初二上数学培优讲义二 A 勾股定理及平方根提高训练

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勾股定理—八年级培优班讲义

知识点扩充：A BCa b c弦股勾1、勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边2、满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做___________.（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：____________________________________________________.3. 判断直角三角形的方法：4、直角三角形的其他性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于_________________.（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么________________________.（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么________________________.5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段例题精讲类型一、三角形三边关系例题1、已知∆ABC 的三边a 、b 、c 满足0)()(22=-+-c b b a ，则∆ABC 为 ______三角形.例题2、在∆ABC 中，若a 2=（b+c ）（b-c ），则∆ABC 是_____三角形，且∠ __= ︒90例题3、已知2512-++-y x x 与25102+-z z 互为相反数，试判断以x 、y 、z 为三边的三角形的形状。

变式：已知,0)10(8262=-+-+-c b a 则以a 、b 、c 为边的三角形是 ____________.勾股定理总复习讲义类型二、实际应用1. 梯子滑动问题：（1）一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m（如图1），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，求梯子底端将向左滑动多少米？如图2，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离_____1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）（3）如图3，梯子AB斜靠在墙面上，AC⊥BC，AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯足B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是（）A.yx= B. yx> C. yx< D. 不能确定图1 图2 图3变式训练：小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为______米.2. 爬行距离最短问题：1、.如图4，一块砖宽AN=5㎝，长ND=10㎝，CD上的点F距地面的高FD=8㎝，地面上A处的一只蚂蚁到F处吃食，要爬行的最短路线是______ cm.2、如图5，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B 是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是________ 分米.3. 如图6，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B，则它走过的路程最短为（）A. a3B. ()a21+ C. a3 D.a5BAQNMP图4 图5 图6特殊三角形三边关系训练1、小明和爸爸妈妈五一登香山，他们从地面开始，沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地面的高度是_______米。

八年级初二数学提高题专题复习勾股定理练习题及答案

八年级初二数学提高题专题复习勾股定理练习题及答案一、选择题1．图中不能证明勾股定理的是（）A ．B ．C ．D ．2．△ABC 的三边分别为,,a b c ，下列条件能推出△ABC 是直角三角形的有（） ①222a c b -=;②2()()0a b a b c -++=;③ ∠A ＝∠B -∠C; ④∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3 ;⑤111,,345a b c ===;⑥10,a = 24,b = 26c = A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个3．如图，ABC 中，有一点P 在AC 上移动．若56AB AC BC ===，，则AP BP CP ++的最小值为( )A ．8B ．8.8C ．9.8D ．104．如图钢架中，∠A ＝15°，现焊上与AP 1等长的钢条P 1P 2，P 2P 3…来加固钢架，若最后一根钢条与射线AB 的焊接点P 到A 点的距离为3 ）A ．16B ．15C ．12D ．105．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB =30°，点E 为AB 的中点，DE ⊥AB ，交AB 于点E ，DE =3，BC =1，CD =13，则CE 的长是（）A ．14B ．17C ．15D ．136．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，BD 平分∠ABC ，E 是AB 中点，连接DE ，则DE 的长为（）A ．102B ．2C ．512+D ．327．如图，已知AB AC =，则数轴上C 点所表示的数为( )A ．3-B ．5-C ．13-D ．15-8．已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长( ) A ．4 B ．16 C ．34D ．4或34 9．如图，直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的两直边为直径作半圆，则阴影部分的面积是（）A ．6B ．32πC ．2πD ．1210．下列以线段a 、b 、c 的长为边的三角形中，不能构成直角三角形的是（） A ．9,41,40a b c ===B ．5,5,52a b c ===C ．::3:4:5a b c =D ．11,12,13a b c ===二、填空题11．如图，在△中，，∠90°，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是__________．12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，矩形内一动点P 使得S △PAD ＝13S 矩形ABCD ，则点P 到点A 、D 的距离之和PA +PD 的最小值为_____．13．若ABC ∆为直角三角形，90B ∠=︒，6AB =，8BC =，点D 在斜边AC 上，且2AC BD =，则AD 的长为__________．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝7.5cm ，AC ＝4.5cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当△ABP 为等腰三角形时，t 的取值为_____．15．如图是“赵爽弦图”，△ABH 、△BCG 、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形．如果AB ＝13，EF ＝7，那么AH 等于_____．16．以直角三角形的三边为边向外作正方形P ，Q ，K ，若S P =4，S Q =9，则K S =___17．如图在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC =90º，AC =5，BC=4，过点A 作直线l 平行于BC ，折叠三角形纸片ABC ，使直角顶点B 落在直线l 上的点P 处，折痕为MN ，当点P 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随之移动，若限定端点M 、N 分别在AB 、BC 边上（包括端点）移动，则线段AP 长度的最大值与最小值的差为________________．18．如图,30AOB ∠=︒，点,M N 分别在,OA OB 上，且6,8OM ON ==，点,P Q 分别在,OB OA 上运动，则PM PQ QN ++的最小值为______．19．如图，△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，AD 是BAC ∠的角平分线，E 是AD 上的动点，F 是AB 边上的动点，则BE+EF 的最小值为_____．20．观察：①3、4、5，②5、12、13，③7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数：______．三、解答题21．如图，△ABC 和EDC ∆都是等边三角形，7,3,2AD BD CD ===求:（1）AE长；（2）∠BDC 的度数：（3）AC 的长．22．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，E 是AB 的中点，连接CE 交AD 于点F ，BD =3，求BF 的长．23．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“广益值”就等于22AO BO -的值，可记为22AB AC OA BO ∇=-（1）在ABC ∆中，若90ACB ∠=︒，81AB AC ∇=，求AC 的值．（2）如图2，在ABC ∆中，12AB AC ==，120BAC ∠=︒，求AB AC ∇，BA BC ∇的值．（3）如图3，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，24ABC S ∆=，8AC =，64AB AC ∇=-，求BC 和AB 的长．24．如图所示，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，16AB cm =，20AC cm =，P 、Q 是ABC ∆的边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为ts ．（1）则BC =____________cm ；（2）当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上？此时CQ =_________?（3）当点Q 在边CA 上运动时，直接写出使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．25．已知ABC ∆中，AB AC =.（1）如图1，在ADE ∆中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：BD CE =（2）如图2，在ADE ∆中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；（3）如图3，在BCD ∆中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求AD AB的值.26．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2BC AC =.(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =ABD ∆的面积.(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+.27．已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过顶点A 作射线AP .（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.①试证明ABD ∆是直角三角形；②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.28．如图，在四边形ABCD 中，=AB AD ，=BC DC ，=60A ∠︒，点E 为AD 边上一点，连接CE ，BD . CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB .（1）求证:CED ADB ∠=∠；（2）若=8AB ，=6CE . 求BC 的长 .29．2ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G .①求证：BE EF =;②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.30．如图1，已知△ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且CD ＝AE ，AD 与BE 相交于点F ．（1）求证：∠ABE ＝∠CAD ；（2）如图2，以AD 为边向左作等边△ADG ，连接BG ．ⅰ）试判断四边形AGBE 的形状，并说明理由；ⅱ）若设BD ＝1，DC ＝k （0＜k ＜1），求四边形AGBE 与△ABC 的周长比（用含k 的代数式表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论222+=a b c ，找出不能证明的那个选项．【详解】解：A 选项不能证明勾股定理；B 选项，通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式()22142a b ab c +=⨯+，可得222+=a b c ；C 选项，通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式()22112222a b ab c +=⨯+，可得222+=a b c ； D 选项，通过这个不规则图象的面积的不同表示方法，可以列式222112222c ab a b ab +⨯=++⨯，可得222+=a b c ．故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．2．D解析：D【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，分别对每个选项进行判断，即可得到答案.【详解】解：∵222a c b -=，得222a b c =+，符合勾股定理逆定理，则①正确；∵2()()0a b a b c -++=，得到222a c b +=，符合勾股定理逆定理，则②正确； ∵∠A ＝∠B -∠C ，得∠B=∠A+∠C ，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=90°，故③正确；∵∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，∠A+∠B+∠C=180°， ∴318090123C ∠=︒⨯=︒++，故④正确； ∵222111()()()453+≠，则⑤不能构成直角三角形，故⑤错误；∵222102426+=，则⑥能构成直角三角形，故⑥正确；∴能构成直角三角形的有5个；故选择：D.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理进行判断三角形是直角三角形. 3．C解析：C【分析】由AP+CP=AC 得到AP BP CP ++=BP+AC ，即计算当BP 最小时即可，此时BP ⊥AC ，根据三角形面积公式求出BP 即可得到答案.【详解】∵AP+CP=AC ，∴AP BP CP ++=BP+AC ，∴BP ⊥AC 时，AP BP CP ++有最小值，设AH ⊥BC ，∵56AB AC BC ===，∴BH=3， ∴224AH AB BH =-=, ∵1122ABC SBC AH AC BP =⋅=⋅， ∴1164522BP ⨯⨯=⨯, ∴BP=4.8，∴AP BP CP ++=AC+BP=5+4.8=9.8，故选：C.【点睛】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，勾股定理，最短路径问题，正确理解AP BP CP ++时点P 的位置是解题的关键.4．D解析：D【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，求出钢条的根数，然后根据最后一根钢条与射线AB 的焊接点P 到A 点的距离即AP 5为3AP 1＝a ，作P 2D ⊥AB 于点D ，再用含a 的式子表示出P 1P 3，P 3P 5，从而可求出a 的值，即得出每根钢条的长度，从而可以求得所有钢条的总长．【详解】解：如图，∵AP 1与各钢条的长度相等，∴∠A=∠P 1P 2A=15°，∴∠P 2P 1P 3=30°，∴∠P 1P 3P 2=30°，∴∠P 3P 2P 4=45°，∴∠P 3P 4P 2=45°，∴∠P 4P 3P 5=60°，∴∠P 3P 5P 4=60°，∴∠P 5P 4P 6=75°，∴∠P 4P 6P 5=75°，∴∠P 6P 5B=90°，此时就不能再往上焊接了，综上所述总共可焊上5根钢条．设AP 1＝a ，作P 2D ⊥AB 于点D ，∵∠P2P1D＝30°，∴P2D=12P1P2，∴P1D＝32a，∵P1P2=P2P3，∴P1P3＝2P1D =3a，∵∠P4P3P5=60°，P3P4=P4P5，∴△P4P3P5是等边三角形，∴P3P5＝a，∵最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离为4+23，∴AP5=a+3a+a＝4+23，解得，a＝2，∴所有钢条的总长为2×5＝10，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的内角和、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，发现并利用规律找出钢条的根数是解答本题的关键．5．D解析：D【解析】【分析】连接BD，作CF⊥AB于F，由线段垂直平分线的性质得出BD=AD，AE=BE，得出∠DBE=∠DAB=30°，由直角三角形的性质得出BD=AD=2DE=23，AE=BE=3DE=3，证出△BCD是直角三角形，∠CBD=90°，得出∠BCF=30°，得出BF=12BC=12，CF=3BF=32，求出EF=BE+BF=72，在Rt△CEF中，由勾股定理即可得出结果．【详解】解：连接BD，作CF⊥AB于F，如图所示：则∠BFC=90°，∵点E为AB的中点，DE⊥AB，∴BD=AD，AE=BE，∵∠DAB=30°，∴∠DBE=∠DAB=30°，BD=AD=2DE=23，AE=BE=3DE=3，∵BC 2+BD 2=12+（23）2=13=CD 2，∴△BCD 是直角三角形，∠CBD=90°，∴∠CBF=180°-30°-90°=60°，∴∠BCF=30°，∠BFC=90°，∴∠BCF=30°，∴BF=12BC=12，CF=3BF=3， ∴EF=BE+BF=72，在Rt △CEF 中，由勾股定理得：CE=22731322⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选D ．【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握勾股定理和逆定理是解题的关键． 6．A解析：A【解析】试题解析：如图，过D 作AB 垂线交于K ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD=∠ABD∵∠C=∠DKB=90°，∴CD=KD ，在△BCD 和△BKD 中，CD KD BD BD ⎧⎨⎩＝＝ ∴△BCD ≌△BKD ，∴BC=BK=3∵E 为AB 中点∴BE=AE=2.5，EK=0.5，∴AK=AE-EK=2，设DK=DC=x，AD=4-x，∴AD2=AK2+DK2即（4-x）2=22+x2解得：x=3 2∴在Rt△DEK中，.故选A．7．D解析：D【分析】根据勾股定理求出AB的长，即为AC的长，再根据数轴上的点的表示解答.【详解】由勾股定理得，AB==∴AC AB==∵点A表示的数是1∴点C表示的数是1-故选D.【点睛】本题考查了勾股定理、实数与数轴，熟记定理并求出AB的长是解题的关键.8．D解析：D【解析】试题解析：当3和5当5．故选D．9．A解析：A【分析】分别求出以AB、AC、BC为直径的半圆及△ABC的面积，再根据S阴影=S1+S2+S△ABC-S3即可得出结论．【详解】解：如图所示：∵∠BAC=90°，AB=4cm ，AC=3cm ，BC=5cm ，∴以AB 为直径的半圆的面积S 1=2π（cm 2）；以AC 为直径的半圆的面积S 2=98π（cm 2）；以BC 为直径的半圆的面积S 3=258π（cm 2）； S △ABC =6（cm 2）；∴S 阴影=S 1+S 2+S △ABC -S 3=6（cm 2）；故选A ．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 10．D解析：D【分析】根据直角三角形的判定，符合a 2+b 2＝c 2即可；反之不符合的不能构成直角三角形．【详解】解：A 、因为92+402＝412，故能构成直角三角形；B 、因为52+52=()252，故能构成直角三角形； C 、因为()()()222345x x x +=，故能构成直角三角形；D 、因为112+122≠152，故不能构成直角三角形；故选：D ．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，当三角形中三边满足222a b c +=关系时，则三角形为直角三角形．二、填空题11．【解析】如图，过点作⊥于点，延长到点，使，连接，交于点，连接，此时的值最小．连接，由对称性可知∠45°，，∴ ∠90°.根据勾股定理可得．12．82【分析】根据S△PAD＝13S矩形ABCD，得出动点P在与AD平行且与AD的距离是4的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接DE，BE，则DE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ADE中，由勾股定理求得DE的值，即可得到PA+PD的最小值．【详解】设△PAD中AD边上的高是h．∵S△PAD＝13S矩形ABCD，∴12AD•h＝13AD•AB，∴h＝23AB＝4，∴动点P在与AD平行且与AD的距离是4的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接BE，DE，则DE的长就是所求的最短距离．在Rt△ADE中，∵AD＝8，AE＝4+4＝8，DE22228882AE AD++=即PA+PD的最小值为2．故答案2．【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．13．5【分析】在直角ABC中，依据勾股定理求出AC的长度，再算出BD，过点B作BE AC⊥于点E ，通过等面积法求出BE ，得到两个直角三角形，分别运用勾股定理算出AE ED 、，两者相加即为AD 的长.【详解】解：如图，过点B 作BE AC ⊥于点E ，则90BEA ∠=︒,90BED ∠=︒,∵直角ABC 中，90B ∠=︒，6AB =，8BC =， ∴22=10AC AB BC +=,又∵2ABC S AB BC AC BE =⋅=⋅，2AC BD =∴6810BE ⨯=，5BD =,∴=4.8BE ,∵90BEA ∠=︒,90BED ∠=︒ ∴22= 3.6AE AB BE -=,22= 1.4ED BD BE -=,∴5AD AE ED =+=.故答案为：5.【点睛】本题考查了勾股定理，通过作直角三角形斜边上的高，既构造了两个直角三角形求位置线段，又通过等面积法求出了一条直角边的长度，为运用勾股定理求线段创造了条件；故在求线段长时，可以考虑构造直角三角形.14．75或6或94 【分析】当△ABP 为等腰三角形时，分三种情况：①当AB ＝BP 时；②当AB ＝AP 时；③当BP ＝AP 时，分别求出BP 的长度，继而可求得t 值．【详解】在Rt △ABC 中，BC 2＝AB 2﹣AC 2＝7.52﹣4.52＝36，∴BC ＝6（cm ）；①当AB ＝BP ＝7.5cm 时，如图1，t ＝7.52＝3.75（秒）； ②当AB ＝AP ＝7.5cm 时，如图2，BP ＝2BC ＝12cm ，t ＝6（秒）；③当BP ＝AP 时，如图3，AP ＝BP ＝2tcm ，CP ＝（4.5﹣2t ）cm ，AC ＝4.5cm ，在Rt △ACP 中，AP 2＝AC 2+CP 2，所以4t 2＝4.52+（4.5﹣2t ）2，解得：t ＝94，综上所述：当△ABP 为等腰三角形时，t ＝3.75或t ＝6或t ＝94．故答案为：3.75或6或94．【点睛】此题是等腰三角形与动点问题，考查等腰三角形的性质，勾股定理，解题中应根据每两条边相等分情况来解答，不要漏解.15．