2019-2020年数学必修2同步课件讲义应用案巩固提升：第1章1 1.3.1 空间几何体的表面积(苏教版)
2019-2020年数学必修2同步课件讲义应用案巩固提升：第1章2 第2课时 应用案巩固提升(苏教版)
[A基础达标]1．如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B.由PB⊥α，AC⊂α得PB⊥AC，又AC⊥PC，PC∩PB＝P，所以AC⊥平面PBC，AC⊥BC.故选B.2．如图所示，P A⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，∠PBA＝θ1，∠PBC＝θ2，∠ABC ＝θ3.则下列关系一定成立的是()A．cos θ1cos θ2＝cos θ3B．cos θ1cos θ3＝cos θ2C．sin θ1sin θ2＝sin θ3D．sin θ1sin θ3＝sin θ2解析：选B.⎭⎪⎬⎪⎫P A⊥平面ABCBC⊂平面ABC⇒⎭⎪⎬⎪⎫P A⊥BCAC⊥BCP A∩AC＝A⇒BC⊥平面P AC⇒BC⊥PC，所以cos θ1＝ABPB，cosθ2＝BCPB，cosθ3＝BCAB.则有cos θ1cos θ3＝cos θ2.3.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定解析：选C.因为BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，所以BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，所以l⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以l⊥AC.4．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是()A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GE D．PQ⊥FH解析：选B.因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段解析：选A.如图，由于BD1⊥平面AB1C，故点P一定位于B1C上．6．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．解析：如图所示，取BC的中点E，连结DE，AE，则AE⊥平面BB1C1C.所以AE⊥DE，因此AD与平面BB1C1C所成角即为∠ADE，设AB＝a，则AE＝32a，DE＝a2，即有tan∠ADE＝3，所以∠ADE＝60°.答案：60°7．如图，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的序号为________．解析：由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，①成立．又因为FG2⊥EG2，即FG⊥EG，又因为SG∩EG＝G，所以GF⊥平面GSE，又SE⊂平面GSE，所以GF⊥SE.故③成立．若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，②错．因为EF不垂直于EG，所以EF不垂直于平面SEG，④错．答案：①③8.如图所示，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A 1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，C点到AB1的距离为CE，D为AB的中点．求证：(1)CD⊥AA1；(2)AB1⊥平面CED.证明：(1)由题意，得AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以CD⊥AA1.(2)因为D是AB的中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，所以CD⊥AB.又CD⊥AA1，AB∩A1A＝A，所以CD⊥平面A1B1BA，因为AB1⊂平面A1B1BA，所以CD⊥AB1.又CE⊥AB1，CD∩CE＝C，所以AB1⊥平面CED.9．如图，四棱锥P-ABCD中，O是底面正方形ABCD的中心，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．(1)证明：EO∥平面P AD；(2)证明：DE⊥平面PBC.证明：(1)连结AC，因为点O是底面正方形ABCD的中心，所以点O是AC的中点，又因为E是PC的中点，所以在△P AC中，EO是中位线，所以P A∥EO.因为EO⊄平面P AD，P A⊂平面P AD，所以EO∥平面P AD.(2)因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC，因为底面ABCD是正方形，有BC⊥DC，所以BC⊥平面PDC.而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE.因为PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，所以DE⊥PC.又BC，PC⊂平面PBC，且BC∩PC＝C，所以DE⊥平面PBC.[B能力提升]1．已知三条相交于一点的线段P A、PB、PC两两垂直，且A、B、C在同一平面内，P 在平面ABC外，PH⊥平面ABC于点H，则垂足H是△ABC的()A．外心B．内心C．垂心D．重心解析：选C.易证AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB，故点H为△ABC的垂心．2．正△ABC的边长为a，沿高AD把△ABC折起，使∠BDC＝90°，则B到AC的距离为________．解析：如图，作DH⊥AC于H，连结BH.因为BD⊥AD，BD⊥DC，AD∩DC＝D，所以BD⊥平面ACD.从而BD⊥DH，所以DH为BH在平面ADC内的射影，所以BH⊥AC，又正△ABC边长为a，所以DH＝34a，所以BH＝BD2＋DH2＝74a.答案：74a3.如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面P AD为正三角形，且PG⊥平面ABCD.若G为AD边的中点．求证：BG⊥平面P AD.证明：连结BD，由题意知△P AD为正三角形，G是AD的中点，所以PG⊥AD.因为PG⊥平面ABCD.所以PG⊥BG.又因为四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，所以△ABD是正三角形．所以BG⊥AD.又AD∩PG＝G，所以BG⊥平面P AD.4．(选做题)已知在四棱锥P ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.(1)求证：PC⊥BC.(2)求点A到平面PBC的距离．解：(1)证明：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC，因为∠BCD＝90°，所以BC⊥CD，又PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD，又PC⊂平面PCD，所以PC⊥BC.(2)过点A作BC的平行线交CD的延长线于E，过点E作PC的垂线，垂足为F(图略)，则有AE∥平面PBC.所以点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离，又EF⊥PC，BC⊥平面PDC，则EF⊥BC，又BC∩PC＝C，所以EF⊥平面PBC，所以EF即为E到平面PBC的距离．又因为AE∥BC，AB∥CD，所以四边形ABCE为平行四边形，所以CE＝AB＝2，又因为PD＝CD＝1，PD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PD⊥CD，∠PCD＝45°，所以EF＝2，即点A到平面PBC的距离为 2.。
2019-2020年数学必修2同步课件讲义应用案巩固提升：第1章1 1.1.1 应用案巩固提升(苏教版)
[A基础达标]1．下列说法正确的是()A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥的底面一定是三角形C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D．棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱解析：选D.棱柱和棱锥的底面可以是任意多边形，故选项A、B均不正确；可沿棱锥的侧棱将其分割成两个棱锥，故C错误；用平行于棱柱底面的平面可将棱柱分割成两个棱柱．2．具备下列条件的多面体是棱台的是()A．两底面是相似多边形的多面体B．侧面是梯形的多面体C．两底面平行的多面体D．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体解析：选D.由棱台的定义可知，棱台的两底面平行，侧棱延长后交于一点．3．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱共有对角线()A．20条B．15条C．12条D．10条解析：选D.如图，在五棱柱ABCDE A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共有2×5＝10(条)．4．有下列说法：①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是四边形的几何体不一定是棱台；③两个互相平行的面是正方形，其余各面是四边形的几何体一定是棱台．其中正确的说法的序号有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选C.①正确，因为具有这些特征的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②正确，如图所示；③不正确，当两个平行的正方形全等时，一定不是棱台．故选C.5．如图，已知四边形ABCD是一个正方形，E，F分别是边AB和BC的中点，沿DE，EF，FD折起得到一个空间几何体，则这个空间几何体是________(只填几何体的名称)．解析：折起后是一个三棱锥(如图所示)．答案：三棱锥6．在下面的四个平面图形中，是侧棱都相等的四面体的展开图的为__________．(填序号)解析：由于③④中的图组不成四面体，只有①②可以．答案：①②7．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________．(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是：①矩形，如四边形ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A-A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如ACB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A-A1DC，故填①③④⑤.答案：①③④⑤8．试从正方体ABCD A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连结后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；(3)三棱柱．解：(1)如图所示，三棱锥A1AB1D1(答案不惟一)．(2)如图所示，三棱锥B1ACD1(答案不惟一)．(3)如图所示，三棱柱A1B1D1ABD(答案不惟一)．9．如图，在一个长方体的容器中装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中，(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？(2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？(3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，试着讨论水面和水的形状．解：(1)不对，水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状，因而是矩形，不可能是其他非矩形的平行四边形．(2)不对，水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱；但不可能是棱台或棱锥．(3)用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形，因而水面的形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形；水的形状可以是棱锥，棱柱，但不可能是棱台．[B能力提升]1．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面()A．至多有一个是直角三角形B．至多有两个是直角三角形C．可能都是直角三角形D．必然都是非直角三角形解析：选C.注意到答案特征是研究侧面最多有几个直角三角形，这是一道开放性试题，需要研究在什么情况下侧面的直角三角形最多．在如图所示的长方体中，三棱锥A-A1C1D1的三个侧面都是直角三角形．2．如图所示，共有6个立体图形．(1)找出底面或侧面和图②具有相同特征的图形，并说出相同特征是什么？(2)找出其他底面或侧面具有相同特征的图形，并说出相同特征是什么？解：(1)图④与图②的底面都是五边形；图⑤与图②的侧面都是三角形．(2)图①与图③，⑤，⑥的底面都是四边形；图①与图④，⑥的侧面都是长方形．3．(选做题)如图，图①是正方体木块，把它截去一块，可能得到的几何体有②③④⑤⑥的木块．(1)我们知道，正方体木块有8个顶点、12条棱、6个面，请你将图②③④⑤的木块的顶点数、棱数、面数填入下表：图号顶点数棱数面数①812 6②③④⑤(3)看图⑥中正方体的切法，请验证你所得的数量关系是否正确．解：(1)通过观察各几何体，得到表格：图号顶点数棱数面数①812 6②69 5③812 6④8137⑤101578＋6－12＝2，6＋5－9＝2，8＋6－12＝2，8＋7－13＝2，10＋7－15＝2.由特殊到一般，归纳猜想得到，顶点数V＋面数F－棱数E＝2；(3)该木块的顶点数为10，面数为7，棱数为15，有10＋7－15＝2，与(2)中归纳的数量关系式“V＋F－E＝2”相符．。
2019-2020年数学必修2同步课件讲义应用案巩固提升：第1章1 1.2.1 应用案巩固提升(苏教版)
