3-4极值最值
函数极值求法及应用
函数极值求法及应用本文将介绍函数极值求法及其应用。
一、函数极值的定义函数极值是指函数在某一区间内的最大值和最小值。
在函数的导数为0或不存在的点处，函数可能取得极值。
二、求函数极值的方法1. 导数法首先，将函数y=f(x)对x求导得到其导函数y'=f'(x)。
然后，解以下方程组：y'=0或y'不存在求得的解即为函数的极值点。
例如，对于函数y=x^2-2x+1，其导函数y'=2x-2。
令y'=0，得到x=1。
此时，函数取得极小值y=0。
注意：在求解时需要注意导数不存在的情况，例如绝对值函数。
2. 二次函数法对于二次函数y=ax^2+bx+c，当a>0时，该函数的最小值为c-b^2/(4a)，当a<0时，该函数的最大值也为c-b^2/(4a)。
例如，对于函数y=x^2-2x+1，其a=1，b=-2，c=1。
因为a>0，所以y的最小值为1-(-2)^2/(4×1)=0。
3. 边界法当函数在一定区间内连续时，其取得极值的点只可能在该区间的边界处或导数不存在的点处。
因此，我们只需要求出函数在该区间的两个端点处的函数值，再比较这两个值和导数不存在的值的大小即可确定极值点。
例如，对于函数y=x^3-3x，当x∈[-1,2]时，极值点只可能在x=-1、x=2或导数不存在的点处。
函数在端点处的值为y(-1)=-2和y(2)=2，导数不存在的点为x=0。
因此，函数在x=0处取得极大值y=0，而在x=-1处取得极小值y=-4。
三、应用函数极值可以在优化问题中起到重要作用。
例如，在最小化成本的问题中，需要确定产量x的大小使得成本最小化。
假设某企业的生产成本函数为y=3x^2-4x+8，其中x为产量，y为成本。
该问题可以转化为求函数y的最小值。
通过求出函数的导数为0的点，我们发现函数在x=2/3处取得最小值y=6.67。
因此，该企业应该保持产量在2/3时，成本会最小。
高三选修3-4的知识点
高三选修3-4的知识点高三选修3-4是一门重要的学科，下面将介绍其知识点。
第一部分：数学理论知识1. 函数与导数- 函数的定义及性质- 导数的定义及计算方法- 高阶导数和隐函数求导- 函数的极值与最值2. 三角函数与立体几何- 三角函数的定义及性质- 三角函数的图像与性质- 三角函数的推导及应用- 立体几何的基本概念与性质- 空间几何体的计算与应用3. 概率与统计- 概率的基本概念与性质- 随机变量与概率分布- 概率与统计的应用- 统计图表的绘制与分析第二部分：数学实践技能1. 解题技巧与方法- 代数运算技巧与常见解题方法 - 几何图形的构造与分析技巧 - 概率与统计问题的解决方法 - 数学建模与实际问题的联系2. 计算器及数学软件的应用- 计算器的基本操作与功能- 数学软件的安装与使用- 数学软件在解决实际问题中的应用第三部分：数学思维与创新1. 数学思维方法- 归纳与演绎思维方法- 反证法与递推思维方法- 数学问题的抽象与推理2. 数学与其他学科的关系- 数学与物理的联系与应用- 数学与化学的联系与应用- 数学在工程与技术中的应用第四部分：数学与生活1. 数学在生活中的应用- 金融领域中的数学应用- 交通与物流中的数学应用- 生活中的测量与统计问题2. 数学的历史与文化- 数学史上的重要人物与成就- 数学在不同文化中的应用与发展这些知识点是高三选修3-4课程中的重要内容，希望同学们能够认真学习，掌握其中的理论知识和实践技能。
通过培养良好的数学思维方法和创新能力，将数学知识应用于解决实际问题，拓宽数学在生活中的应用领域，培养对数学的兴趣和热爱。
相信通过努力学习，同学们一定可以在高考中取得优异的成绩！。
最值和极值的区别和联系
最值和极值的区别和联系极值与最值的关系是局部与整体的关系。
极值是局部的最概念，而最值是整体的最概念。
也就是说极值是局部的最大或最小值，而最值是整体的最大或最小值。
一元函数中，我们求极值是通过求导数，使导数等于零的点就可能为极值。
这里的逻辑是什么呢？在经济学上有一个概念叫做边际，导数也就是每一个点的边际值。
通过学习定积分，我们知道了，如果要求一个函数的原函数值，那么我们可以求出在这个区间上每一个点所对应的导数值，把所有值相加，也就是原函数值了，图像上也就是导函数所对应区间的面积。
这样我们就可以发现，当边际值为正的时候，那么原函数的值始终是增长的。
当边际值一旦为负，那么原函数的值就开始下降。
因为一元函数是平面上的线，所以在这一条线上的极值是边际值为零所对应的函数取值。
由此我们扩充到二元函数领域。
二元函数相当于一个立体的单元。
我们可以将二元函数理解为等高地形图。
则极值点，也就是每一个峰值和低谷。
而最大值就是峰值最高的那一个点，最小值就是低谷最低的那一个点。
这些峰值和低谷有什么特征呢？垂直于地平面的任意截面，在这些截面平面上，（x0，y0）都是极值此我们可以得出，极值点的必要条件是。
对x的导函数我和y的导函数都存在。
且当这些导函数取（x0，y0）时，它们的值都是零。
那么，它的充要条件是什么呢？这个就要应用到二元函数的泰勒公式。
一元函数的泰勒公式表示的意思是，模拟出一条曲线，是这条曲线无限接近于原来的区县。
而二元函数模拟出来的是一个曲面，这个曲面无限接近于原来的前面。
那怎么求二元函数的极值呢？关于这个内容，我不做赘述，大家可以去查询资料，主要是关于二元函数的泰勒公式推导出来的。
先求出一阶偏导数等于零的方程组，得出（x0,y0）,再通过求二阶偏导数，FXX(x0,y0)=A,FXY(x0,y0)=B,FYY（x0,y0）=C,l 若AC-B2＞0，A＜0。
则有极大值l 若AC-B2＞0，A＞0。
则有极小值l 若AC-B2＜0，则没有极值l 若AC-B2＝0，则可能有极值，也可能没有极值。
微积分课件3-4最大最小值问题
2021/4/21
13
令
S
1 4
(3 x02
64 x0
16
16)
0,
解得
x0
16 , 3
x0 16 (舍去).
s(16) 8 0. s(16) 4096 为极大值.
3
3 217
故 s(16) 4096为所有三角形中面积的最大者. 3 27
2021/4/21
14
最大收入为R(
x)
(350
20)
68
350 10
10890 (元)
2021/4/21
11
例4 由直线 y 0，x 8 及抛物线 y x2 围 成一个曲边三角形，在曲边 y x2 上求一点， 使曲线在该点 处的切线与直 线 y0及 x8 所围成的三角 形面积最大．
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2021/4/21
5
二、实际问题的最值
(1)建立目标函数; (2)求最值; 若目标函数只有唯一驻点，则该点的 函数值即为所求的最(或最小)值．
2021/4/21
6
么么么么方面
• Sds绝对是假的
例2 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟 的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击，
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
计算 f (3) 23;
f (2) 34;
f (1) 7;
f (4) 142;
2021/4/21
4
y 2x3 3x2 12x 14
比较得 最大值 f (4) 142，最小值 f (1) 7.
bx o a
bx o a
函数的极值与最大值最小值
lim
x x0
f (x) f (x0 ) (x x0 )n
2
(n为正整数)
试讨论 f (x)在 x x0 点的极值问题.
解：由于 lim f (x) f (x0 ) 2 0， xx0 (x x0 )n
则
0，当x U (x0, ) 时，有
f
(x) f (x0 ) (x x0 )n
a 1 当a 1时，则1 e1a 0，a 1 0，于是，f (a) 0； 当a 1时，则1 e1a 0，a 1 0，于是，f (a) 0； 因此，当a 1时，f (a) 0，由第二充分条件可知： f (a) 为极小值.
-11-
例 4 设 f (x)在 x0 的某个邻域内连续，且
切线与直线 y 0 及 x 8所围成的三角形面积最大．
解 如图，设所求切点为 P(x0, y0 ), y
T
则切线PT为：y y0 2x0 (x x0 ),
B
P
y0 x02 ,
oA
Cx
A(
1 2
x0
,
0),
C(8, 0),
B(8, 16x0 x02 )
SABC
1(8 2
1 2 x0 )(16 x0
由极值定义可知：f (x)在 x0 不取得极值.
-13-
二、最大值最小值问题
假定：f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内除有限个点外可导， 且至多有有限个驻点.
讨论：f (x) 在[a,b]上的最大值与最小值的问题.
★ 最值的存在性：
若 f (x)在[a,b] 上连续，则 f (x) 在[a,b]上的最值必定存在.
如：y x3，y x0 0， 但 x 0 不是极值点.
【注 2】函数的极值点只可能是驻点或导数不存在的点.
