九年级数学上册21.1一元二次方程教案新版新人教版070626【精品教案】
最新人教版九年级数学上册《一元二次方程》全章教案(精品教案)
第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念,应用一元二次方程概念解决一些简单问题.2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)及有关概念.3.会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念.重点:一元二次方程的概念及其一般形式;一元二次方程解的探索.难点:由实际问题列出一元二次方程;准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项.一、自学指导.(10分钟)问题1:如图,有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?分析:设切去的正方形的边长为x cm,则盒底的长为__(100-2x)cm__,宽为__(50-2x)cm__.列方程__(100-2x)·(50-2x)=3600__,化简整理,得__x2-75x+350=0__.①问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?分析:全部比赛的场数为__4〓7=28__.设应邀请x个队参赛,每个队要与其他__(x-1)__个队各赛1场,所以全部比赛共x(x-1)2__场.列方程__x(x-1)2=28__,化简整理,得__x2-x-56=0__.②探究:(1)方程①②中未知数的个数各是多少?__1个__.(2)它们最高次数分别是几次?__2次__.归纳:方程①②的共同特点是:这些方程的两边都是__整式__,只含有__一个__未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__的方程.1.一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ,只含有__一__个未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程,叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中__ax2__是二次项,__a__是二次项系数,__bx__是一次项,__b__是一次项系数,__c__是常数项.点拨精讲:二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a≠0是一个重要条件,不能漏掉.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)1.判断下列方程,哪些是一元二次方程?(1)x3-2x2+5=0;(2)x2=1;(3)5x2-2x-14=x2-2x+35;(4)2(x+1)2=3(x+1);(5)x2-2x=x2+1; (6)ax2+bx+c=0.解:(2)(3)(4).点拨精讲:有些含字母系数的方程,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含有未知数,这样的方程仍然是整式方程.2.将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.解:去括号,得3x2-3x=5x+10.移项,合并同类项,得3x2-8x-10=0.其中二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10.点拨精讲:将一元二次方程化成一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,无论m取何值,该方程都是一元二次方程.证明:m2-8m+17=(m-4)2+1,∵(m-4)2≥0,∴(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1≠0.∴无论m取何值,该方程都是一元二次方程.点拨精讲:要证明无论m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m2-8m+17≠0即可.2.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.解:将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足等式,所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根.点拨精讲:要判定一个数是否是方程的根,只要把这个数代入等式,看等式两边是否相等即可.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟)1.判断下列方程是否为一元二次方程.(1)1-x2=0; (2)2(x2-1)=3y;(3)2x2-3x-1=0; (4)1x2-2x=0;(5)(x+3)2=(x-3)2; (6)9x2=5-4x.解:(1)是;(2)不是;(3)是;(4)不是;(5)不是;(6)是.2.若x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根,求a的值.解:∵x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根,∴4a+8-5=0,解得a=-3 4 .3.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x.解:(1)4x2=25,4x2-25=0;(2)x(x-2)=100,x2-2x-100=0.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟) 1.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),特别强调a≠0.3.要会判断一个数是否是一元二次方程的根.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2 解一元二次方程21.2.1 配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程.2. 渗透转化思想,掌握一些转化的技能.重点:运用开平方法解形如(x +m)2=n(n≥0)的方程;领会降次——转化的数学思想.难点:通过根据平方根的意义解形如x 2=n(n≥0)的方程,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x +m)2=n(n≥0)的方程.一、自学指导.(10分钟)问题1:一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm 2,小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?设正方体的棱长为x dm ,则一个正方体的表面积为__6x 2__dm 2,根据一桶油漆可刷的面积列出方程:__10〓6x 2=1500__,由此可得__x 2=25__,根据平方根的意义,得x =__〒5__,即x 1=__5__,x 2=__-5__.可以验证__5__和-5都是方程的根,但棱长不能为负值,所以正方体的棱长为__5__dm.探究:对照问题1解方程的过程,你认为应该怎样解方程(2x-1)2=5及方程x 2+6x +9=4?方程(2x -1)2=5左边是一个整式的平方,右边是一个非负数,根据平方根的意义,可将方程变形为__2x -1=〒5__,即将方程变为__2x -1=5和__2x -1=-5__两个一元一次方程,从而得到方程(2x -1)2=5的两个解为x 1=__1+52,x 2=__1-52__. 在解上述方程的过程中,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样问题就容易解决了.方程x 2+6x +9=4的左边是完全平方式,这个方程可以化成(x +__3__)2=4,进行降次,得到 __x +3=〒2__ ,方程的根为x 1= __-1__,x 2=__-5__.归纳:在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程.如果方程能化成x 2=p(p≥0)或(mx +n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x =〒p 或mx +n =〒p.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)解下列方程:(1)2y 2=8; (2)2(x -8)2=50;(3)(2x -1)2+4=0; (4)4x 2-4x +1=0.解:(1)2y 2=8, (2)2(x -8)2=50,y 2=4, (x -8)2=25,y =〒2, x -8=〒5,∴y 1=2,y 2=-2; x -8=5或x -8=-5,∴x 1=13,x 2=3;(3)(2x -1)2+4=0, (4)4x 2-4x +1=0,(2x -1)2=-4<0, (2x -1)2=0,∴原方程无解; 2x -1=0,∴x 1=x 2=12. 点拨精讲:观察以上各个方程能否化成x 2=p(p≥0)或(mx +n)2=p(p≥0)的形式,若能,则可运用直接开平方法解.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用直接开平方法解下列方程:(1)(3x +1)2=7; (2)y 2+2y +1=24;(3)9n 2-24n +16=11.解:(1)-1〒73;(2)-1〒26;(3)4〒113. 点拨精讲:运用开平方法解形如(mx +n)2=p (p≥0)的方程时,最容易出错的是漏掉负根.2.已知关于x 的方程x 2+(a 2+1)x -3=0的一个根是1,求a 的值.解:〒1.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟)用直接开平方法解下列方程:(1)3(x -1)2-6=0 ; (2)x 2-4x +4=5;(3)9x 2+6x +1=4; (4)36x 2-1=0;(5)4x 2=81; (6)(x +5)2=25;(7)x 2+2x +1=4.解:(1)x 1=1+2,x 2=1-2;(2)x 1=2+5,x 2=2-5;(3)x 1=-1,x 2=13; (4)x 1=16,x 2=-16; (5)x 1=92,x 2=-92; (6)x 1=0,x 2=-10;(7)x 1=1,x 2=-3.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用直接开平方法解一元二次方程.2.理解“降次”思想.3.理解x 2=p(p≥0)或(mx +n)2=p(p≥0)中,为什么p ≥0?学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.1 配方法(2)1.会用配方法解数字系数的一元二次方程.2.掌握配方法和推导过程,能使用配方法解一元二次方程.重点:掌握配方法解一元二次方程.难点:把一元二次方程转化为形如(x -a)2=b 的过程.(2分钟)1.填空:(1)x 2-8x +__16__=(x -__4__)2;(2)9x 2+12x +__4__=(3x +__2__)2;(3)x 2+px +__(p 2)2__=(x +__p 2__)2. 2.若4x 2-mx +9是一个完全平方式,那么m 的值是__〒12__.一、自学指导.(10分钟)问题1:要使一块矩形场地的长比宽多6 m ,并且面积为16 m 2,场地的长和宽分别是多少米?设场地的宽为x m ,则长为__(x +6)__m ,根据矩形面积为16 m 2,得到方程__x(x +6)=16__,整理得到__x 2+6x -16=0__.探究:怎样解方程x 2+6x -16=0?对比这个方程与前面讨论过的方程x 2+6x +9=4,可以发现方程x 2+6x +9=4的左边是含有x 的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程;而方程x 2+6x -16=0不具有上述形式,直接降次有困难,能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗?解:移项,得x 2+6x =16,两边都加上__9__即__(62)2__,使左边配成x 2+bx +(b 2)2的形式,得__x 2__+6__x__+9=16+__9__,左边写成平方形式,得__(x +3)2=25__,开平方,得__x +3=〒5__, (降次)即 __x +3=5__或__x +3=-5__, 解一次方程,得x 1=__2__,x 2=__-8__.归纳:通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法,叫做配方法;配方的目的是为了降次,把一元二次方程转化为两个一元一次方程.问题2:解下列方程:(1)3x 2-1=5; (2)4(x -1)2-9=0;(3)4x 2+16x +16=9.解:(1)x =〒2;(2)x 1=-12,x 2=52;(3)x 1=-72,x 2=-12. 归纳:利用配方法解方程时应该遵循的步骤:(1)把方程化为一般形式ax 2+bx +c =0;(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边;(3)方程两边同时除以二次项系数a ;(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方;(5)此时方程的左边是一个完全平方式,然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟)1.填空:(1)x 2+6x +__9__=(x +__3__)2;(2)x 2-x +__14__=(x -__12__)2; (3)4x 2+4x +__1__=(2x +__1__)2.2.