一次方程(组)与一次不等式(组)复习(教师版)

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人教版八年级下册数学同步复习第14讲一次函数与方程(组)、不等式讲义

课程标准1. 能用函数观点看一次方程（组），能用辨证的观点认识一次函数与一次方程的区别与联系.2．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想． 3．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．知识点01 一次函数与一元一次方程的关系一次函数y kx b =+（k ≠0，b 为常数），当函数y ＝0时，就得到了一元一次方程0kx b +=，此时自变量x 的值就是方程kx b +＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，这相当于已知直线y kx b =+（k ≠0，b 为常数），确定它与x 轴交点的横坐标的值. 注意：（1）求一次函数与x 轴的交点，令y=0，解出x 即为与x 轴交点的横坐标；（2）一次函数y kx b =+（k ≠0，b 为常数）是一个关于x 和y 的二元一次方程，这个方程有无数组解，但若已知x 的值（或y 的值），即可求出y 的值（或x 的值）；（3）若一次函数y kx b =+，满足等式mk b n += 或0mk b n +-=，则函数必过点（m,n ）;同理，若一次函数图像上有个点（m ，n ），则二元一次方程有一组解为x my n =⎧⎨=⎩；知识点02 一次函数与二元一次方程组每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 注意：（1）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数学生/课程年级 8年级学科数学授课教师日期时段核心内容一次函数与方程（组）、不等式（第14讲）24y x =-+与31322y x =-图象的交点为(3，－2)，则32x y =⎧⎨=-⎩就是二元一次方程组2431322y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩的解.（2）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组3531x y x y -=⎧⎨-=-⎩无解，则一次函数35y x =-与31y x =+的图象就平行，反之也成立.（3）当二元一次方程组有无数组解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.知识点03 方程组解的几何意义1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况：根据交点的个数，看出方程组的解的个数；根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．知识点04 一次函数与一元一次不等式由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax b +＞0或ax b +＜0或ax b +≥0或ax b +≤0（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y ax b =+的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 注意：（1）求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集，从“数”的角度看，就是x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0.从“形”的角度看，确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. （2）常见的解集：0(0)y kx b >+>或0(0)y kx b ≥+≥或0(0)y kx b <+<或0(0)y kx b ≤+≤或x m >x m ≥x m <x m ≤2x >2x ≥ 2x < 2x ≤2x <-2x ≤- 2x >- 2x ≥-4x <4x ≤ 4x > 4x ≥无论求0(0)y kx b >+>或还是0(0)y kx b <+<或，都应首先求出一次函数与x 轴交点的横坐标（即令y=0），再根据题目要求，确定x 的取值范围： ①y ＞0时，取x 轴上方图像自变量的范围； ②y ＜0时，取x 轴下方图像自变量的范围；知识点05 一元一次方程与一元一次不等式我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解. 注意：（1）不等式的解集中，端点无论取到取不到，该值都是对应方程的解；例如：一次函数y kx b =+，若0y >时，x 的取值范围是2x >，则方程0kx b +=的解为2x =，且一次函数y kx b =+过点(2,0)；（2）一次函数y kx b =+，若当a x m << 时，y 的取值范围是b y n <<，则可得出一次函数过点(,),(,)(,),(,)a b m n a n m b 或；知识点06 如何确定两个不等式的大小关系ax b cx d +>+（a ≠c ，且0ac ≠）的解集⇔y ax b =+的函数值大于y cx d =+的函数值时的自变量x 取值范围⇔直线y ax b =+在直线y cx d =+的上方对应的点的横坐标范围．两个一次函数比较大小，求自变量x 的取值范围，首先要求出两一次函数的交点横坐标（列二元一次方程组），再根据图像判断。

中考数学复习第二章方程组与不等式组讲义

第二章方程（组）与不等式（组）第一节一次方程与一次方程组【考点1】一元一次方程定义：只含有未知数，并且未知数的次数都是。

（系数不为0）的整式方程。

形式：一般形式ax+b=0 ；最简形式 ax=b (a ≠0) 解：abx（a ≠0）【提示】判断一个方程是否为一元一次方程，一定要先把方程化简以后再用定义进行判别。

解一元一次方程的一般步骤：去分母；去括号；移项（移项要变号）；合并同类项；化系数为1【考点2】二元一次方程组 1.二元一次方程定义：含有个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程。

一般形式: ax+by=c ，有无数组解。

2. 二元一次方程组的解法⑴代入消元法：多适用于方程组中有一个未知数的系数是或的情形。

⑵ ：多适用于方程组的两个方程中相同未知数的系数或互为的情形。

【考点3】一次方程（组）的应用 1.列方程组解应用题的一般步骤：⑴审：即审清题意，分清题中的已知量、未知量； ⑵设：即设关键未知数；⑶列：即找出适当等量关系，列出方程（组）； ⑷解：即解方程（组）；⑸验：即检验所解答案是否正确或是否符合题意； ⑹答：即规范作答，注意单位名称。

2.列一元一次方程常见的应用题类型及关系式 ⑴ 利润率问题：利润=售价-进价；利润率=进价利润×100﹪ （先确定售价、进价、再计算利润率，其中打折、降价的词义应清楚）⑵ 利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息；利息税=利息×税率；贷款利息=贷款数额×利率×期数⑶ 工程问题：工作量=工作效率× （把全部工作量看作单位1，各部分工作量之和=1）⑷ 浓度问题：浓度=溶液质量溶质质量×100﹪⑸ 行程问题：路程=速度×时间 ① 追击问题（追击过程时间相等）② 相遇问题（甲走的路程乙走的路程=A 、B 两地间的路程）③ 航行问题：顺水（风）速度= +静水（风）；逆水（风）速度=船速-【中考试题精编】1.练习本比水性笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔正好花去14元，如果设水性笔的单价为x 元，那么下列方程正确的是（）A. 5(x-2)+3x=14B. 5(x+2)+3x=14C. 5x+3(x+2)=14D. 5x+3(x-2)=142.某班在学校组织的某场篮球比赛中，小杨和小方一共投进篮球21个，小杨比小方多投进5个。

七年级方程(组)、不等式(组)复习资料

6、李明以两种形式分别储蓄了 2000 元各 1000 元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息 43.92，已知两种储蓄年利率的和为 3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应交利息所得税=利息金额×20%）。
7、甲、乙两件服装的成本共 500 元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按 50﹪的利润定价，乙服装按 40﹪的利润定价。在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按 9 折出售，这样商店共获利 157 元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？
(1)a+l
b+l； (2)a-5
b-5；
2-3x≤ 8 的解集是
1 x-1＜ 1 2
(3)-3a
-3b； (4)6-a
3、写出适合不等式 2x+3<9 的正整数解_____________________。
1-x≥ 0
4、不等式组
的整数解是
.
2x-1>-3
5 、代数式 1 - k 的值大于 - 1 而又不大于 3 ,则k的取值范围是
10、某玩具工厂广告称：“本厂工人工作时间：每天工作 8 小时，每月工作 25 天；待遇：熟练工人按计件付工资，多劳多得，计件工资不少于 800 元，每月另加福利工资 100 元，按月结算；……”该厂只生产两种玩具：小狗和小汽车。熟练工人晓云元月份领工资 900 多元，她记录了如下表的一些数据：
2、当 x取什么值时，代数式 2x +1 -1的值不小于 3x − 8 +2的值？
2
11. 为节约能源，某单位按以下规定收取每月电费：用电不超过 140 度，按每度 0.43 元收费；如果超过 140 度，超过部分按每度 0.57 元收费。若某用电户四月份的电费平均每度 0.5 元，问该用户四月应交电费多少元？

人教版中考数学考点系统复习第二章方程(组)与不等式(组) 第一节一次方程(组)及其应用

①－②，得 2y＝2，∴y＝1， x＝2， x＝2，
∴原方程组的解为y＝1，将y＝1 代入 2kx－3y＜5 得 2×k×2－3＜5，解得 k＜2.
命题点 2：一次方程(组)的应用(近 3 年考查 15 次)
7．(数学文化)(2021·武汉第 7 题 3 分)我国古代数学名著《九章算术》
中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价
32 人.2 艘大船与 1 艘小船一次共可以满载游客 46 人．则 1 艘大船与 1
艘小船一次共可以满载游客的人数为
( B)
A．30
B．26
C．24
D．22
11．★(2022·武汉第 10 题 3 分)幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将 9 个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的 3 个数之和相等，例如图① 就是一个幻方．图②是一个未完成的幻方，则 x 与 y 的和是 ( D ) A．9 B．10 C．11 D．12
14．(2020·仙桃第 12 题 3 分)篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜 1 场得 2 分，负 1 场得 1 分．某队 14 场比赛得到 23 分，则该队胜了__99__场．
15．(2020·黄冈第 19 题 6 分)为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组织创办了“黄冈地标馆”，一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买 6 盒羊角春牌绿茶和 4 盒九孔牌藕粉，共需 960 元，如果购买 1 盒羊角春牌绿茶和 3 盒九孔牌藕粉共需 300 元，请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔牌藕粉分别需要多少元？
【分层分析】设购进创意文具袋 x 个，由题干信息①得购进笔记本为
((2x2＋x＋10)个，由题干信息②可列方程为 xx＋＋(2(x2＋x1＋0)1＝0)190.

北师大数学中考一轮综合复习方程(组)与不等式(组)

