2019届高考数学数形结合的思想方法.ppt
2019年高考真题《不等式(理) 》Word版含解析
2019年高考真题《不等式》1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++．所以222111a b c a b c++≤++． （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24．所以333()()()24a b b c c a +++++≥．【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围． 【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞【解析】（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥．所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞． （2）因为()=0f a ，所以1a ≥．当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----．所以，a 的取值范围是[1,)+∞．【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=． （1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值； （2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-． 【答案】（1）43；（2）见详解． 【解析】（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥， 当且仅当x =53，y =–13，13z =-时等号成立． 所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立． 因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型． 4．【2019年高考江苏卷数学】设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -．【答案】1{|1}3x x x <->或．【解析】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <13-； 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1． 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或．【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力． 5．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】设函数()333()442f x x x g x x a x =-+-=-++，．（1）解不等式()10f x >；（2）若对于任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得12()()f x g x =成立，试求实数a 的取值范围． 【答案】（1）4x >或1x <-；（2）40a -≤≤【解析】（1）不等式等价于34610x x >⎧⎨->⎩或13210x x ≤≤⎧⎨>⎩或36410x x <⎧⎨->⎩解得4x >或1x <-．（2）对任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得12()=()f x g x 成立，即()g x 的值域包含()f x 的值域．46,3()3332,1364,1x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪-<⎩，由图可得1x =时，min ()2f x =，所以()f x 的值域为[2,)+∞．()442(4)(42)2g x x a x x a x a =-++≥--+=+，当且仅当4x a -与42x +异号时取等号，所以()g x 的值域为[2,)a ++∞，由题[2,)+∞⊆[2,)a ++∞，所以22a +≤，解得40a -≤≤．【点睛】本题考查绝对值函数和用绝对值不等式求绝对值函数中参数的范围，是常见考题．6．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】已知函数()2f x ax =-，不等式()4f x ≤的解集为{}|26x x -≤≤． （1）求实数a 的值；（2）设()()(3)g x f x f x =++，若存在x ∈R ，使()2g x tx -≤成立，求实数t 的取值范围． 【答案】（1）1；（2）1(,1][,)2t ∈-∞-+∞．【解析】（1）由42ax -≤得－4≤2ax -≤4，即－2≤ax ≤6，当a >0时，26x a a -≤≤，所以2266a a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a ＝1；当a <0时，62x a a ≤≤-，所以6226a a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，无解．所以实数a 的值为1．（2）由已知()()(3)g x f x f x =++＝|x ＋1|＋|x －2|＝()()()211312212x x x x x -+≤-⎧⎪-<<⎨⎪-≥⎩，不等式g （x ）－tx ≤2转化成g （x ）≤tx ＋2，由题意知函数()g x 的图象与直线y ＝tx ＋2相交，作出对应图象，由图得，当t <0时，t ≤k AM ；当t >0时，t ≥k BM ， 又因为k AM ＝－1，12BM k =， 所以t ≤－1或12t ≥， 即t ∈（－∞，－1]∪[12，＋∞）． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及分类思想、方程思想，还考查了思想结合思想及转化能力，考查了作图能力及计算能力，属于中档题．7．【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学】设函数()|1|f x x =+． （1）若+2>2f x x （），求实数x 的取值范围；（2）设=+>1g x f x f ax a （）（）（）（），若g x （）的最小值为12，求a 的值． 【答案】（1）13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，；（2）2a =． 【解析】（1）()22f x x +>，即1>22x x+-⇔101>22x x x +≥⎧⎨+-⎩或10122x x x+<⎧⎨-->-⎩13x ⇔>， ∴实数x 的取值范围是13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． （2）∵1a >，∴11a -<-，∴()()()()()121111112a x x g x a x x a a x x a ⎧⎪-+-∈-∞-⎪⎪⎡⎤=-∈--⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎛⎫++∈-+∞⎪ ⎪⎝⎭⎩，，，，，，， 易知函数()g x 在1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递减，在1a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递增， ∴()min 111g x g a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭． ∴1112a -=，解得2a =． 【点睛】本道题考查了含绝对值不等式的解法，考查了结合单调性计算函数最值，关键得到函数解析式，难度中等．8．【河南省中原名校（即豫南九校）2018届高三第六次质量考评理科数学】已知函数21f x x a g x x =+=-（），（）．（1）若2f x g x +（）（）的最小值为1，求实数a 的值； （2）若关于x 的不等式1f x g x +<（）（）的解集包含112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，求实数a 的取值范围．【答案】（1）8a =-或4．（2）312⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【解析】（1）当1b =时，()()1|||1||1||1|2222a a af xg x x x x x +=-++≥---=+， 因为()()12f xg x +的最小值为3，所以132a +=，解得8a =-或4．（2）当1b =-时，()()1f x g x +<即211x a x -+-<，当112x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，211x a x -+-<2112x a x x a x ⇔-+-<⇔-<，即3ax a <<， 因为不等式()()1f x g x +<的解集包含112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以1a >且132a <， 即312a <<，故实数a 的取值范围是312⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考查不等式的解法及不等式的性质，考查转化思想以及计算能力． 9．【河南省顶级名校2019届高三质量测评数学】已知函数()121f x x x =++-． （1）解不等式()2f x x ≤+；（2）若()3231g x x m x =-+-，对12x x ∀∈∃∈R R ，，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}|01x x ≤≤；（2）1544⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．【解析】（1）不等式等价于132x x x ≤-⎧⎨-≤+⎩或11222x x x ⎧-<≤⎪⎨⎪-+≤+⎩或1232x x x >≤+⎧⎪⎨⎪⎩， 解得x φ∈或102x ≤≤或112x <≤， 所以不等式2f x x ≤+（）的解集为{}|01x x ≤≤．（2）由311()212132x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩，，，知，当12x =时，min 13()()22f x f ==， 323121g x x m x m ≥---=-（）（）（），当且仅当(32)(31)0x m x --≤时取等号，所以3212m -≤，解得1544m -≤≤．