沪科版八年级上学期《三角形中的边角关系、命题与证明》提优训练

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沪科版数学八年级上册第13章三角形中的边角关系、命题与证明检测题及答案解析

第13章三角形中的边角关系、命题与证明检测题〔本检测题总分值：100分，时间：90分钟〕一、选择题〔每题3分，共30分〕1.〔2021 ·福建泉州〕△ABC 中，AB ＝6，BC ＝4，那么边AC 的长可能是以下哪个值〔〕2. 等腰三角形的两边长分别为5 cm 和10 cm ，那么此三角形的周长是〔〕A ．15 cmB ．20 cmC ．25 cmD ．20 cm 或25 cm3. 命题：① 邻补角互补；② 对顶角相等；③ 同旁内角互补；④ 两点之间线段最短； ⑤直线都相等.其中真命题有〔〕A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，那么∠BOC 一定〔〕5.〔2021 ·福建漳州中考〕以下命题中，是假命题的是〔〕等6. 对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2〞，能说明它是假命题的反例是〔〕A ．∠1=50°，∠2=40°B ．∠1=50°，∠2=50°C ．∠1=∠2=45°D ．∠1=40°，∠2=40°7. 不一定在三角形内部的线段是〔〕8. 如图，A ，B ，C ，D ，E ，F 是平面上的6个点，那么∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F的度数是〔〕A. 180°°°°9. 下面关于根本领实和定理的联系说法不正确的选项是〔〕A ．根本领实和定理都是真命题B ．根本领实就是定理，定理也是根本领实C ．根本领实和定理都可以作为推理论证的依据D ．根本领实的正确性不需证明，定理的正确性需证明10.〔2021 ·山东滨州〕在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =3∶4∶5,那么∠C 等于〔〕 ° °°°二、填空题〔每题3分，共24分〕11.〔2021 ·四川南充中考〕如图，点D 在△ABC 边BC 的延长线上， CE 平分∠ACD ，∠A ＝80°，∠B ＝40°，那么∠ACE 的大小是＿＿＿＿＿度．第11题图12.如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边第12题图第8题图形，那么∠1+∠2= 度．13.“两条直线被第三条直线所截，同位角相等〞的条件是，结论是 .14.一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，那么这个等腰三角形顶角的度数为．为△ABC的三边长，那么.16.如下图，AB=29，BC=19，AD=20，CD=16，假设AC=，那么的取值范围为 .17.如下图，在△ABC中，∠ABC = ∠ACB，∠A = 40°，P是△ABC内一点，且∠1 = ∠2，那么∠BPC=________.18.“直角三角形有两个角是锐角〞这个命题的逆命题是，它是一个命题.三、解答题〔共46分〕19.〔6分〕以下句子是命题吗？假设是，把它改写成“如果……那么……〞的形式，并写出它的逆命题，同时判断原命题和逆命题的真假．〔1〕一个角的补角比这个角的余角大多少度？〔2〕垂线段最短，对吗？〔3〕等角的补角相等．〔4〕两条直线相交只有一个交点．〔5〕同旁内角互补．〔6〕邻补角的角平分线互相垂直．20.〔6分〕如下图，在△ABC中，AB=AC，AC上的中线把三角形的周长分为24 cm和30 cm的两个局部，求三角形各边的长．21.〔6分〕如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P.〔1〕当∠A=70°时，求∠BPC的度数；〔2〕当∠A=112°时，求∠BPC的度数；BA CD第16题图21PCBA第17题图第20题图第21题图〔3〕当∠A = 时，求∠BPC 的度数.22.〔6分〕一个三角形有两边长均为，第三边长为，假设该三角形的边长都为整数，试判断此三角形的形状．23.〔6分〕如下图，武汉有三个车站A 、B 、C 成三角形，一辆公共汽车从B 站前往到C 站．〔1〕当汽车运动到点D 时，刚好BD =CD ，连接线段AD ，AD 这条线段是什么线段？这样的线段在△ABC 中有几条呢？此时有面积相等的三角形吗？〔2〕汽车继续向前运动，当运动到点E 时，发现∠BAE =∠CAE ，那么AE 这条线段是什么线段呢？在△ABC 中，这样的线段又有几条呢？〔3〕汽车继续向前运动，当运动到点F 时，发现∠AFB =∠AFC =90°，那么AF 是什么线段？这样的线段在△ABC 中有几条？24.〔8分〕：如图，DG ⊥BC ，AC ⊥BC ，EF ⊥AB ，∠1=∠2，求证：CD ⊥AB ．25.〔8分〕规定，满足〔1〕各边互不相等且均为整数，〔2〕最短边上的高与最长边上的高的比值为整数k ，这样的三角形称为比高三角形，其中k 叫做比高系数．根据规定解答以下问题：〔1〕求周长为13的比高系数k 的值；〔2〕写出一个只有4个比高系数的比高三角形的周长.第13章三角形中的边角关系、命题与证明检测题参考答案1.B 解析：根据三角形的三边关系，得64＜AC ＜6+4，即2＜AC ＜10．所以边AC 的长可能是5．第23题图第24题图2.C 解析：因为三角形中任何两边的和大于第三边，所以腰长只能是10 cm ，所以此三角形的周长是10+10+5=25〔cm 〕.应选C.3.C 解析：①②④是真命题；对于③，只有两条平行直线被第三条直线截得的同旁内角才互补；对于⑤，直线不能测量长度，所以也不存在两条直线相等的说法，应选C.4.C 解析：因为在△ABC 中，∠ABC +∠ACB <180°，所以所以∠BOC >90°.应选C.5.B 解析：选项B 错误，应为两直线平行，同旁内角互补；其余选项都正确.6.C 解析：当∠1=∠2=45°，∠1+∠2也等于90°.应选C.7. C 解析：因为三角形的中线、角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的高有的在三角形的外部，所以答案选C ．8. B 解析：三角形的外角和为360°.9. B 解析：根据根本领实和定理的定义，可知A ，C ，D 是正确的，B 是错误的．应选B ． 10. C 解析：∵ ∠A ∶∠B ∶∠C =3∶4∶5，所以∠C ＝180°×＝180°＝75°. 即∠C 等于75°.11.60 解析：∵ ACD ∠是△ABC 的一个外角，∴ 8040120ACD A B ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∵ CE 平分∠ACD ， ∴ 111206022ACE ACD ∠=∠=⨯︒=︒. 12.270 解析：根据题意可知∠1+∠2=180°+180°-90°=360°-90°=270°.13.两条直线被第三条直线所截同位角相等°或20° 解析：设两个角分别是，4，①当是底角时，根据三角形的内角和定理，得=180°，解得=30°，4=120°，即底角为30°，顶角为120°；②当是顶角时，那么=180°，解得 =20°，从而得到顶角为20°，底角为80°.所以该三角形的顶角为120°或20°．15. 解析：因为为△ABC 的三边长，所以，，所以原式=＜＜36 解析：在△ABC 中，AB -BC <AC <AB +BC ，所以10<<48；在△ADC 中，AD -DC <AC <AD +DC ，所以4<<36.所以10<<36.° 解析：因为∠A =40°，∠ABC = ∠ACB ，所以∠ABC = ∠ACB =(180°-40°)=70°.又因为∠1=∠2，∠1+∠PCB =70°，所以∠2+∠PCB =70°，所以∠BPC =180°-70°=110°.18.有两个角是锐角的三角形是直角三角形假解析：“直角三角形有两个角是锐角〞这个命题的逆命题是“有两个角是锐角的三角形是直角三角形〞，假设三角形一个角是30°，一个角是45°，有两个角是锐角，但这个三角形不是直角三角形．故是假命题．19.分析：根据命题的定义先判断出哪些是命题，再把命题的题设写在“如果〞后面，结论写在“那么〞后面．再将题设与结论互换写出它的逆命题.解：对一件事情做出判断的句子是命题，因为〔1〕〔2〕是问句，所以〔1〕〔2〕不是命题，其余4个都是命题．〔3〕如果两个角相等，那么它们的补角相等，真命题；逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等，真命题.〔4〕如果两条直线相交，那么它们只有一个交点，真命题；逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么这两条直线相交，真命题.〔5〕如果两个角是同旁内角，那么它们互补，假命题；逆命题：如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角，假命题.〔6〕如果两条射线是邻补角的角平分线，那么它们互相垂直，真命题；逆命题：如果两条射线垂直，那么这两条射线是邻补角的角平分线，假命题.20.分析：因为BD是中线，所以AD=DC，造成所分两局部不等的原因就在于腰与底的不等，故应分情况讨论．解：设AB=AC=2，那么AD=CD=.〔1〕当AB＋AD=30，BC＋CD=24时，有2=30，∴=10，2 =20，BC=24－10=14，三边分别为20 cm，20 cm，14 cm．〔2〕当AB＋AD=24，BC＋CD=30时，有=24，∴=8，，BC=30－8=22，三边分别为16 cm，16 cm，22 cm．21.解：〔1〕∵ BP和CP分别是∠Ｂ与∠Ｃ的平分线，∴∠１＝∠２，∠３＝∠４.∴∠2+∠4=〔180°－∠A〕=90°－∠A，∴∠BPC =90°+∠A.∴当∠A=70°时，∠BPC =90°+35°=125°.〔2〕当∠A=112°时，∠BPC=90°+56°=146°.〔3〕当∠A=α时，∠BPC=90°+ α.22.分析：三角形的三边长，根据三角形的三边关系，列出不等式，再求解.解：根据三角形的三边关系，得＜＜，0＜＜6-，0＜＜．因为3﹣是正整数，所以=1．所以三角形的三边长分别是2，2，2．因此，该三角形是等边三角形．23.分析：〔1〕由于BD=CD，那么点D是BC的中点，AD是中线，三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形；〔2〕由于∠BAE=∠CAE，所以AE是三角形的角平分线；〔3〕由于∠AFB=∠AFC=90°，那么AF是三角形的高线．解：〔1〕AD是△ABC中BC边上的中线，△ABC中有三条中线．此时△ABD与△ADC的面积相等．〔2〕AE是△ABC中∠BAC的平分线，△ABC中角平分线有三条．〔3〕AF是△ABC中BC边上的高线，△ABC中有三条高线．24.分析：灵活运用垂直的定义，注意由垂直可得90°角，由90°角可得垂直，结合平行线的判定和性质，只要证得∠ADC=90°，即可得CD⊥AB．证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC〔〕，∴∠DGB=∠ACB=90°〔垂直定义〕，∴DG∥AC〔同位角相等，两直线平行〕.∴∠2=∠ACD〔两直线平行，内错角相等〕.∵∠1=∠2〔〕，∴∠1=∠ACD〔等量代换〕，∴EF∥CD〔同位角相等，两直线平行〕.∴∠AEF=∠ADC〔两直线平行，同位角相等〕.∵EF⊥AB〔〕，∴∠AEF=90°〔垂直定义〕，∴∠ADC=90°〔等量代换〕.∴CD⊥AB〔垂直定义〕．25.分析：〔1〕根据定义结合三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边〞，进展分析；〔2〕根据比高三角形的知识点结合三角形三边关系的知识点，进展判断只有四个比高系数的三角形的周长.解：〔1〕根据定义和三角形的三边关系，知此三角形的三边是2，5，6或3，4，6，那么k=3或2．〔2〕如周长为37的三角形，只有四个比高系数，当比高系数为2时，这个三角形三边分别为9，10，18，当比高系数为3时，这个三角形三边分别为6，13，18，当比高系数为6时，这个三角形三边长分别为3，16，18，当比高系数为9时，这个三角形三边分别为2，17，18．。

