宁夏银川一中2014届高三4月模拟考试数学(理)试题 扫描版含答案

（数学理科答案）一、选择题：A 卷答案：1---5CAACC 6---10CABDB 11-12DBB 卷答案：1---5DAADD 6---10DABCB 11-12CB11．提示：曲线3()21f x x x =++关于（0,1）中心对称.12.提示：函数图象不随,p q 的变化而变化.二、填空题：13．14π+ 14. 50π 15.65 16.8 16．提示：可转化为2ln 3x x y -=上的动点与直线2+=x y 上动点的问题.三、解答题：（解答题按步骤给分，本答案只给出一或两种答案，学生除标准答案的其他解法，参照标准酌情设定,且只给整数分）17.解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知得21251232a q a q ìï=ïíï=ïî，，……………2分 又∵10a >，0q >，解得112a q ì=ïïíï=ïî，，………………3分 ∴12n n a -=；…………………5分（Ⅱ）由题意可得 3122113521n n b b b b n ++++=--L ， 1212121-=-+--n n n n b ， （2≥n ） 两式相减得 1221n n b n -=-， ∴12)12(--=n n n b ，（2≥n ）……………………7分当1n =时，11b =，符合上式，∴()1212n n b n -=- ，（n Î*N ）…………………………8分 设()12113252212n n T n -=+??+- L ，()()2312123252232212n n n T n n -=???+-?- L ，………………10分两式相减得 ()()()21122222122323n n n n T n n --=++++--?--?L ， ∴()2323n n T n =-+．…………………12分（整理结果正确即可，不拘泥于形式）18．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ，12AB AC A B ===．（Ⅰ）证明：平面1A AC ⊥平面1AB B ；（Ⅱ）若点P 为11B C 的中点，求出二面角1P AB A --的余弦值．证明：（Ⅰ）由题意得：1A B ⊥面ABC ，∴1A B AC ⊥, ------2分又AB AC ⊥，1AB A B B =∴AC ⊥面1AB B ， ------3分∵AC ⊂面1A AC ， ∴平面1A AC ⊥平面1AB B ； ------5分（Ⅱ）解法1：以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(0,0,0),(0,2,0),(0,4,2)A B B 1(2,2,2)C因为P 为棱11B C 的中点，故易求得()132P ，，． ------6分 (0,2,0),(1,3,2)AB AP ==设平面PAB 的法向量为1(,,),x y z =n 则110,0,AB AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 得32020x y z y ++=⎧⎨=⎩令1z =，则 1(2,0,1),=-n------8分而平面1ABA 的法向量2(1,0,0),=n ------9分则121212cos ,|⋅===n n n n n |n ------11分由图可知二面角1P AB A --为锐角，故二面角1P AB A -- . ------12分 解法2：过P 做PP 1//A 1B 1交A 1C 1的中点于P 1,由（Ⅰ）可知P 1A 1AB A 1平面⊥,连接P 1B,则11BA P ∠为二面角1P AB A --的平面角， ------8分在11BA P Rt ∆中，5,2,11111===B P B A A P ，55252cos 1111===∠B P B A BA P ， 故二面角1P AB A -- ------12分C19.解：（Ⅰ）由题意得12(1)222t t ⨯⨯-=，解得1t =.……………3分 （Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，321(2)(0)(1)(1)(1)2228t t t P ξ-==---=； 2114(1)(1)(1)2(1)(1)2222228t t t t t P ξ-==⨯-⨯-+⨯-⨯⨯-=； 2114(2)2(1)(1)2222228t t t t t t P ξ-==⨯⨯⨯-+-⨯⨯=； 21(3)2228t t t P ξ==⨯⨯=. 故ξ的分布列为：……………………7分12E t ξ∴=+.…………………8分 由题意得：1(2)(1)02t P P ξξ-=-==>，242(2)(0)04t t P P ξξ-+-=-==>，22(2)(3)04t t P P ξξ-=-==>，又因为02t << 所以解得t 的取值范围是12t <<.…………………11分3522E ξ∴<<.…………………12分20.解：（Ⅰ）依题意23==a c e ， 过焦点Ｆ与长轴垂直的直线ｘ＝ｃ与椭圆12222=+b y a x联立解答弦长为ab 22＝１，……………2分 所以椭圆的方程1422=+y x .