[A基础达标]1．下面给出了三个条件：①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线a都平行的两条直线．其中，能确定一个平面的条件有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选B.①空间三点共线时不能确定一个平面．②点在直线上时不能确定一个平面．③和直线a都平行的两直线平行，能确定一个平面．故选B.2．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，且M∈l，N∈l，那么() A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：选A.因为M∈a，N∈b，a⊂α，b⊂α，所以M∈α，N∈α.而M，N确定直线l，根据公理1可知，l⊂α.故选A.3．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合解析：选C.选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故C错．4．空间四点A，B，C，D共面但不共线，那么这四点中()A．必有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线解析：选B.若AB∥CD，则AB，CD共面，但A，B，C，D任何三点都不共线，故排除A，C；若直线l与直线外一点A在同一平面内，且B，C，D三点在直线l上，所以排除D.故选B.5.如图，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过()A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点D解析：选D.根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D.6．已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．解析：当β与γ相交时，若α过β与γ的交线，有1条交线；若α不过β与γ的交线，有3条交线；当β与γ平行时，有2条交线．答案：1或2或37．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．解析：如图，因为AC∥BD，所以AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.因为l∩α＝O，所以O∈α.又因为O∈AB⊂β，所以O∈直线CD，所以O，C，D三点共线．答案：共线8．如图所示的正方体中，P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________．(把正确图形的序号都填上)解析：图形①中，连结MN，PQ(图略)，则由正方体的性质得MN∥PQ，根据推论3可知两条平行直线可以确定一个平面，故图形①正确．分析可知③中四点共面，②④中四点均不共面．答案：①③9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)直线AC1在平面CC1B1B内；(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D 的交线为OO1；(3)由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1；(4)由A，C1，B1确定的平面与由A、C1、D确定的平面是同一个平面．解：(1)错误．如图所示，点A∉平面CC1B1B，所以直线AC1⊄平面CC1B1B.(2)正确．如图所示．因为O∈直线AC⊂平面AA1C1C，O∈直线BD⊂平面BB1D1D，O1∈直线A1C1⊂平面AA1C1C，O1∈直线B1D1⊂平面BB1D1D，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.(3)(4)都正确，因为AD∥B1C1且AD＝B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以A，B1，C1，D共面．10．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．证明：如图．(1)因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1，在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF、BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.则Q 是α与β的公共点，同理P 是α与β的公共点， 所以α∩β＝PQ .又A 1C ∩β＝R ，所以R ∈A 1C . 所以R ∈α，且R ∈β，则R ∈PQ . 故P ，Q ，R 三点共线．[B 能力提升]1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱DD 1和BB 1上的点，MD ＝13DD 1，NB＝13BB 1，那么正方体的过点M ，N ，C 1的截面图形是( ) A ．三角形 B ．四边形 C ．五边形D ．六边形解析：选C.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱DD 1和BB 1上的点，MD ＝13DD 1，NB ＝13BB 1.如图，延长C 1M 交CD 于点P ，延长C 1N交CB 于点Q ，连结PQ 交AD 于点E ，AB 于点F ，连结NF ，ME ，则正方体的过点M ，N ，C 1的截面图形是五边形，故选C.2．已知A 、B 、C 、D 为不共面的四点，E 、F 、G 、H 分别在AB 、BC 、CD 、DA 上， (1)如果EH ∩FG ＝P ，那么点P 在________上； (2)如果EF ∩GH ＝Q ，那么点Q 在________上． 解析：(1)如图，由AB 、AD 确定平面α. 因为E 、H 在AB 、DA 上，所以E ∈α，H ∈α， 所以直线EH ⊂α， 又因为EH ∩FG ＝P ， 所以P ∈EH ，P ∈α.设BC 、CD 确定平面β，同理可证，P ∈β， 所以P 是平面α，β的公共点，因为α∩β＝BD ，所以点P 在直线BD 上． 同理可证(2)点Q 在直线AC 上． 答案：(1)BD 所在的直线 (2)AC 所在的直线3．在四边形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ，BC ，DC ，AD (或延长线)分别与平面α相交于点E ，F ，G ，H .求证：E ，F ，G ，H 必在同一直线上． 证明：因为AB ∥CD ，所以四边形ABCD是一个平面图形，即AB，CD确定一个平面β，则AB⊂β，AD⊂β.因为E∈AB，所以E∈β，因为H∈AD，所以H∈β.又因为E∈α，H∈α，所以α∩β＝EH.因为DC⊂β，G∈DC，所以G∈β.又因为G∈α，所以点G在α与β的交线EH上．同理，点F在α与β的交线EH上．所以E，F，G，H四点共线．4．(选做题)如图，定线段AB所在的直线与定平面α相交，交点为O，P为定直线外一点，P∉α，直线AP，BP与平面α分别相交于A′，B′，试问，如果P点任意移动，直线A′B′是否恒过一定点，请说明理由．解：随着P点移动，直线A′B′恒过定点O，O为直线AB与平面α的交点．理由如下：直线AB和直线外一点P可确定平面β，因为AP∩α＝A′，BP∩α＝B′，所以α∩β＝A′B′，而AB∩α＝O，所以O一定在交线A′B′上，即直线A′B′恒过定点O.。
北师大数学必修二新素养应用案巩固提升：第一章2 柱锥台的体积 含解析
7．2柱、锥、台的体积柱、锥、台的体积公式几何体公式说明柱体V柱体＝ShS为柱体的底面积，h为柱体的高锥体V锥体＝13ShS为锥体的底面积，h为锥体的高台体V台体＝13(S上＋S下＋S上·S下)×hS上、S下分别为台体的上、下底面积，h为台体的高1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个柱体的体积相等，则表面积相等．()(2)如果一个柱体和一个锥体的体积相等，则两几何体的底面积相同．()(3)锥体的体积是柱体体积的13.()(4)柱体、锥体、台体这些简单几何体的体积只与该几何体的底面积和高有关．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．已知有一个圆柱形水缸，其中底面半径为0.5 m，里面水高度为0.8 m，现在有一个不规则几何体放进水缸，并且完全浸入水中，水面上升到1.2 m，则此不规则几何体体积约为(精确到0.1，π取3.14)()A．0.4 m3B．0.2 m3C．0.3 m3D．0.8 m3解析：选C.由水面上升0.4 m得体积V＝π·0.52×0.4＝0.1π≈0.3(m3)．3．圆台的上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是() A.23π3B．23πC.73π6D．73π3解析：选D.设上、下底面半径为r′，r，母线长为l，则⎩⎪⎨⎪⎧πr′2＝π，πr2＝4π，π（r′＋r）·l＝6π，所以⎩⎪⎨⎪⎧r′＝1，r＝2，l＝2.圆台的高h ＝l 2－（r －r ′）2＝3，所以V 圆台＝13(π＋π·4π＋4π)·3＝73π3.4．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a ＝________.解析：由三视图可知几何体为一个直三棱柱，底面三角形中边长为2的边上的高为a ， 则V ＝3×⎝⎛⎭⎫12×2×a ＝33， 所以a ＝ 3. 答案： 3求不规则几何体的体积可通过对几何体分割，使每部分能够易求得其体积，也可将其“补”成规则几何体，使所求体积等于整体几何体的体积减去部分几何体的体积，这就是我们常说的割补法，是解决此类问题的常用方法，还要注意不同的割补方式会得到不同的几何体，做题时要仔细观察．柱体、锥体的体积如图，某几何体的主视图是平行四边形，左视图和俯视图都是矩形，求该几何体的体积．[解] 由三视图知，该几何体为平行六面体，由图知高h ＝ 22－12＝ 3.底面积：S ＝3×3＝9， 所以其体积V ＝9 3.在本例中，几何体的体积还可以怎样解？解：以▱A 1ABB 1所在平面为底面，变成一个直棱柱，由主视图及俯视图可得A 1E ＝3，S ▱A 1ABB 1＝33，V 柱＝33×3＝9 3.求柱体、锥体体积常用的方法(1)公式法：直接代入公式求解．(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．1.(1)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．(2)如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，过顶点B ，D ，A 1截下一个三棱锥． ①求剩余部分的体积；②求三棱锥A -A 1BD 的体积及高．解：(1)设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，所以h ＝1， 所以斜高h ′＝12＋（3）2＝2，所以S 侧＝6×12×2×2＝12.故填12.(2)①V 三棱锥A 1ABD ＝13S △ABD ·A 1A＝13×12·AB ·AD ·A 1A ＝16a 3. 故剩余部分的体积V ＝V 正方体－V 三棱锥A 1-ABD ＝a 3－16a 3＝56a 3. ②V 三棱锥A 1-ABD ＝V 三棱锥A 1-ABD＝16a 3. 设三棱锥A -A 1BD 的高为h ， 则V 三棱锥A 1-ABD ＝13·S △A 1BD·h ＝13×12×32(2a )2h ＝36a 2h ， 故36a 2h ＝16a 3，解得h ＝33a . 台体的体积设圆台的高为3，其轴截面(过圆台轴的截面)如图所示，母线A 1A 与底面圆的直径AB 的夹角为60°，在轴截面中A 1B ⊥A 1A ，求圆台的体积V .[解] 设AB的中点为O ，连接A 1O ，作A 1D ⊥AB ，易知A 1D ＝3， 因A 1B ⊥A 1A ，则在Rt △A 1AB 中，A 1O ＝12AB ＝AO .又因∠A 1AB ＝60°，所以△A 1AO 为等边三角形． 所以在△A 1AO 中A 1D ＝32AO ＝3，得AO ＝2 3.设圆台的上、下底面半径分别为r ，R . 所以R ＝AO ＝23，r ＝12A 1B 1＝12OB ＝12AO ＝DO ＝ 3. 由V ＝13π×3×(12＋23×3＋3)＝π×(12＋6＋3)＝21π.故圆台体积为21π.(1)求台体的体积，其关键在于求高，一般地，把高放在直角梯形中求解．(2)“还台为锥”是一种求解台体的重要思想．借助相似等手段以及相关知识求解．2.(1)已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为________．(2)正四棱台的侧棱长为3 cm ，两底面边长分别为1 cm 和5 cm ，求体积．解：(1)由题意可得六棱台上、下底面的面积分别为S 上＝63，S 下＝243，高h ＝2，所以V 六棱台＝13h (S 上＋S 下＋S 上·S 下)＝13×2×(63＋243＋123)＝28 3.故填28 3.(2)正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 1、O 分别是两底面的中心．因为A 1C 1＝2，AC ＝52，所以A 1O 1＝22，AO ＝522， 所以O 1O ＝32－⎝⎛⎭⎫522－222＝1，V ＝13×1×(12＋52＋12×52)＝13(1＋25＋5)＝313(cm 3)． 组合体的体积如图所示，已知等腰梯形ABCD 的上底AD ＝2 cm ，下底BC ＝10 cm ，底角∠ABC ＝60°，现绕腰AB 旋转一周，求所得的旋转体的体积．[解] 过D 作DE ⊥AB 于E ，过C 作CF ⊥AB 于F ，Rt △BCF 绕AB 旋转一周形成以CF 为底面半径，BC 为母线长的圆锥；直角梯形CFED 绕AB 旋转一周形成圆台；直角三角形ADE 绕AB 旋转一周形成圆锥，那么梯形ABCD 绕AB 旋转一周所得的几何体是以CF 为底面半径的圆锥和圆台，挖去以A 为顶点、以DE 为底面半径的圆锥的组合体．因为AD ＝2，BC ＝10，∠ABC ＝60°， 所以在Rt △BCF 中，BF ＝5，FC ＝5 3. 因为AD ∥BC ，所以∠DAE ＝∠ABC ＝60°， 所以在Rt △ADE 中，DE ＝3，AE ＝1. 又在等腰梯形ABCD 中可求AB ＝8，所以AF ＝AB －BF ＝8－5＝3，EF ＝AE ＋AF ＝4， 所以旋转后所得几何体的体积为V ＝13π·BF ·FC 2＋13π·EF ·(DE 2＋FC 2＋DE ·FC )－13π·AE ·DE 2＝13π·5·(53)2＋13π·4·[(3)2＋(53)2＋3·5 3 ]－13π·1·(3)2＝248π(cm 3)， 故所得的旋转体的体积为248π cm 3.解组合体的体积的步骤第一步：弄清组合体的构成；第二步：求出各部分简单几何体的体积；第三步：把第二步解出的体积相加或者相减，得组合体的体积．3.(1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．解析：(1)此几何体是由一个长为3，宽为2，高为1的长方体与底面直径为2，高为3的圆锥组合而成的，故V＝V长方体＋V圆锥＝3×2×1＋1π×12×3＝(6＋π)m3.3(2)圆柱的底面半径为2，母线长为4，其体积V1＝Sh＝π×22×4＝16π；被挖去一个底面是边长为2的正方形，侧棱长为4的长方体，其体积V2＝22×4＝16.故该几何体的体积是V＝V1－V2＝16π－16.答案：(1)6＋π(2)16π－16规范解答几何体体积求解(本题满分12分)如图，一个高为H的三棱柱形容器中盛有水，若侧面AA1B1B 水平放置时，液面恰好分别过AC，BC，A1C1，B1C1的中点E，F，E1，F1.当底面ABC水平放置时，液面高为多少？[解]当侧面AA1B1B水平放置时，水的体积V等于四棱柱ABFE-A1B1F1E1的体积，V＝V四棱柱＝S梯形ABFE·H. (4分)当底面ABC水平放置时，设水面高为h，则水的体积V＝S△ABC·h. (6分)因为E，F分别为AC，BC的中点，所以S△CEF＝14S△ABC，所以S梯形ABFE＝34S△ABC. (9分)由S梯形ABFE·H＝S△ABC·h，即34S△ABC ·H＝S△ABC·h，得h＝34H，(11分)故当底面ABC水平放置时，液面高为34H.