∈N*,n≥2),S n为{a n}的前n项和,令T n=,n∈N*,则T n的最大值为.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(8分)在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且4sinAcos2A ﹣cos(B+C)=sin3A+.(Ⅰ)求A的大小;(Ⅱ)若b=2,求△ABC面积的取值范围.18.(8分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,BA=BC=5,AC=8,D为线段AC 的中点.(Ⅰ)求证:BD⊥A1D;(Ⅱ)若直线A 1D 与平面BC 1D 所成角的正弦值为,求AA 1的长.19.(8分)某地4个蔬菜大棚顶部,阳光照在一棵棵茁壮生长的蔬菜上.这些采用水培、无土栽培方式种植的各类蔬菜,成为该地区居民争相购买的对象.过去50周的资料显示,该地周光照量X (小时)都在30以上.其中不足50的周数大约有5周,不低于50且不超过70的周数大约有35周,超过70的大约有10周.根据统计某种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量y (百斤)与每个蔬菜大棚使用农夫1号液体肥料x (千克)之间对应数据为如图所示的折线图:(Ⅰ)依据数据的折线图,用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程=x +;并根据所求线性回归方程,估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克,则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量y 是多少斤?(Ⅱ)因蔬菜大棚对光照要求较大,某光照控制仪商家为应对恶劣天气对光照的影响,为该基地提供了部分光照控制仪,该商家希望安装的光照控制仪尽可能运行,但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制,并有如下关系:若某台光照控制仪运行,则该台光照控制仪周利润为5000元;若某台光照控制仪未运行,则该台光照控制仪周亏损800元,欲使商家周总利润的均值达到最大,应安装光照控制仪多少台?附:回归方程系数公式:=,=﹣.20.(12分)已知P是抛物线E:y2=2px(p>0)上一点,P到直线x﹣y+4=0的距离为d1,P到E的准线的距离为d2,且d1+d2的最小值为3.(Ⅰ)求抛物线E的方程;(Ⅱ)直线l1:y=k1(x﹣1)交E于点A,B,直线l2:y=k2(x﹣1)交E于点C,D,线段AB,CD的中点分别为M,N,若k1k2=﹣2,直线MN的斜率为k,求证:直线l:kx﹣y﹣kk1﹣kk2=0恒过定点.21.(12分)已知函数f(x)=﹣1(b∈R,e为自然对数的底数)在点(0,f (0))处的切线经过点(2,﹣2).(Ⅰ)讨论函数F(x)=f(x)+ax(a∈R)的单调性;(Ⅱ)若∀x∈R,不等式e x f(x)≤c(x﹣1)+1恒成立,求实数c的取值范围.22.(14分)设a1,a2,a3,a4,a5是5个正实数(可以相等).证明:一定存在4个互不相同的下标i,j,k,l,使得|﹣|<.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.(8分)在直角坐标系中,已知曲线M的参数方程为(β为参数),在极坐标系中,直线l1的方程为:α1=θ,直线l2的方程为α2=θ+.(Ⅰ)写出曲线M的直角坐标方程,并指出它是何种曲线;(Ⅱ)设l1与曲线M交于A,C两点,l2与曲线M交于B,D两点,求四边形ABCD 面积的取值范围.2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学实验班高三(上)选拔考试数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,毎小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(5分)若复数z=(其中a∈R,i为虚数单位)的虚部为1,则|z|=()A.1 B.2 C.D.【解答】解:由复数z==的虚部为1,得,即a=2.∴z=1+i.则|z|=.故选:C.2.(5分)已知集合A={x|x2+2x﹣3≤0,x∈Z},集合B={x|lnx<2},则A∩B=()A.{0}B.{1}C.{0,1}D.∅【解答】解:集合A={x|x2+2x﹣3≤0,x∈Z}={x|﹣3≤x≤1,x∈Z}={﹣3,﹣2,﹣1,0,1},集合B={x|lnx<2}={x|0<x<e2},则A∩B={1}.故选:B.3.(5分)长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的3位男教师和2名女教师中,任选2人参加说课比赛,则选取的2人恰为一男一女的概率为()A.B.C.D.【解答】解:长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的3位男教师和2名女教师中,任选2人参加说课比赛,基本事件总数n==10,选取的2人恰为一男一女包含的基本事件个数m==6,选取的2人恰为一男一女的概率为p==.故选:B.4.(5分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若a4+a12﹣a8=8,a10﹣a6=4,则S23=()A.23 B.96 C.224 D.276【解答】解:设等差数列{a n}的公差为d,∵a4+a12﹣a8=8,a10﹣a6=4,∴a1+7d=8,4d=4,解得d=1=a1.则S23=23+=276.故选:D.5.(5分)已知F为双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的一个焦点,其关于双曲线C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上,则双曲线C的离心率为()A.B.C.2 D.【解答】解:双曲线C:﹣=1的左焦点为F(﹣c,0),渐近线方程为y=±x,设F关于y=x的对称点为(m,﹣m),由题意可得=﹣,(*)且(0﹣m)=•(m﹣c),可得m=c,代入(*)可得b2=3a2,c2=a2+b2=4a2,则离心率e==2.故选:C.6.(5分)下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是()A.f(x)=sinx B.f(x)=x3+1C.f(x)=log2(+x)D.f(x)=【解答】解:逐一考查所给选项中函数的性质:A.f(x)=sinx是定义域上的奇函数,函数不具有单调性,不合题意;B.f(x)=x3+1是定义域上的非奇非偶函数,函数单调递增,不合题意;C.是定义域上的奇函数,函数单调递增,符合题意;D.是定义域上的奇函数,函数单调递减,不合题意;故选:C.7.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入i=1,S=0,则输出的结果为()A.7 B.9 C.10 D.11【解答】解:模拟程序的运行,可得i=1,S=0,满足条件S<2,执行循环体,S=ln3,i=3满足条件S<2,执行循环体,S=ln3+ln=ln5,i=5满足条件S<2,执行循环体,S=ln5+ln=ln7,i=7满足条件S<2,执行循环体,S=ln7+ln=ln9>2,i=9此时,不满足条件S<2,退出循环,输出i的值为9.故选:B.8.(5分)若二项式(x2+)7展开式的各项系数之和为﹣1,则含x2项的系数为()A.560 B.﹣560 C.280 D.﹣280【解答】解:令x=1,可得:(1+a)7=﹣1,解得a=﹣2.∴的通项公式:T r==(﹣2)r x14﹣3r,+1令14﹣3r=2,解得r=4.∴含x2项的系数==560.故选:A.9.(5分)某几何体的三视图如图,其俯视图中的曲线部分为半圆,则该几何体的体积是()A.192+96πB.256+96π C.192+100πD.256+100π【解答】解:根据几何体的三视图知,该几何体是半圆柱体与直三棱柱的组合体,且组合体的底面积与俯视图相同;如图所示,∴俯视图的面积为S底=π•52+×8×6=+24,∴该几何体的体积是V几何体=(+24)×8=100π+192.故选:C.10.(5分)已知椭圆C:+=1,若直线l经过M(0,1),与椭圆交于A、B两点,且=﹣,则直线l的方程为()A.y=±x+1 B.y=±x+1 C.y=±x+1 D.y=±x+1【解答】解:设直线l的方程为m(y﹣1)=x.A(x1,y1),B(x2,y2).