高一数学-2015-2016学年高一上学期期中数学试卷

2015-2016学年高一（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．设集合A={1，2，3}，B={2，4}，则A∩B=__________．2．已知a是实数，若集合{x|ax=1}是任何集合的子集，则a的值是__________．3．=__________．4．若角α=﹣4，则角α的终边在第__________象限．5．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（﹣2）=__________．6．函数的定义域为__________．7．函数y=3+log a x，（a＞0且a≠1）必过定点__________．8．设a=log0.60.8，b=log1.20.9，c=1.10.8，则a、b、c由小到大的顺序是__________．9．已知定义域为[1，2]的函数f（x）=2+log a x（a＞0，a≠1）的图象过点（2，3），若g（x）=f（x）+f（x2），则函数g（x）的值域为__________．10．已知f（x）=3kx3+﹣2（k∈R），f（lg7）=1（k∈R），则f（lg）=__________．11．设方程2x+x=4的根为x0，若x0∈（k﹣，k+），则整数k=__________．12．若2a=5b=10，则=__________．13．若函数f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（4）=0，则＜0的解集__________．14．已知函数满足f（c2）=．则f（x）的值域为__________．二、解答题：本大题共6小题，计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知集合A={x|x2+3x+2=0}，B={x|ax≥1，a＜0}（1）当a=﹣时，求A∩B；（2）当A⊆B时，求a的取值范围．16．（14分）已知扇形的周长为16cm，圆心角为2rad，求该扇形的面积．17．（14分）已知二次函数f（x）满足=f（x+1）﹣f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1，（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣1，1]时，求函数g（x）=f（x）﹣2x的值域．18．（16分）用一根细铁丝围一个面积为4的矩形，（1）试将所有铁丝的长度y表示为矩形的某条边长x的函数；（2）①求证：函数f（x）=x+在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数；②题（1）中矩形的边长x多大时，细铁丝的长度最短？19．（16分）已知函数f（x）=ln（1+x）+aln（1﹣x）（a∈R）的图象关于原点对称．（1）求定义域．（2）求a的值．（3）若有零点，求m的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=2x（x∈R），（1）解不等式f（x）﹣f（2x）＞16﹣9×2x；（2）若函数q（x）=f（x）﹣f（2x）﹣m在[﹣1，1]上有零点，求m的取值范围；（3）若函数f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，若不等式2ag （x）+h（2x）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年高一（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．设集合A={1，2，3}，B={2，4}，则A∩B={2}．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={2，4}，∴A∩B={2}，故答案为：{2}．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知a是实数，若集合{x|ax=1}是任何集合的子集，则a的值是0．【考点】子集与真子集．【专题】计算题．【分析】由题意，集合{x|ax=1}是任何集合的子集，则此集合必是空集，a的值易求得．【解答】解：由于a是实数，若集合{x|ax=1}是任何集合的子集，则此集合必是空集，故方程ax=1无根，所以a=0故答案为：0．【点评】本题考查集合中的参数取值问题，空集的概念，解题的关键是理解题意，得出是任何集合的子集的集合必是空集．3．=2．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题．【分析】根据指数运算法则和对数运算法则化简即可得解【解答】解：原式=故答案为：2【点评】本题考查指数运算与对数运算，须能够对指数式和对数式灵活变形，熟练应用指数运算法则和对数运算法则．属简单题4．若角α=﹣4，则角α的终边在第二象限．【考点】象限角、轴线角．【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值．【分析】判断角的所在范围，推出所在象限即可．