解下列方程:(1)x 2+6x +5=0; (2)2x 2+6x +2=0;(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0.解:(1)移项,得x 2+6x =-5,配方得x 2+6x +32=-5+32,(x +3)2=4,由此可得x +3=〒2,即x 1=-1,x 2=-5.(2)移项,得2x 2+6x =-2,二次项系数化为1,得x 2+3x =-1,配方得x 2+3x +(32)2=(x +32)2=54, 由此可得x +32=〒52,即x 1=52-32, x 2=-52-32. (3)去括号,整理得x 2+4x -1=0,移项得x 2+4x =1,配方得(x +2)2=5,x +2=〒5,即x 1=5-2,x 2=-5-2.点拨精讲:解这些方程可以用配方法来完成,即配一个含有x 的完全平方式.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(5分钟)如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8 m ,CB =6 m ,点P ,Q 同时由A ,B 两点出发分别沿AC ,BC 方向向点C 匀速移动,它们的速度都是1 m/s ,几秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半?解:设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半.根据题意可列方程:12(8-x)(6-x)=12〓12〓8〓6, 即x 2-14x +24=0,(x -7)2=25,x -7=〒5,∴x 1=12,x 2=2,x 1=12,x 2=2都是原方程的根,但x 1=12不合题意,舍去. 答:2秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半.点拨精讲:设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半,△PCQ 也是直角三角形.根据已知条件列出等式.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟)1.用配方法解下列关于x 的方程:(1)2x 2-4x -8=0; (2)x 2-4x +2=0;(3)x 2-12x -1=0 ; (4)2x 2+2=5.解:(1)x 1=1+5,x 2=1-5;(2)x 1=2+2,x 2=2-2;(3)x 1=14+174,x 2=14-174; (4)x 1=62,x 2=-62. 2.如果x 2-4x +y 2+6y +z +2+13=0,求(xy)z 的值. 解:由已知方程得x 2-4x +4+y 2+6y +9+z +2=0,即(x -2)2+(y +3)2+z +2=0,∴x =2,y =-3,z =-2.∴(xy)z =[2〓(-3)]-2=136. 学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用配方法解一元二次方程的步骤. 2.用配方法解一元二次方程的注意事项.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.2 公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念.2. 会熟练应用公式法解一元二次方程.重点:求根公式的推导和公式法的应用.难点:一元二次方程求根公式的推导.(2分钟)用配方法解方程:(1)x 2+3x +2=0; (2)2x 2-3x +5=0.解:(1)x 1=-2,x 2=-1; (2)无解.一、自学指导.(8分钟)问题:如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根?问题:已知ax 2+bx +c =0(a≠0),试推导它的两个根x 1=-b +b 2-4ac 2a ,x 2=-b -b 2-4ac 2a. 分析:因为前面具体数字已做得很多,现在不妨把a ,b ,c 也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.探究:一元二次方程ax 2+bx +c =0(a≠0)的根由方程的系数a ,b ,c 而定,因此:(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c =0,当b 2-4ac≥0时,将a ,b ,c 代入式子x =-b〒b 2-4ac 2a就得到方程的根,当b 2-4ac <0时,方程没有实数根.(2)x =-b〒b 2-4ac 2a叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a≠0)的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有__2个实数根,也可能有__1__个实根或者__没有__实根.(5)一般地,式子b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx +c =0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母Δ表示,即Δ=b 2-4ac.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)用公式法解下列方程,根据方程根的情况你有什么结论?(1)2x 2-3x =0; (2)3x 2-23x +1=0;(3)4x 2+x +1=0.解:(1)x 1=0,x 2=32;有两个不相等的实数根; (2)x 1=x 2=33;有两个相等的实数根; (3)无实数根.点拨精讲:Δ>0时,有两个不相等的实数根;Δ=0时,有两个相等的实数根;Δ<0时,没有实数根.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.方程x 2-4x +4=0的根的情况是( B )A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根D .没有实数根2.当m 为何值时,方程(m +1)x 2-(2m -3)x +m +1=0,(1)有两个不相等的实数根?(2)有两个相等的实数根?(3)没有实数根?解:(1)m <14; (2)m =14; (3)m >14. 3. 已知x 2+2x =m -1没有实数根,求证:x 2+mx =1-2m 必有两个不相等的实数根.证明:∵x 2+2x -m +1=0没有实数根,∴4-4(1-m)<0,∴m <0.对于方程x 2+mx =1-2m ,即x 2+mx +2m -1=0,Δ=m 2-8m +4,∵m <0,∴Δ>0,∴x 2+mx =1-2m 必有两个不相等的实数根.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟)1.利用判别式判定下列方程的根的情况:(1)2x 2-3x -32=0; (2)16x 2-24x +9=0; (3)x 2-42x +9=0 ; (4)3x 2+10x =2x 2+8x.解:(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(4)有两个不相等的实数根.2.用公式法解下列方程:(1)x 2+x -12=0 ; (2)x 2-2x -14=0; (3)x 2+4x +8=2x +11; (4)x(x -4)=2-8x ;(5)x 2+2x =0 ; (6)x 2+25x +10=0.解:(1)x 1=3,x 2=-4;(2)x 1=2+32,x 2=2-32; (3)x 1=1,x 2=-3; (4)x 1=-2+6,x 2=-2-6;(5)x 1=0,x 2=-2; (6)无实数根.点拨精讲:(1)一元二次方程ax 2+bx +c =0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a ,b ,c 确定的;(2)在解一元二次方程时,可先把方程化为一般形式,然后在b 2-4ac≥0的前提下,把a ,b ,c 的值代入x =-b〒b 2-4ac 2a(b 2-4ac≥0)中,可求得方程的两个根;(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.求根公式的推导过程.2.用公式法解一元二次方程的一般步骤:先确定.a ,b ,c的值,再算.出b2-4ac的值、最后代.入求根公式求解.3.用判别式判定一元二次方程根的情况.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.3 因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程.2. 能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性.重点:用因式分解法解一元二次方程.难点:理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.(2分钟)将下列各题因式分解:(1)am+bm+cm=(__a+b+c__)m;(2)a2-b2=__(a+b)(a-b)__;(3)a2〒2ab+b2=__(a〒b)2__.一、自学指导.(8分钟)问题:根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s 的速度竖直上抛,那么经过x s物体离地的高度(单位:m)为10x -4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗?(精确到0.01s)设物体经过x s 落回地面,这时它离地面的高度为0,即10x -4.9x 2=0, ①思考:除配方法或公式法以外,能否找到更简单的方法解方程①?分析:方程①的右边为0,左边可以因式分解得:x(10-4.9x)=0,于是得x =0或10-4.9x =0, ②∴x 1=__0__,x 2≈2.04.上述解中,x 2≈2.04表示物体约在2.04 s 时落回地面,而x 1=0表示物体被上抛离开地面的时刻,即0 s 时物体被抛出,此刻物体的高度是0 m.点拨精讲: (1)对于一元二次方程,先将方程右边化为0,然后对方程左边进行因式分解,使方程化为两个一次式的乘积的形式,再使这两个一次因式分别等于零,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.(2)如果a·b=0,那么a =0或b =0,这是因式分解法的根据.如:如果(x +1)(x -1)=0,那么__x +1=0或__x -1=0__,即__x =-1__或__x =1.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)1.说出下列方程的根:(1)x(x -8)=0; (2)(3x +1)(2x -5)=0.解:(1)x 1=0,x 2=8; (2)x 1=-13,x 2=52. 2.用因式分解法解下列方程:(1)x 2-4x =0; (2)4x 2-49=0;(3)5x 2-20x +20=0.解:(1)x 1=0,x 2=4; (2)x 1=72,x 2=-72; (3)x 1=x 2=2.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用因式分解法解下列方程:(1)5x 2-4x =0; (2)3x(2x +1)=4x +2;(3)(x +5)2=3x +15.解:(1)x 1=0,x 2=45; (2)x 1=23,x 2=-12; (3)x 1=-5,x 2=-2.点拨精讲:用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0,另一边可以分解因式.2.用因式分解法解下列方程:(1)4x 2-144=0;(2)(2x -1)2=(3-x)2;(3)5x 2-2x -14=x 2-2x +34; (4)3x 2-12x =-12.解:(1)x 1=6,x 2=-6;(2)x 1=43,x 2=-2; (3)x 1=12,x 2=-12; (4)x 1=x 2=2.点拨精讲:注意本例中的方程可以试用多种方法.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟)1.用因式分解法解下列方程:(1)x 2+x =0; (2)x 2-23x =0;(3)3x 2-6x =-3; (4)4x 2-121=0;(5)(x -4)2=(5-2x)2.解:(1)x 1=0,x 2=-1;(2)x 1=0,x 2=23;(3)x 1=x 2=1;(4)x 1=112,x 2=-112; (5)x 1=3,x 2=1.点拨精讲:因式分解法解一元二次方程的一般步骤:(1)将方程右边化为__0__;(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__;(3)令每个因式分别为__0__,得到两个一元一次方程;(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.2.把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.解:设小圆形场地的半径为x m.则可列方程2πx 2=π(x +5)2.解得x 1=5+52,x 2=5-52(舍去).答:小圆形场地的半径为(5+52) m.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用因式分解法解方程的根据由ab =0得 a =0或b =0,即“二次降为一次”.2.正确的因式分解是解题的关键.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1. 理解并掌握根与系数的关系:x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=c a. 2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题.