北师大数学中考一轮综合复习方程（组）与不等式（组）知识点1 一元一次方程1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示等量关系的式子叫等式.⑵ 性质：① 如果，那么b ±c ；② 如果，那么bc ；如果，那么bc2. 方程、一元一次方程的解、概念(1) 方程：含有未知数的等式叫做方程；使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解；求方程解的过程叫做解方程. 方程的解与解方程不同.(2) 一元一次方程：在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为ax+b=0. 3. 解一元一次方程的步骤：①去分母；②去；③移；④合并；⑤系数化为1. 4. 一元一次方程的应用：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系．（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一．（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可．（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．b a ==±c a b a ==ac ba =()0≠c =c a ()0≠a【典例】例1（2021秋•营口期末）解下列方程：（1）；（2）．例2（2020秋•潮阳区期末）已知关于x的方程2（x+1）﹣m=−m−22的解比方程5（x﹣1）﹣1＝4（x﹣1）+1的解大2．（1）求第二个方程的解；（2）求m的值．例3（2020秋•蓬江区校级月考）已知关于x的方程3x﹣6（x−b3）＝4x和3x+b4−1−5x8=1有相同的解，求这个解．例4（2021春•绿园区期末）先阅读下列解题过程，然后解答问题．解方程：|x﹣5|＝2．解：当x﹣5≥0时，原方程可化为x﹣5＝2，解得x＝7；当x﹣5＜0时，原方程可化为x﹣5＝﹣2，解得x＝3．所以原方程的解是x＝7或x＝3．（1）解方程：|2x+1|＝7．（2）已知关于x的方程|x+3|＝m﹣1．①若方程无解，则m的取值范围是；②若方程只有一个解，则m的值为；③若方程有两个解，则m的取值范围是．例5（2021秋•佳木斯期末）第五中学计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工16件，乙工厂每天能加工24件，且单独加工这批服装甲工厂比乙工厂要多用20天．在加工过程中，学校需付甲工厂每天费用80元，需付乙工厂每天费用120元．（1）求这批校服共有多少件；（2）为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两个工厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，而乙工厂每天的生产速度提高25%，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还多4天，求乙工厂共加工多少天；（3）经学校研究制定如下方案，方案一：由甲工厂单独完成；方案二：由乙工厂单独完成；方案三：按（2）问的方式完成．请你通过计算帮学校选择一种省钱的加工方案．例6（2020秋•道里区期末）为满足防控新冠疫情的需要，某医务物品供应商欲购买一批疫情防护套装．现有甲、乙两个医用物品生产厂家，均标价每套防护套装80元．甲的优惠方案：购买物品一律九折；乙的优惠方案：如果超出600套，则超出的部分打八折．（1）购进多少套防护套装时，从甲生产厂家与乙生产厂家的进货价钱一样？（2）第一次购进了1000套，第二次购进的数量比第一次购进数量的2倍多100套，求医务用品供应商两次购进防护套装最少花多少钱？【随堂练习】1．（2020秋•金安区校级期中）如果关于x 的方程x−43=8−x+22的解与方程4x ﹣（3a +1）＝6x +2a ﹣1的解相同，求a 的值．2．（2020秋•建湖县校级月考）已知关于x 的一元一次方程1−x−mx3=0．（1）若该方程的解为x ＝1，求m 的值；（2）若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数m 的值．3．（2021秋•鱼台县期中）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．解方程：|x ﹣3|＝2．解：当x ﹣3≥0时，原方程可化为x ﹣3＝2，解得x ＝5；当x ﹣3＜0时，原方程可化为x ﹣3＝﹣2，解得x ＝1．所以原方程的解是x ＝5或x ＝1．（1）解方程：|3x ﹣2|﹣4＝0．（2）解关于x 的方程：|x ﹣2|＝b ．4．（2021秋•牡丹江期末）某体育用品商店销售足球和篮球，其中篮球的单价比足球多30元，已知购买4个足球和3个篮球的费用相等．（1）求购买每个足球、篮球的单价分别是多少元？（2）由于“双十二”的来临，商店决定对所售商品进行促销．现有两种促销方案可供选择：方案一：买5个篮球赠一个足球．方案二：所购买的商品均打9折．当购买6个篮球和多少个足球时，两种促销方案所花费用一致？（3）在（2）条件下，购买10个篮球和5个足球最少费用为元．5．（2020秋•讷河市期末）某班级组织学生集体春游，已知班级总人数多于20人，其中有15名男同学，景点门票全票价为30元，对集体购票有两种优惠方案．方案一：所有人按全票价的90%购票；方案二：前20人全票，从第21人开始每人按全票价的80%购票；（1）若共有35名同学，则选择哪种方案较省钱？（2）当女同学人数是多少时，两种方案付费一样多？知识点2 一元二次方程1．一元二次方程：在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是)0(02≠=++a c bx ax .其中2ax 叫做二次项，bx 叫做一次项，c 叫做常数项；a 叫做二次项的系数，b 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为的形式，⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程的求根公式 .（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 3. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程的根的判别式为=∆. （1）>0一元二次方程有两个不相等的实数根，即.（2）=0一元二次方程有两个相等的实数根，即2ba-. （3）<0一元二次方程没有实数根.4．一元二次方程根与系数的关系)0(2≥=a a x )0()(2≥=-a a b x ()02≠=++a o c bx ax 2()x m n +=0n ≥20(0)ax bx c a ++=≠21,240)x b ac =-≥()002≠=++a c bx ax ac b 42-ac b 42-⇔()002≠=++a c bx ax =2,1x ac b 42-⇔==21x x ac b 42-⇔()002≠=++a c bx ax关于x 的一元二次方程有两根分别为，，那么 a b -，c a. 【典例】例1（2020秋•合肥期末）用适当的方法解方程（1）2（x +2）2﹣8＝0 （1）2x 2+x −12=0．例2（2021秋•潍坊期中）解下列关于x 的方程：（1）3x 2﹣54＝0；（2）（x ﹣1）（x +2）＝2（x +2）；（3）（x ﹣1）2﹣2（x ﹣1）＝8．例3 （2020秋•兰州期中）解方程（x ﹣1）2﹣5（x ﹣1）+4＝0时，我们可以将x ﹣1看成一个整体，设x ﹣1＝y ，则原方程可化为y 2﹣5y +4＝0，解得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，即x ﹣1＝1，解得x ＝2；当y ＝4时，即x ﹣1＝4，解得x ＝5，所以原方程的解为x 1＝2，x 2＝5．请利用这种方法求下列方程：（1）（2x +5）2﹣（2x +5）﹣2＝0；（2）32x ﹣4×3x +3＝0．例4（2021秋•金乡县期中）解方程（x ﹣1）2﹣5（x ﹣1）+4＝0时，我们可以将x ﹣1看成一个整体，设x ﹣1＝y ，则原方程可化为y 2﹣5y +4＝0，解得y 1＝1，y 2＝4，当y ＝1时，即x ﹣1＝1，解得：x ＝2；当y ＝4时，即x ﹣1＝4，解得：x ＝5，所以原方程的解：x 1＝2，x 2＝5．请利用这种方法求方程（2x +5）2﹣7（2x +5）+12＝0的解．20(0)ax bx c a ++=≠1x 2x =+21x x =⋅21x x例5（2020秋•白银期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝m2（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．例6（2021秋•长安区校级期末）某公司自主研发一款健康的产品﹣﹣燕窝饮品，主要成分是水果和燕窝．经过一段时间的门店销售发现，当售价是40元/杯，每天可售出60杯．若每杯每降低1元，就会多售出3杯．已知每杯饮品的实际成本是20元，每天的其他费用是300元，物价局规定每件销售品的利润率不得高于成本的80%．若每天的毛利润可达到600元．（1）求该饮品的售价；（2）为支持今年的“洪灾”行动，该门店每卖一杯饮品，向某救助基金会捐款1元，求该店每月（按30天计算）的捐款金额．【随堂练习】1．（2021秋•江油市期末）解下列一元二次方程：（1）x2+10x+16＝0；（2）x（x+4）＝8x+12．2．（2021秋•博兴县月考）解方程：（1）2x2﹣12x+5＝0．（2）2x2﹣5x+1＝0（用配方法）．3．（2021秋•呼和浩特期末）已知关于x的一元二次方程x2+4x+2k＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x12+x22＝k2+2k，求出k的值．4．（2021秋•振兴区校级月考）华美科技大厦一商户销售一种电子产品，每件进价为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？5．（2020秋•法库县期末）2020年突如其来的新型冠状病毒疫情，给生鲜电商带来了意想不到的流量和机遇，据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元．（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？（2）市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？知识点3 分式方程1．分式方程:分母中含有未知数的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入最简公分母中，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：①设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；②解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④检验作答.4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解，是否是所列分式方程的解；（2）检验所求的解，是否为增根.【典例】例1（2021秋•铁岭县期末）解下列分式方程：（1）+4＝；（2）﹣1＝．例2（2020春•百色期末）增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根．对于分式方程：2x−3+mxx2−9=3x+3．（1）若该分式方程有增根，则增根为．（2）在（1）的条件下，求出m的值，例3（2021春•平阴县期末）请阅读下面解方程（x2+1）2﹣2（x2+1）﹣3＝0的过程．解：设x2+1＝y，则原方程可变形为y2﹣2y﹣3＝0．解得y1＝3，y2＝﹣1．当y＝3时，x2+1＝3，∴x＝±．当y＝﹣1时，x2+1＝﹣1，x2＝﹣2，此方程无实数解．∴原方程的解为：x1＝，x2＝﹣．我们将上述解方程的方法叫做换元法，请用换元法解方程：（）2﹣2（）﹣8＝0．例4 （2020秋•河南期末）随着人们环保意识的增强，混动汽车也成了广大消费者的宠儿．某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为70元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.4元．（1）求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？（2）若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？例5（2020秋•连山区期末）为应对新冠疫情，某药店到厂家选购A、B两种品牌的医用外科口罩，B品牌口罩每个进价比A品牌口罩每个进价多0.7元，若用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B品牌数量的2倍．（1）求A、B两种品牌的口罩每个进价分别为多少元？（2）若A品牌口罩每个售价为2元，B品牌口罩每个售价为3元，药店老板决定一次性购进A、B两种品牌口罩共6000个，在这批口罩全部出售后所获利润不低于1800元．则最少购进B品牌口罩多少个？【随堂练习】1．（2021秋•黔西南州期末）解方程：（1）；（2）．2．（2021秋•攸县期中）已知关于x的方程无解，求m的值．3．（2021秋•庆阳期末）庆阳香包又称“绌绌”，是甘肃庆阳的一种民俗物品．某商店准备用3000元购进A、B两种香包共150个，已知购买A种香包与购买B种香包的费用相同，且A种香包的单价是B种香包单价的2倍．（1）求A、B两种香包的单价各是多少元；（2）若计划用4500元的资金再次购进A、B两种香包共200个，已知A、B两种香包的单价不变，求A，B两种香包各购进多少个．4．（2021秋•铁西区期末）元旦将至，天猫某电商用4400元购入一批玩具盲盒，然后以每个60元的价格出售，很快售完．电商又以9600元的价格再次购入该商品．数量是第一次购入数量的1.6倍，售价每个上调了16元，进价每个也上调了16元．（1）该电商第一次购入的玩具盲盒每个进价是多少元？（2）该电商既要尽快售完第二次购入的玩具盲盒，又要使在这两次销售中获得的总利润不低于4000元．打算将第二次购入的部分盲盒按每个九折出售，最多可将多少个盲盒打折出售？知识点4 方程组(1)二元一次方程：含有两个未知数（元）并且未知数的次数是2的整式方程.(2) 二元一次方程组：由2个或2个以上的含有相同未知数的二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组.(3)二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的两个未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有无数个解.(4)二元一次方程组的解：使二元一次方程组成立的未知数的值，叫做二元一次方程组的解.(5)①代入消元法、②加减消元法.【典例】例1（2021秋•甘州区校级期末）解方程组：（1）；（2）例2（2021•饶平县校级模拟）已知关于x，y的方程组和有相同解，求（﹣a）b值．例3（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝2，求实数x，y，m的值．例4（2020秋•太原期末）某景点的门票价格如下表：（1）某校七年级1、2两个班共有102人去游览该景点，其中1班人数少于50人，2班人数多于50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付4737元，两个班各有多少名学生？（2）该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过50人，九年级的报名人数超过50人，但不超过80人．若两个年级分别购票，总计支付门票费4914元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4452元，问八年级、九年级各报名多少人？例5（2020•越秀区校级二模）今年是脱贫攻坚最后一年，某镇拟修一条连通贫困山区村子的公路，现有甲、乙两个工程队．若甲、乙合作，36天可以完成，需用600万元；若甲单独做20天后，剩下的由乙做，还需40天才能完成，这样所需550万元．（1）求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？（2）求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少万元？【随堂练习】1．（2021秋•芗城区校级期中）解下列方程组：（1）；（2）．2．（2021春•沈丘县期末）已知方程组与有相同的解，求m，n的值．3．（2021秋•长丰县月考）已知关于x，y的二元一次方程组．（1）当方程组的解为时，求a的值．（2）当a＝﹣2时，求方程组的解．（3）小冉同学模仿第（1）问，提出一个新解法：将代入方程x+2y＝a中，即可求出a的值．小冉提出的解法对吗？若对，请完成解答；若不对，请说明理由．4．（2021秋•宝山区校级月考）某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲，乙两种货车运货情况如表：第一次第二次甲种货车（辆）25乙种货车（辆）36累计运货（吨）1328（1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？（2）王先生要租用该公司的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费是甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？5．（2021•济宁模拟）某超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品件数的2倍比乙商品件数的3倍多20件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表（利润＝售价﹣进价）：甲乙进价（元/件） 20 28 售价（元/件）2640（1）该超市第一次购进甲、乙两种商品的件数分别是多少？（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖出后一共可获得多少利润？（3）该超市第二次以同样的进价又购进甲、乙两种商品．其中甲商品件数是第一次的2倍，乙商品的件数不变．甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次甲、乙两种商品销售完以后获得的利润比第一次获得的利润多560元，则第二次乙商品是按原价打几折销售的？知识点5不等式（组）1. 用不等号连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；一些使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解集.求一个不等式的解的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式. 2．不等式的基本性质：（1）若＜，则+＜；（2）若＞，＞0则＞（或＞）； a b a c c b a b c ac bc c a cb（3）若＞，＜0则＜（或＜）. 3．一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次且系数不等于0的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为ax ＞b 或；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.4．一元一次不等式组：几个含有相同未知数的一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组.一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集. 5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知）的解集是，即“小小取小”；的解集是，即“大大取大”；的解集是，即“大小小大中间找”；的解集是空集，即“大大小小取不了”. 6．求不等式（组）的特殊解：不等式（组）的解一般有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案. 7．列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；③设：设未知数（一般求什么，就设什么为；④列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围；⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位）.a b c ac bc c a cb ax b <a b <x a x b <⎧⎨<⎩x a <x ax b >⎧⎨>⎩x b >x ax b>⎧⎨<⎩a x b <<x ax b <⎧⎨>⎩x【典例】例1（2020秋•肇源县期末）若0＜m ＜1，m 、m 2、1m的大小关系是（）A ．m ＜m 2＜1mB ．m 2＜m ＜1mC ．1m＜m ＜m 2D ．1m＜m 2＜m例2（2020秋•嵊州市期中）解不等式（组）并把解表示在数轴上（1）3x +2＞14；（2）1+x 2−2x+13≤1．例3（2020春•海珠区校级月考）解下列不等式：（1）2x ﹣1＜﹣6；（2）x−12＜4x−53；（3）解不等式组：{x −3(x −2)≥41+2x 3＞x −1，并在数轴上表示它的解集．例4（2020秋•道里区期末）某班班主任对在某次考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元；若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本25个，共花费225元．（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）班主任决定再次购买甲、乙两种笔记本共35个，如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多需要购买多少个甲种笔记本？【随堂练习】1．（2020秋•萧山区期中）解下列不等式（1）3x ﹣4≤4+2（x ﹣2）；（2）2+x 3＞2x−15+12．（2020秋•江干区校级期中）求出不等式组的解集，并在数轴上表示出来． {5x −2＞3(x +1)x−12≤1−1−x 33．（2020春•沙河口区期末）为了让居民早日用上天然气，市燃气公司要给某小区用户改装天然气．现有360户申请了但还未改装的用户，此外每天还有新的申请．已知燃气公司每个小组每天改装的数量相同，且每天新申请的户数也相同，若安排2个小组同时做，则30天可以改装完所有新、旧申请；若再增加3个小组同时做，则可以减少20天就改装完所有新、旧申请．（1）求该小区7天内有多少需要改装的新、旧申请用户？（2）如果要求在7天内改装完所有新、旧申请，但前3天只能安排4个小组改装，那么最后几天至少需要增加多少个小组，才能完成任务？4．（2020•广西）某市为创建“全国文明城市”，计划购买甲、乙两种树苗绿化城区，购买50棵甲种树苗和20棵乙种树苗需要5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗需要2800元．（1）求购买的甲、乙两种树苗每棵各需要多少元．（2）经市绿化部门研究，决定用不超过42000元的费用购买甲、乙两种树苗共500棵，其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的14，求甲种树苗数量的取值范围．（3）在（2）的条件下，如何购买树苗才能使总费用最低？综合运用1．（2020秋•常熟市期中）若关于x 的方程x+m 3=x −m2与方程3+4x ＝2（3﹣x ）的解互为倒数，求m 的值．2．（2020秋•武都区期末）解方程：（1）x−12=4x 3；（2）5x+13−2x−16=1．3．（2020秋•武汉月考）解不等式组{3−2(x −1)＜3x 1−x−13≥0，把其解集在数轴上表示出来，并写出它的整数解．4．（2020秋•白云区期中）已知方程x 2﹣（k +1）x +k ﹣1＝0是关于x 的一元二次方程．（1）求证：对于任意实数k ，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求k 的值及方程的另一个根．5．（2020秋•朝阳县期末）某工厂生产一批小家电，2018年的出厂价是144元，2019年，2020年连续两年改进技术，降低成本，2020年出厂价调整为100元．（1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．（2）某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，单价应降低多少元？6．（2020秋•鞍山期末）假期里，学校组织部分团员同学参加“关爱老年人”的爱心援助活动，计划分乘大、小两辆车前往相距140km 的乡村敬老院．（1）若小车速度是大车速度的1.4倍，则小车比大车早一个小时到达，求大、小车速度．（2）若小车与大车同时以相同速度出发，但走了60千米以后，发现有物品遗忘，小车准备加速返回取物品，要想与大车同时到达，应提速到原来的多少倍？7．（2020秋•本溪期末）某公司在手机网络平台推出的一种新型打车方式受到大众的欢迎．该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/千米计算，耗时费按y元/分钟计算．小聪、小明两人用该打车方式出行，按上述计价规则，他们打车行驶里程数、所用时间及支付车费如下表：（1）求x，y的值；（2）该公司现推出新政策，在原有付费基础上，当里程数超过8千米后，超出的部分要加收0.6元/千米的里程费，小强使用该方式从三水荷花世界打车到大旗头古村，总里程为23千米，耗时30分钟，求小强需支付多少车费．8．（2020秋•长沙月考）我市创全国卫生城市，梅溪湖社区积极响应，决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买4个垃圾箱比购买5个温馨提示牌多350元，垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）如果该街道需购买温馨提示牌和垃圾箱共3000个．该街道计划费用不超过35万元，而且垃圾箱的个数不少于温馨提示牌的个数的1.5倍，求有几种可供选择的方案？并找出资金最少的方案，求出最少需多少元？。

