中南大学结构力学课件 4静定拱
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第四章-静定拱
§4-1 基本概念 2.常见形式
铰 静 拱 三 拱—— 定 拱两 拱 铰 静 结 无 拱 超 定 构 铰
三铰拱
两铰拱
无铰拱
第四章 静定拱式结构（Arch） 静定拱式结构（Arch）
§4-1 基本概念 3. 几何特性：
拱 顶 拱轴线 (拱轴 )拱高 起拱线来自拱趾 、 ) ( 跨度
内力不仅与三铰拱位置有关， 内力不仅与三铰拱位置有关，且与拱轴线形 状有关。
谢
谢 ！
第四章 静定拱式结构（Arch） 静定拱式结构（Arch）
§4-4 三铰拱的合理拱轴线
3.方法： 方法： 先作出压力线， ⑴ 先作出压力线，然后以压力线代 替拱轴。 替拱轴。 ° M 利用弯矩方程： ⑵ 利用弯矩方程： = M − Hy ° M∗ 令 M = M − Hy = 0 ⇒ y = H 即为合理拱轴线的纵坐标。 y即为合理拱轴线的纵坐标。
第四章 静定拱式结构（Arch） 静定拱式结构（Arch）
§4-4 三铰拱的合理拱轴线（Optimal centre line of arch） 三铰拱的合理拱轴线（ arch）
1.定义： 定义： 在已知荷载作用下， 在已知荷载作用下，能选择三铰拱的 轴线， 轴线，使得拱的所有横截面上的弯矩 为零。该拱的轴线就称为三铰拱的合 为零。该拱的轴线就称为三铰拱的合 理拱轴线。 理拱轴线。 条件： 2.条件： 拱轴线与压力线重合时， 拱轴线与压力线重合时，满足横截面 上的弯矩M Q=0 而仅有轴力N 上的弯矩M＝0、Q=0，而仅有轴力N。
l 9
dy 2 tgϕ = = (6 − x) dx 9
截面1 截面1：x1 = 1.56m
y1 = 1.75m tgϕ1 = 1 ϕ1 = 450
铰 静 拱 三 拱—— 定 拱两 拱 铰 静 结 无 拱 超 定 构 铰
三铰拱
两铰拱
无铰拱
第四章 静定拱式结构（Arch） 静定拱式结构（Arch）
§4-1 基本概念 3. 几何特性：
拱 顶 拱轴线 (拱轴 )拱高 起拱线来自拱趾 、 ) ( 跨度
内力不仅与三铰拱位置有关， 内力不仅与三铰拱位置有关，且与拱轴线形 状有关。
谢
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第四章 静定拱式结构（Arch） 静定拱式结构（Arch）
§4-4 三铰拱的合理拱轴线
3.方法： 方法： 先作出压力线， ⑴ 先作出压力线，然后以压力线代 替拱轴。 替拱轴。 ° M 利用弯矩方程： ⑵ 利用弯矩方程： = M − Hy ° M∗ 令 M = M − Hy = 0 ⇒ y = H 即为合理拱轴线的纵坐标。 y即为合理拱轴线的纵坐标。
第四章 静定拱式结构（Arch） 静定拱式结构（Arch）
§4-4 三铰拱的合理拱轴线（Optimal centre line of arch） 三铰拱的合理拱轴线（ arch）
1.定义： 定义： 在已知荷载作用下， 在已知荷载作用下，能选择三铰拱的 轴线， 轴线，使得拱的所有横截面上的弯矩 为零。该拱的轴线就称为三铰拱的合 为零。该拱的轴线就称为三铰拱的合 理拱轴线。 理拱轴线。 条件： 2.条件： 拱轴线与压力线重合时， 拱轴线与压力线重合时，满足横截面 上的弯矩M Q=0 而仅有轴力N 上的弯矩M＝0、Q=0，而仅有轴力N。
l 9
dy 2 tgϕ = = (6 − x) dx 9
截面1 截面1：x1 = 1.56m
y1 = 1.75m tgϕ1 = 1 ϕ1 = 450
中南大学结构力学(课堂PPT)
活载：在建筑物施工和使用期间，大小、位置会发生变 化的荷载。
思考：恒载和活载对结构的影响有何不同？
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6
19:38
§1-2 荷载的分类
结构力学
2 、按作用位置是否固定分类
固定荷载： 在结构上的作用位置是固定的（如：恒载、 风载、雪载）。
移动荷载： 在结构上的作用位置是移动的（如：汽车荷 载，吊车荷载）。
中国民航飞机钢结构
88层高 420m （曾名列
亚洲第一、 世界第三）
斜拉桥
上海金贸长大厦江世(宇钢三界结宙第构峡一跨飞拱径工5船5程0m)
中南大学
Hale Waihona Puke 退出返回水利工程的拱坝
高速列车
2
19:38
§1-1 结构力学的研究对象及任务
结构力学
2. 结构力学的研究对象 结构力学: 结构+力学
几门力学课程研究对象比较: 理论力学: 研究质点，质点系，刚体; 材料力学: 研究单个杆件;
内，且外力也作平用面在内该
空间结(s构 pacsetructu):r杆 e 件系统的轴系一不平在同
面内，外力也作用平在面任
4. 按内力是否静定分类
静定结:构 内、反力可由静条 力件 平求 衡出 (staticaldleyterminate syst)em 超静定结:还 构需要变形条件 (staticalilndyeterminate syst)em
选取计算简图时应考虑的因素： （1）结构的重要性； （2）设计阶段； （3）计算问题的性质；（4）计算工具。
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9
19:38
§1-3 结构的计算简图
结构力学
2、简化方法 对实际结构体系主要进行如下的简化：
思考：恒载和活载对结构的影响有何不同？
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6
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§1-2 荷载的分类
结构力学
2 、按作用位置是否固定分类
固定荷载： 在结构上的作用位置是固定的（如：恒载、 风载、雪载）。
移动荷载： 在结构上的作用位置是移动的（如：汽车荷 载，吊车荷载）。
中国民航飞机钢结构
88层高 420m （曾名列
亚洲第一、 世界第三）
斜拉桥
上海金贸长大厦江世(宇钢三界结宙第构峡一跨飞拱径工5船5程0m)
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Hale Waihona Puke 退出返回水利工程的拱坝
高速列车
2