【解答】解：因为α=﹣4，﹣4∈（﹣，﹣π），所以α的终边在第二象限．故答案为：二．【点评】本题考查象限角的判断，是基础题．5．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（﹣2）=．【考点】幂函数的图像；函数的值．【专题】待定系数法．【分析】设出幂函数的解析式，由图象过（，8）确定出解析式，然后令x=﹣2即可得到f （﹣2）的值．【解答】解：设f（x）=x a，因为幂函数图象过，则有8=，∴a=﹣3，即f（x）=x﹣3，∴f（﹣2）=（﹣2）﹣3=﹣故答案为：﹣【点评】考查学生会利用待定系数法求幂函数的解析式．会根据自变量的值求幂函数的函数值．6．函数的定义域为（0，1]．【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】根据偶次根式下大于等于0，对数的真数大于0建立不等式组，解之即可求出所求．【解答】解：要使函数有意义则由⇒0＜x≤1故答案为：（0，1]．【点评】本题主要考查了对数函数的定义域，以及根式函数的定义域和不等式组的解法，属于基础题．7．函数y=3+log a x，（a＞0且a≠1）必过定点（1，3）．【考点】对数函数的图像与性质．【专题】数形结合；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】直接利用对数函数的图象经过的定点，再通过平移，求出函数y=3+log a x图象经过的定点．【解答】解：∵对数函数f（x）=log a x（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（1，0），而函数y=3+log a x的图象是由f（x）的图象向上平移3个单位得到，∴函数y=3+log a x的图象必过定点（1，3）．故答案为：（1，3）．【点评】本题主要考查了对数函数的图象经过的定点的应用，以及函数图象的平移变换，属于基础题．8．设a=log0.60.8，b=log1.20.9，c=1.10.8，则a、b、c由小到大的顺序是b＜a＜c．【考点】指数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由y=log0.6x是减函数，知1=log0.60.6＞a=log0.60.8＞log0.61=0；由y=log1.2x是增函数，知b=log1.20.9＜log1.21=0；由y=1.1x是增函数，知c=1.10.8＞1.10=1，由此能比较a、b、c的大小【解答】解：∵y=log0.6x是减函数，∴1=log0.60.6＞a=log0.60.8＞log0.61=0；∵y=log1.2x是增函数，∴b=log1.20.9＜log1.21=0；∵y=1.1x是增函数，∴c=1.10.8＞1.10=1，∴b＜a＜c．故答案为：b＜a＜c．【点评】本题考查对数函数、指数函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．9．已知定义域为[1，2]的函数f（x）=2+log a x（a＞0，a≠1）的图象过点（2，3），若g（x）=f（x）+f（x2），则函数g（x）的值域为[4，]．【考点】对数函数的图像与性质；函数的值域．【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】根据f（x）的图象过点（2，3），代入可得实数a的值，再确定g（x）的定义域，最后根据单调性求函数值域．【解答】解：∵f（x）=2+log a x的图象过点（2，3），∴3=2+log a2，即log a2=1，解得a=2，又∵g（x）=f（x）+f（x2）=4+3log2x，且f（x）的定义域为[1，2]，∴g（x）的自变量x需满足，解得x∈[1，]，又g（x）在x∈[1，]上单调递增，所以g（x）min=g（1）=4，g（x）max=g（）=，因此，函数g（x）的值域为[4，]，故填：[4，]．【点评】本题主要考查了函数解析式和定义域的求法，以及应用单调性求函数的值域，忽视g（x）的定义域是本题的易错点，属于中档题．10．已知f（x）=3kx3+﹣2（k∈R），f（lg7）=1（k∈R），则f（lg）=﹣5．【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用已知条件求出k，然后求解f（lg）．【解答】解：f（x）=3kx3+﹣2（k∈R），f（lg7）=1（k∈R），可得3klg37+﹣2=1，可得3klg37+=3．f（lg）=f（﹣lg7）=﹣（3klg37+）﹣2=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查函数值的求法，整体代入法的应用，考查计算能力．11．设方程2x+x=4的根为x0，若x0∈（k﹣，k+），则整数k=1．【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题．【分析】令f（x）=2x+x﹣4，由f（x）的单调性知：f（k﹣）＜0，且f（k+）＞0，根据k 取整数，从而确定k 值．