树和图
了解树和图在数据结构中的应用
了解树和图在数据结构中的应用数据结构是计算机科学中非常重要的一个概念，它主要研究数据的组织、存储和管理方式。
在数据结构中，树和图是两种常见且重要的数据结构，它们在实际应用中有着广泛的应用。
本文将介绍树和图在数据结构中的应用，以帮助读者更好地理解和应用这两种数据结构。
一、树在数据结构中的应用树是一种非常常见的数据结构，它由节点和边组成，每个节点有零个或多个子节点，其中一个节点被指定为根节点。
树结构具有层级关系，常见的树结构包括二叉树、二叉搜索树、平衡二叉树等。
树结构在数据结构中有着广泛的应用，以下是树在数据结构中的几种常见应用：1. 二叉搜索树（Binary Search Tree，BST）：二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它具有以下性质：对于树中的任意节点，其左子树中的每个节点的值都小于该节点的值，而右子树中的每个节点的值都大于该节点的值。
二叉搜索树常用于实现查找、插入和删除操作，其时间复杂度为O(logn)，是一种高效的数据结构。
2. 平衡二叉树（Balanced Binary Tree）：平衡二叉树是一种特殊的二叉搜索树，它具有较好的平衡性，可以保证在最坏情况下的时间复杂度为O(logn)。
平衡二叉树的常见实现包括AVL树、红黑树等，它们在数据库索引、编译器等领域有着广泛的应用。
3. 堆（Heap）：堆是一种特殊的树形数据结构，常用于实现优先队列。
堆分为最大堆和最小堆两种类型，最大堆中父节点的值大于等于子节点的值，最小堆中父节点的值小于等于子节点的值。
堆在排序算法（如堆排序）、调度算法等方面有着重要的应用。
4. Trie树（字典树）：Trie树是一种多叉树结构，常用于实现字符串的快速检索。
Trie树的每个节点代表一个字符，从根节点到某个节点的路径表示一个字符串，Trie树可以高效地实现字符串的插入、查找和删除操作，被广泛应用于搜索引擎、拼写检查等领域。
二、图在数据结构中的应用图是一种由节点（顶点）和边组成的数据结构，它用于描述不同节点之间的关系。
树与图的最小树
树与图的最小树
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v5 1 v6 Min C(T)=15
树与图的最小树
避圈法: 去掉G中所有边，得到n个孤立点；然后加边。
Page 15
加边的原则为：从最短边开始添加，加边的过程中不能形成 圈，直到点点连通(即:n-1条边)。 v1 5 v2 8 4 3 v3 7 5 v5 1 v6
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min=1+4+9+3+17+23=57
树与图的最小树
练习：应用避圈法求最小树 v1 23 v6 36 1 v7 20 4 v2 15
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小朋友常见树木的简介含图片
常见树木的简介含图片榕树树干：从枝干上长出细长的气根，触地可以形成树干。
老树树姿开阔粗状。
树叶：终年常绿，叶厚，表面光滑、全缘。
花果：隐花果，3 月开花，是寄生蜂与鸟类的最爱。
其他：桑科常绿乔木，是台北市的市树，台中县、澎湖县的县树。
樟树树干：灰褐色的树皮有深沟纵裂纹。
树叶：椭圆形的叶，叶端尖，揉搓有樟脑的辛香味。
花果：春天开黄绿色的花，又小又多。
浆果成熟为黑紫色。
其他：樟科常绿乔木，是台湾的乡土树，可提供良好的蜜源，引诱蝶类栖息。
面包树树干：叶柄粗大，脱落后会留下明显叶痕；树皮灰褐色。
树叶：叶片有完整的全缘叶也有羽状深裂，叶面暗绿色有光泽，叶脉明显。
花果：果实表面布满颗粒状突起。
其他：桑科常绿大乔木，原产马来西亚。
松树科属：松科松属类别：林木类-针叶树类药用：松树的药用价值很高，全身各个部位都可入药。
其树冠看起来篷松不紧凑，“松”字正是其树冠特征的形象描述。
所以，“松”就是树冠篷松的一类树。
松树坚固，常年不死梧桐树名称：梧桐别名：青桐、桐麻科：梧桐科属：梧桐属原产中国及日本，中国各省广泛栽培。
梧桐（青桐，桐麻），叶子上面长豌豆粒的那种，树皮青色，光滑。
梧桐科，落叶乔木。
幼树树皮绿化，平滑。
叶掌状裂。
夏季开花，雌雄同株，花小，淡黄绿色，圆锥花序，果实分为五个分果，成熟前裂开呈小艇状，种子球形，生其边缘。
青桐是珍贵的阔叶用材树种，材质坚重，耐腐朽，为优等用材，山区广有分布。
木材供制乐器和家具用；树皮纤维可造纸；种子炒熟供食用，亦可榨油，供制肥皂和润滑油。
又为绿化做出贡献。
槐树科名：豆科 Leguminosae落叶乔木，高15－25米。
羽状复叶长15－25厘米；叶轴有毛，基部膨大；小叶9－15，卵状长圆形，长2.5－7.5厘米，宽1.5－5厘米，顶端渐尖而有细突尖，基部阔楔形，下面灰白色，疏生短柔毛。
圆锥花序顶生；萼钟状，有5小齿；花冠乳白色，旗瓣阔心形，有短爪，并有紫脉，翼瓣龙骨瓣边缘稍带紫色；雄蕊10，不等长。
代码知识点总结
代码知识点总结代码是现代社会的重要工具，它在各个领域都有广泛的应用。
要成为一名优秀的程序员，你需要掌握很多知识点，这些知识点涵盖了各种编程语言、数据结构、算法等方面。
在本文中，我们将总结一些常用的代码知识点，希望能够帮助你更好地理解和运用代码。
