北京市通州区2017届高三上学期期末摸底考试(数学理)(含答案)word版

北京市通州区2017届高三上学期期末摸底考试数学（理科）试卷本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷第1至2页，第II 卷2至4页，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷 （选择题 共40分）一、本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．把正确答案选项的标号填涂在答题卡上．1．已知集合{} |10A x x =-<，{} |1,2B x x x =<->或，那么A B 等于 A ．{}1x x <-B ．{}1x x <C ．{}|1,2x x x <->或D ．{} |1,2x x x <>或 2．复数11ii-+等于 A ．1-B ．i -C ．1D ．i3．已知向量()1,2=-a ，(),4m =b ，且//a b ，那么2-a b 等于 A ．()4,0 B ．()0,4 C ．()4,8-D ．()4,8-4．已知右图中的三个直角三角形是一个几何体的三视图，那么这个几何体的体积等于A ．30B ．20C ．15D ．105．已知,a b ∈R ，那么“1122log log a b >”是 “33a b<”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．如右图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B1.414=⋅⋅⋅1.732=⋅⋅⋅，精确到0.1） A ．70.7m B ．78.7m C ．86.6mD ．90.6m7．过圆()()22125x y -++=上一点()3,1M -的切线方程是 A ．270x y --=B ．250x y +-=C ．210x y +-=D ．250x y --=8．当()3,4x ∈时，不等式()()2log 230a x x -+-<恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．(]1,2D ．[)2,+∞第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡相应的位置上.9．在二项式61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是___________.10．已知x ，y 满足不等式组 3,1,30,x y x y x +⎧⎪--⎨⎪-⎩≥≥≤ 那么2z x y =+的最小值是___________.11．如图，已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，4PA =，圆O的半径是那么__________.PB =12．已知数列{n a } 是公差为正数的等差数列，且121a a +=，2310a a ⋅=，那么数列{n a }的前5项的和5__________.S = 13．下面四个命题：①已知函数()0,,0,x f x x =<≥ 且()()44f a f +=，那么4a =-；②一组数据18，21，19，a ，22的平均数是20，那么这组数据的方差是2；③已知奇函数()f x 在(0,)+∞为增函数，且(1)0f -=，则不等式()0f x <的解集{}1x x <-；④在极坐标系中，圆4cos ρθ=-的圆心的直角坐标是()2,0-. 其中正确的是___________________.14．直线l 与椭圆()222210x y a b a b+=>>交于不同的两点M ，N ，过点M ，N 作x 轴的垂线，垂足恰好是椭圆的两个焦点，已知椭圆的离心率是2，直线l 的斜率存在且不为0，那么直线l 的斜率是___________.三、解答题：本大题共6个小题，共80分.解答题写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15．（本小题共13分）已知函数()()2sin 22cos 1f x x x =π-+-.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 16．（本小题共13分）如图，四边形ABCD 是矩形，BC ⊥平面ABEF ，四边形ABEF是梯形，90EFA FAB ∠=∠=︒，EF FA ==112AD AB ==，点M 是DF 的中点. （Ⅰ）求证：//BF 平面AMC ； （Ⅱ）求二面角B AC E --的余弦值.17．（本小题共13分）有甲、乙等7名选手参加一次讲演比赛，采用抽签的方式随机确定每名选手的演出顺序（序号为1，2，…，7）. （Ⅰ）甲选手的演出序号是1的概率；（Ⅱ）求甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数的概率； （Ⅲ）求甲、乙两名选手之间的演讲选手个数X 的分布列与期望.18．（本小题共13分）已知函数x ax x f ln )(=，在点))(,(e f e 处的切线与直线40x y -=平行.（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）求函数()f x 在[](),20m m m +>上的最小值.19．（本小题共14分）已知数列{}n a 中，1a a =，22a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且()123n n S n a a =+，n N *∈.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）若()()1221,82,n n n n b n a a++=⎧⎪=⎨⎪⋅⎩≥ n T 是数列{}n b 的前n 项和， 且2222n n n a T m a ++⋅<⋅+对一切n N *∈都成立，求实数m 取值范围. 20．（本小题共14分）已知抛物线()2:0C x ay a =>，斜率为k 的直线l 经过抛物线的焦点F ，交抛物线于A ，B两点，且抛物线上一点)(1)M m m >到点F 的距离是3.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若k > 0，且3AF FB =，求k 的值.（Ⅲ）过A ，B 两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为点Q ，求证：0AB FQ =.(考生务必将答案答在答题卡上,在实体卷上作答无效)摸底考试参考答案一、选择题1． D 2． B 3．C 4． D 5． A 6．A 7．B 8． B二、填空题9． 6 10．3 11．2 12．2513．②，④ 14．2±三、解答题15． 解：（Ⅰ）因为()()2sin 22cos 1f x x x π=-+-，所以()sin 2cos2f x x x =+24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. ………………………….. 3分所以2.2πωπ== ………………………….. 5分 又因为1sin 214x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()f x ≤.所以函数()f x 的最小正周期是π ………………………….. 7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为344x ππ≤≤， 所以372444x πππ≤+≤. ………………………….. 