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§1-1 结构力学的研究对象及任务
结构力学
2. 结构力学的研究对象 结构力学: 结构+力学
几门力学课程研究对象比较: 理论力学: 研究质点，质点系，刚体; 材料力学: 研究单个杆件;
内，且外力也作平用面在内该
空间结(s构 pacsetructu):r杆 e 件系统的轴系一不平在同
面内，外力也作用平在面任
4. 按内力是否静定分类
静定结:构 内、反力可由静条 力件 平求 衡出 (staticaldleyterminate syst)em 超静定结:还 构需要变形条件 (staticalilndyeterminate syst)em
选取计算简图时应考虑的因素： （1）结构的重要性； （2）设计阶段； （3）计算问题的性质；（4）计算工具。
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§1-3 结构的计算简图
结构力学
2、简化方法 对实际结构体系主要进行如下的简化：
结构力学-静定拱
H=M’C/f 2 内力计算：
截面Ｋ的弯矩： M=[Vax－P1(x－a1)]－Hy
即 M=M’－Hy
A
P1
P2
B
ＫC
剪力：
Ｑ=VA cos --P1 cos--H sin V’A
V’B
＝Ｑ’ cos --H sin
轴力：
HA
P1 Ｋ
A
P2
B
HB
N=(VA--P1) sin+
Hcos
第四章 静定拱
§4--1 概述
拱：杆轴线为曲线并且有竖向荷载作用下会产生 水平反力的结构。
拱的常用形式有三种：
1、三铰拱
HA
A
P
HB B
VA
VB
2 两铰拱
3 无铰拱
拱的各部分名称如右图：拱 趾
起拱线
A
拱轴线
拱
拱高f
趾
B
跨度l
§4--2 三铰拱的数解法
1 支座反力计算
如右图： 由MB=0
a1
b1
VA
VB
=Q’sin +Hsin
综上所述，三铰平拱的内力计算公
式可写为：
M=M’--Hy
Q=Q’ cos --H sin
N=Q’ sin --H cos
§4--3 三铰拱的合理拱轴线
当拱上所有截面的弯矩都为零而只有轴力时，这
时的拱轴线为合理拱轴线。其方程为： y=M’/H
q
例４－２
y
a2
b2
P1
P2
MA=0
HA
A
HB B
HA=HB=H
l1
MC=0
VA
l2 VB
VAl1－P1(l1－a1)－Hf=0 l
结构力学第4章静定拱(f)
FH
FH
由边界条件
x 0, y 0 : x 0, y 0 :
A qc
B0
合理拱轴线的方程为
y qc (cosh x 1)
FH
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例4-3 试求三铰拱在垂直于拱轴线的均布荷载作用下的合理 拱轴线。
解：由图a，荷载为非竖向荷载。
思路：假定拱处于无弯矩状态，根据平衡 条件推求合理拱轴线方程。
Fi ai l
Fx 0 FAH FBH FH
相应简支梁
取左半拱为隔离体
MC 0
FH
FAV l1 F1(l1 a1) f
可 得
FAV FBV
FA0V FB0V
FH
M
0 C
f
三铰拱的反力只与 荷载及三个铰的位置有 关，与拱轴线形状无关；
推力FH 与拱高 f 成反比。
§4-2 三铰拱的计算
§4-2 三铰拱的计算
2、内力的计算
压力为正
任一截面的轴力等于该截面一 侧所有外力在该截面法线方向 上的投影代数和。
FN FAV sin FH cos F1 sin (FAV F1) sin FH cos FS0 sin FH cos
相应简支梁
§4-2 三铰拱的计算
2、内力的计算
区别拱与梁的主要标志：推力的存在与否。
§4-1 概述
拉杆拱： 拱两支座间的拉杆代替支座承受水平推力
拉杆做成折线形可获得较大空间
高跨比：f/l
平拱： 两拱趾在同一水平线上 斜拱： 两拱趾不在同一水平线上
§4-2 三铰拱的计算
1、支座反力的计算
由拱的整体平衡
M B 0 FAV
Fibi l
M A 0 FBV
结构力学静定拱
➢ 可见在径向荷载作用下，三铰拱的合理拱轴线为圆弧线。
28
§3-4 静定拱
合理拱轴线 小结： ➢ 三铰拱在不同的荷载作用下，具有不用的合理拱轴线。 ➢ 如果某三铰拱要承受多种不同荷载作用，在设计中，通 常以主要荷载作用下的合理拱轴作为三铰拱的轴线。
29
§3-4 静定拱
拱的内力特征
➢ 1.三铰拱的内力值不但与荷载及三个铰的位置有关，而且 与各铰间拱轴线的形状有关。
➢ 2.由于水平推力的存在，使得拱截面上的弯矩比跨度、荷 载相同的梁的弯矩小得多，并主要是承受压力。
➢ 3.由于拱内主要产生轴向压力，所以拱可以采用抗压性能 良好而抗拉性能较差的材料来建造。
➢ 主要缺点：由于支座要承受水平推力，因而要求比梁具有更坚固的地基或 支承结构（墙、柱、墩、台等）。
P P
拉杆
拉杆来代替支座承受水平推力
提高净空
7
§3-4 静定拱
三铰拱的构造
拱趾
拱顶 起拱线 拱高 f
跨度
拱轴线 拱趾
拱顶：拱的最高点。 拱趾：支座处。 跨度：两支座之间的水平距离， 用l表示。 拱高：拱顶到两拱趾间联线的竖向距离，用f表示。
m 1
➢ 填土荷载作用下，拱的合理轴线为悬链线。
25
§3-4 静定拱
径向均匀荷载
试求图示三铰拱在垂直于拱轴的均布荷载作用下的合理拱轴线。
分析：非竖向荷载作
用，不能应用内力计算 式。
假定拱处于无弯 矩状态，根据平衡条件 推求合理拱轴线的方程。
q
C
A
l/2
f
B
l/2
26
§3-4 静定拱
径向均匀荷载
取出一微段为隔离体，设微段两端横截面上弯矩、剪力均为 零，而只有轴力N和N＋dN。
28
§3-4 静定拱
合理拱轴线 小结： ➢ 三铰拱在不同的荷载作用下，具有不用的合理拱轴线。 ➢ 如果某三铰拱要承受多种不同荷载作用，在设计中，通 常以主要荷载作用下的合理拱轴作为三铰拱的轴线。
29
§3-4 静定拱
拱的内力特征
➢ 1.三铰拱的内力值不但与荷载及三个铰的位置有关，而且 与各铰间拱轴线的形状有关。
➢ 2.由于水平推力的存在，使得拱截面上的弯矩比跨度、荷 载相同的梁的弯矩小得多，并主要是承受压力。
➢ 3.由于拱内主要产生轴向压力，所以拱可以采用抗压性能 良好而抗拉性能较差的材料来建造。
➢ 主要缺点：由于支座要承受水平推力，因而要求比梁具有更坚固的地基或 支承结构（墙、柱、墩、台等）。
P P
拉杆
拉杆来代替支座承受水平推力
