山东省淄博市2020届高三第一次模拟考试(4月)数学试题(含答案)

山东省淄博市2020届高三第一次模拟考试（4月）数学试题（含答案）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{}2,3,5A =，集合{1,3,4,6}B =，则集合U A B =I ðA ．{3}B ．{1,4,6}C ．{2,5}D ．{2,3,5}2. 命题“000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是A ．(0,),ln 1x x x ∀∈+∞≠-B ．(0,),ln 1x x x ∀∉+∞=-C ．000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞≠-D ．000(0,),ln 1x x x ∃∉+∞=-3．设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．D ．14．二项式(1)()nx n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =A ．7B ．6C ．5D ．45．已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅u u u r u u u r的值为A ．58-B ．18C ．14D ．1186．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是 A ．[2,6]B ．[4,8]C．D．7．已知函数0()ln 0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[1,0)-B ．[1,)-+∞C ．[0,)+∞D ．[1,)+∞8．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，,E F 分别,PA PB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为A． B． C． D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是A ．年接待游客量逐年增加B ．各年的月接待游客量高峰期大致在8月C ．2017年1月至12月月接待游客量的中位数为30D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 10. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的是 A ．AC BE ⊥ B ．//EF ABCD 平面C ．AEF BEF ∆∆的面积与的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积为定值11.已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F E 、，直线x m =）（11<<-m 与椭圆相交于点A 、B ，则A. 当0=m 时，FAB ∆的面积为3B. 不存在m 使FAB ∆为直角三角形C. 存在m 使四边形FBEA 面积最大D. 存在m ，使FAB ∆的周长最大12. 函数()f x 在[,]a b 上有定义，若对任意12,[,]x x a b ∈，有[]12121()()()22x x f f x f x +≤+则称()f x 在[,]a b 上具有性质P 。

设()f x 在[1,3]上具有性质P ，则下列说法错误的是： A.()f x 在[1,3]上的图像是连续不断的；B )(2x f 在上具有性质P ；C.若()f x 在2x =处取得最大值1，则()1f x =，[1,3]x ∈；D.对任意1234,,,[1,3]x x x x ∈，有[]123412341()()()+()+()42x x x x f f x f x f x f x +++≤+第Ⅱ卷（非选择题 90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有___种．（用数字填写答案）14．已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128ab +的最小值为________． 15．已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n-=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则双曲线N 的离心率为__________；椭圆M 的离心率为_______（本题第一空2分，第二空3分）． 16．已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{}n a 满足11a =，1431n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）证明：数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和.18.（12分）已知,A B 分别在射线,CM CN (不含端点C ）上运动，23MCN π∠=，在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .（1）若,,a b c 依次成等差数列，且公差为2．求c 的值；（2）若c =ABC θ∠=，试用θ表示ABC ∆的周长，并求周长的最大值.19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧»CD 所在平面垂直，M 是»CD上异于C ，D 的点． (1) 证明：平面AMD ⊥平面BMC ； (2) 当三棱锥M ABC -体积最大时， 求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．20．（12分）如图，已知抛物线2x y =．点11(,)24A -，39(,)24B ，抛物线上的点(,)P x y 13()22x -<<，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（1）求直线AP 斜率的取值范围； （2）求||||PA PQ ⋅的最大值．MD CBA21．（12分）下图是我国2013年至2019年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1~7分别对应年份2013~2019．（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2021年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：719.32ii y==∑，7140.17i i i t y ==∑0.55=2.646≈． 参考公式：121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==-⋅-=-∑∑，ˆˆay b x =-⋅，线性相关系数12211()()()()niii n niii i x x y y r x x y y ===-⋅-=--∑∑∑．22．（12分）已知函数2()2ln =-f x x x x ，函数2()(ln )=+-ag x x x x，其中a R ∈，0x 是()g x 的一个极值点，且()02g x =． （1）讨论()f x 的单调性； （2）求实数0x 和a 的值；（3）证明()*11ln(21)2=>+∈nk n n N .高三数学试题参考答案1.C.2.A.3.D.4.B.5.B.6.A.7.B.8.D9.ABD. 10.ABD. 11.AC. 12.AB. 13. 16 . 14. 14.1， 2 16..17.解：（1）证明：∵n n b a n =+，∴111n n b a n ++=++.……………………1分又∵1431n n a a n +=+-，∴()1143111n n n n n n a n n b a n b a n a n +++-++++==++()44n n a n a n+==+.………………4分又∵111112b a =+=+=，……………………5分∴数列{}n b 是首项为2，公比为4的等比数列.……………………6分（2）由（1）知，124n n b -=⨯， ……………………7分∴124n n n a b n n -=-=⨯-， ……………………8分∴21122(1444)(123)n n n S a a a n -=++⋯+=++++-++++L L ()()2141142n n n -+=--()221141322n n n =---.……………………10分. 18. 解：（1）Q ,,a b c 依次成等差数列，且公差为2，∴4,2a c b c =-=-， …………………1分又因23MCN π∠=， 即，1cos 2C =-,可得222122a b c ab +-=-, ………………………3分恒等变形得：29140c c -+=，解得7,2c c ==或。

