数的开方1
1数的开方(一)平方根
数的开方（一）平方根【知识要点】1．平方根的概念如果一个数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个数x 叫做a 的平方根，也叫二次方根。
即若()20x a a =≥，则x 就称为a 的平方根。
2．平方根的性质①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②零有一个平方根，它是零本身；③负数没有平方根。
3．平方根的表示方法：一个正数a a 叫做被开方数，2叫做根指数；正数a 的负平方根用符号“2时，通常略去不写，所以这两个平方根记作4．算术平方根：正数a 的正的平方根，也叫做a 0a >），0的平方根叫做0的算术平方根。
因此，0的算术平方根为00=。
5．平方根的求法：①利用定义；②利用计算器；③利用估算法。
6．开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。
7．开平方的小数点移动规律：如果被开方数的小数点，向右或向左每移动两位，它的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。
【典型例题】例1 ∵()20.30.09= ∴（ ）A ．0.090.3是的平方根；B ．0.090.3是的3倍；C ．0.30.09是的一个平方根；D ．0.09的平方根是0.3。
例2 求下列各数的平方根：196169，()25-，24125，0.0256。
例3 （1）81的平方根是 ，算术平方根是 ；（2）2)4(-的平方根是 ，算术平方根是 ；（3）（-2．345）2的平方根是 ，算术平方根是 。
例4 （1）122++x x 的平方根为（ ）A ．没有平方根B ．(1)x ±+C ．0D ．1（2）1412-+-x x 的平方根为（ ） A ．)2(21-±x B ．没有平方根 C ．0或没有平方根 D ．0 （3）一个自然数的一个平方根是m -，那么紧跟它后面的一个自然数的平方根是（ ）A ．1+mB ．12+mC ．1+±m D ．12+±m① 求236和00236.0的值；② 若x =0．4858，求x 的值；③ 若1536106=⨯a ，求a 的值。
沪教版数学七年级下册12.2《数的开方》教学设计1
沪教版数学七年级下册12.2《数的开方》教学设计1一. 教材分析《数的开方》是沪教版数学七年级下册12.2章节的内容，本节内容是在学生已经掌握了有理数的乘方、平方根等知识的基础上进行学习的。
数的开方是数学中的一个基本运算，它不仅可以解决一些实际问题，而且是学习更高深数学知识的基础。
本节课的教学内容主要包括平方根的定义、求一个数的平方根的方法以及平方根的性质等。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘方、平方根等知识，具备了一定的数学基础。
但是，对于平方根的性质和求法，学生可能还不够熟悉。
此外，学生可能对数的开方在实际生活中的应用还不够了解。
三. 教学目标1.知识与技能：理解平方根的定义，掌握求一个数的平方根的方法，理解平方根的性质。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：平方根的定义，求一个数的平方根的方法，平方根的性质。
2.难点：平方根的性质的理解和应用。
五. 教学方法1.自主学习：引导学生自主探究平方根的定义和求法，培养学生的自主学习能力。
2.合作交流：学生进行小组讨论，分享学习心得，提高学生的合作交流能力。
3.实例讲解：通过具体例子，讲解平方根的性质和应用，帮助学生理解和掌握知识。
六. 教学准备1.教学PPT：制作包含平方根的定义、求法、性质等内容的教学PPT。
2.练习题：准备一些有关平方根的练习题，用于巩固所学知识。
3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾平方根的定义和求法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示平方根的性质，引导学生初步理解平方根的性质。
3.操练（10分钟）教师提出一些有关平方根性质的题目，让学生在课堂上进行练习，巩固所学知识。
八年级数的开方
八年级数的开方1.平方根1）定义：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根（或二次方根），就是说，如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根。
这里，a 是x 的平方数，它是一个非负数，即0≥a。
2）平方根的表示方法： 一个正数a 有两个平方根，这两个平方根互为相反数。
我们用符号a 表示平方根中正的那一个，并称这个正的平方根为算数平方根，那个负的平方根就可以表示为a -。
3）平方根的性质①一个正数有两个平方根，他们互为相反数；②0有一个平方根，它是0本身；③负数没有平方根。
2.算术平方根1）数a 的算术平方根的概念 如果一个正数x 的平方等于a,即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。
规定：0的算术平方根是0.2）算术平方根的表示方法A 的算术平方根记作a ，读作“根号a ”,并称a 为被开放数。
说明：只有非负数才有算术平方根，而且只有一个算术平方根。