提高净空
7
§3-4 静定拱
三铰拱的构造
拱趾
拱顶 起拱线 拱高 f
跨度
拱轴线 拱趾
拱顶：拱的最高点。 拱趾：支座处。 跨度：两支座之间的水平距离， 用l表示。 拱高：拱顶到两拱趾间联线的竖向距离，用f表示。
m 1
➢ 填土荷载作用下，拱的合理轴线为悬链线。
25
§3-4 静定拱
径向均匀荷载
试求图示三铰拱在垂直于拱轴的均布荷载作用下的合理拱轴线。
分析：非竖向荷载作
用，不能应用内力计算 式。
假定拱处于无弯 矩状态，根据平衡条件 推求合理拱轴线的方程。
q
C
A
l/2
f
B
l/2
26
§3-4 静定拱
径向均匀荷载
取出一微段为隔离体，设微段两端横截面上弯矩、剪力均为 零，而只有轴力N和N＋dN。
4静定拱
FF
CC
BB
F
V0BF
0 VB
FH FfH f
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11:03
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
结构力学
三铰拱的合理拱轴线
三铰拱在竖向荷载作用下任一截面的弯矩为：
MK
M
0 K
FH y
拱合理拱轴线：若拱的所有截面上的弯矩都为零，
这样的拱轴线为合理拱轴线。
由 M M 0 FH y 0 得合理拱轴线方程
C
A B
B
A
B
有拉杆的三铰拱
两铰拱
(c)
梁式结构在竖向荷载作用下是不会产生推力的。
C
B
A
B
曲梁
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§4-1 概 述
结构力学
三铰拱各部分名称
拱顶
拱轴线
f 矢高
拱趾
拱趾
l 跨度
拱顶：拱的最高点。 拱趾： 支座处。 跨度：两支座之间的水平距离， 用l表示。 矢高：拱顶到两拱趾间联线的竖向距离，用f表示。
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线
结构力学
例4-2 设三铰拱上作用沿水平向均布的竖向荷载q
试求拱的合理轴线。
q
M0
解:由式（4-5） y FH
Y
C
在均布荷载q作用下， 代梁的弯矩方程为
f
A l 2
X B l
2
M 0 ql x qx2 q x(l x)
q
2 22
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结构力学第三章静定结构组合结构及拱课件
结构力学第三章静定结构组合 结构及拱课件
目
ENCT
录
• 静定结构 • 组合结构 • 拱结构 • 静定结构、组合结构及拱结构的比
较
01
静定结构
静定结构的定义与特性
总结词
静定结构的定义、特性
详细描述
静定结构是指无多余约束的几何不变体系，即在受到一定外力作用后，通过满 足平衡条件的自由度数为零。其特性包括结构内力与变形一致、无多余约束等。
组合结构
设计时需要考虑不同材料的特 性、连接方式以及整体稳定性 等因素，计算相对复杂。
拱结构
设计时需要考虑拱轴线的形状 、支座反力以及材料等因素， 计算相对复杂。
THANK YOU
感谢聆听
静定结构的分类
总结词
静定结构的分类
详细描述
静定结构可以根据不同的分类标准进行划分，如根据结构形式可分为梁、拱、刚 架等；根据结构承载方式可分为简支、固定、连续等。
静定结构的内力计算
总结词
静定结构的内力计算方法
详细描述
静定结构的内力计算主要采用截面法，即通过截取结构的一部分，分析其平衡条件，从而确定各部分的内力。此 外，还可以采用对称性、弯矩分配法等简化计算。
组合结构的分类
按照组合方式的不同，组合结 构可分为叠合组合结构和混合 组合结构。
叠合组合结构是指同一种材料 通过叠合的方式形成的结构， 其优点是连接简单、承载能力 高，但整体刚度相对较低。
混合组合结构是指不同材料通 过连接形成的结构，其优点是 整体刚度大、承载能力强，但 连接设计和施工难度较大。
组合结构的分析方法
拱结构的分类
总结词
根据不同的分类标准，可以将拱结构分为多种类型。常见的分类方式包括按照材料、形状、施工方式 等分类。
目
ENCT
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• 静定结构 • 组合结构 • 拱结构 • 静定结构、组合结构及拱结构的比
较
01
静定结构
静定结构的定义与特性
总结词
静定结构的定义、特性
详细描述
静定结构是指无多余约束的几何不变体系，即在受到一定外力作用后，通过满 足平衡条件的自由度数为零。其特性包括结构内力与变形一致、无多余约束等。
组合结构
设计时需要考虑不同材料的特 性、连接方式以及整体稳定性 等因素，计算相对复杂。
拱结构
设计时需要考虑拱轴线的形状 、支座反力以及材料等因素， 计算相对复杂。
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静定结构的分类
总结词
静定结构的分类
详细描述
静定结构可以根据不同的分类标准进行划分，如根据结构形式可分为梁、拱、刚 架等；根据结构承载方式可分为简支、固定、连续等。
静定结构的内力计算
总结词
静定结构的内力计算方法
详细描述
静定结构的内力计算主要采用截面法，即通过截取结构的一部分，分析其平衡条件，从而确定各部分的内力。此 外，还可以采用对称性、弯矩分配法等简化计算。
组合结构的分类
按照组合方式的不同，组合结 构可分为叠合组合结构和混合 组合结构。
叠合组合结构是指同一种材料 通过叠合的方式形成的结构， 其优点是连接简单、承载能力 高，但整体刚度相对较低。
混合组合结构是指不同材料通 过连接形成的结构，其优点是 整体刚度大、承载能力强，但 连接设计和施工难度较大。
组合结构的分析方法
拱结构的分类
总结词
根据不同的分类标准，可以将拱结构分为多种类型。常见的分类方式包括按照材料、形状、施工方式 等分类。
结构力学第4章 静定拱结构
一、工程中的拱结构轴线为曲线、仅在竖向荷载下能产生水平反力(推力)的结构称为拱。
图4-1所示为拱结构的工程实例。
图4-1工程中的拱结构二、拱式结构的特征及其应用1、定义：通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水平反力的结构。
2、特点：（1）弯矩比相应简支梁小，水平推力存在的原因。
（2）用料省、自重轻、跨度大。
（3）可用抗压性能强的砖石材料。
