人教A版高中数学必修五高二不等式

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高中数学人教版必修5 2.2基本不等式(共27张PPT)

提问2：那4个直角三角形的面积和是多
少呢？
D
GF C
A HE
B
引入新课提问3：根据观察4个直角三角形的面积
和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式 a 2 b2 2ab ，什么时候这两部分面积相等呢？
D GF C A HE
B
讲授新课
一般地，对于任意实数a、b，我们有 a 2 b2 2ab ，当且仅当a＝b时，等号成立.
课堂小结
(1)函数的解析式中，各项均为正数； (2)函数的解析式中，含变数的各项的和或
积必须有一个为定值； (3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，
取得最值.
即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.
称 ab 为正数a, b的几何平均数.
a2 b2 2ab和 a b ab成立的条 2
件是不同的.
讲授新课
提问5：观察右图，你能得到不等式
ab a b (a 0, b 0)
2
D
的几何解释吗？
A
C
E
讲授新课
ab a b 2
我们常把a b 叫做正数a, b的算术平 2
讲授新课
基本不等式：
(1) 如果a, b R,那么a2 b2 2ab(当且仅当a b时取“”号) ; (2) 如果a, b是正数,那么 a b ab(当且
2 仅当a b时取“”号) ;
前者只要求a, b都是实数，而后者要求a, b都是正数.
讲授新课
2. 我们称 a b 为正数a, b的算术平均数， 2
2.2基本不等式：
ab a b 2
引入新课提问1：我们把“风车”造型抽象成下图.

高中数学人教A版必修五第三章3.1.1不等式及其性质1教学设计

3.1.1 不等式及其性质1通过本节课的学习让学生从一系列的具体问题情境中感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用，这是学习本章的基础，也是不等关系在本章内容的地位与作用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较的过程，即能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，这是学习本章第三节的基础.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的学生易于处理的问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，这也是学生学习本章的情感基础.根据本节课教学内容，应用观察、抽象归纳、思考、交流、探究，得出数学模型，进行启发式教学并使用投影仪辅助.教学重点1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题；3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值. 教学难点1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系；2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题.教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2.了解不等式或不等式组的实际背景；3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题.二、过程与方法1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性三、情感态度与价值观1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课师日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？生实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.生实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则x a＜x b.(老师协助画出数轴草图)生实例3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4:两点之间线段最短.实例5:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.(学生迫不及待地说出这么多,说明课前的预习量很充分,学习数学的兴趣浓,此时老师应给以充分的肯定和表扬)推进新课师同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系,非常好.而且大家已经考虑到本节课的标题不等关系与不等式,所举的实例都是反映不等量关系,这将暗示我们这节课的效果将非常好.(此时，老师用投影仪给出课本上的两个实例)实例6:限时40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h.实例7:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%.［过程引导］师能够发现身边的数学当然很好,这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说,能用数学的眼光、数学的观点、进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程,这是我们每个研究数学的人来说必须要做的,那么,我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?生可以用不等式或不等式组来表示.师什么是不等式呢?生用不等号将两个解析式连结起来所成的式子叫不等式.（老师给出一组不等式-7＜-5；3+4＞1+4；2x≤6；a+2≥0;3≠4.目的是让同学们回忆不等式的一些基本形式，并说明不等号“≤，≥”的含义，是或的关系.回忆了不等式的概念，不等式组学生自然而然就清楚了）师能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，通过对不等式数学模型的研究，反过来作用于我们的现实生活，这才是我们学习数学的最终目的.（此时，同学们已经迫不及待地想说出自己的观点.）［合作探究］生我们应该先像实例2那样用不等式或不等式组把上述实例中的不等量关系表示出来.师说得非常好，下面我们就把上述实例中的不等量关系用不等式或不等式组一一表示出来.那应该怎么样来表示呢?（学生轮流回答，老师将答案相应地写在实例后面）生上述实例中的不等量关系用不等式表示应该为32℃≤t≤26℃.生可以表示为x≥0.（此时，学生有疑问，老师及时点拨，可以画出图形.让学生板演）（老师顺便画出三角形草画）生|AC|+|BC|＞|AB|(只需结合上述三角形草图).生|AB|+|BC|＞|AC|、|AC|+|BC|＞|AB|、|AB|+|AC|＞|BC|.生|AB|-|BC|＜|AC|、|AC|-|BC|＜|AB|、|AB|-|AC|＜|BC|.交换被减数与减数的位置也可以.生如果用v表示速度，则v≤40 km/h.生f≥2.5%或p≥2.3%.(此时,一片安静,同学们在积极思考)生这样表达是错误的,因为两个不等量关系要同时满足，所以应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，即可以表示为⎩⎨⎧≥≥%.3.2%,5.2p f 生也可表示为f ≥2.5%且p ≥2.3%. 师同学们看这两位同学的观点是否正确?生 (齐答)大家齐声说，都可以.师同学们的思考很严密,很好!应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，也可以用“且”的形式来表达.课堂练习教科书第83页练习1、2.(老师让学生轮流回答，学生回答很好.此时，同学们已真正进入了本节课的学习状态,老师再用投影仪给出课本上的三个问题.问题是数学研究的核心，以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识）【问题1】设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点.［活动与探究］师请同学们用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量关系.(此时,教室一片安静,同学们在积极思考,时间较长,老师应该及时点拨)［方法引导］师前面我们借助图形来表示不等量关系,这个问题是否可以?(可以让学生板演，结合三角形草图来表达)过点A 作AC ⊥平面α于点C ，则d=|AC |≤|AB |.师这位同学做得很好,我们在解决问题时应该贯穿数形结合的思想,以形助数,以数解形.师请同学们继续来处理问题2.［合作探究］【问题2】某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢?生可设杂志的定价为x 元，则销售量就减少2.01.05.2⨯-x 万本. 师那么销售量变为多少呢？如何表示？生可以表示为)2.01.05.28(⨯--x 万本，则总收入为x x )2.01.05.28(⨯--万元.〔老师板书，即销售的总收入为不低于20万元的不等式表示为)2.01.05.28(⨯--x x ≥20〕师是否有同学还有其他的解题思路？生可设杂志的单价提高了0.1n 元，(n ∈N *)，（下面有讨论的声音，有的同学存在疑问，此时老师应密切关注学生的思维状况）师为什么可以这样设？生我只考虑单价的增量.师很好，请继续讲.生那么销售量减少了0.2n万本，单价为(2.5+0.1n)元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20.师这位同学回答得很好，表述得很准确.请同学们对两种解法作比较.（留下让学生思考的时间）师请同学们继续思考第三个问题.［合作探究］【问题3】某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm 和600 mm两种,按照生产的要求,600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式?师假设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根.根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？生截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm.生截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍.生截得两种钢管的数量都不能为负.师上述的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？生它们要同时满足条件，应该是且的关系.生由实际问题的意义，还应有x,y ∈N. 师这位同学回答得很好，思维很严密.那么我们该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？生要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥≥≤+.,,0,0,3,40000600500N y x y x y x y x 师这位同学回答很准确.通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等组把实际问题中所隐含的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好.请同学们再完成下面这个练习.课堂练习练习：若需在长为 4 000 mm 的圆钢上，截出长为698 mm 和518 mm 两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组?分析：设截出长为698 mm 的毛坯x 个和截出长为518 mm 的毛坯y 个，把截取条件数学化地表示出来就是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≥≤+.,,0,0,4000518698N y x y x y x （练习可让学生板演，老师结合学生具体完成情况作评析，特别应注意x ≥0,y ≥0,x,y ∈N ）课堂小结师通过今天的学习，你学到了什么知识，有何体会？生我感到学习数学可以帮助我们解决生活中的实际问题.生数学就在我们的身边，与我们的生活联系非常紧密，我更加喜爱数学了.生本节课我们还进一步巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式组，并且用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题.师我来补充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式组表示实际问题中的不等关系时，思维要严密、规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用.（慢慢培养学生学会自己来归纳总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.进而培养学生的概括能力和语言表达能力）布置作业第84页习题3.1A组4、5.板书设计不等关系与不等式（一）实例方法引导方法归纳如何用不等式或不等式组表示实例剖析（知识方法应用）小结实际问题中不等量关系？示范解题备课资料一、备用习题1.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.分析：设x,y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,661518,104y x y x y x 2.某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难.为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（小李除外）决定承担这笔费用.若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上.问该班共有多少人？这笔开学费用共多少元？请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来，不必解答.分析：设该班共有x 人，这笔开学费用共y 元，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=-=-.,4011,10,8412*N x y x y x y x ＜.3.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.分析：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意，知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,8.11.03.0,10y x y x y x 4.某企业生产A 、B 两种产品，A 产品的单位利润为60元，B 产品的单位利润为80元，两种产品都需要在加工车间和装配车间进行生产，每件A 产品在加工车间和装配车间各需经过0.8 h 和2.4 h ，每件B 产品在两个车间都需经过1.6 h ，在一定时期中，加工车间最大加工时间为240 h ，装配车间最大生产时间为288 h.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来. 分析：设该企业分别生产A 产品x 件、B 产品y 件，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≤+≤+.,0,,2886.14.2,2406.18.0Z y x y x y x y x 二、课外探究开放性问题已知：不等式组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥=+≥+,,,1,1,100,50N y x y x y x y x 你能举出符合此不等式组的实际问题吗？。