故实数m 的取值范围是1544⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． 【点睛】本题考查方程有解问题，考查不等式的解法，考查转化思想以及计算能力． 10．【吉林省吉大附中2018届高三第四次模拟考试数学（理）试卷】已知函数()f x x a =-．（1）当2a =-时，解不等式()1621f x x ≥--；（2）若关于x 的不等式()1f x ≤的解集为[0,2]，求证：()(2)2f x f x ++≥． 【答案】（1）17{|3x x ≤-或5}x ≥（2）见解析 【解析】（1）当2a =-时，不等式为22116x x ++-≥， 当2x ≤-时，原不等式可化为22116x x ---+≥，解得173x ≤-， 当122x -<≤时，原等式可化为22116x x +-+≥，解得13x ≤-，不满足，舍去； 当12x >时，原不等式可化为22116x x ++-≥，解得5x ≥； 不等式的解集为17{|3x x ≤-或5}x ≥．（2）()1f x ≤即1x a -≤，解得11a x a -≤≤+，而()1f x ≤解集是[]02，，所以1012a a -=⎧⎨+=⎩，解得1a =，从而()1f x x =-． 于是只需证明()(2)2f x f x ++≥， 即证112x x -++≥，因为111x x x -++=-1112x x x ++≥-++= 所以112x x -++≥，证毕．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和证明，主要注意先确定参数的值，进而对定义域进行分类讨论，确定解所在的区间，属于中档题．11．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学】设函数()2f x x x a =--+．（1）当1a =时，求不等式()2f x <-的解集；（2）当x y ∈R ，时，2()()2()f y f x f y -+≤≤+，求a 的取值范围． 【答案】（1）3{|}2x x >；（2）[]31--，【解析】（1）当a =1时，31()121232x f x x x x ≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪->⎩，，，， 可得()2f x <-的解集为3{|}2x x >； （2）当x y ∈R ，时，[][]ma min 2()()2()()()2()()2x f y f x f y f x f y f x f x -+≤≤+⇔-≤⇔-≤，因为()()222x x a x x a a --+≤--+=+， 所以()222a a +--+≤． 所以21a +≤，所以31a -≤≤-． 所以a 的取值范围是[–3，–1]．【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用． 12．【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试数学】已知函数2f x x =-（）．（1）求不等式1f x x x <++（）的解集；（2）若函数()2log 32f x f x f x a ⎡⎤=++-⎣⎦（）（）的定义域为R ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，；（2）32⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，．【解析】（1）由已知不等式()1f x x x <++，得21x x x -<++， 当2x >时，绝对值不等式可化为21x x x -<++，解得3x >-，所以2x >； 当12x -≤≤时，绝对值不等式可化为21x x x -<++，解得13x >，所以123x <≤； 当1x <-时，由21x x x -<--得3x >，此时无解． 综上可得所求不等式的解集为13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，．（2）要使函数()()2log 32y f x f x a ⎡⎤=++-⎣⎦的定义域为R ， 只需()()()32g x f x f x a =++-的最小值大于0即可．又()12212232g x x x a x x a a =++--≥+-+-=-，当且仅当[]12x ∈-，时取等号． 所以只需320a ->，即32a <． 所以实数a 的取值范围是32⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，． 【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．13．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学】已知函数()211f x x x =-++．（1）解不等式()3f x ≥；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若,,a b c 均为正实数，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值．【答案】（1）{}11x x x ≤-≥或；（2）914．【解析】（1）由题意，3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，所以()3f x ≥等价于133x x ≤-⎧⎨-≥⎩或11223x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≥⎩或1233x x ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩．解得1x ≤-或1x ≥，所以不等式的解集为{}11x x x ≤-≥或； （2）由（1）可知，当12x =时，()f x 取得最小值32， 所以32m =，即233a b c ++=， 由柯西不等式得2222222()(123)(23)9a b c a b c ++++≥++=， 整理得222914a b c ++≥， 当且仅当123a b c ==时，即369,,141414a b c ===时等号成立． 所以222a b c ++的最小值为914．【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及柯西不等式的应用，熟记不等式解法以及柯西不等式即可，属于常考题型．14．【四川省成都市第七中学2019届高三二诊模拟考试数学】已知000a b c >>>，，设函数f x x b x c a x =-+++∈R （），．（1）若1a b c ===，求不等式5f x <（）的解集； （2）若函数f x （）的最小值为1，证明：14918a b c a b b c c a++≥+++++（）． 【答案】（1）(2,2)-；（2）详见解析．【解析】（1）1a b c ===，不等式()5f x <，即|1||1|4x x -++<， 当1x ≤-时，11421x x x ---<⇒-<≤-， 当11x -<<时，11411x x x -+-<⇒-<<， 当1x ≥时，11412x x x -++<⇒≤<，∴解集为(2,2)-；（2）()f x x b x c a =-+++x c x b a ≥+--+（）（）b c a =++，∵000a b c >>>，，，∴min ()1f x a b c =++=， ∴149a b b c c a ++=+++149a b b c c a ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭a b c ++（） 11492a b b c c a ⎛⎫=++ ⎪+++⎝⎭a b b c a c +++++（）22212⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦222⎡⎤++⎣⎦212≥1818a b c ==++（）． 【点睛】考查了含绝对值不等式的解法，考查了基本不等式，考查了不等式的证明，难度中等偏难．15．【四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学】已知函数()21f x x x =-+，且a b c ∈R ，，． （1）若1a b c ++=，求()()()f a f b f c ++的最小值；（2）若1x a -<，求证：()()()21f x f a a -<+．【答案】（1）73；（2）见解析 【解析】（1）由柯西不等式得，()22221433a b c a b c ++≥++=（当且仅当23a b c ===时取等号），所以()()()()()222473133f a f b f c a b c a b c ++=++-+++≥+=， 即()()()f a f b f c ==的最小值为73； （2）因为1x a -<，所以()()()()22•11f x f a x a x a x a x a x a -=---=-+-<+-()()()()212112121x a a x a a a a =-+-≤-+-<++=+，故结论成立．【点睛】本题考查了利用柯西不等式求最值，考查了利用绝对值三角不等式证明的问题，属于中等题．16．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】已知函数()25f x x a x =-+，其中实数0a >．（1）当3a =时，求不等式()51f x x ≥+的解集；（2）若不等式()0f x ≤的解集为{|1}x x ≤-，求a 的值．【答案】（1）不等式()51f x x ≥+的解集为{|12}x x x ≤≥或；（2）3a =【解析】（1）当3a =时，()51f x x ≥+可化为231x -≥，由此可得1x ≤或2x ≥，故不等式()51f x x ≥+的解集为{|12}x x x ≤≥或；（2）法一：（从去绝对值的角度考虑）由()0f x ≤，得25x a x -≤-， 此不等式化等价于2250a x x a x ⎧≥⎪⎨⎪-+≤⎩或()2250a x x a x ⎧<⎪⎨⎪--+≤⎩， 解得27a x a x ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或23a x a x ⎧<⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩， 因为0a >，所以不等式组的解集为{|}3ax x ≤-， 由题设可得13a -=-，故3a =． 法二：（从等价转化角度考虑）由()0f x ≤，得25x a x -≤-，此不等式化等价于525x x a x ≤-≤-，即为不等式组5225x x a x a x ≤-⎧⎨-≤-⎩，解得37a x a x ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩， 因为0a >，所以不等式组的解集为{|}3a x x ≤-， 由题设可得13a -=-，故3a =． 