3.1_衍射的基本理论

第3节将介绍菲涅耳提出的一种简便的分析方法 -波带法。它在处理一些有对称性的问题时，既方便，物 理图象又清晰。
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3.1.3 基尔霍夫衍射公式

惠更斯-菲涅耳公式

~ K ( ) E (Q) ikr E dE C e dS s s r 没有给出方向因子K()的具体表达式。

菲涅耳的改进

补充了描述“次波”特征：相位和振幅的定量表示； 增加了“次波相干叠加”的原理。
波面S上每一个面元dS均可以看成新的波源，各新 波源均发出球面次波； 波面前方空间某点P的振动可以由S上所有面元dS 所发次波在P点叠加后的合振幅来表示。

惠更斯－菲涅耳原理



惠更斯－菲涅耳原理的数学表达式
直线传播规律 反射折射规律 双折射现象
成功之处
定性地解释光的干涉、衍射现象
不足之处
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不能解释干涉、衍射光的振幅大小变化 不能解释衍射光场中光强的重新分布
惠更斯原理对平面与球面波的解释
子波源 子波
子波
子波源 新波阵面
新波阵面
来自百度文库
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n dS ) r0 S r P
惠更斯－菲涅耳原理
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1. 基尔霍夫积分定理
~ ikr ikr 1 E e e ~ E ( P) E d 4 n r n r



这就是亥姆霍兹- -基尔霍夫积分 定理。 它将P点的光场与周围任一闭合曲 面Σ上的光场联系了起来； 实际上可以看作是惠更斯- -菲涅 耳原理的一种较为完善的数学表 达式。
ie ~ E ( x, y )
ikz1
z1
e
x2 y2 ik 2 z1
~ E ( x1, y1 )e

ik
xx1 yy1 z1
dx1dy1
- -夫琅和费近似下的基尔霍夫公式。
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总结


菲涅耳衍射和夫朗和费衍射是傍轴近似下的两 种衍射情况； 二者的区别条件是：观察屏到衍射屏的距离z1 与衍射孔的线度(x1,y1)之间的相对大小。
2、夫琅禾费（Fraunhofer）衍射 （远场衍射）
r0 和 R 皆为无限大（也可用透镜实现）。
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圆孔的衍射图样随 r0 的变化（R=∞）：
r0→ ∞
屏上 r0 很小 图形：
r0 增加
r0→∞
孔的投影
（光直线传播）
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菲涅耳衍射
夫琅禾费衍射
3.1.2 惠更斯－菲涅耳原理
2 2
2 2 2 2 2 1 ( x x1 ) ( y y1 ) 1 ( x x1 ) ( y y1 ) z1 1 8 2 2 2 z z 1 1
当z1大到满足
k [( x x1 )2 ( y y1 )2 ]2 max 3 8 z1
此式称为菲涅耳—基尔霍夫衍射公 式。与(3-1)式进行比较，可得
(3-1)
A ikl ~ ~ E (Q ) E (l ) e l cos(n , r ) cos(n , l ) K ( ) 2 i C

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3. 基尔霍夫衍射公式的近似
1)傍轴近似 在一般的光学系统中，对成像起主要作用的是那些与光 学系统光轴夹角极小的傍轴光线。- -低空间频率 对于傍轴光线，图36所示的开孔Σ的线 度和观察屏上的考察 范围都远小于开孔到 观察屏的距离。 下面的两个近似条件通常都成立： ①cos(n,r)≈1,cos(n,l)= -1, 于是K(θ)≈1；②r≈z1。
孔的投影 （光直线传播）

菲涅耳衍射

夫琅禾费衍射
近场近似- -菲涅耳衍射； 远场近似- -夫朗和费衍射
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近场、远场的划分是相对的， 对一定波长的光来说，衍射孔 径愈大，相应的近场与远场的 距离也愈远。
近场近似- -菲涅耳近似
如图3-6, 设PQ=r,则由几何关系有
r x x1 y y1 2 z1 ( x x1 ) 2 ( y y1 ) 2 z1 1 z z 1 1
远场近似- -夫朗和费近似
当观察屏离孔的距离很大， 满足 时，可将r进一步简化为
( x12 y12 ) max k 2 z1
x 2 y 2 xx1 yy1 r z1 2 z1 z1
这一近似称为夫朗和费近似，在这个区域内观察 到的衍射现象叫夫朗和费衍射(或远场衍射)。 在夫朗和费近似下， P点的光场复振幅为
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Q
n ) r0 r P
数学表达式

注意数学表达式 的物理含义及各 量的物理意义
dS S


dS所发次波在P点 K ( ) E (Q) ikr dE C e dS 产生的振动为 r S上所有面元dS在P点叠加产生的合振动为 ~ K ( ) E (Q) ikr E dE C e dS s s r 此式称为菲涅耳衍射积分，一般计算此积分相当复杂， 特殊情况下可简化，可用代数加法或矢量加法代替积分。
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菲涅耳近似条件
时，上式第三项及以后的各项都可略去.
菲涅耳近似条件下基尔霍夫公式
此时有
2 2 1 ( x x1 ) ( y y1 ) r z1 1 2 2 z 1
这一近似称为菲涅耳近似，在这个区域内观察到
3.1
衍射的基本理论
3.1.1 光的衍射现象 3.1.2 惠更斯-菲涅耳原理 3.1.3 基尔霍夫衍射公式
1*. 基尔霍夫积分定理 2*. 基尔霍夫衍射公式 3. 基尔霍夫衍射公式的近似
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3.1.1 光的衍射现象

