第3讲 三角函数的图象与性质
2015高考数学一轮课件：第3篇 第3讲 三角函数的图象与性质
因为
f(x)＝sin
x－cos xsin sin x
(1)(教材习题改编)由 sin(30°＋120°)＝sin 30°知，120°是正
弦函数 y＝sin x(x∈R)的一个周期．
(×)
(2)函数 y＝tan2x＋3π的最小正周期为2π. 2．判断奇偶性与对称性
(√)
(3)函数 y＝sin2x＋32π是奇函数．
(×)
(4)函数 y＝sin x 的对称轴方程为 x＝2kπ＋π2(k∈Z)．( × )
第3讲 三角函数的图像与性质
[最新考纲] 1．能画出 y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x 的图像，了解三角函
数的周期性． 2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在
－2π，π2上的性质.
诊断基础知识
突破高频考第点一页，编辑于星培期五养：解十三题点能四十力五分。
知识梳理 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 (下表中k∈Z).
诊断基础知识
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3．求三角函数的单调区间
(5)函数 f(x)＝sin(－2x)与 f(x)＝sin 2x 的单调增区间都是
kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z)． (6)函数 y＝tan x 在整个定义域上是增函数．
( ×) (× )
4．求三角函数的最值
二是对于 y＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，应在 每个区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内为增函数，如(6)． 三是函数 y＝sin x 与 y＝cos x 的最大值为 1，最小值为－1， 不存在一个值使 sin x＝32，如(7)．
诊断基础知识
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三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质在数学中，三角函数是一种基本的函数类型，其中的很多图像和性质对理解数学十分重要。
它们有助于理解各种模型的表示和应用，增强数学思维的能力和加深数学知识。
本文就三角函数的图像与性质做一些简单的介绍。
I、三角函数图像1、正弦曲线：正弦曲线是由参数从0到2π（2π是将一个周期跨越两次）形成的空间曲线。
它是圆的切线，有一定的规律性，并且把圆分为一个完整的一个周期，表现的曲线是一个“s”字形，形成有节奏的变化形式。
2、余弦曲线：余弦曲线是一条由参数从0到2π（2π是将一个周期跨越两次）形成的空间曲线，它也是圆的切线，有一定的规律性，但是它把圆分为两个半周期，比较起来更加缓和，表现的曲线是一个“v”字形，形成有节奏的变化形式。
3、正切曲线：正切曲线可以由参数0到π（π是将一个周期跨越一次）形成的曲线。
它也是一个椭圆的切线，有一定的规律性，把椭圆分为一完整周期，表现的曲线是一个“z”字形，形成有节奏的变化形式。
II、三角函数的性质1、周期性：三角函数的周期性就是说其值的变化是有如左图5000式的一个循环周期，在实际应用中可以利用该性质进行参数估计。
2、增减性：三角函数具有明显的增减性，具体表现为当参数逐渐增加时，函数值会自动增大，而当参数逐渐减小时，函数值则会自动减小。
3、几何性：三角函数有一个令人惊讶的性质，即在几何上其值就等于一定参数的弧度，而且参数的变化也不会影响该弧度。
4、极限性：参数π/2处的正切函数的值无穷大，表示非常接近的范围内函数的变化是接近无穷大的，而参数为0处的余弦函数为1，表示函数在某一点的取值趋势没有了变化，变成一个规定值。
总结来说，三角函数可以说是数学之中一个基本的概念，其图形和性质极其重要，可以帮助我们更深入的理解数学，增进数学的应用能力，因此，值得我们认真好好的学习。
三角函数图像及性质的总结
第三节三角函数的图像与性质复习要求：1，理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质2，理解周期函数、最小正周期的概念3，学会用五点法画图知识点：1．正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图像和性质3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。
4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
5．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。
6．对称轴与对称中心： sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+； 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。
《三角函数的图象与性质》PPT教学课件(第三课时正、余弦函数的单调性与最值)
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12
(1)B
(2)xx≠－4kπ－43π，k∈Z
(3)x－π4＋kπ≤x<π4＋kπ，k∈Z
[(1)当－π4＜x＜0时，－1＜tan x
＜0，∴ta1n x≤－1；
当0＜x＜π4时，0＜tan x＜1，∴ta1n x≥1.