(12分)失分点，此处易误认为是棱台导致解错．明确相似三角形的面积与对应边的关系，易错点．解题步骤要完整，此结论易漏掉．在求几何体的条件时，确定几何体的特征至关重要，尤其是不熟悉的放置位置时，更要准确把握几何体的类型．在研究两个几何体的体积、表面积的关系时，充分利用平面几何中面积或线段的比例，可以大大简化运算，降低出错率．1．圆锥底面半径为3，母线长为5，则这个圆锥的体积为()A．36πB．18πC．45πD．12π解析：选D.设圆锥的高为h，则h＝52－32＝4，故圆锥体积V＝13πr2h＝13π×32×4＝12π.2．已知一个圆柱的底面直径和母线长均为4，则该圆柱的体积为()A．2πB．4πC．8πD．16π解析：选D.由已知得圆柱的底面半径为2，高为4，故其体积为π×22×4＝16π.3．如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，设三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为V ，那么三棱台AEF -A 1B 1C 1的体积为________(用V 表示)．解析：设△ABC 的面积为S ，则S △AEF ＝14S ，所以V 台＝13⎝⎛⎭⎫S ＋S ·14S ＋14S ·h ＝13×74Sh ＝712V . 答案：712V4．如图，一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？(π≈3.14)解：设水面下降的高度为x cm ，因为圆锥形铅锤的体积为13×π×⎝⎛⎭⎫622×20＝60π(cm 3)，小圆柱的体积为π×(20÷2)2×x ＝100πx (cm 3)．所以60π＝100πx ，解得x ＝0.6(cm)．则铅锤取出后，杯中水面下降了0.6 cm., [学生用书P107(单独成册)])[A 基础达标]1．若一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的体积为( )A ．3πB ．33π C.3πD ．32π 解析：选B.设圆锥的底面半径为R ，依题意知该圆锥的高即轴截面的高h ＝32·2R ＝3R ，所以12·2R ·3R ＝3，解得R ＝1.所以V ＝13×π×12×3＝33π.2．将两个棱长为10 cm 的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5 cm 的正四棱柱，则该四棱柱的高为( )A ．8 cmB ．80 cmC ．40 cmD ．165cm解析：选B.设正四棱柱的高为h cm ，依题意得5×5×h ＝2×103，解得h ＝80(cm)． 3．一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为( )A.12 B ．32C ．1D ．13解析：选A.由三视图可知该几何体为四棱锥，棱锥的体积V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22×1×1＝12. 4．正三棱柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则该正三棱柱的体积是( ) A.839B ．439C.239D ．439或839解析：选D.当2为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a ＝23，底面面积S ＝34a 2＝39，正三棱柱的高h ＝4，所以正三棱柱的体积V ＝Sh ＝439；当4为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a ′＝43，底面面积S ′＝34a ′2＝439，正三棱柱的高h ′＝2，所以正三棱柱的体积V ′＝S ′h ′＝839.所以正三棱柱的体积为439或839.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π4解析：选B.这是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体，如图，几何体的高为2，V＝23－14×π×12×2×2＝8－π.故选B.6．一个长方体的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体积为________． 解析：设长方体的棱长分别为a ，b ，c ，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝2，ac ＝3，bc ＝6，三式相乘可知(abc )2＝6，所以长方体的体积V ＝abc ＝ 6.答案： 67．如图是一个几何体的三视图，其中主视图和左视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为2的等腰梯形，则该几何体的体积是________．解析：由三视图可知此几何体为一圆台，上底半径为2，下底半径为1，不难求出此圆台的高，如图，h ＝（2）2－12＝1，故体积V ＝13π·(22＋2×1＋12)×1＝7π3.答案：7π38．若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的__________倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的________倍．解析：圆柱的体积公式为V圆柱＝πr 2h ，底面半径不变，高扩大为原来的4倍时，其体积也变为原来的4倍；高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的42＝16倍．答案：4 169．四边形ABCD 中，A (0，0)，B (1，0)，C (2，1)，D (0，3)，将四边形绕y 轴旋转一周，求所得旋转体的体积．解：因为C (2，1)，D (0，3)，所以圆锥的底面半径r ＝2，高h ＝2. 所以V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×22×2＝83π.因为B (1，0)，C (2，1)，所以圆台的两个底面半径R ＝2，R ′＝1， 高h ′＝1.所以V 圆台＝13πh ′(R 2＋R ′2＋RR ′)＝13π×1×(22＋12＋2×1)＝73π， 所以V ＝V 圆锥＋V 圆台＝5π. 10．一几何体的三视图如图： (1)画出它的直观图；(2)求该几何体的体积．解：(1)其直观图如下．(2)这个几何体是一个三棱锥．由三视图知：AC＝5 cm，作BD⊥AC于D，则BD＝125cm，得S底＝5×125×12＝6(cm2)，高h＝6 cm，得V＝13×6×6＝12(cm3)．[B能力提升]11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．2πB．3πC ．5πD ．7π解析：选B.由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的14，根据对称性，可补全此圆柱如图，故体积V ＝34×π×12×4＝3π. 12．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 正好相同，则h ＝________．解析：设圆锥形容器的液面的半径为R ，则液体的体积为13πR 2h ，圆柱形容器内的液体体积为π⎝⎛⎭⎫a 22h . 根据题意，有13πR 2h ＝π⎝⎛⎭⎫a 22h ，解得R ＝32a .再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得32a a ＝ha ，所以h ＝32a . 答案：32a 13.如图所示，已知三棱柱ABC -A ′B ′C ′，侧面B ′BCC ′的面积是S ，点A ′到侧面B ′BCC ′的距离是a ，求证：三棱柱ABC -A ′B ′C ′的体积V ＝12Sa .证明：法一：如图所示，连接A ′B ，A ′C ，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．显然三棱锥A ′ABC 的体积是13V ，而四棱锥A ′BCC ′B ′的体积为13Sa ，故有13V ＋13Sa ＝V ，所以三棱柱ABC -A ′B ′C ′的体积V ＝12Sa .法二：如图所示，将三棱柱ABC -A ′B ′C ′补成一个四棱柱ACBD -A ′C ′B ′D ′，其中AC ∥BD ，AD ∥BC ，即ACBD 为一个平行四边形，显然三棱柱ABD A ′B ′D ′的体积与原三棱柱ABC -A ′B ′C ′的体积相等．因为四棱柱ACBD -A ′C ′B ′D ′以BCC ′B ′为底面，高为点A ′到面BCC ′B ′的距离，所以补形后的四棱柱的体积为Sa ，于是三棱柱ABC -A ′B ′C ′的体积V ＝12Sa .14．(选做题)如图，有个水平放置的圆台形容器，上、下底面半径分别为2分米、4分米，高为5分米，现以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为3分米时，求所用的时间．(精确到0.01秒)解：如图，设水面的半径为r 分米，则EH ＝(r －2)分米，BG ＝2分米，在△ABG 中，因为EH ∥BG ， 所以AH AG ＝EH BG .因为AH ＝2分米，所以25＝r －22.所以r ＝145(分米)．所以当水面的高度为3分米时，容器中水的体积为 V 水＝13π·3⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1452＋145×4＋42＝876π25(立方分米)． 所以所用的时间为876π253＝292π25≈36.69(秒)．所以所用的时间约为36.69秒．。
2020-2021年数学必修2同步课件讲义应用案巩固提升：第1章4 章末复习提升课(苏教版)
如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，S 是 B1D1 的中点，E、F、G 分别是 BC、DC、 SC 的中点，求证： （1）直线 EG∥平面 BDD1B1； （2）平面 EFG∥平面 BDD1B1.
【证明】 （1）如图，连结 SB，因为 E、G 分别是 BC、SC 的中点，所以 EG∥SB. 又因为 SB⊂平面 BDD1B1， EG⊄平面 BDD1B1， 所以直线 EG∥平面 BDD1B1.
（2）圆柱、圆锥、圆台、球分别是由平面图形矩形、直角三 角形、直角梯形、半圆面旋转而成的，它们都称为旋转体.在 研究它们的结构特征以及解决应用问题时，常需作它们的轴 截面或截面. （3）由柱、锥、台、球组成的简单组合体，研究它们的结构 特征实质是将它们分解成多个基本几何体.
2.线线关系 空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种.两 直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况. （1）证明线线平行的方法 ①线线平行的定义； ②公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行； ③线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b； ④线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b； ⑤面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
高中数学同步课件讲义教案
[汇编整理]
第1章 立体几何初步
章末复习提升课
1.空间几何体的结构特征 （1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且 每相邻两个四边形的公共边都互相平行. 棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的 三角形. 棱台：是棱锥被平行于底面的平面所截而成的. 这三种几何体都是多面体.
（2）连结 SD，因为 F、G 分别是 DC、SC 的中点， 所以 FG∥SD. 又因为 SD⊂平面 BDD1B1，FG⊄平面 BDD1B1， 所以 FG∥平面 BDD1B1，且 EG⊂平面 EFG， FG⊂平面 EFG，EG∩FG＝G， 所以平面 EFG∥平面 BDD1B1.
2019-2020人教A版数学必修2目录课件PPT
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 2.1.4 平面与平面之间的位置关系
2.2 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 2.2.2 平面与平面平行的判定 2.2.3 直线与平面平行的性质 2.2.4 平面与平面平行的性质
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 2.3.2 平面与平面垂直的判定 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质
章末复习课 章末综合测评( 二 )
3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系 4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用
4.3 空间直角坐标系 章末复习课 章末综合测评( 四 )
Thank you for 直线的点斜式方程 3.2.2 直线的两点式方程 3.2.3 直线的一般式方程
3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离 3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离
章末复习课 章末综合测评( 三 )
4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程 4.1.2 圆的一般方程
1.1 空间几何体的结构 第一课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 第二课时 旋转体与简单组合体的结构特征
1.2 空间几何体的三视图和直观图 1.2.1 中心投影与平行投影 1.2.2 空间几何体的三视图 1.2.3 空间几何体的直观图
2020-2021年数学必修2同步课件讲义应用案巩固提升：第1章1 1.2.1 平面的基本性质(苏教版)
三点 A，B，C， A∉直线 BC⇒有 且只有一个平面
有且只有一个平面
α，使 A∈α，B
∈α，C∈α
(2)推论 推论
推论 1
文字语言
经过一条直线 和这条直线外
的一点， _有__且__只__有__一___ _个__平__面_______
图形语言
符号语言 点 A 和直线 a， 且 A∉a⇒有且 只有一个平面 α，使 A∈α， a⊂α
1.(1)将下列文字语言转化为符号语言． ①点 A 在平面 α 内，但不在平面 β 内． ②直线 a 经过平面 α 外一点 M.
③直线 l 在平面 α 内，又在平面 β 内(即平面α和平面β相交
于直线 l)． (2)将下列符号语言转化为图形语言． ①a⊂α，b∩α＝A，A∉a.②α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，a∥c， b∩c＝P.