联立,化为:(9+5m2)y2﹣10m2y+5m2﹣45=0,∴y1+y2=,y1y2=,∵=﹣,∴y1﹣1=﹣.联立解得m=±3.则直线l的方程为:y=x+1.故选:B.11.(5分)已知三棱锥S﹣ABC的每个顶点都在球O的表面上,SA⊥底面ABC,AB=AC=4,BC=2,且二面角S﹣BC﹣A的正切值为4,则球O的表面积为()A.240πB.248πC.252πD.272π【解答】解:由题意,AB=AC=4,BC=2,底面是等腰三角形,过A作BC垂直交于D,AD⊥BC,且D是BC中点.可得AD=1.底面外接圆半径r=8.SA⊥底面ABC,AB=AC=4∴SC=SB.D是BC中点.∴SD⊥BC.平面S﹣BC﹣A的二面角是∠SDA,二面角正切值为4,∴AS=4AD.可得AS=4.外接球R2=解得:R2=68球O的表面积S=4πR2=272π.故选:D.12.(5分)已知函数f(x)=x2﹣xlnx﹣k(x+2)+2在区间[,+∞)上有两个零点,则实数k的取值范围为()A.B.C.D.【解答】解:令f(x)=0可得:,令,则,令t(x)=x2+3x﹣4﹣2lnx,则,据此可得函数t(x)在区间上单调递增,且t(1)=0,故当x∈(0,1)时,t(x)<0,h’(x)<0,当x∈(1,+∞)时,t(x)>0,h’(x)>0,则函数h(x)在区间上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,而:,据此可得:实数k的取值范围为.故选:A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13.(5分)若实数x,y满足,则z=3x+y的最小值为﹣2.【解答】解:作出不等式表示的平面区域(如图示:阴影部分):由得A(﹣2,4),由z=3x+y得y=﹣3x+z,平移y=﹣3x,易知过点A时直线在y上截距最小,所以z=3x+y的最小值:﹣2.故答案为:﹣2.14.(5分)设=(,m),=(m,),且•=1,则||=.【解答】解:∵=(,m),=(m,),且•=1,∴==1,解得m=1,∴=(1,),∴||==.故答案为:.15.(5分)已知cos(﹣α)+sin(π﹣α)=﹣,﹣<α<0,则cos(2α+)=.【解答】解:由cos(﹣α)+sin(π﹣α)=﹣,可得cos cosα+sin sinα+sinα=.即cosα+sinα=.∴sin(α+)=.∵﹣<α<0,∴﹣<α+<,∴cos(α+)=则cos(2α+)=cos2(α+)﹣sin2(α+)=故答案为:.16.(5分)在数列{a n}中,首项不为零,且a n=a n﹣1(n∈N*,n≥2),S n为{a n}的前n项和,令T n=,n∈N*,则T n的最大值为2+2.【解答】解:数列{a n}中,首项不为零,且a n=a n﹣1(n∈N*,n≥2),∴数列{a n}为等比数列,首项为a1,公比为.∴,.S n=,S2n=,T n====≤=2(),当且仅当n=2时取等号.∴T n的最大值为2+2.故答案为:2+2.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(8分)在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且4sinAcos2A ﹣cos(B+C)=sin3A+.(Ⅰ)求A的大小;(Ⅱ)若b=2,求△ABC面积的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)∵4sinAcos2A﹣cos(B+C)=sin3A+,∴4sinAcos2A+cosA=sin3A+,∴2cosAsin2A+cosA=sin2AcosA+cos2AsinA+,整理可得:cosA+sinA=,∴可得:sin(A+)=,∵A∈(0,),可得:A+∈(,),∴A+=,可得:A=.(Ⅱ)∵A=,b=2,=sinA==c.∴S△ABC又∵由正弦定理,可得:,∴c===+1,∵B,C为锐角,可得:B∈(30°,90°),可得:tanB∈(,+∞),可得:∈(0,3),可得:c=+1∈(1,4),=c∈(,2).∴S△ABC18.(8分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,BA=BC=5,AC=8,D为线段AC 的中点.(Ⅰ)求证:BD⊥A1D;(Ⅱ)若直线A1D与平面BC1D所成角的正弦值为,求AA1的长.【解答】解:(Ⅰ)证明:∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,∴AA1⊥平面ABC,又BD⊂平面ABC,∴BD⊥AA1,∵BA=BC,D是AC的中点,∴BD⊥AC,又AC∩AA1=A,AC⊂平面ACC1A1,AA1⊂平面ACC1A1,∴BD⊥平面ACC1A1,又A1D⊂平面ACC1A1,∴BD⊥A1D.(Ⅱ)过A1作A1E⊥C1D于E,由(I)可知BD⊥平面ACC1A1,∴BD⊥A1E,又BD∩C1D=D,∴A1E⊥平面BC1D,∴∠A1DE为直线A1D与平面BC1D所成角,即sin∠A1DE=,∴cos∠A1DE=±.设AA1=x,则A1D=C1D=,在△A1DC1中,由余弦定理得:=±,解得x=2或x=8.∴AA1=2或8.19.(8分)某地4个蔬菜大棚顶部,阳光照在一棵棵茁壮生长的蔬菜上.这些采用水培、无土栽培方式种植的各类蔬菜,成为该地区居民争相购买的对象.过去50周的资料显示,该地周光照量X (小时)都在30以上.其中不足50的周数大约有5周,不低于50且不超过70的周数大约有35周,超过70的大约有10周.根据统计某种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量y (百斤)与每个蔬菜大棚使用农夫1号液体肥料x (千克)之间对应数据为如图所示的折线图:(Ⅰ)依据数据的折线图,用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程=x +;并根据所求线性回归方程,估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克,则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量y 是多少斤?(Ⅱ)因蔬菜大棚对光照要求较大,某光照控制仪商家为应对恶劣天气对光照的影响,为该基地提供了部分光照控制仪,该商家希望安装的光照控制仪尽可能运行,但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制,并有如下关系:若某台光照控制仪运行,则该台光照控制仪周利润为5000元;若某台光照控制仪未运行,则该台光照控制仪周亏损800元,欲使商家周总利润的均值达到最大,应安装光照控制仪多少台?附:回归方程系数公式:=,=﹣.【解答】解:(Ⅰ)由题意可得:,则:,所以y关于x的线性回归方程为,当x=10时,百斤=550斤,所以估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克,则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量y是550斤.(Ⅱ)记商家总利润为Y元,由已知条件可知至少需安装1台,①安装1台光照控制仪可获得周利润5000元,②安装2台光照控制仪的情形:当X>70时,一台光照控制仪运行,此时Y=5000﹣800=4200元,当30<X≤70时,两台光照控制仪都运行,此时Y=5000+5000=10000元,故Y的分布列为所以EY=4200×0.2+10000×0.8=8840元,③安装3台光照控制仪的情形:当X>70时,一台光照控制仪运行,此时Y=5000﹣1600=3400元,当50≤X≤70时,两台光照控制仪运行,此时Y=5000+5000﹣800=9200元,当30<X<50时,三台光照控制仪都运行,此时Y=5000+5000+5000=15000元,故Y的分布列为所以EY=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620元,综上,为使商家周总利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪.20.(12分)已知P是抛物线E:y2=2px(p>0)上一点,P到直线x﹣y+4=0的距离为d1,P到E的准线的距离为d2,且d1+d2的最小值为3.(Ⅰ)求抛物线E的方程;(Ⅱ)直线l1:y=k1(x﹣1)交E于点A,B ,直线l2:y=k2(x﹣1)交E于点C,D,线段AB,CD的中点分别为M,N,若k1k2=﹣2,直线MN的斜率为k,求证:直线l:kx﹣y﹣kk1﹣kk2=0恒过定点.