第三章平稳时间序列分析
平稳时间序列预测法概述
平稳时间序列预测法概述平稳时间序列预测法是一种常用的时间序列分析方法，用于对平稳时间序列数据进行预测和建模。
这种方法基于时间序列的统计特性和历史模式，通过对过去时间点的观察和分析，来推断未来的趋势和模式。
平稳时间序列是指在统计意义下具有相同的均值、方差和自协方差的时间序列。
平稳时间序列的特点是其统计特性不会随时间而变化，即没有趋势、季节性和周期性。
由于平稳时间序列没有这些变化，因此通过对其进行建模和预测会更容易和准确。
平稳时间序列预测法通常分为两种主要方法：直观法和数学统计法。
直观法是一种基于观察和直觉的预测方法。
它主要是通过对时间序列的图形和趋势进行分析和观察，来预测未来的值。
直观法的优点是简单易懂，适用于简单的时间序列预测问题。
然而，直观法的缺点是主观性较强，可能受到个人经验和认知的影响。
数学统计法是一种基于数学模型和统计方法的预测方法。
它通过对时间序列数据进行分析和建模，来预测未来的趋势和模式。
常用的数学统计方法包括平均法、指数平滑法、自回归移动平均模型（ARMA）和季节性自回归移动平均模型（SARIMA）等。
平均法是最简单的数学统计方法之一，它通过计算时间序列的平均值来预测未来的值。
指数平滑法是一种以指数加权平均值为基础的预测方法，适用于序列有较强的趋势性时。
ARMA 模型是一种常用的时间序列模型，它对序列的自相关性和移动平均性进行建模，用于预测未来的值。
SARIMA模型是对ARMA模型进行扩展，考虑了序列的季节性变化，适用于有季节性趋势的时间序列。
平稳时间序列预测法的主要目的是为了预测未来的值，以便辅助决策和规划。
它在经济学、金融学、管理学等领域都有广泛的应用，例如股票预测、销售预测、经济增长预测等。
需要注意的是，平稳时间序列预测法仅适用于平稳时间序列。
对于非平稳时间序列，需要先进行平稳性检验和转换，然后再进行预测建模。
此外，时间序列预测还需要考虑模型的选择和参数的确定，以及模型的评估和验证等问题。
第三章线性平稳时间序列模型
可见,AR(1)模型中，xt在t时刻值依赖于两部分，一部分依 模型中， 时刻值依赖于两部分， 可见 模型中 时刻值依赖于两部分 赖于它的前一期的值x 另一部分是依赖于与x 赖于它的前一期的值 t-1；另一部分是依赖于与 t-1不相关 的部分ε 的部分 t 可将AR(1)模型写成另一种形式： 模型写成另一种形式： 可将 模型写成另一种形式
xt = ϕ1xt −1 + ϕ2 xt −2 +L+ ϕ p xt − p + εt
其中： (1) p ≠ 0 (2) εt是白噪声序列 (3) Exsε t = 0, ∀s < t
E (ε t ) = 0，Var (ε t ) = σ ε2 , E (ε t ε s ) = 0, s ≠ t
那么我们就说xt遵循一个p阶自回归或AR(p)随机过程。
例如： ARIMA(2,1,2)表示先对时间序列进行一阶差分，使之 转化为平稳序列，然后对平稳序列建立ARMA(2,2)模型。 ARIMA(p,0,q)就相当于ARMA(p,q)。 ARIMA(p,0,0)就相当于AR(p)。 ARIMA(0,0,q)就相当于MA(q)。 对于一个ARIMA(p,d,q)也可以用推移算子B表示如下 ϕ (B )(1 − B) d xt = θ ( B)ε t 其中： ϕ (B ) = 1 − ϕ 1 B − ϕ 2 B 2 − L − ϕ p B p
(二).二阶自回归模型，AR(2)
1.设{xt}为零均值的随机序列，如果关于xt的合适模型为： 其中：
xt = ϕ1xt −1 + ϕ2 xt −2 + εt
时间序列分析第三章平稳时间序列分析
注：图中，S号代表序列的观察值；连续曲线代表拟合序列曲线；虚线代表拟合序列的95%上下置信限。
所谓预测就是要利用序列以观察到的样本值对序列在未来某个时刻的取值进行估计。
目前对平稳序列最常用的预测方法是线性最小方差预测。
线性是指预测值为观察值序列的线性函数，最小方差是指预测方差达到最小。
在预测图上可以看到，数据围绕一个范围内波动，即说明未来的数值变化时平稳的。
二、课后习题第十七题：根据某城市过去63年中每年降雪量数据（单位：mm）得：（书本P94）程序：data example17_1;input x@@;time=_n_;cards;2579588397 110;proc gplot data=example17_1;plot x*time=1;symbol c=red i=join v=star;run;proc arima data=example17_1;identify var=x nlag=15minic p= (0:5) q=(0:5);run;estimate p=1;run;estimate p=1 noin;run;forecast lead=5id=time out=results;run;proc gplot data=results;plot x*time=1 forecast*time=2 l95*time=3 u95*time=3/overlay;symbol1c=black i=none v=start;symbol2c=red i=join v=none;symbol3c=green i=join v=none l=32;run;（1）判断该序列的平稳性与纯随机性该序列的时序图如下（图a）图a由时序图显示过去63年中每年降雪量数据围绕早70mm附近随机波动，没有明显趋势或周期，基本可以看成平稳序列，为了稳妥起见，做了如下自相关图（图b）图b时序图就是一个平面二维坐标图，通常横轴表示时间，纵轴表示序列取值。
线性平稳时间序列分析