方程应用(复习讲义)(一元一次方程、二元一次方程、一元一次不等式、分式方程、一元二次方程应用)原卷版

题型三--方程应用（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01一次方（组）程应用1．列方程（组）解应用题的一般步骤（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．2．一次方程（组）常见的应用题型×100％；售价=标价×折扣；销售（1）销售打折问题：利润售价-成本价；利润率=利润成本额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．（4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．1.（2022·山东泰安）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A 种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格．2．（2022·湖南常德）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时，某天，他们以平常的速度行驶了12的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米／小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？3.（2021·重庆中考真题）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低3a% 4．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加5%2a，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加5%11a．求a的值．4.（2020•安徽）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．（1）设2019年4a元，线上销售额为x元，请用含a，x的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；时间销售总额（元）线上销售额（元）线下销售额（元）2019年4月份a x a﹣x2020年4月份 1.1a 1.43x 1.04（a﹣x）（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．5.（2020•江西）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．6.（2020•重庆）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A，B两个品种各种植了10亩．收获后A，B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B的平均亩产量比A的平均亩产量高100kg，A，B两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）请求出A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少？（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B种植亩数不变的情况下，预计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价不变．A，B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加209a%．求a的值．考点02不等式的应用3、列不等式（组）解决实际问题列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案．考情总结：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等．列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接．1.（2022·四川泸州）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B 种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．(1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？(2)该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？2．（2021·四川成都市·中考真题）为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；（2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？3．（2021·四川眉山市·中考真题）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若千个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．（1）足球和篮球的单价各是多少元？（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？4.（2021·浙江温州市·中考真题）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？5.（2021·四川资阳市·中考真题）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．（1）求甲、乙两种奖品的单价；（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的12，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．6.（2021·江苏连云港市·中考真题）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．（1）这两种消毒液的单价各是多少元？（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的1 3，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．考点03分式方程的应用4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．1.（2022·重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．2.（2020•泰州）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度．3.（2020•常德）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？4.（2020•广东）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35．（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．5.（2021·山东聊城市·中考真题）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元．（1）A，B两种花卉每盆各多少元？（2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的1 3，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？6.（2021·湖南中考真题）“七一”建党节前夕，某校决定购买A，B两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A奖品比B奖品每件多25元预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍．（1）求A，B奖品的单价；（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折．．销售，学校调整了购买方案：不超过．．．720元，A，B两种奖品共100件．求购买A，．．．预算资金且购买A奖品的资金不少于B两种奖品的数量，有哪几种方案？7.（2020•牡丹江）某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元．请解答下列问题：（1）A，B两种书包每个进价各是多少元？（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，B种书包各有几个？8.（2020•黔西南州）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元？（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍．已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？考点04二次方程的应用5、利用一元二次方程解决实际问题列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．6．增长率等量关系（1）增长率=增长量÷基础量．（2）设a 为原来量，m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量，则()1n a m b +=；当m 为平均下降率时，则有()1n a m b -=．7．利润等量关系（1）利润=售价－成本．（2）利润率=利润成本×100％．8．面积问题（1）类型1：如图1所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，空白“回形”道路的宽为x ，则阴影部分的面积为()(22)a x b x --．（2）类型2：如图2所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则空白部分的面积为()()a x b x --．（3）类型3：如图3所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则4块空白部分的面积之和可转化为()()a x b x --．1.（2022·四川眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？2.（2022·湖北宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．(1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加%m ．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%2m ，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m 的值；(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？3.（2021·四川遂宁市·中考真题）某服装店以每件30元的价格购进一批T 恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T 恤的销售单价提高x 元．（1）服装店希望一个月内销售该种T 恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T 恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T 恤获得的利润最大？最大利润是多少元？4.（2021·重庆中考真题）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低3a% 4．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加5%2a，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加5%11a．求a的值．5.（2021·重庆中考真题）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B 产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加2925 a%．求a的值．。

[初中数学]初中数学知识点：一次方程(组)与一次不等式(组)

[初中数学]初中数学知识点：一次方程(组)与一次不等式(组)初中数学知识点：一次方程(组)与一次不等式(组)等式与方程1、等式：用等号把两个值相等的量或式子连接起来得到的式子称为等式。

2、方程：含有未知数的等式叫做方程。

注意：（1）等式中必须含有等号，故不含等号的式子就不是等式；（2）方程必须是等式，并且含有未知数，两个条件须同时具备；（3）方程中可以含有几个未知数。

例题1、下列式子中，哪些是等式?哪些是方程?（1）1+7=6（2）x+7=6（3） x+7（4）x+7=7x（5）4+7=7十4（6）y3=1（7）4x+y=7方程中的项、系数、次数等概念1、项：在方程中，被“+”、“-”，号隔开的每一部分(包括这部分前面的“十”、“-”号在内)称为一项。

2、未知数的系数：在一项中，写在未知数前面的数字或表示已知数的字母叫做未知数的系数。

3、项的次数：在一项中，所有未知数的指数和称为这一项的次数。

4、常数项：不含未知数的项，称为常数项。

列方程的方法1、列方程：为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系，就是列方程。

2、列方程可分两步进行：第一步先根据题设条件设未知数;第二步要找到未知数和已知数之间的等量关系，从而得到方程。

例题2、根据条件列方程：（1）某数的平方与它的4倍互为相反数（2）某数的相反数与8的差等于这个数的倒数（3）购买一本书，打八折比打九折少花2元钱，求这本书的原价例题3、根据下列条件列出方程：（1）a与6两数和的平方等于1（2）a与6两数平方的和等于1方程的解方程的解和解方程方程的解：使方程的左右两边相等的未知数的值叫做方程的解解方程：求方程的解的过程叫做解方程注意：（1）方程的解一定能使方程左右两边的值相等；（2）方程的解和解方程是两个不同的概念，它们一个是求得的结果，一个是变形的过程，要区别开，方程的解中的“解”是名词，解方程概念中“解”是一个动词。

方程的'解一元一次方程的概念1、概念：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的方程叫一元一次方程。