2015-2016学年高二数学练习第三章《不等式》章末归纳总结新人教A版必修5

【成才之路】2015-2016学年高中数学第三章不等式章末归纳总结新人A 教版必修5一、选择题1．(2015·四川理，1)设集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0}，集合B ＝{x |1<x <3}，则A ∪B ＝( )A ．{x |－1<x <3}B ．{x |－1<x <1}C ．{x |1<x <2}D ．{x |2<x <3}[分析] 考查集合的基本运算和一元二次不等式的解法．解答本题先解不等式求出A ，再按并集的意义求解．[答案] A[解析] A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |1<x <3}， ∴A ∪B ＝{x |－1<x <3}，选A ．2．已知a ＋b ＞0，b ＜0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞－b ＞－a B ．a ＞－b ＞－a ＞b C ．a ＞－b ＞b ＞－a D ．a ＞b ＞－a ＞－b[答案] C [解析]⎭⎪⎬⎪⎫a ＋b ＞0⇒a ＞－b b ＜0⇒－b ＞0⇒a ＞－b ＞0⇒－a ＜b ＜0.∴选C ．另解：可取特值检验．∵a ＋b >0，b <0，∴可取a ＝2，b ＝－1，∴－a ＝－2，－b ＝1，∴－a <b <－b <a ，排除A 、B 、D ，∴选C ．3．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－1，或x ≥92B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤92C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－92或x ≥1 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－92≤x ≤1 [答案] D[解析] 解法1：取x ＝1检验，满足排除A ；取x ＝4检验，不满足排除B ，C ；∴选D ．解法2：化为：2x 2＋7x －9≤0，即(x －1)(2x ＋9)≤0，∴－92≤x ≤1.4．若2x＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2][答案] D[解析] ∵2x＋2y≥22x ＋y，∴22x ＋y≤1，∴2x ＋y≤14＝2－2，∴x ＋y ≤－2，故选D ． 5．(2014·安徽理，5)x , y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A ．12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1[答案] D[解析] 本题考查线性规划问题．如图，z ＝y －ax 的最大值的最优解不唯一，即直线y ＝ax ＋z 与直线2x －y ＋2＝0或x ＋y －2＝0重合，∴a ＝2或－1.画出可行域，平移直线是线性规划问题的根本解法．6．当x ∈R 时，不等式kx 2－kx ＋1>0恒成立，则k 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．[0,4) D ．(0,4)[答案] C[解析] k ＝0时满足排除A 、D ；k ＝4时，不等为4x 2－4x ＋1>0，即(2x －1)2>0，显然当x ＝12时不成立．排除B ，选C ．二、填空题7．已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. [答案] 36[解析] 由基本不等式可得4x ＋a x≥24x ·ax ＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即x ＝a2时等号成立．故a2＝3，a ＝36.8．已知：a 、b 、x 、y 都是正实数，且1a ＋1b＝1，x 2＋y 2＝8，则ab 与xy 的大小关系是________．[答案] ab ≥xy[解析] ab ＝ab ·(1a ＋1b)＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≥4，等号在a ＝2，b ＝2时成立，xy ≤x 2＋y 22＝4，等号在x ＝y ＝2时成立，∴ab ≥xy .三、解答题9．(1)设a 、b 、c 为△ABC 的三条边，求证：a 2＋b 2＋c 2<2(ab ＋bc ＋ca )； (2)若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求ab 的取值范围．[分析] (1)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，各边长均为正数．再结合轮换对称关系设法构造三个不等式相加．(2)由ab ＝a ＋b ＋3出发，求ab 的范围，关键是寻找ab 与a ＋b 之间的联系，由此联想到基本不等式a ＋b ≥2ab .[解析] (1)∵a 、b 、c 是△ABC 的三边，不妨设a ≥b ≥c >0则a >b －c ≥0，b >a －c ≥0，c >a －b ≥0.平方得：a 2>b 2＋c 2－2bc ，b 2>a 2＋c 2－2ac ，c 2>a 2＋b 2－2ab ，三式相加得：0>a 2＋b 2＋c 2－2bc －2ac －2ab . ∴2ab ＋2bc ＋2ac >a 2＋b 2＋c 2. (2)令ab ＝t (t >0)． ∵a ，b 均为正数，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即得t 2≥2t ＋3，解得t ≥3或t ≤－1(舍去)， ∴ab ≥3，故ab ≥9，∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．10．m 为何值时，关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两根： (1)都大于1；(2)一根大于2，一根小于2. [解析] 设方程的两根分别为x 1、x 2. (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＋x 2>2x 1－x 2－，即⎩⎪⎨⎪⎧m －2－m －m －18>2m －78－m －18＋1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤9或m ≥25m >17m ∈R，∴m ≥25.(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0x 1－x 2－，即⎩⎪⎨⎪⎧m －2－m －m －78－m －8＋4<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m <9或m >25m >27，∴m >27.一、选择题11．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝{x |x －2x≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x <0} B ．{x |0<x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2} D ．{x |0≤x ≤1}[答案] B[解析] 因为集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |0<x ≤1}，选B ． 12．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab <b 2<1 B ．log 12b <log 12a <0C ．2b<2a <2 D ．a 2<ab <1[答案] C[解析] 取a ＝12，b ＝13验证可知选C ．13．小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b (a a 2－a2a ＋b＝0，∴v >a .14．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0x －y ≥02x －y －2≥0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是( ) A ．[－1，13]B ．[－12，13]C ．[－12，＋∞)D ．[－12，1)[答案] D[解析] 作出可行域如右图所示，由于ω＝y －1x ＋1可理解为经过点P (－1,1)与点(x ，y )的直线的斜率，而k PA ＝0－11－－＝－12，另一直线斜率趋向1，因此ω的取值范围为[－12，1)．二、填空题15．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________．[答案] 20[解析] 设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x，一年的总存储费用为x ，所以一年的总运费与总存储费用为400x＋x ≥2400x ·x ＝40，当且仅当400x＝x ，即x ＝20时等号成立．故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨．16．(2014·苏州调研)若m 2x －1mx ＋1＜0(m ≠0)对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是________．[答案] (－∞，－12)[解析] 依题意，对任意的x ∈[4，＋∞)，有f (x )＝(mx ＋1)(m 2x －1)＜0恒成立，结合图象分析可知⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－1m＜4，1m 2＜4，由此解得m ＜－12，即实数m 的取值范围是(－∞，－12)．三、解答题17．已知a ∈R ，试比较11－a 与1＋a 的大小．[解析] 11－a －(1＋a )＝a21－a .①当a ＝0时，a 21－a ＝0，∴11－a＝1＋a . ②当a ＜1且a ≠0时，a 21－a ＞0，∴11－a ＞1＋a .③当a ＞1时，a 21－a ＜0，∴11－a＜1＋a . 综上所述，当a ＝0时，11－a ＝1＋a ；当a ＜1且a ≠0时，11－a ＞1＋a ；当a ＞1时，11－a＜1＋a . 18．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．[解析] (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a >0，且0<x <m <n <1a，∴x －m <0,1－an ＋ax >0.∴f (x )－m <0，即f (x )<m .。

新课标人教A版数学必修5全部课件：不等式的复习(3)

( x 2)(x 5) 0 4.不等式组与不 x( x a) 0 等式( x 2)(x 5) 0同解, 则a 的取值范围是 a 2 _ __________
5.解不等式 x 4x 3 x 4 x 3
2 2
3 6.若不等式 x ax 的 2 解集为(4, b ), 求a, b的值.
7.解不等式 80 x x 3 3 9
8.若8x 8(a 2)x a 5 0 对任意实数均成立求实数 x , a 的取值范围 .
4 2
不等式的解法
1.一元二次不等式类 2.一元高次不等式 3.无理不等式
4.绝对值不等式
( 2) ax b cx d m
型
(1) 形如 f ( x) a或 f ( x ) a
定
理
a b ab a b
例1 (1)a, b R , 分别求下列不等式定理取 “” 号的条件： (i ) ab 0 (i ) a b a b (ii) ab 0 (ii) a b a b (iii) a b 且ab 0 (ii i) a b a b (iv) a b 且ab 0 (iv) a b a b

D. x 0 x 3
2.不等式 x 1 x 2 1 0解集是( D ) A . R B. C. 1 , D. 2 ,
3.对任意 R, 不等式x 1 x 2 k x 恒成立则k的取值范围是 k 3 _ , __________
( 2)若不等式 bx c 0解集 ax

新课标人教A版数学必修5全部课件：不等式的解法(2)

98 年全国高考题
|x 2、关于实数x的不等式：
2
( a 1) 2

2
|
( a 1) 2
2
与 x 3 ( a 1 ) x 2 ( 3 a 1) 0 ( a R )
的解集分别为A、B，求使
A B
时实数a的取值范围
3、已知a、b是不相等的实数，且
a b a b
2、解不等式：
(1) k ( x 2 ) k ( 3 x 1) 2 ( x 2 ) 0
2
( 2 ) ax ( a 1) x 1 0
2
练习：
1、设a与b不相等，解关于x的不等式：
a x b (1 x ) [ ax b (1 x )]
2 2 2
3 3 2
2
求证 : 0 a b
4 3
4、设不等式：
x 3x 4
2
( m 1) x 2 ( m 1) x 2 m 3
2
0
对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。
5、设计一幅宣传画，要求画面面积为 4840平方厘米，画面的宽与高之比为 a(a>1),画面的上下各留8厘米的空白，左右各留5厘米空白，怎样确定画面高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果a [ 2 / 3,3 / 4 ]，那么a为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？
不等式的解法举例
一、绝对值不等式
1 .解不等式 | x 5 x 5 | 1
2
知识点： | x | a ( a 0 ) a x a
1 2
2 .解不等式
| x x |
2
x

人教版A版高中数学高二版必修5习题一元二次不等式及其解法

[A 基础达标]1．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12B. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23 解析：选 A.因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12. 2．下列四个不等式：①－x 2＋x ＋1≥0；②x 2－25x ＋5>0；③x 2＋6x ＋10>0；④2x 2－3x ＋4<1.其中解集为R 的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：选C.①显然不可能； ②中Δ＝(－25)2－4×5>0，解集不为R ；③中Δ＝62－4×10<0.满足条件；④中不等式可化2x 2－3x ＋3<0所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C.3．关于x 的不等式ax 2＋bx －2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞，则ab 等于( ) A ．－24B ．24C ．14D ．－14 解析：选 B.由已知可得－12，13是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，由根与系数的关系得⎩⎨⎧－12＋13＝－ba ，⎝⎛⎭⎫－12×13＝－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝2，所以ab ＝24. 4．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( )A ．(0，2)B ．(－2，1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1，2)解析：选B.由a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2＜0，所以－2＜x ＜1.5．已知2a ＋1<0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是( )A ．{x |x >5a 或x <－a }B ．{x |x <5a 或x >－a }C ．{x |－a <x <5a }D ．{x |5a <x <－a }解析：选B.因为x 2－4ax －5a 2>0，所以(x －5a )(x ＋a )>0.因为a <－12，所以5a <－a .所以不等式的解为x >－a 或x <5a .故选B.6．不等式2x 2－x ＋1>0的解集是________．解析：由Δ＝1－4×2<0，则原不等式的解集为R .答案：R7．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2）>0，|x |<1的解集为________．解析：原不等式组可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <－2或x >0，－1<x <1，解得0<x <1. 答案：{x |0<x <1}8．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则关于x 的不等式bx 2－ax －2>0的解集为________．解析：因为ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，所以⎩⎨⎧2a ＝－2，－b a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，所以bx 2－ax －2>0，即x 2＋x －2>0，解得x >1或x <－2.答案：{x |x >1或x <－2}9．解下列不等式：(1)(5－x )(x ＋1)≥0；(2)9x 2－6x ＋1<0.解：(1)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}．(2)因为Δ＝0，方程9x 2－6x ＋1＝0有两相等实根，x 1＝x 2＝13，所以不等式9x 2－6x ＋1<0的解集为∅.10．设f (x )＝(m ＋1)x 2－mx ＋m －1.(1)当m ＝1时，求不等式f (x )> 0的解集；(2)若不等式f (x )＋1>0的解集为⎝⎛⎭⎫32，3，求m 的值．解：(1)当m ＝1时，不等式f (x )>0为2x 2－x >0，因此所求解集为(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞.(2)不等式f (x )＋1>0，即(m ＋1)x 2－mx ＋m >0，由题意知32，3是方程(m ＋1)x 2－mx ＋m ＝0的两根，因此⎩⎪⎨⎪⎧32＋3＝mm ＋132×3＝m m ＋1⇒m ＝－97.[B 能力提升]1．已知f (x )＝(x －a )(x －b )＋2(a <b )，且α，β(α<β)是方程f (x )＝0的两根，则α，β，a ，b 的大小关系是( )A ．a <α<β<bB ．a <α<b <βC ．α<a <b <βD ．α<a <β<b解析：选A.因为α，β为f (x )＝0的两根，所以α，β为f (x )＝(x －a )(x －b )＋2与x 轴交点的横坐标．因为a ，b 为(x －a )(x －b )＝0的根，令g (x )＝(x －a )(x －b )，所以a ，b 为g (x )与x 轴交点的横坐标．可知f (x )图象可由g (x )图象向上平移2个单位得到，由图知选A.2．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．解析：由题意解得32<[x ]<152，又[x ]表示不大于x 的最大整数，所以[x ]的取值为2，3，4，5，6，7，故2≤x <8.答案：[2，8)3．解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2＜0.解：方程x 2－ax －2a 2＝0的判别式Δ＝a 2＋8a 2＝9a 2≥0，得方程两根x 1＝2a ，x 2＝－a .(1)若a ＞0，则－a ＜x ＜2a ，此时不等式的解集为{x |－a ＜x ＜2a }；(2)若a ＜0，则2a ＜x ＜－a ，此时不等式的解集为{x |2a ＜x ＜－a }；(3)若a ＝0，则原不等式即为x 2＜0，此时解集为∅.综上所述，原不等式的解集为：当a ＞0时，{x |－a ＜x ＜2a }；当a ＜0时，{x |2a ＜x ＜－a }；当a ＝0时，∅.4．(选做题)(2016·广东云浮月考)已知函数f (x )＝x 2－(a ＋1)x ＋a .(1)当a ＝2时，求关于x 的不等式f (x )>0的解集；(2)求关于x的不等式f(x)<0的解集．解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2－3x＋2，因为f(x)>0，所以x2－3x＋2>0，令x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2，所以原不等式的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)．(2)因为f(x)<0，所以f(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)<0，令(x－a)(x－1)＝0，解得x1＝a，x2＝1，当a>1时，原不等式的解集为(1，a)；当a＝1时，原不等式的解集为空集；当a<1时，原不等式的解集为(a，1)．。