3.算术平方根与平方根的区别与联系区别：1）定义不同：“如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根”；“非负数a 的非负数平方根叫做a 的算术平方根”。
2）个数不同：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个。
3）表示方法不同：正数a 的平方根表示为a ±，正数a 的算术平方根表示为a 。
4）取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数；正数的平方根一正一负，两数互为相反数。
联系：1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种，是正的平方根。
2）存在条件相同：只有非负数才有平方根，也只有非负数才有算术平方根。
3）0的平方根、算术平方根均为0.4.开平方定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，平方根是开平方运算的结果，平方与开平方互为逆运算。
5.性质1）a （0≥a ）表示非负数，即0≥a ；2）a -（0≥a ）表示a 的算术平方根的相反数； 3）a ±（0≥a ）表示a 的两个平方根，他们互为相反数； 6.①a a =2；②)0()(2≥=a a a1.立方根的概念一般地，如果一个数x 的立方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根（也叫三次方根）。
八年级上册数学 第十一章数的开方 1数的开方 数的开方2 7.实数第2课时
而 3.141592654
3 2>
练习:比较大小:（见P11/练习3）
(1)2 3和3 2
(2) 7 和 23例4、比较大小。 平方法 已知非负数a、b
(1) 4与 15 (2) 2 7与6 若a２＞b２，则a＞b
解: (1)42 16,
例1、 计算：
(1)2 2 3 2
(2)( 3 2) 2
(3) 2 3 2 2
例1.求下列各式的值。
（1）（ 3 2） 2
(3) 2 3 2 2
（2） 3 3 2 3
解：（1）原式 3 （ 2 2） (2)原式 3 3 2 3
30
(3 2) 3
3
5 3
例3.试估计 3 2与 π的大小关系.
小数部分=原数－整数部分= 31 5
练习：求 7 7的整数部分与小数部分 。
小结
1、在实数范围内，相反数、倒数、绝对值 意义和
有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
2、当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不但 可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数及0可 以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。 在进行实数运算时，有理数的运算法则及运算性质等同 样适用。
3、涉及到无理数的近似计算，可以取近似值，转 化为有理数进行计算。
作业 课本P15 / 2; P16/ 4。
复习巩固
1、无限不循环小数叫做无理数。
2、无理数的特征:
（１）圆周率 及一些含有 的数
（２）开不尽方的数
（３）有一定的规律， 但不循环的无限小数
注意:带根号 的数不一定是 无理数
3、有理数和无理数统称实数.
数的开方
一、 数的开方1、平方根 ：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作x=±a ，其中a 叫被开方数.（1）任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数.如正数a 的平方根是±，其中＋与－恰是一对相反数；（2）零的平方根是零，即=0；（3）负数没有平方根.平方根的性质（4）正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根.平方根与算术平方根的区别及联系 区别：（1）定义不同：“如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根”；“非负数a 的非负平方根叫做a 的算术平方根”.（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.（3）表示方法不同：正数a 的平方根表示为±，正数a 的算术平方根表示为.（4）取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数；正数的平方根则一正一负，两数互为相反数. 联系：（1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种．（2）存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有．（3）0的平方根、算术平方根均为0.平方根的符号有三种形式：±，，－，它们的意义分别是：非负数a 的平方根，非负数a 的算术平方根，非负数a 的负平方根.要特别注意. 公式（a ≥0）表明：一个非负数的算术平方根的平方还是等于这个数.这个式子反过来也可以写成：a=（a ≥0）.它表明：一个非负数可以写成它的算术平方根的平方.的非负性，即当a ≥0时，≥0，非负数的算术平方根一定是非负数； 例17 16的算术平方根是_________；64271-=__________；立方等于-64的数是 ． 例18 若a -是有理数，则a 一定是 ．