【分析】根据面积的差得出a+b 的值，再利用a-b=7，解得a ，b 的值代入即可．【详解】∵AB ＝13，EF ＝7，∴大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，∴四个直角三角形面积和为169﹣49＝120，设AE 为a ，DE 为b ，即141202ab ⨯=， ∴2ab ＝120，a 2+b 2＝169，∴（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ＝169+120＝289，∴a +b ＝17，∵a ﹣b ＝7，解得：a ＝12，b ＝5，∴AE ＝12，DE ＝5，∴AH ＝12﹣7＝5．故答案为：5．【点睛】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab 的值． 16．5或13【分析】根据已知可得题意中的图是一个勾股图，可得S P +S Q =S K 为从而易求S K ．【详解】解：如下图所示，若A=S P=4．B=S Q=9，C=S K，根据勾股定理，可得A+B=C，∴C=13．若A=S P=4．C=S Q=9，B=S K，根据勾股定理，可得A+B=C，∴B=9-4=5．∴S K为5或13．故答案为：5或13．【点睛】本题考查了勾股定理．此题所给的图中，以直角三角形两直角边为边所作的正方形的面积和等于以斜边为边所作的正方形的面积．17．71-【分析】分别找到两个极端,当M与A重合时，AP取最大值，当点N与C重合时，AP取最小，即可求出线段AP长度的最大值与最小值之差【详解】如图所示，当M与A重合时，AP取最大值，此时标记为P1，由折叠的性质易得四边形AP1NB是正方形，在Rt△ABC中，2222--，AB=AC BC=54=3∴AP的最大值为A P1=AB=3如图所示，当点N与C重合时，AP取最小，过C点作CD⊥直线l于点D，可得矩形ABCD，∴CD=AB=3，AD=BC=4，由折叠的性质有PC=BC=4，在Rt△PCD中，2222PD=PC CD=43=7--，-∴AP的最小值为AD PD=47线段AP 长度的最大值与最小值之差为()1AP AP=347=71----故答案为71-【点睛】本题考查勾股定理的折叠问题，可以动手实际操作进行探索.18．10【分析】首先作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值，易得△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∠N ′OM ′=90°，继而可以求得答案．【详解】作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N ′OQ =∠M ′OB =30°，∠ONN ′=60°，OM ′=OM =6，ON ′=ON =8，∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∴∠N ′OM ′=90°．在Rt △M ′ON ′中，M ′N ′=22''OM ON +=10．故答案为10．【点睛】本题考查了最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到直角三角形是解题的关键．19．12013【解析】 ∵AB=AC ，AD 是角平分线，∴AD ⊥BC ，BD=CD ，∴B 点，C 点关于AD 对称，如图，过C 作CF ⊥AB 于F ，交AD 于E ，则CF=BE+FF 的最小值，根据勾股定理得，AD=12，利用等面积法得：AB ⋅CF=BC ⋅AD ，∴CF=BC AD AB ⋅=101213⨯=12013故答案为12013. 点睛：本题主要考查的是翻折的性质、垂线段最短、勾股定理的应用及三角形面积的等积法.明确当CF ⊥AB 时，CF 有最小值是解题的关键.20．17，144，145【分析】由题意观察题干这些勾股数，根据所给的勾股数找出三个数之间的关系即可．【详解】解：因为这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过，所以从3、5、7…依次推出第8组的“勾”为17，继续观察可知弦-股=1，利用勾股定理假设股为m ，则弦为m+1，所以有22217(1)m m +=+，解得144m =，1145m +=，即第8组勾股数为17，144，145.故答案为17，144，145.【点睛】本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及勾股定理进行分析即可．三、解答题21．（12）150°；（3【分析】（1）根据等边三角形的性质可利用SAS 证明△BCD ≌△ACE ，再根据全等三角形的性质即得结果；（2）在△ADE 中，根据勾股定理的逆定理可得∠AED ＝90°，进而可求出∠AEC 的度数，再根据全等三角形的性质即得答案；（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，根据等边三角形的性质和勾股定理可得PE 与CP 的长，进而可得AE ＝CP ，然后即可根据AAS 证明△AEG ≌△CPG ，于是可得AG ＝CG ，PG ＝EG ，根据勾股定理可求出AG 的长，进一步即可求出结果．【详解】解：（1）∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形，∴BC ＝AC ，CD ＝CE ＝DE ＝2，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCD ＝∠ACE ，在△BCD 与△ACE 中，∵BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△ACE ，∴AE ＝BD ＝3；（2）在△ADE 中，∵7,3,2AD AE DE ===， ∴DE 2+AE 2＝()()222237+=＝AD 2， ∴∠AED ＝90°，∵∠DEC ＝60°，∴∠AEC ＝150°，∵△BCD ≌△ACE ，∴∠BDC ＝∠AEC ＝150°；（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，∵△CDE 是等边三角形，∴PE ＝12DE ＝1，CP 22213-=，∴AE ＝CP ，在△AEG 与△CPG 中，∵∠AEG ＝∠CPG ＝90°，∠AGE ＝∠CGP ，AE ＝CP ，∴△AEG ≌△CPG ，∴AG ＝CG ，PG ＝EG ＝12， ∴AG ()2222113322AE EG ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， ∴AC ＝2AG 13【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用全等三角形的判定与性质是解题的关键．22．BF 的长为32【分析】先连接BF ，由E 为中点及AC=BC ，利用三线合一可得CE ⊥AB ，进而可证△AFE ≌△BFE ，再利用AD 为角平分线以及三角形外角定理，即可得到∠BFD 为45°，△BFD 为等腰直角三角形，利用勾股定理即可解得BF ．解：连接BF ．∵CA=CB ，E 为AB 中点∴AE=BE ，CE ⊥AB ，∠FEB=∠FEA=90°在Rt △FEB 与Rt △FEA 中，BE AE BEF AEF FE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △FEB ≌Rt △FEA又∵AD 平分∠BAC ，在等腰直角三角形ABC 中∠CAB=45°∴∠FBE=∠FAE=12∠CAB=22.5° 在△BFD 中，∠BFD=∠FBE+∠FAE=45°又∵BD ⊥AD ，∠D=90°∴△BFD 为等腰直角三角形，BD=FD=3 ∴222232BF BD FD BD =+==【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质及判定、三角形全等的性质及判定、三角形外角、角平分线，解题关键在于熟练掌握等腰直角三角形的性质．23．(1)AC=9;(2)AB ∇AC =-72,BA ∇BC =73【分析】(1)在Rt AOC ∆中,根据勾股定理和新定义可得AO 2-OC 2=81=AC 2;(2)①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO =2,OB =23再用新定义即可得出结论; ②先构造直角三角形求出BE ,AE ,再用勾股定理求出BD ,最后用新定义即可得出结论;(3)作BD ⊥CD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形AOD 是直角三角形,根据中线性质得出OA 的长度,根据勾股定理求出OC,从而得出BC,再根据勾股定理求出CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB.(1)已知如图:AO 为BC 上的中线,在Rt AOC ∆中,AO 2-OC 2=AC 2因为81AB AC ∇=所以AO 2-OC 2=81所以AC 2=81所以AC=9.(2)①如图2,取BC 的中点D ,连接AO ,∵AB =AC ,∴AO ⊥BC ,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,∴∠ABC =30°,在Rt △AOB 中,AB =12,∠ABC =30°,∴AO =6,OB =2222126AB AO -=-=63,∴AB ∇AC =AO 2﹣BO 2=36﹣108=﹣72, ②取AC 的中点D ,连接BD ,∴AD =CD =12AC =6,过点B 作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ,在Rt △ABE 中,∠BAE =180°﹣∠BAC =60°,∴∠ABE =30°, ∵AB =12,∴AE =6,BE =222212663AB AE -=-=, ∴DE =AD +AE =12,在Rt △BED 中,根据勾股定理得,BD =()2222631267BE DE +=+=∴BA ∇BC =BD 2﹣CD 2=216;(3)作BD ⊥CD,因为24ABC S ∆=,8AC =,所以BD=26ABC S AC ∆÷=,因为64AB AC ∇=-,AO 是BC 边上的中线,所以AO 2-OC 2=-64,所以OC 2-AO 2=64,由因为AC 2=82=64,所以OC 2-AO 2= AC 2所以∠OAC=90°所以OA=24228322ABC S AC ∆⨯÷=⨯÷= 所以OC=22228373AC OA +=+=所以BC=2OC=273,在Rt △BCD 中,CD=()2222276163BC BD -=-=所以AD=CD-AC=16-8=8所以AB=22228610AD BD +=+=【点睛】考核知识点:勾股定理逆定理,含30°直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键.24．（1）12；（2）t=12.5s 时，13 cm ；（3）11s 或12s 或13.2s【分析】（1）由勾股定理即可得出结论；（2）由线段垂直平分线的性质得到PC = PA =t ，则PB =16-t ．在Rt △BPC 中，由勾股定理可求得t 的值，判断出此时，点Q 在边AC 上，根据CQ =2t -BC 计算即可；（3）用t 分别表示出BQ 和CQ ，利用等腰三角形的性质可分BQ =BC 、CQ =BC 和BQ =CQ 三种情况，分别得到关于t 的方程，可求得t 的值．【详解】（1）在Rt △ABC 中，BC 2222212016AC AB =-=-=(cm )．故答案为：12；（2）如图，点P 在边AC 的垂直平分线上时，连接PC ，∴PC = PA =t ，PB =16-t ．在Rt △BPC 中，222BC BP CP +=，即2221216)t t +-=（，解得：t =252． ∵Q 从B 到C 所需的时间为12÷2=6(s )，252＞6， ∴此时，点Q 在边AC 上，CQ =25212132⨯-=(cm )；（3）分三种情况讨论：①当CQ =BQ 时，如图1所示，则∠C =∠CBQ ．∵∠ABC =90°，∴∠CBQ +∠ABQ =90°，∠A +∠C =90°，∴∠A =∠ABQ ，∴BQ =AQ ，∴CQ =AQ =10，∴BC +CQ =22，∴t =22÷2=11(s )．②当CQ =BC 时，如图2所示，则BC +CQ =24，∴t =24÷2=12(s )．③当BC =BQ 时，如图3所示，过B 点作BE ⊥AC 于点E ，则BE 121648205AB BC AC ⋅⨯===， ∴CE 2222483612()55BC BE =-=-==7.2． ∵BC =BQ ，BE ⊥CQ ，∴CQ =2CE =14.4，∴BC +CQ =26.4，∴t =26.4÷2=13.2(s )．综上所述：当t 为11s 或12s 或13.2s 时，△BCQ 为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t 表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．25．（1）详见解析；（241；（33【分析】（1）证∠EAC=∠DAB.利用SAS 证△ACE ≌△ABD 可得；（2）连接BD ，证1302FEA AED ∠=∠=，证△ACE ≌△ABD 可得30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5，利用勾股定理求解；（3）作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=，利用勾股定理得AE 2AB =，3AB ，根据（1）思路得3AB .【详解】(1) 证明：∵∠DAE=∠BAC ，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ，即∠EAC=∠DAB.在△ACE 与△ABD 中，AD AE EAC BAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACE ≌△ABD(SAS)，∴BD CE =；(2)连接BD因为AD AE =， 60DAE BAC ∠=∠=，所以ADE ∆是等边三角形因为60DAE DEA EDA ∠=∠=∠=,ED=AD=AE=4因为CE AD ⊥ 所以1302FEA AED ∠=∠= 同(1)可知△ACE ≌△ABD(SAS)，所以30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5所以90BDE BDA ADE ∠=∠+∠=所以BE=22225441BD DE +=+=(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=所以222AB AC AC +因为AB AC =所以AE 2=又因为45CAB ∠=所以90ABE ∠= 所以()222223BE AE AB AB AB AB =+=+= 因为45CBD CDB ∠=∠=所以BC=CD, 90BCD ∠=因为同(1)可得△ACD ≌△ECB(SAS)所以3AB所以33AD AB AB==【点睛】考核知识点:等边三角形;勾股定理.构造全等三角形和直角三角形是关键.26．（1）3；（2）见解析．【分析】（1）根据勾股定理可得AC ，进而可得BC 与BD ，然后根据三角形的面积公式计算即可；（2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG =∠EBH ，由已知易得BE ∥AC ，于是∠E =∠EFC ，由于CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，则根据余角的性质得∠EFC =∠BCG ，于是可得∠E =∠BCG ，然后根据ASA 可证△BCG ≌△BEH ，可得BG =BH ，CG =EH ，从而△BGH 是等腰直角三角形，进一步即可证得结论．【详解】解：（1）在△ACD 中，∵90ACB ∠=︒，1CD =，5AD =，∴222AC AD CD =-=，∵2BC AC =，∴BC=4，BD =3，∴1132322ABD S BD AC ∆=⋅=⨯⨯=；（2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则∠CBG +∠CBH =90°，∵BE BC ⊥，∴∠EBH +∠CBH =90°，∴∠CBG =∠EBH ，∵BE BC ⊥，90ACB ∠=︒，∴BE ∥AC ，∴∠E =∠EFC ，∵CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，∴∠EFC +∠FCG =90°，∠BCG +∠FCG =90°，∴∠EFC =∠BCG ，∴∠E =∠BCG ，在△BCG 和△BEH 中，∵∠CBG =∠EBH ，BC=BE ，∠BCG =∠E ，∴△BCG ≌△BEH （ASA ）， ∴BG =BH ，CG =EH ，∴222GH BG BH BG =+=，∴2EG GH EH BG CG =+=+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．27．（1）①详见解析；（2）222222CD n n =+-（1n >）；（2）2AD BD CD -=，理由详见解析.【分析】（1）①根据勾股定理的逆定理进行判断；②过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，利用同角的余角相等证明∠3=∠4，∠1=∠E ，进而证明△ACD ≌△BCE ，求出DE 的长，再利用勾股定理求解即可.（2）过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，先证∠ACD=∠BCF ，再证△ACD ≌△BCF ，得CD=CF ，AD=BF ，再利用勾股定理求解即可.【详解】（1）①∵()()()22222222212214AD BD n n n n n +=-+=-++()()22222211n n n =++=+ 又∵()2221AB n =+∴222AD BD AB +=∴△ABD 是直角三角形②如图①，过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，∵∠3+∠BCD=∠ACD=90°，∠4+∠BCD=∠DCE=90°∴∠3=∠4由①知△ABD 是直角三角形∴1290∠+∠=︒又∵290E ∠+∠=︒∴∠1=∠E在ACD ∆和BCE ∆中，A 34E AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCE∴CD CE =，AD BE =∴221DE BD BE BD AD n n =+=+=+- 又∵CD CE =，90DCE ∠=︒ ∴由勾股定理得222DE CD DE CD=+=∴22CD =2222n n =+-（1n >）（2）AD 、BD 、CD 的数量关系为：2AD BD CD -=，理由如下：如图②，过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，∵∠ACD=90°+∠5，∠BCF=90°+∠5∴∠ACD=∠BCF∵BD ⊥AD∴∠ADB=90°∴∠6+∠7=90°∵∠ACB=90°∴∠9=∠8=90°又∵∠6=∠8∴∠7=∠9ACD ∆和BCF ∆中97AC BCACD BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACD ≌△BCF∴CD=CF ，AD=BF又∵∠DCF=90°∴由勾股定理得222DF CD CF CD =+=又DF=BF-BD=AD-BD∴2AD BD CD -=【点睛】本题考查的是三角形全等、勾股定理及其逆定理，掌握三角形全等的判定方法及勾股定理及其逆定理是关键.28．（1）见解析；（2）27BC =.【分析】（1）由等边三角形的判定定理可得△ABD 为等边三角形，又由平行进行角度间的转化可得出结论.（2）连接AC 交BD 于点O ，由题意可证AC 垂直平分BD ，△ABD 是等边三角形，可得∠BAO=∠DAO=30°，AB=AD=BD=8，BO=OD=4，通过证明△EDF 是等边三角形，可得DE=EF=DF=2，由勾股定理可求OC ，BC 的长．【详解】（1）证明：∵AB AD =，=60A ∠︒，∴△ABD 是等边三角形.∴60ADB ∠=︒.∵CE ∥AB ，∴60CED A ∠=∠=︒.∴CED ADB ∠=∠.（2）解：连接AC 交BD 于点O ，∵AB AD =，BC DC =，∴AC 垂直平分BD .∴30BAO DAO ∠=∠=︒.∵△ABD 是等边三角形，8AB =∴8AD BD AB ===，∴4BO OD ==.∵CE ∥AB ，∴ACE BAO ∠=∠.∴6AE CE ==, 2DE AD AE =-=.∵60CED ADB ∠=∠=︒.∴60EFD ∠=︒.∴△EDF 是等边三角形.∴2EF DF DE ===,∴4CF CE EF =-=,2OF OD DF =-=.在Rt △COF 中，∴OC ==.在Rt △BOC 中，∴BC === 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．29．(1)①见解析；②()22012x y x x-=<<-；（2）见解析【解析】【分析】（1）①连接DE ，如图1，先用SAS 证明△CBE ≌△CDE ，得EB=ED ，∠CBE =∠1，再用四边形的内角和可证明∠EBC =∠2，从而可得∠1=∠2，进一步即可证得结论；②将△BAE 绕点B 顺时针旋转90°，点E 落在点P 处，如图2，用SAS 可证△PBG ≌△EBG ，所以PG=EG =2－x －y ，在直角三角形PCG 中，根据勾股定理整理即得y 与x 的函数关系式，再根据题意写出x 的取值范围即可.（2）由（1）题已得EB=ED ，根据正方形的对称性只需再确定点E 关于点O 的对称点即可，考虑到只有直尺，可延长BE 交AD 于点M ，再连接MO 并延长交BC 于点N ，再连接DN 交AC 于点Q ，问题即得解决.【详解】（1）①证明：如图1，连接DE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴CB=CD ，∠BCE =∠DCE =45°，又∵CE=CE ，∴△CBE ≌△CDE （SAS ），∴EB=ED ，∠CBE =∠1，∵∠BEC =90°，∠BCF =90°，∴∠EBC +∠EFC =180°，∵∠EFC +∠2=180°，∴∠EBC =∠2，∴∠1=∠2.∴ED=EF ，∴BE=EF .②解：∵正方形ABCD的边长为2，∴对角线AC =2.将△BAE 绕点B 顺时针旋转90°，点A 与点C 重合，点E 落在点P 处，如图2，则△BAE ≌△BCP ，∴BE =BP ，AE=CP=x ，∠BAE =∠BCP =45°，∠EBP =90°，由①可得，∠EBF =45°，∴∠PBG =45°=∠EBG ，在△PBG 与△EBG 中，PB EB PBG EBG BG BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBG ≌△EBG （SAS ）.∴PG=EG =2－x －y ，∵∠PCG =∠GCB +∠BCP =45°+45°=90°，∴在Rt △PCG 中，由222PC CG PG +=，得()2222x y x y +=--，化简，得()22012x y x x-=<<-. （2）如图3，作法如下：①延长BE 交AD 于点M ，②连接MO 并延长交BC 于点N ，③连接DN 交AC 于点Q ，④连接DE 、BQ ，则四边形BEDQ 为菱形.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和、勾股定理和菱形的作图等知识，其中通过三角形的旋转构造全等三角形是解决②小题的关键，利用正方形的对称性确定点Q 的位置是解决（2）题的关键.30．（1）详见解析；（2）ⅰ）四边形AGBE 是平行四边形，证明详见解析；ⅱ）222133k k k k ++++. 【解析】【分析】（1）只要证明△BAE ≌△ACD ；（2）ⅰ）四边形AGBE 是平行四边形，只要证明BG=AE ，BG ∥AE 即可；ⅱ）求出四边形BGAE 的周长，△ABC 的周长即可；【详解】（1）证明：如图1中，∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAE ＝∠C ＝60°，∵AE ＝CD ，∴△BAE ≌△ACD ，∴∠ABE ＝∠CAD ．（2）ⅰ）如图2中，结论：四边形AGBE 是平行四边形．理由：∵△ADG，△ABC都是等边三角形，∴AG＝AD，AB＝AC，∴∠GAD＝∠BAC＝60°，∴△GAB≌△DAC，∴BG＝CD，∠ABG＝∠C，∵CD＝AE，∠C＝∠BAE，∴BG＝AE，∠ABG＝∠BAE，∴BG∥AE，∴四边形AGBE是平行四边形，ⅱ）如图2中，作AH⊥BC于H．∵BH＝CH＝1 (1) 2k+∴1113 1(1),3(1) 2222DH k k AH BH k =-+=-==+∴222AH DH k k1AD=+=++∴四边形BGAE的周长＝22k k1k+++,△ABC的周长＝3（k+1），∴四边形AGBE与△ABC2221 k k k+++【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。

