2012启航考研数学公式大全

b
矩形法： ∫ f ( x) ≈
a b
b −a ( y 0 + y1 + ⋯ + y n −1 ) n b −a 1 [ ( y 0 + y n ) + y1 + ⋯ + y n −1 ] n 2 b−a [( y 0 + y n ) + 2( y 2 + y 4 + ⋯ + y n − 2 ) + 4( y1 + y3 + ⋯ + y n −1 )] 3n
三角函数公式： ·诱导公式： 函数 角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α ·和差角公式： sin -sinα cosα cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cos cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cosα cosα tg -tgα ctgα -ctgα -tgα tgα ctgα -ctgα -tgα tgα ctg -ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα
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·倍角公式：
sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = cos 2 α − sin 2 α sin 3α = 3 sin α − 4 sin 3 α cos 3α = 4 cos 3 α − 3 cos α 3tgα − tg 3α 1 − 3tg 2α
ax � �� � � � 向量的混合积： [ ab c ] = ( a × b ) ⋅ c = bx cx
代表平行六面体的体积 。
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� 1、点法式：A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z 0 ) = 0，其中n = { A, B, C}, M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 2、一般方程：Ax + By + Cz + D = 0 x y z 3、截距世方程： + + = 1 a b c 平面外任意一点到该平面的距离：d =
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理： f (b) − f ( a) = f ′(ξ )(b − a ) f (b) − f (a ) f ′(ξ ) 柯西中值定理： = F (b) − F (a) F ′(ξ ) 当F( x ) = x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。
曲率：
弧微分公式： ds = 1 + y ′2 dx, 其中 y ′ = tgα 平均曲率： K= ∆α .∆α : 从M点到M ′点，切线斜率的倾角变 化量； ∆s ：MM ′弧长。 ∆s
多元函数微分法及应用
全微分： dz =
∂z ∂z ∂u ∂u ∂u dx + dy du = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂x ∂y ∂z
全微分的近似计算： ∆z ≈ dz = f x ( x, y ) ∆x + f y ( x, y )∆y 多元复合函数的求导法 ：
dz ∂z ∂u ∂z ∂v z = f [u (t ), v(t )] = ⋅ + ⋅ dt ∂u ∂t ∂v ∂t ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v z = f [u ( x, y ), v( x, y )] = ⋅ + ⋅ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x 当u = u ( x, y )，v = v ( x , y )时， ∂u ∂u ∂v ∂v du = dx + dy dv = dx + dy ∂x ∂y ∂x ∂y
·和差化积公式：
sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β
tgα ± tgβ 1 ∓ tgα ⋅ tgβ ctgα ⋅ ctgβ ∓ 1 ctg (α ± β ) = ctgβ ± ctgα tg (α ± β ) =
ctg 2α − 1 ctg 2α = 2ctgα 2tgα tg 2α = 1 − tg 2α
·半角公式：
tg 3α =
sin
α 1 − cos α α 1 + cos α =± cos = ± 2 2 2 2
tg
α 1 − cos α 1 − cos α sin α α 1 + cos α 1 + cos α sin α =± = = ctg = ± = = 2 1 + cos α sin α 1 + cos α 2 1 − cos α sin α 1 − cos α a b c = = = 2R sin A sin B sin C
双曲正弦 : shx =
sin x =1 x →0 x 1 lim(1 + ) x = e = 2.718281828459045... x →∞ x lim
arshx = ln( x + x 2 + 1） archx = ± ln( x + x 2 − 1) 1 1+ x arthx = ln 2 1− x
·余弦定理： c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C
·正弦定理：
·反三角函数性质： arcsin x =
π π − arccos x arctgx = − arcctgx 2 2
—— 莱布尼兹（ Leibniz ）公式： 高阶导数公式 高阶导数公式—— ——莱布尼兹（ 莱布尼兹（Leibniz Leibniz）公式：
M点的曲率： K = lim 直线： K = 0;
y ′′ ∆α dα = = . ∆ s →0 ∆ s ds (1 + y ′ 2 ) 3
1 半径为 a的圆： K = . a
定积分的近似计算：
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平面的方程：
Ax0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2
⎧ x = x0 + mt x − x0 y − y0 z − z 0 � ⎪ 空间直线的方程： = = = t, 其中s = {m, n, p}; 参数方程： ⎨ y = y0 + nt m n p ⎪ z = z + pt 0 ⎩ 二次曲面：
x2 y2 z 2 1、椭球面： 2 + 2 + 2 = 1 a b c 2 2 x y 2、抛物面： + = z（ , p, q同号） 2 p 2q
3、双曲面：
x2 y 2 z 2 单叶双曲面： 2 + 2 − 2 = 1 a b c 2 2 x y z2 双叶双曲面： 2 − 2 + 2 =（马鞍面） 1 a b c
dx 1 x ∫ a 2 + x2 = a arctg a +C dx 1 x−a ∫ x 2 − a 2 = 2a ln x + a + C dx 1 a+x ∫ a 2 − x 2 = 2a ln a − x + C dx x ∫ a 2 − x 2 = arcsin a + C
π 2 π 2
∫ cosቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α +β α−β cos 2 2 α +β α −β sin α − sin β = 2 cos sin 2 2 α +β α −β cos α + cos β = 2 cos cos 2 2 α +β α −β cos α − cos β = 2 sin sin 2 2
sin α + sin β = 2 sin
隐函数的求导公式：
dy Fx d2y ∂ F ∂ F dy 隐函数 F ( x, y ) = 0， = − ， 2 = ( − x )＋ ( − x ) ⋅ dx Fy dx ∂x F y ∂y F y dx Fy ∂z F ∂z 隐函数 F ( x, y , z ) = 0， = − x ， = − ∂x Fz ∂y Fz
2012 年考研数学公式大全
导数公式：
(tgx )′ = sec 2 x ( ctgx)′ = − csc 2 x (sec x) ′ = sec x ⋅ tgx (csc x) ′ = − csc x ⋅ ctgx ( a x )′ = a x ln a (log a x) ′ =
基本积分表：
1 x ln a
dx
2
x dx 2 ∫ sin 2 x = ∫ csc xdx = −ctgx + C ∫ sec x ⋅ tgxdx = sec x + C
= ∫ sec 2 xdx = tgx + C
∫ csc x ⋅ ctgxdx = − csc x + C
ax ∫ a dx = ln a + C ∫ shxdx = chx + C
三角函数的有理式积分：
2u 1− u 2 x 2du sin x = ， cos x = ， u = tg ， dx = 2 2 1+ u 1+ u 2 1+ u 2
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一些初等函数：
两个重要极限：
e x − e−x 2 x e + e −x 双曲余弦 : chx = 2 shx e x − e − x 双曲正切 : thx = = chx e x + e − x