2 立方根立方根的概念：如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根．(也称数a 的三次方根)用数学式表示为：若x3=a ，则x 叫做a 的立方根，或称x 叫做a 的三次方根．立方根的表示方法： 类似于平方根德表示方法，数a 的立方根我们用符号 来表示.读作“三次根号下a”，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数，注意，平方根的表示方法说过当根指数为2时可以省略不写，现在是立方根了，这个根指数3是绝对不可省的，否则就会与平方根混淆了，例如表示125的立方根，而则表示125的算术平方根. 立方根的性质： 任何一个正数的立方根是一个正数，即a>0时，>0； 任何一个负数的立方根是一个负数，即a<0时，<0；零的立方根仍是零，即a=0时，=0. 立方根的被开方数中的负号可以直接从根号内移至根号外，即.因此，求负数的立方根，可以转化为求其相反数的立方根. 例19 的立方根是 ．若 ，则 的值是（ ）．例20 （1）计算： + ．（2）解方程：3、开平方和开立方 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方，开平方与平方互为逆运算 .求一个数的立方根的运算叫做开立方.开立方与立方互为逆运算.例21（1）（5-26）2 （2）(512)2-(13)2 （3）226.36- （4）3000343.0- （4）原式=-3307.0=-0.07 例22如果745.302.14=则=140200 ；如果=325.5 1.738则300525.0= 被开方数的小数点移动两位时，平方根的小数点向相同方向移动一位；被开方数的小数点移动三位时，立方根的小数点向相同方向移动一位.例23 解方程(1)x3=0.125；(2)3(x-4)3-1536=0．练习题：一、填空题：1、的立方根是_________；125的立方根是_________；2)5(-的算术平方根是；81的平方根是；的立方根为________；的平方根为________；的立方根为________ .．2、若某数的立方等于－0.027，则这个数的倒数是____________．3、已知，则．4、若，，则．5、平方根是它本身的数是__ _；立方根是其本身的数是__ __；算术平方根是其本身的数是________ ；一个自然数的算术平方根是a，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是____________；立方根是____________．6、若a=3，b=30，则7.2等于．（用含有ａ，ｂ的式子表示）二、选择题7、下列判断中，错误的是( )A、两个实数之间有无数个实数B、两个有理数之间有无数个有理数C、两个无理数之间有无数个无理数D、两个整数之间有无数个整数8、若，则化简的结果是（）A、0B、-2aC、2aD、±2a9、8．设，则（）A、xy=1B、x=yC、x>yD、x<y10、下列说法：①绝对值最小的实数是零；②带根号的数是无理数；③无理数是开方开不仅的数；④无论x 为任何实数， 都有意义。
第一讲 数的开方
第一讲 数的开方一、【基础知识精讲】（一）平方根A 、概念：1.平方根: 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。
即如果x 2＝a （a ≥0），那么x 叫做a 的平方根. 2.表示方法：a 的平方根记为±a （a ≥0）；3.算术平方根：①正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作a ； ②0的算术平方根是0.4.开平方：①求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫被开方数；②开平方是一种运算方法，与加、减、乘、除、乘方一样，都是一种运算； ③平方与开平方互为逆运算. 例1、（1）求下列各数的平方根和算术平方根： 1）169； 2）22514； 3）10－2； 4）|－297|； 5）172－82．例2、判断下列说法是否正确① ±6的平方根是36；( ) ② 1的平方根是1；( ) ③ －9的平方根是±3；( )④ 19361±=； ( )⑤ 9是2)9(-的算术平方根；( ) ⑥ |－16|的平方根是±4；( ) ⑦ －5是25的平方根；( )⑧ －π是2π-的平方根．( )变式：（1）1214的平方根是 ； （2）(－41)2的算术平方根是 ；（3）9-2的平方根是 ； （4）(－4)3的相反数的倒数的平方根是 ； （5）4等于 ，4的平方根为 ；（6）9的平方根是 ，81的算术平方根是 .B 、性质：1.平方根的性质：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ②0有一个平方根，它就是0本身； ③负数没有平方根.2.算术平方根的性质：非负数的算术平方根是非负数，即当a ≥0时，a ≥0.（双重非负性）3. ① (a )2＝a ，(a ≥0)；② 2.........(0)0.........(0)......(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩例3：下列说法：（1）任何数都有算术平方根；（2）一个数的算术平方根一定是正数；（3）2a 的算术平方根是a ；（4）2(4)π-的算术平方根是4π-；（5）算术平方根不可能是负数， 正确的个数有 个. 变式：（1）若17是m 的一个平方根，则m 的另一个平方根是 ；（2） 的算术平方根等于它的平方根. （3）下列各数：－2，（－3）2，｜－0.5｜，32，0，－（－141），其中有平方根的有 个. 例4、（1）若x x -+有意义，则1+x 的值是 ； （2）已知x 、y 都是实数，且334y x x =-+-+，则x y 的平方根是 .（二）立方根A 、概念：1.立方根的概念：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根。