重点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.难点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.一、自学指导.(10分钟)自学1:完成下表: 方程x 1 x 2 x 1+x 2 x 1x 2 x 2-5x +6=02 3 5 6 x 2+3x -10=0 2 -5 -3 -10问题:你发现什么规律?①用语言叙述你发现的规律;答:两根之和为一次项系数的相反数;两根之积为常数项. ②x 2+px +q =0的两根x 1,x 2用式子表示你发现的规律. 答:x 1+x 2=-p ,x 1x 2=q.自学2:完成下表: 方程x 1 x 2 x 1+x 2 x 1x 2 2x 2-3x -2=0 2 -1232 -1 3x 2-4x +1=013 1 43 13 问题:上面发现的结论在这里成立吗?(不成立)请完善规律:①用语言叙述发现的规律;答:两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数,两根之积为常数项与二次项系数之比.②ax 2+bx +c =0的两根x 1,x 2用式子表示你发现的规律.答:x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=c a. 自学3:利用求根公式推导根与系数的关系.(韦达定理)ax 2+bx +c =0的两根x 1=__-b +b 2-4ac 2a__,x 2=__-b -b 2-4ac 2a__. x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=c a. 二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程的两根之和与两根之积.(1)x 2-3x -1=0 ; (2)2x 2+3x -5=0;(3)13x 2-2x =0. 解:(1)x 1+x 2=3,x 1x 2=-1;(2)x 1+x 2=-32,x 1x 2=-52;(3)x 1+x 2=6,x 1x 2=0.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(10分钟)1.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积.(1)x 2-6x -15=0; (2)3x 2+7x -9=0;(3)5x -1=4x 2.解:(1)x 1+x 2=6,x 1x 2=-15;(2)x 1+x 2=-73,x 1x 2=-3; (3)x 1+x 2=54,x 1x 2=14. 点拨精讲:先将方程化为一般形式,找对a ,b ,c.2.已知方程2x 2+kx -9=0的一个根是-3,求另一根及k 的值.解:另一根为32,k =3. 点拨精讲:本题有两种解法,一种是根据根的定义,将x =-3代入方程先求k ,再求另一个根;一种是利用根与系数的关系解答.3.已知α,β是方程x 2-3x -5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值.(1)1α+1β; (2)α2+β2; (3)α-β.解:(1)-35;(2)19;(3)29或-29. 二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟)1.不解方程,求下列方程的两根和与两根积:(1)x 2-3x =15; (2)5x 2-1=4x 2;(3)x 2-3x +2=10; (4)4x 2-144=0.解:(1)x 1+x 2=3,x 1x 2=-15;(2)x 1+x 2=0,x 1x 2=-1;(3)x 1+x 2=3,x 1x 2=-8;(4)x 1+x 2=0,x 1x 2=-36.2.两根均为负数的一元二次方程是( C )A .7x 2-12x +5=0B .6x 2-13x -5=0C .4x 2+21x +5=0D .x 2+15x -8=0点拨精讲:两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数,两根之积为正数.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)不解方程,根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合,可求得一些代数式的值;求得方程的另一根和方程中的待定系数的值.1.先化成一般形式,再确定a ,b ,c.2.当且仅当b 2-4ac≥0时,才能应用根与系数的关系.3.要注意比的符号:x 1+x 2=-b a (比前面有负号),x 1x 2=c a(比前面没有负号).学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3 实际问题与一元二次方程(1)1.会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:列一元二次方程解决实际问题.难点:找出实际问题中的等量关系.一、自学指导.(12分钟)问题1:有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析:①设每轮传染中平均一个人传染了x 个人,那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人,第一轮后共有__(x +1)__人患了流感;②第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了__x__人,第二轮后共有__(x +1)(x +1)__人患了流感.则列方程:__(x +1)2=121__,解得__x =10或x =-12(舍)__,即平均一个人传染了__10__个人.再思考:如果按照这样的传染速度,三轮后有多少人患流感?问题2:一个两位数,它的两个数字之和为6,把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008,求原来的两位数.分析:设原来的两位数的个位数字为__x__,则十位数字为__(6-x)__,则原两位数为__10(6-x)+x ,新两位数为__10x +(6-x)__.依题意可列方程:[10(6-x)+x][10x +(6-x)]=1008__,解得 x 1=__2__,x 2=__4__,∴原来的两位数为24或42.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送了2550张相片,如果全班有x 名学生,根据题意,列出方程为( )A .x(x +1)=2550B .x(x -1)=2550C .2x(x +1)=2550D .x(x -1)=2550〓2分析:由题意,每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片,则每人送出(x -1)张相片,全班共送出x(x -1)张相片,可列方程为x(x -1)=2550. 故选B.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,求每个支干长出多少小分支?解:设每个支干长出x 个小分支,则有1+x +x 2=91, 即x 2+x -90=0,解得x 1=9,x 2=-10(舍去),故每个支干长出9个小分支.点拨精讲:本例与传染问题的区别.2.一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4,设个位数字为x ,则列方程为:__x 2+(x +4)2=10(x +4)+x -4__.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(7分钟)1.两个正数的差是2,它们的平方和是52,则这两个数是( C )A .2和4B .6和8C .4和6D .8和102.教材P第2题、第3题21学生总结本堂课的收获与困惑.(3分钟) 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)“审”:即审题,读懂题意弄清题中的已知量和未知量;(2)“设”:即设__未知数__,设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种;(3)“列”:即根据题中__等量__关系列方程;(4)“解”:即求出所列方程的__根__;(5)“检验”:即验证根是否符合题意;(6)“答”:即回答题目中要解决的问题.2. 对于数字问题应注意数字的位置.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3 实际问题与一元二次方程(2)1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:如何解决增长率与降低率问题.难点:理解增长率与降低率问题的公式a(1〒x)n=b,其中a 是原有量,x为增长(或降低)率,n为增长(或降低)的次数,b为增长(或降低)后的量.一、自学指导.(10分钟)自学:两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?(精确到0.01)绝对量:甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)〔2=1000(元),乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)〔2=1200(元),显然,乙种药品成本的年平均下降额较大.相对量:从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题.分析:①设甲种药品成本的年平均下降率为x ,则一年后甲种药品成本为__5000(1-x)__元,两年后甲种药品成本为__5000(1-x)2__元.依题意,得__5000(1-x)2=3000__.解得__x 1≈0.23,x 2≈1.77__.根据实际意义,甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__. ②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则,列方程:__6000(1-y)2=3600__.解得__y 1≈0.23,y 2≈1.77(舍)__.答:两种药品成本的年平均下降率__相同__.点拨精讲:经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟)某商店10月份的营业额为5000元,12月份上升到7200元,平均每月增长百分率是多少?【分析】如果设平均每月增长的百分率为x ,则11月份的营业额为__5000(1+x)__元, 12月份的营业额为__5000(1+x)(1+x)__元,即__5000(1+x)2__元.由此就可列方程:__5000(1+x)2=7200__.点拨精讲:此例是增长率问题,如题目无特别说明,一般都指平均增长率,增长率是增长数与基准数的比.增长率=增长数〕基准数设基准数为a ,增长率为x ,则一月(或一年)后产量为a(1+x);二月(或二年)后产量为a(1+x)2;n 月(或n 年)后产量为a(1+x)n ;如果已知n 月(n 年)后产量为M ,则有下面等式:M =a(1+x)n .解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率.(利息税20%)分析:设这种存款方式的年利率为x ,第一次存2000元取1000元,剩下的本金和利息是1000+2000x·80%;第二次存,本金就变为1000+2000x·80%,其他依此类推.解:设这种存款方式的年利率为x ,则1000+2000x·80%+(1000+2000x·80%)x·80%=1320, 整理,得1280x 2+800x +1600x =320,即8x 2+15x -2=0, 解得x 1=-2(不符,舍去),x 2=0.125=12.5%.答:所求的年利率是12.5%.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(6分钟)青山村种的水稻2011年平均每公顷产7200 kg ,2013年平均每公顷产8460 kg ,求水稻每公顷产量的年平均增长率.解:设年平均增长率为x ,则有7200(1+x)2=8460,。
九年级数学上册21.1一元二次方程教案(新版)新人教版 (2)
四、程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数及常数项.
练习
1.将下列方程化为一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
(1)
(2)
2.当_____时,关于的方程是一元二次方程.
根据所学内容解答习题
2、总结归纳
谈谈本节课的收获?
3、作业:课堂
必做:教材第4页1题
选做:教材第4页2题
家庭
教材第4页习题21.1第1---7题
板书设计
21.1一元二次方程
定义:例题练习
一般形式:
教后记
⑸上述一元二次方程还有哪些相同点和不同点?你能类比一元一次方程的一般形式得出一元二次方程的一般形式吗?
⑹什么叫做一元二次方程的解?
阅读提纲,
(1)~(6)
4、组织学生自学
指导学生阅读课本P2---4课文,并回答问题。
学生自学得出结论组内交流,互助互教。
二、自学反馈
汇报或检测
1.一元二次方程的概念:
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
一元二次方程
教学目标
知识与技能
通过对本节课的教学,使学生充分了解一元二次方程的概念,会判断一个数是否是一元二次方程的根,正确掌握一元二次方程的一般形式
过程与方法
培养学生分析问题、解决问题的能力以及对数学概念理解的完整性和深刻性,帮助学生掌握初步的研究问题的方法
情感态度与价值观
帮助学生树立转化的思想和严谨的科学态度;培养学生用数学的意识
共同点:①它们都是整式方程;②都含有一个未知数.