初中数学初二上第02次数学培优讲义(勾股定理)

初二上第02次数学培优讲义1.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为10cm，正方形A、B、C的边长分别为6cm、5cm、5cm，则正方形D 的边长为。

2．直角△ABC三边长分别是x, x+1和5，则△ABC的周长是，△ABC的面积是。

3．如图，已知Rt△ABC的两直角边AC=5, BC=12, D是BC上一点，当AD是∠A 的平分线时，则CD= 。

B4．如图所示的方格纸中，点A、B、C都在方格纸线的交点，则∠ACB=( .A.120°B.135°C.150°D.165°5．如图，在△ABC中，AB=5, AC=13, 边BC上的中线AD=6，则BC的长为。

C6．一个直角三角形的三边长均是正整数，已知它的一条直角边的长恰是1997，那么另一条直角边是。

7．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。

若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是。

8．若a、b、c是直角三角形的三边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：（1）以的长为边的三条线段能组成一个三角形；（2）以的长为边的三条线段能组成一个三角形；（3）以的长为边的三条线段能组成直角三角形；（4）以的长为边的三条线段能组成直角三角形。

其中所有正确结论的序号为。

9．如图，等腰直角三角形ABC直角边长为1，以它的斜边上的高AD为腰做第一个等腰直角三角形ADE；再以所做的第一个等腰直角三角形ADE的斜边上的高AF为腰做第二个等腰直角三角形AFG；…以此类推，这样所做的第n个等腰直角三角形的腰长为。

10．如图，在由单位正方形组成的网格图中标出了AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A、CD,EF,GHB、AB，EF，GHC、AB，CD，GHD、AB，CD，EF11．如图，∠ACB=90°,AD是∠CAB的平分线，BC=4，CD=,求AC的长。