第6章一次方程(组)和一次不等式练习题含解析

第6章一次方程（组）和一次不等式（组）一．选择题（共11小题） 1．不等式23x ->的解集是( ) A ．23x >-B ．23x <-C ．32x >-D ．32x <-2．如果m n >，那么下列结论错误的是( ) A ．22m n +>+B ．22m n ->-C ．22m n >D ．22m n ->-3．如果a b >，0m <，那么下列不等式中成立的是( ) A ．am bm >B ．a b m m> C ．a m b m +>+ D ．a m b m -+>-+．4．不等式240x +„的解集在数轴上表示正确的是( ) A ． B ．C ．D ．5．不等式260x +>的解集在数轴上表示正确的是( ) A ．B ．C ．D ．6．现有三种不同的物体：“甲、乙、丙”，用天平称了两次，情况如图所示，那么“甲、乙、丙”这三种物体按质量从大到小的顺序排列为( )A ．丙甲乙B ．丙乙甲C ．乙甲丙D ．乙丙甲7．一件商品成本价是30元，如果按原价的八五折销售，至少可获得15%的利润．如果设该商品的原价是x 元，则列式( ) A ．303015%85%x +⨯„ B ．303015%85%x +⨯… C ．303015%85%x -⨯„D ．303015%85%x -⨯…8．若关于x 的一元一次方程20x m -+=的解是负数，则m 的取值范围是( )A ．2m …B ．2m >C ．2m <D ．2m „9．关于x 的方程5264x a a x -=+-的解是非负数，则a 的取值范围是( )A ．1a …B ．1a -…C ．1a -„D ．0a …10．不等式732122x x --+<的负整数解有( ) A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个11．如果关于x 的不等式(1)1a x a +>+的解集为1x <，则a 的取值范围是( ) A ．0a <B ．1a <-C ．1a >D ．1a >-二．填空题（共17小题）12．用不等式表示：y 减去1的差不小于y 的一半． 13．不等式2(1)34x x ->-的自然数解为． 14．解不等式：29x x --„的非负整数解有个． 15．不等式2132x x +>-的非负整数解是． 16．不等式215x -„的非负整数解是． 17．不等式1123x x --<的非负整数解是． 18．不等式12123x x -->的非负整数解为． 19．不等式3256x x -+„的最大负整数解为． 20．不等式123x x -+>的正整数解为． 21．不等式3618x ---…的正整数解为．22．试写出一个不等式使它的正整数解只有1，2，3． 23．满足 2.1x <-的最大整数是． 24．不等式1208x-…的最大整数解为． 25．不等式250x -…的最小整数解为． 26．适合不等式3(2)2x x ->的最小正整数是． 27．不等式214x ->的最小整数解是．28．对于有理数m ，我们规定[]m 表示不大于m 的最大整数，例如[1.2]1=，[3]3=，[ 2.5]3-=-，若2[]53x +=-，则整数x 的取值是．三．解答题（共12小题）29．解不等式3(2)2x x +>，并把解在数轴上表示出来．30．解不等式121132x x+++…，并把它的解集在数轴上表示出来．31．解不等式并把解集表示在数轴上：（1）2(1)142x x +-+…，（2）7223x x---…32．若关于x 的不等式14x x m +>+的解集为1x <，求m 的值．33．若不等式3(2)54(1)6x x -+<-+的最小整数解为方程23x ax -=的解，求a 的值．34．已知3x =是方程212x a x --=-的解，求不等式1(2)53a x ->的解集．35．若关于x 的一元一次方程538m x +=的解是非负数，求m 的取值范围．36．学校为美化环境，计划购进菊花和绿萝共30盆，菊花每盆16元，绿萝每盆8元，若购买菊花和绿萝的总费用不超过400元，则最多可以购买菊花多少盆？37．有10名合作伙伴承包了一块土地准备种植蔬菜，他们每人可种茄子3亩或辣椒2亩，已知每亩茄子平均可收入0.5万元，每亩辣椒平均可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排多少人种茄子？38．字母m 、n 分别表示一个有理数，且m n ≠．现规定{min m ，}n 表示m 、n 中较小的数，例如：{3min ，1}1-=-，{1min -，0}1=-．据此解决下列问题：（1）1{2min -，1}3-= ．（2）若21{3x min -，2)1=-，求x 的值；（3）若{25min x -，3}2x +=-，求x 的值．39．某县为了更好保障居民饮用水安全，环保局决定购10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，价格与每台日处理污水的能力见表．（1）若县环保局购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为有哪几种方案．（2）在（1）的条件下，每日要求处理污水量不低于2040吨，为了节约资金，请设计“一个最省钱”的购买方案．40．甲、乙两队共同承担一项“退耕返林”的植树任务，甲队单独完成此项任务比乙队单独完成此项任务多用8天，且甲队单独植树7天和乙队单独植树5天的工作量相同．（1）甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？（2）甲、乙两队共同植树5天后，乙队因另有任务停止植树，剩下的由甲队继续植树．为了能够在规定时间内完成任务，甲队增加人数，使工作效率提高到原来的2倍．那么甲队至少再单独施工多少天？参考答案一．选择题（共11小题） 1．不等式23x ->的解集是( ) A ．23x >-B ．23x <-C ．32x >-D ．32x <-【解答】解：不等式的两边同时除以2-得，32x <-．故选：D ．2．如果m n >，那么下列结论错误的是( ) A ．22m n +>+ B ．22m n ->- C ．22m n > D ．22m n ->-【解答】解：m n >Q ， 22m n ∴-<-，故选：D ．3．如果a b >，0m <，那么下列不等式中成立的是( ) A ．am bm >B ．a b m m> C ．a m b m +>+ D ．a m b m -+>-+．【解答】解：A 、am bm <，故原题错误； B 、a bm m<，故原题错误； C 、a m b m +>+，故原题正确；D 、a m b m -+<-+，故原题错误；故选：C ．4．不等式240x +„的解集在数轴上表示正确的是( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：移项得，24x -„，系数化为1得，2x -„．在数轴上表示为：．故选：C ．5．不等式260x +>的解集在数轴上表示正确的是( ) A ．B ．C ．D ．【解答】解：260x +>， 26x >-， 3x >-，在数轴上表示为：，故选：C ．6．现有三种不同的物体：“甲、乙、丙”，用天平称了两次，情况如图所示，那么“甲、乙、丙”这三种物体按质量从大到小的顺序排列为( )A ．丙甲乙B ．丙乙甲C ．乙甲丙D ．乙丙甲【解答】解：由图一可得：丙+丙>丙+乙，所以丙>乙；由图二可得：甲+甲+甲=甲+乙，所以乙=甲+甲>甲．则丙>乙>甲．故选：B ．7．一件商品成本价是30元，如果按原价的八五折销售，至少可获得15%的利润．如果设该商品的原价是x 元，则列式( ) A ．303015%85%x +⨯„ B ．303015%85%x +⨯… C ．303015%85%x -⨯„D ．303015%85%x -⨯…【解答】解：由题意：303015%85%x +⨯„．故选：A ．8．若关于x 的一元一次方程20x m -+=的解是负数，则m 的取值范围是( )A ．2m …B ．2m >C ．2m <D ．2m „【解答】解：Q 方程20x m -+=的解是负数， 20x m ∴=-<，解得：2m <，故选：C ．9．关于x 的方程5264x a a x -=+-的解是非负数，则a 的取值范围是( )A ．1a …B ．1a -…C ．1a -„D ．0a …【解答】解：移项，得5642x x a a +=++，合并同类项，得666x a =+，系数化成1得1x a =+，根据题意得：10a +…，解得：1a -…．故选：B ． 10．不等式732122x x --+<的负整数解有( ) A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个【解答】解：去分母，得：7232x x -+<-，移项，得：3722x x -<-- 合并同类项，得：23x -<，则32x >-．则负整数解是：1-．故选：A ．11．如果关于x 的不等式(1)1a x a +>+的解集为1x <，则a 的取值范围是( ) A ．0a <B ．1a <-C ．1a >D ．1a >-【解答】解：由题意，得 10a +<，解得1a <-，故选：B ．二．填空题（共17小题）12．用不等式表示：y 减去1的差不小于y 的一半 112y y -… ．【解答】解：依题意，得：112y y -…．故答案为：112y y -…．13．不等式2(1)34x x ->-的自然数解为 1和0 ．【解答】解：2(1)34x x ->-， 2234x x ->-， 2342x x ->-+， 2x ->-， 2x <，则该不等式的自然数解为1和0，故答案为：1和0．14．解不等式：29x x --„的非负整数解有 4 个．【解答】解：29x x --„，29x x +„， 39x „， 3x „，所以不等式：29x x --„的非负整数解有0，1，2，3四个，故答案为4．15．不等式2132x x +>-的非负整数解是 0，1，2 ．【解答】解：移项得，2321x x ->--，合并同类项得，3x ->-，系数化为1得，3x <．故其非负整数解为：0，1，2．16．不等式215x -„的非负整数解是 0、1、2、3 ．【解答】解：215x -„，移项得：26x „，不等式的两边都除以2得：3x „，即不等式的非负整数解释：0、1、2、3，故答案为：0、1、2、3． 17．不等式1123x x --<的非负整数解是 0，1，2，3 ．【解答】解：1123x x --<， 32(1)6x x --<，3226x x -+<， 3262x x -<-， 4x <，所以不等式1123x x --<的非负整数解是0，1，2，3，故答案为：0，1，2，3． 18．不等式12123x x -->的非负整数解为 0 ．【解答】解：12123x x -->3(1)2(21)x x ->-，则3342x x ->-，故75x ->-，解得：57x <，故不等式12123x x -->的非负整数解为0．故答案为：0．19．不等式3256x x -+„的最大负整数解为 1x =- ．【解答】解：3256x x -+Q „，3562x x ∴-+„， 28x -„，则4x -…，∴不等式的最大负整数解为1x =-，故答案为：1x =-． 20．不等式123x x -+>的正整数解为 1，2 ．【解答】解：123x x -+>，去分母，得：163x x -+>，移项，得：316x x ->-，合并同类项，得：25x ->-，系数化成1得： 2.5x <．则正整数解是：1，2．故答案是：1，2．21．不等式3618x ---…的正整数解为 1、2、3、4 ．【解答】解：3618x ---…，移项得：3186x --+…合并同类项得：312x --…，把x 的系数化为1得：4x „，∴不等式3618x ---…的正整数解为1、2、3、4．故答案为1、2、3、4．22．试写出一个不等式 3x „（答案不唯一）使它的正整数解只有1，2，3．【解答】解：不等式3x „（答案不唯一）的正整数解只有1，2，3，故答案为：3x „（答案不唯一）23．满足 2.1x <-的最大整数是 3- ．【解答】解：满足 2.1x <-的最大整数是3-，故答案为：3-．24．不等式1208x -…的最大整数解为 0 ．【解答】解：不等式去分母得：120x -…，解得：12x „，则不等式的最大整数解为0，故答案为：0．25．不等式250x -…的最小整数解为 3 ．【解答】解：不等式250x -…，移项得：25x …，解得：52x …，则不等式的最小整数解为3，故答案为：326．适合不等式3(2)2x x ->的最小正整数是 7 ．【解答】解：3(2)2x x ->，362x x ->，326x x ->，6x >，所以不等式3(2)2x x ->的最小正整数是7，故答案为：7．27．不等式214x ->的最小整数解是 3 ．【解答】解：214x ->，25x >，2.5x >，所以不等式214x ->的最小整数解是3，故答案为：3．28．对于有理数m ，我们规定[]m 表示不大于m 的最大整数，例如[1.2]1=，[3]3=，[ 2.5]3-=-，若2[]53x +=-，则整数x 的取值是 17-，16-，15- ．【解答】解：[]m Q 表示不大于m 的最大整数，2543x +∴-<-„，解得：1714x -<-„，∴整数x 为17-，16-，15-，故答案为17-，16-，15-．三．解答题（共12小题）29．解不等式3(2)2x x +>，并把解在数轴上表示出来．【解答】解：去括号，得：632x x +>，移项，得：326x x ->-，合并同类项，得：6x >-，将解集表示在数轴上如下：30．解不等式121132x x +++…，并把它的解集在数轴上表示出来．【解答】解：去分母，得2(12)63(1)x x +++…去括号得，24633x x +++…，再移项、合并同类项得，5x -…．在数轴上表示为：．31．解不等式并把解集表示在数轴上：（1）2(1)142x x +-+…，（2）7223x x ---… 【解答】解：（1）22142x x +-+…， 24221x x --+…，21x -…， 12x -„，（2）3122(7)x x ---…，312152x x --+…，321512x x --+…，3x -…，32．若关于x 的不等式14x x m +>+的解集为1x <，求m 的值．【解答】解：41x x m ->-，31x m ->-，13m x -<， Q 不等式的解集为1x <，∴113m -=，解得2m =-．33．若不等式3(2)54(1)6x x -+<-+的最小整数解为方程23x ax -=的解，求a 的值．【解答】解：解不等式3(2)54(1)6x x -+<-+，去括号，得：365446x x -+<-+，移项，得344665x x -<-++-，合并同类项，得3x -<，系数化成1得：3x >-．则最小的整数解是2-．把2x =-代入23x ax -=得：423a -+=，解得：72a =． 34．已知3x =是方程212x a x --=-的解，求不等式1(2)53a x ->的解集．【解答】解：由于3x =是方程212x a x --=-的解，所以32312a --=- 解得5a =-把5a =-代入不等式，得1(21)3x +> 解得，19x > 所以不等式的解集为19x >． 35．若关于x 的一元一次方程538m x +=的解是非负数，求m 的取值范围．【解答】解：解方程538m x +=得853m x -=，根据题意知8503m -…，解得85m „． 36．学校为美化环境，计划购进菊花和绿萝共30盆，菊花每盆16元，绿萝每盆8元，若购买菊花和绿萝的总费用不超过400元，则最多可以购买菊花多少盆？【解答】解：设需要购买菊花x 盆，则需要购买绿萝(30)x -盆，依题意，得：168(30)400x x +-„，解得：20x „．答：最多可以购买菊花20盆．37．有10名合作伙伴承包了一块土地准备种植蔬菜，他们每人可种茄子3亩或辣椒2亩，已知每亩茄子平均可收入0.5万元，每亩辣椒平均可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排多少人种茄子？【解答】解：安排x 人种茄子，依题意得：30.52(10)0.815.6x x +-g g …，解得：4x „．所以最多只能安排4人种茄子．38．字母m 、n 分别表示一个有理数，且m n ≠．现规定{min m ，}n 表示m 、n 中较小的数，例如：{3min ，1}1-=-，{1min -，0}1=-．据此解决下列问题：（1）1{2min -，1}3-= 2．（2）若21{3x min -，2)1=-，求x 的值；（3）若{25min x -，3}2x +=-，求x 的值．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：1{2min -，11}32-=-；故答案为：12-；（2）由21>-，得到2113x -=-，解得：1x =-；（3）若252x -=-，解得： 1.5x =，此时3 4.52x +=>-，满足题意；若32x +=-，解得：5x =-，此时25152x -=-<-，不符合题意，综上， 1.5x =．39．某县为了更好保障居民饮用水安全，环保局决定购10台污水处理设备，现有A 、B 两种型号的设备，价格与每台日处理污水的能力见表．（1）若县环保局购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为有哪几种方案．（2）在（1）的条件下，每日要求处理污水量不低于2040吨，为了节约资金，请设计“一个最省钱”的购买方案．【解答】解：（1）设购买A 型设备x 台，则B 型设备(10)x -台，依题意得，1210(10)105x x +-„，解得， 2.5x „；又x 取自然数（或说非负整数），故2x =，1，0，所以，符合要求的购买方案有以下3种：①购买10台B 型；②购买1台A 型和9台B 型；③购买2台A 型和8台B 型．（2）设购买A 型设备x 台，则B 型设备(10)x -台，由题意得：240200(10)2040x x +⨯-…，解得，1x …，由生活实际可知价格便宜的购置数量越多越省钱，故购买1台A 型和9台B 型符合要求，40．甲、乙两队共同承担一项“退耕返林”的植树任务，甲队单独完成此项任务比乙队单独完成此项任务多用8天，且甲队单独植树7天和乙队单独植树5天的工作量相同．（1）甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？（2）甲、乙两队共同植树5天后，乙队因另有任务停止植树，剩下的由甲队继续植树．为了能够在规定时间内完成任务，甲队增加人数，使工作效率提高到原来的2倍．那么甲队至少再单独施工多少天？【解答】解：（1）设乙队单独完成此项任务需x 天，则甲队单独完成此项任务需(8)x +天，依题意，得：857x x +=，解得：20x =，828x ∴+=．答：甲队单独完成此项任务需28天，乙队单独完成此项任务需20天．（2）设甲队再单独施工y 天，依题意，得：55212028y ++…，解得：8y …．答：甲队至少再单独施工8天．。

人教版中考数学考点系统复习第二章方程(组)与不等式(组) 第四节一元一次不等式(组)及其应用

有 3 个整数解，则 a 的取值范围为
( A)
A．1<a≤2
B．1<a<2
C．1≤a<2
D．1≤a≤2
6 ． (2019 · 鄂州第 12 题 3 分 ) 若关于 x ， y 的二元一次方程组
x－3y＝4m＋3，
x＋5y＝5
的解满足 x＋y≤0，则 m
的取值范围是__mm≤≤－－22__.
③学校购买篮球和足球共 40 个．
(1)
若④购买篮球的个数不少于足球个数的23，则最少可购买篮球
116 6
个；
【分层分析】(1)设购买篮球 x 个，则由题干③可得购买足球((440 0－－x)
个，由题干④可列不等式为

2 xx≥≥3((4400－－xx))，解此不等式得
x) xx≥≥1166.
(2)若⑤购买篮球的费用不超过购买足球的费用，则最多可购买篮球115
(2)若此不等式组的解集为－4≤x<1，则 a 的值为－－22；【分层分析】(2)由题意得1a.－25168＝0－－m4 m，即 a＝－－22;
重难点 2：一元一次不等式的应用
(一题多设问)某校为举行体育比赛活动，准备购买若干个足球和篮
球作为奖品，已知①篮球的单价为 100 元/个，②足球的单价为 60 元/个，
第四节一元一次不等式 (组)及其应用
【考情分析】湖北近 3 年主要考查：1.一元一次不等式(组)的解法及解集表示，考查形式有：①求不等式(组)的解集；②求不等式(组)的解集并在数轴上表示；③求不等式组的整数解；④确定不等式组中字母参数的取值范围.2.一元一次不等式的应用，考查形式有：①利用不等式判断哪种方案合算；②与方程(组)、函数结合确定方案问题，设题背景有购买问题、销售费用问题，以解答题为主

人教七年级数学二元一次方程组和一元一次不等式组复习讲义

⼈教七年级数学⼆元⼀次⽅程组和⼀元⼀次不等式组复习讲义⼆元⼀次⽅程组相关知识归纳1.⼆元⼀次⽅程⼆元⼀次⽅程具备以下四个特征：（1）是⽅程；（2）有且只有两个未知数；（3）⽅程是整式⽅程，即各项都是整式；（4）各项的最⾼次数为1.2.⼆元⼀次⽅程的解.3.⼆元⼀次⽅程组.它有两个特点：⼀是⽅程组中每⼀个⽅程都是⼀次⽅程；⼆是整个⽅程组中含有两个且只含有两个未知数.4.⼆元⼀次⽅程组的解.1概念：将⽅程组中⼀个⽅程的某个未知数⽤含有另⼀个未知数的代数式表⽰出来，代⼊另⼀个⽅程中，消去⼀个未知数，得到⼀个⼀元⼀次⽅程，最后求得⽅程组的解. 这种解⽅程组的⽅法叫做代⼊消元法，简称代⼊法. （2）代⼊法解⼆元⼀次⽅程组的步骤①选取⼀个系数较简单的⼆元⼀次⽅程变形，⽤含有⼀个未知数的代数式表⽰另⼀个未知数；②将变形后的⽅程代⼊另⼀个⽅程中，消去⼀个未知数，得到⼀个⼀元⼀次⽅程（在代⼊时，要注意不能代⼊原⽅程，只能代⼊另⼀个没有变形的⽅程中，以达到消元的⽬的. ）；③解这个⼀元⼀次⽅程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代⼊①中变形后的⽅程中，求出另⼀个未知数的值；⑤⽤“{”联⽴两个未知数的值，就是⽅程组的解；⑥最后检验求得的结果是否正确（代⼊原⽅程组中进⾏检验，⽅程是否满⾜左边＝右边）.加减消元法2概念：当⽅程中两个⽅程的某⼀未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个⽅程的两边相加或相减来消去这个未知数，从⽽将⼆元⼀次⽅程化为⼀元⼀次⽅程，最后求得⽅程组的解，这种解⽅程组的⽅法叫做加减消元法，简称加减法. （2）加减法解⼆元⼀次⽅程组的步骤①利⽤等式的基本性质，将原⽅程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；②再利⽤等式的基本性质将变形后的两个⽅程相加或相减，消去⼀个未知数，得到⼀个⼀元⼀次⽅程（⼀定要将⽅程的两边都乘以同⼀个数，切忌只乘以⼀边，然后若未知数系数相等则⽤减法，若未知数系数互为相反数，则⽤加法）；③解这个⼀元⼀次⽅程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代⼊原⽅程组中的任何⼀个⽅程中，求出另⼀个未知数的值；⑤⽤“{”联⽴两个未知数的值，就是⽅程组的解；⑥最后检验求得的结果是否正确（代⼊原⽅程组中进⾏检验，⽅程是否满⾜左边＝右边）.【⼩结】解⼆元⼀次⽅程组可以⽤代⼊法，也可以⽤加减法．⼀般地说，当⽅程组中有⼀个⽅程的某⼀个未知数的系数的绝对值是1或有⼀个⽅程的常数项是0时，⽤代⼊法⽐较⽅便；当两个⽅程中某⼀未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，⽤加减法⽐较⽅便．(1)、三元⼀次⽅程的概念(2)、三元⼀次⽅程组的概念(3)、三元⼀次⽅程组的解法三元⼀次⽅程组解题的基本步骤：①利⽤代⼊法或加减法，把⽅程组中的⼀个⽅程与另两个⽅程分别组成两组，消去两组中的同⼀个未知数，得到关于另外两个未知数的⼆元⼀次⽅程组。