线性平稳时间序列分析线性平稳时间序列分析是一种重要的时间序列分析方法，用于研究随时间变化的数据。
它基于一个核心假设，即数据的均值和方差在随时间推移的过程中保持不变。
线性平稳时间序列可以用数学模型来描述，通常使用自回归（AR）模型、滑动平均（MA）模型或自回归滑动平均（ARMA）模型。
这些模型基于该系列在某一时间点的值与该系列在过去时间点的值之间的线性关系。
为了进行线性平稳时间序列分析，首先需要检验数据是否满足平稳性的假设。
常用的检验方法包括ADF检验和单位根检验。
若数据不满足平稳性的假设，则需要通过差分操作将其转化为平稳时间序列。
在得到平稳的时间序列后，可以使用最小二乘法对时间序列进行模型拟合。
通过对数据进行模型拟合，我们可以得到模型的系数以及误差项的信息。
利用这些信息，可以进行时间序列的预测和分析。
在预测方面，线性平稳时间序列分析可以利用过去的观测值来预测未来的值。
预测方法包括简单的移动平均法和指数平滑法，以及更复杂的AR、MA和ARMA模型。
在分析时间序列方面，线性平稳时间序列分析可以通过模型的系数和误差项的信息来揭示数据的特征和规律。
例如，可以用模型的系数来检验是否存在滞后效应，用误差项的信息来检验模型的拟合程度。
总之，线性平稳时间序列分析是一种重要的时间序列分析方法，可以帮助我们研究随时间变化的数据。
通过对数据进行模型拟合、预测和分析，我们可以揭示数据的特征和规律，从而提供决策支持和预测能力。
线性平稳时间序列分析是一种重要的时间序列分析方法，它广泛应用于经济学、金融学、工程学等领域。
该方法基于数据的均值和方差在时间推移过程中保持不变的假设，旨在研究随时间变化的数据及其内在规律，以便进行预测、决策支持和其他分析。
在线性平稳时间序列分析中，首先需要检验数据是否符合平稳性的假设。
平稳性是指数据的均值和方差不随时间变化而发生显著变化。
为了检验平稳性，在实际应用中常常使用单位根检验或ADF检验等方法。
平稳时间序列分析
0
varX t
(1
2 1
2 q
)
2
1
cov( X t , X t1 )
(1
1 2
2 3
q
1
q
)
2
q 1
cov( X t ,
X t q1 )
( q1
1
q
)
2
q
cov( X t , X tq )
q
2
当滞后期不小于q时，Xt旳自协方差系数为0。
所以:有限阶移动平均模型总是平稳旳。
3、ARMA(p,q)模型旳平稳性
• 有时，虽然能估计出一种较为满意旳因果关系回归方程， 但因为对某些解释变量将来值旳预测本身就非常困难，甚 至比预测被解释变量旳将来值更困难，这时因果关系旳回 归模型及其预测技术就不合用了。
在这些情况下，我们采用另一条预测途径：经过时间 序列旳历史数据，得出有关其过去行为旳有关结论，进而 对时间序列将来行为进行推断。
0
2 X
2
12
在稳定条件下，该方差是一非负旳常数，从而有 ||<1。
而AR(1)旳特征方程
(z) 1 z 0
旳根为
z=1/
AR(1)稳定，即 || <1，意味着特征根不小于1。
例 AR(2)模型旳平稳性。 对AR(2)模型
X t 1 X t1 2 X t2 t
方程两边同乘以Xt，再取期望得：
所使用旳工具主要是时间序列旳自有关函数 （autocorrelation function，ACF）及偏自有关函 数（partial autocorrelation function， PACF ）。
1、AR(p)过程
(1)自有关函数ACF 1阶自回归模型AR(1)
计量经济学：平稳时间序列分析-差分方程与延迟算子
f (t)
11 0
f (t1)
11
1
f (1)
11 t 1
t
, , 给出初值y-1， y-2，…，y-p以及 0 1
t 的值，即可得到yt。
定理：矩阵F的特征根满足的特征方程为
p 1 p1 2 p2 p1 p 0
1、具有相异特征根的p阶差分方程的通解
如果矩阵F的特征根是相异的，那么存在一个非奇异矩阵
1
0
0
F 0 1 0
0 0 0
p1 p
0
0
0 0 ,
1 0
t
0
Vt
0
0
则原p阶差分方程变为一阶向量差分方程
t Ft1 Vt
参照一阶向量差分方程的递归解法有
t
F
t
1 1
F tV0
F t1V1
F t2V2
FVt1 Vt
即
yt
yt 1
y1
y2
0
0
t 21
1
2 1 2 3
1 p 2 p
t p1
1
p 1 p 2
p p1
将此结果代入 ci t1iti1 即得
ci
p
p1 i
k1(i k )
k i
如果从t期开始迭代，则有
yt j
f ( j1)
11
yt 1
f y ( j1)
12
t2
f y ( j1)
11 0
f (t1)
11
1
f (1)
11 t 1
t
其中
f ( j)
11
c11j
c22j
cppj
第三章平稳时间序列分析
欢迎共阅t P p t tt t t x B x x B x Bx x ===---221第3章 平稳时间序列分析一个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列，那就说明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。
3.1 方法性工具 3.1.1 差分运算 一、p 阶差分记t x ∇为t x 的1阶差分：1--=∇t t t x x x记t x 2∇为t x 的2阶差分：21122---+-=∇-∇=∇t t t t t t x x x x x x 以此类推：记t p x ∇为t x 的p 阶差分：111---∇-∇=∇t p t p t p x x x 二、k 步差分记t k x ∇为t x 的k 步差分：k t t t k x x x --=∇3.1.2 延迟算子 一、定义延迟算子相当与一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻。