【解答】解:(Ⅰ)根据题意,抛物线E:y2=2px,则其焦点为,由抛物线的定义可得d2=|PF|,则d1+d2=d1+|PF|,其最小值为点F到直线x﹣y+4=0的距离,∴,解得p=4(舍去负值),∴抛物线E的方程为y2=8x;证明:(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),由可得,则,所以y1+y2=k1(x1﹣1)+k1(x2﹣1);∴AB的中点M的坐标为,同理可得点N的坐标为,则直线MN的斜率,则k(k1+k2)=﹣2,则直线l的方程kx﹣y﹣kk1﹣kk2=0可化为y=kx﹣k(k1+k2),即y=kx+2,令x=0可得y=2,∴直线l恒过定点(0,2).21.(12分)已知函数f(x)=﹣1(b∈R,e为自然对数的底数)在点(0,f (0))处的切线经过点(2,﹣2).(Ⅰ)讨论函数F(x)=f(x)+ax(a∈R)的单调性;(Ⅱ)若∀x∈R,不等式e x f(x)≤c(x﹣1)+1恒成立,求实数c的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)因为f(0)=b﹣1,所以过点(0,b﹣1),(2,﹣2)的直线的斜率为k=﹣,而f′(x)=﹣,由导数的几何意义可知,f′(0)=﹣b=﹣,所以b=1,所以f(x)=﹣1,则F(x)=ax+﹣1,F′(x)=a﹣,当a≤0时,F′(x)<0,函数F(x)在R上单调递减;当a>0时,由F′(x)=a﹣=0,得x=﹣lna,当x∈(﹣∞,﹣lna)时,F′(x)<0,函数F(x)单调递减,当x∈(﹣lna,+∞)时,F′(x)>0,函数F(x)单调递增.(Ⅱ)不等式e x f(x)≤c(x﹣1)+1恒成立,即不等式e x+cx﹣c≥0恒成立,设g(x)=e x+cx﹣c,g(x)=e x+c,若c≥0,则g′(x)>0,函数g(x)单调递增且不存在最小值,不满足题意;当c<0时,由g′(x)=e x+c=0,得x=ln(﹣c),当x∈(﹣∞,ln(﹣c))时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(ln(﹣c),+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)≥g(ln(﹣c))=﹣2c+cln(﹣c),要使得g(x)≥0恒成立,只需﹣2c+cln(﹣c)≥0恒成立,由于c<0,所以有ln(﹣c)≤2,解得﹣e2≤c<0,即当c∈[﹣e2,0)时,g(x)≥0恒成立,即e x+cx﹣c≥0恒成立,也即不等式e x f(x)≤c(x﹣1)+1恒成立,所以实数c的取值范围为[﹣e2,0).22.(14分)设a1,a2,a3,a4,a5是5个正实数(可以相等).证明:一定存在4个互不相同的下标i,j,k,l,使得|﹣|<.【解答】证明:不妨设a1≤a2≤a3≤a4≤a5,考虑以下5个分数:,,,,,①它们都属于区间(0,1]…(3分)把区间(0,1]分成两个区间:和,由抽屉原理知,区间或中一定有一个区间至少包含①中的3个数(记这3个数依次为a,b,c)…(6分)将①中的5个数依次围成一个圆圈,则①中任意三个数中都有两个数是相邻的(与是相邻的),即a,b,c中至少有两个数是相邻的…(10分)假设a与b相邻,则另一方面,由①中5个分数的分子、分母的下标特征知,围成的圆圈中,任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同.于是,a、b对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求.因此,一定存在4个互不相同的下标i,j,k,l,使得|﹣|<.…(14分)[选修4-4:坐标系与参数方程]23.(8分)在直角坐标系中,已知曲线M的参数方程为(β为参数),在极坐标系中,直线l1的方程为:α1=θ,直线l2的方程为α2=θ+.(Ⅰ)写出曲线M的直角坐标方程,并指出它是何种曲线;(Ⅱ)设l1与曲线M交于A,C两点,l2与曲线M交于B,D两点,求四边形ABCD 面积的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)由(β为参数)消去参数β得:(x﹣1)2+(y﹣1)2=8,∴曲线M是以(1,1)为圆心,为半径的圆.(Ⅱ)设|OA|=ρ1,|OC|=ρ2,∵O,A,C三点共线,则①,将曲线M的方程化成极坐标方程得:ρ2﹣2ρ(sinθ+cosθ)﹣6=0,∴,代入①得:,用代θ得:又∵l1⊥l2,∴,∴,∵sin22θ∈[0,1],∴.。
湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高三上学期入学考试理数试题 Word版含解析
2017-2018学年普通高等学校招生全国统一考试(长郡中学高三入学考试)理科数学 第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{|A x y ==,{|1}B x a x a =≤≤+,若A B A = ,则实数a 的取值范围为( )A .(,3][2,)-∞-+∞B .[1,2]-C .[2,1]-D .[2,)+∞ 【答案】C 【解析】试题分析:{}{||22A x y x x ===-≤≤,又因为A B A = 即B A ⊆,所以122a a +≤⎧⎨≥-⎩,解之得21a -≤≤,故选C. 考点:1.集合的表示;2.集合的运算.2. 设复数2()1a i z i+=+,其中a 为实数,若z 的实部为2,则z 的虚部为( ) A .12- B .12i - C .32- D . 32i -【答案】C考点:1.复数数的概念;2.复数的运算.3. “0a <”是“函数()|(1)|f x x ax =+在区间(,0)-∞内单调递减”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要 【答案】A 【解析】试题分析:当0a <时,在区间(,0)-∞上,1()|(1)|()f x x ax ax x a=+=--单调递减,但()|(1)|f x x ax =+区间(,0)-∞上单调递减时,0a ≤,所以“0a <”是“函数()|(1)|f x x ax =+在区间(,0)-∞内单调递减”的,故选A.考点:1.函数的单调性;2.充分条件与必要条件.4. 设函数()(21)x f x e x ax a =--+,其中1a <,若存在唯一的整数0x ,使得0()0f x <,则a 的取值范围为( ) A .3[,1)2e -B .33[,)24e -C .33[,)24eD .3[,1)2e【答案】D考点:函数与不等式.【名师点睛】本题考查函数与不等式,中档题;函数与不等式是高考考查的重要内容,数形结合是解决函数与不等式的重要途径,通常可把所有的数学表达式移到不等式的一边,构造一个函数作图解决不等式问题,也可象本题这样把变量放在不等式的两边,构造两个函数,在同一坐标系内作出两个函数的图象,通过图象求解. 5. 将函数sin()cos()22y x x ϕϕ=++的图象沿x 轴向右平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的取值不可能是( ) A .54π-B .4π-C .4π D .34π【答案】C考点:1.三角函数的图象与性质;2.函数图象平移变换.6. 已知点(1,0)M ,,A B 是椭圆2214x y +=上的动点,且0MA MB ∙= ,则MA BA ∙ 的取值范围是( )A .2[,1]3B .[1,9]C .2[,9]3D . 【答案】C 【解析】试题分析:设1122(,),(,)A x y B x y ,则11221212(1,),(1,),(,)MA x y MB x y BA x x y y =-=-=--,由题意有1212(1)(1)0MA MB x x y y ∙=--+=,所以21121121112112(1)()()(1)(1)MA BA x x x y y y x x x x y y y ∙=--+-=---+-[]22221111212111111(1)(1)(1)114x x y x x y y x x x x x =-+---++-=-+--+ 221111334222(),[2,2]4433x x x x =-+=-+∈- 所以,当2x =-时,MA BA ∙ 有最大值9,当43x =时,MA BA ∙ 有最小值23,故选C.考点:1.椭圆的标准方程与几何性质;2.向量的运算. 7. 如图所示程序框图中,输出S =( ) A .45 B .