多元函数的极值点与最值问题
多元函数的极值点与最值问题一、引言在数学中，多元函数的极值点与最值问题是一个重要且常见的研究课题。
通过寻找函数取得极值的点以及确定函数的最值，可以帮助我们更好地理解和分析多元函数的特性。
本文将介绍多元函数的极值点与最值问题的基本概念和方法。
二、多元函数的极值点1. 极值点的定义对于一个多元函数而言，极值点是指在定义域内存在的局部极大值或局部极小值点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处有定义，如果存在一个邻域N(a₁, a₂,..., aₙ)，对于任意点(x₁, x₂,..., xₙ)∈N(a₁, a₂,..., aₙ)，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁, a₂,..., aₙ)或f(x₁, x₂,..., xₙ)≥f(a₁, a₂,..., aₙ)，则称点(a₁, a₂,..., aₙ)是函数f(x₁, x₂,..., xₙ)的一个极值点。
2. 寻找极值点的方法（1）求偏导数为了确定函数的极值点，我们可以先求出函数的偏导数。
对于一个具有n个自变量的函数，可以分别对每个自变量求偏导数，将得到的偏导数方程组称为梯度向量。
（2）解偏导数方程组接下来，我们需要解偏导数方程组，即找到梯度向量的零点。
这些零点就是函数可能的极值点。
3. 极值点的分类根据二阶偏导数的符号，可以将极值点分为以下几种情况：（1）二阶偏导数恒正：该点为局部极小值点；（2）二阶偏导数恒负：该点为局部极大值点；（3）二阶偏导数存在正负交替：该点即可能为局部极小值点，也可能为局部极大值点；（4）二阶偏导数不存在：需要通过额外的分析判断。
三、多元函数的最值问题1. 最值的定义对于一个多元函数而言，最大值和最小值是函数在定义域内取得的极值中的特殊点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在定义域D内有定义，如果对于任意(x₁, x₂,..., xₙ)∈D，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁,a₂,..., aₙ)，则称函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处取得最大值。
初中几何最值问题类型
初中几何最值问题类型
初中几何中的最值问题类型有以下几种：
1.最大值最小值问题：
求某个几何图形的最大面积或最小周长，如矩形、三角形等。
求抛物线的最高点或最低点，即顶点的坐标。
2.极值问题：
求函数图像与坐标轴的交点。
求函数在某个区间内的最大值或最小值，如求二次函数的最
值等。
3.最优化问题：
求物体从一个点到另一个点的路径问题，如两点之间的最短
路径、最快速度等。
4.最长边最短边问题：
求三角形的最长边或最短边，如用三根木棍构成三角形，求
最长边的长度。
5.相等问题：
求两个几何形状中的某个参数，使得它们的某个关系成立，
如求两个相似三角形的边长比、两个等腰三角形的底角角度等。
这些问题类型都需要通过合理的分析和运用相关的几何定理
来解决。
对于初中学生来说，熟练掌握基本的几何概念和定理，灵活运用数学思维和方法，可以较好地解决这些最值问题。
通
过多做练习和思考，培养几何思维和解决问题的能力。
函数的极值与最大值最小值-精选文档
( 2 )若 f (x ) 在 x 附近不变号 ,则 f ( x0 ) 不是极值. 0
y
x0
x
y
O
O
x0
x
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§2.导数 f ( x );
( 2) 求驻点，即方程 f ( x ) 0 的根 及不可导点；
( 3 ) 检查 f ( x ) 在驻点及不可导点左右的正负号， 判断极值点 ;
在(0,0)取得极小 值，但0点不可导
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§2.9 函数的极值与最大值最小值
3. 极值的充分条件 定理2(第一充分条件) 设 f( x ) 在 x 点连续 , 且在 0
x0的某去心邻域内可导.
)0 ( 0); (1)如果在 x 0 左侧附近，有 f(x )0( 0), 则 而在 x 0 右侧附近，有f(x f ( x0 )为极大值 (极小值);
§2.9 函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值 二、函数的最大值和最小值
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§2.9 函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值
1. 函数极值的定义 y
a x1 O
x 2x
3
x
4
x
5
x
6
b x
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§2.9 函数的极值与最大值最小值
定义1 设函数f ( x )在区间(a , b )内有定义 , x0是 (a , b )内的一个点, 如果存在着点 x0的一个邻域 , 对于这邻域内的 任何点 x ,除了点 x0外, f ( x ) < f ( x0 )均成立, 就称
定理1（必要条件） 如果函数 f ( x ) 在点 x 处取得 0
f ( x ) 0 . x 处可导 ,则必有 极值, 且在 0 0
求函数最值极值的方法
求函数最值极值的方法
1、配方法:形如的函数，根据一次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值。
2、判别式法:形如的分式函数，将其化成系数含有y的关于x的二次方程。
由于,.≥0,求出y的最值，此种方法易产生增根，因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验。
3、利用函数的单调性:首先明确函数的定义域和单调性，再求最值。
4、利用均值不等式，形如的函数,及≥s，注意正,定,等的应用条件，即:a,b均为正数，是定值，a=b的等号是否成立。
5、换元法:形如的函数，令,反解出x,代入上式，得出关于t的函数，注意t的定义域范围，再求关于t的函数的最值。
还有三角换元法,参数换元法。
6、数形结合法形:如将式子左边看成一个函数，右边看成一个函数，在同-坐标系作出它们的图象，观察其位置关系,利用解析几何知识求最值。
求利用直线的斜率公式求形如的最值。
7、利用导数求函数最值:首先要求定义域关于原点对称然后判断f(x)和f(x)的关系:若f(x)=f(-x),偶函数;若f(x)=-f(-x),奇函数。
大学数学_3_4 函数的最大值与最小值
例5 3 甲船以 20nmile / h 的速度向东行驶，同一时间 乙船在甲船的正北 82nmile 处以16nmile / h 的速度向南行 驶，问经过多少时间，甲乙两船相距最近. y 82 解 设在时刻 t 0 时甲船位于 O 点， 16t 乙船位于甲船正北82nmile 处，在时刻 t B （单位：h）甲船由点 O 出发向东行驶了 20t (单位：nmile)至Ａ点，乙船向南行驶 O 20t A x 了16t （单位：nmile）至Ｂ点（图 3-7） 图3-7 甲乙两船的距离为
内容小结
1. 最值点应在极值点和边界点上找
2. 应用题可根据问题的实际意义判别
作业
P134 1(1), (5), 2, 3, 4
由这个例子看出，为什么我们经常用n次测量值的算 术平均值作为所测量值的近似值. 例题中x-xi代表第i次的 测量值xi与真值x的误差，由于x-xi（i=1,2, …,n）可为正 也可为负，不能用它们的和作为n次测量值的总误差，以 免正负误差相抵消，因此一般采用n次测量误差的平方和 作为总误差，寻求如何取近似值能使这个总误差最小. 这 就是通常所谓的最小二乘法.
2 ( x 差平方和 1
x1 x2 n
xn
( x x2 )2 ( x xn ) 2 为最小. 2 2 2 y ( x x ) ( x x ) ( x x ) 证 记 1 2 n . 现求y的最小
值.
y 2[( x x1 ) ( x x2 ) ( x xn )] 2[nx ( x1 x2 xn )]. 令 y 0 得唯一驻点 1 x ( x1 x2 xn ). n 1 又y一定存在最小值，故当x ( x1 x2 xn ).时误差平 n 方和最小.
函数的极值与最大值最小值
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
函数极值的判定法 由费马引理可知可导函数的极值点一定是驻点 .
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质.
2) 对常见函数, 极值可能出现在驻点或导数 不存在的点.
y
3) 函数的最值是函数的全局性质.
x 1 , x4 为极大点 x 2 , x5 为极小点
提示: 利用 f ( x) 单调增加 , 及
f (1) f (0) f ( ) (0 1)
利用导数求函数的最值是导数的又一重要应用.
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则值的方法: (1) 求 f ( x)在 (a , b) 内的极值可疑点
x1 , x2 , , xm
(2) 最大值
M max f ( x1 ) , f ( x2 ) ,, f ( xm ) , f (a) , f (b)
最小值
m min f ( x1 ) , f ( x2 ) , , f ( xm ) , f (a) , f (b)
特别:
• ●当 f ( x) 在 [a , b]内只有一个极值可疑点时, 若在 此点取极大 (小)值 , 则也是最大 (小)值 . • ●当 f ( x) 在 [a , b]上单调时, 最值必在端点处达到.
(证明略)
例如, 容易验证x=0是 y x2 , x ( , ) 的极小 值点. 而 x=0不是 y x , x ( , ) 的极值点.
3
例3 求函数 f ( x) ( x 1) x 的极值 . 2 x 2 1 2 5 解 1) 求导数 f ( x) x 3 ( x 1) x 3 5 3 3 3x 2) 求极值可疑点 2 令 f ( x) 0 , 得 x1 ; 令 f ( x) , 得 x2 0 5 3) 列表判别
高等数学§3-4最大值和最小值
２、做一个容积为256升的方底无盖水箱，它的高 为多少时最省材料？
解:设水箱的高为xdm,则它的底边长为
a=
256 = 16
dm
x
x
水箱所用的材料的面积为
s(x)=4ax+a2=64x+256(x>0)升 （立方分米） x
令 s'(x)=32x2-256 x=0,得 x=4 x2 x
a
x
因为s(x)只有一个极值，故高为 4dm时最省料
（2）计算区间端点处的函数值；
（3）对以上两类函数值进行比较即得。
2
1
例6 求函数 f(x)x3(x21)3
在区间 [2, 2] 上的最大值与最小值。
解 f(x)2x1 32x(x21)3 2
33
2
4
2 (x2 1)3 x3 3 3 x(x2 1)2
令 f(x)0
得驻点 x 2 函数的不可导点为x = 0, 1 .
2
函数f (x)在区间端点、驻点以及不可导点处的函数值为：
f(2)3433,f( 2)34, 2
f(0 ) 1 ,f( 1 ) 1
比较之，得最大值：3 4 最小值：3 43 3
注1： 一般地说，若函数f (x)的最大(小)值是在区间 (a, b)内取得，则该最大（小）值必为极大（小）值
B
D
20公里
C
解 设 D 点选在距离 A 点x公里处,则 DB 100 x,CD 202 x2 400 x2 .
设铁路上每吨公里货运的运费为3k ,则公路上每吨公里
货运的运费为5k（k为常数）.货物从 B 点运到 C 点每吨
货物需要的总运费为 y ,则
y 3k CD 3k DB, 即 y 5k 400 x2 3k(100 x) (0 x 100). 下面,来求 x 在区间[0,100]上取得何值时,函数 y 的值 最小.