法三：（从不等式与方程的关系角度突破）因为{|1}x x ≤-是不等式()0f x ≤的解集，所以1x =-是方程()0f x =的根，把1x =-代入250x a x -+=得37a a ==-或，因为0a >，所以3a =．【点睛】本题考查解绝对值不等式，不等式问题中求参数范围的问题，难度较小．17．【广东省揭阳市2019届高三高考二模数学】已知正实数x ，y 满足x +y =1．（1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； （2）证明：2211(1)(19x y --≥）． 【答案】（1）1[16，）．（2）见解析． 【解析】（1）∵1x y +=，且0x >，0y >， ∴0152522212x x y x y x x <<⎧⎪++-≤⇔⎨-+-≤⎪⎩， 01011112121222x x x x x x x <<<<⎧⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨-≤+-+≤-≤+⎪⎪⎩⎩（）， 解得116x ≤<，所以不等式的解集为1[16，）． （2）解法1：∵1x y +=，且00x y >>，， ∴2222222211()()(1)(1)x y x x y y x y x y+-+---=⋅ 222222xy y xy x x y ++=⋅222222()()y y x x x x y y =++225x y y x =++59≥=． 当且仅当12x y ==时，等号成立． 解法2：∵1x y +=，且00x y >>，， ∴2222221111(1)(1)x y x y x y----=⋅ 22(1)(1)(1)(1)x x y y x y +-+-=⋅22(1)(1)x y y x x y ++=⋅1x y xy xy+++=21xy =+2219()2x y ≥+=+，当且仅当12x y ==时，等号成立． 【点睛】主要考查了绝对值不等式的求解、不等式证明、以及基本不等式的应用，属于中档题．对于绝对值不等式的求解，主要运用零点分段法，也可以运用图像法．而不等式的证明，关键是灵活运用不等式的性质以及基本不等式．。
福建省2019届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列七(立体几何)
福建省2019届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列七立体几何（福建省高三毕业班复习教学指导组郑新发执笔整理）立体几何作为支撑高中数学知识体系的重要知识模块之一，高中数学教材安排了两部分内容：数学必修2、选修 2—1．包括“空间几何体”、“点、直线、平面之间的位置关系”、和“空间向量与立体几何”。
高考立体几何试题具有较强的综合性与交汇性是每年髙考的必考内容，考试突出综合性，重视基础知识、基本技能和综合应用和创新意识的考查，突出四基、四能和学科核心素养的考查，突出空间想象、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等都进行考查．高考对立体几何的考查难度、题量都相对稳定，题目难度属于中档，也是同学们应尽力得满份的题目，其题型、难度与分值比例均长期保持相对稳定。
一般理数占22分、文数占22~27分，其题型与题量一般是1个解答题，理数2个小题，文数2 ~3个小题．选择题一道位于5-8是中等难度的题目，别一道是11-12题或填空的最后一题的位置，属于较难的题目，解答题稳定在第18题的位置（除14年）．立体几何高考的选择或填空题有三个常考热点：一是空间几何体的三视图；二是空间几何体的表面积、体积；三是空间中点、直线、平面之间的位置关系的判定．考点一般围绕：空间中点、直线、平面的位置关系的判定和性质；距离和角的计算；三视图；表面积和体积；立体几何与其他问题的综合考查。
能力范畴有：能根据条件画出正确的图形；能根据图形想象出直观形象；能正确地分析图形中的基本元素和相互关系；能对图形进行分解组合和变形；会选择适当的方法对图形的性质进行研究。
立体几何高考的解答题常以棱柱或棱锥为载体，解答题一般采用分步设问的方式，常见的两个考查热点：一是定性分析，二是定量分析．其中定性分析，不论文科还是理科主要是以平行、垂直的证明为主；而定量分析，文科试题主要考查表面积、体积的计算；理科试题主要考查线面角、二面角的计算．意在考查学生直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.下面主要以全国高考数学卷与各省市质检卷为例，对学生解答立体几何试题存在的问题进行剖析，并提出相应的教学对策，供高三复习参考.近五年立体几何部分考查情况表：表一：全国Ⅰ卷（理科）立体几何考查情况表二：全国Ⅰ卷（文科）立体几何考查情况一、存在的问题及原因分析：问题一：识图、作图、用图能力弱作图、识图、用图能力是考生学好立体几何所应具备的重要能力之一，学生的识图、作图、用图能力弱主要集中在“三视图的识别、还原”，“球问题的直观呈现和转化”，“作图问题”，“展折问题的图形分析”等．【例题1】（2019·广东茂名届高三第一次联考）如图1是某几何体的三视图，何体的体积是( )A ．43B ．3C ．83D ．3【解析】由三视图可知，该几何体为如图2所示的四棱锥A ﹣BCDE ，底面BCDE为矩形， 取DE 的中点为F ，连接AF ，则AF 就是四棱锥A ﹣BCDE 的高，BE =2DE =，高为s i n 1h π==4，所以四棱锥A ﹣BCDE 的体积为图１ 图２1121333V BE DE h=⨯⨯⨯=⨯=B．【评析】本题易错点是忽视三视图中的实线与虚线的区别，导致所判断的空间几何体出错，从而所求的几何体的体积不正确．破解此类题的关键：一是会还原，首先看俯视图，俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽，根据俯视图画出几何体地面的直观图；再观察正视图和侧视图，正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽，找到几何体前、后、左、右的高度，要特别注意视图中的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见的轮廓线在三视图中为虚线．二是用公式，即利用锥体的体积公式，求出空间几何体的体积．【例题2】（2012年课标全国卷理11）已知三棱锥-S ABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC∆是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且=2SC，则此棱锥的体积为()A．B．C．D．【解析】由球的定义可知，球心O为SC的中点．如图3，设ABC∆的中心为M，则有OM⊥平面ABC，且OM=，所以三棱锥的高2h OM==，所以此棱锥的体积为111326⋅⋅=．【评析】本题往往会因为对直径认识不足（球心O为SC的中点），纠结如何做图（球内接三棱锥-S ABC），而不懂对问题进行转化（--2S ABC O ABCV V=），只有正确理解才能把问题转化为三棱锥-O ABC （如图5），再结合球的定义，即可解决．【例题3】（2016全国Ⅰ卷理11）平面α过正方体1111-ABCD A B C D的顶点A，//α平面11CB D，α平面ABCD m=，α平面11ABB A n=，则m n，所成角的正弦值为（）A．2B．2C．3D．13【解析】方法一、因为//α平面11CB D，且平面α过顶点A，故问题相当于把平面11CB D“外移”．如图4，在正方体1111-ABCD A B C D的左侧补上一个全等的正方体，则平面11CB D“外移”到平面22AB D（即平面α），则α平面2ABCD AD=，α平面112ABB A AB=，又图3图422AB D ∆为等边三角形，则m n ，所成角为60，其正弦值为2． 方法二、如图5,设平面错误！未找到引用源。
2019届高考数学一轮复习第二章基本初等函数导数的应用第6讲指数与指数函数课件文
第6讲 指数与指数函数
1．根式的概念 如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．当 n 是奇数时，正 数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数；当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有两个，这两个数互为相反数．
2．幂的有关概念
m
(1)正分数指数幂：a n ＝
——函数与不等式交汇探索
设 a＞0，b＞0，则下列说法一定正确的序号是 __①______． ①若 2a＋2a＝2b＋3b，则 a＞b； ②若 2a＋2a＝2b＋3b，则 a＜b； ③若 2a－2a＝2b－3b，则 a＞b； ④若 2a－2a＝2b－3b，则 a＜b.
【解析】 因为 a>0，b>0， 所以 2a＋2a＝2b＋3b>2b＋2b. 令 f(x)＝2x＋2x(x>0)， 则函数 f(x)为单调增函数． 所以 a>b.
a≠1，函数 1
f(x)＝42xa， －x，x≥x＜0，0，
若 f(1－a)＝f(a－1)，则 a 的值为____2________．
(3)(2018·苏北四市高三质量检测)设 f(x)是定义在 R 上的奇函
数，当 x＞0 时，f(x)＝2x－3，则不等式 f(x)≤－5 的解集为
_(－___∞__，__－__3_]___．
【解析】 (1)因为 a0＝1， 所以该函数的图象过点(2 018，2 019)． (2)当 a＜1 时，41－a＝21，所以 a＝12；当 a＞1 时，代入不成 立．
(3)因为当 x＞0 时，f(x)＝2x－3， 所以当 x＜0，即－x＞0 时，f(－x)＝2－x－3，因为函数 f(x) 是 定义在 R 上的奇函数， 所以 f(－x)＝2－x－3＝－f(x)，所以 f(x)＝－2－x＋3. 当 x＞0 时，不等式 f(x)≤－5 等价为 2x－3≤－5， 即 2x≤－2，无解，故 x＞0 时，不等式不成立； 当 x＜0 时，不等式 f(x)≤－5 等价为－2－x＋3≤－5， 即 2－x≥8， 得 x≤－3； 当 x＝0 时，f(0)＝0，不等式 f(x)≤－5 不成立． 综上，不等式 f(x)≤－5 的解集为(－∞，－3]．
江苏省2019届高考数学专题三解析几何3.1小题考法—解析几何中的基本问题讲义
专题三解析几何［江苏卷5年考情分析］［题组练透］1.已知点P（3,2）与点Q1,4）关于直线l对称，则直线l的方程为.解析：由题意知直线l与直线PC@直，所以k i=—；=1.又直线l经过PQ的中点（2,3）, k PQ所以直线l的方程为y—3=x—2,即x — y+ 1 = 0.答案：x-y+ 1=02.（2018 •南通一模）已知圆C过点（2 , J3）,且与直线x —5y+S：。