八年级初二数学提高题专题复习勾股定理练习题含答案

一、选择题1．如图，在Rt ABC 中，90BAC ︒∠=，以Rt ABC 的三边为边分别向外作等边三角形'A BC ，'AB C △，'ABC △，若'A BC ，'AB C △的面积分别是10和4，则'ABC △的面积是( )A ．4B ．6C ．8D ．9 2．直角三角形的面积为 S ，斜边上的中线为 d ，则这个三角形周长为（） A ．22d S d ++ B ．2d S d --C ．22d S d ++D ．()22d S d ++ 3．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6cm ，8cm ，则这个菱形的周长为（）A ．5cmB ．10cmC ．14cmD ．20cm4．已知：如图在△ABC ，△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ，以下四个结论：①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE 2=2（AD 2+AB 2），其中结论正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．45．一艘渔船从港口A 沿北偏东60°方向航行至C 处时突然发生故障，在C 处等待救援．有一救援艇位于港口A 正东方向2031）海里的B 处，接到求救信号后，立即沿北偏东45°方向以30海里/小时的速度前往C 处救援．则救援艇到达C 处所用的时间为（）A ．3小时B ．23小时C ．223 小时D ．232+小时 6．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若2)21a b +=（，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A ．3B ．4C ．5D ．67．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A ．200mB ．300mC ．400mD ．500m8．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，使AB=3(如图)．以O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P ，则点P 所表示的数介于( )A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间9．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，下列结论中不正确的是（）A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC 是直角三角形B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC 是直角三角形C．如果 a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形D．如果 a2＝b2﹣c2，那么△ABC 是直角三角形且∠A＝90°10．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则BC的长是（）A．32B．2 C．22D．10二、填空题11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm、3 dm和1 dm，A和B 是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是 dm．12．等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边的长为________ 13．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°,以AC为斜边向外作等腰直角三角形COA，已知BC=8,OB=102,则另一直角边AB的长为__________.14．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC 的垂直平分线交 BC 于 F，交 AC 于 E，交 BA 的延长线于 G，若 EG＝3，则 BF 的长是______．15．如图，在等边△ABC 中，AB ＝6，AN ＝2，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，则BM +MN 的最小值是_____．16．如图，△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，AD 是BAC ∠的角平分线，E 是AD 上的动点，F 是AB 边上的动点，则BE+EF 的最小值为_____．17．一块直角三角形绿地，两直角边长分别为3m ，4m ，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长长为3m 的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为____m 2．18．如图，Rt△ABC 中，∠BCA ＝90°，AB ＝5，AC ＝2，D 为斜边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，连接EF ，则EF 的最小值是_____．19．如图所示，四边形ABCD 是长方形，把△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ，若AD ＝4，DC ＝3，求BE 的长．20．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在ABC 内，AD 平分BAC ∠，连结CD ，把ADC 沿CD 折叠，AC 落在CE 处，交AB 于F ，恰有CE AB ⊥.若10BC =，7AD =，则EF =__________.三、解答题21．定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边形ABCD 中，∠ABC =70°，∠BAC =40°，∠ACD =∠ADC =80°，求证：四边形ABCD 是邻和四边形．（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A 、B 、C 三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点．．．．．．．D ．，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为邻和四边形．（3）如图3，△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =23，若存在一点D ，使四边形ABCD 是邻和四边形，求邻和四边形ABCD 的面积．22．如图，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，8AB cm =，6BC cm =，P 、Q 是ABC ∆边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C →方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）当2t =秒时，求PQ 的长；（2）求出发时间为几秒时，PQB ∆是等腰三角形？（3）若Q 沿B C A →→方向运动，则当点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．23．如图，△ABC 中AC =BC ，点D ，E 在AB 边上，连接CD ，CE ．(1)如图1，如果∠ACB =90°，把线段CD 逆时针旋转90°，得到线段CF ，连接BF ， ①求证：△ACD ≌△BCF ；②若∠DCE =45°，求证：DE 2=AD 2+BE 2；(2)如图2，如果∠ACB =60°，∠DCE =30°，用等式表示AD ，DE ，BE 三条线段的数量关系，说明理由．24．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可.请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.25．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合．(1)若∠A ＝35°，则∠CBD 的度数为________；(2)若AC ＝8，BC ＝6，求AD 的长；(3)当AB ＝m(m>0)，△ABC 的面积为m ＋1时，求△BCD 的周长．(用含m 的代数式表示)26．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 经过点C （a ，a ），且交x 轴于点A （m ，0），交y 轴于点B （0，n ），且m ，n 满足6m -＋（n ﹣12）2＝0．（1）求直线AB 的解析式及C 点坐标；（2）过点C 作CD ⊥AB 交x 轴于点D ，请在图1中画出图形，并求D 点的坐标；（3）如图2，点E （0，﹣2），点P 为射线AB 上一点，且∠CEP ＝45°，求点P 的坐标．27．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ∆，ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ∆内部，点E 在ABC ∆的外部，32=AD ，30DOE ∠=︒，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .（1）求点A 的坐标；（2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由；（3）直接写出ADG ∆的周长.28．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内有两点()111, P x y 、()222, P x y ，其两点间的距离()()22121212PP x x y y =-+-直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为12x x -或1|y -2|y .（1）已知()2, 4A 、()3, 8B --，试求A 、B 两点间的距离______.已知M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1，试求M 、N 两点的距离为______；（2）已知一个三角形各顶点坐标为()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F ，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x 轴上找一点P ，使PD PF +的长度最短，求出点P 的坐标及PD PF +的最短长度．29．已知，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ．求证：四边形AFCE 为菱形．（2）如图1，求AF 的长．（3）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，点P 的速度为每秒1cm ，设运动时间为t 秒．①问在运动的过程中，以A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t 和点Q 的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q 的速度为每秒0.8cm ，当A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．30．已知ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上一动点，连结AD()1如图1，若2BD =，4DC =，求AD 的长；()2如图2，以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=，分别交AB ，AC 于点E ，F ． ①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有AE AF =，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法想法1：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．想法2：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造ADF 的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．请你参考上面的想法，帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关系.若用S 表示四边形AEDF 的面积，x 表示AD 的长，请你直接写出S 与x 之间的关系式．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】设AB=c ，AC=b ，BC=a ，用a 、b 、c 分别表示'A BC ，'AB C △，'ABC △的面积，再利用Rt ABC 得b 2+c 2=a 2，求得c 值代入即可求得的面积'ABC △的面积.【详解】设AB=c ，AC=b ，BC=a ，由题意得'A BC 的面积=13102a a ⋅=， 'AB C △的面积=1342b ⋅= ∴24033a = 21633b =在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，b 2+c 2=a 2， ∴c 2=a 2-b 24016338333=∴'ABC △的面积=21224c c c ⋅⋅==64= 故此题选B【点睛】此题考察勾股定理的运用，用直角三角形的三边分别表示三个等边三角形的面积，运用勾股定理的等式求得第三个三角形的面积2．D解析：D【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出斜边长，根据勾股定理、完全平方公式计算即可。

(word版)初二数学勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析)

初二数学勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析)一．选择题〔共8小题〕1．直角三角形两直角边长度为 5，12，那么斜边上的高〔〕A．6 B．8 C． D．2．以下说法中正确的选项是〔〕A．a，b，c是三角形的三边，那么a2+b2=c2B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c23．如图，是台阶的示意图．每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，那么AB等于〔〕A．195cm B．200cm C．205cm D．210cm4．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水而1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面那么这根芦苇的长度是〔〕A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺5．如下列图，在数轴上点A所表示的数为a，那么a的值为〔〕第1页〔共61页〕A．﹣1﹣B．1﹣C．﹣D．﹣1+6．一架米长的梯子底部距离墙脚米，假设梯子的顶端下滑米，那么梯子的底部在水平方向滑动了〔〕A．米B．米C．米D．米7．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，那么MN的长为〔〕A．2B．C．3D．48．如图，是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么〔a+b〕2的值为〔〕A．13 B．19 C．25 D．169二．填空题〔共5小题〕9．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图第2页〔共61页〕所示，筷子露在杯子外面的度hcm，h的取范是．10．如，一暴雨后，垂直于地面的一棵在距地面1米的点C折断，尖B恰好碰到地面，量AB=2米，高米．11．Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14cm，c=10cm，Rt△ABC的面等于．12．察以下勾股数第一：3=2×1+1，4=2×1×〔1+1〕，5=2×1×〔1+1〕+1第二：5=2×2+1，12=2×2×〔2+1〕，13=2×2×〔2+1〕+1第三：7=2×3+1，24=2×3×〔3+1〕，25=2×3×〔3+1〕+1第四：9=2×4+1，40=2×4×〔4+1〕，41=2×4×〔4+1〕+1⋯察以上各勾股数成特点，第7勾股数是〔只填数，不填等式〕13．察以下一数：列：3、4、5，猜想：32=4+5；列：5、12、13，猜想：52=12+13；列：7、24、25，猜想：72=24+25；⋯列：13、b、c，猜想：132=b+c；你分析上述数据的律，合相关知求得b= ，c= ．三．解答〔共27小〕14．a，b，c三角形ABC的三，且足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，判个三角形的形状．15．如：四形ABCD中，AB=CB= ，CD= ，DA=1，且AB⊥CB于B．第3页〔共61页〕（试求：〔1〕∠BAD的度数；〔2〕四边形ABCD的面积．16．如图，小华准备在边长为1的正方形网格中，作一个三边长分别为4，5，的三角形，请你帮助小华作出来．17．如下列图，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了100 km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离．18．如图，在气象站台A的正西方向320km的B处有一台风中心，该台风中心以每小时20km的速度沿北偏东60°的BD方向移动，在距离台风中心200km内的地方都要受到其影响．1〕台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是多少？2〕台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间会持续多长？第4页〔共61页〕19．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q分别为AB、BC边上的动点，点P从点A 开始沿A?B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发；设出发的时间为t秒．1〕出发2秒后，求PQ的长；2〕从出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？3〕在运动过程中，直线PQ能否把原三角形周长分成相等的两局部？假设能够，请求出运动时间；假设不能够，请说明理由．（20．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格〔每个小正方形的边长为1〕，再在网格中画出格点△ABC〔即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处〕，如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．〔1〕△ABC的面积为：．〔2〕假设△DEF三边的长分别为、、，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积为．3〕如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．第5页〔共61页〕〔4〕如图4，一个六边形的花坛被分割成7个局部，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13m2、25m2、36m2，那么六边形花坛ABCDEF的面积是m2．21．〔1〕在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．如图1，某同学在解答这道题时，先建立一个每个小正方形的边长都是1的网格，再在网格中画出边长符合要求的格点三角形ABC〔即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处〕，这样不需要求△ABC的高，而借用网格就能就算出它的面积．请你将△ABC的面积直接填写在横线上．思维拓展：〔2〕△ABC三边的长分别为a〔a＞0〕，求这个三角形的面积．我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．如图2，网格中每个小正方形的边长都是a，请在网格中画出相应的△ABC，并求出它的面积．类比创新：〔3〕假设△ABC三边的长分别为〔m＞0，n＞0，且m≠n〕，求出这个三角形的面积．如图3，网格中每个小长方形长、宽都是m，n，请在网格中画出相应的△ABC，用网格计算这个三角形的面积．第6页〔共61页〕22．有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？（23．〔拓展创新〕在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用完全相同的四个直角三角形采用拼图的方式验证了勾股定理的正确性．问题1：以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形，探究S′+S″与S的关系〔如图1〕．问题2：以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形，探究S′+S″与S的关系〔如图2〕．问题3：以直角三角形的三边为直径向形外作半圆，探究S′+S″与S的关系〔如图3〕．24．如图，在平面坐标系中，点A、点B分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=OB，另有两点C〔a，b〕和D〔b，﹣a〕〔a、b均大于0〕；1〕连接OD、CD，求证：∠ODC=45°；2〕连接CO、CB、CA，假设CB=1，C0=2，CA=3，求∠OCB的度数；第7页〔共61页〕3〕假设a=b，在线段OA上有一点E，且AE=3，CE=5，AC=7，求△OCA的面积．25．11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼〞的问题“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高是30肘尺〔肘尺是古代的长度单位〕，另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是 50肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．突然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标．问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树根有多远？26．〔1〕先化简，再求值：x〔x﹣2〕﹣〔x+1〕〔x﹣1〕，其中x=10．〔2〕，求代数式〔x+1〕2﹣4〔x+1〕+4的值．〔3〕如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，请在给定的网格中按要求画图：①从点A出发在图中画一条线段AB，使得AB= ；②画出一个以〔1〕中的AB为斜边的等腰直角三角形，使三角形的三个顶点都在格点上，并根据所画图形求出等腰直角三角形的腰长．27．[问题情境]勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数学关系〞〔勾股定理〕带到其它星球，作为地球人与其他星球“人〞进行第一次“谈话〞的语言；[定理表述]请你根据图1中的直角三角形表达勾股定理；第8页〔共61页〕[尝试证明]以图1中的直角三角形为根底，将两个直角边长为a，b，斜边长为c的三角形按如下列图的方式放置，连接两个之间三角形的另外一对锐角的顶点〔如图2〕，请你利用图2，验证勾股定理；[知识扩展]利用图2中的直角梯形，我们可以证明＜，其证明步骤如下：BC=a+b，AD=又∵在直角梯形ABCD中，有BCAD〔填大小关系〕，即∴．28．观察、思考与验证〔1〕如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；2〕如图2所示，∠B=∠D=90°，且B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE=90°；3〕伽菲尔德〔1881年任美国第20届总统〕利用〔1〕中的公式和图2证明了勾股定理〔发表在1876年4月1日的?新英格兰教育日志?上〕，请你写出验证过程．29．超速行驶容易引发交通事故．如图，某观测点设在到公路l的距离为100米的点P处，一辆汽车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO=60°，∠BPO=45°，是判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？〔参考数据：，〕第9页〔共61页〕30．中日争端持，我海船加大海域的巡航力度．如，OA⊥OB，OA=45海里，OB=15海里，位于O点，我国海船在点B有一不明国籍的船，自A点出沿着AO方向匀速向所在地点O，我国海船立即从B出以相同的速度沿某直去截艘船，果在点C截住了船．1〕用直尺和作出C的位置；2〕求我国海船行的航程BC的．31．在一次“构造勾股数〞的探究性学中，老出了下表：m2334⋯n1123a22+1232+1232+2242+32⋯b461224⋯c2212321232224232⋯其中m、n正整数，且m＞n．1〕察表格，当m=2，n=1，此的a、b、c的能否直角三角形三的？明你的理由．〔2〕探究a，b，c与m、n之的关系并用含m、n的代数式表示：a= ，b= ，c= ．3〕以a，b，c的三角形是否一定直角三角形？如果是，明理由；如果不是，出反例．32．如1，在4×8的网格中，每个小正方形的都1，点P、Q分从点D、A同出向右移，点 P的运速度每秒1个位，点Q的运速度每秒个位，当点P运到点C，两个点都停止运，运第10页〔共61页〕〔0＜t＜8〕．1〕在4×8的网格2中画出t6秒的段PQ．并求其度；2〕当t多少．△PQB是以BP底的等腰三角形．33．下面的情景，然后解答：〔1〕理解：①根据“奇异三角形〞的定，你判断：“等三角形一定是奇异三角形〞？〔填是或不是〕②假设某三角形的三分1、、2，三角形〔是或不是〕奇异三角形．〔2〕探究：假设Rt△ABC是奇异三角形，且其两分2、2 ，第三的，且个直角三角形的三之比〔从小到大排列，不得含有分母〕．〔3〕：提出一个和奇异三角形有关的．〔不用解答〕34．察以下各式，你有什么？32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41，⋯用你的解决以下：第11页〔共61页〕〔1〕填空：112=+；〔2〕请用含字母n〔n为正整数〕的关系式表示出你发现的规律：；〔3〕结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性．35．小明爸爸给小明出了一道题：如图，修公路AB遇到一座山，于是要修一条隧道BC．A，B，C在同一条直线上，为了在小山的两侧B，C同时施工．过点B作一直线m〔在山的旁边经过〕，过点C作一直线l与m相交于D点，经测量∠ABD=130°，∠D=40°，BD=1000米，CD=800米．假设施工队每天挖100米，求施工队几天能挖完？36．如图，把一块等腰直角三角形零件〔△ABC，其中∠ACB=90°〕，放置在一凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，∠ADE=∠BED=90°，测得AD=5cm，BE=7cm，求该三角形零件的面积．37．如图，四边形ABCD的三边〔AB、BC、CD〕和BD的长度都为5厘米，动点P 从A出发〔A→B→D〕到D，速度为2厘米/秒，动点Q从点D出发〔D→C→B→A〕到A，速度为厘米/秒．5秒后P、Q相距3厘米，试确定5秒时△APQ的形状．第12页〔共61页〕38．一艘船以20海里/的速度由西向航行，在途中接到台警，台中心正以40海里/的速度由南向北移，距台中心20海里的形区域〔包括界〕都属于台区域，当船到A得台中心移到位于点A正南方的B，且AB=100海里．假设艘船自A按原速度航行，在途中是否会遇到台？假设会，求出船最初遇到台的；假设不会，明理由．39．明朝数学家程大位在他的著作?算法宗?中写了一首算秋千索度的?西江月?：“平地秋千未起，踏板一尺离地°送行二步恰竿，五尺板高离地⋯〞翻成代文：如，秋千OA静止的候，踏板离地高一尺〔AC=1尺〕，将它往前推两步〔EB=10尺〕，此踏板升高离地五尺〔BD=5尺〕，求秋千索〔OA或OB〕的度．40．如，∠AOB=90°，OA=45cm，OB=15cm，一机器人在点B看一个小球第13页〔共61页〕从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？1．直角三角形两边的长为 3和4，那么此三角形的周长为〔〕A．12 B．7+ C．12或7+ D．以上都不对2．图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为〔〕A． B． C ．D．3．如图，数轴上的点 A所表示的数为x，那么x的值为〔〕A． B．﹣C．2 D．﹣24．如图，带阴影的正方形面积是．5．如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，点D是BC上一点，AD=BD，假设AB=8，BD=5，那么CD=．第14页〔共61页〕6．正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，1〕在图①中，画一个面积为10的正方形；2〕在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．第15页〔共61页〕第16页〔共61页〕初二数学勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析)参考答案与试题解析一．选择题〔共8小题〕1．〔2021秋?吴江区期中〕直角三角形两直角边长度为5，12，那么斜边上的高〔〕A．6 B．8 C． D．【分析】首先根据勾股定理，得：斜边= =13．再根据直角三角形的面积公式，求出斜边上的高．【解答】解：由题意得，斜边为=13．所以斜边上的高=12×5÷13=．应选D．【点评】运用了勾股定理．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．2．〔2021春?抚顺县期中〕以下说法中正确的选项是〔〕A．a，b，c是三角形的三边，那么a2+b2=c2B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c2【分析】在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角，根据此就可以直接判断A、B、C、D选项．【解答】解：在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角．A、不确定c是斜边，故本命题错误，即A选项错误；B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B选项错误；C、∠C=90°，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C选项正确；D、∠B=90°，所以斜边为b，所以a2+c2=b2，故本命题错误，即D选项错误；第17页〔共61页〕应选C．【点评】此题考查了勾股定理的正确运用，只有斜边的平方才等于其他两边的平方和．3．〔2021春?临沭县期中〕如图，是台阶的示意图．每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，那么AB等于〔〕A．195cm B．200cm C．205cm D．210cm【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边AB的长．【解答】解：如图，由题意得：AC=15×5=75cm，BC=30×6=180cm，故AB= = =195cm．应选A．【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．4．〔2021春?青山区期中〕如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水而1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面那么这根芦苇的长度是〔〕第18页〔共61页〕〕2=〔x+1〕2，A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．【解答】解：设水深为x尺，那么芦苇长为〔x+1〕尺，根据勾股定理得：x2+〔解得：x=12，芦苇的长度=x+1=12+1=13〔尺〕，应选D．【点评】此题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．5．〔2021春?南陵县期中〕如下列图，在数轴上点A所表示的数为a，那么a的值为〔〕A．﹣1﹣B．1﹣C．﹣D．﹣1+【分析】点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上，所以在直角△BOC中，根据勾股定理求得圆O的半径OA=OB= ，然后由实数与数轴的关系可以求得a的值．【解答】解：如图，点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上．∵在直角△BOC中，OC=2，BC=1，那么根据勾股定理知OB= = = ，∴OA=OB=，a=﹣1﹣．第19页〔共61页〕应选A．【点评】此题考查了勾股定理、实数与数轴．找出OA=OB是解题的关键．6．〔2021春?蓟县期中〕一架米长的梯子底部距离墙脚米，假设梯子的顶端下滑米，那么梯子的底部在水平方向滑动了〔〕A．米B．米C．米D．米【分析】先根据梯子的顶端下滑了米求出A′C的长，再根据勾股定理求出B′C 的长，进而可得出结论．【解答】解：〔1〕∵在Rt△ABC中，，，∴AC== 〔m〕．∵梯子的顶端下滑了米，A′C=2m，∵在Rt△A′B′C中，A′B′=2.，5mA′C=2m，∴B′C=，BB′=B′C﹣﹣．应选C．第20页〔共61页〕【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．7．〔2021春?罗田县期中〕在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，那么MN的长为〔〕A．2B．C．3D．4【分析】根据勾股定理求出AB的长即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB== 13，又∵AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，AM=12，BN=5，MN=AM+BN﹣AB=12+5﹣13=4．应选D．【点评】此题综合考查了勾股定理的应用，找到关系MN=AM+BN﹣AB是关键．8．〔2021春?重庆校级期中〕如图，是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2〕1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么〔a+b〕的值为〔A．13 B．19 C．25 D．169【分析】根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和，从而不难求得〔a+b〕第21页〔共61页〕的值．【解答】解：〔a+b〕2=a2+b2+2ab=大正方形的面积+四个直角三角形的面积和=13+〔13﹣1〕=25．应选C．【点评】考查了勾股定理的证明，注意完全平方公式的展开：〔a+b〕2=a2+b2+2ab，还要注意图形的面积和a，b之间的关系．二．填空题〔共5小题〕9．〔2021春?固始县期中〕将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如下列图，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，那么h的取值范围是7cm≤h≤16cm．【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，h=24﹣8=16cm；当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD=15，BD=8，∴AB==17，∴此时h=24﹣17=7cm，所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm．第22页〔共61页〕故答案为：7cm≤h≤16cm．【点评】此题考查了勾股定理的应用，求出h的值最大值与最小值是解题关键．10．〔2021春?汕头校级期中〕如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米的点C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，那么树高为〔1+ 〕米．【分析】根据题意利用勾股定理得出B C的长，进而得出答案．【解答】解：由题意得：在直角△ABC中，2+AB22，AC =BC那么12+222，=BC∴BC=，∴那么树高为：〔1+ 〕m．故答案为：〔1+ 〕．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理得出BC的长是解题关键．11．〔2021春?高安市期中〕Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14cm，c=10cm，那么Rt△ABC的面积等于24cm2．【分析】利用勾股定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b与c的值代入求出ab的值，即可确定出直角三角形的面积．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14cm，c=10cm，∴由勾股定理得：a2+b2=c2，即〔a+b〕2﹣2ab=c2=100，第23页〔共61页〕1962ab=100，即ab=48，Rt△ABC的面ab=24〔cm2〕．故答案：24cm2．【点】此考了勾股定理，熟掌握勾股定理是解本的关．12．〔2021春?嘉祥期中〕察以下勾股数第一：3=2×1+1，4=2×1×〔1+1〕，5=2×1×〔1+1〕+1第二：5=2×2+1，12=2×2×〔2+1〕，13=2×2×〔2+1〕+1第三：7=2×3+1，24=2×3×〔3+1〕，25=2×3×〔3+1〕+1第四：9=2×4+1，40=2×4×〔4+1〕，41=2×4×〔4+1〕+1⋯察以上各勾股数成特点，第7勾股数是15，112，113 〔只填数，不填等式〕【分析】通察，得出律：勾股数分2n+1，2n〔n+1〕，2n〔n+1〕+1，由此可写出第7勾股数．【解答】解：∵第1：3=2×1+1，4=2×1×〔1+1〕，5=2×1×〔1+1〕+1，第2：5=2×2+1，12=2×2×〔2+1〕，13=2×2×〔2+1〕+1，第3：7=2×3+1，24=2×3×〔3+1〕，25=2×3×〔3+1〕+1，第4：9=2×4+1，40=2×4×〔4+1〕41=2×4×〔4+1〕+1，∴第7勾股数是2×7+1=15，2×7×〔7+1〕=112，2×7×〔7+1〕+1=113，即15，112，113．故答案：15，112，113．【点】此考的知点是勾股数，属于律性目，关是通察找出律求解．13．〔2021春?武昌区期中〕察以下一数：列：3、4、5，猜想：32=4+5；列：5、12、13，猜想：52=12+13；列：7、24、25，猜想：72=24+25；⋯第24页〔共61页〕列：13、b、c，猜想：132=b+c；你分析上述数据的律，合相关知求得b= 84 ，c= 85 ．【分析】真察三个数之的关系：首先每一的三个数勾股数，第一个数从3开始的奇数，第二、三个数的自然数；一步第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第n数〔2n+1〕，〔〕，〔〕，由此律解决．【解答】解：在32=4+5中，4= ，5= ；在52=12+13中，12= ，13= ；⋯在13、b、c中，b= =84，c= =85．【点】真察各式的特点，律是解的关．三．解答〔共27小〕14．〔2021春?黄期中〕a，b，c三角形ABC的三，且足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，判个三角形的形状．【分析】的式子形，出三个非数的平方和等于0的形式，求出a、b、c，再两小的平方和是否等于最的平方即可．【解答】解：由a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，得：〔a210a+25〕+〔b224b+144〕+〔c226c+169〕=0，即：〔a5〕2+〔b12〕2+〔c13〕2=0，由非数的性可得：，解得，52+122=169=132，即a2+b2=c2，∴∠C=90°，即三角形ABC直角三角形．【点】本考勾股定理的逆定理的用、完全平方公式、非数的性．判第25页〔共61页〕断三角形是否为直角三角形，三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．15．〔2021秋?永登县期中〕如图：四边形ABCD中，AB=CB= ，CD= ，DA=1，且AB⊥CB于B．试求：〔1〕∠BAD的度数；〔2〕四边形ABCD的面积．【分析】连接AC，那么在直角△ABC中，AB，BC可以求AC，根据AC，AD，CD的长可以判定△ACD为直角三角形，1〕根据∠BAD=∠CAD+∠BAC，可以求解；2〕根据四边形ABCD的面积为△ABC和△ACD的面积之和可以解题．【解答】解：〔1〕连接AC，AB⊥CB于B，∴∠B=90°，在△ABC中，∵∠B=90°，AB2+BC2=AC2，又∵AB=CB=，AC=2，∠BAC=∠BCA=45°，CD=，DA=1，CD2=5，DA2=1，AC2=4．AC2+DA2=CD2，由勾股定理的逆定理得：∠DAC=90°，∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°；第26页〔共61页〕2〕∵∠DAC=90°，AB⊥CB于B，∴S△ABC= ，S△DAC= ，AB=CB=，DA=1，AC=2，∴S△ABC=1，S△DAC=1而S四边形ABCD=S△ABC+S△DAC，∴S四边形ABCD=2．【点评】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了根据勾股定理逆定理判定直角三角形，考查了直角三角形面积的计算，此题中求证△ACD是直角三角形是解题的关键．16．〔2021春?邹城市校级期中〕如图，小华准备在边长为1的正方形网格中，作一个三边长分别为4，5，的三角形，请你帮助小华作出来．【分析】直接利用网格结合勾股定理求出答案．【解答】解：如下列图：△ABC即为所求．第27页〔共61页〕【点评】此题主要考查了勾股定理，正确借助网格求出是解题关键．17．〔2021春?平南县期中〕如下列图，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了100km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离．【分析】根据所走的方向可判断出△ABC是直角三角形，根据勾股定理可求出解．【解答】解：∵AD∥BE∴∠ABE=∠DAB=60°∵∠CBE=30°∴∠ABC=180°﹣∠ABE﹣∠CBE=180°﹣60°﹣30°=90°，在Rt△ABC中，∴= =200，（∴A、C两点之间的距离为200km．【点评】此题考查勾股定理的应用，先确定是直角三角形后，根据各边长，用勾股定理可求出AC的长，且求出∠DAC的度数，进而可求出点C在点A的什么方向上．18．〔2021秋?新泰市期中〕如图，在气象站台A的正西方向320km的B处有一台风中心，该台风中心以每小时20km的速度沿北偏东60°的BD方向移动，在距离台风中心200km内的地方都要受到其影响．1〕台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是多少？2〕台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间会持续多长？第28页〔共61页〕第29页〔共61页〕【分析】〔1〕过A作AE⊥BD于E，线段AE的长即为台风中心与气象台A的最短距离，由含30°角的直角三角形的性质即可得出结果；2〕根据题意得出线段CD就是气象台A受到台风影响的路程，求出CD的长，即可得出结果．【解答】解：〔1〕过A作AE⊥BD于E，如图1所示：∵台风中心在BD上移动，∴AE的长即为气象台距离台风中心的最短距离，在Rt△ABE中，∠ABE=90°﹣60°=30°，∴AE=AB=160，即台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是160km．〔2〕∵台风中心以每小时20km的速度沿北偏东60°的BD方向移动，在距离台风中心200km内的地方都要受到其影响，∴线段CD就是气象台A受到台风影响的路程，连接AC，如图2所示：在Rt△ACE中，AC=200km，AE=160km，∴CE==120k m，∵AC=AD，AE⊥CD，∴CE=ED=120km，∴CD=240km．∴台风影响气象台的时间会持续240÷20=12〔小时〕．（【点评】此题考查了勾股定理在实际生活中的应用、垂径定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理，求出CD是解决问题〔2〕的关键．19．〔2021春?阳东县期中〕如图，△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q分别为AB、BC边上的动点，点P从点A开始沿A?B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发；设出发的时间为t秒．1〕出发2秒后，求PQ的长；2〕从出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？3〕在运动过程中，直线PQ能否把原三角形周长分成相等的两局部？假设能够，请求出运动时间；假设不能够，请说明理由．第30页〔共61页〕【分析】〔1〕我们求出BP、BQ的长，用勾股定理解决即可．〔2〕△PQB形成等腰三角形，即BP=BQ，我们可设时间为t，列出方程2t=8﹣1×t，解方程即得结果．〔3〕直线PQ把原三角形周长分成相等的两局部，根据勾股定理可知AC=10cm，即三角形的周长为24cm，那么有BP+BQ=12，即2t+〔8﹣1×t〕=12，解方程即可．【解答】解：〔1〕出发2秒后，AP=2，BQ=4，∴BP=8﹣2=6，PQ= =2 ；〔3分〕〔2〕设时间为t，列方程得2t=8﹣1×t，解得t= ；〔6分〕〔3〕假设直线PQ能把原三角形周长分成相等的两局部，由AB=8cm，BC=6cm，根据勾股定理可知AC=10cm，即三角形的周长为8+6+10=24cm，那么有BP+BQ=×24=12，设时间为t，列方程得：2t+〔8﹣1×t〕=12，解得t=4，当t=4时，点Q运动的路程是4×2=8＞6，所以直线PQ不能够把原三角形周长分成相等的两局部．〔10分〕【点评】此题重点考查了利用勾股定理解决问题的能力，综合性较强．20．〔2021秋?江阴市期中〕在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格〔每个小正方形的边长为1〕，再在网格中画出格点△ABC〔即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处〕，如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．第31页〔共61页〕。