2023年新高考数学一轮复习4-3 应用导数研究函数的极值、最值(知识点讲解)解析版
专题4.3 应用导数研究函数的极值、最值（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查利用导数求函数的极值、最值，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．2.考查利用导数研究函数的图象，凸显直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养．3.考查利用导数解决生活中的优化问题，凸显数学建模、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）导数与函数的极值 1．函数的极小值：函数y ＝f(x)在点x ＝a 的函数值f(a)比它在点x ＝a 附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a 叫做函数y ＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y ＝f(x)的极小值． 2．函数的极大值：函数y ＝f(x)在点x ＝b 的函数值f(b)比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b 叫做函数y ＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y ＝f(x)的极大值． 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 3.特别提醒：(1)函数f (x)在0x 处有极值的必要不充分条件是f ′(0x )＝0，极值点是f ′(x)＝0的根，但f ′(x)＝0的根不都是极值点(例如()3f x x ＝，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点)．(2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在区间内部的点，不会是端点．（二）导数与函数的最值(1)在闭区间[a ，b]上连续的函数f(x)在[a ，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a ，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a ，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．（三）利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x)．(2)求函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0.(3)比较函数在区间端点和f ′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值． (4)回归实际问题，结合实际问题作答． （四）常用结论1．若函数f (x)的图象连续不断，则f (x)在[a ，b]上一定有最值．2．若函数f (x)在[a ，b]上是单调函数，则f (x)一定在区间端点处取得最值．3．若函数f (x)在区间(a ，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．【常考题型剖析】题型一：利用导数研究函数的极值例1.（2017·全国高考真题（理））若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）． A ．1- B ．32e -- C ．35e - D ．1【答案】A 【解析】由题可得()()()()121212121x x x f x x a ex ax e x a x a e ---⎡⎤=+++-=+++-⎣⎦'， 因为()20f '-=，所以1a =-，()()211x f x x x e -=--，故()()212x f x x x e --'=+，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在()(),2,1,-∞-+∞上单调递增，在()2,1-上单调递减， 所以()f x 的极小值为()()1111111f e-=--=-，故选A ．例2．（2012·重庆·高考真题（理））设函数()f x 在R 上可导，其导函数为 ()'f x ，且函数(1)()y x f x '=-的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是A ．函数()f x 有极大值 (2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值 (2)f -和极小值(1)fC ．函数()f x 有极大值 (2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值 (2)f -和极小值(2)f 【答案】D 【解析】 【详解】()()2,10,10x x x f x --'->则()0f x '>函数()f x 增； ()()21,10,10x x x f x -<--<'则()0f x '<函数()f x 减；()()12,10,10x x x f x <<--'则()0f x '<函数()f x 减；()()2,10,10x x x f x >-<-<'则()0f x '>函数()f x 增；选D.例3.（2008·福建·高考真题（文））已知函数32()2f x x mx nx =++-的图象过点（-1，-6），且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称.(Ⅰ)求m 、n 的值及函数y =f (x )的单调区间；(Ⅱ)若a ＞0，求函数y =f (x )在区间（a -1,a +1）内的极值.【答案】（1）m =-3, n =0. f (x )的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；f (x )的单调递减区间是（0，2）（2）当0<a <1时，f (x )有极大值－2，无极小值，当1<a <3时，f (x )有极小值－6，无极大值；当a=1或a ≥3时，f (x )无极值. 【解析】 【详解】（Ⅰ）利用条件的到两个关于m 、n 的方程，求出m 、n 的值，再找函数y=f （x ）的导函数大于0和小于0对应的区间即可．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，分情况讨论区间（a -1，a+1）和单调区间的位置关系再得结论．(1)由函数f(x)的图象过点(－1，－6)，得m－n＝－3.①…由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，得＝3x2＋2mx＋n，………………2分则g(x)＝＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n.而g(x)的图象关于y轴对称，所以－2623m+⨯＝0，解得m＝－3.代入①得n＝0.于是＝3x2－6x＝3x(x－2)．………………………4分由>0得x>2或x<0，故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)；………………………5分由<0，得0<x<2，故f(x)的单调递减区间是(0,2)．………………………6分(2)由(1)得＝3x(x－2)，令＝0得x＝0或x＝2. ………………7分当x变化时，，f(x)的变化情况如下表：增函数增函数…………………………………9分由此可得：当0<a<1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；当1<a<3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．综上得，当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值；当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．………………………………12分【总结提升】 1.两点说明：（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．2.求函数f(x)极值的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x 0处取极小值．3.求极值问题主要有两种类型，一是由图象求极值，二是求具体函数的极值. 题型二：根据函数极值（点）求参数的值或范围例4.（2021·全国高考真题（理））设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（ ） A ．a b < B ．a b > C ．2ab a < D ．2ab a >【答案】D 【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到,a b 所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若a b =，则()()3f x a x a =-为单调函数，无极值点，不符合题意，故ab .()f x ∴有x a =和x b =两个不同零点，且在x a =左右附近是不变号，在x b =左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，∴在x a =左右附近都是小于零的.当0a <时，由x b >，()0f x ≤，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a <，0a <，故2ab a >.当0a >时，由x b >时，()0f x >，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a >，0a >，故2ab a >.综上所述，2ab a >成立. 故选：D例5.（2022·全国·高考真题（理））已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________． 【答案】1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由12,x x 分别是函数()22e x f x a x =-的极小值点和极大值点，可得()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '<，()12,x x x ∈时，()0f x '>，再分1a >和01a <<两种情况讨论，方程2ln 2e 0x a a x ⋅-=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，构造函数()ln xg x a a =⋅，利用指数函数的图象和图象变换得到()g x 的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案. 【详解】解：()2ln 2e xf x a a x '=⋅-，因为12,x x 分别是函数()22e x f x a x =-的极小值点和极大值点，所以函数()f x 在()1,x -∞和()2,x +∞上递减，在()12,x x 上递增，所以当()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '<，当()12,x x x ∈时，()0f x '>， 若1a >时，当0x <时，2ln 0,2e 0x a a x ⋅><，则此时()0f x '>，与前面矛盾， 故1a >不符合题意，若01a <<时，则方程2ln 2e 0x a a x ⋅-=的两个根为12,x x ， 即方程ln e x a a x ⋅=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点， ∵01a <<,∴函数x y a =的图象是单调递减的指数函数，又∵ln 0a <,∴ln x y a a =⋅的图象由指数函数x y a =向下关于x 轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的ln a 倍得到，如图所示：设过原点且与函数()y g x =的图象相切的直线的切点为()00,ln xx a a ⋅，则切线的斜率为()020ln x g x a a '=⋅，故切线方程为()0020ln ln x x y a a a a x x -⋅=⋅-，则有0020ln ln x x a a x a a -⋅=-⋅，解得01ln x a=， 则切线的斜率为122ln ln eln a a a a ⋅=，因为函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点， 所以2eln e a <，解得1e ea <<，又01a <<，所以11ea <<，综上所述，a 的范围为1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭.例6.已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.【法案】－7【解析】由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则2310630a ab b a ⎧+--=⎨-+=⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值， 而a ＝2，b ＝9满足题意， 故a －b ＝－7.例7．（2017·江苏·高考真题）已知函数()32f x =x x 1(0,)a bx a b R +++>∈有极值，且导函数()fx ，的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b²>3a; （3）若()f x ，()fx ，这两个函数的所有极值之和不小于7-2，求a 的取值范围．【答案】（1）2239a b a =+，定义域为(3,)+∞.（2）见解析（3）(36]，. 【解析】 【详解】试题分析：（1）先求导函数的极值：3a x =-，再代入原函数得33()1032793a a a abf -=-+-+=，化简可得2239a b a =+，根据极值存在条件可得3a >；（2）由（1，构造函数23()=9t g t t +，利用导数研究函数单调性，可得(g g 2>3b a ；（3）先求证()f x 的两个极值之和为零，利用根与系数关系代入化简即得，再研究导函数极值不小于72-，构造差函数213()=9h a a a -+，利用导数研究其单调性，()h a 在(3,)+∞上单调递减．而7(6)=2h -，故可得a 的取值范围．试题解析：解：（1）由()321f x x ax bx =+++，得()22232333a a f x x ax b x b ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭'.当3a x =-时，()f x '有极小值23ab -. 因为()f x '的极值点是()f x 的零点.所以331032793a a a ab f ⎛⎫-=-+-+= ⎪⎝⎭，又0a >，故2239a b a =+. 因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而()23127039a b a a-=-≤，即3a ≥.3a =时，()>0(1)f x x ≠-'，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；3a >时，()=0f x '有两个相异的实根1x 2x . 列表如下故()f x 的极值点是12,x x . 从而3a >，因此2239a b a =+，定义域为(3,)+∞.（2）由（1设23()=9t g t t +，则22223227()=99t g t t t --='.当)t ∈+∞时，()0g t '>，从而()g t 在)+∞上单调递增.因为3a >，所以>，故(g g因此2>3b a .（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=.从而()()32321211122211f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++()()()()2222121122121212323223333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++ 346420279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a-=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >.因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减.因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤. 因此a 的取值范围为(]36，. 【总结提升】由函数极值求参数的值或范围．讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f ′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．题型三：利用导数研究函数的最值例8．（2022·全国·高考真题（理））当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（ ） A ．1- B ．12-C ．12D ．1【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知12f ，()10f '=即可解得,a b ，再根据()f x '即可解出．【详解】因为函数()f x 定义域为()0,∞+，所以依题可知，12f ，()10f '=，而()2a bf x x x '=-，所以2,0b a b =--=，即2,2a b =-=-，所以()222f x x x '=-+，因此函数()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，1x =时取最大值，满足题意，即有()112122f '=-+=-．故选：B.例9．（2021·全国·高考真题）函数()212ln f x x x =--的最小值为______. 【答案】1【解析】 【分析】由解析式知()f x 定义域为(0,)+∞，讨论102x <≤、112x <≤、1x >，并结合导数研究的单调性，即可求()f x 最小值. 【详解】由题设知：()|21|2ln f x x x =--定义域为(0,)+∞， ∴当102x <≤时，()122ln f x x x =--，此时()f x 单调递减； 当112x <≤时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=-≤，此时()f x 单调递减； 当1x >时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=->，此时()f x 单调递增； 又()f x 在各分段的界点处连续，∴综上有：01x <≤时，()f x 单调递减，1x >时，()f x 单调递增； ∴()(1)1f x f ≥= 故答案为：1.例10.（2019年高考全国Ⅲ卷理）已知函数32()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）01a b =⎧⎨=-⎩或41a b =⎧⎨=⎩.【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得x =0或3ax =. 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.（2）满足题设条件的a ，b 存在.（i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0，1b =-． （ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1．（iii ）当0<a <3时，由（1）知，()f x 在[0，1]的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为b 或2a b -+．若3127a b -+=-，b =1，则a =，与0<a <3矛盾.若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =a =-a =0，与0<a <3矛盾． 综上，当且仅当a =0，1b =-或a =4，b =1时，()f x 在[0，1]的最小值为-1，最大值为1． 例11.（2017·北京·高考真题（文））已知函数()e cos x f x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)1y =；（Ⅱ）最大值1；最小值2π-.【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式000yf f x 中即可；（Ⅱ）设()()h x f x ='，求()h x '，根据()0h x '<确定函数()h x 的单调性，根据单调性求函数的最大值为()00h =，从而可以知道()()0h x f x '=<恒成立，所以函数()f x 是单调递减函数，再根据单调性求最值.试题解析：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()()()e cos sin 1,00xf x x x f -''=-=.又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()()e cos sin 1x h x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x xh x x x x x x =--=-'-.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<.所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过()f x '不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设()()h x f x ='，再求()h x '，一般这时就可求得函数()h x '的零点，或是()0h x '>(()0h x '<)恒成立，这样就能知道函数()h x 的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断()y f x =的单调性，最后求得结果. 【规律方法】1.求函数f(x)在[a ，b]上的最大值和最小值的步骤： 第一步，求函数在(a ，b)内的极值；第二步，求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；第三步，将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．3. 二次求导！当导函数y ＝f ′(x)无法判断正负时，可令g(x)＝f ′(x)再求g′(x)，先判断g(x)＝f ′(x)的单调性，再根据单调性确定y ＝f ′(x)的正负号．题型四：利用导数解决生活中的优化问题例12．（2020·江苏省高考真题）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?【答案】（1）120米（2）20O E '=米 【解析】 【分析】（1）根据A,B 高度一致列方程求得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果. 【详解】 （1）由题意得2311||40640||8040800O A O A ''=-⨯+⨯∴= ||||||8040120AB O A O B ''∴=+=+=米（2）设总造价为()f x 万元，21||8016040O O '=⨯=，设||O E x '=， 32131()(1606)[160(80)],(040)800240f x k x x k x x =+-+--<<3221336()(160),()()0208008080080f x k x x f x k x x x '∴=+-∴=-=∴=(0舍去)当020x <<时，()0f x '<；当2040x <<时，()0f x '>，因此当20x 时，()f x 取最小值，答：当20O E '=米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低. 【总结提升】实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等一般都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f ′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，若函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值． 题型五：函数极值与最值的综合问题例13.（2016·天津·高考真题（理））设函数3()(1)f x x ax b =---，x∈R ，其中a,b∈R. （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若f （x ）存在极值点x 0，且f （x 1）= f （x 0），其中x 1≠x 0，求证：x 1+2x 0=3；（Ⅲ）设a ＞0,函数g （x ）= |f （x ）|,求证：g （x ）在区间[0,2]上的最大值不小于14.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数'()f x ，再根据导函数零点是否存在，分类讨论；（Ⅱ）由题意得，计算可得00(32)()f x f x -=.再由及单调性可得结论；（Ⅲ）实质研究函数最大值：主要比较(1),(1)f f -，33(,()33a a f f -的大小即可，可分三种情况研究：①3a ≥；②334a ≤<；③304a <<. 试题解析：（Ⅰ）解：由，可得.下面分两种情况讨论： （1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.（2）当时，令，解得313a x =+，或313ax =-. 当变化时，，的变化情况如下表：所以的单调递减区间为33(1,1)33a a-+，单调递增区间为3(,1)3a -∞-，3(1,)3a ++∞. （Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，由题意，得，即，进而.又，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数1x 满足，且，因此，所以.（Ⅲ）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况讨论： （1）当时，33102133a a-≤<≤+，由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此{}{}max (2),(0)max 12,1M f f a b b==----，所以.（2）当时，2333231011213333a a a a-≤<-<+<≤+，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，233(0)(1)(1)33a a f f f ≥-=+，233(2)(1)(1)33a af f f ≤+=-， 所以在区间上的取值范围为33[(1),(1)]33a af f +-，因此 3322max (1),(1)max 3,33399a a a a M f f a a b a a b ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=+-=-----⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭.（3）当时，2323011233a a<-<+<，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知， (0)(1(1f f f <=，(2)(1(1f f f >=， 所以在区间上的取值范围为，因此.综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.例14．（2021·北京高考真题）已知函数()232xf x x a-=+． （1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及其最大值与最小值．【答案】（1）450x y +-=；（2）函数()f x 的增区间为(),1-∞-、()4,+∞，单调递减区间为()1,4-，最大值为1，最小值为14-.【分析】（1）求出()1f 、()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由()10f '-=可求得实数a 的值，然后利用导数分析函数()f x 的单调性与极值，由此可得出结果. 【详解】（1）当0a =时，()232xf x x -=，则()()323x f x x -'=，()11f ∴=，()14f '=-， 此时，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()141y x -=--，即450x y +-=； （2）因为()232xf x x a-=+，则()()()()()()222222223223x a x x x x a f x xa xa -+----'==++，由题意可得()()()224101a f a -'-==+，解得4a =，故()2324x f x x -=+，()()()()222144x x f x x +-'=+，列表如下：所以，函数()f x 的增区间为(),1-∞-、()4,+∞，单调递减区间为()1,4-.当32x <时，()0f x >；当32x >时，()0f x <. 所以，()()max 11f x f =-=，()()min 144f x f ==-.【总结提升】求解函数极值与最值综合问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小范围．(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．。
北师大版选修1《函数的极值》教案及教学反思
北师大版选修1《函数的极值》教案及教学反思一、教学目标知识目标1.了解函数的极值和最值的概念；2.掌握求解函数的极值的方法；3.能够应用函数的极值和最值解决实际问题。
能力目标1.培养学生的数学思维能力和创新意识；2.提高学生的逻辑思维能力和数学语言描述能力；3.培养学生的动手实践能力和解决问题的能力。
二、教学内容教材内容本节课的教材内容来自于北师大版选修1《数学》中的第四章《函数与导数》的第二节《函数的极值》。
知识点1.极值的概念；2.极值存在的充分条件；3.求解函数的极值的方法；4.最值的概念及其求解方法。
三、教学过程1. 导入环节（5分钟）教师可以通过以下问题引导学生思考：•什么是函数的最值？•如何求解函数的最值？2. 概念解释（10分钟）1.极大值：在数集S中，若存在一个数M，使得对于 $\\forall x\\in S$，有 $f(x)\\leq f(M)$，则称M 为数集S的一个极大值，也称为函数f(x)的极大值。
2.极小值：在数集S中，若存在一个数m，使得对于 $\\forall x\\in S$，有 $f(x)\\geq f(m)$，则称m 为数集S的一个极小值，也称为函数f(x)的极小值。
3. 求解极值的方法（25分钟）为了让学生更好地理解极值和最值的概念，教师可以以图像的方式展示求解过程，同时着重讲解下列求解方法。
•辨别有无极值–有界闭区间极值存在的条件–无界区间必无最大值和最小值•单调性分析•求导法–极值的必要条件–极值的充分条件4. 练习与实践（30分钟）教师可以编写一些练习题或者提供一些实际问题让学生进行求解，例如：1.若F(x)=x3−3x，求其极值；2.求函数y=x3−3x2在[−2,3]区间内的最大值和最小值；3.在 $[0,+\\infty)$ 上，求函数 $\\displaystyley=x-e^{-x}$ 的最小值。
5. 总结回顾（5分钟）教师可以引导学生回顾本节课所学的内容并思考下列问题：1.极值存在的条件是什么？2.求解极值的方法有哪些？3.如何应用函数的极值和最值解决实际问题？四、教学反思函数的极值是函数与导数的一个重要应用。
3-4-函数的最大值与最小值
r 图3-6
由实际问题知，圆锥体的斜高l 20cm 时，体积最大
值一定存在，故当高h
20 3
3
(cm)
时圆锥体的体积最大.
例 53 甲船以20nmile / h的速度向东行驶，同一时间
乙船在甲船的正北82nmile 处以16nmile / h 的速度向南行
驶，问经过多少时间，甲乙两船相距最近.
y 82
一定存在，故当底边x 3 2V 时容器的表面积最小.
注意 实际问题可以不验证惟一驻点是极值点，可 直接在求得惟一驻点时，说明这就是实际问题最大值（最 小值）点，回答所求问题的结论.
例例42 要做一个圆锥形的漏斗，如图 3-6 所示，其斜 高l 20cm,要使体积最大，问其高应为多少？
解 设圆锥的高为 h，底面半径为 r，则其体积为
3
33 x 33 x
令 f (x) 0,得驻点x 1 ，点 x 0是不可导点.又
3
f (1) 7, f (0) 0, f (1) 3, f (2)
4, 故 f (x) 在
1, 2的最大值为 f (0) 0，最小值为 f (1) 7 .