一、编程语言1. 数据类型数据类型是编程语言中的一项基本概念，它指定了数据的格式和存储方式。
常见的数据类型包括整数、浮点数、字符串、布尔值等。
不同的编程语言支持不同的数据类型，比如C 语言支持int、float、char等基本数据类型，而Python语言支持int、float、str等数据类型。
2. 变量和常量变量是用来存储数据的容器，可以通过变量名来访问其中的数据。
常量是不可变的数据，一旦定义就不能修改。
在很多编程语言中，变量和常量都需要指定数据类型。
3. 控制结构控制结构是用来控制程序执行流程的机制，包括顺序结构、选择结构和循环结构。
常见的控制结构包括if语句、switch语句、for循环、while循环等。
4. 函数和模块函数是用来封装一段可重复使用的代码，通过函数可以将代码进行模块化，提高代码的可读性和可维护性。
模块是包含函数、变量和类等定义的文件，它可以被其他程序引用和调用。
5. 面向对象编程面向对象编程是一种程序设计范式，它将数据和方法组合成对象，通过对象的封装、继承和多态等特性来管理和操作数据。
常见的面向对象编程语言包括C++、Java、Python等。
6. 异常处理异常处理是用来处理程序运行时的异常情况，比如除零错误、数组越界等。
通过异常处理机制可以提高程序的健壮性和稳定性。
7. 文件操作文件操作是指对文件进行读取、写入和管理的操作，包括文件打开、读写数据、关闭文件等。
文件操作是编程中常见的基本操作之一，很多程序都需要对文件进行处理。
二、数据结构1. 数组和链表数组和链表是存储数据的常见数据结构，它们分别具有不同的特点和应用场景。
数组是一种顺序存储的数据结构，它可以随机访问和修改元素，但是数组的大小一旦确定就不能改变。
计算机数据结构树与图
计算机数据结构树与图计算机科学中有两种基本的数据结构，即树和图。
树和图是指具有树形结构和图形结构的数据集合。
它们在计算机科学中发挥着重要的作用，可以用来存储和计算各种类型的数据。
本文将介绍树和图的基本概念和各种应用。
一、树的基本概念树是一种由节点和边组成的数据结构。
树中有一个被称为“根”的特殊节点，它没有父节点。
树中的每个节点都有零个或多个子节点，每个子节点都有一个父节点。
在树结构中，节点与节点之间的关系是有限的、无环的。
树的基本概念包括以下几个方面：1.树的层次结构树结构是一种层次结构。
根节点是树的顶部，位于第一层。
它的直接子节点位于第二层，它的子子节点位于第三层，依次类推，直到最底层。
2.树的属性树的属性包括根、父节点、孩子节点、兄弟节点、叶子节点和深度。
根是树的最高节点，没有父节点。
每个节点都有一个父节点，除了根节点。
孩子节点是一个节点的直接后代节点。
兄弟节点是具有相同父节点的节点。
叶子节点是没有任何子节点的节点。
深度是从根节点开始计算节点的层数。
3.二叉树二叉树是一种特殊的树，每个节点最多有两个子节点。
左侧子节点和右侧子节点分别称为左子树和右子树。
二叉树的应用非常广泛，常用于排序和搜索算法。
二、树的应用1.文件系统文件系统是一种树形结构，每个文件夹是一个节点。
文件夹节点可以有多个子节点，每个子节点都是文件夹或文件。
2.数据库数据库中的表是一种树形结构。
表之间的关系可以表示为树结构。
例如，在一个学校数据库中，每个学生都有一个唯一的学号，并与一个班级相关联。
每个班级又与一个系相关联。
3.搜索算法在搜索算法中，树用于存储搜索过程的节点。
搜索算法可以采用广度优先搜索、深度优先搜索或其他算法。
例如，在图像识别中，搜索算法可用于搜索图片。
在棋类游戏中，搜索算法可用于搜索最佳走法。
三、图的基本概念与树不同，图是由节点和边组成的数据结构，它可以是有向图或无向图。
有向图中的边是有方向的，无向图中的边没有方向。
数据结构的分类及特点
数据结构的分类及特点数据结构是计算机科学中非常重要的概念，它是指数据元素之间的关系，以及对这些数据元素进行操作的方法。
根据数据元素之间的关系和操作方式的不同，数据结构可以分为多种类型。
本文将介绍数据结构的分类及各种数据结构的特点。
一、线性结构线性结构是最简单的数据结构之一，数据元素之间是一对一的关系。
常见的线性结构包括数组、链表、栈和队列等。
1. 数组数组是一种连续存储数据元素的线性结构，每个元素占用相同大小的内存空间。
数组的特点是随机访问速度快，但插入和删除操作较慢。
2. 链表链表是一种非连续存储数据元素的线性结构，每个元素都包含指向下一个元素的指针。
链表的特点是插入和删除操作方便，但访问速度较慢。
3. 栈栈是一种后进先出（LIFO）的线性结构，只能在栈顶进行插入和删除操作。
栈的特点是操作简单高效，常用于表达式求值、函数调用等场景。
4. 队列队列是一种先进先出（FIFO）的线性结构，只能在队首删除元素，在队尾插入元素。
队列的特点是操作简单高效，常用于广度优先搜索、任务调度等场景。
二、非线性结构非线性结构是指数据元素之间不是简单的一对一关系，常见的非线性结构包括树和图等。
1. 树树是一种层次结构的非线性结构，由节点和边组成。
树的特点是有根节点、每个节点最多有一个父节点和多个子节点。
常见的树结构包括二叉树、二叉搜索树、平衡二叉树等。
2. 图图是一种由顶点和边组成的非线性结构，顶点之间可以通过边相连。
图的特点是可以表示复杂的关系，常见的图结构包括有向图、无向图、加权图等。
三、数据结构的特点不同类型的数据结构具有不同的特点，选择合适的数据结构可以提高算法的效率和性能。