记B 为延迟算子，有延迟算子的性质：1.10=B2.若c 为任一常数，有1)()(-⋅=⋅=⋅t t t x c x B c x c B3.对任意俩个序列{t x }和{t y }，有11)(--±=±t t t t y x y x B4.n t t n x x B -=5.)!(!!,)1()1(0i n i n C B C B in i i nni i n-=-=-∑=其中二、用延迟算子表示差分运算 1、p 阶差分 2、k 步差分3.2 ARMA 模型的性质 3.2.1 AR 模型定义 具有如下结构的模型称为p 阶自回归模型，简记为AR(p):ts Ex t s E Var E x x x x t s t s t t p tp t p t t t ∀=≠===≠+++++=---,0,0)(,)(,0)(,0222110εεεσεεφεφφφφε(3.4)AR(p)模型有三个限制条件：条件一：0≠p φ。
这个限制条件保证了模型的最高阶数为p 。
第三章平稳时间序列分析-1
保证t期的随机干扰与过 去s期的序列值无关
特别地、当φ 0=0时，称为中心化AR(p)模型
（较适合低阶AR模型，如1,2阶）
平稳域判别
平稳域—使特征根都在单位圆内的AP(p)的系数 集合，即 {1 ,2 ,, p 特征根都在单位圆内 }
AR(1)模型判断平稳性的条件
xt xt 1 t，即xt xt 1 t
特征根判别
特征方程为 0 特征根为 所以若AR(1)平稳，必有
1 2 1 12 42
2
1 12 42
2
{1 , 2 2 1，且 2 1 1}
例3.1续 平稳性判别 (1) xt 0.8xt 1 t
(2) xt 1.1xt 1 t
模 型
(1) (2) (3) (4)
k xt xt k
2、延迟算子
延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘 以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时 间向过去拨了一个时刻。 记B为延迟算子，有
xt p B xt , p 1
p
延迟算子的性质：
B0 1
B(c xt ) c B( xt ) c xt 1 ,
非齐次线性差分方程的通解 齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方 程的特解之和Zt z z z
t t t
线性差分方程在时间序列分析中很有用，某些时间序列模型及 自协方差或自相关函数本身就是线性差分方程，而线性差分方程 的特征根的性质，对平稳性的判定也很重要。
第三章 线性平稳时间序列分析讲解
对于平稳的AR(1)模型，经过简单的计算易 得
3.2.2 二阶自回归过程AR(2)
• 当变量当前的取值主要与其前两时期的取 值状况有关，用数学模型来描述这种关系 就是如下的二阶自回归模型AR(2)：
• 引入延迟算子 B 的表达形式为：
• 下面利用特征方程的根与模型参数1, 2 的关系，给出AR(2) 模型平稳的1, 2
• 延迟算子B 有如下性质：
t
• 定义如下形式方程为序列{zt : t 0, 1, 2, }
t 其的中线p性差1，分方1,程：,zt p为1zt实1 数，hpt
zt p
为
ht
的已
知函数。
• 特别地，当函数 ht 0 时，差分方程：
zt 1zt1 p zt p 0
称为齐次线性差分方程。否则，线性差分
线性平稳时间序列分析
• 在时间序列的统计分析中，平稳序列是一类重要 的随机序列。在这方面已经有了比较成熟的理论 知识，最常用的是ARMA（Autoregressive Moving Average）序列。用ARMA模型去近似地 描述动态数据在实际应用中有许多优点，例如它 是线性模型，只要给出少量参数就可完全确定模 型形式；另外，便于分析数据的结构和内在性质， 也便于在最小方差意义下进行最佳预测和控制。 本章将讨论ARMA模型的基本性质和特征，这是 时间序列统计分析中的重要理论基础。
• 3.3.1一阶移动平均过程MA(1)
• 图3.2为一个零均值的MA(1)序列200个模拟 数据。
• 类似于自回归模型的平稳性讨论，与移动 平均过程相联系的一个重要概念是可逆性。 对于零均值的MA(1)序列
X t t t1
3.3.2 q阶移动平均过程MA(q)
时间序列分析方法 第03章 平稳ARMA模型
第三章 平稳ARMA 过程一元ARMA 模型是描述时间序列动态性质的基本模型。
通过介绍ARMA 模型，可以了解一些重要的时间序列的基本概念，并且为描述单变量时间序列的动态性质提供一类十分有用的模型。
§3.1 预期、平稳性和遍历性3.1.1 预期和随机过程假设可以观察到一个样本容量为T 的随机变量t Y 的样本：},,,{21T y y y这意味着这些随机变量之间的是相互独立且同分布的。
例3.1 假设T 个随机变量的集合为：},,,{21T εεε ，),0(~2σεN i 且相互独立，我们称其为高斯白噪声过程产生的样本。
对于一个随机变量t Y 而言，它是t 时刻的随机变量，因此即使在t 时刻实验，它也可以具有不同的取值，假设进行多次试验，其方式可能是进行多次整个时间序列的试验，获得I 个时间序列：+∞=-∞=t t t y }{)1(，+∞=-∞=t t t y }{)2(，…，+∞=-∞=t t I t y }{)(将其中仅仅是t 时刻的观测值抽取出来，得到序列：},,,{)()2()1(I t t t y y y ，这个序列便是对随机变量t Y 在t 时刻的I 次观测值，也是一种简单随机子样。