高中数学第三章不等式 3.1 算术平均数与几何平均数教案新人教A版必修5-新人教A版高二必修5

算术平均数与几何平均数【教学目标】（1）知识目标使学生能准确表达两个重要不等式；理解它们成立的条件和意义；能正确运用算术平均数与几何平均数定理求最值.（2）能力目标通过对实例的分析和提炼培养学生的观察、分析和抽象、概括能力；通过师生间的合作交流提高学生的数学表达和逻辑思维能力.（3）情感目标让学生经历知识的发生、发展、应用的全过程，鼓励学生在学习中勤于思考，积极探索；通过去伪存真的学习过程培养学生批判质疑的理性思维和锲而不舍追求真理的精神.【教学重点】两个正数的算术平均数与几何平均数定理及应用定理求最值.【教学难点】在求最值时如何正确运用定理.【教学过程】Ⅰ.引言：某人中秋节到超市买两斤糖果，不巧超市的电子秤坏了，但超市还有一个不等臂但刻度准确的坏天平，于是售货员先把糖果放在天平的左侧称出“一斤”，再拿出一些糖果放在天平的右侧称出“一斤”，然后把两次称出的糖果合在一起给了他，并且解释:“一边多一边少，加在一起就正好.”这种称法准确么？如果不准确，那么是称多了还是称少了？【分析】设天平左右两侧力臂长分别为1l 、2l ，两次称得的糖果实际重量为x 、y 则：12xl l =，12l yl =， ∴2112l l x y l l +=+ 这个数比2大还是小呢？有没有好的解决方法？请同学们阅读课本第9，10页算术平均数与几何平均数一节的正文及例1，看看能否在课本中找到答案。

同时思考以下问题：问题1.糖果给多了还是少了？你用什么知识解决了这个问题？如何解决的？问题2.除定理外还有一个重要不等式，内容是什么？它与定理有哪些相同点和不同点？问题3.认真分析例1及其证明过程，你能得到什么启示？Ⅱ. 阅读课文，找寻答案学生阅读课本后回答问题1和问题2，引出本节知识一．两重要不等式如果,a b R ∈那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取“=”号）.定理如果,a b 是正数，那么2a b +（当且仅当a b =时取“=”号）.想一想：“当且仅当”的含义是什么？介绍2a b +叫做a 、b 叫做a 、b 的几何平均数. 数列解释：两个正数的等差中项不小于它们的正项等比中项.Ⅲ.例题精析,去伪存真二．定理应用例1．已知,x y 都是正数，求证：（1）如果积xy 是定值P ，那么当x y =时，和x y +有最小值；（2）如果和x y +是定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值214S . 回答问题3，得出：最值问题；2.利用定理可以求解：和一定求积的最值；积一定求和的最值.3.利用定理求最值应满足：一正二定三相等.指出“一正”即满足定理成立的条件；“二定”即求和的最小值则积应为定值，求积的最大值则和应为定值；“三相等”即要保证求出的最值可以取到. 三个条件在利用定理求最值时缺一不可. 练习1.(1)已知0x ≠，当x 取什么值时,2281x x+的值最小，最小值是多少？ (2)已知02x <<，当x 取什么值时, (2)x x -的值最大，最大值是多少？投影学生的解题过程，让其他学生分析是否完整，并思考这两个问题是否还有其他解法（第一个小题还可以利用第一个重要不等式；第二小题可以利用一元二次函数的最值求法）.练习2.下列问题的解法是否正确，如果错误请指出错误原因.（1）求函数1y x x=+(0)x ≠的值域.解：112y x x x x=+=≥ [)12.y x x∴=++∞函数的值域为，（2）求函数3(32),02y x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，的最大值.解：302x <<320x ∴-> ()32y x x ∴=-≤22323()(),22x x x +--= ∴函数没有最大值.（3）求函数y =. 解：240,0x +>>y ∴=≥2142,4x =+∴函数的最小值为2.带领学生分析：练习1错误原因:忽略了自变量取负值的情况；练习2错误原因:不满足和(32)x x +-为定值；练习3错误原因=不可能成立. 并且给出第（1）（2）小题的正确解法. 再次强调“一正”即满足定理成立的条件；“二定”即求和的最小值则积应为定值，求积的最大值则和应为定值；“三相等”即要保证求出的最值可以取到。

人教版A版高中数学必修5：不等关系与不等式_课件44

解析 21－1＝ 2＋1＜ 3＋1.
答案 <
5．已知a，b，c∈R，有以下命题： ①若a>b，则ac2>bc2； ②若ac2>bc2，则a>b； ③若a>b，则a·2c>b·2c. 其中正确的是__________(请把正确命题的序号都填上)．解析 ①若c＝0则命题不成立． ②正确． ③中由2c>0知成立．答案 ②③
③中，a，b 为正实数，所以 a＋ b＞| a－ b|＝1，且|a－b|＝|( a＋ b)( a－ b)|＝| a＋ b|＞1，故③错． ④中，|a3－b3|＝|(a－b)(a2＋ab＋b2)| ＝|a－b|(a2＋ab＋b2)＝1. 若|a－b|≥1，不妨取 a＞b＞1，则必有 a2＋ab＋b2＞1，不合题意，故④正确．答案 ①④
[互动探究] 若本例中“q＞0”改为“q＜0”，试比较它们的大小．
解析由例题解法知当 q≠1 时，Sa33－Sa55＝－qq－4 1. 当－1＜q＜0 时，Sa33－Sa55＜0，即Sa33＜Sa55；当 q＝－1 时，Sa33－Sa55＝0, 即Sa33＝Sa55；当 q＜－1 时，Sa33－Sa55＞0，即Sa33＞Sa55.
答案 C
[规律方法] 1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命
题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质． 2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题．
由 a>b＋1⇒a>b，但由 a>b 不能得出 a>b＋1，

人教A版高中数学必修五《基本不等式》精品教案

《基本不等式：》教案《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修5（人教A 版）第三章3.4节一．教学目标①知识与技能目标：学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义，并掌握式子中取等号的条件，会用基本不等式解决简单的数学问题。

②过程方法与能力目标：通过类比、直觉、发散等探索性思维的培养，激发学生学习数学的兴趣，进一步培养学生的解题能力，创新能力，勇于探索的精神。

③情感、态度与价值观目标：通过本节的学习，体会数学来源于生活并用于生活，增强学生应用数学的意识，激发学生学习数学的兴趣。

让学生享受学习数学带来的情感体验和成功喜悦。

二．教学重点、难点教学重点：创设代数与几何背景理解基本不等式，并从不同角度探索基本2a b+≤。

教学难点：理解“当且仅当a b =时取“=”号”的数学内涵，基本不等式的简单应用。

三、教学方法与手段本节课采用启发引导，讲练结合，自主探究的互动式教学方法。

以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，让学生探究思索。

以多媒体作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。

四、教学过程设计设置情景，导入新课1．图中的面积有哪些相等和不等的关系？2．正方形ABCD的面积肯定大于4个直角三角形的面积和吗？有没有相等的情况呢？1．让学生观察常见的图形，目的是调动学生的学习兴趣，让学生感受到数学来源于生活，从而激发他们的学习动机。