不同点:方程中未知数的最高次数是2;而一元一次方程的未知数最高次数是1。
九年级数学上册21.1一元二次方程教案1(新版)新人教版
一元二次方程1.理解一元二次方程及其相关概念,能够熟练地把一元二次方程化为一般形式.2.会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题.3.在分析、揭示实际问题中的数量关系,并把实际问题转化为数学模型的过程中,感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具,增强对一元二次方程的感性认识.一、情境导入参加一次集会,如果有x个人,每两人之间都握一次手,共握了21次手,请你列出符合上述条件的方程,并判断方程是什么类型?二、合作探究探究点一:一元二次方程的概念【类型一】一元二次方程的识别下列选项中,是关于x的一元二次方程的是( )A.x2+1x2=1 B.3x2-2xy-5y2=0 C.(x-1)(x-2)=3 D.ax2+bx+c=0 解析:选项A中的方程分母含有未知数,所以它不是一元二次方程;选项B中的方程含有2个未知数,所以它不是一元二次方程;当a=0时,选项D中的方程不含二次项,所以它不是一元二次方程,排除A、B、D,故选C.方法总结:判断一个方程是不是一元二次方程,必须将方程化简后再进行判断.一元二次方程的三个条件:一是方程两边都是整式;二是只含有一个未知数;三是未知数的最高次数是2.上述三个条件必须同时满足,缺一不可.【类型二】利用一元二次方程的概念确定字母系数关于x的方程(k+1)x|k-1|+kx+1=0是一元二次方程,则k的值为________.解析:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|k-1|=2,k+1≠0,∴⎩⎪⎨⎪⎧k=3或k=-1,k≠-1.∴k=3.方法总结:由一元二次方程的概念满足的条件:未知数最高次数为2,构造方程,解出字母取值,并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值,从而确定字母取值.探究点二:一元二次方程的一般形式将下列方程化为一元二次方程的一般形式,并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项.(1)3x2-2=5x;(2)9x2=16;(3)2x(3x+1)=17;(4)(3x-5)( x+1)=7x-2.解析:先分别将各方程化为一般形式,再指出它们的各部分的名称.解:(1)方程化为一般形式为3x2-5x-2=0,二次项系数是3,一次项系数是-5,常数项是-2.(2)方程化为一般形式为9x2-16=0,二次项系数是9,一次项系数是0,常数项是-16.(3)方程化为一般形式为6x2+2x-17=0,二次项系数是6,一次项系数是2,常数项是-17.(4)方程化为一般形式为3x2-9x-3=0,二次项系数是3,一次项系数是-9,常数项是-3.方法总结:求一元二次方程的各项系数和常数项,必须先把方程化为一般形式,特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号.探究点三:列一元二次方程(2015·深圳一模)在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边,剩下部分面积为1.6m2.已知床单的长是2m,宽是1.4m,求花边的宽度.请根据题意列出方程. 解析:设花边的宽度为x m ,则由图可知剩下部分的长为(2-2x )m ,剩下部分的宽为(1.4-2x )m.∵剩下部分面积为1.6m 2,∴可列方程(2-2x )(1.4-2x )=1.6.方法总结:列方程最重要的是审题,只有理解题意,才能恰当的设出未知数,准确地找出已知量和未知量之间的等量关系,正确的列出方程.探究点四:一元二次方程的解 【类型一】判断一元二次方程的解方程x 2-2x =0的解为( )A .x 1=1,x 2=2B .x 1=0,x 2=1C .x 1=0,x 2=2D .x 1=12,x 2=2解析:把各选项中未知数的值分别代入方程的左右两边,只有选项C 中的x 1=0,x 2=2都能使方程x 2-2x =0的左右两边相等,所以选C. 方法总结:判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解,可以把未知数的值代入方程左右两边,能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解. 【类型二】利用一元二次方程的解的意义求字母或代数式的值已知1是关于x 的一元二次方程(m -1)x 2+x +1=0的一个根,则m 的值是( ) A .1 B .-1C .0D .无法确定 解析:根据方程的根的概念,直接代入方程,左右两边相等,但考虑到是一元二次方程,所以二次项系数不能等于0.由此得,(m -1)+1+1=0,解得m =-1,此时m -1=-2≠0,∴m =-1.故选B. 方法总结:方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值,在涉及方程根的题目中,我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题. 三、板书设计教学过程中,强调学生自主探索和合作交流,经历将实际问题转化为数学问题,体会数学建模的思想方法.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术,下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
人教版数学九年级上册教学设计21.1《一元二次方程》
人教版数学九年级上册教学设计21.1《一元二次方程》一. 教材分析《一元二次方程》是人民教育出版社九年级上册数学的一个重要内容,它标志着学生从简单方程的认识过渡到更复杂的一元二次方程的解决。
本节内容通过实例引入一元二次方程,使学生了解一元二次方程的定义、特点以及解法。
教材通过问题驱动,引导学生探索求解一元二次方程的方法,培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前,已经学习了简单方程的解法、不等式的性质等知识,具备了一定的数学基础。
但一元二次方程较为抽象,学生可能难以理解其定义和解法。
因此,在教学过程中,需要关注学生的认知困难,通过实例和问题引导学生理解和掌握一元二次方程。
三. 教学目标1.理解一元二次方程的定义和特点;2.学会求解一元二次方程的配方法、公式法等基本方法;3.能够应用一元二次方程解决实际问题;4.培养学生的数学思维能力和问题解决能力。
四. 教学重难点1.一元二次方程的定义和特点;2.一元二次方程的解法;3.一元二次方程在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.实例导入:通过生活中的实际问题,引导学生认识一元二次方程;2.问题驱动:提出问题,引导学生探索求解一元二次方程的方法;3.小组合作:分组讨论,共同探索一元二次方程的解法;4.归纳总结:引导学生总结一元二次方程的解法,并应用于实际问题。
六. 教学准备1.教学课件:制作课件,展示一元二次方程的定义、解法等知识;2.实例材料:准备生活中的实际问题,用于导入和巩固知识;3.练习题库:准备一定数量的一元二次方程练习题,用于巩固和拓展知识。
七. 教学过程1.导入(5分钟)利用生活中的实际问题,如抛物线与x轴的交点问题,引导学生认识一元二次方程。
通过问题驱动,激发学生的学习兴趣。
2.呈现(10分钟)讲解一元二次方程的定义、特点和解法。
通过实例演示和讲解,使学生理解和掌握一元二次方程的基本解法。
3.操练(10分钟)学生分组讨论,共同探索一元二次方程的解法。
九年级数学上册 第21章 一元二次方程教案 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年级上册数学教案
这样容易完成学习内容。
三、教学目标
(结合课标)
1.理解一元二次方程的定义关键注意三点:整式、一个未知数、最高次数为2。
对一元二次方程理解时,一定注意“a≠0”这一条件。
把一个方程化为一般形式时应用了解一元一次方程的变形方法:去分母---去括号---移项---合并同类项。
注意:①当a是负值时,一般转化为正数; ②多给出b=0或c=0或b、c同时为0的例子。如: 。
解一元二次方程时,要根据方程实际,灵活选择适当的方法。
对于一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,可用公式法,一定要注意b2-4ac的取值问题。
配方法要先配方再降次;“配方法”不仅应用在一元二次方程中,注意配方在其他方面的应用。
因式分解法要先使方程的一边为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各一次因式为0。配方法和公式法适用于所有的一元二次方程,因式分解法应用时要观察方程的特点,灵活选择方法。
数学建模思想的教学在本章得到进一步渗透和巩固。
二、学情分析
学生在七年级和八年级已经学习了整式、分式、二次根式、一元一次方程、二元一次方程、分式方程,在此基础上本章将从实际问题入手,抽象出一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式.
九年级数学上册 21.1 一元二次方程教案 (新版)新人教版
教学难点
通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型,•再由一元一次方 程的概念迁移到一元二次方程的概念.
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设易方程,上初中后学 点题,板书课题. 联系曾经学
习了一元一次方程,二元一次方程组,可化为一 学生读题找等量关 习过的方程
方程,则 a 范围________.
3).已知方程 5x2+mx-6=0 的一个根是 x=3,则 m
的值为________
4).关于 x 的方程(2m2+m)xm+1+3x=6 可能是一元
二次方程吗? 四、小结归纳
1.一元二次方程的概念及其一般形式,能将一 个一元二次方程化为一般形式,并正确指出其各 项系数. 2.一元二次方程的根的概念,能判断一个数是 否是一个一元二次方程的根. 五、作业设计 必做:P4:1.2.4.6.7 选做:.P29:3.5.7
师巡视指导,了解 移提高
学生掌握情况,并 加深对概念理
概念归纳:
集中订正
解和运用,同
1.一元二次方程定义:
师生归纳总结,学 时对一元二次
分析:首先它是整式方程,然后未知数的个数是 生作笔记.
方程的根的情
1,最高次数是 2.
况初步感知
2.一元二次方程的一般形式:
使学生巩固
分析:
提高,
○1 .为什么规定 a ≠0?
