平稳时间序列预测法讲义

所使用的工具主要是时间序列的自相关函数 （autocorrelation function，ACF）及偏自相关 函 数 （ partial autocorrelation function ， PACF ）。
一、自相关分析
自相关分析法是进行时间序列分析的有效方 法，它简单易行, 较为直观，根据绘制的自 相关分析图和偏自相关分析图，我们可以初 步地识别平稳序列的模型类型和模型阶数。
3、时间序列的季节性
判定准则：
月度数据，考察k=12,24,36, …时的自相关系数 是否与0有显著差异；
季度数据，考察k=4,8,12, …时的自相关系数是 否与0有显著差异 。 注1：实际问题中常遇到季节性和趋势性同时存在 的情况，应先剔除序列趋势性，在识别季节性。 注2：包含季节性的时间序列也不能直接建模，应 先进行季节差分消除，季节差分一般不超过一阶。
0
2 X
2
12
在稳定条件下，该方差是一非负的常数，从而有 ||<1。
而AR(1)的特征方程 (z) 1 z 0
的根为
z=1/
AR(1)稳定，即 || <1，意味着特征根大于1。
对高阶自回模型AR(p)来说，多数情况下没有 必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些有 用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性：
nk
yt yytk y
ˆ k t1 n
yt y2
t 1
其中：
n
y yt / n t 1
样本自相关函数可以说明不同时期的数 据之间的相关程度，其取值范围在－1到 1之间，值越接近于1，说明时间序列的 自相关程度越高。
（3）样本的偏自相关函数 在给定了 yt1, yt2 ,, ytk1 的条件下，yt
N 0, 1 (1 n
q
2 ˆi2)
i1
对于每一个q,计算 ˆ q1 ˆ q2 …. ˆ qM（M 取 为 n 或者 n /10），
考察其中满足
ˆk
1 n
1
q
2 ˆ i 2 或者 ˆ k
i1
2 n
1
q
2 ˆi2
i1
的个数是否占M个的68.3%或者95.5%以上。
接受 ˆ k在k q之后截尾
（2）偏自相关函数的截尾性统计检验：
ARMA模型是描述平稳随机序列的最常用的一种模型。
Box-Jenkins方法提供了对时间序列进行分析、预测， 以及对ARMA模型识别、估计和诊断的系统方法。
Box-Jenkins基本思想：用数学模型描述时间序列自身 的相关性，并假定这种自相关性一直延续，用该模型预 测未来的值。
ARMA模型的三种基本形式：
Xt 均值为0，r s,t 只与t－s有关，所以宽平稳。
7.2 时间序列的自相关分析
建立时间序列模型，首先应判断时间序列的 特性，判断是否满足建模条件。Ｂ—Ｊ法建模主 要解决两个问题：
（１）分析时间序列的随机性，平稳性和季节性 （２）找出生成它的合适的随机过程或模型，即 判断该时间序列是遵循一纯AR过程、还是遵循 一纯MA过程或ARMA过程。
1 ，...，q称为移动平均系数，是模型的待估参数
平稳条件：任何条件下都平稳。
MA(q)模型的平稳性
对于移动平均模型MR(q)：
Xt=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 其中t是一个白噪声，于是
E( X t ) E( t ) 1E( t1 ) q E( q ) 0
0
varX t
严平稳时间序列的定义： 所有的统计特性不随时间的平移而变化
宽平稳时间序列的定义：
设时间序列yt ，对于任意的t,k和m，满足： 1、对于任意时间t,均值恒为常数E yt E ytm
2、其自相关系数只与时间的间隔有关，
与起点和终点无关 cov yt , ytk cov ytm , ytmk 则称 yt 宽平稳。
对于AR(p)模型，当k>p时， kk
N 0, 1 n
ˆ11, ， ˆ kk明显不能为0
自回归模型（AR：Auto-regressive）； 移动平均模型（MA：Moving-Average）； 混合模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）。
二、自回归模型
如果时间序列yt满足 yt 1 yt1 ... p y t p t
其中 t 是独立同分布的随机变量序列,且满足：
Et 0,
Var
t
2
0
则称时间序列 yt服从p阶自回归模型。
1 ，...， p称为自回归系数，是模型的待估参数
引入滞后算子B, Bk yt ytk
yt (1B ... p B p ) yt t
记 B 11B ... pB p， 模型表示为 B yt =t
自回归模型的平稳条件：
这也正是随机时间序列分析模型的优势所在。
例题分析
设 Xt Acos ct B sin ct ，其中A与B
为两个独立的零均值随机变量，方差为1；
0 c 为一常数。
试证明：
X t 宽平稳。
证明：
E Xt E Acos ct B sin ct 0
r s,t E Acos ct B sin ct Acos cs B sin cs E[A2 cos cs cos ct AB cos ct sin cs AB sin ct cos cs B2 sin ct sin cs] cos cs cos ct sin ct sin cs cos c(t s)
1 ˆk 1, j ˆ k j j 1
k 2,3,...