2．借助《几何画板》动态演示和数据验算让学生更容易理解“当且仅当a b时取“=”号”的数学内涵，突破一个难点。

教师利用多媒体展示问题情景：1．（投影出）在北京召开的第24届国际数学家大会的会标——风车。

2．让学生直观观察（多媒体动画演示,“当正方形EFGH缩为一个点时，它们的面积相等”。

）自主探究，从而归纳出：“正方形ABCD的面积不小于4个直角三角形的面积和”。

五、板书设计板书设计方面主要板书两个不等式和应用不等式求最值的问题，例题及练习则利用多媒体课件展现，这样有利增加课堂容量，提高课堂效率。

高中数学新人教A版必修5第三章 3.1 不等关系与不等式

不等关系与不等式预习课本P72～74，思考并完成以下问题 (1)如何用不等式(组)来表示不等关系？(2)比较两数(或式)的大小有哪些常用的方法？(3)不等式的性质有哪几条？[新知初探]1．不等式的概念我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．2．比较两个实数a ，b 大小的依据3.不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c ；推论(同向可加性)：⎭⎬⎫a >bc >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(4)可乘性：⎭⎬⎫a >b c >0⇒ac >bc ；⎭⎬⎫a >bc <0⇒ac <bc ；推论(同向同正可乘性)：⎭⎬⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd ；(5)正数乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N *，n ≥1)； (6)正数开方性：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N *，n ≥2)．[点睛] (1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．(2)要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不等式x ≥2的含义是指x 不小于2( )(2)若a b ，则ac >bc 一定成立( ) (4)若a ＋c >b ＋d ，则a >b ，c >d ( )解析：(1)正确．不等式x ≥2表示x >2或x ＝2，即x 不小于2，故此说法是正确的． (2)正确．不等式a ≤b 表示a b ，则ac >bc 不一定成立，故此说法是错误的．(4)错误．取a ＝4，c ＝5，b ＝6，d ＝2，满足a ＋c >b ＋d ，但不满足a >b ，故此说法错误．答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×2．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－b解析：选C 法一：∵A 、B 、C 、D 四个选项中，每个选项都是唯一确定的答案，∴可用特殊值法．令a ＝2，b ＝－1，则有2>－(－1)>－1>－2，即a >－b >b >－a .法二：∵a ＋b >0，b <0，∴a >－b >0，－a －b >0>b >－a ，即a >－b >b >－a .3．设a ，b 是非零实数，若a 0，所以1a 2b －1ab 2＝b －a a 2b 2>0，故1a 2b >1ab 2. 4．当m >1时，m 3与m 2－m ＋1的大小关系为________．解析：∵m 3－(m 2－m ＋1)＝m 3－m 2＋m －1＝m 2(m －1)＋(m －1) ＝(m －1)(m 2＋1)．又∵m >1，故(m －1)(m 2＋1)>0. 答案：m 3>m 2－m ＋ 1用不等式(组)表示不等关系[典例] 某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h 的情况下，生产空调、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台．已知生产这些家电产品每台所需工时如下表：家电名称空调彩电冰箱工时(h)121314若每周生产空调x [解] 由题意，知x ≥0，y ≥0，每周生产冰箱(120－x －y )台．因为每周所用工时不超过40 h ，所以12x ＋13y ＋14(120－x －y )≤40，即3x ＋y ≤120；又每周至少生产冰箱20台，所以120－x －y ≥20，即x ＋y ≤100. 所以满足题意的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤120，x ＋y ≤100，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.1．将不等关系表示成不等式的思路 (1)读懂题意，找准不等式所联系的量．(2)用适当的不等号连接． (3)多个不等关系用不等式组表示．2．用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．[活学活用]1．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t 应满足的关系式是________．解析：由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t <28 000. 答案：4.5t <28 0002．一辆汽车原来每天行驶x km ，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程将超过2 200 km ，用不等式表示为________．解析：因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，所以汽车每天行驶的路程为(x ＋19)km ，则在8天内它的行程为8(x ＋19)km ，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km ”可以用不等式8(x ＋19)>2 200来表示．答案：8(x ＋19)>2 200不等式的性质[典例] (1)已知b <2a,3d <c ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．2a －c >b －3d B ．2ac >3bd C ．2a ＋c >b ＋3dD ．2a ＋3d >b ＋c(2)下列说法不正确的是( ) A ．若a ∈R ，则(a 2＋2a －1)3>(a －2)3 B ．若a ∈R ，则(a －1)4>(a －2)4 C ．若0<a ⎝⎛⎭⎫13bD ．若0<a 0，所以a 2＋2a －1>a －2，则(a 2＋2a －1)3>(a －2)3，故A 选项说法正确；对于B ，当a ＝1时，(a －1)4＝0，(a －2)4＝1，所以(a －1)4>(a －2)4不成立；对于C 和D ，因为0<a <b ，所以由指数函数与幂函数的性质知C 、D 选项说法正确，故选B.[答案] (1)C (2)B1．利用不等式判断正误的2种方法(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．2．利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．[活学活用]1．已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．ab >bc B ．ac >bc C ．ab >acD ．a |b |>|b |c解析：选C 因为a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0，所以ab >ac . 2．若a >b >0，c <d <0，e <0，求证：e (a －c )2>e(b －d )2. 证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0.又a >b >0，∴a －c >b －d >0，则(a －c )2>(b －d )2>0，即1(a －c )2<1(b －d )2. 又e <0，∴e (a －c )2>e(b －d )2.数式的大小比较[典例] (1)已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小； (2)已知a >0，试比较a 与1a 的大小． [解] (1)(x 3－1)－(2x 2－2x ) ＝(x －1)(x 2＋x ＋1)－2x (x －1) ＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34.∵x <1，∴x －1<0.又⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， ∴(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34<0. ∴x 3－1<2x 2－2x .(2)因为a －1a ＝a 2－1a ＝(a －1)(a ＋1)a，因为a >0，所以当a >1时，(a －1)(a ＋1)a >0，有a >1a ；当a ＝1时，(a －1)(a ＋1)a ＝0，有a ＝1a ；当0<a <1时，(a －1)(a ＋1)a <0，有a <1a .综上，当a >1时，a >1a ；当a ＝1时，a ＝1a ；当0<a <1时，a <1a .1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．2．作商法比较大小的步骤及适用范围 (1)作商法比较大小的三个步骤． ①作商变形； ②与1比较大小； ③得出结论．(2)作商法比较大小的适用范围． ①要比较的两个数同号；②比较“幂、指数、对数、含绝对值”的两个数的大小时，常用作商法． [活学活用]若m >2，比较m m 与2m 的大小．解：因为m m 2m ＝⎝⎛⎭⎫m 2m ，又因为m >2，所以m 2>1，所以⎝⎛⎭⎫m 2m >⎝⎛⎭⎫m 20＝1，所以m m >2m.用不等式性质求解取值范围 [典例] 已知1＜a ＜4,2＜b ＜8，试求2a ＋3b 与a －b 的取值范围． [解] ∵1＜a ＜4,2＜b ＜8，∴2＜2a ＜8,6＜3b ＜24. ∴8＜2a ＋3b ＜32.∵2＜b ＜8，∴－8＜－b ＜－2.又∵1＜a ＜4，∴1＋(－8)＜a ＋(－b )＜4＋(－2)，即－7＜a －b ＜2.故2a ＋3b 的取值范围是(8,32)，a －b 的取值范围是(－7,2)．同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性.1．在本例条件下，求ab 的取值范围．解：∵2＜b ＜8，∴18＜1b ＜12，而1＜a ＜4，∴1×18＜a ·1b ＜4×12，即18＜a b ＜2.故ab 的取值范围是⎝⎛⎭⎫18，2.不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不变，同乘以一个负数，不等号方向改变，求解中，应明确所乘数的正负．2．已知－6＜a ＜8,2＜b ＜3，求ab 的取值范围．解：∵－6＜a ＜8,2＜b ＜3. ∴13＜1b ＜12， ①当0≤a ＜8时，0≤ab ＜4；②当－6＜a ＜0时，－3＜ab ＜0. 由①②得：－3＜ab ＜4.故ab的取值范围为(－3,4)．利用不等式性质求范围，应注意减少不等式使用次数． 3．已知－1≤a ＋b ≤1,1≤a －2b ≤3，求a ＋3b 的取值范围．解：设a ＋3b ＝λ1(a ＋b )＋λ2(a －2b )＝(λ1＋λ2)a ＋(λ1－2λ2)b ，解得λ1＝53，λ2＝－23.又－53≤53(a ＋b )≤53，－2≤－23(a －2b )≤－23，所以－113≤a ＋3b ≤1.故a ＋3b 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－113，1.层级一学业水平达标1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x 个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是( )A ．30x －60≥400B ．30x ＋60≥400C ．30x －60≤400D ．30x ＋40≤400解析：选B x 月后他至少有400元，可表示成30x ＋60≥400. 2．若abcd ＜0，且a ＞0，b ＞c ，d ＜0，则( ) A ．b ＜0，c ＜0 B ．b ＞0，c ＞0 C ．b ＞0，c ＜0D ．0＜c ＜b 或c ＜b ＜0解析：选D 由a ＞0，d ＜0，且abcd ＜0，知bc ＞0，又∵b ＞c ，∴0＜c ＜b 或c ＜b ＜0.3．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞c B ．若a ＞－b ，则c －a ＜c ＋b C ．若a ＞b ，c ＜d ，则a c ＞bdD ．若a 2＞b 2，则－a ＜－b解析：选B 选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立，选项C 不满足倒数不等式的条件，如a ＞b ＞0，c ＜0＜d 时，不成立；选项D 只有a ＞b ＞0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立，故选B.4．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则2α－β3的范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，56π B.⎝⎛⎭⎫－π6，56π C.()0，πD.⎝⎛⎭⎫－π6，π 解析：选D 0＜2α＜π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，由同向不等式相加得到－π6＜2α－β3＜π.5．已知M ＝2x ＋1，N ＝11＋x 2，则M ，N 的大小关系为( )A ．M >NB ．M <NC ．M ＝ND ．不确定解析：选A ∵2x >0，∴M ＝2x ＋1>1，而x 2＋1≥1， ∴11＋x 2≤1，∴M >N ，故选A. 6．某校高一年级的213名同学去科技馆参观，租用了某公交公司的x 辆公共汽车．如果每辆车坐30人，则最后一辆车不空也不满．则题目中所包含的不等关系为________．解析：根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧30(x －1)<213，30x >213.答案：⎩⎪⎨⎪⎧30(x －1)<213，30x >2137．比较大小：a 2＋b 2＋c 2________2(a ＋b ＋c )－4. 解析：a 2＋b 2＋c 2－[2(a ＋b ＋c )－4] ＝a 2＋b 2＋c 2－2a －2b －2c ＋4＝(a －1)2＋(b －1)2＋(c －1)2＋1≥1＞0，故a 2＋b 2＋c 2＞2(a ＋b ＋c )－4. 答案：＞8．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(用区间表示)．解析：∵z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )，－2≤－12(x ＋y )≤12，5≤52(x －y )≤152，∴3≤－12(x ＋y )＋52(x －y )≤8，∴z 的取值范围是[3,8]．答案：[3,8]9．两种药片的有效成分如下表所示：应满足怎样的不等关系？用不等式的形式表示出来．解：设提供A 药片x 片，B 药片y 片，由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，5x ＋7y ≥70，x＋6y ≥28，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N.10．(1)若a ＜b ＜0，求证：b a ＜a b ； (2)已知a ＞b ，1a ＜1b，求证：ab ＞0.证明：(1)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝(b ＋a )(b －a )ab， ∵a ＜b ＜0，∴b ＋a ＜0，b －a ＞0，ab ＞0， ∴(b ＋a )(b －a )ab ＜0，故b a ＜ab.(2)∵1a ＜1b ，∴1a －1b＜0，即b －aab ＜0，而a ＞b ，∴b －a ＜0，∴ab ＞0.层级二应试能力达标1．若x ∈R ，y ∈R ，则( ) A ．x 2＋y 2>2xy －1 B ．x 2＋y 2＝2xy －1 C ．x 2＋y 2<2xy －1D ．x 2＋y 2≤2xy －1解析：选A 因为x 2＋y 2－(2xy －1)＝x 2－2xy ＋y 2＋1＝(x －y )2＋1>0，所以x 2＋y 2>2xy －1，故选A.2．已知a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．M ≥N解析：选B ∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴－1<a 1－1<0，－1<a 2－1<0，∴M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)>0，∴M >N ，故选B.3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0D ．－1<α－β<1解析：选A 由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1， ∴－2<α－β<2.又∵α<β，故知－2<α－β<0.4．某厂技术科组织工人参加某项技能测试，某职工参加完测试后对自己的成绩进行了如下估计：理论考试成绩x 超过85分，技能操作成绩y 不低于90分，答辩面试成绩z 高于95分，用不等式组表示为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x >85y ≥90z ≥95B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥85y >90z >95C.⎩⎪⎨⎪⎧ x >85y ≥90z >95D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥85y >90z ≥95 解析：选C x 超过85分表示为x >85，y 不低于90分表示为y ≥90，z 高于95分，表示为z >95，故选C.5．已知|a |＜1，则11＋a与1－a 的大小关系为________．解析：由|a |＜1，得－1＜a ＜1.∴1＋a ＞0,1－a ＞0.即11＋a 1－a ＝11－a 2∵0＜1－a 2≤1，∴11－a 2≥1， ∴11＋a≥1－a . 答案：11＋a ≥1－a 6．设a ，b 为正实数，有下列命题：①若a 2－b 2＝1，则a －b <1；②若1b －1a＝1，则a －b <1； ③若|a －b |＝1，则|a －b |<1；④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.其中正确的命题为________(写出所有正确命题的序号)．解析：对于①，由题意a ，b 为正实数，则a 2－b 2＝1⇒a －b ＝1a ＋b⇒a －b >0⇒a >b >0，故a ＋b >a －b >0.若a －b ≥1，则1a ＋b≥1⇒a ＋b ≤1≤a －b ，这与a ＋b >a －b >0矛盾，故a －b <1成立．对于②，取特殊值，a ＝3，b ＝34，则a －b >1. 对于③，取特殊值，a ＝9，b ＝4时，|a －b |>1.对于④，∵|a 3－b 3|＝1，a >0，b >0，∴a ≠b ，不妨设a >b >0.∴a 2＋ab ＋b 2>a 2－2ab ＋b 2>0，∴(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)>(a －b )(a －b )2.即a 3－b 3>(a －b )3>0，∴1＝|a 3－b 3|>(a －b )3>0，∴0<a －b <1，即|a －b |<1.因此正确．答案：①④7．已知a ，b ∈R ，x ＝a 3－b ，y ＝a 2b －a ，试比较x 与y 的大小．解：因为x －y ＝a 3－b －a 2b ＋a ＝a 2(a －b )＋a －b ＝(a －b )(a 2＋1)，所以当a >b 时，x －y >0，所以x >y ；当a ＝b 时，x －y ＝0，所以x ＝y ；当a <b 时，x －y <0，所以x <y .8．已知x ，y 为正实数，且1≤lg(xy )≤2,3≤lg x y ≤4，求lg(x 4y 2)的取值范围．解：由题意，设a ＝lg x ，b ＝lg y ，∴lg(xy )＝a ＋b ，lg x y ＝a －b ，lg(x 4y 2)＝4a ＋2b .设4a ＋2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1. 又∵3≤3(a ＋b )≤6,3≤a －b ≤4，∴6≤4a ＋2b ≤10，∴lg(x 4y 2)的取值范围为[6,10]．。