相切于点（0 ,\/3）, 则圆C的方程为.解析：设圆心为（a, b）,「子孚—1,则a 3a a-2 2+（b- m）2=a2+ b-V3 2,解得a= 1, b=0, r = 2.即所求圆的方程为（x—1）2+y2=4.答案：（x—1）2+y2 = 43.（2018 ・南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）在平面直角坐标系xOy中,，xW3,若动圆C上的点都在不等式组x x-^/3y + 3>0 ,表示的平面区域内，则面积最大的圆^x+^/3y + 3>0C的标准方程为 .解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，面积最大的圆C即为可行域三角形的内切圆.由对称性可知，圆C的圆心在x轴上，设半径为r,则圆心Q3 —r, 0),且它与直线x —J3y+3=0相切，所以|3^J_3| = r,解得r = 2,所以面积最大的圆C的标准方程为(x—1)2+ V1T3y2= 4.答案：(x—1)2+y2 = 4［方法技巧］1.求直线方程的两种方法直接法选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中系数，写出结果待定先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题系数法设条件构建方程，求出待定系数2.圆的方程的两种求法几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程代数法用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程考点(二)直线与圆、圆与圆的位置关系―主要考查直线与圆、圆与圆的位置关系，以及根据直线与圆的位置关系求相关的最值与范围问题.［典例感悟］［典例］(1)(2018 •无锡期末)过圆x2+y2= 16内一点P( —2,3)作两条相互垂直的弦AB 和CD 且AB= CD则四边形ACBD勺面积为.(2)(2018 •南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy中，已知点A( —4,0) , B(0,4),从直线AB上一点P向圆x2+y2=4引两条切线PC PD切点分别为C, D.设线段CD的中点为M则线段AM长的最大值为.［解析］⑴设O到AB的距离为d1,0到CD的距离为d2,则由垂径定理可得d2= r2—明2,d2= r2—^2^2，由于AB= CD 故d= d2,且d1= d2= ^2^O由所以^2^ = r2— d2=161319 1、_ 1--=y,得AB= \38,从而四边形ACBD勺面积为S= 2ABX CD= 2x^38X>/38= 19.(2)法一：(几何法)因为直线AB的方程为y = x+4,所以可设Ra, a+4) , q。
备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题25 平面向量的模长问题
专题25 平面向量的模长问题【热点聚焦与扩展】平面向量中涉及模长的问题，常用解法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，因此，解答这类问题时可以利用数形结合的思想，利用代数和几何特征，会加快解题速度. 本专题拟通过典型例题，介绍代数法和几何法两种思路，以期对大家有所启发. （一）代数法利用代数方法处理向量的模长问题，主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式1、模长平方：通过22cos0a a a a =⋅=可得：22a a =，将模长问题转化为数量积问题，从而能够与条件中的已知向量（已知模长，夹角的基向量）找到联系.要注意计算完向量数量积后别忘记开方 2、坐标运算：若(),a x y =，则2a x =+某些题目如果能把几何图形放入坐标系中，则只要确定所求向量的坐标，即可求出（或表示）出模长3、有关模长的不等问题：通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系，从而将问题转化为求函数最值问题 （二）几何法1、向量和差的几何意义：已知向量,a b ，则有：（1）若,a b 共起点，则利用平行四边形法则求a b +，可得a b +是以,a b 为邻边的平行四边形的对角线 （2）若,a b 首尾相接，则利用三角形法则求出a b +，可得a b +，,a b 围成一个三角形 2、向量数乘的几何意义：对于a λ（1）共线（平行）特点：a λ与a 为共线向量，其中0λ>时，a λ与a 同向；0λ<时，a λ与a 反向 （2）模长关系：a a λλ=⋅ 3、与向量模长问题相关的定理：（1）三角形中的相关定理：设ABC 三个内角,,A B C 所对的边为,,a b c ① 正弦定理：sin sin sin a b cA B C== ② 余弦定理：2222cos a b c bc A =+-（2）菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线特别的，对于底角60的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形. （3）矩形：若四边形ABCD 的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长【经典例题】例1.【浙江省部分市学校（新昌一中、台州中学等）2019届高三上学期9+1联考】如图，点C 在以AB 为直径的圆上，其中2AB =，过A 向点C 处的切线作垂线，垂足为P ，则AC PB ⋅的最大值是（ ）A. 2B. 1C. 0D. 1- 【答案】B【解析】连结BC ，则=90ACB ∠︒ ∵AP PC ⊥∴()21AC PB PC⋅=≤∴AC PB ⋅的最大值为1 故选B点睛：（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题；（3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 例2.已知向量,a b 的夹角为45，且1,210a a b =-=，则b =（ ）2 C. 【答案】D【解析】思路：本题利用几何图形可解，运用向量加减运算作出如下图形：可知2,,4AB B AC π===只需利用余弦定理求出BC 即可.解1：如图可得：b BC =，在ABC 中，有：2222cos AC AB BC AB BC B =+-例3. 已知向量,a b ，且1,2a b ==，则2b a -的取值范围是（ ）A. []1,3B. []2,4C. []3,5D. []4,6【答案】[]3,5解2：222244174cos ,178cos ,b a b a b a a b a b a b -=-⋅+=-=- 因为[]cos ,1,1a b ∈- []229,25b a ∴-∈即[]23,5b a -∈例4.【2019届浙江省杭州市高三第二次检测】记的最大值和最小值分別为和.若平面向量满足则（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】由已知可得：，建立平面直角坐标系，，，可得：点睛：本题主要考查的知识点是向量的数量积及模的关系.通过建立平面直角坐标系将其转化为点与圆的位置关系，就可以求出距离的最值，解答本题的关键是转化，理解并掌握本题的解题方法.有一定的难度.例5.【2019届北京市城六区高三一模】已知点在圆上，点在圆上，则下列说法错误的是A. 的取值范围为B. 取值范围为C. 的取值范围为D. 若，则实数的取值范围为【答案】B【解析】∵M在圆C1上，点N在圆C2上，∴∠MON≥90°，∴≤0，又OM≤+1，ON≤+1，∴当OM=+1，ON=+1时，取得最小值（+1）2cosπ=﹣3﹣2，故A正确；设M （1+cos α，1+sin α）， N （﹣1+cos β，﹣1+sin β），则=（cos α+cos β，sin α+sin β），∴2=2cos αcos β+2sin αsin β+2=2cos （α﹣β）+2， ∴0≤≤2，故B 错误；故选B ．例6.【2017浙江，15】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，【解析】【名师点睛】本题通过设入向量,a b 的夹角θ，结合模长公式， 解得54cos a b a b ++-=+转化能力和最值处理能力有一定的要求．例7.【2017课标1，理13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= .【答案】【解析】试题分析：222|2|||44||4421cos60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=所以|2|12a b +==秒杀解析：利用如下图形，可以判断出2a b +的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，则为例8.【2019届山西省孝义市高三下学期一模】已知向量与的夹角是，且，则向量与的夹角是__________． 【答案】【解析】分析：先根据题意画出平行四边形，再解三角形得解.详解：如图所示，∴∵，∴∴所以向量与的夹角是120°. 故填120°.例9.【2019届湖北省高三4月调研】已知向量a 与b 的夹角为30°，2a b -=，则a b +的最大值为_________．【答案】4+【解析】分析：由题意2a b -=，利用基本不等式和向量的运算，求的a b ⋅≤进而可求得a b +的最大值.所以()2222024444cos30423a ba ba b a b a b a b a b +=+=++⋅=+⋅=+⋅=+⋅428≤+=+a b =时，等号成立，所以28164a b +≤+=+.点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决． 例10.已知平面向量,,a b c 满足1,2a b ==，且1a b ⋅=-，若向量,a c b c --的夹角为60，则c 的最大值是_________.【答案】32sin BD d R BAD===，即max 221c =答案：3D【精选精练】1．已知正方形ABCD 的边长为1， 则等于（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据平面向量的基本定理，得到，即可求解其模．详解：因为正方形的边长为，，则，因为，所以，故选C．点睛：本题考查了两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量的模模的方法，运用向量和三角形法则求出向量的和是解题的关键．2.【2019届山东省栖霞市第一中学高三4月模拟】已知向量，，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D3.【浙江省嘉兴第一中学2019届高三9月基础知识测试】若，且，，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】故选：D. 4．