波在传播过程中，遇到障碍物时，会发生衍射现象。即 不沿直线传播，而向各方向绕射的现象。 声波、水面波－机械波有衍射现象 无线电波－电磁波（长波）有衍射现象
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2. 基尔霍夫衍射公式
i ~ ~ e cos(n , r ) cos(n , l ) E ( P) E (l ) d (3 - 14) r 2
ikr
~ K ( ) E (Q) ikr E dE C e dS s s r
声波波长：10m 无线电波：100m 微波：10mm 光波：400nm-760nm
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光的直线传播与光的衍射现象并不矛盾

波的直线传播和波的衍射，是波在传播过程中 不同条件下的具体表现，两者并不矛盾。


当波遇到的障碍物线度远大于波长时，表现为直线 传播； 当波遇到的障碍物线度与波长差不多时，表现为衍 射；

“光的直线传播”不是独有的，机械波、电磁 波同样也有直线传播。


超声波具有明显的方向性、高架公路边的隔声墙、 海港防波堤 微波一般也表现为直线传播，－－微波中继站
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衍射的分类
障碍物 光源 S 观察屏
*
R
B
r0
P
1、菲涅耳（Fresnel）衍射 （近场衍射）
r0 和 R 中至少有一个是有限值。
~ K ( ) E (Q) ikr E dE C e dS s s r
最初菲涅耳做上述假设时只凭朴素的直觉，1882年以 后，基尔霍夫（Kirchhoff）求解光的电磁波动方程，也 得到了上述E 的表示式，这使得惠- -菲原理有了波动理 论的根据，证明了惠- -菲原理的假设基本正确。 直接计算E 的积分相当复杂，可采用振幅矢量叠加 法做近似处理；夫琅禾费衍射时，积分较简单。
的衍射现象叫菲涅耳衍射(或近场衍射)。 在菲涅耳近似下， P点的光场复振幅为
i ~ ~ E ( x, y ) E ( x1 , y1 )e z1
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( x x1 ) 2 ( y y1 ) 2 ikz1 [1 ] 2 2 z1
dx1dy1
- -菲涅耳近似下的基尔霍夫公式。

例如，当λ=0.63μm，孔径线度为2mm，观察距离 z1>>1cm时为菲涅耳衍射，z1>>3m时为夫朗和费衍射。 夫朗和费衍射可以得到解析解，也是光学仪器中常 见的衍射现象； 菲涅耳衍射需近似求解。

实际问题中


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基尔霍夫从微分波动方程出发，引入格林函数，给出了 惠更斯-菲涅耳原理较完善的表达式； 将空间P点的光场与其周围任一封闭曲面上的各点光场 建立了联系，并得到了倾斜因子K()的表达式，建立了 光的衍射理论；- -标量衍射理论

将光场当作标量处理，把光矢量一个分量当作一个独立标量来 处理； 近似理论； 对高分辨率衍射光栅，要达到精确的结果，还需考虑光场的矢 量性。



光波－电磁波（短波）也有衍射现象 光的衍射：光遇到障碍物时，绕过障碍物偏离直线传播 而进入几何阴影，并产生光强分布不均匀的现象。 在传播过程中改变光波波面，将会发生衍射： 以一定的形式限制波面的范围(波面残缺)； 以一定的空间分布使相位延迟； 光的衍射为什么不易看到？

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衍射现象在数学处理上遇到很大困难， 许多实际问题得不到严格的解。 衍射理论大多是近似理论。


惠更斯原理 惠更斯－菲涅耳原理
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惠更斯原理

波面：光场中，相位相同点的构成的轨迹称为等相面， 也称波阵面。- -数学概念 惠更斯原理（图示） 任意时刻波面上的各点都可以作为次波源，各自发 出球面次波；在下一时刻，这些次波波面的包络面 即是该时刻的新波面。 较好地解释光的

~

理论上，若已知某时刻t0，波面S上的E(Q)及K()，即 可计算出其后光场中P点在任意时刻t的振幅－－很难。 实验上，E(Q)与K()均可测量，代入积分公式后可由计 算机进行运算。
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E(Q)：dS处振幅的分布函数； K()：倾斜因子，增大，K()减小。
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基尔霍夫公式
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i ~ ~ ikr E ( P) E ( Q ) e d z1
(3 - 15)
2) 距离近似- -菲涅耳近似和夫朗和费近似

在前面介绍衍射种类时，已知观察屏距衍射孔 的距离不同，衍射图样是不同的；
r0 增加 r0 → ∞
屏上 r0 很小 图形：
光的衍射(圆孔、单缝)
圆孔衍射
S
*
单缝衍射
H
P
不但光线 拐弯，而 且在屏上 出现明暗 相间的条 纹。
S
G
*
- -衍射
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光的衍射(圆屏、直边)
刀片边缘的衍射 圆屏的衍射
注意刀片狭缝的衍射花样
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注意阴影中央的亮点（泊松点）
光的衍射是有条件的



主要取决于障碍物的大小，当障碍物的线 度与波长可比时，即会出现衍射现象； 衍射现象是否明显，除障碍物的线度外， 还与观察的距离和方式、光源的强度和相 干性等因素有关； 一般来说，障碍物的线度要比光波的波长 大得多，故不易看到光的衍射现象。