第章数的开方知识点总结
第章数的开方知识点总结数的开方是数学中的一个重要概念，它表示一个数的平方根。
在解决各种数学问题以及实际生活中的应用中，数的开方常常用到。
本文将对数的开方的基本概念、性质、计算方法以及其应用进行总结。
一、数的开方的基本概念数的开方是指求一个数的平方根。
对于非负实数a，如果有一个非负实数x，使得x的平方等于a，那么x就是a的平方根，记作√a。
二、数的开方的性质1.非负数的开方是唯一的。
即对于任意非负实数a，只有一个非负实数x，使得x的平方等于a。
2.平方根是非负实数。
即对于任意非负实数a，它的平方根也一定是非负实数。
三、数的开方的计算方法1.分解因数法：将被开方数分解成若干个互质的因数的乘积，然后对每个因数分别开方。
2.二分逼近法：从区间的两个端点开始，取区间中点作为试探值，然后逐步逼近所要求的平方根。
3.等差平方根法：根据等差数列的性质，可通过等差数列的特点，或相邻两项之间的差值关系，直接计算出平方根的近似值。
四、数的开方的应用1.几何学中的应用：如计算正方形的对角线长度、长方形的对角线长度等。
2.物理学中的应用：如计算速度、加速度等。
3.统计学中的应用：如计算标准差等。
4.工程学中的应用：如计算电路的电阻、计算建筑物的面积等。
五、注意事项1.负数的开方是复数，不是实数。
正数的开方是唯一的，但负数的开方有两个解，一正一负。
2.有时候需要对数的开方进行近似计算，可以使用牛顿迭代法等方法。
六、数的开方的扩展1.平方根的概念可以扩展到其他次方根的概念，如立方根、四次方根等。
2.对于复数，也可以进行开方运算，得到复数的开方。
总之，数的开方是数学中一个重要的概念，它有着广泛的应用。
通过对数的开方的基本概念、性质、计算方法以及应用的总结，我们可以更好地理解数的开方，并能够灵活运用数的开方解决各种数学问题以及实际生活中的应用。
人教版初中数学八年级下册《数的开方与二次根式》
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考向探究
第4课时┃数的开方与二次根式
考点聚焦 考点1 平方根、算术平方根与立方根 平方
平方
立方
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第4课时┃ 数的开方与二次根式
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考点1 平方根、算术平方根与立方根
名称
性质
算术平方根
只有_非___负__数__才有算术平方根，而 且算术平方根都是_非__负___数__.
二次根式 1. a • b＝ ab(a___≥__0___，b__≥__0____)；
的乘除
2.
b＝ a
ba(a___＞__0___，b___≥__0___).
二次根式 如：要估算 7在哪两个相邻的整数之间，先对 7进 的估算 行平方，因为 4＜7＜9，所以 2＜ 7＜3.
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第4课时┃数的开方与二次根式
乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的，如：1＋1
＝ 2
（
12×＋（1）（2－12）－1）＝
2－1，
1 3＋
2＝（
1×（ 3－ 3＋ 2）（
3－
2）＝
3
－ 2.
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第4课时┃数的开方与二次根式
考 向 探 究4
二次根式的大小比较
命题角度
1.比较二次根式与有理数的大小、比较两个二次根式的大小；
A B CD
2.二次根式
（1）二次根式、最简二次根式的概念
√
（2）用有理数估计二次根式值的大致范围
√
（3）用二次根式（根号下仅限于数）的加、减、乘、除运
算法则进行简单四则运算
八年级数学数的开方
2、算术平方根
非负数a的正的平方根。 （1）算术平方根的意义：
一个非负数a的平方根用符号表示为：“ a 读作：“根号a”，其中a叫做被开方数 （2）算术平方根的性质 ①正数a的算术平方根是一个正数； ②0的算术平方根是0； ③负数没有算术平方根 ”，
（3）重要性质： a a
2
a
2
a (a 0)
例4、如果
M ab a b 3 是a+b+3的算术平方根，
是a+2b的立方根， 求M－N的立方根。
N a2b3 a 2b
例5、已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简
a 2 a b c a (b c) 2
练一练
1、求下列各数的平方根和算术平方根：
25 （1） 4
1 1 a b 2b c (c ) 2 0 2 2
，
5、a、b在数轴上的位置如图所示，化简：
(a 1) 2 (b 1) 2 (a b) 2
6、已知：实数、满足条件
a 1 (ab 2) 0
2
1 1 1 1 试求ab (a 1)(b 1) (a 2)(b 2) (a 2004)(b 2004的值． )