ˆk , j ˆk 1, j ˆkk k 1,k j
时间序列特性分析 1、时间序列的随机性，是指时间序列各项
之间没有相关关系的特征。使用自相关分析图 判断时间序列的随机性，一般给出如下准则：
若时间序列的自相关函数基本上都落入 置信区间（ 2 、2 ），则该时间序列具有随机性；
通常希望AR过程与ＭＡ过程能相互表出，即过程 可逆。
如移动平均模型MA(１)：
yt (1 1B) t
t
yt
(1
(1 1B)
1B
2 1
B
13 B
) yt
可逆条件： 1 1
四、ARMA(p,q)模型
如果时间序列yt 满足
yt 1 yt1 ... p yt p t 1 t1 ... q tq
滞后算子多项式 B 11B-...- pB p
的根均在单位圆外，即 B 0 的根大于1。
例1 AR(1)模型的平稳性条件。
对1阶自回归模型AR(1)
X t X t1 t
方程两边平方再求数学期望，得到Xt的方差
E(X
2 t
)
2E(X
Leabharlann Baidu
2 t 1
)
E
(
2 t
)
2E(X
t 1 t
)
由于Xt仅与t相关，因此，E(Xt-1t)=0。如果该模型稳 定，则有E(Xt2)=E(Xt-12)，从而上式可变换为：
E（yt 2） 2(k1 ,
yt 1
kk
)E{ yt
}+
yt k
(k1 ,
yt 1
kk
)
E
{
(
yt
1
,
yt k
k1
,yt
k
}
最小
kk
E
Yule
Wol
ker
方程
k1
0
E
0
kk
ˆ1
k 1
ˆkk
其中：
k 1
ˆ k ˆk 1, j ˆ k j j 1
k 1
三、ARMA模型的自相关分析
AR(p)模型的偏自相关函数是以p步截尾的，自 相关函数拖尾；
MA(q)模型的自相关函数具有q步截尾性，偏 自相关函数拖尾；
（可用以上两个性质来识别AR和MA模型的阶数）
ARMA(p,q)模型的自相关函数和偏相关函数都 是拖尾的。
图 ACF
ARMA(p,q)模型的 ACF 与 PACF 理论模式 PACF
yt 1 yt1 ... p yt p t 1 t1 ... q tq
该式表明：
（1）一个随机时间序列可以通过一个自回归移动平均 过程生成，即该序列可以由其自身的过去或滞后值以及 随机扰动项来解释。
（2）如果该序列是平稳的，即它的行为并不会随着时间 的推移而变化，那么我们就可以通过该序列过去的行为 来预测未来。
定模型的阶数。
如果样本的偏自相关函数是以p步截尾的，模型为AR(p) ； 如果样本的自相关函数具有q步截尾性，模型为MA(q)； 如果样本的自相关函数和偏相关函数都是拖尾的，模型 为ARMA(p,q) 。
（1）自相关函数的截尾性统计检验：
对于MA(q)模型，当k>q时， ˆk ˆ1, ， ˆ q明显不能为0
与滞后k期时间序列之间的条件相关。 换句话说：偏自相关是对 yt和yt k 之间未被 yt1, yt2 ,, ytk1 所解释的相关度量。
在AR(1)中， 从ｙt中去掉ｙt-1的影响，则只剩下随机扰动项t，显然它 与ｙt-2无关，因此我们说ｙt与ｙt-2的偏自相关系数为零。 同样地，在AR(p)过程中，对所有的k>p，Ｙt与Ｙt-k间 的偏自相关系数为零。
则称时间序列 yt 服从(p,q)阶自回归移动
平均模型。
或者记为：Byt B t
平稳条件：B 0 的根均在单位圆外
可逆条件： B 0 的根均在单位圆外