【解答】解：令f（x）=2x+x﹣4，则f（x0）=0，且f（x）=2x+x﹣4在定义域内是个增函数，∴f（k﹣）＜0，且f（k+）＞0即：+k﹣﹣4＜0，且+k+﹣4＞0又k 取整数，∴k=1；故答案为1．【点评】联系用二分法求函数近似解的方法，构造f（x）=2x+x﹣4，由f（k﹣）＜0，且f（k+）＞0 及k 取整数，来确定k 值．12．若2a=5b=10，则=1．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】首先分析题目已知2a=5b=10，求的值，故考虑到把a和b用对数的形式表达出来代入，再根据对数的性质以及同底对数和的求法解得，即可得到答案．【解答】解：因为2a=5b=10，故a=log210，b=log510=1故答案为1．【点评】此题主要考查对数的运算性质的问题，对数函数属于三级考点的内容，一般在高考中以选择填空的形式出现，属于基础性试题同学们需要掌握．13．若函数f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（4）=0，则＜0的解集（﹣4，0）∪（4，+∞）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化进行求解即可．【解答】解：若函数f（x）为偶函数，则不等式＜0等价为=＜0，即xf（x）＜0，∵f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，f（4）=0，∴函数f（x）对应的图象为：则不等式等价为x＞0时，f（x）＜0，此时x＞4，x＜0时，f（x）＞0，此时0＜x＜4，综上不等式的解集为（﹣4，0）∪（4，+∞），故答案为：（﹣4，0）∪（4，+∞）【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性的性质，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．14．已知函数满足f（c2）=．则f（x）的值域为（1，]．【考点】函数的值域；分段函数的应用．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由f（x）的定义域便可看出0＜c＜1，从而可判断0＜c2＜c，从而可求出，这样便可求出c=，然后根据一次函数、指数函数的单调性及单调性定义即可求出每段上f（x）的范围，然后求并集便可得出f（x）的值域．【解答】解：根据f（x）解析式看出0＜c＜1；∴0＜c2＜c；∴；∴；∴；①0时，f（x）=为增函数；∴；即；②时，f（x）=2﹣4x+1为减函数；∴；即；∴综上得f（x）的值域为．故答案为：．【点评】考查分段函数的概念，知道0＜c＜1时，c2＜c，以及一次函数、指数函数的单调性，单调性的定义，函数值域的概念，分段函数值域的求法．二、解答题：本大题共6小题，计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知集合A={x|x2+3x+2=0}，B={x|ax≥1，a＜0}（1）当a=﹣时，求A∩B；（2）当A⊆B时，求a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】（1）化简集合A，B，再求A∩B；（2）当A⊆B时，，即可求a的取值范围．【解答】解：（1）A={x|x2+3x+2=0}={﹣1，﹣2}，当a=﹣时，B=（﹣∞，﹣2]，所以A∩B={﹣2}；…（2）因为A⊆B，a＜0时，，所以，解得a≤﹣1，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．…（14分）【点评】考查描述法表示集合，不等式的性质，以及子集的定义，比较基础．16．（14分）已知扇形的周长为16cm，圆心角为2rad，求该扇形的面积．【考点】扇形面积公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】设扇形的半径为r，弧长为l，根据扇形周长和弧长公式列式，解之得r=4，l=8，再由扇形面积公式可得扇形的面积S．【解答】解设扇形的半径为r，弧长为l，则有，得，…故扇形的面积为（cm2）…（14分）【点评】本题给出扇形的周长和圆心角的大小，求扇形的面积，着重考查了扇形的面积公式和弧长公式等知识，属于基础题．17．（14分）已知二次函数f（x）满足=f（x+1）﹣f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1，（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣1，1]时，求函数g（x）=f（x）﹣2x的值域．【考点】二次函数的性质；函数的值域．【专题】计算题；函数思想；待定系数法；函数的性质及应用．【分析】（1）要求二次函数的解析式，利用直接设解析式的方法，一定要注意二次项系数不等于零，在解答的过程中使用系数的对应关系，解方程组求的结果；（2）求得二次函数g（x）的解析式，求得对称轴，可得[﹣1，]为减区间，即可得到最值，进而得到值域．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为f（x）=ax2+bx+c （a≠0），由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax2+bx+1．