北京市东城区2015届高三上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案

东城区2014-2015学年第一学期期末教学统一检测
高三数学 （文科）
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项。

（1）已知集合{}
12A x x =∈-≤≤Z ，集合{}420，，=B ，则A B =
（A ）{}02， （B ）{}420，，
（C ）{}4,2,0,1- （D ）{}4,2,1,0,1-
（2）下列函数中，既是奇函数，又在区间(0+)∞，
上为增函数的是 （A ）x y ln = （B ）3y x = （C ）3x y = （D ）x y sin = （3）设x ∈R ，则“1x >”是“2
1x >”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （4）当3n =时，执行如图所示的程序框图，
输出的S 值为
（A ）6 （B ）8 （C
）14 （D ）30
（5）已知
3cos 4α=
，(,0)2
απ
∈-，则sin 2α的值为 （A ）
38 （B ）38- （C ）8 （D ）8
- （6）如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，某同学首先选定了与A ，B 不共
线的一点C ，然后给出了四种测量方案：（△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c ）
①测量A ，C ，b ②测量a ，b ，C ③测量A ，B ，a ④测量a ，b ，B 则一定能确定A ，B 间距离的所有方案的序号为
（A ）①②③ （B ）②③④ （C ）①③④ （D ）①②③④
（7）已知向量(1,3)=a ，(,23)m m =-b ，平面上任意向量c 都可以唯一地表示为
+λμ=c a b (,)λμ∈R ，则实数m 的取值范围是
（A ）(,0)(0,)-∞+∞ （B ）(,3)-∞ （C ）(,3)
(3,)-∞--+∞
（D ）[3,3)-
（8）已知两点(1,0)M -，(1,0)N ，若直线(2)y k x =-上至少存在三个点P ，使得△MNP
是直角三角形，则实数k 的取值范围是 （A ）11[,0)(0,]33
- （B ）3
[,0)(0,]33
- （C ）11
[,]33
-
（D ）[5,5]- 第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知抛物线的方程为24y x =，则其焦点到准线的距离为________． （10）若
2+i
1i ()i
m m =+∈R ,则m =________． （11）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体最长棱的棱长为 cm ．
（12）已知x ，y 满足1,+4,210,x x y x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪--≤⎩
则2z x y =+的最大值为_______．
（13）设函数2log , 0,
()4, 0,
x
x x f x x >⎧=⎨
⎩≤则1
(())2
f f =________；若函数()()
g x f x k =-存在两
个零点，则实数k 的取值范围是________．
正(主)视图
俯视图
侧(左)视图
（14）某商场对顾客实行购物优惠活动，规定购物付款总额要求如下：
①如果一次性购物不超过200元，则不给予优惠；
②如果一次性购物超过200元但不超过500元，则按标价．．
给予9折优惠； ③如果一次性购物超过500元，则500元按第②条给予优惠，剩余部分给予7折优惠． 甲单独购买A 商品实际付款100元，乙单独购买B 商品实际付款．．．．450元，若丙一次性购买A ，B 两件商品，则应付款________ 元．
三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）
已知函数()sin()6
f x A x ωπ
=-（0,0A ω>>）的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为
2
π. （Ⅰ）求()f x 的解析式及最小正周期； （Ⅱ）设(0,)2
απ∈，且()12
f α
=，求α的值.
（16）（本小题共13分）
已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是公比大于零的等比数列，且112a b ==，
33=8a b =．
（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S .
（17）（本小题共14分）
在三棱锥P ABC -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=，E 为
y
x PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且2AF FP =.
（Ⅰ）求证：AC ⊥平面PBC ； （Ⅱ）求证：CM 平面BEF ；
（Ⅲ）若2PB BC CA ===，求三棱锥E ABC -的体积．
（18）（本小题共13分）
为普及宪法知识，某中学举行了首届“宪法知识大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计.按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据）． （Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中的x ，y 的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取两名学生参加
“全民宪法知识大赛”，求所抽取的两名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率．
（19）（本小题共13分）
已知椭圆1C ：2
214
x y +=，椭圆2C 的中心在坐标原点，焦点在y 轴上，与1C 有相同的离心率，且过椭圆1C 的长轴端点. （Ⅰ）求椭圆2C 的标准方程；
（Ⅱ）设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆1C 和2C 上，若2OB OA =，求直线AB 的方程.
（20）（本小题共14分）
已知函数2()ln f x a x bx =-，a ，b ∈R .
（Ⅰ）若()f x 在1x =处与直线1
2y =-
相切，求a ，b 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求()f x 在1[,e]e
上的最大值；
（Ⅲ）若不等式()f x x ≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(e,e ]x ∈都成立，求a 的取值范围.。