沪科版八年级数学上册第13章三角形中的边角关系、命题与证明整合【新版】

专训一：三角形中的计数问题名师点金：在复杂的图形中数三角形个数的常见方法有：按顺序计数法、按基本图形计数法、由特殊到一般计数法．计数的原则是做到不重复、不遗漏．按顺序计数1．如图，在△ABG中，D，E，F都是BG上的点，则图中共有________个三角形，它们分别是_____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________.(第1题)(第2题)2．如图，图中三角形的个数为()A．2B．18C．19D．20按基本图形计数3．如图，在△ABC中，M，N，P，Q，E为BC边上的点，连接AM，AN，AP，AQ，AE，数一数图中共有多少个三角形？并说明你是怎样数的．(第3题)由特殊到一般计数4．(1)如图①，当△ABC内部有1条线段(AD)时，共有________个三角形；(2)如图②，当△ABC内部有2条线段(AD，AE)时，共有________个三角形；(第4题)(3)如图③，当△ABC内部有3条线段(AD，AE，AF)时，共有________个三角形；(4)当△ABC内部有4条这样的线段时，共有________个三角形；(5)当△ABC内部有n条这样的线段时，共有________个三角形．5．阅读材料，并填表：在△ABC中，有一点P，当P，A，B，C没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形(如图)，当△ABC内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？(第5题)完成下表：6.根据表中三角形叠加的规律，探求三角形叠加的层数与内部不再含三角形的三角形个数之间的关系，写出相应的关系式．(用含n的式子表示)专训二：几种热门考点名师点金：本章在学习三角形的基础知识中主要涉及与三角形有关的线段，命题与证明，和三角形内角、外角相关的知识，一般考查的题型包括三角形的三边关系，三角形的中线、高线、角平分线，命题与证明，以及与三角形内角和外角性质相关的角度的计算等．三角形的三边关系1．现有长度分别为3 cm，4 cm，7 cm，9 cm的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是()A．1B．2C．3D．42．已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为()A．9 B．12C．9或12 D．53．三角形的一边长是8，另一边长是1，第三边长如果是整数，则第三边长是________，这个三角形是________三角形．4．已知等腰三角形的周长是10，且三边长都是整数，求三边长．三角形的三种特殊线段(第5题)5．如图，AD是BC边上的中线，如果AB＝3厘米，AC＝4厘米，则△ACD 与△ABD的周长差、面积差分别为()A．1厘米，0厘米2B．2厘米，1厘米2C．3厘米，6厘米2D．无法确定6．以下说法错误的是()A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D．三角形的三条高可能相交于三角形外部一点7．如图，CD平分∠ACB，BF是△ABC的高，BF与CD交于点M，若∠A ＝60°，∠ABC＝50°，求∠BMC的度数．(第7题)命题与证明8．下列语句中，不是命题的是()A．过一点作已知直线的垂线B．两点确定一条直线C．钝角大于90°D．两个锐角的和是钝角9．举反例说明命题“一个角的补角大于这个角”是假命题．反例：_____________________________________________________________________ ___.10．命题“a，b是有理数，若a＞b，则a2＞b2”，若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是真命题．请你写出一种改法：________________________________________________________________________.三角形的内角和定理及推论的应用11．△ABC三个内角之间的关系为∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶8，这个三角形一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形12．(2015·资阳)如图，已知AB∥CD，∠C＝70°，∠F＝30°，则∠A的度数为()A．30°B．35°C．40°D．45°(第12题)(第13题)13．(2014·泰安)如图，把一直尺放置在一个三角形纸片上，则下列结论正确的是()A．∠1＋∠6>180°B．∠2＋∠5<180°C．∠3＋∠4<180°D．∠3＋∠7>180°14．如图，在△ABC中，∠A＝∠ACB，CD平分∠ACB交AB于点D，∠ADC ＝150°，则∠B等于()A．120°B．130°C．140°D．150°(第14题)(第15题)15．(2015·南充)如图，点D在△ABC的边BC延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE的大小是________度．16．满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？(1)∠A＝30°，∠C＝∠B；(2)三个内角的度数比为1∶2∶3.17．如图，已知D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，DF 交AC于点E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度数．(第17题)18．如图，BC平分∠ABE，DC平分∠ADE.求证：∠E＋∠A＝2∠C.(第18题)数学思想方法的应用a．方程思想19．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C＝∠BDC，BD是∠ABC的平分线，求∠A的度数．b．分类讨论思想20．已知等腰三角形的一边长等于5，另一边长等于9，求这个三角形的周长．c．整体思想21．如图，∠DBC＝2∠ABD，∠DCB＝2∠ACD，试说明∠A与∠D之间的关系．(第21题)答案专训一1．10；△ABD，△ABE，△ABF，△ABG，△ADE，△ADF，△ADG，△AEF，△AEG，△AFG点拨：图中的三角形都有一个公共顶点A，只需在BG上找出所有的线段即可，BG上共有10条线段：BD，BE，BF，BG，DE，DF，DG，EF，EG，FG，运用这种有序化的思路来找，便可找出所有的三角形．2．D3．解：图中共有21个三角形．我们可以按基本图形计数，以1个三角形为基本图形，则有6个三角形，分别为△ABM，△AMN，△ANP，△APQ，△AQE，△AEC；以2个三角形为基本图形，则有5个三角形，分别为△ABN，△AMP，△ANQ，△APE，△AQC；以3个三角形为基本图形，则有4个三角形，分别为△ABP，△AMQ，△ANE，△APC；以4个三角形为基本图形，则有3个三角形，分别为△ABQ，△AME，△ANC；以5个三角形为基本图形，则有2个三角形，分别为△ABE，△AMC；以6个三角形为基本图形，则有1个三角形，它是△ABC.所以图中共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(个)三角形．4．(1)3(2)6(3)10(4)15(5)（n＋2）（n＋1）2点拨：本题利用了由特殊到一般的思想．当三角形内部有n条线段时，三角形的个数为(n＋1)＋n＋(n－1)＋...＋3＋2＋1.设S＝(n＋1)＋n＋(n－1)＋ (3)2＋1①，S＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＋(n＋1)②，①＋②，得2S＝(n＋2)＋(n＋2)＋…＋(n＋2),\s\do4((n＋1)个))．所以S＝（n＋2）（n＋1）2.5．解：填表如下：点拨：当△ABC 内有1个点时，构成互不重叠的小三角形的个数是3＝1×2＋1；当△ABC 内有2个点时，构成互不重叠的小三角形的个数是5＝2×2＋1；当△ABC 内有3个点时，构成互不重叠的小三角形的个数是7＝3×2＋1；参考上面数据可知，构成互不重叠的小三角形的个数与点的个数之间的关系是：三角形内有n 个点时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是2n ＋1，故当△ABC 内有1 007个点时，构成互不重叠的小三角形的个数是1 007×2＋1＝2 015.6．16；n 2 点拨：1层：1＝12；2层：1＋3＝22；3层：1＋3＋5＝32；4层：1＋3＋5＋7＝42；….以此类推，可以得出当叠加的层数为n 层时，内部不再含三角形的三角形个数为1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝n 2.专训二1．B 2.B 3.8；等腰4．解：设等腰三角形的腰长为a ，底边长为b ，由题意得⎩⎨⎧2a ＋b ＝10，2a ＞b ＞0，解得0＜b ＜5.∵a ，b 均取整数，∴b 只能取2或4.当b ＝2时，a ＝4，当b ＝4时，a ＝3. ∴三角形的三边长为4，4，2或3，3，4. 5．A 6.A7．解：因为∠A ＝60°，∠ABC ＝50°，所以∠ACB ＝70°.因为BF 是△ABC 的高，所以∠BFC ＝90°，所以∠FBC ＝180°－∠BFC －∠ACB ＝180°－90°－70°＝20°.因为CD 平分∠ACB ，所以∠BCM ＝12∠ACB ＝35°，所以∠BMC ＝180°－∠BCM －∠FBC ＝180°－35°－20°＝125°.点拨：本题综合考查了三角形的角平分线、高的定义，利用三角形的内角和为180°解题．8．A9．这个角是100°，它的补角是80° 10．a ＞b ＞0 点拨：答案不唯一． 11．D 12.C 13.D 14.C 15.6016．解：(1)因为∠A ＝30°，∠C ＝∠B ，所以∠B ＝∠C ＝180°－30°2＝75°.所以△ABC 是锐角三角形．(2)180°×16＝30°，180°×26＝60°，180°×36＝90°，所以此三角形为直角三角形．17．解：因为∠A ＝35°，∠AFE ＝90°，所以∠AEF ＝55°，所以∠CED ＝55°.又因为∠D ＝42°，所以∠ACD ＝180°－∠CED －∠D ＝180°－55°－42°＝83°.(第18题)18．证明：如图，∵∠1＋∠A ＝∠3＋∠C ①，∠2＋∠C ＝∠4＋∠E ②，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴①②两式相加可得：∠1＋∠A ＋∠4＋∠E ＝∠3＋∠C ＋∠2＋∠C ，∴∠E ＋∠A ＝2∠C.19．解：因为∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ，所以∠A ＝∠BDC －∠ABD ＝∠BDC －12∠ABC ＝∠BDC －12∠BDC ＝12∠BDC ＝12∠C ＝12∠ABC.设∠A ＝x ，则∠ABC ＝∠C ＝2x ，列方程得x ＋2x ＋2x ＝180°，解得x ＝36°，即∠A ＝36°.20．解：若腰长为5，底边长为9，因为5＋5＞9，符合三角形三边关系，所以此时能组成三角形，周长为5＋5＋9＝19.若腰长为9，底边长为5，显然此时也能组成三角形，周长为9＋9＋5＝23. 所以这个三角形的周长为19或23.21．解：因为∠DBC ＝2∠ABD ，∠DCB ＝2∠ACD.所以∠ABC ＝32∠DBC ，∠ACB ＝32∠DCB. 所以∠A ＝180°－(∠ABC ＋∠ACB)＝180°－⎝ ⎛⎭⎪⎫32∠DBC ＋32∠DCB ＝180°－32(∠DBC ＋∠DCB) ＝180°－32(180°－∠D)＝180°－270°＋32∠D＝32∠D －90°.即∠A ＝32∠D －90°.。

沪科版八年级上册数学第13章三角形中的边角关系、命题与证明含答案(能力提升)

沪科版八年级上册数学第13章三角形中的边角关系、命题与证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠BCA，若∠D=3∠A，则∠A=（）A.32°B.36°C.40°D.44°2、把一副三角板按如图叠放在一起，则的度数是（）A. B. C. D.3、如图，一张△ABC纸片，小明将△ABC沿着DE折叠并压平，点A与A′重合，若∠A=78°，则∠1+∠2=（）A.156°B.204°C.102°D.78°4、已知，在△ABC中，∠A=60°，∠C=80°，则∠B=（）A.60°B.30°C.20°D.40°5、如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=40°，则∠ACD=（）.A.30°B.40°C.70°D.110°6、如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是（）A.8B.16C.14D.107、若三角形的三边长分别为则的取值范围是（）A. B. C. D.8、等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（）A.8B.10C.8或10D.不能确定9、如图，Rt△ABC中，于点D则下列结论不一定成立的是（）A. B. C. D.10、如图，A，B，C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△A1BlC1的面积是14，那么△ABC的面积是（）A.1.5B.2C.2.5D.311、某珠宝店失窃，甲、乙、丙、丁四人涉嫌被拘审，四人的口供如下：甲：作案的是丙；乙：丁是作案者；丙：如果我作案，那么丁是主犯；丁：作案的不是我．如果四人口供中只有一个是假的，那么以下判断正确的是（）A.说假话的是甲，作案的是乙B.说假话的是丁，作案的是丙和丁C.假话的是乙，作案的是丙D.说假话的是丙，作案的是丙12、能将三角形的面积分成相等的两部分的是（）A.三角形的中线B.三角形的高线C.三角形的角平分线D.以上都不对13、下列说法中，①三角形的内角中最多有一个钝角；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；③从n边形的一个顶点可以引（n﹣3）条对角线，把n边形分成（n﹣2）个三角形，因此，n边形的内角和是（n﹣2）•180°；④六边形的对角线有7条，正确的个数有（）A.4个B.3个C.2个D.1个14、如图，在△ABC中，画出AC边上的高，正确的图形是（）A. B. C.D.15、如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，M，N，Q 分别在DB，DC，BC的延长线上，BE，CE分别平分∠MBC，∠BCN，BF，CF分别平分∠EBC，∠ECQ，则∠F=________．17、如图，在△ABC中，∠A=55°，∠B=60°，则外角∠ACD=________度．18、如图，在△ABC中，将∠C沿DE折叠，使顶点C落在△ABC内C′处，若∠A=75°，∠B=65°，∠1=40°，则∠2的度数为________．19、如图，△ABC的面积为15，AD是BC边的中线，E为AD的中点，则△DCE 的面积为________．20、如图，中，，，MN垂直平分AB，则________.21、如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1＋∠2=________.22、如图所示，∠2=2∠1，∠3=70°，∠4=120°，则∠A=________．23、如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角α=________度．24、如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，以点B为旋转中心，将线段BO逆时针旋转60°得到线段BO′，连接AO′.则下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针方向旋转60°得到；②连接OO′，则OO′=4；③∠AOB=150°；=6+4 .④S四边形AOBO′其中正确的结论是________.25、如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是A边上一点，且AE＝，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、化简，并求值，其中与、构成的三边，且为整数．27、如图,AE∥BD,∠1=115°,∠2=35°,求∠C的度数.28、已知△ABC中，AC＝BC，∠C＝100°，AD平分∠BAC交BC于D，点E 为AB上一点，且∠EDB＝∠B．求证：AB＝AD+CD．29、如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．30、如图，ABCD是凸四边形，AB=2，BC=4，CD=7，求线段AD的取值范围．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、A3、A4、D5、C6、C7、D8、B9、D10、B12、A13、B14、C15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、29、30、。

八年级数学上册试题第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》章节测试卷-沪科版(含解析)