1. 空间复杂度数据结构的空间复杂度是指存储数据元素所需的内存空间大小。
不同的数据结构对内存空间的利用效率不同，需要根据实际情况选择合适的数据结构。
2. 时间复杂度数据结构的时间复杂度是指执行各种操作所需的时间开销。
不同的数据结构对插入、删除、查找等操作的时间复杂度不同，需要根据算法的需求选择合适的数据结构。
树和图
假设无向图G=(V,E)是一个有n个顶点的图，则图的邻 接矩阵A是n阶方阵，其内容如下：
1, if (< i, j > E or (i, j) E ) Α[i ][ j] otherwise 0,
对于含权的网络而言，其邻接矩阵可定义如下：
W(i, j) 当 < v i , v j > E 或 (v i , v j ) E A [i ][ j] = 其它
（3）后序遍历 对一颗非空二叉树进行中序遍历时，首先按后序遍 历方式访问左子树，然后按后序遍历方式访问右子 树，最后访问根结点。后序遍历算法如下： void BinTree::PostOrder(BinTreeNode *t) { if(t) { PostOrder( t->leftChild ); //遍历左子树 PostOrder( t->rightChild ); //遍历右子树 Visit( t ); //访问根节点 } }
其中W(i, j)是与边或弧相关的权。
0 1 2
0
1
2 1
5 8
0
2 3
3
4
3
4
1
2
3
(a)无向图
0
(b)有向图
4
(c)网络
4
1
2
3
0
0 1 2 3
4
1
2
3
0 1 A 1 1 1
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 0 0
边或弧，经过顶点vp1，vp2，…，vpm， 到达顶点vj。则称顶点序列( vi，vp1， vp2，…，vpm，vj )为从顶点vi到顶点vj的 路径。若路径上各顶点均不互相重复， 则称这样的路径为简单路径。 • 路径长度：非带权图的路径长度是指此 路径上边或弧的条数，带权图的路径长 度是指路径上各边或弧的权之和。
数据结构常用操作
数据结构常用操作数据结构是计算机科学中的关键概念，它是组织和管理数据的方法。
常用的数据结构包括数组、链表、树、图和队列等。
在实际的编程中，我们经常需要对数据结构进行一些操作，如添加、删除和查找等。
以下是一些常用的数据结构操作。
1.添加元素：将新元素插入到数据结构中。
对于数组，可以通过在指定索引位置赋值来添加元素。
对于链表，可以通过创建新节点并调整指针来实现。
对于树和图，可以添加新节点或边来扩展结构。
2.删除元素：从数据结构中移除指定元素。
对于数组，可以通过将元素设置为特定值来删除。
对于链表，可以遍历链表并删除匹配的节点。
对于树和图，可以删除指定节点或边。
3.查找元素：在数据结构中指定元素。
对于有序数组，可以使用二分查找来提高效率。
对于链表，可以遍历链表并比较每个节点的值。
对于树和图，可以使用深度优先（DFS）或广度优先（BFS）等算法进行查找。
4.遍历元素：按照其中一种顺序遍历数据结构中的所有元素。
对于数组和链表，可以使用循环来遍历每个元素。
对于树，可以使用先序、中序或后序遍历来访问每个节点。
对于图，可以使用DFS或BFS来遍历每个节点。
5.排序元素：对数据结构中的元素进行排序。
对于数组，可以使用快速排序、归并排序等常用算法。
对于链表，可以使用插入排序或选择排序等算法。
对于树和图，可以使用DFS或BFS进行遍历并将元素排序。
6.查找最小/最大值：在数据结构中查找最小或最大值。
对于有序数组，最小值在索引0的位置。
对于链表，可以遍历链表并比较每个节点的值。
对于树，可以遍历树的左子树或右子树来找到最小或最大值。
7.合并数据结构：将两个数据结构合并成一个。
对于有序数组，可以先将两个数组合并成一个，然后再排序。
对于链表，可以将一个链表的尾节点连接到另一个链表的头节点。
对于树和图，可以将两个结构合并成一个，保持其关系。
8.拆分数据结构：将一个数据结构拆分成多个。
对于有序数组，可以根据一些值将数组拆分为两个子数组。
第四篇 数据结构-树
第十章非线性结构—树和图第九章讨论的线性表（包括栈、队列、与串）属于线性结构。
在这种结构中，不管其存储方式如何，数据元素的逻辑位置之间呈线性关系，每一个数据元素通常只有一个前件（除第一个元素外）和一个后件（除最后一个元素外）。
在实际生活中，可以用线性结构描述数据元素之间逻辑关系的问题是很广泛的，但也有很多问题不能依靠线性结构来解决，因此在这类问题中，数据元素间的逻辑关系不能用线性结构明确、方便地描述出来。
一般来说，至少存在一个结点（数据元素）有多于一个前件或后件的数据结构称为非线性结构。
具有非线性结构特征的数据结构有两种1.⑴树2.⑵图§10.1 树例如某学校试图将学生成绩表中的百分制成绩转换成五个等级，其中成绩0～59分为不及格，60～69分为及格，70～79分为中，80～89分为良，90～100分为优。
现有n个学生的百分制成绩，如何将他们的成绩转换成五级分制。
下图揭示了一个百分制成绩的判定转换过程。
对于这样一张简单的表，已经不能用线性结构来表示。
因为表中数据元素可能有两个后件，它们之间的关系已经不是线性的了。
上图中所示的表是一个非线性结构。