（4）构造复杂，施工费用高。
3、拱的种类：图4-2拱的种类4、拱各部分的名称：一、支座反力的计算C拱顶铰BA拱肋跨度拱趾铰(a) 等高三铰拱C高差hAB(b) 不等高三铰拱严格的来说，实体三铰拱支座反力的计算与一般三铰刚架结构反力计算相同。
本书介绍的是等代梁解法。
图4-4实体三铰拱第二节实体三铰拱的数解法图4-5等代粱ll 1l 2a 3b 3b 2b 1a 2a 1F P1F P2F P3F P1F P2F P3F A yF B yF A yF B yF B xF A x 00A CBAB C(b)(a )f0CH M F =HB A F F F ==x x 0Ay Ay F F =0ByBy FF =二、拱内截面内力的计算图4-6拱内截面内力1、拱的内力计算原理仍然是截面法。
2、拱通常受压力，所以计算拱时，规定轴力以受压为正。
对于竖向荷载作用三铰拱，其内力计算有简捷公式。
(c)CB A00F B yF A yF P3F P2F P1B F B xAF A x F A yF B y(a )C F P3F P2F P1a 1a 2b 1b 2b 3a 3lϕK F A y F A xF P1KM K F NKF QKx KK ϕy KxyK K(b)yF MM H 0-=ϕϕsin cos H 0Q Q F F F -=ϕϕcos sin H 0Q N F F F --=A0AyFQ F 0M (b) 代梁受力F Ax =F H F Ayx A y k F y FxyϕM(a) 截面k 坐标方向力图4-7拱内截面内力需要指出的是，非竖向荷载作用不等高三铰拱等情形，上述公式是不适用的。
4第四章静定拱
结 构 力 学 （ 08-09
21
12:14
合理拱轴线小结： 1）不同荷载作用下三铰拱的合理拱轴 线不同。 2）实际工程中，尽可能使受力状态接 近无弯矩状态。通常是以主要荷载作用 下的合理拱轴线作为拱的轴线。
学 年 ）
学 年 ）
M y FH
M M FH y 0
0
0
只限于三铰平拱受 竖向荷载作用
在竖向荷载作用下，三 铰拱的合理拱轴线的纵 坐标与相应简支梁弯矩 图的竖标成正比。
§4-3三铰拱的合理拱轴线
12:14
结 试求图示对称三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴线 构 力 q MC0=ql2/8 学 （ C 2/8f y F = ql f H A B 学 x l M0=qlx/2-qx2 /2 年 =qx(l-x)/2 ） q 08-09
0 FP2=50kN FH= MC / f =50.25 KN
8.5 163.5 201
58.5 175.5
FQ(kN)
M(kN.m)
0 MK MK FH y 0 FQK FQK cos FHsin
FNK FQK 0sin FHcos
§4-2三铰拱的计算
17
y=4fx(l-x)/l2
x
抛物线
§4-3三铰拱的合理拱轴线
结 构 力 学 （ 08-09
18
12:14
试求，在填土重量作用下，三铰拱的合理 轴线。土的容重为γ，拱所受的竖向荷载 为q(x)=qc+ γy
学 年 ）
§4-3三铰拱的合理拱轴线
结 构 力 学 （ 08-09
19
12:14
M f y FH
第四章 静定拱
21
12:14
合理拱轴线小结： 1）不同荷载作用下三铰拱的合理拱轴 线不同。 2）实际工程中，尽可能使受力状态接 近无弯矩状态。通常是以主要荷载作用 下的合理拱轴线作为拱的轴线。
学 年 ）
学 年 ）
M y FH
M M FH y 0
0
0
只限于三铰平拱受 竖向荷载作用
在竖向荷载作用下，三 铰拱的合理拱轴线的纵 坐标与相应简支梁弯矩 图的竖标成正比。
§4-3三铰拱的合理拱轴线
12:14
结 试求图示对称三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴线 构 力 q MC0=ql2/8 学 （ C 2/8f y F = ql f H A B 学 x l M0=qlx/2-qx2 /2 年 =qx(l-x)/2 ） q 08-09
0 FP2=50kN FH= MC / f =50.25 KN
8.5 163.5 201
58.5 175.5
FQ(kN)
M(kN.m)
0 MK MK FH y 0 FQK FQK cos FHsin
FNK FQK 0sin FHcos
§4-2三铰拱的计算
17
y=4fx(l-x)/l2
x
抛物线
§4-3三铰拱的合理拱轴线
结 构 力 学 （ 08-09
18
12:14
试求，在填土重量作用下，三铰拱的合理 轴线。土的容重为γ，拱所受的竖向荷载 为q(x)=qc+ γy
学 年 ）
§4-3三铰拱的合理拱轴线
结 构 力 学 （ 08-09
19
12:14
M f y FH
第四章 静定拱
第4章：静定拱-结构力学课件
M FN
载及A 三三个x铰铰拱y的的位内f 置力有不关但，与B而荷 FH FH
FH且与拱轴l线1 的形状l有2x 关。
FAV
F1
FS
FAV 由于推力的l 存在，拱F的BV FAV0 弯矩比相应简支梁的弯矩要
FS0 M0
等小代。梁 F1 A
KC
F2
M=[FAV x– F1 (x-a1)] – FH y =M0 – FH y
F1
C
F2
结论：F1
A
f
B FBH三载铰及F拱 三H 的 个反 铰力 的只 位与 置荷 有
FAH
l1
FAV
等代梁
A
F1
l2 l
C
a1
b1
FAV0
a2
FBV
关关，。F与AV拱F轴1 线形状M无c0
F2
荷水载平与 推跨 力F度 与AV0一 矢定 高时 成， 反
B ∑Μ比。C=0
b2 FBV0 FH=1/ f ［ FAV l1 – F1 (l1- a1 )］
FBV=FBV0 FAV=FAV0 FAH=FBH =F H
MC0= FAV0 l1 – F1 (l1- a1 )
FH= MC0 / f
2.内力的计算：
基本法—截面法
注： 拱的内力正负号的规定：
剪力以绕隔离体顺时针转动为正；
轴力以压力为正；
弯矩以使拱的下侧受拉为正。
y F1 K C
F2
F1
分析：本题为F非N +d竖FN向
荷载，我们可由假定拱
圆
F轴进N 处行于受R无力弯分矩析状，态建入立手平，
衡方程求出合理拱轴线。
M=0 → dM=FQ=0 因此横截面只有轴力FN ,FN+dFN. ∑MO=0 → FNR-(FN +d FN )R=0 → d FN=0 → FN=常数。 沿s-s轴投影方程：2FN sin(d/2)-qRd =0, sin(d/2)=d/2