（2）
4
2
（3）．
2 8
2、计算：
（1） 256 16 （3） 25 （5）
3
（2）
1.44
（4）
0.01
4
2 3
2
（6） 10
1 3 16
（7） 0.125 （8） 3
64 125
+
3
7 (1 ) 2 8
初二数学知识点总结
初二数学知识点总结第十二章 数的开方一、平方根1、如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。
a 的算术平方根记为 ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数。
2、如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。
3、求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
二、立方根1、如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。
2、求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
三、实数1、无限不循环小数又叫做无理数。
2、有理数和无理数统称实数。
3、一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
第十三章 整式的乘除一、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即n m n m a a a +=∙（n m ,都是正整数）二、幂的乘方法则：1、幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）2、幂的乘方法则可以逆用：即mn n m mn a a a )()(== 三、积的乘方法则：积的乘方，等于各因数乘方的积。
即nn b a ab =)(（n 是正整数） 四、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
即n m n m a a a-=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m 五、零指数和负指数；1、10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。
2、p p a a 1=-（p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p次方的倒数。
六、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
注意：①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。
②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
第11章数的开方小结1
⑷用计算器求立方根
㈡实数与数轴 1.无理数与实数
⑴无理数:无限不循环的小数叫做无理数. ⑵实数: 有理数与无理数统称为实数。 整数 有理数 正整数 零 负整数
(可化为有限小数 或无限循环小数)
实数
无理数
分数 正无理数
(无限不循环小数)
负无理数
注意:无理数的三种表现形式:
做a的平方根。或:如果x2=a，那么x叫做a的平方根. ⑵平方根的性质
一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的 平方根是0；负数没有平方根。 ⑶平方根的记法 正数a的正的平方根(算术平方根)记作: a 正数a的负的平方根记作: a
正数a的平方根记作: a
⑷开平方
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方. ⑸算术平方根 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。
注意：
算术平方根与绝对值、偶次幂都是非负数。 ⑹用计算器求正数的算术平方根 2.立方根
⑴定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫
做a的立方根。
⑵立方根的性质
正数的立方根是一个正数; 0的立方根是0本身; 负数的立方根是一个负数.
注意： 只有非负数才有平方根,但任何数都有立
方根；正数有两个平方根,，但任何数都只有一个立 方根.
①开方开不尽的根号式 ②π与含π的某些式子
8 3 25 、
2、 1
③特殊数--------0.1010010001…(每两个1之间 依次多一个0)
⑶实数的运算 2.实数与数轴上的点的关系 ⑴在数轴上画表示 2 的点 ⑵实数与数轴上的点的关系 实数与数轴上的点成一一对应关系.
2013.9.10
制作：遂宁一中HDL
一、本章知识结构
算术平方根的 意义与性质 无理数的意义
第11章数的开方1
第11章数的开方1.平方根平方根的概念；如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.例如:(±5)²=25.所以5和-5都是25的平方根。
试一试：(1)144的平方根是。
(2)0的平方根是。
(3)425的平方根是。
(4)0.81的平方根是。
(5)－4有没有平方根?为什么?1、一个正数如果有平方根，那么有几个，它们之间关系如何?。
2、0的平方根有几个?是什么数? 。
3、负数有平方根吗?为什么? 。
