7机械振动习题思考题

习题7
7-1．原长为m 5.0的弹簧，上端固定，下端挂一质量为
kg 1.0的物体，当物体静止时，弹簧长为m 6.0．现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出
振动式。

（g 取9.8） 解：振动方程：cos()x
A t ωϕ=+，在本题中，
kx mg =，所以9.8k =；
∴
ω===
取竖直向下为x 正向，弹簧伸长为0.1m 时为物体
的平衡位置，所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A =0.1m ，
当t =0时，x =-A ，那么就可以知道物体的初相位为π。

所以：
0.1cos x π=+）
即：
)x =-。

7-2．有一单摆，摆长
m 0.1=l ，小球质量
g 10=m ，0=t 时，小球正好经过
rad 06.0-=θ处，并以角速度0.2rad/s θ
= 向平衡位置运动。

设小球的运动可看作简谐振动，试求：（1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。

（g 取9.8） 解：振动方程：
cos()x A t ωϕ=+ 我们只要
按照题意找到对应的各项就行了。

（1）角频
率
：
.
83.
13/
r a d s ω=
=， 频
率
：
0.5Hz ν=
== ，
周期：22T s ===；
（2
）
振
动
方
程
可
表
示
为
：cos 3.13A t θϕ=+（），∴
3.13sin 3.13A t θϕ=-+ （）
根据初始条件，
0t =时：cos A
θ
ϕ=
，
0(12
sin 0(34
3.13A
θϕ>=-
< ，象限），象限）
可
解
得
：
2008.810227133 2.32
A m ϕ-=⨯==-=-，，
所
以
得
到
振
动
方
程
：
28.810cos 3.13 2.32t m θ-=⨯-（） 。

7-3. 一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体，最初用手将物体在处托住，然后放手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置是初始位置下方10.0cm 处，求：（1）振动频率；（2）物体在初始位置下方cm 0.8处的速度大小。

解：（1）由题知2A =10cm ，所以A =0.05m ，选弹簧原长下方0.05m 处为平衡位置； 由
0k x m g
=，知
2
09.8
196510k g m x -===⨯，∴
14ω=
==，
振动频率：
7
()Hz νπ
=
=； （2）物体在初始位置下方8.0cm 处，对应着是
x =0.03m 的位置，所以：
3cos 5
x A ϕ==
，由
22cos sin 1ϕϕ+=，有：4
sin 5
ϕ=±
， 而
sin v A ϕω
=-
，那么速度的大小为：
4
0.56/5
v A m s ω=
= 。

7-4．一质点沿
x 轴作简谐振动，振幅为cm 12，周
期为s 2。

当0=t 时，位移为cm 6，且向x 轴正方向运动。

求：（1）振动表达式；（2）s
5.0=t
时，质点的位置、速度和加速度；（3）如果在某时刻质点位于cm 6-=x ，且向x
轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。

解：（1）由题已知 A =0.12m ，T =2 s ，∴
2T
π
ωπ=
= 又∵t =0时，06x cm =，00v >，由旋转矢量
图，可知：3
π
ϕ=-
故
振
动
方
程
为
：
0.12cos 3
x t m π
π=-
（）；
（2）将t =0.5 s 代入得：
0.12cos 0.12cos 0.10436x t m ππ
π=-==（），
0.12sin 0.12cos 0.188/36v t m s ππ
ππ=--==-（）， 2220.12cos 0.12cos 1.03/36a t m s ππ
πππ=--=-=-（）， 方向指向坐标原点，即沿x 轴负向； （3）由题知，某时刻质点位于6cm 2
A x =-=-， 且向x 轴负方向运动，如图示，质点从P 位置回到
平衡位置Q 处需要走32ππ
ϕ∆=+，建立比例
式：2t
T
ϕπ∆∆=
， 有：5
6t s ∆= 。

7-5．两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。

当质点1在 2/1A x =处，且向左运动时，另一个质点2在
2/2A x -= 处，且向右运动。

求这两个质点的位相差。

解：由旋转矢量图可知： 当质点1在
2/1A x =处，且向左运动时，
相位为
3
π， 而质点2在 2/2A x -= 处，且向右运动，
相位为
43
π。

所以它们的相位差为π。

7-6. 质量为m 的密度计，放在密度为
ρ的液体
中。

已知密度计圆管的直径为d 。

试证明，密度计推动后，在竖直方向的振动为简谐振动。

并计算周期。

解：平衡位置：当F G =浮
时，平衡点为C 处。

设此时进入水中的深度为a ：mg gSa =ρ
可知浸入水中为a 处为平衡位置。

以水面作为坐标原点O ，以向上为x 轴，质心的位置
为x ，分析受力：不管它处在什么位置，其浸没水中的部分都可以用a x -来表示，所以力
()F g a x S gaS gS x ρρρ=--=-，
利用牛顿定律：22d x F m dt
=， 再令：22
4gS g d m m ρρπω==，可得：
02
22=+x dt
x d ω，可见它是一个简谐振动；
周期为：24m T d g ππωρ== 。