第四章 静定拱
结构力学
第四章 静定拱
海南大学土木工程系
韩建刚
1
三 角 拱 三角拱的内力计算 三角拱的合理拱轴线
2
§4.1 三角拱
拱是在竖向荷载作用下能 产生水平反力的结构，如图。 水平反力 产生负弯矩， 可以抵消一 部分正弯矩
1、拱的特点
C ↓↓↓↓↓
矢高f
A
B
l跨度
与简支梁相比拱的弯矩、剪力较小，轴力较大（压力）, 应力沿截面高度分布较均匀。 节省材料，减轻自重，能跨越大 跨度 , 宜采用耐压不耐拉的材料 ， 如砖石混凝土等。有较大 的可利用空间。 其缺点是：拱对基础或下部结构施加水平推力，增加了下部结构的 拱具有曲线形状，施工不方便. 材料用量；
11
重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。 8
0.5 1.5 12 0.71 M° 0.4 2 1.5 M图 (kN.m) 0 20 24 -0.49 24 -1 -6 -1.79 -5.81 -7.6 0.49 1.79 20 2
0.5
Hy -0.40
Q图 (kN) -9.19
其中 ∑MBP 是所 有荷载对B点的矩 VB=YB； H=MC0/f
二、内力计算
M P H VA x P M° YA d Q°Y A
x
P N ϕ H
C
f
↓↓↓↓↓
A
a l/2
B H
l/2
P VB
y
Q VA
c
d
↓↓↓↓↓
l
a
YB
注：1、该组公式仅用于两底铰在
VA ×x 0 MM＝ A×M－P×d ＝VM°－H×y x－P×d－H×y Q＝Q°× cos ϕ－ H×sinϕ Q＝（VA－P）×cosϕ－H×sin ϕ N＝－Q°sin ϕ －Hcos ϕ N＝－（VA－P）sinϕ－Hcosϕ
第四章 静定拱
海南大学土木工程系
韩建刚
1
三 角 拱 三角拱的内力计算 三角拱的合理拱轴线
2
§4.1 三角拱
拱是在竖向荷载作用下能 产生水平反力的结构，如图。 水平反力 产生负弯矩， 可以抵消一 部分正弯矩
1、拱的特点
C ↓↓↓↓↓
矢高f
A
B
l跨度
与简支梁相比拱的弯矩、剪力较小，轴力较大（压力）, 应力沿截面高度分布较均匀。 节省材料，减轻自重，能跨越大 跨度 , 宜采用耐压不耐拉的材料 ， 如砖石混凝土等。有较大 的可利用空间。 其缺点是：拱对基础或下部结构施加水平推力，增加了下部结构的 拱具有曲线形状，施工不方便. 材料用量；
11
重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。 8
0.5 1.5 12 0.71 M° 0.4 2 1.5 M图 (kN.m) 0 20 24 -0.49 24 -1 -6 -1.79 -5.81 -7.6 0.49 1.79 20 2
0.5
Hy -0.40
Q图 (kN) -9.19
其中 ∑MBP 是所 有荷载对B点的矩 VB=YB； H=MC0/f
二、内力计算
M P H VA x P M° YA d Q°Y A
x
P N ϕ H
C
f
↓↓↓↓↓
A
a l/2
B H
l/2
P VB
y
Q VA
c
d
↓↓↓↓↓
l
a
YB
注：1、该组公式仅用于两底铰在
VA ×x 0 MM＝ A×M－P×d ＝VM°－H×y x－P×d－H×y Q＝Q°× cos ϕ－ H×sinϕ Q＝（VA－P）×cosϕ－H×sin ϕ N＝－Q°sin ϕ －Hcos ϕ N＝－（VA－P）sinϕ－Hcosϕ
《结构力学》第四章静定拱
实例演示
通过实例演示内力图的 绘制过程，帮助读者掌
握绘制技巧。
04 静定拱的位移计算
位移计算基本概念
位移的定义
位移是指在外力作用下，结构物 某一点或某一截面位置的变化。
静定拱的位移
静定拱在荷载作用下的位移包括 拱顶竖向位移、拱脚水平位移和
转角位移等。
位移计算的意义
位移计算是结构力学中的重要内 容，对于评估结构的安全性、稳 定性和使用功能具有重要意义。
虚功原理在位移计算中的应用
虚功原理的基本概念
01
虚功原理是结构力学中的一个基本原理，它建立了外
力功与结构内部应变能之间的关系。
虚功原理在静定拱位移计算中的应用
02 通过构建静力可能位移和虚力状态，利用虚功原理可
以求解静定拱在各种荷载作用下的位移。
虚功原理的适用条件
03
虚功原理适用于线弹性结构，即结构在受力过程中满
解题思路
同样需要构建静力可能位移和虚力 状态，利用虚功原理求解位移。
解题步骤
详细列出解题步骤，并解释每一步 的意义和计算方法。
05 静定拱的稳定性分析
稳定性分析基本概念
稳定性
结构在受到外部扰动后，能够恢复原有平衡状态的能力。
临界荷载
使结构失去稳定或发生破坏的最小荷载。
稳定性分析
研究结构在荷载作用下是否会发生失稳或破坏，以及如何提高结 构的稳定性。
通过截取拱的任意截面，利用静 力平衡条件求解截面上的内力。
叠加法
将复杂的拱结构分解为若干简单结 构，分别计算内力后再进行叠加。
力法
通过引入多余未知力，建立力法方 程求解拱的内力。
典型例题解析
圆弧拱内力计算
01
结构力学第4章静定拱
y M0 H
三铰拱合理拱轴线的纵坐标y与相应简支梁弯矩图的竖标成 正比。当荷载已知时，只需求出相应简支梁的弯矩方程式，除 以常数H便得到合理拱轴线方程。
11
例 4－2 求图示对称三铰拱在均布荷载q作用下的合理拱轴线。
解：
相应简支梁的弯矩方程为
y
M 0 qL x qx2 1 qx(L x) 2 22
x
所以
H
M
0 C
qL2
f 8f
y
M0 H
4f L2
x(L x)
x
合理拱轴线为抛物线
12
本章小结
三铰拱是按三刚片规则组成的静定结构； 在竖向荷载作用下，产生竖向反力与水平推力； 拱的主要内力是轴力； 利用合理拱轴可以使拱的弯矩达到最小。
13
y
23
1
50.25kN
→H o
↑VA
75.5kN
4
x
50.25kN
←H ↑ VB
58.5kN
以1截面为例： L=12m、f=4m代入拱轴方程
y
44 122
x(12
x)
x 9
(12
x)
tg dy 2 (6 x) dx 9
9
1截面： x1=1.5m 1=450
y1=1.75m tg1=1 sin 1=0.707 cos 1=0.707
503
755
→H
↑ VA
kN 75.5kN
←H
↑VB
58.5kN