八年级初二数学提高题专题复习勾股定理练习题及答案

一、选择题1．如图，等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，点F 是AB 边的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且∠DFE ＝90°，连接DE 、DF 、EF ，在此运动变化过程中，下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC 的面积是四边形CDFE 面积的2倍；③CD +CE ＝2FA ；④AD 2+BE 2＝DE 2．其中错误结论的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，在ABC 中，90A ∠=︒，6AB =，8AC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ，过点O 作⊥OD AB 于点D ，若则AD 的长为( )A ．2B ．2C ．3D ．43．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A 点绕到正上方B 点共四圈，已知易拉罐底面周长是12 cm ，高是20 cm ，那么所需彩带最短的是( )A ．13 cmB ．4cmC ．4cmD ．52 cm4．如图，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A 出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB 1→…，并且都遵循如下规则：所爬行的第n+2与第n 条棱所在的直线必须既不平行也不相交（其中n 是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（）A．0B．1C．3D．25．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)()A．3 B．5 C．4.2D．46．如图，已知AB是线段MN上的两点，MN＝12，MA＝3，MB＞3，以A为中心顺时针旋转点M，以点B为中心顺时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，当△ABC为直角三角形时AB的长是（）A．3 B．5 C．4或5 D．3或517．如图，正方体的棱长为4cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是（）A．9 B．210C．326D．128．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则BC的长是（）A．32B．2 C．22D109．如图，是一张直角三角形的纸片，两直角边6,8AC BC ==，现将ABC 折叠，使点B 点A 重合，折痕为DE ，则BD 的长为（）A ．7B ．254C ．6D ．11210．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A ＝90°，BD ＝4，CF ＝6，设正方形ADOF 的边长为x ，则210x x +=（）A ．12B ．16C ．20D ．24二、填空题11．如图所示的网格是正方形网格，则ABC ACB ∠+∠=__________°（点A ，B ，C 是网格线交点）．12．已知Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，∠ACB ＝90°，以AC 为一边在Rt △ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为_____．13．已知，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=7，D 是AB 的中点，点E 在AC 上，点F 在BC 上，DE=DF ，若BF=4，则EF=_______14．如图所示，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为123,,S S S ，已知12310S S S ++=,则2S 的值是____.15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AC 的垂直平分线交 BC 于 F ，交 AC 于 E ，交 BA 的延长线于 G ，若 EG ＝3，则 BF 的长是______．16．如图，正方体的底面边长分别为2cm 和3cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过四个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm ．17．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC 为边在△ABC 外作△BQC ≌△BPA ，连接PQ ，则以下结论中正确有_____________ (填序号)①△BPQ 是等边三角形 ②△PCQ 是直角三角形 ③∠APB=150° ④∠APC=135°18．如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个格点可得△ABC ，则AC 边上的高的长度是_____________．19．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在ABC 内，AD 平分BAC ∠，连结CD ，把ADC 沿CD 折叠，AC 落在CE 处，交AB 于F ，恰有CE AB ⊥.若10BC =，7AD =，则EF =__________.20．在Rt ABC 中，90A ∠=︒，其中一个锐角为60︒，23BC =，点P 在直线AC 上（不与A ，C 两点重合），当30ABP ∠=︒时，CP 的长为__________．三、解答题21．如图，△ABC 和EDC ∆都是等边三角形，7,3,2AD BD CD ===求:（1）AE 长；（2）∠BDC 的度数：（3）AC 的长．22．如图，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，8AB cm =，6BC cm =，P 、Q 是ABC ∆边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C →方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）当2t =秒时，求PQ 的长；（2）求出发时间为几秒时，PQB ∆是等腰三角形？（3）若Q 沿B C A →→方向运动，则当点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．23．阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC 中，AB AC >（如图），怎样证明C B ∠>∠呢？分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明ACD AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠．感悟与应用：（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，CD 平分ACB ∠，试判断AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，12DC BC ==，①求证：180B D ∠+∠=︒；②求AB 的长．24．如图，△ABC 中AC =BC ，点D ，E 在AB 边上，连接CD ，CE ．(1)如图1，如果∠ACB =90°，把线段CD 逆时针旋转90°，得到线段CF ，连接BF ， ①求证：△ACD ≌△BCF ；②若∠DCE =45°，求证：DE 2=AD 2+BE 2；(2)如图2，如果∠ACB =60°，∠DCE =30°，用等式表示AD ，DE ，BE 三条线段的数量关系，说明理由．25．如图所示，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，16AB cm =，20AC cm =，P 、Q 是ABC ∆的边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为ts ．（1）则BC =____________cm ；（2）当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上？此时CQ =_________?（3）当点Q 在边CA 上运动时，直接写出使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．26．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k . （1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？（2）已知ABC 为优三角形，AB c =，AC b =，BC a =，①如图1，若90ACB ∠=︒，b a ≥，6b =，求a 的值.②如图2，若c b a ≥≥，求优比k 的取值范围.（3）已知ABC 是优三角形，且120ABC ∠=︒，4BC =，求ABC 的面积.27．如图1，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，且BD : AD : CD ＝2 : 3 : 4，（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）已知S △ABC ＝40cm 2，如图2，动点M 从点B 出发以每秒2cm 的速度沿线段BA 向点A 运动，同时动点N 从点A 出发以每秒1cm 速度沿线段AC 向点C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M 运动的时间为t （秒），①若△DMN 的边与BC 平行，求t 的值；②若点E 是边AC 的中点，问在点M 运动的过程中，△MDE 能否成为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．图1 图2 备用图28．已知n组正整数：第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，17；第四组：24，10，26；第五组：35，12，37；第六组：48，14，50；…（1）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由；（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．29．（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC边上滑动（点D不与点B，C重合），连接EC，①则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；②求证：BD2+CD2＝2AD2；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD 的长．30．已知：四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，有一足够大的含60°角的直角三角尺的60°角的顶点与菱形ABCD的顶点A重合，两边分别射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAP＝60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，请直接判断△AEF的形状是．（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE＝CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】结论①错误，因为图中全等的三角形有3对；结论②正确，由全等三角形的性质可以判断；结论③错误，利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断；结论④正确，利用全等三角形的性质以及直角三角形的勾股定理进行判断．【详解】连接CF，交DE于点P，如下图所示结论①错误，理由如下：图中全等的三角形有3对，分别为△AFC≌△BFC，△AFD≌△CFE，△CFD≌△BFE．由等腰直角三角形的性质，可知FA=FC=FB，易得△AFC≌△BFC．∵FC⊥AB，FD⊥FE，∴∠AFD=∠CFE．∴△AFD≌△CFE（ASA）．同理可证：△CFD≌△BFE．结论②正确，理由如下：∵△AFD≌△CFE，∴S△AFD=S△CFE，∴S四边形CDFE=S△CFD+S△CFE=S△CFD+S△AFD=S△AFC=12S△ABC，即△ABC的面积等于四边形CDFE的面积的2倍．结论③错误，理由如下：∵△AFD≌△CFE，∴CE=AD，∴2FA．结论④正确，理由如下：∵△AFD≌△CFE，∴AD=CE；∵△CFD ≌△BFE ，∴BE=CD ．在Rt △CDE 中，由勾股定理得：222CD CE DE +=，∴222AD BE DE += ．故选B ．【点睛】本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形和勾股定理等重要几何知识点，综合性比较强．解决这个问题的关键在于利用全等三角形的性质．2．B解析：B【分析】过点O 作OE ⊥BC 于E ，OF ⊥AC 于F ，由角平分线的性质得到OD=OE=OF ，根据勾股定理求出BC 的长，易得四边形ADFO 为正方形，根据线段间的转化即可得出结果.【详解】解：过点O 作OE ⊥BC 于E ，OF ⊥AC 于F ，∵BO,CO 分别为∠ABC ，∠ACB 的平分线，所以OD=OE=OF ，又BO=BO,∴△BDO ≌△BEO,∴BE=BD.同理可得，CE=CF.又四边形ADOE 为矩形，∴四边形ADOE 为正方形.∴AD=AF.∵在Rt △ABC 中，AB=6，AC=8，∴BC=10.∴AD+BD=6①,AF+FC=8②，BE+CE=BD+CF=10③，①+②得，AD+BD+AF+FC=14，即2AD+10=14，∴AD=2.故选：B.【点睛】此题考查了角平分线的定义与性质，以及全等三角形的判定与性质，属于中考常考题型．3．D解析：D【分析】本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决..要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．【详解】如图，由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，设彩带最短长度为xcm，∵∵易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，∴x2=(12×4)2+202∴x2=(12×4)2+202，所以彩带最短是52cm．故选D．【点睛】本题考查了平面展开−−最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，4．D解析：D【分析】先确定黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止的点，再根据停止点确定它们之间的距离．【详解】根据题意可知黑甲壳虫爬行一圈的路线是AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，回到起点．乙甲壳虫爬行一圈的路线是AB→BB1→B1C1→C1D1→D1A1→A1A．因此可以判断两个甲壳虫爬行一圈都是6条棱，因为2017÷6=336…1，所以黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止的点都是A1，B.2，故选D．【点睛】此题考查了立体图形的有关知识．注意找到规律：黑、白甲壳虫每爬行6条边后又重复原来的路径是解此题的关键．解析：C【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．【详解】解：设折断处离地面的高度OA 是x 尺，根据题意可得：x 2+42=（10-x ）2，解得：x=4.2，答：折断处离地面的高度OA 是4.2尺．故选C ．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．6．C解析：C【分析】设AB ＝x ，则BC ＝9－x ，根据三角形两边之和大于第三边，得到x 的取值范围，再利用分类讨论思想，根据勾股定理列方程，计算解答．【详解】解：∵在△ABC 中，AC ＝AM ＝3，设AB ＝x ，BC ＝9－x ，由三角形两边之和大于第三边得：3939x x x x +-⎧⎨+-⎩＞＞，解得3＜x ＜6，①AC 为斜边，则32＝x 2＋（9－x ）2，即x 2－9x ＋36＝0，方程无解，即AC 为斜边不成立，②若AB 为斜边，则x 2＝（9－x ）2＋32，解得x ＝5，满足3＜x ＜6，③若BC 为斜边，则（9－x ）2＝32＋x 2，解得x ＝4，满足3＜x ＜6，∴x ＝5或x ＝4；故选C ．【点睛】本题考查三角形的三边关系，勾股定理等，分类讨论和方程思想是解答的关键．7．B【分析】将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．【详解】解：如图，AB ＝22(24)2210++=．故选：B ．【点睛】此题求最短路径，我们将平面展开，组成一个直角三角形，利用勾股定理求出斜边就可以了．8．D解析：D【分析】根据条件可以得出∠E ＝∠ADC ＝90°，进而得出△CEB ≌△ADC ，就可以得出AD ＝CE ，再利用勾股定理就可以求出BC 的值．【详解】解：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E ＝∠ADC ＝90°，∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°．∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°，∴∠EBC ＝∠DCA ．在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CEB ≌△ADC （AAS ），∴CE ＝AD ＝3，在Rt △BEC 中，2222BC=BE +CE =1+3=10，故选D ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．9．B解析：B由折叠的性质得出AD=BD，设BD=x，则CD=8-x，在Rt△ACD中根据勾股定理列方程即可得出答案．【详解】解：∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，∴AD=BD，设BD=x，则CD=8-x，在Rt△ACD中，∵AC2+CD2=AD2，∴62+（8-x）2=x2，解得x= 25 4∴BD=254．故选：B．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理等知识，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．10．D解析：D【分析】设正方形ADOF的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，整理方程即可．【详解】解：设正方形ADOF的边长为x，由题意得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，∴BC＝BE＋CE＝BD＋CF＝10，在Rt△ABC中，AC2＋AB2＝BC2，即（6＋x）2＋（x＋4）2＝102，整理得，x2＋10x﹣24＝0，∴x2＋10x＝24，故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．二、填空题11．45【分析】如下图,延长BA至网络中的点D处,连接CD. ABC ACB DAC∠+∠=∠，只需证△ADC是等腰直角三角形即可【详解】如下图,延长BA至网络中的点D处,连接CD设正方形网络每一小格的长度为1则根据网络，555BC=5，∴5其中BD、DC、BC边长满足勾股定理逆定理∴∠CDA=90°∵AD=DC∴△ADC是等腰直角三角形∴∠DAC=45°故答案为：45°【点睛】本题是在网格中考察勾股定理的逆定理，解题关键是延长BA，构造处△ABC的外角∠CAD 12．72965【分析】分三种情形讨论：（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时；（2）如图2中，以点D所在顶点为直角时；（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时．【详解】（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时．∵AC=CD=4，BC=3，∴BD=CD+BC=7；（2）如图2中，以点D所在顶点为直角时，作DE⊥BC与E，连接BD．在Rt△BDE中DE=2，BE=5，∴BD2229DE BE+（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时，作DE⊥BC于E，在Rt△BDE中，DE=4．BE=7，∴BD2265DE BE+故答案为：72965【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．13．322或11或5或109 5【分析】分别就E，F在AC,BC上和延长线上，分别画出图形，过D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G，H，通过构造全等三角形和运用勾股定理作答即可.【详解】解：①过D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G，H∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°又∵D是AB的中点，∴DG=12 BC同理：DH=12 AC又∵BC=AC∴DG=DH在Rt△DGE和Rt△DHF中DG=DH,DE=DF∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL ）∴GE=HF又∵DG=DH,DC=DC∴△GDC≌△FHC∴CG=HC∴CE=GC -GE=CH-HF=CF=AB-BF=3 ∴EF=223332+=②过D 作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G ，H∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°又∵D 是AB 的中点，∴DG=12BC 同理：DH=12AC 又∵BC=AC∴DG=DH 在Rt△DGE 和Rt△DHF 中DG=DH,DE=DF ∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL ）∴GE=HF又∵DG=DH,DC=DC∴△GDC≌△FHC∴CG=HC∴CE=CF=AC+AE=AB+BF=7+4=11221111112+=③如图，以点D 为圆心，以DF 长为半径画圆交AC 边分别为E 、E '，过点D 作DH⊥AC 于点H ，可知DF DE DE '==，可证△EHD≌△E HD '，CE D CFD '≌，△DHC 为等腰直角三角形，∴∠1+∠2=45°∴∠EDF=2（∠1+∠2）=90°∴△EDF 为等腰直角三角形可证AED CFD △△≌∴AE=CF=3,CE=BF=4∴2222435EF CE CF =+=+=④有第③知，EF=5，且△EDF 为等腰直角三角形，∴ED=DF=522,可证△E CF E DE ''∆∽,2223y x +=525222x =+综上可得：25x =∴2222E F DE DF DE '''''=+=1095E F ''= 【点睛】本题考查了全等三角形和勾股定理方面的知识，做出辅助线、运用数形结合思想是解答本题的关键.14．103. 【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形，得出CG=NG ，CF=DG=NF ，再根据()21S CG DG =+，22S GF =，()23S NG NF =-，12310S S S ++=，即可得出答案.【详解】∵八个直三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形∴CG=NG ，CF=DG=NF∴()2222122S CG DG CG DG CG DG GF CG DG =+=++=+ 22S GF =()22232S NG NF NG NF NG NF =-=+-∴2222212322310S S S GF CG DG GF NG NF NG NF GF ++=+⋅+++-⋅== ∴2103GF =故2103S = 故答案为103. 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点由勾股定理和正方形、全等三角形的性质. 15．4【分析】根据线段垂直平分线得出AE=EC ，∠AEG=∠AEF=90°，求出∠B=∠C=∠G=30°，根据勾股定理和含30°角的直角三角形性质求出AE 和EF ，即可求出FG ，再求出BF=FG 即可【详解】∵AC 的垂直平分线FG ，∴AE=EC ，∠AEG=∠AEF=90°，∵∠BAC=120°，∴∠G=∠BAC-∠AEG=120°-90°=30°，∵∠BAC=120°，AB=AC ，∴∠B=∠C=12（180°-∠BAC ）=30°， ∴∠B=∠G ，∴BF=FG ，∵在Rt △AEG 中，∠G=30°，EG=3，∴AG=2AE ，即（2AE ）2=AE 2+32，∴即同理在Rt △CEF 中，∠C=30°，CF=2EF ，（2EF ）2=EF 2+2，∴EF=1（负值舍去），∴BF=GF=EF+CE=1+3=4，故答案为4．【点睛】本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．16．55【解析】【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】展开图如图所示：由题意，在Rt △APQ 中，PD=10cm ，DQ=5cm ，∴蚂蚁爬行的最短路径长2222105PD QD +=+5cm ），故答案为：5【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．17．①②③【解析】【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，60ABC ∴∠=，∵△BQC ≌△BPA ，∴∠BPA =∠BQC ，BP =BQ =4，QC =PA =3，∠ABP =∠QBC ，60PBQ PBC CBQ PBC ABP ABC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=，∴△BPQ 是等边三角形，①正确.∴PQ =BP =4，2222224325,525PQ QC PC +=+===，222PQ QC PC ∴+=，90PQC ∴∠=，即△PQC 是直角三角形，②正确. ∵△BPQ 是等边三角形，60PBQ BQP ∴∠=∠=，∵△BQC ≌△BPA ，∴∠APB =∠B QC ，6090150BPA BQC ∴∠=∠=+=，③正确.36015060150APC QPC QPC ∴∠=---∠=-∠，90PQC PQ QC ∠=≠，，45QPC ∴∠≠，即135APC ∠≠，④错误.故答案为①②③.18．355 【详解】四边形DEFA 是正方形，面积是4； △ABF，△ACD 的面积相等，且都是 ×1×2=1． △BCE 的面积是：12×1×1=12．则△ABC 的面积是：4﹣1﹣1﹣12=32．在直角△ADC 中根据勾股定理得到：AC=222+1=5．设AC 边上的高线长是x ．则12AC•x=5x=32，解得：x=355．355. 19．4913【解析】【分析】如图（见解析），延长AD ，交BC 于点G ，先根据等腰三角形的三线合一性得出AG BC ⊥，再根据折叠的性质、等腰三角形的性质（等边对等角）得出2345∠+∠=︒，从而得出CDG ∆是等腰直角三角形，然后根据勾股定理、面积公式可求出AC 、CE 、CF 的长，最后根据线段的和差即可得．【详解】如图，延长AD ，交BC 于点G AD 平分BAC ∠，,10AB AC BC ==,B ACB AG BC ∴∠=∠⊥，且AG 是BC 边上的中线 1123,52B CG BC ∴∠=∠+∠+∠== 由折叠的性质得12,CE AC ∠=∠=123223B ∠=∠+∠+∠=∠+∠∴CE AB ⊥，即90BFC ∠=︒390B ∴∠+∠=︒230239+∴∠∠=∠+︒，即2345∠+∠=︒CDG ∴∆是等腰直角三角形，且5DG CG ==7512AG AD DG ∴=+=+=在Rt ACG ∆中，222251213AC CG AG =+=+=13CE AB AC ==∴=由三角形的面积公式得1122ABC S BC AG AB CF ∆=⋅=⋅ 即1110121322CF ⨯⨯=⨯⋅，解得12013CF = 12049131313EF CE CF ∴=-=-= 故答案为：4913．【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造一个等腰直角三角形是解题关键．20．23或2或4【分析】根据题意画出图形，分4种情况进行讨论，利用含30°角直角三角形与勾股定理解答．【详解】解：如图1：当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；如图2：当∠C=60°时，∠ABC=30°，∵∠ABP=30°，∴∠CBP=60°，∴△PBC 是等边三角形，∴23CP BC ==；如图3：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°-30°=30°，∴PC=PB ， ∵23BC =， ∴222213,(23)(3)32AB BC AC BC AB ===-=-=，在Rt △APB 中，根据勾股定理222AP AB BP +=, 即222()AC PC AB PC -+=, 即222(3)(3)PC PC -+=，解得2PC =，如图4：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°， ∴∠PBC=60°+30°=90°，∴12BP PC = 在Rt △BCP 中，根据勾股定理222BP BC PC +=,即2221()(23)2PC PC +=,解得PC=4（已舍去负值）．综上所述，CP 的长为232或4．故答案为：32或4．【点睛】本题考查含30°角直角三角形，等边三角形的性质和判定，勾股定理．理解直角三角形30°角所对边是斜边的一半，并能通过勾股定理去求另外一个直角边是解决此题的关键．三、解答题21．（132）150°；（313【分析】（1）根据等边三角形的性质可利用SAS 证明△BCD ≌△ACE ，再根据全等三角形的性质即得结果；（2）在△ADE 中，根据勾股定理的逆定理可得∠AED ＝90°，进而可求出∠AEC 的度数，再根据全等三角形的性质即得答案；（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，根据等边三角形的性质和勾股定理可得PE 与CP 的长，进而可得AE ＝CP ，然后即可根据AAS 证明△AEG ≌△CPG ，于是可得AG ＝CG ，PG ＝EG ，根据勾股定理可求出AG 的长，进一步即可求出结果．【详解】解：（1）∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形，∴BC ＝AC ，CD ＝CE ＝DE ＝2，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCD ＝∠ACE ，在△BCD 与△ACE 中，∵BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△ACE ，∴AE ＝BD ＝3；（2）在△ADE 中，∵7,3,2AD AE DE ===， ∴DE 2+AE 2＝()()222237+=＝AD 2， ∴∠AED ＝90°，∵∠DEC ＝60°，∴∠AEC ＝150°，∵△BCD ≌△ACE ，∴∠BDC ＝∠AEC ＝150°；（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，∵△CDE 是等边三角形，∴PE ＝12DE ＝1，CP 22213-=，∴AE ＝CP ，在△AEG 与△CPG 中，∵∠AEG ＝∠CPG ＝90°，∠AGE ＝∠CGP ，AE ＝CP ，∴△AEG ≌△CPG ，∴AG ＝CG ，PG ＝EG ＝12，∴AG ＝()222211332AE EG ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， ∴AC ＝2AG ＝13．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用全等三角形的判定与性质是解题的关键．22．（1）213；（2）83；（3）5.5秒或6秒或6.6秒【分析】（1）根据点P 、Q 的运动速度求出AP ，再求出BP 和BQ ，用勾股定理求得PQ 即可；（2）由题意得出BQ BP =，即28t t =-，解方程即可；（3）当点Q 在边CA 上运动时，能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当CQ BQ =时（图1)，则C CBQ ∠=∠，可证明A ABQ ∠=∠，则BQ AQ =，则CQ AQ =，从而求得t ；②当CQ BC =时（图2)，则12BC CQ +=，易求得t ；③当BC BQ =时（图3)，过B 点作BE AC ⊥于点E ，则求出BE ，CE ，即可得出t ．【详解】（1）解：（1）224BQ cm =⨯=，8216BP AB AP cm =-=-⨯=，90B ∠=︒，222246213()PQ BQ BP cm =+=+=；（2）解：根据题意得：BQ BP =，即28t t =-，解得：83t =；即出发时间为83秒时，PQB ∆是等腰三角形；（3）解：分三种情况：①当CQ BQ =时，如图1所示：则C CBQ ∠=∠，90ABC ∠=︒，90CBQ ABQ ∴∠+∠=︒，90A C ∠+∠=︒，A ABQ ∴∠=∠BQ AQ ∴=，5CQ AQ ∴==，11BC CQ ∴+=，112 5.5t ∴=÷=秒．②当CQ BC =时，如图2所示：则12BC CQ +=1226t ∴=÷=秒．③当BC BQ =时，如图3所示：过B 点作BE AC ⊥于点E ，则68 4.8()10AB BC BE cm AC ⨯=== 22 3.6CE BC BE cm ∴=-=，27.2CQ CE cm ∴==，13.2BC CQ cm ∴+=，13.22 6.6t ∴=÷=秒．由上可知，当t 为5.5秒或6秒或6.6秒时，BCQ ∆为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．23．（1）BC−AC ＝AD ；理由详见解析；（2）①详见解析；②AB=14【分析】（1）在CB 上截取CE ＝CA ，连接DE ，证△ACD ≌△ECD 得DE ＝DA ，∠A ＝∠CED ＝60°，据此∠CED ＝2∠CBA ，结合∠CED ＝∠CBA ＋∠BDE 得出∠CBA ＝∠BDE ，即可得DE ＝BE ，进而得出答案；（2）①在AB 上截取AM ＝AD ，连接CM ，先证△ADC ≌△AMC ，得到∠D ＝∠AMC ，CD＝CM，结合CD＝BC知CM＝CB，据此得∠B＝∠CMB，根据∠CMB＋∠CMA＝180°可得；②设BN＝a，过点C作CN⊥AB于点N，由CB＝CM知BN＝MN＝a，CN2＝BC2−BN2＝AC2−AN2，可得关于a的方程，解之可得答案．【详解】解：（1）BC−AC＝AD．理由如下：如图（a），在CB上截取CE＝CA，连接DE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ECD，又CD＝CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，∴∠CED＝2∠CBA，∵∠CED＝∠CBA＋∠BDE，∴∠CBA＝∠BDE，∴DE＝BE，∴AD＝BE，∵BE＝BC−CE＝BC−AC，∴BC−AC＝AD．（2）①如图（b），在AB上截取AM＝AD，连接CM，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠MAC，∵AC＝AC，∴△ADC≌△AMC（SAS），∴∠D＝∠AMC，CD＝CM＝12，∵CD＝BC＝12，∴CM＝CB，∴∠B＝∠CMB，∵∠CMB＋∠CMA＝180°，∴∠B＋∠D＝180°；②设BN＝a，过点C作CN⊥AB于点N，∵CB＝CM＝12，∴BN＝MN＝a，在Rt △BCN 中，2222212CN BC BN a --＝＝，在Rt △ACN 中，2222216(8)CN AC AN a --+＝＝，则22221216(8)a a --+＝，解得：a ＝3，即BN ＝MN ＝3，则AB ＝8+3+3=14，∴AB=14．【点睛】本题考查了四边形的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果．24．（1）①详见解析；②详见解析；（2）DE 2= EB 2+AD 2+EB ·AD ，证明详见解析【分析】（1）①根据旋转的性质可得CF=CD ，∠DCF=90°，再根据已知条件即可证明△ACD ≌△BCF ；②连接EF ，根据①中全等三角形的性质可得∠EBF=90°，再证明△DCE ≌△FCE 得到EF=DE 即可证明；（2）根据（1）中的思路作出辅助线，通过全等三角形的判定及性质得出相等的边，再由勾股定理得出AD ，DE ，BE 之间的关系．【详解】解：（1）①证明：由旋转可得CF=CD ，∠DCF=90°∵∠ACD=90°∴∠ACD=∠BCF又∵AC=BC∴△ACD ≌△BCF②证明：连接EF ，由①知△ACD ≌△BCF∴∠CBF=∠CAD=∠CBA=45°，∠BCF=∠ACD ，BF=AD∴∠EBF=90°∴EF 2=BE 2+BF 2，∴EF 2=BE 2+AD 2又∵∠ACB=∠DCF=90°，∠CDE=45°∴∠FCE=∠DCE=45°又∵CD=CF ，CE=CE∴△DCE≌△FCE∴EF=DE∴DE2= AD2+BE2⑵DE2=EB2+AD2+EB·AD理由：如图2，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△CBF，过点F作FG⊥AB，交AB 的延长线于点G，连接EF，∴∠CBE=∠CAD，∠BCF=∠ACD， BF=AD∵AC=BC，∠ACB=60°∴∠CAB=∠CBA =60°∴∠ABE=120°，∠EBF=60°，∠BFG=30°∴BG=12BF，3∵∠ACB=60°，∠DCE=30°，∴∠ACD+∠BCE=30°，∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=30°∵CD=CF，CE=CE∴△ECF≌△ECD∴EF=ED在Rt△EFG中，EF2=FG2+EG2又∵EG=EB+BG∴EG=EB+12 BF，∴EF2=（EB+12BF）2+（32BF）2∴DE2=（EB+12AD）2+3）2∴DE2=EB2+AD2+EB·AD【点睛】本题考查了全等三角形的性质与旋转模型，解题的关键是找出全等三角形，转换线段，并通过勾股定理的计算得出线段之间的关系．25．（1）12；（2）t=12.5s 时，13 cm ；（3）11s 或12s 或13.2s【分析】（1）由勾股定理即可得出结论；（2）由线段垂直平分线的性质得到PC = PA =t ，则PB =16-t ．在Rt △BPC 中，由勾股定理可求得t 的值，判断出此时，点Q 在边AC 上，根据CQ =2t -BC 计算即可；（3）用t 分别表示出BQ 和CQ ，利用等腰三角形的性质可分BQ =BC 、CQ =BC 和BQ =CQ 三种情况，分别得到关于t 的方程，可求得t 的值．【详解】（1）在Rt △ABC 中，BC 2222212016AC AB =-=-=(cm )．故答案为：12；（2）如图，点P 在边AC 的垂直平分线上时，连接PC ，∴PC = PA =t ，PB =16-t ．在Rt △BPC 中，222BC BP CP +=，即2221216)t t +-=（，解得：t =252． ∵Q 从B 到C 所需的时间为12÷2=6(s )，252＞6， ∴此时，点Q 在边AC 上，CQ =25212132⨯-=(cm )；（3）分三种情况讨论：①当CQ =BQ 时，如图1所示，则∠C =∠CBQ ．∵∠ABC =90°，∴∠CBQ +∠ABQ =90°，∠A +∠C =90°，∴∠A =∠ABQ ，∴BQ =AQ ，∴CQ =AQ =10，∴BC +CQ =22，∴t =22÷2=11(s )．②当CQ =BC 时，如图2所示，则BC +CQ =24，∴t =24÷2=12(s )．③当BC =BQ 时，如图3所示，过B 点作BE ⊥AC 于点E ，则BE 121648205AB BC AC ⋅⨯===， ∴CE 2222483612()55BC BE =-=-==7.2． ∵BC =BQ ，BE ⊥CQ ，∴CQ =2CE =14.4，∴BC +CQ =26.4，∴t =26.4÷2=13.2(s )．综上所述：当t 为11s 或12s 或13.2s 时，△BCQ 为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t 表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．26．（1）该命题是真命题，理由见解析；（2）①a 的值为92；②k 的取值范围为13k ≤<；（3）ABC ∆．【分析】（1）根据等边三角形的性质、优三角形和优比的定义即可判断；（2）①先利用勾股定理求出c 的值，再根据优三角形的定义列出,,a b c 的等式，然后求解即可；②类似①分三种情况分析，再根据三角形的三边关系定理得出每种情况下,,a b c 之间的关系，然后根据优比的定义求解即可；（3）如图（见解析），设BD x =，先利用直角三角形的性质、勾股定理求出AC 、AB 的长及ABC ∆面积的表达式，再类似（2），根据优三角形的定义分三种情况分别列出等式，然后解出x 的值，即可得出ABC ∆的面积．【详解】（1）该命题是真命题，理由如下：设等边三角形的三边边长为a则其中两条边的和为2a ，恰好是第三边a 的2倍，满足优三角形的定义，即等边三角形为优三角形又因该两条边相等，则这两条边的比为1，即其优比为1故该命题是真命题；（2）①90,6CB b A ∠=︒=c ∴=根据优三角形的定义，分以下三种情况：当2a b c +=时，6a +=，整理得24360a a -+=，此方程没有实数根当2a c b +=时，12a =，解得92a =当2b c a +=时，62a =，解得86a =>，不符题意，舍去综上，a 的值为92； ②由题意得：,,a b c 均为正数根据优三角形的定义，分以下三种情况：（c b a ≥≥）当2a b c +=时，则1b k a=≥ 由三角形的三边关系定理得b a c a b -<<+。

第1讲(学生)八上1 勾股定理提高题

第 1讲勾股定理【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理只适用于直角三角形，应用于解决直角三角形中的线段求值问题。