第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》章节测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列实际情景运用了三角形稳定性的是（）A．人能直立在地面上B．校门口的自动伸缩栅栏门C．古建筑中的三角形屋架D．三轮车能在地面上运动而不会倒2．如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则AC长的可能值有（）个．A．3B．4C．5D．63．下列命题是假命题的是（）A．如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3B．对顶角相等C．如果一个数能被6整除，那么它肯定也能被3整除D．内错角相等4．如图所示，∠F＝90°，CE⊥AB，C是BF的中点，D是BE上的一点，下列说法正确的是（）A．CD是△ABC的中线B．AF是△ABC的高C．CE是△ABF的中位线D．AC是△ABF的角平分线5．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，若∠B=40°，∠C=60°，则∠ADE的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，S△ABC 的值为（）=48，则SΔDEFA．2B．4C．6D．87．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值是（）A．7B．8C．9D．108．如图，△ABC中，∠ABC=3∠C，E分别在边BC，AC上，∠EDC=24°，∠ADE=3∠AED，∠ABC的平分线与∠ADE的平分线交于点F，则∠F的度数是（）A．54°B．60°C．66°D．72°9．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE 相交于点G，若∠ABC=3∠C，且∠G=20°，则∠DFB的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．65°10.如图，∠ABC=∠ACB，BD、CD、BE分别平分∠ABC，外角∠ACP，外角∠MBC，以下结论：①AD∥BC，②BD⊥BE，③∠BDC+∠ABC=90°，④∠BAC+2∠BEC=180°，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．如图，有一张三角形纸片ABC，∠B＝32°，∠A＝100°，点D是AB边上的固定点(BD<1AB)，2在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，当EF与AC边平行时，∠BDE的度数为．12．如图，AD为△ABC的中线，DE，DF分别为△ABD，△ACD的一条高，若AB=6，DE=4，则AC=．，DF=8313．已知△ABC的边长a，b，c满足(a−2)2+|b−4|=0，则a、b的值分别是，若c为偶数，则△ABC的周长为．14．如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，CD:AD=1:2，连接BD，点E是线段BD上一点，BE:ED=1:3，连接AE，点F是线段AE的中点，连接CF交线段BD于点G，若△ABC的面积是12，则△EFG的面积是．15．如图△AOB和△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=70°，点D在边OA上，将△COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中当CD∥AB时，旋转时间秒．16．如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2α−β=60°，那么我们称这样的三角形为“斜等边三角形”．在锐角三角形ABC中，BD⊥AC于点D，若△ABC、△ABD、△BCD都是“斜等边三角形”，则∠ABC=．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（1）一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形是几边形？（2）小明求得一个多边形的内角和为1280°，小强很快发现小明所得的度数有误，后来小明复查时发现他重复加了一个内角，求出这个多边形的边数以及他重复加的那个角的度数．18．（6分）如图所示，D是△ABC的边AC上任意一点（不含端点），连结BD，请判断AB+BC+AC 与2BD的大小关系，并说明理由．19．（8分）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．将△ABC平移，使点C平移至点D，点A、B的对应点分别是点E、F．(1)在图中请画出△ABC平移后得到的△DEF；(2)在图中画出△ABC的AB边上的高CH；(3)若连接CD、AE，则这两条线段之间的关系是；(4)△DEF的面积为．20．（8分）如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10 cm，∠CAB=90°．(1)求AD的长；(2)求△ACE和△ABE周长的差．21．（8分）在△ABC中，∠B，∠C均为锐角且不相等，线段AD是△ABC中BC边上的高，AE是△ABC的角平分线．(1)如图1，∠B=70°，∠C=30°，求∠DAE的度数；(2)若∠B=x°，∠DAE=10°，则∠C=______；(3)F是射线AE上一动点，C、H分别为线段A B，BC上的点（不与端点重合），将△BGH沿着GH 折叠，使点B落到点F处，如图2所示，请直接写出∠1，∠2与∠B的数量关系．22．（8分）已知，在△ABC中，∠BAC=∠ABC，点D在AB上，过点D的一条直线与直线AC、BC分别交于点E、F．(1)如图1，∠BAC=70°，则∠CFE+∠FEC=______°．(2)如图2，猜想∠BAC、∠FEC、∠CFE之间的数量关系，并加以证明；(3)如图3，直接写出∠BAC、∠FEC、∠CFE之间的数量关系______．23．（8分）将含30°角的三角板ABC（∠B=30°）和含45°角的三角板FDE及一把直尺按图方式摆放在起．使两块三角板的直角顶点A，F重合．点A，F，C，E始终落在直尺的PQ边所在直线上．将含45°角的三角板FDE沿直线PQ向右平移．(1)当点F与点C重合，请在备用图中补全图形，并求平移后DC与CB形成的夹角∠DCB的度数；(2)如图，点F在线段AC上移动，M是边AB上的动点，满足∠DFM被FB平分，∠EFM的平分线FN与边BC交于点N，请证明在移动过程中，∠NFB的大小保持不变；(3)仿照（2）的探究，点F在射线CQ上移动，M是边AB上的动点，满足∠DFM被FB平分，∠EFM的平分线F N'所在直线与直线BC交于点N，请写出一个与平移过程有关的合理猜想．（不用证明）答案一．选择题1．C【分析】根据三角形的稳定性进行判断即可求解．【详解】解：古建筑中的三角形屋架是利用了三角形的稳定性，故选C2．B【分析】依据ΔABC的周长为22，ΔABM的周长比ΔACM的周长大2，可得2<BC<11，再根据ΔABC的三边长均为整数，即可得到BC=4，6，8，10．【详解】解：∵ΔABC的周长为22，ΔABM的周长比ΔACM的周长大2，∴2<BC<22−BC，解得2<BC<11，又∵ΔABC的三边长均为整数，ΔABM的周长比ΔACM的周长大2，∴AC=22−BC−22=10−12BC为整数，∴BC边长为偶数，∴BC=4，6，8，10，即AC的长可能值有4个，故选：B．3．D【分析】利用对顶角的性质、实数的性质、平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3，正确，是真命题，故本选项不符合题意；B、对顶角相等，正确，是真命题，故本选项不符合题意；C、如果一个数能被6整除，那么它肯定也能被3整除，正确，是真命题，故本选项不符合题意；D、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题，故本选项符合题意．故选：D．4．B【分析】根据三角形中位线的定义，三角形角平分线、中线和高的定义作答．【详解】解：A、AC是△ABC的中线，故本选项不符合题意．B 、由∠F ＝90°知，AF 是△ABC 的高，故本选项符合题意．C 、CE 是△ABC 的高，故本选项不符合题意．D 、AC 是△ABF 的中线，故本选项不符合题意．故选：B ．5．C【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC ，再根据角平分线的定义可得∠BAD=∠DAC =40°，最后利用垂线的定义可得∠AED=90°，进而解答即可．【详解】解：∵∠B =40°，∠C =60°，∴∠BAC=180°−40°−60°=80°．∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠DAC =40°．∵DE ⊥AC ，∴∠AED =90°，∴∠ADE =90°−∠DAE =50°．故选C ．6．C【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．【详解】解：连接CD ，如图所示：∵点D 是AG 的中点，∴S △ABD =12S △ABG ，S △ACD =12S △AGC ，∴S △ABD +S △ACD =12S △ABC =24，∴S △BCD =12S △ABC =24，∵点E 是BD 的中点，∴S△CDE =12S△BCD=12，∵点F是CE的中点，∴S△DEF =12S△CDE=6．故选：C．7．C【分析】若两螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，根据三角形任意两边之和大于第三边，进行求解即可．【详解】解：①当3、4在一条直线上时，三边长为：5、7、7，此时最大距离为7；②∵4+5<3+7，∴3、7不可能在一条直线上；③当4、5在一条直线上时，三边长为：3、7、9，此时最大距离为9；④∵4+3<5+7，∴5、7不可能在一条直线上；综上所述：最大距离为9．故选：C．8．B【分析】根据题意可知∠FBC=32∠C，设∠C=x，表示出∠ADE，根据角平分线的定义，可得∠EDF的度数，根据∠FDC=∠F+∠FBC列方程，即可求出∠F的度数．【详解】解：∵BF平分∠ABC，∴∠FBC=12∠ABC，∵∠ABC=3∠C，∴∠FBC=32∠C，设∠C=x，则∠FBC=32x，∵∠EDC=24°，∴∠AED=x+24°，∵∠ADE=3∠AED，∴∠ADE=3x+72°，∵DF平分∠ADE，∴∠EDF=32x+36°，∵∠FDC=∠F+∠FBC，∴32x+36°+24°=∠F+32x，∴∠F=60°．故选：B．9．C【分析】由角平分线的定义可以得到∠CAE=∠BAE，∠ABF=∠DBF，设∠CAE=∠BAE=x，假设∠C=y，∠ABC=3y，通过角的等量代换可得到∠DFB=3∠G，代入∠G的值即可．【详解】∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD∴∠CAE=∠BAE，∠ABF=∠DBF设∠CAE=∠BAE=x∵∠ABC=3∠C∴可以假设∠C=y，∠ABC=3y∴∠ABF=∠DBF=∠CBG=12(180°−3y)=90°−32y∵AD⊥CD∴∠D=90°∴∠DFB=90°−∠DBF=32y设∠ABF=∠DBF=∠CBG=z，则{z=x+∠Gz+∠G=x+y∴∠G=12y∴∠DFB=3∠G∵∠G=20°∴∠DFB=60°故答案选：C10．D【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定一一判定即可．【详解】解：①设点A、B在直线MF上，∵BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACP，∴AD平分△ABC的外角∠FAC，∴∠FAD=∠DAC，∵∠FAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，∴∠FAD=∠ABC，∴AD∥BC，故①正确．②∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC，∴∠DBE=∠DBC+∠EBC=12∠ABC+12∠MBC=12×180°=90°，∴EB⊥BD，故②正确．③∵∠DCP=∠BDC+∠CBD，2∠DCP=∠BAC+2∠DBC，∴2(∠BDC+∠CBD)=∠BAC+2∠DBC，∴∠BDC=12∠BAC，∵∠BAC+2∠ACB=180°，∴12∠BAC+∠ACB=90°，∴∠BDC+∠ACB=90°，故③正确．④∵∠BEC=180°−12(∠MBC+∠NCB)=180°−12(∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC)=180°−12(180°+∠BAC)∴∠BEC=90°−12∠BAC，∴∠BAC+2∠BEC=180°，故④正确．故选：D．二．填空题11．124°【分析】根据已知、折叠和平行线，得∠BEF=∠C，再计算∠BED的度数，最后根据三角形内角和为180°计算∠BDE的度数即可．【详解】∵EF∥AC，∠B=32°，∠A=100°，∴∠BEF=∠C=180°−∠A−∠B=180°−100°−32°=48°（两直线平行，同位角相等），∵纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，∴∠BED=12∠BEF=12×48°=24°，∴∠BDE=180°−∠B−∠BED=180°−32°−24°=124°（三角形内角和为180°），故答案为：124°．12．9【分析】由AD为△ABC的中线得S△ABD =S△ACD，从而得到12⋅AB⋅DE=12⋅AC⋅DF，代入进行计算即可得到答案．【详解】解：∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∴S△ABD =S△ACD，∵DE，DF分别为△ABD，△ACD的一条高，∴12⋅AB⋅DE=12⋅AC⋅DF，∵AB=6，DE=4，DF=83，∴AC=9，故答案为：9．13． 2、4 10【分析】由(a −2)2+|b −4|=0，可得a −2=0，b −4=0，解得a =2，b =4，由三角形三边关系可得，b −a <c <a +b ，即2<c <6，由c 为偶数，可得c =4，然后求周长即可．【详解】解：∵(a −2)2+|b −4|=0，∴a −2=0，b −4=0，解得a =2，b =4，由三角形三边关系可得，b −a <c <a +b ，即2<c <6，∵c 为偶数，∴c =4，∴△ABC 的周长为2+4+4=10，故答案为：2、4，10．14．94【分析】连接DF ，CE ．由题意中的线段的比和S △ABC =12，可推出S △ABD =23S △ABC =8，S △CBD=13S △ABC =4，从而可求出S △ABE =14S △ABD =2，S △ADE =34S △ABD =6．结合中点的性质即得出S △ADF =S △EDF =12S △ADE =3，从而可求出S △CDF =12S △ADF =32，进而得出S △ECF =S △ACF=S △ADF +S △CDF =92，最后即得出DGEG =S △CDF S △ECF=13，最后即可求出S △EFG =34S △EDF =94．【详解】解：如图，连接DF ，CE ．∵CD:AD=1:2，S △ABC =12，∴S △ABD =23S △ABC =8，S △CBD =13S △ABC =4．又∵BE:ED =1:3，∴S△ABE =14S△ABD=2，S△ADE=34S△ABD=6．∵点F是线段AE的中点，∴S△ADF =S△EDF=12S△ADE=3．∵CD:AD=1:2，∴S△CDF =12S△ADF=32，∴S△ACF =S△ADF+S△CDF=92，∴S△ECF =S△ACF=92，∴S△CDFS△ECF =3292=13，即S△DEF+S△DGCS△EFG+S△EGC=13,∴DGEG =13，∴S△EFG =34S△EDF=94．故答案为：94．15．11或29【分析】根据题意，画出图形，进行分类讨论，①当点C在△AOB内时，根据三角形的内角和定理可得∠D=20°，根据平行线的性质得出∠1=∠B=40°，再根据三角形的外角定理求出∠2，进而得出∠AOD=∠AOB+∠2，即可求解；②当点C在△AOB外时，延长BO交CD 于一点，根据平行线的性质得出∠3=∠B=40°，再根据三角形的外角定理求出∠4=20°，即可得出∠AOD，即可求解．【详解】解：①当点C在△AOB内时，如图，在Rt△OCD中，∠C=70°，∴∠D=180°−90°−70°=20°，∵CD∥AB，∠B=40°，∴∠1=∠B=40°，∵∠D+∠2=∠1，∴∠2=40°−20°=20°，∴∠AOD=∠AOB+∠2=90°+20°=110°，∴旋转时间=110÷10=11（秒），②当点C在△AOB外时，延长BO交CD于一点，如图，∵CD∥AB，∠B=40°，∴∠3=∠B=40°，由①可得，∠D=20°，∴∠4=∠3−∠D=40°−20°=20°，∴∠AOD=90°−∠4=70°，∴△COD绕点O沿顺时针方向旋转了360°−70°=290°，∴旋转时间=290÷10=29（秒），故答案为：11或29．16．55°【分析】根据新定义的“斜等边三角形”的特点分情况分析，然后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：△ABD是“斜等边三角形”，BD⊥AC，∴∠ADB=90°（1）2∠A−∠ABD=60°，∵∠A+∠ABD=90°，∴解得：∠A=50°，∠ABD=40°；（2）2∠A−∠ADB=60°，∴解得：∠A=75°，∠ABD=15°；（3）2∠ABD−∠A=60°，∵∠A+∠ABD=90°，∴解得：∠A=40°，∠ABD=50°；（4）2∠ABD−∠ADB=60°，∴解得：∠ABD=75°，∠A=15°；△BCD是“斜等边三角形”，①2∠C−∠CBD=60°，∵∠C+∠CBD=90°，∴解得：∠C=50°，∠CBD=40°；②2∠C−∠CDB=60°，∴解得：∠C=75°，∠CBD=15°；③2∠CBD−∠C=60°，∵∠C+∠CBD=90°，∴解得：∠C=40°，∠CBD=50°；④2∠CBD−∠CDB=60°，∴解得：∠CBD=75°，∠C=15°；当（1）①成立时，∠A=50°，∠ABD=40°，∠C=50°，∠CBD=40°，∴∠CBA=40°+40°=80°，∴三个角中不满足“斜等边三角形”的定义，不符合题意；当（1）②成立时，∠A=50°，∠ABD=40°，∠C=75°，∠CBD=15°，∴∠CBA=40°+15°=55°，∵2∠CBA−∠A=60°，∴△ABC是“斜等边三角形”，符合题意；同理得：符合题意的只有∠ABC=55°，故答案为：55°三．解答题17．解：（1）设这个多边形的边数是n，由题意得：(n−2)×180=360×3，∴n=8，∴这个多边形是八边形；（2）设这个多边形的边数是m，由题意得：(m−2)×180<1280<(m−2)×180+180，解得：819<m<919，∵m为整数∴m=9，∴重复加的那个角的度数是：1280°−(9−2)×180°=20°答：这个多边形的边数是9，重复加的那个角的度数是20°．18．解：AB+BC+AC＞2BD．理由如下：在△ABD中，AB+AD＞BD，在△BCD中，BC+CD＞BD，∴AB+AD+BC+CD＞2BD，即AB+BC+AC＞2BD．19．（1）如图所示，△DEF即为所求；（2）如图所示，CH即为所求；（3）如图所示，∵△ABC平移后得到的△DEF∴若连接CD、AE，CD∥AE，CD=AE∴这两条线段之间的关系是平行且相等；（4）如图所示，△DEF的面积=4×6−12×4×3−12×1×3−12×3×6=152．20．（1）解：∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，∴12AB⋅AC=12BC⋅AD，∴AD=AB⋅ACBC =6×810= 4.8(cm)，即AD的长度为4.8cm；（2）∵AE为BC边上的中线，∴BE=CE，∴△ACE的周长−△ABE的周长=(AC+AE+CE)−(AB+BE+AE)=AC−AB=8−6=2(cm)，即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．21．（1）解：在△ABC中，∠B=70°，∠C=30°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−70°−30°=80°，∵AE是△ABC的角平分线．∴∠BAE=12∠BAC=12×80°=40°，∵线段AD是△ABC中BC边上的高，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=180°−∠B−∠ADB=180°−70°−90°=20°，∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=40°−20°=20°，（2）解：∵∠B=x°，线段AD是△ABC中BC边上的高，∴∠BAD=90°−∠B=90°−x°，∵∠DAE=10°，∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°−x°+10°=100°−x°，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAC=2∠BAE=200°−2x°，∴∠C=180°−∠B−∠BAC=180°−x°−(200°−2x°)=(x−20°)，故答案为：(x−20)°；（3）解：连接BF，∵∠1=∠GBF+∠GFB，∠2=∠HBF+∠HFB，∴∠1+∠2=∠GBF+∠GFB+∠HBF+∠HFB=∠B+∠GFH，∵△GFH由△GBH折叠所得，∴∠B=∠GFH，∴∠1+∠2=2∠B．22．（1）解：∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，∠BAC=∠ABC，∴∠ACB=180°−2∠BAC，∵∠CFE+∠FEC=180°−∠ACB，∴∠CFE+∠FEC=180°−(180°−2∠BAC)=2∠BAC，∵∠BAC=70°，∴∠CFE+∠FEC=140°；（2）∠FEC+∠CFE=2∠BAC，证明：在△CEF中∵∠C+∠CEF+∠CFE=180°，∴∠CEF+∠CFE=180°−∠C，在△ABC中，∵∠C+∠BAC+∠ABC=180°，∴∠BAC+∠ABC=180°−∠C，∴∠CEF+∠CFE=∠BAC+∠ABC，∵∠BAC=∠ABC，∴∠CEF+∠CFE=2∠BAC；（3）解：∵∠ACB=∠FEC+∠CFE，∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，∠BAC=∠ABC，∴180°−2∠BAC=∠FEC+∠CFE，∴∠FEC+∠CFE=180°−2∠BAC．23．（1）解：如图所示，∵DC∥AB∴∠DCB=∠B=30°，（2）证明：∵AB∥FD∴∠DFB=∠MBF，设∠DFB=∠MBF=α∵∠DFM被FB平分∴∠DFB=∠MFB，则∠DFB=∠MFB=α，∴∠AMF=∠MBF+∠MFB=2α，∵∠BAC=90°∴∠MFA=90°−2α，∵FN平分∠EFM∴∠EFN=∠MFN=12(180°−∠MFA)=12(180°−90°+2α)=45°+α∴∠NFB=∠NFM−∠BFM=45°+α−α=45°，即∠NFB的大小保持不变；（3）解：在移动过程中，∠NFB的大小保持不变；如图所示，证明：∵AB∥FD∴∠DFB=∠MBF，设∠DFB=∠MBF=α∵∠DFM被FB平分∴∠DFB=∠MFB，则∠DFB=∠MFB=α，∴∠AMF=∠MBF+∠MFB=2α，∵∠BAC=90°∴∠MFA=90°−2α，∵F N'平分∠EFM∴∠EF N'=∠MF N'=12(180°−∠MFA)=12(180°−90°+2α)=45°+α∴∠N'FB=∠N'FM−∠BFM=45°+α−α=45°，∴∠NFB=135°，即∠NFB的大小保持不变；。