VB VB0 14 6 3 50 9 58 5 kN 12
↑VA0
↑VB0
H
M
0 C
75 5 6 14 6 3
50 25kN
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结构力学 第四章
§4-1 概
静定拱
述
§4-2
§4-3
三铰拱的数值解
三铰拱的合理拱轴线
中南大学
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16:08
§4-1 概 述
结构力学
杆轴线为曲线，在竖向荷载 拱式结构的特点： 作用下会产生水平反力（称为推力）。
拱式结构又称为推力结构。
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§4-1 概 述
C C
结构力学
A B
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线
结构力学
例4-3 设三铰拱上作用有沿拱轴均匀分布的竖向 荷载（如自重），试求其合理拱轴线。
p x
y
解:当拱轴线改变时，荷载也随之改变。 令p(x)为沿拱轴线每单位长的自重，荷载沿水平 q(x) 方向的集度为q(x) 由 有
q( x)dx p( x)ds
解:(1) 代入数据后 拱轴线方程为：
1 y x(12 x) 9
5.25m 当x =5.25m 时，y =3.938m 12m 2 y tan 6 x 9 故 tan D 0.1667 ，因而 sin D 0.1644 ，cos D 0.9864
0
q
A B
拱的水平推力为
0 M C ql 2 FH f 8f
ql 2
x
ql 2
4f 代入公式（4-4）得 y 2 x(l x) l
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线
结构力学
三铰拱在水平的均布荷载作用下，其合理 拱轴线为二次抛物线。
在合理拱轴的抛物线方程中，拱高f 没有确 定。具有合理高跨比的一组抛物线都是合理轴线。
例4-1 试求图示三铰拱截面D的内力。 设拱轴线 为抛物线，当坐标原点选在左支座时，它的轴线方程式 为 y 4 f xl x ，已知D截面的坐标为: xD=5.25m 。
l2
Y F = 100 kN q=20 kN/m C D y=3.983 m A FH = 82.5 kN FVA =105 kN 3m X f=4m B FH = 82.5 kN FVB= 115 kN
由于规定y 向上为正, x 向右为正，q 向下为 正，故上式右边为正号。
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线
或
结构力学
d dy dx dx dy 1 dx
1
2
p( x) FH
p ( x) dy sh dx. FH dx 如p(x)=常数=p ，则
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§4-2 三铰拱的数值解
(3) 求内力 由水平推力 FH 82.5 kN 得 0
结构力学
(2) 求支座反力,结果为： FVA 105 kN , FVB 115 kN
FSD 105 kN 100 kN 5 kN
FSD FS0D cos D FH sin D
q( x) p( x) ds dx
dx p(x) ds x
y
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线
将 q( x) p( x)
2
结构力学
ds dx
代入方程（4-5），得
2
d y q( x) p( x) ds p( x) dy 1 2 dx FH FH dx FH dx
0 VA
代梁
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§4-2 三铰拱的数值解
考虑整体平衡
由∑X=0，得
FHA FHB FH
A
HA
结构力学
y F K f x l/2 FVB B F C F
由∑MA=0 F F1a1 F2 a2 F3a3 FVBl 0 得 FVB
FVA
x l/ 2 FVA
由于当x=0时，y=0， 故
dy 0，故常数A等于零，即 dx p dy sh F x dx H
FH B p
最后得
FH p ch y F x 1 p H
等截面拱在自重荷载作用下，合理轴线为一悬链线。
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线
结构力学
在一般荷载作用下,为了寻求相应的合理轴线,可假 定拱处于无弯矩状态并写出相应的平衡微分方程。 从拱中截出ds 微段来研究它的平衡。令曲率半径 为，q 为法向荷载，p 为切向荷载。微段沿法向和切 向的平衡方程分别为： FN d qds 0 Fn 0 t
H
F1
F2 K F SK
MK
ξ y
FNK
η FVA
F1 F2 K C F3 B
0
与代梁相比较
FNK F sin FH cos
0 SK
A
FVA
0
a1 a2 a3
FVB
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§4-2 三铰拱的数值解
结构力学
三铰拱任意截面K上的内力MK、FSK和FNK的计 算公式：
(1)截面的内力假定： 轴力以压力为正，
剪力以有使截面产生顺时针转动的趋势者为正，
弯矩以拱内侧纤维受拉返回
16:08
§4-2 三铰拱的数值解
(2)内力计算 K截面形心的坐标为 x、y，截面切线的倾斜 角为θ。且左半拱的为 正值， 右半拱的 θ为负 值。 考虑截面左侧部份平衡,由 由∑MK=0可得
0
VA
a1 a2 a3
FVB
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§4-2 三铰拱的数值解
y F K f A x F C
结构力学
F
由 0
FHA FVA
x l/ 2
B l/2 FVB
FHB
FVA F1 F2 cos FH sin FSK 0
与代梁相比较 FSK FS0K cos FH sin F 由 0 FNK FVA F1 F2 sin FH cos 0
5 kN 0.9864 82.5 kN 0.1644 8.631kN