人教版A版高中数学必修5：基本不等式： ≤(a+b)_课件28

[课堂笔记]
【证明】法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＋1a＝1＋a＋a b＝
2＋ba.同理，1＋1b＝2＋ab.∴1＋1a 1＋1b ＝2＋ba2＋ab ＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9，当且仅当ba＝ab，即 a＝b 时取“＝”． ∴1＋1a1＋1b≥9，当且仅当 a＝b＝12时等号成立．
则 y＝14·2x(1－2x)≤142x＋21－2x2＝116，
当且仅当 2x＝1－2x，即 x＝14时取到等号，∴ymax＝116. (2)∵x<3，∴x－3<0，∴3－x>0，∴f(x)＝x－4 3＋x＝x－4 3＋ (x－3)＋3
＝－3－4 x＋（3－x）＋3≤－2 3－4 x·（3－x）＋3＝－1，
基本不等式
1．基本不等式：
a＋b ab≤ 2
基本不等式成立的条件是什么?等号成立的条件又是什么?
提示: a>0且b>0；a＝b时取等号
a＋2 b叫做 a，b 的算术平均数， ab叫做 a，b 的几何平均数.
2．常用的几个重要不等式
(1)a2＋b2≥__2_a_b__(a，b∈R)； (2)ab___≤___(a＋2 b)2(a，b∈R)； (3)a2＋2 b2___≥___(a＋2 b)2(a，b∈R)； (4)ba＋ab≥__2____(a，b 同号且不为零)．
在利用基本不等式解决实际应用问题时，一定要注意问题中所涉及变量的取值范围，即函数的定义域，分析在该范围内是否存在使基本不等式的等号成立的变量值，若存在，则可利用基本不等式求解，若使基本不等式的等号成立的变量值不在函数定义域内，则应利用导数研究函数的单调性，根据单调性求最值．
3．围建一个面积为 360 m2 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m.设利用的旧墙长度为 x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为 y(单位：元)． (1)将 y 表示为 x 的函数； (2)试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用．