解：(1)①A∈α，A∉β.②M∈a，M∉α.③α∩β＝l. (2)
点、线共面问题 证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
解：已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B， l1∩l3＝C. 求证：直线 l1，l2，l3 在同一平面内．
证明：法一：(纳入平面法) 因为 l1∩l2＝A，所以 l1 和 l2 确定一个平面 α. 因为 l2∩l3＝B，所以 B∈l2. 又因为 l2⊂α，所以 B∈α.同理可证 C∈α. 又因为 B∈l3，C∈l3，所以 l3⊂α. 所以直线 l1，l2，l3 在同一平面内．
(2)常见的文字语言、符号语言与图形语言的对应关系
数学符号表示
文字语言表达
图形语言表达
A∈l
点 A 在直线 l 上
A∉l
点 A 在直线 l 外
A∈α
点 A 在平面 α 内
高中数学第1章计数原理1.3二项式定理1.3.2杨辉三角应用案巩固提升b23b高二23数学
3r
＝(－1)r54－rCr4x4－ 2 ， 令 4－32r＝1，得 r＝2， 所以展开式中 x 的系数为 (－1)2×52C24＝150.
12/12/2021
第五页，共二十五页。
5．若(1－2x)2 017＝a0＋a1x＋…＋a2 017x2 017(x∈R)，则a21＋a222
12/12/2021
第十九页，共二十五页。
解：(1)设 f(x)＝(1－x＋x2)3(1－2x2)4. 令 x＝1，则 f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a13＋a14＝1； 令 x＝－1，则 f(－1)＝a0－a1＋a2－…－a13＋a14＝27. 则 a1＋a3＋a5＋…＋a13＝f（1）－2f（－1）＝1－227＝－13. (2)根据二项式系数的性质，知(x＋y)2m 的展开式中二项式系 数的最大值为 C2mm＝a，而(x＋y)2m＋1 的展开式中二项式系数 的最大值为 Cm2m＋1＝b.又 13a＝7b， 所以 13C2mm＝7C2mm＋1， 则 13×m（！2m×）m！！＝7×（m（＋2m1）＋！1）×！m！，解得 m＝6.
12/12/2021
第二十页，共二十五页。
14．(选做题)已知等式(x2＋2x＋2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2 ＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，其中 ai(i＝0，1，2，…，10) 为实常数．求：
12/12/2021
第二十一页，共二十五页。
12/12/2021
第二十二页，共二十五页。
12/12/2021
第十五页，共二十五页。
[B 能力提升]
11．已知(2x－1)n 二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项
系数的和小 38，则 C1n＋C2n＋C3n＋…＋Cnn的值为( )
高中数学必修二全册课件ppt人教版
解析答案
反思与感悟
解 (1)∵这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面，∴这个几何体不是棱柱. (2)在四边形ABB1A1中，在AA1上取E点，使AE＝2；在BB1上取F点，使BF＝2；连接C1E、EF、C1F，则过C1、E、F的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABC—EFC1，其侧棱长为2；截去部分是一个四棱锥C1—EA1B1F，该几何体的特征为：有一个面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形.
①③
1.在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状.2.各种棱柱之间的关系(1)棱柱的分类
棱柱
(2)常见的几种四棱柱之间的转化关系
3.棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表：
名称
底面
侧面
侧棱
高
平行于底面的截面
棱柱
斜棱柱
平行且全等的两个多边形
平行四边形
第一 章 § 1.1 空间几何体的结构
第1课时 多面体的结构特征
1.认识组成我们的生活世界的各种各样的多面体；2.认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；3.了解多面体可按哪些不同的标准分类，可以分成哪些类别．
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学 新知探究 点点落实
如图棱柱可记作：棱柱
相关概念：底面(底)：两个互相 的面侧面： 侧棱：相邻侧面的顶点： 的公共顶点
互相平行
四边形
互相平行
平行
其余各面
公共边
侧面与底面
ABCDEF—
A′B′C′D′E′F′
答案
分类：①依据：底面多边形的 ②类例： (底面是三角形)、 (底面是四边形)……
高中同步创新课堂数学优化方案北师大必修2习题：第一章 3应用案巩固提升 含答案
[A 基础达标]1．把一个铁制的底面半径为r ，高为h 的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为( )A.r h 2 B ．r 2h 4C. 3r 2h 4D ．r 2h 2解析：选C.因为13πr 2h ＝43πR 3，所以R ＝ 3r 2h 4.2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么球的体积扩大到原来的( ) A ．2倍 B ．2倍 C ．22倍D ．32倍解析：选C.设原来球的半径为r ，扩大后球的半径为R ，依题意可知4πR 24πr 2＝2，所以R ＝2r .所以43πR 343πr 3＝R 3r 3＝（2r ）3r 3＝2 2.即球的体积扩大到原来的22倍．故C 正确．3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )第3题图 第4题图A ．9π＋42B ．36π＋18C.92π＋12 D ．92π＋18解析：选D ．由三视图可知，该几何体是一个球体和一个长方体的组合体．其中，V 球＝43π·⎝⎛⎭⎫323＝9π2，V 长方体＝2×3×3＝18.所以V 总＝92π＋18. 4．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是( )A ．12πB ．24πC ．32πD ．48π解析：选D ．由三视图可知该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥．其中底面ABCD 是边长为4的正方形，高为4，该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的直径为3×4＝43，即球的半径为23，所以该球的表面积是4π(23)2＝48π. 5．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝2DC ＝2，∠DAB ＝60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P -DCE 的外接球的体积为( )A.43π27B ．6π2 C.6π8D ．6π24解析：选C.折起后的几何体是一个棱长为1的正四面体P CDE ，我们容易求得该正四面体外接球半径为64， 所以外接球的体积V ＝43π⎝⎛⎭⎫643＝6π8.6. 圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.解析：设球的半径为x cm ，由题意得πx 2×8＝πx 2×6x －43πx 3×3，解得x ＝4.答案：47．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为________．解析：由题意建立方程组，设两球半径分别为R 、r (R ＞r )，则⎩⎪⎨⎪⎧4πR 2－4πr 2＝48π，2πR ＋2πr ＝12π，即⎩⎪⎨⎪⎧R 2－r 2＝12，R ＋r ＝6，所以R －r ＝2.答案：28．已知一个表面积为24的正方体，设有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为________．解析：设正方体的棱长为a ，则6a 2＝24，解得a ＝2.又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长22 等于球的直径，则球的半径是2，则此球的体积为43π(2)3＝823π.答案：823π9．一试管的上部为圆柱形，底部为与圆柱底面半径相同的半球形．圆柱形部分的高为h cm ，半径为r cm.试管的容量为108π cm 3，半球部分容量为全试管容量的16.(1)求r 和h ；(2)若将试管垂直放置，并注水至水面离管口4 cm 处，求水的体积．解：(1)因为半球部分容量为全试管容量的16，所以半球部分与圆柱体部分容量比为15，即15＝43πr 3×12πr 2×h ， 所以h ＝103r ，43πr 3×12＝108π×16，所以r ＝3(cm)，h ＝10(cm)． (2)V ＝43πr 3×12＋πr 2×(h －4)＝43π×33×12＋π×32×6＝72π(cm 3)． 10．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．解：设正方体的棱长为a .如图所示．图(1)中正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，所以有2r 1＝a ，r 1＝a2，所以S 1＝4πr 21＝πa 2.图(2)中球与正方体的各棱的切点是每条棱的中点， 过球心作正方体的对角面得截面， 所以有2r 2＝2a ，r 2＝22a ， 所以S 2＝4πr 22＝2πa 2.图(3)中正方体的各个顶点在球面上， 过球心作正方体的对角面得截面， 所以有2r 3＝3a ，r 3＝32a ， 所以S 3＝4πr 23＝3πa 2.综上可得S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3.[B 能力提升]1．若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是( )A ．S 球＜S 圆柱＜S 正方体B ．S 正方体＜S 球＜S 圆柱C ．S 圆柱＜S 球＜S 正方体D ．S 球＜S 正方体＜S 圆柱解析：选A.设等边圆柱底面圆半径为r ，球半径为R ，正方体棱长为a ，则πr 2·2r ＝43πR 3＝a 3，⎝⎛⎭⎫R r 3＝32，⎝⎛⎭⎫a r 3＝2π，S 圆柱＝6πr 2，S 球＝4πR 2，S 正方体＝6a 2，S 球S 圆柱＝4πR 26πr 2＝23·⎝⎛⎭⎫R r 2＝323＜1，S 正方体S 圆柱＝6a 26πr 2＝1π·⎝⎛⎭⎫a r 2＝34π＞1.故选A. 2．正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为________． 解析：如图，过正三棱锥P -ABC 的顶点P 作PM ⊥平面ABC 于点M ，则球心O 在PM 上，|PM |＝6，连接AM ，AO ，则|OP |＝|OA |＝R ，在Rt △OAM 中，|OM |＝6－R ，又|AB |＝6，且△ABC 为等边三角形，故|AM |＝2362－32＝23，则R 2－(6－R )2＝(23)2，则R ＝4，所以球的表面积S＝4πR 2＝64π.答案：64π3．若一个底面边长为32，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求这个球的体积．解：如图，O 1O 2＝6，OO 1＝62， AO 1＝32， 所以AO ＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫622＝32， 即R ＝32.所以V ＝43π⎝⎛⎭⎫323＝92π.4．(选做题)已知四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，边长为a ，PB ＝3a ，PD＝a ，P A ＝PC ＝2a ，且PD 是四棱锥的高．在四棱锥内放入一球，求球的最大半径．解：当所放的球与四棱锥各面都相切时，球的半径最大，即球心到各面的距离均相等．设球的半径为R ，球心为S ，如图，连接SA ，SB ，SC ，SD ，SP . 因为最大球与四棱锥各面都相切，所以三棱锥S -P AB ，S PBC ，S PCD ，S P AD 与四棱锥S ABCD 的高都为R ，且它们恰好组合成四棱锥P -ABCD ．因为PD 为四棱锥P -ABCD 的高，PD ＝AD ＝BC ＝a ，四边形ABCD 为正方形，又P A ＝PC ＝2a ，PB ＝3a ，所以PB 2＝P A 2＋AB 2＝PC 2＋BC 2， 所以△P AB ，△PCB 为直角三角形且全等．所以S △P AB ＝S △PCB ＝12·a ·2a ＝22a 2，S △PDA ＝S △PDC ＝12a 2，S 正方形ABCD ＝a 2，所以V P ABCD ＝13·a 2·a ＝13a 3.V S P AB ＝V S PBC ＝13·22a 2·R ＝26a 2R ，V S P AD ＝V S PDC ＝13·12a 2·R ＝16a 2R ，V S ABCD ＝13·a 2·R＝13a 2R ， 因为V P ABCD ＝V S P AB ＋V S PBC ＋V S P AD ＋V S PDC ＋V S ABCD ， 所以13a 3＝23a 2R ＋13a 2R ＋13a 2R ，即(2＋2)R ＝a ， 所以R ＝⎝⎛⎭⎫1－22a ，即球的最大半径为⎝⎛⎭⎫1－22a .。
2019-2020年数学必修2同步课件讲义应用案巩固提升：第1章3 1应用案巩固提升(苏教版)
[A 基础达标]1．如图，A ′B ′∥O ′y ′，B ′C ′∥O ′x ′，则直观图所示的平面图形是( ) A ．任意三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．钝角三角形解析：选C.因为A ′B ′∥O ′y ′，且B ′C ′∥O ′x ′，所以原平面图形中AB ⊥BC .所以△ABC 为直角三角形．第1题图 第2题图2．正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A ．6 cmB ．8 cmC ．(2＋32)cmD ．(2＋23)cm解析：选B.如图，OA ＝1 cm ， 在Rt △OAB 中，OB ＝2 2 cm ， 所以AB ＝OA 2＋OB 2＝3 cm.所以四边形OABC 的周长为8 cm.3．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm解析：选D.圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z 轴平行的线段长度不变，仍为5 cm ，故选D.4.如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )A.12＋22 B ．1＋22C ．1＋ 2D ．2＋ 2解析：选D.因为A ′D ′∥B ′C ′，所以AD ∥BC . 因为∠A ′B ′C ′＝45°，所以∠ABC＝90°.所以AB⊥BC.所以四边形ABCD是直角梯形，如图所示．其中，AD＝A′D′＝1，BC＝B′C′＝1＋2，AB＝2，即S梯形ABCD＝2＋ 2.5．如图所示为一个平面图形的直观图，则它的原图形四边形ABCD的形状为________．解析：因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，且A′B′＝2B′C′，所以AB＝BC，所以原四边形ABCD为正方形．答案：正方形6．如图所示，一个水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图A′B′C′D′中，顶点B′到x′轴的距离为________．解析：正方形的直观图A′B′C′D′如图所示．因为O′A′＝B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，所以顶点B′到x′轴的距离为1×sin 45°＝2 2.答案：2 27.如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________．解析：由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.答案：108.如图所示，已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为________．解析：过C′作C′M′∥y′轴，且交x′轴于M′.过C ′作C ′D ′⊥x ′轴，且交x ′轴于D ′，则C ′D ′＝32a .因为∠C ′M ′D ′＝45°，所以C ′M ′＝62a .