2、算术平方根概念：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作 a ，读作“根号a”；另一个平方根是它的相反数，即－ a 。
因此正数a平方根可以记作± a ，a称为被开方数、例如 3 表示3的算术平方根，± 3 表示3的平方根。
a是非负数； a 是非负数、也就是说，当式子 a 有意义时，它一定表示一个非负数，即a≥0时它有意义。
例：－3 有意义吗?练习：1-x有意义，则x 。
22+x无意义，则x= 。
例、将下列各数开平方；(1)49 (2)1.69当堂练习：1, 25的平方根是…………………………………………………………………………（ ）A ．±5B ．-5C ．5D ．± 5 2,a=15，则实数a 在数轴上对应的点的大致位置是…………………………………（ ）A ．B ．C ．D ． 3, 9的算术平方根是___________； 4．比较大小：32_______32 （用“＜”或“＞”填空）；5．平方根等于本身的数是_______________；6 写出所有比11小且比3大的整数_____________________；7．81的算术平方根是___________；8,若 x ＜2 ，则 (x-2)2 =_____________；9.(3.14-π)2 =______________________；10．若一个正数的平方根是a+2和2a-11，求a 及这个正数。
数的开方运算
数的开方运算数的开方运算是数学中常见的一种运算方法，目的是求一个数的平方根。
它广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学等等。
在本文中，我们将探讨数的开方运算的基本概念、方法以及其应用。
一、基本概念数的开方运算是将一个非负实数作为被开方数，找到另一个非负实数作为开方根，使得开方根的平方等于被开方数。
我们用符号√表示开方运算，例如√9表示对9进行开方运算，结果为3。
被开方数以及开方根都可以是整数、小数或者分数。
二、开方运算的方法1. 直接开方法直接开方法是最简单的一种方法，可以直接对一个数进行开方运算。
例如，对于√16，我们可以直接计算得到结果为4。
这种方法适用于开方数较小或者具有规律的情况。
2. 近似法对于无理数或者小数，我们通常使用近似法来计算开方运算。
近似法的思路是逐步逼近开方根的值，使得其平方接近于被开方数。
这种方法可以使用牛顿迭代法或者二分法等数值计算方法。
3. 质因数分解法对于一个正整数，可以使用质因数分解法来计算其开方值。
质因数分解法的步骤是将被开方数分解为质数的乘积，然后将每个质因数的指数除以2，再将结果相乘，即可得到开方根的值。
三、开方运算的应用1. 几何学中的应用开方运算在几何学中具有重要的应用。
例如，计算一个正方形的对角线长度，可以使用开方运算来求解。
同样地，计算一个长方体的对角线长度、三角形的斜边长度等等，都可以使用开方运算。
2. 物理学中的应用在物理学中，开方运算被广泛应用于各种物理问题的求解过程中。
例如，在计算物体的速度、加速度、力等物理量时，常常需要进行开方运算来求解。
3. 工程学中的应用在工程学领域，开方运算也有一些重要的应用。
例如，在计算电路中的电压、电流、功率等物理量时，常常需要进行开方运算。
总结：数的开方运算是数学中的一个重要概念，其基本概念和方法可以帮助我们求解各种问题。
通过本文的介绍，我们了解到开方运算的基本概念、方法以及在几何学、物理学和工程学中的应用。
掌握数的开方运算的基本知识，对于我们理解和应用数学具有重要意义。
八年级上册数学 第十一章数的开方 1数的开方 2.算术平方根
64
8
即
49 = 7 .
64 8
（3）∵（ 0.01）2 =0.0001，
∴ 0.0001的算术平方根为0.01.
即 0.0001 =0.01
练习:1、求下列各数的算术平方根.
（1）0.0025
（2）6 1 4
（3）1.12
(4（) 2.6）2
（5） 81
(6) 132 122
练习:1、求下列各数的算术平方根.
(4)( 3)2
例4.x为何值时，下列各式有意义？
（1） x
（2） x 1
(3) x2 1
（4） 1 x2
(5) 1 x x (6) x 2 4 2x
练习：
1.式子 5 a b的最大值为 - 5 ， 此时
a与b的关系为互___为__相__反__数__或__a__+_b_=_0__。 2、 已知a、b满足：a 5 2 10 2a b 4，
8
学校要举行美术作品比赛，小
鸥很高兴，她想裁出一块面积为 25dm2 的正方形画布，画上自己的 得意之作参加比赛，这块正方形画 布的边长应取多少？
正的那个平方根
5——25的_算_术__平__方_根__
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，
规定：0的算术平方根是0。
a的算术平方根记作 a， 读作“根号a”。
对于任意数a，a2 ？ 练习：
(1) （m 1）2 3，求m的值。 4或-2 (２)若 （a 2）2 2 a，求a的取值范围。a≤2 (3)若（x 3）2 x 3 0，求x的取值范围。
x≤3 2、 求( 4)2，( 9)2，( 25)2，( 49)2，( 0)2
的值，对于任意非负数a，( a )2 ？
《数的开方》1
初中数学说课稿大全《数的开方》说课稿各位领导、各位老师：下面我就围绕华东师大版数学第十二章，《数的开方》这部分内容谈谈我的备课思路，请大家评议指正。