人教新课标版数学高二-数学必修5第三章《不等式》知识整合

数学·必修5(人教A版)一、本章概述不等关系是中学数学中最基本、最广泛、最普遍的关系．不等关系起源于实数的性质，产生了实数的大小关系、简单不等式、不等式的基本性质，如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系，又产生了重要不等式、基本不等式等．不等式是永恒的吗？显然不是，由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的问题．解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范围或条件，不同类型的不等式又有不同的解法．不等式证明则是推理性问题或探索性问题．推理性即在特定条件下，阐述论证过程，揭示内在规律，基本方法有比较法、综合法、分析法；探索性问题大多是与自然数n有关的证明问题，常采用观察—归纳—猜想—证明的思路，以数学归纳法完成证明．另外，不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等．不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程．不等式的知识渗透在数学中的各个分支，相互之间有着千丝万缕的联系，因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他问题，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，以及三角、数列、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，这些问题无一不与不等式有着密切的联系．不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题，许多问题最终归结为不等式的求解或证明．解决这类综合问题的一般思维方法是：引参，建立不等关系，解某一主元的不等式(实为分离变元)，适时活用基本不等式．其中建立不等关系的常用途径是：①根据题设条件；②判别式法；③基本不等式法；④依据某些变量(如sin x，cos x)的有界性等．不等式的应用体现了一定的综合性、灵活多样性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用不等式解应用题的基本步骤：①审题；②建立不等式模型；③解决数学问题；④作答．本章中，不等式的证明是难点，解不等式是重点，含参数的不等式综合题是高考命题的热点．掌握不等式的意义和实数的符号法则，是分散难点和解决难点的关键．如能熟悉不等式的性质，认清基本不等式的特点，灵活运用比较、分析、综合等基本方法，认真进行思考和探索，是不难找到解题途径的．要善于进行转化变形，即化无理为有理、化分式为整式、化高次为低次、化绝对值为非绝对值等等，以突破解证不等式这一难关．通过本章的学习达到以下基本目标：1．会用不等式(组)表示不等关系；2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小；3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；4．会作二元一次不等式(组)表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；5．明确基本不等式及其成立条件，会灵活应用基本不等式证明或求解最值．二、主干知识1．不等式与不等关系．不等式的性质刻画了在一定条件下两个量的不等关系．不等式的性质包括“单向性”和“双向性”．单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的基础．因为解不等式要求的是同解变形．要正确理解不等式的性质，必须先弄清每一性质的条件和结论、注意条件和结论的放宽和加强，以及条件与结论之间的相互联系．双向性主要有：(1)不等式的基本性质：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＝b ⇔a －b ＝0，a ＜b ⇔a －b ＜0，这是比较两个实数的大小的依据；(2)a >b ⇔b <a ；(3)a >b ⇔a ＋c >b ＋c .单向性主要有：(1)a >b ，b >c ⇒a >c ；(2)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(3)a >b ，c >0(c < 0)⇒ac >bc (ac <bc )；(4)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)a >b >0,0<c <d ⇒a c ＞b d ；(6)a >b >0，m ∈N *⇒a m >b m ；(7)a >b >0，n ∈N *，n >1⇒n a >n b .特别提醒：(1)同向不等式可以相加，异向不等式可以相减．即：若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ；若a ＞b ，c ＜d ，则a －c ＞b －d .但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减．(2)左右同正不等式，同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘．即：若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则ac ＞bd ；若a ＞b ＞0,0＜c ＜d ，则a c ＞b d .(3)左右同正不等式，两边可以同时乘方或开方．即：若a ＞b ＞0，n ∈N *，n >1，则a n ＞b n 或n a ＞nb .(4)若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1b ；若ab ＜0，a ＞b ，则1a ＞1b .如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论．2．一元二次不等式及其解法解一元二次不等式常用数形结合法，基本步骤如下：①将一元二次不等式化成ax 2＋bx ＋c ＞0的形式，②计算判别式并求出相应的一元二次方程的实数解，③画出相应的二次函数的图象，④根据图象和不等式的方向写出一元二次不等式的解集．设相应二次函数的图象开口向上，并与x 轴相交，则有口诀：大于取两边，小于取中间．解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”．要注意对字母参数的讨论，如果遇到下述情况则一般需要讨论：(1)在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析Δ)，比较两个根的大小，设根为x 1，x 2，要分x 1＞x 2、x 1＝x 2、x 1＜x 2讨论．(2)不等式两端乘或除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正负．(3)求解过程中，需用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论．注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”．若按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；若按未知数讨论，最后应求并集．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集：设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两根为x1、x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，则不等式的解的各种情况如下表所示：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝(a>0)的根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集Δ＞0有两相异实根x1，x2(x1<x2){x|x<x1，或x>x2}{x|x1＜x＜x2}Δ＝0有两相等实根x1＝x2＝－b2a{x|x≠－b2a}∅Δ＜0无实根R∅特别提醒：(1)解题中要充分利用一元二次不等式的解集是实数集R和空集∅的几何意义，准确把握一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的根及二次函数图象之间的内在联系．(2)解不等式的关键在于保证变形转化的等价性．简单分式不等式可化为整式不等式求解：先通过移项、通分等变形手段将原不等式化为右边为0的形式，然后通过符号法则转化为整式不等式求解．转化为求不等式组的解时，应注意区别“且”、“或”，涉及最后几个不等式的解集是“交”，还是“并”．注意：不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值．(3)在解决实际问题时，先要从实际问题中抽象出数学模型，并寻找出该数学模型中已知量与未知量，再建立数学关系式，然后用适当的方法解决问题．(4)解含参数的不等式是高中数学中的一类较为重要的题型，解决这类问题的难点在于对参数进行恰当分类．分类相当于增加了题设条件，便于将问题分而治之．在解题过程中，经常会出现分类难以入手或者分类不完全的现象．强化分类意识，选择恰当的解题切入点，掌握一些基本的分类方法，善于借助直观图形找出分类的界值是解决此类问题的关键．3．二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题．(1)确定二元一次不等式表示的区域的步骤：①在平面直角坐标系中作出直线Ax＋By＋C＝0；②在直线的一侧任取一点P(x0，y0)，当C≠0时，常把原点作为特殊点；③将P(x0，y0)代入Ax＋By＋C求值：若Ax0＋By0＋C＞0，则包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C＞0所表示的平面区域，不包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C ＜0所表示的平面区域．也可采用：把二元一次不等式改写成y＞kx ＋b或y＜kx＋b的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域．(2)线性规划的有关概念：①满足关于x，y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件；②关于变量x，y的解析式叫目标函数，关于变量x，y一次式的目标函数叫线性目标函数；③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；④满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解．(3)解简单线性规划问题的基本步骤：①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解．具体来讲有以下5步：a．画图：画出线性约束条件所表示的平面区域即可行域；b．定线：令z＝0，得一过原点的直线；c．平移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；d．求最优解：通过解方程组求出最优解；e．求最值：求出线性目标函数的最大或最小值．特别提醒：(1)画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，区域包括边界线，因此，将边界直线画成实线；无等号时区域不包括边界线，用虚线表示不包含直线l.(2)Ax＋By＋C＞0表示在直线Ax＋By＋C＝0(B>0)的上方，Ax ＋By＋C＜0表示在直线Ax＋By＋C＝0(B>0)的下方．(3)设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l：Ax＋By＋C＝0，若Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C同号，则P，Q在直线l的同侧，异号则在直线l的异侧．(4)在求解线性规划问题时要注意：①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图规范．4．基本不等式ab≤a＋b 2.(1)基本不等式：设a，b是任意两个正数，那么ab≤a＋b2.当且仅当a＝b时，等号成立．①基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．②如果把a＋b2看做是正数a，b的等差中项，ab看做是正数a，b的等比中项，那么基本不等式也可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．③基本不等式ab≤a＋b2几何意义是“半径不小于半弦”．(2)对基本不等式的理解：①基本不等式的左式为和结构，右式为积的形式，该不等式表明两正数a ，b 的和与两正数a ，b 的积之间的大小关系，运用该不等式可作和与积之间的不等变换．②“当且仅当a ＝b 时，等号成立”的含义：a ．当a ＝b 时等号成立的含意是：a ＝b ⇒a ＋b 2＝ab ； b ．仅当a ＝b 时等号成立的含意是：a ＋b 2＝ab ⇒a ＝b ；综合起来，其含意是：a ＋b 2＝ab ⇔a ＝b . (3)设a ，b ∈R ，不等式a 2＋b 2≥2ab ⇔ab ≤a 2＋b 22⇔ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. (4)基本不等式的几种变式：设a ＞0，b ＞0，则a ＋1a ≥2，b a ＋a b ≥2，a 2b ≥2a －b .(5)常用的几个不等式：① a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(根据目标不等式左右的运算结构选用)；②设a ，b ，c ∈R ，则a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (当且仅当a ＝b ＝c 时，取等号)；③真分数的性质：若a ＞b ＞0，m ＞0，则b a ＜b ＋m a ＋m(糖水的浓度问题)．特别提醒：(1)用基本不等式求函数的最值时，要特别注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针．常用的方法为：拆、凑、平方．(2)用基本不等式证明不等式时，应重视对所证不等式的分析和化归，应观察不等式左右两边的结构，注意识别轮换对称式，此时可先证一部分，其他同理可证，然后再累加或累乘．题型1 恒成立问题(1)若不等式f (x )＞A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )min ＞A ；(2)若不等式f (x )＜B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )max ＜B .设函数f (x )＝x ，g (x ) ＝x ＋a (a >0)，若x ∈[1,4]时不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－ag (x )f (x )≤1恒成立，求a 的取值范围．解析：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－ag (x )f (x )≤1⇔－1≤f (x )－ag (x )f (x )≤1，得0≤ag (x )f (x )≤2，即ax ＋a 2x ≤2在x ∈[1,4]上恒成立，也就是ax ＋a 2≤2x 在x ∈[1,4]上恒成立．令t ＝x ，则t ≥0，且x ＝t 2，由此可得 at 2－2t ＋a 2≤0在t ∈[1,2]上恒成立，设g (t ) ＝ at 2－2t ＋a 2，则只需⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≤0，g (2)≤0⇒⎩⎨⎧a －2＋a 2≤0，4a －4＋a 2≤0，解得 0<a ≤22－2，即满足题意的a 的取值范围是(0,22－2]．题型2 能成立问题(1)若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )＞A 成立，则等价于在区间D 上的f (x )max ＞A ；(2)若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )＜B 成立，则等价于在区间D 上的f (x )min ＜B .若存在x ∈R ，使不等式|x －4|＋|x －3|＜a 成立，求实数a的取值范围．解析：设f (x )＝|x －4|＋|x －3|，依题意f (x )的最小值＜a .又f (x )＝|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1(等号成立的条件是3≤x ≤4)．故f (x )的最小值为1，∴a ＞1.即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．题型3 恰成立问题(1)若不等式f (x )＞A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )＞A 的解集为D ；(2)若不等式f (x )＜B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )＜B 的解集为D .已知函数y ＝2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6的最小值为1，求实数a 的取值集合．解析：由y ≥1即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6≥1⇒x 2－(a ＋4)x ＋4≥0恒成立，∴Δ＝(a ＋4)2－16≤0，解得－8≤a ≤0(必要条件)．再由y ＝1有解，即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6＝1有解，⇒x 2－(a ＋4)x ＋4＝0有解，得：Δ＝(a ＋4)2－16≥0，解得a ≤－8或a ≥0.综上即知a ＝－8或a ＝0时，y min ＝1，故所求实数a 的取值集合是{－8,0}．题型4 利用基本不等式求最值基本不等式通常用来求最值问题：一般用a ＋b ≥2ab (a ＞0，b＞0)解“定积求和，和最小”问题，用ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22求“定和求积，积最大”问题，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”，特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法，构造定值条件的方法，和对等号能否成立的验证．若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注意运用基本不等式解决实际问题．已知0＜x ＜2，求函数y ＝x (8－3x )的最大值．解析：∵0＜x ＜2，∴0＜3x ＜6,8－3x ＞0， ∴y ＝x (8－3x )＝13·3x ·(8－3x )≤132+-⎛⎫⎪⎝⎭3x 83x 2＝163，当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号，∴当x ＝43时，y ＝x (8－3x )有最大值为163.设函数f (x )＝x ＋2x ＋1，x ∈[0，＋∞)．求函数f (x )的最小值．解析：f (x )＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1，∵x ∈[0，＋∞)，∴x ＋1＞0，2x ＋1＞0，∴x ＋1＋2x ＋1≥2 2.当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时，f (x )取最小值．此时f (x )min ＝22－1.题型5 简单线性规划问题求目标函数在约束条件下的最优解，一般步骤为：一是寻求约束条件和目标函数，二是作出可行域，三是在可行域内求目标函数的最优解，特别注意目标函数z ＝ax ＋by ＋c 在直线ax ＋by ＝0平移过程中变化的规律和图中直线斜率关系．简单的线性规划应用题在现实生活中的广泛应用也是高考的热点．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34解析：不等式组表示的平面区域如图所示：由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎪⎫0，43，因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域，因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73.答案：A题型6 三个二次(二次函数、二次不等式、二次方程)问题一元二次方程、一元二次不等式与二次函数三者之间形成一个关系密切、互为关联、互为利用的知识体系．将二次函数看作主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零(零点)和不为零的两种情况，一般讨论二次函数主要是将其通过一元二次方程和一元二次不等式来讨论，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象揭示解(集)的几何特征．当m 为何值时，方程2x 2＋4mx ＋3m －1＝0有两个负根？解析：方程2x 2＋4mx ＋3m －1＝0有两个负根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(4m )2－4×2×(3m －1)≥0，－b a ＝－4m 2＝－2m ＜0，c a ＝3m －12＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12或m ≥1，m ＞0，m ＞13.∴当m ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫m 13＜m ≤12或m ≥1时，原方程有两个负根．题型7 不等式与函数的综合问题定义在(－1,1)上的奇函数f (x )在整个定义域上是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，求实数 a 的取值范围．解析：∵f (x )的定义域为(－1,1)，∴⎩⎨⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－a 2＜1，∴⎩⎨⎧0＜a ＜2，－2＜a ＜2且a ≠0，∴0＜a ＜2，①原不等式变形为f (1－a )＜－f (1－a 2)．由于f (x )为奇函数，有－f (1－a 2)＝f (a 2－1)， ∴f (1－a )＜f (a 2－1)．又f (x )在(－1,1)上是减函数，∴1－a ＞a 2－1，解得－2＜a ＜1.② 由①②可得0＜a ＜1， ∴a 的取值范围是(0,1)．题型8 求分式函数的最值求函数y ＝x 4＋3x 2＋3x 2＋1的最小值．解析：y ＝(x 4＋2x 2＋1)＋(x 2＋1)＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1＋1≥2(x 2＋1)·1x 2＋1＋1＝3，当且仅当x 2＋1＝1x 2＋1，即x 2＋1＝1，即x ＝0时等号成立．。

新课标人教A版数学必修5全部课件：不等式的性质

第1课时不等式的性质及比较法证明不等式
要点·疑点·考点课前热身能力·思维·方法
延伸·拓展
误解分析
要点·疑点·考点
1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，通过本节复习，要求理解不等式的性质，会讨论有关不等式命题的充分性和必要性，正确判断命题的真假. 不等式有如下8条性质： 1.a＞b b＜a.(反身性) 2.a＞b，b＞c =>a＞c.(传递性) 3.a＞b a+c＞b+c.(平移性) 4.a＞b，c＞0 => ac＞bc； a＞b，c＜0 => ac＜bc.(伸缩性) 5.a＞b≥0 => n a n b ，n∈N，且n≥2.(乘方性) 6.a＞b≥0 => a＞nb，n∈N，且n≥2.(开方性) 7.a＞b，c＞d => a+c＞b+d.(叠加性) 8.a＞b≥0，c＞d≥0 => ac＞bd.(叠乘性)
2.掌握用比较法证明不等式的方法，熟悉它的变形过程.用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——定号.其中的“变形”可以变成平方和，也可以变成因式的积或常数；有关指数式的比较法通常用作商法，步骤是作商——变形 ——与1比较大小.
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课前热身
1.设a＜0，-1＜b＜0，则a，ab，ab2三者的大小关系为 a＜ab2＜ab ____________. 2.设A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R且x≠1，则A，B的大小关系为A____B. ＞
b2
【解题回顾】(1)用比较法证明不等式，步骤是：作差(商)— —变形——判断符号(与“1”比较)；常见的变形手段是通分、因式分解或配方等；常见的变形结果是常数、若干个因式的积或完全平方式等.应注意的是，商比法只适用于两个正数比较大小. (2)证法2的最后一步中，也可用基本不等式来完成：