所以原三角形的高CM ＝6a ，底边长为a ，其面积为S ＝12×a ×6a ＝62a 2(或S 直观＝24S 原，所以S 原＝42·34a 2＝62a 2)．答案：62a 29．用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图(不写画法，保留作图痕迹)．解：(1)如图所示，四边形O ′A ′B ′C ′是四边形OABC 的直观图．(2)如图所示，△O ′A ′B ′是△OAB 的直观图．10.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD ，如图所示，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，求原平面图形的面积．解：过A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，又因为DC ⊥BC 且AD ∥BC ，所以四边形ADCE 是矩形， 所以EC ＝AD ＝1，由∠ABC ＝45°， AB ＝AD ＝1知BE ＝22， 所以原平面图形是梯形且上下两底边长分别为1和1＋22，高为2，所以原平面图形的面积为12×⎝⎛⎭⎫1＋1＋22×2＝2＋22.[B 能力提升]1．如图所示的是水平放置的三角形ABC 的直观图△A ′B ′C ′，其中D 是A ′C ′的中点，在原三角形ABC 中，∠ACB ≠60°，则原图形中与线段B ′D 的长相等的线段有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条解析：选C.先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找出与线段B ′D 长度相等的线段．把三角形A ′B ′C ′还原后为直角三角形，则D 为斜边AC 的中点，所以AD ＝DC ＝BD .故选C.2.如图，Rt △O ′A ′B ′是一平面图形的直观图，直角边O ′B ′＝1，则这个平面图形的面积是________．解析：因为O ′B ′＝1，所以O ′A ′＝2，所以在Rt △OAB 中，∠AOB ＝90°，OB ＝1，OA ＝22， 所以S △AOB ＝12×1×22＝ 2.答案： 23．如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，求这个平面图形的面积．解：与y 轴平行的那条边和在x 轴上的边垂直，且与y 轴平行的那条边长应是原长的2倍，故其面积应为12×|－2|×⎝⎛⎭⎪⎫2×|－2|2＝2 2.4．(选做题)如图为一几何体的展开图，沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图．解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示．。
2019-2020年数学必修2同步课件讲义应用案巩固提升：第1章2 1.2.2 应用案巩固提升(苏教版)
[A基础达标]1．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条()A．相交B．异面C．相交或异面D．平行解析：选C.如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1、AD相交，与BC异面．2．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c()A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．一定垂直答案：D3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是棱AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：选C.如图，连结AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C.4．已知异面直线a，b，有a⊂α，b⊂β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是()A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交解析：选D.若c与a，b都不相交，因为c与a在α内，所以a∥c.又c与b都在β内，所以b∥c.由公理4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．5．在三棱锥A-BCD中，AC⊥BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是()A．菱形B．矩形C ．梯形D ．正方形解析：选B.如图，在△ABD 中，点H ，E 分别为边AD ，AB 的中点，所以HE 綊12BD ，同理GF 綊12BD ，所以HE 綊GF ，所以四边形EFGH 为平行四边形． 又AC ⊥BD ，所以HG ⊥HE ， 所以四边形EFGH 是矩形，故选B.6．已知a ，b 是一对异面直线，而且a 平行于△ABC 的边AB 所在直线，b 平行于AC 所在的直线，若∠BAC ＝120°，则a ，b 所成的角为________．解析：由a ∥AB ，b ∥AC ，∠BAC ＝120°， 知a ，b 所成的角为∠BAC 的补角， 所以a ，b 所成的角为60°. 答案：60°7．若G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)解析：对于①，连结GM ，(图略)显然四边形GMNH 是平行四边形；对于③，连结GM ，(图略)易知GM ∥HN ，故①，③中GH 与MN 共面；②，④中GH 与MN 是异面的．答案：②④8.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与NB 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上) 解析：①错误，AM 与CC 1是异面直线． ②错误，取DD 1的中点P ，则AP ∥BN . 因为AP 与AM 相交，所以AM 与BN 不平行．③正确．④正确．答案：③④9.已知不共面直线a，b，c相交于点P，A∈a，D∈a，B∈b，E∈c.求证：BD和AE是异面直线．证明：假设BD与AE不是异面直线，则BD与AE确定一个平面α，则A，B，D，E∈α，则A，D确定的直线a⊂α.又因为P∈a，所以P∈α.所以P，E确定的直线c⊂α，P，B确定的直线b⊂α.所以a，b，c共面，与已知a，b，c不共面矛盾，所以BD与AE是异面直线．10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．求证：(1)四边形BB1M1M为平行四边形；(2)∠BMC＝∠B1M1C1.证明：(1)因为在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，所以MM1綊AA1.又因为AA1綊BB1，所以MM1∥BB1，且MM1＝BB1.所以四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，所以B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，所以C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角，所以∠BMC＝∠B1M1C1.[B能力提升]1．已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a，b所成的角都是30°的直线有且仅有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选B.过空间一点P，作a′∥a，b′∥b.由a′、b′两交线确定平面α，a′与b′的夹角为50°，则过角的平分线与直线a′、b′所在的平面α垂直的平面上，角平分线的两侧各有一条直线与a′、b′成30°的角，即与a、b成30°的角且过点P的直线有两条．在a′、b′相交另一个130°的角部分内不存在与a′、b ′成30°角的直线．故应选B.2．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论中正确的是________(填序号)．解析：把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．答案：①③3．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．解：取AC的中点F，连结EF，BF，在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，所以EF∥CD，所以∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．在Rt△ABC中，BC＝2，AB＝AC，所以AB＝AC＝1，在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝12AD＝12，所以BE＝52.在Rt△AEF中，AF＝12AC＝12，AE＝12，所以EF＝22.在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝12，所以BF＝52.在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝12EFBE＝2452＝1010，所以异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010. 4．(选做题)如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC ∥AD ，BC ＝12AD ，BE ∥F A ，BE ＝12F A ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？ 解：(1)证明：由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ， 可得GH ∥AD ，GH ＝12AD .又BC ∥AD ，BC ＝12AD ，所以GH ∥BC ，GH ＝BC ，所以四边形BCHG 为平行四边形． (2)C ，D ，F ，E 四点共面．证明如下： 由BE ∥F A ，BE ＝12F A ，G 为F A 中点知，BE ∥FG ，BE ＝FG ，所以四边形BEFG 为平行四边形， 所以EF ∥BG ，EF ＝BG . 由(1)知BG ∥CH ，BG ＝CH ， 所以EF ∥CH ，EF ＝CH ， 所以四边形EFHC 是平行四边形， 所以CE 与HF 共面，又D ∈FH ， 所以C ，D ，F ，E 四点共面．。
2019-2020年数学必修2同步课件讲义应用案巩固提升：第1章2 1.1.2 应用案巩固提升(苏教版)
[A基础达标]1．以下几何体中符合球的结构特征的是()A．足球B．篮球C．乒乓球D．铅球解析：选C.由柱、锥、台及简单组合体的定义知A是圆台，B是简单组合体，C是圆柱，D是棱锥．2．下列说法正确的是()A．圆锥的母线长一定等于底面圆直径B．圆柱的母线与轴垂直C．圆台的母线与轴平行D．球的直径必过球心答案：D3．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是()A．圆柱B．圆台C．球体D．棱台答案：D4．如图，将阴影部分图形绕图示直线l旋转一周所得的几何体是()A．圆锥B．圆锥和球组成的简单组合体C．球D．一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单组合体答案：D5．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是()A ．①②B ．①③C ．①④D ．①⑤解析：选D.一个圆柱挖去一个圆锥，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．6．下列说法正确的是________．①圆台可以由任意一个梯形绕其一边所在直线旋转形成；②在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；③圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相交．解析：①错，圆台是直角梯形绕其直角边所在直线或等腰梯形绕其底边的中线所在直线旋转形成的；由母线的定义知②错；③正确．答案：③7．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________．解析：设圆锥的底面半径为r ，则圆锥的高h ＝ 42－r 2. 所以由题意可知12·2r ·h ＝r 42－r 2＝8， 所以r 2＝8，所以h ＝2 2.答案：2 28．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm 和8 cm ，若两底面圆心的连线长为12 cm ，则这个圆台的母线长为________cm.解析：如图，过点A 作AC ⊥OB ，交OB 于点C .在Rt △ABC 中，AC ＝12 cm ，BC ＝8－3＝5 cm.所以AB ＝122＋52＝13(cm)．答案：139．根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形；(2)由五个面围成，其中一个面是正方形，其他各面都是有一个公共顶点的三角形；(3)一个圆绕其一条直径所在的直线旋转180°形成的封闭曲面围成的几何体．解：(1)该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，可满足每相邻两个面的公共边都相互平行，故该几何体是六棱柱，如图①所示；(2)该几何体的其中一个面是四边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点，因此该几何体是四棱锥，如图②所示；(3)如图③所示，是一个球．10．圆锥底面半径为1 cm ，高为 2 cm ，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长． 解：圆锥的轴截面SEF 、正方体对角面ACC 1A 1如图．设正方体的棱长为x cm ，则AA 1＝x cm ，A 1C 1＝2x cm.作SO ⊥EF 于点O ，则SO ＝ 2 cm ，OE ＝1 cm.因为△EAA 1∽△ESO ，所以AA 1SO ＝EA 1EO ，即x 2＝1－22x 1. 所以x ＝22，即该内接正方体的棱长为22cm.[B 能力提升]1．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )解析：选B.由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离，故正确答案为B.2．一个圆锥的母线长为20 cm ，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm. 解析：如图是圆锥的轴截面，则SA ＝20 cm ，∠ASO ＝30°，所以AO ＝10 cm ，SO ＝10 3 cm.答案：10 33.如图所示，在平面直角坐标系中有一个Rt △ABC ，现将该三角形分别绕x 轴，y 轴旋转一周，得到两个几何体．指出它们各是什么几何体或各是由哪些几何体组合而成的．解：(图略)Rt △ABC 绕x 轴旋转一周得到的几何体是一个圆柱中挖去一个圆锥；Rt △ABC 绕y 轴旋转一周得到的几何体是一个圆锥．4．(选做题)给出两块面积相同的正三角形纸片(如图)，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥(正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形)模型，另一块剪拼成一个正三棱柱(正三棱柱上下底面是正三角形，侧面是矩形)模型，使纸片正好用完，请设计一种剪拼方法，分别标示在图中，并作简要说明．解：如图(1)，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥．如图(2)，从正三角形三个角上剪去三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为原三角形边长的14，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪去的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底．以下为“如何撰写一份出色的教案”教案是备课内容简要而有序的记录,是支持教师上课的范本,简单说,教案是教师备课的备忘录。
2020-2021年数学必修2同步课件讲义应用案巩固提升：第1章1 第1课时 直线与平面平行(苏教版)
（1）证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与 已知直线平行的直线.把握几何体的结构特征，合理利用几何 体中的三角形的中位线，平行四边形对边平行等平面图形的 特点是找线线平行关系的常用方法.