沪科版数学八年级上册第十三章-三角形中的边角关系、命题和证明巩固练习(解析版)

沪科版数学八年级上册-第十三章-三角形中的边角关系，命题与证明-巩固练习一、单选题1.三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是（）A.90°B.120°C.135°D.180°2.如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（）A.10°B.20°C.30°D.80°3.有一种几何体是用相同正方体组合而成的，有人说：这样的几何体如果只给出主视图和左视图是不能唯一确定的，我们可以找出一个反例来说明这个命题是假命题，这个反例可以是（）A. B.C. D.4.若一个三角形的一边长为3 cm，则它的周长可能为（）A.4 cmB.5 cmC.6 cmD.8 cm5.下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）A. B. C. D.6.对于实数a、b，定义一种运算“⊗”为：a⊗b=a2+ab﹣2，有下列命题：①1⊗3=2；②方程x⊗1=0的根为：x1=﹣2，x2﹣1；③不等式组的解集为：﹣1＜x＜4；④点（1，﹣2）在函数y=x⊗（﹣1）的图象上．其中正确的是（）A.①②③④B.①③④C.①②④D.①②③7.若线段2a+1，a，a+3能构成一个三角形，则a的范围是（）A.a>0B.a>1C.a>2D.1<a<38.到三角形各顶点的距离相等的点是三角形（）A.三条角平分线的交点B.三条高的交点C.三边的垂直平分线的交点D.三条中线的交点二、填空题9.如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪。

量角器的O刻度线AB 对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是________．10.如果三角形的一个外角等于和它相邻的内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则此三角形各内角的度数是________．11.命题“同位角相等”的逆命题是________12.一个三角形的两边长分别是3和8，周长是偶数，那么第三边边长是________.13.“若实数a，b，c满足a<b<c，则a+b<c”，能够说明该命题是假命题的一组a，b，c的值依次为________．14.如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=________．15.如图,已知△中, ,剪去后变成四边形,则=________.16.如图，Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=50°，∠C=60°，点D在边OA上，将图中的△AOB绕点O按每秒20°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第t 秒时，边CD所在直线恰好与边AB所在直线垂直，则t的值为________．三、解答题17.有一块三角形优良品种试验基地，如图，由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制订出两种以上的划分方案以供选择（画图说明）.18.如图，按规定，一块横板中AB、CD的延长线相交成85°角，因交点不在板上，不便测量，工人师傅连接AC，测得∠BAC=32°，∠DCA=65°，此时AB、CD的延长线相交所成的角是不是符合规定？为什么？四、综合题19.已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE、DF分别是△ADC的高和角平分线（∠C >∠DAC）.（1）若∠B=80°，∠C=40°，求∠DAE的度数；（2）试猜想∠EDF、∠C与∠DAC有何种关系？并说明理由.20.实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．（1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射．若被b 反射出的光线n与光线m平行，且∠1=50°，则∠2=________，∠3=________；（2）在(1)中，若∠1=55°，则∠3=________；若∠1=40°，则∠3=________；（3）由(1)、(2)请你猜想：当两平面镜a，b的夹角∠3等于多少度时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，请说明理由．21.如图：△ABC的边BC的高为AF，AC边上的高为BG，中线为AD，AF=6，BC=12，BG=5，（1）求△ABD的面积．（2）求AC的长．（3）△ABD和△ACD的面积有何关系．答案一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】解：如图所示：由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7=540°，∵三个全等三角形，∴∠4+∠9+∠6=180°，又∵∠5+∠7+∠8=180°，∴∠1+∠2+∠3+180°+180°=540°，∴∠1+∠2+∠3的度数是180°．故答案为：D【分析】在题目中，根据相邻三个角的角度和为180°，即可求得9个角的角度和，根据三个三角形为全等三角形，即可求得三个角的角度和。

2020秋八年级数学上册第13章三角形中的边角关系、命题与证明同步练习沪科版

2020秋⼋年级数学上册第13章三⾓形中的边⾓关系、命题与证明同步练习沪科版1.三⾓形中边的关系知识点：1、三⾓形：不在同⼀条直线上的线段⾸位顺次相接组成的封闭图形2、三⾓形分类3、三⾓形的三边关系：两边之和⼤于第三边，两边之差⼩于第三边测试题1.由______________的三条线段______相接所组成得图形叫做三⾓形。

2.如图，三⾓形的三边分别是________或______，三⾓形的内⾓分别是__________，三⾓形的顶点分别是_______ ，这个三⾓形记作______，读作____________.3.三⾓形按边的关系可分为和，⽽等腰三⾓形⼜分为和。

三⾓形按内⾓⼤⼩可分为、和。

4.三⾓形两边的和第三边，三⾓形两边的差第三边。

5.三⾓形的三边分别为2、x、5，则整数x = 。

6.等腰三⾓形的周长为16，其⼀边长为6，则另两边长为。

7.已知三⾓形的两边长是3cm和8cm ，则此三⾓形的第三边长可能是（）A.4 cmB.5 cmC.6 cmD.13cm8.⼀个三⾓形的三边长是 m 、3 、5，那么m的取值范围是（）A.3B.0C.2D.09.下列选项中，给出的三条线段不能组成三⾓形的是（）A.a+1,a+2,a+3B.三边之⽐为2:3:4C.30cm，8cm ，10cmD.3k ，4k ，5k10.下列说法中正确的是（）A.等腰三⾓形⼀腰的长⾄少要⼤于底边长的⼀半B.三⾓形按边的关系分为不等边三⾓形、等边三⾓形C.长度为5、6、10的三条线段不能组成三⾓形 D.等腰三⾓形的两边长是1和2，则其周长为4或511、现有两根⽊棒，它们的长分别为40cm和50cm，若要钉成⼀个三⾓形⽊架（?不计接头），则在下列四根⽊棒中应选取（）A．10cm长的⽊棒 B．40cm长的⽊棒 C．90cm长的⽊棒 D．100cm长的⽊棒拓展训练：1.已知⼀个三⾓形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长x的取值范围是．?若x是奇数，则x的值是______；则它的周长为______；?若x?是偶数，?则x?的值是______ 。