例 2 求函数 f (x)
x
ln
x
在
1 4
V 1 πr2h .又圆锥的斜高l 20cm, 则 r 202 h2 , 所以 3
圆锥体积 V 为 h 的函数，于是
V (h) 1 π(202 h2 ) h (0 h 20) 3
l h
V (h) 1 π(202 h2 2h2 ) 3
令V (h) 0得惟一驻点h 20 3 3
内部取得，也可能在区间端点 x a或 x b处取得. (1)若 f (x) 在开区间(a,b) 内 x0 处取得最大值（或最小
极值和最值的高阶导数
极值和最值的高阶导数在微积分学中，极值和最值是非常常见的概念。
它们在实际问题中的应用也非常广泛。
在求解极值与最值问题时，常用的方法就是求解函数的一阶和二阶导数。
不过，有的时候我们需要求解的不仅仅是函数的一阶和二阶导数，而需要求解更高阶的导数。
本文将介绍关于极值和最值的高阶导数的相关知识。
一、函数的高阶导数首先，我们需要回顾一下函数的高阶导数的定义。
对于一个导数存在的函数 $f(x)$，它的 $n$ 阶导数定义如下：$$f^{(n)}(x)=\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}f(x)$$其中，$n$ 表示求导的次数。
对于高阶导数，我们同样可以利用导数的定义，将其表示成极限的形式：$$f^{(n)}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f^{(n-1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}$$这个式子表示的是函数 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数。
我们可以利用这个式子依次求解函数的一阶、二阶、三阶……直到 $n$ 阶导数。
二、极值和最值的定义在讲述高阶导数之前，我们先来回忆一下极值和最值的定义。
先定义一下局部极大值、局部极小值、全局极大值和全局极小值：局部极大值：对于函数 $f(x)$，若存在$x_0\in\operatorname{Dom}(f)$，使得对于 $\epsilon>0$，有$f(x_0)>f(x)$ 对于任意的 $x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon)\cap\operatorname{Dom}(f)$ 成立，则称$x_0$ 为函数 $f(x)$ 的一个局部极大值。
局部极小值：对于函数 $f(x)$，若存在$x_0\in\operatorname{Dom}(f)$，使得对于 $\epsilon>0$，有$f(x_0)<f(x)$ 对于任意的 $x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon)\cap\operatorname{Dom}(f)$ 成立，则称$x_0$ 为函数 $f(x)$ 的一个局部极小值。
极值第二判别法函数的最值
1 3 2 y x (6 3 x ) 3x x 2 2
x x
y 3 3x
令y 0 ， 求 得 驻 点 x 1.
例7 欲用长6m的铝合金材料加工一日字形窗框 (如图所示),问它的长和宽分别为多少时,才能使窗户 面积最大,最大面积是多少? 1 解 设窗框的宽为 xm，则长为 (6 3x)m. x 2
因 为y 3 0,所 以x 1 是 极 大 值 点.
由于y在区间(0,2)内有唯一的极大值，所 以 这个极大值就是最大值 .
于是得到，当窗户的宽 为1m，长为 3 / 2m时，面积最大 ,最大面积为 y 3 / 2( m 2 )
x x
课堂练习 P83 Ex3 8( 4, 5 )
比较得: 小 值 f (2) 31. 最 大 值 f (3) 244 . 最
例5 求f ( x) x 4 2 x 2 3在2,2上的最大值 与最小值 .
解
f (x) 4x3 4x 4x(x 1)(x 1)
f(0) 3 f(1) 2
令f (x) 0, 解 得 x 1, x 0, x 1
解得驻点 x -2， x 4 计算出 y y
x -5
82 , y y
x -2
26 ,
x 4
82 ,
x 5
72
x -2 x -5 x 4
所以函数的最大值是 最小值是
y y y
26 ， 82 , 82 .
9(1) y x 3 3x 2 9 x 5 令 y 3(x 1)(x - 3) 0, 得 x -1,x 3 y 6x - 6 6(x - 1), 而 y
例3 求 出 函 数 f (x) x3 3x2 24x 20的 极 值. 解
最值点定义
最值点定义在数学和统计学中，最值点是指函数曲线上的极值点，即函数取得最大值或最小值的点。
一般来说，最值点是在函数的导数为零的点处取得的，即在该点的切线斜率等于零。
最值点在实际问题中具有重要意义，可以帮助我们找到函数的极值，解决优化问题。
最值点的定义一个函数的最值点可以定义为满足以下条件的点：- 在该点处函数的导数存在；- 在该点处函数的导数值为零或不存在。
具体来说，对于一个函数f(x)，其在点x=a处取得最大值或最小值，则有以下条件成立： 1. f′(a)=0，即函数在x=a处的导数为零； 2. f″(a)eq0，即函数在x=a处的二阶导数不为零（为非零）。
寻找最值点的步骤要找到一个函数的最值点，一般可以按照以下步骤进行： 1. 找出函数的导数；2. 解方程f′(x)=0，找到函数的临界点；3. 利用二阶导数判断临界点是极大值点、极小值点还是拐点； 4. 最值点可以通过比较各个极值点的函数值找到。
举例说明考虑函数f(x)=x3−3x2，我们来求函数f(x)的最值点。
求导及求零点首先，求f(x)的导数：f′(x)=3x2−6x令导数等于零，解方程3x2−6x=0，得到x=0和x=2。
利用二阶导数判断最值点再求f(x)的二阶导数：f″(x)=6x−6将x=0和x=2代入二阶导数，得到f″(0)=−6<0，f″(2)=6>0。
因此，x=0是函数f(x)的极小值点，x=2是函数f(x)的极大值点。
比较函数值确定极值最后，我们计算函数在x=0和x=2处的函数值：f(0)=0,f(2)=−4故函数f(x)在x=0处取得极小值0，在x=2处取得极大值−4。
结语通过上述分析，我们可以看到最值点在数学和统计学中的重要性和应用。
通过找到函数的最值点，我们可以解决很多实际问题，如生产成本最小化、利润最大化等。
因此，对最值点的定义和求解方法有着很深刻的认识是非常有意义的。
以上就是有关最值点定义的简单介绍，希望能对读者有所帮助。
高中数学极值
高中数学极值
摘要：
1.极值的概念和性质
2.求极值的方法
3.极值在高中数学中的应用
正文：
一、极值的概念和性质
在高中数学中，极值是一个重要的概念，它涉及到函数的最值问题。
极值分为最大值和最小值，通常用来描述函数在某一特定区间内的最大或最小取值。
求极值是高中数学中的一个基本技能，对于解决实际问题和理解函数的性质具有重要意义。
二、求极值的方法
求极值的方法主要有以下几种：
1.导数法：利用函数的导数求极值。
当函数在某一点取得极值时，该点的导数等于零。
因此，通过求导、令导数等于零，然后解方程可以求得极值。
2.配方法：对于二次函数或可化为二次函数的问题，可以采用配方法求极值。
配方法的基本思想是将函数化为完全平方的形式，然后根据平方项的正负性判断极值类型。
3.判别式法：对于三次及以上的函数，可以通过判别式求极值。
判别式的值决定了函数的极值类型，从而可以确定极值点的位置。
三、极值在高中数学中的应用
极值在高中数学中有广泛的应用，如求解函数的最值问题、证明数学不等
式、解决实际问题等。
熟练掌握求极值的方法，对于提高高中数学解题能力具有重要作用。
1.在函数求最值问题中，通过求极值可以找到函数的最大值和最小值，从而解决实际问题。
2.在证明数学不等式时，可以利用极值的性质判断不等式的成立性。
3.在解决实际问题时，极值概念可以帮助我们找到问题的最优解，如最短路径问题、最大收益问题等。
高考第19课利用导数研究函数的最(极)值
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第19课利用导数研究函数的最(极)值【自主学习】第19课利用导数研究函数的最(极)值(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(选修2-2P31例2改编)函数f(x)=13x3-4x+13的极大值是，极小值是.【答案】173-5【解析】f'(x)=x2-4，令f'(x)=0，解得x1=-2，x2=2.当x变化时，f(x)，f'(x)的变化情况如下表：x (-∞，-2) -2 (-2，2)2(2，+∞)f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗极大值f(-2) ↘极小值f(2) ↗因此，当x=-2时，f(x)有极大值f(-2)=17 3；当x=2时，f(x)有极小值f(2)=-5.2.(选修1-1P76练习2改编)已知函数f(x)=x3-x2-x+a，且f(x)的极小值为1，则f(x)的极大值为.【答案】59 27【解析】f'(x)=3x2-2x-1，令f'(x)=0，则x=-13或x=1.当x<-13或x>1时，f'(x)>0；当-13<x<1时，f'(x)<0，所以当x=1时，f(x)取得极小值，当x=-13时，f(x)取得极大值.因为极小值是f(1)=a-1=1，所以a=2，所以f(x)的极大值为f1-3⎛⎫⎪⎝⎭=527+a=5927.3.(选修2-2P33例2改编)函数f(x)=12x+sin x在区间[0，2π]上的最大值为.【答案】π【解析】f'(x)=12+cos x，x∈[0，2π].令f'(x)=0，解得x1=2π3，x2=4π3.当x变化时，f(x)，f'(x)的变化情况如下表：x 020,3π⎛⎫⎪⎝⎭23π24,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭43π4,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭2πf'(x) + 0 - 0 +f(x) 0 ↗极大值↘极小值↗π由上表可知，函数f(x)=12x+sin x在区间[0，2π]上的最大值为π.4.(选修2-2P34习题8改编)函数y=x+sin x，x∈[0，2π]的值域为.【答案】[0，2π]【解析】因为y'=1+cos x≥0，所以函数y=x+sin x在[0，2π]上是单调增函数，所以值域为[0，2π].5.(选修2-2P34习题7改编)若函数y=3x3-9x+a有两个零点，则实数a=.【答案】±6【解析】由y'=9x2-9>0，得x>1或x<-1，所以当x=1时，y极小值=a-6；当x=-1时，y极大值=a+6，所以a-6=0或a+6=0，所以a=±6.1.函数的极值若在函数y=f(x)的定义域I内存在x0，使得在x0附近的所有点x，都有f(x)<f(x0)，则称函数y=f(x)在点x=x0处取得极大值，记作y=f(x0)；若在x0附近的所有点x，都有极大值f(x)>f(x0)，则称函数y=f(x)在点x=x0处取得极小值，记作y极小值=f(x0).2.求函数极值的步骤(1)求导数f'(x)；(2)求方程f'(x)=0的所有实数根；(3)观察在每个根x n附近，从左到右，导函数f'(x)的符号如何变化，若f'(x)的符号由正变负，则f(x n)是极大值；若由负变正，则f(x n)是极小值；若f'(x)的符号在x n的两侧附近相同，则x n不是函数f(x)的极值点.3.函数的最值若在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的x∈I，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数的最大值，记作y max=f(x0)；若在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的x∈I，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数的最小值，记作y min=f(x0).4.