答案：B
（1）在判断直线与平面的位置关系时，直线在平面内、直线 与平面相交、直线与平面平行，这三种情况都要考虑到，避 免疏忽或遗漏. （2）解决此类问题时，可以借助空间几何图形，把要判断关 系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作 出判断，避免凭空臆断.
1.下列命题正确的个数为（ ）
①若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内，则 l∥α；
②如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条
也与这个平面平行；
③若直线 l 与平面 α 平行，则 l 与平面 α 内的任意一条直线都
没有公共点.
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：选 B.如图所示： 借助长方体模型，棱 AA1 所在直线有无数点在 平面 ABCD 外，但棱 AA1 所在直线与平面 ABCD 相交，所以命题①不正确. A1B1∥AB，A1B1 所在直线平行于平面 ABCD，但直线 AB⊂平 面 ABCD，所以命题②不正确. 直线 l 与平面 α 平行，则 l 与 α 无公共点，l 与平面 α 内所有 直线都没有公共点，所以命题③正确.
高中数学同步课件讲义教案
[汇编整理]
第1章 立体几何初步
1．2.3 直线与平面的位置关系
第 1 课时 直线与平面平行
第1章 立体几何初步
1.了解空间直线与平面的三种位置关系． 2.理解直线 与平面平行的判定定理与性质定理．3．掌握直线与平面平行 的定义、判定、性质及应用．
2020年新课标高中数学北师大版必修2课件1.3
体；若主视图和左视图为等腰梯形，则原几何体为台体，另外需注意非正常位
数 学
置放置的常见几何体的三视图特征．
必
修 ②
(2)通过俯视图确定是多面体还是旋转体．若俯视图为多边形，则原几何体
·
北 师
为多面体；若俯视图为圆，则原几何体为旋转体．
大
版
返回导航
·
第一章 立体几何初步
3．由三视图还原空间几何体的步骤
·
② 北
不可见虚线．只有A符合．
师
大
版
返回导航
第一章 立体几何初步
3．如果一个几何体的主视图是矩形，则这个几何体不可能是
A．棱柱
B．棱锥
C．棱台
D．圆柱
[解析] 棱锥的主视图不可能是矩形，故选B．
(B)
·
数 学 必 修 ② 北 师 大 版
返回导航
第一章 立体几何初步
4．某物体的实物图如图(甲)所示，在其三视图中，图①是__主__视__图____；图 ②是__俯__视__图____；图③是__左__视__图____．
正三角形的高，所以正三棱柱的底面边长为 2 3÷ 23＝4，即这个正三棱柱的高是
2，底面边长是 4.左视图中矩形的宽为 2，长即为底面正三角形的高，等于 2 3.
·
因此，左视图面积 S＝2×2 3＝4 3．
数 学 必 修 ② 北 师 大 版
返回导航
第一章 立体几何初步
『规律总结』 解决三视图中有关量的计算问题时，首先要明确三视图在 度量上的特点：主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽，据此可互求三视图中 有关线段的长度．其次要明确三视图对应的原几何体在度量上的特点，获得原 几何体中相关的量，从而进行计算．
2019-2020学年新培优同步人教A版数学必修二课件：第1章 本章整合
)
A.12 3
B. 18 3
C.24 3
D. 54 3
解析:由△ABC 为等边三角形且面积为 9 3, 设△ABC 的边长为 a,
1
3
则 S= 2 · 2 = 9 3.
3
2
解得 a=6,则△ABC 的外接圆半径 r= 2 × 3 = 2 3 < 4.
设球的半径为 R,如图,OO1=
本章整合
第一页，编辑于星期日：点 分。
第二页，编辑于星期日：点 分。
专题一
专题一
专题二
专题三
专题四
三视图和直观图
三视图和直观图是空间几何体的两种不同的表现形式.这两种不
同的表现形式能够帮助我们从不同侧面、不同角度认识几何体的结构特征,
进而研究几何体的有关性质.三视图和直观图联系密切,由空间几何
体的直观图可以画出它的三视图,同样由空间几何体的三视图可以想象并
D1A的投影为C1B,且为实线,B1C被遮挡应为虚线.
答案:B
第五页，编辑于星期日：点 分。
专题一
专题二
专题三
专题四
应用2如图,正方形O'A'B'C'的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图
形的直观图,则原图形的周长是
cm.
解析:根据直观图的画法,可得原几何图形如图所示,四边形OABC为平
行四边形,且
第十六页，编辑于星期日：点 分。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4(2017·
全国Ⅱ高考)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的
是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则
2019-2020学年高中数学(北师大版)必修2 精品讲学案：第一章 1.5 平行关系
第1课时平行关系的判定[核心必知]1．直线与平面的位置关系a2.1．若直线a平行于平面α内的无数条直线，则直线a平行于平面α吗？提示：不一定，因为直线a在平面α内时，与a平行的直线也有无数条．2．对于平面与平面平行的判定定理中，若把“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？提示：不一定．如图中，平面α内的两条直线a，b均平行于β，而α与β却相交．讲一讲1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F分别是PB，PC的中点．证明：EF∥平面P AD.[尝试解答]证明：在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又BC∥AD，∴EF∥AD.又∵AD平面P AD，EF平面P AD，∴EF∥平面P AD.1．判断或证明线面平行的方法(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)；(2)判定定理法：aα，bα，a∥b⇒a∥α；(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．2．证明线线平行的方法(1)利用三角形、梯形中位线的性质；(2)利用平行四边形的性质；(3)利用平行线分线段成比例定理．练一练1．如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是P A的中点，求证：PC∥平面BDQ.证明：连接AC交BD于O，连接QO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O为AC的中点．又Q为P A的中点，∴QO∥PC.显然QO平面BDQ，PC平面BDQ，∴PC∥平面BDQ.讲一讲2.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证：平面AMN∥平面EFDB.[尝试解答]证明：如图所示，连接MF.∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，且四边形A1B1C1D1为正方形，∴MF∥A1D1且MF＝A1D1.又∵A1D1＝AD且AD∥A1D1，∴MF＝AD且MF∥AD.∴四边形AMFD是平行四边形．∴AM∥DF.又DF平面EFDB，AM平面EFDB，∴AM∥平面EFDB.同理可证，AN∥平面EFDB.又AN，AM平面AMN，AM∩AN＝A，∴平面AMN∥平面EFDB.平面平行的判定方法：(1)利用定义，证面面无公共点．(2)利用平面平行的判定定理转化为证明线面平行，即证明一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，如本题．(3)若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则两个平面平行．练一练2．如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：连接A1C交AC1于点E，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点．连接ED，ED是△A1BC的中位线，∴ED∥A1B.∵ED平面A 1BD1，A1B 平面A1BD1，∴ED∥平面A1BD1.∵C1D1BD，∴四边形BDC1D1是平行四边形，∴C1D∥BD1.∵C 1D平面A1BD1，BD1平面A1BD1，∴C1D∥平面A1BD1.∵C1D∩ED＝D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.讲一讲3.如图所示，B为△ACD所在平面外一点，且BA＝BC＝BD，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．(1)求证：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC.[尝试解答](1)证明：如图连接BM，BN，BG并延长交AC，AD，CD于P，F，H.∵M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心， 则有BM MP ＝BN NF ＝BGGH ＝2，连接PF ，FH ，PH ，有MN ∥PF .又PF平面ACD ，MN平面ACD ，∴MN ∥平面ACD ，同理MG ∥平面ACD ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD .(2)由(1)可知：MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD .同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD ，∴△MNG ∽△ACD ，其相似比为1∶3，故S △MNG ∶S △ADC ＝1∶9.证明面面平行，转化为证明线面平行，而要证线面平行，转化为证明线线平行．在立体几何中，通过线线、线面、面面间的位置关系相互转化，使问题顺利得到解决．熟练掌握这种转化的思想方法，就能找到解题的突破口．这是高考重点考查证明平行的方法，应引起重视．练一练3．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，Q 是CC 1的中点，判断并证明平面D 1BQ 与平面P AO 的位置关系．解：平面D 1BQ ∥平面P AO .下面给出证明． ∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，∴QB ∥P A .∵QB 平面P AO ，P A 平面P AO ，∴QB ∥平面P AO .∵P ，O 分别为DD 1，DB 的中点，∴D 1B ∥PO .∵D1B平面P AO ，PO平面P AO ，∴D 1B ∥平面P AO .又D 1B ∩QB ＝B ，∴平面D 1BQ ∥平面P AO .如右图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ∈AD 1， N ∈BD ，且D 1M ＝DN ，求证：MN ∥平面CC 1D 1D . [证明] 法一：连AN 并延长交DC 于E .连接D 1、E . ∵AB ∥CD ，∴AN NE ＝BN ND ⇒AE NE ＝BDND .∵BD ＝AD 1，且D 1M ＝DN ， ∴AE EN ＝AD 1MD 1. 在△AD 1E 中，MN ∥D 1E ，又MN 平面CC 1D 1D ，D 1E 平面CC 1D 1D ，∴MN ∥平面CC 1D 1D . [尝试用另外一种方法解题]法二：过点M 作MP ∥AD ，交DD 1于P ， 过点N 作NQ ∥AD 交CD 于点Q ，连接PQ ，则MP ∥NQ ，在△D 1AD 中，MP AD ＝D 1MD 1A .∵NQ ∥AD ，AD ∥BC ， ∴NQ ∥BC .在△DBC 中，NQ BC ＝DNDB，∵D 1M ＝DN ，D 1A ＝DB ，AD ＝BC ，∴NQ ＝MP . ∴四边形MNQP 为平行四边形，则MN ∥PQ .而MN平面CC1D 1D ，PQ平面CC 1D 1D ，∴MN ∥平面CC 1D 1D .1．在以下说法中，正确的个数是( )①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③平面α内△ABC 的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A 对①，当α内的两直线平行时，α与β也可能相交，故①错误；对②，当α内有无数条直线和β平行时，α与β也可能相交，故②错误；对③，若A ，B ，C 三点在β两侧时，α与β相交，故③错误．2．能保证直线a 与平面α平行的条件是( ) A ．b α，a ∥bB ．b α，c ∥α，a ∥b ，a ∥cC ．b α，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，且AC ＝BD D ．a α，bα，a ∥b解析：选D A 项和B 项中a 有可能在α内，C 项中，a 可能在α内，也可能与α相交，D 项中，a ∥α.3．若M ，N 分别是△ABC 边AB ，AC 的中点，MN 与过直线BC 的平面β的位置关系是( )A ．MN ∥βB ．MN 与β相交或MN βC ．MN ∥β或MNβD ．MN ∥β或MN 与β相交或MNβ解析：选C当平面β与平面ABC重合时，有MN β；当平面β与平面ABC不重合时，则β∩平面ABC＝BC.∵M，N分别为AB，AC的中点，∴MN∥BC.又MNβ，BCβ，∴MN∥β.综上有MN∥β或MN β.4．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有________对．解析：如图，当六棱柱的底面为正六边形时，互相平行的平面最多有4对，每组对边所在的平面平行，且上下底面平行．答案：45．若直线a∩直线b＝A，a∥平面α，则b与α的位置关系是________．解析：∵a∥α，∴a与平面α没有公共点，若bα，则A∈α，又A∈a，此种情况不可能．∴b∥α或b与α相交．答案：b∥α或b与α相交6．如图E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证：(1)GE∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.证明：(1)取B1D1中点O，连接GO，OB，易证OG ∥B 1C 1，且OG ＝12B 1C 1，BE ∥B 1C 1，且BE ＝12B 1C 1，∴OG ∥BE 且OG ＝BE ，四边形BEGO 为平行四边形，∴OB ∥GE .∵OB 平面BB 1D 1D ， GE平面BB1D 1D ，∴GE ∥平面BB 1D 1D .