即当x∈－π4，0∪0，π4时，函数y＝ta1n x的值域是(－∞，－1) ∪(1，＋∞)．
[提示] 由正切函数图象可知(1)×，(2)√，(3)×，(4)×. [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质 第4课时 正切函数的性质与图象
2
学习目标
核心素养
1.能画出正切函数的图象．(重点)
1.借助正切函数的图象研究问
2.掌握正切函数的性质．(重点、难点) 题，培养直观想象素养.
3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的 2.通过正切函数的性质的应
渐近线．(易错点)
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(2)函数定义域为 xx≠kπ－π4且x≠kπ＋π4，k∈Z ， 关于原点对称， 又f(－x)＝tan－x－π4＋tan－x＋π4 ＝－tanx＋π4－tanx－π4 ＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数．
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正切函数单调性的应用 [探究问题] 1．正切函数y＝tan x在其定义域内是否为增函数？ 提示：不是．正切函数的图象被直线x＝kπ＋π2(k∈Z)隔开，所以它的 单调区间只在kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函 数．假设x1＝π4，x2＝54π，x1<x2，但tan x1＝tan x2.
用，提升逻辑推理素养.
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三角函数图像与性质
三角函数图像与性质在数学中，三角函数是研究角与角度关系的一类函数。
其中最重要的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数在数学和科学领域中有着广泛的应用，尤其是在研究周期性现象时起到了关键作用。
本文将详细介绍三角函数的图像特征和性质。
正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，通常用符号$\\sin$表示。
它的图像是一条连续的波浪线，呈现出周期性的特点。
正弦函数的定义域为整个实数集$\\mathbb{R}$，值域为闭区间[−1,1]。
在0度、90度、180度、270度和360度等特殊角度上，正弦函数的取值分别为0、1、0、-1和0。
正弦函数是奇函数，即$\\sin(-x)=-\\sin(x)$，具有对称性。
余弦函数的图像与性质余弦函数是另一个重要的三角函数，通常用符号$\\cos$表示。
它的图像类似于正弦函数，也是一条连续的波浪线，同样呈现周期性。
余弦函数的定义域为整个实数集$\\mathbb{R}$，值域为闭区间[−1,1]。
在0度、90度、180度、270度和360度等特殊角度上，余弦函数的取值分别为1、0、-1、0和1。
余弦函数是偶函数，即$\\cos(-x)=\\cos(x)$，具有对称性。
正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一个重要函数，通常用符号$\\tan$表示。
它的图像是一组相互平行的直线，具有间断点。
正切函数的定义域为整个实数集$\\mathbb{R}$，在某些特殊角度上可能不存在定义，例如在90度和270度时。
正切函数的值域为整个实数集$\\mathbb{R}$。
正切函数是奇函数，即$\\tan(-x)=-\\tan(x)$。
三角函数的性质除了上述基本性质外，三角函数还有一些重要的性质：1.周期性：正弦函数和余弦函数的周期为$2\\pi$，即在$[0, 2\\pi]$范围内图像重复；2.奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数；3.最值：正弦函数和余弦函数的最大值为1，最小值为-1；正切函数在定义域内取值范围较广；4.单调性：正弦函数、余弦函数和正切函数在各自的定义域上具有不同的单调性特点。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是数学中的一类重要函数，由于其广泛应用于物理、工程和计算机科学等领域，对三角函数的图像和性质进行了深入的研究。
本文将就三角函数的图像和性质展开讨论。
一、正弦函数（Sine Function）正弦函数是最基本的三角函数之一，用sin(x)表示，其中x是一个实数。
正弦函数的图像可以通过绘制函数y = sin(x)来得到，横坐标x 表示角度（以弧度为单位），纵坐标y表示sin(x)的值。
正弦函数的图像具有以下性质：1. 周期性：正弦函数是周期性函数，其周期是2π（360度）。
2. 对称性：正弦函数是奇函数，即满足sin(-x) = -sin(x)。
3. 定义域和值域：正弦函数的定义域是整个实数集，值域在闭区间[-1, 1]内。
4. 最值：正弦函数在区间[0, 2π]取得最大值1和最小值-1。
二、余弦函数（Cosine Function）余弦函数是三角函数的另一个重要代表，用cos(x)表示，其中x是一个实数。
余弦函数的图像可以通过绘制函数y = cos(x)来得到，横坐标x表示角度（以弧度为单位），纵坐标y表示cos(x)的值。
余弦函数的图像具有以下性质：1. 周期性：余弦函数也是周期性函数，其周期是2π（360度）。
2. 对称性：余弦函数是偶函数，即满足cos(-x) = cos(x)。
3. 定义域和值域：余弦函数的定义域是整个实数集，值域在闭区间[-1, 1]内。
4. 最值：余弦函数在区间[0, 2π]取得最大值1和最小值-1。
三、正切函数（Tangent Function）正切函数是三角函数中的另一种形式，用tan(x)表示，其中x是一个实数。
正切函数的图像可以通过绘制函数y = tan(x)来得到，横坐标x表示角度（以弧度为单位），纵坐标y表示tan(x)的值。
正切函数的图像具有以下性质：1. 周期性：正切函数是周期性函数，其周期是π（180度）。
2. 对称性：正切函数是奇函数，即满足tan(-x) = -tan(x)。
【金版教程】届高考数学总复习 第3章 第3讲 三角函数的图象与性质课件 理 新人教A版
求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间，基
本思路是把ωx＋φ看作一个整体，由－
π 2
＋2kπ≤ωx＋φ≤
π 2