2.下面哪些数是方程 x2+5x+6=0 的根? -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.
3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根 吗?
(1)x2-64=0(2)x2+1=0 (3)x2-3x=0 (4)
x2 2x 1 0 4.思考:一元一次方程一定有一个根,一元二 次方程呢? 5.排球邀请赛问题中,所列方程 x2 x 56 的根 是 8 和-7,但是答案只能有一个,应该是哪个? 归纳: ○1 一元二次方程的根的情况 ○2 一元二次方程的解要满足实际问题
新人教版九年级数学上册 第21章 《一元二次方程》全章教学设计
第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程【知识与技能】1.使学生理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,并能将一元二次方程化成一般式,正确识别二次项系数、一次项系数和常数项. 2.会判断一个数是否是一元二次方程的根.【过程与方法】经历由实际问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程,让学生体会到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.【情感态度】进一步培养学生的观察、类比、归纳能力,体验数学的严密性和深刻性. 【教学重点】一元二次方程的概念及其一般表现形式.【教学难点】从实际问题中抽象出一元二次方程的模型;识别方程中的“项”及“系数”.一、情境导入,初步认识(课件展示问题)雷锋纪念馆前的雷锋雕像高为2m,设计者当初设计它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部(全身)的高度比,即下部高度的平方等于上部与全部的积,如果设此雕像的下部高为xm,则其上部高为(2-x)m,由此可得到的等量关系如何?它是关于x的方程吗?如果是,你能看出它和我们以往学过的方程有什么不同吗?二、思考探究,获取新知由上述问题,我们可以得到x2=2(2-x),即x2+2x-4=0.显然这个方程只含有一个未知数,且x的最高次数为2,这类方程在现实生活中有广泛的应用.探究1见教材第2页问题1.(课件展示问题)【教学说明】针对上述问题可给予5~8分钟时间让学生讨论,教师可相应设置如下问题帮助学生分析:如果设四角折起的正方形的边长为xm,则制成的无盖方盒的底面长为多少?宽为多少?由底面积为3600cm2,可得到的方程又是怎样的?【讨论结果】设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为(100-2x)cm,宽为(50-2x)cm,由此可得到方程(100-2x)(50-2x)=3600,整理为:4x2-300x+1400=0,化简,得x2-75x+350=0,由此方程可得出所切去的正方形的大小.探究2见教材2~3页问题2.【教学说明】教学过程中,教师可设置如下问题:(1)这次排球赛共安排场;(2)若设应邀请x个队参赛,则每个队与其它个队各赛一场,这样共应有场比赛;(3)由此可列出的方程为,化简得.教师提出问题,引导学生思考方程的建模过程,同时注重激发学生解决问题的欲望和兴趣.(课件展示)【讨论结果】设应邀请x个队参赛,通过分析可得到12·x·(x-1)=28,化简,得x2-x=56,即x2-x-56=0.观察思考观察前面所构建的三个方程,它们有什么共同点?可让学生先独立思考,然后相互交流,得出这些方程的特征:(1)方程各项都是整式;(2)方程中只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.【归纳结论】1.一元二次方程:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.想一想1.二次项的系数a为什么不能为0?2.在指出二次项系数、一次项系数和常数项时,a、b、c都一定是正数吗?谈谈你的看法.探究3 从探究2中我们可以看出,由于参赛球队的支数x只能是正整数,因此可列表如下:可以发现,当x=8时,x2-x-56=0,所以x=8是方程x2-x-56=0的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.思考1.一元二次方程的根的定义应怎样描述呢?2.方程x2-x-56=0有一个根为x=8,它还有其它的根吗?【探讨结论】1.一元二次方程根的定义:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根;2.由于x=-7时,x2-x-56=49-(-7)-56=0,故x=-7也是方程x2-x-56的一个根.事实上,一元二次方程如果有实数根,则必然有两个实数根,通常记为x1=m,x2=n.三、典例精析,掌握新知例1将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中二次项系数、一次项系数及常数项.解:去括号,得3x2-3x=5x+10,移项、合并同类项,得一元二次方程的一般形式为3x2-8x-10=0.其中二次项系数为3,一次项系数为-8,常数项为-10.【教学说明】以上两例均可让学生独立思考,自主完成.教师巡视,了解学生的掌握情况,最后选取几个优秀作业和有代表性问题作业通过幻灯片展示给全班同学学习与思考,加深对本节知识的理解和掌握.四、运用新知,深化理解1.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式,指出其二次项系数、一次项系数及常数项:(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x;(3)把长为1的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积,等于较长一段的平方,求较短一段的长x.【教学说明】让学生当堂完成上述练习,达到巩固新知目的.最后全班同学核对答案即可.五、师生互动,课堂小结教师提出以下问题,让学生交流,加强反思、提炼及知识归纳.(1)一元二次方程的定义,一般式及二次项系数、一次项系数和常数项;(2)一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)中的括号是否可有可无?为什么?(3)通过这节课的学习你还有哪些收获?1.布置作业:教材“习题21.1”第1,2,3题21.2 解一元二次方程21.2.1 配方法第1课时直接开平方法【知识与技能】1.会利用开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程;2.初步了解形如(x+n)2=p(p≥0)方程的解法.【过程与方法】通过对实例的探究过程,体会类比、转化、降次的数学思想方法.【情感态度】在成功解决实际问题过程中,体验成功的快乐,增强数学学习的信心和乐趣.【教学重点】解形如x2=p(p≥0)的方程.【教学难点】把一个方程化成x2=p(p≥0)的形式.一、情境导入,初步认识问题我们知道,42=16,(-4)2=16,如果有x2=16,你知道x的值是多少吗?说说你的想法.如果3x2=18呢?【教学说明】让学生通过回顾平方根的意义初步感受利用开平方法求简单一元二次方程的思路,引入新课.教学时,教师提出问题后,让学生相互交流,在类比的基础上感受新知.解:如果x2=16,则x=±4;若3x2=18,则x=6.二、思考探究,获取新知探究一桶油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?思考1 设一个盒子的棱长为xdm,则它的外表面面积为,10个这种盒子的外表面面积的和为,由此你可得到方程为,你能求出它的解吗?解:6x2,10×6x2,10×6x2=1500,整理得x2=25,根据平方根的意义,得x=±5,可以验证,5和-5是原方程的两个根,因为棱长不能为负值,所以盒子的棱长为5dm,故x=5dm. 【教学说明】学生通过自主探究,尝试用开平方法解决一元二次方程,体验成功的快乐.教师应关注学生的思考是否正确,是否注意到实际问题的解与对应的一元二次方程的解之间的关系,帮助学生获取新知.【归纳结论】一般地,对于方程x2=p,(Ⅰ)(1)当p>0时,根据平方根的意义,方程(Ⅰ)有两个不等的实数根x1p,x2p(2)当p=0时,方程(Ⅰ)有两个相等的实数根x1=x2=0;(3)当p<0时,因为对任意实数x,都有x2≥0,所以方程(Ⅰ)无实数根.思考2对上面题解方程(Ⅰ)的过程,你认为应该怎样解方程(x+3)2=5?学生通过比较它们与方程x2=25异同,从而获得解一元二次方程的思路.在解方程(Ⅰ)时,由方程x2=25得x=±5.由此想到:由方程(x+3)2=5,②得x+3=5,即55.③于是,方程(x+3)2=5的两个根为x1525【教学说明】教学时,就让学生独立尝试给出解答过程,最后教师再给出规范解答,既帮助学生形成用直接开平方法解一元二次方程的方法,同时为以后学配方法作好铺垫,让学生体会到类比、转化、降次的数学思想方法.【归纳结论】上面的解法中,由方程②得到③,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样就把方程②转化为我们会解的方程了.【教学说明】上述归纳结论应由师生共同探讨获得,教师要让学生知道解一元二次方程的实质是转化.三、典例精析,掌握新知例解下列方程:(教材第6页练习)(1)2x2-8=0; (2)9x2-5=3;(3)(x+6)2-9=0; (4)3(x-1)2-6=0;(5)x2-4x+4=5; (6)9x2+5=1.解:(1)原方程整理,得2x2=8,即x2=4,根据平方根的意义,得x=±2,即x1=2,x2=-2.(2)原方程可化为9x2=8,即x2=8/9.两边开平方,得x=±223,即x1=223,x2=-223.(3)原方程整理,得(x+6)2=9,根据平方根的意义,得x+6=±3,即x1=-3,x2=-9.(4)原方程可化为(x-1)2=2,两边开平方,得x-1=±2,∴x1=1+2,x2=1-2;(5)原方程可化为(x-2)2=5,两边开平方,得x-2=±5,∴x1=2+5,x2=2-5.