由该图可以看出，虽然每一个结点可能有多个后件，但它们的前件却只有一个（第一个结点无前件）。
这种非线性结构称为树，树表示了数据元素之间的层次关系，而这种层次关系仿佛像一棵倒长的树。
下面讨论树的基本概念，其中重点讨论的是二叉树。
一、.树的概念1、树的定义树是一种常见的非线性的数据结构。
树的递归定义如下：树是n(n>0)个结点的有限集，这个集合满足以下条件：⑴有且仅有一个结点没有前件（父亲结点），该结点称为树的根；⑵除根外，其余的每个结点都有且仅有一个前件；⑶除根外，每一个结点都通过唯一的路径连到根上。
这条路径由根开始，而未端就在该结点上，且除根以外，路径上的每一个结点都是前一个结点的后件（儿子结点）；由上述定义可知，树结构没有封闭的回路。
下图给出了树的几个示例：2、结点的分类在树中，一个结点包含一个元素以及所有指向其子树的分支。
落叶树图片及名称
落叶树有哪些杨树：杨树叶片在秋季9-10月开始掉落。
柳树：它的耐寒能力强，通常叶片11月才开始掉落。
银杏：10月以后开始落叶，叶片掉落时会变为金黄色。
玉兰：10月中旬叶片开始变颜色，10月末开始落叶。
栾树：果实成熟后就开始黄叶、落叶。
其他树木：槐树、合欢树、法桐、榉树、朴树、柿子树等。
一、杨树杨树属于落叶乔木，在北方地区比较常见。
它的叶片在每年秋季9-10月开始掉落，入冬后就全部掉完。
落叶之后要及时清理干净落叶，还要喷洒杀虫杀菌的药剂，防治病虫害。
二、柳树柳树叶片通常在11月才会逐渐枯黄掉落，等到12月中旬几乎全部掉完。
柳树的耐寒性非常高，大部分地区都可安全越冬。
通常到来年春季3月份就会萌发新的叶芽，逐渐恢复生长。
三、银杏银杏是银杏科、银杏属的落叶乔木。
它一般是在春季3-4月开始萌动展叶，4-5月开花，9-10月种子会成熟，10月以后开始落叶。
它的叶片掉落时会变为黄色，等整体变为黄色的时候就会凋谢了。
四、玉兰玉兰对温度较为敏感，温度越高开花越早。
通常是2-4月开花，花期可持续10-20天。
开花时间和当年的气温有关。
果实在9月上旬开始成熟，下旬种子掉落。
一般10月中旬叶片开始变颜色，10月末开始落叶，到11月中旬叶片基本全部脱落了。
五、栾树栾树的病虫害少，栽培容易管理，适应能力强，因此很多地区都有栽培的，世界各地都有分布。
它的花期在6-8月份之间，果期9-10月份之间。
果实成熟后就开始黄叶、落叶。
六、其他树木落叶树有很多种，除了以上介绍的几种外，还有槐树、合欢树、法桐、榉树、朴树、柿子树、香椿、乌桕、马褂木、苦楝等等。
不过有的在南方温度地区可存在常绿情况。
数据结构（树与图部分）练习题
数据结构（树与图部分）练习题数据结构(树与图部分)练习题⼀、填空题1.不考虑顺序的3个结点可构成种不同形态的树，种不同形态的⼆叉树。
2.已知某棵完全⼆叉树的第4层有5个结点，则该完全⼆叉树叶⼦结点的总数为：。
3.已知⼀棵完全⼆叉树的第5层有3个结点，其叶⼦结点数是。
4.⼀棵具有110个结点的完全⼆叉树，若i＝54，则结点i的双亲编号是；结点i的左孩⼦结点的编号是，结点i的右孩⼦结点的编号是。
5.⼀棵具有48个结点的完全⼆叉树，若i＝20，则结点i的双亲编号是______；结点i的左孩⼦结点编号是______，右孩⼦结点编号是______。
6.在有n个叶⼦结点的Huffman树中，总的结点数是：______。
7.图是⼀种⾮线性数据结构，它由两个集合V(G)和E(G)组成，V(G)是______的⾮空有限集合，E(G)是______的有限集合。
8.遍历图的基本⽅法有优先搜索和优先搜索两种⽅法。
9.图的遍历基本⽅法中是⼀个递归过程。
10.n个顶点的有向图最多有条弧；n个顶点的⽆向图最多有条边。
11.在⼆叉树的⼆叉链表中，判断某指针p所指结点是叶⼦结点的条件是。
12.在⽆向图G的邻接矩阵A中，若A[i,j]等于1，则A[j,i]等于。
⼆、单项选择题1.树型结构的特点是：任意⼀个结点：（）A、可以有多个直接前趋B、可以有多个直接后继C、⾄少有1个前趋D、只有⼀个后继2.如下图所⽰的4棵⼆叉树中，（）不是完全⼆叉树。
3.深度为5的⼆叉树⾄多有（）个结点。
A、16B、32C、31D、104.64个结点的完全⼆叉树的深度为：（）。
A、8B、7C、6D、55.将⼀棵有100个结点的完全⼆叉树从根这⼀层开始，每⼀层从左到右依次对结点进⾏编号，根结点编号为1，则编号为49的结点的左孩⼦的编号为：（）。
A、98B、99C、50D、486.在⼀个⽆向图中，所有顶点的度之和等于边数的（）倍。
A、1/2B、1C、2D、47.设有13个值，⽤它们组成⼀棵Huffman树，则该Huffman树中共有( )个结点。
什么是数据结构列举几种常见的数据结构
什么是数据结构列举几种常见的数据结构数据结构是计算机科学中非常重要的概念之一，它是用来组织和存储数据的方式和方法。
简单来说，数据结构就是一种特定的数据组织形式，可以高效地进行数据的插入、删除、查找和修改等操作。
不同的数据结构适用于不同的场景，常见的几种数据结构包括数组、链表、栈、队列、树和图等。
下面将逐一介绍这些常见的数据结构。
1. 数组数组是最简单也是最常用的数据结构之一。
它由一组有固定顺序的元素组成，可以通过索引来访问和操作元素。
数组的特点是随机访问速度快，但插入和删除操作相对较慢。
例如，可以使用数组来表示一组学生的成绩，并通过索引来查找某个学生的成绩。