＋
2kπ(k∈Z)求得函数的增区间，由
π 2
＋2kπ≤ωx＋φ≤
3π 2
＋2kπ(k
∈Z)求得函数的减区间．若在y＝Asin(ωx＋φ)中，ω<0，则应
先利用诱导公式将解析式转化，使x的系数变为正数，再进行
(1)y＝cos(x＋π3)(x∈[0，π])的值域________． (2)y＝tan(4π－x)的单调递减区间__________.
1.f(x＋T)＝f(x) 最小 最小正周期
想一想：提示：f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x＋4)
＝f(x)，所以f(x)是周期为4的函数．
____
________
________
____
y＝tanx
无最值
____ ________ 无对称轴
____
判断以下命题的正误． ①y＝sinx在第一象限是增函数．( ) ②y＝cosx在[0，π]上是减函数．( ) ③y＝tanx在定义域上为增函数．( ) ④y＝|sinx|的周期为2π.( ) ⑤y＝ksinx＋1，x∈R则y的最大值为k＋1.( )
Z)
π＋2kπ(k∈Z)
奇
偶
奇
(kπ，0)，k∈Z
(kπ＋
π 2
，
0)，k∈Z
(
kπ 2
，0)，k∈Z
x＝kπ＋
π 2
，k∈Z
x＝kπ，k∈Z
2π 2π π
判一判：①× ②√ ③× ④× ⑤×
数学(浙江专用)总复习教师用书：第四章 三角函数、解三角形 第讲 三角函数的图象与性质
第3讲三角函数的图象与性质最新考纲 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性；2。
理解正弦函数、余弦函数在区间［0，2π］上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间错误!内的单调性。
知识梳理1。
用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（1）正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，错误!，（π，0），错误!，（2π，0).（2）余弦函数y＝cos x,x∈［0，2π]的图象中，五个关键点是：（0,1)，错误!，(π，－1）,错误!，（2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象定义域R R｛x错误!错误!值域［－1，1]［－1，1］R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数1。
判断正误(在括号内打“√”或“×"）（1)由sin错误!＝sin 错误!知，错误!是正弦函数y＝sin x(x∈R）的一个周期。
( )（2)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.（）（3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.( )(4）已知y＝k sin x＋1，x∈R,则y的最大值为k＋1。
( ）（5）y＝sin｜x｜是偶函数。
（)解析（1）函数y＝sin x的周期是2kπ(k∈Z).（2)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.（3）正切函数y＝tan x在每一个区间错误!(k∈Z）上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数。
(4)当k〉0时，y max＝k＋1；当k<0时，y max＝－k＋1.答案(1）×(2）×(3）×(4)×(5)√2。
（2015·四川卷)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ）A。
y＝sin错误!B。
y＝cos错误!C.y＝sin 2x＋cos 2xD.y＝sin x＋cos x解析y＝sin错误!＝cos 2x是最小正周期为π的偶函数；y＝cos错误!＝－sin 2x是最小正周期为π的奇函数;y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin错误!是最小正周期为π的非奇非偶函数；y＝sin x＋cos x＝错误!sin错误!是最小正周期为2π的非奇非偶函数.答案B3。
第3讲 三角函数的图象与性质
第3讲三角函数的图象与性质一、选择题1．函数f (x )＝2sin x cos x 是( )．答案 CA ．最小正周期为2 π的奇函数B ．最小正周期为2 π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数2．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( )． A ．0 B.π6 C.π4 D.π3解析 据已知可得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意．答案 B3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为 ( )． A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－ 3解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤1，∴－3≤2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤2.∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为2－ 3.答案 A4．函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为( )．答案 AA ．2π B.3π2C ．π D.π25．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )．A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54 解析 (数形结合法)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图像如图所示，从图像可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.答案 C6．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝ ( )．