对于任意向量，下列说法正确的是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意，根据向量加法的三角形法则，且三角形两边之差小于第三边，则，同理，所以，故正确答案为A.5．已知向量a ， b 满足： 324,a b a b ==+=，，，则a b =﹣3 【答案】D【解析】分析：利用向量的数量积运算及向量的模运算即可求出．详解：∵|a |=3，|b |=2，|a +b |=4， ∴|a +b |2=|a |2+|b |2+2a b ⋅=16，∴2a b ⋅=3，∴|a ﹣b |2=|a |2+|b |2﹣2a b ⋅=9+4﹣3=10，∴|a ﹣b ， 故选：D ．6．【2019届四川省绵阳市三诊】ABC ∆中， 5AB =， 10AC =， 25AB AC ⋅=，点P 是ABC ∆内（包括边界）的一动点，且3255AP AB AC λ=- R λ∈（），则AP 的最大值是（ ）A.2C. 39D. 41 【答案】B因为10λ-≤≤，所以2AP 的最大值为37，故maxAP= B.点睛：本题中向量,AB AC 的模长、数量积都是已知的，故以其为基底计算2216129AP λλ=-+，其中λ的取值范围可以由P 的位置来确定.7．【2019届辽宁省部分重点中学协作体高考模拟】已知是边长为1的正三角形，若点满足，则的最小值为（ ）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】分析：以为原点，以为轴，建立坐标系，可得，，利用配方法可得的最小值.，故选C.点睛：本题主要考查向量的模与平面向量的坐标运算，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则；（２）三角形法则；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与求范围问题往往运用坐标运算来解答）. 8．【2019届湖南省永州市三模】在中，，，，是上一点，且，则等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】在中，，，是是上一点，且，如图所示，设，所以，所以，解得，所以，故选C ．8.【浙江省台州市2019届高三上学期期末】已知m ， n 是两个非零向量，且1m =， 23m n +=，则m n n ++的最大值为（ ）C. 4D. 5 【答案】B 【解析】9．【2019届四川省蓉城名校高三4月联考】已知圆1C ： ()2251x y ++=， 2C ： ()225225x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，若M 为1C 上的动点，且10CM C M ⋅=，则CM 的最小值为（ ）A. 4 D. 【答案】A【解析】∵圆1C ： ()2251x y ++=，圆2C ： ()225225x y -+=，088,x -≤≤minCM∴=== ，选A.10．设向量a ， b ， c 满足1a b ==， 1·2a b =-， ,60a c b c --=︒则c 的最大值等于（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A【解析】∵1a b ==，且1·2a b =-，∴a b ，的夹角为120°， 设,,OA a OB b OC c ===则,CA a c CB b c =-=- 如图所示， 则∠AOB=120°；∠ACB=60° ∴∠AOB+∠AOC=180° ∴A，O ，B ，C 四点共圆，∵AB b a =-， 2222|||2?|3AB a b a a b b =-=-+= ∴ 3.AB =由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=2sin ABACB=∠.当OC 为直径时， c 最大，最大为2．故选：A ．点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、余弦定理的应用，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，·cos ·a b a b θ=（此时·a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影， a 在b 上的投影是a bb⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.11.，与的夹角为，则的最小值是______,的最小值是_______．【答案】,,即的最小值是.12.【2019届天津市十二校二模】已知直角梯形中，，，，，，是腰上的动点，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：以为轴，为原点,过与垂直的直线为轴，建立坐标系，可设，可得，，利用二次函数配方法可得结果.详解：以为轴，为原点,过与垂直的直线为轴，建立坐标系，，即的最小值为，故答案为.。
2019届高考理科数学一轮复习专题演练：专题2.3基本初等函数(含解析)
专题2.3基本初等函数【三年咼考】4 2 11. 【2019高考新课标3理数】已知a =2空,b=45, c=25'，则( )(A) b ::: a ：：：c ( B) a ::: b ::: c (C) b ：：：c ... a(D) c ... a::: b【答案】A4 2 2 1 2 2【解析】因为a= 23=4345= b，c = 253= 53• 43= a，所以b ：.a ::: c，故选A.5 b a2. 【2019 高考浙江理数】已知a>b>1.若log a b+log b a=—, a =b ,贝U a= , b=.2 --- ----------【答案】4 2【强忻】设log/三匕则r Al,因为F —==斗n r = 2 n 口■扩，因此扌三扩=> 卩=户=>2&=罗nb三2卫=4.3. [2019高考上海理数】已知点(3,9)在函数f(x)=1，a x的图像上，贝Uf (x)的反函数f」(x) = _________ .【答案】log2(x -1)【解析】将点(3,9)带入函数f x = 1 • a x的解析式得a = 2，所以f x =1 2x，用y表示x 得x = log2(y -1)，所以f x = log2(x -1).4. [2019高考天津理数】已知函数f (x) = x (4^3)x 3a,^ 0,( a>0,且a z 1)在R[log a(x+1) + 1,x^0上单调递减，且关于x的方程I f(x)戶2 -x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是( )2 23 1 2 3 1 2 3(A) (0, ] (B) [―,—] ( C) [―,]_{ —} (D)[―,)【」{—}3 34 3 3 4 3 3 4【答案】C的实数解，可皿闰-S 扫弓又a = -B 寸』抛物线p = F+(4o —3找+%与直线 41 j 3=2-工相切，也符合题童…I 实数立的去范围是［-f -］U{-},故选C3 3 45.【2019高考上海理数】已知 a ・R ，函数f(x) =log 2(〕 a).x(1)当a = 5时，解不等式f (x) • 0 ；(2)若关于x 的方程f (x) - log?" -4)x • 2a - 5］ =0的解集中恰好有一个元素，求a 的取 值范围;1(3)设a ■ 0，若对任意t ［^,1］，函数f (x)在区间［t,t 1］上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围. 【解析】(1)由log 2 1 50，得1 5 1，解得x l x丿 x\(2) 1 a 二 a -4 x 2a -5， a —4 x 2a — 5 x -1 =0，当 a = 4 时，x = -1，经检x1验，满足题意.当a = 3时，x^ x 2 - -1,经检验，满足题意.当a = 3且a = 4时，x^a — 4x^ -1，x 广x 2. x 1是原方程的解当且仅当丄• a • 0 ,即a 2 ； x 2是原方程的解当且仅1当一，a ・0，即a 1 •于是满足题意的a ・1,2 1.综上，a 的取值范围为1,2 1U ：3,4?.x2【解析】宙/■&)在丘上递减可知由方程|/(x)|=2 3 4-工恰好有两个不相等，所以f x 在0, •：：上单调递减•函数 f x 在区间lt,t 1 1上的最大值与最小值分别为 f t ，f t -f t 1 二呃 J a-log2 丄a <1 即at2 a 1 t-1-0, It +1 丿对任意-1,1 成立.因为a 0，所以函数y=a「am在区间1,1上单调递增,1 3 1 3 12 2t 时，y有最小值—a ，由一a 0，得a .故a的取值范围为，■::.2 4 2 4 23 IL36. 【2019高考四川，理8】设a,b都是不等于1的正数，则“ 3a. 3b. 3 ”是“log a 3 ：：：log b 3 ”的（）（A）充要条件（B）充分不必要条件（C必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若3">3*>3,则Q—从而有1昭/<嗨异,故为充耸条件一若106,3<lo gi3不一定有比如4 =丄上二务从而3J>3*>3不成立”故选B37. 【2019高考北京，理7】如图，函数f x的图象为折线ACB，则不等式f x > log2 x 1的解集是（）A. 〈x|—1：：：x w 0? B .〈x|—1 w x w 1? C.〈x|—1：：：x < 1 D .〈x | —1 ：：： x < 2【答案】C【解析】如图所示，把函数y二log2x的图象向左平移一个单位得到y二log 2（x 1）的图象x - 1时两图象相交，不等式的解为-1 ：：：x < 1，用集合表示解集选C8. 【2019高考天津，理7】已知定义在R上的函数f x =2x^ -1 （m为实数）为偶函数，记 a = f (log °.53),b = f (log ? 5 ),c = f (2m )，则 a,b,c 的大小关系为()(A ) a ::: b ::: c (B ) a ::: c ::: b (C ) c ：：： a ：：： b (D ) c ：：： b ：：： a 【答案】C【解析】因为函数f x i ；=2x R _1为偶函数，所以m = o ，即f x i ； = 2x -1，所以b = f log ? 5 二 2log 25 一1 = 4,c 二 f 2m 二 f (0) = 2。
2019年高考数学(理)精品资料：3.4 分离(常数)参数法(讲)含解析