2. 链表链表是一种使用指针来实现的数据结构，它由一系列结点组成，每个结点包含一个数据元素和一个指向下一个结点的指针。
链表的特点是插入和删除操作快，但随机访问需要遍历整个链表。
链表分为单向链表和双向链表两种，双向链表除了有指向下一个结点的指针外，还有指向上一个结点的指针。
例如，可以使用链表来实现一个任务队列，每个结点表示一个任务。
3. 栈栈是一种后进先出（LIFO）的数据结构，它只允许在一端进行插入和删除操作，这一端称为栈顶。
通过栈顶的位置可以判断栈是空还是满。
栈可以用数组或链表来实现。
栈的一个典型应用是函数调用过程中的函数调用栈。
例如，在函数A中调用了函数B，在B执行完后，需要返回到A继续执行，这时就可以使用栈来保存调用函数的信息。
4. 队列队列是一种先进先出（FIFO）的数据结构，它允许在一端插入元素，在另一端删除元素。
插入操作在队尾进行，删除操作在队头进行。
队列可以使用数组或链表来实现。
队列的一个典型应用是任务调度，例如操作系统中的进程调度。
5. 树树是一种非线性的数据结构，它由一组结点和连接结点的边组成。
树具有层级关系，由根节点、分支节点和叶节点（没有子节点的节点）组成。
树的一个重要应用是二叉搜索树，它是一种有序树，对于任意一个节点，它的左子树的所有节点的值都小于节点的值，右子树的所有节点的值都大于节点的值。
什么是数据结构请举例说明不同类型的数据结构
什么是数据结构请举例说明不同类型的数据结构数据结构是计算机科学中的重要概念，它涉及组织和存储数据的方式和方法。
简而言之，数据结构定义了数据的组成方式以及数据之间的关系和操作。
在计算机科学的领域中，合理的数据结构选择可以对算法的效率和性能产生重大影响。
本文将介绍数据结构的概念，并举例说明不同类型的数据结构。
一、什么是数据结构在计算机科学中，数据结构是一种存储和组织数据的方式，它定义了数据元素之间的关系和操作。
数据结构可以是线性的，也可以是非线性的，可以是简单的，也可以是复杂的。
常见的数据结构包括数组、链表、栈、队列、树、图等。
二、数组数组是一种线性数据结构，它由一系列元素组成，这些元素在内存中是连续存储的。
数组可以通过索引访问到其中的元素，索引通常从0开始。
数组的大小是固定的，一旦创建就不能改变。
例如，一个整型数组可以用来存储一组学生成绩。
三、链表链表是另一种线性数据结构，它由一系列节点组成，每个节点包含数据项和指向下一个节点的指针。
链表的内存分配是动态的，可以根据需要进行扩展或缩小。
链表有单向链表和双向链表两种形式。
链表的一个典型应用是构建队列和栈的数据结构。
四、栈栈是一种有限制的线性数据结构，它按照“后进先出”的原则（Last In First Out，LIFO）操作数据。
栈的插入和删除操作都在栈顶进行。
常见的应用场景包括函数调用、括号匹配等。
五、队列队列是一种受限的线性数据结构，它按照“先进先出”的原则（First In First Out，FIFO）操作数据。
队列的插入操作在队尾进行，删除操作在队头进行。
队列常用于实现广度优先搜索等算法。
六、树树是一种非线性数据结构，它由一组节点和边组成。
一个节点可以有多个子节点，而每个子节点又可以有自己的子节点，这样构成了一个层次结构。
树的一个常见应用是构建目录结构。
七、图图是一种非线性数据结构，它由一组节点和边组成。
每个节点可以与任何其他节点连通，形成一种复杂的网络关系。
树和图Word
一、判断题：1.二叉树是一棵无序树。
（）2.在一棵二叉树中，假定每个结点只有左子女，没有右子女，对它分别进行中序遍历和后序遍历，则具有相同的结果。
（）3.度为二的有序树等价于二叉树。
（）4.树的带权路径长度最小的二叉树中必定没有度为1的结点。
（）5.哈夫曼树一定是满二叉树。
（）6. 满二叉树也是完全二叉树。
（）7.设与一棵树T所对应的二叉树为BT，则与T中的叶子结点所对应的BT中的结点也一定是叶子结点。
（）8.将一棵树转换成二叉树后，根结点没有左子树( )9.已知一棵二叉树的前序序列和后序序列可以唯一地构造出该二叉树。
（）10用树的前序遍历和中序遍历可以导出树的后序遍历。
（）11.在完全二叉树中,若某结点无左孩子,则它必是叶结点。
（）。
12．任何一棵二叉树都有n0=n2+1的关系式。
（）二、填空题1.假定一棵二叉树的结点个数为32，则它的最小深度为______。
2.假定一棵树的广义表表示为A(B(C, D(E, F,G), H(I, J)))，则结点H的双亲结点为______。
3.在一棵二叉树中，度为2的结点有5个，度为1的结点有6个，那么叶子结点有______ 个。
4.树的双亲表示法便于实现涉及到______的操作，孩子表示法便于实现涉及到孩子的操作。
5.对于一颗具有n个结点的二叉树，对应二叉链表中指针域有______个用于指向子结点。
6.下图所示二叉树存储在一维数组中，则元素F的下标位置为______。
7.高度为k的二叉树具有的结点数目，最少为______,最多为______。
8.对任何一棵二叉树，若n0，n1，n2分别是度为0，1，2的结点的个数，则n0=_______。
9.一棵含有16个结点的完全二叉树，对他按层编号，对于编号为7的结点，他的双亲结编号点为______左孩子编号为______、右孩子编号为______。
10.在含100个结点的完全二叉树，叶子结点的个数为________。
树与图的比较
树和图都是非线性的数据结构。