A.π4B.π3C.π2D.3π4解析 由题意可知函数f (x )的周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫5π4－π4＝2π，故ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，令x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，将x ＝π4代入可得φ＝k π＋π4(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π4.答案 A 二、填空题7．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3的值为________．解析 f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32.答案 328．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2x 2＋x2x 2＋cos x的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________. 解析 (构造法)根据分子和分母同次的特点，把分子展开，得到部分分式，f (x )＝1＋x ＋sin x2x 2＋cos x，f (x )－1为奇函数，则m －1＝－(M －1)，所以M ＋m ＝2.答案 29．已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．解析 f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x (sin x ≥cos x )，sin x (sin x <cos x ).画出函数f (x )的图象，可得函数的最小值为－1，最大值为22，故值域为⎣⎡⎦⎤－1，22.答案 ⎣⎡⎦⎤－1，2210．下列命题中：①α＝2k π＋π3(k ∈Z )是tan α＝3的充分不必要条件；②函数f (x )＝|2cos x －1|的最小正周期是π；③在△ABC 中，若cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 为钝角三角形；④若a ＋b ＝0，则函数y ＝a sin x －b cos x 的图象的一条对称轴方程为x ＝π4.其中是真命题的序号为________．解析 ①∵α＝2k π＋π3(k ∈Z )⇒tan α＝3，而tan α＝3⇒/ α＝2k π＋π3(k ∈Z )，∴①正确．②∵f (x ＋π)＝|2cos(x ＋π)－1|＝|－2cos x －1|＝|2cos x ＋1|≠f (x )，∴②错误．③∵cos A cos B >sin A sin B ，∴cos A cos B －sin A sin B >0，即cos(A ＋B )>0，∵0<A ＋B <π，∴0<A ＋B <π2，∴C 为钝角，∴③正确．④∵a ＋b ＝0，∴b ＝－a ，y ＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，∴x ＝π4是它的一条对称轴，∴④正确．答案 ①③④ 三、解答题11. 已知函数f (x )＝2sin x cos x －2sin 2x ＋1.(1)求函数f (x )的最小正周期及值域；(2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 则函数f (x )的最小正周期是π，函数f (x )的值域是[]－2，2.(2)依题意得2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z)，即f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z)． 12．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的值域． 解 (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∴最小正周期T ＝2π2＝π，由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．∴函数图象的对称轴为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π6，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1. 即函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1. 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质一、选择题1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( ) 答案AA ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称 2.要得到函数的图像，只要将函数的图像（ ）答案 C A. 向左平移1个单位 B. 向右平移1个单位C. 向左平移个单位 D.向右平移 个单位 3.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右cos(21)y x =+cos 2y x =1212平移π6个单位后，得到的图象对应的函数解析式为( )． A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 解析 由所给图象知A ＝1，34T ＝11π12－π6＝3π4，T ＝π，所以ω＝2πT ＝2，由sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1，|φ|<π2得π3＋φ＝π2，解得φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移π6个单位后得到的图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，故选D.答案 D 4．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为 ( )．A.π6B.π3C.π4D.