-55 C .-66 D .66【答案】B【解析】试题分析:该程序框图所表示的算法功能为:222222222212345678910(12345678910)55 S=-+-+-+-+-=-+++++++++=-,故选B.考点:程序框图.8. 如图,设D是图中边长分别为1和2的矩形区域,E是D内位于函数1(0)y xx=>图象下方的区域(阴影部分),从D内随机取一个点M,则点M取自E内的概率为()A.ln22B.1ln22-C.1ln22+D.2ln22-【答案】C 【解析】试题分析:如下图所示,四边形OABC 的面积122S =⨯=,阴影部分的面积可分为两部分,一部分是四边形OEDC 的面积11212S =⨯=,另一部分是曲边梯形的面积11121221ln ln 2S dx x x ===⎰,所以点M 来自E 内的概率为121ln 22S S P S ++==,故选C.考点:1.几何概型;2.积分的几何意义.【名师点睛】本题考查几何概型、积分的几何意义,属中档题.概率问题是高考的必考见容,概率问题通常分为古典概型与几何概型两种,几何概型求概率是通过线段的长度比或区域的面积比、几何体的体积比求解的,本题是用的区域的面积比,但求面积是通过积分运算来完成的,把积分运算与几何概型有机的结合在一起是本本题的亮点.9. 在棱长为3的正方体1111ABCD A BC D -中,P 在线段1BD 上,且112BP PD =,M 为线段11B C 上的动点,则三棱锥M PBC -的体积为( )A .1B .32C .92D .与M 点的位置有关 【答案】B 【解析】考点:1.正方体的性质;2.多面体的体积.10. 已知点A 是抛物线2:2(0)C x py p =>上一点,O 为坐标原点,若,A B 是以点(0,10)M 为圆心,||OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点,且ABO ∆为等边三角形,则P 的值是( ) A .52 B .53 C .56 D .59【答案】C 【解析】试题分析:由抛物线的性质及题意可知,,A B 两点关于y 轴对称,所以可设1111(,),(,)A x y B x y -,则2222211111(10)4x y x y x +=+-=,解之得2112535x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩,又因为点A 在抛物线上,所以25253p =⨯,解得56p =,故选C. 考点:抛物线的标准方程与几何性质.11. 设,x y 满足约束条件1210,0y x y x x y ≤+⎧⎪≥-⎨⎪≥≥⎩,则目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最大值为11,则a b +的最小值为( )A .2B .4C .6D .8 【答案】B 【解析】试题分析:在直角坐标系中作出可行域,如下图所示,因为0,0a b >>,所以目标函数z abx y =+取得最大值时的最优解为(2,3)B ,所以1123ab =⨯+,即4ab =,所以4a b +≥=,当且仅当2a b ==时取等号,故选B.考点:1.线性规划;2.基本不等式.12.设函数61(),0()0x x x f x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩,则当0x >时,[()]f f x 表达式的展开式中常数项为( )A .-20B .20C .-15D .15 【答案】A考点:1.分段函数的表示;2.二项式定理.【名师点睛】本题考查分段函数的表示与二项式定理,属中档题;分段函数的表示与二项式定理是最近高考的常考内容,但两者很少在同一个题目中出现,本题在考查分段函数的同时,考查二项式定理的应用,可谓立意新颖、思维独特.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 若423401234(12)x a a x a x a x a x -=++++,则013||||||a a a ++等于 . 【答案】41 【解析】试题分析: 4234(12)18243216x x x x x -=-+-+,所以0131,8,32a a a ==-=-,013||||||41a a a ++=.考点:二项式定理.14.给定双曲线22:1C x -=,若直线l 过C 的中心,且与C 交于,M N 两点,P 为曲线C 上任意一点,若直线,PM PN 的斜率均存在且分别记为,PM PN k k ,则PM PN k k ∙= .【解析】试题分析:设直线l 的方程为y k x =,1122(,),(,)M x y N x y ,00(,)P x y ,则01020102,,PM PNy y y y k k x x x x --==--由221x y kx⎧-=⎪⎨⎪=⎩得,222)1)0k x -=,所以有12120,x x x x +==, 2220102001212001212220102001212001212()()()()PM PNy y y y y y y y y y y ky x x k x x k k x x x x x x x x x x x x x x x x ---++-++⋅=⨯==---++-++2012x +===. 考点:1.双曲线的标准方程与几何性质;2.直线与双曲线的位置关系;3.斜率公式.15. 已知点(,)P x y的坐标满足0200y x y -<+<⎨⎪≥⎪⎩的取值范围为 .【答案】[ 【解析】0y +=,如下图所示,过点P 作PF ⊥直0y +=于点F ,表示可行域内的点(,)P x y0y +=的距离PF表示可行域内的点P到原点O的距离PO,所以sinPFPOFPO==∠,当点Py+=上时,222sin0POF===∠=,当点Py+=r222sin POF===∠的取值范围为,当点Py+=r在左下方时,222sin POF==-=-∠的取值范围为[的取值范围为[.考点:1.线性规划;2.点到直线距离、两点间的距离;3.直角三角形中正弦函数定义.【名师点睛】本题考查线性规划、两点间的距离公式、点到直线距离公式、直角三角形中正弦函数定义,属难题;对线性规划问题,先作出可行域,在作出目标函数,利用z的几何意义,结合可行域即可找出取最值的点,通过解方程组即可求出做最优解,代入目标函数,求出最值,要熟悉相关公式,确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键,目标函数常有距离型、直线型和斜率型.本题利用两个距离的比构成了一个角的三角函数值,再数形结合求解,可谓是匠心独运,视角独特.16. 在数列{}na中,11a=,122133232(2)n n nn na a n----=-∙+≥,nS是数列1{}nan+的前n 项和,当不等式*1(31)()1()3()m n mn S m m N S m ++-<∈-恒成立时,mn 的所有可能取值为 . 【答案】1或2或4 【解析】试题分析:由122133232(2)n n n n n a a n ----=-∙+≥得1212213(1)3(1)33232(2)n n n n n n n a a n ------+=++--∙+≥,即1213(1)3(1)2(2)n n n n a a n ---+=++≥,所以数列{}13(1)n n a -+是以1113(1)2a -+=为首项、2为公比的等比数列,所以13(1)2n n a n -+=,由1123n n a n -+=,12(1)133(1)1313nn nS ⨯-==--,所以1111(31)[3(1)](31)()(3)33(3)33(3)323331113()(3)33(3)333[3(1)]3m mm n m n n m n n m m n m m n mmn n m S m m m m S m m m m +++++++--+---+----⋅-===+<-------即(3)32330(3)33n m m n mm m +--⋅-<--,当3m =时,该不等式不成立,当3m ≠时有233330133m nn m m⋅+--<--恒成立,当1m =时,19322n<<,1n =,这时1mn =,当2m =时,1321n <<,1,2n =,这时2mn =或4mn =,当4m ≥时,233330133m nn m m⋅+--<--不成立,所以mn 的所有可能取值为1或2或4. 考点:1.数列的递推公式;2.等差数列的定义与求和公式;3.不等式恒成立问题. 【名师点睛】本题考查数列的递推公式、等差数列的定义与求和公式、不等式恒成立问题,属难题;数列的递推公式一直是高考的重点内容,本题给出的递推公式非常复杂,很难看出其关系,但所要求的数列的和给出了我们解题思路,即在解题中强行构造数列{}13(1)n n a -+是解题的关键,然后根据不等式恒成立分类讨论求解,体现的应用所学数学知识去解决问题的能力.