2014《步步高》高考数学第一轮复习13 算法与程序框图

§13.1算法与程序框图2014高考会这样考 1.考查程序框图的应用，重点考查程序框图的功能及程序框图的补充；2.和函数、数列、统计等知识相综合，考查算法思想和基本的运算能力、逻辑思维能力．复习备考要这样做 1.准确理解算法的基本概念、理解程序框图的含义和作用是解题的关键，所以复习时要立足双基，抓好基础，对算法语句的复习不需过难，仅需理解几种基本的算法语句；2.复习算法的重点应放在读懂程序框图上，尤其要重视循环结构的程序框图，弄清当型与直到型循环结构的区别，以及进入、退出循环的条件、循环的次数．1．算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．2．程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．通常程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；流程线带方向箭头，按照算法步骤的执行顺序将程序框连接起来．3．三种基本逻辑结构(1)顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构．其结构形式为(2)条件结构是指算法的流程根据给定的条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式．其结构形式为(3)循环结构是指从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况．反复执行的步骤称为循环体．循环结构又分为当型(WHILE 型)和直到型(UNTIL 型)． 其结构形式为4． 输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能5. (1)程序框图中的条件结构与条件语句相对应． (2)条件语句的格式及框图 ①IF —THEN 格式 IF 条件 THEN 语句体 END IF②IF —THEN —ELSE 格式 IF 条件 THEN 语句体1 ELSE 语句体2 END IF 6． 循环语句(1)程序框图中的循环结构与循环语句相对应． (2)循环语句的格式及框图． ①UNTIL 语句 ②WHILE 语句[难点正本 疑点清源]1． 在数学中，现代意义上“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成的． 2． 顺序结构、循环结构和条件结构的关系顺序结构是每个算法结构都含有的，而对于循环结构有重复性，条件结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个条件结构，用于确定何时终止循环体．循环结构和条件结构都含有顺序结构． 3． 关于赋值语句，有以下几点需要注意(1)赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如3＝m 是错误的．(2)赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如Y ＝x ，表示用x 的值替代变量Y 的原先的取值，不能改写为x ＝Y .因为后者表示用Y 的值替代变量x 的值．(3)在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现多个“＝”．4． 利用循环结构表示算法，第一要先确定是利用当型循环结构，还是直到型循环结构；第二要选择准确的表示累计的变量；第三要注意在哪一步开始循环，满足什么条件不再执行循环体．1． 如图，是求实数x 的绝对值的算法程序框图，则判断框①中可填________．答案 x >0？(或x ≥0？)解析 由于|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ， x ≥0，－x ，x <0或|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x ≤0，故根据所给的程序框图，易知可填“x >0？”或“x ≥0？”．2． (2012·福建)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值等于________．答案－3解析第一次循环：s＝1，k＝1<4，s＝2×1－1＝1，k＝1＋1＝2；第二次循环：k＝2<4，s＝2×1－2＝0，k＝2＋1＝3；第三次循环：k＝3<4，s＝2×0－3＝－3，k＝3＋1＝4；当k＝4时，k<4不成立，循环结束，此时s＝－3.3．关于程序框图的图形符号的理解，正确的有()①任何一个程序框图都必须有起止框；②输入框只能在开始框之后，输出框只能放在结束框之前；③判断框是唯一具有超过一个退出点的图形符号；④对于一个程序框图来说，判断框内的条件是唯一的．A．1个B．2个C．3个D．4个答案 B解析任何一个程序都有开始和结束，因而必须有起止框；输入和输出可以放在算法中任何需要输入、输出的位置；判断框内的条件不是唯一的，如a>b，亦可写为a≤b.故只有①③对．4．(2011·课标全国)执行如图所示的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是()A ．120B ．720C ．1 440D ．5 040答案 B解析 当输入的N 是6时，由于k ＝1，p ＝1，因此p ＝p ·k ＝1.