π12解析 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ个单位，得到函数y ＝sin 2(x ＋φ)＝sin(2x ＋2φ)的图象，由题意得2φ＝π2＋k π(k ∈Z )，故φ的最小值为π4.答案 C5．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y 与时间t 的函数关系为 ( )．A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π60t －π6C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t －π3 解析 由题意可得，函数的初相位是π6，排除B ，D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T ＝⎪⎪⎪⎪2πω＝60，所以|ω|＝π30，即ω＝－π30，故选C.答案 C 6．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图像如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安解析由函数图像知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100.∴T ＝150＝2πω，∴ω＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．又∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10在图像上，∴10＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π×1300＋φ∴π3＋φ＝π2，∴φ＝π6，∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6.当t ＝1100时，I ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100π×1100＋π6＝－5.答案A二、填空题7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，则ω＝________. 解析由已知两相邻最高点和最低点的距离为22，而f (x )max －f (x )min ＝2，由勾股定理可得T2＝ 22 2－22＝2，∴T ＝4，∴ω＝2πT ＝π2.答案π28．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎡⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．解析 ∵f (x )与g (x )的图象的对称轴完全相同，∴f (x )与g (x )的最小正周期相等，∵ω＞0，∴ω＝2，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，∴－32≤3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤3，即f (x )的取值范围是⎣⎡⎦⎤－32，3.答案 ⎣⎡⎦⎤－32，39．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若⎝⎛⎭⎫π8，5π8是f (x )的一个单调递增区间，则φ的值为________．解析 令π2＋2k π≤2x ＋φ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，k ＝0时，有π4－φ2≤x ≤3π4－φ2，此时函数单调递增，若⎝⎛⎭⎫π8，5π8是f (x )的一个单调递增区间，则必有⎩⎨⎧π4－φ2≤π8，3π4－φ2≥5π8，解得⎩⎨⎧φ≥π4，φ≤π4，故φ＝π4.答案 π410．在函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的一个周期内，当x ＝π9时有最大值12，当x ＝4π9时有最小值－12，若φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数解析式f (x )＝________.解析 首先易知A ＝12，由于x ＝π9时f (x )有最大值12，当x ＝4π9时f (x )有最小值－12，所以T ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4π9－π9×2＝2π3，ω＝3.又12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×π9＋φ＝12，φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，解得φ＝π6，故f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6.答案 12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6三、解答题11．已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x .(1)将f (x )的图像向右平移π12个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数g (x )的图像，求g (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间．解 (1)依题意f (x )＝3sin2x ＋2·cos2x ＋12＝3sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1， 将f (x )的图像向右平移π12个单位长度，得到函数f 1(x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6＋1＝2sin2x ＋1的图像，该函数的周期为π，若将其周期变为2π，则得g (x )＝2sin x ＋1. (2)函数f (x )的最小正周期为T ＝π，当2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)时，函数单调递增，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)，∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)． 