定义3.1 假设随机变量t Y 是定义在相同概率空间},,{P ℜΩ上的随机变量，则称随机变量集合},2,1,0,{ ±±=t Y t 为随机过程。
例3.2 假设随机变量t Y 的概率密度函数为：]21exp[21)(22t t Y y y f t σσπ= 此时称此时密度为该过程的无条件密度，此过程也称为高斯过程或者正态过程。
定义3.2 可以利用各阶矩描述随机过程的数值特征：(1) 随机变量t Y 的数学期望定义为(假设积分收敛)：⎰==+∞∞-tt Y t t t dy y f y Y E t )()(μ (3.1) 此时它是随机样本的概率极限：∑==∞→I i i t I t y I P Y E 1)(1lim)( (3.2) (2) 随机变量t Y 的方差定义为(假设积分收敛): 20)(t t t Y E μγ-= (3.3) 例3.3 几种重要类型的随机过程1) 假设},,{21 εε是一个高斯白噪声过程，随机过程t Y 为常数加上高斯白噪声过程：t t Y εμ+=则它的均值和方差分别为：μεμμ=+==)()(t t t E Y E2220)()(σεμγ==-=t t t t E Y E(2) 随机过程t Y 为时间的线性趋势加上高斯白噪声过程：t t t Y εβ+=则它的均值和方差分别为：t E t Y E t t t βεβμ=+==)()(2220)()(σεμγ==-=t t t t E Y E3.1.2 随机过程的自协方差函数将j 个时间间隔的随机变量构成一个随机向量),,,(1'=--j t t t t Y Y Y X ，通过随机试验可以获得该随机向量的简单随机样本。
第3章 平稳时间序列分析(1)
第3章 平稳时间序列分析本章教学内容与要求：了解时间序列分析的方法性工具；理解并掌握ARMA 模型的性质；掌握时间序列建模的方法步骤及预测；能够利用软件进行模型的识别、参数的估计以及序列的建模与预测。
本章教学重点与难点：利用软件进行模型的识别、参数的估计以及序列的建模与预测。
计划课时：21（讲授16课时，上机3课时、习题3课时） 教学方法与手段：课堂讲授与上机操作§3.1 方法性工具一个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列，那就说明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。
在统计上，我么通常是建立一个线性模型来拟合该序列的发展，借此提取该序列中的有用信息。
ARMA(auto regression moving average)模型是目前最常用的一个平稳序列拟合模型。
时间序列分析中一些常用的方法性工具可以使我们的模型表达和序列分析更加简洁、方便。
一、差分运算 （一）p 阶差分相距一期的两个序列值之间的减法运算称为1阶差分运算。
记▽t x 为t x 的1阶差分：▽1t t t x x x --=对1阶差分后的序列再进行一次1阶差分运算称为2阶差分，记▽2t x 为t x 的2阶差分：▽2t x =▽t x -▽1-t x以此类推，对p-1阶差分厚序列再进行一次1阶差分运算称为p 阶差分。
记▽p t x 为t x 的p 阶差分：▽p t x =▽p-1t x -▽p-11-t x （二）k 步差分相距k 期的两个序列值之间的减法运算称为k 步差分运算。
记▽k t x 为t x 的k 步差分：▽k =k t t x x --例：简单的序列：t x ：6，9，15，43，8，17，20，38，4，10，10,,1t =1阶差分：▽3x x x 122=-= ▽6x x x 233==-=……▽6x x x 91010=-=，即1阶差分序列▽t x ：3，6，28，-35，9，3，18，-34，6，10,,2t =2阶差分：▽23x =▽3x -▽2x =3▽24x =▽4x -▽3x =22……▽210x =▽10x -▽9x =-40即2阶差分序列▽2t x ：3，22，-63，-54，-6，16，-52，-40，10,,3t =2步差分：▽29x x x 133=-=▽234x x x 244=-=……▽2-28x x x 81010=-=即2步差分序列：9，34，-7，-26，12，21，-16，-28 二、延迟算子（滞后算子） （一）定义延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨去了一个时刻。
时间序列分析 第三章prc
取前k个方程构成的方程组即Yule-Walker方程组
解Yule-Walker方程组可以得到参数 ( k1 , k 2 ,, kk ) 的解， 最后一个参数的解即为延迟K偏自相关系数
1 k1 0 k 2 1 kk k 1 2 k1 1 k2 0 kk k 2 k k1 k 1 k 2 k 2 kk 0
2
, , ,
1
1 2 =0 3
1 1 2 kk 2 0
k 1 k2 k 3
课堂练习 计算AR(3)模型的偏自相关系数
33和44
AR模型偏自相关系数的截尾性
i 1 1 2 i 2 记 i i ， i 1, 2, , k ， ik k 对于AR( p )模型有： 11 2 2 p p 1 Dk
例3.5续:考察如下AR模型的偏自相关图
理论偏自相关系数 样本偏自相关图
(1) xt 0.8xt 1 t
0.8 , k 1 kk ,k 2 0
例3.5续:考察如下AR模型的偏自相关图
理论偏自相关系数 样本偏自相关图
(2) xt 0.8xt 1 t
t s t t k t k