此时k ＝1，满足k <6，故k ＝k ＋1＝2.当k ＝2时，p ＝1×2，此时满足k <6，故k ＝k ＋1＝3. 当k ＝3时，p ＝1×2×3，此时满足k <6，故k ＝k ＋1＝4. 当k ＝4时，p ＝1×2×3×4，此时满足k <6，故k ＝k ＋1＝5. 当k ＝5时，p ＝1×2×3×4×5，此时满足k <6，故k ＝k ＋1＝6. 当k ＝6时，p ＝1×2×3×4×5×6＝720， 此时k <6不再成立，因此输出p ＝720.5． (2012·辽宁)执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是( )A ．－1B.23C.32D ．4答案 D解析 因为S ＝4，i ＝1<9，所以S ＝－1，i ＝2<9；S ＝23，i ＝3<9；S ＝32，i ＝4<9；S ＝4，i ＝5<9； S ＝－1，i ＝6<9；S ＝23，i ＝7<9；S ＝32，i ＝8<9；S ＝4，i ＝9<9不成立，输出S ＝4.题型一 算法的设计例1 已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x >0，0，x ＝0，2，x <0，写出求该函数函数值的算法及程序框图．思维启迪：可以利用算法的条件结构，严格遵循算法的概念设计算法． 解 算法如下： 第一步，输入x .第二步，如果x >0，则y ＝－2；如果x ＝0，则y ＝0；如果x <0，则y ＝2. 第三步，输出函数值y . 相应的程序框图如图所示．探究提高 给出一个问题，设计算法应注意： (1)认真分析问题，联系解决此问题的一般数学方法； (2)综合考虑此类问题中可能涉及的各种情况； (3)将解决问题的过程划分为若干个步骤； (4)用简练的语言将各个步骤表示出来．f (x )＝x 2－2x －3.求f (3)、f (－5)、f (5)，并计算f (3)＋f (－5)＋f (5)的值．设计出解决该问题的一个算法，并画出程序框图． 解 算法如下： 第一步，令x ＝3.第二步，把x ＝3代入y 1＝x 2－2x －3. 第三步，令x ＝－5.第四步，把x ＝－5代入y 2＝x 2－2x －3. 第五步，令x ＝5.第六步，把x ＝5代入y 3＝x 2－2x －3.第七步，把y 1，y 2，y 3的值代入y ＝y 1＋y 2＋y 3. 第八步，输出y 1，y 2，y 3，y 的值． 该算法对应的程序框图如图所示：题型二 算法的基本逻辑结构例2 设计算法求11×2＋12×3＋13×4＋…＋12 011×2 012的值，并画出程序框图．思维启迪：(1)这是一个累加求和问题，共2 011项相加；(2)设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法． 解 算法如下：第一步，令S ＝0，i ＝1；第二步，若i ≤2 011成立，则执行第三步； 否则，输出S ，结束算法； 第三步，S ＝S ＋1i (i ＋1)； 第四步，i ＝i ＋1，返回第二步． 程序框图：方法一当型循环程序框图：方法二直到型循环程序框图：探究提高利用循环结构表示算法，第一要确定是利用当型循环结构，还是直到型循环结构；第二要准确的表示累加变量；第三要注意在哪一步开始循环．(2012·湖南)如果执行如图所示的程序框图，输入x＝－1，n＝3，则输出的数S＝________.答案－4解析当n＝3时，i＝3－1＝2，满足i≥0，故S＝6×(－1)＋2＋1＝－3.执行i＝i－1后i的值为1，满足i≥0，故S＝(－3)×(－1)＋1＋1＝5.再执行i＝i－1后i的值为0，满足i≥0，故S＝5×(－1)＋0＋1＝－4.继续执行i＝i－1后i的值为－1，不满足i≥0，故输出S＝－4.题型三程序框图的识别及应用例3如图是求x1，x2，…，x10的乘积S的程序框图，图中空白框中应填入的内容为()A．S＝S*(n＋1) B．S＝S*x n＋1C．S＝S*n D．S＝S*x n思维启迪：根据已知条件，结合程序框图求解；可以模拟程序运行的过程，一步一步明确程序运行结果，确定应填入的内容．答案 D解析由题意可知，输出的是10个数的乘积，故循环体应为S＝S*x n，所以选D.探究提高识别程序框图和完善程序框图是高考的重点和热点．解决这类问题：第一，要明确程序框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行程序框图，理解框图解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答．对框图的考查常与函数和数列等相结合，进一步强化框图问题的实际背景．某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：如图是统计该应填________，输出的s＝________.答案i<7？(i≤6？)a1＋a2＋…＋a6解析由题意可知，程序框图是要统计6名队员投进的三分球的总数，由程序框图的循环逻辑知识可知，判断框应填i<7？或i≤6？，输出的结果就是6名队员投进的三分球的总数，而6名队员投进的三分球数分别为a1，a2，a3，a4，a5，a6，故输出的s＝a1＋a2＋…＋a6.题型四基本算法语句例4阅读下面两个算法语句：图1图2执行图1中语句的结果是输出________；执行图2中语句的结果是输出________．思维启迪：理解算法语句中两种循环语句的结构和作用是解题的关键．