图相对于树来说，是更加抽象和复杂的。
可以认为树是图的基础，树是一种更简单意义上的图。
在树型结构中，每一个数据元素都可能和下一层中多个元素（即孩子结点）相关，但却只能与上一层中的一个元素（即双亲结点）相关。
而在图形结构中，结点之间的关系可以是任意的，图中任意两个数据之间都可能相关。
先看一个简单的图。
（实线部分）图（1）这个简单的图同时是一棵简单的树。
我们首先根据树的结构给出相关概念。
AB……称之为树的结点。
在这里我们把D结点看做树的根结点，那么这个树就是一个简单的二叉树。
则，A结点和C结点就可以称为D结点的子树或孩子，D 结点是A结点和C结点的双亲。
在这里，结点拥有的子树个数称为结点的度。
因为我们把D结点看做根结点，也就是说除去叶子节点，每个结点的度都是2.。
在树中，无论从哪一个结点出发，按着一定得路径总能遍历完所有的结点。
对于一个拥有n个结点的树来说，它就拥有n-1条边，这样才能保证形成一个树，才能保证可以从任意结点遍历所有结点。
我们在根据图型结构给出相关概念。
图中的概念比树中较多，但本质上是相通的。
AB……称为图的顶点。
在图中没有所谓的根结点问题。
每个顶点都是独立的，并不附属于其他任何顶点。
这就与树中的双亲和孩子结点有一定区别。
在这样一个图中，顶点之间的连线时无向的，此时的图称为无向图，顶点之间的连线称为边。
上文提到树中，结点拥有的子树个数称为结点的度。
在图中，每个顶点射出（射入）的边都称为顶点的度。
（在有向图中有入度和出度之分）如果我们把上图中的AB，DG之间做两条连线的话，如上图虚线所示。
这样一连接，图（1）就不再是一个树了，而变身为一个比较复杂的图。
至此我们发现，图中的边更加复杂，这也就使得顶点之间的连接更加简单方便。
但这样会给遍历所有顶点带来麻烦，在此不再叙述。
图（1）是比较简单的图，图中任意两个顶点之间都是连通的。
所谓连通，就是指两个顶点之间有路径。
这个路径可以是直接（AB）的，也可以是间接（AC）的。
树木树木大全树木名称树木图片
树⽊树⽊⼤全树⽊名称树⽊图⽚⽊本植物的总称，有乔⽊、灌⽊和⽊质藤本之分，树⽊主要是种⼦植物，蕨类植物中只有树蕨为树⽊，中国约有8000多种树⽊。
乔⽊：⾼3m以上具有明显直⽴的主⼲和⼴阔树冠的⽊本植物，如杨树、槐树、杉⽊。
按其⼤⼩⼜可分为⼤乔⽊（⾼20m以上）、中乔⽊（⾼10-20m）、⼩乔⽊（⾼3-10m）。
灌⽊：⽆明显主杆，植株⾼度较矮，⼀般在3⽶以下，分枝极多的⼀类植物。
柳树泡桐梧桐油桐国槐刺槐榆树桑树⽩杨⾹椿臭椿樟合欢树银杏三球悬铃⽊桂花樱花发财树夹⽵桃⽩兰⽟兰⼴⽟兰紫⽟兰⽊棉丁⾹紫薇瑞⾹琼花紫荆李树梅花杏花枣树阳桃枸杞芒果柠檬龙眼枫树朴树梓树楸树橡树栾树⽩桦乌桕杜仲珙桐棕榈冷杉云杉接⾻⽊⽔东哥⽊奶果聚果榕⼤果榕嘉宝果鹅掌楸番⽯榴沙枣蟠桃槟榔⼭⽵蓝莓重阳⽊七叶树⾯包树菜⾖树沙棘可可辣⽊皂荚蛋黄果榛⼦栗⼦⽊犀榄马缨杜鹃葡萄绣球荚蒾佛⼿榴莲⼭楂⽕棘结⾹椰⼦雪松⽆患⼦⽆花果⽔杉⼗⼤功劳⼥贞南天⽵⽊⽠枫⾹树茶梅⽊槿⾹蕉杨梅淡⽵紫叶李芭蕉⽯楠樱桃榆叶梅西洋杜鹃皱⽪⽊⽠四季海棠倒挂⾦钟棣棠花胡杨猕猴桃⽊芙蓉枇杷⼭茶鹅掌柴咖啡树软叶刺葵杜鹃花桉树蜡梅青檀甜橙桃花⼼⽊⽩蜡巴西⽊四合⽊⽯榴苏铁荔枝栗⾖树橡⽪树南烛南洋杉苹果蒲葵⾦钱树卷柏⾦樱⼦胡桃朱蕉棕⽵夜⾹⽊兰海棠花黄栌红⾖杉常春藤海桐⾦银花锦带花连翘美⼈蕉柿⼦迎春花⽟簪花⽉季。
树和图数据结构中的非线性结构
树和图数据结构中的非线性结构在计算机科学中，数据结构是指数据元素之间的关系，以及对这些数据元素进行操作的规则。
数据结构可以分为线性结构和非线性结构两大类。
在非线性结构中，树和图是两种重要的数据结构，它们在实际应用中起着至关重要的作用。
本文将重点介绍树和图数据结构中的非线性结构，探讨它们的特点、应用以及相关算法。
### 树(Tree)数据结构树是一种重要的非线性数据结构，它由若干个节点组成，这些节点之间通过边相连。
树的一个节点被称为根节点，除根节点外的其他节点被分为若干个互不相交的子树。
树的每个节点可以有零个或多个子节点，而每个子节点也可以有自己的子节点，以此类推。
树的节点之间的关系是一对多的关系。
树的特点包括以下几点：1. 树中的每个节点都有唯一的父节点，除了根节点外；2. 树中不存在环路，即任意两个节点之间只有一条路径相连；3. 树中的节点之间是有序的，即每个节点的子节点之间是有顺序的。
树的应用非常广泛，例如在操作系统中的文件系统、数据库系统中的索引结构、网络中的路由算法等都会用到树结构。
常见的树结构包括二叉树、二叉搜索树、平衡二叉树等。
树的遍历算法有前序遍历、中序遍历和后序遍历等，这些算法在树的操作和应用中起着重要作用。
### 图(Graph)数据结构图是另一种重要的非线性数据结构，它由节点（顶点）和边组成。
图中的节点可以是任意对象，而边则表示节点之间的关系。
根据边的不同特性，图可以分为有向图和无向图。
在有向图中，边是有方向的，而在无向图中，边是没有方向的。
图的特点包括以下几点：1. 图中的节点之间可以有任意多条边相连，即节点之间的关系是多对多的关系；2. 图中可能存在环路，即节点之间可以通过若干条边形成环路；3. 图中的边可以带有权重，表示节点之间的距离或者代价。
图在实际应用中有着广泛的应用，例如社交网络中的好友关系、地图导航中的路径规划、电路设计中的连通性分析等都可以用图来建模和解决。
绘画心理——树+图片
5.枯死的树根
