第7章 第1节 空间几何体的结构特征及三视图与直观图

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第7章 立体几何

第1节 空间几何体的结构特征及三视图与直观图

1．(2014新课标全国Ⅰ，5分)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )

A ．三棱锥

B ．三棱柱

C ．四棱锥

D ．四棱柱

解析：选B 由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B.

2．(2014新课标全国Ⅱ，5分)如图，网格纸上正方

形小格的边长为1(表示1 cm), 图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )

A.17

27 B.59

C.10

27

D.13

解析：选C 由三视图可知该零件是一个底面半径

为2、高为4的圆柱和一个底面半径为3、高为2的圆柱的组合体，所以该组合体的体积V 1＝π·22·4＋π·32·2＝34π(cm 3)，原来的圆柱体毛坯的体积为V ＝π·32·6＝54π(cm 3)，则切削掉部分的体积为V 2＝54π－34π＝20π(cm 3)，所以切削掉部分的体积与原来的圆柱体毛坯体积的比值为20π54π＝10

27

.故选C.

3.(2014安徽，5分)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为( )

A. 233

B.

476

C. 6 D ．7

解析：选A 如图，由三视图可知，该几何体是由棱长为2的正方体从右后和左下分别截去一个小三棱锥得到的，其体积为V ＝8－2×

1

3×1×12×1×1＝233

.

4．(2014辽宁，5分)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A ．8－π4

B ．8－π

2

C ．8－π

D ．8－2π

解析：选C 该几何体是一个正方体截去两个四分之一圆柱形成的组合体，其体积V ＝23－2×π×12×2×1

4

＝8－π，故选C.

5．(2014湖南，5分)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：选B 此几何体为一直三棱柱，底面是边长为6,8,10的直角三角形，侧棱长为12，故其最大球的半径为底面直角三角形内切圆的半径，故其半径为r ＝2S

a ＋

b ＋

c ＝2×1

2×6×86＋8＋10＝

2，故选B.

6．(2014四川，5分)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是

⎝⎛⎭

⎫锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高( )

A ．3

B ．2 C. 3

D ．1

解析：选D 由俯视图可知三棱锥的底面是一个边长为2的正三角形，底面面积为

1

2

×2×2×sin 60°＝3，由侧视图可知三棱锥的高为3，故此三棱锥的体积V ＝1

3×3×3＝

1，故选D.

7．(2014重庆，5分)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A ．12

B ．18

C ．24

D ．30

解析：选C 此几何体是由一个三棱柱截去一个三棱锥得到的，三棱柱和三棱锥的底面都是直角三角形，两直角边长分别为3和4，其面积为6，三棱柱的高为5，三棱锥的高为3，所以该几何体的体积为6×5－1

3

×6×3＝24，选C.

8．(2014天津，5分)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.

解析：由三视图可得该几何体是组合体，上面是底面圆的半径为2 m 、高为2 m 的圆锥，下面是底面圆的半径为1 m 、高为4 m 的圆柱，所以该几何体的体积是13×4π×2＋4π＝

20π

3(m 3)．

答案：20π

3

9．(2014北京，5分)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．

解析：三视图所表示的几何体的直观图如图所示．结合三视图知，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2，AB ＝BC ＝2，AC ＝2.所以PB ＝P A 2＋AB 2＝4＋2＝6，PC ＝P A 2＋AC 2＝22，所以该三棱锥最长棱的棱长为2 2.

答案：2 2

10．（2013北京，5分）如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P

为对角线 BD 1的三等分点，则P 到各顶点的距离的不同取值有( )

A ．3个

B ．4个

C ．5个

D ．6个

解析：本题主要考查空间几何体及三角形中的边角关系，意在考查考生的空间想象能力和空间构造能力．解决本题的关键是构造直角三角形．

在Rt △D 1DB 中，点P 到点D 1，D ，B 的距离均不相等，在Rt △D 1CB 中，点P 到点C 的距离与点P 到点D 1，D ，B 的距离均不相等，在Rt △D 1A 1B 中，点P 到点A 1的距离与点P 到点D 的距离相等，在Rt △D 1C 1B 中，点P 到点C 1的距离与点P 到点D 的距离相等，在Rt △D 1B 1B 中，点P 到点A 的距离与点P 到点C 的距离相等，在Rt △D 1AB 中，点P 到点A 的距离与点P 到点C 的距离相等，故选B.

答案：B

11．（2013新课标全国Ⅰ,5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A ．16＋8π

B ．8＋8π

C ．16＋16π

D ．8＋16π

解析：本题考查空间组合体的三视图及组合体的体积计算，意在考查考生的识图能力、空间想象能力以及计算能力．先根据三视图判断出组合体的结构特征，再根据几何体的体积公式进行计算．根据三视图可以判断该几何体由上、下两部分组成，其中上面部分为长方体，下面部分为半个圆柱，所以组合体的体积为2×2×4＋1

2

π×22×4＝16＋8π，选择A.

答案：A