FND FS0D sin D FH cos 0 5 kN 0.1644 82.5 kN 0.9864 82.2 kN
0 M D M D FH y
105 kN 5.25 m 100 kN 2.25 m 82.5 kN 3.938 m 1.365 kN m
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§4-2 三铰拱的数值解
结构力学
注意：内力微分关系不适用于拱（拱轴线为曲线）。 作拱的内力图时需计算若干个截面的内力值然后 q q 连线成图。 F F y y C C 在本例的情况至少 f f 要计算9个截面的内力 F F F F A A B B 值然后连线成图才能获 x x FF F F 得满意的效果。 F F 最终弯矩图,可以看出, q q 它是由代梁的弯矩图M 0减 B B 去一个与拱轴线相似的抛 A A C C FF F F 物线图形后剩下的图形 FH•y , 即右下图阴影部份. f F F f 可见拱的弯矩是很小的， 其内力是以轴力为主。
y F K F C
结构力学
F f A FHA FVA x l/ 2 x l/2 FVB
MK
B
FHB
F1 FH
F2 K
FN K y
F SK F VA
F1 F2 K C F3 B
0
M K FVA x F1 x b1 F2 x b2 FH y
与代梁相比较 A 0 F M K M K FH y 拱的弯矩等于相应截面代梁 的弯矩再减去推力引起的弯矩。
返回
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§4-2 三铰拱的数值解
与代梁相比较有：
0 FVA FVA 0 FVB FVB 0 MC FH f
结构力学
F F K A x x l/ 2 FVA f B l/2 FVB FHB C F
y
FHA
F1 A
0 FVA
F2 K C
积分后，得
即
dy p sh x A dx FH p dy sh x A . dx FH
1
式中A为积分常数。
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线
由于当x =0时，
结构力学
FH p ch xB 再积分一次，得 y p FH
F3 B
0
a1 a2
3
FVB
a 可见： 三铰拱的竖向支座反力就等于代梁的反力； 水平推力就等于代梁C 截面的弯矩除以矢高； 拱的矢高对水平推力影响很大（矢高愈小即拱的 形状愈扁平推力愈大）。
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§4-2 三铰拱的数值解
讨论：当拱的矢高 f=0 时，情况如何？
结构力学
2.内力计算
M y FH
(4-4)
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线
结构力学
M0 y (4-5) FH 将公式（4-5）对x 微分两次 d2 y 1 d2M 0 2 dx FH dx 2 注意到当荷载q(x)为沿水平方向的分布荷载时，
d2M 0 q( x) 2 dx 合理拱轴线的坐标y与分布荷载q之间的关系为 d2 y q( x) （4-6） 2 dx FH 上式就是合理拱轴线的微分方程,在这里规定y 向上 为正, x 向右为正,q 向下为正,故上式右边为负号。
§4-1 概
静定拱
述
§4-2
§4-3
三铰拱的数值解
三铰拱的合理拱轴线
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§4-1 概 述
结构力学
杆轴线为曲线，在竖向荷载 拱式结构的特点： 作用下会产生水平反力（称为推力）。
拱式结构又称为推力结构。
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§4-1 概 述
C C
结构力学
A B
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线
结构力学
例4-3 设三铰拱上作用有沿拱轴均匀分布的竖向 荷载（如自重），试求其合理拱轴线。
p x
y
解:当拱轴线改变时，荷载也随之改变。 令p(x)为沿拱轴线每单位长的自重，荷载沿水平 q(x) 方向的集度为q(x) 由 有
q( x)dx p( x)ds
解:(1) 代入数据后 拱轴线方程为：
1 y x(12 x) 9
5.25m 当x =5.25m 时，y =3.938m 12m 2 y tan 6 x 9 故 tan D 0.1667 ，因而 sin D 0.1644 ，cos D 0.9864
0
q
A B
拱的水平推力为
0 M C ql 2 FH f 8f
ql 2
x
ql 2
4f 代入公式（4-4）得 y 2 x(l x) l
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线
结构力学
三铰拱在水平的均布荷载作用下，其合理 拱轴线为二次抛物线。
在合理拱轴的抛物线方程中，拱高f 没有确 定。具有合理高跨比的一组抛物线都是合理轴线。
例4-1 试求图示三铰拱截面D的内力。 设拱轴线 为抛物线，当坐标原点选在左支座时，它的轴线方程式 为 y 4 f xl x ，已知D截面的坐标为: xD=5.25m 。
l2
Y F = 100 kN q=20 kN/m C D y=3.983 m A FH = 82.5 kN FVA =105 kN 3m X f=4m B FH = 82.5 kN FVB= 115 kN
由于规定y 向上为正, x 向右为正，q 向下为 正，故上式右边为正号。
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线
或
结构力学
d dy dx dx dy 1 dx
1
2
p( x) FH
p ( x) dy sh dx. FH dx 如p(x)=常数=p ，则
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§4-2 三铰拱的数值解
(3) 求内力 由水平推力 FH 82.5 kN 得 0
结构力学
(2) 求支座反力,结果为： FVA 105 kN , FVB 115 kN
FSD 105 kN 100 kN 5 kN
FSD FS0D cos D FH sin D
q( x) p( x) ds dx