一、指导思想按照课程标准的要求，数学教学要面向全体学生，使人人都获得现代公民必需的基本的数学知识与技能，同时又使不同的人得到不同的发展；教学中要体现学生主动学习的过程，以学生发展为本，让学生亲身参与活动，进行探索与发现，以自己的体验获取知识与技能。
另一方面，教材的编写者也为我们提供了一套良好的素材。
教材注意从学生熟悉的情境入手引入数学知识，注意引导和启发学生的思考、实践和探索。
认真把握好教材的体系和意图，有利于我们教师进一步发挥创造性，使生动的教材变成生动的课堂，使学生真正学到有意义、有价值的数学知识，得到提出问题、分析问题、解决问题的初步锻炼。
这些都为我们具体的课堂教学提供了有力的依据。
二、教材分析1．教材的地位作用分析：《数的开方》这一章的主要内容有两节：平方根与立方根；实数与数轴。
一方面，平方根、立方根概念的产生，既是生产实际的需要，也是由于数字本身运算的需要。
通过平方根与立方根的学习，引进了一种新的运算——开方，它与乘方互为逆运算，从而完备了初等代数中六种基本的代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）。
这对代数内容的学习的着重要的意义。
另一方面，通过数的开方运算，引进无理数的概念，从而将数的概念从有理数扩张到了实数。
实数是进一步学习数学的基础，实数与数轴上的点是一一对应的。
学习实数的重要意义在于：在实数范围内可以更好地建立数与形的联系，并利用这种联系解决有关问题。
2．教学目标：本章的教学目标是：（1）让学生经历又一次数系扩张的过程，进一步体验数学的发展源于实际，又作用于实际的辩证关系。
（2）理解平方根、算术平方根、立方根的概念；认识平方与开平方、立方与开立方间的关系，会用平方、立方的概念求某些数的平方根与立方根，并会用根号表示；会用计算器求一个非负数的算术平方根及任意一个数的立方根。
4.数的开方
数的开方一．知识简要归纳【平方根】如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根。
对于这个定义，我们应当认清下述问题：① 因为任何有理数的平方，等于正数或零，所以只有非负数（正数和零）才有平方根，而负数没有平方根。
② 由于不等于零的两个相反数，它们的平方是同一个正数，所以一个正数一定有两个平方根，这两个平方根互为相反数。
零则只有一个平方根，零的平方根是零。
③ 如果 则 a 的平方根 x 记作又 所以非负数 a 的平方根也可以记作:【开平方】求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数。
与加、减、乘、除、乘法一样，开方也是一种运算，它与平方互为逆运算。
【算术平方根】一个正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作: 并规定零的算术平方根是零，所以非负数a 的算术平方根记作:对 () 应注意下述问题： ① 表示非负数，即: ② 表示非负数，即:【立方根】如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根。
应从下述几方面认清这个概念：① 如果 则 x 叫做a 的立方根，记作: ② 正数有一个立方根，仍为正数，如8的立方根为； ③ 0的立方根是0，即： ④ 负数有一个立方根，仍为负数，如﹣27的立方根为： ⑤ 对任何有理数a ，都有【开立方】求一个数a 的立方根的运算，叫做开立方。
它与立方互为逆运算。
【无理数】无限不循环小数。
说明 : 可以从下述几方面理解这个概念：① 无理数有两个本质属性，一是“无限”，二是“不循环”， 只有满足这两个条件的小数才是无理数。
② 虽然从开方运算可以得到无理数，但并不是所有的无理数都是从开方开不尽得到的，例如圆周率π是无理数，它并不是从开方开不尽产生的，因此不能误 认为“无理数是开方开不尽的数”。
③ 判断一个数是否是无理数，要根据定义看其本质属性，不能说”带根号的数是无理数“，事实上 是有理数， 而不是无理数。
④ 要把无理数和它的有理数近似值严格区别开来。
数的开方
数的开方1．平方根的定义：若x 2=a,那么x 叫a 的平方根，（即a 的平方根是x ）；注意：（1）a 叫x 的平方数，（2）已知x 求a 叫乘方，已知a 求x 叫开方，乘方与开方互为逆运算. 2．平方根的性质：（1）正数的平方根是一对相反数； （2）0的平方根还是0； （3）负数没有平方根.3．平方根的表示方法：a 的平方根表示为a 和a -.注意：a 可以看作是一个数，也可以认为是一个数开二次方的运算.4．算术平方根：正数a 的正的平方根叫a 的算术平方根，表示为a .注意：0的算术平方根还是0. 5．三个重要非负数： a 2≥0 ,|a|≥0 ，a ≥0 .注意：非负数之和为0，说明它们都是0. 6．两个重要公式： （1）()a a 2=; (a ≥0)（2） ⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (aa a 2.7．立方根的定义：若x 3=a,那么x 叫a 的立方根，（即a 的立方根是x ）.注意：（1）a 叫x 的立方数；（2）a 的立方根表示为3a ；即把a 开三次方. 8．立方根的性质：（1）正数的立方根是一个正数； （2）0的立方根还是0； （3）负数的立方根是一个负数. 9．立方根的特性：33a a -=-.10．无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：π和开方开不尽的数是无理数. 11．实数：有理数和无理数统称实数.12．