12．已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos 2x )(A ＞0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域． 解 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A 2cos 2x ＝A ⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为A ＞0，由题意知A ＝6.(2)由(1)知f (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象； 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3的图象． 因此g (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6，故g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域为[－3,6]．。
第三节 三角函数的图象与性质
题点(一) 求单调区间
[逐点例析]
[例 1] (1)函数 y＝log12cos32π－2x的单调递增区间是 A．kπ－π4，kπ＋π4 (k∈Z )
()
B．kπ－π4，kπ (k∈Z )
C．kπ－kπ＋π4，kπ＋34π (k∈Z )
D．kπ＋π4，kπ＋34π (k∈Z )
(2)函数 y＝|tan x|的单调递增区间为________，单调递减区间为_______．
2．三角函数值域或最值的3种求法 形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin
直接法 x，cos x的值域求出 形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋
化一法 k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数 的值域(最值) 形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为 关于t的二次函数求值域(最值)；形如y＝asin xcos x＋b(sin
[解析]
(1)y＝log
1 2
cosπ3－2x＝log
1 2
(－sin 2x)，
由－sin 2x>0 得 sin 2x<0，即 2kπ－π<2x<2kπ，k∈Z ，
即 kπ－π2<x<kπ，k∈Z ，
设 t＝－sin 2x，则 y＝log 1 t 为减函数， 2
要求
y＝log
1 2
cosπ3－2x的递增区间，
二、“基本技能”运用好 1．y＝|tan x|·cos x0≤x<32π，x≠π2的图象是
答案：D
()
2．已知函数 f(x)＝cosωx＋π4 (ω>0)的最小正周期为 π，则 ω＝________. 答案：2
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质引言三角函数在数学中起着非常重要的作用，它们的图像与性质也是数学学习过程中的基础内容。
本文将介绍三角函数的图像和常见性质，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数的图像与性质正弦函数是三角函数中最常见的函数之一，它的图像呈现周期性的波动。
正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
正弦函数的图像可以用下面的公式表示：$$y = \\sin(x)$$正弦函数的图像在周期范围内呈现上升和下降的特点，其中最高点和最低点的纵坐标分别为1和-1。
正弦函数的图像以曲线方式连续无间断地进行。
正弦函数的性质包括： - 正弦函数的周期为$2\\pi$，即在每个周期内，正弦函数的图像完整地重复一次。
- 正弦函数的对称轴为x轴。
- 正弦函数的图像在$[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}] $ 上是增函数，在$[0, \frac{\pi}{2}] $ 和$[\frac{3\pi}{2}, 2\pi] $ 上是减函数。
余弦函数的图像与性质余弦函数也是三角函数中常见的函数，它的图像与正弦函数非常相似，但是相位不同。
余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
余弦函数的图像可以用下面的公式表示：$$y = \\cos(x)$$余弦函数的图像在周期范围内呈现上升和下降的特点，其中最高点和最低点的纵坐标分别为1和-1。
余弦函数的图像以曲线方式连续无间断地进行。
余弦函数的性质包括： - 余弦函数的周期为$2\\pi$，即在每个周期内，余弦函数的图像完整地重复一次。
- 余弦函数的对称轴为y轴。
- 余弦函数的图像在$[\pi, 2\pi] $ 上是增函数，在$[0, \pi] $ 上是减函数。
正切函数的图像与性质正切函数是另一个重要的三角函数，它的图像在不同的区间内有不同的特点。
正切函数的定义域是除了$\\frac{\\pi}{2} + k\\pi$（其中k是整数）的所有实数，值域是整个实数集。
高考数学第3章三角函数、解三角形第3讲三角函数的图象与性质创高三全册数学
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2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图象
定义 域 值域
xx∈R，且 x≠
R
R
kπ＋π2，k∈Z
01 _[－___1_,1__] 02 _[－___1_,1_]_ 03 _R_
12/12/2021
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续表
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
最值
当 x＝π2＋2kπ
当 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax
x∈
(k∈Z)时，ymax＝1；
＝1；
－π2＋kπ， π2＋kπ
当 x＝32π＋2kπ (k∈Z)时，ymin＝－1
当 x＝π＋2kπ (k∈Z)时，ymin＝－1
，k∈Z，无最大值， 也无最小值
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解析