2019年高考数学（理）精品资料：3.4 分离（常数）参数法（讲）分离（常数）参数法是高中数学中比较常见的数学思想方法，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系，其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高，随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.1 分离常数法 分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围.1.1 用分离常数法求分式函数的最值（值域） 分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax b y cx d+=+，，， 等，解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 例1. 已知函数（0a >且1a ≠）是定义在R 上的奇函数. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的值域；（Ⅲ）当[]1,2x ∈时，恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(Ⅰ) 2a =；(Ⅱ) ()1,1-；(Ⅲ) 10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】（Ⅰ）∵()f x 是R 上的奇函数，∴，即.整理可得2a =． （注：本题也可由()00f =解得2a =，但要进行验证）（Ⅲ）当[]1,2x ∈时，．由题意得在[]1,2x ∈时恒成立， ∴在[]1,2x ∈时恒成立． 令，则有， ∵当13t ≤≤时函数21y t t=-+为增函数， ∴. ∴103m ≥. 故实数m 的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 例2.一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处。
届数学二轮复习思想方法训练3数形结合思想理含解析
思想方法训练3 数形结合思想思想方法训练第6页一、能力突破训练1。
若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z，则复数z1+i对应的点位于复平面内的（)A。
第一象限B。
第二象限C。
第三象限D。
第四象限答案：D解析:由题图知,z=2+i,则z1+i =2+i1+i=2+i1+i·1-i1-i=32−12i,则对应的点位于复平面内的第四象限。
故选D。
2。
设全集U=｛x｜x≤8，x∈N*｝，若A⊆U，B⊆U,B∩(∁U A)={2，6},A∩(∁U B)={1，8｝，（∁U A）∩(∁U B）={4，7}，则()A。
A=｛1,6｝,B={2，8}B。
A={1,3，5,6｝,B=｛2,3,5，8｝C.A={1，6｝，B={2，3,5,8｝D.A={1,3,5，8｝，B=｛2，3,5，6｝答案：D解析:根据题意可作出Venn 图如图所示,由图可知A=｛1,3,5，8}，B=｛2，3，5，6}.3.若变量x ,y 满足{x -y +1≤0,y ≤1,x >-1,则（x —2)2+y 2的最小值为（ )A .3√22B .√5C .92D.5答案:D解析：如图,作出不等式组所表示的可行域(阴影部分)。
设z=(x-2)2+y 2，则z 的几何意义为可行域内的点到定点D (2,0)的距离的平方，由图象可知，C ，D 两点间的距离最小，此时z 最小,由{y =1,x -y +1=0,可得{x =0,y =1,即C （0，1）。
所以z min =（0—2)2+12=4+1=5。
4.若函数f (x )=（a —x )｜x —3a ｜(a>0)在区间(-∞,b ］上取得最小值3-4a 时所对应的x 的值恰有两个，则实数b 的值等于( ) A .2±√2B .2-√2或6—3√2C 。
6±3√2D .2+√2或6+3√2 答案：D解析：结合函数f （x )的图象(图略)知，3—4a=—a 2, 即a=1或a=3.当a=1时，—b 2+4b —3=-1（b 〉3),解得b=2+√2;当a=3时,—b 2+12b —27=-9（b>9）， 解得b=6+3√2,故选D. 5.已知函数f （x ）={|lgx |,0<x ≤10,-12x +6,x >10,若a ,b ,c 互不相等，且f (a ）=f (b ）=f (c ），则abc 的取值范围是（ ） A.(1，10) B 。
专题02 选填题解法——数形结合法-高考数学选择填空必备解题技巧
高中数学选填题解法——数形结合法邓小平说过，不管黑猫白猫能抓老鼠的就是好猫。
在数学选择题里，不是每道题都要正面去解，有时正面解反而易错，本专题介绍选择题的方法。
数形结合法在选择题如果运用好的话，往往会有出其不意的效果。
1、已知函数f(x)=()⎩⎨⎧≥++< 0x 2x ln 0x x 4x 2若方程|f(x)|-a=0有四个不同的解，则a 的取值范围是（ ） A 、（0,4） B 、[)4,0 C 、[)4,ln2 D 、(]4,2ln【答案】C【解析】本题是2019莆田高三第二学期质检文科第10题，本题可采用数形结合法。
在坐标轴中分别画出|f(x)|与y=a 图像。
从图像中易知当方程|f(x)|-a=0有四个不同的解，当y=a 这条直线为y=ln2时刚好有四个交点，当y=a 这条直线为y=4时最多只有三个交点，所以a 取值范围为[)4,ln2，即答案为C 。
2、已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤+++0,22x 0x 1,|2-2|2x x x > 若方程f(x)=kx+2k 有四个不同的解，则实数k 取值范围为（ ）A 、（-∞，-2-22）∪（31，1） B 、（22-2，1） C 、（31，1） D 、（31，22-2） 【答案】B【解析】本题是华大新高考联盟2019届1月教学质量监测文科数学第11题，在直角坐标系中画出y 1=f(x)图像（蓝色部分），再做出y 2=kx+2k=k （x+2）图像，恒过定点（-2,0）。
从图像上可发现当y 2=kx+2k=k （x+2）过（0,2）时即图中m 直线，y 1与y 2图像有三个交点，此时k=1；当y 2=kx+2k=k （x+2）与22x 2++x 相切时即图中n 直线，此时k=22-2或k=22--2，而当k=22--2时即图中q 直线，显然y 1与y 2只有一个交点，舍去。
当y 2直线在直线n 与直线m 直线质检移动时，y 1与y 2有四个交点，所以k 取值范围为（22-2，1），答案为B 。
备考2024届高考数学-模型-方法-技巧-专题1-1-类周期函数与函数对称性周期性补充练习
【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到 2 倍，导致题目出错， 需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．
重点题型·归类精讲 类周期函数
重庆市巴蜀中学校 2024 届适应性月考（一）T7
1．定义在 R
上的函数
f
x 满足
f
x 1
【详解】由函数 f x 满足 f x 1 1 f x ，且当 x0,1 时， f x 1 2x 1 2
当 x 1, 2 时，可得 f x 1 f x 1 1 1 2x 3 ；
2
2
当 x2,3时，可得 f x 1 f x 1 1 1 2 x 5 ，
2
4
所以在区间n, n
1n Z
上，可得
f
x
1 2n
1
2
x
2n
1
，
作函数 y f x 的图象，如图所示，
所以当
x
1 4
,
13 4
时，
f
x 0,1 ，
故选：B.
2．设函数 f (x) 的定义域为 R ，满足 f (x 1) 2 f (x) ，且当 x(0,1] 时，f (x) x(x 1) ．若对任意 x (, m] ，
B． , 3 0, 3
C．1,0 3,
D． 3,0 3,
【答案】C
【分析】根据题意首先得得到函数的具体表达式，由 x 4, 2，所以 x 4 0, 2 ，所以 f x 4 x2 6x 8 ，
再由 f x 4 3 f x 2 9 f x 可得出 f（x）的表达式，在根据函数思维求出 f（x）最小值解不等式即可. 【详解】因为 x 4, 2，所以 x 4 0, 2 ，
2019届高考理科数学一轮复习学案：第48讲 圆的方程
考向 3 距离型最值问题
4 (1)[2017·嘉兴一中联考] 已知圆 C:(x-2)2+(y+m-4)2=1,当 m 变化时,圆 C 上的点与原
点 O 的最短距离是
.
(2)若 P 是圆 C:(x+3)2+(y-3)2=1 上任一点,则点 P 到直线 y=kx-1 距离的最大值为 ( )
A.4 B.6
C.3 -1 D.2
[总结反思] 求解形如|PM|+|PN|且与圆 C 有关的折线段的最值问题(其中 M,N 均为动点)的基 本思路:(1)“动化定”,把与圆上的点的距离,转化为与圆心的距离;(2)“曲化直”,即将折 线段之和转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决. 强化演练
1.【考向 1】设实数 x,y 满足(x+2)2+y2=3,那么 的取值范围是 ( )
(3)几何法:利用圆与圆的几何性质列方程. (4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式列方程.
式题 (1)[2017·广东广雅中学、江西南昌二中联考] 自圆 C:(x-3)2+(y+4)2=4 外一点 P(x,y) 引该圆的一条切线,切点为 Q,切线的长度等于点 P 到原点 O 的距离,则点 P 的轨迹方程为
A.x2+y2=1
B.x2+y2=1
C.x2+y2=1
D.y=
(2)点 P(4,-2)与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点的轨迹方程是 ( ) A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1 [总结反思] 与圆有关的轨迹问题的四种常用求解方法: (1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法:根据圆、直线等的定义列方程.
届高考数学一轮复习讲义课件：二元一次不等式与简单的线性规划问题(共59张PPT)
1．二元一次不等式表示平面区域 (1)一般地，二元一次不等式 Ax＋By＋C＞0 在平面直角坐标系 中表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧所有点组成的平面区域．我们把 直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画 不等式 Ax＋By＋C≥0 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直 线，则把边界直线画成实线． (2)用二元一次不等式表示平面区域，常有一定的规律性，大致 可分为以下四种情况(如图所示)．
点评 线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点或边界上取 得，具体方法是：将表示目标函数的直线平行移动，最先(或最后) 通过的区域内的点便是最优解．特别地，当表示线性目标函数的直 线与可行域的某边重合时，其最优解可能有无数个 .