因为f（x+1）﹣f（x）=2x，所以a（x+1）2+b（x+1）+1﹣（ax2+bx+1）=2x．即2ax+a+b=2x，根据系数对应相等，∴，所以f（x）=x2﹣x+1；（2）当x∈[﹣1，1]时，函数g（x）=f（x）﹣2x=x2﹣3x+1=（x﹣）2﹣，对称轴为x=，区间[﹣1，1]在对称轴的左边，为减区间，即有x=﹣1时取得最大值，且为5，x=1时取得最小值，且为﹣1．故值域为[﹣1，5]．【点评】本题考查二次函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，考查二次函数的值域的求法，注意运用函数的单调性，属于基础题．18．（16分）用一根细铁丝围一个面积为4的矩形，（1）试将所有铁丝的长度y表示为矩形的某条边长x的函数；（2）①求证：函数f（x）=x+在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数；②题（1）中矩形的边长x多大时，细铁丝的长度最短？【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】（1）利用面积求出另一条边长为，则可得铁丝的长度；（2）①利用导数证明即可；②由①可知x=3时，函数取得最小值．【解答】（1）解：由题意，另一条边长为，则铁丝的长度y=2x+（x＞0）；（2）①证明：∵f（x）=2（x+），∴f′（x）=2﹣，∴在（0，2]上，f′（x）＜0，在[2，+∞）上，f′（x）＞0，∴函数f（x）=2（x+）在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数；②解：由①可知x=2时，函数取得最小值8．【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（16分）已知函数f（x）=ln（1+x）+aln（1﹣x）（a∈R）的图象关于原点对称．（1）求定义域．（2）求a的值．（3）若有零点，求m的取值范围．【考点】对数函数的单调区间；函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由函数的解析式可得，由此求得函数的定义域．（2）由题意可得，函数f（x）为奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），即（1+a）ln（1﹣x）+（a+1）ln（1+x）=0，即（1+a）ln（1﹣x2）=0恒成立，由此可得a的值．（3）由题意可得：，在x∈（﹣1，1）上有解，即：，解得，由此利用不等式的性质求得m的范围．【解答】解：（1）由函数的解析式可得，求得﹣1＜x＜1，故函数的定义域为（﹣1，1）．（2）由题意可得，函数f（x）为奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），即ln（1﹣x）+aln（1+x）=﹣[ln（1+x）+aln（1﹣x）]，即（1+a）ln（1﹣x）+（a+1）ln（1+x）=0，故（1+a）ln（1﹣x2）=0恒成立，∴a=﹣1．（3）∵，由题意可得：在x∈（﹣1，1）上有解，即：在x∈（﹣1，1）上有解，即在x∈（﹣1，1）上有解，即3x=﹣2m﹣1在x∈（﹣1，1）上有解，∴，即，解得﹣2＜m＜1，∴m∈（﹣2，1）．【点评】本题主要考查求函数的定义域，奇函数的定义，求函数的零点，不等式的性质应用，属于中档题．20．（16分）已知函数f（x）=2x（x∈R），（1）解不等式f（x）﹣f（2x）＞16﹣9×2x；（2）若函数q（x）=f（x）﹣f（2x）﹣m在[﹣1，1]上有零点，求m的取值范围；（3）若函数f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，若不等式2ag （x）+h（2x）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用；函数恒成立问题；二次函数的性质；指数函数的图像与性质．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）设t=2x，利用f（x）＞16﹣9×2x，转化不等式为二次不等式，求解即可．（2）设t=2x，求出，利用二次函数的性质求解最值．然后求解m的取值范围为．（3）利用函数的奇偶性以及函数恒成立，结合基本不等式求解函数的最值，推出结果．【解答】解：（1）设t=2x，由f（x）＞16﹣9×2x得：t﹣t2＞16﹣9t，即t2﹣10t+16＜0．…∴2＜t＜8，即2＜2x＜8，∴1＜x＜3∴不等式的解集为（1，3）．…（2）设t=2x，∵x∈[﹣1，1]，∴，．∴f（x）的值域为．函数有零点等价于方程有解等价于m在f（x）的值域内，∴m的取值范围为．…（3）由题意得解得2ag（x）+h（2x）≥0即，对任意x∈[1，2]恒成立，又x∈[1，2]时，令，在上单调递增，当时，有最大值，所以…（16分）【点评】本题考查函数与方程的综合应用，二次函数的性质，基本不等式以及函数恒成立的转化，考查计算能力．。