沪教版(上海)六年级数学第二学期第六章一次方程(组)和一次不等式(组)章节练习试题(含解析)

第六章一次方程（组）和一次不等式（组）章节练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、关于x 的方程32kx x -=的解是整数，则整数k 的可能值有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、方程50x -=的解是（）A ．0B ．5C ．-5D ．15- 3、已知a >b ，下列变形一定正确的是（）A ．3a <3bB ．4+a >4﹣bC ．ac 2>bc 2D ．3+2a >3+2b4、若方程852x a x +=+的解为1x =，则a 的值是（）A ．1-B ．1C ．5D ．5-5、已知关于x 的不等式组3x x a ≤⎧⎨>⎩有解，则a 的取值不可能是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．36、若（m －1）x |m |＝7是关于x 的一元一次方程，则m ＝（）A ．1B ．－1C ．±1D ．07、已知1x =-是关于x 的方程237x a +=的解，则a 的值为（）A ．-5B ．-3C ．3D ．58、已知a ，b 满足方程组51234a b a b +=⎧⎨-=⎩则a b --的值为（） A ．4- B ．4 C ．2- D ．29、下列方程变形中正确的是（）A ．由163x =，得2x =B ．由3254y y -=-，得2543y y --=--C ．由231x x =-，得1x -=D ．由234x x =-，得432,2x x x =-=- 10、下列是一元一次方程的是（）A ．2230x x --=B ．10x +=C ．32x -D ．25x y +=第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、三元一次方程：含有___未知数，并且含有未知数的项的___都是____，这样的方程叫做三元一次方程．2、单项式2a b -的系数是关于x 的方程21x m -+=的解，则m 的值为_________．3、在“双减”政策下，我校开展了丰富多彩的兴趣小组和社团活动．活动中小民邀请小刚玩“你想我猜”的游戏，游戏规则是：第一步：请小刚在心中想一个喜欢的数字，并记住这个数字；第二步：把喜欢的数字乘以2再加上6，得到一个新的数；第三步：把新得到的数除以2，写在纸条上交给小民．小民打开纸条看到数字6，马上就猜出了小刚喜欢的数，这个数是________．4、方程2x +5＝3（x ﹣1）的解为_____．5、为了大力弘扬航天精神，科学普及航天知识，某校特意举行了“扬帆起航，逐梦九天”的知识竞赛．假设共16道题，评分标准如下：答对1题加3分，答错1题扣1分，不答记0分．已知小明不答的题比答错的题多2道，他的总分为28分，则小明答对了______道题．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分：（水价计费＝自来水销售费用＋污水处理费用）已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．（1）求a ，b 的值．（2）6月份小王家用水32吨，应交水费多少元．（3）若林芳家7月份缴水费303元，她家用水多少吨？2、解方程：（1）6134x x -=+（2）3257146x x ---= 3、2021年12月22日国家发展改革委印发了《成渝地区双城经济圈多层次轨道交通规划》，目标实现重庆、成都“双核”间1小时通达．在一条双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长40AB =，慢车长30CD =．正在行驶途中的某一时刻，以两车之间的某点O 为原点，取水平向右为正方向画数轴，如图，此时快车头A 在数轴上表示的数是a ，慢车头C 在数轴上表示的数是c ．若快车AB 以22个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD 以18个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且60a +与2(70)c -互为相反数．（1）求此时刻快车头A 与慢车头C 之间相距多少个单位长度？（2）从此时刻开始算起，再行驶多少秒钟两列火车恰好满足2AD BC =？（3）此时在行驶过程中，快车的车尾B 上有一位学生P ，慢车的车尾D 上也有一位学生Q ．两位学生同时起身以1个单位长度/秒的速度向各自车头跑去，请问几秒之后两位学生的距离为4个单位长度？4、解方程组：22263x y x y -=⎧⎨-=⎩ 5、解方程和脱式计算，能简算的要简算．（1）250%3003x x +=（2）60%35%125x x -=（3）4.1-30%x =2（4）45.680% 4.45⨯+⨯（5）2227927⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭ （6）85375958÷+⨯-参考答案-一、单选题1、D【分析】先求出方程的解，再根据解是整数得到整数k 的取值．【详解】解：解关于x 的方程32kx x -=得32x k =- ∵方程的解是整数∴k -2等于±3或±1故k 的值为5或-1或3或1故选D ．【点睛】此题主要考查解一元一次方程，解题的关键是根据方程的解得情况得到k 的关系式．2、A【分析】方程两边除以-5后，即可求解.【详解】解：方程两边除以-5，得x =0，故选：A【点睛】此题考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解答此题的关键.3、D【分析】根据不等式的基本性质逐项排查即可．【详解】解：A.在不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不发生改变，这里应该是3a>3b，故A不正确，不符合题意；B.无法证明，故B选项不正确，不符合题意；C．当c＝0时，不等式不成立，故C选项不正确，不符合题意；D．不等式的两边同时乘2再在不等式的两边同时3，不等式，成立，故D选项正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，1.不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变; 2.不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变;3.不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变．4、A【分析】根据方程的解为x=1，将x=1代入方程即可求出a的值．【详解】解：将x=1代入方程得：8+a=5+2，解得：a=-1．故选：A．【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．5、D【分析】根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”即可求出a的取值范围，然后根据a 的取值范围解答即可．【详解】解：∵关于x 的不等式组3x x a≤⎧⎨>⎩有解， ∴a <3，∴a 的取值可能是0、1或2，不可能是3．故选D ．【点睛】本题考查了由不等式组的解集情况求参数，不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．6、B【分析】根据一元一次方程的定义得出m -1≠0且|m |=1，再求出答案即可．【详解】解：∵方程（m -1）x |m |=7是关于x 的一元一次方程，∴m -1≠0且|m |=1，解得：m =-1，故选：B ．【点睛】本题考查了绝对值和一元一次方程的定义，能根据题意得出m -1≠0和|m |=1是解此题的关键．7、C【分析】将1x =-代入方程可得一个关于a 的一元一次方程，解方程即可得．【详解】解：将1x =代入方程237x a +=得：237a -+=，解得3a =，故选：C ．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，掌握理解方程的解的定义是解题关键．8、A【分析】求出方程组的解得到a 与b 的值，即可确定出-a -b 的值．【详解】解：51234a b a b +=⎧⎨-=⎩①②， ①+②×5得：16a =32，即a =2，把a =2代入①得：b =2，则-a -b =-4，故选：A ．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．9、B【分析】根据一元一次方程的解法，对选项依次判断即可．【详解】解：A 、163x =，18x =，选项错误；B 、3254y y -=-，移项可得：2543y y --=--，选项正确；C 、231x x =-，移项可得：231x x -=-，合并同类项可得：1x -=-，选项错误；D 、234x x =-，去分母得：4324x x =-，选项错误；故选：B ．【点睛】题目主要考查解一元一次方程的方法，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题关键．10、B【分析】根据一元一次方程的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】2230x x --=，是一元二次方程，故选项A 不符合题意；10x +=是一元一次方程，故选项B 正确；32x -是代数式，不是方程，故选项A 不符合题；25x y +=是二元一次方程，故选项D 不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义，从而完成求解．二、填空题1、三个次数 1【分析】由题意直接利用三元一次方程的定义进行填空即可.【详解】解：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程．故答案为：三个，次数，1.【点睛】本题考查三元一次方程的定义，注意掌握含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程．2、1-【分析】单项式的系数为1-，代入方程求出m 的值即可．【详解】解：单项式的系数为1-是方程21x m -+=的解∴将1x =-代入21x m -+=有2(1)1m -⨯-+=解得1m =-故答案为：1-．【点睛】本题考察了单项式的系数，一次方程．解题的关键在于确定单项式的系数．3、3【分析】设小刚心里想的数字是x ，根据题意列出等式，整理即可求出所求．【详解】设小刚心里想的数字是x ，第二步结果：26x +第三步结果：(26)23x x +÷=+∴36x +=，解得3x =故答案为：3．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，按题目要求进行运算得出方程是解题的关键．4、8x =【分析】根据题意先去括号，然后移项合并，最后化系数为1即可求解.【详解】解：2x +5＝3（x ﹣1）去括号：2533x x +=-移项合并：8x -=-化系数为1：8x =.故答案为：8x =.【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键.5、10【分析】根据总分=答对题数×3-答错题数×1+不答题数×0，设答对的题数为x 道，答错的题数为y 道，可列出方程组，求出解．【详解】解：设答对题数为x道，答错的题数为y道，则不答的题数为（y+2）道．由题意得：216 328x y yx y+++=⎧⎨-=⎩，解得：102xy=⎧⎨=⎩，∴答对了10道题，故答案为：10．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．三、解答题1、（1）2.24.2 ab=⎧⎨=⎩（2）129.6元（3）57.5吨【分析】（1）根据“4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元”，列出方程组，即可求解；（2）用(30-17)×4.2加上17×2.2再加上超过30吨的部分的污水处理的费用再加上自来水销售费用，即可求解；（3）由(2)知，用水32吨需交水费129.6元，因为303>129.6，所以林芳家7月份用水量超过30吨，然后设林芳家七月份用水x吨，根据题意列出方程，即可求解．（1）解：(1)由题意得：()()1720170.82066 1725170.82591a ba b⎧+-+⨯=⎪⎨+-+⨯=⎪⎩，解得2.24.2ab=⎧⎨=⎩；（2）(2)(30-17)×4.2+17×2.2+（32-30）×6+32×0.8=129.6(元).答：当月交水费129.6元；（3）（3）由(2)知，用水32吨需交水费129.6元，因为303>129.6，所以林芳家7月份用水量超过30吨，设林芳家七月份用水x吨，则(30-17)×4.2+17×2.2+(x-30)×6+x×0.8=303(元)，6.8x=391，解得：x=57.5，即七月份林芳家用水57.5吨．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．2、（1）53 x=（2）4x=-【解析】（1）解：移项，得6341x x -=+，合并同类项，得35x =，系数化为1，得53x =， ∴原方程的解为53x =；（2）解：去分母，得3(32)122(57)x x --=-，去括号，得96121014x x --=-，移项，得91014612x x -=-++，合并同类项，得4x -=，系数化为1，得4x =-，∴原方程的解为4x =-．【点睛】本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1，求出解．3、（1）130（2）92t =或256 （3）347t =或143 【分析】（1）60a +与2(70)c -互为相反数得到260(70)0a c ++-=，求出a 、c 的值，利用两点间的距离公式求出答案；（2）设行驶时间为t 秒，写出各点表示的数，得到AD 、BC 的长，根据2AD BC =列方程求解；（3）分别写出点P 、Q 表示的数，求出PQ 的长，根据PQ =4列方程解答（1）解：由题意得260(70)0a c ++-=，∴a +60=0，c -70=0，60a ∴=-，70c =，130AC ∴=；（2）解：设行驶时间为t 秒，则各点表示的数分别为：A ：6022t -+，B ：10022t -+，C ：7018t -，D ：10018t -， ∴60221001840160AD t t t =-+-+=-，10022701840170BC t t t =-+-+=-，2AD BC =，40160240170t t ∴-=-，解得92t =或256；（3）解：点P 表示的数为：1002210023t t t -++=-+，点Q 表示的数为：1001810019t t t --=-， ∴100231001942200PQ t t t =-+-+=-，4PQ =，422004t ∴-=，347t =或143．【点睛】此题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，绝对值的非负性及偶次方的非负性，解一元一次方程，熟记数轴上两点间的距离公式是解题的关键．4、91015x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【分析】根据加减消元法解二元一次方程组即可【详解】解：22263x y x y -=⎧⎨-=⎩①② ①-②得：623y y -+=- 解得15y =- 将15y =-代入①1225x =- 解得910x = ∴原方程组的解为：91015x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．（1）18007x = （2）x =500（3）x=7（4）8（5）4（6）60【解析】（1）解：250%3003x x +=73006x = 18007x = （2）解：60%35%125x x -=25%125x =x =500（3）解：4.1-30%x =230%x =4.1-230%x =2.1x=7解：4 5.680% 4.45⨯+⨯=4 (5.6 4.4)5+⨯=4 105⨯=8 （5）解：2227 927⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭=222727 927⨯-⨯=62-=4 （6）解：85 375958÷+⨯=55 375988⨯+⨯=5 (3759)8+⨯=5 968⨯=60【点睛】本题考查了解方程和简便运算，解题关键是熟练运用解简易方程的方法解方程，熟练运用乘法运算律进行简便运算．。

【数学中考一轮复习】一次方程(组) (含答案)