2. 勾股定理的验证勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法。

用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理3. 常用的平方数112＝_______，122＝_______，132＝_______，142＝_______，152＝_______，162＝_______，172＝_______，182＝_______，192＝_______，202＝_______，252＝_______．262＝_______．272＝_______．282＝_______．292＝_______．312＝_______．322＝_______．332＝_______．342＝_______．352＝_______．362＝_______．372＝_______．382＝_______．392＝_______．经典例题：例1、如图１，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α60．为⑴求AO与BO的长；⑵若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行. 如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米?例2、已知a ，b ，c 为△ABC 的三边且满足a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4，试判断△ABC 的形状．小明同学是这样解答的．解：∵a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4， ∴()()()2222222c a b a b a b -=+- ∴222?c a b =+．订正：∴ △ABC 是直角三角形．横线与问号是老师给他的批注，老师还写了如下评语：“你的解题思路很清晰，但解题过程中出现了错误，相信你再思考一下，一定能写出完整的解题过程．”请你帮助小明订正此题，好吗？例3、如图2，图（１）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为a 和b ，斜边长为c ．图（２）是以c 为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（１）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；（２）用这个图形证明勾股定理；（３）假设图（１）中的直角三角形有苦干个，你能运用图（１）所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）．针对训练一、选择题1．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A．600m B．500m C．400m D．300m2．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（）A．12m B．13m C．16m D．17m3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知AD平分∠OAB，DB⊥AB，BC//OA，点D的坐标为D(0，3)，点B的横坐标为1，则点C的坐标是( )A．(0，2) B．（0，3＋2）C．（0，5）D．(0，5)二、填空题（除非特别说明，请填准确值）1．如图，小明利用升旗用的绳子测量学校旗杆BC的高度，他发现绳子刚好比旗杆长11米，若把绳子往外拉直，绳子接触地面A点并与地面形成30°角时，绳子未端D距A点还有1米，那么旗杆BC的高度为米．2．某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为20m，面积为160m2，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为m．A CB 3.如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE=DF ．连接CF交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是________．三、解答题1．如图，甲乙两船从港口A 同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C 岛，乙船到达B 岛.若C 、B 两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？2．如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？3．校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60℃，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.41，=1.73）4.已知等腰三角形ABC，底边BC=20，D为AB上一点，且CD=16，BD=12，求AD的长5．小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼起码20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A、B两点，测量数据如图，其中矩形CDEF 表示楼体，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A、C、D、B四点在同一直线上）问：（1）楼高多少米？（2）若每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由．（参考数据：≈1.73，≈1.41，≈2.24）6．如图，在边长为1的正方形ABCD中，点G是BC边上的任意一点(不同于端点B、C)，连接AG，过B、D两点作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E、F．(1)求证：△ABE≌△DAF；(2)若△ADF的面积为18，试求BE DF的值．7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD、BE、CF分别是三边上的中线．(1)若AC=1，BC=．求证：AD2+CF2=BE2；(2)是否存在这样的Rt△ABC，使得它三边上的中线AD、BE、CF的长恰好是一组勾股数？请说明理由．(提示：满足关系a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．)。

八年级初二数学提高题专题复习勾股定理练习题附解析

八年级初二数学提高题专题复习勾股定理练习题附解析一、选择题1．如图，在RtΔABC 中，∠ACB ＝90°，AC =9，BC =12，AD 是∠BAC 的平分线，若点P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC ＋PQ 的最小值是( )A ．245B ．365C ．12D ．15 2．如图，在ABC 中，,904C AC ︒∠==cm ，3BC =cm ，点D 、E 分别在AC 、BC上，现将DCE 沿DE 翻折，使点C 落在点'C 处，连接AC '，则AC '长度的最小值（）A ．不存在B ．等于 1cmC ．等于 2 cmD ．等于 2.5 cm3．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 、BE 与相交于点G ，以下结论中正确的结论有（）（1）△ABC 是等腰三角形；（2）BF ＝AC ；（3）BH ：BD ：BC ＝1：2：3；（4）GE 2+CE 2＝BG 2．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．在ΔABC 中,211a b c =+,则∠A( ) A ．一定是锐角 B ．一定是直角 C ．一定是钝角 D ．非上述答案5．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的点A （0，﹣2）、点B （3m ，4m +1）（m ≠﹣1），点C （6，2），则对角线BD 的最小值是（）A ．32B ．213C ．5D ．66．如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是l3，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，那么()2a b +值为（）A ．25B ．9C ．13D ．169 7．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（） A ．内角和为360°B ．对角线互相平分C ．对角线相等D ．对角线互相垂直 8．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A ．30,40,60B ．7,12,13C ．6,8,10D ．3,4,6 9．将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm ，高 8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为 hcm ，则 h 的取值范围是（）A ．h≤15cmB ．h≥8cmC ．8cm≤h≤17cmD ．7cm≤h≤16cm 10．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长是( )A ．5B ．4C ．34D ．4或34 二、填空题11．如图，RT ABC ，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则B FC '△的面积为______．12．如图，在四边形ABCD 中，22AD =，3CD =，45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=︒，则BD 的长为__________．13．在△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则ABC ∆的周长为_______________．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝7.5cm ，AC ＝4.5cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当△ABP 为等腰三角形时，t 的取值为_____．15．已知Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，∠ACB ＝90°，以AC 为一边在Rt △ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为_____．16．已知，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=7，D 是AB 的中点，点E 在AC 上，点F 在BC 上，DE=DF ，若BF=4，则EF=_______17．如图，在锐角ABC ∆中，2AB =，60BAC ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是______.18．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AB=2，BC=AC ，D 为AB 的中点，E 为BC 上一点，将△BDE 沿DE 翻折，得到△FDE ，EF 交AC 于点G ，则△ECG 的周长是___________．19．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =4，斜边AB 的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，连接AD ，线段CD 的长为_________．20．如图，Rt△ABC 中，∠BCA ＝90°，AB ＝5，AC ＝2，D 为斜边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，连接EF ，则EF 的最小值是_____．三、解答题21．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．（1）此时梯子顶端离地面多少米？（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？22．（1）计算：1312248233⎛⎫-+÷ ⎪ ⎪⎝；（2）已知a 、b 、c 满足2|23|32(30)0a b c +-+--=．判断以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．23．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 点在边BC 上运动（不与B ，C 重合），点E 在边AB 的延长线上，点F 在边AC 的延长线上，AD DE DF ==．（1）若30AED ∠=︒，则ADB =∠______．（2）求证：BED CDF △≌△．（3）试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中，BED 的周长l 是否发生变化？若不变，请求出l 的值，若变，请求出l 的取值范围．24．如图，ABC ∆是等边三角形，,D E 为AC 上两点，且AE CD =，延长BC 至点F ，使CF CD =，连接BD ．（1）如图1，当,D E 两点重合时，求证：BD DF =；（2）延长BD 与EF 交于点G ．①如图2，求证：60BGE ∠=︒；②如图3，连接,BE CG ，若30,4EBD BG ∠=︒=，则BCG ∆的面积为______________．25．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 经过点C （a ，a ），且交x 轴于点A （m ，0），交y 轴于点B （0，n ），且m ，n 满足6m -＋（n ﹣12）2＝0．（1）求直线AB 的解析式及C 点坐标；（2）过点C 作CD ⊥AB 交x 轴于点D ，请在图1中画出图形，并求D 点的坐标；（3）如图2，点E （0，﹣2），点P 为射线AB 上一点，且∠CEP ＝45°，求点P 的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ∆，ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ∆内部，点E 在ABC ∆的外部，32=AD ，30DOE ∠=︒，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .（1）求点A 的坐标；（2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由；（3）直接写出ADG ∆的周长.27．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内有两点()111, P x y 、()222, P x y ，其两点间的距离()()22121212PP x x y y =-+-，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为12x x -或1|y -2|y .（1）已知()2, 4A 、()3, 8B --，试求A 、B 两点间的距离______.已知M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1，试求M 、N 两点的距离为______；（2）已知一个三角形各顶点坐标为()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F ，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x 轴上找一点P ，使PD PF +的长度最短，求出点P 的坐标及PD PF +的最短长度．28．（1）如图1，在Rt △ABC 和Rt △ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，且点D 在BC 边上滑动（点D 不与点B ，C 重合），连接EC ，①则线段BC ，DC ，EC 之间满足的等量关系式为；②求证：BD 2+CD 2＝2AD 2；（2）如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°．若BD ＝9，CD ＝3，求AD 的长．29．如图1，已知△ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且CD ＝AE ，AD 与BE 相交于点F ．（1）求证：∠ABE ＝∠CAD ；（2）如图2，以AD 为边向左作等边△ADG ，连接BG ．ⅰ）试判断四边形AGBE 的形状，并说明理由；ⅱ）若设BD ＝1，DC ＝k （0＜k ＜1），求四边形AGBE 与△ABC 的周长比（用含k 的代数式表示）．30．已知ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上一动点，连结AD()1如图1，若2BD =，4DC =，求AD 的长；()2如图2，以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=，分别交AB ，AC 于点E ，F ． ①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有AE AF =，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法想法1：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．想法2：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造ADF 的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．请你参考上面的想法，帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关系.若用S 表示四边形AEDF 的面积，x 表示AD 的长，请你直接写出S 与x 之间的关系式．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，过点E 作EQ ⊥AC 于点Q ，EQ 交AD 于点P ，连接CP ，此时PC+PQ=EQ 是最小值，根据勾股定理可求出AB 的长度，再根据EQ ⊥AC 、∠ACB=90°即可得出EQ ∥BC ，进而可得出AE EQ AB BC=，代入数据即可得出EQ 的长度，此题得解. 【详解】解：如图所示，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，过点E 作EQ ⊥AC 于点Q ，EQ 交AD 于点P ，连接CP ，此时PC+PQ=EQ 是最小值，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=9，BC=12，∴2215AB AC BC +=，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠CAD=∠EAD ，在△ACD 和△AED 中，90CAD EAD ACD AED AD AD ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△AED （AAS ），∴AE=AC=9．∵EQ ⊥AC ，∠ACB=90°，∴EQ ∥BC ，AE EQ AB BC ∴=， ∴91512EQ =， 653EQ ∴=. 故选B.【点睛】本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题以及平行线的性质，找出点C 的对称点E ，及通过点E 找到点P 、Q 的位置是解题的关键．2．C解析：C【分析】当C ′落在AB 上，点B 与E 重合时，AC'长度的值最小，根据勾股定理得到AB=5cm ，由折叠的性质知，BC ′=BC=3cm ，于是得到结论．【详解】解：当C ′落在AB 上，点B 与E 重合时，AC'长度的值最小，∵∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，∴AB=5cm，由折叠的性质知，BC′=BC=3cm，∴AC′=AB-BC′=2cm．故选：C．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．3．C解析：C【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABE＝∠CBE，根据等角的余角相等求出∠A＝∠BCA，再根据等角对等边可得AB＝BC，从而得证；（2）根据三角形的内角和定理求出∠A＝∠DFB，推出BD＝DC，根据AAS证出△BDF≌△CDA即可；（3）根据等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行解答；（4）由（2）得出BF＝AC，再由BF平分∠DBC和BE⊥AC通过ASA证得△ABE≌△CBE，即得CE＝AE＝12AC，连接CG，由H是BC边的中点和等腰直角三角形△DBC得出BG＝CG，再由直角△CEG得出CG2＝CE2+GE2，从而得出CE，GE，BG的关系．【详解】解：（1）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵CD⊥AB，∴∠ABE+∠A＝90°，∠CBE+∠ACB＝90°，∴∠A＝∠BCA，∴AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形；故（1）正确；（2）∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC＝∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠A+∠ABE＝90°，∠ABE+∠DFB＝90°，∴∠A＝∠DFB，∵∠ABC＝45°，∠BDC＝90°，∴∠DCB＝90°﹣45°＝45°＝∠DBC，∴BD ＝DC ，在△BDF 和△CDA 中==BDF CDA A DFB BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩， ∴△BDF ≌△CDA （AAS ），∴BF ＝AC ；故（2）正确；（3）∵在△BCD 中，∠CDB ＝90°，∠DBC ＝45°， ∴∠DCB ＝45°，∴BD ＝CD ，BCBD ．由点H 是BC 的中点，∴DH ＝BH ＝CH ＝12BC ， ∴BD，∴BH ：BD ：BC ＝BH：2BH ＝1：2．故（3）错误；（4）由（2）知：BF ＝AC ，∵BF 平分∠DBC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，又∵BE ⊥AC ，∴∠AEB ＝∠CEB ，在△ABE 与△CBE 中， ==ABE CBE AEB CEB BE BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△CBE （AAS ），∴CE ＝AE ＝12AC ， ∴CE ＝12AC ＝12BF ；连接CG ．∵BD ＝CD ，H 是BC 边的中点，∴DH 是BC 的中垂线，∴BG ＝CG ，在Rt △CGE 中有：CG 2＝CE 2+GE 2，∴CE 2+GE 2＝BG 2．故（4）正确．综上所述，正确的结论由3个．故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，平行线的性质，勾股定理,熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．4．A解析：A【解析】【分析】根据211a b c=+以及三角形三边关系可得2bc＞a 2，再根据（b-c）2≥0，可推导得出b 2 +c 2＞a 2，据此进行判断即可得.【详解】∵211a b c =+，∴2b ca bc+ =，∴2bc=a（b+c），∵a、b、c是三角形的三条边，∴b+c＞a，∴2bc＞a·a，即2bc＞a 2，∵（b-c）2≥0，∴b 2 +c 2 -2bc≥0，b 2 +c 2≥2bc，∴b 2 +c 2＞a 2，∴一定为锐角，故选A．【点睛】本题考查了三角形三边关系、完全平方公式、不等式的传递性、勾股定理等，题目较难，得出b 2 +c 2＞a 2是解题的关键.5．D解析：D【分析】先根据B（3m，4m+1），可知B在直线y=43x+1上，所以当BD⊥直线y=43x+1时，BD最小，找一等量关系列关于m的方程，作辅助线：过B作BH⊥x轴于H，则BH=4m+1，利用三角形相似得BH2=EH•FH，列等式求m的值，得BD的长即可．【详解】解：如图,∵点B(3m，4m+1)，∴令341m xm y=⎧⎨+=⎩，∴y=43x+1，∴B在直线y=43x+1上，∴当BD⊥直线y=43x+1时，BD最小，过B作BH⊥x轴于H，则BH=4m+1，∵BE在直线y=43x+1上，且点E在x轴上，∴E(−34，0)，G(0，1)∵F是AC的中点∵A(0，−2)，点C(6，2)，∴F(3，0)在Rt△BEF中，∵BH2=EH⋅FH，∴(4m+1)2=(3m+34)(3−3m)解得：m1=−14(舍)，m2=15，∴B(35，95)，∴=6，则对角线BD 的最小值是6；故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似的判定，圆形与坐标特点，勾股定理等知识点.本题利用点B 的坐标确定其所在的直线的解析式是关键． 6．A解析：A【分析】根据勾股定理可以求得22a b +等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab 的值，然后根据()2222a b a ab b +=++即可求解．【详解】根据勾股定理可得2213a b +=，四个直角三角形的面积是：14131122ab ⨯=-=，即212ab =，则()2222131225a b a ab b +=++=+=．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理以及完全平方式，正确根据图形的关系求得22a b +和ab 的值是关键．7．C解析：C【分析】矩形与菱形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等，由此结合选项即可得出答案．【详解】A 、菱形、矩形的内角和都为360°，故本选项错误；B 、对角互相平分，菱形、矩形都具有，故本选项错误；C 、对角线相等菱形不具有，而矩形具有，故本选项正确D 、对角线互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本选项错误，故选C ．【点睛】本题考查了菱形的性质及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质与菱形的性质是解题的关键.8．C解析：C【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可.【详解】A 、∵222304060+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形；B 、∵22271213+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形；C 、∵2226810+=，∴该选项的三条线段能构成直角三角形；D 、∵222346+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形；故选：C .【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理的计算法则及正确计算是解题的关键.9．C解析：C【分析】筷子浸没在水中的最短距离为水杯高度，最长距离如下图，是筷子斜卧于杯中时，利用勾股定理可求得.【详解】当筷子笔直竖立在杯中时，筷子浸没水中距离最短，为杯高=8cmAD 是筷子，AB 长是杯子直径，BC 是杯子高，当筷子如下图斜卧于杯中时，浸没在水中的距离最长由题意得：AB=15cm ，BC=8cm ，△ABC 是直角三角形∴在Rt △ABC 中，根据勾股定理，AC=17cm∴8cm≤h≤17cm故选：C【点睛】本题考查勾股定理在实际生活中的应用，解题关键是将题干中生活实例抽象成数学模型，然后再利用相关知识求解.10．D解析：D【详解】解：∵一个直角三角形的两边长分别为3和5，∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x ，则由勾股定理得到：x；②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x故选：D二、填空题11．96 25【分析】将△B´CF的面积转化为求△BCF的面积，由折叠的性质可得CD＝AC＝6，∠ACE＝∠DCE，∠BCF＝∠B´CF，CE⊥AB，可证得△ECF是等腰直角三角形，EF＝CE，∠EFC＝45°，由等面积法可求CE的长，由勾股定理可求AE的长，进而求得BF的长，即可求解．【详解】根据折叠的性质可知，CD＝AC＝6，∠ACE＝∠DCE，∠BCF＝∠B´CF，CE⊥AB，∴∠DCE＋∠B´CF＝∠ACE＋∠BCF，∵∠ACB＝90°，∴∠ECF＝45°，且CE⊥AB，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EF＝CE，∠EFC＝45°，∵S△ABC＝12AC•BC＝12AB•CE，∴AC•BC＝AB•CE，∵根据勾股定理求得AB＝10，∴CE＝245，∴EF＝245，∵AE 185，∴BF＝AB−AE−EF＝10－185－245＝85，∴S△CBF＝12×BF×CE＝12×85×245＝9625，∴S△CB´F＝96 25，故填：96 25．【点睛】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，根据折叠的性质求得相等的角是解决本题的关键．12．5【分析】作AD′⊥AD ，AD′=AD 构建等腰直角三角形，根据SAS 求证△BAD ≌△CAD′，证得BD=CD′，∠DAD′=90°，然后在Rt △AD′D 和Rt △CD′D 应用勾股定理即可求解．【详解】作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ，∴∠BAD=∠CAD′，在△BAD 与△CAD′中，{BA CABAD CAD AD AD =∠=∠=''，∴△BAD ≌△CAD′（SAS ），∴BD=CD′，∠DAD′=90°，由勾股定理得22()4AD AD +='，∵∠D′DA+∠ADC=90°，∴由勾股定理得22(')5DC DD +=，∴BD=CD′=5故答案为5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，正确引出辅助线构造等腰直角三角形是本题的关键．13．32或42【分析】根据题意画出图形，分两种情况：△ABC 是钝角三角形或锐角三角形，分别求出边BC ，即可得到答案【详解】当△ABC是钝角三角形时，∵∠D=90°，AC=13，AD=12，∴222213125CD AC AD=-=-=,∵∠D=90°，AB=15，AD=12，∴222215129BD AB AD=-=-=,∴BC=BD-CD=9-5=4，∴△ABC的周长=4+15+13=32；当△ABC是锐角三角形时，∵∠ADC=90°，AC=13，AD=12，∴222213125CD AC AD=-=-=，∵∠ADB=90°，AB=15，AD=12，∴222215129BD AB AD=-=-=，∴BC=BD-CD=9+5=14，∴△ABC的周长=14+15+13=42；综上，△ABC的周长是32或42，故答案为：32或42.【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，能依据题意正确画出图形分类讨论是解题的关键.14．75或6或9 4【分析】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP 时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．【详解】在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝7.52﹣4.52＝36，∴BC＝6（cm）；①当AB＝BP＝7.5cm时，如图1，t＝7.52＝3.75（秒）；②当AB＝AP＝7.5cm时，如图2，BP＝2BC＝12cm，t＝6（秒）；③当BP＝AP时，如图3，AP＝BP＝2tcm，CP＝（4.5﹣2t）cm，AC＝4.5cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以4t2＝4.52+（4.5﹣2t）2，解得：t＝94，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝3.75或t＝6或t＝94．故答案为：3.75或6或94．【点睛】此题是等腰三角形与动点问题，考查等腰三角形的性质，勾股定理，解题中应根据每两条边相等分情况来解答，不要漏解.15．72965【分析】分三种情形讨论：（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时；（2）如图2中，以点D所在顶点为直角时；（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时．【详解】（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时．∵AC=CD=4，BC=3，∴BD=CD+BC=7；（2）如图2中，以点D所在顶点为直角时，作DE⊥BC与E，连接BD．在Rt△BDE中DE=2，BE=5，∴BD2229DE BE+（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时，作DE⊥BC于E，在Rt△BDE中，DE=4．BE=7，∴BD2265DE BE+故答案为：72965【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．16．322或11或5或109 5【分析】分别就E，F在AC,BC上和延长线上，分别画出图形，过D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G，H，通过构造全等三角形和运用勾股定理作答即可.【详解】解：①过D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G，H∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°又∵D是AB的中点，∴DG=12 BC同理：DH=12 AC又∵BC=AC∴DG=DH在Rt△DGE和Rt△DHF中DG=DH,DE=DF∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL ）∴GE=HF又∵DG=DH,DC=DC∴△GDC≌△FH C∴CG=HC∴CE=GC -GE=CH-HF=CF=AB-BF=3 ∴EF=223332+=②过D 作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G ，H∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°又∵D 是AB 的中点，∴DG=12BC 同理：DH=12AC 又∵BC=AC∴DG=DH 在Rt△DGE 和Rt△DHF 中DG=DH,DE=DF ∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL ）∴GE=HF又∵DG=DH,DC=DC∴△GDC≌△FHC∴CG=HC∴CE=CF=AC+AE=AB+BF=7+4=11221111112+=③如图，以点D 为圆心，以DF 长为半径画圆交AC 边分别为E 、E '，过点D 作DH⊥AC 于点H ，可知DF DE DE '==，可证△EHD≌△E HD '，CE D CFD '≌，△DHC 为等腰直角三角形，∴∠1+∠2=45°∴∠EDF=2（∠1+∠2）=90°∴△EDF 为等腰直角三角形可证AED CFD △△≌∴AE=CF=3,CE=BF=4∴2222435EF CE CF =+=+=④有第③知，EF=5，且△EDF 为等腰直角三角形，∴ED=DF=522,可证△E CF E DE ''∆∽,2223y x +=525222x =+综上可得：25x =∴2222E F DE DF DE '''''=+=1095E F ''= 【点睛】本题考查了全等三角形和勾股定理方面的知识，做出辅助线、运用数形结合思想是解答本题的关键.173【分析】作点B 关于AD 的对称点B′，过点B′作B′N ⊥AB 于N 交AD 于M ，根据轴对称确定最短路线问题，B′N 的长度即为BM+MN 的最小值，根据∠BAC=60°判断出△ABB′是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可．【详解】如图，作点B关于AD的对称点B′，由垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，B′N最短，由轴对称性质，BM=B′M，∴BM+MN=B′M+MN=B′N，由轴对称的性质，AD垂直平分BB′，∴AB=AB′，∵∠BAC=60°，∴△ABB′是等边三角形，∵AB=2，∴B′N=2×3=3，即BM+MN的最小值是3．故答案为3．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．18．2【分析】连接CE．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、等腰三角形的性质以及折叠的性质推知EG+CG=EG+GF=EF=BE，【详解】解：（1）如图，连接CD、CF.∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 为AB 边的中点，∴BD=CD=1．,∵由翻折可知BD=DF ，∴CD=BD=DF=1，∠DFE=∠B=∠DCA=45°,∴∠DCF=∠DFC ，∴∠DCF-∠DCA=∠DFC-∠DFE ，即∠GCF=∠GFC ，∴GC=GF ，∴EG+CG=EG+GF=EF=BE ，∴△ECG 的周长,.【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理、直角三角形的性质，能将三角形的周长转移到已知线段上是解题的关键.．19．78．【解析】∵∠C =90°，AB =5，BC =4，∴AC ．∵AB 的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，∴BD =AD ．设CD =x ，则AD =BD =4-x ，在Rt △ACD 中，2223(4)x x +=- ，解得：78x =．故答案为：78．20 【解析】试题分析：根据勾股定理可求出BC=1，然后根据∠BCA ＝90°，DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，证得四边形CEDF 是矩形，连接CD ，则CD=EF ，当CD⊥AB 时，CD 最短，即.故答案为5. 点睛：本题考查了勾股定理的运用，矩形的判定和性质以及垂线段最短的性质，同时也考查了学生综合运用性质进行推理和计算的能力．三、解答题21．（1）梯子顶端离地面24米（2）梯子底端将向左滑动了8米【解析】试题分析：（1）构建数学模型，根据勾股定理可求解出梯子顶端离地面的距离；（2）构建直角三角形，然后根据购股定理列方程求解即可.试题解析：（1）如图，∵AB=25米，BE=7米，梯子距离地面的高度AE=22257-=24米．答：此时梯子顶端离地面24米；（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE=（24﹣4）=20米，∴22CD CE-222520-，∴DE=15﹣7=8（米），即下端滑行了8米．答：梯子底端将向左滑动了8米．22．（1）423；（2）以a、b、c为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，6【分析】（1）根据二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质求出即可；（2）先根据绝对值，偶次方、算术平方根的非负性求出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再求出面积即可.【详解】解：（1）1312248233⎛÷⎝=2(63343)233÷=28(3)(23) 3÷＝423；（2）以a、b、c为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，理由是：∵a、b、c满足2|a2332b(c30)0-+-=，∴a﹣3＝0，2﹣b＝0，c300，∴a＝3，b＝2，c30∵32303302，3302，∴以a、b、c为边能组成三角形，∵a ＝，b ＝，c∴a 2+b 2＝c 2，∴以a 、b 、c 为边能构成直角三角形，直角边是a 和b ，则此三角形的面积是12⨯. 【点睛】此题考查了计算能力，掌握二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质，绝对值，偶次方、算术平方根的非负性，勾股定理的逆定理是解题的关键.23．（1）90°；（2）证明见解析；（3）变化，24l +≤<．【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，由等腰三角形的性质可求DAE=∠DEA=30°，由三角形内角和定理可求解；（2）根据等腰三角形的性质，可证得∠CDF=∠DEA 和∠EDB=∠DFA ，由此可利用“ASA”证明全等；（3）根据全等三角形的性质可得l =2+AD ，根据AD 的取值范围即可得出l 的取值范围．【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠ABC=∠ACB=60°，∵AD=DE∴∠DAE=∠DEA=30°，∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=90°，故答案为：90°；（2）∵AD=DE=DF ，∴∠DAE=∠DEA ，∠DAF=∠DFA ，∵∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°，∴∠DEA+∠DFA=60°，∵∠ABC=∠DEA+∠EDB=60°，∴∠EDB=∠DFA ，∵∠ACB=∠DFA+∠CDF=60°，∴∠CDF=∠DEA ，在△BDE 和△CFD 中 ∵CDF DEA DE DF EDB DFA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BDE ≌△CFD （ASA ）（3）∵△BDE ≌△CFD ，∴BE=CD ，∴l =BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD=2+AD ，当D 点在C 或B 点时，AD=AC=AB=2,此时B 、D 、E 三点在同一条直线上不构成三角形，2+AD=4；当D 点在BC 的中点时，∵AB=AC ，∴BD=112BC =，AD ==此时22l AD =+=综上可知24l +≤<．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．（1）掌握等腰三角形等边对等角是解决此问的关键；（2）中注意角之间的转换；（3）中注意临界点是否可取．24．（1）见解析；（2）①见解析；②2．【分析】（1）当D 、E 两点重合时，则AD=CD ，然后由等边三角形的性质可得∠CBD 的度数，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得∠F 的度数，于是可得∠CBD 与∠F 的关系，进而可得结论；（2）①过点E 作EH ∥BC 交AB 于点H ，连接BE ，如图4，则易得△AHE 是等边三角形，根据等边三角形的性质和已知条件可得EH=CF ，∠BHE =∠ECF =120°，BH =EC ，于是可根据SAS 证明△BHE ≌△ECF ，可得∠EBH =∠FEC ，易证△BAE ≌△BCD ，可得∠ABE =∠CBD ，从而有∠FEC =∠CBD ，然后根据三角形的内角和定理可得∠BGE =∠BCD ，进而可得结论； ②易得∠BEG =90°，于是可知△BEF 是等腰直角三角形，由30°角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质易求得BE 和BF 的长，过点E 作EM ⊥BF 于点F ，过点C 作CN ⊥EF 于点N ，如图5，则△BEM 、△EMF 和△CFN 都是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质可依次求出BM 、MC 、CF 、FN 、CN 、GN 的长，进而可得△GCN 也是等腰直角三角形，于是有∠BCG =90°，故所求的△BCG 的面积=12BC CG ⋅，而BC 和CG 可得，问题即得解决．【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =60°，当D 、E 两点重合时，则AD=CD ，∴1302DBC ABC ∠=∠=︒， ∵CF CD =，∴∠F =∠CDF ，∵∠F +∠CDF =∠ACB =60°，∴∠F =30°，∴∠CBD =∠F ，∴BD DF =；（2）①∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =60°，AB=AC ，过点E 作EH ∥BC 交AB 于点H ，连接BE ，如图4，则∠AHE =∠ABC =60°，∠AEH =∠ACB =60°，∴△AHE 是等边三角形，∴AH=AE=HE ，∴BH =EC ，∵AE CD =，CD=CF ，∴EH=CF ，又∵∠BHE =∠ECF =120°，∴△BHE ≌△ECF （SAS ），∴∠EBH =∠FEC ，EB=EF ，∵BA=BC ，∠A =∠ACB =60°，AE=CD ，∴△BAE ≌△BCD （SAS ），∴∠ABE =∠CBD ，∴∠FEC =∠CBD ，∵∠EDG =∠BDC ，∴∠BGE =∠BCD =60°；②∵∠BGE =60°，∠EBD =30°，∴∠BEG =90°，∵EB=EF ，∴∠F =∠EBF =45°，∵∠EBG =30°，BG =4，∴EG =2，BE 3∴BF 226BE =232GF =，过点E 作EM ⊥BF 于点F ，过点C 作CN ⊥EF 于点N ，如图5，则△BEM 、△EMF 和△CFN 都是等腰直角三角形， ∴6BM ME MF ===∵∠ACB =60°，∴∠MEC =30°，∴2MC =， ∴62BC =266262CF ==∴262312CN FN ===， ∴)2323131GN GF FN CN =-=-==， ∴45GCN CGN ∠=∠=︒，∴∠GCF =90°=∠GCB ， ∴62CG CF ==∴△BCG 的面积=116262222BC CG ⋅==．故答案为：2．【点睛】本题考查了等腰三角形与等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，涉及的知识点多、难度较大，正确添加辅助线、熟练掌握全等三角形的判定与性质是解①题的关键，灵活应用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质解②题的关键．25．（1）y＝－2x＋12，点C坐标（4，4）；（2）画图形见解析，点D坐标（－4，0）；（3）点P的坐标（143-，643）【分析】（1）由已知的等式可求得m、n的值，于是可得直线AB的函数解析式，把点C的坐标代入可求得a的值，由此即得答案；（2）画出图象，由CD⊥AB知1AB CDk k=-可设出直线CD的解析式，再把点C代入可得CD的解析式，进一步可求D点坐标；（3）如图2，取点F（－2，8），易证明CE⊥CF且CE＝CF，于是得∠PEC＝45°，进一步求出直线EF的解析式，再与直线AB联立求两直线的交点坐标，即为点P.【详解】解：（16m-n﹣12）2＝0，∴m＝6，n＝12，∴A（6，0），B（0，12），设直线AB解析式为y＝kx＋b，则有1260bk b=⎧⎨+=⎩，解得212kb=-⎧⎨=⎩，∴直线AB解析式为y＝－2x＋12，∵直线AB过点C（a，a），∴a＝－2a＋12，∴a＝4，∴点C坐标（4，4）．（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，如图1所示，设直线CD解析式为y＝12x＋b′，把点C（4，4）代入得到b′＝2，∴直线CD解析式为y＝12x＋2，∴点D坐标（－4，0）．（3）如图2中，取点F（－2，8），作直线EF交直线AB于P，图2∵直线EC解析式为y＝32x－2，直线CF解析式为y＝－23x＋203，∵32×（－23）＝－1，∴直线CE⊥CF，∵EC＝13CF＝13∴EC＝CF，∴△FCE是等腰直角三角形，∴∠FEC＝45°，∵直线FE解析式为y＝－5x－2，由21252y xy x=-+⎧⎨=--⎩解得143643xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点P 的坐标为（1464,33-）. 【点睛】本题是一次函数的综合题，综合考查了坐标系中两直线的垂直问题、两条直线的交点问题和求特殊角度下的直线解析式，并综合了勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟知坐标系中两直线垂直满足121k k =-，一次函数的交点与对应方程组的解的关系.其中，第（3）小题是本题的难点，寻找到点F （－2，8）是解题的突破口.26．（1）(0，；（2）DF OE =；（3）9+【分析】（1）由等边三角形的性质得出6OB =，12AB AC BC ===，由勾股定理得出OA ==A 的坐标；（2）由等边三角形的性质得出AD AE =，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，证出FAD OAE ∠=∠，由SAS 证明FAD OAE ∆≅∆，即可得出DF OE =；（3）证出90AGO ∠=︒，求出9AG =，由全等三角形的性质得出AOE AFD ∠=∠，证出6090FDO AFD AOD ∠=∠+︒+∠=︒，由等边三角形的性质得12DG OF ==即可得出答案．【详解】解：（1）ABC ∆是等边三角形，点0()6,B -，点(6,0)C ，6OB ∴=，12AB AC BC ===，OA === ∴点A 的坐标为(0，；（2）DF OE =；理由如下：ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，AD AE ∴=，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，FAD OAE ∴∠=∠，在FAD ∆和OAE ∆中，AF AO FAD OAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()FAD OAE SAS ∴∆≅∆，DF OE ∴=；（3）60AOF ∠=︒，30FOB ∴∠=︒，60ABO ∠=︒，90AGO ∴∠=︒，AFO ∆是等边三角形，AO =·sin 6092AG OA ∴=︒==， FAD OAE ∆≅∆，AOE AFD ∴∠=∠，30DOE AOD AOE ∠=︒=∠+∠，30AOD AFD ∴∠+∠=︒，FDO AFD FAO AOD ∠=∠+∠+∠，60603090FDO AFD AOD ∴∠=∠+︒+∠=︒+︒=︒，AG OF ⊥，AOF ∆为等边三角形，G ∴为斜边OF 的中点，1122DG OF ∴==⨯=ADG ∴∆的周长9AG AD DG =++=+【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．27．（1）13，5；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）当P 的坐标为（1304，）时，PD+PF【解析】【分析】（1）根据阅读材料中A 和B 的坐标，利用两点间的距离公式即可得出答案；由于M 、N 在平行于y 轴的直线上，根据M 和N 的纵坐标利用公式1|y -2|y 即可求出MN 的距离; （2）由三个顶点的坐标分别求出DE ，DF ，EF 的长，即可判定此三角形的形状；（3）作F 关于x 轴的对称点F'，连接DF'，与x 轴交于点P ，此时PD PF +最短，最短距离为DF'，P 的坐标即为直线DF'与x 轴的交点.【详解】解：（1）∵()2, 4A 、()3, 8B --∴AB 13==故A 、B 两点间的距离为：13.∵M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1∴()MN 415=--=故M 、N 两点的距离为5.（2）∵()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F。