求函数y=f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间[a，b]上的极值；(2)将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值.【要点导学】要点导学各个击破利用导数研究函数的极值例1判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；如果没有极值，请说明理由.(1)y=8x3-12x2+6x+1；(2)y=1-(x-223 ).【思维引导】本题主要应用函数极值的概念和求函数极值的方法求极值.解决本题的关键是先求出导数为零的点，再判断函数在该点的左右邻域的单调性是否相反.【解答】(1)因为y'=24x2-24x+6，令y'=0，即24x2-24x+6=0，解得x=12，当x>12时，y'>0；当x<12时，y'>0，所以此函数无极值.(2)当x≠2时，有y'=-23(x-21-3).当x=2时，y'不存在，因此y'在x=2处不可导.但在x=2处的左右邻域y'均存在，且函数y=f(x)在x=2处连续，故可依据y'在x=2的左右邻域的符号来判断函数在x=2处是否有极值.当x<2时，y'>0；当x>2时，y'<0.故y=f(x)在点x=2处取极大值，且极大值为f(2)=1.无极小值.【精要点评】判断一个函数是否有极值，不能只求解y'=0，根据函数极值的定义，函数在某点处存在极值，则在该点的左右邻域应是单调的，并且单调性应相反.运用导数求可导函数y=f(x)的极值的步骤：(1)先求函数的定义域，再求函数y=f(x)的导数f'(x)；(2)求方程f'(x)=0的根；(3)检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.变式已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)e x(x∈R)，其中a∈R.(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；(2)当a≠23时，求函数f(x)的单调区间与极值.【思维引导】(1)求出x=1的导数值即可；(2)利用导数的符号判断单调性，同时考虑极值点.【解答】(1)当a=0时，f(x)=x2e x，f'(x)=(x2+2x)e x，故f'(1)=3e，所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e.(2)f'(x)=[x2+(2+a)x-2a2+4a]e x，令f'(x)=0，解得x=-2a或x=a-2.由a≠23知-2a≠a-2.以下分两种情况讨论.①若a>23时，则-2a<a-2，当x变化时，f(x)，f'(x)的变化情况如下表：x(-∞，-2a)-2a(-2a，a-2)a-2(a-2，+∞)f'(x) + 0 —0 +f(x) ↗极大值↘极小值↗所以f(x)在(-∞，-2a)和(a-2，+∞)上为增函数，在(-2a，a-2)上为减函数. 函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a)，且f(-2a)=3a e-2a；函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2)，且f(a-2)=(4-3a)e a-2.②若a<23时，则-2a>a-2，当x变化时，f(x)，f'(x)的变化情况如下表：x (-∞，a-2) a-2(a-2，-2a)-2a(-2a，+∞)f'(x) + 0 —0 +f(x) ↗极大值↘极小值↗所以f(x)在(-∞，a-2)，(-2a，+∞)上为增函数，在(a-2，-2a)上为减函数.函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a)，且f(-2a)=3a e-2a；函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2)，且f(a-2)=(4-3a)e a-2.【精要点评】第(2)问中导数符号的判断，关键是看前面二次函数的符号，通过讨论两根大小后，列表判断f'(x)符号及f(x)的单调性，进而判断出极值点，求极值.利用导数研究函数的最值微课4● 问题提出导数在研究函数的极值和最值方面的应用问题是高考的一个热点问题，它涉及内容广泛，可以多角度、多层次地考查分析问题和解决问题的能力.应用类问题中求最值的问题比较多，这与函数的极值联系紧密.利用导数求函数的最大(小)值，其解题流程是怎样的呢?● 典型示例例2 已知函数f (x )=x 3-ax 2-3x.(1)若函数f (x )在区间[2，+∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x=3是函数f (x )的极值点，求f (x )在[1，a ]上的最大值和最小值.【思维导图】【规范解答】(1)由题意知f'(x )=3x 2-2ax-3，令f'(x )≥0(x ≥2)，得a ≤31-2x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.记t (x )=31-2x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当x ≥2时，t (x )是增函数，所以t (x )min =32×12-2⎛⎫ ⎪⎝⎭=94，所以实数a 的取值范围是9-4∞⎛⎤⎥⎝⎦，. (2)由题意得f'(3)=0，即27-6a-3=0，所以a=4，所以f (x )=x 3-4x 2-3x ，f'(x )=3x 2-8x-3.令f'(x )=0，得x 1=-13(舍去)，x 2=3.当x ∈(1，3)时，f'(x )<0，所以f (x )在(1，3]上为减函数；当x∈(3，4)时，f'(x)>0，所以f(x)在(3，4]上为增函数.所以当x=3时，f(x)有极小值.于是，当x∈[1，4]时，f(x)min=f(3)=-18，而f(1)=-6，f(4)=-12，所以f(x)max=f(1)=-6.【精要点评】(1)若函数y=f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f'(x)≥0，其逆命题不成立，因为f'(x)≥0包括f'(x)>0与f'(x)=0，当f'(x)>0时，函数y=f(x)在区间(a，b)上单调递增，当f'(x)=0时，f(x)在这个区间内为常函数；同理，若函数y=f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f'(x)≤0，其逆命题也不成立.(2)使f'(x)=0的离散的点不影响函数的单调性.● 总结归纳求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤：①求f(x)在区间(a，b)上的极值；②将第一步中所求的极值与f(a)，f(b)比较，得到函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值.● 题组强化1.(2015·江苏模拟)函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1，1]上的最大值是.【答案】2【解析】f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0，得x=0或x=2(舍去).当-1<x<0时，f'(x)>0；当0<x<1时，f'(x)<0，所以当x=0时，函数取得的极大值即为最大值，所以f(x)的最大值为2.2.已知a≤1-xx+ln x对任意的x∈122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，恒成立，那么实数a的最大值为.【答案】0【解析】设f(x)=1-xx+ln x，则f'(x)=2--1x xx++1x=2-1xx.当x∈112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，时，f'(x)<0，所以函数f (x )在112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递减；当x ∈(1，2]时，f'(x )>0，所以函数f (x )在(1，2]上单调递增，所以f (x )min =f (1)=0，所以a ≤0，即a 的最大值为0.3.(2014·南通期末)在平面直角坐标系xOy 中，直线y=x+b 是曲线y=a ln x 的切线，则当a>0时，实数b 的最小值为 . 【答案】-1【解析】设直线y=x+b 与曲线y=a ln x 相切于点(x 0，x 0+b )，所以y'0|x x ==0ax =1，x 0=a ，a+b=a ln a ，b=a ln a-a.令函数g (a )=a ln a-a (a>0)，当g'(a )=ln a+1-1=ln a=0时，a=1，当0<a<1时，g'(a )<0；当a>1时，g'(a )>0，所以函数g (a )在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，g (a )的最小值为g (1)=-1，所以b 的最小值为-1.4.(2015·广州调研)已知函数f (x )=ax 2-b ln x 在点(1，f (1))处的切线为y=1. (1)求实数a ，b 的值.(2)问：是否存在实数m ，使得当x ∈(0，1]时，函数g (x )=f (x )-x 2+m (x-1)的最小值为0?若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【解答】(1)因为f (x )=ax 2-b ln x ，其定义域为(0，+∞)，所以f'(x )=2ax-b x .依题意可得(1)1'(1)2-0f a f a b ==⎧⎨==⎩，，解得a=1，b=2.(2)g (x )=f (x )-x 2+m (x-1)=m (x-1)-2ln x ，x ∈(0，1]，所以g'(x )=m-2x =-2mx x .①当m ≤0时，g'(x )<0，则g (x )在(0，1]上单调递减，所以g (x )min =g (1)=0.②当0<m≤2时，g'(x)=2-m xmx⎛⎫⎪⎝⎭≤0，则g(x)在(0，1]上单调递减，所以g(x)min=g(1)=0.③当m>2时，则x∈2m⎛⎫⎪⎝⎭，时，g'(x)<0；x∈21m⎛⎤⎥⎝⎦，时，g'(x)>0，所以g(x)在2m⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在21m⎛⎤⎥⎝⎦，上单调递增，故当x=2m时，g(x)取最小值为g2m⎛⎫⎪⎝⎭.因为g2m⎛⎫⎪⎝⎭<g(1)=0，所以g(x)min≠0.综上所述，存在m满足题意，其取值范围为(-∞，2].最(极)值的综合应用例3设函数f(x)=ax+2，g(x)=a2x2-ln x+2，其中a∈R，x>0.(1)若a=2，求曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线方程.(2)是否存在负数a，使得f(x)≤g(x)对一切正数x都成立?若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.【思维引导】(1)求出切点坐标和在切点处的导数值即可；(2)移项后构造新函数，利用导数求出其最大值，只要最大值小于等于0即可.【解答】(1)由题意可知，当a=2时，g(x)=4x2-ln x+2，则g'(x)=8x-1 x，曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线的斜率k=g'(1)=7，又g(1)=6，所以曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线的方程为y-6=7(x-1)，即y=7x-1.(2)设函数h(x)=f(x)-g(x)=ax+ln x-a2x2(x>0)，假设存在负数a，使得f(x)≤g(x)对一切正数x都成立，即当x>0时，h(x)的最大值小于等于零.h'(x)=a+1x-2a2x=22-21a x axx++(x>0)，令h'(x)=0，可得x1=-12a，x2=1a(舍去)，当0<x<-12a时，h'(x)>0，h(x)单调递增；当x>-12a时，h'(x)<0，h(x)单调递减，所以h(x)在x=-12a处有极大值，也是最大值.