第三章方程（组）与不等式（组）3.1 一次方程（组）考点突破考点一一元一次方程及其解法典例1 解方程:131223=+--x x . 思路导引方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数6，切勿漏乘不含有分母的项，另外分数线有两层意义，一方面它是除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应该将分子用括号括上.规律总结解一元一次方程的一般步骤是:①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化1.注意:在去分母时，应该将分子用括号括上.切勿漏乘不含有分母的项. 跟踪训练11.一元一次方程2x ＋1＝3的解是x ＝___________.2.解方程:312122-+=--x x x .3.以下是圆圆解方程13321=--+x x 的解答过程. 解:去分母，得3（x ＋1）-2（x-3）＝1. 去括号，得3x ＋1-2x ＋3＝1. 移项，合并同类项，得x ＝-3.圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程.考点二一元一次方程的应用典例2为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路.其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米.已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？思路导引设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进x-2米.根据“甲工程队独立工作2天的工作量＋甲乙合作1天的工作量＝26米”列出方程，然后求工作时间.规律总结本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键. 跟踪训练21.由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为（）A.230元B.250元C.270元D.300元2.暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动，某款式眼镜的广告如图所示，请你为广告牌填上原价.原价:___________元.3.课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组6人，后来重新编组，每组8人，这样就比原来减少2组，问这些学生共有多少人？考点三二元一次方程组的解法典例3 解二元一次方程组:⎩⎨⎧=+=+.93822y x y x ，思路导引方程组利用加减消元法或代入消元法求出解即可.规律总结此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有:代入消元法与加减消元法. 跟踪训练3解方程组⎩⎨⎧7.＝y ＋3x ，1＝y -x考点四二元一次方程组的应用典例4 某村经济合作社决定把22吨竹笋加工后再上市销售，刚开始每天加工3吨，后来在乡村振兴工作队的指导下改进加工方法，每天加工5吨，前后共用6天完成全部加工任务，问该合作社改进加工方法前后各用了多少天？思路导引设改进加工方法前用了x 天，改进加工方法后用了y 天，根据6天共加工竹笋22吨，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论.规律总结本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键. 跟踪训练41.我国古代数学名著《孙子算经》中记载:“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是:用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x 尺，绳长y 尺，那么可列方程组为（）A.⎩⎨⎧-=+=15.05.4x y x yB.⎩⎨⎧-=+=125.4x y x yC.⎩⎨⎧-=-=15.05.4x y x yD.⎩⎨⎧-=-=125.4x y x y 2.某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有_________名. 3.一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时.（1）求该轮船在静水中的速度和水流速度；（2）若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少千米？中考真题1.（2020·重庆）解一元一次方程x x 311)1(21-=+时，去分母正确的是（）A.3（x ＋1）＝1-2xB.2（x ＋1）＝1-3xC.2（x ＋1）＝6-3xD.3（x ＋1）＝6-2x2.（2020·嘉兴）用加减消元法解二元一次方程组⎩⎨⎧②1＝y -2x ①，4＝3y ＋x 时，下列方法中无法消元的是（）A.①×2-②B.②×（-3）-①C.①×（-2）＋②D.①-②×3 3.（2020·内江）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题:“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子去量竿，却比竿子短一托”其大意为:现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长x 尺.则符合题意的方程是（） A.21x ＝（x-5）-5 B.21x ＝（x ＋5）＋5 C.2x ＝（x-5）-5 D.2x ＝（x ＋5）＋54.（2020·鸡西）若⎩⎨⎧1＝b 2＝a 是二元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+2523by ax by ax 的解，则x ＋2y 的算术平方根为（）A.3B.3，-3C.3D.3，-35.（2020·齐齐哈尔）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物.已知康乃馨每支2元，百合每支3元小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（）A.3种B.4种C.5种D.6种6.（2020·绍兴）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210 km ，它们各自单独行驶并返回的最远距离是105 km.现在它们都从A 地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A 地，而乙车继续行驶，到B 地后再行驶返回A 地.则B 地最远可距离A 地（） A. 120 km B. 140 km C. 160 km D.180 km7.（2020·株洲）关于x 的方程3x-8＝x 的解为x ＝___________.8.（2020·北京）方程组⎩⎨⎧7＝y ＋3x ，1＝y -x 的解为___________.9.（2020·沈阳）二元一次方程组⎩⎨⎧1＝y -2x 5,＝y ＋x 的解是__________.10.（2020·南京）已知x ，y 满足方程组⎩⎨⎧，3＝y ＋2x ，1-＝3y ＋x 则x ＋y 的值为__________.11.（2020·绍兴）若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧0＝A 2＝y ＋x 的解为⎩⎨⎧，1＝y ，1＝x 则多项式A 可以是______________（写出一个即可）.12.（2020·江西）公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10.在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位.根据符号记数的方法，右下图符号表示一个两位数，则这个两位数是____________.13.（2020·常德）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定:每人每次限购5只.李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只.已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只.请问李红出门没有买到口罩的次数是__________次.14.（2020·湖北）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某队14场比赛得到23分，则该队胜了_________场.15.（2020·淄博）解方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+.22128213y x y x ，16.（2020·广东）已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+-=+431032y x y ax 与⎩⎨⎧=+=-152by x y x ，的解相同.（1）求a ，b 的值；（2）若一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0的解.试判断该三角形的形状，并说明理由.17.（2020·山西）2020年5月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使用一张）.某品牌电饭煲按进价提高50％后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元.求该电饭煲的进价.18.（2020·黄冈）为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组织创办了“黄冈地标馆”，一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买6盒羊角春牌绿茶和4盒九孔牌藕粉，共需960元，如果购买1盒羊角春牌绿茶和3盒九孔牌藕粉共需300元，请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔牌藕粉分别需要多少元？参考答案考点突破典例1 解:去分母得:3（x—3）—2（2x＋1）＝6，去括号得:3x-9-4x-2-6，移项得：-x＝17，系数化为1得:x＝-17.跟踪训练11.12.解:去分母，得:6-3（x-2）＝6＋2（2x-1），去括号，得:6x-3x＋6＝6＋4x-2，移项，得:63.x-4x-6-6-2，合并同类项，得:-x＝-2，系数化为1，得:x-2.3.解:圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程如下:去分母，得3（x ＋1）-2（x-3）＝6. 去括号，得3x ＋3-2x ＋6＝6. 移项，合并同类项，得x ＝-3.典例2 解:设甲工程队每天掘进x 米，则乙工程队每天掘进（x-2）米，由题意，得2x ＋（x ＋x-2）＝26，解得:x-7. 所以乙工程队每天掘进5米，5726146+-＝10（天），答:甲乙两个工程队还需联合工作10天. 跟踪训练 2 1. D 2. 2003，解:设这些学生共有x 人，根据题意得286=-xx ，解得x ＝48.答:这些学生共有48人.典例3 解:⎩⎨⎧=+=+，②，①93822y x y x ，法1:②-①×3，得2x ＝3，解得:23=x ，把23=x 代入①，得y ＝-1， ∴原方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧-==123y x .法2:由②得:2x ＋3（2.x-y ）＝9，把①代入上式，解得:23=x .把23=x 代入①，得y ＝-1， ∴原方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧-==123y x .跟踪训练 3解:⎩⎨⎧，②7＝y ＋3x ，①1＝y -x①＋②得:4x ＝8，解得:x ＝2，把x ＝2代入①得:y ＝1，则该方程组的解为⎩⎨⎧1＝y 2＝x .典例4 解:设改进加工方法前用了x 天，改进加工方法后用了y 天，依题意，得:⎩⎨⎧，22＝5y ＋3x ，6＝y ＋x 解得:⎩⎨⎧ 2.＝y ，4＝x答:该合作社改进加工方法前用了4天，改进加工方法后用了2天. 跟踪训练4 1.A 2. 233.解:（1）设该轮船在静水中的速度是x 千米/小时，水流速度是y 千米/小时，依题意，得:⎩⎨⎧==，90）y -x ）4＋6，90）y ＋6x （（解得:⎩⎨⎧ 3.＝y ，12＝x答:该轮船在静水中的速度是12千米/小时，水流速度是3千米/小时. （2）设甲、丙两地相距a 千米，则乙、丙两地相距（90-a ）千米，依题意，得:31290312--=+a a ，解得:a ＝4225. 答:甲、丙两地相距4225千米.中考真题1.D2.D3.A4.C5. B6. B7.4 8. ⎩⎨⎧==12y x 9.⎩⎨⎧==32y x 10.1 11，答案不唯一，如x-y12. 25 13.4 14. 915.解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+②，①.22128213y x y x①＋②，得:5x-10，解得x=2，把x ＝2代入①，得：6＋21y ＝8，解得y ＝4，所以原方程组的解为⎩⎨⎧==42y x .16.解:（1）由题意列方程组；⎩⎨⎧=-=+24y x y x ，解得⎩⎨⎧==13y x .将x ＝3，y ＝1分别代入31032-=+y ax 和x ＋by ＝15，解得34-=a ，b ＝12， ∴34-=a ，b ＝12.（2）012342=+-x x ，解得322484834=-±=x .这个三角形是等腰直角三角形. 理由如下:∵（23）2＋（23）2＝（26）2， ∴该三角形是等腰直角三角形. 17.解:设该电饭煲的进价为x 元.根据题意，得（1＋50％）x ·80％-128＝568.解得＝580. 答:该电饭煲的进价为580元.18.解:设每盒羊角春牌绿茶需要元，每盒九孔牌藕粉需要y 元，依题意，得: ⎩⎨⎧，300＝3y ＋x ，960＝4y ＋6x 解得:⎩⎨⎧60.＝y ，120＝x答:每盒羊角春牌绿茶需要120元，每盒九孔牌藕粉需要60元.。

“方程(组)与不等式(组)”复习专题

．
解此方程得：１＝Ｏ，ｘ２＝ ÷，即此时方程有两个解，解为＿０，２＝ ÷．
４・由不等式
５ａ＋４
２＋＞０两边同乘６得３ｘ＋２＋１）＞ｏ，可以求出＞一吾，由不等式＋
＋＞０．２３
’
．
卅
＞
号
．
恰有两个整数解．
…
５．已知一元二次方程ｘ２＿＋＝０有两个不相等的实数根．
（１）求的取值范围；
（２）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程２一乱＋＝０与。＋，一１：０有一个相同的根．求此时ｍ的值．
＂ＩＦｎｔｅＩＩｉｇｅｎｔｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ
上智慧数掌
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（１）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（２）已知甲队每天的施工费用为０．８４万元，乙队每天的施工费用为０．５６万元．１－程预算的施Ｔ费用为５Ｏ万元．为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则１二程预算的施＿Ｔ费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的
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‘ ‘ 方程（组）与不等式（组） ’ ’ 复习专题

初三数学总复习数学《方程(组)及不等式(组)教案

12-13下学期初三数学总复习《方程（组）与不等式（组）》主备人：汤恒星本章教学分析一、本章教学目标1、方程（组）、一次方程（组）、一次不等式（组）、分式方程的概念及解法2、用方程（组）解决实际问题二、本章教学重难点重点：目标1,2难点：目标2三、学情分析初三复习阶段，学生对本部分内容有接触，但是遗忘比较多，教师在复习的过程中应加强基本技能的训练，适当加以示范。

四、课时安排（共计10 课时）第1节：2课时第2节：2课时第3节：2课时第4节：2课时测评及讲解：2课时五、章节测试命题人安排：汤恒星第一节一次方程（组）及其应用（2课时）教学目标：1．方程、一元一次方程、方程的解、一元一次方程的解法；2．二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程的解、二元一次方程的解法、利用方程解决生活中的实际问题3. 用一元一次方程和二元一次方程组解决实际问题；4 数学思想方法：消元教学重难点：教学重点：一元一次方程解法、二元一次方程组的解法、用一元一次方程和二元一次方程组解决实际问题难点：用一元一次方程和二元一次方程组解决实际问题教学过程：一、知识点（1）方程：含有未知数的等式（2）等式性质：1、等式两边分别加上或减去一个数字或式子，结果仍然是等式；2、等式两边分别乘以或除以一个不为0的数，结果仍然是等式；（3）方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值（4）一元一次方程的解法：去分母、去括号、移项、合并、系数化为1（5）二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程为二元一次方程（6）二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组（7）二元一次方程组的解：一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程组的解，即二元一次方程组中方程的公共解。