【精品讲义】人教版八年级上册数学二勾股定理讲义知识点+例题+练习题

xx教育学生个性化讲义一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。

公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。

勾股定理在西方叫毕达哥拉斯定理，也叫百牛定理。

它是直角三角形的一条重要性质，揭示的是三边之间的数量关系。

它的主要作用是已知直角三角形的两边求第三边。

勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。

2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。

4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。

二、知识结构：三、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积求：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边例如图2，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高，AD＝8，则边BC的长为（）A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对【强化训练】：1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为．直角三角形勾股定理应用判定直角三角形的一种方法2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．（结论：直角三角形的两条直角边的积等于斜边与其高的积，ab=ch）考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若，求①AD的长；②ΔABC的面积．考点四:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题例、某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为．分析：如何利用所学知识，把折线问题转化成直线问题，是问题解决的关键。

初二上数学培优讲义二-A---勾股定理及平方根提高训练

初二上数学培优讲义二 A 勾股定理及平方根提高训练考点一：勾股定理与旋转、折叠的综合例1．（1）．已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90°，D 为AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，且DE ⊥DF ．求证：AE 2＋BF 2＝EF 2．(2)3,8ABCD AE D BC F CE cm AB cm ==将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处，已知，求图中阴影部分的面积？（3）．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，已知AB ＝3，AD ＝9，求BE 的长．考点二：勾股定理与方程和证明：例2．在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于D ，P 为BC 上任一点，求证：AP 2= AB 2—PB ·PC例3.直角△的周长为90cm ，斜边长为41cm ，求这个Rt △的面积。

例4．把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是 9㎝2，那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好．巩固练习：1．在直角ΔABC 中，斜边长为2，周长为2+6，求ΔABC 的面积．2．如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站FE DCB A应建在离A 站多少km 处？3．如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离．4.如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方向100km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以20km/h 的速度向D 移动，已知城市A 到BC 的距离AD=60km ，那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？5.如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？考点三、证明三角形是直角三角形例5、已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且CD 2=AD·BD.求证：△ABC 是直角三角形.巩固练习：1、(如图) 在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=41BC ，求证：∠EFA=90︒.ADFA DEB CABCDA B C D L2、如图，已知：在ΔABC 中，∠C=90︒，M 是BC 的中点，MD ⊥AB 于D ，求证：AD 2=AC 2+BD 2.考点四：运用勾股定理的逆定理进行计算例7、如图，等腰△ABC 中，底边BC ＝20，D 为AB 上一点，CD ＝16，BD ＝12，求△ABC 的周长。

八年级上册数学培优讲义第01讲-勾股定理(提高)-学案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级(上) 课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第01讲-勾股定理授课类型 T 同步课堂P 实战演练S 归纳总结教学目标① 了解勾股定理的内容；② 掌握勾股定理的判别条件； ③ 掌握勾股定理的应用。

授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂一、知识梳理1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果用,a b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么有：222a b c += 。

体系搭建2、勾股定理的常见证明：3、勾股数：我们把满足勾股定理的这样一组数称为勾股数。

常见的勾股数有：3、4 、5；5、12、13 ；6、8、10 ；7、24、25；8、15、17；9、12、15；4、直角三角形的判定：若三角形的三条边满足两边的平方等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。

其中第三边所对的角是直角。

5、勾股定理的应用（1）在直角三角形中，已知两边长求第三边长；（2）求立体图形表面上的两点间的最短距离。

考点一：勾股定理例1、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）A．5个B．4个C．3个D．2个例2、如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6．其中S1=16，S2=45，S5=11，S6=14，则S3+S4=（）A．86 B．64C．54 D．48例3、如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB=5，BC=12，则AD的长为．例4、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，对角线AC⊥CD，点E在边BC上，且∠AEB=45°，CD=10．（1）求AB的长；（2）求EC的长．考点二：勾股定理的判定例1、△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3C．a2=c2﹣b2 D．a：b：c=3：4：6例2、一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°例3、在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（a﹣b）=c2，则（）A．∠A为直角B．∠C为直角C．∠B为直角D．不是直角三角形例4、下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A﹣∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3③△ABC中，a：b：c=13：5：12④△ABC中，三边长分别为8，15，17其中是直角三角形的个数有个．例5、如图，三个正方形的面积分别为S1=3，S2=2，S3=1，则分别以它们的一边为边围成的三角形中，∠1+∠2=度．例6、有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是．例7、如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，求四边形ABCD 的面积．考点三：勾股定理的应用例1、如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（）A．60海里B．45海里C．20海里D．30海里例2、长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为16cm、6cm和6cm，在罐内E处有一小块饼干碎末，此时一（）只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形ABCD中心的正上方2cm处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是多少cm．A．7B．C．24 D．例3、有一棵大树在离地面高9m处断裂，大树顶部在离其底部12m处，大树折断之前的高度是（）A．16m B．20mC．3m D．24m例4、一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？例5、校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路1旁选取一点A，在公路1上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米．已知本路段对校车限速是50千米/时，测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒．（1）求CD的长．（结果保留根号）（2）问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.414，=1.73）P(Practice-Oriented)——实战演练➢课堂狙击1、如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6C．8 D．102、在△ABC中，AB=2，BC=，AC=，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形3、下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5实战演练4、如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，那么所需彩带最短的是（）A．13cm B．4cmC．4cm D．52cm5、从电杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是（）A．24 B．12C．D．26、小红在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如图）拉到岸边，花柄正好与水面成60°夹角，测得AB长1m，则荷花处水深OA为（）A．1m B．2mC．3m D．m7、如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了米．8、已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=2，CD=3，AD=1，求∠DAB的度数．9、如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙ON上，这时梯足B到墙底端O的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？10、如图是某学校主楼梯从底楼到二楼的楼梯截面图，已知BC=7米，AB=6+3米，中间平台DE与地面AB平行，且DE的长度为2米，DM、EN为平台的两根支柱，DM、EN垂直于AB，垂足分别为M、N，∠EAB=30°，∠CDF=45°，楼梯宽度为3米．（1）若要在楼梯上（包括平台DE）铺满地毯，求地毯的长度；（2）沿楼梯从A点到E点铺设价格为每平方米100元的地毯，从E点到C点铺设价格为每平方米120元的地毯，求用地毯铺满整个楼梯共需要花费多少元钱？➢课后反击1、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．19C．25 D．1692、在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（）A．10 B．8C．6或10 D．8或103、在△ABC中，已知AB=1，BC=2，AC=，则（）A．∠A=90°B．∠B=90°C．∠C=90°D．∠A=60°4、如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（）A．12cm B．11cmC．10cm D．9cm5、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（）A．小于1m B．大于1mC．等于1m D．小于或等于1m6、如图是一块地，已知AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，且CD⊥AD，求这块地的面积．7、探索：如图①，以△ABC的边AB、AC为直角边，A为直角顶点，向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，连结BE、CD，试确定BE与CD有怎样数量关系，并说明理由．应用：如图②，要测量池塘两岸B、E两地之间的距离，已知测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．8、某单位有一块四边形的空地，∠B=90°，量得各边的长度如图（单位：米）．现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？直击中考1、【2016•凉州】如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为3m，梯子的顶端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于4m，同时梯子的顶端B下降至B′，求BB′的长（梯子AB的长为5m）．2、【2016•云溪】若a、b、c为△ABC三边长，且a、b、c满足（a﹣5）2+（b﹣12）2+|c﹣13|=0，△ABC 是直角三角形吗？请说明理由．3、【（2016•咸丰】在△ABC中，a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2，其中m、n都是正整数；且m＞n，试判断△ABC是否为直角三角形？重点回顾1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