7-7．证明图示系统的振动为简谐振动。

其频率为：
m
k k k k )(212121+=πν。

证明：两根弹簧的串联，由相互作用力相等，有：
1122k x k x =，将串联弹簧等效于一根弹簧，仍有：1122k x k x k x ==，考虑到x x x =+21，
P ωx 2A
3πQ
可得：12
111k k k =+
，所以：12
12
k k k k k =
+ 代
入
频
率
计
算
式
，
可
得：
m
k k k k m k )(2121212
1+==
π
πν 。

7-8．当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？
解：由212P E k x =，2
12
k E mv =，有：221
cos ()2
P E k A t ωϕ=+， 22222
11sin ()sin ()22
k E m A t k A t ωωϕωϕ=+=+， （1）当2A
x =时，由cos()x A t ωϕ=+，
有：1c o s ()2
t ωϕ+=
，sin()t ωϕ+=， ∴14P E E =，34k E E =； （2）当
1
2
P k E E E ==时，有：
22
cos ()sin ()t t ωϕωϕ+=+
∴
cos()t ωϕ+=
，
0.707x A A ==±。

7-9．两个同方向的简谐振动曲线(如图所示)
（1）求合振动的振幅。

（2）求合振动的振动表达式。

解：通过旋转矢量图做最为简单。

由图可知，两个振动同频率，且
1A 初相：12
π
ϕ=
，
2A 初相：2
2πϕ=-， 表明两者处于反相状态，
（反相21(21)k ϕϕϕπ∆=-=±+，
012k = ，，，）
∵12A A <，∴合成振动的振幅：
21A A A =- ；
合成振动的相位：2
2
πϕϕ==- ； 合
成振动的方程：
）（）（22c o s 12ππ--=t T A A x 。

7-10．两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的
振幅为cm 20，与第一个振动的位相差为6π。

若
第一个振动的振幅为cm 310。

则（1）第二个振
动的振幅为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？ 解：如图，可利用余弦定理： 由图知
︒
-+=30cos 2122122A A A A A =0.01 m
∴A ２=0.1 m ，
再利用正弦定理：
2
sin sin 30A A θ=，有： 2sin 12A A θ==，∴2
π
θ=。

说明A １与A ２间夹角为π/2，即两振动的位相差为π/2 。

7-11．一摆在空中作阻尼振动，某时刻振幅为
cm
30=A ，经过1
10t s
=后，振幅变为
cm 11=A 。

问：由振幅为0A 时起，经多长时间
其振幅减为
cm 3.02=A ？
解：根据阻尼振动的特征，00cos()t x A e t βωϕ
-=+，知振幅：
t e A A β-=0。

∵cm 30=A ，当110t s =时，cm 11=A ，可得：1013
e β
-=，
上式两边取对数，得：1
ln 310
β=；
那么当振幅减为20.3A cm =时，有：
2110
t e β-=，
两边取对数，有：2ln10t β=，∴
210ln10101021ln 3lg30.4771t s ====。

7-12．某弹簧振子在真空中自由振动的周期为0T ，现将该弹簧振子浸入水中，由于水的阻尼作用，经过每
个周期振幅降为原来的90%，求：
（1） 求振子在水中的振动周期
T ；
（2）如果开始时振幅100=A 厘米，阻尼振动从
开始到振子静止求振子经过的路程为多少？ 解：（1） 有阻尼时：2
20
2β
ωπT
-=
，而
02ωπT =
，
0t A A e β-=
过一个周期，振幅降为原来的90%，有：
000.9T A A e β-=， 可
求
得
：
ln 0.9T
β=-
，代入
2
20
2β
ωπT -=
，有：
22
2
20ln 0.9[()]4T T
ωπ--
=
⇒
1.00014T T =
=
（2）由题意可列出等比数列：04A ，0
40.9A ⨯，
0(40.9)0.9A ⨯⨯，
则
：
2
04(
n
S A =+
+
++
+ 0
10410
n
A n -=→∞
-
∴0
01
4404000.1
S A A cm === 。

7-13．试画出
c o s (2)
4
x A t
π
ω=+和
cos y B t ω=的李萨如图形。

解：∵2x y ωω=，∴:2:1x y ωω=
又∵
4
x y π
ϕϕ-=
，可参考书上的图形。

7-14. 质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动：
（1）
4c o s 864c o s 86x t y t ππππ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝
⎭⎨
⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩
；（2） 4c o s 8654c o s 86x t y t ππππ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝
⎭⎨
⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩
；
（3）
4cos 8624cos 83x t y t ππππ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝
⎭⎨
⎛⎫
⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩。