(2)由正方体性质得B 1D 1∥BD ，∵B1D 1平面BDF ，BD平面BDF ，∴B 1D 1∥平面BDF ，连接HB ，D 1F ， 易证HBFD 1是平行四边形，得HD 1∥BF .∵HD1平面BDF ，BF平面BDF ，∴HD 1∥平面BDF ， ∵B 1D 1∩HD 1＝D 1， ∴平面BDF ∥平面B 1D 1H .一、选择题1．已知b 是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b ∥α的是( ) A ．b 与α内的一条直线不相交 B ．b 与α内的两条直线不相交 C ．b 与α内的无数条直线不相交 D ．b 与α内的所有直线不相交解析：选D 若b 与α内的所有直线不相交，即b 与α无公共点，故b ∥α.2．空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的关系是()A．平行B．相交C．在平面内D．平行或相交解析：选A如图所示，在平面ABC内，因为AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，所以AC∥EF.又因为AC 平面DEF，EF 平面DEF，所以AC∥平面DEF.3．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是()A．平面BME∥平面ACNB．AF∥CNC．BM∥平面EFDD．BE与AN相交解析：选A作出如图所示的正方体．易知AN∥BM，AC∥EM，且AN∩AC＝A，所以平面ACN∥平面BEM.4．已知m，n表示两条直线，α，β，γ表示平面，下列结论中正确的个数是()①若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β；②若m，n相交且都在α，β外，且m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥βA．1 B．2C．3 D．4解析：选A①仅满足mα，nβ，m∥n，不能得出α∥β，不正确；②设m，n确定平面为γ，则有α∥γ，β∥γ，从而α∥β，正确；③④均不满足两个平面平行的条件，故③④均不正确．5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱A1D1上的动点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是()A．平行B．相交C．在平面内D．相交或平行解析：选D当M与D 1重合时，∵DD1∥A1A，DD1面AA1C1C，AA1面AA1C1C，∴MD∥面AA1C1C.当M不与D1重合时，DM与AA1相交，也即DM与面AA1C1C相交．二、填空题6．点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则空间四边形的六条棱中与平面EFGH平行的条数是________．解析：由线面平行的判定定理知：BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.答案：27．三棱锥S-ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________．解析：如图，取BC中点F，连SF.∵G为△ABC的重心，∴A，G，F共线且AG＝2GF.又∵AE＝2ES，∴EG∥SF.又SF 平面SBC，EG平面SBC，∴EG∥平面SBC.答案：EG∥平面SBC8．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD 的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.解析：∵HN ∥BD ，HF ∥DD 1，HN ∩HF ＝H ，BD ∩DD 1＝D ， ∴平面NHF ∥平面B 1BDD 1，故线段FH 上任意点M 与N 连接， 有MN ∥平面B 1BDD 1. 答案：M ∈线段FH 三、解答题9．已知：△ABC 中，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，沿DE 将△ADE 折起，使A 到A ′的位置，M 是A ′B 的中点，求证：ME ∥平面A ′CD .证明：如图所示，取A ′C 的中点G ，连接MG ，GD ，∵M ，G 分别是A ′B ，A ′C 的中点，∴MG 12BC ， 同理DE12BC ，∴MG DE ，∴四边形DEMG 是平行四边形， ∴ME ∥DG .又ME平面A ′CD ，DG 平面A ′CD ，∴ME ∥平面A ′CD .10．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC 和SC 的中点．求证：(1)EG ∥平面BDD 1B 1； (2)平面EFG ∥平面BDD 1B 1.证明：(1)如图所示，连接SB.∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB 平面BDD 1B1，EG平面BDD1B1，∴EG∥平面BDD1B1.(2)∵F，E分别是DC，BC的中点，∴FE∥BD.又∵BD 平面BDD 1B1，FE平面BDD1B1，∴FE∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1，且EG 平面EFG，EF 平面EFG，EF∩EG＝E，∴平面EFG ∥平面BDD1B1.第2课时平行关系的性质[核心必知]1．直线与平面平行的性质l∥b1．若直线l 与平面α平行，可否认为l 与平面α内的任意一条直线都平行？ 提示：不可．根据线面平行的性质定理，l 与过直线l 的平面与α的交线平行． 2．若平面γ∩β＝a ，γ∩α＝b ，则a 、b 的位置关系是什么？提示：平行或相交：当β∥α时，由面面平行的性质定理知a ∥b；当α与β相交时，a 与b 相交或平行．3．如果两个平面平行，那么分别位于两个平面内的直线也互相平行，这句话对吗？为什么？提示：不对，因为这两个平面平行，那么位于两个平面内的直线没有公共点，它们平行或异面．讲一讲1.ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH .求证：AP ∥GH .[尝试解答] 证明：连接AC 交BD 于O ，连接MO ，∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 中点． 又M 是PC 的中点，∴AP ∥OM . 根据直线和平面平行的判定定理， 则有P A ∥平面BMD .∵平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ， 根据直线和平面平行的性质定理， ∴AP ∥GH .线面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，解题时要注意把握．当证明了直线平行于平面后，再过该直线作平面与已知平面相交，得交线与已知直线平行．具体方法如下：线线平行――→线面平行的判定线面平行――→线面平行的性质线线平行．练一练1．已知：a ∥b ，a α，b β，α∩β＝l .求证：a ∥b ∥l . 证明：如图所示，∵a ∥b ，b β，∴a ∥β，又a α，α∩β＝l ， ∴a ∥l ， 又a ∥b ， ∴a ∥b ∥l .讲一讲2．如图，已知平面α∥β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，求BD 的长．[尝试解答] 因为AC ∩BD ＝P ，所以经过直线AC 与BD 可确定平面PCD ，因为α∥β，α∩平面PCD ＝AB ，β∩平面PCD ＝CD ，所以AB ∥CD . 所以P A AC ＝PB BD ，即69＝8－BD BD .所以BD ＝245.由面面平行得到线线平行，进而由成比例线段得解，体现了立体几何与平面几何间的转化关系．另外，面面平行还有许多性质，如要证明线面平行，可先证面面平行，再由性质证得．练一练2．如图所示，设AB ，CD 为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB ，CD 为异面直线，M ，P 分别为AB ，CD 的中点．求证：直线MP ∥平面β.证明：过点A 作AE ∥CD 交平面β于E ，连接DE ，BE ，∵AE ∥CD ，∴AE 、CD 确定一个平面，设为γ， 则α∩γ＝AC ，β∩γ＝DE .由于α∥β，∴AC ∥DE (面面平行的性质定理) 取AE 中点N ，连接NP ，MN ， ∵M 、P 分别为AB 、CD 的中点，∴NP∥DE，MN∥BE.又NP β，DE β，MN β，BE β，∴NP∥β，MN∥β.又NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β.∵MP平面MNP，∴MP∥β.讲一讲3．如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面P AD是否平行？试证明你的结论．[尝试解答](1)证明：因为AD∥BC，AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD∥平面PBC.又因为平面PBC∩平面P AD＝l，所以l∥AD∥BC.(2)平行．证明如下：设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，因为M，N分别是AB，PC的中点，所以MQ∥AD，NQ∥PD.而MQ∩NQ＝Q，AD∩PD＝D，所以平面MNQ∥平面P AD.因为MN 平面MNQ，所以MN∥平面P AD.在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程：练一练3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，点M是BC的中点，点N是AA1的中点．求证：MN∥平面A1CD.证明：设点P为AD的中点，连接MP，NP.∵点M是BC的中点，∴MP∥CD.CD，MP 平面A1CD，∵CD 平面A∴MP∥平面A1CD.∵点N是AA1的中点，∴NP∥A1D.D 平面A1CD，NP 平面A1CD，∵A∴NP∥平面A1CD.∵MP∩NP＝P，MP 平面MNP，NP 平面MNP，∴平面MNP∥平面A1CD.∵MN 平面MNP，∴MN∥平面A1CD.已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB上的高，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．[解]SG∥平面DEF.证明如下：法一：连接CG交DE于H，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB.在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H为CG的中点，∴FH为△SCG的中位线，∴FH∥SG.又SG平面DEF，FH 平面DEF，∴SG∥平面DEF.[尝试用另外一种方法解题]法二：∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB，∵EF平面SAB，SB 平面SAB，∴EF∥平面SAB.同理：DF∥平面SAB.又EF∩DF＝F，EF 平面DEF，DF 平面DEF，∴平面SAB∥平面DEF.又SG 平面SAB，∴SG∥平面DEF.1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的() A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有解析：选B设α内n条直线的交点为A，则过A有且仅有一条直线l与a平行，当l 在这n条直线中时，有一条与a平行，而当l不在这n条直线中时，n条相交于A的直线都不与a平行．∴n条相交直线中有0条或1条直线与a平行．2. 若平面α∥平面β，直线aα，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线解析：选D直线a与点B确定一个平面．这个平面与β有公共点B，则这两个平面就有一条通过B点的直线l，而由两平面平行的性质定理得l∥a.3．设m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列四个命题中为真命题的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥βD．若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n解析：选D A中m与n与同一平面平行，m，n还可能相交或异面；B中α与β可能相交；C中α与β可能相交，只有D正确．4．如图所示，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N是AD的中点，若MN∥平面BDC，则AM∶MB＝________.解析：∵MN∥平面BDC，MN 平面ABD，平面ABD∩平面BDC＝BD，∴MN∥BD.又∵N是AD的中点，∴M是AB的中点，故有AM∶MB＝1∶1.答案：1∶15．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构成三个命题，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)解析：①②⇒③设过m的平面β与α交于l.∵m∥α，∴m∥l，∵m∥n，∴n∥l，∵nα，lα，∴n∥α.答案：①②⇒③(或①③⇒②)6．如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P，Q分别是CC1，C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ.证明：连接CD1，AD1，∵P，Q分别是CC1，C1D1的中点，∴PQ∥CD1，且CD1 平面BPQ，∴CD1∥平面BPQ.又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，∴四边形ABQD1是平行四边形，∴AD1∥BQ，平面BPQ，∴AD1∥平面BPQ.又∵AD又AD1∩CD1＝D1.∴平面ACD1∥平面BPQ.∵AC 平面ACD1，∴AC∥平面BPQ.一、选择题1．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，aβ，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面解析：选C a∥α，a与α内的直线没有公共点，所以，a与α内的直线的位置关系是异面或平行，α内与b平行的直线与a平行，α内与b相交的直线与a异面．2．平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c与a，b 的位置关系是()A．