(6)原方程可化为9x2=-4,x2=-4/9.由前面结论知,当p<0时,对任意实数x,都有x2≥0,所以这个方程无实根.【教学说明】本例可选派六位同学上黑板演算,其余同学自主探究,独立完成.教师巡视全场,发现问题及时予以纠正,帮助学生深化理解,最后师生共同给出评析,完善认知.特别要强调用直接开平方法开方时什么情况下是无实根的.四、运用新知,深化理解1.若8x2-16=0,则x的值是.2.若方程2(x-3)2=72,那么这个一元二次方程的两根是.3.如果实数a、b满足3a+4+b2-12b+36=0,则ab的值为.4.已知方程(x-2)2=m2-1的一个根是x=4,求m的值和另一个根.【教学说明】让学生独立完成,加深对本节知识的理解和掌握.五、师生互动,课堂小结教师可以向学生这样提问:(1)你学会怎样解一元二次方程了吗?有哪些步骤?(2)通过今天的学习你了解了哪些数学思想方法?与同伴交流.【教学说明】教师可引导学生提炼本节知识及方法,感受解一元二次方程的降次思想方法.1.布置作业:教材“习题21.2”第1题.21.2.1配方法(第2课时)教学过程教学反思:21.2.2 公式法教学目标1.理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程.2.复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入ax 2+bx+c=0(a≠0)•的求根公式的推导公式,并应用公式法解一元二次方程. 重难点关键1.重点:求根公式的推导和公式法的应用.2.难点与关键:一元二次方程求根公式法的推导. 教学过程一、复习引入(学生活动)用配方法解下列方程(1)6x 2-7x+1=0 (2)4x 2-3x=52 解: (1)移项,得:6x 2-7x=-1二次项系数化为1,得:x 2-76x=-16配方,得:x 2-76x+(712)2 = -16+(712)2(x-712)2 = 25144x-712= ±512 x 1=512+712=7512+=1 , x 2=-512+712=7512-=16(2)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结,老师点评). (1)移项;(2)化二次项系数为1;(3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方; (4)原方程变形为(x+m )2=n 的形式;(5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解. 二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题.问题:已知ax 2+bx+c=0(a≠0)且b 2-4ac≥0,试推导它的两个根x 1x 2=2b a--分析:因为前面具体数字已做得很多,我们现在不妨把a 、b 、c 也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去. 解:移项,得:ax 2+bx=-c二次项系数化为1,得x 2+b a x=-ca配方,得:x 2+b a x+(2b a )2=-c a +(2ba )2即(x+2b a)2=2244b ac a - ∵b 2-4ac≥0且4a 2>0∴2244b aca -≥0直接开平方,得:x+2ba即∴x 1x 2 由上可知,一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a 、b 、c 而定,因此: (1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0,当b-4ac≥0时,将a 、b 、c 代入式子(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法. (4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根. 例1.用公式法解下列方程.(1)2x 2-4x-1=0 (2)5x+2=3x 2 (3)(x-2)(3x-5)=0 (4)4x 2-3x+1=0分析:用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后代入公式即可. 解:(1)a=2,b=-4,c=-1b 2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24>0== ∴x 1x 2 (2)将方程化为一般形式3x 2-5x-2=0a=3,b=-5,c=-2 b 2-4ac=(-5)2-4×3×(-2)=49>0576±= x 1=2,x 2=-13(3)将方程化为一般形式3x 2-11x+9=0a=3,b=-11,c=9 b 2-4ac=(-11)2-4×3×9=13>0∴x=(11)11236--±=⨯ ∴x 1=116+x 2=116-(3)a=4,b=-3,c=1b 2-4ac=(-3)2-4×4×1=-7<0因为在实数范围内,负数不能开平方,所以方程无实数根. 三、巩固练习教材P 12 练习1 第1题21.2.3 因式分解法【知识与技能】1.会用因式分解法(提公因式法、运用公式)解一元二次方程.2.能根据方程的具体特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性.【过程与方法】在经历探索用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解一元二次方程的过程中,进一步锻炼学生的观察能力,分析能力和解决问题能力.【情感态度】通过因式分解法解一元二次方程的探究活动,培养学生勇于探索的良好习惯,感受数学的严谨性及教学方法的多样性.【教学重点】会用因式分解法解一元二次方程.【教学难点】理解并应用因式分解法解一元二次方程.一、情境导入,初步认识问题根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛,那么经过x s物体离地面的高度(单位:m)为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗?(精确到0.01s)想一想你能根据题意列出方程吗?你能想出解此方程的简捷方法吗?【教学说明】让学生通过具体问题寻求解决问题的方法,激发学生求知欲望,引入新课.二、思考探究,获取新知学生通过讨论,交流得出方程为10x-4.9x2=0.在学生用配方法或公式法求出上述方程的解后,教师引导学生尝试找出其简捷解法为:x(10-4.9 x)=0.∴x =0或10-4.9 x =0,∴x 1=0, x 2=10049≈2.04.从而可知物体被抛出约2.04s后落回到地面.想一想以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次方程的?通过学生的讨论、交流可归纳为:当方程的一边为0,而另一边可以分解成两个一次因式的乘积时,利用a·b=0,则a=0或b=0,把一元二次方程变为两个一元一次方程,从而求出方程的解.这种解法称为因式分解法.【教学说明】让学生自主探索,进行归纳总结,既锻炼学生的分析问题,解决问题能力,又能培养总结化归能力,并从中体验转化、降次的思想方法.三、典例精析,掌握新知例1 解下列方程:(1)x (x -2)+ x -2=0; (2)5 x 2-2 x -14= x 2-2 x +34.解:(1)因式分解,得(x-2)(x+1)=0.故有x-2=0或x+1=0.∴x1=2, x2=-1. (2)原方程整理为4x 2-1=0.因式分解,得(2x +1)(2x-1)=0.∴2x+1=0或2x-1=0.∴x 1=-12, x 2=12.想一想以上两个方程可以用配方法或公式法来解决吗?如果可以,请比较它们与因式分解法的优缺点.【归纳结论】1.配方法要先配方,再降次;公式法可直接套用公式;因式分解法要先使方程的一边为0,而另一边能用提公因式法或公式法分解因式,从而将一元二次方程化为两个一次因式的积为0,达到降次目的,从而解出方程;2.配方法、公式法适用于所有一元二次方程,而因式分解法则只适用于某些一元二次方程,不是所有的一元二次方程都适用因式分解法来求解.四、运用新知,深化理解1.用因式分解法解方程,下列方程中正确的是()A.(2x-2)(3x-4)=0,∴2x-2=0或3x-4=0B. (x+3)(x-1)=1,∴x+3=0或x-1=1C.(x+2)(x-3)=6,∴x+2=3或x-3=2D. x(x+2)=0,∴x+2=02.当x= 时,代数式x2-3x的值是-2.3.已知y=x2+x-6,当x= 时,y的值等于0.当x= 时,y的值等于24.(注:4~5题为教材第14页练习)4.解下列方程:(1)x2+x=0; (2)x2-23x=0;(3)3x2-6x=-3; (4)4x2-121=0;(5)3x(2x+1)=4x+2; (6)(x-4)2=(5-2x)2.5.如图,把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地面积扩大了一倍.求小圆形场地的半径.【教学说明】针对所设置的作业,可因不同的学生分层次布置作业,让每个学生都能参与数学的学习,激发学习热情.【答案】1.A 2.1或2 3.2或-35或-6 4~5略.五、师生互动,课堂小结1.用因式分解法解一元二次方程有哪些优缺点?需注意哪些细节问题?2.通过本节课的学习,你还有哪些收获和体会?【教学说明】设计两个问题引导学生回顾本课知识的学习过程,反思学习过程中的疑惑,查漏补缺,完善认知.布置作业:教材“习题21.2”第6题.。
人教版九年级上册数学211一元二次方程教案
人教版九年级上册数学 21.1一元二次方程教案人教版九年级上册数学 21.1一元二次方程教案一、教学目标1.掌握一元二次方程的概念及其特点。
2.学会判断一个方程是否为一元二次方程。
3.理解一元二次方程的一般形式及其各项系数的意义。
4.培养学生的观察、分析和归纳能力,提高学生的数学素养。
二、教学重点与难点重点:一元二次方程的概念及其特点,一元二次方程的一般形式。
难点:判断一个方程是否为一元二次方程,理解一元二次方程的各项系数的意义。
三、教学方法与手段教学方法:采用启发式教学和实例教学相结合的方法,通过具体的例子引导学生观察、分析和归纳。