答案i＝4i＝2解析执行语句1，得到(i，i·(i＋1))结果依次为(1,2)，(2,6)，(3,12)，(4,20)，故输出i＝4.执行语句2的情况如下：i＝1，i＝i＋1＝2，i·(i＋1)＝6<20(是)，结束循环，输出i＝2.探究提高解决算法语句有三个步骤：首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题．设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法．图中给出了程序的一部分，则在横线上不能填入的数是()A．13 B．13.5 C．14 D．14.5答案 A解析当填i<13时，i值顺次执行的结果是5,7,9,11，当执行到i＝11时，下次就是i＝13，这时要结束循环，因此计算的结果是1×3×5×7×9×11，故不能填13，但填的数字只要超过13且不超过15均可保证最后一次循环时，得到的计算结果是1×3×5×7×9×11×13.高考中的算法问题典例：(5分)(2012·安徽)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()A．3 B．4 C．5 D．8考点分析本题属于算法和数列的交汇性问题，主要考查程序框图的功能和基本运算．解题策略本题可以直接按照程序框图的流程逐步进行计算，也可以从程序框图的功能出发，分析x的值的规律来解决问题．解析方法一当x＝1，y＝1时，满足x≤4，则x＝2，y＝2；当x＝2，y＝2时，满足x≤4，则x＝2×2＝4，y＝2＋1＝3；当x＝4，y＝3时，满足x≤4，则x＝2×4＝8，y＝3＋1＝4；当x＝8，y＝4时，不满足x≤4，则输出y＝4.方法二由程序框图，可知x的值构成一个首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为a n＝2n－1，而y的值构成一个首项为1，公差为1的等差数列，其通项公式为b n＝n.显然该程序框图就是求解使得a n>4时b n的值．由a n>4，即2n－1>4，解得n>3，故n的最小值为4，所以输出的值为y＝b4＝4.答案 B解后反思程序框图的填充和功能是算法问题在高考中的主要考查形式，和函数、数列的结合是算法问题的常见载体，解决问题的关键是搞清算法的实质，模拟运行算法的结果．方法与技巧1．在设计一个算法的过程中要牢记它的五个特征：概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性．2．在画程序框图时首先要进行结构的选择．若所要解决的问题不需要分情况讨论，只用顺序结构就能解决；若所要解决的问题要分若干种情况讨论时，就必须引入条件结构；若所要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间又有相同的规律时，就必须引入变量，应用循环结构．3．程序框图的条件结构和循环结构分别对应算法语句的条件语句和循环语句，两种语句的阅读理解是复习重点．失误与防范1．注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同．2．注意条件结构与循环结构的联系．3．要弄清楚三种基本逻辑结构的构成方式及功能，以免使用时造成混乱或错误．4．循环语句有“直到型”与“当型”两种，要区别两者的异同，主要解决遇到需要反复执行的任务时，用循环语句来编写程序．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构、循环结构，下列说法正确的是() A．一个算法只能含有一种逻辑结构B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构C．一个算法必须含有上述三种逻辑结构D．一个算法可以含有上述三种逻辑结构中的任一种答案 D解析在一个算法中，可出现顺序结构、条件结构、循环结构三种结构中的任一种．2．已知一个算法：(1)m＝a.(2)如果b<m，则m＝b，输出m；否则执行第3步．(3)如果c<m，则m＝c，输出m.如果a＝3，b＝6，c＝2，那么执行这个算法的结果是() A．3 B．6 C．2 D．m答案 C解析当a＝3，b＝6，c＝2时，依据算法设计，执行后，m＝a＝3<b＝6，c＝2<a＝3＝m，∴c＝2＝m，即输出m的值为2，故选C.3．(2012·天津)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为－25时，输出x的值为()A．－1 B．1C．3 D．9答案 C解析当x＝－25时，|x|>1，所以x＝25－1＝4>1，x＝4－1＝1>1不成立，所以输出x＝2×1＋1＝3.4．(2012·北京)执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A ．2B ．4C ．8D ．16答案 C解析 当k ＝0时，满足k <3，因此S ＝1×20＝1； 当k ＝1时，满足k <3，因此S ＝1×21＝2； 当k ＝2时，满足k <3，因此S ＝2×22＝8； 当k ＝3时，不满足k <3，因此输出S ＝8. 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 某算法的程序框图如图所示，则输出量y 与输入实数x 满足的关系式是________．