所以h(x)max=h1-2a⎛⎫⎪⎝⎭≤0，解得a≤-3-41e2.所以存在负数a满足题意，它的取值范围为3-41,e2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦.【精要点评】含参不等式恒成立问题常用分离参数法和函数法来处理，此题分离参数比较困难，所以利用函数的方法处理.利用函数处理时有时可以用数形结合的方法来解决，如二次函数等.变式已知函数y=f(x)=x ln x.(1)求函数y=f(x)的图象在x=e处的切线方程；(2)设实数a>0，求函数F(x)=()f xa在区间[a，2a]上的最大值；(3)求证：对一切x∈(0，+∞)，都有ln x>1e x-2e x成立.【思维引导】(1)求出切点及切点处的导数值即可；(2)先判断f(x)的单调性，结合区间[a，2a]，讨论求解；(3)两边乘以x后，左侧构造成f(x)形式，只要证明左侧的最小值大于右侧的最大值，利用导数解决两侧的相关最值.【解答】(1)由题意知f (x )定义域为(0，+∞)，f'(x )=ln x+1，因为f (e)=e ，又因为k=f'(e)=2，所以函数y=f (x )在x=e 处的切线方程为y=2(x-e)+e ，即y=2x-e .(2)F'(x )=1a (ln x+1)，令F'(x )=0，得x=1e ，当x ∈10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，F'(x )<0，F (x )单调递减； 当x ∈1e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，时，F'(x )>0，F (x )单调递增， 故F (x )在[a ，2a ]上的最大值为F (x )max =max{F (a )，F (2a )}.因为F (a )-F (2a )=ln a-2ln 2a=ln 14a ， 所以当0<a ≤14时，F (a )-F (2a )≥0，F (x )max =F (a )=ln a ；当a>14时，F (a )-F (2a )<0，F (x )max =F (2a )=2ln 2a.(3)问题等价于证明x ln x>e xx -2e (x ∈(0，+∞))，由(2)可知f (x )=x ln x (x ∈(0，+∞))的最小值为-1e ，当且仅当x=1e 时取得.设m (x )=e x x -2e (x ∈(0，+∞))，则m'(x )=1-e xx ，易得m (x )max =m (1)=-1e ，当且仅当x=1时取到.所以f (x )>m (x )，从而对一切x ∈(0，+∞)，都有ln x>1e x-2e x 成立.【精要点评】对第(2)问，因为函数不是二次函数，在x=1e 的两侧不对称，所以如果讨论区间的位置则比较复杂；对第(3)问构造f (x )是解决问题的关键，如果直接移项构造一个新函数来证明，则相对比较复杂.1.(2015·哈尔滨三中)已知x=2是函数f(x)=x3-3ax+2的极小值点，那么函数f(x)的极大值为.【答案】18【解析】因为x=2是函数f(x)=x3-3ax+2的极小值点，即x=2是f'(x)=3x2-3a=0的根，代入x=2，得a=4，所以函数解析式为f(x)=x3-12x+2，则3x2-12=0，即x=±2，故函数在(-2，2)上是减函数，在(-∞，-2)，(2，+∞)上是增函数，由此可知当x=-2时，函数f(x)取得极大值f(-2)=18.2.(2014·常州模拟)若函数f(x)=21x ax++在x=1处取得极值，则实数a=.【答案】3【解析】f'(x)=222(1)-()(1)x x x ax+++=222-(1)x x ax++，由题意得f'(1)=0，即3-4a=0，解得a=3.3.(2015·全国卷)设函数f(x)=e x(2x-1)-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0，则实数a的取值范围是.【答案】31 2e⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】设g(x)=e x(2x-1)，y=ax-a，由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)在直线y=ax-a的下方.因为g'(x)=e x(2x+1)，所以当x<-12时，g'(x )<0； 当x>-12时，g'(x )>0，所以当x=-12时，g (x )min =-21-2e .(第3题)如图，当x=0时，g (0)=-1，当x=1时，g (1)=e >0，直线y=ax-a 恒过点(1，0)且斜率为a ，故-a>g (0)=-1，且g (-1)=-3e -1≥-a-a ，解得32e ≤a<1.4.(2014·陕西卷)设函数f (x )=ln x+mx ，m ∈R .(1)当m=e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )=f'(x )-3x的零点个数. 【解答】(1)当m=e 时，f (x )=ln x+ex ， f'(x )=2-e x x .x ∈(0，+∞).当x ∈(0，e)时，f'(x )<0， 所以f (x )在(0，e)上单调递减； 当x ∈(e ，+∞)时，f'(x )>0， 所以f (x )在(e ，+∞)上单调递增. 所以当x=e 时，f (x )取得极小值f (e)=2.(2)g (x )=f'(x )-3x =1x -2m x -3x(x>0)， 令g (x )=0，得m=-13x 3+x (x>0).设φ(x )=-13x 3+x (x ≥0)，则φ'(x )=-x 2+1=-(x-1)(x+1)，当x ∈(0，1)时，φ'(x )>0，φ(x )在(0，1)上单调递增； 当x ∈(1，+∞)时，φ'(x )<0，φ(x )在(1，+∞)上单调递减， 所以x=1是φ(x )唯一的极大值点， 因此x=1也是φ(x )的最大值点.所以φ(x )的最大值为φ(1)=23.又φ(0)=0，结合y=φ(x )的大致图象如图所示，由图可知：(第4题)①当m>23时，函数g (x )无零点；②当m=23时，函数g (x )有且只有一个零点； ③当0<m<23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点.综上所述，当m>23时，函数g (x )无零点；当m=23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0<m<23时，函数g (x )有两个零点.5.(2016·苏北四市期中)已知函数f(x)=cos x+ax2-1，a∈R.(1)求证：函数f(x)是偶函数；(2)当a=1，求函数f(x)在[-π，π]上的最大值和最小值.【解答】(1)函数f(x)的定义域为R，因为f(-x)=cos(-x)+a(-x)2-1=cos x+ax2-1=f(x)，所以函数f(x)是偶函数.(2)当a=1时，f(x)=cos x+x2-1，则f'(x)=-sin x+2x，令g(x)=f'(x)=-sin x+2x，则g'(x)=-cos x+2>0，所以f'(x)是增函数.又f'(0)=0，所以f'(x)≥0，所以f(x)在[0，π]上是增函数.又函数f(x)是偶函数，故函数f(x)在[-π，π]上的最大值为π2-2，最小值为0.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第37~38页.【检测与评估】第19课利用导数研究函数的最(极)值一、填空题1.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx -a 2-7a 在x =1处取得极大值10，那么ab = .2.已知函数f (x )=x 3+ax 2+3x -9，且f (x )在x =-3处取得极值，那么实数a = .3.(2015·陕西卷)函数y =xe x 在其极值点处的切线方程为 .4.若函数f (x )=-x 3+mx 2+1(m ≠0)在(0，2)内的极大值为最大值，则实数m 的取值范围是 .5.已知函数f (x )=x 3-ax 2+3ax +1在区间(-∞，+∞)内既有极大值，又有极小值，则实数a 的取值范围是 .6.已知函数f (x )=13x 3+a 2x 2+ax +b ，且当x =-1时，函数f (x )的极值为-712，那么f (2)= .7.(2015·中华中学)函数y =21sin x +24cos 1x +(x ∈(0，π))的最小值为 .8.(2014·厦门模拟)已知函数f (x )=22e 1x x +，g (x )=2e e xx，对任意的x 1，x 2∈(0，+∞)，不等式1()g x k ≤2()1f x k +恒成立，则正数k 的取值范围是 .二、 解答题9.已知f (x )=a ln x +12x +32x +1，其中a ∈R ，曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值.10.(2015·如东中学)设f(x)=-13x3+12x2+2ax.(1)若f(x)在23∞⎛⎫+⎪⎝⎭，上存在单调增区间，求实数a的取值范围；(2)当0<a<2时，若f(x)在[1，4]上的最小值为-163，求f(x)在该区间上的最大值.11.(2014·北京卷)已知函数f(x)=2x3-3x.(1)求f(x)在区间[-2，1]上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切，求实数t的取值范围.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知定义在实数集上的函数f(x)=x2+x，g(x)=13x3-2x+m.(1)求函数f(x)的图象在x=1处的切线方程；(2)若f(x)≥g(x)对任意的x∈[-4，4]恒成立，求实数m的取值范围.【检测与评估答案】第19课利用导数研究函数的最(极)值1.-23【解析】因为f'(x)=3x2+2ax+b，由题意知'(1)0(1)10ff=⎧⎨=⎩，，即23201--710a ba b a a++=⎧⎨++=⎩，，解得-21ab=⎧⎨=⎩，或-69.ab=⎧⎨=⎩，经检验，只有-69ab=⎧⎨=⎩，满足题意，故ab=-23.2. 5【解析】f'(x)=3x2+2ax+3，当x=-3时，f'(x)=0，所以a=5.3.y=-1e【解析】f'(x)=(1+x)e x，令f'(x)=0，得x=-1，此时f(-1)=-1e，所以函数y=x e x在其极值点处的切线方程为y=-1 e.4. (0，3)【解析】f'(x)=-3x2+2mx=x(-3x+2m).令f'(x)=0，得x=0或x=23m.因为x∈(0，2)，所以0<23m<2，所以0<m<3.5.(-∞，0)∪(9，+∞)【解析】因为f'(x)=3x2-2ax+3a，所以Δ=4a2-36a>0，即a<0或a>9.6.53【解析】f'(x)=x2+2a2x+a，由题意得'(-1)07(-1)-12ff=⎧⎪⎨=⎪⎩，，即222--101-04a aa a b⎧=⎪⎨++=⎪⎩，，解得11-4ab=⎧⎪⎨=⎪⎩，或1-2-1.ab⎧=⎪⎨⎪=⎩，经验证，当11-4ab=⎧⎪⎨=⎪⎩，时，f(x)在x=-1处没有极值，舍去，故f(x)=13x3+14x2-12x-1，所以f(2)=53.7.92 【解析】令sin 2x=t ，由x ∈(0，π)知t ∈(0，1]，则函数y=1t +42-t =1t -4-2t ，y'=-21t +24(-2)t =22(2)(3-2)(-2)t t t t +，当0<t<23时，y'<0；当23<t ≤1时，y'>0.故当t=23时，y min =92.8.[1，+∞) 【解析】因为k 为正数，所以对任意的x 1，x 2∈(0，+∞)，不等式1()g x k ≤2()1f x k +恒成立⇒max ()g x k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤min ()1f x k ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦.令g'(x )=0，即2e (1-)e x x =0，得x=1，当x ∈(0，1)时，g'(x )>0；当x ∈(1，+∞)时，g'(x )<0，所以max ()g x k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=(1)g k =e k .同理，令f'(x )=0，即222e -1x x =0，得x=1e ，当x ∈10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，f'(x )<0；当x ∈1e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，时，f'(x )>0，所以min ()1f x k ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦=1e 1f k ⎛⎫⎪⎝⎭+=2e 1k +，所以e k ≤2e 1k +，又k>0，所以k ≥1.9.(1)f'(x )=a x -212x +32.由于曲线y=f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线的斜率为0，即f'(1)=0，从而a-12+32=0，解得a=-1.(2)由(1)知f (x )=-ln x+12x +32x+1(x>0)，f'(x )=-1x -212x +32=223-2-12x x x =2(31)(-1)2x x x +. 令f'(x )=0，解得x=1.当x ∈(0，1)时，f'(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(1，+∞)时，f'(x )>0，f (x )单调递增. 故f (x )在x=1处取得极小值f (1)=3.10.(1) 因为f (x )=-13x 3+12x 2+2ax ， 所以f'(x )=-x 2+x+2a.又f (x )在23∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，上存在增区间. 所以f'(x )>0在23∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，上有解. 又f'(x )=-x 2+x+2a 的对称轴方程为x=12，所以f'(x )在12∞⎛⎫+⎪⎝⎭，上单调递减，所以在23∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，上，f'(x )<f'23⎛⎫ ⎪⎝⎭=29+2a ，由题意知29+2a>0，即a ∈1-9∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，.(2) f'(x )=-x 2+x+2a ，当0<a<2时，Δ=1+8a>0， 所以f'(x )=-x 2+x+2a=0有两个不相等的实数根x 1，x 2，则x 1=-1-18-2a+， x 2=-118-2a ++(舍去).由题知x 1=-1-18-2a+∈[1，4]，所以当x ∈(1，x 1)时，f'(x )>0； 当x ∈(x 1，4)时，f'(x )<0， 所以当x=1或4时，f (x )取最小值.又f (1)=2a+16，f (4)=8a-403. 因为a ∈(0，2)，所以f (4)<f (1)，所以f (x )min =f (4)=8a-403=-163， 解得a=1.所以x1=-1-118-2+⨯=2，f(x)max=f(2)=10 3.11.(1)因为f(x)=2x3-3x，所以f'(x)=6x2-3.令f'(x)=0，得x=-22或x=22.因为f(-2)=-10，f2-2⎛⎫⎪⎪⎝⎭=2，f22⎛⎫⎪⎪⎝⎭=-2，f(1)=-1，所以f(x)在区间[-2，1]上的最大值为f2-2⎛⎫⎪⎪⎝⎭=2.(2)设过点P(1，t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0，y0)，则y0=23x-3x，且切线斜率k=62x-3，所以切线方程为y-y0=(62x-3)(x-x)，因此t-y0=(62x-3)(1-x)，整理得43x-62x+t+3=0.设g(x)=4x3-6x2+t+3，则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同的零点”. g'(x)=12x2-12x=12x(x-1).当x变化时，g'(x)与g(x)的变化情况如下表：x (-∞，0)(0，1)1(1，+∞)g'(x) + 0 - 0 + g(x) ↗t+3 ↘t+1 ↗作出g (x )的大致图象(如图)，结合图象知，当g (x )有3个不同的零点时，有(0)30(1)10g t g t =+>⎧⎨=+<⎩，，解得-3<t<-1. 故实数t 的取值范围是(-3，-1).(第11题)12.(1) 因为f (x )=x 2+x ， 所以当x=1时，f (1)=2. 因为f'(x )=2x+1，则f'(1)=3.所以所求切线方程为y-2=3(x-1)，即3x-y-1=0.(2) 令h (x )=g (x )-f (x )=13x 3-x 2-3x+m ，则h'(x )=(x-3)(x+1)， 因此，当-4<x<-1时，h'(x )>0； 当-1<x<3时，h'(x )<0； 当3<x<4时，h'(x )>0，要使f (x )≥g (x )恒成立，即h (x )max ≤0.由以上分析知h (x )的最大值在x=-1或x=4处取得.又h (-1)=m+53，h (4)=m-203， 所以h (x )max =m+53. 令m+53≤0，得m ≤-53，所以实数m 的取值范围是5--3∞⎛⎤⎥⎝⎦，.。
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却分别只有一个． （2）函数的极值只能在区间内部取得，即极值点一定是
区间内部的点，而函数的最大值与最小值可以在
区间内部取得，也可以在区间端点取得． （3）由于极值是局部概念，所以函数在某区间上的极大
值不一定比极小值大。
解 设房租为每月x元，
租出去的房子有
50
Байду номын сангаас
x
180 10
套，
每月总收入为
R(
x
)
(
x
20)
50
x
180 10
R(
x)
(
x
20)
68
x 10
R( x)
68
x 10
(x
20)
1 10
70
x 5
R( x) 0 x 350 （唯一驻点）
故每月每套租金为350元时收入最高.
最大收入为
R(
x)
(350
20)
68
350 10
10890 (元)
例 由直线 y 0，x 8 及抛物线 y x2 围
成一个曲边三角形，在 曲边 y x2 上求一点，
使曲线在该点
处的切线与直 线 y0及 x8 所围成的三角
y T
B
P
形面积最大．
oA
Cx
解 如图,
y T
设所求切点为P( x0 , y0 ), 则切线PT为
（2）y' 6x2 6x 6x(x 1) ，令 y' 0 ，解得 x1 0, x2 1 ，无 y' 不存在的点；
（3）列表判断，如下表所示．
x
(,0)
0
(0,1)
1
(1,)
y'
＋
0
－
0
＋
y
极大值
极小值
0
－1
定理3-8（第二充分条件） 设 f '(x0 ) 0, f "(x0 )存在，则 （1）如果 f "(x0 ) 0，x0 是 f (x) 的极大值点； （2）如果 f "(x0 ) 0，x0 是 f (x) 的极小值点； （3）如果 f "(x0 ) 0 不能确定 x0 是否为 f (x) 的极值点．
的必要条件；
（2）极值点也不一定是驻点，极值点可能是驻点也可能是
不可导点．例如，y x 在 x 0 处不可导,
但 x 0 是极小值点．
定理3-7（第一充分条件） 设 f (x) 在点 x0 及其左右近旁 连续，可导（ x0可以除外）
（1）当 x x0 时，f '(x) 0 ，当 x x0 时，f '(x) 0
s(16) 8 0. s(16) 4096 为极大值.
3
3 27
故 s(16) 4096为所有三角形中面积的最大者. 3 27
三、小结 注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤.
y 2x3 3x2 12x 14
比较得 最大值 f (4) 142，最小值 f (1) 7.
实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数; (2)求最值;
若目标函数只有唯一驻 点，则该点的函数 值即为所求的最（或最 小）值．
例 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定 为每月180元时，公寓会全部租出去．当租 金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去， 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 费．试问房租定为多少可获得最大收入？
注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值(最大值或最小值)
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[ 3,4] 上的最大值与最小值 .
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 计算 f (3) 23; f (1) 7;
x1 2, x2 1. f (2) 34; f (4) 142;
，则 x0 是极大值点；
（2）当 x x0 时，f '(x) 0 ，当 x x0 时，f '(x) 0
，则 x0 是极小值点；
（3）若在 x0 的两侧，f '(x) 不变号，则 x0 不是极值点．
例1 求函数 y 2x3 3x2 的极值． 解 （1）函数 y 2x3 3x2 的定义域为 (,) ；
注：一般来讲，判断函数极值普遍适用的方法是定理3-7．
若函数 f ( x ) 在[a,b]上连续，除个别点外处处可导， 并且至多有有限个导数为零的点，则 f ( x)在 [a,b] 上的最大值与最小值存在 .
y
y
y
oa
bx o a
bx o a
bx
步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小, 那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;
3.4 函数的极值与最大值最小值
主
一、函数的极值
要
内
二、函数的最大值与最小值
容
一、掌握求函数极值及最值的方法
教 学 要 二、会求简单应用题的最大(小)值 求
一、函数的极值
1． 函数极值的定义
y
a
x2
O x1
x3 x4 x5 b
x
定义 设函数 f (x) 在点 x0 及其近旁有定义，如果对于点
x0 近旁的任意点 x（ x x0），有 f (x0 ) f (x) 或
y y0 2 x0( x x0 ),
P
oA
B Cx
y0 x02 ,
A(
1 2
x0
,
0),
C(8, 0),
B(8, 16x0 x02 )
SABC
1(8 2
1 2
x0
)(16
x0
x02 )
(0 x0 8)
令
S
1 4
(3 x02
64 x0
16
16)
0,
解得
x0
16 , 3
x0 16 (舍去).
定理3-6（极值的必要条件）设函数 f (x) 在点 x0 处可导，且在点 x0 处取得极值，则必有 f '(x0 ) 0 ．
使 f '(x) 0 的点称为函数 f (x) 的驻点． 驻点与极值点的关系是: （1）驻点不一定是极值点，就可导函数而言， 极值点必定是驻点，驻点是可导函数 取得极值
f (x0 ) f (x) 成立，则称 f (x0 ) 为函数 f (x) 的一个
极大值（或极小值），
点 x0 称为 f (x) 的一个
极大值点（或极小值点）．
注： 函数的极大值与极小值统称为极值，
极大值点或极小值点统称为极值点．
关于极值和极值点注意以下几点： （1）函数的极值是局部概念，而最大值与最小值是整体