2．已知π3为函数 f(x)＝sin(2x＋φ)0<φ<π2的零点，则函数 f(x)的单调递 增区间是( )
A.2kπ－152π，2kπ＋1π2(k∈Z) B.2kπ＋1π2，2kπ＋71π2(k∈Z) C.kπ－51π2，kπ＋1π2(k∈Z) D.kπ＋1π2，kπ＋71π2(k∈Z)
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1．函数 y＝ tanx＋ －cosx的定义域为｛__x_2_k_π_＋__π_≤__x_＜__2_kπ_＋__3_2π_，__k_∈__Z_．
解析
tanx≥0， 由
－cosx≥0，
得
tanx≥0，
cosx≤0.
所以 2kπ＋π≤x<2kπ＋32π，k∈
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是数学中重要的概念，对描述周期性变化具有广泛应用。
本文将探讨三角函数的图像及其性质，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
一、正弦函数的图像与性质正弦函数是一种周期性的函数，用于描述角度和长度的关系。
正弦函数的图像呈现出一条连续的波浪线，具有以下性质：1. 定义域和值域：正弦函数的定义域为实数集，值域为闭区间[-1,1]。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足f(-x) = -f(x)，图像关于y轴对称。
3. 周期性：正弦函数的周期为2π，即f(x + 2π) = f(x)。
4. 对称性：正弦函数关于直线x = π的中心对称。
二、余弦函数的图像与性质余弦函数也是一种周期性的函数，常用于描述角度和长度的关系。
余弦函数的图像呈现出一条连续的波浪线，具有以下性质：1. 定义域和值域：余弦函数的定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]。
2. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即满足f(-x) = f(x)，图像关于y轴对称。
3. 周期性：余弦函数的周期为2π，即f(x + 2π) = f(x)。
4. 对称性：余弦函数关于直线x = π/2的中心对称。
三、正切函数的图像与性质正切函数是一种周期性的函数，用于描述角度和斜率的关系。
正切函数的图像呈现出一条连续的曲线，具有以下性质：1. 定义域和值域：正切函数的定义域为实数集，值域为整个实数集。
2. 奇偶性：正切函数是奇函数，即满足f(-x) = -f(x)，图像关于原点对称。
3. 周期性：正切函数的周期为π，即f(x + π) = f(x)。
4. 渐近线：正切函数有两条水平渐近线，分别为y = π/2和y = -π/2。
总结：正弦函数、余弦函数和正切函数是三角函数中最常见的函数，它们的图像及性质对理解角度和长度、角度和斜率的关系有着重要的意义。
熟练掌握它们的图像和性质，能够帮助我们更好地解决与周期性变化相关的问题。
通过本文的探讨，我们了解到了正弦函数、余弦函数和正切函数的图像特点以及几个基本性质，包括定义域和值域、奇偶性、周期性和对称性等。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是数学中的重要概念，涉及到三角比例和角度，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
在本文中，我们将讨论三角函数的图像以及其性质。
一、正弦函数（sin）正弦函数是最基本的三角函数之一，用sin表示。
正弦函数的图像为一条连续不断的曲线，其横坐标表示角度（以弧度为单位），纵坐标表示正弦值。
正弦函数的周期是2π，即在区间[0, 2π]内，正弦函数的图像会完整地重复出现。
正弦函数的图像特点如下：1. 在0度（或0弧度）和180度（或π弧度）处，正弦函数的值为0；2. 在90度（或π/2弧度）处，正弦函数的值最大，为1；3. 在270度（或3π/2弧度）处，正弦函数的值最小，为-1；4. 在其他角度处，正弦函数的值位于-1和1之间，根据角度的大小而变化。
二、余弦函数（cos）余弦函数是另一个常见的三角函数，用cos表示。
余弦函数的图像也是一条连续曲线，其横坐标为角度，纵坐标为余弦值。
余弦函数的周期也是2π，即在区间[0, 2π]内，余弦函数的图像会一次完整地重复。
余弦函数的图像特点如下：1. 在0度（或0弧度）和360度（或2π弧度）处，余弦函数的值为1；2. 在180度（或π弧度）处，余弦函数的值最小，为-1；3. 在其他角度处，余弦函数的值位于-1和1之间，根据角度的大小而变化。
三、正切函数（tan）正切函数是三角函数中的第三个重要函数，用tan表示。
正切函数的图像也是一条光滑的曲线，以角度为横坐标，正切值为纵坐标。
正切函数的周期是π，即在区间[0, π]内，正切函数的图像会完整地重复。
正切函数的图像特点如下：1. 在0度（或0弧度）和180度（或π弧度）处，正切函数的值为0；2. 在90度（或π/2弧度）处，正切函数的值不存在，即为无穷大（正无穷或负无穷）；3. 在其他角度处，正切函数的值在正无穷和负无穷之间变化。
四、其他三角函数除了正弦、余弦和正切函数外，还有一些相关的三角函数，如余割函数（cosec）、正割函数（sec）和余切函数（cot）等。
三角函数的图象和性质
三角函数定义域、值域的求解策略 (1)求与三角函数有关的定义域问题实际上是解简单的三角不等式，也可借助三角函数线或三角函数图 象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)，首先把三角函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)，或 用换元法(令 t＝sinx，或 t＝sinx±cosx)化为关于 t 的二次函数求值域(最值)． (3)换元法的应用：把 sinx 或 cosx 看作一个整体，转化为二次函数，求给定区间上的值域(最值)问题．此 时注意所换元的取值范围.
第3讲 三角函数的图象和性质
1.能画出 y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx 的图象，了解三角函数的周期性． 2．理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象 与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间－π2，2π内的单调性.