对早期生命和成长阶段的感受是沮丧的；
情感上干涸的感觉。
果实
果实的多少、大小代表成就、报酬、欲望、希望、目标、恩典等。
1.掉落的果实
伤害事件，身心、这些事件严重地影响其成长、价值观或信念，遭受拒绝、被抛弃（父母离异）负疚感，罪恶感。这种情况被称为“坠落天使症候群”。
受到过强暴或暴力伤害的创伤，可以从果实掉落的原因、腐烂程度考察。
6.粗大的树干
充满活力；充满生命力。
7.顶部收于一点
一目标为导向，实现目标是生活的全部意义；
实现目标后并没有发现自己想要寻求的，处于情绪低落状态。
8.在底部生长
退缩倾向；
情绪低落；
对生活失望。
9.在顶部有少量的生长
关注未来；
对未来抱有希望；
不管住过去。
10.纤细的树干
成长中缺乏支持的力量；
渴望关爱和支撑；
12. T型树冠
有较强的攻击性
13、比树干还粗的树枝
代表匮乏感；
过分地追求从环境得来的满足感。
14.粗树干上的小树枝
无法从环境中得到满足
15.被细致描画的枝叶
表明作画者的强迫性倾向，一旦开始做一件事就
无法停止，哪怕自己已经厌烦；
过分关注细节；
追求完美。
树干
树干反映成长和发展上的能量、生命力。树干的疤痕是成长过程中受到创伤的标志，从它所处的位置可以对其创伤年龄进行大致判断。树干的粗细代表生命力的旺盛程度，过细的、像一根线一样的树干，往往代表在成长过程中缺乏支持和支撑，粗大的树干代表着旺盛的生命力。树干越往上越细、最后收于一点，可能代表生命力的衰减。
1.断续型
具有动性；
易受感情刺激；
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一、判断题：1.二叉树是一棵无序树。
（）2.在一棵二叉树中，假定每个结点只有左子女，没有右子女，对它分别进行中序遍历和后序遍历，则具有相同的结果。
（）3.度为二的有序树等价于二叉树。
（）4.树的带权路径长度最小的二叉树中必定没有度为1的结点。
（）5.哈夫曼树一定是满二叉树。
（）6. 满二叉树也是完全二叉树。
（）7.设与一棵树T所对应的二叉树为BT，则与T中的叶子结点所对应的BT中的结点也一定是叶子结点。
（）8.将一棵树转换成二叉树后，根结点没有左子树( )9.已知一棵二叉树的前序序列和后序序列可以唯一地构造出该二叉树。
（）10用树的前序遍历和中序遍历可以导出树的后序遍历。
（）11.在完全二叉树中,若某结点无左孩子,则它必是叶结点。
（）。
12．任何一棵二叉树都有n0=n2+1的关系式。
（）二、填空题1.假定一棵二叉树的结点个数为32，则它的最小深度为______。
2.假定一棵树的广义表表示为A(B(C, D(E, F,G), H(I, J)))，则结点H的双亲结点为______。
3.在一棵二叉树中，度为2的结点有5个，度为1的结点有6个，那么叶子结点有______ 个。
4.树的双亲表示法便于实现涉及到______的操作，孩子表示法便于实现涉及到孩子的操作。
5.对于一颗具有n个结点的二叉树，对应二叉链表中指针域有______个用于指向子结点。
6.下图所示二叉树存储在一维数组中，则元素F的下标位置为______。
7.高度为k的二叉树具有的结点数目，最少为______,最多为______。
8.对任何一棵二叉树，若n0，n1，n2分别是度为0，1，2的结点的个数，则n0=_______。
9.一棵含有16个结点的完全二叉树，对他按层编号，对于编号为7的结点，他的双亲结编号点为______左孩子编号为______、右孩子编号为______。
10.在含100个结点的完全二叉树，叶子结点的个数为________。
11.度数为0的结点，即没有子树的结点叫作________结点。
同一个结点的儿子结点之间互称为________结点。
12.若一棵完全二叉树含有121个结点，则该树的深度为___________。
13.已知一棵树的前序序列为ABCDEF，后序序列为CEDFBA，则对该树进行层次遍历得到的序列为___________。
三、选择题1.在一棵具有n个结点的二叉树中，所有结点的空子树个数等于______。
A. nB. n-1C. n+1D. 2*n2.在一棵二叉树的第5层上，最多具有______个结点。
A. 14B. 16C. 31D. 323.在一棵深度为h的完全二叉树中，所含结点个数不少于______。
A. 2hB. 2h+1C. 2h -1D. 2h-14.一棵树的广义表表示为a(b(c), d(e(g(h)), f))，则该二叉树的高度为______。
度为______。
度为2的结点数为______。
A. 2B. 3C. 4D. 55.将一棵有40个结点的完全二叉树从上到下，从左到右依次对结点进行编号，根结点的编号为1，则编号为15的结点的左孩子的编号为______。
A.30B.31C.16D.326.在一棵树中，每个结点最多有______个直接前驱结点。
A. 0B. 1C. 2D. 任意多个7. 树中所有结点的度数之和等于结点总数加______。
A. 0B. 1C. -1D. 2四、应用题1.已知一棵度为k的树中有n1个度为1的结点，n2个度为2的结点，…，n k个度为k的结点，问该树有多少个叶子结点？2..将下图转换为二叉树，对转换后的二叉树进行先序、中序、后序遍历序列。
3.写出下图所示二叉树的先序、中序、后序序列4.已知一棵二叉树的先根和中根序列，画出其对应的二叉树并求其后根序列。