（8）二元一次方程组的解法：（1）代入消元法：多适用于方程组中有一个未知数的系数是1或-1的情形；（2）加减消元法：多适用于方程组中的两个方程中相同未知数的系数相同或互为相反数的情形（9）列方程（组）解应用题的一般步骤二、例题精讲例1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（） ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+65115y x y x ⎩⎨⎧-=+=+2102y x y x ⎩⎨⎧==+158xy y x ⎩⎨⎧=+=31y x xA. B. C. D.例2．在中，用x 的代数式表示y ，则y=______________．例3．（1）解方程.x x +--=21152156（2）解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+27271523y x y x 例4．已知a 、b 、c 满足⎩⎨⎧=+-=-+02052c b a c b a ，则a ：b ：c= ．例5．已知x =-2是关于x 的方程()x m x m -=-284的解，求m 的值．例6．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A 度，那么这个月这户只需交 10 元用电费，如果超过 A 度，则这个月除了仍要交 10 元用电费外，超过部分还要按每度 0.5 元交费．①该厂某户居民 2 月份用电 90 度，超过了规定的 A 度，则超过部分应该交电费多少元（用 A 表示）？．②右表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况：根据右表数据，求电厂规定A 度为．三、当堂检测1.若关于x 的方程x k =-153的解是x =-3，则k =_________． 2．解下列方程（组）：（1）x x -+=-2114135；（2）⎩⎨⎧=+=+832152y x y x 3．当x =-2时，代数式x bx +-22的值是12，求当x =2时，这个代数式的值．4．应用方程解下列问题：初一（4）班课外乒乓球组买了两副乒乓球板，若每人付9元，则多了5元，后来组长收了每人8元，自己多付了2元，问两副乒乓球板价值多少？四、小结（1）方程的相关概念（2）一次方程（组）的解法（3）用一次方程（组）解应用题五、作业：试题研究教学反思：032=-+y x第二节一元二次方程及其应用（第2课时）教学目标：1．一元二次方程的相关概念及解法；2. 根的判别式、根与系数的关系3. 用一元二次方程解决实际问题教学重难点：教学重点：一元二次方程的相关概念及解法、根的判别式、根与系数的关系、用一元二次方程解决实际问题难点：根的判别式、根与系数的关系、用一元二次方程解决实际问题教学过程：五、知识点1. 一元二次方程的概念及一般形式：ax 2+bx +c =0 (a ≠0)2. 一元二次方程的解法：①直接开平方法②配方法③公式法④因式分解法3．求根公式：当b 2-4ac ≥0时，一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)的两根为4．根的判别式：当b 2-4ac ＞0时，方程有实数根．当b 2-4ac=0时，方程有实数根．当b 2-4ac ＜0时，方程实数根．5.（1）增长率问题；（2）利润问题二、例题精讲例1．选用合适的方法解下列方程：(1) (x-15)2-225=0； (2) 3x 2－4x －1＝0（用公式法）；(3) 4x 2－8x ＋1＝0（用配方法）；（4）x 2+22x=0 例2 ．已知一元二次方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值．例3．用22cm 长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？三、当堂检测一、填空1．下列是关于x 的一元二次方程的有_______ ①02x 3x12=-+ aac b b x 242-±-=②01x 2=+③)3x 4)(1x ()1x 2(2--=- ④06x 5x k 22=++ ⑤021x x 2432=-- ⑥0x 22x 32=-+2．一元二次方程3x 2=2x 的解是．3．一元二次方程(m-2)x 2+3x+m 2-4=0有一解为0，则m 的值是．4．已知m 是方程x 2-x-2=0的一个根，那么代数式m 2-m = ．5．关于x 的一元二次方程kx 2+2x －1=0有两个不相等的实数根, 则k 的取值范围是__________．6．如果关于的一元二次方程的两根分别为3和4，那么这个一元二次方程可以是．三、解下方程：(1)(x+5)(x-5)=7 (2)x(x-1)=3-3x(3)x 2-4x-4=0 (4)x 2+x-1=0四、小结（1）一元二次方程的相关概念及解法；（2）根的判别式及根与系数关系；（3）用一次方程（组）解应用题五、作业：试题研究教学反思：第三节分式方程及其应用（2课时）教学目标：1、分式方程的相关概念及解法2. 了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根．3. 列分式方程解决实际问题教学重点：目标1,2,3难点：目标2,3教学过程：一、知识点1.分式方程：分母中含有1个未知数的方程叫做分式方程2.解分式方程的步骤：去分母转化为整式方程，解整式方程，再将整式方程的解代入最公分母中，判断整式方程的解是否为分式方程的增根二、例题精讲例1：（1）013522=--+xx x x （2）41622222-=-+-+-x x x x x 例2 若分式方程xx k x --=+-2321有增根，则k 为（） A. 2 B.1 C. 3 D.-2三、当堂检测1.解分式方程． (1)22011x x x -=+- (2) x2)3(x 22x x -=--；(3) 11322x x x -=--- (4)11-x 1x 1x 22=+-- 2. 一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x 千米，则根据题意所列方程正确的是( )A. B.C. D.四、小结（1）解分式方程要注意检验（2）增根是把分式方程转化为整式方程的解五、作业：试题研究教学反思：第四节一元一次不等式（组）及其应用（2课时）教学目标：1、不等式（组）的定义及解法2、不等式的性质3、不等式的解集在数轴上表示4、用不等式解应用题教学重难点：教学重点：目标1,2,3难点：目标4教学过程：一、知识点1.定义：用不等号连接起来的式子2.解集：一个含有未知数的不等式的所有的解的集合3.解集在数轴上表示：（略）4.性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变，即若,b a <则c b c a ±<±（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个整数，不等号的方向不变，即若,b a <且0c >，则bc ac <（或cb c a <）（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个整数，不等号的方向不变，即若,b a <且0c <，则bc ac >（或c b c a >）二、例题精讲例1.如图所示，O 是原点，实数a 、b 、c 在数轴上对应的点分别为A 、B 、C ，则下列结论错误的是（）A. 0b a >-B. 0ab <C. 0b a <+D.例2. 不等式112x ->的解集是（）Ａ．12x >- Ｂ．2x >- Ｃ．2x <- Ｄ．12x <- 例3. 把不等式组21123x x +>-⎧⎨+⎩≤的解集表示在数轴上，下列选项正确A ．B ．C ．D ．BA O C 0)c a(b >-1 0 1- 10 1- 1 0 1- 10 1-例4. 不等式组221x x -⎧⎨-<⎩≤的整数解共有（） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个例6.若关于x 的不等式x －m ≥－1的解集如图所示，则m 等于（）A ．0B ．1C ．2D ．3 例7.解不等式组：（1）21113x x x +<⎧⎪⎨-≥⎪⎩ （2）⎪⎩⎪⎨⎧+<+->+)6(3)4(4,5351x x x x 【当堂检测】1.苹果的进价是每千克3.8元，销售中估计有5%的苹果正常损耗．为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克元．2. 解不等式723<-x ，将解集在数轴上表示出来，并写出它的正整数解．3. 解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-<+--+≥+224313322x x x x ，并把它的解集在数轴上表示出来．4. 我市某镇组织20辆汽车装运完A 、B 、C 三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：（1）设装运y ，求y 与x 之间的函数关系式；（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值．四、小结（1）解不等式时左右两边同时乘以负数时，不等号方向要改变（2）列不等式解应用题是要主要“至少、最多、不低于、不大于、高于”等字样的理解五、作业：试题研究教学反思：欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。

中考数学考点系统复习第二章方程(组)与不等式(组) 第一节一次方程(组)及其应用

13．(2021·毕节适应性考试)如图，点 A 在数轴上表示的数是－16.点 B 在数轴上表示的数是 8.若点 A 以 6 个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时点 B 以 2 个单位长度/秒的速度向左匀速运动，问：当 AB＝8 时，运动时间为__2或4 __秒．
14．(2021·贺州)为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过 12 m3时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过 12 m3 时，超过部分按二级单价收费. 已知李阿姨家五月份用水量为 10 m3，缴纳水费 32 元，七月份因孩子放假在家，用水量为 14 m3，缴纳水费 51.4 元． (1)问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？ (2)某户某月缴纳水费为 64.4 元时，用水量为多少？
1 y＝4 的一个解，则 a 的值为 2 .
7．(2020·南京)已知
x，y
x＋3y＝－1，满足方程组2x＋y＝3，则
x＋y
的值为__11__.
8．(2020·牡丹江)某种商品每件的进价为 120 元，标价为 180 元．为了
拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为 20%，则商店应打__88__折．
解：(1)－1；5. (2)设铅笔的单价为 m 元，橡皮的单价为 n 元，日记本的单价为 p 元，依题意，得 20m＋3n＋2p＝32，① 39m＋5n＋3p＝58，② 由 2×①－②可得 m＋n＋p＝6， ∴5m＋5n＋5p＝5×6＝30. 答：购买 5 支铅笔、5 块橡皮、5 本日记本共需 30 元．
15．(2020·扬州)阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数 x，y 满足 3x－y＝5①，2x＋3y＝7②，求 x－4y 和 7x＋5y 的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得 x，y 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得 x－4y＝－2，由①＋②×2 可得 7x＋5y＝19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．

一次方程(组)复习教案

一次方程(组)复习教案第一章：一次方程的定义与解法1.1 方程的定义：解释方程的概念，方程是一个含有未知数的等式。

强调方程中的等号表示两边的值相等。

1.2 一次方程的定义：介绍一次方程的概念，一次方程是最高次数为1的方程。

举例说明一次方程的一般形式：ax + b = 0。

1.3 解一次方程的步骤：讲解解一次方程的步骤，包括：1. 将方程写成标准形式ax + b = 0。

2. 移项，将未知数移到方程的一边，常数移到另一边。

3. 化简方程，消去系数。

4. 求解未知数的值。

1.4 解一次方程的练习：提供一些练习题，让学生根据解一次方程的步骤求解。

引导学生运用加减法、乘除法等运算来化简方程。

第二章：二元一次方程的定义与解法2.1 二元一次方程的定义：介绍二元一次方程的概念，二元一次方程是含有两个未知数的一次方程。

举例说明二元一次方程的一般形式：ax + = c。

2.2 解二元一次方程的步骤：讲解解二元一次方程的步骤，包括：1. 将方程组写成标准形式，即两个方程分别写成ax + = c 的形式。

2. 利用代入法或消元法求解未知数的值。

3. 检验解的可行性，确保解满足原方程组的所有方程。

2.3 解二元一次方程组的练习：提供一些练习题，让学生根据解二元一次方程的步骤求解。

引导学生运用代入法、消元法等方法来求解方程组。

第三章：一次方程与一次不等式的关系3.1 一次方程与一次不等式的定义：介绍一次方程与一次不等式的概念，一次方程是等式，而一次不等式是不等号连接的两个表达式。

举例说明一次不等式的一般形式：ax + b > c 或ax + b ≤c。

3.2 一次方程与一次不等式的关系：解释一次方程的解集是一次不等式的解集的特殊情况。

讲解如何从一次方程的解集中找出满足一次不等式的解。

3.3 解一次不等式的步骤：讲解解一次不等式的步骤，包括：1. 将不等式写成标准形式，即ax + b ≤c 或ax + b > c。

中考数学复习《方程(组)与不等式(组》测试题(含答案)