实数的分类：（1）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数与无限循环小负有理数正有理数有理数实数0（2）⎪⎩⎪⎨⎧负实数正实数实数0 .13．数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应.14．无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示；如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.注意：（1）近似计算时，中间过程要多保留一位；（2）要求记忆：414.12= 732.13= 236.25=.三角形几何A 级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）DBA几何B 级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一 基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义。
开方的简单运算
开方的简单运算开方是数学中常见的运算之一，用于求一个数的平方根。
在本文中，我们将介绍开方的简单运算方法。
1. 正数的开方对于一个正数x，我们可以使用以下步骤来进行开方运算：（1）选择一个初始猜测值y，通常选择y=x/2作为初始值。
（2）通过不断迭代计算来逼近平方根的精确值：y = （y+x/y）/2（3）当精度达到要求时，停止迭代计算。
一般情况下，我们可以设置一个误差范围，当y的变化小于该误差时，即可停止计算。
2. 负数的开方对于一个负数x，我们可以将其转化为复数来进行开方运算：（1）首先将其绝对值开方，然后加上一个虚数单位i，即得到了平方根的值。
（2）例如，对于-4的开方，首先计算4的开方，得到2，然后加上虚数单位i，即得到结果2i。
3. 零的开方零的开方结果是零，即√0=0。
4. 小数的开方对于小数的开方，我们可以通过近似计算来得到结果。
通常使用计算器或计算软件进行计算，以获得更加准确的结果。
5. 根号的性质开方运算具有以下基本性质：（1）对于任意正数x，都有√x^2=x。
（2）对于任意正数x和y，有√(xy)=√x * √y，即开方运算满足乘法分配律。
（3）对于任意正数x和y，有√(x/y)=√x / √y，即开方运算满足除法分配律。
总结：开方是一种常见的数学运算，用于求一个数的平方根。
对于正数、负数、零和小数，都有相应的开方规则。
通过迭代计算或近似计算，我们可以获得开方的结果。
开方运算还具有一些基本性质，如乘法分配律和除法分配律。
在实际应用中，开方运算被广泛用于科学、工程、经济等领域。
通过掌握开方的简单运算方法，我们可以更好地理解和应用数学知识。
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数的开方单元测试
一、填空题(每题3分，共30分)
1.的平方根为_________.
2.3-的相反数是________；倒数是________.
3.已知数据，2，，2，，…，则根据规律，第n个数应为______.
4.当时，的取值范围应是___________.
5.若最简二次根式2与是同类二次根式，则=_____，=____.
6.已知=0，则-=_______.
7.若y=，则=_______.
8.已知二次根式：，，，，，.其中的最简二次根式是
__________________.
9.已知0＜＜1，化简=___________.
10.已知=3，那么的值是__________.
二、选择题(每题3分，共30分)
11.在-1.732，，π， 3.，2+，3.212212221…，3.14这些数中，无
理数的个数为( ).
A.5
B.2
C.3
D.4
12.已知下列结论：①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数
都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理
数有无限个，无理数有有限个.其中正确的结论是( ).
A.①②
B.②③
C.③④
D.②③④
13.下列各式中，正确的是( ).
A. B.
C. D.
14.若-3，则的取值范围是( ).
A. ＞3
B. ≥3
C. ＜3
D. ≤3
15.下列各式与是同类二次根式的是( ).
A. B. C. D.
16.若a=+2，b=-2，则a与b的关系是( ).
A.a=b
B.a=-b
C.a=
D.a=-
17.实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简 的结果为(
).
A.-b
B.2a-b
C.b-2a
D.b
18.能使有意义的的范围是( ).
A. ＞-2
B. ≤3
C.-2≤＜3
D.-2≤≤3
19.当a＞0时，的化简结果是( ).
A.b
B.b
C.-b
D.-b
20.小明同学做了三道题如下：①+=；②3+=3；③=3+5=8.那么他做错
的题的个数是( ).
A.3
B.2
C.1
D.0
三、解答题(共40分)
21.(4分)已知(x+y+1)(x+y-1)=15，求x+y的值.
22.(5分)y=，求3+2的算术平方根.
23.(16分)计算：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
24.(4分)解方程：.
25.(5分)已知x=-1，y=+1，求的值.
26.(6分)若a、b、c是△ABC的三边，化简：
.。