板块一 知识梳理·自主学习
考点 1 周期函数和最小正周期
递增；π 在 2
＋2kπ，32π＋2kπ]
，k∈Z 上 ，k∈Z 上
在 [(2k－1)π，2kπ] k∈Z 上递增；
，在－π2
＋kπ，
在 [2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z 上递增
π2＋kπ，
递减
k∈Z 上递减
－xπ2＝＋π22＋kπ2(kkπ∈Z(k)∈时Z)，时y，miny＝max－＝11；x＝
[必备知识]
考点 2 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图象
定义 域
值域
x∈R [－1,1]
x∈R [－1,1]
{ x|x∈R 且 x≠π2＋kπ，k∈Z } R
续表 函数
单调性
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第3讲 三角函数的图象与性质A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2011·山东)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )．A.23B.32C ．2D ．3解析 由题意知f (x )的一条对称轴为x ＝π3，和它相邻的一个对称中心为原点，则f (x )的周期T ＝4π3，从而ω＝32. 答案 B2．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( )．A ．0B.π6C.π4D.π3解析 据已知可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意． 答案 B3．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )．A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤1，∴－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤2.∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为2－ 3. 答案 A4．(2011·安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 解析 由f (x )＝sin(2x ＋φ)，且f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝±1. ∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝k π＋π6(k ∈Z )． 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，即sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，∴－sin φ>sin φ.∴sin φ<0.∴对于φ＝k π＋π6(k ∈Z )，k 为奇数．∴f (x )＝sin(2x ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋k π＋π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴由2m π＋π2≤2x ＋π6≤2m π＋3π2(m ∈Z )， 得m π＋π6≤x ≤m π＋2π3(m ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤m π＋π6，m π＋2π3(m ∈Z )．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为________． 解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.答案 326．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________.解析 由0≤x ≤π3，得0≤ωx ≤ωπ3<π3，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，且在这个区间上的最大值是2，所以2sin ωπ3＝2，且0<ωπ3<π3， 所以ωπ3＝π4，解得ω＝34. 答案 34三、解答题(共25分) 7．(12分)设f (x )＝1－2sin x . (1)求f (x )的定义域；(2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值．解 (1)由1－2sin x ≥0，根据正弦函数图象知： 定义域为{x |2k π＋56π≤x ≤2k π＋13π6，k ∈Z }． (2)∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤1－2sin x ≤3， ∵1－2sin x ≥0，∴0≤1－2sin x ≤3， ∴f (x )的值域为[0，3]，当x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )取得最大值．8．(13分)(2013·东营模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域．解 (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴最小正周期T ＝2π2＝π，由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )， 得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．∴函数图象的对称轴为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )． (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.即函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·新课标全国)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，则ω的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]解析 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⊆85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C.取ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⃘⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D. 答案 A2．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )．A.π4B.π3C.π2 D.3π4解析 由题意可知函数f (x )的周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，故ω＝1，∴f (x )＝sin(x＋φ)，令x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，将x ＝π4代入可得φ＝k π＋π4(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π4. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·徐州模拟)已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．解析 f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x | ＝⎩⎨⎧cos x (sin x ≥cos x )，sin x (sin x <cos x ).画出函数f (x )的图象，可得函数的最小值为－1，最大值为22，故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，224．(2012·西安模拟)下列命题中：①α＝2k π＋π3(k ∈Z )是tan α＝3的充分不必要条件； ②函数f (x )＝|2cos x －1|的最小正周期是π；③在△ABC 中，若cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 为钝角三角形； ④若a ＋b ＝0，则函数y ＝a sin x －b cos x 的图象的一条对称轴方程为x ＝π4. 其中是真命题的序号为________． 解析 ①∵α＝2k π＋π3(k ∈Z )⇒tan α＝3， 而tan α＝3⇒/ α＝2k π＋π3(k ∈Z )，∴①正确． ②∵f (x ＋π)＝|2cos(x ＋π)－1|＝|－2cos x －1|＝|2cos x ＋1|≠f (x )，∴②错误．③∵cos A cos B >sin A sin B ，∴cos A cos B －sin A sin B >0， 即cos(A ＋B )>0，∵0<A ＋B <π，∴0<A ＋B <π2，∴C 为钝角，∴③正确． ④∵a ＋b ＝0，∴b ＝－a ，y ＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴x ＝π4是它的一条对称轴，∴④正确． 答案 ①③④ 三、解答题(共25分)5．(12分)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合． 解 (1)∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x ＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3－3cos 2x 8＝12cos 2x －14，∴f (x )的最小正周期为2π2＝π. (2)由(1)知h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－π8(k ∈Z )时，h (x )取得最大值22.故h (x )取得最大值时，对应的x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π8，k ∈Z.6．(13分)已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，又∵a >0， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得a ＝2，b ＝－5，∴f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )＞0，得g (x )＞1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12，∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z . 综上，g (x )的递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6(k ∈Z )；递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3(k ∈Z )．。