第22讲 任意角的三角函数及诱导公式

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]

高三新数学第一轮复习教案（讲座22）—任意角的三角函数及诱

导公式

一．课标要求：

1．任意角、弧度

了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2．三角函数

（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；

（2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（π/2±α, π±α的正弦、余弦、正切）。

二．命题走向

从近几年的新课程高考考卷来看，试题内容主要考察三角函数的图形与性质，但解决这类问题的基础是任意角的三角函数及诱导公式，在处理一些复杂的三角问题时，同角的三角函数的基本关系式是解决问题的关键。

预测2007年高考对本讲的考察是：

1．题型是1道选择题和解答题中小过程； 2．热点内容是三角函数知识的综合应用和实际应用，这也是新课标教材的热点内容。

三．要点精讲

1．任意角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α。旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。

为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。

2．终边相同的角、区间角与象限角

角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。

终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2k π(k ∈Z)，即β∈{β|β=2k π+α，k ∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。

区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α|

6π≤α≤65π}=[6

π，65π]。

3．弧度制

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。

角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由

角的旋转方向来决定。

角α的弧度数的绝对值是：r

l

=

α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径。 角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒

=。

弧度与角度互换公式：1rad ＝π

180°≈57.30°=57°18ˊ、1°＝180

π≈0.01745（rad ）。

弧长公式：r l ||α=（α是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：2||2

1

21r r l S α==。 4．三角函数定义

在α的终边上任取一点(,)P a b ,

它与原点的距离0r >.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .则sin MP b

OP r

α=

=；cos OM a OP r α=

=；tan MP b

OM a

α==。 利用单位圆定义任意角的三角函数，

设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:

(1)y 叫做α的正弦,记做sin α,即

sin y α=；

（2）x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=；

（3）

y

x 叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y

x x

α=≠。

5．三角函数线

三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便。

以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：

这个

单位长度不一定就是1厘米或1米）。当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，根据三角函数的定义：

|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==。

我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：

当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有

cos OM x α==

同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，

规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与

y 轴反向时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标。

这样,无论那种情况都有sin MP y α==。像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段。

如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有

tan y AT x

α==

我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、

余弦线、正切线，统称为三角函数线。

6．同角三角函数关系式

使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法。

几个常用关系式：sin α+cos α，sin α-cos α，sin α·cos α；(三式之间可以互相表示)

同理可以由sin α－cos α或sin α·cos α推出其余两式。