c与a，b都异面B．c与a，b都相交C．c至少与a，b中的一条相交D．c与a，b都平行解析：选D如图：∵a∥b，且aγ，bγ，∴a∥γ，∵aα且α∩γ＝c，∴a∥c，∴b∥c.3．下列说法正确的个数为()①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；④两平行直线被两平行平面截得的线段相等．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 易知①④正确，②不正确；③若α∥β、a β，则a 与α平行，故③不正确．4．如图，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A ，PB ，PC 于A ′，B ′，C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则△A ′B ′C ′与△ABC 面积的比为( )A ．2∶5B ．3∶8C ．4∶9D ．4∶25解析：选D 由题意知，△A ′B ′C ′∽△ABC ， 从而S △A ′B ′C ′S △ABC＝⎝⎛⎭⎫P A ′P A 2＝⎝⎛⎭⎫252＝425. 5．若不在同一直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，则( ) A ．α∥平面ABCB ．△ABC 中至少有一边平行于α C ．△ABC 中至多有两边平行于αD ．△ABC 中只可能有一边与α相交解析：选B 若三点在平面α的同侧，则α∥平面ABC ，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC 中至少有一边平行于α.二、填空题6．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：因为直线EF ∥平面AB 1C ，EF平面ABCD ，且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以EF ∥AC ，又因为E 是DA 的中点，所以F 是DC 的中点，由中位线定理可得：EF ＝12AC ，又因为在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，所以AC ＝22，所以EF ＝ 2.答案： 27．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是棱AD 上一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面与棱CD 交于Q ，则PQ ＝________.解析：∵MN ∥平面AC ，PQ ＝平面PMN ∩平面AC ， ∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2a 3， 故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a3.答案：22a 38．如图所示，直线a ∥平面α，点A 在α另一侧，点B ，C ，D ∈a .线段AB ，AC ，AD 分别交α于点E ，F ，G .若BD ＝4，CF ＝4，AF ＝5，则EG ＝________.解析：A ∉a ，则点A 与直线a 确定一个平面，即平面ABD . 因为a ∥α，且α∩平面ABD ＝EG ， 所以a ∥EG ，即BD ∥EG .所以AF AC ＝AE AB ，又EG BD ＝AE AB ，所以AF AC ＝EG BD .于是EG ＝AF ·BD AC ＝5×45＋4＝209.答案：209三、解答题9．如图，棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1D ∶DC 1的值．解：设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．因为A1B∥平面B1CD，且A1B 平面A1BC1，所以A1B∥DE.又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即A1D∶DC1＝1.10．在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，如图，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC，证明你的结论．解：当F为PC的中点时，BF∥平面AEC.证明如下：如图，取PE的中点M，连接MF、MB，则MF∥CE，∵PE∶ED＝2∶1，∴点E也是MD的中点，连接BD，设BD∩AC＝O.∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点．∴OE∥BM，而BM 平面AEC，OE 平面AEC，∴BM∥平面AEC，同理FM∥平面AEC.又BM∩FM＝M，∴平面BMF∥平面AEC.又BF 平面BMF，∴BF∥平面AEC.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.3 空间几何体的表面积和体积 1.3.1 空间几何体的表面积
1.了解柱、锥、台的侧面展开图及它们的内在联系.
2.理解侧面展开图与几何体
的表面积之间的关系.
3.掌握柱、锥、台侧面积的计算公式，会求简单几何体的表面积.
1.几个特殊多面体
（1）直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱. （2）正棱柱：底面为正多边形的直棱柱.
（3）正棱锥：棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心Ｗ. （4）正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分. 2.几个特殊多面体的侧面积公式
S 直棱柱侧＝ch ，其中c 为直棱柱的底面周长，h 为直棱柱的高. S 正棱锥侧＝1
2
ch ′，其中c 为正棱锥的底面周长，h ′为斜高.
S 正棱台侧＝1
2（c ＋c ′）h ′，其中c ′、c 分别为正棱台的上、下底面的周长，h ′为斜高.
3.旋转体的侧面积、表面积公式 （1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式
S 圆柱侧＝cl ＝2πrl ，其中l 为圆柱的母线长，c 为底面圆的周长，r 为底面圆的半径. S 圆锥侧＝1
2
cl ＝πrl ，其中c ，r 分别为圆锥底面圆的周长与半径，l 为母线长.
S 圆台侧＝1
2（c ＋c ′）l ＝π（r ＋r ′）l ，其中c ′，r ′，c ，r 分别为圆台上、下底面圆的周长
与半径，l 为圆台的母线长.
（2）圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
圆柱表面积：S 圆柱＝2πr 2＋2πrl ＝2πr （r ＋l ）Ｗ. 圆锥表面积：S 圆锥＝πr 2＋πrl ＝πr （r ＋l ）Ｗ. 圆台表面积：S 圆台＝π（r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl ）Ｗ.
1.判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和.（ ） （2）棱台的表面积可由两个棱锥的表面积差得出.（ ） （3）圆台的高就是相应母线的长.（ ）
答案：（1）√ （2）× （3）×
2.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（ ）
A.4π
B.3π
C.2π
D.π
解析：选C.底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C. 3.若圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的侧面积为 . 答案：2π
多面体的表面积
已知正三棱锥P -ABC 的底面边长为4 cm ，它的侧棱与高所成的角为45°，求
正三棱锥的表面积.
解：如图所示，设O 为正三角形ABC 的中心，连结PO ，连结AO 并延长交BC 于D ，连结PD ，则PO 是正三棱锥P -ABC 的高.
由正三角形ABC 的性质知，D 是BC 的中点， 又PB ＝PC ，故PD ⊥BC ，即PD 是三棱锥的斜高. 由已知∠APO ＝45°，AO ＝23×32×4＝433（cm ），
所以P A ＝2AO ＝2×
433＝463
（cm ）， 所以PB ＝46
3（cm ）.
所以PD ＝
PB 2－BD 2＝
⎝⎛⎭
⎫4632
－22＝2153（cm ）.
所以正三棱锥P -ABC 的侧面积为：
S 侧＝3S △PBC ＝3×12×4×215
3＝415（cm 2），
底面积：S 底＝12×42×3
2＝43（cm 2）.
故S 表面积＝S 侧＋S 底＝415＋43 ＝4（15＋3）（cm 2）.
若将本例中“侧棱与高所成的角为45°”改为“侧面都是直角三角形”，如何求三棱锥的表面积？
解：由已知得正三棱锥的侧面为全等的等腰直角三角形，设正三棱锥的侧棱长为x ，
则x 2＋x 2＝42，所以x ＝22，
所以S 侧＝3×1
2×（22）2＝12（cm 2）.
又因为S 底＝43（cm 2），
所以S 表＝S 侧＋S 底＝12＋43（cm 2）.
（1）求多面体的表面积，可以先求侧面积，再求底面积.求侧面积，要清楚各侧面的形状，并找出求面积的条件；求底面积要清楚底面多边形的形状及求面积的条件.
（2）依据正三棱锥和正三角形的性质，画出正三棱锥的高、斜高，从而求出斜高，这是解决此类问题的关键.
1.各棱长都等于4，且侧棱垂直于底面的三棱柱的表面积为 Ｗ.
解析：所给三棱柱的底面是正三角形，侧面是正方形.三棱柱底面正三角形的边长为4，所以一个底面的面积为4 3.三棱柱的侧面是正方形，所以S 侧＝3×4×4＝48.故该三棱柱的表面积等于48＋8 3.
答案：48＋8 3
旋转体的表面积
圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱的底面半径也相等，
求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比.
解：如图所示，设圆柱和圆锥的底面半径分别是r ，R ， 则有r R ＝R －r R ，
即r R ＝12
， 所以R ＝2r ，圆锥的母线长l ＝2R ， 所以S 圆柱表S 圆锥表＝2πr 2＋2πr 2πR ·2R ＋πR 2＝4πr 2
（2＋1）πR 2
＝4r 2（2＋1）×4r 2＝1
2＋1
＝2－1.
（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们的侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的表面积公式及解决有关问题的关键.
（2）解旋转体的有关问题时，常常需要画出其轴截面，将空间问题转化为平面问题.
2.如图所示，已知直角梯形ABCD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝90°，AB ＝5 cm ，
BC ＝16 cm ，AD ＝4 cm.求以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.
解：以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台， 其上底半径是4 cm ，下底半径是16 cm ， 母线DC ＝52＋（16－4）2＝13（cm ）， 所以该几何体的表面积为
π（4＋16）×13＋π×42＋π×162＝532π（cm 2）.
与空间几何体表面积相关的综合题
如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD
把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°.
（1）证明：平面ADB ⊥平面BDC ； （2）若BD ＝1，求三棱锥D -ABC 的表面积.
解：（1）证明：因为折起前AD 是BC 边上的高，所以当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB ，
又DB ∩DC ＝D ，所以AD ⊥平面BDC ， 因为AD ⊂平面ABD ， 所以平面ABD ⊥平面BDC .
（2）由（1）知，DA ⊥DB ，DB ⊥DC ，DC ⊥DA ， 因为DB ＝DA ＝DC ＝1，所以AB ＝BC ＝CA ＝2， 从而S △DAB ＝S △DBC ＝S △DCA ＝12×1×1＝12，
S △ABC ＝1
2
×2×
()22
－⎝⎛⎭⎫222＝32，
故三棱锥D -ABC 的表面积S ＝12×3＋32＝3＋3
2
.
（1）棱柱、棱锥和棱台的表面积等于侧面积与底面积之和.棱柱、棱锥、棱台均是多面体，多面体的表面积的求法有两种：一种是分开算，把各个面的面积分别计算出来，再求其和；另一种是将它们沿某些棱剪开，计算平面展开图的面积.
（2）多面体的有关表面积计算要抓住平面展开图，或者关键的线面长，如底面边长、高等.旋转体的表面积计算要抓住轴截面及旋转半径、母线长等.
3.一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在其中有一个高为x cm 的
内接圆柱.
（1）求圆锥的侧面积；
（2）当x 为何值时，圆柱侧面积最大？求出最大值. 解：（1）母线l ＝22＋62＝210 cm ， S 侧面积＝π×2×210＝410π（cm 2）； （2）设圆柱的底面半径为r cm ，则r 2＝6－x 6，
所以r ＝2－x
3
，
则圆柱的侧面积为S ＝2π⎝⎛⎭⎫2－x 3·x ＝－2π
3（x －3）2＋6π， 所以当x ＝3 cm 时，S 最大＝6π cm 2.
圆柱、圆锥、圆台侧面积之间的关系
如图所示，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝a ，BC ＝b ，BB 1
＝c ，并且a ＞b ＞c ＞0，求沿着长方体的表面自A 到C 1的最短线路的长.
【解】 将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示，三个图形（1）、（2）、（3）中AC 1的长分别为：
（a ＋b ）2＋c 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ， a 2＋（b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2bc ， （a ＋c ）2＋b 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ac .
因为a ＞b ＞c ＞0，所以ab ＞ac ＞bc ＞0，故最短线路的长为a 2＋b 2＋c 2＋2bc .。