dx p(x) ds x
y
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线
将 q( x) p( x)
2
结构力学
ds dx
代入方程（4-5），得
2
d y q( x) p( x) ds p( x) dy 1 2 dx FH FH dx FH dx
0 VA
代梁
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§4-2 三铰拱的数值解
考虑整体平衡
由∑X=0，得
FHA FHB FH
A
HA
结构力学
y F K f x l/2 FVB B F C F
由∑MA=0 F F1a1 F2 a2 F3a3 FVBl 0 得 FVB
FVA
x l/ 2 FVA
由于当x=0时，y=0， 故
dy 0，故常数A等于零，即 dx p dy sh F x dx H
FH B p
最后得
FH p ch y F x 1 p H
等截面拱在自重荷载作用下，合理轴线为一悬链线。
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线
结构力学
在一般荷载作用下,为了寻求相应的合理轴线,可假 定拱处于无弯矩状态并写出相应的平衡微分方程。 从拱中截出ds 微段来研究它的平衡。令曲率半径 为，q 为法向荷载，p 为切向荷载。微段沿法向和切 向的平衡方程分别为： FN d qds 0 Fn 0 t
H
F1
F2 K F SK
MK
ξ y
FNK
η FVA
F1 F2 K C F3 B
0
与代梁相比较
FNK F sin FH cos
0 SK
A
FVA
0
a1 a2 a3
FVB
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§4-2 三铰拱的数值解
结构力学
三铰拱任意截面K上的内力MK、FSK和FNK的计 算公式：
(1)截面的内力假定： 轴力以压力为正，
剪力以有使截面产生顺时针转动的趋势者为正，
弯矩以拱内侧纤维受拉返回
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§4-2 三铰拱的数值解
(2)内力计算 K截面形心的坐标为 x、y，截面切线的倾斜 角为θ。且左半拱的为 正值， 右半拱的 θ为负 值。 考虑截面左侧部份平衡,由 由∑MK=0可得
0
VA
a1 a2 a3
FVB
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§4-2 三铰拱的数值解
y F K f A x F C
结构力学
F
由 0
FHA FVA
x l/ 2
B l/2 FVB
FHB
FVA F1 F2 cos FH sin FSK 0
与代梁相比较 FSK FS0K cos FH sin F 由 0 FNK FVA F1 F2 sin FH cos 0
5 kN 0.9864 82.5 kN 0.1644 8.631kN
FND FS0D sin D FH cos 0 5 kN 0.1644 82.5 kN 0.9864 82.2 kN
0 M D M D FH y
105 kN 5.25 m 100 kN 2.25 m 82.5 kN 3.938 m 1.365 kN m
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§4-2 三铰拱的数值解
结构力学
注意：内力微分关系不适用于拱（拱轴线为曲线）。 作拱的内力图时需计算若干个截面的内力值然后 q q 连线成图。 F F y y C C 在本例的情况至少 f f 要计算9个截面的内力 F F F F A A B B 值然后连线成图才能获 x x FF F F 得满意的效果。 F F 最终弯矩图,可以看出, q q 它是由代梁的弯矩图M 0减 B B 去一个与拱轴线相似的抛 A A C C FF F F 物线图形后剩下的图形 FH•y , 即右下图阴影部份. f F F f 可见拱的弯矩是很小的， 其内力是以轴力为主。
y F K F C
结构力学
F f A FHA FVA x l/ 2 x l/2 FVB
MK
B
FHB
F1 FH
F2 K
FN K y
F SK F VA
F1 F2 K C F3 B
0
M K FVA x F1 x b1 F2 x b2 FH y
与代梁相比较 A 0 F M K M K FH y 拱的弯矩等于相应截面代梁 的弯矩再减去推力引起的弯矩。
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§4-2 三铰拱的数值解
与代梁相比较有：
0 FVA FVA 0 FVB FVB 0 MC FH f
结构力学
F F K A x x l/ 2 FVA f B l/2 FVB FHB C F
y
FHA
F1 A
0 FVA
F2 K C
积分后，得
即
dy p sh x A dx FH p dy sh x A . dx FH
1
式中A为积分常数。
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线
由于当x =0时，
结构力学
FH p ch xB 再积分一次，得 y p FH
F3 B
0
a1 a2
3
FVB
a 可见： 三铰拱的竖向支座反力就等于代梁的反力； 水平推力就等于代梁C 截面的弯矩除以矢高； 拱的矢高对水平推力影响很大（矢高愈小即拱的 形状愈扁平推力愈大）。
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§4-2 三铰拱的数值解
讨论：当拱的矢高 f=0 时，情况如何？
结构力学
2.内力计算
M y FH
(4-4)
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线
结构力学
M0 y (4-5) FH 将公式（4-5）对x 微分两次 d2 y 1 d2M 0 2 dx FH dx 2 注意到当荷载q(x)为沿水平方向的分布荷载时，
d2M 0 q( x) 2 dx 合理拱轴线的坐标y与分布荷载q之间的关系为 d2 y q( x) （4-6） 2 dx FH 上式就是合理拱轴线的微分方程,在这里规定y 向上 为正, x 向右为正,q 向下为正,故上式右边为负号。