ˆ )( x Ex ˆ )] E[( x Ex ˆ )2 ] E[( xt Ex t t k t k kk t k t k ˆ )( x Ex ˆ )] E[( xt Ex t t k k t xt , xt k xt 1 , , xt k 1 kk 2 ˆ ) ] E[( x Ex
线性平稳时间序列分析
线性平稳时间序列分析线性平稳时间序列分析是统计学中一个重要的研究领域，在经济学、金融学、统计学等领域中具有广泛的应用。
本文将从概念、特征、建模和预测四个方面展开，详细介绍线性平稳时间序列分析的基本内容。
一、概念时间序列是按照时间顺序排列的一组数据观测值的集合，线性平稳时间序列是指其均值、方差和自相关函数在时间上保持不变。
线性平稳时间序列可以用公式表示为：Yt = μ + εt其中，Yt是时间t的观测值，μ是时间序列的均值，εt是时间t的随机波动项。
二、特征线性平稳时间序列具有以下几个重要特征：1. 均值不变性：时间序列的均值在时间上保持不变，即E(Yt) = μ。
2. 方差不变性：时间序列的方差在时间上保持不变，即Var(Yt) = σ^2。
3. 自相关性：时间序列中观测值之间存在相关性，即时间序列的自相关函数具有一定的模式。
4. 白噪声：时间序列中的随机波动项εt是一个均值为零、方差为常数的随机变量。
三、建模线性平稳时间序列的建模是对时间序列数据进行拟合，以寻找其内在的规律和趋势。
常用的线性平稳时间序列模型主要有AR（自回归模型）、MA（移动平均模型）和ARMA（自回归移动平均模型）等。
1. AR模型：自回归模型是基于时间序列在当前时刻与其过去时刻之间存在相关性的假设。
AR模型的阶数p表示过去p个时刻的观测值对当前观测值的影响。
2. MA模型：移动平均模型是基于时间序列在当前时刻与其过去时刻的随机波动项之间存在相关性的假设。
MA模型的阶数q表示过去q个时刻的随机波动项对当前观测值的影响。
3. ARMA模型：自回归移动平均模型是结合了AR模型和MA 模型的特点，既考虑了时间序列观测值的自相关性，又考虑了时间序列随机波动项的相关性。
四、预测线性平稳时间序列的预测是利用已有的时间序列数据预测未来的观测值。
常用的线性平稳时间序列预测模型主要有AR、MA和ARMA等。
1. AR模型：通过对过去p个时刻的观测值进行线性组合，预测当前观测值。
第三章平稳时间序列分析-3
n
Q(ˆ )
2 t
t1
n
( xt 1 xt1 p xt p 1 t1 q tq )2 t 1
实际中最常用的参数估计方法是条件最小二乘估 计法
条件最小二乘估计
假设条件：过去未观测到的序列值为0，即
xt 0 , t 0
从而 t
(B) (B) xt
xt
t
i xt1
i 1
由时序图可见，无周期性和单调趋势，序列平稳
序列自相关图
除延迟1阶在2倍标准差外，其它都在2倍标准差范围内 波动，平稳，自相关系数1阶截尾。
所以可考虑拟合模型MA(1)
序列偏自相关图
显然，偏自相关系数拖尾。
【例3.9】 1880-1985全球气表平均温度改变值差分序列
由时序图可见，无周期性和单调趋势，序列平稳
s
t
特别当φ0=0 时，称为中心化ARMA(p,q)模型
系数多项式
引进延迟算子，中心化ARMA(p,q)模型 可简记为 (B)xt (B)t
其中p阶自回归系数多项式：
(B) 11B 2B2 pBp
q阶移动平均系数多项式：
(B) 11B 2B2 q Bq
2、平稳条件与可逆条件
ARMA(p,q)模型的平稳条件 P阶自回归系数多项式Φ(B)=0的根都在单 位圆外,即ARMA(p,q)模型的平稳性完全由 其自回归部分的平稳性决定
Pr
2 n
ˆk
2 n
0.95
Pr
2 n
ˆkk
2 n
0.95
模型定阶的经验方法：
若样本(偏)自相关系数在最初d阶明显大于2 倍标准差，后面几乎95％的值都落在2倍
标准差范围内，且衰减为小值波动的过程 很突然。这时常视为截尾，截尾阶数为d。
第三章平稳时间序列分析
(3)xt xt1 0.5xt2 t
(4)xt xt1 0.5xt1 t
例3.1平稳序列时序图
(1)xt 0.8xt1 t
(3)xt xt1 0.5xt2 t
例3.1非平稳序列时序图
(2)xt 1.1xt1 t
❖ 判别方法
▪ 单位根判别法 ▪ 平稳域判别法
自回归方程的解
❖ 任一个中心化 AR( p)模型 (B)xt t都可以视为一个非齐次 线性差分方程，它的通解求法如下
（1）求齐次线性差分方程 (B)xt 0的一个通解 xt
d
p2m
m
xt
cjt
j1 t 1
c
j
t j
rjt (c1 j cos t j c2 j sin t j )
E[(xt Eˆxt )(xtk Eˆxtk )] kk E[(xtk Eˆxtk )2 ]
xt ,xtk xt1 ,
, xtk1
E[(xt Eˆxt )(xtk Eˆxkt E[(xtk Eˆxtk )2 ]
1 1
0 p
Green函数定义
❖ AR模型的传递形式
xt
t
(B)
p i 1
1
ki
i
B
t
p i 1
ki (i B) j t
j0
p
kii jt j
j0 i1
G jt j j0
❖其中系数 {G j , j 1,2,} 称为Green函数
Green函数递推公式
❖ 原理
xt (BG)x(t
❖ 线性差分方程对应的特征根的性质对判断模型的 平稳性有着非常重要的意义
时间序列分析第三章平稳时间序列分析
时间序列分析第三章平稳时间序列分析轴表示序列取值。
时序图可以直观地帮助我们掌握时间序列的一些基本分布特征。
根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界的特点。
如果观察序列的时序图，显示出该序列有明显的趋势性或周期性，那它通常不是平稳序列。