沪科版数学八年级上册第13章三角形中的边角关系、命题与证明单元测试

第13章三角形中的边角关系、命题与证明一、选择题1．以下命题是真命题的是〔〕A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直的四边形是正方形2．以下命题中，真命题的个数有〔〕①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．A．3个B．2个C．1个D．0个3．以下命题正确的选项是〔〕A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形B．对角线相互垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形4．以下说法不正确的选项是〔〕A．圆锥的俯视图是圆B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C．任意一个等腰三角形是钝角三角形D．周长相等的正方形、长方形、圆，这三个几何图形中，圆面积最大5．以下命题：①平行四边形的对边相等；②对角线相等的四边形是矩形；③正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中真命题的个数是〔〕A．1 B．2 C．3 D．46．以下命题中错误的选项是〔〕A．平行四边形的对角线互相平分B．菱形的对角线互相垂直C．同旁内角互补D．矩形的对角线相等7．以下命题中，为真命题的是〔〕A．六边形的内角和为360度B．多边形的外角和与边数有关C．矩形的对角线互相垂直 D．三角形两边的和大于第三边8．以下命题中，属于真命题的是〔〕A．各边相等的多边形是正多边形B．矩形的对角线互相垂直C．三角形的中位线把三角形分成面积相等的两局部D．对顶角相等9．以下命题：①在Rt△ABC中，∠C=90°，假设∠A＞∠B，那么sinA＞sinB；②四条线段a，b，c，d中，假设=，那么ad=bc；③假设a＞b，那么a〔m2+1〕＞b〔m2+1〕；④假设|﹣x|=﹣x，那么x≥0．其中原命题与逆命题均为真命题的是〔〕A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④10．以下命题中，属于真命题的是〔〕A．三点确定一个圆B．圆内接四边形对角互余C．假设a2=b2，那么a=b D．假设=，那么a=b11．以下说法正确的选项是〔〕A．面积相等的两个三角形全等B．矩形的四条边一定相等C．一个图形和它旋转后所得图形的对应线段相等D．随机投掷一枚质地均匀的硬币，落地后一定是正面朝上12．命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解．〞是假命题．那么在以下选项中，可以作为反例的是〔〕A．b=﹣3 B．b=﹣2 C．b=﹣1 D．b=213．以下四个命题中，真命题是〔〕A．“任意四边形内角和为360°〞是不可能事件B．“湘潭市明天会下雨〞是必然事件C．“预计此题的正确率是95%〞表示100位考生中一定有95人做对D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是14．以下命题正确的选项是〔〕A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形15．以下命题正确的选项是〔〕A．矩形的对角线互相垂直B．两边和一角对应相等的两个三角形全等C．分式方程+1=可化为一元一次方程x﹣2+D．多项式t2﹣16+3t因式分解为〔t+4〕〔t﹣4〕+3t16．以下命题中，是假命题的是〔〕A．对顶角相等B．同旁内角互补C．两点确定一条直线D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等17．以下命题中是真命题的是〔〕A．确定性事件发生的概率为1B．平分弦的直径垂直于弦C．正多边形都是轴对称图形D．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等18．以下给出5个命题：①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形②六边形的内角和等于720°③相等的圆心角所对的弧相等④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形⑤三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等．其中正确命题的个数是〔〕A．2个B．3个C．4个D．5个19．以下命题是真命题的是〔〕A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形C．四条边相等的四边形是菱形D．正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形20．以下命题错误的选项是〔〕A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形B．平行四边形的对角线互相平分C．矩形的对角线相等D．对角线相等的四边形是矩形21．以下命题中的真命题是〔〕A．两边和一角分别相等的两个三角形全等B．相似三角形的面积比等于相似比C．正方形不是中心对称图形D．圆内接四边形的对角互补22．以下命题是假命题的是〔〕A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直的矩形是正方形C．对角线相等的菱形是正方形D．对角线互相垂直的四边形是正方形23．以下命题中，真命题的个数是〔〕①假设﹣1＜x＜﹣，那么﹣2；②假设﹣1≤x ≤2，那么1≤x 2≤4③凸多边形的外角和为360°；④三角形中，假设∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB ．A ．4B ．3C ．2D ．124．在平面直角坐标系中，任意两点A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，规定运算：①A⊕B=〔x 1+x 2，y 1+y 2〕；②A ⊗B=x 1x 2+y 1y 2；③当x 1=x 2且y 1=y 2时，A=B ，有以下四个命题：〔1〕假设A 〔1，2〕，B 〔2，﹣1〕，那么A ⊕B=〔3，1〕，A ⊗B=0；〔2〕假设A ⊕B=B ⊕C ，那么A=C ；〔3〕假设A ⊗B=B ⊗C ，那么A=C ；〔4〕对任意点A 、B 、C ，均有〔A ⊕B 〕⊕C=A ⊕〔B ⊕C 〕成立，其中正确命题的个数为〔〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个25．以下说法中，正确的选项是〔〕A ．三点确定一个圆B ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C ．对角线互相垂直的四边形是菱形D ．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形26．以下命题的逆命题一定成立的是〔〕①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③假设a=b ，那么|a|=|b|；④假设x=3，那么x 2﹣3x=0．A ．①②③B ．①④C ．②④D ．②二、填空题27．以下命题：①对角线互相垂直的四边形是菱形；②点G 是△ABC 的重心，假设中线AD=6，那么AG=3；③假设直线y=kx+b 经过第一、二、四象限，那么k ＜0，b ＞0；④定义新运算：a*b=2a ﹣b 2，假设〔2x 〕*〔x ﹣3〕=0，那么x=1或9；⑤抛物线y=﹣2x 2+4x+3的顶点坐标是〔1，1〕．其中是真命题的有〔只填序号〕28．以下四个命题：①假设一个角的两边和另一个角的两边分别互相垂直，那么这两个角互补；②边数相等的两个正多边形一定相似；③等腰三角形ABC中，D是底边BC上一点，E是一腰AC上的一点，假设∠BAD=60°且AD=AE，那么∠EDC=30°；④任意三角形的外接圆的圆心一定是三角形三条边的垂直平分线的交点．其中正确命题的序号为．29．命题“全等三角形的面积相等〞的逆命题是命题．〔填入“真〞或“假〞〕30．命题“对角线相等的四边形是矩形〞是命题〔填“真〞或“假〞〕．第13章三角形中的边角关系、命题与证明参考答案与试题解析一、选择题1．以下命题是真命题的是〔〕A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直的四边形是正方形【考点】命题与定理．【专题】计算题．【分析】根据平行线四边形的判定方法对A进展判定；根据矩形的判定方法，对角线相等的平行四边形是矩形，那么可对B进展判定；根据菱形的判定方法，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，那么可对C进展判定；根据正方形的判定方法，对角线互相垂直的矩形是正方形，那么可对对D进展判定．【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以A选项为真命题；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为假命题；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题；D、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以D选项为假命题．应选A．【点评】此题考察了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两局部组成，题设是事项，结论是由事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…〞形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．2．以下命题中，真命题的个数有〔〕①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．A．3个B．2个C．1个D．0个【考点】命题与定理；平行四边形的判定．【分析】分别利用平行四边形的判定方法：〔1〕两组对边分别平行的四边形是平行四边形；〔2〕两组对角分别相等的四边形是平行四边形，进而得出即可．【解答】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，符合题意；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，符合题意；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，说法错误，例如等腰梯形，也符合一组对边平行，另一组对边相等．应选：B．【点评】此题主要考察了命题与定理，正确把握相关定理是解题关键．3．以下命题正确的选项是〔〕A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形B．对角线相互垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形【考点】命题与定理．【分析】根据矩形、菱形、平行四边形的知识可判断出各选项，从而得出答案．【解答】解：A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形也可能是等腰梯形，此选项错误；B、对角线相互垂直的四边形是菱形也可能是梯形，此选项错误；C、对角线相等的四边形是矩形也可能是等腰梯形，此选项错误；D、对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形，此选项正确；应选D．【点评】此题主要考察了命题与定理的知识，解答此题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形以及矩形的性质，此题难度不大．4．以下说法不正确的选项是〔〕A．圆锥的俯视图是圆B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C．任意一个等腰三角形是钝角三角形D．周长相等的正方形、长方形、圆，这三个几何图形中，圆面积最大【考点】命题与定理．【分析】根据三视图、菱形的判定定理、等腰三角形的性质、正方形的性质、即可解答．【解答】解：A、圆锥的俯视图是圆，正确；B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确；C、任意一个等腰三角形是钝角三角形，错误；例如，顶角为80°的等腰三角形，它的两个底角分别为50°，50°，为锐角三角形；D、周长相等的正方形、长方形、圆，这三个几何图形中，圆面积最大，正确；应选：C．【点评】此题考察了命题与定理，解决此题的关键是熟记三视图、菱形的判定定理、等腰三角形的性质、正方形的性质．5．以下命题：①平行四边形的对边相等；②对角线相等的四边形是矩形；③正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中真命题的个数是〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题与定理．【分析】根据平行四边形的性质对①进展判断；根据矩形的判定方法对②进展判断；根据正方形的性质对③进展判断；根据菱形的判定方法对④进展判断．【解答】解：平行四边形的对边相等，所以①正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以②错误；正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以③正确；一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，所以④正确．应选C．【点评】此题考察了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两局部组成，题设是事项，结论是由事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…〞形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．6．以下命题中错误的选项是〔〕A．平行四边形的对角线互相平分B．菱形的对角线互相垂直C．同旁内角互补D．矩形的对角线相等【考点】命题与定理．【分析】根据平行四边形的性质对A进展判断；根据菱形的性质对B进展判断；根据平行线的性质对C进展判断；根据矩形的性质对D进展判断．【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以A选项为真命题；B、菱形的对角线互相垂直，所以B选项为真命题；C、两直线平行，同旁内角互补，所以C选项为假命题；D、矩形的对角线相等，所以D选项为真命题．应选C．【点评】此题考察了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两局部组成，题设是事项，结论是由事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…〞形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．7．以下命题中，为真命题的是〔〕A．六边形的内角和为360度B．多边形的外角和与边数有关C．矩形的对角线互相垂直 D．三角形两边的和大于第三边【考点】命题与定理．【分析】根据六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系判断即可．【解答】解：A、六边形的内角和为720°，错误；B、多边形的外角和与边数无关，都等于360°，错误；C、矩形的对角线相等，错误；D、三角形的两边之和大于第三边，正确；应选D．【点评】此题考察命题的真假性，是易错题．注意对六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系的准确掌握．8．以下命题中，属于真命题的是〔〕A．各边相等的多边形是正多边形B．矩形的对角线互相垂直C．三角形的中位线把三角形分成面积相等的两局部D．对顶角相等【考点】命题与定理．【分析】根据正多边形的定义对A进展判断；根据矩形的性质对B进展判断；根据三角形中位线性质和相似三角形的性质对C进展判断；根据对顶角的性质对D进展判断．【解答】解：A、各边相等、各角相等的多边形是正多边形，所以A选项错误；B、矩形的对角线互相平分且相等，所以B选项错误；C、三角形的中位线把三角形分成面积为1：3的两局部，所以C选项错误；D、对顶角相等，所以D选项正确．应选D．【点评】此题考察了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两局部组成，题设是事项，结论是由事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…〞形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．9．以下命题：①在Rt△ABC中，∠C=90°，假设∠A＞∠B，那么sinA＞sinB；②四条线段a，b，c，d中，假设=，那么ad=bc；③假设a＞b，那么a〔m2+1〕＞b〔m2+1〕；④假设|﹣x|=﹣x，那么x≥0．其中原命题与逆命题均为真命题的是〔〕A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【考点】命题与定理．【分析】先对原命题进展判断，再根据互逆命题的定义写出逆命题，然后判断逆命题的真假即可．【解答】解：①在Rt△ABC中，∠C=90°，假设∠A＞∠B，那么sinA＞sinB，原命题为真命题，逆命题是：在Rt△ABC中，∠C=90°，假设sinA＞sinB，那么∠A＞∠B，逆命题为真命题；②四条线段a，b，c，d中，假设=，那么ad=bc，原命题为真命题，逆命题是：四条线段a，b，c，d中，假设ad=bc，那么=，逆命题为真命题；③假设a＞b，那么a〔m2+1〕＞b〔m2+1〕，原命题为真命题，逆命题是：假设a〔m2+1〕＞b〔m2+1〕，那么a＞b，逆命题为真命题；④假设|﹣x|=﹣x，那么x≥0，原命题为假命题，逆命题是：假设x≥0，那么|﹣x|=﹣x，逆命题为假命题．应选A．【点评】主要考察命题与定理，用到的知识点是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．10．以下命题中，属于真命题的是〔〕A．三点确定一个圆B．圆内接四边形对角互余C．假设a2=b2，那么a=b D．假设=，那么a=b【考点】命题与定理．【分析】根据确定圆的条件对A进展判断；根据圆内接四边形的性质对B进展判断；根据a2=b2，得出两数相等或相反对C进展判断；根据立方根对D进展判断．【解答】解：A、任意不共线的三点确定一个圆，所以错误；B、圆的内接四边形的对角互补，错误；C、假设a2=b2，那么a=b或a=﹣b，错误；D、假设=，那么a=b，正确；应选D．【点评】此题考察了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．11．以下说法正确的选项是〔〕A．面积相等的两个三角形全等B．矩形的四条边一定相等C．一个图形和它旋转后所得图形的对应线段相等D．随机投掷一枚质地均匀的硬币，落地后一定是正面朝上【考点】命题与定理．【分析】直接根据全等三角形的判定定理、矩形的性质、旋转的性质以及概率的知识对各个选项进展判断即可．【解答】解：A、面积相等的两个三角形不一定全等，此选项错误；B、矩形的对边相等，此选项错误；C、一个图形和它旋转后所得图形的对应线段相等，此选项正确；D、随机投掷一枚质地均匀的硬币，落地后不一定是正面朝上，此选项错误；应选C．【点评】此题主要考察了命题与定理的知识，解答此题的关键是掌握全等三角形的判定定理、矩形的性质、旋转的性质以及概率的知识，此题难度不大．12．命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解．〞是假命题．那么在以下选项中，可以作为反例的是〔〕A．b=﹣3 B．b=﹣2 C．b=﹣1 D．b=2【考点】命题与定理；根的判别式．【专题】计算题．【分析】由方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出b的范围即可做出判断．【解答】解：∵方程x2+bx+1=0，必有实数解，∴△=b2﹣4≥0，解得：b≤﹣2或b≥2，那么命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解．〞是假命题．那么在以下选项中，可以作为反例的是b=﹣1，应选C【点评】此题考察了命题与定理，以及根的判别式，熟练掌握举反例说明命题为假命题的方法是解此题的关键．13．以下四个命题中，真命题是〔〕A．“任意四边形内角和为360°〞是不可能事件B．“湘潭市明天会下雨〞是必然事件C．“预计此题的正确率是95%〞表示100位考生中一定有95人做对D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是【考点】命题与定理．【分析】根据四边形内角和和不可能事件的定义对A进展判断；根据必然事件的定义对B进展判断；根据估计的含义对C进展判断；根据概率的定义对D进展判断．【解答】解：A、“任意四边形内角和为360°〞是必然事件，错误；B、“湘潭市明天会下雨〞是随机事件，错误；C、“预计此题的正确率是95%〞表示100位考生中不一定有95人做对，错误；D、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，正确．应选D．【点评】此题考察了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两局部组成，题设是事项，结论是由事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…〞形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．14．以下命题正确的选项是〔〕A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形【考点】命题与定理．【分析】根据矩形、菱形、平行四边形的知识可判断出各选项，从而得出答案．【解答】解：A、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项错误；B、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故本选项错误；C、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，故本选项错误；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项正确．应选D．【点评】此题主要考察了命题与定理的知识，解答此题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形以及矩形的性质，此题难度不大．15．以下命题正确的选项是〔〕A．矩形的对角线互相垂直B．两边和一角对应相等的两个三角形全等C．分式方程+1=可化为一元一次方程x﹣2+D．多项式t2﹣16+3t因式分解为〔t+4〕〔t﹣4〕+3t【考点】命题与定理．【分析】根据矩形的性质，全等三角形的判定，分式方程的解法以及因式分解对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、矩形的对角线互相垂直是假命题，故本选项错误；B、两边和一角对应相等的两个三角形全等是假命题，故本选项错误；C、分式方程+1=两边都乘以〔2x﹣1〕，可化为一元一次力程x﹣2+〔2x﹣1〕=﹣1.5是真命题，故本选项正确；D、多项式t2﹣16+3t因式分解为〔t+4〕〔t﹣4〕+3t错误，故本选项错误．应选C．【点评】此题主要考察命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．16．以下命题中，是假命题的是〔〕A．对顶角相等B．同旁内角互补C．两点确定一条直线D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等【考点】命题与定理．【分析】根据对顶角的性质对A进展判断；根据平行线的性质对B进展判断；根据直线公理对C进展判断；根据角平分线性质对D进展判断．【解答】解：A、对顶角相等，所以A选项为真命题；B、两直线平行，同旁内角互补，所以B选项为假命题；C、两点确定一条直线，所以C选项为真命题；D、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，所以D选项为真命题．应选B．【点评】此题考察了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两局部组成，题设是事项，结论是由事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…〞形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．17．以下命题中是真命题的是〔〕A．确定性事件发生的概率为1B．平分弦的直径垂直于弦C．正多边形都是轴对称图形D．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等【考点】命题与定理．【分析】根据概率的求法、垂径定理、轴对称图形的概念和三角形确定的判定定理进展判断即可．【解答】解：确定性事件发生的概率为1或0，故A错误；平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，故B错误；正多边形都是轴对称图形，故C正确；两边及其一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故D错误，应选：C．【点评】此题考察的是命题的真假判断，掌握概率的求法、垂径定理、轴对称图形的概念和三角形确定的判定定理是解题的关键．18．以下给出5个命题：①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形②六边形的内角和等于720°③相等的圆心角所对的弧相等④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形⑤三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等．其中正确命题的个数是〔〕A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】命题与定理．【专题】压轴题．【分析】根据正方形的判定方法对①进展判断；根据多边形的内角和公式对②进展判断；根据圆心角、弧、弦的关系对③进展判断；根据三角形中位线性质、菱形的性质和矩形的判定方法对④进展判断；根据三角形内心的性质对⑤进展判断．【解答】解：①对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，所以①错误；②六边形的内角和等于720°，所以②正确；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以③错误；④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，所以④正确；⑤三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以⑤错误．应选A．【点评】此题考察了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两局部组成，题设是事项，结论是由事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…〞形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．19．以下命题是真命题的是〔〕A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形C．四条边相等的四边形是菱形D．正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形【考点】命题与定理．【分析】根据平行四边形的判定方法对A进展判断；根据矩形的判定方法对B进展判断；根据菱形的判定方法对C进展判断；根据轴对称和中心对称的定义对D进展判断．【解答】解：A、一组对边平行，且相等的四边形是平行四边形，所以A选项错误；。