教学手段:多媒体教学,利用PPT课件展示教学内容,增加课堂趣味性。
四、教学准备1.制作PPT课件,包括一元二次方程的概念、特点、一般形式等内容。
2.准备一些具体的方程例子,用于课堂讲解和练习。
3.准备课堂练习册和课后作业题。
五、教学过程1.导入新课(1)通过具体例子引出一元二次方程的概念。
例如:某商场一月份的销售额为100万元,二月份的销售额比一月份增加了10%,三月份的销售额比二月份增加了20%。
求三月份的销售额。
解:设一月份的销售额为x万元,则二月份的销售额为(1+10%)x万元,三月份的销售额为(1+20%)(1+10%)x万元。
根据题意,可列方程:x(1+10%)(1+20%)=100(1+10%+20%)化简得:x²+0.3x-135=0这是一个含有未知数的等式,并且未知数的最高次数是2,这样的方程就是一元二次方程。
(2)引导学生观察、分析和归纳一元二次方程的特点。
特点:a. 只含有一个未知数;b. 未知数的最高次数是2;c. 是整式方程。
2.学习新课(1)介绍一元二次方程的一般形式及其各项系数的意义。
一般形式:ax²+bx+c=0(a≠0)其中,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项。
(2)通过具体的例子让学生练习判断一个方程是否为一元二次方程。
人教版九年级数学上册21.1一元二次方程教案
-了解一元二次方程根的判别式Δ=b²-4ac的意义,能够根据判别式的值判断方程有几个实数根。
-将一元二次方程应用于解决实际问题,培养数学建模和数学应用的能力。
举例:对于重点内容“配方法解一元二次方程”,教师应详细讲解如何通过添加和减去同一个数,使方程两边保持等价,从而将原方程转化为完全平方公式形式,进而求解。
五、教学反思
在今天的教学过程中,我发现学生们对一元二次方程的概念和求解方法表现出很大的兴趣。通过引入日常生活中的实际问题,学生们能够更加直观地感受到数学知识的实用性。然而,我也注意到在教学中存在一些需要改进的地方。
在导入新课环节,我尝试以提问的方式引发学生的思考,但感觉问题设置可能还可以更加贴近学生的生活,以增强他们的代入感。今后,我可以考虑设计更具挑战性和趣味性的问题,进一步提高学生的参与度。
(一)导入新课(用时5分钟)
同学们,今天我们将要学习的是《一元二次方程》这一章节。在开始之前,我想先问大家一个问题:“你们在日常生活中是否遇到过需要解决面积、速度或距离等与二次关系相关的问题?”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题,我希望能够引起大家的兴趣和好奇心,让我们一同探索一元二次方程的奥秘。
(二)新课讲授(用时10分钟)
1.理论介绍:首先,我们要了解一元二次方程的基本概念。一元二次方程是指形如ax²+bx+c=0(a≠0)的方程。它在数学中占有重要地位,可以帮助我们解决许多实际问题。
2.案例分析:接下来,我们来看一个具体的案例。这个案例将展示一元二次方程在求解物体自由落体运动中的距离问题,以及它如何帮助我们解决问题。
学生小组讨论环节,整体氛围较好,学生们能够围绕主题展开讨论。但在引导和启发学生思考方面,我觉得还可以做得更好。今后,我将更加注重提问的技巧,引导学生深入探讨问题,激发他们的创新思维。
九年级数学上册第二十一章21.1一元二次方程备课资料教案新人教版(2021年整理)
九年级数学上册第二十一章21.1 一元二次方程备课资料教案(新版)新人教版编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(九年级数学上册第二十一章21.1 一元二次方程备课资料教案(新版)新人教版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第二十一章 21.1一元二次方程知识点1:一元二次方程的概念等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.一元二次方程满足三个条件:(1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数为2.判断方程是否是一元二次方程的步骤是:先进行整理,然后按定义进行判断.一元二次方程与一元一次方程的共同点和不同点:(1)共同点:它们都是整式方程,并且只含有一个未知数.(2)不同点:一元二次方程中未知数的最高次数是2,而一元一次方程中未知数的最高次数是1。
知识点2:一元二次方程的一般形式一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:ax2+bx+c=0(a≠0)。
这种形式叫做一元二次方程的一般形式,其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx 是一次项,b是一次项系数;c是常数项.归纳整理:(1)一元二次方程的一般形式有两个特点:①等式的左边是二次三项式,右边是0;②二次项系数a≠0,因为a=0时,方程就不是一元二次方程了。
(2)任何一个一元二次方程,经过整理都可以化为一般形式.在理解一元二次方程的一般形式时,要注意以下几点:①在求一元二次方程各项的系数时,首先必须把一元二次方程化成一般形式;②二次项、二次项系数、一次项、一次项系数和常数项都是包括符号的。
人教版九年级数学上册:21.1 一元二次方程 教案设计2
人教版九年级下册第二十一章一元二次方程21.2一元二次方程的解法 (1)一、教学目标:知识与技能:知道直接开平方法适用于解形如(x+h) 2 =m的方程,它的依据是数的开方;过程与方法:会用直接开平方法解形如(x-a) 2=b (b≥0)的方程;情感与态度:在把(x-a)2=b (b≥0)看成x2=b (b≥0)的过程中,引导学生体会“换元”的数学方法,培养学生思想方法的渗透. 二、教学重点:用直接开平方法解一元二次方程.教学难点:怎样的一元二次方程适用于直接开平方法.三、教学过程:1、新课引入:旧知回顾:问题1:要求学生复述平方根的意义.师生活动:(1)文字语言表示:如果一个数的平方的等于a,这个数叫a 的平方根.(2)用式子表示:若x 2=a,则x叫做a的平方根.一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根.问题2:求适合等于x 2=4的x 的值.师生活动:学生不难看出本题的解(x=2或x=-2),教学中要注意引导学生观察这个方程的特点,探索解这个方程与已学知识(数的开方)的联系。
在求出方程x2-4 = 0 的解以后,引导学生总结:解这样的方程,就是要“求一个数,使它的平方是4”,即求4的平方根,可用开平方的方法.(设计意图:这个过程体现了数学常用的一种重要的数学思想方法——化归。
事实上,解决数学问题的过程,就是一系列的转化过程,把未知的转化为已知的,最终使问题解决.)2、新课讲解:问题1 : 如果一元二次方程:aX 2+ bX + c = 0 (a ≠0)的一次项系数b 、常数项c 中至少有一个为0,那么就能得到那些特殊的一元二次方程?(1) ax 2 = 0 (2) ax 2 + c = 0 (3) ax 2+ bx = 0问题2 : 怎样解方程ax 2 = 0?师生活动:可以3x 2 = 0为具体例子,学生根据平方根的定义,得到x=0.应指出3x 2 = 0有两个相等的实数根,即x 1=0,x 2=0 ;这与一元一次方程3x=0有一个根x=0是有区别的,进而指出:方程ax 2 = 0有两个相等的实数根x 1=x 2=0)问题3: 怎样解方程ax 2 + c = 0 (a ≠0)?师生活动:可以(1) x 2-4 = 0,(2) 2x 2-50 = 0,(3) 2x 2+50= 0等方程为例,由学生把它们变形为x 2=-ac 的形式,用平方根的定义来求解.接着指出:这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法,其中适合方程(3)的实数x 不存在,所以原方程无实数解.师生活动:进而引导学生归纳方程ax 2+c = 0的解的情况:当a 、c 异号时,方程ax 2+c = 0有两个不相等的实数根;当a 、c 同号时,方程ax 2+c = 0没有实数根.(设计意图:以上教学设计让学生经历由简单到复杂的研究过程,对于一元二次方程的解有全面了解;通过对方程ax 2 + c = 0 (a ≠0)解的情况的讨论,体会分类的思想;最后设计的几个过程,让学生判断、求解,体现了“换元”的思想方法。
秋九年级数学上册 21.1.1 一元二次方程教学设计 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年级上
可以写成:25-x=2x-8.这样就得到了一个方程:即 -3x +33 =0
教师提问,学生回答:方程只含有一个未知数,并且未知数的指数是1,这样的方程叫做什么方程?
复习列方程一次方程解应用题,为继续学习建立一元二次方程的数学模型解实际问题作好铺垫.
通过复习一元一次方程的概念,为学习一元二次方程作铺垫。
难点
通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型, 再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念.
二、教学流程安排
活动流程图
活动内容和目的
活动一 复习导入
活动二 创设问题情景,引出新知
活动三 探究新知
活动四 小结、布置作业
复习一元一次方程,对比学习一元二次方程
通过实际问题引出一元二次方程的具体例子,让学生感受到方程应用的广泛性。
(1)学生分析问题,解决问题的能力/
(2)学生能否准确设未知数,利用等量关系列方程。
问题2与问题3源于生活,有利于激发学生的学习兴趣,培养学生的应用意识。
通过三个问题(黄金分割问题,面积问题,比赛问题)进一步引出一元二次方程的具体例子。并使学生认识到一元二次方程有广泛的实际背景,它可以作为许多实际问题的数学模型。
通过对这三个问题的解决,学生进一步明确列方程解应用题的步骤与方法;为后面的应用奠定基础。
活动三
方程(1)(2)(3)有什么共同特点?
学生活动:请口答下面问题.
(1)上面三个方程整理后含有几个未知数?
(2)按照整式中的多项式的规定,它们最高次数是几次?
(3)它是一元一次方程吗?
老师点评:(1)都只含一个未知数x;(2)它们的最高次数都是2次的;(3) 是方程.