从图上可以看出，数值围绕在0附近随机波动，没有明显或周期，其本可以视为平稳序列，时序图显示该序列波动平稳。
procarimadata=e某ample3_1;identifyvar=某nlag=8;run;图一图二样本自相关图图三样本逆自相关图2图四样本偏自相关图图五纯随机检验图实验结果分析：（1）由图一我们可以知道序列样本的序列均值为-0.06595，标准差为1.561613，观察值个数为84个。
（2）根据图二序列样本的自相关图我们可以知道该图横轴表示自相关系数，综轴表示延迟时期数，用水平方向的垂线表示自相关系数的大小。
我们发现样本自相关图延迟3阶之后，自相关系数都落入2倍标准差范围以内，而且自相关系数向0.03衰减的速度非常快，延迟5阶之后自相关系数即在0.03值附近波动。
这是一个短期相关的样本自相关图。
所以根据样本自相关图的相关性质，可以认为该序列平稳。
（3）根据图五的检验结果我们知道，在各阶延迟下LB检验统计量的P值都非常小（<0.0001），所以我们可以以很大的把握（置信水平>99.999%）断定该序列样本属于非白噪声序列。
procarimadata=e某ample3_1;identifyvar=某nlag=8minicp=(0:5)q=(0:5);run;IDENTIFY命令输出的最小信息量结果3某个观察值序列通过序列预处理，可以判定为平稳非白噪声序列，就可以利用ARMA模型对该序列建模。
建模的基本步骤如下：A：求出该观察值序列的样本自相关系数（ACF）和样本偏自相关系数（PACF）的值。
第三章平稳时间序列分析优秀课件 (2)
xt1t1Bi0(1B)i
t
i0
i 1
ti
Green函数为
Gj 1j,j0,1,
平稳AR(1)模型的方差
2
V(a xt) r G 2 jV(at) r
2j 1
j 0
j 0
211 2
协方差函数
在平稳AR(p)模型两边同乘 x t k ,k 1，再求期望
E ( x t x t k ) 1 E ( x t 1 x t k ) p E ( x t p x t k ) E ( t x t k )
非齐次线性差分方程的解
非齐次线性差分方程的特解
使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解z t
z t a 1 z t 1 a 2 z t 2 a p z t p h ( t)
非齐次线性差分方程的通解
齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的
特解之和 z t
zt ztzt
特征根
平稳域
1 1
2 1
4 2
2
2 1
2 1
4
2
2
{1,221 ，2 且 11 }
例3.1平稳性判别
模 型
特征根判别
(1)
1 0.8
(2)
1 1.1
(3)
1
1 2
i
2
1i 2
(4)
1
1 2
3
2
1 2
3
平稳域判别
结 论
0.8
平稳
1.1
非 平稳
2 0 .5 ,21 0 .5 ,21 1 .5 平稳
2 0 .5 ,21 1 .5 ,21 0 .5
非 平稳
平稳AR模型的统计性质
平稳时间序列的统计特征
平稳时间序列的统计特征
时间序列是统计学中最重要的概念之
一，它描述了一段时间内变量随时间变化的情况。
平稳时间序列是指变量的均值、方差和自相关系数不随时间变化的时间序列。
平稳时间序列的统计特征是非常重要的，可以帮助我们理解变量的变化特性，并且可以用来对未来变量的变化做出预测。
首先，要确定一个时间序列是否是平稳的，可以使用单位根检验（Unit Root Test）。
如果检验结果表明变量是平稳的，就可以进一步分析它的统计特征。
其次，要了解一个平稳时间序列的统计特征，我们首先要研究它的均值和方差。
均值是描述一个变量的中心位置的指标，而方差是描述变量变化的程度的指标。
如果均值和方差不变，那么这个时间序列就是平稳的。
另外，我们还要研究平稳时间序列的自相关系数。
自相关系数可以衡量相邻变量之间的相关性，它可以用来判断一个时间序列是否是平稳的。
如果这个时间序列的自相关系数是恒定的，那么这个时间序列就是平稳的。
平稳序列文档
平稳序列什么是平稳序列？在时间序列分析中，平稳序列（Stationary Series）是指具有稳定的统计性质的序列。
对于平稳序列，其统计特性在不同时间段中是相似的，即均值、方差和自相关函数不随时间变化而改变。
平稳序列是时间序列分析的基础，对于很多经济、金融和自然科学领域的数据分析都是必不可少的一部分。
通过对平稳序列进行建模和分析，可以更好地理解和预测序列的行为。
平稳性的检验方法要判断一个序列是否为平稳序列，可以采用以下几种常见的方法：1. 统计图检验通过绘制序列的线性趋势图、自相关函数（ACF）图和偏自相关函数（PACF）图，观察序列的波动性和相关性。
如果序列在不同时间段内没有明显的趋势和相关性，可以认为序列是平稳的。
2. 统计检验常用的平稳性检验方法包括ADF检验（AugmentedDickey-Fuller test）和KPSS检验（Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin test）。
这些检验方法会对序列的单位根和趋势进行统计分析，从而判断序列是否平稳。
3. 数据变换如果序列不满足平稳性的要求，可以考虑对序列进行差分、对数化、取对数差分等方法，将序列转换为平稳序列，然后再进行分析和建模。
平稳序列的作用平稳序列在时间序列分析中起着重要的作用，具有以下几个方面的应用：1. 预测通过对平稳序列进行建模，可以拟合出序列的模型，进而预测未来的值。
平稳序列的模型往往更加稳定和可靠，能够提供较准确的预测结果。