沪科版八上数学第13章三角形中的边角关系、命题与证明单元试卷附答案

13章三角形中的边角关系、命题与证明姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项：本试卷满分100分，考试时间80分钟，试题共25题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若a，b，c为△ABC的三边长，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．a＝1.5，b＝2，c＝2.5 B．a：b：c＝3：4：5C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：52.下列命题正确的是（）A．直线外一点到该直线的垂线段，是这个点到直线的距离B．纵坐标相同的两点所在的直线平行于x轴C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形D．顺次连接菱形四边的中点构成的四边形是矩形3.如图，若∠A＝27°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠DFE等于（）A．110°B．115°C．120°D．125°4.如图，已知∠MON及其边上一点A．以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM，ON于点B和C．再以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B．错误的结论是（）A．S△AOC＝S△ABC B．∠OCB＝90°C．∠MON＝30°D．OC＝2BC5.关于三角形中边与角之间的不等关系，提出如下命题：命题1：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大；命题2：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大；命题3：如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形；命题4：直角三角形中斜边最长；以上真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．46.如图，△ABC中，三条中线AD，BE，CF相交于点O，若△ABC的面积是10，则△OCD的面积是（）A．2 B．1.5 C．D．5二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）7.已知三角形的三边长分别为2，a﹣1，4，则化简|a﹣3|﹣|a﹣7|的结果为﹣．8.若（a﹣4）2+|b﹣9|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为．9.如图，在平面直角坐标系中，A（4，4），点D在y轴上，若△ABC的面积等于△BCD的面积，则点D的坐标可能是（只写一个即可）．10.已知AD是△ABC的中线，若△ABD与△ACD的周长分别是14和12．△ABC的周长是20，则AD的长为．11.如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝．12.用举反例的方法，说明命题“关于x的方程x2﹣6x+m＝0一定有实数根”是假命题，则m的值可以是．13.如图，△ABC的两条高AD，BE交于点F，∠DBF＝28°，则∠CAD的度数为．14.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．若∠BPC＝108°，则∠A的度数为．15.某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人“项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；小王说：“丁团队获得一等奖”；小李说：“乙、丙两个团均示队获得一等奖”；小赵说：“甲团队获得一等奖”．若这四位同学只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是．16.如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠A＝30°，CD平分∠ACB．CE⊥AB于点E，则∠DCE的度数是．17.如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝50°，点M，N分别是BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B'落在AC上．若△MB'C为直角三角形，则∠MNB'的度数为．18.已知，矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，将△ABE沿BE翻折，点A的对称点F恰好落在AC上，AC、BE相交于点G，设△ABG的面积为S1，四边形CDEF的面积为S2，则S1：S2＝．三、解答题（本大题共7小题，共44分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，若∠C＝∠CDB＝70°，求∠A的度数．20.已知：等腰△ABC的三边长为整数a，b，c，且满足a2+b2﹣6a﹣4b+13＝0，求等腰△ABC的周长．21.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，CD、BE分别是△ABC的高和角平分线，求∠BCD、∠CEB的度数．22.如图所示：（1）若DE∥BC，∠1＝∠3，∠CDF＝90°，求证：FG⊥AB．（2）若把（1）中的题设“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否是真命题？说明理由．23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，求∠CDE的度数．24.如图①，在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F为AE上一点，且FD⊥BC于点D．（1）当∠B＝45°，∠C＝75°时，求∠EFD的度数；（2）若∠B＝a，∠C＝β，请结合（1）的计算猜想∠EFD、∠B、∠C之间的数量关系，直接写出答案，不说明理由；（用含有a、β的式子表示∠EFD）（3）如图②，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明为什么；若不成立，请写出成立的结论，并说明为什么．25.如图，直线x与直线y垂直于点O，点B，C在直线x上，点A在直线x外，连接AC，AB得到△ABC．（1）将△ABC沿直线x折叠，使点A落在点D处，延长DC交AB于点E，EF平分∠AED交直线x于点F，①若∠EFB＝25°，∠DEF＝10°，则∠DCF＝②若∠ACF﹣∠AEF＝18°，求∠EFB的度数；（2）过点C作MN平行于AB交直线y于点N，CP平分∠BCM，HP平分∠AHY，当点C从点O沿直线x向左运动时，∠CPH的度数是否发生变化？若不变求其度数；若变化，求其变化范围．单元B卷三角形中的边角关系、命题与证明姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间80分钟，试题共25题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若a，b，c为△ABC的三边长，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．a＝1.5，b＝2，c＝2.5 B．a：b：c＝3：4：5C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【解答】解：A、1.52+22＝2.52，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形；B、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形；C、∠A+∠B＝∠C，此时∠C是直角，能判定△ABC是直角三角形；D、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么∠A＝45°、∠B＝60°、∠C＝75°，不能判定△ABC是直角三角形．故选：D．【知识点】勾股定理的逆定理、三角形内角和定理2.下列命题正确的是（）A．直线外一点到该直线的垂线段，是这个点到直线的距离B．纵坐标相同的两点所在的直线平行于x轴C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形D．顺次连接菱形四边的中点构成的四边形是矩形【解答】解：A、直线外一点到该直线的垂线段的长度，是这个点到直线的距离，故原命题错误，不符合题意；B、纵坐标相同的两点所在的直线可能平行于x轴也可能是x轴，故错误，不符合题意；C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故错误，不符合题意；D、顺次连接菱形四边的中点构成的四边形是矩形，正确，符合题意，故选：D．【知识点】命题与定理3.如图，若∠A＝27°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠DFE等于（）A．110°B．115°C．120°D．125°【解答】解：∵∠A＝27°，∠C＝38°，∴∠AEB＝∠A+∠C＝65°，∵∠B＝45°，∴∠DFE＝65°+45°＝110°，故选：A．【知识点】三角形的外角性质、三角形内角和定理4.如图，已知∠MON及其边上一点A．以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM，ON于点B和C．再以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B．错误的结论是（）A．S△AOC＝S△ABC B．∠OCB＝90°C．∠MON＝30°D．OC＝2BC【解答】解：由题意可知OA＝AC＝AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝60°，∴∠MON＝∠OCA＝30°，∴∠OCB＝30°+60°＝90°．∴S△AOC＝S△ABC，∴A，B，C，正确．故选：D．【知识点】三角形的面积5.关于三角形中边与角之间的不等关系，提出如下命题：命题1：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大；命题2：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大；命题3：如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形；命题4：直角三角形中斜边最长；以上真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：命题1：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大，是真命题；命题2：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大，是真命题；命题3：如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形，是真命题；命题4：直角三角形中斜边最长，是真命题；故选：D．【知识点】命题与定理6.如图，△ABC中，三条中线AD，BE，CF相交于点O，若△ABC的面积是10，则△OCD的面积是（）A．2 B．1.5 C．D．5【解答】解：∵△ABC中，三条中线AD，BE，CF相交于点O，∴＝，CD＝BD，∴S△ACD＝S△ABD＝S△ABC＝＝5，∴S△OCD＝S△ACD＝＝，故选：C．【知识点】三角形的重心、三角形的面积二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）7.已知三角形的三边长分别为2，a﹣1，4，则化简|a﹣3|﹣|a﹣7|的结果为﹣．【解答】解：由三角形三边关系定理得4﹣2＜a﹣1＜4+2，即3＜a＜7．∴|a﹣3|﹣|a﹣7|＝a﹣3﹣7+a＝2a﹣10．故答案为：2a﹣10．【知识点】绝对值、三角形三边关系8.若（a﹣4）2+|b﹣9|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为．【解答】解：由（a﹣4）2+|b﹣9|＝0，得a﹣4＝0，b﹣9＝0．则以a、b为边长的等腰三角形的腰长为9，底边长为4．∴周长为9+9+4＝22，故答案为：22．【知识点】等腰三角形的性质、三角形三边关系、非负数的性质：偶次方、非负数的性质：绝对值9.如图，在平面直角坐标系中，A（4，4），点D在y轴上，若△ABC的面积等于△BCD的面积，则点D的坐标可能是（只写一个即可）．【解答】解：∵BC∥x轴，过A作AD∥x轴交y轴于D，∵A（4，4），△ABC的面积等于△BCD的面积，∴则点D的坐标可能是（0，4），故答案为：（0，4）．【知识点】三角形的面积、坐标与图形性质10.已知AD是△ABC的中线，若△ABD与△ACD的周长分别是14和12．△ABC的周长是20，则AD的长为．【解答】解：∵△ABD与△ACD的周长分别是14和12，∴AB+BC+AC+2AD＝14+12＝26，∵△ABC的周长是20，∴AB+BC+AC＝20，∴2AD＝26﹣20＝6，∴AD＝3．故答案为3．【知识点】三角形的角平分线、中线和高11.如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝．【解答】解：∵∠B＝40°，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣40°＝140°，∴∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝360°﹣140°＝220°，∵AE和CE分别平分∠DAC和∠FCA，∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA，∴∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝110°，∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ECA）＝180°﹣110°＝70°．故答案为：70°．【知识点】三角形的外角性质、三角形内角和定理12.用举反例的方法，说明命题“关于x的方程x2﹣6x+m＝0一定有实数根”是假命题，则m的值可以是．【解答】解：当m＝10时，△＝（﹣6）2﹣4×10＝﹣4＜0，方程没有实数根，∴当m＝10可以说明命题“关于x的方程x2﹣6x+m＝0一定有实数根”是假命题，故答案为：10．【知识点】命题与定理13.如图，△ABC的两条高AD，BE交于点F，∠DBF＝28°，则∠CAD的度数为．【解答】解：∵△ABC的两条高AD，BE交于点F，∴∠AEF＝∠BDF＝90°，∵∠DBF＝28°，∴∠AFE＝∠BFD＝90°﹣28°＝62°，∴∠CAD＝90°﹣∠AFE＝90°﹣62°＝28°，故答案为：28°．【知识点】三角形内角和定理14.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．若∠BPC＝108°，则∠A的度数为．【解答】解：在△PBC中，∵∠BPC＝108°，∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣108°＝72°．∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠PBC+∠PCB）＝2×72°＝144°，在△ABC中，∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣144°＝36°．故答案为：36°．【知识点】三角形内角和定理15.某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人“项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；小王说：“丁团队获得一等奖”；小李说：“乙、丙两个团均示队获得一等奖”；小赵说：“甲团队获得一等奖”．若这四位同学只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是．【解答】解：①若获得一等奖的团队是甲团队，则小张、小王、小赵预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误，②若获得一等奖的团队是乙团队，则小王预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误，③若获得一等奖的团队是丙团队，则四人预测结果都是错的，与题设矛盾，即假设错误，④若获得一等奖的团队是丁团队，则小李、小赵预测结果是对的，与题设相符，即假设正确，即获得一等奖的团队是：丁．故答案为：丁．【知识点】推理与论证16.如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠A＝30°，CD平分∠ACB．CE⊥AB于点E，则∠DCE的度数是．【解答】解：∵∠B＝40°，CE⊥AB，∴∠BCE＝50°，又∵∠A＝30°，CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠BCA＝×（180°﹣40°﹣30°）＝55°，∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝55°﹣50°＝5°，故答案为5°．【知识点】三角形内角和定理17.如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝50°，点M，N分别是BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B'落在AC上．若△MB'C为直角三角形，则∠MNB'的度数为．【解答】解：∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，∠A＝70°，∠B＝50°，∴∠C＝180°﹣70°﹣50°＝60°，当∠CB′M＝90°，∴∠CMB′＝90°﹣60°＝30°，由折叠的性质可知：∠NMB′＝∠BMB′＝75°，∴∠MNB′＝180°﹣75°﹣50°＝55°，当∠CMB′＝90°时，∠NMB＝∠NMB′＝45°，∠MNB′＝180°﹣50°﹣45°＝85°，故答案为55°或85°．【知识点】三角形内角和定理18.已知，矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，将△ABE沿BE翻折，点A的对称点F恰好落在AC上，AC、BE相交于点G，设△ABG的面积为S1，四边形CDEF的面积为S2，则S1：S2＝．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠D＝90°，AB∥CD，∴∠DAC＝∠ACB，∵AB：BC＝1：2，∴设CD＝AB＝2a，则AD＝BC＝4a，由折叠的性质得：AF⊥BE，FG＝AG，∴∠ABE＝∠DAC＝∠ACB，∴tan∠ABE＝＝tan∠ACB＝＝，∴AE＝AB＝a，∴BE＝＝a，∴AG＝＝＝a，∴BG＝2AG＝a，AF＝2AG＝a，EG＝BE﹣BG＝a，∴△ABG的面积为S1＝BG×AG＝×a×a＝a2，四边形CDEF的面积为S2＝△ACD的面积﹣△AEF的面积＝×4a×2a﹣×a×a＝a2，∴S1：S2＝＝；故答案为：．【知识点】三角形的面积、矩形的性质、翻折变换（折叠问题）三、解答题（本大题共7小题，共44分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，若∠C＝∠CDB＝70°，求∠A的度数．【解答】解：∵∠C＝∠CDB＝70°，∴∠DBC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵BD平分∠ABC∴∠ABC＝2∠DBC＝80°，∴∠A＝180°﹣80°﹣70°＝30°．【知识点】三角形内角和定理20.已知：等腰△ABC的三边长为整数a，b，c，且满足a2+b2﹣6a﹣4b+13＝0，求等腰△ABC的周长．【解答】解∵a2+b2﹣6a﹣4b+13＝0，∴（a﹣3）2+（b﹣2）2＝0，∴a﹣3＝0，b﹣2＝0，解得a＝3，b＝2，∵1＜c＜5，且c为整数，∴c＝2、3、4，∵△ABC是等腰三角形∴c＝2或3故△ABC的周长为：7或8．【知识点】配方法的应用、非负数的性质：偶次方、等腰三角形的性质、三角形三边关系21.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，CD、BE分别是△ABC的高和角平分线，求∠BCD、∠CEB的度数．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=50°，∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∴∠BCD=40°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABC=25°，∴∠CEB=90°﹣∠CBE=65°．【知识点】三角形内角和定理22.如图所示：（1）若DE∥BC，∠1＝∠3，∠CDF＝90°，求证：FG⊥AB．（2）若把（1）中的题设“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否是真命题？说明理由．【解答】（1）证明：∵DE∥BC（已知），∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠3（已知），∴DC∥FG（同位角相等，两直线平行），∴∠BFG＝∠FDC＝90°（两直线平行，同位角相等）∴PG⊥AB（垂直定义）；（2）解：是真命题．理由：∵FG⊥AB（已知），∴∠BFG＝90°＝∠FDC，∴DC∥FG（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），∵∠1＝∠3（已知），∴∠1＝∠2（等量代换），∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．【知识点】命题与定理23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，求∠CDE的度数．【解答】解：由折叠可得∠ACD＝∠BCD，∠BDC＝∠CDE，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝45°，∵∠A＝30°，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝30°+45°＝75°，∴∠CDE＝75°．【知识点】三角形内角和定理24.如图①，在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F为AE上一点，且FD⊥BC于点D．（1）当∠B＝45°，∠C＝75°时，求∠EFD的度数；（2）若∠B＝a，∠C＝β，请结合（1）的计算猜想∠EFD、∠B、∠C之间的数量关系，直接写出答案，不说明理由；（用含有a、β的式子表示∠EFD）（3）如图②，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明为什么；若不成立，请写出成立的结论，并说明为什么．【解答】解：（1）∵∠C＝75°，∠B＝45°，∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝×60°＝30°，由三角形的外角性质得，∠AEC＝∠B+∠BAE＝45°+30°＝75°，∴∠EFD＝90°﹣75°＝15°；（2）∠EFD＝（a﹣β），理由如下：由三角形的内角和定理得，∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝（180°﹣∠C﹣∠B），由三角形的外角性质得，∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠B+（180°﹣∠C﹣∠B）＝90°+（∠B﹣∠C），∵FD⊥BC，∴∠EFD＝90°﹣∠AEC＝90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C）＝（∠C﹣∠B），即∠EFD＝（∠C﹣∠B）∵∠B＝a，∠C＝β，∴∠EFD＝（a﹣β）；（3）结论∠EFD＝（a﹣β）仍然成立．同（2）可证：∠AEC＝90°+（∠B﹣∠C），∴∠DEF＝∠AEC＝90°+（∠B﹣∠C），∴∠EFD＝90°﹣[90°+（∠B﹣∠C）]＝（∠C﹣∠B）∴∠EFD＝（a﹣β）．【知识点】三角形内角和定理25.如图，直线x与直线y垂直于点O，点B，C在直线x上，点A在直线x外，连接AC，AB得到△ABC．（1）将△ABC沿直线x折叠，使点A落在点D处，延长DC交AB于点E，EF平分∠AED交直线x于点F，①若∠EFB＝25°，∠DEF＝10°，则∠DCF＝②若∠ACF﹣∠AEF＝18°，求∠EFB的度数；（2）过点C作MN平行于AB交直线y于点N，CP平分∠BCM，HP平分∠AHY，当点C从点O沿直线x向左运动时，∠CPH的度数是否发生变化？若不变求其度数；若变化，求其变化范围．【解答】解：（1）①∵∠DCF＝∠EFB+∠DEF＝25°+10°∴∠DCF＝35°故答案为35°②∵将△ABC沿直线x折叠，使点A落在点D处，∴∠A＝∠D，∠ABC＝∠DBC∵∠AED＝∠D+∠EBD∴∠AED＝∠A+2∠ABC∵EF平分∠AED∴∠AEF＝∠FED＝∠AED＝∠A+∠ABC∵∠AEF＝∠EFB+∠ABC∴∠EFB＝∠A∵∠ACF＝∠A+∠ABC，且∠ACF﹣∠AEF＝18°，∴∠A+∠ABC﹣（∠A+∠ABC）＝18°∴∠A＝36°∴∠EFB＝∠A＝18°（2）不变如图，∵AB∥MN∴∠PGA＝∠PCM，∠AHY＝∠CNO∵CP平分∠BCM，HP平分∠AHY∴∠PCM＝∠BCM＝∠PGA，∠PHG＝∠AHY＝∠CNO∵∠BCM＝∠CNO+∠CON∴∠BCM＝∠CNO+45°∴∠PGA＝∠PHG+45°∵∠PGA＝∠GPH+∠PHG∴∠GPH＝45°【知识点】翻折变换（折叠问题）、三角形内角和定理。