北师大八年级数学上册勾股定理专题训练优质讲义

勾股定理本章常用知识点：1、勾股定理：直角三角形两直角边的等于斜边的。

如果用字母a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为：。

2、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个，称为勾股数。

常见勾股数有： 3、常见平方数：121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162= 289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222= 529232=； 576242=； 625252=； 676262=；729272=专题归类：专题一、勾股定理与面积 1、、在Rt ▲ABC 中，∠C=︒90,a=5,c=3.，则Rt ▲ABC 的面积S= 。

2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为：。

3、直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 和c 的面积分别为5和11，则b 的面积为 4、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于。

5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是。

6、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c 且满足：a 2+b2+c2+50=6a+8b+10c,则这个三角形的面积为。

7、如图1，︒=∠90ACB ，BC=8,AB=10,CD 是斜边的高，求CD 的长？7、如下图，在?ABC 中，︒=∠90ABC ，AB=8cm ，BC=15cm ，P 是到?ABC 三边距离相等的点，求点P 到?ABC 三边的距离。

8、有一块土地形状如图3所示，︒=∠=∠90D B ，AB=20米，BC=15米，CD=7米，请计算这块土地的面积。

（添加辅助线构造直角三角形）9、如右图：在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°，求四边形ABCD 的面积。

勾股定理—八年级提高班讲义

勾股定理复习一、知识要点1：直角三角形中，已知两边求第三边1.勾股定理：若直角三角形的三边分别为a ，b ，c ， 90=∠C ，则。

公式变形①：若知道a ，b ，则=c ；公式变形②：若知道a，c ，则=b ；公式变形③：若知道b ，c 例1：=b ，c (1)在Rt ABC ∆中，若 90=∠C ，4=a ，=b 3，则=c .(2)在Rt ABC ∆中，若o B 90=∠，9=a ，41=b ，则=c .(3)在Rt ABC ∆中，若 90=∠A ，7=a ，5=b ，则=c .二、知识要点2：利用勾股定理在数轴找无理数。

例2：在数轴上画出表示5的点.在数轴上作出表示10的点．三、知识要点3：判别一个三角形是否是直角三角形。

例3：分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5 （2）5、12、13（3）8、15、17 （4）4、5、6，试找出哪些能够成直角三角形。

四、知识要点4：利用列方程求线段的长例4：如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA =15km ，CB =10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？练一练 9 15 b 练一练 AD E BC五、知识要点5：构造直角三角形解决实际问题六、巩固练习1、写出一组全是偶数的勾股数是 .2、直角三角形一直角边为12 cm ，斜边长为13 cm ，则它的面积为 .3、斜边长为17 cm ，一条直角边长为15 cm 的直角三角形的面积是（）A ．60 cm 2B ．30 cm 2C ．90 cm 2D ．120 cm 24、已知直角三角形的三边长分别为6、8、x ,则以x 为 .5、若一三角形三边长分别为5、12、13，则这个三角形长是13的边上的高是 .6、若一三角形铁皮余料的三边长为12cm ，16cm ，20cm ，则这块三角形铁皮余料的面积为cm 2．7、如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm ．A B。

新北师大版八年级数学上册勾股定理专题训练优质讲义

新北师大版八年级数学上册勾股定理专题训练优质讲义勾股定理是数学中的一个重要定理，它指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

用字母a、b、c表示直角三角形的两直角边和斜边，勾股定理可表示为a²+b²=c²。

满足a²+b²=c²的三个数被称为勾股数，其中常见的有3、4、5和5、12、13等。

在勾股定理与面积的专题中，我们探讨了一些与勾股定理相关的面积问题。

例如，在已知直角三角形两直角边和斜边的长度时，可以使用勾股定理求出该三角形的面积。

又如，在一条直线上有三个正方形，已知其中两个正方形的面积，可以使用勾股定理求出第三个正方形的面积。

此外，在一个直角三角形中，如果已知斜边和另外一条直角边的长度，可以使用勾股定理求出另一条直角边的长度，从而计算出该三角形的面积。

在一些更为复杂的问题中，我们可以通过构造辅助线，将问题转化为已知直角三角形的情形，再使用勾股定理求解。

勾股定理是数学中的基本定理之一，它不仅在几何学中有重要应用，而且在物理学和工程学中也有广泛应用。

因此，掌握勾股定理及其相关知识点，对于提高数学素养和解决实际问题都具有重要意义。

1、在四边形ABCD中，$\angle C$是直角，$AB=13$，$BC=3$，$CD=4$，$AD=12$。

证明：$AD\perp BD$。

解析：根据勾股定理，$AC=\sqrt{BC^2+AB^2}=\sqrt{9+169}= \sqrt{178}$，$BD=\sqrt{CD^2+BC^2}=\sqrt{16+9}= \sqrt{25}=5$。

因为$\angle C$是直角，所以$\triangle ABC$和$\triangle ADC$都是直角三角形。

根据勾股定理，$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}= \sqrt{178+16}= \sqrt{194}$。

同时，$AB^2+CD^2=169+16=185<AD^2=194$。

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理提高培优讲义：勾股定理、逆定理及应用(含答案)

cb a cbED CBACABcba北师大版八年级数学上册第一章勾股定理提高培优讲义：勾股定理、逆定理及应用基础知识梳理模块一：勾股定理及证明 1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别是a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．注：勾——较短的边、股——较长的直角边、弦——斜边． 2．勾股定理的证明：（1）弦图证明内弦图外弦图221()42ABCD S a b c ab =-=+⨯正方形 221()42EFGH S c a b ab ==-+⨯正方形∴222a b c += ∴222a b c +=（2）“总统”法（半弦图）如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：2()()112222ABCDa b a b S ab c +-==⨯+梯形∴222a b c += 3．勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．（1）3、4、5；6、8、10；9、12、15；12、16、20；15、20、25等．（2）(,,)a b c 是组勾股数，则(,,)ka kb kc （k 为正整数）也是一组勾股数. （3）3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；11、60、61等（4）21a n =+，222b n n =+，2221c n n =++（n 为大于1的自然数）DC BAGF E H（5）22a m n =-，2b mn =，22c m n =+（m n >，且m 和n 均为正整数）模块二：勾股定理逆定理及应用 1．勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么前两边的夹角一定是直角．即在ABC △中，如果222AC BC AC +=，那么ABC △是直角三角形．2．勾股定理的常见题型．模块三：例题精讲（1）勾股证明的方法成百上千种，其中《几何原本》中的证法非常经典，是在一个我们非常熟悉的几何图形中实现的（如图所示），如果直角三角形ABC 的三边长为a ，b ，c （c 为斜边），以这三边向外作三个正方形，试利用此图证明222a b c +=．（2）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为__________．【解析】（1）如上图可知：ACF ADB △△≌，2ACED ADB S S =正方形△，2AFGP ACF S S =矩形△，∴2AFGP b S =矩形，同理2GHBP a S =矩形，∴222a b c +=．（2）49cm 2．（1）若把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）． A ．1倍 B ．2倍 C ．3倍 D ．4倍cbaNMHFE DCBAN（2）若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为________．（3）下面几组数：①7，8，9；②12，9，15；③22m n +，22m n -,2mn （m ，n 均为正整数，m n >）；④2a ，21a +，22a +．其中能组成直角三角形的三边长的是（）． A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．③④【解析】（1）B ；（2）可知三边为3，4，5，所以周长为12；（3）B ；容易知道①错误②正确，对于③，由2224224()2m n m m n n -=-+，222(2)4mn m n =，2224224()2m n m m n n +=++所以2222422422222()(2)(2)4()m n mn m m n n m n m n -+=-++=+．所以，以这三条线段的长为边的三角形是直角三角形．答案选B ．ABC △中，BC a =，AC b =，AB c =．若90C ∠=︒，如图3-1，根据勾股定理，则222a b c +=．若ABC △不是直角三角形，如图3-2，90C ∠<︒；如图3-3，90C ∠<︒．请你类比勾股定理，试猜想22a b +与2c 的关系，并证明你的结论．图3-1 图3-2 图3-3【解析】图2猜想：222a b c +>．证明：过点A 作AD BC ⊥于D ，设CD x =，222AD b x =-，22222222()()2c a x b x a ax x b x =-+-=-++-，即22220a b c ax +-=>，故222a b c +>．图1a b c b ccb a A B CA B C C B Aa bcbcAA B C C B a bcABC DabcAC B图3猜想：222a b c +<．证明：过B 作BD AC ⊥，交AC 的延长线于D ．设CD 为x ，则有222BD a x =-．根据勾股定理，得2222()b x a x c ++-=．即2222a b bx c ++=，∵0b >，0x >，∴20bx >，∴222a b c +<．（1）如果直角三角形的两边长为4、5，则第三边长为________．（2）如果直角三角形的三边长为10、6、x ，则最短边上的高为________．（3）若|1|0a b --，则以a 、b 为边的直角三角形的第三边为________．在ABC △中，15AB =，13AC =，高12AD =，则三角形的周长是_________．【解析】32或42．【提示】题型：已知三角形的两边及第三边高求第三边，B 卷填空必考题，一般题目无图，为易错题，切记要分类讨论,分形内高和形外高．（1）如图6-1，四边形ABCD 中，AB BC ⊥，1AB =，2BC =，2CD =，3AD =，求四边形ABCD 的面积．（2）如图6-2，在四边形ABDC 中，BD CD ⊥，6BD =，8CD =，24AB =，26AC =，求该四边形面积．Da bcABC图6-1 图6-2（2）96．四边形ABDC 的面积为96．连接BC ，根据勾股定理可得10BC =，因为222BC AB AC +=，所以ABC △为直角三角形，故四边形ABDC 的面积1202496ABC BCD S S S =-=-=△△．（1）如图，梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置，BD 长0.5米，则梯子顶端A 下落了________米．（2）梯子靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米，现将梯子的底端向外移动到C ，使梯子底端C 到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端B 下降至D ，那么BD （）A ．等于1米B ．大于1米C ．小于1米D ．以上结果都不对（3）如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC BC ⊥，AC BC =，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯子B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（） A ．x y = B ．x y > C ．x y <D ．不确定【解析】（1）0.5；（2）C ；（3）选B ，设AC BC a ==米，AB CDDC BA EA BCD化简得222()0a x y x y -=+>，x y >．（1）若直角三角形斜边长为4，周长为4+________．（2）如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D，若AD =，BC =ABC △的周长．（2）222AB AC AB AC ⎧+=⎪⎨⨯=⎪⎩6AB BC +=，6ABC C =+△．（1）已知9-1，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，如果8cm AB =，10cm BC =，求EC 的长．（2）如图9-2，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在'C 处，'BC 交AD 于E ，16AD =，8AB =，则DE 的长度为________．（3）如图9-3，矩形纸片ABCD 的长9cm AD =，宽3cm AB =，沿EF 将其折叠，使点D 与点B 重合，则折痕EF 的长为________cm ．图9-1 图9-2 图9-3【解析】（1）由题意得，10cm AF AD ==．在ABF △中，应用勾股定理得，6cm BF =．EDC'CB A所以1064FC BC BF cm =-=-=．在CEF △中，应用勾股定理，设cm EC x =，得222(8)4x x -=+．解得3x =，即3cm EC =．（2）设ED x =，因为CBD EBD EDB ∠=∠=∠，则EB ED x ==，16AE AD ED x =-=-，在Rt E AB △中，由勾股定理可得： 222(16)8x x +=-，∴10x =，即10DE =．（3）设AE x =，因为BEF DEF BFE ∠=∠=∠，则9BE DE B x F ===-，根据勾股定理得：222AB AE BE +=，即222239(9)x x x +=+=-，解得：4x =； ∴4AE =，∴5DE BF ==，∴4CF DM ==，∴1EM =，根据勾股定理得：EF ==；若0x >，0y >且12x y +=【解析】如下图，不妨设12AB =，AC AB ⊥，BD AB ⊥，2AC =，3BD =，P 为线段AB 上的动点，AP x =，于是PB y =，PC，PD 问题转化为求点C ，D 之间距离的最小值．当P ，C ，D 三点不共线时，有PC PD CD +>；当P ，C ，D 共线时，PC PD CD +=．于是点C ，D13．【教提示】数形结合，几何构造，将军饮马．模块四：课后作业设计y 2+9x 2+432y xPDC B ADCA1、如图1-1，分别以直角三角形A 、B 、C 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，则不难证明123S S S =+）（1）如图1-2，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，那么1S 、2S 、3S 之间有什么关系？（不必证明）（2）如图1-3，分别以直角三角形A 、B 、C 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，请你确定1S 、2S 、3S 之间的关系并加以证明．图1-1 图1-2 图1-3【解析】（1）设BC 、CA 、AB 长分别为a 、b 、c ，则222c a b =+，123S S S =+；（2）123S S S =+．证明如下：显然，21S =，22S =，23S ， ∴222231)S S a b S +=+==．【点评】分别以直角三角形ABC 三边为一边向外作“相似形”，其面积对应用1S 、2S 、3S 表示，则123S S S =+（设斜边所做图形面积为1S ）．2、已知a ，b ，c 是三角形的三边长，222a n n =+，21b n =+，2221c n n =++（n 为大于1的自然数），试说明ABC △为直角三角形．【解析】因为222212221n n n n n ++>+>+，222222(221)(22)441(21)n n n n n n n ++-+=++=+．所以22222(21)(22)(221)n n n n n +++=++，所以ABC △为直角三角形．3、如图，四边形ABCD 中，6cm AB =，8cm BC =，24cm CD =，26cm DA =，且90ABC ∠=︒，则四边形ABCD 的面积是（）cm 2．A ．336B ．144C ．102D ．无法确定B CS 1S 2图图图1A B C S 1S 3S 2图图2A BC S 1S 3S 2图3ABDC【解析】答案：B ．连接AC ，运用勾股定理逆定理．4、如图，一根长5米的竹篙AB 斜靠在与地面垂直的墙上，顶端A 距离墙根4米，若竹篙顶端A 下滑1米，则底端B 向外滑行了多少米？【解析】设竹篙顶端下滑1米到1A 点，底端向外滑行到1B 点．由题意得AA 1=1m ，113m AC AC AA =-=，在11Rt ACB△中：14m B C ，在Rt ABC△中：3m BC ==， 111BB B C BC m =-=，即竹篙顶端A 下滑1米，则底端B 向外滑行了1米．5、（1）（在ABC △中15AB =，13AC =，高12AD =，则ABC S =△_______．（2）如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，若AD =，BC =ABC △的周长为________．【解析】（1）24或84（分类讨论：行外高和行内高，对应例5）（2）4+8考查直角三角形与知二推二综合）．6、（1）如图6-1，已知ABC △是直角边长为1的等腰直角三角形，以Rt ABC △的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt ACD △，再以Rt ACD △的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt ADE △，……，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是________．ABC（2）如图6-2，矩形ABCD 中，5cm AB =，3cm BC =，如图所示折叠矩形纸片ABCD ，使D 点落在边AB 上一点E 处，折痕端点G 、F 分别在边AD 、DC 上，则当折痕端点F 恰好与C 点重合时，AE 的长为________cm ．图6-1 图6-2（3）若0x >，0y >且15x y +=________．【解析】（1）由题意可得：第1个等腰直角三角形，ABC △中，斜边长1AB BC ==，AC；第2个等腰直角三角形，ACD △中，斜边长22AD ===；第3个等腰直角三角形，ADE △中，斜边长3AE ==；依此类推，……第n个等腰直角三角形中，斜边长为n ．（2）F 点与C 点重合时（如图），∵在矩形ABCD 中，5AB =，3BC =， ∴5CD AB ==，90B ∠=︒，由折叠的性质可得：5CE CD ==，∴4BE =， ∴1AE AB BE =-=．（3）答案：25（对应例题10，几何构造）．GFED CB A。

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初二上数学培优讲义二 A 勾股定理及平方根提高训练
考点一：勾股定理与旋转、折叠的综合
例1．（1）．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2＋BF2＝EF2．
(2)3,8
ABCD AE D BC F CE cm AB cm
==将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处，已知，
求图中阴影部分的面积？
（3）．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．
考点二：勾股定理与方程和证明：
例2．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，P为BC上任一点，求证：AP 2= AB2—PB·PC
例3.直角△的周长为90cm，斜边长为41cm，求这个Rt△的面积。

例4．把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是
9㎝2，那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好．
巩固练习：1．在直角ΔABC中，斜边长为2，周长为2+6，求ΔABC的面积．
2．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应
F
E
D
C
B
A
建在离A 站多少km 处？
3．如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离．
4.如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方向100km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以20km/h 的速度向D 移动，已知城市A 到BC 的距离AD=60km ，那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
5.如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
考点三、证明三角形是直角三角形
例5、已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且CD 2=AD·BD.求证：△ABC 是直角三角形.
巩固练习：1、(如图) 在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，
E 为BC 上一点，且EC=41
BC ，求证：∠EFA=90︒.
A
D
F
D
E
B C
A
B
C
D
A B C D L
2、如图，已知：在ΔABC中，∠C=90︒，M是BC的中点，MD⊥AB于D，求证：AD2=AC2+BD2.
考点四：运用勾股定理的逆定理进行计算
例7、如图，等腰△ABC中，底边BC＝20，D为AB上一点，CD＝16，BD＝12，
求△ABC的周长。

考点五、平方根计算规律大总结：
1====
2====
3、
2
=
2
=2=2=
4====
5====
考点六、算术平方根与原数之间的转换计算：
例8．一个自然数的算术平方根为a，则与它相邻的下一个自然数的算术平方根是（）
A B.1
a+ C.21
a+ D.
例9：若2
+
x=2，则2x+5的平方根是______．
练习1：一个正偶数的算术平方根是m，则和这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是（）A．m+2 B．m+2 C．2
2+
m D．2
+
m
练习2：已知:2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2 n的平方根．
考点七、一个数能进行算术平方根与平方根的条件；算术平方根为一个非负数：
例10：若1
4+
a有意义，则a能取的最小整数为____．例11：若|x－2|+3
-
y=0，则x·y=______．练习3：若1
2+
x有意义，则x范围是____．练习4：已知｜x－4｜+y
x+
2=0，那么x=______，y=______．练习5：已知()2
410,
b a
-+-=______.
=
A
B
C M
D
练习6．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是考点八、关于字母的平方根或算术平方根的计算：
例12：2a = 例13：如果a ＜0，那么2a =________，（a -）2=________．
例14)1_______.a =≥=
练习7：
（1）若0a ≥==
2
===
（2）若0a == 2
===
练习8=)3a ≤=)2x ≤=______.
考点九、平方根是两个互为相反数：
例15：已知某数有两个平方根分别是a +3与2a －15，求这个数．
练习9：若2431m m --与是同一个数的平方根，则m=_________. 考点十、方程思想解二次方程：
例10：若9x 2－49=0，则x=________．例11：解方程()2
127.x += 练习10：解方程（
2
1
x ）2=16 （x +5）2=144
考点十一、平方根综合题
1. 若5的小数部分为a ，5的小数部分为b ，求a ＋b 的值.
2. 已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ，a 和b 2
)2(-b ＝0，求c 的取值范围.
3. 已知a 、b (0b -=，求a 2008－b 2008的值.
4. 已知a 、b 、c 满足
18|a －b ＋4|＋＋2)21(+c ＝0 5. 已知a 、b 满足5-a +2a -5=b+4,求ab 的值。

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