2. 参数估计平稳序列的建模依赖于对序列的参数估计。
通过对平稳序列进行参数估计，可以得到序列中隐藏的统计特性，并进一步应用于其他领域的研究和实践。
3. 波动分析平稳序列的波动性较小，可以更好地分析序列的波动规律和周期性。
在金融领域中，平稳序列的波动性分析对于风险管理和交易策略的制定非常重要。
总结平稳序列是时间序列分析中重要的概念，通过对序列的平稳性检验和数据变换，可以得到具有稳定统计性质的序列。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
t Pp t t t t t x B x xB xBxx ===---221第3章 平稳时间序列分析一个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列，那就说明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。
3.1 方法性工具3.1.1 差分运算一、p 阶差分记t x ∇为t x 的1阶差分：1--=∇t t t x x x记t x 2∇为t x 的2阶差分：21122---+-=∇-∇=∇t t t t t t x x x x x x以此类推：记t p x ∇为t x 的p 阶差分：111---∇-∇=∇t p t p t p x x x二、k 步差分记t k x ∇为t x 的k 步差分：kt t t k x x x --=∇3.1.2 延迟算子 一、定义延迟算子相当与一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻。
记B 为延迟算子，有延迟算子的性质：1.1=B2.若c 为任一常数，有1)()(-⋅=⋅=⋅t t t x c x B c x c B3.对任意俩个序列{t x }和{t y }，有11)(--±=±t t t t y x y x B4.n t t n x x B -=5.)!(!!,)1()1(0i n i n C B C B i n i i n ni i n-=-=-∑=其中二、用延迟算子表示差分运算1、p 阶差分t p t p x B x )1(-=∇ 2、k 步差分t k k t t t k x B x x x )1(-=-=∇-3.2 ARMA 模型的性质 3.2.1 AR 模型定义 具有如下结构的模型称为p 阶自回归模型，简记为AR(p):ts Ex t s E Var E x x x x t s t s t t p tp t p t t t ∀=≠===≠+++++=---,0,0)(,)(,0)(,0222110εεεσεεφεφφφφε (3.4)AR(p)模型有三个限制条件：条件一：0≠p φ。
这个限制条件保证了模型的最高阶数为p 。
条件二：t s E Var E t s t t ≠===,0)(,)(,0)(2εεσεεε。
这个限制条件实际上是要求随机干扰序列}{t ε为零均值白噪声序列。
条件三：t s Ex t s ∀=,0ε。
这个限制条件说明当期的随机干扰与过去的序列值无关。
通常把AR(p)模型简记为：t p t p t t t x x x x εφφφφ+++++=--- 22110 (3.5)当00=φ时，自回归模型式(3.4)又称为中心化AR(p)模型。
非中心化AR(p)序列可以通过下面变化中心化AR(p)系列。
令μφφφφμ-=----=t t px y ,1210则{t y }为{t x }的中心化序列。
AR(p)模型又可以记为：t t x B ε=Φ)(，其中p p B B B B φφφ----=Φ 2211)(称为p 阶自回归系数多项式二、AR 模型平稳性判断 P45【例3.1】 考察如下四个AR 模型的平稳性：t t t x x ε+=-18.0)1( t t t x x ε+-=-11.1)2( t t t t x x x ε+-=--215.0)3( t t t t x x x ε++=--215.0)4( 拟合这四个序列的序列值，并会绘制时序图，发现(1)(3)模型平稳，(2)(4)模型非平稳1、特征根判别任一个中心化AR(p)模型t t x B ε=Φ)(都可以视为一个非齐次线性差分方程。
t p t p t t t x x x x εφφφφ=-+------ 22110则其齐次线性方程0)(=Φt x B 的特征方程为：02211=------p p p p x x x φφφ设p λλλ,,,21 为齐次线性方程0)1()(221=----=Φt p p t x B B B x B φφφ 的p 个特征根。
所以AR(p)模型平稳的充要条件是它的p 个特征根p λλλ,,,21 都在单位圆内。
同时等价于：AR 模型的自回归系数多项式的根，即0)(=Φu 的根，都在单位圆外。
证明：设p λλλ,,,21 为齐次线性方程0)(=Φt x B 的p 个特征根，任取)2,1(,p i i ∈λ，带入特征方程：02211=------p p i p i p i φλφλφλ把ii u λ1=带入0)(=ΦB 中，有0][11111)(2211221=----=----=Φ--p p ip ip i pipipiii u φλφλφλλλφλφλφ根据这个性质，)(B Φ可以因子分解成：∏=-=Φpi iB B 1)1()(λ，于是可以得到非其次线性方程t t x B ε=Φ)(的一个特解：tpi iipi ittt B k B B x ελλεε∑∏==-=-=Φ=111)1()(2、平稳域判别使得特征方程022110=-+------p t p t t t x x x x φφφφ 的所有特征根都在单位圆内的系数集合}|,,,{21特征根都在单位圆内p φφφ 被称为AR(p)模型的平稳域。