沪科版初二上册第13章三角形中的边角关系命题与证明培优培训

沪科版初二上册第13章三角形中的边角关系命题与证明培优培训1．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有( )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种2．一个三角形的三条边长均为正整数，假定其中仅有一条边长为5，且它又不是最短边，那么满足条件的三角形个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．103．2021·庆阳a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，化简|a ＋b －c |－|c －a －b |的结果为( ) A ．2a ＋2b －2c B ．2a ＋2b C ．2c D ．04．等腰三角形的两边长区分为a ，b ，且a ，b 满足|2a －3b ＋5|＋(2a ＋3b －13)2＝0，那么此等腰三角形的周长为________．5．等腰三角形的周长是14 cm ，底边长与腰长的比为3∶2，求各边的长．6．有人说：〝假设△ABC 的三边a ，b ，c 满足a 2－b 2＝ac －bc ，那么△ABC 一定是等腰三角形．〞你赞同这个说法吗？请给出你的理由．7．用长度相等的100根火柴棒摆成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴棒的根数．8．如图13－1－4所示，D 为△ABC 的边AC 上恣意一点，衔接BD ，E 为BD 上恣意一点，衔接CE.图13－1－4(1)用不等号填空：AB ＋AC________DB ＋DC ，DB ＋DC________EB ＋EC ；(2)如图13－1－5所示，M ，N 是△ABC 内恣意两点，试探求AB ＋AC 与BM ＋MN ＋NC 的大小关系，并写出探求进程．图13－1－59．现有假定干个三角形，在一切的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角，那么在这些三角形中锐角三角形的个数是( )A ．3B ．4或5C ．6或7D ．810．2021·宿迁校级期末如图13－1－9，在△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ，P 为△ABC 内的一点，且∠PBC ＝∠PCA ，∠BPC ＝110°，那么∠A 的大小为( )图13－1－9A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°11．在△ABC 中，∠A －∠B ＝10°，∠B ＝12∠A ，那么△ABC 是________三角形．(填〝锐角〞〝直角〞或〝钝角〞)12．设三角形三个内角的度数区分为x °，y °，z °，假设其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍，那么我们称数对(y ，z )(y ≤z )是x 的谐和数对，当x ＝150时，对应的谐和数对有一个，它为(10，20)；当x ＝66时，对应的谐和数对有两个，它们为(33，81)，(38，76)．当对应的谐和数对(y ，z )有三个时，请写出此时x 的取值范围：________．13．教材练习第3题变式题如图13－1－10所示，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠BAC ＝85°，AD ⊥BC ，垂足为D ，求∠CAD 的度数．图13－1－1014．在△ABC 中，(1)∠A ＝2∠C ，∠B －∠C ＝60°，求∠B 和∠C 的度数； (2)∠A ＝13∠B ＝15∠C ，求△ABC 各个内角的度数．15．一个零件的外形如图13－1－11所示，按规则∠A 应等于90°，∠ABC ，∠ADC 应区分等于30°和20°，李徒弟量得∠DCB ＝142°，就判定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？图13－1－1116．以下说法错误的选项是( )A ．三角形的三条中线都能平分三角形的面积B ．三角形的三条角平分线交于三角形内一点C ．三角形的三条高交于一点D ．三角形的中线、角平分线、高都是线段17．如图13－1－24，△ABC 的两条中线AD ，BE 交于点F ，衔接CF .假定△ABC 的面积为24，那么△ABF 的面积为( )图13－1－24A ．10B ．8C ．6D ．418．如图13－1－25，△ABC 中，∠ABC 是直角，△ABC 的角平分线BD 也是斜边AC 上的高，那么∠C ＝________°.图13－1－2519．教材习题13.1第4题变式题在△ABC 中，AB ＝AC ，AC 边上的中线BD 把△ABC 的周长分为24 cm 和30 cm 的两局部，求△ABC 各边的长．20．教材习题13.1第6题变式题如图13－1－26，在△ABC 中，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，∠B ＝65°，∠C ＝50°，DE 是△ABD 的高．求∠ADE 的度数．图13－1－2621．如图13－1－27，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线相交于点O . (1)假定∠ABC ＝40°，∠ACB ＝50°，那么∠BOC ＝________°； (2)假定∠ABC ＋∠ACB ＝116°，那么∠BOC ＝________°； (3)假定∠A ＝76°，那么∠BOC ＝________°； (4)假定∠BOC ＝120°，那么∠A ＝________°； (5)你能找出∠A 与∠BOC 之间的数量关系吗？图13－1－2722．如图13－1－28，网格中每个小正方形的边长都为1.在△ABC 中，试画出三边的中线，然后探求三条中线位置及其有关线段之间的关系，你发现了什么幽默的结论？图13－1－2823．假设两个命题中一个命题的条件和结论区分是另一个命题的结论和条件的否认，那么称这两个命题互为逆否命题．写出下面两个命题的逆否命题，并判别逆每个否命题的真假．(1)能被6整除的整数，一定能被2整除； (2)假定x ＝y ，那么x 2＝y 224．：如图13－2－4所示，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，∠1＝∠2. 求证：BE ∥CF . 现有以下步骤：①∵∠2＝∠1；②∴∠ABC ＝∠BCD ＝90°；③∴BE ∥CF ；④∵AB ⊥BC ，DC ⊥BC ；⑤∴∠EBC ＝∠FCB .图13－2－4那么正确的证明顺序是()A．①②③④⑤B．③④⑤②①C．④②①⑤③D．⑤②③①④.：如图13－2－5，∠1和∠2互为补角，∠A＝∠D.图13－2－5求证：AB∥CD.证明：∵∠1与∠CGD是对顶角，∴∠1＝∠CGD.(________________)又∵∠1与∠2互为补角，()∴∠CGD＋∠2＝180°，∴AE∥FD，(__________________________)∴∠A＝∠BFD.(______________________)∵∠A＝∠D，()∴∠BFD＝∠D，(____________)∴AB∥CD.(__________________________)25．如图13－2－6，现有以下三个结论：①AB∥CD；②∠B＝∠C；③∠E＝∠F.请以其中两个结论为条件，第三个结论为结论结构命题．(1)你能结构出哪几个命题(写成〝假定⊗⊗，那么⊗〞的方式)?(2)你结构的命题是真命题还是假命题？请加以证明．图13－2－626．2021·和县期末如图13－2－14，在△ABC中，D是AB上的一点，E是AC上的一点，BE，CD相交于点F，∠A＝70°，∠ACD＝20°，∠ABE＝28°，那么∠CFE的度数为()A．62°B．68°C．78°D．90°图13－2－1427．2021·涡阳六中期中如图13－2－15，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠A＝40°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，那么∠BPC＝________°.图13－2－1528．一副三角尺叠在一同如图13－2－16所示方式放置，最小锐角的顶点D恰恰在等腰直角三角尺的斜边AB上，BC与DE交于点M.假设∠ADF＝100°，那么∠BMD等于________°.图13－2－1629．如图13－2－17，AB∥CD，直线EF区分交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.求证：∠P＝90°.图13－2－1730．如图13－2－18，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝55°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，DF⊥AE于点F，求∠ADF的度数．图13－2－1831．如图13－2－19①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E.(1)猜想∠1与∠2的关系，并说明理由；(2)假设∠ABC是钝角，如图②，(1)中的结论能否仍成立？请说明理由．图13－2－1932．在△ABC中，∠C＞∠B，AE是△ABC中∠BAC的平分线，假定F是AE上一点，且FG⊥BC，垂足为G.求证：∠EFG＝12(∠C－12∠B)．33．2021·郴州小明把一副含45°，30°角的三角尺如图13－2－25摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，那么∠α＋∠β等于()图13－2－25A．180°B．210°C．360°D．270°34．如图13－2－26所示，在△ABC中，D是BC上的一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC 的度数．图13－2－2635．如图13－2－27，在五角星ABCDE中，试说明：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.图13－2－2736．如图13－2－28，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…；∠A2021BC和∠A2021CD的平分线交于点A2021，那么∠A2021＝________°.图13－2－2。