答案 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1x －2，x >1解析 由题意知，程序框图表达的是一个分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤1x －2，x >1. 6． 如图是求12＋22＋32＋…＋1002的值的程序框图，则正整数n ＝________.答案 100解析 第一次判断执行后，i ＝2，s ＝12；第二次判断执行后，i ＝3，s ＝12＋22，而题目要求计算12＋22＋…＋1002，故n ＝100.7． (2012·广东)执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为________．答案 8解析 当i ＝2，k ＝1时，s ＝1×(1×2)＝2； 当i ＝4，k ＝2时，s ＝12×(2×4)＝4；当i ＝6，k ＝3时，s ＝13×(4×6)＝8；当i ＝8时，i <n 不成立，输出s ＝8. 三、解答题(共22分)8． (10分)任意给定3个正实数，设计一个算法，判断以这3个正实数为三条边边长的三角形是否存在，并画出这个算法的程序框图． 解 算法如下：第一步，输入3个正实数a ，b ，c .第二步，判断a ＋b >c ，b ＋c >a ，c ＋a >b 是否同时成立．若是，则存在这样的三角形；否则，不存在这样的三角形． 程序框图：9．(12分)某工种按工时计算工资，每月总工资＝每月劳动时间(小时)×每小时工资，从总工资中扣除10%作公积金，剩余的为应发工资，当输入劳动时间和每小时工资数时，试编写一个算法输出应发工资，画出程序框图．解算法如下：第一步，输入每月劳动时间t和每小时工资a；第二步，求每月总工资y＝每月劳动时间t×每小时工资a；第三步，求应发工资z＝每月总工资y×(1－10%)；第四步，输出应发工资z.程序框图如图：B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．(2011·天津)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出的i的值为()A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析 i ＝1时，a ＝2；i ＝2时，a ＝5；i ＝3时，a ＝16；当i ＝4时，a ＝65>50.即条件a >50成立，所以输出的i 的值为4.2． (2012·课标全国)如果执行如图所示的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数a 1，a 2，…，a N ，输出A ，B ，则( )A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和 B.A ＋B 2为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最大的数和最小的数D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最小的数和最大的数 答案 C解析 由于x ＝a k ，且x >A 时，将x 值赋给A ，因此最后输出的A 值是a 1，a 2，…，a N 中最大的数；由于x ＝a k ，且x <B 时，将x 值赋给B ，因此最后输出的B 值是a 1，a 2，…，a N 中最小的数．3． 如图，若依次输入的x 分别为56π、π6，相应输出的y 分别为y 1、y 2，则y 1、y 2的大小关系是( )A ．y 1＝y 2B ．y 1>y 2C ．y 1<y 2D ．无法确定答案 C解析 由程序框图可知，当输入的x 为5π6时，sin 5π6>cos 5π6成立，所以输出的y 1＝sin5π6＝12；当输入的x 为π6时，sin π6>cos π6不成立，所以输出的y 2＝cos π6＝32，所以y 1<y 2. 二、填空题(每小题5分，共15分)4． (2012·浙江)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的T 的值是________．答案1120解析 由程序框图可知，当T ＝1，i ＝1时， T ＝Ti ＝1，i ＝2，不满足i >5；T ＝T i ＝12，i ＝3，不满足i >5；T ＝T i ＝16，i ＝4，不满足i >5；T ＝T i ＝124，i ＝5，不满足i >5；T ＝T i ＝1120，i ＝6，满足i >5.输出T ＝1120.5． (2011·安徽)如图所示，程序框图(流程图)的输出结果是________．答案 15解析 由T ＝T ＋k 可知T 是一个累加变量，原题实质为求1＋2＋3＋…＋k 的和，其和为k (k ＋1)2.令k (k ＋1)2≤105，得k ≤14.故当k ＝15时，T ＝1＋2＋3＋…＋15＝120>105，此时输出k ＝15.6． 执行如图所示的程序框图，输出的A 为________．答案 2 047解析 本题计算的是递推数列a 0＝1，a n ＋1＝2a n ＋1 (n ＝0,1,2，…)的第11项，{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，故a 10＋1＝211，故a 10＝2 047.三、解答题7．(13分)给出以下10个数：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36.要求把大于40的数找出来并输出．试画出该问题的算法程序框图．解程序框图如下：。