三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. (本小题满分12分)已知函数2()2sin (0)2xf x x ωωω=->的最小正周期为3π.(1)求函数()f x 在区间3[,]4ππ-上的最大值和最小值;(2)已知,,a b c 分别为锐角三角形ABC 中角,,A B C 的对边,且满足2,()1b f A ==,2sin b A =,求ABC ∆的面积.【答案】(1)min ()1f x =,max ()1f x =;. 【解析】试题分析:(1)利用三角恒等变换相关公式化简函数解析式得()2sin()16f x x πω=+-,由周期为3π,可求ω的值,由三角函数性质可求函数的最值.(2)2sin b A =及正弦定理可求得sin 2B =,从而是求出解B 的值,由()1f A =可求出角4A π=及角51246C πππ==+,由正弦定理求出边a ,即可求三角形面积. 考点:1.三角恒等变换;2.三角函数的图象与性质;3.正弦定理与余弦定理.【名师点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、正弦定理与余弦定理,属中档题;此类题目是解三角形问题中的典型题目,可谓相当经典.解答本题,关键在于能利用三角公式化简函数解析式从而达到求最值的目的,三角形中的求角问题,往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题覆盖面较广,能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.18. (本小题满分12分)某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活用水量逐年上升,下表是2011年至2015年的统计数据:(1)利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归方程y bx a =+;(2)根据改革方案,预计在2020年底城镇改革结束,到时候居民的生活用水量将趋于稳定,预测该城市2023年的居民生活用水量.参考公式:^1221()ni ii nii x y nx yb xn x ==-=-∑∑,^^^a yb x =-.【答案】(1) 13(2013)260.2y x =-+ ;(2)351.2万吨. 【解析】试题分析:(1)由公式先求出,x y ,再利用公式求出 ,ba 即可求回归方程;(2)将2020x =代入所求回归方程求出y 的值即可. 试题解析:(1)解法一:容易算得:2013,260.2x y ==,121()()13()niii nii x x y y b x x ==--==-∑∑,260.2132013a y bx =-=-⨯,故所求的回归直线方程为13260.213201313(2013)260.2y x x =+-⨯=-+解法二:由所给数据可以看出,年需求量与年份之间的是近似值直线上升,为此时数据预处理如下表:对预处理后的数据,容易算得:110n i i x x n ===∑,11 3.2ni i y y n ===∑,12211301310()ni ii nii x y nx yb xn x ==-===-∑∑, 3.2a y bx =-= 所求的回归直线方程为257(2013)13(2013) 3.2y b x a x -=-+=-+, 即13(2013)260.2y x =-+.(2)根据题意,该城市2023年的居民生活用水量与该城市2020年的居民生活用水量相当, 当2020x =时,满足(1)中所求的回归直线方程,此时13(2013)260.2351.2y x =-+=(万吨)考点:线性回归方程及其应用. 19. (本小题满分12分)如图,在等腰梯形ABCD 中,//AB CD ,1AD DC CB ===,60ABC ∠= ,四边形ACFE为矩形,平面ACFE ⊥平面ABCD ,1CF =. (1)求证:BC ⊥平面ACFE ;(2)点M 在线段EF 上运动,设平面MAB 与平面FCB 二面角的平面角为(90)θθ≤ ,试求cos θ的取值范围.【答案】(1)由余弦定理求出2AC ,由勾股定理的逆定理证明BC AC ⊥即可;(2)分别以直线,,CA CB CF 为x 轴,y 轴,z 轴建立所示空间直角坐标系,令(0FM λλ=≤≤,求出平面MAB 与平面FCB 的法向量(用λ表示)即可求cos θ的范围. 【解析】 试题分析:试题解析:(1)证明:在梯形ABCD 中,∵//AB CD ,1AD DC CB ===,60ABC ∠=,∴2AB =,∴2222cos603AC AB BC AB BC =+-∙∙=,∴222AB AC BC =+,∴BC AC ⊥,∴平面ACFE ⊥平面ABCD ,平面ACFE 平面ABCD AC =,BC ⊂平面ABCD , ∴BC ⊥平面ACFE .(2)由(1)分别以直线,,CA CB CF 为x 轴,y 轴,z 轴发建立如图所示空间直角坐标系,令(0FM λλ=≤≤,则(0,0,0),(0,1,0),(,0,1)C A B M λ,∴(,0),(,1,1)AB BM λ==-.设1(,,)n x y z =为平面MAB 的一个法向量,由1100n AB n BM ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩,得00y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩, 取1x =,则1(1)n λ=,∵2(1,0,0)n =是平面FCB 的一个法向量,∴1212||cos ||||n n n n θ∙=== .∵0λ≤≤0λ=时,cos θ,当λ=cos θ有最大值12,∴1cos ]2θ∈. 考点:1.空间直线与直线垂直的判定;2.空间向量的应用. 20. (本小题满分12分)已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为1(F,2F ,以椭圆短轴为直径的圆经过点(1,0)M . (1)求椭圆C 的方程;(2)过点M 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,设直线,AN BN 的斜率分别为12,k k ,问12k k +是否为定值?并证明你的结论.【答案】(1) 2213x y += ;(2) 12k k +为定值2.试题解析:(1)由已知得:222c a b -=,由已知易得||1b OM ==,解得a =椭圆C 的方程为2213x y +=. (2)①当直线l 的斜率不存在时,由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得1,x y ==,设(1,A B,122233222k k +=+=. ②当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-,将(1)y k x =-代入2213x y +=整理化简,得2222(31)6330k x k x k +-+-=,依题意,直线l 与椭圆C 必相交于两点,设1122(,),(,)A x y B x y ,则2122631k x x k +=+,21223331k x x k -=+,又11(1)y k x =-,22(1)y k x =-, 所以12122112121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211212[2(1)](3)[2(1)](3)93()k x x k x x x x x x ---+---=-++1212121212122()[24()6]93()x x k x x x x x x x x -++-++=-++2212222222336122()[246]3131633933131k k x x k k k k k k k --++⨯-⨯+++=--⨯+++ 2212(21)26(21)k k +==+ 综上得:12k k +为定值2.(说明:若假设直线l 为1x my =+,按相应步骤给分) 考点:1.椭圆的标准方程与几何性质;2.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系,属难题;高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成, .