又Q 4c >，∴7.c = ……………………5分 （2）在△ABC 中，由正弦定理可得sin sin sin AC BC ABABC BAC ACB==∠∠∠，,2sin ,2sin()2sin 3sin()sin 33AC BC AC BC πθθππθθ∴====--即…………7分 ∴△ABC的周长()|AC ||BC ||AB |2sin 2sin()3f πθθθ=++=+-, ………………………9分又, ………………………10分当,即时，()f θ取得最大值2+. ……………………………12分19．解：(1)由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD 面CMD I 面=ABCD CD ． 因为BC ⊥CD ，BC 平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，⊂故BC ⊥DM ． ……………………………………2分因为M 为»CD上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以 DM ⊥CM 又BC CM =C ，BC 面BCM ，CM 面BCM ，所以DM ⊥平面BMC ． ……………………………4分 而DM 平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ．………………………5分(2)以D 为坐标原点，DA u u u r的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．当三棱锥M ABC -体积最大时，M 为»CD的中点． 由题设得(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,1,1)M ，(2,1,1)AM =-u u u u r ，(0,2,0)AB =u u u r ，(2,0,0)DA =u u u r………………7分设(,,)x y z =n 是平面MAB 的法向量，则即 可取(1,0,2)=n ． ………………………………9分DA u u u r是平面MCD 的法向量，所以I ⊂⊂⊂0,0.AM AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u ur n n 20,20.x y z y -++=⎧⎨=⎩， ………………………………11分，所以面MAB 与面MCD所成二面角的正弦值是5．……………12分 20．解：（1）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+， …………………………………………2分 因为1322x -<<， 所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-． …………………………4分（2）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q 的横坐标为22432(1)Q k k x k -++=+ , ……………………5分 联立直线AP 与抛物线方程，由韦达定理得点P 横坐标为12P x k =+…………………………………………6分故||PA1)2P x +1)k +cos ,||||DA DA DA ⋅==u u u ru u u r u u u r n nn sin ,DA =u u u r n||PQ = )Q P x x -=2， …………………8分所以||||PA PQ =3(1)(1)k k --+ ……………………………9分令()f k =3(1)(1)k k --+，因为2()(42)(1)f k k k '=--+， ……………………………10分所以()f k 在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2上单调递减，因此当12k =时，||||PA PQ 取得最大值2716．………………………12分 21.解：（1）由折线图中数据和附注中参考数据得：4t =，721()28i i t t =-=∑， …………………1分0.55=，777111()()40.1749.32 2.89iii iii i i t t y y t y t y===--=-=-⨯=∑∑∑，…………………3分2.890.990.552 2.646r ≈≈⨯⨯． …………………5分因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系． …………………6分（2）由9.32 1.3317y ==及（1）得121()()2.89ˆ0.10328()ni i i nii tt y y b tt ==-⋅-==≈-∑∑， …………………8分ˆˆ 1.3310.10340.92ay b t =-⋅=-⨯≈． …………………9分 所以，y 关于t 的回归方程为：ˆ0.920.10yt =+． ……………11分 将2021年对应的9t =代入回归方程得：ˆ0.920.109 1.82y=+⨯=． 所以预测2021年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨． …………………12分 22．解：（1）由已知可得函数()f x 的定义域为()0,+∞，且()22ln 2f x x x '=--，…………………………………1分令()()'h x f x =，则有()21'()x h x x-=，由()'0h x =，可得1x =，可知当x 变化时，()()',h x h x 的变化情况如下表：…………………………………2分()()10h x h ∴≥=，即()'0f x ≥，可得()f x 在区间()0,∞+单调递增；…………………………………3分（2）由已知可得函数()g x 的定义域为()0,+∞，且22ln ()1a x g x x x'=--， …………………………………4分由已知得()'0g x =，即20002ln 0x x x a --=，①由()02g x =可得，()220000ln 20x x x x a --+=，②联立①②，消去a ，可得()20002ln 2ln 20x x x ---=，③…………………………………6分令2()2(ln )2ln 2t x x x x =---，则2ln 22(ln 1)'()2x x x t x x x x--=--=， 由（1）知，ln 10x x --≥，故()'0t x ≥，()t x ∴在区间()0,∞+单调递增，注意到()10t =，所以方程③有唯一解01x =，代入①，可得1a =，01,1x a ∴==； …………………………………8分（3）证明：由（1）知()22ln f x x x x =-在区间()0,+∞单调递增，故当()1,x ∈+∞时，()()11f x f >=，2222ln 1()1()0x x x f x g x x x'---==>， 可得()g x 在区间()1,+∞单调递增，…………………………………9分 因此，当1x >时，()()12g x g >=，即21(ln )2x x x +->，亦即22(ln )x >，0,ln 0x ->>ln x >，……………………10分 取*21,21k x k N k +=∈-ln(21)ln(21)k k >+--， …………………………………10分=，…………………………………11分故1(ln(21)ln(21))ln(21)nk nk k k n ==>+--=+∑11ln(21)()2ni n n N *=∴>+∈．…………………………………12分。