变式迁移 2
设 z＝2y－2x＋4，式中 x、y 满足条件00≤≤xy≤ ≤21， ， 2y－x≥1.
2．简单的线性规划问题 (1)求线性目标函数在约束条件下的最值问题的求解步骤是： ①作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的 平行直线系中的任意一条直线 l. ②平移：将直线 l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置． ③求值：解有关的方程组求出最优解，再代入目标函数，求出 目标函数的最值． (2)关于线性规划的几点说明： ①最优解有时唯一，有时不唯一，甚至是无穷多． ②对于二元一次不等式组所表示的区域，如果存在使线性目标 函数达到最大或最小的点，那么最值一定是在该区域的顶点或边界 上达到．
所以，原不等式组表示的区域如图所示．
题型二 线性目标函数的最值问题
例 2.已知 x，y 满足条件
35xx＋ ＋83yy＋ －16≤ 5≥00，， 2x－5y＋10≥0，
则 z＝x－y 的取值范围是________．
解析 先画出约束条件的可行域，如图所示，
《世纪金榜》2019届高三数学(人教版理)二轮复习课件：第二篇 数学思想2.4
转化与化归思想
【思想解读】 转化与化归思想方法就是在研究和解决有关数学问题
时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而解决问
题的一种思想.其应用包括以下三个方面
(1)一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题 .
(2)将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题. (3)将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.
4
此时kl=-1,所以l的方程为x+y-5=0.
答案:x+y-5=0
2.(2016·洛阳一模)函数f(x)= x＋ 1 x 的值域为____. 【解析】因为f(x)的定义域为x∈[0,1],
所以设x=sin2α (0 , )
则y=sinα +cosα = 2sin ( ∈[1, ]. 2 ) 4 2
1 1 又因为t+ 2 =2, t t t 所以t+ 1∈ [2, 3 2 ]. t 2
2
2 . [ , 2] 2
答案: [2, 3 2 ]
2
热点2
函数、方程、不等式之间的转化
【典例2】(2016·长春二模)已知函数f(x)=x3+3ax-
1,g(x)=f′(x)-ax-5,其中f′(x)是f(x)的导函数.对
为a,b,c,若a,b,c成等差数列,则 cos A cos C =_______.
1 cos Acos C
【解析】令a=b=c,则△ABC为等边三角形,
1 , 且cosA=cosC= 2
1 1 cos A cos C 4 2 2 代入所求式子,得 ＝ ＝ . 1 cos Acos C 1 1 1 5 2 2 答案: 4 5
答案:[1,
]2
基本不等式说课课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
教材分析 学情分析 教学目标 教学重难点 教学方法 教学过程
1、通过观察赵爽弦图，从中发现、提出、概括重要的 不等关系，发展学生数学建模素养.
2、通过阅读教材，反思得到基本不等式的方法，从代数 结构、几何直观等角度分析、理解基本不等式.
3、初步运用基本不等式解决简单的证明问题，发展数学 运算、逻辑推理素养，培养发现问题、解决问题的意识与 能力.
三“相等”
教材分析 学情分析 教学目标 教学重难点 教学方法 教学过程
课堂小结，提高升华
本节课，我们学习了哪些知识？掌握了哪些方 法？体会哪些思想？
赵爽弦图
重要不等式
由特殊到一般
换元法
基本不等式
转化与化归
分析法 探究法
代数解释 几何证明
数形结合
教材分析 学情分析 教学目标 教学重难点 教学方法 教学过程
教材分析 学情分析 教学目标 教学重难点 教学方法 教学过程
认知基础
学生已掌握不等式的基本性质，这有助于本节课对基本不 等式的探索。
能力分析
学生通过高中一段时间的学习初步具备了一定的分析问题、 解决问题的能力，同时对新知有强烈兴趣。
困难分析
学生对本节课需要用到的分析法感到陌生，推导过程中蕴 含的数学思想有待进一步培养。
学法 分析
教师地教是为了学生 更好得学。本节课引 导学生主动探究，独 立思考，层层递进， 充分调动学生的课堂 参与度，使他们感受 知识的形成过程。
教材分析
情境导入，发现问题
学情分析
教学目标
教学重难点 教学方法 教学过程
20家大会于2002年8月在北京举行，大会会标看上去像 一个旋转的风车，它的设计基础是公元3世纪中国数学家赵爽弦图。
2019年上海市秋季高考数学试卷word版含参考答案与解析
上海市2019届秋季高考数学考试卷、选择题：(本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分)1. 已知集合A ,3、B 2, ，则AB _______________________ .12. 已知z C 且满足—5 i ，求z ______________ .z3. 已知向量a (1,0,2) , b (2,1,0)，则a 与b 的夹角为 ______________ .54. 已知二项式 2x 1 ，则展开式中含X 2项的系数为 ______________ .x 05. 已知x 、y 满足 y 0 ，求z 2x 3y 的最小值为 ____________________ .x y 236. 已知函数f x 周期为1，且当0 x 1， f x log 2x ，则f(?) ______________________ .7. 若x 、y R ，且-2y 3，则y 的最大值为 ______________________ .xx8. 已知数列a n 前n 项和为S n,且满足S na n 2，则S 5_______ .229. 过y 4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与y 4x 交于A 、B ，A 在B 上方，M 为抛物线上一点， OM OA 2 OB ，贝y ________ .10. 某三位数密码锁，每位数字在0 9数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是2 211. 已知数列a n满足a na n 1 ( n N ), R n,a n 在双曲线 x y1上，则6 2limP n P n 1n12. 已知f x2 ax 1,a 0，若 a a 0 , f x 与 x 轴交点为 A , f x 为曲x 1线L ，在L 上任意一点P ，总存在一点Q ( P 异于A )使得AP AQ 且AP AQ ，则a 。
________________4题，每题5分，共20分)y c 0的一个方向向量d 可以是((2,1) C. ( 1,2) D.1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得x ，存在常数a R ，使得f x a 为偶函D. —5①对，②错； D. ①错，②对;14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为 到的两个圆锥的体积之比为()A. 1B. 2 C .4 D. 815. 已知 R ，函数 f x2x 6sin数, 则 可能的值为()A.2B.3C.4 16. 已知 tan tantan().①存在 在第一象限， 角在第三象限；②存在 在第二象限， 角 在第四象限;二.选择题(本大题共 13.已知直线方程2x A. (2, 1) B.)(1,2)A.①②均正确；B.①②均错误；C.三•解答题（本大题共 5题，共76分）17.（本题满分 14分）如图，在长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为BB ,上一点，已知BM 2，AD 4，CD 3，AAA 5.（1） 求直线AQ 与平面ABCD 的夹角； （2） 求点A 到平面AMC 的距离.19.（本题满分14分）如图，A B C 为海岸线，AB 为线段，B C 为四分之一圆弧, BD 39.2km ，BDC 22°， CBD 68°， BDA 58o .（1） 求Be 长度； （2） 若AB 40km ，求D 到海岸线 ABC 的最短距离.（精确到0.001km ）椭圆于A 、B 两点. （1 ）若AB 垂直于x 轴时，（2 ）当 F 1AB 90° 时，（3）若直线AF 1交y 轴于M 直线BF 1交y 轴于N 是否存在直线I 若存在，求出直线I 的方程；若不存在，请说明理由 . 21.（本题满分18分）数列4有100项，a 1 a ，对任意n 2,100 ,存在a n q d,i 1,n 1，若a k 与前n 项中某一项相等，则称 a k 具有性质P . （1 ）若a 1 1，求a 4可能的值；（2）若a n 不为等差数列，求证： a n 中存在满足性质 P ；18.（本题满分14分）已知f x（1 ）当a 1时，求不等式f x 1 f x 1的解集； （2）若x 1,2时，f x 有零点，求a 的范围.ax—(aR).16分） 2已知椭圆—（本题满分 2—1 , F 1, F 2 为左、4右焦点，直线I 过F 2交AB ；A 在x 轴上方时，求A,B 的坐标;，使S A F 1AB S A F 1MN ,20.(3)右a n 中恰有二项具有性质 P ，这二项和为C ，使用a, d, c 表示a ia ? La ioo.上海市2019届秋季高考数学考试卷参考答案与试题解析一、选择题：(本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54 分) 1.已知集合A ,3、B 2, ，则A B _______________________.【思路分析】然后根据交集定义得结果. 【解析】：根据交集概念，得出：(2,3). 【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.12.