九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程教案2 (新版)新人教版-(新版)新
21.1 一元二次方程01 教学目标1.理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,并能将一元二次方程转化为一般形式,确定出二次项系数、一次项系数和常数项.2.理解一元二次方程的根的意义,能够运用代入法检验根的正确性.02 预习反馈1.等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.如:下列方程:①1-x2=0;②2(x2-1)=3y;③2x2-3x-1=0;④1x2-2x=0中,是一元二次方程的是①③.2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),其中,ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.3.使方程左右两边相等的未知数的值,就是这个一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根.求方程的解的过程,叫做解方程.如:下面哪些数是方程x2-x-6=0的根?-2,3.-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.03 新课讲授类型1 一元二次方程的一般形式例1(教材P3例)将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.【解答】去括号,得3x2-3x=5x+10.移项,合并同类项,得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.其中二次项系数为3,一次项系数为-8,常数项为-10.【方法归纳】 1.把一元二次方程化为一般形式,就是把一元二次方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式.其中,二次项系数、一次项系数、常数项均包括数字前的符号.2.将一元二次方程化为一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.【跟踪训练1】方程x2-2(3x-2)+(x+1)=0的一般形式是(A)A.x2-5x+5=0 B.x2+5x+5=0C.x2+5x-5=0 D.x2+5=0【跟踪训练2】(习题)一个关于x的一元二次方程,它的二次项系数为2,一次项系数为3,常数项为-5,则这个一元二次方程是2x2+3x-5=0.类型2 一元二次方程的解的意义例2(教材补充例题)关于x的一元二次方程(a+1)x2-ax+||a-1=0的一个根为0,则a=1.【思路点拨】将x=0代入一元二次方程,得到关于a的方程,解方程即可.注意二次项系数a+1≠0.【跟踪训练3】已知关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是x=-a(a≠0),则a-b 的值为(A)A.-1 B.0C.1 D.204 巩固训练1.若(p-2)x2-3x+p2-p=0是关于x的一元二次方程,则(D)A.p=2 B.p≠0C.p>2 D.p≠22.把方程(x-2)(x+2)+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项分别是(D)A.5、-4、6 B.1、-5、0C.5、-2、1 D.5、-4、-33.若x=3是关于x的方程2x2+ax-6=0的一个根,则a的值是-4.4.根据题意,列出方程(不必解答):(1)两个连续整数的积是210,求这两个数;(2)在一块长250 m、宽150 m的草地四周修一条路,路修好后草地的面积减少1 191 m2,求这条路的宽度.解:(1)设其中一个整数为x,则另一个整数为(x+1),依题意,得x(x+1)=210.(2)设这条路的宽为x m,则(250-2x)(150-2x)=250×150-1 191.05 课堂小结。
九年级数学上册21.1一元二次方程教案新版新人教版2017070626高品质版
一元二次方程一、教课目的1.研究一元二次方程及其有关观点,能够划分各项系数;能够从实质问题中抽象出方程知识在研究问题的过程中使学生感觉方程是刻画现实世界的一个模型,领会方程与实质生活的联系经过用一元二次方程解决身旁的问题,领会数学知识应用的价值,提升学生学习数学的兴趣,认识数学对促使社会进步和展开人类理性精神的作用.二、课时安排课时三、教课要点一元二次方程的定义、各项系数的划分,根的作用.四、教课难点根的作用的理解.五、教课过程〔一〕导入新课情形:要设计一座2m高的人体塑像,修塑像的上部〔腰以上〕与下部〔腰以下〕的高度比,等于下部与所有的高度比,塑像的下部应设计为多高?剖析:塑像上部的高度AC,下部的高度BC应有以下关系:解:设塑像下部高xm,于是得方程x2=2(2-x)整理得x2+2x-4=0 ①〔二〕合作研究问题1:如图,有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切一个相同的正方形,而后将周围突出局部折起,就能制作一个无盖方盒,假如要制作的无盖方盒的底面积2为3600cm,那么铁皮各角应切去多大的正方形?解:设切去的正方形的边长为 xcm,那么盒底的长为〔100-2x〕cm,宽为〔50-2x〕cm,依据方盒的底面积为3600cm2,得100-2x〕〔50-2x〕=3600.整理,得4 x2-300x+1400=0.化简,得x 2-75x+350=0. ②由方程②能够得出所切正方形的详细尺寸 .问题2: 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要竞赛一场,依据场所和时间等条件,赛程方案安排7天,每日安排4场竞赛,竞赛组织者应邀请多少个队参赛?解:设应邀请 x个队参赛,每个队要与其余〔 x-1〕个队各赛 1场,因为甲队对乙队的竞赛和乙队对甲队的竞赛是同一场竞赛,因此所有竞赛共所有竞赛共4×7=28场1xx1场.2列方程得:1xx1282整理得:1x21x2822化简得:x2x56问题3:新九(6)班建立,各新同学首次同班,为表友情,全班同学互送贺卡,全班共送贺卡1560张,求九(6)班现有多少名学生?解:设九(6)班有m名学生,那么:m(m-1)=15602整理,得:m-m=15602化简,得:m-m-1560=0 ④由方程④能够得出参赛队数.222-x=562概括:方程①x+2x-4=0②x-75x+350=0③x④m-m-1560=0有什么特色?总结:〔1〕这些方程的两边都是整式,〔2〕方程中只含有一个未知数,未知数的最高次数是 2.像这样的等号两边都是整式,只含有一个未知数〔一元〕,而且未知数的最高次数是2〔二次〕的方程,叫做一元二次方程.〔三〕重难点精讲例题1:将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出此中的二次项系数,一次项系数及常数项.解:去括号,得3x2-3x=5x+10.移项,归并同类项,得一元二次方程的一般形式:3x2-8x-10=0.此中二次项系数为3,一次项系数为- 8,常数项为-10.例题2:假定对于x的方程〔k+3〕x2-kx+1=0是一元二次方程,求k的取值范围。
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21.1一元二次方程
一、教学目标
1.探索一元二次方程及其相关概念,能够辨别各项系数;能够从实际问题中抽象出方程知识
2.在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型,体会方程与实际生活的联系
3.通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识应用的价值,提高学生学习数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.
二、课时安排
1课时
三、教学重点
一元二次方程的定义、各项系数的辨别,根的作用.
四、教学难点
根的作用的理解.
五、教学过程
(一)导入新课
情景:要设计一座2m高的人体雕像,修雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,雕像的下部应设计为多高?
分析:雕像上部的高度AC,下部的高度BC应有如下关系:
解:设雕像下部高x m,于是得方程x2=2(2-x)
整理得x2+2x-4=0 ①
(二)合作探究
问题1 :如图,有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切一个同样的正
方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm 2
,那么铁皮各角应切去多大的正方形?
解:设切去的正方形的边长为x cm ,则盒底的长为(100-2x )cm ,宽为(50-2x )cm ,根据方盒的底面积为3600cm 2,得
(100-2x )(50-2x )=3600.
整理,得
4x 2-300x +1400=0.
化简,得 x 2-75x +350=0 . ②
由方程②可以得出所切正方形的具体尺寸.
问题2: 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?
解:设应邀请x 个队参赛,每个队要与其它(x -1)个队各赛1场,由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以全部比赛共
()12
1-x x 场. 全部比赛共4×7=28场 列方程得:
()2812
1=-x x 整理得:2821212=-x x 化简得:562=-x x
问题3:新九(6)班成立,各新同学初次同班,为表友谊,全班同学互送贺卡,全班共送贺卡1560张,求九(6)班现有多少名学生?
解:设九(6)班有m 名学生,则:
m(m-1)=1560
整理,得:m 2
-m=1560
化简,得:m 2-m-1560=0 ④
由方程④可以得出参赛队数.
归纳:方程①x 2+2x -4=0 ②x 2-75x +350=0 ③x 2-x =56 ④m 2-m-1560=0 有什么特点?
总结:
(1)这些方程的两边都是整式,
(2)方程中只含有一个未知数,未知数的最高次数是2.
像这样的等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),
并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.
(三)重难点精讲
例题1: 将方程3x (x -1)=5(x +2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数,一次项系数及常数项.
解:去括号,得
3x 2-3x =5x +10.
移项,合并同类项,得一元二次方程的一般形式:
3x 2-8x -10=0.
其中二次项系数为3,一次项系数为-8,常数项为-10.
例题2:若关于x的方程(k+3)x2-kx+1=0是一元二次方程,求k的取值范围。
解:∵方程(k+3)x2-kx+1=0是一元二次方程,
∴ K+3≠0
∴ K≠-3
例题3:已知x=2是关于x 的方程
02232=-a x 的一个根,求2a-1的值。
解:把x=2代入
022
32=-a x 中 得2a=6
∴2a -1=5
∴a=3
(四)归纳小结
1.一元二次方程的概念.
一元二次方程的定义要求的三个条件。
要灵活运用定义判断方程是一元二次方程或由一元二次方程来确定一些字母的值及取值范围
2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)和二次项、二次项系数,一次项、一次项系数,常数项的概念
3.一元二次方程根的概念以及作用
(五)随堂检测
1.把方程先化成一元二次方程的一般形式,再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)5x2=3x;
(2)(7x﹣1)2﹣3=0;
(3)(﹣1)(+1)=0;
(4)(6m﹣5)(2m+1)=m2.
2.已知关于x的方程(m﹣1)x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0,
(1)求m的值;
(2)求方程的解.
3.已知,下列关于x的一元二次方程
(1)x2﹣1=0 (2)x2+x﹣2=0 (3)x2+2x﹣3=0 …(n)x2+(n﹣1)x﹣n=0 (1)求出方程(1)、方程(2)、方程(3)的根,并猜测方程(n)的根.
(2)请指出上述几个方程的根有什么共同特点,写出一条即可.
六.板书设计
一元二次方程
1.一元二次方程的概念归纳.
2.一元二次方程的一般形:
3.一元二次方程根的概念以及作用
七、作业布置
课本P4 练习1,2
补充习题:将方程(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成一元二次方程的一般形式,并写出其
中的二次项、二次项系数;一次项、一次项系数;常数项.
八、教学反思。