中考数学复习《方程(组)与不等式(组》测试题（含答案）一、选择题1.下列数值中不是不等式5x ≥2x ＋9的解的是( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 22.将不等式3x －2＜1的解集表示在数轴上，正确的是( )3.若关于x 的方程x 2－2x ＋c ＝0有一根为－1，则方程的另一根为( ) A. －1 B. －3 C. 1 D. 34.已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍，设甲数为x ，乙数为y ，根据题意，列方程组正确的是( ) A. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7x ＝2yB. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7y ＝2x C. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝7x ＝2y D. ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝7y ＝2x5.已知3是关于x 的方程x 2－(m ＋1)x ＋2m ＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为( ) A. 7 B. 10 C. 11 D. 10或11 6.若关于x 的方程x ＋m x －3＋3m 3－x＝3的解为正数，则m 的取值范围是( ) A. m <92 B. m <92且m ≠32 C. m >－94 D. m >－94且m ≠－347.定义新运算：a ★b ＝a (1－b )，若a ，b 是方程x 2－x ＋14m ＝0(m ＜1)的两根，则b ★b －a ★a 的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 与m 无关8.在求3x 的倒数的值时，嘉淇同学误将3x 看成了8x ，她求得的值比正确答案小5.依上述情形，所列关系式成立的是( )A. 13x ＝18x －5B. 13x ＝18x ＋5C. 13x ＝8x －5D. 13x ＝8x ＋5 9.如图，某小区有一块长为18 m ，宽为 6 m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60 m 2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行通道的宽度为x m ，则可列出关于x 的方程是( )A. x 2＋9x －8＝0 B. x 2－9x －8＝0 C. x 2－9x ＋8＝0 D. 2x 2－9x ＋8＝010.从－3，－1，12，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a .若数a 使关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧13（2x ＋7）≥3x －a ＜0无解，且使关于x 的分式方程x x －3－a －23－x ＝－1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 的值之和是( )31二、填空题11.一件服装的标价为300元，打八折销售后可获利60元，则该件服装的成本价是________元． 12.分式方程1x －2＝3x的解是________． 13.已知A ，B 两地相距160 km ，一辆汽车从A 地到B 地的速度比原来提高了25%，结果比原来提前0.4 h 到达，则这辆汽车原来的速度是________km/h.14.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＞12x －1≤8－x 的最大整数解是________．15.若方程(x －m )(x －n )＝3(m ，n 为常数，且m ＜n )的两实数根分别为a 、b (a ＜b )，则m 、n 、a 、b 的大小关系为______________． 16.已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－2是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3bx ＋ay ＝－7的解，则代数式(a ＋b )(a －b )的值为________．17.已知关于x 的方程2x ＝m 的解满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3－n x ＋2y ＝5n (0<n <3)，若y >1，则m 的取值范围是________．三、解答题18.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧9x 2－4y 2＝36x －y ＝2.19.解方程：2x ＋3＝1x －1.20.已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2＞3（x －1）12x ≤8－32x ＋2a 有四个整数解，求实数a 的取值范围．21.解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x －3＜4x4（x ＋1）＋2≥x ，并把它们的解集在数轴上表示出来．22.关于x 的两个不等式①3x ＋a2<1与②1－3x >0.(1)若两个不等式的解集相同，求a 的值； (2)若不等式①的解都是②的解，求a 的取值范围．23.已知关于x 的方程x 2＋mx ＋m －2＝0. (1)若此方程的一个根为1，求m 的值；(2)求证：不论m 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．24.某校学生利用双休时间去距学校10 km 的炎帝故里参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min 后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度和汽车的速度．25.某一公路的道路维修工程，准备从甲、乙两个工程队中选一个队单独完成．根据两队每天的工程费用和每天完成的工程量可知，若由两队合做此项维修工程，6天可以完成，共需工程费用385200元，若单独完成此项维修工程，甲队比乙队少用5天，每天的工程费用甲队比乙队多4000元，从节省资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？26.春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？(2)商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．27.为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元，2016年投入教育经费8640万元，假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．(1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县将投入教育经费多少万元？28.五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共2000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同．(1)求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？(2)经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求量的比例购买这2000件物品，需筹集资金多少元？29.倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器材若干套，A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元，460元，且每种型号健身器材必须整套购买．(1)若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20000元，求A，B两种型号健身器材各购买多少套？(2)若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18000元，求A种型号健身器材至少要购买多少套？30.如图，一块长5米、宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分)，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的1780.(1)求配色条纹的宽度；(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．方程(组)与不等式(组)阶段测评1. D 【解析】不等式5x ≥2x ＋9的解集是x ≥3，因此2不是这个不等式的解，故选D.2. D 【解析】3x －2<1，解得x <1，故选D.3. D 【解析】设方程的另一个根为x 2，则根据根与系数关系有－1＋x 2＝2，解得x 2＝3.4. A【解析】根据题意可得等量关系：①甲数＋乙数＝7，②甲数＝乙数×2，根据等量关系列出方程组即可．设甲数为x ，乙数为y ，根据题意，可列方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7x ＝2y，故选A.5. D 【解析】∵3是方程x 2－(m ＋1)x ＋2m ＝0的一个实数根，∴9－3(m ＋1)＋2m ＝0，解得m ＝6，∴方程为x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，若等腰△ABC 的腰长为3，底边长为4，则其周长为3＋3＋4＝10；若等腰△ABC 的腰长为4，底边长为3，则周长为4＋4＋3＝11.6. B 【解析】由x ＋m x －3＋3m 3－x ＝3，得x ＋m x －3－3m x －3＝3，解得x ＝9－2m 2，解方程组⎩⎨⎧9－2m2>09－2m2≠3，得m <92且m ≠32，故选B.7. A 【解析】∵a ，b 是方程x 2－x ＋14m ＝0的两根，∴a 2－a ＝－14m ，b 2－b ＝－14m ，∴b ★b －a ★a＝b (1－b )－a (1－a )＝b －b 2－a ＋a 2＝－(b 2－b )＋(a 2－a )＝14m －14m ＝0.8. B 【解析】根据题意可知：8x 的倒数18x 比3x 的倒数13x 小5，所以可列方程为13x ＝18x ＋5.9. C 【解析】因为人行道的宽度为x 米，所以阴影部分的长为(18－3x )米，宽为(6－2x )米，故阴影部分面积为(18－3x )(6－2x )＝60，化简得x 2－9x ＋8＝0.故选C.10. B 【解析】解不等式组得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x <a，∵原不等式组无解，∴a ≤1，则a 不能取五个已知值中的3；解分式方程得x ＝5－a 2，又∵分式方程有整数解，∴5－a 2为整数，且5－a 2≠3，∴a 只能从－3，－1，12，1中取－3，1，所以满足条件的a 的值的和为－3＋1＝－2.11. 180 【解析】设成本为x 元，由题意得：300×0.8－x ＝60，解得x ＝180.12. x ＝3 【解析】去分母，两边同乘x(x －2)得x ＝3(x －2)，去括号得x ＝3x －6，移项并合并同类项得x ＝3，经检验x ＝3是原分式方程的根．13. 80 【解析】设这辆汽车原来的速度是x km /h ，根据题意得：160x －160（1＋25%）x ＝0.4，解得x ＝80，经检验x ＝80是原方程的根．14. 3 【解析】由x ＋2＞1得x ＞－1，由2x －1≤8－x 得x ≤3，所以原不等式组的解集是－1＜x ≤3，最大整数解为x ＝3.15. a ＜m ＜n ＜b 【解析】如解图，解方程(x －m)(x －n)＝3可以看作是求y ＝(x －m)(x －n)与y ＝3这两个函数图象的交点，由解图易得a ＜m ＜n ＜b.16. －8 【解析】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－2是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3bx ＋ay ＝－7的解，即⎩⎪⎨⎪⎧3a －2b ＝3 ①3b －2a ＝－7 ②，①＋②得a ＋b ＝－4，①－②得5a －5b ＝10，则a －b ＝2，∴(a ＋b)(a －b)＝－4×2＝－8.17. 25＜m ＜23 【解析】解原方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n ＋2y ＝2n －1.∵y ＞1，∴2n －1＞1，即n ＞1.∵0＜n ＜3，∴1＜n ＜3，∴3＜x ＜5.当x ＝3时，m ＝2x ＝23；当x ＝5时，m ＝2x ＝25.∵当x ＞0时，m 随x 的增大而减小，∴25＜m ＜23.18. 【思路分析】利用代入消元法，将方程②变为y ＝x －2，将此方程代入方程①求x ，进而求出y.解：⎩⎪⎨⎪⎧9x 2－4y 2＝36①x －y ＝2 ②，将②变形为y ＝x －2 ③，将③代入①得：9x 2－4(x －2)2＝36，化简得：5x 2＋16x －52＝0，将方程左边因式分解得：(x －2)(5x ＋26)＝0，解得x ＝2或x ＝－265，将x ＝2代入方程②得y ＝0；将x ＝－265代入方程②得y ＝－365.综上所述，原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－265y ＝－365.19. 解：去分母，得2(x －1)＝x ＋3，去括号、移项、合并同类项，得x ＝5，经检验，x ＝5是原方程的根． ∴原方程的解为x ＝5.20. 解：⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2＞3（x －1） ①12x ≤8－32x ＋2a ②，解不等式①得x ＞－52，解不等式②得x ≤a ＋4，由不等式组的解集有四个整数解，得1≤a ＋4＜2， ∴－3≤a ＜－2.21. 解：解不等式5x －3<4x 得x<3，解不等式4(x ＋1)＋2≥x 得x ≥－2， ∴不等式组的解集为－2≤x<3. 解集在数轴上表示如解图所示：22. 解：解不等式①，得x<2－a3，解不等式②，得x<13.(1)∵两个不等式的解集相同， ∴2－a 3＝13， ∴a ＝1.(2)∵不等式①的解都是不等式②的解， ∴2－a 3≤13， ∴a ≥1.23. (1)解：将x ＝1代入x 2＋mx ＋m －2＝0，得 12＋1×m ＋m －2＝0，解得m ＝12.(2) 证明：一元二次方程x 2＋mx ＋m －2＝0的根的判别式为： b 2－4ac ＝m 2－4(m －2)＝m 2－4m ＋8＝(m －2)2＋4. ∵不论m 取何实数，(m －2)2≥0， ∴(m －2)2＋4＞0，即b 2－4ac ＞0，∴不论m 取何实数，原方程都有两个不相等的实数根．24. 解：设骑车学生的速度为x km /h ，则汽车的速度为2x km /h ，可得：10x ＝102x ＋2060，解得x ＝15，经检验x ＝15是原方程的解，汽车的速度为：2x ＝2×15＝30 km /h ，答：骑车学生的速度和汽车的速度分别是15 km /h ，30 km /h . 25. 解：设甲队单独完成此项工程需x 天，则乙队需(x ＋5)天，依据题意可以列方程： 1x ＋1x ＋5＝16，解得x 1＝10，x 2＝－3(舍去)，经检验x ＝10是原方程的解；设甲队每天的工程费用为y 元，则乙队每天的工程费用为(y －4000)元，依据题意得： 6y ＋6(y －4000)＝385200，解得y ＝34100，∴甲队单独完成此项工程费用为：34100×10＝341000元，乙队单独完成此项工程费用为：30100×15＝451500元， ∵341000＜451500，∴选择甲工程队．答：从节省资金的角度考虑，应该选择甲工程队．⎪⎧2x ＋3y ＝270解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝30y ＝70，答：甲种商品每件进价为30元，乙种商品每件进价为70元． (2)设商场购进甲种商品a 件，则购进乙种商品为(100－a)件，利润为w 元．根据题意得a ≥4(100－a)，解得a ≥80，由题意得w ＝(40－30)a ＋(90－70)(100－a)＝－10a ＋2000， ∵k ＝－10＜0，∴w 随a 的增大而减小，∴当a 取最小值80时，w 最大＝－10×80＋2000＝1200(元)，∴100－a ＝100－80＝20(件)．答：当商场购进甲种商品80件，乙种商品20件时，获利最大，最大利润为1200元． 27. 解：(1)设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为x ，根据题意得： 6000(x ＋1)2＝8640，解得x 1＝－2.2(舍去)，x 2＝0.2答：这两年该县投入教育经费的年平均增长率为20%. (2)2017年该县投入教育经费为： 8640×(0.2＋1)＝10368(万元)，答：预算2017年该县将投入教育经费为10368万元．28. 解：(1)设乙种救灾物品每件x 元，则甲种救灾物品每件(x ＋10)元，由题意得： 350x ＋10＝300x，解得x ＝60，经检验x ＝60是原方程的解，∴x ＋10＝70(元)．答：甲、乙两种救灾物品每件的价格分别为70元、60元． (2)70×2000×14＋60×2000×34＝125000(元)．答：需筹集资金125000元．29. 解：(1)设购买A 种型号健身器材x 套，B 种型号健身器材y 套，根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50310x ＋460y ＝20000，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20y ＝30.答：购买A 种型号健身器材20套，B 种型号健身器材30套． (2)设购买A 种型号健身器材z 套，根据题意得： 310z ＋460(50－z)≤18000，解得z ≥3313.∵z 为整数，∴z 的最小值为34.答：A 种型号健身器材至少要购买34套．11 重叠部分的面积”，列方程求解即可．解：设配色条纹的宽度为x 米，由题意得5x ×2＋4x ×2－4×x 2＝1780×4×5，解得：x ＝14或x ＝174(不合题意舍去)．答：配色条纹的宽度为14米． (2)解：由题意得地毯的总造价为：1780×4×5×200＋(1－1780)×4×5×100＝850＋1575＝2425(元)，答：地毯的总造价为2425元．。

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1 4
3x 3 1 2x 的解为________________. 2 2 a a
3 x a 1, 当a 2 时 3 无解, 当a 时 2 3 x a 1, 当a 2 时
x 2 y 4k , 中的 x, y 满足 0 y x 1 ， k 的取值范围为____________． 2 x y 2k 1
27. 已知不等式组
x a 0 有解，则 a 的取值范围为_________. a 2 ．． 2 x 4
28. 已知不等式组
x a 0 无解，则 a 的取值范围为_____________. a 3 ．． 5 2 x 1
4 9
29. 若 a, b 为实数，不等式 (2a b) x 3a 4b 0 的解为 x ，则不等式 (a 4b) x 2a 3b 0 的解为_______________________. x 30. 关于 x 的不等式
5 a _______________. 2 或 b 1 b 2
11. 若 a 0, b 0 ，则使 x a x b a b 成立的 x 的取值范围是 .
bxa
12. 设三个互不相等的有理数，既可表示为 1, a b, a 的形式，又可表示为 0, 则 a b _______.
b , b 的形式， a
1
13. 某数 a 采用四舍五入取近似值后为 2.99 ，则原数 a 的取值范围为_____________.
2.985 a 2.995
14. 不等式组
x a 0 的整数解共有 4 个，则 a 的取值范围为 3 2 x 1
. 3 a 2
② 当
③ 当
m 0 时，原方程的解为一切实数. m n 0
（2）解方程 1 x 2 2 x 1 提示：从外向内或者从内向外分类讨论答案： x
2 3
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38. 解方程组
（1）
x 1 y 1 5 x 1 4 y 4
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第 13 讲一次方程/不等式（组）
1. 说出下列关于 x, y 的式子或方程的次数、系数和常数项。 ① 2 x y 2 xy 3t 5 2k ；
4 3 2
②
1 2m ； 2
③ ax y 2 xy 3x
3 2
次数：系数：常数项：
24 x3 y 2 2 xy 3t 5 2k
15. 若关于 x 的方程 x 2 1 a 有三个整数解，则 a __________. a 1 16. 下列说法中：①若 a b ，则 ac 2 bc 2 且
a b 2 2 ；② x 0, 1 不都是一元一次方 2 c c x 1 a b c a 1，程； ③已知 b c，则b a ； ④不等式组不可能出现唯一解的情况； 1 1 1 ⑤小数包括分数和无限不循环小数； ⑥若 2 2 ，则a b； ⑦不等式 1 是关于 x a b x 1 的一元一次不等式，且 x 的取值范围为 x 1；⑧不等式 1 的解集为 x 1 . x
2 x1 x2 x3 x4 x5 6 x 2 x x x x 12 1 2 3 4 5 （8） x1 x2 2 x3 x4 x5 24 x x x 2 x x 48 4 5 1 2 3 x x x x 2 x 5 96 1 2 3 4
b b ； ④ 若a 0，不等式 ax b 的解为 x ． a a
26. 设 a, b, c, d 均为整数且关于 x 的四个方程： (a 2b) x 1 ， (b 3c) x 1 ， (c 4d ) x 1 ，
x 100 d 的根都是正数，求 a 可能取得的最小值是______. 2433
. 7
19. 已知
20. 甲、乙两人同时解方程组
mx ny 8 ① mx ny 5 ②
由于甲看错了方程①中的 m ，得到的解是
x 4 x 2 ，乙看错了方程中②的 n ，得到的解是，则正确 m, n 分别为___________. y 5 y 2
x 3 x 1 和为其解。 y 4 y 4
x
1 y 1 2
a1 x a0 。求
36. 若 (3x 1)5 a5 x5 a4 x 4 ①
a5 a4 a3 a2 a1 a0 的值；② a5 a4 a3 a2 a1 的值。
31. 已知
1 k 1 2
32. 当 a 满足什么条件时，使 1.7 x a 的整数解：（1）当 a 满足__________时， x 只有一个整数解； 2 a 3
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（2）当 a 满足__________时， x 一个整数解也没有． 1.7 a 2 33. 当 k 满足______________时，方程组
（2）
x y 1 x y 2
x 3 x 5 答案：或 y 2 y 2
1 1 3 3 x x x x 2 或 2 或 2 或 2 答案： y 3 y 3 y 1 y 1 2 2 2 2
-3-
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a2
24. 若 x y a，x y 1 同时成立且 x、y 都是正整数，则 a 的值为________. 不小于 3 的奇数 25. 下列论述正确的是_____________.①③ ① 若 a 0，b 0 ，方程 ax b 无解； ③ 若a 0，方程 ax b 有惟一解 x ② 若 a 0，b 0 ，不等式 ax b 无解．
3x 5 y k , 的解 x, y 都是负数． 2 x y 5

15 k 25 2
34. 同时满足不等式 6 x 2 3x 4 和
2x 1 1 x 1 的整数解为____________． x 0 3 2
35. 构造一个二元一次方程_______________，使得
mn
1 4
8.
适合 | 2a 7 | | 2a 1| 8 的整数的值的个数有_________. 4 方程 | x 3 | | x 1| x 1解是__________. x 5, 1 or 3
2 a 4
9.
10. 若方程 (b 1) x
(b 3) xb2 3 是关于 x 的一元一次方程，则 a, b 应满足的关系是
正确的序号为________________________. ②③⑤
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17. 已知关于 x，y 的二元一次方程 (a 1) x (a 2) y 5 2a 0 ，当 a 每取一个值时，
就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为___________．
答案：
x 1 y 2
x : y 4 : 7 （5） x : z 3 : 5 x 2 y 3z 30 x 12 答案： y 21 z 20
（6）
mx y m x my m 1
m2 m 1 x m2 1 答案： 2 y m 2m m2 1
2x a 2 的解是非负数，则 a 的取值范围是 x 1
.
（2）若方程组
（3）已知关于 x 的方程
a 2 or a 2
（4）二元一次方程 7 x 4 y 100 的非负整数解有___________组. 4 23. 已知 x, y, a 同时满足 2 x 4 y 6 2a,3x 5 y 10 3a, x 3 y 14 7a ，则 a ____.
x 3 y 1
18. 当 k、m 的值满足
时，方程组
y kx m 至少有一组解． y (2k 1) x 4
k 1 或k 1 m 4 3x 4 y z 0 x2 y2 z2 则 = xy yz 2 zx 2 x y 8 z 0
提示：分别另 x 1, 1, 0 答案： a5 a4 a3 a2 a1 a0 1024
a5 a4 a3 a2 a1 31
37. （1）解关于 x 的方程 mx n m n 0 答案： ① 当
m 0 n 时， x ； m m n 0 m 0 时，原方程无解； m n 0
a m a m =______． 6
关于 x 的方程 k 5x 6 1 5x 的解为整数，则正整数 k =___________. k 1 or 5
4.
5. 已知 p, q 都是质数则关于 x 的一元一次方程 px 5q 97 的解是Hale Waihona Puke ，则 p 2 q =_____.
常数项
3t 5 2k
0
2.
不论 k 为何值时， x 1总是关于 x 的方程
2kx a x bk 的解，则 a =______， 2 3 6
b =______.
a
13 , b 4 2
3.
已知 (m 2 9) x 2 (m 3) x 6 0 是以 x 为未知数的一元一次方程，若 a m ，那么
3 7 m ,n 8 4
21. 已知 x y 4 ， x y 7 ，那么 x y =__________. 7