将纯AR(p)与纯MA(q)结合，得到一个一般的自回归移动 平均（autoregressive moving average）过程ARMA（
(1
2 1
2 q
)
2
1
cov( X t , X t1 )
(1
1 2
2 3
q
1
q
)
2
q 1
cov( X t ,
X t q1 )
( q1
1
q
)
2
q
cov( X t , X tq )
q
2
当滞后期大于q时，Xt的自协方差系数为0。
因此:有限阶移动平均模型总是平稳的。
可逆条件： B 0 的根均在单位圆外
模型 1： X t 0.7 X t1 t
0.8 ACF1
0.6
0.4
0.2
0.0 12345678
0.8
0.6
PACF1
0.4
0.2
0.0
1
2
3
4
5
6
7
8
7.4 ARMA模型的建模
一、模型阶数的确定 （1）基于自相关函数和偏相关函数的定阶方法
对于ARMA(p,q)模型，可以利用其样本的 自相关函数和样本偏自相关函数的截尾性判
(1)AR(p)模型稳定的必要条件是：
1+2++p<1 (2)由于i(i=1,2,p)可正可负，AR(p)模型 稳定的充分条件是：
|1|+|2|++|p|<1
三、移动平均模型MA(q)
如果时间序列 yt 满足 yt t 1t1 ...qtq ，
则称时间序列 yt 服从q阶移动平均模型。
或者记为 yt Bt 。
利用自相关分析法可以测定时间序列的随机性 和平稳性，以及时间序列的季节性。
（1）自相关函数的定义
滞后期为k的自协方差函数为：
rk cov ytk, yt
则自相关函数为：
k
rk
yt k yt
其中：
2 yt
Eyt
Eyt 2
当序列平稳时，自相关函数可写为：
k
rk r0
（2）样本自相关函数
nn
若较多自相关函数落在置信区间之外， 则认为该时间序列不具有随机性。
注：在B-J方法中，测定时间序列的随机性，多 用于模型残差，以评价模型优劣。
2、判断时间序列是否平稳，是一项很重要 的工作。运用自相关分析图判定时间序列平稳性 的准则是：
若时间序列的自相关函数 在k>3 时都落入置
信区间（
2 n
、2 n
），且逐渐趋于零，则该时间序
列具有平稳性；
若时间序列的自相关函数更多地落在置信区 间外面，则该时间序列不具有平稳性。
注：在B-J方法中，只有平稳的时间序列才 能建立ARMA模型，否则必须经过适当的处理使序 列满足平稳性要求。例对某种趋势的时间序列进 行差分处理。但很多序列不能通过差分达到平稳， 而且差分虽然消除了序列的趋势易于建模，但也 消除了序列的长期特征，实际的经济序列差分一 般不超过两次。
样本的偏自相关函数的计算
选择系数 k1, k 2 , , kk , 使yt 1, yt 2 , , yt k对yt的线性
估计方差最小，即 kk使模型中包含yt 1, yt 2 , , yt k +1
之后，在增加一期滞后yt
所增加的模型解释能力。
k
E[ yt (k1 yt1 k 2 yt2 k ,k1 ytk1 k ,k yt k ]2 最小
7 平稳时间序列预测法
7.1 概述 7.2 时间序列的自相关分析 7.3 单位根检验和协整检验 7.4 ARMA模型的建模
7.1 概 述
一、平稳时间序列
时间序列yt 取自某一个随机过程，则称：
过程是平稳的——随机过程的随机特征不随时间变化而变化 过程是非平稳的——随机过程的随机特征随时间变化而变化