其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.21. (本小题满分12分)设1()1xxa f x a +=-(0a >且1a ≠),()g x 是()f x 的反函数.(1)设关于x 的方程2log ()(1)(7)atg x x x =--在区间[2,6]上有实数解,求t 的取值范围;(2)当a e =(e为自然对数的底数)时,证明:22()nk g k =>∑(3)当102a <≤时,试比较1|()|nk f k n =-∑与4的大小,并说明理由.【答案】(1) [5,32] ;(2)见解析;(3) 1|()|4nk f k n =-<∑.【解析】试题分析:(1) 由反函数的定义先求出()g x 的解析式,代入已知条件可得2(1)(7)t x x =--,[2,6]x ∈,求导,研究函数2(1)(7)t x x =--的单调性,即可求t 的取值范围;(2)21231(1)()ln ln ln ln ln 34512nk n n n g k n =-+=++++=-+∑ ,构造函数2211()ln 2ln ,0z u z z z z z z z-=--=-+->,求导研究其单调性可得()u z 在(0,)+∞上是增函数,从而(1)0u u >=,即(1)12ln 0(1)n n n n +->+,可证结论成立;(3)当1n =时易得2|(1)1|24f p-=≤<,当2n ≥时,由122(1)122()11(1)1(1)1k k k k kk k k p f k p p C p C p C p ++==+=++-+-+++ 可得1224441()111(1)1k k f k C C k k k k <≤+===+-+++,求和可得1()(1)14nk n f k f n n =<<++≤+∑,即可得到1|()|4nk f k n =-<∑.试题解析:(1)由题意,得101xy a y -=>+, 故1()log 1a x g x x -=+,(,1)(1,)x ∈-∞-+∞ , 由21log log (1)(7)1aa t x x x x -=--+,得2(1)(7)t x x =--,[2,6]x ∈. 则'2318153(1)(5)t x x x x =-+-=---,令'0t >,得25x ≤<,知2(1)(7)t x x =--在区间[2,5)上递增; 令'0t <,得56x <≤,知2(1)(7)t x x =--在区间(5,6]上递减,所以当5t =时,32t =最大值,有当2x =时,5t =;6x =时,25t =,所以5t =最小值, 所以t 的取值范围为[5,32].(2)212311231(1)()ln ln ln ln ln()ln 345134512nk n n n n g k n n =--+=++++=⨯⨯⨯⨯=-++∑ 令2211()ln 2ln ,0z u z z z z z z z-=--=-+->则'22211()1(1)0u z z z z=-++=-≥,所以()u z 在(0,)+∞上是增函数, 又因为当2n ≥10>>,所以(1)0u u >=即(1)12ln0(1)n n n n +->+,即22()nk g k =>∑(3)设11a p=+,则1p ≥,121(1)131a f a p +<==+≤-当1n =时,2|(1)1|24f p-=≤<, 当2n ≥时,设*2,k k N ≥∈时,则122(1)122()11(1)1(1)1k k k k kk k k p f k p p C p C p C p ++==+=++-+-+++ , 所以1224441()111(1)1k k f k C C k k k k <≤+===+-+++ 从而24441()111211nk n f k n n n n n =-<≤-+-=+-<+++∑ 所以1()(1)14nk n f k f n n =<<++≤+∑,综上所述,总有1|()|4nk f k n =-<∑.考点:1.反函数的定义与求法;2.导数与函数的单调性;3.函数与不等式. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲已知AD 是ABC ∆的外角EAC ∠的平分线,交BC 的延长线于点D ,延长DA 交ABC ∆的外接圆于点F ,连接,FB FC . (1)求证:FB FC =;(2)若AB 是ABC ∆外接圆的直径,120EAC ∠=,BC =AD 的长.【答案】(1)见解析;(2)6.试题解析:(1)证明:∵AD 平分EAC ∠,∴EAD DAC ∠=∠,因为四边形AFBC 内接于圆,∴DAC FBC ∠=∠,又∵EAD FAB FCB ∠=∠=∠,∴FBC FCB ∠=∠,∴FB FC =. (2)∵AB 是圆的直径,∴90ACD ACB ∠=∠=,∵120EAC ∠=,∴60DAC BAC ∠=∠= ,∴30D ∠= ,在Rt ACB ∆中,∵BC =60BAC ∠= ,∴3AC =,又在Rt ACD ∆中,30D ∠= ,3AC =,∴6AD =.考点:1.三角形外角平分线性质;2.圆的性质. 23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为31x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数),以直角坐标系原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹; (2)若直线的极坐标方程为1sin cos θθρ-=,求直线被曲线C 截得的弦长.【答案】(1) C 的极坐标方程为6cos 2sin ρθθ=+,表示圆;【解析】试题分析:(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程,再利用直角坐标与极坐标的互化公式进行转换即可; (2)将1sin cos θθρ-=转换为直角坐标方程,求出圆心C 到直线的距离,由勾股定理求弦长即可.(2)∵直线的直角坐标方程为1y x -=∴圆心C到直线的距离为2d ==. 考点:1.参数方程与普通方程的互化;2.直线坐标与极坐标的互化;3.直线与圆的位置关系. 24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数1()||||f x x a x a=+++(0)a >. (1)当2a =时,求不等式()3f x >的解集;(2)证明:1()()4f m f m +-≥. 【答案】(1) 111{|}44x x x <->或;(2)见解析.【解析】试题分析:(1)当2a =时,分区间去绝对值,分别解不等式即可;(2)由绝对值不等式的性质及基本不等式可得111111()()||||||||2||4f m f m a a m m m m a m a m+-=++-++++-+≥+≥. 试题解析: (1)当2a =时,1()|2|||2f x x x =+++,原不等式等价于21232x x x <-⎧⎪⎨---->⎪⎩或1221232x x x ⎧-≤≤-⎪⎪⎨⎪+-->⎪⎩或121232x x x ⎧>-⎪⎪⎨⎪+++>⎪⎩ 解得:114x <-或φ或14x >. 不等式的解集为111{|}44x x x <->或.考点:1.绝对值不等式的解法;2.绝对值不等式的性质.。
长沙市长郡中学高三第六次月考数学理科试题
长郡中学高三第六次月考数学理科试题一、选择题(每小题5分,10小题,共50分)1、(06长沙月考)已知函数))((b x a x f y ≤≤=,则集合⋂≥≤=}),(|),{(b x a x f y y x }0|),{(=x y x 中含有元素的个数为( B )A 、0B 、1或0C 、1D 、1或22、(06长沙月考)已知函数11|,lg |)(>>>=b a cx x f ,则( B ) A 、)()()(c f b f a f >> B 、)()()(b f a f c f >> C 、)()()(a f b f c f >> D 、)()()(c f a f b f >>3(06长沙月考)、复数),,(212R B A m Bi A i mi∈+=+-,且0=+B A ,则m 的值为( C )A 、2B 、32 C 、32-D 、24、(06长沙月考)已知函数)(1x f y -=的图象过点(1,0),则)121(-=x f y 的反函数的图象一定过点( D )A 、(0,2)B 、(2,0)C 、(2,1)D 、(1,2)5、(06长沙月考)已知)(x f y =的图象如右图所示,则x x f y sin )2(-=π在区间[0,π]上大致图象是( D )AB6、(06长沙月考)曲线)12ln(+=x y 上的点到直线052=+-y x 的最短距离为( A )A 、5B 、52C 、53D 、07、16666101192111011111-++++C C C 被8除所得余数是( D ) A 、0B 、2C 、3D 、58、(06长沙月考)某省举行的一次民歌大奖赛中,全省六个地区各送了一对歌手参赛,现从这12名选手中选出4名优胜者,则选出的4名优胜者中,恰有两人是同一地区来的歌手的概率是( C )A 、338B 、16564 C 、3316 D 、116 9、(06长沙月考)设0,0≠<k k ,则二次曲线1322=--k y k x 与12522=+y x 必有( C )A 、不同的顶点B 、不同的准线C 、相同的焦点D 、相同的离心率10(06长沙月考)、已知正四面体ABCD 中,E 在AB 上,F 在CD 上,且CD CF AB AE 41,41==,则直线DE 与BF 所成的角( A ) A 、134arccos B 、133arccosDCC 、134arccos-π D 、133arccos-π长郡中学高三第六次月考数学理科试题答卷 一、选择题(每小题5分,10小题,共50分)二、填空题(每小题4分,5小题,共20分)11、(06长沙月考)若函数],0[,cos 4sin 3)(π∈-=x x x x f ,则函数)(x f 的最大值 5 ,最小值 -4 。
湖南省长沙市长郡中学高三数学上学期第六次月考试卷 理(含解析)
2014-2015学年湖南省长沙市长郡中学高三(上)第六次月考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设i是虚数单位,则复数的虚部是()A. B. C. D.2.已知集合A={x|y=log2x},B={y|y=()x,x<0},则A∩C R B=()A. {x|0<x<1} B.{x|x≥1} C.∅ D.{y|y≤1}3.已知双曲线(a>0)的右焦点与抛物线y2=8x焦点重合,则此双曲线的渐近线方程是()A. B. C. D.4.给出30个数:1,2,4,7,11,…,要计算这30个数的和,现已给出了该问题的程序框图如图所示,那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入()A.i≤30?;p=p+i﹣1 B.i≤31?;p=p+i+1C.i≤31?;p=p+i D.i≤30?;p=p+i5.设实数x,y满足约束条件则z=5x﹣y的最大值为()A.﹣1 B. 3 C. 5 D. 116.如图,某几何体的正视图和俯视图都是矩形,侧视图是平行四边形,则该几何体的体积为()A. 6 B. 9 C. 12 D. 187.已知命题p:∃x0∈R,e x﹣mx=0,q:∀x∈R,x2+mx+1≥0,若p∨(¬q)为假命题,则实数m的取值范围是()A.(﹣∞,0)∪(2,+∞) B. [0,2] C. R D.∅8.已知实数m,n,若m≥0,n≥0,且m+n=1,则+的最小值为()A. B. C. D.9.若,则的值为()A.﹣1 B. 0 C. 2 D.﹣210.数列{a n}(n≥2014,n∈N)满足:a i+a i+1+…+a i+2012<0,其中i=1,2,…,n﹣2012,a j+a j+1+…+a j+2013>0,其中j=1,2,…,n﹣2013,则满足条件的数列{a n}的项数n的最大值为()A. 4025 B. 4026 C. 22013 D. 22014二、填空题:本大题共3小题,考生作答5小题,每小题5分,满分10分。
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2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高三(上)第六次月考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设i是虚数单位,则复数的虚部是()A.B.C.D.2.已知集合A={x|y=log2x},B={y|y=()x,x<0},则A∩C R B=()A.{x|0<x<1} B.{x|x≥1} C.∅ D.{y|y≤1}3.已知双曲线(a>0)的右焦点与抛物线y2=8x焦点重合,则此双曲线的渐近线方程是()A.B.C.D.4.给出30个数:1,2,4,7,11,…,要计算这30个数的和,现已给出了该问题的程序框图如图所示,那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入()A.i≤30?;p=p+i﹣1 B.i≤31?;p=p+i+1C.i≤31?;p=p+i D.i≤30?;p=p+i5.设实数x,y满足约束条件则z=5x﹣y的最大值为()A.﹣1 B.3 C.5 D.116.如图,某几何体的正视图和俯视图都是矩形,侧视图是平行四边形,则该几何体的体积为()A.6B.9C.12D.187.已知p:∃x0∈R,e x﹣mx=0,q:∀x∈R,x2+mx+1≥0,若p∨(¬q)为假,则实数m的取值范围是()A.(﹣∞,0)∪(2,+∞)B.[0,2] C.R D.∅8.已知实数m,n,若m≥0,n≥0,且m+n=1,则+的最小值为()A.B.C.D.9.若,则的值为()A.﹣1 B.0 C.2 D.﹣210.数列{a n}(n≥2014,n∈N)满足:a i+a i+1+…+a i+2012<0,其中i=1,2,…,n﹣2012,a j+a j+1+…+a j+2013>0,其中j=1,2,…,n﹣2013,则满足条件的数列{a n}的项数n的最大值为()A.4025 B.4026 C.22013 D.22014二、填空题:本大题共3小题,考生作答5小题,每小题5分,满分10分。
(一)选做题(请考生在第11,12,13,三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)11.已知直线3ρcosθ+4ρsinθ+α=0与曲线(θ为参数),有且仅有一个公共点,则正实数a的值为.12.(坐标系与参数方程选做题).如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,且=,则=.13.(2015•重庆校级模拟)若当x<﹣1时,不等式|x+k|+x<0恒成立,则实数k的取值范围为.(二)必做题(14-16题)14.在5×5的棋盘中,放入3颗黑子和2颗白子,它们均不在同一行且不在同一列,则不同的排列方法种数为.(用数字作答).15.已知函数f(x)=,若f(x)≥kx,则k的取值范围是.16.已知O为△ABC的外心,AB=4,AC=2,∠BAC=120°.若AO=λ1AB+λ2AC,则2λ1+λ2=.四、解答题:本大题共6小题,满分75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)(2013秋•海陵区校级期末)已知函数,(其中ω>0)的最小正周期为π.(Ⅰ)求ω的值,并求函数f(x)的单调递减区间;(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若,△ABC 的面积为,求△ABC的外接圆面积.18.(12分)(2012•高新区校级模拟)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,则截面与底面之间的部分叫棱台.如图,在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中,下底ABCD是边长为2的正方形,上底A1B1C1D1是边长为1的正方形,侧棱DD1⊥平面ABCD,DD1=2.(Ⅰ)求证:B1B∥平面D1AC;(II)求平面B1AD1与平面CAD1夹角的余弦值.19.(12分)(2014•南关区校级模拟)一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A=a1a2a3a4a5,其中A的各位数字中,a1=1,a k(k=2,3,4,5)出现0的概率为,出现1的概率为.例如:A=10001,其中a1=a5=1,a2=a3=a4=0.记ξ=a1+a2+a3+a4+a5,当启动仪器一次时(Ⅰ)求ξ=3的概率;(Ⅱ)求ξ的概率分布列及Eξ20.(13分)(2014•温州一模)已知数列{a n}中,a1=,a n+1=(n∈N*).(Ⅰ)求证:数列{}是等差数列,并求{a n}的通项公式;(Ⅱ)设b n+a n=l(n∈N*),S n=b1b2+b2b3+…+b n b n+1,试比较a n与8S n的大小.21.