八年级上册数学第13章三角形中的边角关系、命题与证明单元测试卷(沪科版)

第十三章三角形中的边角关系、命题与证明注意事项：本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。

答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）1．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A ．1cm 、2cm 、3cmB ．2cm 、3cm 、6cmC ．3cm 、4cm 、6cmD ．4cm 、5cm 、10cm 2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）用反证法证明“在ABC 中，若A B ∠>∠，则a b >”时，应假设（）A ．A B ∠≤∠B ．A B ∠<∠C ．a b ≤D ．a b<3．（23-24七年级下·河北邢台·期中）对于命题“若a b >，则a b >．”下面四组关于,a b 的值中，能够作为反例说明这个命题是假命题的是（）A ．1,2a b ==-B ．2,1a b ==C ．2,3a b =-=-D ．3,1a b =-=4．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于45︒”时，应假设这个直角三角形中（）A ．有一个锐角小于45︒B ．两个锐角都小于45︒C ．两个锐角都大于45︒D ．有一个锐角大于45︒5．（22-23九年级下·浙江·阶段练习）如图四个图形中，线段BE 是ABC 的高的图是（）A ．B ．C ．D ．6．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD 是锐角ABC 的高，则2212AB AC BD BC BC⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．若7AB =，6BC =，5AC =，则BD 的值为（）A ．5B ．6C ．15D ．307．（2024·湖南长沙·模拟预测）张浩有红牌和蓝牌各75张，已知张浩能在一个摊位上用2张红牌换1张银牌和1张蓝牌，还能在另一个摊位上用3张蓝牌换1张银牌和1张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（）张A ．62B ．26C ．102D ．1038．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，延长BC 至点E ，连接AC 、AE ，AE 交CD 于点F ．若12∠=∠，34∠=∠，322B ∠=∠=∠，则D ∠的度数为（）A ．70︒B ．71︒C ．72︒D ．73︒9．（24-25七年级上·全国·假期作业）如图，点A 是直线l 外一点，点B 、C 是直线l 上的两动点，且4BC =，连接AB 、AC ，点D 、E 分别为AC 、BC 的中点，AF 为ABD △的中线，连接EF ，若四边形AFEC 的面积为10，则AB 的最小值为（）A ．4B ．6C ．8D ．1010．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）某次歌手大奖赛中，呼声最高的六名选手为a ，b ，c ，d ，e ，f ，他们顺利地进入决赛争夺前六名，甲预测比赛结果为abcdef ，结果没有猜中任何一名选手的名次，乙预测比赛结果为fedcba ，他猜中了两名选手的名次，丙预测比赛结果为daefbc ，丁预测比赛结果为acefbd ，丙和丁虽然没有猜中名次，但各猜对了两对相邻选手的名次顺序，那么实际的名次顺序是（）A ．cedafbB ．ecfbadC ．ceadfbD ．daecfb二、填空题（6小题，每小题2分，共16分）11．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，那么图中以AD 为高的三角形共有个．12．（2024·北京东城·二模）当=a ，b =时，可以说明“若a b >，则22a b >”是假命题（写出一组a ，b 的值即可）．13．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）三边长不等的ABC 的两条边长分别为2和3，则且第三边长为整数值，则这个三角形的第三边长为．14．（2024·陕西西安·模拟预测）《原本》是古希腊数学家欧几里得的著作，它以公理和原名为基础推演出更多的结论，是流传最广、影响最大的一部世界数学名著．请写出命题“如果a b =，那么22a b =”的逆命题：．15．（23-24七年级上·福建漳州·期中）容器中有“O 、P 、Q ”三种颗粒，若相同种类的颗粒发生碰撞，则会变成1个“P 颗粒；若不同种类的颗粒发生碰撞，则会变成另一种颗粒，例如：一个“O ”颗粒和一个“P ”颗粒进行碰撞，则会变成一个“Q ”颗粒．现有“O ”颗粒11个，“P ”颗粒10个，“Q ”颗粒12个，经过两两碰撞后，最后一个颗粒一定不是颗粒．16．（2024·湖北孝感·三模）如图，平面镜MN 放置在水平地面CD 上，墙面ED CD ⊥于点D ，一束光线AO 照射到镜面MN 上，反射光线为OB ，点B 在ED 上，若40AOC ∠=︒，则OBD ∠的度数为．三、解答题（9小题，共64分）17．（22-23七年级下·全国·单元测试）“2a a >”是真命题还是假命题？请说明理由18．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知ABC 的周长为45cm ，(1)若2AB AC BC ==，求BC 的长；(2)若::2:3:4AB BC AC =，求ABC 三条边的长．19．（2023八年级下·浙江·专题练习）用反证法证明：(1)已知：a a <，求证：a 必为负数．(2)求证：形如43n +的整数k （n 为整数）不能化为两个整数的平方和．20．（22-23八年级上·安徽六安·期末）在ABC 中，12A B C ∠=∠=∠，(1)求A ∠、B ∠、C ∠的度数；(2)ABC 按边分类，属于什么三角形？ABC 按角分类，属于什么三角形？21．（23-24八年级上·陕西延安·期中）如图，已知BCD △．(1)若3BC =，5BD =，CD 的长是偶数，请求出CD 的值；(2)作AE BD 分别交CB ，CD 的延长线于点A ，E ，若55A ∠=︒，125BDE ∠=︒，求C ∠的度数．22．（2023八年级上·全国·专题练习）用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”证明：假设所求证的结论不成立，即∠A 60°，∠B 60°，∠C60°，则∠A +∠B +∠C ＞．这与相矛盾．∴不成立．∴．23．（22-23七年级下·江苏镇江·期末）【阅读】在证明命题“如果0a b >>，0c <，那么2a bc ab ac +>+”时，小明的证明方法如下：证明：∵0a b >>，∴2a >．∴2a bc +>．∵a b >，0c <，∴bc >．∴ab bc +>．∴2a bc ab ac +>+．【问题解决】(1)请将上面的证明过程填写完整；(2)有以下几个条件：①a b >，②a b <，③a<0，④0b <．请从中选择两个作为已知条件．．．．．．．．．．．．．，得出结论a b >．你选择的条件序号是，并给出证明过程．24．（2023七年级下·江苏·专题练习）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：第一题第二题第三题第四题第五题得分甲C C A B B4乙C C B B C3丙B C C B B2丁B C C B A(1)则丁同学的得分是；(2)如果有一个同学得了1分，他的答案可能是（写出一种即可）25．（23-24八年级上·湖南邵阳·期中）发现与探究：三角形的重心三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O 处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，AD 是ABC 的中线，ACD 与ABD △等底等高，面积相等，记作ACD ABD S S = ．图3中，若ABC 三条中线AD 、BE 、CF 交于点G ，则GD 是 GBC 的中线，利用上述结论可得：GCD GBD S S = ，同理GBF GAF S S = ，GAE GCE S S = ．(1)若设GCD S x = ，GBF S y = ，GAE S z = ，猜想x ，y ，z 之间的数量关系，并证明你的猜想．(2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积，如果ABC 面积为m ，用含有m 的式子表示BGC 的面积为，BG GE ：=(3)图4中点D 、E 在ABC 的边AC AB 、上，BD CE 、交于G ，G 是ABC 重心，6BD =，9CE =，BD CE ⊥，求四边形AEGD 的面积．第十三章三角形中的边角关系、命题与证明注意事项：本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。

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八年级上学期《三角形中的边角关系、命题与证明》提优训练
一、选择题
1.有下列三个命题：
（1）两点之间线段最短
（2）平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直
（3）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
其中真命题的个数是（）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
2.一个三角形至少有（）
A. 一个锐角
B. 两个锐角
C. 一个钝角
D. 一个直角
3.如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为
平方厘米，则此方格纸的面积为（）
A. 11平方厘米
B. 12平方厘米
C. 13平方厘米
D. 14平方厘米
4.若三条线段中a=3，b=5，为奇数，那么由a、b、c为边组成的三角形共有（）
A. 个
B. 个
C. 无数多个
D. 无法确定
5.三角形三条高的交点在一边上，则这个三角形是（）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 以上都有可能
6.某轮船往返于A、B两地之间，设船在静水中的速度不变，那么，当水的流速增大时，轮船往返一次所用的时间（）
A. 不变
B. 增加
C. 减少
D. 增加，减少都有可能
7.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=70°，AD是△ABC的一条角平分线，则∠CAD的度数为（）
A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 55°
8.已知△ABC中，∠A与∠C的度数比为5:7，且∠B比∠A大10°，那么∠B为( )
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
9.某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：
甲说：“902班得冠军，904班得第三”；
乙说：“901班得第四，903班得亚军”；
丙说：“903班得第三，904班得冠军”．
赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是（）
A. 901班
B. 902班
C. 903班
D. 904班
10.下列命题：
①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③对顶角相等；④内错角相等；
其中真命题的个数是（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
11.下列说法正确的有（）
①不相交的两条直线是平行线；
②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
④在同一平面内，若直线a⊥b，b⊥c，则直线a与c不相交．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
12.如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=24°，则∠BDC等于（）
A. 42°
B. 66°
C. 69°
D. 77°
二、填空题
13.命题：“三边分别相等的两个三角形全等”的逆命题________
14.等腰三角形的一个角是100°，其底角是________ °
15.“等角的补角相等”的条件是________ ，结论是________ ．
16.如图,小林已经画出了一个三角形的两条角平分线,他说:“我不用再将第三个角平分,就能画出第三条角平分线.”他说的有道理吗?他会怎样做?答:________.他这样做的理由是什么?答:________.
17.如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在200个小伙子中，如果某人不亚于其他199人，就称他为棒小伙子，那么，200个小伙子中的棒小伙子最多可能有 ________
18.请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题： ________
19.如图，AD为△ABC中线，点G为重心，若AD=6，则AG=________ ．
20.命题“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是________ ，成立吗________ ．
21.已知三角形的两边长是方程x 2－5x＋6=0的两个根，则该三角形的周长的取值范围是________．
22.A、B、C、D、E、F六足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A、B、C、D、E、五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没与B队比赛的球队是 ________
三、解答题
23.请写出命题“等角的余角相等”的条件和结论；这个命题是真命题吗？如果是，请你证明；如果不是，请给出反例．
24.已知：△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，如果D点把三角形ABC的周长分为12cm和15cm 两部分，求此三角形各边的长．
25.证明三角形的内角和定理：
已知△ABC（如图），求证：∠A+∠B+∠C=180°
26.如图，已知点O是△ABC的两条角平分线的交点，
（1）若∠A=30°，则∠BOC的大小是________；
（2）若∠A=60°，则∠BOC的大小是________；
（3）若∠A=n°，则∠BOC的大小是多少？试用学过的知识说明理由．
27.已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，D为线段CB上一点（不与C，B重合），点E为射线CA上一点，∠ADE=∠AED，设∠BAD=α，∠CDE=β．
（1）如图（1），
①若∠BAC=42°，∠DAE=30°，则α=________，β=________．
②若∠BAC=54°，∠DAE=36°，则α=________，β=________．
③写出α与β的数量关系，并说明理由；
（2）如图（2），当E点在CA的延长线上时，其它条件不变，请直接写出α与β的数量关系．
参考答案
1 D
2 B
3 B
4 B
5 B
6 B
7 A
8 C
9 B 10 C 11 B 12 C
13.如果两个三角形全等，那么对应的三边相等
14. 40°、40°
15.如果两个角都是某一个角的补角；那么这两个角相等
16.有道理；连接CO,并延长交AB于点F,则CF即为∠ACB的平分线;三角形的三条角平分线交于一点
17.200个
18.两个角相等三角形是等腰三角形
19.4
20.如果两个实数平方相等，那么这两个实数相等；不成立
21.6＜＜10
22.E
23.解：条件：两个角分别是两个相等角的余角；结论：这两个角相等
这个命题是真命题，
已知：∠1=∠2，∠3是∠1的余角．∠4是∠2的余角
求证：∠3=∠4，
证明：∵∠3是∠1的余角．∠4是的余角
∴∠3=90°﹣∠1，∠4=90°﹣∠2，
又∠1=∠2∴∠3=∠4．
24.解答：∵AB＝AC，BD是AC边上的中线，
∴AB=2AD=2CD，∴AB+AD=3AD.
①当AB与AD的和是12厘米时，
AD=12÷3=4（厘米），
所以AB=AC=2×4=8（厘米），
BC=12+15-8×2=12+15-16=11（厘米）；
②当AB与AD的和是15厘米时，
AD=15÷3=5（厘米），
所以AB=AC=2×5=10（厘米），
BC=12+15-10×2=12+15-20=7（厘米）.
25.证明：过点A作EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°．
即三角形内角和等于180°．
26.（1）105°
（2）120°
（3）解：∵如图，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴∠BOC+ ∠ABC+ ∠ACB=180°，
又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BOC= ∠A+90°=105°；
∴若∠A=n°，∠BOC= n°+90°；
27.（1）12°；6°；18°；9°
（2）解：α=2β﹣180°，理由是：
如图（2），设∠E=x°，则∠DAC=2x°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=α+2x°，
∴∠B=∠ACB= ，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴β﹣x°= +α，
∴α=2β﹣180°．。

沪科版八年级上学期《三角形中的边角关系、命题与证明》提优训练

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