人教A版高中数学必修五运用基本不等式解题常见问题对策探求

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作运用基本不等式解题常见问题对策探求安徽省朴初中学黄军华利用基本不等式求最值是高中数学中常用方法之一，在使用时应注意基本不等式的条件“一正、二定、三相等”.在解题的过程中，往往不能直接套用公式，即出现“变量是负数”、“和（或积）不是定值”、“等号取不到”等情形，这时该怎么办？下面针对部分情况提出对策.一、和（或积）不是定值对策：变量为正数时“若和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值”.当和（或积）不是常数时，可以用凑项法、配系数法、拆项法、平方法、纳入根号内法、取倒数法等.对策一、拆项分拆已知项在注意等号成立的条件下，把和（积）变成定值例1、求函数)0(322>+=x xx y 的最小值。

解析：xx x y 232322++=时取等号）x x x x x 232(36232323232332==⋅⋅≥，所以仅当3min 3362326=y ，。

评析：目标求和的最值，凑定积是关键，因此均分x3为相同的两项，同时使得含变量的因子x 的次数和为零。

思路不教练，功底不扎实是无法完成变形目标的。

练习1：已知10x a<<（a 为已知常数），求函数22(1)y a x ax =-的最大值对策二：使用均值不等式时，若能从等号成立的条件入手巧妙地配项则可把问题转化例2：已知1a 、2a 、、n a 为整数，且121n a a a +++=，求证：222121223112n n a a a a a a a a a +++≥+++练习：已知,,a b c R +∈满足1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥对策三、添、凑项在凑“和”或“积”为定值时，还要注意凑“等号”成立，此时必须合理凑项，常见的凑项方法有：（1）、系数变形在利用均值不等式时，有时系数并不满足均值不等式的要求，需要对系数加以变形处理，使之满足要求，利用均值不等式求解。

例3、已知0>a ，0>b ，且3222=+b a ，求212b a +的最大值。

高中数学第三章不等式章末复习课练习(含解析)新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题

第三章章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．2．一元二次不等式的求解方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，共同确定出解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m＜n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得x＞n或x＜m；若(x－m)(x－n)＜0，则可得m ＜x＜n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间．3．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)二元一次不等式(组)的几何意义：二元一次不等式(组)表示的平面区域．(2)二元一次不等式表示的平面区域的判定：对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)，无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数，当B ＞0时，①Ax ＋By ＋C ＞0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的区域；②Ax ＋By ＋C ＜0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的区域．4．求目标函数最优解的两种方法(1)平移直线法．平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等；(2)代入检验法．通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性．于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．5．运用基本不等式求最值，把握三个条件(易错点) (1)“一正”——各项为正数；(2)“二定”——“和”或“积”为定值； (3)“三相等”——等号一定能取到．专题一不等关系与不等式的基本性质1．同向不等式可以相加，异向不等式可以相减；但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减．(1)若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； (2)若a ＞b ，c ＜d ，则a －c ＞b －a .2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘．(1)若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则ac ＞bd ； (2)若a ＞b ＞0，0＜c ＜d ，则a c ＞bd.3．左右同正不等式，两边可以同时乘方或开方：若a ＞b ＞0，则a n ＞b n或n a ＞nb . 4．若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1b ；若ab ＜0，a ＞b ，则1a ＞1b.[例1] 已知a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a 与a ＋b 的大小．解：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 2b －b ＋b 2a －a ＝ a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ＝(a 2－b 2)a －b ab ＝（a －b ）2（a ＋b ）ab，因为a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，所以(a －b )2＞0，a ＋b ＞0，ab ＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＞0，即a 2b ＋b 2a ＞a ＋b .归纳升华不等式比较大小的常用方法(1)作差比较法：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果． (2)作商比较法：常用于分数指数幂的代数式． (3)乘方转化的方法：常用于根式比较大小． (4)分子分母有理化． (5)利用中间量．[变式训练] (1)已知0＜x ＜2，求函数y ＝x (8－3x )的最大值； (2)设函数f (x )＝x ＋2x ＋1，x ∈[0，＋∞)，求函数f (x )的最小值．解：(1)因为0＜x ＜2，所以0＜3x ＜6，8－3x ＞0，所以y ＝x (8－3x )＝13×3x ·(8－3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋8－3x 22＝163，当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号，所以当x ＝43时，y ＝x (8－3x )有最大值为163.(2)f (x )＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1，因为x ∈[0，＋∞)，所以x ＋1＞0，2x ＋1＞0，所以x ＋1＋2x ＋1≥2 2. 当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时，f (x )取最小值．此时f (x )min ＝22－1.专题二一元二次不等式的解法一元二次不等式的求解流程如下：一化——化二次项系数为正数．二判——判断对应方程的根．三求——求对应方程的根．四画——画出对应函数的图象．五解集——根据图象写出不等式的解集． [例2] (1)解不等式：－1＜x 2＋2x －1≤2； (2)解不等式a （x －1）x －2＞1(a ≠1)．解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1＞－1，x 2＋2x －1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＞0， ①x 2＋2x －3≤0. ② 由①得x (x ＋2)＞0，所以x ＜－2或x ＞0；由②得(x ＋3)(x －1)≤0，所以－3≤x ≤1.将①②的解集在数轴上表示出来，如图所示．求其交集得原不等式的解集为{x |－3≤x ＜－2或0＜x ≤1}．(2)原不等式可化为a （x －1）x －2－1＞0，即(a －1)⎝⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＞0(*)， ①当a ＞1时，(*)式即为⎝⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＞0，而a －2a －1－2＝－a a －1＜0，所以a －2a －1＜2，此时x ＞2或x ＜a －2a －1. ②当a ＜1时，(*)式即为⎝⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＜0，而2－a －2a －1＝aa －1，若0＜a ＜1，则a －2a －1＞2，此时2＜x ＜a －2a －1；若a ＝0，则(x －2)2＜0，此时无解；若a ＜0，则a －2a －1＜2，此时a －2a －1＜x ＜2. 综上所述，当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜a －2a －1或x ＞2；当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜a －2a －1；当a ＝0时，不等式的解集为∅；当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a －2a －1＜x ＜2.归纳升华含参数的一元二次不等式的分类讨论(1)对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零进行讨论，特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式问题来求解．(2)对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确的情况下，需要对其判别式分Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0三种情况并加以讨论．(3)若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根x 1，x 2表示的形如a (x －x 1)(x －x 2)的形式时，往往需要对其根分x 1＞x 2、x 1＝x 2，x 1＜x 2三种情况进行讨论，或用根与系数的关系帮助求解．[变式训练] 定义在(－1，1)上的奇函数f (x )在整个定义域上是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，某某数a 的取值X 围．解：因为f (x )的定义域为(－1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－a 2＜1，所以⎩⎨⎧0＜a ＜2，－2＜a ＜2且a ≠0，所以0＜a ＜2，①原不等式变形为f (1－a )＜－f (1－a 2)．由于f (x )为奇函数，有－f (1－a 2)＝f (a 2－1)，所以f (1－a )＜f (a 2－1)．又f (x )在(－1，1)上是减函数，所以1－a ＞a 2－1，解得－2＜a ＜1.② 由①②可得0＜a ＜1，所以a 的取值X 围是(0，1)．专题三简单的线性规划问题线性规划问题在实际中的类型主要有：(1)给定一定数量的人力、物力资源，求如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少. [例3] 某厂用甲、乙两种原料生产A ，B 两种产品，制造1 t A ，1 t B 产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：原料每种产品所需原料/t现有原料数/tAB甲 2 1 14 乙 1 3 18 利润/(万元/t)53____(1)在现有原料条件下，生产A ，B 两种产品各多少时，才能使利润最大？(2)每吨B 产品的利润在什么X 围变化时，原最优解不变？当超出这个X 围时，最优解有何变化？解：(1)生产A ，B 两种产品分别为x t ，y t ，则利润z ＝5x ＋3y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤14.x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图所示：当直线5x ＋3y ＝z 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫245，225时，z 取最大值3715，即生产A 产品 245 t ，B 产品 225t 时，可得最大利润．(2)设每吨B 产品利润为m 万元，则目标函数是z ＝5x ＋my ，直线斜率k ＝－5m，又k AB ＝－2，k CB ＝－13，要使最优解仍为B 点，则－2≤－5m ≤－13，解得52≤m ≤15.归纳升华解答线性规划应用题的步骤(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数． (2)画：画出线性约束条件所表示的可行域．(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．(4)求：通过解方程组求出最优解． (5)答：作出答案．[变式训练] 已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3B ．4C.92D.112解析：法一：依题意得，x ＋1>1，2y ＋1>1，易知(x ＋1)·(2y ＋1)＝9，则(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2（x ＋1）（2y ＋1）＝29＝6，当且仅当x ＋1＝2y ＋1＝3，即x ＝2，y ＝1时，等号成立，因此有x ＋2y ≥4，所以x ＋2y 的最小值为4.法二：由题意得，x ＝8－2y 2y ＋1＝－（2y ＋1）＋92y ＋1＝－1＋92y ＋1，所以x ＋2y ＝－1＋92y ＋1＋2y ＝－1＋92y ＋1＋2y ＋1－1，≥292y ＋1·（2y ＋1）－2＝4，当且仅当2y ＋1＝3，即y ＝1时，等号成立．答案：B专题四成立问题(恒成立、恰成立等)[例4] 已知函数f (x )＝mx 2－mx －6＋m ，若对于m ∈[1，3]，f (x )<0恒成立，某某数x 的取值X 围．解：因为mx 2－mx －6＋m <0，所以m (x 2－x ＋1)－6<0，对于m ∈[1，3]，f (x )<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧1×（x 2－x ＋1）－6<0，3×（x 2－x ＋1）－6<0，即为⎩⎪⎨⎪⎧1－212<x <1＋212，1－52<x <1＋52，计算得出：1－52<x <1＋52.所以实数x 的取值X 围：1－52<x <1＋52.归纳升华不等式恒成立求参数X 围问题常见解法(1)变更主元法：根据实际情况的需要确定合适的主元，一般将知道取值X 围的变量看作主元． (2)分离参数法：若f (a )<g (x )恒成立，则f (a )<g (x )min ；若f (a )>g (x )恒成立，则f (a )>g (x )max . (3)数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．[变式训练] 已知函数y ＝2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6的最小值为1，某某数a 的取值集合．解：由y ≥1即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6≥1⇒x 2－(a ＋4)x ＋4≥0恒成立，所以Δ＝(a ＋4)2－16≤0，解得－8≤a ≤0(必要条件)．再由y ＝1有解，即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6＝1有解，即x 2－(a ＋4)x ＋4＝0有解，所以Δ＝(a ＋4)2－16≥0，解得a ≤－8或a ≥0. 综上即知a ＝－8或a ＝0时，y min ＝1，故所某某数a 的取值集合是{－8，0}．专题五利用分类讨论思想解不等式 [例5] 解关于x 的不等式x －ax －a 2<0(a ∈R)．分析：首先将不等式转化为整式不等式(x －a )(x －a 2)<0，而方程(x －a )(x －a 2)＝0的两根为x 1＝a ，x 2＝a 2，故应就两根a 和a 2的大小进行分类讨论．解：原不等式等价于(x －a )(x －a 2)<0.(1)若a ＝0，则a ＝a 2＝0，不等式为x 2<0，解集为∅； (2)若a ＝1，则a 2＝1，不等式为(x －1)2<0，解集为∅； (3)若0<a <1，则a 2<a ，故解集为{x |a 2<x <a }； (4)若a <0或a >1，则a 2>a ，故解集为{x |a <x <a 2}．归纳升华分类讨论思想解含有字母的不等式时，往往要对其中所含的字母进行适当的分类讨论．分类讨论大致有以下三种：(1)对不等式作等价变换时，正确运用不等式的性质而引起的讨论． (2)对不等式(组)作等价变换时，由相应方程的根的大小比较而引起的讨论． (3)对不等式作等价变换时，由相应函数单调性的可能变化而引起的讨论．[变式训练] 已知奇函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递减，α，β，γ∈R 且α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0.试判断f (α)＋f (β)＋f (γ)的值与0的关系．解：因为f(x)为R上的减函数，且α>－β，β>－γ，γ>－α，所以f(α)<(－β)，f(β)<f(－γ)，f(γ)<f(－α)，又f(x)为奇函数，所以f(－β)＝－f(β)，f(－α)＝－f(α)，f(－γ)＝－f(γ)，所以f(α)＋f(β)＋f(γ)<f(－β)＋f(－γ)＋f(－α)＝－[f(β)＋f(γ)＋f(α)]，所以f(α)＋f(β)＋f(γ)<0.。