(13分)(2014•广州模拟)已知椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆的离心率为,且椭圆经过点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)线段PQ是椭圆过点F2的弦,且,求△PF1Q内切圆面积最大时实数λ的值.22.(13分)(2014•宜春校级模拟)设a∈R,函数f(x)=x2e1﹣x﹣a(x﹣1).(Ⅰ)当a=1时,求f(x)在(,2)内的极大值;(Ⅱ)设函数g(x)=f(x)+a(x﹣1﹣e1﹣x),当g(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2)时,总有x2g(x1)≤λf′(x1),求实数λ的值.(其中f′(x)是f(x)的导函数.)2014-2015学年湖南省长沙市长郡中学高三(上)第六次月考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设i是虚数单位,则复数的虚部是()A.B.C.D.考点:复数的基本概念.专题:计算题;压轴题.分析:利用两个复数相除的法则,化简复数到最简形式(分子和分母同时乘以分母的共轭复数,再利用i的幂运算性质),找出复数的实部和虚部.解答:解:复数==,故虚部为﹣,故选D.点评:本题考查两个复数相除的方法,两个复数相除,分子分母同时乘以分母的共轭复数;以及复数的实部、虚部的定义.2.已知集合A={x|y=log2x},B={y|y=()x,x<0},则A∩C R B=()A.{x|0<x<1} B.{x|x≥1} C.∅ D.{y|y≤1}考点:交、并、补集的混合运算.专题:计算题.分析:通过对数函数的单调性求出集合A,指数函数的单调性求出集合B,然后求解B的补集,即可求解A∩C R B.解答:解:因为集合A={x|y=log2x}={x|x>0}=(0,+∞),B={y|y=()x,x<0}={y|0<y<1}=(0,1),∴C R B=(﹣∞,0]∪[1,+∞),∴A∩C R B=[1,+∞),即A∩C R B={x|x≥1}故选B.点评:本题考查集合的交、并、补的基本运算,指数函数与对数函数的单调性的应用,考查计算能力.3.已知双曲线(a>0)的右焦点与抛物线y2=8x焦点重合,则此双曲线的渐近线方程是()A.B.C.D.考点:圆锥曲线的共同特征.专题:计算题.分析:先求出抛物线y2=8x的焦点坐标,由此得到双曲线的一个焦点,从而求出a的值,进而得到该双曲线的渐近线方程解答:解:∵抛物线y2=8x的焦点是(2,0),∴c=2,a2=4﹣1=3,∴,∴,故选D.点评:本题考查双曲线的性质和应用,解题时要抛物线的性质进行求解.4.给出30个数:1,2,4,7,11,…,要计算这30个数的和,现已给出了该问题的程序框图如图所示,那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入()A.i≤30?;p=p+i﹣1 B.i≤31?;p=p+i+1C.i≤31?;p=p+i D.i≤30?;p=p+i考点:循环结构.专题:阅读型.分析:由程序的功能是给出30个数:1,2,4,7,11,…要计算这30个数的和,我们可以根据循环次数,循环变量的初值,步长计算出循环变量的终值,得到①中条件;再根据累加量的变化规则,得到②中累加通项的表达式.解答:解:由于要计算30个数的和,故循环要执行30次,由于循环变量的初值为1,步长为1,故终值应为30即①中应填写i≤30;又由第1个数是1;第2个数比第1个数大1即1+1=2;第3个数比第2个数大2即2+2=4;第4个数比第3个数大3即4+3=7;…故②中应填写p=p+i故选D点评:本题考查的知识点是循环结构,其中在循环次数=(循环终值﹣初值)÷步长+1,是循环次数,终值,初值,步长的知三求一问题,属于基础题.5.设实数x,y满足约束条件则z=5x﹣y的最大值为()A.﹣1 B.3 C.5 D.11考点:简单线性规划.专题:不等式的解法及应用.分析:作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可.解答:解:由z=5x﹣y,得y=5x﹣z,作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分):平移直线y=5x﹣z,由图象可知当直线y=5x﹣z经过点B时,直线y=5x﹣z的截距最小,此时z最大,由,解得x=2,y=﹣1,即B(2,﹣1),将x=2,y=﹣1代入目标函数z=5x﹣y,得z=5×2﹣(﹣1)=10+1=11.∴目标函数z=5x﹣y的最大值是11.故选:D.点评:本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法.6.如图,某几何体的正视图和俯视图都是矩形,侧视图是平行四边形,则该几何体的体积为()A.6B.9C.12D.18考点:由三视图求面积、体积.专题:空间位置关系与距离.分析:由已知中三视图我们可以确定,该几何体是以侧视图为底面的直四棱柱,根据已知三视图中标识的数据,求出棱柱的底面积和高,代入棱柱体积公式即可得到答案.解答:解:由已知中三视图该几何体为四棱柱,其底面底边长为2+=3,底边上的高为:,故底面积S=3×=3,又因为棱柱的高为3,故V=3×3=9,故选B.点评:本题考查的知识点是由三视图求体积,其中根据三视图判断出几何体的形状及相应底面面积和高是解答本题的关键.7.已知p:∃x0∈R,e x﹣mx=0,q:∀x∈R,x2+mx+1≥0,若p∨(¬q)为假,则实数m的取值范围是()A.(﹣∞,0)∪(2,+∞)B.[0,2] C.R D.∅考点:复合的真假.专题:函数的性质及应用.分析:根据复合函数的真假关系,确定p,q的真假,利用函数的性质分别求出对应的取值范围即可得到结论.解答:解:若p∨(¬q)为假,则p,¬q都为假,即p是假,q是真,由e x﹣mx=0得m=,设f(x)=,则f′(x)==,当x>1时,f′(x)>0,此时函数单调递增,当0<x<1时,f′(x)<0,此时函数单调递递减,当x<0时,f′(x)<0,此时函数单调递递减,∴当x=1时,f(x)=取得极小值f(1)=e,∴函数f(x)=的值域为(﹣∞,0)∪[e,+∞),∴若p是假,则0≤m<e;若q是真,则由x2+mx+1≥0,则△=m2﹣4≤0,解得﹣2≤m≤2,综上,解得0≤m≤2.故选:B.点评:本题主要考查复合之间的关系,利用函数的性质求出相应的取值范围是解决本题的关键,综合性较强,有一定的难度.8.已知实数m,n,若m≥0,n≥0,且m+n=1,则+的最小值为()A.B.C.D.考点:利用导数研究函数的极值;基本不等式.专题:导数的综合应用.分析:由m≥0,n≥0,且m+n=1,可得n=1﹣m,(0≤m≤1).代入+,再利用导数研究其单调性极值即可.解答:解:∵m≥0,n≥0,且m+n=1,∴n=1﹣m,(0≤m≤1).∴f(m)=+==.则f′(m)=,令f′(m)=0,0≤m≤1,解得m=.当时,f′(m)<0;当时,f′(m)>0.∴当m=时,f(m)取得极小值即最小值,==.故选:A.点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值,属于中档题.9.若,则的值为()A.﹣1 B.0 C.2 D.﹣2考点:二项式系数的性质.专题:二项式定理.分析:由题意可得a0=1,令x=,可得0=1+,由此求得所求式子的值.解答:解:在中,易知a0=1,令x=,可得0=1+,∴=﹣1,故选:A.点评:本题主要考查二项式定理的应用,注意根据题意,分析所给代数式的特点,通过给二项式的x赋值,求展开式的系数和,可以简便的求出答案,属于中档题.10.数列{a n}(n≥2014,n∈N)满足:a i+a i+1+…+a i+2012<0,其中i=1,2,…,n﹣2012,a j+a j+1+…+a j+2013>0,其中j=1,2,…,n﹣2013,则满足条件的数列{a n}的项数n的最大值为()A.4025 B.4026 C.22013 D.22014考点:数列的求和.专题:等差数列与等比数列.分析:令j=i,a i+2013>﹣(a i+a i+1+…+a i+2012)>0,从而得到n﹣2013<2013,由此能求出n的最大值.解答:解:∵数列{a n}(n≥2014,n∈N)满足:a i+a i+1+…+a i+2012<0,其中i=1,2,…,n﹣2012,a j+a j+1+…+a j+2013>0,其中j=1,2,…,n﹣2013,令j=i,a i+2013>﹣(a i+a i+1+…+a i+2012)>0,n﹣2013<2013,∴n<4026.∴n的最大值为4025.故选:A.点评:本题考查满足条件的数列{a n}的项数n的最大值的求法,解题时要认真审题,注意构造法的合理运用.二、填空题:本大题共3小题,考生作答5小题,每小题5分,满分10分。