试判别质点运动的轨迹。

解：质点参与的运动是频率相同，振幅相同的垂直运动的叠加。

对
于
c o s x
x A t
ωϕ=
+，
4cos()y y t ωϕ=+的叠加，可推得：
22222cos()sin ()x y x y
x y x y A ϕϕϕϕ+--=-
（1）将
6
x π
ϕ=
，
6
y π
ϕ=-
代入有：
222
2cos
16sin 33
x y x y π
π
+-=，
则方程化为：22
12x y x y +-=，轨迹为一般
的椭圆；
（2）将6x π
ϕ=，56
y πϕ=-代入有：
222
2c o s 16s i n x y x y ππ+-=
则方程化为：
22
20
x y x y +-=，即
0x y +=，轨迹为一直线；
（3）将6x πϕ=，23
y π
ϕ=
代入有：
2222c o s 16s i n
22
x y x y ππ
+-= 则方程化为：222
4x y +=，轨迹为圆心在原点，半径为4m 的圆。

7-15．在示波器的水平和垂直输入端分别加上余弦式交变电压，荧光屏上出现如图所示的李萨如图形。

已知水平方向振动频率为z 4
H 10
7.2⨯，求垂直方
向的振动频率。

解：从图中可见，李萨如图形在水平方向的切点 是2个，在竖直方向的切点是3个，所以：
:3:2x y ωω=，
那
么
，
23
x
y νν=
=42
2.7103
⨯⨯=41.810()Hz ⨯。

思考题
7-1．试说明下列运动是不是简谐振动：
（1）小球在地面上作完全弹性的上下跳动； （2）小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动。

答：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：
① 描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；
② 系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；
③ 在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用。

或者说，若一个系统的运动微分方程能用
02
22=+ξωξdt
d 描述时，其所作的运动就是谐振动。

那么，（1）拍皮球时球的运动不是谐振动。

第一、球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二、球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力。

要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一、描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二、系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三、在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用。

或者说，若一个系统的运动
微分方程能用
2220d d t
ξ
ωξ+=描述时，其所作的运动就是谐振动。

（2）小球在图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动。

显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O ；而小球在运动中的回复力为
sin mg θ-。

题中所述，S R ∆<<，故0S
R
θ∆=→，所以回复力为mg θ-。

（式中负号表示回复力的方向始终与角位移的方向相反）即小球在O 点附近的往复运动中所受
回复力为线性的。

若以小球为对象，则小球在以O ′为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有
mR 22
d mR mg d t
θ
θ=，令
R
g
=
2ω，则有：02
22=+θωθdt
d 。

7-2．简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的?在什么情况下是异号的?加速度为正值时，振动质点的速率是否一定在增加？反之，加速度为负值时，速率是否一定在减小?
答： 简谐振动的速度：
sin()v A t ωωϕ=-+；
加速度：
2cos()a A t ωωϕ=-+；
要使它们同号，必须使质点的振动相位在第一象限。

其他象限的相位两者就是异号的。

加速度为正值时，振动质点的速率不一定在增加，反之，加速度为负值时，速率也不一定在减小。

只有当速度和加速度是同号时，加速度才能使速率增加；反之，两者异号时，加速度使速率减小。

7-3．分析下列表述是否正确，为什么?
（1）若物体受到一个总是指向平衡位置的合力，则物体必然作振动，但不一定是简谐振动；
（2）简谐振动过程是能量守恒的过程，凡是能量守恒的过程就是简谐振动。

答：（1）的表述是正确的，原因参考7-1；
（2）的表述不正确，比如自由落体运动中能量守恒，但不是简谐振动。

7-4．用两种方法使某一弹簧振子作简谐振动。

方法1：使其从平衡位置压缩l ∆，由静止开始释放。

方法2：使其从平衡位置压缩2l ∆，由静止开始
释放。

若两次振动的周期和总能量分别用21T T 、和
21E E 、表示，则它们满足下面那个关系？ （A ） 2121E E T T == （B ） 2121E E T T ≠=
（C ）
2121E E T T =≠ （D ） 2121E E T T ≠≠
答：根据题意，这两次弹簧振子的周期相同，振幅相差一倍。

所以能量不同。

选择（B ）。

7-5．一质点沿x 轴作简谐振动，周期为T ，振幅为A ，质点从21
A
x =
运动到A x =2处所需要的最短时间为多少？
答：质点从21A
x =
运动到A x =2处所需要的最短相位变化为4
π
，所以运动的时间为：
/48
T t πω∆==。

7-6．一弹簧振子，沿x 轴作振幅为A 的简谐振动，
在平衡位置
0=x 处，弹簧振子的势能为零，系统
的机械能为50J ，问振子处于2/A x =处时；
其势能的瞬时值为多少？
答：由题意，在平衡位置0=x 处，弹簧振子的势
能为零，系统的机械能为50J ，所以该振子的总能量为50J ，当振子处于2/A x =处时；其势能
的瞬时值为：
J E A k kx M 5.124
504121212122====）（。