高中数学必修5(人教A版)第三章不等式3.5知识点总结含同步练习及答案

A．[
答案： A 解析：只需
1 2
x
)
1 ] 4 7 D．(−∞, − ) 2
B．(−∞,
f (x) min ⩾ g(x) min 即可．
4. 三位同学合作学习，对问题"已知不等式 xy ⩽ ax2 + 2y 2 对于 x ∈ [1, 2] , y ∈ [2, 3] 恒成立，求 a 的取值范围"提出了各自的解题思路．甲说："可视 x 为变量，y 为常量来分析"．乙说："寻找 x 与 y 的关系，再作分析"．丙说："把字母 a 单独放在一边，再作分析"．参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数 a 的取值范围是 ( A．[1, +∞)
1. 若关于 x 的方程 9 x + (4 + a) ⋅ 3 x + 4 = 0 有解，则实数 a 的取值范围是 ( A．(−∞, −8) C．[−8, +∞)
答案： B 解析：
)Hale Waihona Puke B．(−∞, −8]D．(−∞, +∞)
由 9 x + (4 + a) ⋅ 3 x + 4 = 0，得 a = −3 x −
答案： B 解析：
)
D．[−1, 6]
B．[−1, +∞)
C．[−1, 4)
y y y 2 − 2( ) ，由 x ∈ [1, 2] , y ∈ [2, 3] ，x 、 y 构成正方形区域，表示过 x x x y y 原点直线与正方形区域相交时直线的斜率的取值范围，则有 ∈ [1, 3] ，当 = 1 时， x x y y 2 − 2( ) 有最大值为 −1，则 a 的取值范围是 [−1, +∞) x x

高二人教A版必修5教案：3-1不等关系与不等式

分析：假设截得 500mm 的钢管 x 根，截得 600mm 的钢管 y 根.. 根据题意，应有如下的不等关系：（1）解得两种钢管的总长度不能超过 4000mm；（2）截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍；（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。由以上不等关系，可得不等式组：
提高 0.1 元，销量就相应地减少 2000 本。若把提价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不等式
表示销售的总收入还不底于 20 万元呢？
（教师示范 → 学生板演 → 小结）
3、小结：文字语言与数学语言之间的转换，实数的运算性质与大小顺序之间的关系.
三、巩固练习：
１.某电脑拥护计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和盒装
教学重点：理解不等式的性质及其证明.
教学难点：从实际的不等关系中抽象出具体的不等式.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：实数的运算性质与大小顺序之间的关系
2. 设点Ａ与平面之间的距离为 d，Ｂ为平面上任意一点，则点Ａ与平面的距离小于
或等于Ａ，Ｂ两点间的距离，请将上述不等关系写成不等式.
二、讲授新课：
三、本节难点
用不等式（组）正确表示出不等关系。
四、知识储备
“作差法”比较两个实数的大小和常用的不等式的基本性质 ① 用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、有理
化等方法.常用的结论有 x2 0，− x2 0，|x| 0，-|x| 0 等.
② “作差法”的一般步骤是： ①作差；②变形；③判断符号；④得出结论. ③常用的不等式的基本性质
_____________.
④.配制 A, B 两种药剂需要甲、乙两种原料，已知配一剂 A 种药需甲料 3 毫克，乙料 5 毫克，配一剂 B 药需甲料 5 毫克，乙料 4 毫克。今有甲料 20 毫克，乙料 25 毫克，若 A, B 两种药至少各配一剂，则 A, B 两种药在配制时应满足怎样的不等关系呢？用不等式表示出来.

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高二数学（必修5）不等式
一、选择题：
1、若，且，则下列不等式一定成立的是（）
A． B． C． D．
2、函数的定义域为（）
A． B． C． D．
3、已知，则（）
A． B．
C． D．
4、不等式的解集为（）
A． B． C． D．
5、已知等比数列的各项均为正数，公比，设，，则P与Q的大小关系是（）
∴ ．
18、解：设分别向甲、乙两项目投资万元，y万元，由题意知
目标函数
作出可行域，作直线，并作平行于直线的一组直线，
，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线的距离最大，这里M点是直线和0.3x+0.1y=1.8的交点，解方程组
解得x=4,y=6，此时z=1×4+0.5×6=7（万元） ∵7>0 ∴当x=4、y=6时z取得最大值。
A．P>QB．P<QC．P=QD．无法确定
6、已知正数x、y满足，则的最小值是（）
Ａ．18Ｂ．16C．8D．10
7、下列命题中正确的是()
A．当 B．当，
C．当，的最小值为 D．当无最大值
8、设直角三角形两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，斜边上的高为h，则和
的大小关系是( )
Ａ．Ｂ．
高二数学（必修5）不等式参考答案
参考答案：1——10DBAAA ABACA
11、212、(1，+∞)13、（2，3）14、20
3、若a<0，则在上为减函数，∵ ，∴
6、解法一：（利用均值不等式） ,
即时“=”号成立，故此函数最小值是18。
解法二：（消元法）由得，由则
当且仅当即时“=”号成立，故此函数最小值是18。
解:(1)当时，原不等式化为8<0，显然符合题意。
(2)当时,要使二次不等式的解集为空集,则必须满足：
解得
综合(1)(2)得的取值范围为。
17、解：错误.
∵ ①等号当且仅当时成立，又∵ ②
等号当且仅当时成立，而①②的等号同时成立是不可能的.
正确解法：∵ 且 .
∴ ，
当且仅当，即，又，∴这时
=a3(a2b2)b3(a2b2) = (a2b2) (a3b3)
= (a+b)(ab)2(a2+ab+b2)
∵a,b都是正数，∴a+b,a2+ab+b2> 0
又∵ab，∴(ab)2> 0∴(a+b)(ab)2(a2+ab+b2) > 0
即：a5+b5>a2b3+a3b2
16、分析:本题考查含参数的“形式”二次不等式的解法.关键是对前系数分类讨论.
答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大。
19、解：（1）先作出符合条件下函数的大致图象，如图所示，
根据图象列出关于函数解析式的参数a，b的关系式。
∵
又 ∈（－2，6），＞0； ∈（－∞，－2）∪（6，+∞），＜0。
C． D．不能确定
9、在约束条件下，当时，目标函数
的最大值的变化范围是（）
A． B． C． D．
10、若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题
11、设满足且则的最大值是。
12、已知变量满足约束条件1≤ ≤4,－2≤ ≤2。若目标函数仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为___________.
8、由面积公式可知，则＝
＝＝ <0
9、分析：由可得交点为：
1当时可行域是四边形OABC，
此时，
②当时可行域是△OA 此时，，故选D.
10、因函数在上得最小值为－3，故
11、由，即。
故 =
12、分析：由约束条件1≤ ≤4,－2≤ ≤2在坐标
系中画出可行域，如图为四边形ABCD，其中A(3，1)，
13、设a＞0，且a 1，函数f(x)=alg（x2－2a+1）有最小值,则不等式loga(x2－5x+7)＞0的解集为___________.
14、某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 _______
三、解答题
15、已知a,b都是正数，并且ab，求证：a5+b5>a2b3+a3b2
16、关于x的不等式的解集为空集，求实数k的取值范围.
17、已知正数满足 ,求的最小值有如下解法：
解：∵ 且 .∴
∴ .判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法．
19、制订投计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元？才能使可能的盈利最大？
14、该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元， ≥160，当即 20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小。
15、证明：(a5+b5)(a2b3+a3b2) = (a5a3b2) + (b5a2b3)
18、已知函数，当时，；当时，。①求a、b的值；②设，
则当k取何值时,函数F(x)的值恒为负数?
20、某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门测算，若不进行改革，入世后因竞争加剧收入将逐月减少．分析测算得入世第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元，如果进行改革，即投入技术改造300万元，且入世后每月再投入1万元进行员工培训，则测算得自入世后第一个月起累计收入与时间n（以月为单位）的关系为 = ，且入世第一个月时收入将为90万元，第二个月时累计收入为170万元，问入世后经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入．
，目标函数（其中）
中的z表示斜率为－a的直线系中的截距的大小，若仅
在点处取得最大值，则斜率应小于，即，
所以的取值范围为(1，+∞)。
13、由函数f(x)=alg（x2－2a+1）有最小值，可知有最小值，
而，故，因此。
所以求不等式loga(x2－5x+7)＞0解可转化为求0<x2－5x+7<1的解。