(1)AR(1)模型的平稳域AR(1)模型为：t t t x x εφ+=-1，其特征方程为：0=-φλ，特征根为：φλ=。
则AR （1）模型平稳的充要条件是1<φ,则AR(1)模型的平稳域是}11{<<-φ(2)AR(2)模型的平稳域AR(2)模型为：t t t t x x x εφφ++=--2211。
其特征方程为：0212=--φλφλ，特征根为：24,242211222111φφφλφφφλ-+=++=。
则AR （2）模型平稳的充要条件是：1121<<λλ且，从而有：{121221φλλφλλ=+=⋅11,21<<λλ，且因此可以导出：1)1)(1(1)31)1)(1(1)21)12121211221212121212<++-=---=-<---=++-=+<=λλλλλλφφλλλλλλφφλλφ 所以 AR(2)模型的平稳域：}1,1|,{21221<±<φφφφφ且【例3.1续】 分别用特征根判别法和平稳域判别法检验如下四个AR 模型的平稳性：t t t x x ε+=-18.0)1( t t t x x ε+-=-11.1)2( t t t t x x x ε+-=--215.0)3( t t t t x x x ε++=--215.0)4( 其中),0(~}{2εδεWN t三、平稳AR 模型的统计性质1、均值假如AR(p)满足了平稳性条件，于是)(22110t p t p t t t x x x E Ex εφφφφ+++++=--- (3.12)由平稳序列均值为常数的性质得：)(T t Ex t ∈∀=μ，因为),0(~}{2εδεWN t ，所以 (3.12)等价于μφφφ=----)1(21p pφφφφμ----=⇒ 2101特别对于中心化AR(p)模型有0=t Ex 。
2、方差(1)Green 函数。
设p λλλ,,,21 为平稳AR(p)模型的特征根，则平稳AR(p)模型可以写成：∑∑∑∑∑∑∞=-∞==-=∞=====-=Φ=001101ˆ)(1)(j jt j j p i j t j i i p i j t ji i t pi i i tt G k B k B k B x εελελελε (3.13)其中∑===pi ji i j j k G 1),2,1( λ，系数），2,1(=j G j 称为Green 函数。
记jpi jBG ∑==1G(B)，则(3.13)简记为：t G (B)ε=t x (3.14)再将(3.14)带入AR(p)模型t t x B ε=Φ)(中，得到模型 特征根判别平稳域判别结论 1) 8.01=λ8.0=φ平稳 2) 1.11-=λ1.1-=φ非平稳 3) 21,2121ii -=+=λλ 5.1,5.0,5.012212-=-=+=φφφφφ 平稳4)231,23121-=+=λλ非平稳5.0,5.1,5.012212-=-=+=φφφφφt B εε=Φt G (B))( Green 函数的递推公式为：,2,1,110='==∑=-j G G G jk k j kj φ其中{,,0='≤>kpk pk k φφ(2)平稳AR 模型的方差。
对平稳AR 模型t G (B)ε=t x 两边就方差，有∑∑∑∑∞=∞=∞=-∞=====02202)()()()(j j t j jj jt j j tj jt G Var G G Var B G Var x Var εσεεε由于∑∞=∞<02j jG ，这说明平稳序列}{tx 方差有界，等于常数∑∞=022j j G εσ【例3.2】求平稳AR(1)模型的方差。
AR(1)模型：∑∑∞=-∞===-=⇒=-010111)()1()1(j j t j t jj t t t t B B x x B εφεφφεεφGreen 函数为：),1,0(,1 ==j G j j φ，所以平稳AR(1)模型的方差为：2120221021)()(φσσφεεε-===∑∑∞=∞=j jt j jt Var G x Var3、协方差函数在平稳模型t p t p t t t x x x x εφφφφ+++++=--- 22110等号两边同时乘)1(≥∀-k x k t ，再求期望，得)()()()()(2211k t t k t p t p k t t k t t k t t x E x x E x x E x x E x x E --------++++=εφφφ 又由1,0)(≥∀=-k x E k t t ε，)(k t t k x x E -=γ，可以得到自协方差函数的递推公式：p k p k k k ---+++=γφγφγφγ 2211 (3.17)【例3.3】求平稳AR(1)模型的自协方差函数。
平稳AR(1)模型的自协方差函数的递推公式是：0111γφγφγkk k ==-又由【例3.2】知，21201φσγε-=，所以平稳AR(1)模型的自协方差函数的递推公式是：1,12121≥∀-=k k k φσφγε【例3.4】求平稳AR(2)模型的自协方差函数。
求平稳AR(2)模型的自协方差函数的递推公式为：1,2211≥∀+=--k k k k γφγφγ，特别地，当k=1时，有12011γφγφγ+=，即0111γφφγ-=利用Green 函数可以推出AR(2)模型的协方差：22121220)1)(1)(1(1εσφφφφφφγ++--+-=所以平稳AR(2)模型的协方差函数的推导公式为：2,1)1)(1)(1(1221101122121220≥∀+=-=++--+-=--k k k k γφγφγγφφγσφφφφφφγε4、自相关系数(1)平稳AR 模型自相关系数的推导公式。