………………4分（Ⅱ）设Ｐ（１，ｔ）3210t t k PA =+-=，直线)2(3:+=x t y l PA ，联立得： 22(2),3 1.4t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 即()0361616942222=-+++t x t x t ，可知2216362,49M t x t --=+所以2218849M t x t -=+， 则222188,4912.49M M t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩……………………6分 同理得到22282,414.41N N t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩………………8分由椭圆的对称性可知这样的定点在x 轴，不妨设这个定点为Ｑ()0,m ，………………10-分又 m t t t t k MQ -+-+=948189412222 ， m t t t t k NQ -+-+=1428144222 ， NQ MQ k k =，()28326240m t m --+=，4m =.……………12分21.解：(Ⅰ)()()()()1ln(1)F x f x g x x x x =-=++-,'()ln(1)F x x =+,(1,0)x ∈-'()0,()F x F x <为减函数;'(0,),()0,()x F x F x ∈+∞>为增函数,所以()F x 只有一个极小值点0x =，极小值为0.……………………4分(Ⅱ) 设()222222()ln(1)()ln(1)2ln(1)G x x f x x x x ax x ⎡⎤=+-=+-++--⎣⎦依题意即求 ()G x 在2(1,)x -上存在零点时a 的取值范围.又当1x →-时，()G x →-∞，且()G x 在定义域内单调递增，所以只需要2()0G x >在()0,+∞上恒成立. 即()222222ln(1)2ln(1)0x x x ax x ⎡⎤+-++-->⎣⎦，在()0,+∞上恒成立. 即()222221ln(1)0x x ax x ++--<,在()0,+∞上恒成立.…………7分 01若0a =，显然不成立,因为由第一问知x x x x F -++=)1ln()1()(在),0(+∞为增函数， 故0)0()(=>F x F210x +> ,即2ln(1)01ax x x x ++-<+在()0,+∞恒成立, 不妨设2()ln(1)1ax x h x x x +=+-+，()0,x ∈+∞ ),0(,)1()21()(2'+∞∈+-+-=x x a ax x x h ， a a x x x a ax x x h 21,0,0)1()21()(212'-===+-+-=,…………………9分 若0a <,则0212<-=a a x ，若0x >，'()0h x >,所以()h x 为增函数，()h x >(0)0h =（不合题意）, 若102a <<，若)21,0(a a x -∈，'()0h x >,()h x 为增函数，()h x >(0)0h =（不合题意）, 若12a ≥，若(0,)x ∈+∞,'()0h x <，()h x 为减函数,()h x <(0)0h =（符合题意）, 综上所述,若0x >时,0)(<x h ()0f x <恒成立,则12a ≥.……………………………12分 22.解：(Ⅰ)连接AB ，在EA 的延长线上取点F ，如图①所示． ∵AE 是⊙O 1的切线，切点为A ，∴∠F AC ＝∠ABC,.……………1分∵∠F AC ＝∠DAE ，∴∠ABC ＝∠DAE ,∵∠ABC 是⊙O 2内接四边形ABED 的外角， ∴∠ABC ＝∠A DE ,……………2分∴∠DAE ＝∠A DE .………………3分∴EA ＝ED ,∵EC EB EA ∙=2,∴EC EB ED ∙=2.………………5分(Ⅱ)当点D 与点A 重合时，直线CA 与⊙O 2只有一个公共点， 所以直线CA 与⊙O 2相切．……………6分如图②所示，由弦切角定理知：︒⨯=∠=∠∠=∠∠=∠∠=∠18021ABE ABC MAEPAC ABEMAE ABCPAC 因又 ∴AC 与AE 分别为⊙O 1和⊙O 2的直径．…………8分∴由切割线定理知：EA 2＝BE ·CE ，而CB ＝2，BE ＝6，CE=8 ∴EA 2＝6×8＝48，AE ＝34.故⊙O 2的直径为34.………………10分23.解： (Ⅰ)θρcos = ， …………………2分.…………………4分(Ⅱ)设P （ααsin 2,cos 2）,)0,21(2C图（2）E ϑρρcos 2=41212222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+y x xy x2PC ===…………………6分 1cos ,2α∴=，2min 2PC =，…………………8分min PQ =.……………………10分 24.解：(Ⅰ)当a=1时，()21f x x x x=-+-≥ 2x ≥当时，解得3x ≥；当21<<x 时，解得1≤x ， ∴无解1x ≤当时，解得1x ≤；……………………………3分综上可得到解集}31{≥≤x xx 或.……………………5分 (Ⅱ)依题意，,()3x f x ∀∈≥R 对都有， 则()()3222)(≥-=---≥-+-=a a ax ax a ax ax x f ，……………8分 2323a a -≥-≤-或51a a ∴≥≤-或（舍）， 所以 5.a ≥…………………10分。