已知z C 且满足—5 i ，求z ______________ .z【思路分析】解复数方程即可求解结果.5 i 5 1 .i (5 i)(5 i) 26 26【归纳与总结】本题主要考查复数的基本运算，比较基础.. ° r r3.已知向量a (1,0,2) , b (2,1,0)，则a 与b 的夹角为 ______________1【解析】：—【思路分析】根据夹角运算公式cosab 求解【解析】：cos 【归纳与总结】本题主要考查空间向量数量积，比较基础.5 4.已知二项式 2x 1 ，则展开式中含x 2项的系数为 【思路分析】根据二项式展开式通项公式求出取得含【解析】：T r 1 C 5r (2x)5 r 1r C 5r 25 r x 5 r 令 5 r 2，则 r 3, x 2 系数为 C ； 22 40.2 x 项的的项，再求系数. 【归纳与总结】本题主要考查项式展开式通项公式的应用， x 0 5.已知x 、y 满足 y 0 ，求z 2x 3y 的最小值为 x y 2 【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截 式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.【解析】：线性规划作图：后求出边界点代入求最值， 当x 0 , yZ min 6.【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.3 log 2x ，则 £) _ 6.已知函数f x 周期为1,且当0 x 1 , f x 比较基础. J •2时， n3 【思路分析】直接利用函数周期为 1，将转2到已知范围0 x 1内，代入函数解析式即可. 2.，3 2 2 【归纳与总结】本题考查函数图像与性质，是中档题. 7.若x 、y R ，且丄2y 3，则-的最大值为 x x 【解析】：f (-) f (-) log 2- 1 2 【思路分析】利用已知等式转化为一个变量或者转化为函有 y的式子求解x【解析】：法一:1 1 y 3 ；2y 2 x2y 」；3 22 1 法二：由一3x 【归纳与总结】本题考查基本不等式的应用，是中档题.8.已知数列a n 前n 项和为S n ,且满足S n a n 2，则S【思路分析】将和的关系转化为项的递推关系，得到数列为等比数列S n a n 21【解析】：由 n n得：a n一 a n 1 ( n 2)S n 1 a n 12( n 2) n2 n1 V丿2y , - (3 2y) y 2y 2 x 3y ( 0 9 ； 8-)，求二次最值2y xmaxa 。
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1 ||,
C）
x x
1 1
A4个 B 5个 C7个 D 8个
【分析及解】画出函数 f x 的图象（图3-1）,该图像关于 x 1 对称,
且 f x 0
由 f 2 (x) bf (x) 0得 f x 0或 f x b 结合 f x 的图象易知
f x 0 有3个不同的实数根, f x bb 0 有4个不同的实数根,
(3).纵观多年来的高考试题(如2008年的安徽卷第7题.北京卷第6题,全国 卷第21题,上海卷的第6题,09年湖南卷的第8题都是考查数形结合思想 且常以小题与解答题中出现),巧妙运用数形结合的思想方法解决一些 抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果
(4).2010年考试大纲的说明中强调：“在高考中，充分利用选择 题和填空题的题型特点，为考查数形结合的思想提供了方便，能突 出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的 意识，而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，对数量关系问题 的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法，解答题中对数 形结合思想的考查以由‘形’到‘数’的转化为主.”
当直线过 B(4,0)点时。a 4
A(-4,0)
B(4,0)
由图-1可知：实数的取值范围是 ,4 (4 2,)
-4
变式1、若M N 则实数 a的取值范围是 (4,4 2 ]
变式2、若集合 M N 中只有一个元素，则实数 a 的
取值范围是 {a 4 a 4,或a 4 2}
变式3、若集合中 M N有两个元素，则实数 a 的取值 范围是(4, 4 2 )
则 f x2 bf x 0 方程有7个不同实数解.故选(C).
[点评] 利用图象判断方程的解的个数直观,明了, 用 图形分析帮助解决问题的关键是讨论图象交点的个 数.但图象务必要画准确,否则会出错
．
图3-1
跟踪练习
[练习]1. (2009全国Ⅱ卷,理，文)函数 y sin x 的一个单调增
区间是（ C）
A．
，
B．
，3
C．
，
D．
3
，2
【分析及解】只要画出的图象（图3-4）,就可以得到要选的 选项.
图3-4
题型二: 结合函数与图象的对应关系考查
42
例2 设集合M {(x, y) y 16 x2 , y 0} N {(x, y) y x a }
若M N 求实数a的取值范围。
利用“三角形三边的关系”；
利用勾股定理构图.
数形结合的思想方法 规律总结
（2）以数解形的体现： 向量坐标运算； 立体几何中空间向量坐标运算； 平面解析几何. 应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化： ①集合的运算及韦恩图； ②函数及其图象； ③数列通项及求和公式的函数特征及函数图象； ④直线的方程及曲线的方程（二元方程）.
数形结合的思想方法 规律总结
数形结合的两个方面：即以形助数、以数解形.
（1）以形助数的体现：
利用曲线方程解题；
利用“直线的斜率”；
利用“单位圆”；
利用“点到直线的距离”；
利用“两点间的距离”； 利用“直线的截距”；
利用“平行线间的距离”； 利用“直线的方程”；
利用函数的图象；
利用几何图形解题；
利用向量运算；
(三).预测2010年高考考查数形结合思法，可能会与以下内容为载体来命 题：①函数与图象的对应关系；②曲线与方程的对应关系；③以几何 元素和几何条件为背景建立起来的概念，如三角函数等；④所给的等 式或代数式的结构含有明显的几何意义.
考题剖析 ＞＞
题型一.结合方程或方程组的解的个数问题考查
【则例关1于】x(的09方年程上海f 2 (卷x)改 b编f ()x设) 定0，义b 域0为的R不的同函实数数f (根x) 共 有| lg（| x0,
已知方程 x4 x ax 4 0 有两个实数根就是直线与半圆有两个交点，
设kABAT切1 因半为圆A于TT为，圆由的图切3线-8可，知所，以斜，率圆应心满2,足0到k直AB 线 aykaAxT 4ax 4 0
的距离等于半径2， 即
2a 4 a2 1
所 2以，，解实得数的kAT取值 34范，围为
1
a
3
A(0,4)
4
B(4,0)
规律总结
数形结合的思想方法 规律总结
数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结 合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使 代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数 形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既 分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合， 来寻找解题思路，使问题得到解决.运用这一数学思想，要熟练掌握一些 概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.
数形结合的思想方法
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05
规律总结 ＞＞
23
数形结合的思想方法 知识概要
1.数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多 问题能迎刃而解，且解法简捷.所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关 系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.
2.学习好数形结合的四大理由(1)数形结合思想通过“以形助数，以数解 形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维，有 助于把握数学的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.
(2) .数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题 中，在求函数的值域，最值问题中，在求三角函数问题中，要注意培 养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维、 视野.
42
4
o A(-4,0)
o
B(4,0)
-4
图-1（例1）
已知方程 x4 x ax 4 0 有两个不相等的实数根，求
实数 a 的取值范围.
跟踪练习
【分析及解】已知方程化为 x4 x ax 4
作函数 y x4 x 的图象，这是以2,0为圆心,以 2 为半径,在 x 轴上
方的半圆,
再作函数 y ax 4ax 4 0的图象,这是以a 为斜率.且过点 0, 4的直线.
o
A(-4,0)
4
o B(4,0)
分析：（如图-1）集合M表示的图形是半圆 x2 y2
16
-4
(0 y 4)图-1（例1）
且不含端点；
Байду номын сангаас
集合N表示的图形是：斜率为1的一组平行直线，在轴上
的截距为a。M N 表示直线与半圆没有公共点。
如图，当直线与半圆相切时；
4
当直线过A(4,0)点时；a 4