先根序列：A, B, C, D, E, F, G, H, I, J中根序列：C, B, A, E, F, D, I, H, J,G后根序列：5.已知一棵二叉树的中根和后根序列，画出其对应的二叉树并求其先根序列。
中根序列：c, b, d, e, a, g, i, h, j,f后根序列：c, e, d, b, i, j, h, g, f, a先根序列：6.在一份电文中共使用8种字符，即a, b, c, d, e, f, g, h，它们出现的频率依次为0.07, 0.19, 0.02,0.06, 0.32, 0.03, 0.21, 0.10，试画出对应的赫夫曼树，求出每个字符的赫夫曼编码。
7.写出下图所示森林的先序、中序序列。
将该森林转换为相应的二叉树。
8.设二叉树后根遍历为BAC ，画出所有可能的二叉树。
9.假设一棵二叉树的层序序列是ABCDEFGHIJ 和中序序列是DBGEHJACIF,请画出该树，并写出后序序列。
一、 判断题：1.在AOE 网络中一定只有一条关键路径。
（ ）2.图的深度优先搜索是一种典型的回溯搜索的例子，可以通过递归算法求解。
（ ）3.用邻接矩阵存储一个图时，在不考虑压缩存储的情况下，所占用的存储空间大小只与图中的顶点个数有关，而与图的边数无关。
（ ）4.对于AOE 网络，加速任一关键活动就能使整个工程提前完成。
（ ）5.如果有向图中各个顶点的度都大于2，则该图中必有回路。
（ ）6.邻接表只能用于有向图的存储，邻接矩阵对于有向图和无向图的存储都适用。
（ ）7.邻接矩阵适用于稠密图（边数接近于顶点数的平方），邻接表适用于稀疏图（边数远小于顶点数的平方）。
（ ）8.对于AOE 网络，任一关键活动延迟将导致整个工程延迟完成。
（ ）9.无向图的邻接矩阵是对称的，有向图的邻接矩阵是不对称的。
（ ）10.对于有向图，顶点的度分为入度和出度，入度是以该顶点为终点的入边数目；出度是以该顶点为起点的出边数目，该顶点的度等于其入度和出度之和。
（ ）11.若图G 的最小生成树不唯一，则G 的边数一定多于n-1，并且权值最小的边有多条（其中n 为G 的顶点数）。
（ ）12.具有n 个顶点的连通图的生成树具有n-1条边（ ）13．在n 个结点的无向图中,若边数>n-1,则该图必是连通图.( )14.若一个有向图的邻接矩阵中对角线以下元素均为零,则该图的拓扑有序序列必定存在( )二、填空题14.对于一个具有n个顶点的图，若采用邻接矩阵表示，则矩阵大小为______。
15.有一个n个顶点的有向完全图的弧数_________。
16.在无向图中，若从顶点A到顶点B存在_______，则称A与B之间是连通的。
17.在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数的_______倍。
二、选择题1.顶点个数为n的无向图最多有______条边。
A. n-1B. n(n-1)/2C. n(n+1)/2D. n(n-1)2.n个顶点的连通图至少有______条边。
A. n-1B. nC. n+1D. 03.在一个有向图中，所有顶点的度数之和等于所有弧数的___B___倍。
A. 3B. 2C. 1D. 1/24.有向图的一个顶点的度为该顶点的______。
A. 入度B. 出度C. 入度与出度之和D. (入度＋出度)/25.一个连通图的生成树是包含图中所有顶点的一个______子图。
A. 极小B. 连通C. 极小连通D. 无环6.图的深度优先遍历类似于树的_______。
A.先序遍历B.中序遍历C.后序遍历D.层次遍历7.下面关于图的存储的叙述中，哪一个是正确的。
________A．用邻接矩阵法存储图,占用的存储空间数只与图中结点个数有关,而与边数无关B．用邻接矩阵法存储图,占用的存储空间数只与图中边数有关,而与结点个数无关C．用邻接表法存储图，占用的存储空间数只与图中结点个数有关，而与边数无关D．用邻接表法存储图，占用的存储空间数只与图中边数有关，而与结点个数无关8．如果某图的邻接矩阵是对角线元素均为零的上三角矩阵，则此图是_______A.有向完全图B.连通图C.强连通图D.有向无环图a)由权值分别为3, 8, 6, 2, 5的叶子结点生成一颗赫夫曼树，它的带权路径长度为______。
A. 24B. 48C. 72D. 5310.具有e条边的有向图，它的逆邻接表中有______个弧结点。
A. e-1B. eC. 2(e-1)D. 2e11.具有e条边的无向图，它的邻接表中有______个边结点。
A. e-1B. eC. 2(e-1)D. 2e四、应用题2.对于下面两个图，求出：（1）无向图中每个顶点的度，有向图中每个顶点的入度，出度和度。
（2）是否是连通图/强连通图，如果不是，画出连通分量/强连通分量。
（3）无向图邻接矩阵，邻接表；有向图邻接矩阵，邻接表，逆邻接表。
2.3.对于下图请画出其用普里姆（prim）和克鲁斯卡尔（kruskal）两种不同算法生成最小生成树的各条边的并入顺序。
画出最小生成树。
4.已知图G={V , E}V={ a, b, c, d, e }E={(a, b),(b, d),(c, d),(d, e),(e, a),(a, c)}画出图G，画出图G的邻接表。
5.下图是用邻接表存储的有向图，画出此图，写出每个顶点的度，并写出从C点开始按深度优先、广度优先遍历该图的结果。
（5分）。