9分 所以当3244x ππ+=，即4x π=时，函数()f x 有最大值是1；当3242x ππ+=，即58x π=时，函数()f x 有最小值是所以函数()f x 在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是1，最小值是 ………………………. 13分 16． （Ⅰ）证明：连结BD ，交AC 于点G ，∴点G 是BD 的中点.∵点M 是DF 的中点，∴MG 是BDF ∆的中位线. ∴//.BF MG ∵MG ⊂平面AMC ，BF ⊄平面AMC ，∴//BF 平面AMC . ………………………….. 5分（Ⅱ）解：以A 为原点，以AF ，AB ，AD 分别为x ， y ，z 轴建立空间直角坐标系. ……………….. 4分 ∴()0,0,0A ，()0,2,1C ，()1,1,0E ，()1,0,0F ，∴()0,2,1AC = ，()1,1,0AE = ，()1,0,0AF =. 设平面ACE 的法向量(),,n x y z =， ∴0n AC ⋅= ，0n AE ⋅=. ∴ 20,0.y z x y +=⎧⎨+=⎩令1x =，则1y =-，2z =.∴()1,1,2n =-.又AF是平面ACB 的法向量，∴cos ,n AF n AF n AF⋅=⋅== 如图所示，二面角B AC E --为锐角. ∴二面角B AC E --………………………….. 13分 17．解：（Ⅰ）设A 表示“甲选手的演出序号是1”， 所以()1.7P A =所以甲选手的演出序号是1的概率为1.7………………………….. 3分 （Ⅱ）设B 表示“甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数”，B 表示“甲、乙两名选手的演出序号都是偶数”.所以()()2327611.7A PB P B A =-=-=所以甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数的概率为6.7……………………….. 6分 （Ⅲ）X 的可能取值为0，1，2，3，4，5， ……………………….. 7分 所以()2712207P X A ===，()27105121P X A ===，()2784221P X A ===， ()276137P X A ===，()2742421P X A ===，()2721521P X A ===. ……………………….. 10分 所以X 的分布列为X 0 1 2 3 4 5P27 521 421 17 221 121………………….. 12分 所以2541210123457212172121EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5.3= ………………….. 13分 18．解：（Ⅰ）因为函数x ax x f ln )(=，所以定义域为()0,+∞，()'()ln 1f x a x =+. ……………………….. 2分 因为在点))(,(e f e 处的切线与直线40x y -=平行，所以'()4f e =，即()ln 14a e +=. ……………………….. 4分 所以 2.a =所以()2ln .f x x x = ……………………….. 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）()'()2ln 1f x x =+，令'()0f x =，得1x e=. 当1(0,)x e∈时，'()0f x <，所以函数()f x 在1(0,)e上单调递减；当),1(+∞∈e x 时，0)('>x f ，所以函数),1()(+∞e x f 在上单调递增.所以①若()1,2m m e ∈+时，函数()f x 的最小值是12()f e e=-；②若12m m e≤<+时，函数()[,2]f x m m +在上单调递增，所以函数()f x 的最小值是()2ln .f m m m = ………………….. 13分 19．解：（Ⅰ）因为()123n n S n a a =+，11S a a ==，所以0.a = …………………….. 3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 2nn na S =， 所以()111.2n n n a S +++= 所以()1111.22n n n n n n a na a S S ++++=-=-所以()11.n n n a na +-= 所以当2n ≥时，1.1n n a n a n +=- 所以11n n a n a n +=-112n n a n a n --=-，，⋅⋅⋅，3221a a =， 所以12.n a n a += 所以()21n a n =-，2n ≥. 因为10a a ==满足上式，所以()21n a n =-，n N *∈. ………………………….. 6分（Ⅲ）当2n ≥时，()()82112.22111n b n n n n n n ⎛⎫===- ⎪⋅+++⎝⎭………………………….. 7分又12b =，所以12n n T b b b =++⋅⋅⋅+ 1111222231n n ⎛⎫⎛⎫=+-+⋅⋅⋅+-⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭………………………….. 9分 112221n ⎛⎫=+-⎪+⎝⎭311n n +=+ 所以31.1n n T n +=+ ……………………….. 10分 因为2222n n n a T m a ++⋅<⋅+对一切n N *∈都成立，即()()231214121n n m n n ++⋅<⋅+++对一切n N *∈都成立. 所以2331..122122n m n n n n>=++++. ……………………….. 12分 因为12n n +≥，当且仅当1n n =，即1n =时等号成立.所以124n n ++≥.所以1142n n ≤++所以3.8m > …………………….. 14分20．解：（Ⅰ）因为点()M m 在抛物线()2:0C x ay a =>上，所以8am =.因为点()M m 到抛物线的焦点F 的距离是3，所以点()M m 到抛物线的准线4ay =-的距离是3.所以 3.4am += 所以8 3.4aa +=所以4a =，或8.a = ……………………….. 3分 因为1m >，所以4a =. .. 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知24.x y =因为直线l 经过点()0,1T ，3AF FB =所以直线l 的斜率一定存在，设直线l 的斜率是k . 所以直线l 的方程是1y kx =+，即10kx y -+=.所以联立方程组210,4,kx y x y -+=⎧⎨=⎩ 消去y ，得2440.x kx --= ……………………….. 5分所以1,2422k x k ==±因为3AF FB =，且0k >所以()232.k k +=⋅ …………………….. 7分2.k =所以21.3k =所以k =（舍负）所以k ………………….. 8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，方程组210,4,kx y x y -+=⎧⎨=⎩ 得2440.x kx --=设()11,A x y ，()22,B x y ，所以()()()21212121,,.AB x x y y x x k x x =--=--…………………….. 9分由24x y =，所以21.4y x =所以1.2y x '=所以切线QA 的方程是()11112y y x x x -=-， 切线QB 的方程是()2221.2y y x x x -=- (11)分所以点Q 的坐标是()2,1k -，所以()2,2.FQ k =-所以0.AB FQ ⋅=………………………….. 14分。